Mallas-Aprendizajes-MEN-grado-10-11-LM-V2-watermark

2016
CARTILLA ONCE:
APRENDIZAJES EN
MATEMÁTICAS
MATEMÁT
ICAS para grados
10 Y 11
MINISTERIO
MINI
STERIO DE EDUCACIÓN
EDUCACIÓN NACIONAL DE COLOMBIA
Vers
Ve
rsión
ión conjunta V2 2016-03-22
Equipo de integraci
integraci ón de contenidos
contenidos :
Mauricio Duque
Margari ta Gómez
Gómez
Carolina Laverde
Yvonne Chipatecua
Equipo de producción en matemáticas
matemáticas :
Equipo de producci ón en Lenguaje
Lenguaje
Margari ta de Meza
Meza
Nivia Yela
Lili ana Garrido
José Ricar do Arteaga
Arteaga
Mery Medina
Ángela Márquez de Arboleda
Violetta Vega
Martha Liliana Jiménez
Inés Cristina Torres
Equipo
Eq
uipo del Ministerio participante en
en la ve
versi
rsi ón final
Mónica Lucía Suárez
Ánge
Án
gela
la Cubillos
Mauricio Niño
Ana Medina
Medina
Félix Antonio Gómez
James Valderrama
Jenny Blanco
Poliana Otálora
Jorge Castaño
Jairo Aníbal Rey
Este trabaj o se desarr
desarroll
oll ó inicialment
inicialmentee en el marco del
del convenio 834 de 2015 entre
entre el Ministe
Minis terio
rio de Educación Naciona l de
Colombia, la Universidad Nacional de Colombia, la Universidad de los Andes y la Universidad Externado de Colombia.
2015.
En esta versi
versi ón se consolidan las observ
observaciones
aciones y a port
portes
es realizados por l os di fe
ferent
rentes
es equipos
equipos de
dell MEN.
MEN.
Mall as de aprendizaj es en mate
matemáticas
máticas para grados décimo y once
1
Equipo de integraci
integraci ón de contenidos
contenidos :
Mauricio Duque
Margari ta Gómez
Gómez
Carolina Laverde
Yvonne Chipatecua
Equipo de producción en matemáticas
matemáticas :
Equipo de producci ón en Lenguaje
Lenguaje
Margari ta de Meza
Meza
Nivia Yela
Lili ana Garrido
José Ricar do Arteaga
Arteaga
Mery Medina
Ángela Márquez de Arboleda
Violetta Vega
Martha Liliana Jiménez
Inés Cristina Torres
Equipo
Eq
uipo del Ministerio participante en
en la ve
versi
rsi ón final
Mónica Lucía Suárez
Ánge
Án
gela
la Cubillos
Mauricio Niño
Ana Medina
Medina
Félix Antonio Gómez
James Valderrama
Jenny Blanco
Poliana Otálora
Jorge Castaño
Jairo Aníbal Rey
Este trabaj o se desarr
desarroll
oll ó inicialment
inicialmentee en el marco del
del convenio 834 de 2015 entre
entre el Ministe
Minis terio
rio de Educación Naciona l de
Colombia, la Universidad Nacional de Colombia, la Universidad de los Andes y la Universidad Externado de Colombia.
2015.
En esta versi
versi ón se consolidan las observ
observaciones
aciones y a port
portes
es realizados por l os di fe
ferent
rentes
es equipos
equipos de
dell MEN.
MEN.
Mall as de aprendizaj es en mate
matemáticas
máticas para grados décimo y once
1
INTRODUCCIÓN
Propósito del documento
En estas ca rtil las presentan un desarrollo
desarr ollo por grados
grados y unidades de los estándares naci onale
onaless de cal idad en Colombia pa ra
lenguaje y matemáticas en un marco de Diseño Curricular Inverso , en el cual se busca centrar todo el desarrollo en la
especificación de los aprendizajes en varias categorías, la evaluación del logro de estos aprendizajes y una posible
trayectoria para lograrlos. Este trabajo no pretende responder integralmente a un currículo, pues ello implica, por
ejemplo, asociar el material educativo a utilizar entre otros aspectos. Sin embargo representa un paso indispensable al
presentar los a prendizajes de diferente
diferente tipo
tipo que deben
deben logra
lograrr los estudiantes, faci li tando la producc ión o selección de
de
materi
mate
rial
al educativo, la pla neación detal
detal lada de
de activi dades de aul a y el
el fomento
fomento de prá ctica
cticass efect
efectiva
ivass de eval
eval uaci ón en la s
dos modalidades, tanto formativa como sumativa.
Claves para leer el documento
1
Desde l a pers
Desde
perspectiva
pectiva de
de Dis
Dis eño Curric
Curricular
ular Inverso se utili zó la metodología
metodología propuesta por Wi ggins (2011) . Esta selección
2
se sustenta en que dicha aproximación, reconoce las ventajas centrado en comprensiones y desempeños Stone (1998)
detal
det
al la de forma
forma explíci ta los conoci mient
mientos
os (SABER)
(SABER) y habil ida
idades
des (SABE
(SABER
R HACER
HACER)) que los estudia nte
ntess r equiere
equieren
n para ser
compete
compe
tente
ntes.
s. Para cada
c ada área
á rea se presentan
presentan los si guiente
guientess elementos:
elementos:

Unaa vis ión general
Un
general para el grado.

Los desempeños planteados en los estándares nacionales, las metas de transferencia y las grandes
comprensi
compre
nsi ones que se deben
deben lograr
l ograr en el respectivo año.

Se presenta igualmente una gráfica que ilustra la progresión entre años de las principales temáticas abordadas
con el de fin de dar una idea sobre la progresión entre grados.

Para cada unidad se detallan posteriormente las comprensiones esperadas con las preguntas esenciales, los
conocimientos y las habilidades así como los desempeños con algunos ejemplos para facilitar el diseño o
selección de actividades y la ev
evaluaci
aluaci ón

