www.RecursosDidacticos.org ANÁLISIS COMBINATORIO FACTORIAL De la observación anterior: Factorial de un número es el producto de los números enteros positivos y n! = 1 x 2 x 3 x …………… x (n - 1) x n consecutivos comprendidos desde el número 1 hasta el número (n - 1)! indicado inclusive. n! = 1 x 2 x 3 x ……. x n ; n Z+ n! = (n - 1)! x n Factoriales más usados: 1! = 1 EJERCICIO 2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 Efectuar: 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 5! = ………………………………………… = 6! = ………………………………………..… = Simplifica: 7! = …………………………………………..… = Además : Por definición 0! = 1 (3! 2! )! 1! Hallar: ! 5 18! x 35! 36! x 17 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO I. EJERCICIO 24! 30! 23! 28! PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN Si un evento A ocurre de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento B ocurre de “n” maneras, entonces el evento A seguido de B ocurre de “m x n” maneras. Ejemplo: Observar: 12! = 1 x 2 x 3 x ………… x 12 13! = 1 x 2 x 3 x ………… x 12 x 13 12! 13! = 12! x 13 Leonel puede viajar de “A” a “B” de 3 formas y de “B” a “C” de 2 formas. ¿De cuántas maneras distintas puede ir de “A” a “C” pasando por “B” y sin retroceder? Resolución.- www.RecursosDidacticos.org II. PRINCIPIO DE LA ADICIÓN Luego hay 6 formas de cubrir estos puestos. Los problemas de este tipo se resuelven aplicando la siguiente fórmula: Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de “m+n” maneras. V n k n! (n k)! Ejemplo: Así en el ejemplo tenemos: Vanesa puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras puede realizar el viaje? V 3 3! 3! 3 x 2 x 1 6 2 1! Resolución.- PERMUTACIONES Las permutaciones sin repetición son un caso particular de variaciones que se pueden dar en un conjunto de “n” elementos tomados de “n” en “n”. VARIACIONES Pn = n! Se denomina variaciones sin repetición de “n” elementos tomados de “k” en “k” al número de conjuntos distintos, formados por k elementos; de modo que dos conjuntos difieran ya sea en algún elemento o, si tienen los mismos, en el orden de su colocación. Ejemplo: ¿De cuántas maneras pueden colocarse en fila 3 personas para tomarse una foto? Resolución.- Ejemplo: En un aula hay 3 candidatos : a, b y c para ser elegido Presidente y Secretario. ¿De cuántas maneras pueden ocupar estos puestos? Resolución.Presidente Secretario Formas Posibles b ab c ac a ba c bc a ca b cb a b c PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN Si en una permutación de “n” elementos, hay un elemento repetido veces, otro veces, .......... y otro veces; el número de permutaciones con repetición que se obtiene es: PR ,,....... n n! ! x ! x ......! www.RecursosDidacticos.org Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse las letras de la palabra “CHINCHIN”? 1. Resolución.- Un repuesto de automóvil se vende en 5 tiendas de Breña y en 8 tiendas de Surco. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? 2. a) 10 b) 11 d) 13 e) 40 c) 12 Felipe desea viajar de Lima a Cuzco y tiene A su disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar? PERMUTACIONES CIRCULARES 3. a) 6 líneas b) 4 d) 10 e) N.A. De una ciudad “A” c) 24 a otra ciudad “B” hay 2 caminos diferentes y de la ciudad “B” a “C”, 3 caminos Si en una reunión 4 amigas se sientan alrededor de una mesa redonda. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse? diferentes ¿Por cuántos caminos distintos se podría viajar de “A” a “C” pasando por “B” y sin retroceder? 4. a) 5 b) 6 d) 12 e) N.A. c) 8 Esther tiene 4 blusas y 3 faldas. ¿De cuántas maneras se puede vestir, si la blusa azul se la debe poner siempre con la falda celeste? Para este tipo de problemas siempre debemos tomar uno de los lugares como fijo, por eso sólo podemos realizar las permutaciones en un sentido. En consecuencia el número de permutaciones es: 5. PCn = (n – 1)! b) 8 d) 11 e) N.A. c) 7 Milagros tiene 5 pantalones, 4 blusas y 3 pares de zapatos. (P(4-1) = 3! = 6 En general el número de circulares de n elementos es: a) 12 ¿De cuántas maneras se podrá vestir? permutaciones 6. a) 56 b) 48 d) 60 e) 13 c) 52 De una urna hay 5 fichas numeradas del 1 al 5 y en otra urna 4 fichas numeradas del 6 al 9, se saca una ficha de la primera y otra de la segunda urna con estos se forma un numeral. ¿Cuántos son los valores posibles de este numeral? a) 9 b) 18 c) 20 www.RecursosDidacticos.org d) 40 e) 36 d) 240 Enunciado (para los problemas 7 y 8) e) N.A. 13. ¿Cuántas placas diferentes podrán hacerse, si Con todas las letras de la palabra Beatriz, los 2 primeros símbolos vocales y los tres cuántas palabras diferentes se pueden formar últimos números? sin importar que las palabras tengan o no sentido, si: 7. a) 524 b) 10080 d) 620 e) 525 c) 1440 La T y R deben estar juntas siempre. Enunciado: (para los problemas 14 y 15) a) 120 b) 720 d) 28 e) N.A. c) 5040 Manuela y sus 8 amigos quieren entrar a su automóvil que tiene una capacidad para 5 personas. 