geometria descriptiva

.
f
v
P
v
GEOMETRÍA
EOMETRÍAA
h
DESCRIPTIVA
B
ESCRIPTIVA
v
r =t
v
v
v
v
A
r
r
P
h
h
B
M
α
g
B
d
h
M
h
P
h
h
t
h
f
h
h
A
Ing. Alberto M. Pérez G.
Ing. Alberto M. Pérez G.
GEOMETRÍA
EOMETRÍA
DESCRIPTIVA
ESCRIPTIVA
Universidad de los Andes
Núcleo Universitario “Rafael Rangel”
Departamento de Ingeniería
Trujillo-Venezuela
Trabajo presentado con fines
de ascenso a la categoría de
Asistente en el escalafón
de la Universidad de los Andes
Trujillo; 1.997
Ing. Alberto M. Pérez G.
Geometría Descriptiva
TABLA DE CONTENIDO
Ing. Alberto M. Pérez G.
TABLA DE CONTENIDO.
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................................................................... xi
JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................................................................................................... xii
OBJETIVOS....................................................................................................................................................................................................... xiii
METODOLOGÍA .............................................................................................................................................................................................. xiv
capítulo 1.
marco teórico.
......................................................................................................................................................................... 1
conceptos básicos. ...................................................................................................................................................................... 2
PUNTO.......................................................................................................................................................................................... 2
LÍNEA............................................................................................................................................................................................ 2
RECTA.......................................................................................................................................................................................... 2
ÁNGULO....................................................................................................................................................................................... 2
POLIGONAL ................................................................................................................................................................................. 3
POLÍGONO ................................................................................................................................................................................... 3
CURVA.......................................................................................................................................................................................... 4
CÍRCULO...................................................................................................................................................................................... 5
SUPERFICIE................................................................................................................................................................................. 5
SÓLIDO ........................................................................................................................................................................................ 7
TRAZADO. ......................................................................................................................................................................................8
EL JUEGO DE ESCUADRAS ...................................................................................................................................................... 9
TRAZADO DE RECTAS CON LAS ESCUADRAS....................................................................................................................... 9
TRAZADO DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA....................................................................................... 9
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES ............................................................................................................ 10
TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES...............................................................................................................................10
MÉTODOS GENERALES DE TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES .............................................................................. 12
ESCALA.........................................................................................................................................................................................13
ESCALÍMETRO .......................................................................................................................................................................... 13
capítulo 2.
sistemas de proyección. ................................................................................................................................................ 14
sistemas de proyección. .......................................................................................................................................................... 15
a) PROYECCIÓN CILÍNDRICA .................................................................................................................................................. 15
1) PROYECCIÓN ORTOGONAL ......................................................................................................................................... 15
i) Proyección en vistas múltiples .................................................................................................................................... 15
ii) Proyección Acotada ................................................................................................................................................... 16
iii) Proyección Axonométrica ......................................................................................................................................... 16
A) Proyección Isométrica ......................................................................................................................................... 16
B) Proyección Dimétrica .......................................................................................................................................... 16
C) Proyección Trimétrica ......................................................................................................................................... 17
iii
Geometría Descriptiva
TABLA DE CONTENIDO
Ing. Alberto M. Pérez G.
2) PROYECCIÓN OBLICUA ................................................................................................................................................17
i) Proyección Caballera ..................................................................................................................................................18
ii) Proyección de Gabinete .............................................................................................................................................18
iii) Proyección Oblicua Aérea .........................................................................................................................................18
b) PROYECCIÓN CÓNICA.........................................................................................................................................................18
1) Perspectiva de un punto de fuga ......................................................................................................................................18
2) Perspectiva de dos puntos de fuga ..................................................................................................................................18
3) Perspectiva de tres puntos de fuga ..................................................................................................................................18
capítulo 3.
Proyección DIÉDRICA.
..................................................................................................................................................21
Proyección DE PUNTOS. ........................................................................................................................................................22
DOBLE PROYECCIÓN ORTOGONAL ......................................................................................................................................22
PLANO LATERAL DE PROYECCIÓN .......................................................................................................................................22
DIEDROS ....................................................................................................................................................................................22
DIBUJO EN PROYECCIÓN DIÉDRICA .....................................................................................................................................22
COORDENADAS DE UN PUNTO ..............................................................................................................................................22
POSICIONES PARTICULARES DE UN PUNTO .......................................................................................................................23
a) Punto en un cuadrante .....................................................................................................................................................23
b) Punto en un plano principal de proyección.......................................................................................................................23
c) Punto en el plano lateral ...................................................................................................................................................23
d) Punto en el origen ............................................................................................................................................................24
e) Punto en un eje de coordenadas......................................................................................................................................24
PROYECCIÓN LATERAL DE UN PUNTO .................................................................................................................................24
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN PROYECCIÓN LATERAL ............................................................................................25
OBTENCIÓN DE LA PROYECCIÓN LATERAL DE UN PUNTO A PARTIR DE SU PROYECCIÓN DIÉDRICA......................25
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PUNTOS ..........................................................................................................................26
Proyección DE RECTAS. ........................................................................................................................................................27
PUNTO CONTENIDO EN UNA RECTA .....................................................................................................................................27
TRAZAS DE UNA RECTA ..........................................................................................................................................................27
DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UNA RECTA.............................................................................................................27
VISIBILIDAD ...............................................................................................................................................................................27
CUADRANTES QUE ATRAVIESA UNA RECTA .......................................................................................................................27
DETERMINACIÓN DE LOS CUADRANTES QUE ATRAVIESA UNA RECTA..........................................................................28
DIFERENCIA DE COTA ENTRE DOS PUNTOS / TRIÁNGULO DE REBATIMIENTO HORIZONTAL.....................................28
DIFERENCIA DE VUELO ENTRE DOS PUNTOS / TRIÁNGULO DE REBATIMIENTO VERTICAL........................................28
ARCOCAPAZ..............................................................................................................................................................................29
MEDICIÓN DE DISTANCIAS EN RECTAS ................................................................................................................................29
RECTAS EN POSICIONES PARTICULARES ...........................................................................................................................30
a) Recta horizontal................................................................................................................................................................30
1) Recta contenida en el plano horizontal de proyección...............................................................................................30
b) Recta frontal .....................................................................................................................................................................30
iv
Geometría Descriptiva
TABLA DE CONTENIDO
Ing. Alberto M. Pérez G.
1) Recta contenida en el plano vertical de proyección................................................................................................... 30
c) Recta paralela a la línea de tierra..................................................................................................................................... 30
1) Recta contenida la línea de tierra .............................................................................................................................. 30
d) Recta vertical.................................................................................................................................................................... 31
e) Recta de punta ................................................................................................................................................................. 31
f) Recta de perfil ................................................................................................................................................................... 31
CONSTRUCCIÓN DE RECTAS ................................................................................................................................................. 31
o
a) Conocida la proyección vertical y el ángulo (β )............................................................................................................... 31
o
b) Conocida la proyección horizontal y el ángulo (α ) .......................................................................................................... 31
o
c) Conocida la proyección vertical y el ángulo (α )............................................................................................................... 32
o
d) Conocida la proyección horizontal y el ángulo (β ) .......................................................................................................... 32
e) Conocida la proyección horizontal y el verdadero tamaño............................................................................................... 32
f) Conocida la proyección vertical y el verdadero tamaño.................................................................................................... 33
o
o
g) Conocido el verdadero tamaño y los ángulos (α ) y (β ) .................................................................................................. 33
Proyección DE planos. ............................................................................................................................................................. 35
TEOREMAS DE PLANOS .......................................................................................................................................................... 36
RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO ................................................................................................................................. 36
PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO................................................................................................................................. 37
TRAZAS DE UN PLANO ............................................................................................................................................................ 37
DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UN PLANO ............................................................................................................... 38
RECTAS CARACTERÍSTICAS DE UN PLANO......................................................................................................................... 38
a) Rectas características frontales ....................................................................................................................................... 38
b) Rectas características horizontales.................................................................................................................................. 38
PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR RECTAS CARACTERÍSTICAS ................................................... 39
PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR TRAZAS ...................................................................................... 39
NOTACIÓN CONVENIDA DE PLANOS DEFINIDOS POR TRAZAS ........................................................................................ 39
PLANOS EN POSICIONES PARTICULARES ........................................................................................................................... 39
a) Plano frontal ..................................................................................................................................................................... 40
b) Plano horizontal................................................................................................................................................................ 40
c) Plano vertical .................................................................................................................................................................... 40
d) Plano de punta ................................................................................................................................................................. 40
e) Plano de perfil................................................................................................................................................................... 40
f) Plano paralelo a la línea de tierra...................................................................................................................................... 40
g) Plano que pasa por la línea de tierra ............................................................................................................................... 40
1) Plano primer bisector ................................................................................................................................................. 40
2) Plano segundo bisector.............................................................................................................................................. 40
capítulo 4.
intersección; paralelismo; y perpendicularidad.
..........................................................................................41
intersección. ................................................................................................................................................................................. 42
INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.............................................................................................................................. 42
ANÁLISIS DE VISIBILIDAD EN LA INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN PLANO....................................................... 43
v
Geometría Descriptiva
TABLA DE CONTENIDO
Ing. Alberto M. Pérez G.
INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS ...................................................................................................................................44
ANÁLISIS DE VISIBILIDAD EN LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS .................................................................................45
INTERSECCIÓN DE TRES PLANOS.........................................................................................................................................46
PARALELISMO. ..........................................................................................................................................................................47
PARALELISMO ENTRE RECTAS..............................................................................................................................................47
PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO ...............................................................................................................................47
RECTA PARALELA A UN PLANO.............................................................................................................................................47
PLANO PARALELO A UNA RECTA ..........................................................................................................................................48
RECTA PARALELA A DOS PLANOS........................................................................................................................................48
PARALELISMO ENTRE PLANOS .............................................................................................................................................48
PERPENDICULARIDAD. ........................................................................................................................................................49
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS ................................................................................................................................49
RECTAS PERPENDICULARES Y RECTAS ORTOGONALES .................................................................................................50
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO..................................................................................................................50
PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA...............................................................................................................................50
RECTA PERPENDICULAR A OTRA RECTA.............................................................................................................................51
RECTAS DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO .................................................................................................................51
RECTAS DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO ..............................................................................................................51
PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS................................................................................................................................52
PLANO PERPENDICULAR A OTROS DOS ..............................................................................................................................52
capítulo 5.
PROBLEMAS MÉTRICOS. .........................................................................................................................................53
PROBLEMAS MÉTRICOS. ....................................................................................................................................................54
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ...........................................................................................................................................54
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO .........................................................................................................................54
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.......................................................................................................................54
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.............................................................................................................54
PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN ............................................................................................55
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CORTAN ................................................................................................................56
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.................................................................................................................56
ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO...........................................................................................................................56
ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS ...............................................................................................................................................57
capítulo 6.
LUGARES GEOMÉTRICOS.
....................................................................................................................................58
LUGARES GEOMÉTRICOS. .................................................................................................................................................59
PUNTO QUE EQUIDISTA DE DOS PUNTOS DADOS ..............................................................................................................59
PUNTO QUE EQUIDISTA DE DOS PUNTOS DADOS Y SE ENCUENTRA EN UNA RECTA DADA ......................................59
RECTA QUE SE CORTA CON DOS RECTAS DADAS Y PASA POR UN PUNTO DADO.......................................................59
RECTA QUE CONTIENE A UN PUNTO DADO Y FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO HORIZONTAL
DE PROYECCIÓN ..............60
RECTA QUE CONTIENE A UN PUNTO DADO Y FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO VERTICAL
vi
Geometría Descriptiva
TABLA DE CONTENIDO
Ing. Alberto M. Pérez G.
DE PROYECCIÓN .............. 60
PLANO QUE CONTIENE A UNA RECTA DADA Y FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO HORIZONTAL
DE PROYECCIÓN .............. 61
PLANO QUE CONTIENE A UNA RECTA DADA Y FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO VERTICAL
DE PROYECCIÓN .............. 62
RECTA CONTENIDA EN UN PLANO DADO Y QUE FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO HORIZONTAL
DE PROYECCIÓN .............. 62
RECTA CONTENIDA EN UN PLANO DADO Y QUE FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO VERTICAL
DE PROYECCIÓN .............. 63
capítulo 7.
MÉTODOS PARA OBTENER PROYECCIONES EN VERDADERO TAMAÑO. ............... 65
REBATIMIENTO DE PLANOS. ............................................................................................................................................ 66
GENERALIDADES DEL REBATIMIENTO DE PLANOS ........................................................................................................... 66
REBATIMIENTO DIRECTO Y REBATIMIENTO INVERSO ....................................................................................................... 66
REBATIMIENTO A TRAVÉS DE LA TRAZA HORIZONTAL DE UN PLANO ........................................................................... 67
REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS .................................................................................................................................... 68
REBATIMIENTO DE LA TRAZA VERTICAL DE UN PLANO.................................................................................................... 68
REBATIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLANO, POR MEDIO DEL REBATIMIENTO PREVIO DE LA TRAZA
VERTICAL DEL PLANO .............. 68
REBATIMIENTO A TRAVÉS DE LA TRAZA VERTICAL DE UN PLANO................................................................................. 69
REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS .................................................................................................................................... 69
REBATIMIENTO DE LA TRAZA HORIZONTAL DE UN PLANO .............................................................................................. 70
REBATIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLANO, POR MEDIO DEL REBATIMIENTO PREVIO DE LA TRAZA
HORIZONTAL DEL PLANO .............. 70
REBATIMIENTO A TRAVÉS DE UNA RECTA CARACTERÍSTICA HORIZONTAL DE UN PLANO ....................................... 71
REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS .................................................................................................................................... 71
REBATIMIENTO DE UNA RECTA CARACTERÍSTICA FRONTAL DE UN PLANO................................................................. 72
REBATIMIENTO A TRAVÉS DE UNA RECTA CARACTERÍSTICA FRONTAL DE UN PLANO.............................................. 72
REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS .................................................................................................................................... 73
REBATIMIENTO DE UNA RECTA CARACTERÍSTICA HORIZONTAL DE UN PLANO .......................................................... 74
ROTACIÓN. ................................................................................................................................................................................. 77
ROTACIÓN DE UN PUNTO ALREDEDOR DE UN EJE DE PUNTA......................................................................................... 77
ROTACIÓN DE VARIOS PUNTOS............................................................................................................................................. 77
ROTACIÓN DE UNA RECTA ..................................................................................................................................................... 77
ROTACIÓN DE UN PLANO A UNA POSICIÓN VERTICAL ...................................................................................................... 78
ROTACIÓN DE UN PLANO EN POSICIÓN VERTICAL HASTA UNA POSICIÓN FRONTAL.................................................. 79
ROTACIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA A UNA POSICIÓN FRONTAL .............................................................................. 79
ROTACIÓN DE UN PLANO A UNA POSICIÓN DE PUNTA...................................................................................................... 80
ROTACIÓN DE UN PLANO EN POSICIÓN DE PUNTA HASTA UNA POSICIÓN HORIZONTAL ........................................... 82
ROTACIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA A UNA POSICIÓN HORIZONTAL........................................................................ 83
CAMBIO DE PLANOS DE Proyección. .............................................................................................................................85
vii
Geometría Descriptiva
TABLA DE CONTENIDO
Ing. Alberto M. Pérez G.
CAMBIO DEL PLANO VERTICAL DE PROYECCÍON PARA OBSERVAR EN POSICIÓN DE PUNTA A UN PLANO
CUALQUIERA ..............85
CAMBIO DEL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCÍON PARA OBSERVAR EN POSICIÓN HORIZONTAL A UN
PLANO DE PUNTA ..............86
OBSERVACIÓN EN POSICIÓN HORIZONTAL DE UN PLANO CUALQUIERA POR MEDIO DE DOS CAMBIOS
DE PLANO DE PROYECCIÓN SUCESIVOS ..............87
CAMBIO DEL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCÍON PARA OBSERVAR EN POSICIÓN VERTICAL A UN
PLANO CUALQUIERA ..............88
CAMBIO DEL PLANO VERTICAL DE PROYECCÍON PARA OBSERVAR EN POSICIÓN FRONTAL A UN
PLANO QUE SE ENCUENTRA EN POSICIÓN VERTICAL ..............88
OBSERVACIÓN EN POSICIÓN FRONTAL DE UN PLANO CUALQUIERA POR MEDIO DE DOS CAMBIOS
DE PLANO DE PROYECCIÓN SUCESIVOS ..............89
capítulo 8.
POLIEDROS. .........................................................................................................................................................................91
POLIEDROS. ...............................................................................................................................................................................92
DETERMINACIÓN DE LA VISIBILIDAD EN LAS PROYECCIONES DE POLIEDROS ............................................................92
TETRAEDRO REGULAR........................................................................................................................................................94
CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO REGULAR CONOCIDO UN VÉRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE
AL EJE ..............95
CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO REGULAR CONOCIDO UN VÉRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE
A UNA ARISTA ..............96
CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO REGULAR CONOCIDO EL PLANO QUE CONTIENE A UNA CARA Y EL
VÉRTICE NO CONTENIDO EN ESE PLANO ..............97
CUBO..............................................................................................................................................................................................99
CONSTRUCCIÓN DE UN CUBO CONOCIDO UN VÉRTICE Y EL EJE .................................................................................100
CONSTRUCCIÓN DE UN CUBO CONOCIDO UN VÉRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA DIAGONAL
MAYOR ............101
PIRÁMIDE REGULAR RECTA. ..........................................................................................................................................103
CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE REGULAR RECTA CONOCIDA LA ALTURA; EL EJE; Y UN VÉRTICE
DE LA BASE ............103
CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE REGULAR RECTA CONOCIDO EL PLANO DE LA BASE; UNA RECTA
QUE CONTIENE A UNA ARISTA PRINCIPAL; Y LA LONGITUD DE LAS ARISTAS DE LA BASE ............104
CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE REGULAR RECTA CONOCIDO EL VÉRTICE PRINCIPAL; Y EL PLANO
BASE CON UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA DE LAS ARISTAS DE LA BASE ............106
PRISMA REGULAR RECTO. ..............................................................................................................................................107
CONSTRUCCIÓN DE UN PRISMA REGULAR RECTO CONOCIDO UN PLANO BASE CON UNO DE LOS
VÉRTICES DE LA MISMA; Y EL CENTRO DE LA OTRA BASE ............107
CONSTRUCCIÓN DE UN PRISMA REGULAR RECTO CONOCIDO EL EJE; LA ALTURA; Y UN VÉRTICE ..........108
CONSTRUCCIÓN DE UN PRISMA REGULAR RECTO CONOCIDA LA ALTURA; UN VÉRTICE; Y UNA
RECTA QUE CONTIENE A UNA ARISTA PRINCIPAL ............109
viii
Geometría Descriptiva
TABLA DE CONTENIDO
Ing. Alberto M. Pérez G.
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................................................................................. 111
ix
Geometría Descriptiva
INTRODUCCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
no está muy claro que haya hecho dibujos en los que
aparecieran vistas ortográficas, aunque es muy probable
que los hubiera hecho. El tratado de Leonardo da Vinci
sobre pintura, publicado en 1.651, se considera como el
primer libro impreso sobre la teoría de dibujo de
proyecciones; pero esta enfocado a la perspectiva, no a la
proyección ortográfica.
introducción.
Aunque los hombres no han podido ponerse de acuerdo
para llegar a un lenguaje mundial de palabras y frases, ha
existido un lenguaje realmente universal desde los tiempos
mas remotos: el lenguaje gráfico. La idea de comunicar los
pensamientos de una persona a otra por medio de figuras
existió desde la antiguedad. Los hombres primitivos
registraban sus ideas por medio de figuras hechas sobre
pieles, piedras, paredes de cavernas, etc. Las formas mas
antiguas de escritura se realizaron con figuras, como lo
prueban los jeroglíficos egipcios. Mas adelante, estas figuras
fueron simplificadas, y transformadas en los símbolos
abstractos que dieron origen a la escritura actual, la cual
tiene por lo tanto su fundamento en el dibujo.
En cuanto a la Geometría (parte de la matemática que se
ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entre
puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos), tuvo su origen
en Egipto hacia el año 1.700 a. C., y su desarrollo se debió a
la necesidad práctica de la medición de terrenos. Hacia el
año 600 a. C. Tales de Mileto la introdujo en Grecia y fundó
la escuela jónica. Su discípulo Pitágoras fundó la escuela
pitagórica que dio gran avance a la geometría
demostrando, entre otros su famoso teorema para los
triángulos rectángulos (a2 + b2 = h2). Otros personajes
destacados en este campo fueron: Zenón, Hippias, Platón,
Hipócrates, Eudoxio, Arquímides, etc.
En la figura siguiente se muestra un ejemplo de como a
partir de los jeroglíficos egipcios: Aleph (buey) y Nahas
(serpiente) pueden haber evolucionado los caracteres
latinos (A y N) respectivamente.
En el siglo tres a. C. Euclides en su obra Elementos culmina
una prolongada evolución de las ideas y establece de
forma sistemática los fundamentos de la geometría
elemental. Durante la edad media se observó poco avance
en el campo de la geometría, contrariamente al desarrollo
extraordinario que se observó en la edad moderna, en la
cual Desargues estableció los fundamentos de la Geometría
Proyectiva y Monge los de la Geometría Descriptiva, la cual es
la gramática del lenguaje gráfico.
Aleph
(buey)
Nahas
(serpiente)
La representación gráfica se desarrolló básicamente en dos
direcciones distintas: a) la artística y b) la técnica.
Con respecto a la Geometría Descriptiva, sus comienzos están
asociados en los problemas que se encontraron en el diseño
de edificios y fortificaciones militares en Francia en el siglo
dieciocho. Se considera a Gaspar Monge (1.746 - 1.818), ya
citado, como el "inventor" de la geometría descriptiva,
aunque precedieron a sus esfuerzos varias publicaciones
sobre Estereotomía (arte y técnica de tallar la madera o
piedra con fines constructivos), arquitectura, y perspectiva
donde ya se aplicaban muchos de los conceptos de la
geometría descriptiva. Fue a finales del siglo dieciocho
cuando Monge, siendo profesor de la Escuela Tecnológica
de Francia, desarrolló los principios de la proyección que
constituyen la base del dibujo técnico de hoy en día. Pronto
se reconoció que estos principios de la geometría
descriptiva tenían tan gran importancia militar que se obligó
a Monge a mantenerlos en secreto hasta 1.795, año a partir
del cual se convirtieron en parte importante de la
educación técnica en Francia y Alemania; y posteriormente
en los Estados Unidos. Su libro La Géométrie Descriptive, se
considera aun como el primer texto para exponer los
principios básicos del dibujo de proyectistas.
En la antiguedad prácticamente todo el mundo era iletrado,
no existía la imprenta, por lo tanto no había periódicos ni
libros, y los pocos que había eran manuscritos realizados en
papiro o pergamino y no eran asequibles al público. En
general la gente aprendía escuchando, mirando esculturas,
dibujos, cuadros, expuestos en lugares públicos. El artista no
era simplemente un artista, era también un maestro, un
filósofo, un medio de expresión y comunicación.
En cuanto a la representación técnica, se desarrolló desde
los comienzos de la historia registrada ante la necesidad de
representar los objetos diseñados para su posterior
construcción o fabricación.
De las ruinas de antiguos edificios, acueductos, puentes, y
otras estructuras de buena construcción se deduce que no
pudieron haberse levantado sin la previa elaboración de
dibujos cuidadosamente preparados que sirvieran de guía a
sus constructores.
El dibujo técnico mas antiguo que se conoce es un grabado
realizado sobre una loseta de piedra que representa el
diseño en planta de una fortaleza, realizado alrededor del
año 4.000 a.C. por el Ingeniero caldeo Gudea.
Los principios de Monge llegaron a los Estados Unidos en
1.816, procedentes de Francia, y los trajo el Sr. Claude
Crozet, profesor de la Academia Militar de West Point. El
profesor Crozet publico en 1.821 el primer texto en inglés
sobre geometría descriptiva. En los años siguientes se
convirtieron estos principios en parte regular del plan de
estudios de los primeros años de ingeniería en el Instituto
Politécnico Rensselaer, en la Universidad de Harvard, en la
Universidad de Yale, y en otras, convirtiéndose de esta forma
hoy en día la geometría descriptiva en materia de estudio
en los primeros años de las carreras de Ingeniería y
Arquitectura en la gran mayoría de las universidades del
mundo.
En el año 30 a. C., el Arquitecto romano Vitruvius escribió un
tratado sobre Arquitectura.
Se atribuye a los Arquitectos italianos Alberti, Brunelleschi y
otros el desarrollo, a principios de siglo quince, de la teoría
de las proyecciones de objetos sobre planos imaginarios de
proyección (proyección en vistas).
Y aunque Leonardo da Vinci usaba dibujos para transmitir a
los demás sus ideas y diseños de construcciones mecánicas,
xi
Geometría Descriptiva
JUSTIFICACIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
JUSTIFICACIÓN.
Es muy común que el estudiante de Ingeniería, Arquitectura,
ú otras carreras afines, inicie sus estudios con la impresión de
que el trabajo en la mesa de dibujo será una actividad de
importancia secundaria en su vida profesional, y por lo tanto
carece de sentido dedicar tiempo y esfuerzo en adquirir el
dominio de una actividad tan rutinaria como la elaboración
de dibujos, propia netamente de los dibujantes. Esta forma
de pensar es completamente errónea, pues es el dominio
de la expresión gráfica de sus ideas lo que lo hará mas y
mejor profesional. Y lejos de concebirla como una actividad
sin importancia debe asimilarla como lo que realmente es:
la base ó piedra de fundamento sobre la que edificará toda
su vida profesional. Es precisamente en este inicio de sus
estudios, el momento en el cual el futuro profesional debe
tomar una decisión que afectará toda su vida, pues debe
elegir, paradójicamente hablando, si fundará su edificio
sobre roca ó arena.
responsabilidad neta del proyectista y lo que determinará
que el aspecto final del proyecto sea o nó el que él ha
concebido inicialmente. Es por esta razón necesario que el
proyectista domine las técnicas de dibujo y expresión
gráfica, pues deben hacerse muchos esquemas antes de
concebir una idea definitiva, y estos no los va a realizar el
dibujante, pues el no es quien esta desarrollando la idea. Si
bien es cierto que al momento de realizar un proyecto se
elaboran muchos esquemas a mano alzada, también es
frecuente, en esta fase de diseño, la realización de dibujos
técnicos aunque no definitivos para fijar detalles
constructivos que sería imposible definir en un esquema
impreciso, y estos en la mayoría de los casos tampoco los
realiza el dibujante. Por esta razón, el Ingeniero ó Arquitecto
debe dominar el dibujo a mano alzada y el Dibujo Técnico y
estar consciente que el aspecto expresivo de un dibujo es
algo muy personal que el debe desarrollar y transmitir a sus
dibujantes, para que sus dibujos expresen lo que el quiere
decir y en la forma en que él lo quiere decir. Quizás pues un
profesional de la Ingeniería ó Arquitectura que no domine el
dibujo y sus técnicas es comparable a un ser que carezca
de habla; y en base a esta misma comparación puede
decirse que un Ingeniero o Arquitecto que dibuje mal es
equivalente a un ser que hable mal, y ambos correrán el
riesgo de que sus ideas sean rechazadas, aún siendo
grandes ideas, por no haber sido expuestas en forma clara y
precisa, causando de esta forma la incomprensión de las
mismas. Es aquí donde tiene gran vigencia el adagio
popular que dice: No importa sólo lo que se dice; sino
también como se dice.
El profesional de la Ingeniería, Arquitectura, o cualquier otra
carrera afín, debe ser capaz de expresar gráficamente y
con toda claridad sus ideas. Todo proyecto consta de:
cálculos de esfuerzos, análisis de movimientos, diseño y
dimensionamiento de partes, especificación de materiales,
proceso de ensamblaje y/o construcción, entre otros
aspectos, estas características no se expresan con palabras,
aunque son utilizadas en un breve porcentaje, deben
elaborarse planos que sirvan de guía para la construcción
de todo proyecto, y la expresividad de estos planos
es
xii
Geometría Descriptiva
OBJETIVOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
OBJETIVOS.
Otra de las dificultades con que se encuentra el estudiante
de Geometría Descriptiva es el grado de sintetización que se
alcanza al representar objetos tridimensionales mediante
esquemas bidimensionales. Esto también ha sido
descuidado o cubierto de manera insatisfactoria en una
gran cantidad de textos de Geometría Descriptiva, por lo
tanto en la elaboración de la presente obra han sido
incluidas una gran variedad de ilustraciones tridimensionales
realizadas en perspectivas diversas, y presentadas
paralelamente junto a su correspondiente representación en
Doble Proyección Ortogonal.
La Geometría Descriptiva es de las materias que se
aprenden "haciendo" y no solo "viendo". Y es quizás este
aspecto lo que dificulta su aprendizaje, siendo necesario por
parte del estudiante la realización constante de ejercicios
prácticos que le permitan consolidar los conocimientos
teóricos previamente expuestos. Este aspecto de la
Geometría Descriptiva, aunque es considerado en la
enseñanza en aula de la misma, ha sido descuidado en la
elaboración de la mayoría de los textos. Siendo por esta
razón uno de los objetivos de la presente obra subsanar esta
carencia, colocando al alcance de los estudiantes de
Geometría Descriptiva, así como de los profesionales de la
Ingeniería y/o Arquitectura que así lo requieran, un texto
teórico en el cual puedan revisar los conceptos
fundamentales de la misma.
Se pretende asimismo que la presente obra sirva como
material de apoyo y consulta para los estudiantes de
Geometría Descriptiva, quienes durante el transcurso de su
asistencia diaria a clases se encuentran con la dificultad de
la toma de apuntes, en algunos casos de difícil elaboración,
y que por lo tanto son copiados en forma imprecisa en sus
cuadernos, trayendo posteriormente resultados desastrosos
en el momento de pretender consolidar los conocimientos
adquiridos.
El contenido de la presente obra esta basado en el
programa vigente de la materia Sistemas de Representación
10 dictado en la Universidad de Los Andes.
xiii
Geometría Descriptiva
METODOLOGÍA
Ing. Alberto M. Pérez G.
METODOLOGÍA.
1) Se expone, mediante un breve comentario teórico, el
concepto que se quiere emitir. Este debe ser leído
por el estudiante, las veces que lo considere
necesario hasta lograr su comprensión.
Con la finalidad de alcanzar los objetivos propuestos, la
presente obra se desarrolla de la siguiente manera:
a) En su comienzo se presenta un marco teórico en el cual se
exponen los conceptos básicos de la Geometría
Elemental; tales como: punto; línea; recta; plano; etc.
Continuando esta sección se exponen, en forma
netamente práctica, los procedimientos de trazado con
las escuadras, y de dibujo de polígonos regulares de
hasta ocho lados por métodos particulares y generales.
Los conceptos expuestos en esta sección se supone que
son del conocimiento previo por parte del estudiante de
Geometría Descriptiva, por lo tanto son mostrados en
forma netamente gráfica, por medio de ilustraciones
sencillas y de fácil interpretación, no obstante si se
dificulta su comprensión deben estudiarse estos métodos
por medio de cualquier texto básico de Geometría.
2) Acompaña al concepto teórico en estudio un
gráfico en perspectiva que lo ilustra, el cual, al ser
observado paralelamente con la lectura, facilitará
grandemente la comprensión de la idea que se
quiere expresar.
3) Se incluye, en forma simultánea con el gráfico en
perspectiva, una segunda ilustración del mismo
concepto, pero elaborada en doble proyección
ortogonal. Esto se hace con la finalidad de capacitar
al estudiante en la resolución práctica de problemas
de Geometría Descriptiva. Estas dos ilustraciones
deben compararse minuciosamente para lograr la
comprensión total de las mismas.
Todos los conceptos teóricos aquí expuestos son de gran
importancia para la comprensión del resto de esta obra
y el estudiante no debe pasar esta sección si no
comprende y/o ejecuta sin dificultad los procedimientos
prácticos aquí mostrados, ya que son la base del trabajo
en Doble Proyección Ortogonal.
4) Seguidamente se desarrolla, a manera de ejemplo, y
netamente en Doble Proyección Ortogonal, un
ejercicio relacionado con el concepto recién
expuesto, explicando con detalle la elaboración del
mismo. Por medio de estos ejercicios el estudiante
podrá darse cuenta si ha adquirido la comprensión
de lo explicado y se encuentra en condiciones de
continuar el estudio de los siguientes conceptos.
b) Sigue a esta exposición de conceptos básicos una
introducción a los Sistemas de Proyección, presentando
una breve descripción de los mas comunes. Esto es con
la finalidad de que el estudiante conozca y diferencie
las distintas formas de representación de los objetos.
En general, esta obra debe ser estudiada inicialmente en el
orden expuesto y en la forma descrita, ya que cada uno de
los conceptos emitidos inicialmente tiene relación con los
que serán presentados posteriormente. No obstante, una vez
conocido todo el contenido de esta obra, el estudiante
podrá darse cuenta que logrará repasar fácilmente
cualquier tema en particular por medio de la simple
observación de los gráficos que lo acompañan, sin que sea
necesario leer nuevamente todo el contenido teórico
expuesto.
c) A continuación se describe detalladamente el sistema
de Doble Proyección Ortogonal, también denominado
sistema de Proyección Diédrica, el cual es el objeto
principal de esta obra. En adelante se definirán con
exactitud los métodos de representación de puntos,
rectas,
planos,
poliedros,
determinación
de
intersecciones, trazado de rectas y planos paralelos y
perpendiculares, procedimientos de observación de
elementos
geométricos
en
verdadero
tamaño,
visibilidad, etc.
Con respecto a la nomenclatura utilizada en la elaboración
de la presente obra, su significado se explica en el momento
en que es introducida por primera vez, por considerar que
este es el momento mas propicio para su comprensión.
A partir de esta sección, todos los conceptos son
expuestos de la siguiente manera:
Finalmente, el estudiante debe ejercitarse en la resolución
de problemas, resolviendo para ello los ejercicios que podrá
encontrar en cualquier problemario ó guía de ejercicios de
Geometría Descriptiva.
xiv
Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capítulo 1
define las reglas que rigen la elaboración de estas
proyecciones.
marco teórico.
Se logra definir gráficamente cualquier objeto, mediante la
sintetización del mismo a sus elementos geométricos mas
simples, como lo son: puntos; líneas; superficies; ángulos; etc.
Es por lo tanto necesario que el estudiante de Geometría
Descriptiva domine y exprese estos conceptos en forma
correcta, razón por la cual se inicia la presente obra con
este primer capítulo, en el cual se describen en forma simple
los conceptos geométricos básicos de mayor uso en el
estudio de la Geometría Descriptiva.
Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple
alfiler hasta la más compleja maquinaria, planta industrial,
obra civil, etc, son concebidos inicialmente en forma
mental, y antes de su fabricación deben ser descritos con
toda precisión para resolver con exactitud cualquier
problema relacionado con su forma, tamaño y
funcionalidad.
Es el estudio de la Geometría Descriptiva, lo que permite
definir correctamente la representación plana (proyección)
de los objetos tridimensionales antes ó después de su
existencia real.
Estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos
rodea, es describir la forma de: tornillos; resortes; engranajes;
relojes;
sillas;
mesas;
televisores;
carros;
casas;
urbanizaciones; carreteras; represas; planetas; galaxias; en
fin, todos los objetos físicos que nos rodean pueden ser
concebidos por el hombre mediante representaciones
planas de los mismos, y es la Geometría Descriptiva la que
Además, pensando en la ejercitación práctica del
estudiante en la resolución de problemas de Geometría
Descriptiva, se incluyen en este marco teórico las formas
elementales de: trazado; manejo de escuadras y compás; y
se incluye una breve descripción del concepto de escala.
Se supone que todo el contenido de este primer capítulo es
del conocimiento previo del estudiante de Geometría
Descriptiva, razón por la cual se presenta en forma concisa y
con carácter principalmente informativo.
Geometría Descriptiva
CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
CONCEPTOS BÁSICOS.
SEGÚN LA POSICIÓN RELATIVA EN QUE SE ENCUENTREN DOS RECTAS,
SE DEFINEN COMO:
PUNTO.
a) Rectas que se cortan. Si las rectas poseen un punto en
común. En este caso las rectas están contenidas en un
mismo plano\ fig.4a.
Es la representación de una posición fija del espacio. No es
un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.
En la fig.1, se muestran algunas formas de representar a un
punto.
b) Rectas paralelas. Si mantienen indefinidamente la
distancia entre ellas. En este caso las rectas están
contenidas en un mismo plano\ fig.4b.
c) Rectas que se cruzan. Son dos rectas que no se cortan ni
son paralelas. En este caso las rectas no están
contenidas en un mismo plano\ fig.4c.
A
A
A
a
b
a
a
b
b
P
Cortando líneas
Con un círculo
Con un cuadrado
a) Rectas que se cortan
b) Rectas paralelas
c) Rectas que se cruzan
fig.1.\ Representación de un Punto.
fig.4.\ Posición relativa entre rectas.
LÍNEA.
ÁNGULO.
Es una sucesión infinita de puntos. Una línea puede ser: a)
recta, b) poligonal (quebrada), ó c) curva\ fig.2.
Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de
origen común.
ÁNGULO,
SEGÚN
SU
MEDIDA
1
SEXAGESIMALES , SE DEFINE COMO:
UN
c) Curva
ANGULAR
EN
GRADOS
a) Cóncavo. Si mide entre 1800 y 3600\ fig.5a.
a) Recta
b) Poligonal (Quebrada)
b) Llano. Si mide 1800\ fig.5b.
c) Curva
c) Completo. Si mide 3600\ fig.5c.
fig.2.\ Líneas.
d) Convexo. Si miden menos de 1800. Se definen a su vez\
fig.5d:
RECTA.
1) Agudo. Si mide menos de 900.
Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida
por dos puntos, a los que une recorriendo su menor
distancia.
2) Recto. Si mide 900.
3) Obtuso. Si mide entre 900 y 1800.
ALGUNAS PARTES DE UNA RECTA SON:
DOS ÁNGULOS SE DEFINEN COMO:
a) Semirrecta. Cada una de las dos partes en que divide a
una recta, uno cualquiera de sus puntos\ fig.3a.
Ángulos consecutivos. Si se ubican uno a continuación del
otro. A su vez se denominan\ fig.5e:
b) Segmento. Porción de una recta comprendida entre dos
de sus puntos\ fig.3b.
a) Complementarios. Si la suma de sus medidas angulares
es igual a 900.
Las semirrectas son de longitud infinita, mientras que los
segmentos son de longitud finita.
b
a
A
b) Suplementarios. Si la suma de sus medidas angulares es
igual a 1800.
DOS RECTAS QUE SE CORTAN DEFINEN CUATRO ÁNGULOS, LOS
CUALES, TOMADOS EN PARES, SE DEFINEN COMO:
B
A
a) Semirrectas (a) y (b)
a) Opuestos. Si no poseen ninguna semirrecta común. En
este caso sus medidas angulares son iguales\ fig.5f.
A-B
b) Adyacentes. Si poseen una semirrecta común. En este
caso son ángulos suplementarios\ fig.5g.
b) Segmento (A-B)
fig.3.\ Partes de una Recta.
1
2
Un grado sexagesimal es la 90va. parte del ángulo recto.
Geometría Descriptiva
CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
a) Polígonos regulares. Polígonos en los cuales todos sus
lados son de igual longitud, y todos sus vértices están
circunscritos en una circunferencia. De acuerdo al
número de sus lados, los polígonos regulares se
denominan\ fig.7a:
SI DOS RECTAS PARALELAS SON CORTADAS POR UNA TERCERA RECTA,
SE FORMAN OCHO ÁNGULOS, LOS CUALES, CONSIDERADOS EN PARES
DE IGUAL MEDIDA ANGULAR, SE DEFINEN COMO:
a) Ángulos alternos. Los cuales se agrupan en\ fig.5h:
1) Ángulos alternos internos.
1) Triángulo equilátero. Polígono regular de tres lados.
2) Ángulos alternos externos.
2) Cuadrado. Polígono regular de cuatro lados.
b) Ángulos correspondientes,\ fig.5i.
α
α
a) Cóncavo
180o <α<3600
α
b) Llano
0
α=180
α
c) Completo
0
α=360
Agudo
0
α<90
α
α
Recto
0
α=90
α
0
β
Complementarios
α+β=900.
α
α
β
β
α
β
β
iii) Triángulo escaleno.
diferentes.
α
β
β
β
α
v) Triángulo
obtuso.
β
β
sus
tres
ángulos
son
obtusángulo.
Si
tienen
un
ángulo
vi) Triángulo acutángulo. Si sus tres ángulos son
agudos.
Alternos externos.
h) Ángulos alternos
Si
iv) Triángulo rectángulo. Si tienen un ángulo recto.
α
β
Triángulo equilátero. Si sus tres ángulos son
iguales.
ii) Triángulo isósceles. Si solo dos de sus ángulos son
iguales.
α
α
α
β
Alternos internos
i)
g) Ángulos adyacentes
α
α
α
α
f) Ángulos opuestos
α
1) Triángulo. Polígono de tres lados. Los triángulos se
denominan\ fig.7c:
Suplementarios
α+β=1800.
β
β
Obtuso
90o <α<1800
d) Convexo α<180
α
e) Ángulos consecutivos
b) Polígonos irregulares. Son polígonos en los cuales sus
lados no son de igual longitud, y/o sus vértices no están
contenidos en una circunferencia. Se clasifican a su vez,
según el número de sus lados en\ fig.7b:
α
β
β
β
3) Pentágono, hexágono, heptágono u octágono regular.
Polígono regular de cinco, seis, siete u ocho lados
respectivamente.
i) Ángulos correspondientes
2) Cuadrilátero. Polígono de cuatro
cuadriláteros se clasifican en\ fig.7d:
fig.5.\ Ángulos.
i)
POLIGONAL.
Línea formada por segmentos rectos consecutivos no
alineados. Una poligonal puede ser\ fig.6:
lados.
Los
Paralelogramo. Cuadrilátero en el que los lados
opuestos son paralelos. Se denominan a su vez:
A) Cuadrado. Paralelogramo en el cual los cuatro
ángulos son rectos y los cuatro lados son de
igual longitud.
a) Poligonal abierta. Si el primer y último segmentos no están
unidos\ fig.6a.
B) Rectángulo. Paralelogramo en el cual los
cuatro ángulos son rectos, pero los lados
adyacentes no son de igual longitud.
b) Poligonal cerrada. Si cada segmento esta unido a otros
dos\ fig.6b.
C) Rombo. Paralelogramo que no tiene ángulos
rectos, pero sus lados son de igual longitud.
D) Romboide. Paralelogramo que no tiene
ángulos rectos y sus lados adyacentes no son
de igual longitud.
ii) Trapecio. Cuadrilátero que tiene solo dos lados
paralelos. Se definen a su vez como:
a) Poligonal abierta
b) Poligonal cerrada
A) Trapecio rectángulo. Trapecio que tiene dos
ángulos rectos.
fig.6.\ Poligonal.
B) Trapecio isósceles. Trapecio en el que sus
lados no paralelos son de igual longitud.
POLÍGONO.
iii) Trapezoide. Cuadrilátero que no tiene lados
paralelos.
Figura geométrica plana limitada por una poligonal cerrada
que no se corta a sí misma. Los polígonos se clasifican en\
fig.7:
3
Geometría Descriptiva
CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
3) Pentágono, hexágono, heptágono, octágono. Polígono
de cinco, seis, siete u ocho lados respectivamente\
fig.7b.
1) Circunferencia. Cónica generada cuando el plano
(α) seccionante y el plano base del cono son
paralelos; (α0=00).
2) Elipse. Cónica generada cuando el ángulo (α0) es
menor que el ángulo (β0); (α0 < β0).
Triángulo
equilátero
Pentágono
regular
Cuadrado
Hexágono
regular
Heptágono
regular
3) Parábola. Cónica generada cuando los ángulos (α0) y
(β0) son iguales; (α0 = β0).
Octágono
regular
4) Hipérbola. Cónica generada cuando el ángulo (α0)
es mayor que el ángulo (β0); (α0 > β0).
a) Polígono regular
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Un ángulo
obtuso
Tres ángulos
agudos
El estudio de las cónicas es de gran importancia en los
campos de la Óptica, Astronomía, Física, Biología,
Informática, Ingeniería, entre otras, ya que son la
base del diseño y construcción de lentes, espejos, y
superficies: elípticas, circulares parabólicas e
hiperbólicas, los cuales son componentes esenciales
de: microscopios, telescopios,
radares, antenas
parabólicas, teodolitos, distanciómetros, etc, de gran
uso en estas ciencias.
b) Polígono irregular
Tres ángulos Dos ángulos Tres ángulos
iguales
iguales
diferentes
α
α
β
Triángulo
equilátero
b) Curvas Matemáticas, Físicas, Estadísticas, etc. Estas
curvas son generadas por ecuaciones propias de cada
una de estas ciencias, y su estudio es de gran utilidad en
la solución de problemas relacionados con las mismas.
En la fig.8b se muestra una curva trigonométrica.
γ
α α
α
Un ángulo
recto
β
Triángulo
isósceles
α
Triángulo
escaleno
Triángulo
rectángulo
Triángulo
obtusángulo
Triángulo
acutángulo
c) Triángulo. Polígono de tres lados
a
a
a
a
Cuadrado
a
b
a
α
β
a
a
β
α
a
a
α
β
β
α
b
a
b
Rectángulo
c) Espiral de Arquímides. Curva del plano, generada por un
punto (P) que se mueve con velocidad lineal constante
(v), a lo largo de una recta (a); mientras esta gira, con
velocidad angular uniforme (ϖ), alrededor de un punto
fijo contenido en ella\ fig.8c.
b
Rombo
d) Involuta ó Envolvente. Curva del plano, generada por un
punto fijo (P) de un hilo, mientras este se desenrolla a
partir
de
un
segmento,
polígono
regular
ó
circunferencia\ fig.8d.
Romboide
Paralelogramo. Cuadrilátero con lados opuestos paralelos
a
a
α
Trapecio
Trapecio rectángulo
La involuta de un círculo se utiliza en la construcción de los
dientes de engranajes.
α
Trapecio isósceles
Trapecio. Cuadrilátero con
solo dos lados paralelos
e) Cicloide. Curva del plano, generada por un punto fijo (P)
de una circunferencia que ruede sin deslizarse a lo largo
de una recta (a)\ fig.8e.
Trapezoide.
Cuadrilátero sin
lados paralelos
d) Cuadrilátero. Polígono de cuatro lados
Las cicloides tienen aplicación en la construcción de los
dientes de engranajes.
fig.7.\ Polígono.
f)
CURVA.
Línea del plano o del espacio que no tiene segmentos
rectos. Las curvas se clasifican en:
La catenaria, tiene gran aplicación en la Ingeniería
Eléctrica para el diseño y colocación de líneas
eléctricas, ya que los cables, al ser suspendidos, generan
este tipo de curvas y su estudio permite determinar los
esfuerzos a que serán sometidos por la acción de su
propio peso. En la Ingeniería Civil se aplican en el diseño
y construcción de puentes colgantes.
a) Cónica. Curva que se genera al seccionar un cono recto
de revolución con un plano\ fig.8a.
DEPENDIENDO DE LA RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS:
o
α : Ángulo que forma el plano (α) seccionante con el plano base
del cono.
o
Catenaria. Curva plana que forma, por la acción de su
propio peso, un hilo, completamente homogéneo,
flexible e inextensible, cuando se fijan dos de sus puntos\
fig.9a.
g) Helice. Curva del espacio, generada por un punto (P),
de una recta (a), la cual se desplaza, con velocidad
constante (v), y rota, con velocidad constante (ϖ), sobre
otra recta (e), con la que se corta (fig.9b). Una hélice
puede ser:
2
β : Ángulo que forman las generatrices (g) del cono con el
plano base del mismo.
LAS CÓNICAS SE DENOMINAN\ fig.8a:
1) Hélice cilíndrica. Si el punto (P) que la genera es un
punto fijo de la recta (a)\ fig.9b1.
2
Rectas que contienen al vértice (V) del cono y a un punto (P) de su circunferencia
base.
4
Geometría Descriptiva
CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
V
aplican también en la Industria Publicitaria para la
construcción de avisos publicitarios.
α
α
α
α
αο
g βο
β
P
Circunferencia
α0 = 00
a) Catenaria
ο
αο β
βο
ο
Elipse
α0 < β 0
αο
Parábola
α0 = β 0
Hiperbola
α0 > β 0
a) Cónica
b) Hélice
f(x)=seno α0
1,0
e
0,5
0
00
900
1800
2700
3600
e
α0
P
-0,5
v
-1,0
v
ϖ
1) Hélice Cilíndrica
b) Curva trigonométrica
vp
P
a
a
ϖ
2) Hélice Cónica
fig.9.\ Catenaria - Hélice.
v
CÍRCULO.
a
Figura geométrica plana limitada por una circunferencia. En
la fig.10. Se muestran el círculo y sus partes.