Se continua con orientaciones
orientaciones didácticas

Finalmente se anexan los derechos Básicos de Aprendizaje del respectivo grado, los cuales se encuentran
integrados en el componente
componente de los desem
desempeños
peños de la uni dad respectiva .
1
to creating high -quality units: ASCD.
Wiggins , G.,
G., & McTighe,
McTighe, J. (2 011). Understanding b y design. Guide to
Stone, M., Boix, V., Buchovecky, E., Dempsey, R., Gardner, H., Hammerness, K., . . . Gray, D. (1998). Teaching for
understanding: link ing research with practice: J
Joss
oss ey-bass
ey-bass publis hers.
2
Mall as de aprendizaj es en mate
matemáticas
máticas para grados décimo y once
2
La siguiente tabla resume la estructura de los componentes de la presentación para el año, así como la definición de los
términos utilizados:
EST NDARES NACIONALES DE LA DISCIPLINA
Se transcri ben los desempeños indi cados en los estándares que se as ocia n al grado. Es importante recordar que los
estándares naci onales s e presentan por ci clos , los cuales comprenden varios grados.
METAS DE TRANSFERENC IA
Los estudiantes serán capaces de utilizar de forma autónoma su conocimiento para…
Se indica lo que el estudiante debe ser capaz de hacer de forma autónoma con lo que ha aprendido. Son los grandes
aprendizaj es perdurabl es que usa rá en su vida, dentro y fuera de la escuela . Impli ca poder trans ferir lo que se aprende
a un contexto escolar a otros contextos y por ello su evaluación en el ambiente escolar es limitada. Estas metas de
transferencias ori entan y ayudan a dar sentido al grado.
COMPRENSIONES
Presenta, en el nivel de formulación esperado, las comprensiones que debe lograr el estudiante al final de cada año
escola r. Usualmente se refieren a grandes i deas y conexiones que el estudia nte debe construir por s i mis mo, e invitan
al estudiante a reflexionar, hacer conexiones y general izaciones. No se debe caer en la tentación de enseñar estos
enunciados de forma memorística s ino con l a intención de ayudar a l os estudia ntes a construi r comprensi ones
profundas mediante la utili zación de las preguntas esenciales
Para ca da unidad s e presenta una tabl a como la que se indica a continuación como encabezado del período:
COMPRENSIONES
PREGUNTAS ESENCIALES
En este componente se describirán las comprensiones
que se trabajan en la unidad respectiva
En este componente se plantea un conjunto de preguntas
esenciales que pueden guiar al estudiante en su
indagación y en lograr l as comprensiones que se buscan.
CONOCIMIENTOS
HABILIDADES
En este componente se hace referencia al SABER de la
competencia, a los conocimientos que el estudiante debe
recordar como datos, conceptos, definiciones, valores y
todo aquello que se debe recordar y que no queda
incluido en una habilidad de forma explícita. Si bien este
componente involucra la memoria, no implica que el
estudiante deba aprenderlo en un ejercicio de
memorización descontextualizado, sino en el marco del
uso continuo de estos conocimientos en contextos
genuinos.
En este componente se hace referencia al SABER HACER,
a habilidades y a procedimientos que los estudiantes
deben poder utili zar de forma eficaz y flexible.
Nuevamente no se trata de promover ejercicios
mecáni cos si n contexto cla ro, si no actividades genuinas y
si gnificativas que lleven al estudiante a ejercitar y lograr
estas habilidades y procedimientos una y otra vez, no
sólo para que no las olvide, si no para que las despli egue
de forma eficaz, automática y sin gran esfuerzo cognitivo
para poderse dedicar a procesos de pensamiento más
Con este componente se busca resolver una inquietud complejos.
recurrente de los docentes en relación a lo que el
estudiante debe SABER y no se encuentra explícito en los A diferencia de la categoría conocimiento que implica
estándares nacionales, lo cual lleva a menudo a recordar, en esta categoría implica HACER y se evalúa en
programas sobrecargados o pobres en conocimientos el marco de una tarea que permite observar la ha bil ida d.
esenciales.
Esta tabla es s eguida de l as evidencias de aprendizaje, ejemplos de tareas y a lgunas ori entaciones didácticas .
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
3
PROGRESIONES SECUNDARIA
Pensamientos Grados
6
Negativos
7
Enteros y racionales
8
Racionales
9
Racionales
10
Reales
Reconoce que no todo numero esracional y
Números:
significado y
usos
Numérico
Fraccio nesy decimales:los comparay sitúa
en la recta. Negativos: significado,
representación y comparación. Definició n π.
Compara,ordena y representaen larecta
Utilizar diferentesnumeros según el
enteros y racionales.
contexto.
Conoce el significado yusa e. Representa
numeros muy grandeso muypequeños
usandonotación cientifica.
que la raiz de 2no es racional. Reconoce la
relacion entre los numeros y los púntos de la
recta. Es conciente de la necesidad de
nuevos números a partir de la solucion de
diferentes tiposde ecuaciones.
Aproxim aal multip lode 10 mas cercano,
Operaciones
redondea. Cálculos mentales. Suma, resta,
Realiza operacionescon negativos. Halla
factores y multiploscomune s. Primos.Halla
multiplicay divide cualquier par de naturales el Maximo Comun Divisor y el Minimo
y decimales positivos. Divide fracciones.
Comprende y usa exponentes racionales,
Calcula y usaoperaciones entre racionales.
raices y logaritmos. Relaciona logaritmos con operaciones entre reales y algunasde sus
exponentes.
Comun Multiplo.
Reconoce las relaciones entre las diferentes
propiedades.
11
Irracionales Complejos
Representa en la recta nú merosracionalese
irracionales. Comprende algunas diferencias
entre ellos. Comprende la relación entre los
diferentes sistemas numéricos: N, Z,Q, Ry C.
Comprende el signif icado yla notación de los
complejos. Comprende la notación y
representación de vectores en elplano.
Realiza operaciones entre complejosy entre
vectores en el plano.
Paralelismo y perpendicularidad. Clasifica
cuadrilateros. Compara yclasifica cajas.
Forma
Define yusa congruencia yse mejanza de
Visualiza, construye objetos ap artir de vistas Nombra y traza ángulos. Calcula areas de
triángulos. Generaliza a figuras semejantes.
y moldes. Representa en 2D objetos 3D.
figuras planas, descomponiendo en figuras
Define congruenciay semejanza en términos cilindros, conos y esferas. Visualiza sólidos a
Halla areas de triángulos, paralelogramos.
conocidas. Construye triángulos y polígonos. de trasformaciones geométricas. Analiza
Halla la longitud de la circunferencia y el área
Analiza características de piramides,
partir de moldes, vistaso tajadas.
Usa coordenadas cartesianas para analizar
relaciones geométricas.
Repasa las nociones básicas de lageometría.
Introduce la geometría del espacio .Estudia
lascónicas ylugares geométricos.
característicasde prismasy cilindros.
de un círculo usando π.
Geométrico
Posición
COORDENADAS CARTESIANAS
Plano cartesiano. Situa puntos yhalla
coordenadas de un punto.
Teoremas de ángulos en el corte de dos
Teoremas.
Medidas
usando coordenadas. Homotesias,
teselaciones.
Usa la geometría cartesianapara analizar
gráficasde funcionesy famila sde funcio nes.
Teoremas de congruencia y semejanza.
rectas y ángulos entre paralelas cortadas por Construcciones conre gla y compás.Teorema Demuestra teoremas geométricosusando
del ángulo subtendidopo t un diámetro.
secante. Comprende y usa rasformaciones
de Pitágoras yteorema de Tales de
geométricas y simetría.
semejanza.
volumen, capacidad, o temperatura, usando
notació n decimal.
Usa coordenadas polaresy lasrelaciona con
las cartesianas. Justifica relaciones
geometría analítica.
Introduce coordenadas en tres dimensiones.
algebráicasusando argumentosgeométricos.
Traza figuras con regla y compas. Conoce los
Justifica intuitivemente el teorema de Tales
Estima y redondea. Convierte unidadesde
Métrico
Trabajac on trasformaciones geométricas
Elementos de Euclides. Sustenta relaciones
geométricas con argumentos algebraicos y
viseversa.
Pasa de una unidad aotra usando razones.
Calcula áreas usando aproximaciones
Comprende lasd efiniciones fundamentales y
sigue la demostración de teoremasde
geometría euclidiana. Usa argumentos de la
geometríaanalítica parajustificar relaciones
geométricas o algebraicas.
Calcula áreas de figuras planas. Agranda y
Determina area exterior y volumen de
Reconoce relacionesentre unidades
sucesivas. Mide angulos en radianes. Mide
Comprende cómo medir atributos usando
reduce dibujos. Escalas.
prismas y cilindros.
determinada por la razón entre dos
longitud de arco y áreasde sectores
razones e índices.
