Problemas de Álgebra
Matemorfosis CIMAT
Problema A1. La mamá de Dennis tiene 160 pesos. Una quinta parte de ese dinero se lo dará a
Dennis para que compre dulces. Su papá le dijo que del dinero que le dio su mamá él se lo
duplicará. ¿Cuánto dinero tendrá Dennis en total?
(a) 10 (b) 32 (c) 64 (d) 80 (e) 16
Problema A2. El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿Cuántas latas se podrán comprar
con $1,240?
(a) 125 (b) 50 (c) 124 (d) 126 (e) 5
Problema A3. Los 3 integrantes de una familia deciden repartir los gastos que se generan en
su casa: el recibo bimestral de luz es de $320; el recibo del teléfono es de $240 mensuales; la
televisión por cable $260 mensuales y el predio es de $3600 anuales. ¿Cuánto dinero le toca
aportar mensualmente a cada integrante, si los gastos se reparten de manera equitativa?
(a) 3840 (b) 960 (c) 368 (d) 320 (e) 11520
Problema A4. Federica y Carlos son hermanos. Federica es 4 años más grande que Carlos. Si
multiplicamos sus edades, el resultado es 60. ¿Cuántos años tiene Carlos? (a) 10 (b) 15 (c) 3
(d) 6 (e) 5
Problema A5. Pedro y Juan fueron a la tienda a comprar dulces. Al salir Pedro le dice a Juan:
“Yo tengo el doble de dulces que tienes tú”. Enseguida Juan le menciona a Pedro: “ Si me das
uno de tus dulces, ambos tendríamos la misma cantidad”. ¿Cuántos dulces tienen los dos
juntos? (a) 6 (b) 10 (c) 8 (d) 5 (e) 4
Problema A6. Si a2 = a +
2, entonces a3 es igual a
(a) a + 4 (b) 2a +
8 (c) 3a + 2 (d) 4a +
8 (e) 27a + 8
Problema A7. En la expresión c · ab − d, los valores de a, b, c y d s on los números 0, 1, 2
y 3,
aunque no necesariamente en ese orden. ¿Cuál es el mayor valor posible de tal expresión?
(a) 5 (b) 6 (c) 8 (d) 9 (e) 10 Problema A8. ¿Cuánto vale la suma de los dígitos del número
3216· 1
2525? (a) 5 (b) 16 (c) 25 (d) 32 (e) 125
Problema A9. En una calculadora la tecla A transforma al número x que está en la pantalla en 1
xy
la tecla B multiplica por 2 al número que está en la pantalla. Si el número 2 está en la
pantalla y tecleamos 499 veces la secuencia AB, ¿qué número aparecerá en la pantalla?
1
(a) 1 (b) 2−4 98 (c)
2−5 00 (d) 2499 (e) 2500
Problema A10. El promedio de 6 números es 4. Cuando agregamos un séptimo número el
nuevo promedio es 5. ¿Qué número se agregó?
(a) 5 (b) 6 (c) 8 (d) 10 (e) 11
Problema A11. La suma de 20 números enteros es 200. De estos, ¿cuál es la mayor cantidad
de números que pueden ser mayores que 20?
(a) 20 (b) 19 (c) 10 (d) 9 (e) 8
Problema A12. Un conejo lleva una ventaja a un perro que lo persigue equivalente a 50 saltos
de conejo. Si un salto de perro equivale a 3 saltos del conejo y el conejo da 8 saltos mientras
que el perro da 3, ¿en cuántos saltos de perro alcanza el perro al conejo?
Problema A13. ¿Cuántos números enteros, mayores que 1, cumplen la siguiente condición: la
tercera parte del número más 15 es mayor que su mitad más 1?
(a) 14 (b) 82 (c) 28 (d) 83 (e) 42
Problema A14. En un rancho Juan le dice a Pedro: “Hay que trasquilar estas 30 ovejas en 15
días, trasquilando al menos una por día y siempre un número impar de ovejas”. ¿Puede Pedro
cumplir la orden de Juan?