P
ϖ
Tangente
Circunferencia
Arco
Radio
Radio
Diámetro
Círculo
Cuerda
Secante
c) Espiral de Arquímides
A
P
A
B
Involuta de una Recta.
P
B
D C
Involuta de un Polígono.
Círculos
Concéntricos
Cuadrante
Sector
P
Segmento
Involuta de un Círculo.
d) Involuta ó (envolvente)
Semicírculo
Círculos
Excéntricos
fig.10.\ Círculo y sus partes.
a
SUPERFICIE.
P
Configuración geométrica que posee solo dos dimensiones.
Los principales tipos de superficie son:
e) Cicloide
a) Superficie reglada. Superficie generada por el
movimiento de una recta, denominada generatriz (g),
manteniéndose en contacto con otra ú otras líneas,
denominadas directrices (d), y cumpliendo además
ciertas condiciones particulares. Entre las superficies
regladas se pueden mencionar\ fig.11:
fig.8.\ Curva.
2) Hélice cónica. Si el punto (P) que la genera, se
mueve, con velocidad lineal constante (vp), a lo
largo de la recta (a)\ fig.9b2.
Las hélices tienen aplicación en la Ingeniería
Mecánica para la construcción de roscas de tornillos
y tornillos sin fín para engranajes transportadores;
también en la Ingeniería Civil y Arquitectura las
hélices se utilizan para el diseño y construcción de
escaleras en espiral (escaleras de caracol); se
1) Plano. Superficie reglada generada por el
movimiento de una generatriz (g), que se mantiene
en contacto con una directriz (d) recta, siendo
paralelas todas las posiciones de la generatriz\
fig.11a.
5
Geometría Descriptiva
CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
b) Superficie de curvatura simple. Superficie reglada en la
cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz
(g) son coplanares (son paralelas o se cortan)\ fig.11b.
a) Plano
g
d
Las superficies de curvatura simple son superficies
desarrollables, es decir que pueden extenderse sobre un
plano. Ejemplos de estas superficies son:
e
1) Superficie cilindrica. Superficie generada por el
movimiento de una generatriz (g) que se mantiene
en contacto con una directriz (d) curva, siendo
además paralelas todas las posiciones de la
generatriz. Las superficies cilíndricas pueden ser\
fig.11b1:
i)
g
g
d
Superficie cilindrica de revolución. Superficie
cilíndrica en la cual todas las posiciones de la
generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a
ella.
Superficie cilindrica de revolución
V
V
g
d
g
2) Superficie cónica. Superficie reglada generada por el
movimiento de una generatriz (g), manteniéndose en
contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas
las posiciones de la generatriz (g), un punto común
(V), denominado vértice. Se clasifican\ fig.11b2:
e
d
Superficie cónica de revolución.
Superficie cónica de nó revolución.
2) Superficie cónica
Superficie cónica de revolución. Superficie cónica
en la cual, todas las posiciones de la generatriz
(g), forman el mismo ángulo con un eje (e), que
pasa por el vértice (V).
b) Superficies de curvatura simple
d1
δ
Plano
Director
ii) Superficie cónica de nó revolución. Superficie
cónica en la cual no es posible definir un eje (e),
que forme el mismo ángulo con todas las
posiciones de la generatriz.
d1
δ
Plano
Director
g
g
d2
d2
Plano
Director
c) Superficie alabeada. Es una superficie reglada nó
desarrollable, es decir, en la cual, dos posiciones
sucesivas de la generatriz no son coplanares. Entre este
tipo de superficies, se puede citar\ fig.11c:
Plano
Director
1) Cilindroide
2) Conoide
g2
d1
δ
Plano
Director
La
generatriz
(g)
se
desplaza
1) Cilindroide.
manteniéndose paralela a un plano director (δ) y
apoyada sobre dos directrices (d1 y d2) curvas\
fig.11c1.
g2
P
P
d1
La
generatriz
(g)
se
desplaza
2) Conoide.
manteniéndose paralela a un plano director (δ) y
apoyada sobre dos directrices, siendo una de ellas
recta (d1) y la otra curva (d2)\ fig.11c2.
g1
d2
Paraboloide Hiperbólico.
d2
α0
g1
Hiperboloide de Revolución.
3) Superficie doblemente reglada
c) Superficies alabeadas
3) Superficie doblemente reglada. Superficie reglada en
la cual por cada uno de sus puntos pasan dos
generatrices (g1 y g2). Entre ellas se pueden citar\
fig.11c3:
i)
Superficie cilindrica de nó revolución
1) Superficie cilindrica
ii) Superficie cilindrica de nó revolución. Superficie
cilíndrica en la cual no es posible definir un eje (e)
que equidiste de todas las posiciones de la
generatriz (g).
i)
d
fig.11.\ Superficies Regladas.
d) Superficie de doble curvatura. Son superficies generadas
por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas
superficies no contienen líneas rectas y por lo tanto no
son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las
cuádricas, las cuales son superficies generadas por la
rotación de una curva cónica alrededor de uno de sus
ejes. Las cuádricas son\ fig.12:
Paraboloide hiperbólico. La generatriz (g) se
desplaza manteniéndose paralela a un plano
director (δ) y apoyada sobre dos directrices
rectas (d1 y d2) que se cruzan.
ii) Hiperboloide de revolución. La generatriz (g) se
apoya sobre dos directrices (d1 y d2) circulares,
paralelas, y se mueve manteniendo constante el
ángulo (α0) que forma ellas.
1) Esfera. La generatriz (g) es una circunferencia.
2) Elipsoide. La generatriz (g) es una elipse.
6
Geometría Descriptiva
CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
3) Paraboloide. La generatriz (g) es una parábola.
A) Prisma regular recto. Prisma regular cuyo eje
(e), es perpendicular a las bases; en cuyo
caso todas sus caras laterales son rectángulos
iguales.
4) Hiperboloide. La generatriz (g) es una hipérbola.
e
g
g
g
Elipsoide
Prisma
cuyas
bases
son
iv) Paralelepípedo.
paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u
oblicuos.
g
g
e
Esfera
B) Prisma regular oblicuo. Prisma regular cuyo
eje (e), no es perpendicular a las bases.
e
e
Paraboloide
4) Pirámide. Poliedro definido por un polígono base, y
cuyas caras laterales son triángulos que poseen un
vértice común (V), denominado vértice de la pirámide,
no contenido en el plano base. La recta que pasa
por el vértice de la pirámide y el centro geométrico
de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las
pirámides se denominan\ fig.13d:
Hiperboloide
fig.12.\ Superficies de doble curvatura.
SÓLIDO.
i)
Espacio limitado por superficies. Se clasifican en:
a) Poliedro. Sólido limitado por superficies planas
(polígonos). Los
polígonos que limitan al sólido se
denominan caras; los lados de estos polígonos aristas; y
los puntos donde concurren varias aristas vértices. Los
poliedros se denominan\ fig.13:
ii) Pirámide oblicua. Si el eje (e), no es perpendicular
a la base.
iii) Pirámide regular. Pirámide cuya base es un
polígono regular. Pueden a su vez ser:
A) Pirámide regular recta. Pirámide regular cuyo
eje (e), es perpendicular a la base; en cuyo
caso, todas sus caras laterales son triángulos
isósceles iguales.
1) Poliedro irregular. Poliedro que posee caras
diferentes y/o aristas de longitudes distintas. Según el
número de sus caras, se denominan:
Tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro ú octaedro.
Poliedro de cuatro, cinco, seis, siete, u ocho caras
respectivamente\ fig.13a.
B) Pirámide regular oblicua. Pirámide regular
cuyo eje (e), no es perpendicular a la base.
b) Cuerpo redondo. Sólido que contiene superficies curvas.
Entre ellos se pueden mencionar\ fig.14:
2) Poliedro regular. Poliedro cuyas caras son polígonos
regulares iguales, y todas sus aristas son de igual
longitud; en consecuencia, todos sus vértices están
contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son
cinco y se denominan\ fig.13b:
i)
1) Cilindro. Sólido limitado por una superficie cilíndrica y
por dos bases planas paralelas. La recta que pasa
por los centros geométricos de las bases se
denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la
generatriz (g) de la superficie cilíndrica. Los cilindros
pueden ser\ fig.14a:
Tetraedro regular. Poliedro definido por cuatro
triángulos equiláteros iguales.
ii) Hexaedro regular (cubo). Poliedro definido por seis
cuadrados iguales.
i)
iii) Octaedro regular. Poliedro definido por ocho
triángulos equiláteros iguales.
Cilindro recto. Si el eje (e), es perpendicular a las
bases.
ii) Cilindro oblicuo. Si el eje (e), no es perpendicular
a las bases.
iv) Dodecaedro regular. Poliedro definido por doce
pentágonos regulares iguales.
iii) Cilindro de revolución. Cilindro limitado por una
superficie cilíndrica de revolución. Pueden a su
vez ser:
v) Icosaedro regular. Poliedro definido por veinte
triángulos equiláteros iguales.
A) Cilindro de revolución recto. Cilindro de
revolución cuyo eje (e), es perpendicular a las
bases.
3) Prisma. Poliedro definido por dos polígonos iguales y
paralelos (bases) y cuyas caras laterales son
paralelogramos. La recta que une los centros
geométricos de las bases se denomina eje del prisma
(e). Los prismas se denominan\ fig.13c:
i)
Pirámide recta. Si el eje (e), es perpendicular a la
base.
B) Cilindro de revolución oblicuo. Cilindro de
revolución cuyo eje (e), no es perpendicular a
las bases.
Prisma recto. Si el eje (e), es perpendicular a las
bases; en cuyo caso todas sus caras laterales son
rectángulos.
2) Cono. Sólido limitado por una superficie cónica y por
una base plana. La recta que pasa por el vértice (V),
de la superficie cónica y el centro geométrico de la
base se denomina eje del cono (e). Los conos pueden
ser\ fig.14b:
ii) Prisma oblicuo. Si el eje (e),no es perpendicular a
las bases.
iii) Prisma regular. Prisma cuyas bases son polígonos
regulares. Pueden a su vez ser:
7
Geometría Descriptiva
CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
Cono recto. Si el eje (e), es perpendicular a la
base.
i)
ii) Toro (anillo). Su superficie la genera una
circunferencia ó una elipse, que gira alrededor
de un eje (e), coplanar con ella, y situado fuera
de ella.
ii) Cono oblicuo. Si el eje (e), no es perpendicular a
la base.
iii) Cono de revolución. Cono limitado por una
superficie cónica de revolución. Pueden a su vez
ser:
e
e
e
e
A) Cono de revolución recto. Cono de revolución
cuyo eje (e), es perpendicular a la base.
B) Cono de revolución oblicuo. Cono de
revolución cuyo eje (e), no es perpendicular a
la base.
Cilindro recto
Cilindro oblicuo
Cilindro recto
de revolución
Cilindro de nó revolución
Cilindro de
revolución oblicuo
Cilindro de revolución
a) Cilindro
e
e
V
Tetraedro
Pentaedro
Hexaedro
Heptaedro
e
V
e
V
V
Octaedro.
Cono recto
a) Poliedros irregulares
Cono oblicuo
Cono recto de
revolución
Cono de nó revolución
Cono de
revolución oblicuo
Cono de revolución
b) Cono
e
Tetraedro
regular
Hexaedro
regular (cubo)
Octaedro
regular
Dodecaedro
regular
Icosaedro
regular
b) Poliedros regulares
e
e
Esfera
e
e
Elipsoide
Paraboloide
Hiperboloide
Toro
Sólidos limitados por superficies cuádricas
c) Sólidos de revolución
fig.14.\ Cuerpos redondos.
Prisma recto
Prisma oblicuo
Prisma irregular
e
Prisma regular
recto
TRAZADO.
Prisma regular
oblicuo
Prisma regular
c) Prismas
e
e
En la fig.15, se muestran los tipos básicos de trazado,
utilizados en la elaboración de un dibujo.
e
Contorno visible
Procedimiento
Contorno invisible
Pirámide recta
Pirámide oblicua
Pirámide irregular
Pirámide regular
recta
d) Pirámides
Eje
Pirámide regular
oblicua
Verdadero tamaño
Pirámide regular
Cota
fig.13.\ Poliedros.
fig.15.\ Líneas de trazado.
3) Sólido de revolución. Sólido limitado por una
generatriz curva que rota alrededor de un eje. Entre
ellos se pueden mencionar\ fig.14c:
i)
Esfera, elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
Espacios limitados por estos tipos de superficie ya
descritas.
8
Geometría Descriptiva
TRAZADO
Ing. Alberto M. Pérez G.
0
a) Rectas a 45
EL JUEGO DE ESCUADRAS.
0
b) Rectas a 75
b
b
Un juego de escuadras, se compone de una escuadra y un
cartabón. Siendo la hipotenusa de la escuadra, de igual
longitud que el cateto mayor del cartabón\ fig.16.
a
0
45
Cartabón
Escuadra
0
30
1
2
b
a
a
0
45
0
60
fig.16.\ Juego de escuadras.
TRAZADO DE RECTAS CON LAS ESCUADRAS.
0
c) Rectas a 15
Por medio de las escuadras, pueden trazarse rectas
paralelas, rectas perpendiculares y rectas que se corten a
cualquier ángulo que sea múltiplo de 150, según puede
observarse en las fig.17 a fig.19:
0
a) Por un punto (T), contenido en la circunferencia.\ fig.20.
a)
t
b)
T
a
a
0
TRAZADO DE UNA RECTA (t) TANGENTE A UNA
CIRCUNFERENCIA.
b⊥a
b // a
0
fig.19.\ Trazado de rectas a 45 ; 75 y 15 .
T
O
O
t
a) Rectas paralelas
b) Rectas perpendiculares
fig.17.\ Trazado de rectas paralelas; y perpendiculares.
b
fig.20.\ Recta (t), tangente a una circunferencia, en un punto
(T) de ella.
b
b) Por un punto (A), no contenido en ella.
Ejemplo: Trazar una recta (t), tangente a una circunferencia, y
que pase por un punto (A) externo a ella\ fig.21a:
Solución:
a
a
0
a) Rectas a 30
a) Se traza el segmento (A-O), y se define su punto medio
(M)\ fig.21b.
b) Con centro en (M), se dibuja el arco que pase por el
centro (O) de la circunferencia, determinando sus puntos
de corte (T1 y T2) con la misma.
0
b) Rectas a 60
0
0
fig.18.\ Trazado de rectas a 30 ; y 60 .
c) Las rectas (t1 y t2), que parten del punto (A) y pasan por
los puntos (T1 y T2), son tangentes a la circunferencia.
9
Geometría Descriptiva
TRAZADO
Ing. Alberto M. Pérez G.
a
b
O
M
A
A
a
t1
T1
SEGMENTO
EN
0
0
60
60
r
t2
B
r
C
fig.24.\ Dibujo de un triángulo equilátero (ABC), conocido el
vértice (A) y la recta (r) que contiene al lado (B-C).
fig.21.\ Recta (t), tangente a una circunferencia, y que pase
por un punto (A), externo a ella.
UN
A
O
T2
DIVISIÓN DE
IGUALES.
b
A
PARTES
a
Ejemplo: Dividir el segmento (A-B) en cinco partes iguales\
fig.22a.
C
b
O
A
O
A
Solución:
a) Se traza una recta (r) cualquiera, que pase por uno de
los extremos del segmento; en el ejemplo se trazó por el
punto (A)\ fig.22b.
B
fig.25.\ Dibujo de un triángulo equilátero (ABC), conocido el
vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.
b) Se marcan en la recta (r), y a partir del punto (A), cinco
divisiones iguales.
c) Se transportan, mediante rectas paralelas, las cinco
divisiones de la recta (r), al segmento (A-B).
b) CUADRADO\ ver fig.26; y fig.27.
a
b
5
r
D
4
C
D
C
3
2
1
0
0
45
A
A
A
B
B
0
45
A
B
B
a) Trazando
perpendiculares y
diagonales.
fig.22.\ División de un segmento en cinco partes iguales.
A
B
b) Trazando
perpendiculares y
arcos.
fig.26.\ Dibujo de un cuadrado (ABCD), conocido el lado (AB).
TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES.
a) TRIÁNGULO EQUILÁTERO\ ver fig.23; fig.24; y fig.25.
C
a
C
A
0
60
A
B
B
b
O
A
O
C
0
60
A
B
a) Por medio de
los ángulos.
A
B
D
b) Cortando
arcos.
fig.27.\ Dibujo de un cuadrado (ABCD), conocido el vértice (A),
y la circunferencia que lo circunscribe.
fig.23.\ Dibujo de un triángulo equilátero (ABC), conocido el
lado (AB) .
10
Geometría Descriptiva
TRAZADO
Ing. Alberto M. Pérez G.
d) HEXÁGONO REGULAR\ ver fig.30; y fig.31.
c) PENTÁGONO REGULAR\ ver fig.28; y fig.29.
a
b
F
1
r=A-2
E
D
600
600
C
C
0
A
A
B
A
M
Punto medio
de (A-B)
60
A
B
fig.30.\ Dibujo de un hexágono regular (ABCDEF), conocido el
lado (AB).
2
B
B
b) Se define el vértice (C)
a
a
b
D
E
D
r
r=A-2
E
C
E
O
C
C
O
F
r
A
A
A
M
A
B
c) Se define el vértice (E)
M
B
B
fig.31.\ Dibujo de un hexágono regular (ABCDEF), conocido el
vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.
d) Se define el vértice (D)
fig.28.\ Dibujo de un pentágono regular (ABCDE), conocido el
lado (AB).
e) HEPTÁGONO REGULAR\ ver fig.32; y fig.33.
a
E
b
D
F
A
A
O
G
C
0
30
O
A
O
a
E
A
c
O
B
B
fig.32.\ Dibujo de un heptágono regular (ABCDEFG), conocido
el lado (AB).
b
A
r=AB
A
B
E
d
1a
A
G
B
O
O
r=A-B
D
A
b
F
C
O
C
r
E
fig.29.\ Dibujo de un pentágono regular (ABCDE), conocido el
vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.
B
r
D
fig.33.\ Dibujo de un heptágono regular (ABCDEFG), conocido
el vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.
f) OCTÁGONO REGULAR\ ver fig.34; y fig.35.
11
Geometría Descriptiva
TRAZADO
Ing. Alberto M. Pérez G.
a
b
El método general mostrado en la fig.36, se basa en dividir la
circunferencia que circunscribe al polígono, en tantas partes
iguales, como el número de lados que tendrá el polígono a
dibujar.
D
C
A
0
B 45
A
B
c
F
d
El método general mostrado en la fig.37, se basa en dividir el
diámetro de la circunferencia que circunscribe al polígono,
en tantas partes iguales, como el número de lados que
tendrá el polígono a dibujar.
E
D
G
D
C
H
C
1
A
1
1
a) Se divide el
diámetro en siete
partes iguales.
Y se definen los
1
vértices (V y V ).
450
B 45
A
0
A
B
2
2
3
V
3
O
4
1
V
4
5
5
6
fig.34.\ Dibujo de un octágono regular (ABCDEFGH), conocido
el lado (AB).
6
7
7
A
A
a
A
b
H
B
450
G
O
b) Se trazan,
desde los vértices
1
(V
y V ),
y
pasando por las
divisiones pares,
las rectas que
contienen a los
vértices
del
polígono.
450
C
O
F
1
G
V
1
V
4
F
C
5
6
E
D
E
B
2
3
7
D
fig.37.\ Dibujo de un heptágono regular, (Método general).
fig.35.\ Dibujo de un octágono regular (ABCDEFGH), conocido
el vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.
MÉTODOS GENERALES DE
POLÍGONOS REGULARES.
TRAZADO
DE
b) CONOCIDO UN LADO.
El método mostrado en la fig.38, se basa en dividir el
semicírculo de radio (A-B), dibujado sobre el lado (A-B)
dado, en tantas partes iguales, como lados tendrá el
polígono a dibujar.
Por medio de los métodos generales mostrados en las fig.36,
a fig.38, se pueden dibujar polígonos regulares de cualquier
número de lados.
a) CONOCIDO UN VÉRTICE (A) Y LA CIRCUNFERENCIA QUE LA
CIRCUNSCRIBE.
0
O =360
0
360
7
0
= 51,428
0
308,6
51,428 x 1 = 51,4
51,4280 x 2 = 102,9o
51,4280 x 3 = 154,3o
51,4280 x 4 = 205,7o
51,4280 x 5 = 257,1o
51,4280 x 6 = 308,6o
51,4280 x 7 = 360,0o
51,4
128,6
0
B
G
o
b
0
= 25,714
154,30
0
E
77,10
102,90
A
0
0
180
7
0
F1
E1
F
D1
G
D
51,40
25,70
C1
O
257,10
1800
C
F
E
205,70
102,90
A
B
a) Se divide el semicírculo
de radio (A-B) en siete
partes iguales.
D
154,30
00
F1
E1
D1
G
C
C1
A
B
fig.38.\ Dibujo de un heptágono regular, (Método general).
fig.36.\ Dibujo de un heptágono regular, (Método general).
12
Geometría Descriptiva
ESCALA
Ing. Alberto M. Pérez G.
esc: 2/1
0
ESCALA.
Es la proporción de aumento o disminución que existe entre
las dimensiones reales y las dimensiones representadas de
un objeto. En efecto, para representar un objeto de grandes
dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un
factor mayor que uno, en este caso denominado escala de
reducción; y para representar objetos de pequeñas
dimensiones, todas sus medidas se multiplican por un factor
mayor que uno, denominado escala de ampliación. La escala
a utilizar se determina entonces en función de las medidas
del objeto y las medidas del papel en el cual será
representado. El dibujo hecho a escala mantendrá de esta
forma todas las proporciones del objeto representado, y
mostrará una imagen de la apariencia real del mismo.
Finalmente, deben indicarse sobre el dibujo las dimensiones
del objeto real, y la escala en que ha sido elaborado.
escala natural
esc: 1/1
0
1 cm
esc: 1/1,25
0
1 cm
a
esc: 2/1
b
esc: 1/2
c
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
2
2
2
3
3
esc: 1/2
0
En la fig.39a, se muestra un cuadrado de 1 cm. de lado
dibujado en sus dimensiones reales (dibujado a escala
natural ó escala 1/1). En la fig.39b, se muestra el mismo
cuadrado representado en escala 2/1 (multiplicadas sus
medidas por dos). Y en la fig.39c, se muestra el mismo
cuadrado representado en escala 1/2 (divididas sus
medidas por dos).
esc: 1/1
1 cm
4
5
5
esc: 1/5
0
5
10 cm
5
6
6
7
7
8
9
10 cm
10 cm
15
20
15
15
30
25
35
esc: 1/7,5
0
5 10 cm 15
20
esc: 1/75
0
1m
2
3
4
5
esc: 1/750
0
10 m
20
30
40
50
25
30
35
40
45
50
55
1 cm
1 cm
fig.39.\ Representaciones a escala de un cuadrado.
En la fig.40, se muestran algunos factores de escalas de
reducción y ampliación.
escalas de reducción
4
5
esc: 1/2,5
0
3
fig.41.\ Escalas.
escalas de ampliación
escala
factor de
reducción
longitud de
representación
de 1 metro
escala
factor de
aumento
1/1
1/1,25
1/2
1/2,5
1/5
1/7,5
1/10
1
1,25
2
2,5
5
7,5
10
100 cms.
80 cms.
50 cms.
40 cms.
20 cms.
13,33 cms.
10 cms.
1/1
1,33/1
2/1
4/1
5/1
8/1
10/1
1
1,33
2
4
5
8
10
ESCALÍMETRO.
longitud de
representación
de 1 cm.
Es una regla ó un juego de reglas
simultáneamente varias escalas diferentes.
1 cms.
1,33 cms.
2 cms.
4 cms.
5 cms.
8 cms.
10 cms.
que
contiene
Son muy comunes los escalímetros de forma triangular que
contienen seis escalas como el mostrado en la fig.42.
fig.40.\ Factores de escalas de reducción y ampliación.
Para evitar la realización de multiplicaciones ó divisiones en
la elaboración de un dibujo a escala, se trabaja con reglas
graduadas denominadas escalas, las cuales son construidas
en base a los factores de reducción ó ampliación de las
respectivas escalas. En la fig.41, se muestran algunas de
estas escalas.
fig.42.\ Escalímetro.
13
Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capítulo 2
SISTEMAS DE
PROYECCIÓN.
En este capítulo se hace una breve descripción de los
sistemas de proyección mas utilizados en Ingeniería y
Arquitectura, describiendo el fundamento básico de la
ejecución de proyecciones en estos sistemas.
El objetivo principal del capítulo es que el estudiante
conozca estos sistemas de proyección, y sepa identificar
cuando un objeto esta representado en cada uno de ellos.
Al igual que el capítulo anterior, el carácter del presente
capitulo es básicamente informativo por lo tanto se
presentan las características mas esenciales de estos
sistemas de proyección sin entrar en descripciones
profundas de sus métodos de trabajo.
Geometría Descriptiva
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
1) Proyección
ortogonal.
También
denominada
proyección ortográfica. Se obtiene cuando las
proyectantes son perpendiculares al plano de
proyección. La proyección ortogonal es muy
utilizada en el diseño de piezas mecánicas y
maquinarias\ fig.44a.
SISTEMAS DE
PROYECCIÓN.
Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual
puede ser definida la proyección de un objeto sobre una
superficie. En todo sistema de proyección intervienen cuatro
elementos denominados:\ fig.43:
Los principales tipos de proyección ortogonal son:
i)
a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser
un punto, recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin
cualquier elemento geométrico ú objeto en si.
b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el
objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera
del espacio.
Proyección en vistas múltiples. Cada vista es una
proyección ortográfica. Para obtener una vista se
coloca el plano de proyección preferentemente
paralelo a una de las caras principales del
objeto\ fig.45.
c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se
proyectará el objeto. Generalmente es un plano;
aunque también puede ser una superficie esférica,
cilíndrica, cónica, etc.
d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos
del objeto con el punto de observación.
Punto de
observación
muy lejano
La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se
obtiene interceptando su proyectante con el plano de
proyección.
fig.45.\ Vista ortográfica.
Superficie de
Proyección
Proyectante
Los objetos se representan generalmente en tres
vistas ortográficas. Los métodos utilizados para
determinar estas vistas son:
P
P’
Objeto
A) Proyección en el séptimo triedro (séptimo
octante). Usado en los Estados Unidos y
Canadá.\ fig.46.
Punto de
Observación
Proyección
fig.43.\ Sistema de proyección.
Séptimo triedro
LOS SISTEMAS DE PROYECCIÓN MAS USADOS SON:
a) Proyección cilíndrica. Se obtiene cuando el punto de
observación se encuentra a una distancia tan grande
del objeto, que permita considerar que las proyectantes
son paralelas al interceptarse con el plano de
proyección (fig.44). Los principales tipos de proyección
cilíndrica son:
A
A
A’
A’
C
C
C’
B
C’
Planta
B
B’
B’
a) Proyección ortogonal
b) Proyección oblicua
fig.44.\ Proyección cilíndrica.
Frontal
Derecha
fig.46.\ Proyección en vistas múltiples en el séptimo triedro.
15
Geometría Descriptiva
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
iii) Proyección axonométrica. Se obtiene cuando el
plano de proyección no es paralelo a ninguno de
los tres ejes principales del objeto\ fig.49.
B) Proyección en el primer triedro (primer
octante). Usado en todo el mundo, excepto
en los Estados Unidos y Canadá.\ fig.47.
Punto de
observación
muy lejano
Primer triedro
fig.49.\ Proyección axonométrica.
Derecha
Frontal
La proyección axonométrica, dependiendo de
los ángulos que forman entre sí los ejes
axonométricos
(proyecciones
de
los
ejes
principales del objeto), se denomina:
A) Proyección isométrica. Se obtiene cuando los
tres
ángulos
que
forman
los
ejes
axonométricos son iguales. Al representar
objetos en proyección isométrica se mide en
una misma escala sobre los tres ejes
isométricos.\ fig.50
Planta
fig.47.\ Proyección en vistas múltiples en el primer triedro.
ii) Proyección acotada. Es una proyección ortogonal
sobre la que se acotan en cada punto, línea, u
objeto representado la altura (cota) del mismo
con respecto a cualquier plano de referencia
que sea paralelo al plano de proyección\ fig.48.
La proyección acotada es muy práctica cuando
es necesario representar gráficamente objetos
irregulares;
razón
por
la
cual
se
usa
frecuentemente para el diseño de techos de
viviendas; construcción de puentes, represas,
acueductos,
gasoductos,
carreteras,
determinación de áreas de parcelas, trazado de
linderos, y dibujos topográficos de plantas y
perfiles de terrenos, entre otros.
0
120
1
0
1
0
120
120
1
0
30
0
30
Punto de observación
muy lejano
fig.50.\ Proyección isométrica.
2
4
B) Proyección dimétrica. Se obtiene cuando solo
dos de los tres ángulos que forman los ejes
axonométricos son iguales. Al representar un
objeto en proyección dimétrica debe medirse
en dos de los ejes axonométricos con una
misma escala y con una escala diferente en
el tercer eje axonométrico. La forma gráfica
de determinar la relación entre las escalas
sobre los tres ejes axonométricos para
cualquier distribución de los mismos, se
muestra en la fig.52. No obstante, en la fig.51,
se muestran tres distribuciones muy usadas de
ejes dimétricos con sus respectivas escalas,
estas proporciones difieren muy poco de los
0
4
2
fig.48.\ Proyección acotada.
16
Geometría Descriptiva
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
valores teóricos reales, los cuales de ser
usados
difucultarián
grandemente
la
ejecución de la dimetría.
3
3
/4
1
7 /2
0
1
7 /2
Al definir una proyección oblicua el eje recedente (eje
de profundidad del objeto) se puede proyectar
o
formando cualquier ángulo (α ) con respecto a los
o
otros dos; e independientemente de este ángulo (α ),
la profundidad del objeto se puede proyectar
también en cualquier longitud (teóricamente hasta
una longitud infinita). Por lo tanto, al dibujar en
proyección oblicua, se traza el eje recedente a
cualquier ángulo, y se miden las profundidades sobre
el en cualquier escala\ fig.54.
/4
0
0
1
2
4
1
1
37 /2
0
1
37 /2
1
0
0
1
2,5
5
0
eY
β
2
3
5
1
α
eX
3
4
2,5
0
γ
0
5
eZ
5
0
0
3
/4
2
4
5
1
1
5
/2
4 3
0
45
1
7 /2
0
fig.52.\ Proyección trimétrica.
1
fig.51.\ Proyecciones dimétricas.
C) Proyección trimétrica. Se obtiene cuando los
tres
ángulos
que
forman
los
ejes
axonométricos
son
diferentes.
En
la
proyección trimétrica cada eje axonométrico
posee su propia escala diferente a la de los
otros dos.\ fig.52
Punto de
observación
muy lejano
2) Proyección oblicua. Se obtiene cuando las
proyectantes no son perpendiculares al plano de
proyección (fig.44b). Preferentemente al dibujar en
proyección oblicua se coloca el plano de
proyección paralelo a una de las caras principales
del objeto; ya que de esta forma dicha cara se
proyectará en verdadero tamaño\ fig.53.
fig.53.\ Proyección oblicua.
17
2
1 0
Geometría Descriptiva
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
cualquier
escala
eje
recedente
1
cualquier
ángulo
1
fig.54.\ Proyección oblicua.
Sin embargo, la escala a utilizar para el eje
recedente debe elegirse en forma intuitiva, en
función del ángulo en que se dibuje, de modo que la
representación del objeto muestre una apreciación
real de su forma y proporciones. Entre las
proyecciones oblicuas mas utilizadas se pueden
mencionar:
i)
fig.57.\ Proyección oblicua aérea.
b) Proyección cónica. Denominada también perspectiva. Se
obtiene cuando el punto de observación y el objeto se
encuentran relativamente cercanos\ fig.58.
Proyección caballera\ Se originó en el dibujo de
las fortificaciones medievales.\ fig.55
Geométricamente, una fotografía es una perspectiva;
razón por la cual la proyección cónica sobrepasa en
excelencia a los demás sistemas de proyección por ser
la que mas se acerca a la vista real obtenida por el
observador.
1
1
El dibujo en perspectiva es muy utilizado en el diseño
arquitectónico, civil, industrial, publicitario, etc.
0
135
las perspectivas pueden ser:
0
45
1) Perspectiva de un punto de fuga. Se obtiene cuando
el plano de proyección es paralelo a una de las
caras principales del objeto (el plano de proyección
es paralelo a dos de los tres ejes principales del
objeto)\ fig.59.
1
fig.55.\ Proyección caballera.
2) Perspectiva de dos puntos de fuga. Se obtiene
cuando el plano de proyección es paralelo a
solamente uno de los tres ejes principales del objeto\
fig.60.
ii) Proyección de gabinete\ Recibe este nombre
debido a que se usó grandemente en la industria
del mueble.\ fig.56
1
1
3) Perspectiva de tres puntos de fuga. Se obtiene
cuando ninguno de los tres ejes principales del
objeto es paralelo al plano de proyección\ fig.61.
/2
0
135
Proyectantes
Plano de
Proyección
A
A’
0
45
Objeto
C’
1
Punto de
Observación
fig.56.\ Proyección de gabinete.
C
B’
Proyección
fig.58.\ Proyección cónica.
iii) Proyección oblicua aérea. Es una proyección
oblicua realizada sobre un dibujo en planta de
una edificación, urbanismo, etc. con la finalidad
de apreciar su forma tridimensional\ fig.57.
18
B
Geometría Descriptiva
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
Punto de
observación
Planta
Plano de proyección
Horizonte
Punto de fuga
fig.59.\ Perspectiva de un punto fuga.
Perspectiva
Punto de
observación
Frontal
fig.62.\ Dibujo de una perspectiva de un punto de fuga.
Punto de
observación
Planta
Plano de
proyección
fig.60.\ Perspectiva de dos puntos de fuga.
Punto de
observación
Punto de
observación
Horizonte
Punto de fuga
Punto de fuga
Frontal
fig.61.\ Perspectiva de tres puntos de fuga.
fig.63.\ Dibujo de una perspectiva de dos puntos de fuga.
Las perspectivas de uno, dos, y tres puntos de fuga,
pueden dibujarse en forma sencilla a partir de las
proyecciones en vistas múltiples, como se muestra en las
fig.62; fig.63; y fig.64, respectivamente.
19
Geometría Descriptiva
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
0
α
Planta
β
M1
Punto
de fuga
γ
Punto de
fuga
M2
M3
Frontal
Punto de fuga
fig.64.\ Dibujo de una perspectiva de tres puntos de fuga.
20
0
0
Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capítulo 3
PROYECCIÓN DIÉDRICA.
Comienza en este capítulo el estudio del sistema de Doble
Proyección Ortogonal ó Proyección Diédrica, el cual es el
objetivo de estudio principal de esta obra. Se inicia con una
descripción de este sistema de proyección, que se basa
definir la proyección ortogonal de los objetos en forma
simultánea sobre dos planos de proyección perpendiculares
entre sí. De esta forma se obtiene dos proyecciones
ortogonales del objeto en estudio, por medio de las cuales,
se puede concebir la forma tridimensional del mismo.
Una vez que el estudiante comprenda los fundamentos del
sistema de Doble Proyección Ortogonal, será capaz de
representar objetos, y podrá resolver cualquier problema
relacionado con la forma tridimensional de los mismos, sin
necesidad de elaborar complicadas perspectivas o
representaciones en otros sistemas de proyección mas
laboriosos.
Después de la descripción de este importante sistema de
proyección, comenzamos en este capítulo a ejercitarnos en
la elaboración de la doble proyección ortogonal del
"objeto" mas simple que puede ser considerado "el punto".
Para continuar después con el estudio de la proyección
diédrica de la recta y el plano.
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PUNTOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
DIEDROS.
PROYECCIÓN DE PUNTOS.
También denominados cuadrantes, son las cuatro zonas en
que los planos principales de proyección, al considerarse la
extensión infinita de ellos, dividen todo el espacio que los
rodea\ fig.66b.
DOBLE PROYECCIÓN ORTOGONAL.
También llamada proyección diédrica. Es la proyección
ortogonal simultánea de un objeto sobre dos planos de
proyección perpendiculares entre sí, llamados: planos
principales de proyección; y en forma particular denominados:
plano vertical de proyección (PV); y plano horizontal de proyección
(PH). En la fig.65a, se muestra la proyección diédrica de un
punto (A). La nomenclatura utilizada representa:
Z
IC
PV
II C
PL
PLANO
LATERAL
a) PV :Plano vertical de proyección.
b) PH :Plano horizontal de proyección.
Y
PH
III C
IV C
PH
:Posición real del punto (A).
c) A
PV
a) Plano lateral
b) Cuadrantes (Diedros)
v
d) A :Proyección ortogonal del punto (A) sobre el plano
vertical de Proyección.
fig.66.\ Plano lateral / Cuadrantes.
h
e) A :Proyección ortogonal del punto (A) sobre el plano
horizontal de proyección.
DIBUJO EN PROYECCIÓN DIÉDRICA.
En la fig.65b se muestra un esquema en perspectiva del
sistema de proyección diédrica; no obstante, la proyección
diédrica en sí, no se ejecuta en perspectiva, si no que se
facilita su elaboración rotando el plano horizontal de
proyección alrededor de la línea de tierra, hasta hacerlo
coincidir con el plano vertical de proyección, como lo
muestra la fig.67a. En la fig.67b se muestra el mismo esquema
en proyección frontal. Y finalmente, la fig.67c, muestra el
esquema de trabajo en proyección diédrica; este se obtiene
sustituyendo los ejes de coordenadas por una recta
horizontal (línea de tierra, ó eje (X)), en la cual se señala el
origen por un pequeño segmento vertical que la corta.
Z
PV
v
A
PV
A
O
PH
h
A
a) Proyección diédrica
del punto (A)
Y
LT
X
PH
b) El sistema de doble
proyección ortogonal
Es muy importante tener presente que en la representación
definitiva (fig.67c), los ejes de coordenadas y el origen no
dejan de existir; si no que han sido substraídos de la
representación, y aunque no se vean dibujados ellos existen
en las posiciones que indica la fig.67b.
fig.65.\ La doble proyección ortogonal (proyección diédrica).
En la fig.65b, se muestra el sistema de proyección diédrica
con la siguiente nomenclatura adicional.
Z
a) LT :Línea de tierra. Es la intersección entre los planos
vertical y horizontal de proyección.
Z
PV
O
b) O :Origen. Punto común a los tres ejes de coordenadas,
a partir del cual se miden las coordenadas de los puntos.
PV
X
c) X :Eje de coordenadas (X). Eje sobre el cual se miden las
coordenadas (X) de los puntos; coincide con la línea de
tierra.
PH
Y
Y
d) Y :Eje de coordenadas (Y). Eje sobre el cual se miden las
coordenadas (Y) de los puntos.
a) Giro del plano
horizontal de proyección
e) Z :Eje de coordenadas (Z). Eje sobre el cual se miden las
coordenadas (Z) de los puntos.
X
O
Y
PH
Y
b) Representación frontal
después del giro del PH
c) Representación
definitiva utilizada
fig.67.\ Dibujo en proyección diédrica.
COORDENADAS DE UN PUNTO.
PLANO LATERAL DE PROYECCIÓN.
Son las distancias, expresadas en milímetros, que al medirse
sobre los ejes de coordenadas, a partir del origen, permiten
definir con exactitud la ubicación de un punto en el espacio
que lo rodea (fig.68). En proyección diédrica, las
coordenadas se denominan:
Es un plano auxiliar de proyección que esta definido por los
ejes de coordenadas (Y) y (Z)\ fig.66a. Sobre este plano,
cuando sea necesario, se proyectan ortogonalmente los
objetos, denominándose estas proyecciones: proyecciones
laterales.
X
22
: Distancia al plano lateral.
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PUNTOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
Y
: Vuelo ó alejamiento.
Z
: Cota ó altura.
Av
Las coordenadas de un punto se expresan siempre en orden
y separadas por punto y coma (;), y el nombre del punto es
siempre una letra mayúscula ó un número. Por ejemplo, la
notación P(08; 16; 10), identifica a un punto (P) con las
siguientes coordenadas:
PX
: Distancia del punto (P) al plano lateral ... : 08 mms.
PY
: Vuelo del punto (P) ..................................... : 16 mms.
PZ
: Cota del punto (P)....................................... : 10 mms.
A
08 mms.
: Del plano lateral.
16 mms.
: Del plano vertical de proyección.
10 mms.
: Del plano horizontal de proyección.
(PX=08)
P
B
Bh
Bh
Bv
h
Ah
A(AX ; +AY ; +AZ)
B(BX ; -BY ; +BZ)
a) Punto en el primer cuadrante
b) Punto en el segundo cuadrante
Ch
Ch
Ch
Dh
Cv
Dv
Dv
C
Cv
Dh
Dh
D
C(CX ; -CY ; -CZ)
D(DX ; +DY ; -DZ)
c) Punto en el tercer cuadrante
c) Punto en el cuarto cuadrante
fig.69.\ Ubicación de un punto en un cuadrante.
v
PV
Bv
b) Punto en un plano principal de proyección\ fig.70:
1) Plano vertical de proyección: ......... E(+EX ; 00 ; +EZ).
v
P
v
Bh
Ah
Las coordenadas de un punto, también representan las
distancias desde el punto a los planos principales de
proyección y al plano lateral. El punto P(08 ; 16; 10), ya
mencionado se encuentra a distancias de:
P
Av
A
P
F(+FX ; 00 ; -FZ).
(PZ=10)
2) Plano horizontal de proyección: ..... G(+GX ; +GY ; 00).
(PZ=10)
(PX=08)
H(+HX ; -HY ; 00).
(Py=16)
(Py=16)
h
P
h
h
P
P
E=Ev
PH
1) Esquema
teórico
a) Esquema en perspectiva
Ev
PV
Fh
2) Esquema
definitivo
Eh
Fh
Eh
b) Proyección diédrica
fig.68.\ Representación diédrica del punto P(08 ; 16 ; 10).
Fv
F=Fv
PV
F(FX ; 00 ; -FZ)
E(EX ; 00 ; +EZ)
En la fig.68a se muestra un esquema en perspectiva de la
proyección diédrica de este punto (P), y en la fig.68b1, la
proyección diédrica propiamente dicha del mismo; las cifras
anotadas entre paréntesis indican las medidas reales que
deben tener esos respectivos segmentos, estos valores no se
escriben en la lámina, de forma que la representación
definitiva es la mostrada en la fig.68b2.
a) Punto en el plano vertical de proyección
Gv
PH
Hh
Gv
h
G=G
PH
H
Gh
G(GX ; +GY ; 00)
Las coordenadas de un punto, pueden tener valor: positivo,
cero, ó negativo, dependiendo la posición que este ocupe
con respecto al origen; aunque generalmente se evita
asignar valores negativos a la coordenada (X).
Hh
v
Gh
POSICIONES PARTICULARES DE UN PUNTO.
H=Hh
Hv
H(HX ; -HY ; 00)
b) Punto en el plano horizontal de proyección
fig.70.\ Ubicación de un punto en un plano principal de
proyección.
Con respecto a un sistema de proyección diédrica, las
posiciones que puede ocupar un punto en el espacio son:
c) Punto en el plano lateral\ fig.71: Puede además estar en:
1) PL y primer cuadrante: ................... Ι(00 ; +ΙY ; +ΙZ).
a) Punto en un cuadrante\ fig.69:
2) PL y segundo cuadrante: ................ J(00 ; -JY ; +JZ).
1) Primer cuadrante: ............................ A(+AX ; +AY ; +AZ).
3) PL y tercer cuadrante: .................... K(00 ; -KY ; -KZ).
2) Segundo cuadrante: ........................ B(+BX ; -BY ; +BZ).
4) PL y cuarto cuadrante: ................... L(00 ; +LY ; -LZ).
3) Tercer cuadrante: ............................ C(+CX ; -CY ; -CZ).
4) Cuarto cuadrante: ........................... D(+DX ; +DY ; -DZ).
23
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PUNTOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
Z
PL
v
v
Ι
Ι
J
J
Jh
Ι
R=Rv
Jv
Jv
h
Ι
Z
h
Rh
Jh
Sh
h
Ι
Sh
Rv
h
Ι
PL
S=S
J(00 ; -JY ; +JZ)
Ι(00 ; +IY ; +IZ)
a) Punto en el PL y primer
cuadrante
v
Sv
Rh
b) Punto en el PL y segundo
cuadrante
R(00 ; 00; +RZ)
S(00 ; 00; -SZ)
fig.74.\ Punto en el eje (Z).
PL
K
PL
Kh
h
L
Kh
PROYECCIÓN LATERAL DE UN PUNTO.
h
K
Kv
Kv
Lv
L
Se llama así a la proyección ortogonal de un punto sobre el
plano lateral\ fig.75.
Lh
Lh
Lv
En este sistema de proyección, el punto de observación se
encuentra a una distancia infinita del plano lateral, en
dirección del eje (X), el cual se proyecta en su totalidad en
el punto de origen (O).
L(00 ; +LY ; -LZ)
K(00 ; -KY ; -KZ)
c) Punto en el PL y tercer
cuadrante
b) Punto en el PL y cuarto
cuadrante
Z
fig.71.\ Ubicación de un punto en el plano lateral.
PL
d) Punto en el origen\ fig.72a: ....................M(00 ; 00 ; 00).
Z
v
l
A
l
A
A
AZ
O
M=Mv=Mh
X
v
M =M
Y
AZ
N=Nv=Nh
X
h
A
h
AY
A
AY
Origen
eje X
Y
Nv=Nh
fig.75.\ Proyección lateral.
M(00 ; 00; 00)
N(NX ; 00; 00)
a) Punto en el origen
b) Punto en el eje (X)
El punto de observación, puede también ubicarse en
sentido opuesto al eje (X), resultando en esta caso, la
proyección lateral, como se muestra en la fig.76.
fig.72.\ Punto en el origen; punto en el eje (X) (línea de tierra).
e) Punto en un eje de coordenadas:
Z
1) Eje (X): fig.72b..................................N(+NX ; 00 ; 00).
PL
2) Eje (Y): fig.73....................................P(00 ; +PY ; 00).
Q(00 ; -QY ; 00).
A
l
A
3) Eje (Z): fig.74....................................R(00 ; 00 ; +RZ).
A
AZ
h
Y
Q
Pv
Q=Qh
Qv
P
v
A
X
Origen
eje X
Y
fig.76.\ Proyección lateral.
h
Q
Y
Ph
Ph
P(00 ; +PY; 00)
l
A
AZ
h
Y
AY
AY
O
S(00 ; 00 ; -SZ).
P=Ph
Z
v
En el sistema de proyección lateral, los planos vertical (PV) y
horizontal (PH) de proyección, se encuentran totalmente
proyectados sobre los ejes (Z) e (Y) respectivamente, los
cuales se observan cortándose a 900, como puede
observarse en las fig.75 y fig.76.
Qv
Q(00 ; -QY; 00)
fig.73.\ Punto en el eje (Y).
24
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PUNTOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
REPRESENTACIÓN
DE
PROYECCIÓN LATERAL.
PUNTOS
EJE (Y):
Coincide con la línea de tierra, y se dirige
hacia la derecha ó izquierda (en el ejemplo hacia la
derecha).
EN
En la fig.77a, se representan las proyecciones laterales de los
puntos (A,B,C y D), ubicados en los cuadrantes (I; II; III y IV),
respectivamente, y en la fig.77b se representan las
proyecciones laterales de los mismos puntos, cambiando el
sentido del eje (Y).
a
b
Z
l
A
+AY Al
l
-BY
B
+BZ
Y
D
+DY
l
l
B
+BZ
-CZ
-BY
+AZ
Y
+DY
-CZ
-CY
-CY
l
A(AX; +AY; +AZ)
c) Se rota, mediante un arco con centro en el punto (O) y
recorriendo un cuadrante par (en el ejemplo el IV C), el
vuelo (AY) del punto (A), desde el eje (Z) hasta el eje (Y)
l
(fig.78d); y se define la proyección lateral (A ) del punto
(A) por medio de rectas paralelas a los ejes (Z e Y).
Z
+AY
+AZ
-DZ
b) Se trasladan la cota (AZ) y el vuelo (AY) del punto (A)
hacia el eje (Z)\ fig.78c.
C
B(BX; -BY; +BZ)
Ejemplo1: Definir las proyecciones laterales de los puntos (A;B;C;
y D)\ fig.79a.
-DZ
D
l
Solución:
l
C
C(CX; -CY; -CZ)
En la fig.79b, se muestra como obtener las proyecciones
laterales de estos puntos; ubicando el eje (Z) a igual
distancia al plano lateral que el punto (B), y dirigiendo el eje
(Y) hacia la derecha.
D(DX; +DY; -DZ)
fig.77.\ Proyección lateral\ ejemplos.
Puede observarse en la fig.79b, que los arcos han sído
trazados recorriendo sólo los cuadrantes pares (II C ó IV C).
La razón de esto es mantener el signo del vuelo de los
respectivos puntos en ambos sistemas, ubicando sus
proyecciones laterales en el cuadrante correcto.