cantidades como velocidad o densidad.
circulares.
Escribe, traduce expresiones. Determina el
valor dando valores avariables. Determina
Expresiones
Algebraicas
expresiones equivalentes. Reconoce variable
dependientes e independientes. Resuelve y
plantea ecuaciones sencillas. Represente
relaciones entre cantidades. Usa fórmulas
Simplifica expresiones algebraicas. Escribe,
Interpreta yusa expresiones algebráicas.
lee, comprendey usa diferentessimbolos≤,
Realiza operacionescon expresiones
≥.
algebraicas. Factoriza. Reconoce algunas
Recta. Planteay resuelve ecuaciones
lineales.
identid adesy las usa.
Usa propiedadesy operacionesde
Determina relaciones entre variables en una expresiones algebraicas. Comprende las
función. Trabaja con intervalosy valor
diferencias entre variablesy parámetrosen
absoluto de manera algebraicay geometrica. familiasde funciones. funciones
Usa expresiones algebraicas para escribir,
leer e interpretar relaciones entre variables.
trigonometricas. ps
sencillas.
Representa y usa funciones racionales,
Conceptode función. Rectasen general,
Variacional
Funciones: definición intuitiva.
Patronesy
Identifica patrones. Halla el término n de una Identifica el patrón y eltérmino n_ésimo en
Representación de la variación entre 2
Funciones
sucesión.
variables. Halla recta por dospuntos,
una sucesión.
pendiente, cortes, familia de rectas.
paralelas y perpendiculares. Funciones afines
y lineales. Familiade rectas, ecuaciones
lineales, sistemas de ecuaciones lineales y
desigualdades. Funciones cuadraticas,
parábolas yecuaciones cuadráticas. Función
exponencial. Razones trigonométricas.
asintotas, funciones a trozos, funció n valor
Comprende qué es un polinomio y realiza
absoluto. Realiza operaciones entre
operaciones entre polinomios. Analiza y
funciones. Define la derivada como
representa con expresiones algebráicas,
pendiente de la tangente y comomedida del
gráficas en el plano cartesiano,en forma
cambio. Calcula la derivadade funciones
verbal o tablas, funciones polinomiales,
polinomiales. Comocontenido opcional:
logaritmicasy funciones trigonometricas.
funciones trigonometricas inversas,
derivadas, uso de derivadas para calcular con
maximos y minimos.
Razones y
Proporciones
Usa distintos términos paraindicar razones
Identifica y representa relacions inversa y
equivalentes. Representa razones y
directamente proporcionales, las representa Analiza velocidad, el cambio en distancia o
proporciones entablas, gráficas o diagramas. en ecuaciones, tablas, gráficas y diagramas.
tiempo. Represen ta de diferentes maneras y Relaciona la constante de proporcionalidad y
Compararazones. Hallalatasa unitaria.
Halla constante de proporcionalidad.
relaciona porcentajes, fracciones, razones.
Relaciona razones y porcentajes.
Relaciona razones, porcentajes y fracciones.
Construye yusa diagramascirculares. Hace
Datos
Aleatorio
Relaciona proporciones y funciones lineales.
inferenciasa partir de tablasy gráficas.
Formula preguntasacercade lasrelaciones
entre los datos.
Probabilidad Usa argumentosfrec uentistas para calcular
probabilidades y tomar decisiones.
Escoge la representacióngrafic am ás
pertinente. Reconoce la importanciade
escoger lam uestra.
Estima la probabilidad de un experimento.
Interpreta ycostruye tablas de frecuencias,
histogramas. Usame didas estadístiacas para
describir e interpretar datos. Usa e
interpreta diagramas de dispersión.
la pendiente.
Reconoce variables aleatorias, cualitativas y
cuatitativas. Compara conjuntosde datos
usando medidas de tendencia central.
Determinaprobabili dadescon argumentos
Determina probabilidadescon argumentos
frecuentistas. Reconoce eventosseguros e
frecuentistas. Identifica eventos
improbables.
independientes y eventos excluyentes.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
Compara ymide atributos usando razones e
índices.
Reconoce la importancia de la muestra. Usa
medidas de tendencia central para sacar
conclusiones. Formulapreguntas y diseña
experimentos para responderlas.
Usa la probabilidad condicional. Ilustra
situaciones en diagramas de Venn.
Comparay mide atributos usandorazones e
índices.
Representa e interpreta datosusando
variables cualitativas y cuantitativas.
Reconoce la importancia de lamuestra.
Usa la probabilidad condicional y las reglas
de probabilidad. Trabaja con eventos
independientes y eventos compuestos.
4
GRADO DÉCIMO
Visión general del grado
Para comprender la importancia de las ideas matemáticas que se aprenden en la educación media hagamos un poco de
historia. En la segunda mitad del siglo XV dos grandes acontecimientos convulsionaron el mundo: se descubrió América y
se popularizó la imprenta y con ello se democratizó el conocimiento. Entre los principales protagonistas de los cambios
soci ales, políticos, reli giosos, científicos y tecnológicos que acaeci eron en l os si glos siguientes, están las ideas matemáticas
cuyo desarroll o propici ó otras formas de ver y comprender el universo y que son precisamente las i deas bási cas de las
matemáticas de la educación media.
Cardano, Desca rtes y Fermat, entre otros, desa rrol laron las ideas del álgebra e introdujeron l os conceptos de la Geometría
Analítica o Cartesia na, dos de los puntos central es de las matemáticas de décimo, que termina n de formalizarse en grado
once. Estas ideas permitieron el estudio de curvas diferentes a circunferencias o segmentos y sustituyeron el estudio de
los números y sus operaciones por la manipulación de letras, con lo que se construyó un lenguaje abstracto que permitió
describir y analizar fenómenos y le dio un impulso a la física. El estudio de ángulos y relaciones entre catetos, que había
GRADO DÉCIMO
Visión general del grado
Para comprender la importancia de las ideas matemáticas que se aprenden en la educación media hagamos un poco de
historia. En la segunda mitad del siglo XV dos grandes acontecimientos convulsionaron el mundo: se descubrió América y
se popularizó la imprenta y con ello se democratizó el conocimiento. Entre los principales protagonistas de los cambios
soci ales, políticos, reli giosos, científicos y tecnológicos que acaeci eron en l os si glos siguientes, están las ideas matemáticas
cuyo desarroll o propici ó otras formas de ver y comprender el universo y que son precisamente las i deas bási cas de las
matemáticas de la educación media.
Cardano, Desca rtes y Fermat, entre otros, desa rrol laron las ideas del álgebra e introdujeron l os conceptos de la Geometría
Analítica o Cartesia na, dos de los puntos central es de las matemáticas de décimo, que termina n de formalizarse en grado
once. Estas ideas permitieron el estudio de curvas diferentes a circunferencias o segmentos y sustituyeron el estudio de
los números y sus operaciones por la manipulación de letras, con lo que se construyó un lenguaje abstracto que permitió
describir y analizar fenómenos y le dio un impulso a la física. El estudio de ángulos y relaciones entre catetos, que había
acompañado a geógrafos y astrónomos, recibió un nuevo impulso ya que los viajes entre Europa y América requerían
determinar la posición y el tiempo con gran precisión, estimulando el estudio de la trigonometría, otra de las áreas de las
matemáticas de décimo. Uno de los temas centrales de las matemáticas y una herramienta poderosa para modelar
si tuaciones de la s matemáticas , las ciencias o la técnica son las funciones. La comprensi ón del lenguaje de la s funciones es
fundamental ya que modelar una situación consiste en encontrar una función que se acomode a las condiciones del
contexto. Para poder elegir cuál concepto matemático se ajusta mejor a una situación particular es necesario tener
presentes las características algebraicas y gráficas de diferentes tipos de funciones como: poli nomial es, exponencial es,
logarítmicas, trigonométricas, etc. Por eso es necesario analizar y profundizar en la comprensión de los conceptos y no
quedarse en la ejecución de algoritmos mecánicos.
Otra de las ideas matemáticas que surgen en el siglo XVII y tienen hoy una gran importancia tanto dentro de las
matemáticas como en sus a pli caciones es la probabilidad. A partir de un probl ema que l e planteó un amigo a Fermat sobre
el juego, él y Pascal iniciaron el estudio de la incertidumbre y el azar, que hoy forman parte también de las matemáticas
de décimo.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
5
Aprendizajes para el grado
ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS GRADOS 10 Y 11
PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS





Anali zo representaciones decimales de l os números r eales para diferenciar entre racional es e irra cionales.
Reconozco la i ncompletitud de los números raci onales a través de métodos numéricos, geométricos y al gebraicos.
Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus
relaciones y operaciones para construi r, manejar y utilizar apropiadamente los di stintos si stemas numéricos.
Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales.
Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en
una situación dada.
PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS



Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representaciones cartesianas y
polares y en particular de las curvas y figuras cónicas.
Uso argumentos geométricos para resolver y formular probl emas en contextos matemáticos y en otras ciencia s.
Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.
PENSAMIENTO METRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS


Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valor es medios se suelen definir i ndirectamente
como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad
media.
Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en
situaciones de medición.
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS




Util izo la s técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos
Interpreto la noci on de derivada como razón de cambio y como va lor de la pendiente de la tangente a una curva y
desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no
matemáticos
Anali zo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y la s gráficas de funciones polinomicas y
racional es de sus derivadas.
Modelo si tuaciones de variaci ón periódica con funciones trigonométricos e interpreto y utili zo sus derivadas .
PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS









Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de
comunicación.
Justifico o refuto inferencias ba sadas en razonamientos es tadísticos a partir de resultados de estudios publi cados
en los medios o diseñados en el ámbito escolar.
Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o
pregunta.
Descri bo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas .
Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable
aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos).
Uso comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles,
cuartiles, centrali dad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad).
Interpreto conceptos de probabil idad condici onal e independencia de eventos.
Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones,
permutaciones, espa cio muestral , muestreo al eatorio, muestreo con remplazo).
Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas .
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
6
METAS DE TRANSFERENCIAS
Los estudiantes serán capaces de utilizar autónomamente sus aprendizajes para …








Identificar diferencias y si militudes entre números raci onales y números i rraci onales.
Representar sobre la recta numérica de manera exacta y en algunos casos de manera aproximada números
racional es y números i rraci onales.
Usar l a función logarítmica en base e y en cualquier otra bas e, para modelar si tuaciones
Calcular la razón de cambio promedio y el cambio instantáneo entre ciertas variables y usarlo para medir el
cambio en un contexto particular.
Identificar funciones básicas, tanto su expresión algebraica como su representación geométrica: lineal,
cuadrática, polinomial es, logaritmicas y trigonométrica s.
Reconocer el resultado de realizar cambios en parámetros en familias de funciones.
Hacer predicci ones utili zando la probabili dad.
Proponer inferencias a partir de observaciones y estudios estadísticos.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
7
Aprendizajes en pensamiento numérico y sistemas numéricos
COMPRENSIONES
Los estudia ntes comprenderán que…



Los naturales, los enteros, los racional es y los reales
constituyen sistemas de conjuntos de números con
operaciones, propiedades y características propias
que los diferencias y los interconectan.
Los números ra cionales y sus propiedades nos si rven
para representar qué tan grande o qué tan pequeño
puede ser un objeto o un evento.
Los números racionales nos permiten acercarnos a lo
infi nitamente grande y a lo infi nitamente pequeño.
PREGUNTAS ESENCIALES
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…




¿Cómo se diferencian los números racionales de los
irracionales?
¿Cómo se establece la correspondencia entre los
reales y los puntos de una recta?
¿Cómo se demuestra que a no todos los puntos de
una recta les corresponden números racionales?
¿Hay muchos o hay pocos puntos en una recta a los
que no les corresponden números racionales?
CONOCIMIENTOS
Los estudiantes sabrán …. (C)


HABILIDADES
Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)
Sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales,
reales y complejos
Correspondencia entre los números reales y los
puntos de una recta.