Problema A15. ¿Cuánto mide el ángulo menor que se forma entre las dos manecillas de un
reloj cuando éste marca las 4:36?
(a) 91◦(b) 78◦(c)
75◦(d)
96◦(e) 45◦
Problema A16. Juan tiene dos hermanas más chicas que él. El producto de las tres edades es
396, y su suma es 23. ¿Cuántos años tiene Juan?
(a) 6 (b) 7 (c) 11 (d) 12 (e) 18
1
1
Problema A17. Los números reales x, y, z satisfacen las ecuaciones x+y+z = 26 y1x +
y +
z=
31.
y
z
x
z
y
¿A qué es igual x y +
+
+
+
+
?
z x z y x
(a) 638 (b) 777 (c) 786 (d) 803 (e) 806
Problema A18. a, b y c son tres números reales positivos tales que a(b + c) = 152, b(c +
a) =
162 y c(a + b) = 170. >Cuánto vale el producto abc?
(a) 540 (b) 620 (c) 640 (d) 720 (e) 860 Problema A19. ¿Cuál es el último dígito de
la suma:
(12 + 1) + (22 + 2) + · · · + (20092 + 2009)?
2
Problema A20. Paty tiene 20 monedas de las cuales algunas son de 5 centavos y otras de 10
centavos. Si sus monedas de 5 centavos fueran de 10 centavos y sus monedas de 10 centavos
fueran de 5 centavos, ella tendría 70 centavos más. ¿Cuánto dinero tiene Paty?
(a) $1.15 (b) $1.20 (c) $1.2
5 (d) $1.30 (e) $1.35 Problema A21. Los números a y b son reales no
negativos tales que a3 + a < b − b3 . Entonces, (a) b < a < 1
(b) a = b = 1 (c) a < 1 <
b (d) a < b < 1 (e)
1 < a < b
Problema A22. Los números x, y son distintos y satisfacen la igualdad x −1 x = y −1 y. ¿Cuál es el valor
de xy?
(a) 4 (b) 1 (c) −1 (d) −4
(e) No se puede determinar
Problema A23. En un recipiente hay 200 dulces de los cuales 99 % son rojos, ¿cuántos dulces rojos
tenemos que quitar para que el 98 % de los restantes sean rojos?
(a) 1 (b) 2 (c) 98 (d) 100 (e) 101
Problema A24. Un número de teléfono es de la forma ABC − DEF − GHIJ, donde cada letra
representa un dígito distinto. Se sabe que A > B > C; D > E > F; G > H > I > J; D, E, F son dígitos
pares consecutivos; G, H, I, J s on dígitos impares consecutivos y A +
B +
C = 9. ¿Cuánto vale A?
(a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 9
Problema A25. Si a un número de dos dígitos le sumamos el cuadrado de la suma de sus dígitos,
obtenemos el número original con los dígitos invertidos. ¿Cuál es la suma de todos los números que
satisfacen las condiciones del problema?
(a) 72 (b) 37 (c) 63 (d) 36 (e) 27 3
Soluciones de los problemas
Solución A1. La quinta parte de 160 es 32 y al duplicar 32 obtenemos 64, por lo tanto, la
respuesta es 64.
Solución A2. Si x e
s el valor buscado tenemos la siguiente ecuación:
248
15=1240
Despejando x obtenemos que
x.
248(15) = 5(15) = 75.
x=
1240
Por lo tanto, se podrán comprar 75 latas de aceite.
Otra solución es usando una regla de 3. Dividiendo 248 entre 25 obtenemos el costo de cada
lata: 9.9
92. Por lo tanto, podremos comprar 1240
9.9
92 = 75.
Solución A3. Primero calcularemos el gasto total que se genera mensualmente y después lo
dividiremos entre la cantidad de miembros de la familia. El gasto anual es de
6(320) + 12(240) + 12(260) + 3600 = 1920 + 2880 + 3120 + 3600 = 11520
Dividiendo lo anterior entre los 12 meses obtendremos el total mensual, el cual es 11520/12 =
960. Al dividir entre la cantidad total de miembros obtenemos 960/3 = 320. Esta será la cantidad
que mensualmente pague cada uno de los integrantes.