OBTENCIÓN DE LA PROYECCIÓN LATERAL DE
UN PUNTO, A PARTIR DE SU PROYECCIÓN
DIÉDRICA.
Generalmente la proyección lateral de un punto se obtiene
a partir de su doble proyección ortogonal. En la fig.78, se
muestra, a manera de ejemplo, el procedimiento a seguir
l
para determinar la proyección lateral (A ) de un punto (A), a
v
h
partir de sus proyecciones vertical (A ) y horizontal (A )
(fig.78a) siguiendo para ello el procedimiento siguiente:
h
a
B
b
v
A
v
A
Z
b
h
d
Z
l
AY
II C
O
A
h
l
A
v
A
v
D
h
C
l
D
C
v
III C
Y
AY
A
C
O
AY
Y
h
Y
l
AZ
D
B
Z
A
AZ
IC
h
B
B
v
A
Z
II C
A
v
h
v
h
h
A
v
A
A
AY
D
h
C
Y
AZ
v
A
v
O
c
h
B
C
a
D
v
l
IV C
h
A
fig.79.\ Obtención de las proyecciones laterales a partir de la
doble proyección ortogonal\ ejemplo.
VI C
fig.78.\ Determinación de la proyección lateral de un punto (A),
a partir de su doble proyección ortogonal.
Ejemplo2; Definir la proyección lateral del triángulo de vértices
(A;B;C)\ fig.80a.
a) Se definen los ejes de proyección\ fig.78b:
Solución: \ fig.80b.
EJE (Z):
Perpendicular a la línea de tierra, y por
cualquier punto (O) de ella.
25
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PUNTOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
v
B
a
v
A
Z: Hacia arriba
(mas alto)
h
B
Bv
A
PV
C
C
v
O
v
PH
h
Bh
X: Hacia la
derecha.
Y: Hacia
adelante.
A
h
h
A
b
a) Expresión de los sentidos
de los ejes de coordenadas
Z
v
B
l
B
l
fig.81.\ Posición relativa entre dos puntos.
A
v
A
b) Doble proyección ortogonal de
los puntos (A y B)
h
B
Ejemplo: Definir las proyecciones de los puntos: (La solución se
presenta en la fig.82)
Y
C
C
v
h
C
A (45; -20; 05)
l
B ( ?; 25; ?)
A 10 mms del plano lateral; y 5 mms por encima
de (A).
C ( ?; ?; ?)
15 mms a la derecha de (B); 30 mms delante de
(A); y 15 mms por encima del plano horizontal
de proyección.
D (60; ?; ?)
En el IV cuadrante; a 15 mms del plano
horizontal de proyección; y a 20 mms del plano
vertical de proyección.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PUNTOS.
E ( ?; ?; ?)
En la fig.81a, se señalan los nombres dados a los sentidos de
avance de cada uno de los ejes de coordenadas. En base
a estos sentidos, se puede expresar, en forma relativa, la
posición de un punto con respecto a otro.
Contenido en el plano vertical de proyección; 25
mms a la izquierda de (D); y 15 mms debajo del
plano horizontal de proyección.
F ( ?; ?; ?)
En el eje (Z); y 35 mms por debajo de (C).
G (65; ?; ?)
05 mms delante de (A); y 30 mms mas alto que
(D).
H ( ?; 10; 20)
En el plano lateral.
Ι ( ?; ?; ?)
En la línea de tierra; a 15 mms del origen.
h
A
fig.80.\ Proyección lateral de un triángulo (A;B;C).
Ejemplo: Expresar la posición relativa entre los puntos (A y B)\
fig.81b.
Solución.
H
La posición relativa entre los puntos (A y B) puede
expresarse, entre otras, de las siguientes maneras:
v
h
A
C
v
G =G
v
v
a) El punto (A) se encuentra a la izquierda (tiene menos
distancia al plano lateral); por debajo (tiene menos cota);
y por delante (tiene mayor vuelo) del punto (B).
B
v
A
F
b) El punto (B) se encuentra a la derecha (tiene mas
distancia al plano lateral); mas alto (tiene mayor cota); y
por detrás (tiene menor vuelo) del punto (A).
v
Ι =Ι
h
H
h
h
h
E
C
h
v
E
En resumen: Comparando las distancias al plano lateral de
dos puntos, puede decirse cual de ellos está a la izquierda ó
a la derecha del otro; comparando los vuelos de dos
puntos, se define cual de ellos está por delante ó por detrás
del otro; y, comparando las cotas de dos puntos, puede
determinarse cual de ellos está por encima o por debajo del
otro.
F
D
v
D
escala
h
B
0
5
10 15 mms
fig.82.\ Proyección de puntos\ ejemplo.
26
v
h
h
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE RECTAS
Ing. Alberto M. Pérez G.
TRAZAS DE UNA RECTA.
PROYECCIÓN DE RECTAS.
Son los puntos donde la recta se intercepta con los planos
principales de proyección; se denominan\ fig.86:
Las rectas se designan con letras minúsculas (a; b; c;...).
Una recta (r) puede ser definida por medio de dos puntos (A
y B)\ fig.83.
b) Traza Horizontal. Punto donde la recta se intercepta con
el plano horizontal de proyección. Generalmente se
designa con la letra (H).
v
A
v
A
r
a) Traza Vertical. Punto donde la recta se intercepta con el
plano vertical de proyección. Generalmente se designa
con la letra (V).
r
A
r
v
v
v
B
v
B
DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UNA
RECTA.
B
h
r
A
r
h
B
Las trazas de una recta se determinan, en doble proyección
ortogonal, interceptando sus proyecciones con la línea de
tierra\ fig.86b.
h
h
B
h
h
A
fig.83.\ Proyección diédrica de una recta.
VISIBILIDAD.
Solamente pueden ser visibles al observador los elementos
geométricos que se encuentren en el primer cuadrante,
debido a que los planos principales de proyección tapan a
los objetos contenidos en los otros tres cuadrantes, como
puede observarse en la fig.86.
PUNTO CONTENIDO EN UNA RECTA.
Si un punto (P) esta contenido en una recta (r), entonces las
v
h
proyecciones vertical (P ) y horizontal (P ) del punto están
v
h
contenidas en las proyecciones vertical (r ) y horizontal (r )
de la recta, respectivamente\ fig.84. De esta forma, es
posible determinar las proyecciones de un punto conocida
una sola de sus tres coordenadas, si se establece que esta
contenido en una recta dada\ fig.85.
Las partes invisibles se representan con líneas de contorno
invisible, como lo muestra la fig.86b; aunque también es
frecuente, en el desarrollo de problemas en proyección
diédrica, representarlas con líneas de procedimiento)\
fig.88.
a
v
P
v
P
r
r
P
r
v
v
V=V
r
r
h
H
V
h
r
h
h
P
r
r
h
v
v
r
h
P
b
v
V
v
v
H
V
v
h
H=H
h
r
h
H
h
fig.84.\ Punto contenido en una recta.
fig.86.\ Trazas de una recta.
v
v
A
AX
v
A
r
v
A
r
v
r
AZ
CUADRANTES QUE ATRAVIESA UNA RECTA.
v
Considerando la extensión infinita de una recta, ella puede:
h
h
A
A
r
h
A( AX ; ? ; ? )
a) Conocida la distancia
al plano lateral
AY
r
a) Mantenerse en un cuadrante. Si es paralela a la línea de
tierra; en este caso la recta no posee trazas\ fig.87a.
h
A
h
r
A( ? ; AY ; ? )
A( ? ; ? ; AZ )
b) Conocido el vuelo
c) Conocida la cota
h
b) Atravesar dos cuadrantes. Si es paralela a solo uno de los
planos principales de proyección, o si se corta con la
línea de tierra; en este caso la recta tiene una sola traza\
fig.87c.
fig.85.\ Ubicación de un punto (A) en una recta (r).
c) Atravesar tres cuadrantes. Si no cumple con ninguna de
las condiciones anteriores; en este caso la recta tiene
dos trazas\ fig.87b.
27
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE RECTAS
Ing. Alberto M. Pérez G.
DIFERENCIA DE COTA ENTRE DOS PUNTOS /
TRIÁNGULO DE REBATIMIENTO HORIZONTAL.
r
r
r
r
v
r
r
h
a) Se mantiene en un cuadrante
r
r
r
v
A-B
La diferencia de cota (∆Z ) entre dos puntos (A y B) es,
matemáticamente, el valor absoluto de la resta de las cotas
A-B
= AZ-BZ). Gráficamente, se
de ambos puntos (∆Z
determina trazando, por uno de los puntos (A), una recta (a)
perpendicular al plano horizontal de proyección, y por el
otro (B), una recta (b) paralela al mismo plano, que se corte
con la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia
perpendiculares y junto con la proyección real de la recta
(r) forman un triángulo rectángulo denominado: Triángulo de
rebatimiento horizontal\ fig.89.
h
b) Atraviesa tres cuadrantes
v
r
r
h
r
v
El triángulo de rebatimiento horizontal de un segmento (A-B)
generalmente se dibuja, en doble proyección ortogonal,
h
h
sobre la proyección horizontal (A -B )del mismo.\ fig.91a.
h
La nomenclatura utilizada en las fig.89, fig.90, y fig.91.
representa:
c) Atraviesa dos cuadrantes
fig.87.\ Recta que atraviesa 1, 2 ó 3 cuadrantes.
∆Z
A-B
: Diferencia de cota entre los puntos (A y B).
A-B
: Diferencia de vuelo entre los puntos (A y B).
∆Y
DETERMINACIÓN DE LOS CUADRANTES QUE
ATRAVIESA UNA RECTA.
Las trazas de una recta son también los puntos donde la
recta cambia de cuadrante, por lo tanto, para determinar
que cuadrantes atraviesa una recta (r) (fig.88a), puede
seguirse el siguiente procedimiento:
0
α
: Ángulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r))
con el plano horizontal de proyección.
β0
: Ángulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r))
con el plano vertical de proyección.
r
: Proyección rebatida del punto (A).
r
B
: Proyección rebatida del punto (B).
dA-B
: Longitud real (verdadero tamaño) del segmento (AB) (distancia entre los puntos (A y B).
A
a) Se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la
recta (r). Y se acotan las dos semirrectas y el segmento
en que la misma queda dividida\ fig.88b.
b) Se ubican tres puntos (1; 2 y 3) arbitrarios, cada uno de
ellos situado en una de estas tres partes de la recta\
fig.88c.
a
c) Se determina en que cuadrante se encuentra ubicado
cada uno de los puntos anteriores, los cuales se
corresponden al cuadrante en que se encuentra la
parte de la recta que lo contiene\ fig.88d.
rv
b
v
A
r
A
∆Z
∆Z
PV
A-B
A-B
v
B
dA-B
rv
V
v
rh
Hh
∆Z
Vh
A-B
α0
B
h
A
r
A
Hv
rh
rh
rv
PH
dA-B
α0
b
h
r
B =B
a) Definir los cuadrantes
que atraviesa la recta (r)
c
rv
d
1v
V
v
v
2 =2
rh
1
h
Vh
h
Hh
3
rv
1v
h
Vv
v
2 =2
Hv
3v
rh
1
I C.
h
h
Hh
fig.89.\ Triángulo de rebatimiento horizontal.
3h
DIFERENCIA DE VUELO ENTRE DOS PUNTOS /
TRIÁNGULO DE REBATIMIENTO VERTICAL.
Hv
Vh
3v
II C.
A-B
La diferencia de vuelo (∆Y ) entre dos puntos (A y B) es,
matemáticamente, el valor absoluto de la resta de los
A-B
vuelos de ambos puntos (∆Y = AY-BY). Gráficamente, se
determina trazando, por uno de los puntos (B) una recta (b)
perpendicular al plano vertical de proyección, y por el otro
(A), una recta (a) paralela al mismo plano, que se corte con
la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia
III C.
fig.88.\ Determinación de los cuadrantes que atraviesa una
recta.
28
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE RECTAS
Ing. Alberto M. Pérez G.
En la fig.92a, se muestra el dibujo de los triángulos de
rebatimiento del segmento (A-B) y en fig.92b la construcción
del arcocapaz del mismo segmento.
perpendiculares y junto con la proyección real de la recta
(r) forman un triángulo rectángulo denominado: Triángulo de
rebatimiento vertical.\ fig.90
El triángulo de rebatimiento vertical de un segmento (A-B)
generalmente se dibuja, en doble proyección ortogonal,
v
v
sobre la proyección vertical (A -B ) del mismo\ fig.91b.
v
dA-B
B
β
0
r
∆Z
v
A-B
r
A-B
∆Y
v
A
v
β0
dA-B
A-B
∆Y
∆Z
α0
h
A
∆Z
h
b) Arcocapaz
a) Triángulos de rebatimiento
A-B
∆Y
fig.92.\ Arcocapaz.
a
MEDICIÓN DE DISTANCIAS EN RECTAS.
A-B
∆Y
Como puede observarse en las fig.89 y fig.90, la longitud real
(dA-B) de un segmento (A-B) es deformada cuando este es
proyectado ortogonalmente. Por lo tanto, en doble
proyección ortogonal la longitud real (dA-B) de un segmento
(A-B), debe medirse en la hipotenusa de uno de sus
triángulos de rebatimiento (fig.91a ó fig.91b).
h
B
fig.90.\ Triángulo de rebatimiento vertical.
r
dA-B
v
v
A
A
r
v
v
A
v
r
v
v
A
v
1
β0
v
B
A-B
∆Y
v
A-B
∆Y
v
1
v
B
v
B
v
B
h
h
B
dA-B
∆Z
α0
r
A-B
h
B
h
h
A
a) Triángulo de
rebatimiento horizontal
A-B
A-B
dA-B
rv
A
r
r
h
v
h
A-B
r
B
dA-B
∆Z
α
h
A-B
β0
b
B
dA-B
0
B
r
∆Y
B
β0
A
B
A
rh
∆Y
r
A =A
r
A-B
v
h
h
B
A-B
∆Y
r
B
A-B
∆Y
h
1
h
r
h
1
d1-2
h
h
A
r
a) Ubicar sobre la recta (r), el
punto (2), a la distancia (d1-2)
del punto (1) y a su derecha
A
b) Triángulo de
rebatimiento vertical
fig.91.\ Dibujo de los triángulos de rebatimiento.
r
r
1
v
A
v
h
h
A
b) Se dibuja un triángulo de
rebatimiento del segmento (A-B)
r
2
d1-2
r
A-B
∆Y
A-B
∆Y
v
1
Por medio del dibujo de los triángulos de rebatimiento de un
segmento (A-B), puede determinarse el verdadero tamaño
(dA-B) del mismo; así como también los ángulos (αο y β0) que
forma con los planos horizontal y vertical de proyección
respectivamente, como puede observarse en las fig.89 a
fig.92.
r
2
d1-2
r
1
v
A
v
v
1
v
B
v
B
v
2
h
2
h
B
A-B
∆Y
h
B
A-B
∆Y
h
h
1
1
r
ARCOCAPAZ.
h
h
A
c) Se ubica, sobre la hipotenusa
del triángulo de rebatimiento, el
punto (2) a la distancia (d1-2) del
punto (1)
Se denomina arcocapaz a la construcción geométrica de
los triángulos de rebatimiento de un segmento (A-B), unidos
por sus hipotenusas, y circunscritos en una circunferencia;
cuyo diámetro es igual al verdadero tamaño (dA-B) del
mismo.
r
h
h
A
d) Se definen las proyecciones
del punto (2)
fig.93.\ Medición de distancias en rectas.
29
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE RECTAS
Ing. Alberto M. Pérez G.
De igual forma, para ubicar a un punto (2) a una distancia
(d1-2) determinada de otro punto (1) dado, estando ambos
puntos contenidos en una misma recta; debe también
dibujarse un triángulo de rebatimiento de la recta como se
indica en la fig.93.
1) Recta contenida en el plano vertical de proyección. Es
un caso particular del anterior. Su proyección
horizontal coincide con la línea de tierra, por que
todos sus puntos tienen vuelo igual a cero (Y=0)\
fig.97.
RECTAS EN POSICIONES PARTICULARES.
r
Si una recta es paralela a uno de los planos principales de
proyección, se proyecta sobre el en verdadero tamaño, y
por lo tanto no es necesario dibujar los triángulos de
rebatimiento para medir distancias sobre ella, o determinar
los ángulos que forma con los planos principales de
proyección. Por lo tanto el conocimiento de este tipo de
rectas permite resolver ciertos problemas con mayor rapidez.
A continuación se describen estas posiciones particulares:
v
r
A
v
β
A
r
r
v
v
B
0
h
dA-B
h
A
v
A
v
V=Vv
α
h
V
h
h
h
v
r=r
β
v
β0
h
h
A=A
dA-B
h
B=B
r
r=r
r
B
H
v
h
β0=0
0
v
A
v
dA-B
αΟ
h
v
v
B=B
v
h
H=H =H
h
A
V
r
h
B
B
α0
h
h
A
v
H =H
h
h
B
fig.97.\ Recta contenida en el plano vertical de proyección.
h
h
V
B
c) Recta paralela a la línea de tierra. Es una recta paralela
simultáneamente a los planos vertical y horizontal de
proyección; por lo tanto, es una recta horizontal y frontal,
y en consecuencia tiene las propiedades de ambas; es
decir, su cota es constante (Z=cte) y su vuelo también
(Y=cte). Sus proyecciones horizontal y vertical son
paralelas a línea de tierra; están en verdadero tamaño; y
forman ángulos de cero grados con los planos vertical y
horizontal de proyección (α0=β0=00) \ fig.98.
0
r
v
B
h
A
v
α0=0
A
A
A
h
h
B H=Hh
A=A
dA-B
r
v
h
fig.96.\ Recta frontal.
fig.94.\ Recta horizontal.
r
Y=cte.
r
h
A
v
v
B
Ο
H
Z=cte
β0
B
v
B
α0
B
v
B
B
dA-B
β0
r
r
0
v
dA-B αΟ
h
1) Recta contenida en el plano horizontal de proyección.
Es un caso particular del anterior. Su proyección
vertical coincide con la línea de tierra, por que todos
sus puntos tienen cota igual a cero (Z=0)\ fig.95.
v
β0=0
v
A
dA-B
H
r
v
dA-B
a) Recta horizontal. Es una recta paralela al plano
horizontal de proyección; por lo tanto, se proyecta sobre
este plano en verdadero tamaño; su proyección vertical
es paralela a la línea de tierra, por que todos sus puntos
tienen igual cota (Z=cte.), y por lo tanto forma un ángulo
de cero grados con el plano horizontal de proyección
0
(α0=0 )\ fig.94.
A
r
v
A
V=Vv=Vh
v
0
v
1) Recta contenida en la línea de tierra. Es un caso
particular del anterior. Sus proyecciones están
contenidas en línea de tierra\ fig.99.
B
v
h
h
V =V
B
dA-B
r
h
h
A
α0=0
0
r
fig.95.\ Recta contenida en el plano horizontal de proyección.
r
b) Recta frontal. Es una recta paralela al plano vertical de
proyección; por lo tanto, se proyecta sobre este plano
en verdadero tamaño; su proyección horizontal es
paralela a la línea de tierra, por que todos sus puntos
tienen igual vuelo (Y=cte.), y por lo tanto forma un
ángulo de cero grados con el plano vertical de
0
proyección (βο=0 )\ fig.96.
r
v
A
r
v
A
dA-B
dA-B
v
v
A
v
B
dA-B
Z=cte.
B
Y=cte
h
h
A
dA-B
h
B
α0=β0=0
0
r
h
h
A
dA-B
fig.98.\ Recta paralela a la línea de tierra.
30
v
B
h
B
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE RECTAS
Ing. Alberto M. Pérez G.
PV
dA-B
v
r=r =r
h
v
v
v
h
h
r =r
r=r
dA-B
l
v
A
l
A=A
v
h
r
PL
0
0
α =β0=0
B=B =B
rl
V=Vv=Vl
h
B =B
A =A
h
A=A =A
v
v
α
v
h
H =V
B=B
d) Recta vertical. Es una recta perpendicular al plano
horizontal de proyección; por lo tanto, su proyección
horizontal es un punto, y su proyección vertical se
observa en verdadero tamaño y perpendicular a línea
de tierra; forma ángulos de noventa grados con el plano
0
horizontal de proyección (α0=90 ) y cero grados con el
0
plano vertical de proyección (β0=0 )\ fig.100.
dA-B
l
B
h
A
h
A
l
H =H
h
h
B
Y
α0
h
h
PH
0
Vh=Hv
l
fig.99.\ Recta contenida en la línea de tierra.
α0 + β0 = 90
h
B
B
0
v
v
v
dA-B β 0
Z
β 0 r =r
v
l
V =V
l
v
A
A
B
h
r
h
A
h
B
l
H=H =H
H
h
fig.102.\ Recta de perfil.
CONSTRUCCIÓN DE RECTAS.
r
v
r
v
A
dA-B
r
A
0
α=90
0
β=0
v
B
dA-B
H
B
La posición relativa entre los elementos que forman los
triángulos de rebatimiento de una recta no varía; por
ejemplo: el cateto (∆Z) es siempre opuesto al ángulo (α) y
h
perpendicular al cateto (r )\ fig.92. Por lo tanto es posible
definir las proyecciones incompletas de una recta, si se
posee información adicional que permita dibujar sus
triángulos de rebatimiento. A continuación se analizan
algunos de estos casos.
v
v
A
dA-B
v
B
v
H
v
h
H=Hh=Ah=Bh=rh
h
h
H =A =B =r
h
V
a) SE CONOCE LA PROYECCIÓN VERTICAL (r ) DE LA RECTA (r) Y EL
0
ÁNGULO (β ) QUE ESTA FORMA CON EL PLANO VERTICAL DE
PROYECCIÓN.
fig.100.\ Recta vertical.
h
Ejemplo: Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r)
0
que contiene al segmento (A-B) que forma el ángulo (β ) con
el plano vertical de proyección; estando (B) por detrás de (A)\
fig.103a.
e) Recta de punta. Es una recta perpendicular al plano
vertical de proyección; por lo tanto, su proyección
vertical es un punto, y su proyección horizontal se
observa en verdadero tamaño y perpendicular a línea
de tierra; forma ángulos de cero grados con el plano
0
horizontal de proyección (α0=0 ) y noventa grados con el
0
plano vertical de proyección (β0=90 )\ fig.101.
v
dA-B
A
r
A
v
h
B
β0
A-B
∆Y
V
v
A
r
v
B
v
h
B
h
0
α=0
0
β=90
h
h
v
B
v
h
V
r
v
h
La proyección horizontal (r ) de la recta (r), puede
definirse dibujando el triángulo de rebatimiento vertical
del segmento (A-B) a partir de su proyección vertical\
fig.103b.
v
B
r
dA-B
v
V =A =B =r
V=Vv=Av=Bv=rv
Solución:
A
dA-B
h
a
fig.101.\ Recta de punta.
h
A
B
A-B
∆Y
β0
h
A
h
r
b
r
h
h
A
fig.103.\ Construcción de rectas (PV + β0).
h
f)
b) SE CONOCE LA PROYECCIÓN HORIZONTAL (r ) DE LA RECTA (r) Y
0
EL ÁNGULO (α ) QUE ESTA FORMA CON EL PLANO HORIZONTAL DE
PROYECCIÓN.
Recta de perfil. Es una recta perpendicular a la línea de
tierra (paralela al plano lateral); sus proyecciones son
perpendiculares a línea de tierra. Su verdadero tamaño,
así como los ángulos que forma con los planos
principales de proyección, pueden determinarse en una
proyección lateral de la misma\ fig.102.
Ejemplo: Definir la proyección vertical del segmento (A-B) que
0
forma el ángulo (α ) con el plano horizontal de proyección;
estando (B) por debajo de (A)\ fig.104a.
Solución:
31
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE RECTAS
Ing. Alberto M. Pérez G.
h
La proyección vertical del segmento (A-B) puede
definirse dibujando el triángulo de rebatimiento
horizontal del mismo a partir de su proyección
horizontal\ fig.104b.
d) SE CONOCE LA PROYECCIÓN HORIZONTAL (r ) DE LA RECTA (r) Y
0
EL ÁNGULO (β ) QUE ESTA FORMA CON EL PLANO VERTICAL DE
PROYECCIÓN.
Ejemplo: Definir la proyección vertical del segmento (A-B) que
0
sube hacia atrás formando el ángulo (β ) con el plano vertical
de proyección\ fig.107a.
v
A
v
A
∆Z
α0
r
A-B
v
Solución:
v
B
La proyección vertical del segmento (A-B) puede
A-B
definirse determinando la diferencia de vuelo (∆Y ) del
mismo, y dibujando a partir de ella, su triángulo de
rebatimiento vertical\ fig.107b.
h
A
h
A
r
∆Z
h
h
B
a
r
A-B
h
h
B
0
α
b
a
fig.104.\ Construcción de rectas (PH + α).
C)
b
v
B
v
SE CONOCE LA PROYECCIÓN VERTICAL (r ) DE LA RECTA (r) Y EL
0
ÁNGULO (α ) QUE ESTA FORMA CON EL PLANO HORIZONTAL DE
PROYECCIÓN.
A
r
B
r
r
r
h
∆Z
(900−α0)
α0
B
r
h
A
r
a
B
r
α0
h
a) La solución es una recta
horizontal
r
v
∆Z
r
A-B
(900−α0)
α0
r
h
α0
v
h
B
r
∆Z
v
r
h
h
v
B
A-B
∆Y
v
β
r
A
v
v
(900−β 0)
h
r
r
v
A
v
0
r
β0
h
B
A-B
∆Y
h
β0
r
h
h
A
(900−β 0)
h
B
β0
fig.108.\ Construcción de rectas (PH + β0) \ casos particulares.
(900−α0)
α0
A-B
α0
h
r
B
h
A
v
A
v
v
r
En la fig.106, se muestra como, para el mismo ejercicio, si se
0
varía el valor del ángulo (α ) dado, puede ser que la
solución sea: una recta frontal\ fig.106a; o que el ejercicio
no tenga solución\ fig.106b.
r
No se cortan
Son
tangentes
A
h
B
fig.105.\ Construcción de rectas (PV + α0).
v
b) No hay solución
h
b
A
h
A
v
h
h
A
h
β0
En la fig.108, se muestra como, para el mismo ejercicio, si se
0
varía el valor del ángulo (β ) dado, puede ser que la
solución sea una recta horizontal\ fig.108a; o que el ejercicio
no tenga solución\ fig.108b.
v
A-B
r
h
B
fig.107.\ Construcción de rectas (PH + β0).
v
v
(900−β 0)
A-B
∆Y
h
A
A
v
v
h
La proyección horizontal del segmento (A-B) puede
A-B
definirse determinando la diferencia de cota (∆Z ) del
mismo, y dibujando, a partir de ella, su triángulo de
rebatimiento horizontal\ fig.105b.
v
v
Solución:
v
v
r
v
A
Ejemplo: Definir la proyección horizontal del segmento (A-B)
0
que baja hacia adelante formando el ángulo (α ) con el plano
horizontal de proyección\ fig.105a.
A
r
β0
h
v
e) SE CONOCE LA PROYECCIÓN HORIZONTAL (r ) DE LA RECTA (r) Y
EL VERDADERO TAMAÑO (dA-B) DE UN SEGMENTO.
B
Ejemplo: Definir la proyección vertical del segmento (A-B), de
longitud (dA-B), sabiendo que baja hacia la derecha\ fig.109a.
h
A
r
h
Solución:
Son tangentes
a) La solución es una recta frontal
No se cortan
La proyección vertical del segmento (A-B) puede
definirse dibujando el triángulo de rebatimiento
horizontal del mismo a partir de su proyección
horizontal\ fig.109b.
b) No hay solución
fig.106.\ Construcción de rectas (PV + α0) \ casos particulares.
32
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE RECTAS
Ing. Alberto M. Pérez G.
En la fig.112 se muestra como, para el mismo ejercicio, si se
varía el valor del verdadero tamaño (dA-B) del segmento
dado, puede ser que la solución sea una recta frontal\
fig.112a; o que el ejercicio no tenga solución\ fig.112b.
v
A
v
A
∆Z
dA-B
r
A-B
v
v
B
dA-B
No se cortan
dA-B
h
A
h
A
r
∆Z
h
r
A-B
dA-B
h
A-B
∆Y
h
B
=0
A
B
dA-B
v
B
v
h
r
v
v
v
A
dA-B
a
Son
tangentes
h
A
En la fig.110, se muestra como, para el mismo ejercicio, si se
varía el valor del verdadero tamaño (dA-B) del segmento
dado, puede ser que la solución sea una recta horizontal\
fig.110a; o que el ejercicio no tenga solución\ fig.110b.
v
A
r
v
v
h
A
A-B
∆Z =0
r
r
h
h
B
B
fig.112.\ Construcción de rectas (PV + VT) \ casos particulares.
A
g) SE CONOCE EL VERDADERO TAMAÑO (dA-B) DE UN SEGMENTO (A0
0
B), Y LOS ÁNGULOS (α ) Y (β ) QUE ESTE FORMA CON LOS LOS
PLANOS PRINCIPALES DE PROYECCIÓN.
r
h
A
h
h
Ejemplo: Definir las proyecciones del segmento (A-B), de
longitud (dA-B), sabiendo que baja hacia atrás ((B) a la derecha
0
0
y por debajo de (A)), formando los ángulos (α ) y (β ) con los
planos vertical y horizontal de proyección respectivamente\
fig.113a.
h
B
h
B
dA-B
dA-B
No se cortan
a) La solución es una
recta horizontal
dA-B
Solución:
Las proyecciones horizontal y vertical pueden dibujarse
construyendo, generalmente aparte, el arcocapaz del
segmento (A-B) dado, en base a una circunferencia
cuyo diámetro sea el verdadero tamaño (dA-B) del
mismo\ fig.113b.
b) No hay solución
fig.110.\ Construcción de rectas (PH + VT) \ casos
particulares.
v
SE CONOCE LA PROYECCIÓN VERTICAL (r ) DE LA RECTA (r), Y EL
VERDADERO TAMAÑO (dA-B) DE UN SEGMENTO.
v
dA-B
Ejemplo: Definir la proyección horizontal del segmento (A-B),
de longitud (dA-B), sabiendo que sube hacia atrás\ fig.111a.
A
r
v
A
β
r
La proyección horizontal del segmento (A-B) puede
definirse dibujando el triángulo de rebatimiento vertical
del mismo a partir de su proyección vertical\ fig.111b.
A
a
v
B
v
0
(α+β < 90 )
v
A
r
A-B
∆z
r
∆Y
h
B
h
h
A
r
h
2) Se definen las
proyecciones del
segmento (A-B)
Este tipo de ejercicio tiene solución cuando la suma de los
0
0
0
0
0
0
ángulos (α ) y (β ) es inferior a 90 (α +β <90 ), como es el
caso del ejemplo mostrado en la fig.113; o si la suma de los
0
0
0
0
0
0
ángulos (α ) y (β ) es igual a 90 (α +β =90 ), en cuyo caso la
solución es una recta de perfil\ fig.114. Si la suma de los
0
0
0
0
0
0
ángulos (α ) y (β ) es mayor que 90 (α +β >90 ), el ejercicio
no tiene solución\ fig.115.
h
b
v
B
fig.113.\ Construcción de rectas (VT + α0 + β0).
v
B
A-B
∆Y
h
b
v
v
B
A-B
∆Y
dA-B
dA-B
α0
1) Se dibuja el
ARCOCAPAZ
dA-B
r
h
0
r
A-B
∆z
A-B
α0
h
A
A-B
∆Y
v
β0
Solución:
v
b) No hay solución
v
dA-B
A
h
A
a) La solución es una
recta frontal
Son
tangentes
a
B
v
b
fig.109.\ Construcción de rectas (PH + VT).
f)
r
r
h
h
A
fig.111.\ Construcción de rectas (PV + VT).
33
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE RECTAS
Ing. Alberto M. Pérez G.
dA-B
r
v
A
v
β 0 dA-B
β0
r
h
h
A
Datos
r
A
α0
2) No hay solución
v
A
v
A-B
∆z
v
B
h
B
0
(α+β = 90 )
A-B
h
r = ∆Y
A-B
v
r = ∆Z
Solución
h
r
V
Son
tangentes
0
α
v
A
β 0 dA-B
h
α0
A-B
∆z
1) Se dibuja el
ARCOCAPAZ
No se
cortan
0
A-B
r
=r
A-B
∆Y
v
β0
A-B
∆z
1) Se dibuja el
ARCOCAPAZ
α0
dA-B
2) Se definen las
proyecciones del
segmento (A-B)
A-B
∆Y
∆Y
=r
h
h
A
h
A
Datos
fig.114.\ Construcción de rectas (VT + α0 + β0) \ La solución es
una recta de perfil.
(α0+β 0 > 90 )
A-B
h
r < ∆Y
A-B
v
r < ∆Z
Solución
A-B
∆Y
r
h
h
A
fig.115.\ Construcción de rectas (VT + α0 + β0) \ No hay
solución.
34
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
PROYECCIÓN DE PLANOS.
a
α
v
P
b
Para designar los planos se utilizan letras minúsculas del
alfabeto griego (Fig.116).
α
P
v
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Alfa
Beta
Gamma
Delta
Épsilon
Zeta
Eta
Teta
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
ο
π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
Ιota
Kapa
Lambda
Mu
Nu
Xi
Ómicron
Pi
b
α
a
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
v
α
V
a
v
b
a
v
P
V
V
b
h
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
Ro
Sigma
Tau
Ípsilon
Fi
Ji
Psi
Omega
a
h
a
h
α
h
P
h
h
b
α
h
P
h
b
Fig.119.\ Plano (α) definido por dos rectas (a y b) que se
cortan.
Fig.116.\ Alfabeto griego.
a
α
v
a
a
b // a
v
a
UN PLANO (α) PUEDE DEFINIRSE POR MEDIO DE:
v
α
v
α
b
a) Tres puntos (A; B; y C)\ Fig.117.
α
b) Una recta (a) y un punto (P)\ Fig.118.
v
b
v
b
h
a
c) Dos rectas (a y b) que se cortan\ Fig.119.
h
h
b
d) Dos rectas (a y b) paralelas\ Fig.120.
a
h
α
h
α
h
b
Dos rectas que se cruzan no definen un plano\ Fig.121.
Fig.120.\ Plano (α) definido por dos rectas (a y b) paralelas.
v
α
B
A
B
C
V
v
A
v
A
V
B
α
v
a
v
α
C
B
A
C
α
b
v
V
a
h
B
b
h
h
B
h
h
V
a
V
b
C
α
A
v
A
C
a
h
h
a
α
h
h
C
h
h
b
h
b
Fig.117.\ Plano (α) definido por tres puntos (A; B; y C).
Fig.121.\ Dos rectas (a y b) que se cruzan no definen un plano.
a
Un plano, inicialmente definido por tres puntos (Fig.122a),
puede posteriormente ser definido por: una recta (a) y un
punto (A) (Fig.122b1); dos rectas (a y b) que se cortan
(Fig.122b2); o dos rectas (a y b) paralelas (Fig.122b3).
v
P
α
V
a
P
α
P
α
α
V
P
v
a
v
v
a
av
Bv
Av
v
Av
Bv
v
C
Av
C
av
h
P
h
h
a
α
Ah
Ah
h
P
h
h
α
Bh
C
Cv
bv
bh
h
C
Bh
A
ah
Bh
Ch
Bv
Cv
v
bh
Ah
ah
av
bv
Bv
Ah
ah
Bh
Ch
h
a
a) Plano definido
por tres puntos
(A; B; y C)
Fig.118.\ Plano (α) definido por una recta (a) y un punto (P).
1) Una recta (a) y
un punto (A)
2) Dos rectas
(a y b) que se cortan
3) Dos rectas
(a y b) paralelas
b) Definición del mismo plano por medio de:
Fig.122.\ Cambio de la definición original de un plano.
35
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
TEOREMAS DE PLANOS.
a) Si dos puntos (A y B) pertenecen a un plano (α), la recta
(r) que los une también pertenece a él\ Fig.123a.
v
B
v
r
A
C
b) Todas la rectas coplanares se cortan entre si; excepto si
son paralelas\ Fig.123b.
A∈α
α
a) Si dos puntos (A y B) están
contenidos en un plano (α), la
recta (r) que los une también lo
está
r
C
h
v
v
v
a
h
h
A
A
B
C
C
b
h
1
h
h
B
h
1) Datos
C
h
2
B
b
a
1
v
A
d
B∈α
v
2
v
b
α
r∈α
v
A
v
Estos dos teoremas son de gran aplicación en la resolución
de problemas de geometría descriptiva relacionados con la
proyección de planos.
α
v
B
v
h
h
a
r
h
2) Determinación de r
h
a) Plano definido por tres puntos (A; B y C)
c
v
v
a
b) Todas las rectas (a; b; c; d...)
contenidas en un plano (α) se
cortan entre sí; excepto si son
paralelas
r
v
a
v
v
A
A
Fig.123.\ Teoremas de planos.
h
α
2
r
v
v
v
1
A
RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO.
Ι
v
v
b
h
A
h
2
h
h
A
h
h
a
Ι
a
r
a
1) Datos
Se puede determinar la pertenencia o nó de una recta (r) a
un plano (α), por medio de la verificación del cumplimiento
de los dos teoremas mostrados en la Fig.123.
b
1
h
h
2) Determinación de r
h
b) Plano definido por un punto (A) y una recta (a)
v
v
a
h
Ejemplo: Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r),
sabiendo que esta contenida en el plano (α) definido por:
r
v
b
a
v
v
b
v
r
1
v
2
v
a) Tres puntos (A; B y C)\ Fig.124a1.
Solución\ Fig.124a2.
1) Se definen las proyecciones de la recta (a) por medio
de los puntos (A y C).
h
h
b
2) Se definen las proyecciones de la recta (b) por medio
de los puntos (B y C).
α
b
h
a
a
b
Las rectas (a y b) están contenidas en el plano (α), por
que los puntos (A; B; y C) que las definen son puntos ese
plano.
h
2
h
1
h
a
1) Datos
r
h
2) Determinación de r
h
c) Plano definido por dos rectas que se cortan (a y b)
v
3) Se definen las proyecciones de los puntos (1 y 2) de
corte de la recta (r) con las rectas (a y b)
respectivamente.
v
a
v
b
r
a
v
v
b
v
r
1
v
2
Las rectas (a; b; y r) se cortan por que todas pertenecen a
un mismo plano (α).
h
4) La proyección horizontal (r ) de la recta (r) queda
h
h
definida por las proyecciones horizontales (1 y 2 ) de
los puntos (1 y 2).
h
h
b
h
b
α
b) Una recta (a) y un punto (A)\ Fig.124b1.
a
h
a
b
1) Datos
Solución\ Fig.124b2.
2
h
a
h
1
Fig.124.\ Recta que pertenece a un plano.
2) Se definen las proyecciones de un punto (1)
cualquiera de la recta (a).
36
h
2) Determinación de r
d) Plano definido por dos rectas paralelas (a y b)
1) Se definen las proyecciones del punto de corte (Ι)
entre las rectas (a y r).
r
h
v
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
v
v
B
B
v
P
v
A
C
v
P
v
A
4) Se definen las proyecciones del punto de corte (2)
entre las rectas (b y r).
v
m
v
C
h
v
h
5) La proyección horizontal (r ) de la recta (r) queda
h
h
definida por las proyecciones horizontales (2 e Ι ) de
los puntos (2 e Ι).
h
A
A
C
h
B
A
B
C
α
3) Se definen las proyecciones de la recta (b), que
contiene a los puntos (A y 1).
c) Dos rectas (a y b) que se cortan\ Fig.124c1.
h
C
h
B
h
Solución\ Fig.124c2.
h
P
h
1) Datos
2) Determinación de P
m
1) Se definen las proyecciones de los puntos (1 y 2) de
corte de la recta (r) con las rectas (a y b)
respectivamente.
h
a) Plano definido por tres puntos (A; B y C)
h
v
a
v
a
v
P
v
P
v
v
A
m
A
v
2) La proyección horizontal (r ) de la recta (r) queda
h
h
definida por las proyecciones horizontales (1 y 2 ) de
los puntos (1 y 2).
d) Dos rectas (a y b) paralelas\ Fig.124d1.
Solución\ Fig.124d2.
Se procede de igual forma que el caso anterior.
h
A
h
A
PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO.
A
α
h
h
a
a
a
Ejemplo:\ Fig.125.
h
P
h
2) Determinación de P
1) Datos
m
h
Definir la proyección horizontal (P ) del punto (P) sabiendo
que está contenido en el plano (α) definido por:
h
b) Plano definido por un punto (A) y una recta (a)
v
v
a
v
v
P
b
a) Tres puntos (A; B y C)\ Fig.125a1.
v
a
P
b
b) Una recta (a) y un punto (A)\ Fig.125b1.
v
c) Dos rectas (a y b) que se cortan\ Fig.125c1.
v
m
d) Dos rectas (a y b) paralelas\ Fig.125d1.
h
Solución:\ Fig.125a2;
respectivamente.
h
b
b
Fig.125b2;
Fig.125c2;
y
Fig.125d2,
h
h
a
α
Para definir la proyección horizontal (P ) del punto (P), en
todos los casos, se aplica el siguiente procedimiento:
h
a
a
h
P
b
m
h
2) Determinación de P
1) Datos
v
a) Se define la proyección vertical (m ) de una recta (m)
cualquiera que contenga al punto (P).
h
c) Plano definido por dos rectas que se cortan (a y b)
h
v
a
v
b
v
P
v
m
v
a
v
b
b) Se define la proyección horizontal (m ) de la recta (m)
haciéndola pertenecer al plano (α).
P
h
c) Se define la proyección horizontal (P ) del punto (P),
h
sobre la proyección horizontal (m ) de la recta (m).
v
TRAZAS DE UN PLANO.
h
h
b
α
a
b
Son las rectas donde el plano se intercepta con los planos
principales de proyección. Se denominan\ Fig.126:
b
h
a
1) Datos
h
a
a) Traza vertical. Es la intersección (f) del plano (α) con el
plano vertical de proyección\Fig.126a.
h
P
h
2) Determinación de P
m
h
d) Plano definido por dos rectas paralelas (a y b)
b) Traza horizontal. Es la intersección (h) del plano (α) con el
plano horizontal de proyección\ Fig.126b.
Fig.125.\ Punto que pertenece a un plano.
Las trazas (f y h) de un plano (α) se cortan en la línea de
tierra (excepto si el plano (α) es paralelo a ella).
37
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
h
f
h
α
RECTAS CARACTERÍSTICAS DE UN PLANO.
v
f
v
f=f
f
Se llaman rectas características de un plano (α) a las rectas
del plano que son paralelas a uno de los planos principales
de proyección; se denominan\ fig.129:
v
h
v
α
h
h
h
h
h=h
a) Traza vertical (f)
1
a) Rectas características frontales. Son las rectas (f ) del
plano (α) paralelas al plano vertical de proyección; en
consecuencia son paralelas a la traza vertical (f) del
plano α\ fig.129a.
b) Traza horizontal (h)
Fig.126.\ Trazas de un plano.
1
2
Todas las rectas frontales (f; f ; f ; ...) de un plano (α) son
paralelas entre sí\ fig.130.
DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UN
PLANO.
1
b) Rectas características horizontales. Son las rectas (h ) del
plano (α) paralelas al plano horizontal de proyección; en
consecuencia son paralelas a la traza horizontal (h) del
plano (α)\ fig.129b.
Si una recta (r) está contenida en un plano (α); las trazas
vertical (V) y horizontal (H) de la recta (r), están contenidas
en las trazas vertical (f) y horizontal (h) del plano (α),
respectivamente (fig.127). Además, como ya se mencionó,
las trazas de un plano se cortan en la línea de tierra
(Excepto si el plano es paralelo a ella). Por lo tanto, pueden
definirse las trazas de un plano (α), definiendo previamente
las trazas de dos rectas (a y b) contenidas en el, como se
muestra en los ejemplos (a) y (b) de la fig.128.
1
2
Todas las rectas horizontales (h; h ; h ; ...) de un plano (α)
son paralelas entre sí\ fig.131.
v
f
v
r
f=f
rv
Vv
v
V=V
α
h
1v
f
f
f =h
r
v
H
h
V
r
H=H
h
h
h
v
H
1h
H
h
h=h
V
v
f
f
v
f =h
h
h
h
f =h
1h
Hv
v
f
α
v
v
v
1v
f
1
f
h
h
h
h
H
h
h
h
1
a) Recta característica frontal (f )
rh
v
f
v
f=f
fig.127.\ Trazas de una recta (r) contenida en un plano (α).
C
v
fv
a
v
v
V
v
A
C
α
h
b
h
1h
h
h
1h
C
h
1
b) Recta característica horizontal (h )
2) Solución
H
Ejemplo (a)
h
v
C
v
C
C
b // a
1v
f
2
fh=hv
h
A
C
f=f
f
B
f
3v
f
3
h
h
h
2) Solución
1h
f
Ejemplo (b)
B
h
2h
f
α
h
h
b // a
v
f =h
4
f
h
B
f
f
a
1) Datos
v
2v
f
v
1
v
A
h
hh
v
v
B
fig.129.\ Rectas características de un plano.
h
b
fv
v
v
A
h
h
a
a
h
C
h
v
h
h
B
v
h
fh=hv
v
A
h
1) Datos
A
h=h
H
V
B
h
v
B
V
h
h
V
1h
v
1v
A
v
1
h
A
V
v
B
V
V
f =h
v
v
1v
h
1v
h
h
h=h
hh
h
3h
h
f
1
2
3
4
f // f // f // f // f ...
fig.128.\ Determinación de las trazas de un plano\ ejemplos.
fig.130.\ Paralelismo entre rectas características frontales.
38
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
v
f=f
α
f
3v
h
v
h
v
h
v
h
h
h
Un plano (α) puede ser definido por dos rectas
1
1
características (f y h ), como se muestra en la fig.132a. Y las
trazas (f y h) de este plano (α), pueden determinarse a partir
1
1
de sus rectas características (f y h ), como se muestra en la
fig.132b.
1v
v
f
1v
1v
h
P
P
1
h
Una forma convencional de designar, en doble proyección
ortogonal, a un plano (α), definido por sus trazas (f y h),
consiste en cambiar su nomenclatura teórica, mostrada en
la fig.135a, por la nomenclatura convencional mostrada en
la fig.135b
1v
v
h
P
h
v
f =h
α
α
P
1h
1h
h
f
h
h
h
1
a) Plano definido por rectas características
h
h
1h
h // h
b) Trazas del plano
1
h
r
v
v
v
f
v
h
v
1v
v
f
v
h
f
v
P
fig.135.\ Notación teórica y convencional de un plano (α).
α
f
h
β
f
1
h
1v
v
f
f
2v
β
f
v
v
α
γ
v
1
1v
h
v
h
b) Notación
convencional del plano (α)
En la fig.136, se muestra la comparación entre la notación
teórica (fig.136a) y la notación convencional (fig.136b)
usadas en la representación de los planos (α; β; y γ),
pudiéndose apreciar en la misma, la conveniencia de utilizar
esta última, la cual será usada en adelante.
v
f
v
P
α
a) Notación teórica
del plano (α)
1
Siguiendo el método ya descrito en el ejemplo de la Fig.125,
se muestra, en la fig.133b, como hacer pertenecer un punto
(P) a un plano (α) definido por rectas características (f y h)
(fig.133a); utilizando para ello una recta: (r) cualquiera
1
1
(fig.133b1); (f ) frontal (fig.133b2); ú (h ) horizontal (fig.133b3).
P
h
h
PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO
DEFINIDO POR RECTAS CARACTERÍSTICAS.
v
v
f =h
fig.132.\ Plano (α) definido por rectas (f y h ) características.
f
α
1h
f
h
P
v
v
f
α f
h
1h
1
f
h
NOTACIÓN CONVENIDA DE PLANOS DEFINIDOS
POR TRAZAS.
f // f
1v
f
1
1h
h
fig.134.\ Punto contenido en un plano definido por trazas.
fig.131.\ Paralelismo entre rectas características horizontales.
f
P
1h
f
h
h
r
1
1
3) horizontal (h )
1) cualquiera (r)
2) frontal (f )
h
b) Determinación de (P ) por medio de una recta
a) Definir (P ),
estando (P)
contenido (α)
1h
h
4
h // h // h // h // h ...
3
v
1v
h
h
P
h
h
h
h
2h
2
P
h
h
1
v
v
h
3h
h
v
f
v
h
h
h=h
v
f
P
P
h
1
1v
f
v
h
h
v
P
f =h
2
P
r
f h=hv
1v
h
3
h
f
h
P
2v
h
4
v
f
α
v
f
h
h
v
1h
1v
f =h =f =h =
r
h
h
f
f
2h
h
h
P
h
h
f
h
h
h
1h
h
P
f
h
h
1h
h
h
a) Definir (P ),
estando (P)
contenido (α)
=f =h
h
f
h
1
1h
P
h
h
2h
h
2
1
γ
UN
f
2
h
h
h
a) Notación teórica de
los planos (α; β y γ)
h
h
γ
α
b) Notación convencional
de los planos (α; β y γ)
h
fig.136.\ Notación teórica y convencional
de los planos (α; β y γ).
fig.133.\ Punto que pertenece a un plano definido por rectas
características.