Reconocer y demostrar que no todos los números
son racionales.
Escribir números r eales usando dis tintos si stemas de
representación y pasar de uno a otro.
Representar los números reales en una recta. Situar
de manera exacta números racionales y algunos
irracionales como
.
Indicar propiedades comunes y diferencias entre
números raci onales e irra cionales
Usar las propiedades de los números para plantear y
resolver problemas
Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos
y matemáticos .

Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1. Sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.
Utiliza diferentes representaciones para analizar y justificar propiedades y relaciones entre los
sistemas numéricos. Reconoce que no todos los números son racionales.
1.1. Reconoce que no todos los números son
racionales. Conoce y comprende una demostración
de que
no se puede escribir como cociente de dos
números enteros, es decir,
no es un número
racional.



Ejemplo 1: Reproduce la demostración y sitúa
en
la recta numérica. Ejemplo 2: Hace una demostración
similar para mostrar que
tampoco es racional.
Ejemplo 3: Averigua en internet acerca de quiénes,
cómo y cuándo mostraron ese teorema.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

8
1.2.
Usa diferentes notaciones para escribir y Ejemplo 1: Muestra que 1 y 0.9999… representan el
comparar números. Escribe un número racional mismo número real. Ejemplo 2: Ordena de mayor a
usando la notación fraccionaria y la notación decimal menor los siguientes números: 1/3, 0.235,
,
y pasa de una a otra.
,
, 3/7 y 2/5,
y los sitúa en la recta real.
Justifica su respuesta.
…
Distingue números racionales de los Ejemplo 1: 235=235,00..; 1/37=0,027027027
1.3.
Ejemplo 2:
irracionales por su expansión decimal: la
Reconoce y da ejemplos de algunos números
expansión decimal de un número racional es
. Indica algunos
periódica mientras la de los irracionales es irracionales:
números de su expansión decimal y los sitúa
infinita no periódica
aproximadamente en la recta numérica
Ejemplo: Averigua en internet acerca de la manera
Conoce detalles de la historia de algunos
1.4.
como los babilonios, los egipcios y los griegos se
números irracionales.
acercaron a
.
⁄

    
 


̅̅

  
1.5.
Comprende la correspondencia entre los
números reales y los puntos de una recta, base de la
geometría analítica. Dado un número, encuentra cuál
punto de la recta le corresponde y dado un punto en
la recta, determina qué número le corresponde
(aproximadamente).
Ejemplo: Dados los números a, b, c, d, e, f, g, h
situados en la recta real, indica cuál punto está más
cerca de: ab, |c|, 1/f,
y justifica la respuesta.
1.6.
Justifica la necesidad de introducir nuevos
sistemas numéricos a partir del problema de resolver
ecuaciones.
Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones e indica
qué tipo de número es su solución:
,


    



 
Analiza y justifica relaciones y propiedades de l os números y sus operaciones .
1.7.
Expresa un número cualquiera como parte de Ejemplo: ¿Qué parte de 72 es 6? ¿Qué porcentaje de
otro más grande. Interpreta el resultado en términos 72 es 6? Hace un gráfico de torta para visualizar la
porcentuales y de manera gráfica
situación
1.8. Analiza y justifica propiedades de los números
Ejemplo 1: Muestra que el cuadrado de un número
par es par. Ejemplo 2: Muestra que la suma de dos
números impares es par. Ejemplo 3: Justifica por qué
la suma de los n primeros números: 1+2+3 +4+ …+ n


es igual a
1.9.
Analiza algunas propiedades de la suma y Ejemplo 1: Muestra que la suma o el producto de dos
producto de números reales.
números racionales es un número racional. Ejemplo
2: Muestra que la suma de dos números irracionales
no necesariamente es un irracional. Explora las
propiedades de sumar o multiplicar un irracional y un
racional
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
9
Aprendizajes en pensamiento espacial y sistemas geométricos
COMPRENSIONES
Los estudia ntes comprenderán que…



Las coordenadas cartesianas permiten analizar
situaciones
geométricas
con
herramientas
algebraicas y viceversa.
Las coordenadas cartesianas ofrecen una nueva
estrategia para probar teoremas y analizar
propiedades de objetos en el pl ano.
La verdad de las afirmaciones de la geometría se
sustenta en la validez de las deducciones.
PREGUNTAS ESENCIALES
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…



¿Cómo s e puede decidi r si un argumento es correcto
o no?
¿Cómo se puede mostrar que una afirmación es
verdadera y cómo se puede mostrar que una
afirmación es falsa?
¿Cuándo es conveniente usar coordenadas
cartesi anas y cuándo coordenadas polares?
COMPRENSIONES
Los estudiantes sabrán …. (C)


Coordenadas ca rtesi anas y pola res
Defini ciones y teoremas básicos de la geometría.
PREGUNTAS ESENCIALES
Los estudiantes tendrán habil idad par a…. (H)






Localizar puntos y figuras geométricas en el plano
usando sistemas de coordenadas cartesianas y
polares.
Analizar cómo cambia una figura en el plano cuando
cambia algún parámetro de la ecuación que la
representa.
Usar argumentos algebraicos para resolver
problemas geométricos y usar argumentos
geométricos para resolver problemas algebraicos.
Usar propiedades geométricas para plantear y
resolver problemas
Juzgar la validez de un argumento geométrico o
algebraico.
Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos
y matemáticos .
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
10
Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1. Sistemas de coordenadas cartesianas y polares
Usa diferentes sistemas de coordenadas para representar objetos geométricos en el plano y para identificar
propiedades y relaciones geométricas.
Coordenadas cartesianas
1.1
Usa
coordenadas
cartesianas
para Ejemplo 1: Dibuja la recta que pasa por los puntos
representar y analizar objetos geométricos
(1,2) y (3,4) y la paralela a ésta que pasa por el punto
(-1,3). Traza una gráfica. Ejemplo 2: Halla la distancia
entre los puntos A(a,b) y B(-a,b). Encuentra las
coordenadas del punto medio y muestra que
efectivamente es el punto medio del segmento AB.
Traza una gráfica. Ejemplo 3: Encuentra el perímetro
y el área del polígono con vértices en (0,0),(1,1),(2,1)
y (1,0). Traza una gráfica, identifica qué tipo de
polígono es y justifica su respuesta.
1.2
A partir de una relación algebraica, identifica Ejemplo 1: Usando la definición de rectángulo, y
las características geométricas que corresponden
argumentos algebraicos, prueba o refuta si el
polígono con vértices en
es
un rectángulo. Traza una gráfica. Ejemplo 2: Justifica
si el punto (1,3) está sobre la circunferencia de centro
(2,3) y radio 2. Ejemplo 3: Hace una gráfica del
conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la
condición:
y justifica con
argumentos algebraicos por qué esa gráfica es
simétrica con respecto al eje X y al eje Y
1.3
A partir de una relación geométrica, identifica Ejemplo 1: Dadas dos rectas paralelas, indica qué
la relación algebraica correspondiente
relación hay entre las ecuaciones respectivas.
Muestra un ejemplo que ilustre la situación. Traza
una gráfica.
   