Solución A4. Diremos que Federica tiene a cantidad de años y Carlos b cantidad de año. el
problema nos dice que a =
b + 4 y ab = 60, nos es posible sustituir y despejar. Otra forma de
resolverlo es pensar en dos números que multiplicados den 60. Estos son: 60 × 1, 30 × 2, 20 ×
3, 15 × 4, 12 × 5 y 10 × 6
. De estos la única pareja cuya diferencia es 4 es 10 × 6, por lo que
Carlos tiene 6 años.
Solución A5. Si P y J representan la cantidad de dulces que tienen Pedro y Juan,
respectivamente, la primera afirmación nos dice que
P=
2J.
Mientras que la segunda afirmación nos dice que:
J + 1 = P − 1
.
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos que P = 4, J =
2, de donde el total de
dulces es 6.
Solución A6. La respuesta es (c). Multiplicando por a la igualdad a2 = a + 2, obtenemos a3 = a2
+ 2a. Pero como a2 = a + 2, resulta que a3 = (a +
2) + 2a = 3a + 2.
̸ 0, el valor de la expresión c · ab −d
Solución A7. La respuesta es (d). Si d
=
se puede
incrementar intercambiando 0 con el valor de d. Por lo tanto, el valor máximo debe ocurrir
cuando d =
0. Luego,
1. si a = 1, entonces c · ab −
d=
c =
2 ó 3,
2. si b = 1, entonces c · ab −
d=
c · a = 6,
4
3. si c = 1, entonces c · a − d =
a que es igual a 23 = 8 ó 32 = 9.
b
b
Por lo tanto, el valor mayor posible para c · ab −
d es 9 con a =
3, b =
2, c = 1 y d = 0.
Solución A8. La respuesta es (a).
Observemos que
3216· 12525 = (25)16· (53)25 = 280· 5
75
= 25· 1
075 = 32 × 1075.
Luego, la suma de los dígitos del número 3216· 12525 = 32 × 1075 es 3 + 2 = 5.
Solución A9. La respuesta es (a).
Empezamos con un 2 y digitamos ABAB o
bteniendo: 1 2, 1, 1
, 2
, respectivamente. Es decir, en
cada secuencia ABAB volvemos a obtener al número 2. Como 498 = 249×2
, entonces después
de teclear 249 veces la secuencia ABAB obtendremos un 2, de ahí sólo nos resta teclear AB
para obtener 1.
Solución A10. La respuesta es (e).
x
Denotemos por x1, x2, . . . x6 , x7 a
x6
los siete números. Tenemos que, 1+x2 +···+
x1 +
x
+
·
·
·
+
x
=
24.
Luego,
2
6
7= 5,
x1 +
+
x6 +
24 + x7 =
x2
· · · +
x7
35,
7= 5,
de donde x7 = 11.
Solución A11. La respuesta es (b).
6=
4, de donde
24 + x7
Al sumar 20 números mayores que 20 el resultado es mayor que 400, por lo que los 20
números no pueden ser mayores que 20. Veamos que es posible tener 19 números mayores
que 20. Para esto elegimos 19 números iguales a 21 y el número restante igual a −199. Luego,
la suma de los 20 números es 19(21) + (−199) = 399 − 1
99 = 200. Por lo tanto, la mayor
cantidad de números que pueden ser mayores que 20 es igual a 19.
Solución A12. Mientras que el perro da 3 saltos, el conejo da 8, pero los 3 saltos del perro
equivalen a 9 saltos del conejo, luego cada vez que el perro da tres saltos, le descuenta un
salto al conejo. Por consiguiente, para descontar la ventaja de 50 saltos que le lleva el conejo,
el perro tendrá que dar 3 × 5
0 = 150 saltos, mientras el conejo da 9 × 50 = 450.
Solución A13. La respuesta es (b).