A
β
h
3) horizontal (h )
1) cualquiera (r)
2) frontal (f )
h
b) Determinación de (P ) por medio de una recta
PUNTO QUE PERTENECE
DEFINIDO POR TRAZAS.
2v
PLANOS EN POSICIONES PARTICULARES.
PLANO
Los planos, al igual que las rectas, pueden ocupar ciertas
posiciones particulares con respecto a los planos principales
de proyección. El estudio de estas posiciones es muy
importante; ya que poseen propiedades proyectivas propias
que permiten simplificar la resolución de problemas
relacionados con este tipo de planos.
Siguiendo el método ya descrito en el ejemplo de la Fig.125,
se muestra, en la fig.134, como hacer pertenecer un punto
(P) a un plano (α) definido por trazas (f y h) (fig.134a),
1
utilizando para ello una recta: (r) cualquiera (fig.134b1); (f )
1
frontal (fig.134b2); ú (h ) horizontal (fig.134b3).
39
Geometría Descriptiva
PROYECCIÓN DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
En las fig.137 a fig.139, se muestran estas posiciones
particulares. Los puntos (A; B; y C) representados en cada
caso están contenidos en el plano (α) mostrado, y se indican
0
además los ángulos (α0 y β ) que el plano (α) forma en cada
caso con los planos horizontal y vertical de proyección
respectivamente. A continuación, se hace una breve
descripción de estas posiciones particulares:
α
v
h
α
h
α
A
α0=900
β 0=00
C
β0
α
0
α =90
h
α A
Ch
h
Bh
v
C
v
v
α
h
α
α Av
v
α
α0
α
0
Cv
0
α
Bh
0
β =90
v
α
v
h
α
Cv
v
Av
B
α0=900
β 0=900
e) Plano (α) de perfil
α0+β 0=900
Ch
v
h
A
Bv
α
α
α
Bh
2) Plano segundo bisector. Es un plano que pasa por la
línea de tierra y forma 450 con el plano horizontal de
proyección. dividiendo en partes iguales a los
cuadrantes dos (ΙΙ C) y cuatro (IV C). Las
proyecciones de cualquier figura geométrica
contenida en el segundo bisector son coincidentes;
debido a que para todos sus puntos: la cota y el
vuelo son iguales en magnitud pero diferentes en
signo\ fig.139b.
h
d) Plano (α) de punta
h
A
Ch
Bv
Ah
h
α
α =α
PL α
1) Plano primer bisector. Es un plano que pasa por la
línea de tierra y forma 450 con el plano horizontal de
proyección, dividiendo en partes iguales a los
cuadrantes uno (Ι C) y tres (ΙΙΙ C). Las proyecciones
de cualquier figura geométrica contenida en el
primer bisector son simétricas; debido a que para
todos sus puntos: la cota, es igual al vuelo\ fig.139a.
b) Plano (α) horizontal
c) Plano (α) vertical
v
Cv
Bh
v
Av
h
α0=00
β 0=900
α
Bv
α
B
v
h
a) Plano (α) frontal
α
0
B
h
Cv
v
v
Ah
Plano paralelo a la línea de tierra. Sus trazas son paralelas
a la línea de tierra\ fig.137f.
g) Plano que pasa por la línea de tierra. Sus trazas se
encuentran en la línea de tierra, la cual es una recta del
plano\ fig.138. Todas las rectas contenidas en estos
planos se cortan con la línea de tierra (excepto si son
paralelas a ella). Existen además dos planos muy
particulares de este tipo denominados:
Ah
h
β0
α A
α
Av
f)
Ch
v
Bv
α
es frecuente en estos planos determinar su proyección
lateral\ fig.137e.
h
α
Bh
v
A
f) Plano (α) paralelo a L.T.
α
α0+β 0=900
α0
fig.137.\ Planos en posiciones particulares.
a) Plano frontal. Es un plano paralelo al plano vertical de
proyección; por lo tanto todos sus puntos tienen el mismo
vuelo. Su traza horizontal, sobre la cual se proyecta
horizontalmente todo el plano, es paralela a la línea de
tierra. El plano se proyecta verticalmente en verdadero
tamaño\ fig.137a.
β0
v
C
r
v
B
h
v
v
h
α =α
h
α =α
r
h
B
h
h
C
A
v
Todas sus rectas
se cortan con L.T.
fig.138.\ Plano que pasa por la la línea de tierra.
b) Plano horizontal. Es un plano paralelo al plano horizontal
de proyección; por lo tanto todos sus puntos tienen la
misma cota. Su traza vertical, sobre la cual se proyecta
verticalmente todo el plano es paralela a la línea de
tierra. El plano se proyecta horizontalmente en
verdadero tamaño\ fig.137b.
v
A
α
C
0
β 0=45
h
v
B
v
r
v
r
h
h
α =α
0
α0=45
v
h
α =α
c) Plano vertical. Es un plano perpendicular al plano
horizontal de proyección; por lo tanto su traza vertical es
perpendicular a la línea de tierra, todo el plano se
proyecta horizontalmente sobre su traza horizontal\
fig.137c.
h
C
B
v
h
A
a) Primer bisector
v
Proyecciones
simétricas
h
A =A
d) Plano de punta. Es un plano perpendicular al plano
vertical de proyección; por lo tanto su traza horizontal es
perpendicular a la línea de tierra, todo el plano se
proyecta verticalmente sobre su traza vertical\ fig.137d.
α
v
0
α0=45
v
r =r
h
v
C =C
v
α =α
e) Plano de perfil. Es un plano perpendicular a la línea de
tierra; por lo tanto es paralelo al plano lateral y en
consecuencia todos sus puntos tienen igual distancia a
este plano. Sus trazas horizontal y vertical son
perpendiculares a la línea de tierra, y todo el plano se
proyecta horizontal y verticalmente sobre ellas. El plano
se proyecta lateralmente en verdadero tamaño, por eso
v
h
h
B =B
b) Segundo bisector
fig.139.\ Planos bisectores.
40
h
α =α
h
Proyecciones
coincidentes
Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capítulo 4
INTERSECCIÓN;
PARALELISMO;
PERPENDICULARIDAD.
En el capítulo tres se estudió como definir la Proyección
Diédrica de los elementos geométricos básicos: punto; recta
y plano.
Sin embargo, estos elementos geométricos no deben
considerarse como algo independiente, debido a que se
presentan juntos en cualquier objeto real que se represente
o en cualquier problema de Geometría Descriptiva que se
quiera resolver.
Por ejemplo, un punto puede originarse de la intersección
entre una recta y un plano; o una recta puede ser definida
por la intersección entre dos planos, etc. Las rectas y los
planos por su parte pueden ubicarse en el espacio que los
rodea en diferentes posiciones relativas; pudiendo ser
paralelos; perpendiculares, cortarse, cruzarse, etc.
En este capítulo se estudia como definir, en Doble
Proyección Ortogonal, la intersección, paralelismo y/o
perpendicularidad que puede producirse entre rectas y
planos debido a las posiciones relativas que estos ocupen
entre sí en el espacio que los rodea.
Los procedimientos aquí descritos son de gran importancia
para la resolución de problemas en doble proyección
ortogonal, y representan una herramienta básica de trabajo
que capacitará al estudiante para la determinación de la
Proyección Diédrica de objetos tridimensionales, tales como
pirámides, prismas, conos, esferas, etc., así como para la
definición de las intersecciones producidas entre estos
cuerpos.
Por otra parte, la comprensión de estas relaciones básicas
de intersección, paralelismo y perpendicularidad, es
necesaria para la resolución de problemas métricos y la
determinación de lugares geométricos, que se analiza en los
capítulos cinco y seis; así como para la comprensión de
otros procedimientos prácticos de Geometría Descriptiva
como lo son: el rebatimiento de planos; rotación; y cambio de
planos de proyección, descritos en el capítulo siete, y que
representan también procedimientos de trabajo esenciales
para la determinación de la proyección diédrica de objetos
geométricos complejos.
Geometría Descriptiva
INTERSECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
h
INTERSECCIÓN.
c) La proyección horizontal (Ι ) del punto (Ι), se obtiene
h h
proyectivamente, sobre la proyección horizontal (r =t )
de las rectas (r y t).
INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.
También es posible definir la intersección (Ι) entre una recta
v
v
(r) y un plano (α) tapando las proyecciones verticales (r y t )
de las rectas (r y t) y siguiendo un procedimiento análogo al
anterior\ fig.142.
La intersección entre una recta (r) y un plano (α) es un punto
(Ι)\ fig.140.
r
α
α
fig.140.\ Intersección (Ι) entre una recta (r) y un plano (α).
Ι
2
r
DETERMINACIÓN DE LA INTERSECCIÓN ENTRE
UNA RECTA Y UN PLANO (recta tapada).
th
2v
t∈α
Ι
2
2h
Ιh
fig.142.\ Determinación de la intersección (Ι) entre una recta (r)
v
v
y un plano (α), tapando las proyecciones verticales (r y t ) de
las rectas (r y t).
tv
v
1h
rh
Para definir, en Doble Proyección Ortogonal, el punto de
intersección (Ι) entre una recta (r) y un plano (α), se aplica
un procedimiento denominado recta tapada, el cual consiste
en:\ fig.141:
Ι
rv=tv
1
t∈α
α
1v=2v
Ιv
Ι
rv
Ejemplo: Definir la intersección (Ι) entre la recta (r) y el plano (α)
para los siguientes casos:
1v
a) El plano (α) está definido por sus trazas\ fig.143a.
r
Solución:
1
En la fig.143b, se muestra la solución tapando las
h h
proyecciones horizontales (r =t ) de las rectas (r y t) y en
v v
la fig.143c, tapando sus proyecciones verticales (r =t ).
rh=th
Ι
1h=2h
h
v
α
a
r
v
r
fig.141.\ Determinación de la intersección (Ι), entre recta (r) y
h
h
plano (α), tapando las proyecciones horizontales (r y t ) de
las rectas (r y t) .
a) Definir en el plano (α) una recta (t), cuya proyección
h
horizontal (t ) coincide (se tapa) con la proyección
h
horizontal (r ) de la recta (r); por esta razón la recta (t) se
1
denomina recta tapada . Las rectas (r y t) se cortan en el
punto de intersección (Ι) buscado.
h
v
Ι
v
v
Ι
h
h
h
h
r =t
h
α
α
v
r =t
Ι
h
v
c
v
Ι
r
v
α
t
b
v
h
α
r
h
α
h
t
fig.143.\ Intersección (Ι) de la recta (r) con el plano (α) definido
por trazas.
v
b) La proyección vertical (Ι ) del punto (Ι) queda definida
v
v
por el corte de las proyecciones verticales (r y t ) de las
rectas (r y t).
b) El plano (α) está definido por las rectas (f y h) características\
fig.144a.
Solución:
En la fig.144b, se muestra la solución tapando las
h h
proyecciones horizontales (r =t ) de las rectas (r y t) y en
v v
la fig.144c, tapando sus proyecciones verticales (r =t ).
1
La designación de recta tapada asignada a la recta (t) no debe interpretarse
literalmente, ya que ambas rectas (r y t) se tapan mutuamente.
42
Geometría Descriptiva
INTERSECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
v
a
f
f
h
α
r
b
v
f
v
v
h
v
f
c
v
Ιv
v
h
r
v
ANÁLISIS
DE
INTERSECCIÓN
PLANO.
v
r =t
Ιv
v
h
r
h
h
h
r =t
h
h
h
f
r
h
h
Ιh
h
f
h
h
Ιh
h
f
EN
CON
LA
UN
La representación de la intersección de una recta (r) con un
plano (α), siempre presenta dos posibilidades de visibilidad,
como se muestra en las fig.147a y fig.147b, en las cuales
puede observarse que un segmento de la recta (r), definido
por el punto de intersección (Ι) y un punto del contorno del
plano (α), permanece invisible al observador, siendo tapado
por el plano.
v
t
h
LA
VISIBILIDAD
DE UNA RECTA
h
t
fig.144.\ Intersección (Ι) de la recta (r) con el plano (α) definido
por rectas características (f y h).
a
b
r
c) El plano (α) está definido por sus trazas y la recta (r) es una
recta de perfil\ fig.145a.
α
Ι
r
α
Ι
Solución:
El punto de intersección (Ι), puede definirse en una
proyección lateral del sistema\ fig.145b.
r
α
v
1
2
v
r =r
v
Z=rv=rh=tv=th
v
1
α
v
1
v
l
V =V
h
v
2
2
h
V =H
h
2
v
rl
l
1
Ιv
v
Ιl
l
2
H
l
h
2
tl
Ejemplo: Definir la intersección (Ι) y visibilidad entre la recta (r) y
el triángulo de vértices (A;B; y C)\ fig.148a.
h
1
1
h
α
a
Por medio del siguiente ejemplo se describe la forma de
analizar la visibilidad en la intersección de una recta (r) con
un plano (α).
Y
Ιh
h
fig.147.\ Intersección entre una recta y un plano\ VISIBILIDAD.
En Doble Proyección Ortogonal, debe analizarse la
visibilidad en las proyecciones horizontal y vertical en forma
independiente, debido a que los segmentos visibles en una
de las proyecciones no son necesariamente visibles en la
otra proyección.
H
b
h
Solución:
h
α
a) Se determina el punto de intersección (Ι) entre la recta
(r) y el triángulo (A;B;C)\ fig.148b.
fig.145.\ Intersección (Ι) de un plano (α) definido por trazas,
con una recta (r) de perfil.
b) Para determinar la visibilidad en proyección vertical\
fig.148c:
d) Definir la intersección (Ι) de la recta (r) con los planos
bisectores\ fig.146a.
1) Se define el segmento de punta (1-2) cuya
v
v
proyección vertical (1 =2 ) es el punto de corte entre
las proyecciones verticales de la recta (r) y del lado
(A-B). Estando los puntos (1 y 2) contenidos en:
Solución:
En la fig.146b, se muestra como definir la intersección (Ι)
de la recta (r) con el primer bisector, en el cual las
proyecciones de la recta (t) son simétricas.
En la fig.146c, se muestra como definir la intersección (Ι)
de la recta (r) con el segundo bisector, en el cual las
proyecciones de la recta (t) coinciden.
rv
a
Ι
v
b
r
v
rv
r
rh=th
h
Ι
h
En el lado (A-B).
punto 2:
En la recta (r).
2) De estos dos puntos, solo uno es visible en proyección
vertical, y será aquel de los dos que posea mayor
vuelo. Por lo tanto se define la proyección horizontal
del segmento de punta (1-2), y se determina en ella
cual de estos dos puntos tiene mayor vuelo;
resultando ser el punto (2).
c
v h
Ι =Ι
Se define entonces, que el segmento (2-Ι) de la recta
(r) es visible en proyección vertical, porque el punto
(2) que esta contenido en el es visible en esta
proyección.
0
α
α0
punto 1:
tv
c) Para determinar la visibilidad en proyección horizontal\
fig.148d:
rh=tv=th
1) Se define el segmento vertical (3-4) cuya proyección
h
h
horizontal (3 =4 ) es el punto de corte entre las
proyecciones horizontales de la recta (r) y del lado
(B-C). Estando los puntos (3 y 4) contenidos en:
fig.146.\ Intersección (Ι) de una recta (r) con los planos
bisectores.
43
Geometría Descriptiva
INTERSECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
punto 3:
En el lado (B-C).
punto 4:
En la recta (r).
r
v
a
C
v
v
v
Ι
v
v
C
h
h
t
r
h
a) Los planos (α y β) están definidos por sus trazas\ fig.150a.
Solución:
v
Se definen dos rectas (a y b) frontales del plano (α), y se
determinan sus intersecciones (Ι y J) con el plano (β). La
recta de intersección (i) entre los planos (α y β) queda
definida por los puntos (Ι y J)\ fig.150b.
h
a
r
Ι
h
r
v
A
Ι
h
β
v
α
h
1v
v
v
v
c
C
v
4
Ι
C
β
v
v
B
r
v
B
B
Ι
h
h
1h
b =t
h
α
h
ih
b) El plano (α) está definido por sus trazas, y el plano (β) por las
rectas (a y b) paralelas\ fig.151a.
1
h
β
h
h
a =t
h
I
h
h
B
h
2
α
v
fig.150.\ Intersección (i), entre dos planos (α y β) definidos por
trazas.
v
h
β
v
J
3
v
J
h
v
v
b
v
h
h
v
a
I
v
d
v
A
v
t
v
C
v
iv
v
t
α
h
1 =2
h
b
A
C
A
b
Ejemplo: Definir la intersección (i) entre los planos (α y β) para los
siguientes casos:
B
h
A
J
fig.149.\ Intersección (i) entre dos planos (α y β).
B
B
β
b
a
v
B
a
β
J
b
r =t
v
A
Ι
Ι
b
Se define entonces, que el segmento (4-Ι) de la recta
(r) es visible en proyección horizontal, porque el
punto (4) que esta contenido en el es visible en esta
proyección.
v
i
α
a
2) De estos dos puntos, solo uno es visible en proyección
horizontal, y será aquel de los dos que posea mayor
cota. Por lo tanto se define la proyección vertical del
segmento vertical (3-4), y se determina en ella cual
de estos dos puntos tiene mayor cota; resultando ser
el punto (4).
A
i
α
r
h
Ι
h
h
h
r
h
Solución:
h
3 =4
A
C
h
C
La intersección (Ι) entre los planos (α y β), queda definida
por los puntos de intersección (Ι y J) de las rectas (a y b)
con el plano (α)\ fig.151b.
h
fig.148.\ Intersección entre recta y plano\ VISIBILIDAD.
v
a
β b//a
INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS.
a) Se elige, cualquier recta (a) en el plano (α), y se
determina su intersección (Ι) con el plano (β).
a
h
v
h
h
a
c) Los puntos de intersección (Ι y J) definen la recta de
intersección (i) entre los planos (α y β).
v
1v
b =t
J
ih
Ι
v
h
h
α
J
h
h
b
h
b
a
Ι
α
α
a
b) Se repite el paso anterior eligiendo una segunda recta,
(b) en el plano (α), y determinando su intersección (J)
con el plano (β).
b
v
v
iv
v
v
α
La intersección entre dos planos (α y β) es una recta (i), para
determinarla\ fig.149a:
v
a =t
b
h
t
1h
t
fig.151.\ Intersección (i), entre un plano (α) definido por trazas,
y un plano (β) definido por rectas (a y b) paralelas.
Las rectas (a y b) también pueden ser elegidas en el plano
(β) y ser interceptadas con el plano (α)\ fig.149b.
c) El plano (α) está definido por las rectas (f y h) características,
y el plano (β) por las rectas (a y b) paralelas\ fig.152a.
44
Geometría Descriptiva
INTERSECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
ANÁLISIS
DE
LA
VISIBILIDAD
INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS.
Solución:
La intersección (Ι) entre los planos (α y β), queda definida
por los puntos de intersección (Ι y J) de las rectas (a y b)
con el plano (α)\ fig.152b.
α
v
v
v
a
f
h
v
v
Ι
v
f
v
h
ih
h
f
Ι
h
h
a
β b//a
a
h
J
b) Se definen las intersecciones: (Ι) de la recta (A-B) con el
cuadrilátero (1;2;3;4); y (J) de la recta (2-3) con el
triángulo (A;B;C). El segmento (Ι-J) pertenece a los dos
planos, y si está contenido en el primer cuadrante
siempre es visible en ambas proyecciones\ fig.154c.
h
h
a
h
h
b
Solución:
a) Se define la proyección horizontal (1 ) del vértice (1),
haciéndolo pertenecer al plano (1;2;3)\ fig.154b.
h
h
iv
v
h
f
h
J
v
h
a
f
v
LA
Ejemplo: Definir la intersección y visibilidad entre el triángulo
(A;B;C) y el cuadrilátero (1;2;3;4) contenido en el plano (1;2;3)\
fig.154a.
v
1v
b =t
a =t
b
EN
h
b
b
h
1h
t
t
c) Se define la visibilidad de la intersección entre las dos
figuras planas, por medio del análisis de visibilidad de la
intersección de las rectas: (A-B) con el cuadrilátero
(1;2;3;4); y (2-3) con el triángulo (A;B;C)\ fig.154d.
fig.152.\ Intersección (i), entre un plano (α) definido por rectas
(f y h) características, y un plano (β) definido por rectas (a y b)
paralelas.
a
d) El plano (α) está definido por trazas, y el plano (β) es un plano
que pasa por la línea de tierra y contiene al punto (A)\
fig.153a.
v
b
B
v
4
v
B
v
4
v
v
3
3
v
v
1
Solución:
1
v
v
A
1) Se traza, por el punto (A), una recta (r) cualquiera del
plano (α); es decir, cualquier recta (r) que pase por el
punto (A) y se corte con la línea de tierra\ fig.153b.
A
C
v
v
2
2
2) Se define la intersección (Ι) de la recta (r) con el
plano (α).
C
v
v
h
B
h
4
h
B
h
4
h
1
3) Se define la intersección (J) del plano (α) con la línea
de tierra.
h
h
3
h
A
4) Los puntos (Ι y J) están contenidos simultáneamente
en los planos (α y β), por lo tanto definen a la recta
de intersección (Ι) entre ambos planos.
3
h
A
C
h
2
c
h
v
d
B
v
4
C
h
2
h
v
B
v
4
v
a
b
αv
v
A
α
v
A
Ι
v
v
A
αh
r
h
1
J
v
J
v
v
C
h
h
A
αh
t
C
h
B
h
h
1
Ι
v
v
2
4
ih
v
v
v
2
h
v
A
r =t
Ι
h
3
Ι
v
A
h
v
3
v
v
v
v
v
J =J
1
iv
Ι
h
B
h
4
h
h
1
Ι
h
h
3
fig.153.\ Intersección (i) de un plano (α) definido por trazas,
con un plano (β) que pasa por la línea de tierra y contiene a un
punto (A).
J
h
2
h
h
J
A
h
A
h
C
h
h
2
3
h
C
h
fig.154.\ Intersección y visibilidad de dos planos\ ejemplo.
45
Geometría Descriptiva
INTERSECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
INTERSECCIÓN DE TRES PLANOS.
Solución:
La intersección de tres planos (α; β; y γ) es un punto (Ι). El
cual se define interceptando, con el plano (γ), la recta de
intersección (i) entre los planos (α y β)\ fig.155.
a) Se determina la intersección (i) entre los planos (α y β)\
fig.156b.
b) Se determina la intersección (Ι) de la recta (i) con el
plano (γ)\ fig.156c.
γ
a
β
v
v
α
γ
v
b
β
v
v
α
γ
v
c
β
v
v
α
γ
v
Ι
α
i
i
Ι
v
th
β
h
α
γ
h
β
h
h
α
γ
h
i
h
β
i
h
h
α
γ
Ι
h
fig.156.\ Intersección (Ι) de tres planos\ ejemplo.
46
v
β
h
fig.155.\ Intersección (Ι) entre tres planos (α, β y γ).
Ejemplo: Definir la intersección (Ι) entre los planos (α; β; y γ)\
fig.156a.
v
v
I =t
h
h
Geometría Descriptiva
PARALELISMO
Ing. Alberto M. Pérez G.
v
PARALELISMO.
Ejemplo 2) Definir la proyección vertical (r ) de la recta (r), que
contiene al punto (A) y es paralela al plano (α) de punta\
fig.159b1.
PARALELISMO ENTRE RECTAS.
Solución:
El paralelismo entre rectas, en Doble Proyección Ortogonal,
tiene propiedad proyectiva. Por lo tanto si dos rectas (a y b)
son paralelas, sus proyecciones verticales son paralelas
v
v
(a //b ) y sus proyecciones horizontales también son
h
h
paralelas (a //b ).
La proyección vertical (t ) de cualquier recta (t) del plano (α)
v
de punta coincide con la proyección vertical (α ) de su traza
v v
v
vertical (α =t ). Por lo tanto la proyección vertical (r ) de la
v
recta (r), pasa por la proyección vertical (A ) del punto (A) y
v
es paralela a la proyección vertical (α ) de la traza vertical
del plano (α)\ fig.159b2.
v
Ejemplo: Definir las proyecciones de la recta (a) que contiene al
punto (A) y es paralela a la recta (r)\ fig.157a.
h
Ejemplo 3) Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r), que
contiene al punto (A) y es paralela al primer bisector\ fig.159c1.
Solución:\ fig.157b.
Solución:
v
a
b
v
r
v
A
v
r
A
v
v
v
h
h
a // r
h
h
A
r
A
h
r
h
a // r
h
Ejemplo 4) Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r), que
contiene al punto (A) y es paralela al segundo bisector\ fig.159d1.
fig.157.\ Recta (a), paralela a otra recta (r).
Solución:
Las proyecciones de la recta (t) que esta contenida en el
v
Segundo Bisector y cuya proyección vertical (t ) coincide
v
con la proyección vertical (r ) de la recta (r) son
v v h
coincidentes (r =t =t ). Por lo tanto la proyección horizontal
h
h
(r ) de la recta (r), pasa por la proyección horizontal (A ) del
v
punto (A) y es paralela a la proyección vertical (r ) de la
recta (r)\ fig.159d2.
PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO.
Si una recta (r) es paralela a un plano (α), entonces existen
en el plano (α) infinidad de rectas (a; b; c; d...) paralelas a la
recta (r)\ fig.158a.
Para verificar el paralelismo entre una recta (r) y un plano (α)
es suficiente comprobar la existencia de una recta (a) del
plano (α) que sea paralela a la recta (r)\ fig.158b.
v
r // α
r // α
b
v
v
α
A
a
r
v
α
A
v
v
α
b
c
h
α
h
A
a∈α
a // r
d
v
r
h
h
h
h
A
h
A
h
2) Solución
1) Datos
a) Recta (r) paralela a un
plano (α) definido por trazas
fig.158.\ Paralelismo entre recta (r) y un plano (α).
v
A
r
h
Ejemplo 1) Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r), que
contiene al punto (A) y es paralela al plano (α)\ fig.159a1.
2) Solución
v
v
v
A
v
r =t
v
α
b) Recta (r) paralela a un
plano (α) de punta
v
A
RECTA PARALELA A UN PLANO.
h
α
h
r //t
1) Datos
v
h
r //t
h
α
h
A
v
r //α
v
α =t
v
r =t
t
α
v
A
v
A
v
α
h
a
h
Las proyecciones vertical (t ) y horizontal (t ) de la recta (t)
v
contenida en el Primer Bisector, cuya proyección vertical (t )
v
coincide con la proyección vertical (r ) de la recta (r) son
simétricas con respecto a la línea de tierra. Por lo tanto la
h
proyección horizontal (r ) de la recta (r), pasa por la
h
proyección horizontal (A ) del punto (A) y ambas
proyecciones de la recta (r) forman con la línea de tierra el
mismo ángulo (αο)\ fig.159c2.
A
r
v
v
h
r =t =t
v
0
α
0
Solución:
h
A
α
0
α
h
A
h
t
h
A
h
A
h
r //r
h
h
1) Se define la proyección horizontal (t ) de la recta (t) que
esta contenida en el plano (α), cuya proyección vertical
v
v
(t ) se tapa con la proyección vertical (r ) de la recta (r).
1) Datos
r
2) Solución
c) Recta (r) paralela al
primer bisector
h
2) Se traza, por la proyección horizontal (A ) del punto (A), y
h
paralela a la proyección horizontal (t ) de la recta (t), la
h
proyección horizontal (r ) de la recta (r)\ fig.159a2.
1) Datos
2) Solución
d) Recta (r) paralela al
segundo bisector
fig.159.\ Recta (r) paralela a un plano (α)\ ejemplos.
47
v
Geometría Descriptiva
PARALELISMO
Ing. Alberto M. Pérez G.
PLANO PARALELO A UNA RECTA.
PARALELISMO ENTRE PLANOS.
Ejemplo: Definir el plano (α), que contiene a la recta (a) y es
paralelo a la recta (r)\ fig.160a.
Si dos planos (α y β) son paralelos, entonces todas las rectas
(a; b; c;...) del plano (α) son paralelas al plano (β), y todas las
1
1
1
rectas (a ; b ; c ;...) del plano (β) son paralelas al plano (α)\
fig.163a.
Solución:
Para definir este plano (α) debe trazarse, por cualquier
punto (P) de la recta (a), una recta (b) paralela a la recta (r),
quedando el plano (α) definido por las rectas (a y b) que se
cortan\ fig.160b.
r
a
v
a
v
r
v
v
b //r
h
a // β
P
r
b // β
c // β
β
h
a
r
v
b
h
α
a
b
b // β
P
a
a
α
α
b
v
v
Para verificar el paralelismo entre dos planos (α y β) es
suficiente comprobar que dos rectas (a y b) no paralelas, de
uno de ellos (α) sean paralelas al otro (β)\ fig.163b.
1
a // α
1
b // α
h
a
h
a // β
β // α
1
h
b //r
c // α
h
fig.163.\ Paralelismo entre planos.
fig.160.\ Plano (α), paralelo a una recta (r)\ ejemplo.
Ejemplo 1) Definir el plano (β) que contiene al punto (A) y es
paralelo al plano (α) definido por las rectas (a y b)\ fig.164a.
RECTA PARALELA A DOS PLANOS.
Solución:
Una recta (r) es paralela a dos planos (α y β) si es paralela a
la intersección (i) entre ambos planos\ fig.161.
1
r // i
β // r
1
El plano (β) se define por medio de las rectas (a y b ) que
pasan por el punto (A) y son paralelas a las rectas (a y b)
respectivamente\ fig.164b.
v
a
i
v
a
v
b
a
v
b
v
A
1v
b
v
b //b
v
A
1v
v
a //a
α // r
h
h
b
b
h
A
h
a
fig.161.\ Recta (r) paralela a dos planos (α y β).
α
Ejemplo: Definir las proyecciones de la recta (r) que pasa por el
punto (A) y es paralela a los planos (α y β)\ fig.162a.
v
α
Av
rv// iv
Av
iv
h
i
a
v
a //a
1
b //b
1h
h
a //a
v
α
v
v
β //α
v
v
f //α
v
v
A
v
h
h
α
a
β
b
α
A
h
h
A
Solución: Se define inicialmente el plano (β) por medio de las
rectas características (f y h), que pasan por el punto (A) y
son paralelas a las trazas vertical y horizontal del plano (α)
respectivamente. Y luego se definen las trazas del plano (β)
por medio de sus rectas características (f y h)\ fig.165b.
v
α
v
β
a
b
1
fig.164.\ Paralelismo entre planos\ ejemplo 1.
Se define la intersección (i) entre los planos (α y β), y se traza,
por el punto (A) la recta (r) paralela a la recta (i)\ fig.162b.
v
h
Ejemplo 2) Definir las trazas del plano (β) que contiene al punto
(A) y es paralelo al plano (α)\ fig.165a.
Solución:
β
1h
b //b
h
a
α
Ah
h
β
b
Ah
h
β
h
rh// ih
h
A
h
A
f
h
h
h //α
h
α
fig.162.\ Recta (r) paralela a dos planos (α y β)\ ejemplo.
h
α
fig.165.\ Paralelismo entre planos\ ejemplo 2.
48
h
h
β //α
Geometría Descriptiva
PERPENDICULARIDAD
Ing. Alberto M. Pérez G.
En Proyección Diédrica, para que el ángulo recto se
proyecte sin deformación, por lo menos una de la rectas
que lo definen debe ser:
PERPENDICULARIDAD.
a) frontal (f) (paralela al plano vertical de proyección). En
este caso se proyecta el ángulo recto sin deformación
sobre el plano vertical de proyección (véase el ejemplo
de la fig.167a).
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS.
El ángulo recto, en proyección ortogonal, tiene propiedad
proyectiva cuando por lo menos una de las rectas que lo
definen es paralela al plano de proyección.
b) horizontal (h) (paralela al plano horizontal de proyección).
En este caso se proyecta el ángulo recto sin
deformación sobre el plano horizontal de proyección)
(véase el ejemplo de la fig.167b).
En la fig.166a, se muestra una escuadra paralela a un plano
(α) de proyección, los catetos (a y b) definen un ángulo
recto, el cual se proyecta ortogonalmente sin deformación
sobre el plano (α) por ser ambos catetos paralelos a este
plano.
Ejemplo 1: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al
punto (A) y es perpendicular a la recta frontal (f).\ fig.167a1.
Solución:
Si esta escuadra se gira a través de su cateto (a) (fig.166b), el
cateto (b) deja de ser paralelo al plano (α), pero el ángulo
recto sigue proyectándose sin deformación, por que el
cateto (a) sigue siendo paralelo al plano de proyección (α).
a) Las proyecciones verticales de las rectas (f y r) son
v
v
perpendiculares (f ⊥ r ), ya que la recta frontal (f) es
paralela al plano vertical de proyección. Por lo tanto se
v
traza, por la proyección vertical (A ) del punto (A), y
v
perpendicular a la proyección vertical (f ) de la recta (f),
v
la proyección vertical (r ) de la recta (r)\ fig.167a2.
En la fig.166c, donde la escuadra se gira a través de su
hipotenusa (h), puede observarse que el ángulo recto es
deformado al proyectarse, debido a que las dos rectas (a y
b) que lo definen dejan de ser paralelas al plano (α) de
proyección.
v
h
b) Se definen las proyecciones vertical (P ) y horizontal (P )
del punto (P) de corte entre las rectas (f y r).
h
c) La proyección horizontal (r ) de la recta (r) queda
h
h
definida por las proyecciones horizontales (A y P ) de
los puntos (A y P).
a) La escuadra es
paralela al plano (α).
El ángulo recto se
proyecta
sin
deformación sobre el
plano (α) por que los
catetos (a y b) que lo
definen son paralelos a
ese plano
α
rv
α
h
α
a
v
f
v
h
P
h
b
f
1) Datos
h
P
h
r
P
h
h
A
2) Solución
1) Datos
h
2) Solución
b) horizontal (h)
fig.167.\ Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al
punto (A) y es perpendicular a la recta...
α
b
a
h
h
A
h
a) frontal (f)
α
aα
h
f
r
α
v
h
h
h
h
A
v
h
A
A
h
b) La escuadra se gira
a través del cateto (a).
El ángulo recto sigue
proyectandose
sin
deformación sobre el
plano (α) por que uno
de los catetos (a) que
lo definen es paralelo a
ese plano
A
v
A
A
bα
v
P
v
v
a
rv
v
h
v
f
h
Ejemplo 2: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al
punto (A) y es perpendicular a la recta horizontal (h).\ fig.167b1.
b
Solución:
c) La escuadra se gira
a
través
de
la
hipotenusa (h).
El ángulo recto se
deforma
al
ser
proyectado sobre el
plano (α), por que
ninguno de los catetos
(a ó b) que lo definen
es paralelo a ese plano
α
aα
0
a) Las proyecciones horizontales de las rectas (h y r) son
h
h
perpendiculares (h ⊥ r ), ya que la recta horizontal (h) es
paralela al plano horizontal de proyección. Por lo tanto
h
se traza, por la proyección horizontal (A ) del punto (A), y
h
perpendicular a la proyección horizontal (h ) de la recta
h
(h), la proyección horizontal (r ) de la recta (r)\ fig.167b2.
α
h
0
α ≠90
a
h
bα
h
v
b) Se definen las proyecciones horizontal (P ) y vertical (P )
del punto (P) de corte entre las rectas (h y r).
b
v
c) La proyección vertical (r ) de la recta (r) queda definida
v
v
por las proyecciones verticales (A y P ) de los puntos (A
y P).
fig.166.\ Propiedad proyectiva del ángulo recto.
49
Geometría Descriptiva
PERPENDICULARIDAD
Ing. Alberto M. Pérez G.
RECTAS
PERPENDICULARES
ORTOGONALES.
Y
b) La recta (r) es también ortogonal a la traza horizontal (h)
del plano (α), y por estar esta última contenida en el
plano horizontal de proyección, el ángulo recto entre
ambas rectas se proyecta horizontalmente sin
h
h
deformación, por lo tanto se dibuja (r ⊥ α )\ fig.170c.
RECTAS
Dos rectas se denominan perpendiculares si se cortan
formando un ángulo recto y ortogonales si forman un ángulo
recto pero no se cortan.
Para mayor comprensión, obsérvese el paralelepípedo
mostrado en la fig.168a, en el cual sus aristas (a y b) son
perpendiculares; mientras que las aristas (a y c) son
ortogonales al igual que las aristas (b y c).
v
α
r
a
v
v
r
f
h
α
a
h
h
v
v
h
h
A
h
h
A
h
α
b
h
h
A
h
α (h )
c
Ejemplo 2: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al
punto (A) y es perpendicular al plano (α)\ fig.171a.
Solución:
h
1) frontal (f)
r
h
fig.170.\ Recta (r), que contiene a un punto (A) y es
perpendicular a un plano (α), definido por trazas.
v
h
(a y b) son perpendiculares
(a y c) son ortogonales
(b y c) son ortogonales
v
r
f
c
v
A
f
h
h
v
α
v
A
v
b
r
v
r
En la fig.168b1, se muestra, la doble proyección ortogonal,
de una recta (r) ortogonal a una recta frontal (f). Y en la
fig.168b2, de una recta (r) ortogonal a una recta horizontal
(h).
a
v
α (f )
v
A
r
2) horizontal (h)
a) La recta (r) es ortogonal a la recta característica frontal
(f) del plano (α), y por ser esta última paralela al plano
vertical de proyección, el ángulo recto entre ambas
rectas se proyecta verticalmente sin deformación, por lo
v
v
tanto se dibuja (r ⊥ f )\ fig.171b.
b) Recta (r) ortogonal a una recta:
fig.168.\ Perpendicularidad y ortogonalidad.
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO.
b) La recta (r) es también ortogonal a la recta
característica horizontal (h) del plano (α), y por ser esta
última paralela al plano horizontal de proyección, el
ángulo recto entre ambas rectas se proyecta
horizontalmente sin deformación, por lo tanto se dibuja
h
h
(r ⊥ h )\ fig.171c.
Si una recta (r) es perpendicular a un plano (α), entonces
todas las rectas del plano (α) son perpendiculares, ú
ortogonales, a la recta (r)\ fig.169.
Para verificar la perpendicularidad entre una recta (r) y un
plano (α),es suficiente comprobar que dos rectas (a y b) no
paralelas del plano (α) sean perpendiculares, ú ortogonales,
a la recta (r).
v
v
v
A
f
f
v
r
v
h
h
v
v
f
v
A
r
v
h
v
A
v
r⊥α
c
b
d
e
a
α
Si la recta (r) es
perpendicular al plano
(α), entonces todas las
rectas (a; b; c; d; e;...)
del plano (α) son
perpendiculares,
ú
ortogonales a la recta (r)
h
h
h
h
h
h
h
r
h
A
A
h
a
f
h
A
h
f
h
h
b
f
c
fig.171.\ Recta (r), que contiene a un punto (A) y es
perpendicular a un plano (α), definido por rectas
características
fig.169.\ Recta (r) perpendicular a un plano (α).
PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA.
Ejemplo 1: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al
punto (A) y es perpendicular al plano (α)\ fig.170a.
Ejemplo: Definir el plano (α) que contiene al punto (A) y es
perpendicular a la recta (r)\ fig.172a.
Solución:
Solución:
a) La recta (r) es ortogonal a la traza vertical (f) del plano
(α), y por estar esta última contenida en el plano vertical
de proyección, el ángulo recto entre ambas rectas se
proyecta verticalmente sin deformación, por lo tanto se
v
v
dibuja (r ⊥ α )\ fig.170b.
a) Se traza, por el punto (A) y ortogonal a la recta (r), la
recta característica frontal (f) del plano (α)\ fig.172b.
b) Se traza, por el punto (A) y ortogonal a la recta (r), la
recta característica horizontal (h) del plano (α)\ fig.172c.
50
Geometría Descriptiva
PERPENDICULARIDAD
Ing. Alberto M. Pérez G.
El plano (α) queda definido por sus rectas características
frontal (f) y horizontal (h), que se cortan en el punto (A) y son
ortogonales a la recta (r); siendo en consecuencia el plano
(α) perpendicular a la recta (r).
v
v
r
A
f
v
r
v
A
v
v
f
r
v
A
RECTAS DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO.
Son las rectas (p) de un plano (α) perpendiculares a todas
las rectas horizontales del mismo, y en consecuencia
perpendiculares a su traza horizontal (h)\ fig.175.
v
o
El ángulo (α ) que forman con el plano horizontal de
proyección las rectas (p) de máxima pendiente de un plano
o
(α), es igual al ángulo (α ) que forma el plano (α) con el
plano horizontal de proyección.
v
h
h
h
r
h
r
h
h
h
A
a
f
h
b
A
r
h
A
h
f
h
0
α
fig.172.\ Plano (α), que contiene a un punto (A) y es
perpendicular a una recta (r).
v
α
p
c
α
v
p
0
α
h
PH
h
p
h
α
RECTA PERPENDICULAR A OTRA RECTA.
Para definir las proyecciones de una recta (b) que pase por
un punto (P) y sea perpendicular a otra recta (a)\ fig.173a:
fig.175.\ Recta (p) de máxima pendiente de un plano (α).
a) Se traza por el punto (P) un plano (α) perpendicular a la
recta (a) y se determina la intersección (Ι) entre la recta
(a) y el plano (α)\ fig.173b.
RECTAS DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN
PLANO.
b) La recta (b) queda definida por los puntos (P) e (Ι)\
fig.173c.
Son las rectas (i) de un plano (α) perpendiculares a todas las
rectas frontales del mismo, y en consecuencia son
perpendiculares a su traza vertical (f) \ fig.176.
a
a
b
a
Ι
P
Ι
P
α
o
El ángulo (β ) que forman con el plano vertical de
proyección las rectas de máxima inclinación (i) de un plano
o
(α), es igual al ángulo (β ) que el plano (α) forma con el
plano vertical de proyección.
c
a
P
b
α
v
α
PV
fig.173.\ Recta (b), que contiene a un punto (P), y es
perpendicular a otra recta (a).
β
f
Ejemplo: Definir las proyecciones de la recta (b), que contiene al
punto (P) y es perpendicular a la recta (a)\ fig.174a.
β
0
0
i
i
α
i
v
h
h
α
Solución:
fig.176.\ Recta (i) de máxima inclinación de un plano (α).
a) Se define, por medio de las rectas características (f y h),
el plano (α), que contiene al punto (P) y es
perpendicular a la recta (a); y se determina la
intersección (Ι) entre el plano (α) y la recta (a)\ fig.174b.
Un plano (α) puede ser definido por una sola recta, si esta es
de máxima pendiente (p); o de máxima inclinación (i).
b) La recta (b) queda definida por los puntos (P e Ι)\
fig.174c.
v
v
a =t
v
P
v
a
Ι
v
v
v
a =t
v
P
v
h
b
v
f
h
Ι
v
a) Se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la
recta (p)\ fig.177a2.
v
f
h
a
Solución:
v
P
v
h
v
Ejemplo 1: Definir las trazas del plano (α), sabiendo que la recta
(p) es una de sus rectas de máxima pendiente\fig.177a1.
a
h
h
t
h
f
h
a
h
P
a
Ι
h
h
f
h
P
v
h
t
h
h
b
b
Ι
v
h
h
h
b) Se traza, por el punto (H ), y perpendicular a la recta (p ),
h
la proyección horizontal (α ) de la traza horizontal del
plano (α).
h
P
v
c) La proyección vertical (α ) de la traza vertical del plano
v
(α), pasa por el punto (V ) y se corta en la línea de tierra
h
con la recta (α ).
c
fig.174.\ Recta (b), que contiene a un punto (P), y es
perpendicular a otra recta (a)\ ejemplo.
51
Geometría Descriptiva
PERPENDICULARIDAD
Ing. Alberto M. Pérez G.
1) Datos
2) Solución
v
V
v
α
v
p
a
v
α
v
H
b
v
a
p
v
b
v
v
α
A
v
v
a
h
V
h
p
h
p
a) de máxima pendiente (p)
H
h
β
h
h
α
a
h
b
a
b
h
a
h
A
h
1) Datos
i
α
v
α
v
2) Solución
V
h
α
v
i
fig.179.\ Plano (β), que contiene a una recta (a), y es paralelo a
otro plano (α).
v
H
v
h
i
V
h
i
h
h
α
b) de máxima inclinación (i)
H
PLANO PERPENDICULAR A OTROS DOS.
h
Un plano (γ) es perpendicular a otros dos planos (α y β) si es
perpendicular a la intersección (i) entre ellos\ fig.180.
fig.177.\ Determinar las trazas del plano (α) definido por la
recta...
γ
Ejemplo 2: Definir las trazas del plano (α), sabiendo que la recta
(i) es una de sus rectas de máxima inclinación\fig.177b1.
Solución:
Si
la
recta
de
intersección (i) entre
los planos (α y β) es
perpendicular al plano
(γ), entonces el plano
(γ) es perpendicular a
los planos (α y β)
simultaneamente
α
a) Se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la
recta (i)\ fig.177b2.
v
β
v
b) Se traza, por el punto (V ), y perpendicular a la recta (i ),
v
la proyección vertical (α ) de la traza vertical del plano
(α).
i
fig.180.\ Plano (γ) perpendicular a los planos (α y β).
h
c) La proyección horizontal (α ) de la traza horizontal del
h
plano (α), pasa por el punto (H ) y se corta en la línea de
v
tierra con la recta (α ).
Ejemplo: Definir el plano (γ) que contiene al punto (A) y es
perpendicular a los planos (α y β)\ fig.181a.
PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS.
Para verificar la perpendicularidad entre dos planos (α y β)
es suficiente comprobar la existencia en uno de ellos (α) de
una recta (r) que sea perpendicular al otro (β)
α
r∈β
β ⊥α
Solución:
a) Se define la intersección (i) entre los planos (α y β)\
fig.181b.
b) Se define el plano (β) por medio de sus rectas
características (f y h) que pasan por el punto (A) y son
ortogonales a la recta de intersección (i) entre los planos
(α y β)\ fig.181c.
Si se determina que
una recta (r) del plano
(α) es perpendicular
al plano (β), entonces
los planos (α y β) son
perpendiculares
β
v
v
β
A
v
v
fig.178.\ Perpendicularidad entre planos.
β
a
h
v
v
h
h
α
A
β
b
h
v
i
i
i
β
h
h
α
A
v
h
h
h
h
A f
h
h
c
A
f
v
h
v
h
α
i
Ejemplo: Definir el plano (β) que contiene a la recta (a) y es
perpendicular al plano (α)\ fig.179a.
v
α
v
α
β
v
A
h
α
γ
Solución:
fig.181.\ Plano (γ), que contiene a un punto (A), y es
perpendicular a los planos (α y β).
Se traza, por cualquier punto (A) de la recta (a), una recta
(b) perpendicular al plano (α), y el plano (β) queda definido
por las rectas (a y b) que se cortan\ fig.179b.
52
f
h
Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capítulo 5
problemas métricos.
En este capítulo se analizan los procedimientos por medio
de los cuales pueden determinarse, en Doble Proyección
Ortogonal, distancias lineales ó angulares entre puntos
rectas y planos.
La comprensión de los problemas métricos básicos aquí
analizados capacitará al estudiante para resolver cualquier
problema relacionado con las dimensiones de los objetos
que esté proyectando.
No debe iniciarse el estudio de este capítulo sin comprender
el anterior, pues la resolución de los problemas métricos aquí
planteados requiere de la aplicación de los conceptos de
intersección, paralelismo y perpendicularidad ya expuestos.
Geometría Descriptiva
PROBLEMAS MÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
b) Se determina la distancia (dA-Ι) entre los puntos (A e Ι); la
cual es igual a la distancia (dA-α) entre el punto (A) y el
plano (α)\ fig.184c.
PROBLEMAS MÉTRICOS.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.
La distancia (dA-B) entre dos puntos (A y B), se determina por
medio de un triángulo de rebatimiento vertical (fig.182a) ú
horizontal (fig.182b).
a
v
A
b
v
dA-B
A
∆Z
v
B
A-B
∆Y
Para determinar la distancia (dA-r) entre un punto (A) y una
recta (r) (fig.185a): se traza, por el punto (A), un plano (α)
perpendicular a la recta (r), y se determina la intersección
(Ι) entre ambos. La distancia (dA-Ι) entre los puntos (A e Ι), es
igual a la distancia (dA-r) entre el punto (A) y la recta (r)\
fig.185b.
v
A-B
B
A
A
h
A
A-B
h
∆Y
A
h
∆Z
B
h
B
dA-I = dA-r
r
A-B
r
Ι
dA-B
fig.182.\ Distancia (dA-B) entre dos puntos (A y B).
α
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO.
fig.185.\ Distancia (dA-r) entre un punto (A) y una recta (r).