  –   
Coordenadas polares
1.4. Comprende que para definir las coordenadas
polares en el plano debe escoger un punto O ( el polo
u origen), trazar un semieje que inicia en O (eje polar)
y escoger una unidad en el eje polar. A cada punto P
en el plano le hace corresponder un número r, la
distancia dirigida de P a O y la medida del ángulo θ, el
ángulo que se forma entre el eje polar y el segmento
OP, en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Usa las coordenadas polares para representar puntos
en el plano
Ejemplo: Halla las coordenadas polares del polo O.
Ejemplo 2: Traza un sistema de coordenadas polares y
un punto cualquiera en el plano y encuentra las
coordenadas polares del punto.
1.5 Halla las coordenadas cartesianas y polares de
un punto en el plano. Identifica la relación entre
ambas. Comprende las relaciones:
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
Ejemplo 1: Halla las coordenadas polares
correspondientes a los puntos cuyas
coordenadas cartesianas son: (1,0), (3,3), (-1,
11


{ 
{

    
5). Ejemplo 2: Halla las coordenadas
cartesianas de los puntos cuyas coordenadas
polares son: (0,
) (2, - 3
y
1.6
Halla las ecuaciones de lugares geométricos
conocidos en coordenadas polares.
  
Ejemplo: Halla la ecuación de una recta que pasa por
el origen en coordenadas polares. Ejemplo 2: Traza
una gráfica e indica qué representa el conjunto de
todos los puntos R de coordenadas R (r,π⁄4 ). Justi fica
su respuesta. Ejemplo 3: Traza una gráfica e indica
qué representa el conjunto de todos los puntos Q de
coordenadas Q (1,θ ). Justifica su respuesta.
1.7
Analiza ventajas y desventajas de usar el
sistema de coordenadas cartesianas o polares.
Ejemplo: Analiza la diferencia entre la ecuación de
una recta en coordenadas cartesianas y polares y la
ecuación de una circunferencia de centro en el origen
y radio 1 en coordenadas cartesianas y polares.
Usa coordenadas cartesianas para probar teoremas geométricos
1.8
Usa coordenadas cartesianas para probar Ejemplo: Usando coordenadas cartesianas muestra
teoremas geométricos
que el segmento que une los puntos medios de dos
lados en un triángulo cualquiera es paralelo al
tercero.
1.9
Utiliza el plano cartesiano para representar Ejemplo: El costo de una llamada telefónica depende
situaciones y resolver problemas.
linealmente del tiempo de comunicación y la
distancia. En la siguiente gráfica se han presentado
las llamadas efectuadas por cinco personas a
diferentes países. Contesta las siguientes preguntas y
justifica sus respuestas: ¿Quién ha llamado más lejos
y quién más cerca? ¿Qué llamadas se han demorado
el mismo tiempo? ¿Qué llamadas se han realizado a
una misma distancia? ¿Dónde ubicaría una llamada
efectuada al mismo lugar que la llamada A pero de
duración doble que ésta?
2. Nociones y teoremas básicos de la geometría.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
12
Usa apropiadamente el vocabulario, conoce y comprende las afirmaciones geométricas básicas y las usa
para resolver problemas.
2.1
Comprende las nociones geométricas básicas
de punto, recta, paralelismo, perpendicularidad,
ángulo, distancia, medida de un segmento, área y
volumen, triángulos, paralelogramos, círculos y
paralelepípedos, entre otras
Ejemplo 1: Determina la longitud L de la cerca,
incluida la división, del jardín representado en la
figura, si un lado mide x y el área total del jardín es
de 100 .

Ejemplo 2: Describe en palabras la diferencia entre un
cuadrilátero, un paralelogramo, un cuadrado y un
rombo y da un ejemplo de cada uno en palabras y
gráficamente. Ejemplo 3: Calcula el volumen de un
juguete en forma de cohete, formado por un cilindro
cuyo radio de la base mide 5cm y la altura es 20cm, y
tiene en la base una semiesfera y en la otra punta un
cono de altura 5cm. Si va a construir el cilindro y el
cono en cartulina para armar el juguete, ¿cuáles son
las dimensiones de la cartulina que debe comprar?
Diseña y construye el juguete y analiza su solución
con sus compañeros.
2.2
Traza diferentes figuras geométricas usando Ejemplo 1: Usando regla y compás construye la
regla y compás y usando aplicaciones geométricas perpendicular en el punto medio de un segmento
como Geogebra.
dado. Ejemplo 2: Dado un segmento, traza un
cuadrado que tiene ese segmento como lado, usando
la definición de cuadrado. Traza otro cuadrado que
tiene el segmento inicial como diagonal. Ejemplo 3: A
partir de una hoja de papel, diseña cómo y construye
un ángulo recto y un cuadrado usando origami.
2.3
Realiza con precisión diferentes mediciones Ejemplo 1: Justifica la fórmula del área de un
geométricas y justifica por qué. Mide segmentos, triángulo con argumentos geométricos. Ejemplo 2:
distancias, ángulos, áreas, volúmenes.
Calcula aproximadamente el área de un terreno
irregular, partiéndolo en áreas conocidas. Diseña una
estrategia para disminuir el error.
2.4
Calcula áreas y volúmenes de sólidos como: Ejemplo: Se tiene una caja en forma de cubo de lado
paralelepípedos, conos, cilindros y esferas
0,5 metros, ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro
más grande que cabe en la caja? Si se guarda ese
cilindro en la caja, ¿qué espacio de la caja queda
vacío? ¿Cuál es el área externa del cilindro
2.5
Analiza propiedades geométricas de objetos Ejemplo: Propone dos formas diferentes de trazar
geométricos y formula conjeturas
una cometa (un cuadrilátero que tiene dos pares de
lados adyacentes iguales) y formula conjeturas acerca
de propiedades geométricas de las cometas.
2.6
Utiliza nociones geométricas básicas para
Ejemplo 1: Usa el teorema de Tales para
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
13
resolver problemas en otras áreas de las matemáticas encontrar el punto sobre la recta real asociado al
número racional 5/7. Utiliza el teorema de Pitágoras
para encontrar el punto sobre l a recta real asociado a
los números irracionales √3 y √5.
2.7
Utiliza nociones geométricas básicas para Ejemplo 1: Una vaca está amarrada con una cuerda
resolver problemas en cualquier contexto.
de 5m a la mitad de la pared de un establo construido
en un potrero. La pared del establo mide 8m. Traza
una gráfica y calcula área y la forma del terreno por el
que puede pastar la vaca.
2.8
Utiliza nociones geométricas básicas para Ejemplo 1: Usando propiedades del triángulo muestra
modelar situaciones
por qué se usan triángulos en la construcción de
estructuras. Busca en internet imágenes de
estructuras que utilicen triángulos, como la
estructura de un puente. Ejemplo 2: ¿Por qué se usan
trípodes para sostener cámaras de fotografía? ¿Sería
mejor usar un aparato de cuatro patas? Justifique su
respuesta
2.9
Utiliza de manera apropiada y pertinente Ejemplo: Usando Geogebra modela la siguiente
aplicaciones de geometría dinámica para resolver situación: Se tiene una mesa de billar rectangular y
problemas y modelar situaciones.
dos bolas, una blanca y una roja situadas en cualquier
par de puntos distintos de la mesa. Describe la
trayectoria que debe seguir la bola blanca para que
golpee en una banda y le pegue luego a la bola roja
Conoce, comprende y usa teoremas básicos de la geometría.
2.10 Sigue una cadena de razonamientos que Ejemplo 1: Busca en Internet diferentes pruebas del
llevan a la prueba de un teorema básico y es capaz de teorema de Pitágoras, las analiza, reproduce alguna y
juzgar su validez y reproducirla
justifica su elección. Ejemplo 2: Juzga la validez de
una prueba del teorema de Pitágoras hecha por un
compañero. Identifica errores si los hay y propone
como repararlos
2.11 Propone una justificación intuitiva y una Ejemplo: Propone una justificación y una prueba para
prueba para un teorema sencillo. Identifica en qué se el teorema: la suma de los ángulos internos de un
diferencian
triángulo es igual a dos rect
2.12 Comprende la diferencia entre una afirmación Ejemplo: Explica en palabras sencillas la diferencia
del tipo: p implica q y una afirmación del tipo: q entre la afirmación: “Si un cuadrilátero es un
implica p. Sabe cómo demostrar que una afirmación cuadrado entonces es un paralelogramo” y la
del tipo p implica q es verdadera y cómo demostrar afirmación: “Si un cuadrilátero es un paralelogramo
que es falsa
entonces es un cuadrado”. Demuestra que la primera
es verdadera y que la segunda es falsa.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
14
Aprendizajes en pensamiento métrico y sistemas de medidas
COMPRENSIONES
Los estudia ntes comprenderán que…