Sea m u
no de los enteros buscados, luego m > 1
y,
m
m
3+ 15 > 2+ 1,
m
4,
6< 1
m < 84.
Entonces m e
s un entero tal que 1 < m < 84, es decir, m ∈ {2, 3
, . . . , 8
3}. Por lo tanto, m
puede tomar 82 valores en total.
Solución A14. Veamos por qué Pedro no puede cumplir la orden de Juan. Como es necesario
trasquilar al menos una oveja por día, en 15 días se trasquilarían al menos 15 ovejas y
quedarían
5
otras 15 que también es necesario trasquilar. Si en un día cualquiera se trasquilan x o
vejas en
vez de una, siendo x u
n número impar, el número total de ovejas trasquiladas aumenta en un
número par. Como no se puede llegar a 15 sumando números pares, no se pueden trasquilar
las 15 ovejas restantes aumentando un número par de ovejas por día.
Solución A15. La respuesta es (b). El dial de un reloj está dividido en 60 marcas
correspondientes a los 60 minutos de 1 hora. El arco de círculo entre dos de estas marcas
consecutivas equivale a un ángulo de 360
◦
◦. Para facilitar la explicación, supondremos que, para las marcas correspon
dientes a los
60 =
6
minutos múltiplos de 5, la carátula de nuestro reloj tiene la numeración tradicional, del I al XII.
Es fácil ver que cuando el reloj marca las 4:30 (posición inicial), las manecillas están formando
un ángulo de 45◦, ya que la manecilla de los minutos se encuentra exactamente en la marca VI
y la manecilla de las horas está exactamente a la mitad entre las marcas IV y V. Nótese que
entre las marcas V y VI hay un ángulo de 30◦ y que el ángulo entre la manecilla de las horas y la
marca V es de 15◦.
A partir de ese momento y hasta las 4:36, la manecilla de los minutos avanzará un ángulo de
6×6◦ = 36◦. Por otro lado, la manecilla de las horas avanza más lento con un ritmo de 5×6◦ = 30◦
1 ) ◦ ◦
en 60 minutos, por lo que en 6 minutos avanzará sólo ( 10 30 = 3 . De esta manera, mientras la
manecilla de los minutos avanza 36◦ de la posición inicial, la de las horas avanza 3◦, por lo que
en 6 minutos la separación efectiva entre ambas es de 36◦ − 3
◦ = 33◦. De lo anterior se concluye
que a las 4:36 el ángulo que separa a las manecillas es de 45◦ +
33◦ = 78◦.
Solución A16. La respuesta es (c).
La descomposición en primos de 396 es 396 = 22 × 3
2 × 1
1. Como la suma de las edades es 23,
los tres hermanos tienen menos de 23 años, así que uno de ellos tiene que tener 11 años. Las
otras dos edades tienen que ser números menores que 23 − 11 = 12, así que pueden ser 4 y 9,
o 6 y 6. En ambos casos, la edad de Juan sería 11 años.
Finalmente, observemos que las hermanas de Juan tienen 6 años cada una, ya que si tomamos
la suma de las dos posibilidades tenemos que
11 + 4 + 9 = 24 11 + 6 + 6 = 23.
Solución A17. La respuesta es (d).
Si multiplicamos las dos ecuaciones obtenemos,
Å
1
(x + y + z)
1 1 ã
x+
y+ z = 26(31),
x x y
y z z
1 + y+
z+ x+
1 + z+
x+
y+
1 = 806,
z
y
de donde x y +yz +zx +xz +
= 803.
y + x =
806 − 3
Solución A18. La respuesta es (d).
Sumando las tres ecuaciones obtenemos 2ab + 2bc +
2ca = 484. Luego,
ab = 242 − c( a +
b) = 242 − 1
70 = 72,
bc =
242 −
a( b +
c) = 242 − 1
52 = 90,
ca =
242 −
b( a +
c) = 242 − 1
62 = 80.
Por lo tanto, (abc) 2 = (ab)(bc) (ca) = 72(90)(80) de donde abc = 720.