Para determinar la distancia (dA-α) entre un punto (A) y un
plano (α) (fig.183a), se traza por el punto (A) una recta (p)
perpendicular al plano (α) y se determina la intersección (Ι)
entre ambos. La distancia (dA-Ι) entre los puntos (A e Ι) es
igual a la distancia (dA-α) entre el punto (A) y el plano (α)\
fig.183b.
a
b
A
Ejemplo: Definir la distancia entre el punto (A) y la recta (r)\
fig.186a:
Solución:
a) Se define, por medio de las rectas características (f y h),
el plano (α), que contiene al punto (A) y es
perpendicular a la recta (r), y se determina la
intersección (Ι), entre la recta (r) y el plano (α)\ fig.186b.
A
dA-Ι = dA-α
b) Se determina la distancia (dA-Ι) entre los puntos (A e Ι); la
cual es igual a la distancia (dA-r) entre el punto (A) y la
recta (r)\ fig.186c.
Ι
p
α
a
α
b
r
v
v
A
fig.183.\ Distancia (dA-α) entre un punto (A) y un plano (α).
v
h
Ι
r
v
v
A
h
h
A
Ejemplo: Definir la distancia entre el punto (A) y el plano (α)\
fig.184a:
r
v
v
α
A
v
A
v
b
α
v
Ι
v
v
Ι
p =t
h
h
A
v
A-Ι
v
h
∆Z
h
t
α
∆Z
p
Ι
h
α
p
h
α
h
A
h
α
A-Ι
Ι
Ι
v
v
v
f
∆Z
h
Ι
A
h
h
h
r
v
A
h
A
f
Ι
∆Z
h
dA-Ι=dA-r
h
DISTANCIA
CRUZAN.
h
h
p
dA-Ι=dA-α
h
r
h
h
h
r
h
fig.186.\ Distancia (dA-r) entre un punto (A) y una recta (r)\
ejemplo.
v
A
v
c
v
h
f
Solución:
a
c
v
f
v
ENTRE
DOS
RECTAS
QUE
SE
Para determinar la distancia (da-b) entre dos rectas (a y b)
que se cruzan\ fig.187a:
h
A
a) Se define un plano (α) que contenga a una de ellas (b) y
se paralelo a la otra (a); para ello se traza por cualquier
1
punto (1) de la recta (b) una recta (a ) paralela a la
recta (a). De esta forma el plano (α) queda definido por
1
las rectas (a y b) que se cortan y es paralelo a la recta
(a)\ fig.187b
fig.184.\ Distancia (dA-α) entre un punto (A) y un plano (α)\
ejemplo.
a) Se traza, por el punto (A), la recta (p) perpendicular al
plano (α), y se determina la intersección (Ι), entre la
recta (p) y el plano (α)\ fig.184b.
54
Geometría Descriptiva
PROBLEMAS MÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
b) Por cualquier punto (2) de la recta (a) se traza una recta
(p) perpendicular al plano (α) y se determina su
intersección (Ι) con este plano. La distancia (d2-Ι) entre los
puntos (2 e Ι) es igual a la distancia (da-b) entre las rectas
(a y b)\ fig.187c.
a
iii) Se dibuja, por la traza vertical (V) de de la recta
(h) y cortándose en la línea de tierra con la traza
horizontal del plano (α), la traza vertical del plano
(α).
2
d2-Ι = da-b
a
ii) Se dibuja, por la traza horizontal (H) de la recta
(b), y paralela a la recta horizontal (h), la traza
horizontal del plano (α).
a
p
α
b) Por un punto (2) cualquiera de la recta (a) se traza una
recta (p) perpendicular al plano (α) y se determina su
intersección (Ι) con el mismo\ fig.188c.
Ι
b
b
a //a
1
a
b
1
1
a //a
1
b
c) Se determina la distancia (d2-Ι) entre los puntos (2 e Ι) la
cual es igual a la distancia (da-b) entre las rectas (a y b)\
fig.188d.
α
c
fig.187.\ Distancia (da-b) entre dos rectas (a y b) que se cruzan.
PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE
SE CRUZAN.
Ejemplo: Determinar la distancia (da-b) entre las rectas (a y b) que
se cruzan\ fig.188a.
Para trazar la recta (c) que sea perpendicular a dos rectas (a
y b) que se cruzan\ fig.187a:
Solución:
v
b
a
v
a
v
b
a
v
1v
1
v
a //a
v
α
v
V
v
h
X
h
b
b
1h
c
h
X
α
b
Ι
H
h
h
a
2
d
p
a
v
α
v
v
2
d2-Ι
b
b
Ι
h
α
∆Y
h
h
b
h
a
2
a //a
Ι
Ι
Ι
3
1
v
c
b
b
v
h
2
2
a //a
Ι
a
p
v
v
1
1
a //a
a
h
2
a
p
v
2
v
c) Se traza, por el punto (3) la recta (c) paralela a la recta
(p). Esta recta (c) es perpendicular a las rectas (a y b)
simultáneamente\ fig.189b.
h
α
h
h
p
a
v
h
V
h
h
v
v
v
1
a //a
h
a
2
b) Se traza, por el punto (Ι), la recta (a ) paralela a la recta
(a), y se determina el punto (3) de corte entre las rectas
2
(a y b)\ fig.189a.
v
H
h
a) Se realiza, solo hasta la determinación del punto (Ι), el
procedimiento descrito anteriormente (ver fig.187b y
fig.187c) para medir la distancia entre las rectas (a y b)
que se cruzan.
b
v
α
3
1
a //a
α
b
h
∆Y
h
p
h
h
h
α
a
2
fig.189.\ Perpendicular común (c) a dos rectas (a y b) que se
cruzan.
h
p
fig.188.\ Distancia (da-b) entre dos rectas (a y b) que se cruzan\
ejemplo.
Ejemplo: Definir la perpendicular común (c) a las rectas (a y b),
del ejemplo mostrado en la fig.188a:
a) Se define el plano (α) que contiene a la recta (b) y es
paralelo a la recta (a); para ello\ fig.188b:
Solución:
a) Se realizan los pasos a y b, del mismo ejemplo (fig.188b y
fig.188c) determinando igualmente las proyecciones del
punto (Ι).
1) Por cualquier punto (1) de la recta (b) se traza una
1
1
recta (a ) paralela a la recta (a). Las rectas (a y b)
definen al plano (α); pero este plano debe definirse
por trazas (o rectas características), para poder
posteriormente trazar la recta (p) perpendicular a el.
Para definir entonces las trazas del plano (α):
i)
2
b) Se traza, por el punto (Ι), la recta (a ) paralela a la recta
(a), y se determina el punto (3) de corte entre las rectas
2
(a y b)\ fig.190a
c) Se traza, por el punto (3), la recta (c) paralela a la recta
(p); resultando esta recta (c) perpendicular a las rectas (a
y b) simultáneamente\ fig.190b.
1
Por la traza vertical (V) de la recta (a ) se traza la
recta horizontal (h) del plano (α) (se define
v
primero su proyección vertical (h ) y luego la
h
horizontal (h )).
55
Geometría Descriptiva
PROBLEMAS MÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
d2-I
v
v
a
v
b
p
v
a //a
v
2v
2
v
a //a
v
v
Ι
h
h
b
Ι
h
3
h
a //a
h
α
a
p
h
2
h
a
v
Ι
h
3
2h
h
a //a
h
h
h
p
h
h
a
QUE
SE
b) Se mide, utilizando el procedimiento ya descrito en la
o
fig.191, el ángulo (α ) (mostrado en la fig.192b) que
1
forman las rectas (a y b ) que se cortan, el cual es igual al
o
ángulo (α ) de cruce entre las rectas (a y b).
h
α
b
RECTAS
a) Por cualquier punto (P) de la recta (a) se traza la recta
1
(b ) paralela a la recta (b)\ fig.192b.
h
c // p
h
b
h
DOS
o
3
Ι
ENTRE
Para determinar el ángulo (α ) entre dos rectas (a y b) que se
cruzan\ fig.192a:
v
3
2h
v
α
2
v
ÁNGULO
CRUZAN.
v
p
v
α
2v
cv // pv
a
v
b
v
2
fig.190.\ Perpendicular común (c) a dos rectas (a y b) que se
cruzan\ ejemplo.
v
b
v
1v
b =b
a
b
v
P
ov
α
ÁNGULO
CORTAN.
ENTRE
DOS
RECTAS
QUE
v
a
SE
v
a
h
a
Para medir el ángulo (αο) entre dos rectas (a y b) que se
cortan en un punto (P)\ fig.191a:
a
a
v
b
i-2
∆Y
1h
v
P
ov
α
v
c
d1-2
b
v
ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.
v
a
P-1
1
c
h
h
i-2
h
∆Y
oh
α
h
2
h
P
P-2
∆Y
∆Y
dP-1
a
b
1
oh
b α
h
b) Se traza, por un punto cualquiera (X) de la recta (r), una
recta (p) perpendicular al plano (α) y se determina la
Intersección (J) entre la recta (p) y el plano (α). Los
puntos (Ι y J) definen una recta (a).
v
v
v
a) Se determina la intersección (Ι) entre el plano (α) y la
recta (r)\ fig.193b.
P
ov
a
Para medir el ángulo (αο) entre una recta (r) y un plano (α)\
fig.193a:
P-2
∆Y
α
h
P
h
fig.192.\ Ángulo (α0) entre dos rectas (a y b) que se cruzan.
b
dP-2
oh
α
b // b
b) Se dibuja, en un sitio aparte, el triángulo de vértices (P; 1
y 2) en su verdadero tamaño, y se mide el ángulo (αο),
cuyo vértice es el punto (P)\ fig.191c.
v
b
h
b
h
a) Se traza una recta (c) cualquiera que se corte con las
rectas (a y b), y se determinan los puntos (1 y 2) de corte
de la recta (c) con la rectas (a y b) respectivamente. Se
determinan las longitudes reales (d1-2; dp-1; y dp-2) de los
tres lados del triángulo cuyos vértices son los puntos (P; 1
y 2)\ fig.191b.
2
h
o
c) El ángulo (α ) que forman las rectas (r y a) es igual al
ángulo que forma la recta (r) con el plano (α).
h
h
a
P-1
∆Y
r
h
r
α
P
Ι
c
r = dP-2
α
a
p⊥α
αο
a
P
X
J
b
r = dP-1
b
2
fig.193.\ Ángulo (α0) entre una recta (r) y un plano (α).
o
α
c = d1-2
a
1
o
Ejemplo: Determinar el ángulo (α ) formado entre la recta (r) y el
plano (α)\ fig.194a:
fig.191.\ Ángulo (α0) entre dos rectas (a y b) que se cortan.
Solución:
56
Geometría Descriptiva
PROBLEMAS MÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
a) Se define la intersección (Ι) entre el plano (α) y la recta
(r). Y se traza por un punto (X) cualquiera de la recta (r)
una recta (p) perpendicular al plano (α)\ fig.194b.
a
P
b
a⊥α
b) Se determina la intersección (J) de la recta (p) con el
plano (α), y se definen las proyecciones de la recta (a)
que contiene a los puntos (Ι y J)\ fig.194c.
α
b⊥β
ο
β
β
α
c) Se mide, utilizando el procedimiento ya descrito en la
fig.191, el ángulo (αο) (mostrado en la fig.194d) formado
entre las rectas (r y a) que se cortan, el cual es igual al
ángulo que forma la recta (r) con el plano (α).
α
αο
αο
o
fig.195.\ Ángulo (α ) entre dos planos (α y β).
v
r
α
v
v
α
v
X
r
v
o
v
Ejemplo: Determinar el ángulo (α ) formado entre los planos (α y
β)\ fig.196a:
t
Ι
v
v
p
v
1
h
p
r
r
α
v
α
t
v
Ι
p
v
h
a
Ι
v
h
α
J
a
h
Ι
p =t
h
X
r
h
h
α
h
p
h
v
a
r
β
v
v
v
α
β
v
v
J
a
h
v
ov
J
1h
b
α
X
p
h
h
h
v
v
J
b) Se mide, utilizando el procedimiento ya descrito en la
fig.191, el ángulo (αο) (mostrado en la fig.196c) que
forman las rectas (a y b) que se cortan, el cual es igual al
ángulo que forman los planos (α y β).
h
h
h
r =t
a) Se trazan, por un punto (P) cualquiera, las rectas (a y b)
perpendiculares a los planos (α y β) respectivamente\
fig.196b.
v
v
1v
X
v
X
a
h
Ι
h
1
h
h
Solución:
v
h
v
α
v
P
v
v
b
r
Ι
h
b
h
h
a
h
αο
h
α
h
a
β
h
v
a
a
h
α
oh
v
αο
v
a
h
α
v
P
b
h
b
h
P
β
h
c
h
b
h
P
h
c
X
d
o
fig.196.\ Ángulo (α ) entre dos planos (α y β)\ ejemplo.
o
fig.194.\ Ángulo (α ) entre una recta (r) y un plano (α)\ ejemplo.
ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.
Para medir el ángulo (αο) entre dos planos (α y β) (fig.195a),
se trazan, por un punto (P) cualquiera, las rectas (a y b)
perpendiculares a los planos (α y β) respectivamente. El
o
ángulo (α ) que forman las rectas (a y b) es igual al ángulo
que forman los planos (α y β)\ fig.195b.
57
Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capítulo 6
LUGARES GEOMÉTRICOS.
Se denominan lugares geométricos, aquellos lugares del
espacio que poseen alguna característica geométrica
particular; por ejemplo, la esfera puede definirse como el
lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a
una determinada distancia de otro punto denominado
centro de la esfera.
El estudio de los lugares geométricos es también de gran
utilidad y nos permite al igual que el conocimiento de los
problemas métricos, resolver problemas relacionados con la
forma y dimensiones de los objetos que se estén
proyectando.
Geometría Descriptiva
LUGARES GEOMÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
LUGARES GEOMÉTRICOS.
A
a
b
A
r
P
PUNTO QUE EQUIDISTA DE DOS PUNTOS
DADOS.
M
r
α
B
Dados dos puntos (A y B) (fig.197a). Si por el punto medio (M)
del segmento (A-B) que los une se traza un plano (α)
perpendicular a dicho segmento (fig.197b), todos los puntos
(1;2;3;4...) contenidos en el plano (α) equidistan de los
puntos (A y B)\ fig.197c.
B
fig.199.\ Punto (P) que equidista de dos puntos (A y B) dados
y se encuentra sobre una recta (r) dada.
El plano (α) es entonces el lugar geométrico de todos los
puntos que equidistan de (A y B).
Ejemplo: Determinar las proyecciones del punto (P) que está
contenido en la recta (r) y equidista de los puntos (A y
B)\fig.200a:
Solución:
a
A
dM-A=dM-B
b
d4-A=d4-B
c
A
2
1
M
b) Se define el punto (P) interceptando el plano (α) con la
recta (r)\ fig.200c.
M
3
4
B
a) Se define por el punto medio (M) del segmento (A-B) el
plano (α), perpendicular al segmento (A-B)\ fig.200b.
A
α
α
B
B
r
fig.197.\ Punto que equidista de dos puntos (A y B) dados.
v
f
a
v
v
f
α
h
A
r
v
Solución:
B
a) Se define, por el punto medio (M) del segmento (A-B) el
plano (α) perpendicular a dicho segmento\ fig.198b.
r
h
B
h
B
h
A
r
h
h
A
h
v
A
v
h
h
t
h
B
h
f
c
v
Mv
v
h
h
M
h
v
r =t
v
r
h
f
v
P
h
M
B
v
b
v
A
v
v
B
h
Ejemplo: Definir la proyección horizontal (P ) del punto (P) que
equidista de los puntos (A y B)\ fig.198a.
v
h
P
Mh
h
f
h
h
A
h
h
b) Se determina la proyección horizontal (P ) del punto (P)
haciéndolo pertenecer al plano (α)\ fig.198c.
v
v
f
v
P
P
v
A
f
v
P
Si quiere definirse una recta (r) que se corte con dos rectas
(a y b) dadas y pase por un punto (P) dado\ fig.201a:
v
h
Mv
v
B
RECTA QUE SE CORTA CON DOS RECTAS
DADAS Y PASA POR UN PUNTO DADO.
c
v
A
v
h
Mv
v
B
v
b
v
A
fig.200.\ Punto (P) que equidista de dos puntos (A y B) dados
y se encuentra sobre una recta (r) dada\ ejemplo.
v
B
a) Se determina la intersección (Ι), de la recta (a), con el
plano (α) definido por la recta (b) y el punto (P)\ fig.201b.
h
B
h
B
α
a
h
A
f
h
h
Mh
h
h
B
h
f
h
A
h
P
Mh
h
h
b) La recta (r), que se corta con las rectas (a y b), queda
definida por los puntos (P e Ι)\ fig.201c.
h
f
h
A
a
a
fig.198.\ Punto (P) que equidista de dos puntos (A y B) dados\
ejemplo.
P
PUNTO QUE EQUIDISTA DE DOS PUNTOS
DADOS Y SE ENCUENTRA EN UNA RECTA
DADA.
b
b
a
Ι
b
P
α
Si quiere ubicarse, sobre una recta (r) dada, un punto (P)
que equidiste de otros dos puntos (A y B) dados (fig.199a): se
define el lugar geométrico (plano (α)) de todos los puntos
que equidistan de (A y B), y se intercepta este lugar
geométrico con la recta (r), siendo esta intersección el
punto (P) buscado\ fig.199b.
c
a
Ι
P
b
r
α
fig.201.\ Recta (r) que se corta con dos rectas (a y b) dadas y
pasa por un punto (P) dado.
Ejemplo: Definir las proyecciones de la recta (r) que se corta con
las rectas (a y b) y contiene al punto (P)\ fig.202a.
Solución:
59
Geometría Descriptiva
LUGARES GEOMÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
a) Se define, por rectas características (f y h) el plano (α)
que contiene a la recta (b) y al punto (P)\ fig.202b.
v
P
a
v
P
b
v
P
c
r
b) Se determina la intersección (Ι) entre el plano (α) y la
recta (a), y se traza la recta (r) buscada uniendo los
puntos (P e Ι)\ fig.202c.
v
ο
αο
α
αο
r
v
v
a
b
v
P
v
f
h
α
v
v
a
b
v
P
Ι
v
f
r
v
P
v
r
h
P
h
a
h
b
h
P
h
P
h
h
h
a
h
b
f
Ι
b
h
h
P
h
fig.204.\ Recta (r) que contiene a un punto (P) dado y forma
o
un ángulo (α ) dado con el plano horizontal de proyección\
ejemplo.
t
h
a
h
h
rh
RECTA QUE CONTIENE A UN PUNTO DADO Y
FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO
VERTICAL DE PROYECCIÓN.
h
b
c
fig.202.\ Recta (r) que se corta con dos rectas (a y b) dadas y
pasa por un punto (P) dado\ ejemplo.
El lugar geométrico de todas las rectas (g) que pasan por un
punto (P) dado y forman un ángulo (βο) dado con el plano
vertical de proyección (fig.205a) es un cono recto de
revolución, con vértice en el punto (P), base en el plano
vertical de proyección, y cuyas generatrices (g) forman con
ese plano el ángulo (βο) deseado\ (fig.205b).
RECTA QUE CONTIENE A UN PUNTO DADO Y
FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO
HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
El lugar geométrico de todas las rectas (g) que pasan por un
punto (P) dado y forman un ángulo (αο) dado con el plano
horizontal de proyección (fig.203a) es un cono recto de
revolución, con vértice en el punto (P) dado, base en el
plano horizontal de proyección, y cuyas generatrices (g)
forman con ese plano el ángulo (αο) deseado\ (fig.203b).
a
b
β ο.
P
a
b
P
P
P
g
g
PV
αο
PH
h
v
h
a
r
P
h
a =t
v
h
P
v
b
h
h
PV
fig.205.\ Recta (g) que contiene a un punto (P) dado y forma
o
un ángulo (β ) dado con el plano vertical de proyección.
PH
h
Ejemplo: Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r), que
contiene al punto (P) y forma, con el plano vertical de proyección,
o
el ángulo (β )\ fig.206a.
fig.203.\ Recta (g) que contiene a un punto (P) dado y forma
o
un ángulo (α ) dado con el plano horizontal de proyección.
Solución:
v
Ejemplo: Definir la proyección vertical (r ) de la recta (r), que
contiene al punto (P), y forma con el plano horizontal de
o
proyección, el ángulo (α )\ fig.204a.
a) Se dibuja, con vértice en el punto (P), y base en el plano
vertical de proyección, el cono recto de revolución
cuyas generatrices formen con ese plano el ángulo (βο)\
fig.206b.
Solución:
h
a) Se dibuja, con vértice en el punto (P), y base en el plano
horizontal de proyección el cono recto de revolución
cuyas generatrices formen con ese plano el ángulo (αο)\
fig.204b.
b) Se define la proyección horizontal (r ) de la recta (r)
considerando que es una generatriz del cono recién
trazado\ fig.206c.
v
b) Se define la proyección vertical (r ) de la recta (r)
considerando que es una generatriz del cono recién
trazado\ fig.204c.
60
Geometría Descriptiva
LUGARES GEOMÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
r
v
v
P
v
P
P
r
βο
v
r
βο
b
h
P
v
Si el punto de Intersección (Ι) entre la recta (r) y el plano
horizontal de proyección es un punto de la circunferencia
base del cono, entonces existe una solución única, y el
plano (α) queda definido por su recta (P-Ι) de máxima
pendiente (fig.207e). Esto sucede cuando el ángulo (αrο) es
igual al ángulo (αο); (αrο = αο).
βο
r
a
(α1) que también cumple las condiciones impuestas. Esto
sucede cuando el ángulo (αrο) que forma la recta (r) dada
con el plano horizontal de proyección es menor que el
ángulo (αο) que debe formar el plano (α) con el plano
horizontal de proyección (αrο < αο).
v
c
h
P
h
h
P
Si el punto de Intersección (Ι) entre la recta (r) y el plano
horizontal de proyección se encuentra dentro de la
circunferencia base del cono, entonces no existe solución
(fig.207f). Esto sucede cuando el ángulo (αrο) es mayor que el
ángulo (αο); (αrο > αο).
fig.206.\ Recta (r) que contiene a un punto (P) dado y forma
o
un ángulo (β ) dado con el plano vertical de proyección\
ejemplo.
PLANO QUE CONTIENE A UNA RECTA DADA Y
FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO
HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
Ejemplo: Definir el plano (α) que contiene a la recta (r) y forma el
o
ángulo (α ) con el plano horizontal de proyección\ fig.208a.
Para definir un plano (α) que contenga a una recta (r) dada
y forme un ángulo (αο) dado con el plano horizontal de
proyección\ fig.207a:
Solución:
a) Se define, con vértice en un punto (P) cualquiera de la
recta (r), un cono recto de revolución, con base en el
plano horizontal de proyección, cuyas generatrices
formen con ese plano el ángulo (αο), y se determina la
intersección (Ι) entre la recta (r) y el plano horizontal de
proyección\ fig.208b.
a) Se traza, con vértice en un punto (P) cualquiera de la
recta (r), y base en el plano horizontal de proyección, un
cono recto de revolución, cuyas generatrices formen
con ese plano el ángulo (αο), y se determina la
intersección (Ι) entre la recta (r) y el plano horizontal de
proyección\ fig.207b.
b) Se dibuja, por el punto (Ι), y tangente a la base del cono,
la traza horizontal (h) del plano (α); de esta forma el
plano (α) queda definido por las rectas (h y r)\ fig.208c.
b) Se dibuja, por el punto (Ι), y tangente a la base del cono
(se genera el punto de tangencia (T)), la traza horizontal
(h) del plano (α). El plano (α), queda entonces definido
por las rectas (r y h). La recta (P-T) es una recta de
máxima pendiente del plano (α)\ fig.207c.
En la fig.208d, se muestra una segunda solución al mismo
problema.
a
a
b
c
P
r
α
P
αο
r
αrο <
b
v
P
v
r
ο
α
PH
d
PH
P
α1
α
1
Ι
ο
α
h
T
PH
h
Ι=T
αrο =
ο
α
e) Solución única
PH
r
r
h
v
h
P
P
c
α
αrο Ι
αrο >
Ι
h
Ι
αο
αrο
1
αrο
h
r
P
r
αο
αrο
αrο <
T
PH
Ι
r
αο
PH
αο
r
v
αο
r
αο
αο
v
P
αο
r
r
h
v
d
α
αο
Ι
Ι
v
P
αο
r
r
h
α
Ι
r
h
h
r
h
T
P
Ι
h
h
h
h
P
fig.207.\ Plano (α) que contiene a una recta (r) dada y forma
un ángulo (αο) dado con el plano horizontal de proyección.
T
h
v
v
h
f) No hay solución
v
αο
v
v
ο
h
h
h
Ι
h
h
h
fig.208.\ Plano (α) que contiene a una recta (r) dada y forma un
ángulo (αο) dado con el plano horizontal de proyección\
ejemplo.
Puede observarse, en la fig.207d, que hay una segunda
solución, debido a que por el punto (Ι) puede trazarse una
1
segunda recta (h ) tangente a la base del cono en el punto
1
(T ), la cual, junto con la recta (r) define un segundo plano
61
Geometría Descriptiva
LUGARES GEOMÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
PLANO QUE CONTIENE A UNA RECTA DADA Y
FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO
VERTICAL DE PROYECCIÓN.
Ejemplo: Definir el plano (α) que contiene a la recta (r) y forma el
o
ángulo (β ) con el plano vertical de proyección\ fig.210a.
Para definir un plano (α) que contenga a una recta (r) dada
y forme un ángulo (βο) dado con el plano vertical de
proyección\ fig.209a:
a) Se define, con vértice en un punto (P) cualquiera de la
recta (r), y base en el plano vertical de proyección, un
cono recto de revolución, cuyas generatrices formen el
ángulo (βο) con ese plano; y se determina la intersección
(Ι) entre la recta (r) y el plano vertical de proyección\
fig.210b.
Solución:
a) Se traza, con vértice en un punto (P) cualquiera de la
recta (r), y base en el plano vertical de proyección, un
cono recto de revolución, cuyas generatrices formen
con ese plano el ángulo (βο), y se determina la
intersección (Ι) entre la recta (r) y el plano vertical de
proyección\ fig.209b.
b) Se dibuja, por el punto (Ι), y tangente a la base del cono,
la traza vertical (f) del plano (α), de esta forma el plano
(α) queda definido por las rectas (f y r)\ fig.210c.
En la fig.210d, se muestra una segunda solución al mismo
problema.
b) Se dibuja, por el punto (Ι), y tangente a la base del cono
(se genera el punto de tangencia (T)), la traza vertical (f)
del plano (α). El plano (α), queda entonces definido por
las rectas (r y f). La recta (P-T) es una recta de máxima
inclinación del plano (α)\ fig.209c.
a
b
Ι
v
r
a
b
Ι
r
r
P
βο
PV
T
1
Ι
r
βο
r
h
T
c
βο
r
α1
P
f
PV
PV
β rο < β ο
βο r
Ι=T
β rο
β
P
α
e) Solución única
ο
Ι
v
P
β rο
r
βο
h
P
v
f
v
v
P
r
h
d
v
f
P
v
r
Ι
v
T
h
T
βο
f) No hay solución
β
fig.209.\ Plano (α) que contiene a una recta (r) dada y forma
un ángulo (βο) dado con el plano vertical de proyección.
f
h
h
h
P
f
Ι
r
r
v
v
f
PV
h
ο
v
Ι
β rο
r
β
β rο > β ο
f
Ι
βο
α
v
v
P
β rο < β ο
β rο = β ο
1
Ι
β rο
T
PV
d
r
c
f
PV
P
v
h
T
βο
h
β
βο
f
h
Ι
r
r
h
P
h
h
βο
fig.210.\ Plano (α) que contiene a una recta (r) dada y forma un
ángulo (βο) dado con el plano vertical de proyección\ ejemplo.
Puede observarse, en la fig.209d, que hay una segunda
solución, debido a que por el punto (Ι) puede trazarse una
1
segunda recta (f ) tangente a la base del cono en el punto
1
(T ), la cual, junto con la recta (r) define un segundo plano
(α1) que también cumple las condiciones impuestas. Esto
sucede cuando el ángulo (βrο) que forma la recta (r) dada
con el plano vertical de proyección es menor que el ángulo
(βο) que debe formar el plano (α) con el plano vertical de
proyección (βrο < βο).
RECTA CONTENIDA EN UN PLANO DADO Y QUE
FORME UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO
HORIZONTAL DE PROYECCIÓN.
Para definir una recta (r) que este contenida en un plano (α)
dado y forme un ángulo (αrο) dado con el plano horizontal
de proyección\ fig.211a:
Si el punto de Intersección (Ι) entre la recta (r) y el plano
vertical de proyección es un punto de la circunferencia
base del cono, entonces existe una solución única, y el
plano (α) queda definido por su recta (P-Ι) de máxima
inclinación (fig.209e). Esto sucede cuando el ángulo (βrο) es
igual al ángulo (βο); (βrο = βο).
a) Se traza, con vértice en un punto (V) cualquiera del
plano (α), y base en el plano horizontal de proyección,
un cono recto de revolución, cuyas generatrices formen
con ese plano el ángulo (αrο) deseado. Y se determinan
las intersecciones (Ι y J) de la circunferencia base del
cono con la traza horizontal (h) del plano (α)\ fig.211b.
Si el punto de Intersección (Ι) entre la recta (r) y el plano
vertical de proyección se encuentra dentro de la
circunferencia base del cono, entonces no existe solución
(fig.209f). Esto sucede cuando el ángulo (βrο) es mayor que el
ángulo (βο); (βrο > βο).
b) Las dos rectas (V-Ι) (fig.211c), y (V-J) (fig.211d), cumplen
con las condiciones impuestas. Esto sucede cuando el
62
Geometría Descriptiva
LUGARES GEOMÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
o
ángulo (αrο) que debe formar la recta (r) con el plano
horizontal de proyección es menor que el ángulo (αο)
que forma el plano (α) con el plano horizontal de
proyección (αrο < αο).
cuyas generatrices formen con ese plano el ángulo (αr ); y se
determinan los puntos
(Ι y J) de corte entre la
circunferencia base del cono y la traza horizontal (h) del
plano (α). La recta (r) buscada es la recta (P-Ι) (fig.212b), ó
la recta (P-J) (fig.212c).
Puede ser que la circunferencia base del cono sea tangente
en un punto (T) a la traza horizontal (h) del plano (α); en este
caso la recta (r) buscada queda definida por los puntos (P y
T) y es una recta de máxima pendiente del plano (α)
(fig.211e). Esto sucede cuando el ángulo (αrο) es igual al
ángulo (αο); (αrο = αο).
RECTA CONTENIDA EN UN PLANO DADO Y QUE
FORME UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO
VERTICAL DE PROYECCIÓN.
Si la circunferencia base del cono no se corta con la traza
horizontal (h) del plano (α) entonces no hay solución fig.211f.
Esto sucede cuando el ángulo (αrο) es mayor que el ángulo
(αο); (αrο > αο).
α
α
α
V
Para definir una recta (r) que este contenida en un plano (α)
dado y forme un ángulo (βrο) con el plano vertical de
proyección\ fig.213a:
a) Se traza, con vértice en un punto (V) cualquiera del
plano (α), y base en el plano vertical de proyección, un
cono recto de revolución, cuyas generatrices formen ese
plano el ángulo (βrο) deseado; y se determinan las
intersecciones (Ι y J) de la circunferencia base del cono
con la traza vertical (f) del plano (α)\ fig.213b.
V
r
αο
h
a
Ι
PH
J
h
PH
α
α
J
d
V
αrο
αο
αο
PH
PH
αrο <
α
V
r
o
α
αrο
ο
ο α
r αr
h
αrο < αο
c
V
b) Las dos rectas (V-Ι) (fig.213c), y (V-J) (fig.213d), cumplen
con las condiciones impuestas. Esto sucede cuando el
ángulo (βrο) que debe formar la recta (r) con el plano
vertical de proyección es menor que el ángulo (βο) que
forma el plano (α) con el plano vertical de proyección
(βrο < βο).
Ι
PH
J
h
b
αrο
ο
α
T
h
αrο =
h
PH
ο
α
e) Solución única
PV
αrο >
α
ο
α
f) No hay solución
f
J
βο
r
f
v
v
α
α
v
v
h
o
α
h
α
r
o
αr
r
αr
α
J
β rο < β ο
α
f
V
βο
f
α
e) Solución única
βο
βο
β rο
V
α
f) No hay solución
J
h
Ι
h
v
fig.213.\ Recta (r) contenida en un plano (α) dado y que forma
un ángulo (βrο) dado con el plano vertical de proyección.
o
αr
v
h
P
b
d
v
h
V
r
c
β rο >
ο
PV
o
βαrο
T
α
v
r
Ι
a
v
P
v
h
β
V
ο
β rο < β ο
b
PV
PV
β
r
f
β rο =
Solución:
v
J
α
a
Ι
β rο
J
β rο
P
PV
f
Ejemplo: Definir la recta (r) que pasa por el punto (P), está
o
contenida en el plano (α) y forma el ángulo (αr ) con el plano
horizontal de proyección\ fig.212a.
v
Ι
V
fig.211.\ Recta (r) contenida en un plano (α) dado y que forma
un ángulo (αrο) dado con el plano horizontal de proyección.
P
PV
h
h
c
Puede ser que la circunferencia base del cono sea tangente
en un punto (T) a la traza vertical (f) del plano (α); en este
caso la recta (r) buscada queda definida por los puntos (P y
T) y es una recta de máxima inclinación del plano (α)
(fig.213e). Esto sucede cuando el ángulo (βrο) es igual al
ángulo (βο); (αrο = αο).
h
h
P
r
h
h
h
α
h
fig.212.\ Recta (r) contenida en un plano (α) dado y que forma
o
un ángulo (αr ) dado con el plano horizontal de proyección\
ejemplo.
Si la circunferencia base del cono no se corta con la traza
vertical (f) del plano (α) entonces no hay solución (fig.213f).
Esto sucede cuando el ángulo (βrο) es mayor que el ángulo
(βο); (βrο > βο).
Se define, con vértice en el punto (P), y base en el plano
horizontal de proyección, un cono recto de revolución,
63
Geometría Descriptiva
LUGARES GEOMÉTRICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
a
Ejemplo: Definir la recta (r) que pasa por el punto (P), está
o
contenida en el plano (α) y forma el ángulo (βr ) con el plano
vertical de proyección\ fig.214a.
Ι
b
v
v
f
o
βr
v
α
r
v
Solución:
h
h
α
α
Ι
h
r
h
J
r
P
v
v
v
J
o
βr
h
r
o
h
βr
h
h
f
h
P
v
f
v
v
P
α
Se define, con vértice en el punto (P), y base en el plano
vertical de proyección, un cono recto de revolución, cuyas
generatrices formen con ese plano el ángulo (βrο); y se
determinan los puntos (Ι y J) de corte entre la circunferencia
v
base del cono y la traza vertical (α ) del plano (α). La recta
(r) buscada es la recta (P-Ι) (fig.214b), ó la recta (P-J)
(fig.214c).
v
α
c
h
P
α
h
f
h
P
fig.214.\ Recta (r) contenida en un plano (α) dado y que forma
un ángulo (βrο) dado con el plano vertical de proyección\
ejemplo.
64
Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capitulo 7
METODOS PARA OBTENER
PROYECCIONES EN
VERDADERO TAMAÑO.
El proceso de definir la Doble Proyección Ortogonal de
figuras geométricas planas puede simplificarse si el plano
que las contiene se coloca paralelo a uno de los planos
principales de proyección. Esto se logra básicamente de dos
maneras: a) Manteniendo fijos los planos principales de
proyección y rotando el objeto; ó b) Manteniendo fijo el
objeto y rotando los planos principales de proyección a su
alrededor.
Se analizan en este capítulo tres procedimientos muy
utilizados para obtener proyecciones ortogonales de figuras
planas en verdadero tamaño denominados:
a) Rebatimiento de planos. Consiste en rebatir (rotar) el
plano que quiere observarse en verdadero tamaño, a
través de una de sus rectas características, que se
denominará eje de rebatimiento ó charnela, hasta
colocarlo paralelo a uno de los planos principales de
proyección.
b) Rotación. También denominado Giro. Consiste en rotar el
plano alrededor de un eje de punta ó de un eje vertical,
hasta colocarlo paralelo a uno de los planos principales
de proyección. En la mayoría de los casos es necesario
realizarle a un plano cualquiera dos rotaciones sucesivas,
una a través de un eje de punta y la otra a través de un
eje vertical, para lograr colocarlo paralelo a uno de los
planos principales de proyección.
c) Cambio de planos principales de proyección. Consiste en
mantener el plano en estudio fijo, y mover a su alrededor
los planos principales de proyección hasta que uno de
ellos sea paralelo al plano dado.
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
REBATIMIENTO DE
PLANOS.
GENERALIDADES
PLANOS.
DEL
REBATIMIENTO
Rebatir un plano (α), consiste en girarlo a través de una de
sus rectas características, la cual actúa como una “bisagra”,
hasta hacerlo coincidir con uno de los planos principales de
proyección (fig.215a y fig.215b), ó colocarlo paralelo a uno
de ellos (fig.215c y fig.215d), La recta alrededor de la que se
hace girar el plano se denomina eje de rebatimiento ó
simplemente eje.
a) Todos los puntos del plano (α) giran igual ángulo (αο) al
ser rebatidos\ fig.216a.
Independientemente de que el eje de rebatimiento sea una
traza ó una recta característica de un plano (α), se cumplen
las siguientes propiedades:
b) Los puntos contenidos en el eje no cambian de posición
al rebatir el plano (α), ejemplos: punto (A) (fig.216c); y
punto (Ι) (fig.216d).
c) Las rectas paralelas se mantienen paralelas al ser
rebatidas. fig.216b).
Puede observarse en la fig.215, que si el eje de rebatimiento
es:
d) Las rectas paralelas al eje se mantienen paralelas a él al
ser rebatidas (fig.216c).
a) La traza horizontal (h), ó vertical (f), del plano (α). Se
puede rebatir el plano (α) hasta colocarlo sobre el plano
horizontal, ó vertical de proyección, (fig.215a y fig.215b)
respectivamente.
1
e) Las rectas perpendiculares al eje se mantienen
perpendiculares a él al ser rebatidas (fig.216d).
1
b) Una recta característica horizontal (h ), ó frontal (f ), del
plano (α). Se puede rebatir el plano (α) hasta colocarlo
paralelo al plano horizontal, ó vertical de proyección
(fig.215c y fig.215d) respectivamente.
αο
h=EJE
Las posiciones que adquieren los puntos y rectas de un
plano al ser rebatidos se denominan proyecciones rebatidas
y se identifican con el superíndice “r”.
αο
a
A B
α
ο
α
h=EJE
C
ar
A
α
Br
PH
b//a
r
b //a
PH
c
α
h=EJE
r
α
h
r
A =A
ar//h
PV
A
f=EJE
h=EJE
ar⊥h
PH
A
r
α
PH
d
f
Ar
α
α
REBATIMIENTO
α
ο
α
A
αο
PH
r
α
r
α
h
PV
Y
α
h=EJE
Ar
r
DIRECTO
El rebatimiento de un plano (α) puede hacerse en dos
direcciones opuestas, recorriendo el plano (α) un mayor o
menor ángulo (αο) en cada una de ellas, en base a esto el
rebatimiento se clasifica en:
r
c
A
REBATIMIENTO
INVERSO.
α
PH
α
fig.216.\ Generalidades del rebatimiento.
A
α
Ar
r
h1=EJE
r
b
α
α
d
a⊥h
Ι=Ι
r
α
PH
r
r
Cr
α
a//h
h=EJE
b
α
a
r
r
Toda figura geométrica contenida en un plano (α), se
observará en verdadero tamaño cuando este sea rebatido;
debido a que será paralela a uno de los planos principales
de proyección, o estará contenida en uno de ellos. Es por lo
tanto el objetivo principal del rebatimiento de planos,
facilitar el dibujo de figuras geométricas contenidas en ellos.
a
DE
h=EJE
PH
f1=EJE
a) Rebatimiento inverso
fig.215.\ Rebatimiento de un plano (α).
b) Rebatimiento directo
fig.217.\ Rebatimiento inverso y rebatimiento directo.
a) Rebatimiento Inverso. Si el ángulo de giro (αο) es el
mayor\ fig.217a.
66
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
v
b) Rebatimiento Directo. Si el ángulo de giro (αο) es el
menor\ fig.217b.
c) Se definen las proyecciones: vertical (Ι ); horizontal y
h r
rebatida (Ι =Ι ) del punto de corte (Ι) entre la recta (p) y
la traza horizontal del plano (α).
d) Se determina la longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι).
REBATIMIENTO A TRAVÉS
HORIZONTAL DE UN PLANO.
DE
LA
TRAZA
r
e) Se define la proyección rebatida (A ) del punto (A);
midiendo la longitud (dA-Ι) sobre la proyección rebatida
r
h r
(p ) de la recta (p) a partir del punto (Ι =Ι ), (puede
h r
trasladarse con el compás centrado en (Ι =Ι )).
Para rebatir cualquier punto (A) contenido en un plano (α), a
través de la traza horizontal (h) del plano (α)\ fig.218a:
Si el rebatimiento es inverso (fig.219b), las proyecciones
h
r
horizontal (A ) y rebatida (A ) del punto (A) se ubican en
lados opuestos del eje de rebatimiento; mientras que si es
directo (fig.219c), ambas proyecciones se ubican en el
mismo lado del eje de rebatimiento.
a) Se traza, por él punto (A) una recta (p) de máxima
pendiente del plano (α); y se determinan: el punto (Ι) de
corte entre la recta (p) y la traza horizontal (h) del plano
(α); y la longitud (dA-Ι); del segmento (A-Ι)\ fig.218b.
r
b) Se define la proyección rebatida (p ) de la recta (p);
r
sabiendo que: contiene al punto (Ι=Ι ); está contenida en
el plano horizontal de proyección; y es perpendicular a
la traza horizontal (h) del plano (α)\fig.218c.
Simplificación:
Ya comprendidos los principios teóricos del rebatimiento de
planos a través de su traza horizontal. Este proceso puede
simplificarse, como lo muestra la fig.219d, de acuerdo a los
siguientes aspectos:
r
c) Se determina la proyección rebatida (A ) del punto (A);
midiendo la longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι) sobre la
r
proyección rebatida (p ) de la recta (p), a partir del
r
punto (Ι=Ι ) \fig.218d.
A-
a) La diferencia de cota (∆Z Ι) entre los puntos (A e Ι) es
siempre la cota (ZA) de del punto (A).
b) No es necesario señalar la ubicación del punto (Ι).
v
a
A
p
α
h
Ι
PH
c) No es necesario definir la proyección vertical (p ) de la
recta (p).
b
A
d) Se
puede
omitir
procedimiento.
dA−Ι
a) Definir la
proyección
r
rebatida
(A )
del punto (A).
v
c
p d
A−Ι
h=EJE
Ι=Ι
r
p
r
α
α
d
A
p d
A−Ι
h=EJE
r
pr
α
Ar
Ι=Ι
dΑ−Ι
PH
la
nomenclatura
del
α
h
PH
A
toda
r
α
b) Rebatimiento Inverso.
v
α
ph= pr
r
∆Z
α
Ah
PH
∆Z
A-I
Av
Ι
Ah
A-I
dA-I
h
=EJE
α
c) Rebatimiento directo.
r
Ejemplo: Determinar la proyección rebatida (A ) del punto (A),
contenido en el plano (α)\ fig.219a.
αv
Solución:
∆Z
∆Z
A-I
A-I
Ar
d) Simplificación.
h
=EJE
α
Av
Av
Ι
Ah
dA-I
r
b) Se define la proyección rebatida (p ) de la recta (p). Las
r
h
proyecciones rebatida (p ) y horizontal (p ) de la recta (p)
h
r
coinciden (p =p ); ya que ambas son perpendiculares a
h
la proyección horizontal (α ) de la traza horizontal del
plano (α).
Ar
αv
ph= pr
a) Se definen las proyecciones de la recta (p) de máxima
pendiente del plano (α), que pasa por el punto (A)
h
(primero la horizontal (p ), perpendicular a la proyección
h
horizontal (α ) de la traza horizontal del plano (α); y luego
v
la vertical (p ))\ fig.219b.
pv
h r
Ι =Ι
dA-I
fig.218.\ Rebatimiento de un plano (α) a través de su traza
horizontal (h).
v
v
pv
Ah
h r
Ι =Ι
h
=EJE
α
Ar
fig.219.\ Rebatimiento a través de la traza horizontal.
67
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
vertical, y rebatida de este punto coincidirán en una sola
v
h
r
(1 =1 =1 )\ fig.221.
REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS.
En la fig.220a, se muestra un punto (A) el cual ha sido
rebatido y un segundo punto (B) el cual se quiere rebatir,
ambos contenidos en el plano (α). Aunque puede rebatirse
el punto (B), siguiendo el método utilizado en el rebatimiento
del punto (A), es a veces mas conveniente rebatirlo
aplicando una de las propiedades del rebatimiento
siguientes:
En la fig.221a se rebate el punto (2) por el método descrito
en la fig.219.
En la fig.221b se simplifica el procedimiento, tomando en
cuenta que:
a) El segmento (1-2) está contenido en el plano vertical de
proyección; por lo tanto su longitud real (d1-2) puede
medirse en la proyección vertical del mismo.
a) Los triángulos de rebatimiento dibujados para rebatir
todos los puntos de un mismo plano son semejantes. Por
lo tanto la hipotenusa del triángulo de rebatimiento que
se dibuje para el punto (B) es paralela a la que se
obtuvo en el punto (A)\ fig.220b.
b) El segmento (1-2), después de rebatido, también se
observa en verdadero tamaño.
r
Entonces, puede obtenerse la proyección rebatida (2 ) del
punto (2) trasladando con el compás, centrado en el punto
v
h
r
(1 =1 =1 ) la longitud (d1-2) del segmento (1-2).
b) El paralelismo entre rectas se conserva en el rebatimiento.
Por lo tanto se traza una recta (a) cualquiera por el
punto (A), y luego otra recta (b) paralela a ella por el
punto (B); se rebaten ambas rectas y se ubica la
r
proyección rebatida (B ) del punto (B) sobre la
r
proyección rebatida (b ) de la recta (b)\ fig.220c.
a)
v
α
2v
1v=1h=1r
v
α
b
v
2
1v=1h=1r
2h
2h
d1-2
r
α
h
=EJE
α
r
α
h
α =EJE
2r
b)
v
α
α
d1-2
c) Se traza la recta (a) que contiene a los puntos (A y B); y
r
se define su proyección rebatida (a ); luego se ubica la
r
proyección rebatida (B ) del punto (B) sobre la
r
proyección rebatida (a ) de la recta (a)\ fig.220d.
v
v
a
2r
v
A
A
fig.221.\ Rebatimiento de la traza vertical de un plano.
PARALELAS
Ah
Bh
Ah
Bh
Ar
h
=EJE
α
v
α
bh//ah
ah
Ya definida la proyección rebatida (α ) de la traza vertical
de un plano (α), si quiere rebatirse cualquier punto (A) de
este plano\ fig.222:
v
α
c
a) Se traza, por el punto (A), una recta (r) cualquiera del
plano (α)\ fig.222a.
d
A
Av
Ah
B
h
a
r
b) Se define la proyección rebatida (r ) de esta recta (r).
r
c) Se ubica la proyección rebatida (A ) del punto (A) sobre
r
la proyección rebatida (r ) de la recta (r).
Ah
Bh
Ar
h
=EJE
Br
v
h
α
REBATIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLANO,
POR MEDIO DEL REBATIMIENTO PREVIO DE LA
TRAZA VERTICAL DEL PLANO.
r
h
=EJE
α
Ar
r
ar
r
b //a
Br
Es a veces mas conveniente trazar, en vez de una recta (r)
cualquiera, una recta horizontal (h) (fig.222b), o una recta
frontal (f) (fig.222c) del plano (α).
Ar
ar
h
α =EJE
v
α
Br
r
fig.220.\ Rebatimiento de varios puntos.
v
α
a
h
Ah
REBATIMIENTO DE LA TRAZA VERTICAL DE UN
PLANO.
hh
r
α
r
c
Ah fh
Ah
rr
Se puede definir la proyección rebatida (α ) de la traza
vertical de un plano (α), por medio del rebatimiento de dos
puntos (1 y 2) contenidos en la misma (se simplifica el
método si uno de ellos (1) es la intersección del plano (α)
con la línea de tierra; ya que las proyecciones horizontal,
v
α
b
Ar
h
α =EJE
r
r
α
A
hr
Ar
h
α =EJE
r
α
h
=EJE
α
fr//αr
fig.222.\ Rebatimiento de un punto (A), por medio del
rebatimiento previo de la traza vertical del plano.
68
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
REBATIMIENTO A TRAVÉS
VERTICAL DE UN PLANO.
DE
LA
r
e) Se define la proyección rebatida (A ) del punto (A);
midiendo la longitud (dA-Ι) sobre la proyección rebatida
r
v r
(i ) de la recta (i) a partir del punto (Ι =Ι ), (puede
v r
trasladarse con el compás centrado en (Ι =Ι )).