La razón de cambio promedio y la razón de cambio
ins tantánea son maneras de medir cómo cambia una
variabl e cuando cambia otra.
Es posible medir longitudes de curvas o áreas de
superficies haciendo aproximaciones sucesivas de
pedazos de segmentos o de rectángulos.
El descubrimiento de como la relación constante
entre la longitud de la circunferencia y su diámetro
es una de las principales afirmaciones de las
matemáticas y hace posible medir ángulos,
circunferencias, círculos o sectores circ ulares.
PREGUNTAS ESENCIALES
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…





¿Qué es ?
¿Cómo se puede medir el área por debajo de una
parábola o la longitud de una elips e?
¿En qué se diferencian la velocidad promedio y la
velocidad que marca el velocímetro? ¿A cuál
velocidad se refieren los letreros de: velocidad
máxima 50K/H?
CONOCIMIENTOS
Los estudiantes sabrán …. (C)



Medición mediante aproximaciones sucesivas.
Medida de ángulos en radianes. Longitud de un arco
y área de un sector circul ar.
Razón de cambio promedio y razón de cambio
instantáneo
HABILIDADES
Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)





Hallar la medida de un ángulo cualquiera en
radianes. Pasar de grados a radi anes y viceversa .
Apli car l a medida de ángulos en radianes a la medida
de sectores circulares, a la comprensión y cálculo de
funciones trigonométricas y a la solución de
problemas.
Calcula r la ra zón de cambio promedio de una función
en un intervalo y la razón de cambio instantáneo en
un punto.
Utilizar razones de cambio promedio e instantáneo
como velocidad, aceleración o densidad.
Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos
y matemáticos .
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
15
Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1. Medición mediante aproximaciones sucesivas
1.1.
Ejemplo 1: Estima el valor del área de un círculo de
Realiza mediciones mediante aproximaciones
radio 1 hallando el área de polígonos regulares
sucesivas
inscritos en ese círculo. Comienza con un cuadrado y
n
sigue con polígonos de 8, 16, 32, …, 2 lados. ¿Qué
relación hay entre el área de una circunferencia de
radio 1 y el área de un polígono regular inscrito? Trata
de hallar una fórmula de recurrencia para el área del
polígono. ¿Cuál es el error? ¿Qué sucede a medida
que aumenta el número de lados del polígono? ¿Por
qué? Busca en internet cómo hicieron algunas
civilizaciones para calcular aproximadamente el área
de un círculo.

1.2
Traza la parábola
aproxima el área
entre la parábola y el intervalo [-2, 2] del eje X por la
suma de áreas de rectángulos de base igual, por
debajo de la parábola. Construye nuevos rectángulos
cuya base es la mitad de la de los anteriores y calcula
de nuevo la suma de las áreas. Repite el
procedimiento un par de veces más y calcula por
aproximaciones sucesivas de suma de áreas de
rectángulos. Conjetura intuitivamente a qué tiende la
suma de las áreas de los rectángulos, cuando el área
de las bases se hace cada vez más pequeña. Averigua
en internet cómo calculó Arquímedes el área por
debajo de una parábola.
2. Medida de ángulos en radianes.
2.1
Comprende la defi nición de π, la usa para
calcular la longitud de la circunferencia
Ejemplo 1: Usando una cuerda, un lápiz y una
tachuela halla un valor aproximado de π. Traza una
circunferencia de radio 1, calcula el área y justifica
por qué.
2.2
Mide ángulos en radianes, trazando el ángulo, Ejemplo1: Explica cuánto mide en radianes un ángulo
luego una circunferencia, con centro en el vértice del recto y cuánto un ángulo llano y por qué. Ejemplo 2:
ángulo y midiendo el arco subtendido usando como Usando una cuerda, un lápiz y una tachuela traza un
unidad de longitud el radio de la circunferencia
ángulo de 2 radianes, otro de 5 y otro de 8 radianes.
2.3
Dada la medida de un ángulo, convierte Ejemplo 1: Traza, con la ayuda de un transportador,
radianes en grados y viceversa
un ángulo de 40° y calcula aproximadamente cuántos
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
16
radianes mide, sin usar ningún instrumento diferente
de su cabeza. Usando una cuerda, un lápiz y una
tachuela determina cuántos radianes mide. Justifica
por qué. Verifica su resultado con una calculadora.
Ejemplo 2: Calcula (sin calculadora) cuántos grados
mide un ángulo de π/3 radianes y justifica su
respuesta. Ejemplo 3: Calcula (sin calculadora)
cuántos radianes mide un ángulo de 30° y uno de 60°
y justifica su respuesta.
Longitud de un arco y área de un sector circular.
2.4 Mide la longitud de un arco de circunferencia y Ejemplo1: Calcula la longitud de un arco de
calcula el área de un sector circular
circunferencia de radio 1 y ángulo radianes. Justifica
la respuesta a partir de la definición de radian.
Ejemplo 2: Dado el radio y el ángulo (medido en
grados o radianes) de un sector circular, calcula el
área y la longitud del arco correspondiente