6
Solución A19. Tenemos que los dígitos de las unidades de los primeros sumandos son: 2, 6, 2,
0, 0, 2, 6, 2, 0, 0, 2,….
Observemos que cada 5 sumandos los dígitos de las unidades se repiten y el último dígito de su
suma es 0. Como 2005 es múltiplo de 5, tenemos que el dígito de las unidades de la suma
hasta 20052 + 2005 es 0. Luego, si aumentamos los 4 sumandos que faltan tendremos que el
dígito de las unidades de la suma es 0.
Solución A20. La respuesta es (a). Como el dinero de Paty se incrementaría si se
intercambiaran sus monedas de 5 centavos por las de 10 centavos, ella debe tener más
monedas de 5 centavos que de 10 centavos. Al intercambiar una moneda de 5 centavos por
una de 10 centavos, su dinero se aumenta en 5 centavos, de modo que ella tiene 70
5=
14
1
monedas más de 5 centavos que de 10 centavos. Por lo tanto, Paty tiene 2(20 − 14) = 3
monedas de 10 centavos y 20 − 3
= 17 monedas de 5 centavos, es decir, en total tiene 3(10) +
17(5) = 115 centavos ó $1.1
5.
Solución A21. La respuesta es (d).
Como a ≥ 0
y b ≥ 0
, tenemos que 0 ≤ a3 + a < b − b3 de donde b3 < b. Observemos también que
b =
̸ 0, ya que si b = 0 tendríamos que 0 ≤ a3 + a < 0 lo cual es un absurdo. Por lo tanto, la
desigualdad b3 < b e
s equivalente a la desigualdad b2 < 1, que a su vez es equivalente a la
desigualdad b < 1. Por otro lado, tenemos que a ≤ a3 + a < b − b3 < b de donde a < b y por lo
tanto a < b < 1
.
Solución A22. La respuesta es (c).
Tenemos que
1
1
x − x=
y − y
1 1
x − y = x− y
x − y =y
−x
xy.
Como x ̸= y, tenemos que x − y ̸= 0 y podemos cancelar el término x − y e
n la última igualdad,
1
obteniendo 1 = − xyde
donde se sigue que xy =
−1.
Solución A23. La respuesta es (d).
Dado que el 99 % de 200 es 198, tenemos que en el recipiente hay 198 dulces rojos y 2 de
otro(s) color(es). Si quitamos 100 dulces rojos, en total nos quedaríamos con 100 dulces, de
estos 98 serían dulces rojos y 2 de otro color. Por lo tanto, el número de dulces rojos (98) sería
el 98 % del total (100).
Solución A24. La respuesta es (d). Como G, H, I, J s on impares consecutivos, un solo dígito
entre A > B > C e
s impar y es igual a 1 ó 9. Como A + B +
C =
9, tenemos que uno es igual a 1
y la suma de los otros dos es 8. Por otro lado, tenemos que D, E, F son iguales a 0, 2
, 4; 2, 4, 6
ó 4, 6
, 8, respectivamente. En cada caso los dos dígitos pares entre A, B, C s on los dos dígitos
restantes, como su suma es 8 la única posibilidad es A = 8, B =
1 y C = 0.
Solución A25. La respuesta es (e). Denotemos por ab a
l número de dos dígitos que satisface
las condiciones del problema, es decir,
10a +
b
+
(a + b)2 = 10b +
a,
(a +
b) 2 = 9(b − a).
7
Como a e
s distinto de cero, (b−a) < 9 y tenemos que (a+
b)2 = 9(b−a) < 81. Los únicos
cuadrados perfectos múltiplos de 9 que son menores a 81 son: 9 = 32 y 36 = 62. Veamos cada
caso:
1. si (a +
b) = 3 entonces b − a =
1, tenemos que a = 1, b =
2 y 10a + b = 12; 2. si (a +
b) = 6 entonces b − a =
4, tenemos que a =
1, b
= 5 y 10a +
b = 15. Por lo tanto, los
únicos números que cumplen la condición son 12 y 15 y su suma es 27.
8