TRAZA
Para rebatir cualquier punto (A) contenido en un plano (α), a
través de la traza vertical (f) del plano (α)\ fig.223a:
Si el rebatimiento es inverso (fig.224b), las proyecciones
v
r
vertical (A ) y rebatida (A ) del punto (A) se ubican en lados
opuestos del eje de rebatimiento; mientras que si es directo
(fig.224c), ambas proyecciones se ubican en el mismo lado
del eje de rebatimiento.
a) Se traza, por él punto (A) una recta (i) de máxima
inclinación del plano (α); y se determinan: el punto (Ι) de
corte entre la recta (i) y la traza vertical (f) del plano (α);
y la longitud (dA-Ι); del segmento (A-Ι)\ fig.223b.
r
b) Se define la proyección rebatida (i ) de la recta (i);
r
sabiendo que: contiene al punto (Ι=Ι ); está contenida en
el plano vertical de proyección; y es perpendicular a la
traza vertical (f) del plano (α)\ fig.223c.
b) Rebatimiento Inverso
a) Definir la
proyección
r
rebatida
(A )
del punto (A)
v
α
v
α
Ar
=EJE
dA-I
r
c) Se determina la proyección rebatida (A ) del punto (A);
midiendo la longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι) sobre la
r
proyección rebatida (i ) de la recta (i), a partir del punto
r
(Ι=Ι ) \ fig.223d.
a
α
dA-I
A-I
∆Y
Av
b
h
v
α
PV
c
v
α
r
α
A
d
r A−Ι
r
α
i
dΑ−Ι
ir
Ar
Ι=Ι
r
i =i
i
ir
∆Y
Av
ih
Ι
A-I
v
h
Ah
Ah
h
f=EJE
h
α
f=EJE
Ar
=EJE
v r
Ι =Ι
Av
Ar
α
A
d
r A−Ι
Ι=Ι
A
∆Y -I
d
PV
α
A
d) Simplificación
=EJE
dA-I
PV
h
h
α
c) Rebatimiento directo
f
PV
Ι
∆Y
h
α
i
Ι
ih
A
dA−Ι
f
Av
A-I
iv = ir
α
A
v r
Ι =Ι
α
fig.224.\ Rebatimiento a través de la traza vertical.
fig.223.\ Rebatimiento de un plano (α) a través de su traza
vertical (f).
Simplificación:
Ya comprendidos los principios teóricos del rebatimiento de
planos a través de su traza vertical. Este proceso puede
simplificarse, como lo muestra la fig.224d, de acuerdo a los
siguientes aspectos:
r
Ejemplo: Determinar la proyección rebatida (A ) del punto (A),
contenido en el plano (α)\ fig.224a.
Solución:
A-
a) La diferencia de vuelo (∆y Ι) entre los puntos (A e Ι) es
siempre el vuelo (YA) de del punto (A).
a) Se definen las proyecciones de la recta (i) de máxima
inclinación del plano (α), que pasa por el punto (A)
v
(primero la vertical (i ), perpendicular a la proyección
v
vertical (α ) de la traza vertical del plano (α); y luego la
h
horizontal (i ))\ fig.224b.
b) No es necesario señalar la ubicación del punto (Ι).
h
c) No es necesario determinar la proyección horizontal (i )
de la recta (i).
r
b) Se define la proyección rebatida (i ) de la recta (i). Las
r
v
proyecciones rebatida (i ) y vertical (i ) de la recta (i)
r v
coinciden (i =i ); ya que ambas son perpendiculares a la
v
proyección vertical (α ) traza vertical del plano (α).
d) Se
puede
omitir
procedimiento.
toda
la
nomenclatura
del
REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS.
h
c) Se definen las proyecciones: horizontal (Ι ); vertical y
v r
rebatida (Ι =Ι ) del punto de corte (Ι) entre la recta (i) y la
traza vertical del plano (α).
En la fig.225a, se muestra un punto (A) el cual ha sido
rebatido y un segundo punto (B) el cual se quiere rebatir,
ambos contenidos en el plano (α). Aunque puede rebatirse
el punto (B), siguiendo el método utilizado en el rebatimiento
d) Se determina la longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι).
69
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
del punto (A), es a veces mas conveniente rebatirlo
aplicando una de las propiedades del rebatimiento
siguientes:
En la fig.226a se rebate el punto (2) por el método descrito
en la fig.224.
En la fig.226b se simplifica el procedimiento, tomando en
cuenta que:
a) Los triángulos de rebatimiento dibujados para rebatir
todos los puntos de un mismo plano son semejantes. Por
lo tanto la hipotenusa del triángulo de rebatimiento que
se dibuje para el punto (B) es paralela a la que se
obtuvo en punto (A)\ fig.225b.
a) El segmento (1-2) está contenido en el plano horizontal
de proyección; por lo tanto su longitud real (d1-2) puede
medirse en la proyección horizontal del mismo.
b) El segmento (1-2), después de rebatido, también se
observa en verdadero tamaño.
b) El paralelismo entre rectas se conserva en el rebatimiento.
Por lo tanto se traza una recta (a) cualquiera por el
punto (A), y luego otra recta (b) paralela a ella por el
punto (B); se definen las proyecciones rebatidas de
r
ambas rectas; y se ubica la proyección rebatida (B ) del
r
punto (B) sobre la proyección rebatida (b ) de la recta
(b)\ fig.225c.
r
Entonces, puede obtenerse la proyección rebatida (2 ) del
punto (2) trasladando con el compás, centrado en el punto
v
h
r
(1 =1 =1 ) la longitud (d1-2) del segmento (1-2).
c) Se traza la recta (a) que contiene a los puntos (A y B); y
r
se define su proyección rebatida (a ); luego se ubica la
r
proyección rebatida (B ) del punto (B) sobre la
r
proyección rebatida (a ) de la recta (a)\ fig.225d.
2r
v
α
2r
=EJE
v
α
r
=EJE
α
r
α
d1-2
2v
v
h
r
1 =1 =1
v
α
v
α
=EJE
2v
d1-2
Ar
Bv
2h
v
α
REBATIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLANO,
POR MEDIO DEL REBATIMIENTO PREVIO DE LA
TRAZA HORIZONTAL DEL PLANO.
Ah
br//ar
a)
v
α
h
r
Bv
Ah
α
r
b) Se define la proyección rebatida (r ) de esta recta (r).
av
Av
av
a) Se traza, por el punto (A), una recta (r) cualquiera del
plano (α)\ fig.227a.
ar
Ar
Ar
bv//av
r
Ya definida la proyección rebatida (α ) de la traza horizontal
de un plano (α), si quiere rebatirse cualquier punto (A) de
este plano\ fig.227:
Br
=EJE
ar
Bv
b)
h
α
Br
=EJE
c) Se ubica la proyección rebatida (A ) del punto (A) sobre
r
la proyección rebatida (r )de la recta (r).
Av
Es a veces mas conveniente trazar, en vez de una recta (r)
cualquiera, una recta horizontal (h) (fig.227b), o una recta
frontal (f) (fig.227c) del plano (α).
Ah
c
h
α
Av
Ah
h
2h
b
h
α
fig.226.\ Rebatimiento de la traza horizontal de un plano.
PARALELAS
α
r
1 =1 =1
B
=EJE
Ar
Av
h
r
a
Bv
v
h
α
d
fig.225.\ Rebatimiento de varios puntos.
r
α
REBATIMIENTO DE LA TRAZA HORIZONTAL DE
UN PLANO.
rr
v
α
Ar
r
=EJE
α
Ar
hr//αr
v
α =EJE
A
r
fr
Ar
h
=EJE
α
fv
Av hv
v
Se puede definir la proyección rebatida (α ) de la traza
horizontal de un plano (α), por medio del rebatimiento de
dos puntos (1 y 2) contenidos en la misma (se simplifica el
método si uno de ellos (1) es la intersección del plano (α)
con la línea de tierra; ya que las proyecciones horizontal,
vertical, y rebatida de este punto coincidirán en una sola
v
h
r
(1 =1 =1 )\ fig.226.
r
α
Av
rv
h
α
a
h
α
b
h
α
fig.227.\ Rebatimiento de un punto (A) por medio del
rebatimiento previo de la traza horizontal del plano.
70
c
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
REBATIMIENTO A TRAVÉS DE UNA RECTA
CARACTERÍSTICA HORIZONTAL DE UN PLANO.
g) Simplificación. Este proceso puede simplificarse de
acuerdo con los siguientes aspectos\ fig.229d:
Para rebatir cualquier punto (A) contenido en un plano (α) a
1
través de una recta horizontal (h ) del plano:
h) La diferencia de cota entre los puntos (A e Ι), es siempre
la diferencia de cota entre el punto (A) y la recta
horizontal (h).
a) Se traza por el punto (A) una recta (p) de máxima
pendiente del plano (α); y se determinan: el punto de
1
corte (Ι) entre la recta (p) y la recta horizontal (h ); y la
longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι)\ fig.228a.
i)
No es necesario señalar la ubicación del punto (Ι).
j)
Se puede omitir toda la nomenclatura intermedia.
r
b) Se determina la proyección rebatida (p ) de la recta (p);
r
sabiendo que contiene al punto (Ι=Ι ), y es: paralela al
plano horizontal de proyección; y perpendicular a la
1
recta horizontal (h )\ fig.228b.
fv
a
c) Se obtiene la proyección rebatida (A ) del punto (A)
midiendo la longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι) sobre la
r
proyección rebatida (p ) de la recta (p), a partir del
r
punto (Ι=Ι ).
v
p
Ι
a
h
h
α
p
r
A
PH
h
Ι=Ι
r
dΑ−Ι
r
α
Ah
∆Z
A-Ι
Ah
h r
Ι =Ι
dA-Ι
hh=EJE
r
α
fv
c
v
h
Av
A-Ι
∆Z
fh
∆Z
A-Ι
Ι
v
v
h
fh
Ar
h
Ah
A
dA-Ι
h r
Ι =Ι
hh=EJE
Solución:
d
pv
r
Ejemplo. Definir la proyección rebatida (A ) del punto (A),
contenido en el plano (α), definido por sus rectas características
frontal (f) y horizontal (h)\ fig.229a:
fv
Ar
Av
ph= pr
fig.228.\ Rebatimiento a través de una recta característica
1
horizontal (h ) del plano (α).
hh=EJE
Ar
fig.229.\ Rebatimiento alrededor de una recta característica
horizontal (h) de un plano (α)\ ejemplo.
a) Se definen las proyecciones de la recta de máxima
pendiente (p) del plano (α) que pasa por el punto (A)
h
(primero la horizontal (p ), perpendicular a la proyección
h
horizontal (h ) de la recta característica horizontal (h) del
v
plano (α), y luego la vertical (p )\ fig.229b.
REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS.
b) Se rebate la recta de máxima pendiente (p) (sus
r
h
proyecciones rebatida (p ) y horizontal (p ) coinciden
h
r
(p =p ).
En la fig.230a se muestra un punto (A) el cual ha sido
rebatido y un segundo punto (B) el cual se quiere rebatir,
ambos contenidos en el plano (α). Aunque puede rebatirse
el punto (B), siguiendo el método utilizado en el rebatimiento
del punto (A), es también posible rebatirlo aplicando las
propiedades del rebatimiento ya expuestas en la fig.225:
c) Se determinan las proyecciones del punto de corte (Ι)
entre las rectas (p y h).
d) Se determina la longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι).
a) Por triángulos de rebatimiento semejantes\ fig.230b.
r
e) Se define la proyección rebatida (A ) del punto (A),
midiendo la longitud (dA-Ι) sobre la proyección rebatida
r
(p ) de la recta (p) a partir del punto (Ι), (puede
h r
trasladarse con el compás centrado en (Ι =Ι )).
f)
v
pv
dA-Ι
h
PH
Ι
fh
p d
A−Ι
dA−Ι
A-Ι
ph= pr
b
A
h1=EJE
∆Z
v
fh
A
b
Av
r
h1=EJE
fv
b) Por rectas paralelas\ fig.230c.
c) Por medio de la recta (A-B)\ fig.230d.
Si el rebatimiento es inverso, las proyecciones horizontal
h
r
(A ) y rebatida (A ) del punto (A) se ubican en lados
opuestos del eje de rebatimiento (fig.229b); mientras que
si el es directo, ambas proyecciones se ubican en el
mismo lado del eje de rebatimiento\ fig.229c.
71
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
fv
fv
a
Av
v
h
Si previamente se rebate una recta frontal (f) de un plano
(α), puede luego rebatirse cualquier punto (A) del plano por
medio del siguiente procedimiento:
Av
v
h
fh
observa en verdadero tamaño en las proyecciones vertical
v
r
(f ) y rebatida (f ).
b
a) Se traza por el punto (A) una recta cualquiera (r) del
1
plano (α) (fig.232a); esta recta puede ser horizontal (h )
1
(fig.232b), ó frontal (f ) (fig.232c).
fh
Ah
Bh
Ah
Bh
1
Ar
Ar
r
c) Se ubica la proyección rebatida (A ) del punto (A) sobre
1
1
la proyección rebatida de la recta (r; h ; ó f ).
PARALELAS
hh=EJE
hh=EJE
fv
Br
fv
a
v
Av
hv
f
fv
c
d
Av
hv
h
f
PARALELAS
f
rr
h
hh=EJE
Br
a
fv
2v
r=dA-B
1-2
∆z
h1r
hh=EJE
f
Ar
hh=EJE
r
∆z
r
c) Se obtiene la proyección rebatida (A ) del punto (A)
midiendo la longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι) sobre la
r
proyección rebatida (i ) de la recta (i), a partir del punto
r
(Ι=Ι ).
b
fv
a
b
hv
fr
1h=1r
r=dA-B
2r
A
b) Se determina la proyección rebatida (i ) de la recta (i);
r
sabiendo que contiene al punto (Ι=Ι ), y es: paralela al
plano vertical de proyección; y perpendicular a la recta
1
frontal (f )\ fig.233b.
α
ph=pr
fh
1-2
2v
1v
hv
hh=EJE
f1r
r
a) Se traza por el punto (A) una recta (i) de máxima
inclinación del plano (α); y se determinan: el punto de
1
corte (Ι) entre la recta (i) y la recta frontal (f ); y la
longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι)\ fig.233a.
Siendo el eje de rebatimiento la recta horizontal (h) del
plano (α), en la fig.231a se muestra como obtener la
r
proyección rebatida (f ) de la recta frontal (f) del plano (α),
rebatiendo para ello dos de sus puntos (1 y 2).
1h=1r
fr
hh=EJE
f1h
Para rebatir cualquier punto (A) contenido en un plano (α) a
1
través de una recta frontal (f ) del plano:
REBATIMIENTO
DE
UNA
RECTA
CARACTERÍSTICA FRONTAL DE UN PLANO.
2
Ah
REBATIMIENTO A TRAVÉS DE UNA RECTA
CARACTERÍSTICA FRONTAL DE UN PLANO.
fig.230.\ Rebatimiento de varios puntos.
h
Ah
Ar
Br
hh=EJE
fr
Ah
fig.232.\ Rebatimiento de un punto (A) de un plano (α) por
medio del rebatimiento previo de una recta frontal (f).
PARALELAS
1
fh
fh
h1h
Ah
Ar
v
h
fh
r
c
v
h
r
Ar
Bh
Ah
Bh
rh
fv
b
v
h
fv
1
b) Se rebate esa recta (r; h ; ó f ).
h
2
ph=pr
fh
dA−Ι
f
Ι
r
α
i
PV
fig.231.\ Rebatimiento de una frontal de un plano (α).
Ι=Ι
A
r
i
dΑ−Ι r
i
Ar
hh=EJE
2r
α
f
A
f1=EJE
PV
f1=EJE
fig.233.\ Rebatimiento a través de una recta característica
1
frontal (f ) de un plano (α).
En la fig.231b se muestra una simplificación del método
basada en que la longitud (d1-2) del segmento (1-2), se
72
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
r
Ejemplo. Definir la proyección rebatida (A ) del punto (A),
contenido en el plano (α), definido por sus rectas características
frontal (f) y horizontal (h)\ fig.234a:
a) La diferencia de vuelo entre los puntos (A e Ι), es siempre
la diferencia de vuelo entre el punto (A) y la recta frontal
(f).
Solución:
b) No es necesario señalar la ubicación del punto (Ι).
a) Se definen las proyecciones de la recta de máxima
inclinación (i) del plano (α) que pasa por el punto (A)
v
(primero la vertical (i ), perpendicular a la proyección
v
vertical (f ) de la recta característica frontal (f) del plano
h
(α), y luego la horizontal (i )\ fig.234b.
c) Se puede omitir toda la nomenclatura intermedia.
REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS.
c) Se determinan las proyecciones del punto de corte (Ι)
entre las rectas (i y f).
En la fig.235a se muestra un punto (A) el cual ha sido
rebatido y un segundo punto (B) el cual se quiere rebatir,
ambos contenidos en el plano (α). Aunque puede rebatirse
el punto (B), siguiendo el método utilizado en el rebatimiento
del punto (A), es también posible rebatirlo aplicando las
propiedades del rebatimiento ya expuestas en la fig.225:
d) Se determina la longitud (dA-Ι) del segmento (A-Ι).
a) Por triángulos de rebatimiento semejantes\ fig.235b.
b) Se rebate la recta de máxima inclinación (i) (sus
r
v
v r
proyecciones rebatida (i ) y vertical (i ) coinciden (i =i ).
r
e) Se define la proyección rebatida (A ) del punto (A),
midiendo la longitud (dA-Ι) sobre la proyección rebatida
r
(i ) de la recta (i) a partir del punto (Ι), (puede trasladarse
v r
con el compás centrado en (Ι =Ι )).
f)
b) Por rectas paralelas\ fig.235c.
c) Por medio de la recta (A-B)\ fig.235d.
v
Si el rebatimiento es inverso, las proyecciones vertical (A )
r
y rebatida (A ) del punto (A) se ubican en lados opuestos
del eje de rebatimiento (fig.234b); mientras que si el es
directo, ambas proyecciones se ubican en el mismo lado
del eje de rebatimiento\ fig.234c.
fv=EJE
Br
fv=EJE
PARALELAS
r
Ar
A
fv=EJE
dA-Ι
fv
dA-Ι
v
A
A-Ι
∆Y
hv
Av
f
a
h
h
fv=EJE
h
dA-Ι
v
Ι =Ι
A-Ι
i
Ι
A-Ι
∆Y
Ah
hh
h
fv=EJE
h
f
A-Ι
∆Y
h
Bv
Ι
hh
fh
Ah
c
hh
A
Av
hv
h
fh
Ah
h
A
Bv
v
PARALELAS
v
Av
hv
f
Br
Ar
Ar
r
h
fv=EJE
Br
Ar
ih
h
b
PARALELAS
fh=EJE
Av
Ah
hh
a
b
∆Y
Ar
fh
Ah
h
h
iv = ir
v
Bv A
hv
fh
fh
h
hv
Av
hv
v r
Ι =Ι
iv= ir
f
Bv
Ar
hh
c
Ah
hh
d
d
fig.235.\ Rebatimiento de varios puntos.
fig.234.\ Rebatimiento alrededor de una recta característica
frontal (f) de un plano (α)\ ejemplo.
REBATIMIENTO
DE
UNA
RECTA
CARACTERÍSTICA HORIZONTAL DE UN PLANO.
Siendo el eje de rebatimiento la recta frontal (f) del plano
(α), en la fig.236a se muestra como obtener la proyección
Simplificación. Este proceso puede simplificarse de acuerdo
con los siguientes aspectos\ fig.234d:
73
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
r
rebatida (h ) de la recta horizontal (h) del plano (α),
rebatiendo para ello dos de sus puntos (1 y 2).
de la proyección rebatida. A continuación se define este
proceso:
En la fig.236b se muestra una simplificación del método
basada en que la longitud (d1-2) del segmento (1-2), se
observa en verdadero tamaño en las proyecciones
h
r
horizontal (h ) y rebatida (h ).
a) Se definen las trazas del plano (α) que contiene a la
recta (r) y al punto (C); para ello se define previamente
el plano (α) por rectas paralelas, trazando por (C) una
1
recta (r ) paralela a la recta (r)\ fig.238b.
2r
b) Se rebaten: la traza vertical del plano (α), las rectas
1
paralelas (r) y (r ), y el vértice (C); tomando como eje de
rebatimiento la traza horizontal del plano (α).
2r
fv=EJE
r
1-2
∆Y
1v=1r
v
2
r
h
v
r
i =i
h
∆Y
d) Se definen las proyecciones horizontal y vertical del
cuadrado a partir de la proyección rebatida\ fig.238d.
a
r=d1-2
hh
2h
2h
b
hh
1v
r //r
v
rv
C
Cv
Si previamente se rebate una recta horizontal (h) de un
plano (α), puede luego rebatirse cualquier punto (A) del
plano por medio del siguiente procedimiento:
b
v
α
rv
fig.236.\ Rebatimiento de una horizontal (h) de un plano (α).
Ch
rh
rh
C
v
h
=EJE
α
h
1r
a) Se traza por el punto (A) una recta cualquiera (r) del
1
plano (α) (fig.237a); esta recta puede ser frontal (f )
1
(fig.237b), ú horizontal (h ) (fig.237c).
1
r
fh
1h
1-2
a
hv
iv=ir
r
fh
1h
2v
1v=1r
hv
r
c) Se dibuja, en proyección rebatida, el cuadrado (A -B -C r
r
r
r
r
D ) con vértice en (C ) y lado (A -B ) sobre la recta (r )\
fig.238c.
fv=EJE
r=d1-2
1h
r //r
C
h
r //r
r
r
r
α
rr
1
b) Se rebate esa recta (r; f ; ó h ).
r
c
v
c) Se ubica la proyección rebatida (A ) del punto (A) sobre
1
1
la proyección rebatida de la recta (r; f ; ó h ).
α
1v
r //r
α
v
A
rv
v
D
B
hr
fv=EJE
Ar
rr
hr
Ar
f1r
fv=EJE
f1v
Av
hv
rv
f
hh
Av
hr
Ar
f
a
hh
h1v
r
Av
h
hv
h
f
b
C
rv
h
=EJE
α
Ah
h1r
hv
h
C
fv=EJE
v
hh
C
1h
h
r //r
h
h
h
r
B
c
C
r
rr Ar
1r
D
r
r //r
d
v
v
r
1v
r //r
v
v
v
h
=EJE
α
Dh
C
h
B
1h
r //r
r
α
rh
h
r
Cr
1r
D
rr
B
r //r
r
r
r
r
α
A
fig.238.\ Construcción de un cuadrado por
rebatimiento previo de la traza vertical.
fig.237.\ Rebatimiento de un punto (A) de un plano (α) por
medio del rebatimiento previo de una recta horizontal (h).
Ejercicio 02. Definir las proyecciones de un triángulo equilátero
de vértices (A, B, y C), contenido en el plano (α) definido por los
vértices (A, y B) y el punto (X)\ fig.239a.
Ejercicio 01. Definir las proyecciones del cuadrado de vértices (A,
B, C, y D), dado su vértice (C) y sabiendo que el lado (A-B), esta
contenido en la recta (r); estando (A) mas alto que (B)\ fig.238a.
Solución:
los puntos (A, B, y X) definen el plano (α), que contiene al
triángulo equilátero pedido; si se rebate este plano, se
puede dibujar el triángulo equilátero en verdadero tamaño
(rebatido) y luego obtener sus proyecciones horizontal y
vertical a partir de la proyección rebatida. A continuación
se define este proceso:
Solución:
La recta (r) y el punto (C) definen un plano (α) que contiene
al cuadrado pedido. Si se rebate este plano, se puede
dibujar el cuadrado en verdadero tamaño (rebatido) y
luego obtener sus proyecciones horizontal y vertical a partir
74
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
c) Se definen las proyecciones horizontal y vertical del
cuadrado a partir de la proyección rebatida\ fig.240d.
a) Se definen las trazas del plano (α) que contiene a la
recta (r) y al punto (X) y se rebate el lado (A-B) del
triángulo equilátero; tomando como eje de rebatimiento
la traza vertical del plano (α)\ fig.239b.
r
r
b) Se dibuja, con lado (A -B ), la proyección rebatida
r
r
r
(A ;B ;C ) del triángulo equilátero (A;B;C)\ fig.239c.
a
b
rv
rv
Se definen las proyecciones horizontal y vertical del triángulo
a partir de la proyección rebatida\ fig.239d.
C
hv
Cv
v
fv
r
A
hh=EJE
rh
Br
r
α
v
v
α
B
Av
Xv
Bv
=EJE
rh
fh
Ch
h
C =C
fr
Av
Xv
r
rr
Bh
h
X
X
Ah
a
h
α
b
Ar
Br
Bh
h
r
Ah
Dv
hv
Cv
hv
d
Br
d
Bv
rv
Ar
c
Av
c
C
rv
fv
v
fv
r
α
Bv
Cr
Bv
C
v
f
Ch=Cr
Bh
h
α
A
fr
h
Dr
Dh
hh=EJE
fh
Ch=Cr
Bh
Dr
Bh
rr
h
rh
Ah
Av
Ch
Xh
hh=EJE
rh
fr
Cr
Av
Xv
α
h
α
h
A
Br
Ar
rr
Br
Ar
fig.240.\ Construcción de un cuadrado por
rebatimiento previo de una recta frontal.
fig.239.\ Construcción de un triángulo equilátero, por
rebatimiento previo de la traza horizontal.
Ejercicio 03. Definir las proyecciones del cuadrado de vértices (A,
B, C, y D), dado su vértice (C) y sabiendo que el lado (A-B), esta
contenido en la recta (r), estando (A) por encima de (B)\ fig.240a.
Ejercicio 04. Definir las proyecciones de un cuadrado de vértices
(A, B, C, y D), contenido en el plano (α) definido por el vértice (A) y
la recta (r), sabiendo que la diagonal (A-C) es perpendicular a la
recta (r), la cual contiene al vértice (C). (B) está por debajo de (A)\
fig.241a.
Solución:
Solución
La recta (r) y el punto (C) definen un plano (α) que contiene
al cuadrado pedido, si se rebate este plano, se puede
dibujar el cuadrado en verdadero tamaño (rebatido) y
luego obtener sus proyecciones horizontal y vertical a partir
de la proyección rebatida. A continuación se define este
proceso:
El punto (A) y la recta (r) definen un plano (α) que contiene
al cuadrado pedido. Si se rebate este plano, se puede
dibujar el cuadrado en verdadero tamaño (rebatido) y
luego obtener sus proyecciones horizontal y vertical a partir
de la proyección rebatida. A continuación se define este
proceso:
a) Se definen las rectas características frontal (f) y horizontal
(h) del plano (α) que pasan por el punto (C); y se
rebaten: la frontal (f); la recta (r); y el punto (C), tomando
como eje de rebatimiento la horizontal (h)\ fig.240b.
a) Se definen las rectas características frontal (f) y horizontal
(h) del plano (α) que pasan por el punto (A); y se
rebaten: la horizontal (h); la recta (r) y el punto (A);
tomando como eje de rebatimiento la frontal (f)\
fig.241b
b) Se dibuja, en la proyección rebatida, un cuadrado con
r
r
r
r
vértice en (C ) y lado (A -B ) sobre la recta (r )\ fig.240c.
b) Se dibuja la proyección rebatida del cuadrado pedido\
fig.241c
75
Geometría Descriptiva
REBATIMIENTO DE PLANOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
c) Se definen las proyecciones vertical y horizontal del
cuadrado (A; B; C; D) a partir de la proyección rebatida\
fig.241d
fv=EJE
rr
hr
rv
rv
Av
Av=Ar
Ah
rh
hv
fh
Ah
a
r
hh
b
fv=EJE
rr
hr
rr
hr
Cr
Br
Br
Dr
v
h
c
hv
B
h
r
d
r
v
h
fh
Ah
rh
hh
Cv
v
D
A
Cr
Dr
Av=Ar
fh
h
fv=EJE
Dv
rv
Av=Ar
h
Ch
Bh
hh
fig.241.\ Construcción de un cuadrado por
rebatimiento previo de una recta horizontal.
76
Geometría Descriptiva
ROTACIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
ROTACIÓN.
Av
El método de Rotación, también denominado Giro, consiste
en girar el objeto en estudio (punto, recta, plano, etc) un
determinado ángulo (αο) alrededor de un eje de rotación, el
cual es una recta vertical (v), ó de punta (p).
Ah
Puede observarse, en la fig.242a, que cuando los puntos
rotan a través de un eje vertical (v) recorren arcos de
circunferencia paralelos al plano horizontal de proyección,
mientras que si la rotación se produce a través de un eje de
punta (p) (fig.242b), los arcos de circunferencia recorridos
son paralelos al plano vertical de proyección.
vv
PV
A1v
v
α
o
A1h
PH
h
A
b
v
A
αo PV
pv
αo
p
Ah
A1
h
A1
p
Ah
h
pv
rh=r1h
h
p
ROTACIÓN DE VARIOS PUNTOS.
Al haberse girado un primer punto (A), alrededor de un eje
de punta (p), un determinado ángulo (αο). Cualquier otro
punto (B), debe girarse: alrededor del mismo eje (p), en el
mismo sentido, e igual ángulo (αο)\ fig.244a.
α
o
A1v
El ángulo de giro (αο) puede ser medido con el transportador
de ángulos, como se hizo en la fig.244a; pero es mas
práctico transportarlo con el compás, sobre una misma
circunferencia (la que contiene al punto (A)), por medio del
radio (r)\ fig.244b.
v
ph
A1
A1
o
α
r1 v
A1h
αo
pv
p
h
A1v
rh
Ah
a) Alrededor de un eje vertical (v)
A
rv
fig.243.\ Rotación alrededor de un eje de punta.
vh
Av
d
v
pv
αo
vh
Ah
Av
c
r
ph
vv
A1
A
Ah
Av
A1v
Av
b
pv
En la fig.242a, se representa la rotación de un punto (A),
hasta la posición (A1), alrededor de un eje vertical (v), y en la
fig.242b, alrededor de un eje de punta (p).
Av
Av
a
PH
h
Ah
A1h
b) Alrededor de un eje de punta (p).
B1v
a
fig.242.\ Rotación de un punto (A) hasta la posición (A1).
B1v
b
r
Av
ROTACIÓN DE UN PUNTO ALREDEDOR DE UN
EJE DE PUNTA.
α
A1v
Conocidas las proyecciones de un punto (A), fig.243a, para
efectuar su rotación a través de un eje de punta (p):
p
a) Se dibujan las proyecciones del eje de punta (p) que
servirá de eje de rotación\ fig.243b.
Ah
Bv
A1v
v
A1h
ph
r
Bv
αo
o
Av
B1h
Bh
A1h
α
o
pv
Ah
ph
B1h
Bh
fig.244.\ Rotación simultánea de varios puntos.
b) Se definen las proyecciones de la recta (r), que pasa por
el punto (A) y es perpendicular al eje de rotación (p)\
fig.243c.
ROTACIÓN DE UNA RECTA.
c) Se representa la rotación, alrededor del eje (p), de la
recta (r), hasta la posición (r1), y por consiguiente del
punto (A) contenido en ella hasta la posición (A1),
girando un ángulo de rotación (αο)\ fig.243d.
Si quiere rotarse una recta (a) (fig.245a), se rotan dos puntos
(1 y 2) de ella hasta las posiciones (11 y 21), las cuales
definirán la posición girada (a1) de la recta (a)\ fig.245b.
77
Geometría Descriptiva
ROTACIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
a
av
v
a
a1v
21v
b
1v
a
r
2v
Ι
i
p
1
α1
αο
i1
α
p
h
ah
11h
ph
α
α1
PH
α1
f1
v
α
α
i
h
v
f
ο
h
v
ah
PV
αο
α
αo
v
b
v
α
f
r
11
PV
h
α
p
PH
2h
21h
fig.247.\ Rotación de rectas frontal (f) y de máxima inclinación
(i) a posiciones vertical (f 1) y horizontal (i1), respectivamente.
a1h
fig.245.\ Rotación de una recta.
Ejemplo: Si quiere rotarse el plano (α) mostrado en la
fig.248a, a una posición (α1) vertical:
a) Por un punto (Ι) cualquiera del plano (α) se traza el eje
de rotación (p), y una recta de máxima inclinación (i) del
plano (α). Y se determina la intersección (X) de la recta
(i) con el plano vertical de proyección\ fig.248b.
ROTACIÓN DE UN PLANO A UNA POSICIÓN
VERTICAL.
Para rotar un plano (α), a una posición vertical (α1)\ fig.246a:
b) Se gira la recta (i) hasta colocarla en la posición
v
horizontal (i1). Y se define la proyección vertical (α1 ) de
la traza vertical del plano (α) en su posición vertical (α1);
dado que pasa por la posición girada (X1) del punto (X)
y es perpendicular a la línea de tierra\ fig.248c.
a) Por cualquier punto (Ι) del plano (α), se traza una frontal
(f) del mismo y un eje de punta (p) alrededor del cual se
hará girar\ fig.246b.
b) Se gira la frontal (f) un ángulo (αο) hasta colocarla en
posición vertical (f1)\ fig.246c.
a
b
PV
PV
v
α
v
α
f
Ι
α
α
α
p
PH
PV
d
f1⊥ PH
ο
αο
v
α
Ι
f
α
α
PH
α1
f1
α1
Xv
a
v
v
α
b
v
v
α
α
iv
v
v
Ι =p
f
αο
h
p
PH
PV
α
α
Para mayor comprensión, debe recordarse que en
posición vertical (α1), el plano (α) se proyecta
h
horizontalmente sobre una recta (α1 ), de la cual ya se
h
conoce un punto (Ι1 ) y se sabe además que se corta en
v
la línea de tierra con (α1 ).
h
α
h
c
h
c) Se define la proyección horizontal (α1 ) de la traza
horizontal del plano (α), en su posición vertical (α1); dado
v
que se corta en la línea de tierra con (α1 ), y pasa por la
h
proyección horizontal (Ι ) del punto (Ι), debido a que
este punto no cambia de posición al girar el plano (α)
h
v
h
v
(Ι =Ι1 ; Ι =Ι1 ), por estar contenido en el eje de rotación
(p)\ fig.248d.
h
α1
h
p
α
Ι
h
α
PH
h
h
α
ph
fig.246.\ Rotación de un plano (α) a una posición vertical (α1).
c
Xv α1v
El plano (α) se encuentra en posición vertical (α1), después
de girar el ángulo (αο), debido a que en esta nueva posición
todas sus frontales son rectas verticales\ fig.246d.
iv
v
v
Ι =p
Las rectas frontales (f) de un plano (α) son perpendiculares a
las rectas de máxima inclinación (i) del mismo (fig.247a). Por
lo tanto también puede definirse el ángulo (αο) de giro
necesario para colocar un plano (α) en posición vertical (α1),
rotando una recta de máxima inclinación (i) del plano (α)
hasta una posición horizontal (i1); ya en esta posición las
frontales (f), se encontrarán en posición (f1) vertical\ fig.247b.
Ι
v
i1v
α
iv
v
v
Ι =p
X1v
h
h
h
Ι =Ι1
h
α
ph
d
Xv α1v
α1
v
i1v
α
X1v
h
α
h
ph
fig.248.\ Rotación de un plano a una posición vertical\
ejemplo.
78
Geometría Descriptiva
ROTACIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
h
v
α
v
α
a
Xv
iv
v
Xv
α1
v
v
Ι =p
v
Ι =p
v
b
a
i1v
ph
h
α
A1
h
B
B
v
c
α1
α
α1
v
v
B1
v
C1v
h
A
Ch
v
C1h
C
B1h
A1h
h
A
h
v
C1v
C1h
h
Ch
v
B1h
A1h
v
h
B
B
h
h
α
α
α1
PV
α
ROTACIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA A UNA
POSICIÓN FRONTAL.
PH
Cualquier plano (α), en posición arbitraria, puede ser
colocado en posición frontal por medio de dos rotaciones
sucesivas, realizadas en el siguiente orden:
fig.250.\ Rotación de un plano (α) en posición vertical a una
posición (α1) frontal.
a) Se gira el plano (α), alrededor de un eje de punta (p),
hasta una posición vertical (α1)\ fig.252a.
Ejemplo: Definir las proyecciones del triángulo equilátero (A;B;C)
contenido en un plano vertical (α), conocido su lado (A-B) y dado
que el vértice (C) esta por debajo de (B)\ fig.251a:
b) Se gira el plano (α), alrededor de un eje vertical (v),
desde la posición vertical (α1) hasta una posición frontal
(α2)\ fig.252b.
Solución:
h
A1
B
h
PH
PH
B1
v
v
α =v
v
A
fig.251.\ Rotación de un plano vertical a una posición frontal.
PV
PV
d
v
c
α
v
h
h
α
v
A1
B
Al encontrarse el plano (α) en posición frontal (α1), su
proyección vertical se encuentra en verdadero tamaño.
α1
v
h
v
α =v
v
A
B1
v
A
h
A
Para rotar un plano (α) que se encuentre en posición vertical
hasta una posición frontal (α1), debe hacerse girar el plano
(α) a través de un eje vertical (v)\ fig.250a. El eje de rotación
(v), puede también estar contenido en el plano (α)\ fig.250b,
o ser la traza vertical del plano (α)\ fig.250c, en este caso se
coloca el plano (α) sobre el plano vertical de proyección.
v
v
h
h
h
ROTACIÓN DE UN PLANO EN POSICIÓN
VERTICAL HASTA UNA POSICIÓN FRONTAL.
b
A1
B1
h
h
v
v
B
α
fig.249.\ Eje de rotación en el plano horizontal de proyección .
a
v
α =v
v
A
v
v
B
h
h
Ι =Ι1
Ιh
b
v
A
X1v
i1h=α1h
ph
h
d) Se define la proyección vertical (C ) del vértice (C), y por
v
v
v
consiguiente la proyección vertical (A ; B ; C ) del
triángulo (A; B; C)\ fig.251d.
iv
v
h
consiguiente la proyección horizontal (A ; B ; C ) del
triángulo (A; B; C)\ fig.251c.
Si el eje de rotación (p) se elige contenido en el plano
horizontal de proyección (fig.249a), se simplifica la rotación
de un plano (α) a una posición (α1) vertical\ fig.249b.
h
a) La proyección horizontal (A -B ) del lado (A-B) define la
h
proyección horizontal (α ) de la traza horizontal del plano
(α) que contiene al triángulo (A;B;C); y la proyección
v
vertical (α ) de la traza vertical del plano (α) es
h
perpendicular a la línea de tierra y se corta con (α ) en la
línea de tierra, por lo tanto se definen ambas trazas\
fig.251b.
a
α1
α1
α
b) Se elige como eje vertical (v) de rotación a la traza
vertical del plano (α) y se rota, a través de él, el lado (AB) hasta colocarlo sobre el plano vertical de proyección
(A1-B1).
b
PV
v
v
PV
α1
α
c) Se dibuja, en verdadero tamaño, el triángulo (A; B; C) en
v
v
v
su proyección vertical girada (A1 ; B1 ; C1 ), y se define la
h
proyección horizontal (C ) del vértice (C), y por
h
p
PH
v
α2
v
α
h
α1
α1
α1
h
α2
h
PH
fig.252.\ Rotación de un plano a una posición frontal.
79
Geometría Descriptiva
ROTACIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
EJEMPLO. Definir las proyecciones de un cuadrado de vértices
(A, B, C, D), contenido en el plano (α) , sabiendo que el vértice (C)
se encuentra a la derecha de (B)\ fig.253a.
Av
Definir
las
a)
proyecciones de un
cuadrado (A;B;C;D),
contenido en el
plano (α) . (C) a la
derecha de (B).
v
α
Bv
Solución:
a) Se define el eje de rotación (p) y se rota, a su alrededor,
el plano (α) hasta la posición vertical (α1)\ fig.253b.
b) Se rota el lado (A-B) a la posición (A1-B1). Para ello\
fig.253c:
h
h
1) Se trasladan las proyecciones horizontales (A -B ), en
h
forma paralela a la línea de tierra, a la posición (A1 h
h
B1 ), sobre (α1 ).
v
Ah
Av
v
2) Se rotan las proyecciones verticales (A -B ), con
v
v
v
centro en (p ) a la posición (A1 -B1 ).
v
v
h
v
α
pv
i1h
α1
ph
e) Se rota el cuadrado (A2-B2-C2-D2)a la posición (A1-B1-C1D1)\ fig.253f:
h
Ah
h
α
Bh
Se rota el cuadrado (A1-B1-C1-D1) a su posición original (AB-C-D), obteniendo así sus proyecciones horizontal y
vertical. Para ello\ fig.253g:
A1v
h
1
A
α1
B1v
Bv
v
v
α
1v
2) Se determinan las proyecciones verticales (f y f ) de
1
las rectas frontales (f y f ).
pv
v
3) Se trazan, con centro en (p ), las proyecciones
verticales de los arcos de giro de los puntos (C y D),
v
los cuales generan las proyecciones verticales (C y
v
D ) de los puntos (C y D) al cortarse con las
v
1v
1
proyecciones verticales (f y f ) de las frontales (f y f ).
Definiendo así la proyección vertical del cuadrado.
h
c)
v
y D ) las
1) Se trazan, por las proyecciones (C
h
1h
proyecciones horizontales (f y f ) de las rectas
1
frontales (f y f ), que pasan por los puntos (C y D)
respectivamente.
v
b)
v
iv
d) Se construye, en verdadero tamaño, el cuadrado
v
v
pedido con lado en (A2 -B2 )\ fig.253e.
h
1
α1
Bv
v
c) Eligiendo la recta (α1 ) como eje vertical de giro (α1 =v ),
se rota el lado (A-B) desde la posición (A1-B1) hasta
colocarlo sobre el plano vertical de proyección (A2-B2)\
fig.253d:
f)
α
Bh
α1
h
ph
h
h
A
A1h
B1h
Bh
h
α
4) Se definen las proyecciones horizontales (C y D ) de
los vértices (C y D). Definiendo así la proyección
horizontal del cuadrado.
A1v
A2v
Av
v
α1 =v
ROTACIÓN DE UN PLANO A UNA POSICIÓN DE
PUNTA.
B1
Bv
Para rotar un plano (α), a una posición de punta (α1)\
fig.254a:
a) Por cualquier punto (Ι) del plano (α), se traza una
horizontal (h) del mismo y un eje de vertical (v) alrededor
del cual se hará girar\ fig.254b.
B2v
v
α
vh
α1
ph
Ah
d)
v
pv
b) Se gira la horizontal (h) un ángulo (αο) hasta colocarla en
posición de punta (h1)\ fig.254c.
v
B1
A1h
h
A2h B2
h
h
α
h
h
B
El plano (α) se encuentra en posición de punta (α1), después
de girar el ángulo (αο), debido a que en esta nueva posición
todas sus horizontales son rectas de punta\ fig.254d.
fig.253.\ Rotación de un plano a una posición frontal\ ejemplo.
80
Geometría Descriptiva
ROTACIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
A1v
A2v
e
a
b
v
v
A
D2
B1v
v
v
B2
v
pv
A1
B1
h
c
α
A2v
v
v
α1 =v D2
D1 v
v
pv
D2h
C2
vh
α1
h
h
A1
h
h
C1
a
h
A2h B2
α
A1v
D
A2v
D1
B1v
C
Bv
v
α1 =v D2
v
v
C1 v
fv
B2v
vh
α1
h
p
Dh
D1h
Ch
C1h
A1h
B1
v
C2 v
D2h
C2
α
h
h
α
v
Ι
α
αο
h1
v
v
α
h
PV
p1
α1
αο
h
α
α1
PV
h
α1
h
α
PH
Ejemplo: Si quiere rotarse el plano (α) mostrado en la
fig.256a, a una posición (α1) de punta:
h
A2h B2
a) Por un punto (Ι) cualquiera del plano (α) se traza el eje
de rotación (v), y una recta de máxima pendiente (p) del
plano (α); y se determina la intersección (X) de la recta
(p) con el plano horizontal de proyección\ fig.256b.
h
α
f1h
f
h
fig.255.\ Rotación de rectas horizontal (h) y de máxima
pendiente (p) a posiciones de punta (h1) y frontal (p1),
respectivamente.
g
v
v
pv
B
v
α
h
p
h
v
h
α1
PH
f1v
h
α1
b
Ι
h
Bh
Ah
h1
PH
v
α
B1h
Av
αο
PV
fig.254.\ Rotación de un plano a posición de punta.
D1 h
ph
A
C2 v
α
v
α
Ι h
αο
h
v
PH
B2v
v
α
α1
PV
α
f
B1v
C1 v
v
α
h
α
v
v
d
Ι
αο
h1
B
PH
v
h
Bh
v
α
PH
h
Av
PV
h
α
h
A2h B2
h
h
A1
Ι
α
v
α
h
C2 v
vh
α1
v
PV
α
α
Ah
v
v
v
α1 =v
B
ph
α
h
b) Se gira la recta (p) hasta colocarla en la posición frontal
h
(p1). Y se define la proyección horizontal (α1 ) de la traza
horizontal del plano (α) en su posición horizontal (α1);
dado que pasa por la posición girada (X1) del punto (X)
y es perpendicular a la línea de tierra\ fig.256c.
h
fig.253.\ ... continuación.
v
c) Se define la proyección vertical (α1 ) de la traza vertical
del plano (α) en su posición de punta (α1); dado que se
h
corta en la línea de tierra con (α1 ), y pasa por la
v
proyección vertical (Ι ) del punto (Ι), debido a que este
v
v
punto no cambia de posición al girar el plano (α) (Ι =Ι1 ;
h
h
Ι =Ι1 ), por estar contenido en el eje de rotación (v)\
fig.256d.
Las rectas horizontales (h) de un plano (α) son
perpendiculares a las rectas de máxima pendiente (p) del
mismo (fig.255a). Por lo tanto también puede definirse el
ángulo (αο) de giro necesario para colocar un plano (α) en
posición de punta (α1), rotando una recta de máxima
pendiente (p) del plano (α) hasta una posición frontal (p1); ya
en esta posición las horizontales (h) del plano (α), se
encontrarán en posición de punta (h1)\ fig.255b.
Para mayor comprensión, debe recordarse que en
posición de punta (α1), el plano (α) se proyecta
verticalmente sobre una recta, de la cual ya se conoce
v
un punto (Ι1 ) y se sabe además que se corta en la línea
h
de tierra con (α1 ).
81
Geometría Descriptiva
ROTACIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
Si el eje de rotación (v) se elige contenido en el plano
vertical de proyección (fig.257a), se simplifica la rotación de
un plano (α) a una posición (α1) de punta\ fig.257b.
v
v
a
v
α
a
p
α
h
α
X
vv
c
v
α
v
p1h
X1h
ph
Xh α1
α1
vv
v
v
α
p1h
v
v
Ι =p
h
v
X1h
ph
h
Xh α1
v
h
α
b) Se elige como eje de punta (p) de rotación a la traza
horizontal del plano (α); y se rota, a través de él, el lado
(A-B) hasta colocarlo sobre el plano horizontal de
proyección (A1-B1).
h
v
v
Ι =Ι1
a
v
α
h
h
Ι =v
b
h
d) Se define la proyección horizontal (C ) del vértice (C), y
h
h
h
por consiguiente la proyección horizontal (A ; B ; C ) del
triángulo (A; B; C)\ fig.259d.
α
α1
v
p1h
h
h
Ι =v
h
c) Se dibuja, en verdadero tamaño, el triángulo (A; B; C) en
h
h
h
su proyección horizontal girada (A1 ; B1 ; C1 ), y se define
v
la proyección vertical (C ) del vértice (C), y por
v
v
v
consiguiente la proyección vertical (A ; B ; C ) del
triángulo (A; B; C)\ fig.259c.
v
vv
X1h
a
h
p
p
b
v
B
v
B
v
Xh
h
α
v
a) La proyección vertical (A -B ) del lado (A-B) define la
v
proyección vertical (α ) de la traza vertical del plano (α)
que contiene al triángulo (A;B;C); y la proyección
h
horizontal (α ) de la traza horizontal del plano (α) es
v
perpendicular a la línea de tierra, y se corta con (α ) en
la línea de tierra, por lo tanto se definen ambas trazas\
fig.259b.
d
v
v
Ι =Ι1
α
Solución:
fig.256.\ Rotación de un plano a una posición de punta\
ejemplo.
h
α
p
Ejemplo: Definir las proyecciones del triángulo equilátero (A;B;C)
contenido en un plano de punta (α), conocido su lado (A-B) y dado
que el vértice (C) está por detrás de (B)\ fig.259a:
h
α
α1
PH
fig.258.\ Rotación de un plano (α) en posición de punta a una
posición (α1) horizontal.
ph
h
vv
PV
α
α1
PH
α
p
α
α
Ι
α
PV
b
v
h
h
Ι =v
h
h
Ι =v
c
PV
v
Ι
Ι
b
α1
Xh
A
α1
v
α
v
v
A
h
p
v
A1
fig.257.\ Eje de rotación en el plano vertical de proyección.
h
B
B1
h
A
ROTACIÓN DE UN PLANO EN POSICIÓN DE
PUNTA HASTA UNA POSICIÓN HORIZONTAL.
h
A
c
v
α
h
h
α =p
A1
d
v
v
v
B
v
A
Cv
p
C1v
Cv
v
A
A1v
v
v
A1v
p
C1v
B1v
C1h
C
h
h
B1v
C1h
h
B
B
B1
h
A
h
h
α =p
A1
h
h
B1
h
A
h
h
α =p
A1
h
fig.259.\ Rotación de un plano de punta a una posición
horizontal.
