ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL Año: 2020 Periodo: Materia: Estadística Tarea: Variables Aleatorias Continuas Fecha: 21 noviembre 2020 Duración: II PAO 120 minutos 1. Una variable aleatoria X tiene distribución uniforme sobre [-3, 1]. Calcule: a) Pr(X=0). b) Pr (X < 0). c) Pr (lXl < 1). d) Pr (lXl > 0.5). e) Halle a t tal valor que Pr (X > t)= 1/3. 2. Realice el ejercicio anterior considerando que X ~ U [-3, 2]. 3. Una llamada telefónica llegó a un conmutador en un tiempo, al azar, dentro de un período de un minuto. El conmutador estuvo ocupado durante 15 segundos en ese minuto. Calcule la probabilidad de que la llamada haya llegado mientras el conmutador no estuvo ocupado. 4. Escriba las funciones de densidad y distribución y los valores de la esperanza y la varianza para las variables aleatorias que siguen una ley exponencial: a) ε (6). b) ε (3). c) ε (0.5) d) ε (0.5). 5. Se prueban dos elementos que trabajan independientemente. El tiempo de trabajo del primer elemento tiene distribución ε (0.02) y el segundo elemento ε (0.05). Halle la probabilidad de que en t=6 horas: a) ambos elementos fallen. b) ambos elementos no fallen. c) solo un elemento falle. d) falle por lo menos un elemento. 6. La duración (en minutos) de las llamadas telefónicas de larga distancia desde Quito es una variable aleatoria con densidad 𝑓(𝑡) = 0, 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 0 𝑡 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑒 −3 , 𝑠𝑖 𝑡 > 0 Determine el valor de c y calcule la probabilidad de que una llamada dure: a) menos de 3 minutos. b) más de 6 minutos. c) entre 3 y 6 minutos. d) Calcule la esperanza de la variable aleatoria e interprete su significado. e) Si el costo del minuto de las llamadas telefónicas es de $20 000, ¿cuánto esperaría un usuario pagar por una llamada? 7. Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de un banco siguen una distribución 1 exponencial 𝜆 = 3.2 𝑚𝑖𝑛. Un cliente llega a la ventanilla a las 10:00 horas. a) Encuentre la probabilidad de que todavía esté allí a las 10:02. b) Calcule la probabilidad de que esté en la ventanilla a las 10:04, dado que estaba a las 10:02. 8. Una variable Z está distribuida normalmente, Z~N (1,16). Calcule: a) Pr (Z<0). b) Pr (Z>= 3). c) Pr (IZI < 3). d) Pr (IZI>2). 9. Los errores de la medición de peso de una balanza obedecen a una ley normal con desviación Estándar 𝜎 =20 mg y esperanza 𝜇 = 0 mg. Halle la probabilidad de que de tres mediciones independientes, el error de por Io menos una de ellas no sea mayor, en valor absoluto, que 4 mg. 10. Se sabe que el gasto en cigarrillos es, para los fumadores, de 5000 sucres diarios por término medio, y que la desviación estándar es de 800 sucres. Suponiendo que el gasto sigue una distribución normal, ¿qué proporción de los fumadores gastan entre $5000 y $6200 diarios?. 11. Tenemos láminas de vidrio con un espesor de 2.51 mm y una desviación estándar de 0.02. Admitido que la distribución de cada una de las medidas sea de tipo normal, ¿cuál es el espesor del 10% de las láminas más finas?. 12. La empresa IDEMSA realizó un estudio sobre el número de horas que la población ve un determinado canal de televisión. En los resultados entregados indica que un 20% de la población ve más de cuatro horas diarias ese canal. Los directivos del canal tienen dudas sobre la fiabilidad del estudio, por lo que contratan una empresa auditora, la cual determinó que el número de horas que la población ve el canal sigue una distribución normal N (2, 1). ¿Se puede decir que el estudio presentado por IDEMSA es fiable?. 13. Los pesos de las fundas de papas fritas producidas por una fábrica siguen una distribución normal con media 12.8 onzas y desviación estándar 0.6 onzas. a) ¿Qué proporción de las fundas pesan más de 12 onzas? b) ¿Qué proporción de las fundas pesan entre 13 y 14 onzas? c) Determine el peso tal que el 12.5% de las fundas pese más que ese peso. d) Si el fabricante desea mantener la media en 12.8 onzas, pero ajusta la desviación estándar tal que solo el 1% de las fundas pese menos de 12 onzas, ¿cuál debe ser el valor de la desviación estándar? 14. Los conductores que se fabrican por utilizarse en microcomputadoras deben tener resistencias que varían entre 0.12 y 0.14 ohm. Las medidas de las resistencias que produce la Compañía A tienen una distribución normal de media 0.13 ohm y desviación estándar 0.005 ohm. A) Cual es la probabilidad de que un conductor seleccionado al azar de la producción de la Compañía A cumpla con las especificaciones. B) i se usan cuatro de esos conductores en un microcomputador, cual es la probabilidad de que los cuatro cumplan con las especificaciones. 15. El promedio de las calificaciones de los estudiantes universitarios se distribuye normalmente con media 5.4 y desviación estándar igual a 0.5 puntos. a) Que porcentaje de los estudiantes tiene un promedio de calificaciones superior a 6. b) si los estudiantes que tienen un promedio inferior o igual a 4.9 abandonan la universidad, ¿que porcentaje de alumnos desertara? c) se seleccionan al azar tres estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que los tres tengan un promedio de calificaciones superior a 6?