8. Todas las palabras deben empezar con B y siempre deben llevar consigo la sílaba TRIZ. 14. Si todos saben conducir. ¿De cuántas maneras diferentes podrían ubicarse? 9. a) 6 b) 24 d) 120 e) N.A. c) 12 a) 2760 b) 2750 d) 2690 e) 6720 c) 56870 ¿De cuántas maneras distintas 6 personas pueden ubicarse alrededor de una fogata? 15. ¿De cuántas maneras diferentes, si Manuela siempre es el conductor? a) 120 b) 24 d) 720 e) N.A. c) 240 a) 240 b) 336 d) 5! e) N.A. c) 56 10. Del problema anterior. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse alrededor de la fogata, si dos personas deben estar juntos siempre? a) 24 b) 120 d) 480 e) N.A. c) 360 1. zapatos, de diferentes colores. Enunciado: (para los problemas 11, 12 y 13) estos calzados? nuevas placas de rodaje, cuyo diseño consta de 5 símbolos; las vocales y los dígitos del 1 al 9, además de no tener 2 símbolos iguales en una misma placa. ¿Cuántas placas diferentes podrán hacerse si 2. b) 1200 d) 12150 e) 15120 c) 1080 12. ¿Cuántas placas diferentes, si los 2 primeros símbolos son vocales y los últimos números pares? a) 80 b) 1200 c) 120 a) 12 b) 24 d) 7 e) N.A. c) 5 ¿Cuántos resultados se pueden obtener al lanzar un dado ó 2 monedas? todos los símbolos fueran números? a) 1024 ¿De cuántas maneras diferentes puede Meche vestirse con El departamento de tránsito desea elaborar 11. Meche tiene 5 pares de zapatillas y 7 pares de 3. a) 12 b) 6 d) 48 e) N.A. c) 24 Alicia desea ir a una fiesta para la cual dispone de 3 blusas, 2 faldas y 4 chompas (todas las prendas de diferente color). ¿De cuántas maneras vestir distintas se puede considerando los 3 tipos de prendas? Alicia www.RecursosDidacticos.org a) 9 b) 12 d) 36 e) N.A. c) 24 10. Se quiere construir un collar con 10 perlas. Enunciado: (para los problemas 4 y 5) Para ir de Lima a Trujillo hay 4 rutas diferentes, y para ir de Trujillo a Tumbes hay 5 rutas diferentes. 4. ¿De cuántas maneras se puede ir de Lima a Tumbes pasando por Trujillo y sin retroceder? 5. a) 9 b) 10 d) 40 e) N.A. c) 20 Del enunciado anterior. ¿De cuántas maneras se puede ir y venir, si la ruta de regreso tiene que ser distinto al de ida y sin retroceder? 6. a) 400 b) 40 d) 390 e) N.A. ¿Cuántos resultados diferentes pueden obtener al lanzar 2 monedas y 2 dados simultáneamente? (Los dados son de diferente color) 7. 3 azules 2 blancas 2 rojas 1 verde 1 amarilla 1 marrón Si estás 3 últimas deben estar juntas. ¿Cuántos collares se pueden confeccionar? a) 120 b) 360 d) 210 e) N.A. c) 720 11. Cuatro parejas de novios, ¿De cuántas maneras pueden ubicarse alrededor de una fogata, de modo que cada pareja no se separe? c) 39 se a) 72 b) 120 d) 90 e) 92 c) 96 12. El número de variaciones de “x” objetos formados de seis en seis es 720 veces el número de combinaciones de esos mismos objetos tomados de cuatro en cuatro. Hallar “x” a) 36 b) 40 d) 144 e) N.A. c) 72 a) 10 b) 12 d) 15 e) 17 c) 13 En la figura cada línea representa un camino. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C y sin Enunciado (para los problemas 13 y 14) retroceder? El capitán de un yate solicita tres marineros, pero se presentan siete: A 8. B a) 10 b) 48 d) 12 e) N.A. C c) 24 ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 1; 2; 5; 6; 7; 8 y 9, si cada dígito puede emplearse una sola vez? 9. a) 108 b) 126 d) 168 e) N.A. 13. ¿De cuántas maneras elegirá, si cada uno va a desempeñar un cargo diferente? a) 35 b) 210 d) 5040 e) 140 c) 21 14. Del enunciado anterior. ¿De cuántas maneras, si Sandro debe pertenecer a la tripulación y además cada uno de los tripulantes debe c) 90 Con todas las letras de la palabra “ALIBABA” ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar, desempeñar un cargo diferente? a) 30 b) 60 d) 15 e) 120 15. Con 7 colores distintos. c) 90 ¿Cuántas banderas diferentes de 2 costuras verticales se podrán sin importar lo que diga? formar? ( los colores no se pueden repetir) a) 560 b) 420 d) 360 e) N.A. c) 240 a) 21 b) 210 d) 35 e) 10 c) 240