82
h
h
α
B
Al encontrase el plano (α) en posición horizontal (α1), su
proyección horizontal se encuentra en verdadero tamaño.
α1
v
B1
h
B
Para rotar un plano (α) que se encuentre en posición de
punta hasta una posición horizontal (α1), debe hacerse girar
el plano (α) a través de un eje de punta (p)\ fig.258a. El eje
de rotación (p), puede también estar contenido en el plano
(α)\ fig.258b, o ser la traza horizontal del plano (α)\ fig.258c,
en este caso se coloca el plano (α) sobre el plano horizontal
de proyección.
v
h
Geometría Descriptiva
ROTACIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
ROTACIÓN DE UN PLANO A UNA POSICIÓN
HORIZONTAL.
Bv
Definir
las
a)
proyecciones de un
cuadrado (A;B;C;D),
contenido en el
plano (α). (C) a la
derecha de (B)
v
α
v
A
Cualquier plano (α), en posición arbitraria, puede ser
colocado en posición horizontal por medio de dos
rotaciones sucesivas, realizadas en el siguiente orden:
a) Se gira el plano (α), alrededor de un eje de vertical (v),
hasta una posición de punta (α1)\ fig.260a.
b) Se gira el plano (α), alrededor de un eje de punta (p),
desde la posición de punta (α1) hasta una posición
horizontal (α2)\ fig.260b.
v
a
α1
b
v
v
α
α
α1
PV
αα11
v
α2
h
A
b
Bv
v
v
α
Av
vv
α1
α2
h
α1
h
α
h
PV
α1
α
Bh
α
p
α1
v
h
PH
PH
p1h
vh
ph
fig.260.\ Rotación de un plano a una posición horizontal.
h
B
Bv
Solución:
a) Se define el eje de rotación (v) y se rota, a su alrededor,
el plano (α) hasta la posición de punta (α1)\ fig.261b.
v
α1
v
h
α
Bh
B1h
h
Ah
h
α1
h
A1h
d
Bv
d) Se construye, en verdadero tamaño, el cuadrado
h
h
pedido con lado en (A2 -B2 )\ fig.261e.
B1
Av
v
v
e) Se rota el cuadrado (A2-B2-C2-D2) a la posición (A1-B1-C1D1)\ fig.261f:
v
v
α
A1v
α1
Se rota el cuadrado (A1-B1-C1-D1) a su posición original (AB-C-D), obteniendo así sus proyecciones vertical y
horizontal. Para ello\ fig.261g:
v
pv
vh
A2v B2v
h
α
h
B
v
1) Se trazan, por las proyecciones (C1 y D1 ), las
v
1v
proyecciones verticales (h y h ) de las rectas
1
horizontales (h y h ), que pasan por los puntos (C y D)
respectivamente.
h
v
vh
c) Eligiendo la recta (α1 ) como eje de punta de rotación
h
h
(α1 =p ); se gira el lado (A-B) desde la posición (A1-B1)
hasta colocarlo sobre el plano horizontal de proyección
en la posición (A2-B2)\ fig.261d:
v
v
α
v
2) Se rotan las proyecciones horizontales (A -B ), con
h
h
h
centro en (v ) a la posición (A1 -B1 ).
f)
c
A1v
Av
1) Se trasladan las proyecciones verticales (A -B ), en
v
forma paralela a la línea de tierra, a la posición (A1 v
v
B1 ), sobre (α1 ).
h
h
B1v
b) Se rota el lado (A-B) a la posición (A1-B1). Para ello\
fig.261c:
v
α1
h
α
Ah
EJEMPLO. Definir las proyecciones de un cuadrado de vértices
(A, B, C, D), contenido en el plano (α) , sabiendo que el vértice (C)
se encuentra a la derecha de (B)\ fig.261a.
B1h
A
A1h
1h
2) Se determinan las proyecciones horizontales (h y h )
1
de las rectas horizontales (h y h ).
B2h
h
h
α1 =p
h
A2h
fig.261.\ Rotación de un plano a una posición horizontal\
ejemplo.
83
Geometría Descriptiva
ROTACIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
h
3) Se trazan, con centro en (V ), las proyecciones
horizontales de los arcos de giro de los puntos (C y D),
h
los cuales generan las proyecciones horizontales (C y
h
D ) de los puntos (C y D) al cortarse con las
h
1h
proyecciones horizontales (h y h ) de las horizontales
1
(h y h ). Definiendo así la proyección horizontal del
cuadrado.
v
e
Bv
B1v
Av
v
α
A1v
vv
α1
v
v
4) Se definen las proyecciones verticales (C y D ) de los
puntos (C y D). Definiendo así la proyección vertical
del cuadrado.
vh
A2v B2v
ph
Bh
C2 h
h
α
B1h
h
h
α1 =p
B2h
D2 h
Ah
A2h
A1h
f
Bv
B1v
Av
A1v
vv
C1 v
D1 v
α1
v
v
α
pv
vh
D2
C2
h
α
C1 h
Bh
v
v
C2 h
h
h
α1 =p
B1h
B2h
D2 h
D1 h
Ah
A2h
A1h
g
B1v
Bv
A1v
Av
Cv
C1
Dv
vv
D1
Bh
h1h
C
Dh
h
hh
hv
v
h1v
v
α1
v
pv
vh
Ah
C1 h
v
α
D2
v
h
α
C2
v
A2v B2v
C2 h
h
h
α1 =p
B1h
D1 h
B2h
D2 h
A1h
fig.261.\ ... continuación.
84
A2v B2v
A2h
Geometría Descriptiva
CAMBIO DE PLANOS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
forma un nuevo sistema de doble proyección ortogonal, en
el cual, los planos principales de proyección son: el plano
vertical de proyección, que es común a ambos sistemas, y el
plano tres de proyección (P3), que reemplaza al plano
horizontal de proyección (PH). La Línea de Tierra, es ahora la
intersección (3-V) entre los planos tres y vertical de
v
proyección. En este caso, la proyección vertical (A ) de
cualquier punto (A) es común a ambos sistemas, y el vuelo
(YA) de cualquier punto (A) mantiene su valor al definir su
proyección sobre el plano tres de proyección; que se
3
denomina proyección tres (A ).
CAMBIO DE PLANOS DE
PROYECCIÓN.
Como ya se describió, el sistema de Doble Proyección
Ortogonal lo definen dos planos principales de proyección,
denominados: plano vertical de proyección (PV) y plano
horizontal de proyección (PH), los cuales se cortan,
formando un ángulo de 900, y definiendo una línea
denominada línea de tierra, la cual ahora se denominará
(H-V), por representar la intersección entre los planos
horizontal y vertical de proyección\ fig.262a.
CAMBIO
DEL
PLANO
VERTICAL
DE
PROYECCIÓN, PARA OBSERVAR EN POSICIÓN
DE PUNTA A UN PLANO CUALQUIERA.
El cambio de planos de proyección consiste en sustituir el
plano vertical de proyección (PV) por cualquier plano tres
(P3) de proyección que sea perpendicular al plano
horizontal de proyección (fig.262b). Se obtiene de esta forma
un nuevo sistema de doble proyección ortogonal, en el
cual, los planos principales de proyección son: el plano tres
de proyección (P3), que reemplaza al plano vertical de
proyección (PV), y el plano horizontal de proyección (PH),
que mantiene su posición. La Línea de Tierra, es ahora la
intersección (H-3) entre los planos horizontal y tres de
h
proyección. En este caso, la proyección horizontal (A ) de
cualquier punto (A) es común a ambos sistemas, y la cota
(ZA) de cualquier punto (A) mantiene su valor al definir su
proyección sobre el plano tres de proyección; que se
3
denomina proyección tres (A ).
Si un plano (α) se encuentra en una posición cualquiera con
respecto a un sistema (H-V) de doble proyección ortogonal.
Puede definirse un nuevo sistema (H-3) de doble proyección
ortogonal, con respecto al cual el plano (α) sea un plano de
punta, cambiando el plano vertical de proyección (PV) por
un plano tres de proyección (P3) que sea perpendicular a la
traza horizontal de plano (α)\ fig.263a y fig.263b.
LAS TRAZAS DEL PLANO (α) SON AHORA:
a) Traza horizontal: Es común a ambos sistemas. Su
h
proyección horizontal (α ) es perpendicular a la línea de
tierra (H-3).
b) Traza tres: Es la intersección del plano (α) con el plano
tres de proyección. Se corta en la línea de tierra (H-3)
con la traza horizontal del plano (α); por lo tanto su
3
proyección tres (α ) se corta con la proyección horizontal
h
(α ) de la traza horizontal del plano (α) en la línea de
tierra (H-3)\ fig.263b. Todo el plano (α) se proyecta sobre
3
el plano tres de proyección en la recta (α ).
a) Sistema de doble proyección ortogonal.
AV
PV
AV
A
H-V
ZA
H-V
ZA
YA
YA
PH
Ah
Ah
a
b) Cambio del plano vertical de proyección.
P3
α
AV
PV
AV
A3
A
ZA
ZA
H-3
b
PV
A3
H-V
α
ZA
ZA
h
α
H-V
α
P3
3
3
α
α
H-V
PH
P3
v
PH
h
H-3
α
H-3
H-3
PH
Ah
Ah
fig.263.\ Cambio del plano vertical de proyección, para
observar en posición de punta a un plano cualquiera.
c) Cambio del plano horizontal de proyección.
PV
A3
PH
3-V
AV
AV
H-V
YA
A
P3
Ejemplo: Realizar el cambio de plano vertical de proyección
necesario para definir un sistema de doble proyección ortogonal
(H-3) con respecto al cual el plano (α) sea un plano de punta.
Definir las trazas del plano (α) en este nuevo sistema de doble
proyección ortogonal.\fig.264a:
Ah
H-V
A3
YA
3-V
YA
YA
Solución:
Ah
a) Se representa el cambio del plano vertical de
proyección por el plano tres de proyección, dibujando la
nueva la línea de tierra (H-3), perpendicular a la
h
proyección horizontal (α ) de la traza horizontal del plano
(α)\ fig.264b.
fig.262.\ Cambio de planos de proyección.
Puede establecerse también un cambio de plano de
proyección sustituyendo el plano horizontal de proyección
por un plano tres de proyección (P3) que sea perpendicular
al plano vertical de proyección (fig.262c). Se obtiene de esta
85
Geometría Descriptiva
CAMBIO DE PLANOS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
b) Se definen las trazas del plano (α) en el nuevo sistema de
doble proyección ortogonal (H-3) de la siguiente
manera\ fig.264c y fig.264d:
(P3) en verdadero tamaño, siendo esta la razón de realizar
el cambio del plano horizontal de proyección.
a
1) Traza horizontal. Es común en ambos sistemas.
PV
b
PV
3
2) Traza tres. Su proyección tres (α ) se corta en la
nueva línea de tierra (H-3) con la proyección
h
horizontal (α ) de la traza horizontal del plano (α); y
3
contiene a la proyección tres (1 ) de cualquier punto
(1) del plano (α), la cual se obtiene de la siguiente
manera\ fig.264c:
i)
v
H-V
P3
v
Se definen las proyecciones vertical (1 ) y
h
horizontal (1 ) de un punto (1) cualquiera del
plano (α).
P3
PH
fig.265.\ Cambio del plano horizontal de proyección, para
observar en posición horizontal a un plano de punta.
h
ii) Por la proyección horizontal (1 ) (que es común a
ambos sistemas) del punto (1), se traza la línea de
proyección perpendicular a la línea de tierra (H3
3) que contendrá a la proyección tres (1 ) del
punto (1).
Ejemplo: Definir las proyecciones del cuadrado (A;B;C;D),
contenido en el plano (α) y en el (Ι) cuadrante\ fig.266a.
3
iii) Se define la proyección tres (1 ) del punto (1),
midiendo, sobre la línea de proyección recién
trazada y a partir de la línea de tierra (H-3), la
cota (Z1) del punto (1).
a) Definir las proyecciónes
del cuadrado (A;B;C;D)
contenido en el plano (α) y
en el Ι cuadrante
3
A
YA
v
α
H-V
B
A
v
α
b
v
α
3
YB
v
a
3-V
α
α
h
α
α
3-V
v
α
3-V
v
α
v
B
H-V
H-V
h
A
YB
YA
h
B
H-V
h
B
h
A
h
α
b
h
α
h
α
H-3
h
α
D
3
D
3
1v
c
Z1
3
1
1h
Z1
v
α
H-V
Z1
A
1v
d
Z1
YA
v
α
v
α
1
1h
A
YA
3
H-V
C
YB
v
A
3
α
3
B
3
C
YB
v
A
D
3-V
H-3
h
α
H-3
YA
YB
YC
B
3-V
v
v
H-V
h
C
YB
h YC
B
YA
B
h
h
A
α
c
H-V
YD
h
CAMBIO
DEL
PLANO
HORIZONTAL
DE
PROYECCIÓN, PARA OBSERVAR EN POSICIÓN
HORIZONTAL A UN PLANO DE PUNTA.
3
B
A
fig.264.\ Cambio del plano vertical de proyección, para
observar en posición de punta a un plano cualquiera\ ejemplo.
3
v
v
h
YD
v
α
B
α
3
3
D
h
h
α
C
h
d
fig.266.\ Cambio del plano horizontal de proyección, para
observar en posición horizontal a un plano de punta\ ejemplo.
Solución:
Si un plano (α) se encuentra de punta con respecto a un
sistema (H-V) de doble proyección ortogonal. Puede
establecerse un nuevo sistema (3-V) de doble proyección
ortogonal, con respecto al cual el plano (α) sea un plano
horizontal, cambiando el plano horizontal de proyección
(PH) por un plano tres de proyección (P3) que sea paralelo
al plano (α)\ fig.265a y fig.265b.
a) Por ser el plano (α) un plano de punta, se definen, sobre
v
la proyección vertical (α ) de su traza vertical, las
v
v
proyecciones verticales (A y B ) de los puntos (A y B)\
fig.266b.
Se efectúa el cambio del plano horizontal de proyección
por el plano tres de proyección (P3), paralelo al plano
(α); representa este cambio de plano de proyección, la
nueva línea de tierra (3-V), paralela a la proyección
v
vertical (α ) de la traza vertical del plano (α).
La traza vertical del plano (α) es común a ambos sistemas, y
su proyección vertical (αv) es paralela a la nueva línea de
tierra (3-V).
En este nuevo sistema (3-V) de doble proyección ortogonal,
el plano (α) se proyecta sobre el plano tres de proyección
86
Geometría Descriptiva
CAMBIO DE PLANOS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
Se definen, mediante el traslado de sus vuelos (YA y YB), las
3
3
proyecciones (A y B ) de los puntos (A y B) sobre el
plano tres de proyección (P3).
3
3
v
a
α
v
A
b
3
A
3
A
3
b) Se dibuja, en verdadero tamaño, el cuadrado (A ; B ; C ;
3
3
3
D ), con lado en (A ; B )\ fig.266c.
v
ZA
H-V
B
3
α
A
α
C
A
4
h
A
3
B
YB
YB
B
α
C
α
C
α
v
B H-V
YB
h
4-3
B
h
A
C
h
h
α
h
α
Solución:
Se establece, por medio de la nueva línea de tierra (H-3),
el cambio del plano vertical de proyección (PV) por el
plano tres de proyección (P3), el cual es perpendicular a
la traza horizontal del plano (α). En este sistema de doble
proyección ortogonal (H-3), el plano (α) se observa de
punta.
α
3
α
α
α
H-3
H-V
h
H-3
α
PH
h
α
PH
c
Se define la proyección tres (α3) de la traza tres del plano
3
3
(α); y las proyecciones (A y B ) de los puntos (A y B), por
medio del traslado de sus respectivas cotas (ZA y ZB); la
cota de (B) es cero (ZB=0).
d
4-3
P3
b) Se establece, por medio de la nueva línea de tierra (4-3),
el cambio del plano horizontal de proyección por un
plano cuatro (P4), paralelo al plano (α)\ fig.268c.
P3
3
α
3
α
α
H-3
α
P4
En este nuevo sistema de doble proyección ortogonal, el
plano (α) es un plano horizontal, encontrándose su
proyección sobre el plano cuatro en verdadero tamaño.
PH
h
α
4-3
h
a) Se define la proyección horizontal (A -B ) del lado (A-B),
haciéndolo pertenecer al plano (α)\ fig.268b.
b
α
h
fig.268.\ Observación en posición horizontal de un plano
cualquiera, por medio de dos cambios de plano de
proyección\ ejemplo.
P3
3
C
h
B
h
v
v
v
YC
3
B
b) Se cambia el plano horizontal de proyección (PH) por un
plano cuatro de proyección (P4), paralelo al plano (α)
(fig.267c). Se establece de esta forma el sistema de
doble proyección ortogonal (4-3), en el cual, el plano (α)
es un plano horizontal\ fig.267d.
α
A
H-V
h
B
h
v
A
YB
h
B
C
H-3
3
4
4-3
f
3
A
4
A
4
YB
YB
4
B
h
3
YC
a) Se cambia el plano vertical de proyección (PV) por un
plano tres de proyección (P3), perpendicular a la traza
horizontal del plano (α) (fig.267a). Se establece de esta
forma el sistema de doble proyección ortogonal (H-3),
en el cual, el plano (α) es un plano de punta\ fig.267b.
h
B
4-3
e
H-V
3
B
4
H-3
3
A
4
H-V
h
A
h
α
3
d
H-3
3
A
4
h
B
H-3
3
c
Si un plano (α) se encuentra en una posición cualquiera con
respecto a un sistema de doble proyección ortogonal (H-V),
Puede establecerse un nuevo sistema de doble proyección
ortogonal (4-3), con respecto al cual el plano (α) sea un
plano horizontal, por medio de dos cambios de plano de
proyección sucesivos, realizados en la siguiente forma:
P3
H-V
B
h
α
OBSERVACIÓN EN POSICIÓN HORIZONTAL DE
UN PLANO CUALQUIERA, POR MEDIO DE DOS
CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIÓN
SUCESIVOS.
PV
v
B
h
A
c) Se definen las proyecciones vertical y horizontal del
cuadrado (A; B; C; D)\ fig.266d.
a
v
α
v
α
4
4
Se definen las proyecciones (A y B ) de los puntos (A y B),
trasladando sus respectivos vuelos (YA y YB); el vuelo (YA)
del punto (A) es cero (YA=0).
P4
fig.267.\ Observación en posición horizontal de un plano
cualquiera, por medio de dos cambios de plano.
c) Se dibuja, en verdadero tamaño, la proyección cuatro
4 4
4
(A ;B ;C ) del triángulo equilátero (A;B;C)\ fig.268d.
3
3
3
d) Se define la proyección tres (A ;B ;C ) del triángulo
(A;B;C)\ fig.268e.
Ejemplo: Definir las proyecciones del triángulo equilátero de
vértices (A;B;C), contenido en el plano (α), sabiendo que el vértice
(C) esta a la derecha de (A)\ fig.268a.
h
h
h
Se define la proyección horizontal (A ;B ;C ) del triángulo
(A;B;C); trasladando el vuelo (YC) del punto (C).
87
Geometría Descriptiva
CAMBIO DE PLANOS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
v
v
v
(α), la cual se obtiene de la siguiente manera\
fig.270c:
e) Se define la proyección vertical (A ;B ;C ) del triángulo
(A;B;C); haciendo pertenecer el punto (C) al plano (α) \
fig.268f.
i)
CAMBIO
DEL
PLANO
HORIZONTAL
DE
PROYECCIÓN, PARA OBSERVAR EN POSICIÓN
VERTICAL A UN PLANO CUALQUIERA.
v
ii) Por la proyección vertical (1 ) (que es común a
ambos sistemas) del punto (1), se traza la línea de
proyección perpendicular a la línea de tierra (33
V) que contendrá a la proyección tres (1 ) del
punto (1).
Si un plano (α) se encuentra en una posición cualquiera con
respecto a un sistema (H-V) de doble proyección ortogonal.
Puede definirse un nuevo sistema (3-V) de doble proyección
ortogonal, con respecto al cual el plano (α) sea un plano
vertical, cambiando el plano horizontal de proyección (PH)
por un plano tres de proyección (P3) que sea perpendicular
a la traza vertical del plano (α)\ fig.269a y fig.269b.
3
iii) Se define la proyección tres (1 ) del punto (1),
midiendo, sobre la línea de proyección recién
trazada y a partir de la línea de tierra (3-V) el
vuelo (Y1) del punto (1).
LAS TRAZAS DEL PLANO (α) SON AHORA:
a
a) Traza vertical: Es común a ambos sistemas. Su proyección
v
vertical (α ) es perpendicular a la línea de tierra (3-V).
v
α
b
h
h
α
c
v
α
α
d
3-V
v
α
α
PV
v
α
1
3
3
α
H-V
h
α
Y1 1
PV
P3
3
α
a
h
1
α
3-V
Y1
H-V
Y1
v
α
P3
3-V
H-V
3-V
v
PH
v
α
H-V
b) Traza tres: Es la intersección del plano (α) con el plano
tres de proyección. Se corta en la línea de tierra (3-V)
con la traza vertical del plano (α); por lo tanto su
3
proyección tres (α ) se corta con la proyección vertical
v
(α ) de la traza vertical del plano (α) en la línea de tierra
(3-V)\ fig.269b. Todo el plano (α) se proyecta sobre el
3
plano tres de proyección en la recta (α ).
3-V
v
Se definen las proyecciones vertical (1 ) y
h
horizontal (1 ) de un punto (1) cualquiera del
plano (α).
3
α
H-V
h
1
h
α
Y1
3
1
h
α
h
1
fig.270.\ Cambio del plano horizontal de proyección, para
observar en posición vertical a un plano cualquiera\ ejemplo.
b
fig.269.\ Cambio del plano horizontal de proyección, para
observar en posición vertical a un plano cualquiera.
CAMBIO
DEL
PLANO
VERTICAL
DE
PROYECCIÓN, PARA OBSERVAR EN POSICIÓN
FRONTAL A UN PLANO QUE SE ENCUENTRA EN
POSICIÓN VERTICAL.
Ejemplo: Realizar el cambio de plano horizontal de proyección
necesario para definir un sistema de doble proyección ortogonal
(3-V) con respecto al cual el plano (α) sea un plano vertical. Definir
las trazas del plano (α) en este nuevo sistema de doble
proyección ortogonal.\ fig.270a:
Si un plano (α) se encuentra en posición vertical con
respecto a un sistema (H-V) de doble proyección ortogonal.
Puede establecerse un nuevo sistema (H-3) de doble
proyección ortogonal, con respecto al cual el plano (α) sea
un plano vertical, cambiando el plano vertical de
proyección (PV) por un plano tres de proyección (P3) que
sea paralelo al plano (α)\ fig.271a y fig.271b.
Solución:
a) Se representa el cambio del plano horizontal de
proyección por el plano tres de proyección, dibujando la
nueva la línea de tierra (3-V), perpendicular a la
v
proyección vertical (α ) de la traza vertical del plano (α)\
fig.270b.
La traza horizontal del plano (α) es común a ambos sistemas,
y su proyección horizontal (αh) es paralela a la nueva línea
de tierra (H-3).
b) Se definen las trazas del plano (α) en el nuevo sistema de
doble proyección ortogonal (3-V) de la siguiente
manera\ fig.270c y fig.270d:
En este nuevo sistema (H-3) de doble proyección ortogonal,
el plano (α) se proyecta sobre el plano tres de proyección
(P3) en verdadero tamaño, siendo esta la razón de realizar
el cambio del plano vertical de proyección.
1) Traza vertical. Es común en ambos sistemas.
3
2) Traza tres. Su proyección tres (α ) se corta en la
nueva línea de tierra (3-V) con la proyección vertical
v
(α ) de la traza vertical del plano (α); y contiene a la
3
proyección tres (1 ) de cualquier punto (1) del plano
88
Geometría Descriptiva
CAMBIO DE PLANOS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
3
a
PV
v
α
α
3
3
b) Se dibuja, en verdadero tamaño, el cuadrado (A ; B ; C ;
3
3
3
D ), con lado en (A ; B )\ fig.272c.
b
α
P3
c) Se definen las proyecciones vertical y horizontal del
cuadrado (A; B; C; D)\ fig.272d.
P3
PH
PH
OBSERVACIÓN EN POSICIÓN FRONTAL DE UN
PLANO CUALQUIERA, POR MEDIO DE DOS
CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIÓN
SUCESIVOS.
h
α
h
α
H-3
H-3
fig.271.\ Cambio del plano vertical de proyección para
observar en posición frontal a un plano vertical.
Si un plano (α) se encuentra en una posición cualquiera con
respecto a un sistema de doble proyección ortogonal (H-V),
Puede establecerse un nuevo sistema de doble proyección
ortogonal (3-4), con respecto al cual el plano (α) sea un
plano frontal, por medio de dos cambios de plano de
proyección sucesivos, realizados en la siguiente forma:
Ejemplo: Definir las proyecciones del cuadrado (A;B;C;D),
contenido en el plano (α) y en el (Ι) cuadrante\ fig.272a.
v
α
v
A
B
v
B
ZA
H-V
a) Se cambia el plano horizontal de proyección (PH) por un
plano tres de proyección (P3), perpendicular a la traza
vertical del plano (α) (fig.273a). Se establece de esta
forma el sistema de doble proyección ortogonal (3-V), en
el cual, el plano (α) es un plano vertical\ fig.273b.
v
α
v
A
v
ZB
H-V
h
B
H-3
h
α
h
A
a) Definir las proyecciónes
del cuadrado (A;B;C;D)
contenido en el plano (α) y
en el Ι cuadrante
c
h
α
ZA
D
d
b
3
A
v
C
v
v
v
A
A
v
B
h
B
H-3
h
A
h
D
h
B
ZC
ZB
h
C
h
B
A
3
ZB
B
C
h
α
ZA
3-V
3
3-V
v
α
A
A
D
3
D
b
3
3
3
α
a
ZC
C
3
α
h
PH
ZD
ZA
P3
H-V
α
H-3
h
α
PV
3
α
B
α
PV
α
P3
H-V
3
ZB
v
v
α
v
ZA
H-V
α
ZD
v
ZB
3-V
v
α
ZA
b) Se cambia el plano vertical de proyección (PV) por un
plano cuatro de proyección (P4), paralelo al plano (α)
(fig.273c). Se establece de esta forma el sistema de
doble proyección ortogonal (3-4), en el cual, el plano (α)
es un plano frontal\ fig.273d.
ZB
3
B
3
P3
PV
P3
fig.272.\ Cambio del plano vertical de proyección para
observar en posición frontal a un plano vertical\ ejemplo.
3
α
α P4
α
3
α
Solución:
a) Por ser el plano (α) un plano vertical, se definen, sobre la
h
proyección horizontal (α ) de su traza horizontal, las
h
h
proyecciones horizontales (A y B ) de los puntos (A y B)\
fig.272b.
c
3-4
d
3-4
fig.273.\ Observación de un plano en posición frontal por
medio de dos cambios de plano.
Se efectúa el cambio del plano vertical de proyección
por el plano tres de proyección (P3), paralelo al plano
(α); representa este cambio de plano de proyección, la
nueva línea de tierra (H-3), paralela a la proyección
h
horizontal (α ) de la traza horizontal del plano (α).
Ejemplo: Definir las proyecciones del triángulo equilátero de
vértices (A;B;C), contenido en el plano (α), sabiendo que el vértice
(C) esta a la derecha de (A)\ fig.274a.
Se definen, mediante el traslado de sus cotas (ZA y ZB), las
3
3
proyecciones (A y B ) de los puntos (A y B) sobre el
plano tres de proyección (P3).
Solución:
v
v
a) Se define la proyección vertical (A -B ) del lado (A-B),
haciéndolo pertenecer al plano (α)\ fig.274b.
89
Geometría Descriptiva
CAMBIO DE PLANOS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
Se establece, por medio de la nueva línea de tierra (3-V),
el cambio del plano horizontal de proyección (PH) por el
plano tres de proyección (P3), el cual es perpendicular a
la traza vertical del plano (α). En este sistema de doble
proyección ortogonal (3-V), el plano (α) es un plano
vertical.
a
b
v
α
v
v
3-V
B
3
B
v
H-V
h
h
3
A
ZB
h
ZB
3
3
A
ZB
v
C
e
h
e) Se define la proyección horizontal (A ;B ;C ) del triángulo
(A;B;C); haciendo pertenecer el punto (C) al plano (α) \
fig.274f.
3
α
v
C
C
v
C
α
v
h
B
h
α
h
A
f
C
h
fig.274.\ Observación de un plano en posición frontal, por
medio de dos cambios de plano de proyección\ ejemplo.
90
v
A
3-V
3
3-V
B
α
H-V
A
3
A
ZC
3
α
ZC
v
A
4
3
A
v
3
v
h
v
B
B
4
A
A
ZB
3
v
4
v
3-4
4
H-V
4
d
3-V
α
B
Se define la proyección vertical (A ;B ;C ) del triángulo
(A;B;C); trasladando la cota (ZC) del punto (C).
h
A
c
d) Se define la proyección tres (A ;B ;C ) del triángulo
(A;B;C)\ fig.274e.
v
C
v
3
c) Se dibuja, en verdadero tamaño, la proyección cuatro
4 4
4
(A ;B ;C ) del triángulo equilátero (A;B;C)\ fig.274d.
3
3
B
H-V
4
4
v
B
ZB
3
Se definen las proyecciones (A y B ) de los puntos (A y B),
trasladando sus respectivas cotas (ZA y ZB); la cota (ZA)
del punto (A) es cero (ZA=0).
v
α
3-4
B
ZB
A
α
4
B
v
B
En este nuevo sistema de doble proyección ortogonal, el
plano (α) es un plano frontal, encontrándose su
proyección sobre el plano cuatro en verdadero tamaño.
h
A
v
α
3-4
4
B
α
h
α
B
YA
3
A
b) Se establece, por medio de la nueva línea de tierra (3-4),
el cambio del plano vertical de proyección por un plano
cuatro (P4), paralelo al plano (α)\ fig.274c.
4
H-V
A
h
B
Se define la proyección tres (α3) de la traza tres del plano
3
3
(α); y las proyecciones (A y B ) de los puntos (A y B), por
medio del traslado de sus respectivos vuelos (YA y YB); el
vuelo de (B) es cero (Y=0).
α
Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capítulo 8
poliedros.
Este es un capítulo de gran contenido práctico, en el cual,
para definir la doble proyección ortogonal de objetos
tridimensionales; en particular poliedros, se aplican en
conjunto todos los conocimientos de Geometría Descriptiva
hasta ahora expuestos.
En síntesis, todo poliedro esta compuesto de vértices, aristas,
caras, ejes, etc. Y definiendo previamente la doble
proyección ortogonal de estos elementos geométricos, se
logrará definir la doble proyección ortogonal del poliedro
que los contiene. Por lo tanto, debe definirse la proyección
diédrica de: puntos; rectas; planos; rectas y/o planos
paralelos, y/o perpendiculares; obtener proyecciones en
verdadero
tamaño de planos,
para
dibujar en
ellos:
triángulos, cuadrados, pentágonos, etc. En fin, es necesario
comprender bien todos los fundamentos de la Geometría
Descriptiva hasta ahora expuestos para garantizar el éxito
en la determinación de la doble proyección ortogonal de
los poliedros.
Representa de esta forma este capítulo, una gran utilidad
para el estudiante de Geometría Descriptiva, ya que es en
realidad un repaso práctico y de aplicación de todos los
conceptos y procedimientos expuestos en los capítulos
anteriores.
Se inicia el capítulo haciendo un análisis general de la
visibilidad de los poliedros. Para luego estudiar en forma
particular la doble proyección ortogonal de: Tetraedros
regulares; cubos; pirámides regulares rectas; y prismas regulares
rectos.
Geometría Descriptiva
POLIEDROS
Ing. Alberto M. Pérez G.
contorno externo del prisma en ambas proyecciones\
fig.276b.
POLIEDROS.
Los poliedros son sólidos definidos en su totalidad por
superficies planas.
v
D
a
1
C
C
c
D
v
1v
B
1v
B
C
D
B
v
h
C
D
C
h
A
D
h
v
1h
C
1h
D
h
1h
C
1h
1h
1v
D
v
A
D
v
v
1v
d
1v
v
4
v
A
v
1 =2
1v
B
C
C
D
D
B
v
3
C
D
h
1
D
h
C
1v
C
h
A
C
h
h
2
1h
B
v
h
1h
h
1h
B
v
1v
A
Como sucede en este ejemplo, existen siempre dos
alternativas lógicas de visibilidad en la representación de
cualquier poliedro (en general en la representación de
cualquier sólido), pero solo una de ellas es correcta; es el
análisis de su visibilidad lo permite definir cual de las dos es
la correcta.
1v
B
h
C
h
D
1v
v
B
A
A
v
B
A
1h
B
A
c
1h
A
h
B
B
C
1v
h
C
h
A
A
h
B
1
C
1h
v
D
D
1v
v
B
B
C
v
fig.275.\ Representación de un prisma.
1h
h
B
D
h
1h
h
3 =4
1h
A
C
1h
1h
B
fig.276.\ Definición de la visibilidad de un poliedro.
c) Para definir la visibilidad en la proyección vertical del
prisma\ fig.276c:
DETERMINACIÓN DE LA VISIBILIDAD EN LAS
PROYECCIONES DE POLIEDROS.
1) De acuerdo con la característica ΙΙ), se determina,
1
1
1
cual de la aristas que se cruzan (A -B ) y (D-D ) es
visible en proyección vertical. Para ello, se traza el
segmento de punta (1-2) que se corta con ambas y
se representa como arista visible, en proyección
vertical, aquella que contenga el punto de mayor
1
1
vuelo del mismo; resultando ser la arista (A -B ) que
contiene al punto (2), en consecuencia la
v
1v
1
proyección vertical (D -D ) de la arista (D-D ) es
invisible al observador.
Se puede definir la visibilidad correcta en la representación
de un poliedro, por medio de la observación de las tres
características siguientes, las cuales pueden observarse en
la fig.275b y fig.275c:
Ι)
v
B
1
C
D
A
v
1
A
C
A
B
1
1
1
B
D
C
A
D
A
B
D
b
1
1
A
1
D
1v
A
b
1v
1v
En la fig.275a se representa un prisma sin tomar en cuenta su
visibilidad; esta representación, como ya se explicó es
incorrecta. En la fig.275b, se representa el mismo prisma,
asumiendo que el vértice (D) es invisible al observador y el
1
vértice (B ) es visible. Y en la fig.275c se representa el mismo
1
prisma asumiendo que el vértice (B ) es invisible al
observador y el vértice (D) es visible.
1
D
A
Los poliedros, por ser objetos tridimensionales, poseen un
volumen propio que oculta al observador algunas de sus
partes (vértices; aristas; caras; etc). Por lo tanto en la
representación de un poliedro es muy importante definir su
visibilidad; representando con líneas de trazo continuo sus
aristas visibles al observador y con líneas segmentadas sus
aristas invisibles.
1
1v
A
a
Todo el contorno externo de un poliedro es visible.
ΙΙ) Si dos aristas que se cruzan poseen proyectivamente un
punto en común, entonces una es visible y la otra nó.
1
1
1
1
Ejemplo: aristas (D-D ) y (A -B ) y aristas (B-B ) y (C-D).
2) De acuerdo con la característica ΙΙΙ) todas las aristas
1v
que concurren al vértice (B ) son visibles al
v
observador y todas las que concurren al vértice (D )
invisibles.
ΙΙΙ) Al considerar cualquier vértice, dentro del contorno del
poliedro, todas las aristas que concurren a el tienen la
misma visibilidad; siendo todas visibles ó todas invisibles.
d) Para definir la visibilidad en la proyección horizontal del
prisma\ fig.276d:
Ejemplo: Definir la visibilidad del prisma mostrado en la fig.276a.
Solución:
1) De acuerdo con la característica ΙΙ), se determina,
1
cual de la aristas que se cruzan (A-A ) y (B-C) es
visible en proyección horizontal. Para ello, se traza el
segmento vertical (3-4) que se corta con ambas, y se
representa como arista visible, en proyección
horizontal, aquella que contenga el punto de mayor
1
cota del mismo; resultando ser la arista (A-A ) que
contiene al punto (4), en consecuencia la
a) Como se observa en la fig.276a inicialmente se
representan las proyecciones del prisma dibujando todas
sus aristas con líneas de procedimiento; es decir trazado
tenue continuo.
b) De acuerdo con la característica Ι) se dibuja, con líneas
de contorno visible (trazado continuo fuerte), todo el
92
Geometría Descriptiva
POLIEDROS
Ing. Alberto M. Pérez G.
h
h
tener mayor cota que la arista (B-C), siendo en
consecuencia invisible esta última.
proyección vertical (B -C ) de la arista (B-C) es
invisible al observador.
2) De acuerdo con la característica ΙΙΙ) todas las aristas
1h
que concurren al vértice (A ) son visibles al
h
observador y todas las que concurren al vértice (C )
invisibles.
c) Analisis de la visibilidad de la pirámide de la fig.277c:
1) Visibilidad de la proyección vertical:
El vértice (D) es invisible al observador; por encontrarse
dentro del contorno externo de la pirámide y ser su
vértice de menor vuelo. Por lo tanto todas las aristas
que concurren a el son invisibles.
No siempre es necesario trazar rectas de punta y/o verticales
para poder definir la visibilidad de los poliedros en doble
proyección ortogonal como lo muestran los ejemplos
siguientes:
La arista (V-B) es visible al observador; debido a que se
cruza con la arista (A-D) que es invisible.
a) Analisis de la visibilidad del tetraedro de la fig.277a:
2) Visibilidad de la proyección horizontal :
1) Visibilidad de la proyección vertical:
La arista (A-B) es invisible al observador; por
encontrarse dentro del contorno de la pirámide y ser
la arista de menor cota de la misma. Por lo tanto las
aristas (V-D) Y (V-C), que se cruzan con la arista (A-B),
son visibles al observador.
El vértice (D) es invisible al observador; debido a que
se encuentra dentro del contorno del tetraedro, y es
el vértice de menor vuelo del mismo. Por lo tanto
todas las aristas que concurren a el son invisibles al
observador.
v
2) Visibilidad de la proyección horizontal :
v
B
El vértice (B) es visible al observador; debido a que se
encuentra dentro del contorno del mismo, y es el
vértice de mayor cota del tetraedro. Por lo tanto
todas las aristas que concurren a el son visibles al
observador.
v
A
D
D
A
v
v
C
D
v
B
v
v
v
C
D
b) Analisis de la visibilidad del tetraedro de la fig.277b:
v
C
B
v
A
v
h
D
A
h
h
h
A
B
h
1) Visibilidad de la proyección vertical:
v
V
h
B
h
La visibilidad de las aristas que se cruzan (A-B) y (C-D)
es obvia; siendo visible la arista (C-D) por tener mayor
vuelo que la arista (A-B), siendo en consecuencia
invisible esta última.
A
a
C
C
h
b
h
D
h
h
V
fig.277.\ Visibilidad en poliedros\ ejemplos.
2) Visibilidad de la proyección horizontal :
La visibilidad de las aristas que se cruzan (A-D) y (B-C)
también es obvia; siendo visible la arista (A-D) por
93
C
h
B
c
h
Geometría Descriptiva
TETRAEDRO REGULAR
Ing. Alberto M. Pérez G.
ALTURA DEL TETRAEDRO (h).
TETRAEDRO REGULAR.
Segmento definido por un vértice y el centro (N) de la cara
opuesta a él.
Es un poliedro de cuatro caras, todas iguales, siendo cada
una un triángulo equilátero (fig.278a). Sus partes principales
se denominan:
CENTRO DEL TETRAEDRO (O).
Es el centro de gravedad del tetraedro regular. Puede
obtenerse interceptando los dos ejes de tetraedro regular
que contiene cualquier sección principal.
CARA.
Cada uno de los cuatro triángulos equiláteros que definen al
tetraedro regular. Puede dibujarse a partir de una arista (a)
como se muestra en la fig.278b.
SECCIÓN PRINCIPAL DEL TETRAEDRO.
Punto al que concurren tres aristas. En total hay cuatro (A; B;
C; y D).
Sección del tetraedro regular que contiene un eje (e), y a
una arista (a) que se corta con él. Es un triángulo isósceles
definido por una arista (a) y dos alturas de cara (hC). En un
tetraedro regular pueden definirse seis secciones principales.
ARISTA (a).
En la fig.278c, se muestra la sección principal de un tetraedro
regular de longitud de arista (a). La sección principal de un
tetraedro regular se dibuja generalmente con la finalidad de
determinar la altura (h) del mismo.
VÉRTICE.
Segmento que une dos vértices. En total hay seis.
En efecto, conocida la longitud (a) de arista de un tetraedro
regular, puede dibujarse una cara (ABC) del mismo, a partir
de la cual, se dibuja una sección principal (ABM), en la que
a su vez se puede determinar la altura (h) del tetraedro\
fig.278d.
ARISTAS OPUESTAS.
Son dos aristas que no se cortan. Por ejemplo las aristas (BC)
y (AD). Ellas son ortogonales. Pueden definirse tres pares de
aristas opuestas en un tetraedro regular.
e
A
C
EJE (e).
Recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la cara
opuesta a él. Pueden definirse cuatro ejes en un tetraedro
regular.
a
a
a
a h hC
O
h
B
a
CENTRO DE CARA (N).
Punto de intersección entre un eje (e) y la cara
perpendicular a él. Es también el centro de gravedad de la
cara.
hC
M
N
C
a
hC
M
N
hC
hC
a
N
M
a
M
A
B
D
a) Tetraedro regular
b) Cara
C
A
PUNTO MEDIO DE ARISTA (M).
Es el punto medio entre los dos vértices que limitan a una
arista.
a
h
h
B
ALTURA DE CARA (hC).
Segmento definido por un vértice y un punto medio (M) de
una arista no concurrente a él.
hC
M
hC
c) Sección principal
M
A
N
hC
a
B
d) Cara y sección principal
fig.278.\ Tetraedro regular.
94
r=BM
M
h
N
a
M
N
O
a
r=AM
hC
Geometría Descriptiva
TETRAEDRO REGULAR
Ing. Alberto M. Pérez G.
a) Se define el plano (α), que pasa por el vértice (B) y es
perpendicular a la recta (e); este plano contiene a la
cara (B;C;D)\ fig.280b.
CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO REGULAR,
CONOCIDO UN VÉRTICE Y UNA RECTA QUE
CONTIENE AL EJE.
Se define el centro (N) de la cara (B;C;D), interceptando
la recta (e) y el plano (α).
Construir un tetraedro regular (A;B;C;D), dado un vértice (B) y
una recta (e) que contiene a un eje\ fig.279a:
b) Se rebate el plano (α) y los puntos (B) y (N)\ fig.280c.
a) Se define, por el vértice (B), el plano (α), perpendicular al
eje (e); este plano contiene a la cara (B;C;D) del
tetraedro\ fig.279b.
r
r
r
Se dibuja la proyección rebatida (B ; C ; D ) de la cara
(B;C;D); la cual es un triángulo equilátero con centro en
r
(N ) y vértice en (B).
Se define el centro (N) de la cara (B;C;D); interceptando el
eje (e) con el plano (α).
c) Se definen las proyecciones horizontal y vertical de la
cara (B;C;D)\ fig.280d.
b) Se construye, contenida en el plano (α), la cara (B;C;D)
del tetraedro; la cual es un triángulo equilátero con
vértice (B) y centro (N)\ fig.279c.
r
r
r
Se dibuja, a partir de la cara (B ; C ; D ), la sección
r
r
r
principal (B ; C ; M ) del tetraedro, en la cual se determina
su altura (h).
c) Se dibuja, a partir de la cara (B;C;D), la sección principal
(B;C;M) del tetraedro en la cual se determina su altura
(h)\ fig.279d.
d) Se definen las proyecciones del vértice (A); midiendo
para ello, sobre el eje (e), la altura (h) del tetraedro, a
partir del centro de cara (N)\ fig.280e.
d) Se define el vértice (A); midiendo sobre el eje (e), la
altura (h) del tetraedro, a partir del centro de cara (N)\
fig.279e.
e) Se definen las proyecciones
visibilidad\ fig.280f.
e) Se define el tetraedro y su visibilidad; dibujando las
aristas que concurren al vértice (A)\ fig.279f.
a
del
tetraedro
b
v
v
e
t
v
B
a
su
α
v
e
v
y
N
v
h
v
v
f
v
B
e
b
h
h
e
N
h
B
α
h
B
e
N
h
h
h
f
B
B
h
h
e =t
α
v
c
v
d
e
e
v
c
α
e
D
d
a
N
α
M
M
B
a
hc
hc
h
a
B
α
a
D
N
r
f
A
A
a
α
h
N
C
a
α
D
D
r
N
r
h
h
B
h
h
α
r
a
C
r
v
1
v
A
v
α
N-1
∆z
N
v
v
v
α
B
α
fig.279.\ Construcción de un tetraedro regular, dado un vértice
(B) y una recta (e) que contiene a un eje.
r
1
h
r
A
h
D
v
D
h
N
h
N
α
v
B
h
h
h
e
h
h
v
v
C
N-1
∆z
e
Ejemplo: Definir las proyecciones de un tetraedro regular
(A;B;C;D), con vértice (B) dado, sabiendo que el vértice (A) esta
contenido en el eje (e)\ fig.280a:
N
C
v
e
v
e
C
h
h
α
r
B
r
f
v
A
B
h
r
α
B
e
N
C
v
B
h
h
D
B
D
B
e
a
v
v
v
h
C
C
D
N
v
B
h
N
e
α
v
e
r
a
C
e
N
r=C-M
M
C
v
D
r=B-M
a
h
h
A
1
h
B
h
A
h
B
fig.280.\ Construcción de un tetraedro regular, conocido un
vértice y una recta que contiene al eje.
Solución (por rebatimiento de planos):
95
Geometría Descriptiva
TETRAEDRO REGULAR
Ing. Alberto M. Pérez G.
r
r
r
b) Se define la proyección rebatida (A ;B ;C ) de la cara
(A;B;C); la cual, es un triángulo equilátero, con vértice
r
r
r
r
(A ) y arista (B -C ) sobre la recta (m ). Se determina la
r
proyección rebatida (N ) del centro (N) de la cara
(A;B;C)\ fig.282c.
CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO REGULAR
CONOCIDO UN VÉRTICE Y UNA RECTA QUE
CONTIENE A UNA ARISTA.
Construir un tetraedro regular (A;B;C;D), con vértice (A) dado
y arista (B-C) en la recta (m)\ fig.281a.
Se definen las proyecciones de la cara (A;B;C) y de del
centro (N) de cara.
a) Se dibuja la cara (A;B;C) del tetraedro; la cual es un
triángulo equilátero, con vértice (A) y lado (A-B) en la
recta (m). Esta cara esta contenida en el plano (α)
definido por la recta (m) y el vértice (A). Se determina el
centro (N) de la cara (A;B;C)\ fig.281b.
a
b
v
A
b) Se dibuja, a partir de la cara (A;B;C), la sección principal
(A;B;M), en la cual se determina la altura (h) del
tetraedro\ fig.281c
m
v
A
v
α
v
m
c) Se traza, por el centro de cara (N) del tetraedro, y
perpendicular al plano (α), el eje (e) del mismo\ fig.281d.
v
h
h
A
Se ubica el vértice (D), midiendo sobre el eje (e), y a partir
del centro de cara (N), la altura (h) del tetraedro.
m
A
h
m
h
α
r
d) Se define el tetraedro y su visibilidad\ fig.281e.
h
α
m
r
r
A
a
b
A
A
m
a
α
a
hc
c
B
v
N
C
m
c
v
C
v
B
m
a
a
r
N
Ch
h
h
C
B
N
α
r
B
C
B
r
α
m
v
a
N
C
h
B
B
h
a
h
α
Mr
r
D
r
h
h
A
r
N
Ch
α
r
A
A
r
r
h
r
e
h
m
h
r
α
v
B
A
m
m
v
v
h
h
D
C
v
A
m
d
N
h
M
C
v
α
v
A
a
v
A
v
α
a
m
d
v
A
N
D
α
m
e
f
v
D
∆z
A
B
N
a
e
e
N
B
v
A
v
v
v
α
N
v
α
v
e
C
m
C
v
v
v
B
v
h
h
e
h
α
fig.281.\ Construcción de un tetraedro regular con vértice (A) y
arista (B-C) en la recta (m).
D
∆z
Ejemplo: Definir las proyecciones de un tetraedro regular
(A;B;C;D), con vértice (A) dado y arista (B-C) sobre la recta (m),
estando (B) mas alto que (C). El vértice (D) se encuentra por
delante de (A)\ fig.282a.
r
h
D
h
N
h
α
m
h
A
h
C
h
h
N
D
e
h
h
h
B
fig.282.\ Construcción de un tetraedro regular conocido un
vértice y una recta que contiene a una arista\ ejemplo.
Solución (por rebatimiento de planos):
a) Se definen las trazas del plano (α) que contiene al
vértice (A) y a la recta (m)\ fig.282b.
r
r
r
c) Se dibuja, a partir de la cara (A ;B ;C ), la sección
r
r
r
principal (A ;B ;M ) del tetraedro y se determina la altura
(h) del mismo\ fig.282d.
Se rebaten: el plano (α); el vértice (A); y la recta (m).
96
Geometría Descriptiva
TETRAEDRO REGULAR
Ing. Alberto M. Pérez G.
1
e) Se definen las proyecciones
visibilidad\ fig.282f.
del
tetraedro
y
1
d) Se dibuja, contenida en el plano (α), la cara (B;C;D) del
tetraedro; la cual es un triángulo equilátero de longitud
(a) de arista, y centro (N)\ fig.283e.
e) Se define el tetraedro y su visibilidad\ fig.283f.
A
b
Ejemplo: Definir las proyecciones de un tetraedro regular
(A;B;C;D), con vértice (A) conocido y cara (B;C;D) contenida en el
plano (α). Sabiendo que la arista (B-D) está contenida en una
recta de máxima pendiente del plano (α). (B) por delante de (D).
(C) a la izquierda de (B)\ fig.284a.
e
h
N
α
Solución (por rebatimiento de planos):
α
c
C
1
d
C
1
1
1
a
1
1
M
Se determina la altura (h) del tetraedro.
N
M
M
A
a) Se traza, por el vértice (A), y perpendicular al plano (α),
el eje (e) del tetraedro, y se define el centro (N) de cara
interceptando el eje (e) con el plano (α)\ fig.284b.
1
h
hc
hc
1
1
1
A =A
1
b) Se dibuja, en un esquema aparte, y con una longitud (a )
1 1
1
de arista cualquiera, la cara (A ;B ;C ) de un tetraedro
regular cualquiera\ fig.284c.
hc
h
1
B
1
Se dibuja la sección principal (A;B;M) del tetraedro
buscado trazando, por el punto (N), y paralelo a la recta
1
1
(B -M ), la altura (B-M) de cara. En esta sección principal
(A;B;M) se determina la longitud (a) de arista del
tetraedro buscado.
Construir un tetraedro regular (A;B;C;D), con vértice (A) dado,
sabiendo que la cara (B;C;D) esta contenida en el plano (α)\
fig.283a.
A
1
c) Sobre la recta (h ), y a partir del vértice (A ), se mide la
altura (h) del tetraedro buscado, determinada en el
paso (a)); ubicando de esta forma el centro (N) de cara\
fig.283d.
su
CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO REGULAR,
CONOCIDO EL PLANO QUE CONTIENE A UNA
CARA, Y EL VÉRTICE NO CONTENIDO EN ESE
PLANO.
a
1
A partir de la cara (A ;B ;C ), se dibuja la sección principal
1 1
1
1
(A ;B ;M ) y se determina la altura (h ) del tetraedro de
1
longitud (a ) de arista.
d) Se dibuja, por el centro de cara (N) y perpendicular al
plano (α), el eje (e) del tetraedro, y se mide sobre el la
altura (h) del tetraedro, a partir del centro (N) de cara
para ubicar el vértice (D)\ fig.282e.
a
1
B1
B
1
1
1
A partir de la cara (A ;B ;C ), se dibuja la sección principal
1 1
1
1
(A ;B ;M ) y se determina la altura (h ) del tetraedro de
1
longitud (a ) de arista.
a
1
A
e
e
D
a
α
a
N
C
e
D
B
N
a
α
1
c) Sobre la recta (h ), y a partir del vértice (A ), se mide la
altura (h) del tetraedro buscado, determinada en el
paso (a)); ubicando de esta forma el centro (N) de cara\
fig.284d.
A
f
Se dibuja la sección principal (A;B;M) del tetraedro
buscado trazando, por el punto (N), y paralelo a la recta
1
1
(B -M ), la altura (B-M) de cara. En esta sección principal
(A;B;M) se determina la longitud (a) de arista del
tetraedro buscado.
B
C
fig.283.\ Construcción de un tetraedro regular, conocido el
plano que contiene a una cara y el vértice no contenido
en este plano.
d) Con la longitud (a) de la arista, se dibuja la cara (A;B;C)
del tetraedro buscado, y se determinando en este
dibujo, el radio (r) de la circunferencia que la
circunscribe\ fig.284e.
a) Se define, por el vértice (A) y perpendicular al plano (α),
el eje (e) del tetraedro\ fig.283b.
e) Se rebate el plano (α) y se dibuja la proyección rebatida
r
r
r
(B ;C ;D ) de la cara (B;C;D); la cual es un triángulo
equilátero circunscrito en una circunferencia de radio (r)
r
y centro (N )\ fig.284f.
Se define, interceptando el eje (e) con el plano (α), el
centro (N) de la cara (B;C;D). Y se determina la altura (h)
del tetraedro.
h
h
h
Se definen las proyecciones horizontal (B ;C ;D ) y vertical
v
v
v
(B ;C ;D ) de la cara (B;C;D) del tetraedro.
1
b) Se dibuja, en un esquema aparte y con una longitud (a )
1 1
1
de arista cualquiera, la cara (A ;B ;C ) de un tetraedro
regular cualquiera\ fig.283c.
f)
97
Se definen las proyecciones
visibilidad\ fig.284g.
del
tetraedro
y
su
Geometría Descriptiva
TETRAEDRO REGULAR
Ing. Alberto M. Pérez G.
v
α
v
v
v
e =t
A
a
A
v
b
A-N
∆z
N
v
v
α
h
e
h
α
N
h
h
h
t
h
A
C
A-N
h
α
∆z
h
A
1
C
1
1
B
r
a
C
1
M
1
M
1
N
M
1
h
1
a
hc
1
h
1
1
A
B
c
A=A
v
D
C
hc
a
hc
1
d
a
v
e
C
v
v
C
A
v
α
v
B
h
D
h
h
N
h
B
r
B
h
g
v
v
v
N
e
B
B
D
1
1
a
B
1
a
1
D
v
N
N
f
e
v
N
1
h
r
α
C
h
h
h
B
h
A
h
h
α
N
C
r
e
r
D
r
r
h
e
fig.284.\ Construcción de un tetraedro regular, conocido el
plano que contiene a una cara y el vértice no contenido
en este plano\ ejemplo.
98
Geometría Descriptiva
CUBO
Ing. Alberto M. Pérez G.
mayores. Pueden definirse seis secciones principales en un
cubo. En la fig.286, se muestra una sección principal de un
cubo.
CUBO.
Poliedro regular de seis caras iguales, siendo cada una un
cuadrado. Sus elementos principales son\ fig.285:
Una sección principal (ABGH) de un cubo, puede dibujarse
a partir de una cara (ABCD) del mismo\fig.287.
En la fig.288, se muestran algunas características
geométricas de toda sección principal de un cubo.
CARA:
Cada uno de los seis cuadrados que definen al cubo\
fig.286.
e
G
ARISTA:
H
Segmento que une dos vértices contiguos. En total hay
doce, todas de igual longitud.
N
F
ARISTAS OPUESTAS:
Par de aristas del cubo que son paralelas, y no están
contenidas en una misma cara.
E
VÉRTICE:
C
O
D
h
B
M
Punto al que concurren tres aristas. En total hay ocho.
A
VÉRTICES OPUESTOS.
Par de vértices del cubo que están contenidos en una
diagonal mayor (por ejemplo los vértices (F y D)).
fig.285.\ Hexaedro regular ó cubo.
DIAGONAL MAYOR.
C
B
N
H
Cada una de las diagonales de cualquier sección principal
del cubo.
F
e
h
M
DIAGONAL MENOR.
Cada una de las dos diagonales de cualquier cara del
cubo.
D
A
Cara
CENTRO DE CARA (M):
Punto de intersección entre las dos diagonales de cualquier
cara. Es el centro de gravedad de la cara.
O
M
D
B
Sección principal
fig.286.\ Cara y sección principal.
CENTRO DEL CUBO (O).
Centro de gravedad del cubo. Puede obtenerse
interceptando los dos diagonales mayores de cualquier
sección principal.
B
C
G
A
D
H
h
EJE (e):
Recta que contiene a los centros de cara de dos caras
paralelas.
ALTURA DEL CUBO:
Distancia entre dos centros de cara, contenidos en caras
paralelas del cubo. Es igual a la longitud de las aristas.
fig.287.\ Dibujo de la sección principal (ABGH), a partir de la
cara (ABCD).
SECCIÓN PRINCIPAL:
Sección del cubo que contiene a dos aristas opuestas. Es un
rectángulo formado por dos aristas y dos diagonales
99
Geometría Descriptiva
CUBO
Ing. Alberto M. Pérez G.
H
N
F
N
H
b) Se rebate el plano (α), y los puntos (M) y (A)\ fig.290c.
F
r
1
Ι
1
X
1
/3 dD-N
O
/3 dD-N
e
Ι
/3 dH-B
O
X
J
/3 dD-N
D
1
M
B
1
1
/3 dH-B
e
D
M
B
e) Se dibujan las aristas del cubo paralelas al eje (e), que
pasan por los vértices (A;B;C;D); Todas son de longitud (a)
\ fig.290f.
Se dibuja la cara (E;F;G;H), definiendo así el cubo y su
visibilidad.
Definir las proyecciones de un cubo, dado el vértice (A) y la
recta (e) que contiene a un eje\ fig.289a.
a
v
e
a) Se define, por el vértice (A) el plano (α) perpendicular al
eje (e); este plano contiene a la cara (A;B;C;D)\ fig.289b.
v
e
v
f
v
t
v
h
Av
A
e
h
v
c
e
C
v
α
v
M
D
v
v
h
A
h
C
E
N
G
F
A
D
h
B
r
A
h
B
a
e
h
r
B
h
α
r
M
H
M
r
G
C
D
v
α
N
e
v
G
H
v
C
C
v
M
α
D
v
h
v
v
v
v
E
F
v
v
B
h
D
h
A
h
M
Ejemplo: Definir las proyecciones de un cubo (A;B;C;D-E;F;G;H),
contenido en el Ι cuadrante; con vértice (A); y eje sobre la recta (e)
\ fig.290a.
h
a
N
h
C
M
h
H
h
Solución (por rebatimiento de planos):
h
α
a) Se define el plano (α), que pasa por el vértice (A) y es
perpendicular al eje (e)\ fig.290b.
N
r
h
e
G
h
α
v
A
v
fig.289.\ Construcción de un cubo, conocido un vértice y una
recta que contiene a un eje.
f
e
v
v
A
r
e
M
v
v
e
D
r
N
M
B
r
α
C
α
M
r
α
F
r
α
h
h
N
A
M
a
C
h
A
E
a
A
M
α
e
v
α
v
A
B
h
D
M
d
d
v
M
v
e
a
H
h
e
v
A
D
e
h
e =t
v
B
h
α
h
c) Se dibuja la cara (E;F;GH), definiendo así el cubo y su
visibilidad\ fig.289d.
c
h
A
h
M
h
b) Se trazan, paralelas al eje (e) y por los vértices de la cara
(A;B;C;D) las aristas del cubo de longitud (a), que
contienen a los vértices (E;F;G;H)\ fig.289c.
A
v
A
h
f
h
Se dibuja, contenida en el plano (α), la cara (A;B;C;D) del
cubo; esta es un cuadrado con centro (M) y vértice (A).
A
b
v
α
M
v
Se define, interceptando el eje (e) con el plano (α), el
centro (M) de la cara (A;B;C;D).
e
r
d) Se determina el centro (N) de la cara (E;F;G;H); para ello
se mide la longitud (a) de arista del cubo sobre el eje (e)
a partir del centro de cara (M)\ fig.290e.
CONSTRUCCIÓN DE UN CUBO, CONOCIDO UN
VÉRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE A UN EJE.
b
r
Se definen las proyecciones de la cara (A;B;C;D).
/3 dH-B
J
fig.288.\ Propiedades geométricas de toda sección principal
de un cubo.
a
r
c) Se dibuja la proyección rebatida (A ;B ;C ;D ) de la cara
r
(A;B;C;D); esta es un cuadrado con vértice (A ) y centro
r
(M )\ fig.290d.
B
h
h
α
A
h
N
h
E
h
h
F
h
e
fig.290.\ Construcción de un cubo, conocido el vértice (A) y la
recta (e) que contiene a un eje\ ejemplo.
Se define el centro (M) de la cara (A;B;C;D), interceptando
el eje (e) con el plano (α).
100
Geometría Descriptiva
CUBO
Ing. Alberto M. Pérez G.
7) Se define, por paralelismo el vértice (E).
CONSTRUCCIÓN DE UN CUBO CONOCIDO UN
VÉRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA
DIAGONAL MAYOR.
Puede observarse que existe una segunda solución,
mostrada en la fig.291d.
En la fig.291e, se muestra en el esquema en
perspectiva, la sección principal ya construida.
Definir el cubo (ABCD-EFGH), dado su vértice (C) y la recta (r)
que contiene a la diagonal mayor (A-G)\ fig.291a.
a
a
r
N
Ι
r
b) Se traza, por, el centro (M) de cara, y perpendicular al
plano (α), la diagonal mayor (B-D); la cual es de igual
longitud que las diagonales mayores (A-C) y (E-G)\
fig.291e.
b
Se traza, por el centro de cara (N) y perpendicular al
plano (α), la diagonal mayor (F-H); la cual es de igual
longitud que las anteriores.
X
C
A
C
c) Se trazan las aristas del cubo y se define su visibilidad\
fig.291f.
r
G
X
a
M
O
M
C
Ι
O
e
G
e
r
N
G
H
O
H
B
r
M
C
a) La recta (r) y el punto (A) definen un plano (α) que
contiene a la sección principal (AECG) del cubo, por lo
tanto: se define este plano por dos rectas características
(f) y (h); de la siguiente manera\ fig.292b:
F
f
Se traza la recta horizontal (h), que pasa por el punto (A).
Por un punto (2) cualquiera de ella se traza la recta frontal
(f).
E
b) Se rota, alrededor del eje de punta (p), que pasa por el
punto (3), el plano (α); hasta la posición vertical (α1). Y se
rotan también la recta (r) y el vértice (A); de la siguiente
manera:
B
O
C
M
A
D
Solución (por rotaciones):
N
E
α
N
r
C
F
Ejemplo: Definir las proyecciones de un cubo (ABCD-EFGH) con
diagonal mayor (C-E) en la recta (r) y vértice (A)\ fig.292a.
G
X
A
e
d
A
E
N
Ι
E
c
a
A
1) Se establece el eje de rotación (p) de punta\
fig.292c.
D
o
Para determinar el ángulo (α ) que debe girar el plano
(α) alrededor del eje (p) para colocarse en la
posición vertical (α1); se rota, por medio de sus puntos
(2 y 3), la recta frontal (f) hasta la posición vertical (f1).
fig.291.\ Construcción de un cubo conocido un vértice y una
recta que contiene a una diagonal mayor.
a) La recta (r) y el vértice (C) definen el plano (α) que
contiene a la sección principal (AEGC) del cubo. Por lo
tanto, sobre este plano (α) se construye esta sección
principal de la siguiente forma\ fig.291b:
o
2) Se rotan, el ángulo (α ), los puntos (1 y A) y en
consecuencia la recta (r); definiendo así sus
proyecciones (11 ; A1; y r1)(\ fig.292d.
1) Se traza la recta (a), perpendicular a la recta (r), y se
determina el punto de corte (Ι) entre las dos rectas.
3) Se determinan las trazas del plano (α) en su posición
vertical (α1).
2) Se define el punto medio (X) del segmento (C-Ι).
c) Estableciendo el eje vertical (v), se gira el plano (α), junto
con la recta (r) y el punto (A) desde la posición vertical
(α1), hasta la posición frontal (α2); obteniendo las
proyecciones (r2 y A2)\ fig.292e.
3) Se define el centro (N) de la cara (EFGH), cortando
la recta (a) con un arco de circunferencia de centro
(Ι) y radio igual a la distancia (dΙ-X) entre los puntos (Ι
y X).
d) Se dibuja, en verdadero tamaño, la sección principal
(AEGC) del cubo en su proyección (A2E2G2C2) \ fig.292f.
4) Se define el vértice (A), cortando la recta (r) con un
arco de circunferencia de centro (N) y radio igual a
la distancia (dN-C) entre los puntos (N y C).
Se gira la sección principal del cubo, desde su proyección
(A2E2G2C2) hasta su proyección (A1E1G1C1).
5) Se dibuja la arista (A-C), y se determina su punto
medio (M). La recta (M-N) es un eje del cubo\
fig.291c.
e) Se gira la sección principal del cubo, desde su
proyección (A1E1G1C1) hasta su proyección (AEGC),
V V V V
obteniendo sus proyecciones vertical (A E G C ) y
h h h h
horizontal (A E G C )\ fig.292g. (Recuérdese que todos los
6) Se traza, por el vértice (C), y paralela a (MN), la arista
(CG), ubicando a (G), sobre la recta (r).
101
Geometría Descriptiva
CUBO
Ing. Alberto M. Pérez G.
puntos giran
inicialmente).
el
mismo
o
ángulo
(α )
determinado
g
Se traza, por el centro de cara (N), la recta (d),
perpendicular al plano (α); esta recta contiene a la
diagonal menor (F-H); cuyo centro es (N)\ fig.292h.
f)
G
v
C
C
D
v
v
A
v
C
h
A
h
2
r
h
3
h
v
r
v
1
d
v
v
r
α
v
f1
v
2
A
v
h
A
v
v
11
h
A1
h
h
3 = 31
h
h
=21 =f1
h
r
h
1
v
32
e
v
E1
N1
v
v
α1 =v
v
A1
v
r2
v
A2
h
h
1
1h
31
G1
12
v
h
v
A2
h
32
h
11
v
12
A2
v
M1
v
h
h
C1 =N1
G1
f
dE-N
v
G2
A2
E1 =M1
h
h
p
v
M2
h
h
v
v
A1
h
r1 =α1
E2
A1
C1
h
h
N2
v
h
v
v
v
h
A
11
h
3 = 31
h
h
v
A
h
v
v
h
α1 = r1
11
α1
v
A1
v
A
p
2
h
r1
r1
o
α
h
f
31
v
v
1
v
21
v
3 =p =31
o
f
r
v
3 =p =31
v
H
j
v
N
C
v
G
v
v
h
C2
G
v 2
h
h
h
h
fig.292.\ Construcción de un cubo conocido un vértice (A) y
una recta (r) que contiene a una diagonal mayor (E-C)\
ejemplo.
102
r
v
E
v
v
F
v
v
v
M
v
v
B
h
A
h
r
h
M
h
D
h
E
C
h
F
r
h
M
h
h
B
h
h
4
v
B
h
r
h
A
A
v
F
v
h
H
h
E
h
B
N
v
G
h
fig.292.\...continuación.
1
c
F
D
v
M
G
h
h
v
N-4
h
E
F
N
h
N
v
h
h
∆Z
h
r
r
dN-E
h
d
h
A
H
A
r
v
2
v
h
v
f
h
G
N
h
f
h
h
v
v
2
f
v
v
4
p
v
v
1
v
h
v
A
D
2
h
N
v
h
E1 =M1
h
F
v
h
C1 =N1
G1
H
i
v
A1
v
h
h
v
f
v
v
h
E
N
N-4
A
C1
h
∆Z
v
1v
h
N
v
d
h
M1
A
h
v
v
h
G
3
r
G1
v
M
h
h) Se dibujan todas las aristas del cubo y se define su
visibilidad\ fig.292j.
v
v
M
Se dibuja, paralela a la diagonal menor (F-H) y de su
misma longitud, la diagonal menor (B-D); de la cual su
punto medio es (M).
r
C
v
g) Se ubica, sobre la recta (d), el vértice (H); haciendo para
ello iguales las longitudes de los segmentos (N-H) y (N-F)\
fig.292i.
b
N1
v
r
v
p
v
E1
v
E
v
A
Se ubica, sobre la recta (d), el vértice (F); midiendo para
ello, por medio de un triángulo de rebatimiento a partir
del centro de cara (N), la distancia (dE-N) tomada de la
fig.292f.
a
N
v
h
F
v
h
v
Geometría Descriptiva
PIRÁMIDE REGULAR RECTA
Ing. Alberto M. Pérez G.
PIRÁMIDE
RECTA.
CENTRO DE LA BASE (O).
REGULAR
Centro geométrico de la base; es también su centro de
gravedad.
Poliedro cuya base es un polígono regular, y sus caras
laterales son triángulos isósceles iguales, los cuales poseen
un vértice común (V), denominado vértice principal de la
pirámide. En la fig.293, se muestra una pirámide regular recta
de base cuadrada, en la cual, se pueden observar los
siguientes elementos principales:
ALTURA DE LA PIRÁMIDE (h).
Distancia entre el vértice principal (V) de la pirámide y el
Centro (O) de la base.
CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE REGULAR
RECTA, CONOCIDO: LA ALTURA; UN VÉRTICE DE LA
BASE; Y UNA RECTA QUE CONTIENE AL EJE.
e
Construir una pirámide regular recta de base hexagonal
(ABCDEF), dado: el vértice (A) de la base; la altura (h) de la
pirámide; y la recta (e) que contiene al eje\ fig.294a.
V
a) Se define, por el vértice (A), y perpendicular al eje (e), el
plano base (α). Y se determina el centro (O) de la base
(ABCDEF), interceptando el eje (e) con el plano base
(α)\ fig.294b.
h
D
Se ubica, sobre el eje (e), el vértice principal (A) de la
pirámide a la distancia (h) del centro de la base (O).
A
O
α
C
b) Se dibuja, con centro (O), y vértice (A), el hexágono base
(ABCDEF), contenido en el plano (α)\ fig.294c.
c) Se dibujan las aristas principales de la pirámide,
definiendo así su forma y visibilidad\ fig.294d.
B
fig.293.\ Pirámide regular recta.
PLANO BASE (α).
a
b
V
Plano que contiene al polígono regular que define la base.
e
h
e
BASE.
A
h
Polígono regular contenido en el plano base (α).
A
O
CARA.
α
Cada uno de los triángulos isósceles que definen los lados
de la pirámide.
c
d
V
V
e
VÉRTICE PRINCIPAL (V).
Punto al que concurren todas las aristas principales de la
pirámide. Esta contenido en el eje (e) de la pirámide y es el
vértice común de todas sus caras.
F
E
F
E
e
A
O
D
D
EJE (e).
α
Recta que contiene al vértice principal (V) de la pirámide y
al centro (O) de su base; es perpendicular al plano base (α).
A
O
C
B
α
C
B
fig.294.\ Construcción de una pirámide regular recta,
conocido: la altura (h); un vértice (A) de la base y la recta (e)
que contiene al eje.
ARISTA PRINCIPAL.
Segmento que une un vértice de la base con el vértice
principal (V) de la pirámide.
Ejemplo: Definir las proyecciones de una pirámide regular recta
de base hexagonal (ABCDEF), de altura (h) dada, con eje en la
recta (e), y vértice (A) de la base conocido. (B) por debajo de (A)\
fig.295a.
ARISTA DE LA BASE.
Segmento que une dos vértices de la base contiguos.
103
Geometría Descriptiva
PIRÁMIDE REGULAR RECTA
Ing. Alberto M. Pérez G.
v
a
v
e =t
b
e
v
v
f
v
v
A
e) Se define la pirámide y su visibilidad, uniendo los vértices
de la base (ABCDEF) con el vértice principal (V) de la
pirámide\ fig.295f.
v
α
v
A
h
O
h
v
CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE REGULAR
RECTA, CONOCIDO EL PLANO DE LA BASE; UNA
RECTA QUE CONTIENE A UNA ARISTA PRINCIPAL; Y
LA LONGITUD DE LAS ARISTAS DE LA BASE.
h
t
h
e
h
α
h
O
e
h
h
h
h
A
f
A
Definir la pirámide regular recta de base cuadrada (ABCD),
contenida en el plano (α), siendo conocida la longitud (a) de
las aristas de la base y sabiendo que la arista principal (A-V)
está contenida en la recta (r)\ fig.296a.
h
h
v
V
c
d
v
α
a) Se determina el vértice (A) de la base (ABCD),
interceptando la recta (r) con el plano (α)\ fig.296b.
v
α
r
V
v
1
O-1
∆Y
h
O
Por cualquier punto (X) de la recta (r), se traza una recta
(p) perpendicular al plano (α), y se determina su
intersección (Ι) con el mismo.
r
α
v
D
r
C
r
O
O-1
∆Y
E
h
O
F
h
1
v
E
D
D
r
E
v
α
v
e
E
h
r
D
O
h
F
h
C
h
h
B
h
α
D
r
A
c) Se trazan las aristas principales de la
definiendo así su forma y visibilidad\ fig.296d.
v
A
v
v
E
h
h
O
h
e
F
h
a
a
b
p
h
X
r
h
h
h
V
pirámide,
h
h
r
v
B
v
C
r
O
v
A
B
r
F
v
v
B
h
Se define el vértice principal (V) de la pirámide, cortando
las rectas (r y e).
v
α
v
A
E
h
Se traza, por el centro (O) de la base, y paralelo a la recta
(p), el eje (e) de la pirámide.
f
α
F
b) Se dibuja, contenido en el plano (α), el cuadrado base
(ABCD); con vértice (A), longitud de aristas (a), y diagonal
(A-C) sobre la recta (d)\ fig.296c.
h
r
A
V
v
v
v
C
O
B
v
r
C
F
O
C
D
r
α
r
r
r
Se traza la recta (d), que contiene a los puntos (A e Ι). Esta
recta contiene a la diagonal (A-C) del cuadrado base
(ABCD).
h
A
h
e
α
h
α
h
V
v
O
r
A
B
r
d
Ι
A
fig.295.\ Construcción de una pirámide regular recta
conocido: la altura (h); un vértice (A) de la base; y una recta
(e) que contiene al eje\ ejemplo.
α
α
c
p
a) Se definen las trazas del plano base (α), el cual pasa por
el vértice (A) y es perpendicular al eje (e)\ fig.295b.
X
A
a
α
c) Se rebate el plano (α), y los puntos (O y A), y se dibuja la
r r r r r r
proyección rebatida (A B C D E F ) del hexágono base
(ABCDEF)\ fig.295d.
D
C
d
Ι
e
r
a
D
b) Se determina el vértice principal (V) de la pirámide,
midiendo la altura (h) dada, sobre el eje (e), a partir del
centro de la base (O)\ fig.295c.
V
e
r
Se define el centro (O) de la base, interceptando el eje (e)
con el plano base (α).
d
V
C
O
O
a
B
A
α
B
fig.296.\ Construcción de una pirámide regular recta, conocido
el plano de la base; una recta que contiene a una arista
principal; y la longitud (a) de las aristas de la base.
d) Se determinan las proyecciones horizontal y vertical del
hexágono base\ fig.295e.
104
Geometría Descriptiva
PIRÁMIDE REGULAR RECTA
Ing. Alberto M. Pérez G.
Ejemplo: Definir las proyecciones de una pirámide regular recta,
de base cuadrada (ABCD) contenida en el plano (α), con arista
principal (V-A) contenida en la recta (r), y longitud (a) de las aristas
de la base conocida\ fig.297a.
v
v
α
r
α
v
r
v
A
a
v
v
t
Solución (por cambio de planos de proyección):
a) Se determina el vértice (A) de la base, interceptando la
recta (r) con el plano (α)\ fig.297b.
h
r
α
h
α
h
h
A
h
b) Por cualquier punto (X) de la recta (r), se traza una recta
(p) perpendicular al plano (α), y se determina su
intersección (Ι) con este plano\ fig.297c.
r
3
v
v
A
v
1v
p =t
Ι
c) Se traza la recta (d), que contiene a los puntos (A e Ι),
esta recta contiene también a la diagonal (A-C) del
cuadrado base de la pirámide\ fig.297d.
A Ι3
3-V
YA
v
A
α
b
3
v
V
Ι
α
v
v
d
Se establece, por medio de la línea de tierra (3-V), el
cambio del plano horizontal de proyección por el plano
(3), observando de esta forma el plano (α) en posición
vertical.
3
v
X
v
α
h
r =t
a
1h
t
h
r
p
h
Ι
h
A
3
Se definen las proyecciones (A e Ι ) de los puntos (A e Ι).
YA
h
α
h
Ι
h
A
h
d
h
h
h
c
α
d
X
4
d
d) Se establece, por medio de la línea de tierra (3-4), el
cambio del plano vertical de proyección por el plano
(4), observando de esta forma el plano (α) en la posición
frontal\ fig.297e.
D
4
Ι
a
O
Se dibuja, en verdadero tamaño,
4 4 4 4
(A B C D ) del cuadrado base (ABCD).
la
B
a
Ι
3
A
3
3
3
v
4
O
4
ZC
4
B
3-4
3
D
3
3
α
ZA
C
3
A
3
3
B
3
v
A
v
B
ZΙ
3
O
v
Ι
3-V
α
v
v
d
D
3-V
v
C
v
d
v
v
h
v
v
h
h
Se define la proyección horizontal (A B C D ) de la base
(ABCD)\ fig.297g.
A
O
D
V
v
O
v
C
g) Se traza, por el centro (O) de la base (ABCD) y
perpendicular al plano (α), el eje (e) de la pirámide\
fig.297h.
D
v
v
B
v
B
v
r
v
v
v
A
e
v
α
v
α
d
h
α
ZC
v
Se define la proyección vertical (A B C D ) de la base
(ABCD).
f)
3-4
4
A
v
3
f
4
4
A
e) Se definen, sobre (α ), la proyección (A B C D ) de la
base (ABCD)\ fig.297f.
v
D
a
4
proyección
C
ZΙ
4
A
v
4
e
4
ZA
4
Se definen las proyecciones (A e Ι ) de los puntos (A e Ι).
4
C
a
v
v
C
h
v
h
B
B
h
Se define, cortando las rectas (r y e), el vértice principal (V)
de la pirámide.
C
h
d
O
h
A
Se trazan las aristas principales de la pirámide, definiendo
así, su forma y visibilidad.
g
h
O
h
C
α
h
h
v
α
D
h
A
h
h
h
D
h
V
r
h
h
e
fig.297.\ Construcción de una pirámide regular recta, conocido
el plano base; una recta que contiene a una arista principal; y
la longitud de la aristas de la base\ ejemplo.
105
Geometría Descriptiva
PIRÁMIDE REGULAR RECTA
Ing. Alberto M. Pérez G.
Se dibuja, en verdadero tamaño, la proyección rebatida
r r r
(A B C ) de la base (ABC); esta es un triángulo equilátero,
r
con centro en la proyección rebatida (O ) del punto (O)
r r
r
y lado (A B ) en la proyección rebatida (r ) de la recta (r).
CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE REGULAR
RECTA, CONOCIDO EL VÉRTICE PRINCIPAL, Y EL
PLANO BASE, CON UNA RECTA QUE CONTIENE A
UNA ARISTA DE LA BASE.
v
v
v
Se definen las proyecciones vertical (A B C ) y horizontal
h h h
(A B C ) de la base (ABC).
Definir una pirámide regular recta, de base triangular (ABC)
contenida en el plano (α), y vértice principal (V), sabiendo que
la arista (A-B) de la base está contenida en la recta (r)\
fig.298a.
e) Se trazan las aristas principales de la
definiendo así su forma y visibilidad\ fig.299f.
a) Se dibuja, por el vértice principal (V); y perpendicular al
plano base (α), el eje (e) de la pirámide\ fig.298b.
v
V
a
pirámide,
v
V
b
Se define el centro (O) de la base, interceptando el eje (e)
con el plano base (α).
v
α
r
Se construye la base (ABC), la cual es un triángulo
equilátero con centro en (O), y arista (A-B) en la recta (r).
Se dibujan las aristas principales, definiendo así forma de
la pirámide y visibilidad.
v
r
r
h
v
r
h
h
α
a
V
b
V
h
h
V
V
e
r
α
Z
C
A
r
r
α
l
V
v
V
O
v
l
l
e
α
v
α
O
e
r
l
α
v
α
α
B
O
v
O
O
v
O
h
O
l
Y
fig.298.\ Construcción de una pirámide regular recta, conocido
el vértice principal, y el plano base con una recta que contiene
a una arista de la base.
O
h
h
e
h
α
Ejemplo: Definir las proyecciones de una pirámide regular recta
de base triangular (ABC) contenida en el plano (α), el cual es
paralelo a la línea de tierra, dado su vértice principal (V) y la recta
(r) que contiene a la arista (A-B) de la base. Estando (A) por
delante de (B)\ fig.299a.
c
h
α
d
h
V
h
V
r
α
v
C
V
r
r
O
Solución (por rebatimiento de planos).
a) Se definen las trazas del plano base (α), que contiene a
la recta (r) y es paralelo a la línea de tierra\ fig.299b.
r
A
r
v
v
α
v
B
r
B
v
α
C
h
B
l
b) Se definen: la proyección lateral (α ) de plano (α); y la
l
proyección lateral (V ) del vértice principal (V)\ fig.299c.
C
O
v
l
Se define, por (V ), y perpendicular a (α1), la proyección
l
lateral (e ) del eje (e) de la pirámide.
v
e
C
h
h
h
v
O
h
v
A
h
α
O
O
B
v
h
l
v
A
B
Se define la proyección lateral (O ) del centro de la base
(O), cortando las proyecciones laterales del eje y el
plano (α).
h
l
C
h
r
h
A
h
A
h
α
f
h
h
V
fig.299.\ Construcción de una pirámide regular recta de base
triangular (ABC), con vértice principal (V), y plano base (α)
paralelo a la línea de tierra, dada la recta (r), que contiene a la
arista (A-B) de la base\ ejemplo.
v
Se definen las proyecciones horizontal (O ) y vertical (O )
del punto (O).
c) Se rebate el plano (α) y el punto (O)\ fig.299d.
r
d) Se define la proyección rebatida (r ) de la recta (r)\
fig.299e.
106
Geometría Descriptiva
PRISMA REGULAR RECTO
Ing. Alberto M. Pérez G.
CONSTRUCCIÓN DE UN PRISMA REGULAR RECTO,
CONOCIDO UN PLANO BASE, CON UNO DE LOS
VÉRTICES DE LA MISMA, Y EL CENTRO DE LA OTRA
BASE.
PRISMA REGULAR RECTO.
Poliedro definido por dos polígonos regulares iguales y
paralelos denominados bases, y cuyas caras laterales son
rectángulos iguales. en la fig.300, se muestra un prisma
regular recto de base hexagonal, en el cual pueden
observarse las siguientes partes:
Definir un prisma regular recto, de base triangular (ABC)
contenida en el plano (α), conocido el vértice (A) y el centro
1
1 1 1
(O ) de la otra base (A B C )\ fig.301a.
1
1
1
1
a) Se traza, por el centro (O ) de la base (A B C ), y
perpendicular al plano (α), el eje (e) del prisma\ fig.301b.
PLANO BASE.
Plano que contiene a polígono base. Existen dos paralelos
entre sí.
Se define el centro (O) de la cara (ABC), interceptando el
eje (e) con el plano (α).
BASE.
Se dibuja, contenida en el plano (α), la base (ABC) del
prisma; la cual es un triángulo equilátero, con centro (O)
y vértice (A).
Polígono regular que define la base del prisma.
b) Se dibujan, paralelas al eje (e) del prisma, y por los
vértices de la base (ABC), las aristas principales del
1
prisma, de longitud (O-O ); obteniendo de esta forma, los
1 1
1
vértices (A B y C ) de la otra base\ fig.301c.
CARA.
Cada uno de los rectángulos que definen los lados del
prisma.
1
CENTRO DE LA BASE.
1
1
c) Se dibuja la base (A B C ) del prisma, definiendo así su
forma y visibilidad\ fig.301d.
Centro geométrico de cualquiera de los polígonos base.
a
EJE (e).
O
b
1
O
Recta que pasa por los dos centros de base del prisma. Es
perpendicular a los planos base.
1
e
α
ARISTA PRINCIPAL.
B
O
C
Segmento, paralelo al eje (e), que une dos vértices de base.
α
A
ARISTA DE LA BASE.
Segmento que une dos vértices contiguos de una misma
base.
1
c
C
B
1
O
ALTURA DEL PRISMA (h).
e
Distancia entre los dos centros de cara de un prisma. Es igual
a la longitud de las aristas principales.
A
C
d
1
1
B
1
O
1
A
e
1
1
A
B
1
C
E
F
O
C
1
D
e (EJE)
1
B
O
O
1
A
α
1
1
B
E
D
F
A
fig.301.\ Construcción de un prisma regular recto, conocido
un plano base, con uno de los vértices de la misma, y el
centro de la otra base.
1
C
h
α
A
Ejemplo: Definir las proyecciones de un prisma regular recto de
1
base triangular (ABC), contenida en el plano (α), siendo (O ) el
1 1 1
centro de la otra base (A B C )\ fig.302a.
α
Solución (por rebatimiento de planos):
1
O
A
a) Se traza, por el punto (O ) y perpendicular al plano (α), el
eje (e) del prisma\ fig.302b.
C
Se determina el centro (O) de la
interceptando el eje (e) con el plano (α).
B
cara
(ABC),
h
Se define la proyección horizontal (A ) del punto (A),
haciéndolo pertenecer al plano (α).
fig.300.\ Prisma regular recto.
b) Se rebate el plano (α), y los puntos (O) y (A)\ fig.302c.
107
Geometría Descriptiva
PRISMA REGULAR RECTO
Ing. Alberto M. Pérez G.
a
O
b
1v
O
c) Se dibuja, en verdadero tamaño,
la proyección
r r r
rebatida (A B C )de la base (ABC); la cual es un triángulo
r
r
equilátero con vértice en (A ) y centro en (O )\ fig.302d.
1v
v
v
e =t
h
O
v
α
α
v
A
h
O
h
α
O
1h
O
h
1
α
1
1
e) Se dibuja la base (A B C ) del prisma, definiendo así su
forma y visibilidad\ fig.302f.
h
h
e
r
c
t
1h
A
h
α
h
d) Se trazan, paralelas al eje (e), las aristas principales del
prisma que pasan por los vértices de la base (ABC);
1
todas tienen por longitud la distancia (dO-O ) entre los
1
centros de base (O) y (O )\ fig.302e.
v
v
A
h
Se definen las proyecciones horizontal (A B C ) y vertical
v v v
(A B C ) de la base (ABC).
v
CONSTRUCCIÓN DE UN PRISMA REGULAR RECTO,
CONOCIDO: LA ALTURA; UN VÉRTICE; Y UNA RECTA
QUE CONTIENE AL EJE.
v
α
r
1
Construir un prisma regular recto de base pentagonal
(ABCDE), con eje en la recta (e); altura (h) y vértice (A)\
fig.303a.
v
1
O
r
h
1
a) Se traza, por el vértice (A), el plano base (α),
perpendicular al eje (e)\ fig.303b.
r
A
h
α
O
h
A
C
d
r
Se define, interceptando el eje (e) con el plano (α), el
centro (O) de la base (ABCDEF).
h
v
r
α
B
O
O
C
Se dibuja la base (ABCDE); la cual es un pentágono
regular, con centro (O) y vértice (A).
v
B
v
v
α
b) Se ubica, sobre el eje (e), y a la distancia (h) del centro
1
(O) de la base (ABCDE), el centro (O ) de la base
1 1 1 1 1
(A B C D E )\ fig.303c.
v
A
r
r
B
r
A
h
A
O
h
1
C
O
C
1v
C
a
1v
1v
B
O
C
1v
v
v
B
O
v
O
A
h
α
h
A
A
v
v
B
c
C
B
O
B
1
O
h
α
1h
B
C
h
C
O
h
O
B
1h
C
h
α
fig.302.\ Construcción de un prisma regular recto, de base
1
triangular (ABC) contenida en el plano (α), siendo (O ) el
1 1 1
centro de la otra base (A B C )\ ejemplo.
C
d
E
D
1
O
1
B
1
1
E
1
A
h
D
C
E
A
1
e
D
C
h
1
1
A
A
A
1
h
1h
h
D
O
h
1h
E
A
α
e
h
1
B
1h
1
1h
B
1h
h
1h
O
B
α
v
A
C
D
C
v
v
α
v
A
e
h
C
1v
v
1
1v
A
O
1
b
e
1v
B
A
1
h
f
1v
1
c) Se dibuja la base (A B C D E ) del prisma, definiendo así
su forma y visibilidad\ fig.303d.
h
α
e
Se dibujan, por los vértices de la base (ABCDE), y paralelas
al eje (e), las aristas principales del prisma, todas de
longitud igual a la altura (h) del prisma; definiendo así los
1 1 1 1 1
vértices (A B C D E ) de la otra base.
h
O
B
E
A
α
fig.303.\ Construcción de un prisma regular recto, conocido:
la altura; un vértice; y la recta (e) que contiene al eje.
108
Geometría Descriptiva
PRISMA REGULAR RECTO
Ing. Alberto M. Pérez G.
plano de punta, debido a que el eje (e) es una recta
frontal\ fig.304b.
Ejemplo. Definir las proyecciones de un prisma regular recto de
base pentagonal (ABCDE), de altura (h), con eje en la recta (e) y
vértice (A) de la base (ABCDE)\ fig.304a.
a
b
v
A
Se define el centro (O) de la base (ABCDE), interceptando
el eje (e) con el plano (α).
v
A
Se rebate el plano (α), y los puntos (A) y (O).
v
e
v
e
O
v
α
r
LT=α
r
h
h
r
A
h
A
h
e
O
O
r
v
α
c
A
v
E
O
D
v
α
d
v
D
v
C
C
r
r
r
A
C
e
B
h
A
O
r
r
C
O
h
C eh
r
h
r
E
D
α
r
D
A
A
r
v
E
O
h
v
c
v
C
v
B
v
B
1h
1h
α
A
h
C
e
O
C
h
h
D
D
1
C
1
D
e
r
A
B
D
α
1
A
O
D
C
fig.305.\ Construcción de un prisma regular recto, conocida su
altura, un vértice y una recta que contiene a una arista
principal.
1h
E
h
O
1
1h
1
h
h
E
O
h
α
C
A
1
B
e
O
B
A
h
1
h
v
h
α
1
d
r
O
B
h
A
h
v
C
h
v
C
D
h
C
D
v
O
h
r
v
e
E
h
h
B
α
v
v
v
v
A
v
b
a
h
v
e
v
h
α
h
E Dr
r
E
h
v
Construir un prisma regular recto de base cuadrada (ABCD) y
altura (h), dado su vértice (A) y la recta (r), que contiene a la
1
arista principal (C-C )\ fig.305a.
r
A
r
v
CONSTRUCCIÓN DE UN PRISMA REGULAR RECTO,
CONOCIDA SU ALTURA, UN VÉRTICE, Y UNA RECTA
QUE CONTIENE A UNA ARISTA PRINCIPAL.
v
h
B
h
v
LT=α
r
r
v
B
v
B
O
v
e
O
D
r
r
d) Se trazan, por los vértices de la base (ABCDE), y
paralelas al eje (e), las aristas principales del prisma;
siendo todas de longitud igual a su altura (h). Se ubican
1 1 1 1 1
de esta forma a los vértices (A B C D E ) de su otra base,
definiendo así la forma del prisma y su visibilidad\
fig.304e.
α
v
v
LT=α
h
e
h
r
E
v
B
r
c) se define la proyección horizontal (A B C D E ) de la
base (ABCDE)\ fig.304d.
r
v
A
e
v
C
h
r
E
v
r
b) Se define la proyección vertical (A B C D E ) de la base
(ABCDE)\ fig.304c.
B
A
r
Se dibuja la proyección rebatida (A B C D E ) de la base
(ABCDE); la cual es un pentágono regular, con centro
r
(O ) y vértice (Ar).
v
1h
a) Se define, por el vértice (A), y perpendicular a la recta
(r), el plano (α) de la base (ABCD)\ fig.305b.
fig.304.\ Construcción de un prisma regular recto de base
pentagonal (ABCDE), conocido: la altura (h); el vértice (A) de
la base (ABCDE); y la recta (e) que contiene al eje\ ejemplo.
Se define el vértice (C), interceptando la recta (r) con el
plano (α).
b) Se dibuja, contenido en el plano (α), el cuadrado base
(ABCD); cuya diagonal es el segmento (A-C). El punto
medio del segmento (A-C) es el centro (O) de esta base\
fig.305c.
Solución (por rebatimiento de planos):
a) Se define, por el vértice (A) y perpendicular al eje (e), el
plano (α), que contiene a la base (ABCDE); este es un
Se traza, por el punto (O) y paralelo a la recta (r), el eje (e)
del prisma.
109
Geometría Descriptiva
PRISMA REGULAR RECTO
Ing. Alberto M. Pérez G.
Se ubica, sobre la recta (r), y a la distancia (h) del vértice
1
1 1 1 1
(C), el vértice (C ) de la base (A B C D ).
D
f
r
Se ubica, sobre el eje (e), y a la distancia (h) del punto (O),
1
1 1 1 1
el centro (O ) de la base (A B C D ).
C
v
O
1
1
v
B
O
r
h
r
v
v
v
v
C
C
r
C
h
h
C
h
D
O
A
C
f
A
v
v
v
i
O
C
v
v
A
v
D
r
r
C
r
v
B
v
O
v
B
∆z
h
a
C
C
h
h
h
A
D
1v
B
h
B
h
f
c
h
A
h
A
C
h
D
h
1h
1h
1h
B
1r
B
∆z
h
h
D
O
B
h
1v
A
1h
1h
h
1v
1v
h
h
O
t
f
b
h
A
r
h
h
h
1v
v
C
h
h
A
v
v
A
h
h
1v
r
h
B
D
h
r
v
O
h
h
f
B
h
h
h
h
f
v
r
h
h
v
f
v
h
r =t
f
h
α
r
B
r
r
v
v
v
A =A
r
v
h
v
v
D
A
O
v
f =EJE
a) Se define, por el vértice (A) y perpendicular a la recta (r),
el plano (α) de la base (ABCD)\ fig.306b.
v
v
f
v
C
r
v
B
1
Solución (por rebatimiento de planos a través de una recta
frontal):
h
r
D
v
Ejemplo: Definir las proyecciones de un prisma regular recto de
base cuadrada (ABCD), conocido el vértice (A), la altura (h); y la
1
recta (r), que contiene a la arista principal (C-C )\ fig.306a.
v
r
A =A
v
Se dibuja la base (A B C D ) del prisma, definiendo así su
forma y visibilidad.
A
D
g
v
c) Se dibujan, paralelas a la recta (r), las aristas principales
del prisma, todas de longitud (h)\ fig.305d.
1
v
h
r
1h
A
h
O
h
h
B
h
A
fig.306.\ ...continuación
v
v
h
C
r
A =A
d
v
v
h
e
r
A =A
b) Se determina el vértice (C), interceptando el plano (α)
con la recta (r)\ fig.306c.
v
C
∆y
r
v
r
v
D
v
O
r
B
C
v
f =EJE
r
r
c) Se rebaten, eligiendo como eje la recta frontal (f), los
puntos (A) y (C) contenidos en el plano (α)\ fig.306d.
r
r
f =EJE
C
r
v
r
C
h
r
h
C
h
h
∆y
h
f
h
r
r
v
v
v
e) Se define la proyección vertical (A B C D ) de la base
(ABCD)\ fig.306f.
h
f)
h
h
h
∆y
A
r
d) Se dibuja la proyección rebatida (A B C D ) de la base
(ABCD); la cual es un cuadrado de vértices opuestos (A y
C)\ fig.306e.
v
h
f
h
h
h
h
Se define la proyección horizontal (A B C D ) de la base
(ABCD)\ fig.306g.
g) Se traza, por el vértice (B), y paralela a la recta (r), la
1
1
arista principal (B-B ), y se ubica sobre ella, el vértice (B )
a la distancia (h) del vértice (B)\ fig.306h.
h
A
h) Se dibujan las demás aristas principales del prisma, todas
paralelas a la recta (r), y de altura (h), definiendo la otra
1 1 1 1
base (A B C D ) del prisma\ fig.306i.
fig.306.\ Construcción de un prisma regular recto de base
cuadrada (ABCD), conocido el vértice (A), la altura (h), y la
1
recta (r), que contiene a la arista principal (C-C )\ ejemplo.
Se define la forma y visibilidad y visibilidad del prisma.
110
Geometría Descriptiva
BIBLIOGRAFÍA
Ing. Alberto M. Pérez G.
Bibliografía.
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MILLAN, C.
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DIBUJO DE INGENIERÍA.
EDICIONES VEGA.- Caracas - 1.979, 1ª edición.
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ESTUDIO DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA. TOMO I.
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COMO DIBUJAR EN PERSPECTIVA.
GONZÁLEZ G., Fausto A.
PERSPECTIVA Y SOMBRAS.
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA.
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GEOMETRÍA.
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111