3.
Razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo
3.1 Calcula la razón de cambio promedio entre dos
variables en un intervalo
Ejemplo: La gráfica muestra la distancia recorrida por
un objeto con respecto al tiempo. La razón de cambio
promedio entre los minutos 2 y 8 es el cambio en la
distancia recorrida sobre el cambio en el tiempo:
razón de cambio promedio = 2.5m / 6seg =
0,416m/seg
3.2 Reconoce y aproxima la razón de cambio
instantánea de una función en un punto
como el límite de la razón de cambio promedio de la
función entre un punto y el punto , cuándo el
punto se acerca al punto moviéndose sobre la
cueva. La razón de cambio instantánea es la
pendiente de la tangente a la curva en el punto , o
en

  
 
  


Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
17
3.3 Explica la diferencia entre razón de cambio Ejemplo 1: Analiza el movimiento de dos carros en el
promedio y razón de cambio instantánea.
mismo intervalo de tiempo y con velocidad promedio
igual en ese intervalo, pero movimientos diferentes.
Hace la descripción y la gráfica de los dos
movimientos. Ejemplo 2: Describe qué significa la
velocidad que marca un carro en movimiento y
justifica por qué . Ejemplo 3: Expl ica qué signifi ca en
letrero en la carretera que dice: velocidad máxima
50km/h. Hace una gráfica que muestra el
desplazamiento de un automóvil durante una hora,
con una velocidad promedio inferior a 50km/h pero
que no cumplió con la norma de: velocidad máxima
50km/h. Ejemplo 4: La gráfica muestra el movimiento
de dos camiones que salen de A y se encuentran en B.
Describe la velocidad promedio de cada uno durante
el recorrido y la velocidad en por lo menos tres
momentos durante recorrido, describe con palabras
el movimiento de cada camión.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
18
Aprendizajes en pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos
COMPRENSIONES
Los estudia ntes comprenderán que…






El concepto de función es una de las columnas
vertebrales de las matemáticas, las ciencias
naturales y la tecnología hoy.
Las diferentes representaciones: algebraica,
geométrica, verbal o numérica de una función
ofrecen puntos de vista complementarios que
enriquecen y facilitan la comprensión.
La razón de cambio promedio e instantáneo de una
función permiten cuantificar cómo cambia una
variable cuando cambia otra, en diferentes
contextos.
Cambios en parámetros producen cambios en
familias de funciones.
Existe una diferencia fundamental entre las razones
trigonométricas, definidas entre las longitudes de
los lados de un triángulo rectángulo y las funciones
trigonométricas, definidas de los números reales en
los reales.
PREGUNTAS ESENCIALES
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…




¿Si hay que modelar una situación, cuál función
se debe elegir?
¿Cómo cambia la gráfica de una función si se
hacen cambios a la función? ¿Si se le suma algo,
o se multiplica por algo?
¿Cómo cambia la representación algebraica de la
función si subo o corro la gráfica?
¿Qué diferencia hay entre las razones
trigonométricas y las funciones trigonométricas?
Muchos fenómenos como los movimientos de las
placas terrestres o enfermedades transmitidas por
virus o bacterias, como la influenza, parecen tener un
carácter periódico.
CONOCIMIENTOS
Los estudiantes sabrán …. (C)




Funciones. Representación verbal, algebraica,
gráfica y numérica.
Polinomios y funciones polinomiales. Ecuaciones y
desigualdades polinomiales.
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
HABILIDADES
Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)







Realizar operaciones y factorizar polinomios.
Reconocer y encontrar la raíz de un polinomio
utilizando diferentes procedimientos.
Trazar las gráficas y reconocer las propiedades y
características de las funciones polinomiales.
Resolver
ecuaciones
y
desigualdades
polinomiales.
Trazar la gráfica y analizar las propiedades y
características de las funciones logarítmicas y
utilizarlas para modelar situaciones de
crecimiento de poblaciones, decaimiento
radioactivo e interés compuesto entre otras.
Trazar la gráfica y analiza las propiedades y
características de las funciones trigonométricas y
utilizarlas para modelar situaciones de variación
periódica
Analizar las relaciones entre las expresiones
algebraicas y las gráficas de diferentes funciones.
Analizar cambios en las gráficas por cambios en
los parámetros en familias de funciones.
Justificar sus afirmaciones y procedimientos
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
19
usando argumentos matemáticos.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
20
Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1. Funciones.
Representación verbal, algebraica, gráfica y numérica y relaciones entre ellas.
Comprende el concepto de función y representa gráficamente funciones Analiza propiedades y relaciones
entre las diferentes representaciones de una función.
1.1
Identifica cuándo una relación es una Ejemplo: A partir de las gráficas de varias relaciones en el
función. Traza la gráfica
plano cartesiano, identifica cuáles corresponden a funciones y
cuáles no, y justifica su elección.
1.2
Reconoce e interpreta algunas
características y propiedades de las funciones
como el dominio, el rango, el significado de
los interceptos, los intervalos donde es
negativa o positiva, creciente o decreciente.
1.3
Representa una función de cuatro
maneras: verbal, describiendo la manera
como cambia una variable cuando cambia la
otra. Numéricamente, construyendo una
tabla. Visualmente, por medio de una gráfica.
Algebraicamente, por medio de una fórmula
que relaciona las dos variables.
Ejemplo 1: Determina si los siguientes enunciados son
correctos o no, y justifica su respuesta. La función
f(x)=
: corta al eje X en
el rango es el
intervalo [2, , el máximo de la gráfica está en el punto
el dominio es el intervalo
. Justifica su respuesta
Ejemplo: Se quiere construir una caja cuyo fondo sea un
cuadrado y la altura mida la mitad del lado de la base. ¿Cómo
cambia el volumen de la caja con respecto a la longitud del
lado? (descripción verbal) La relación entre el volumen V y el
lado x de la caja viene dada por:
Área de base =
y altura=
Volumen=Base x altura V =
,V=
(algebraica)
Gráfica
 


  

    
Numérica
Como tanto la longitud del lado, x
como el volumen, V sólo pueden
tomar valores positivos, entonces la
gráfica está en el primer cuadrante.
Tanto el dominio como el rango son
todos los reales positivos
LADO
cm
VOLUMEN
cm3
1
0,5
2
4
5
62,5
10
500
20
4000
1.4
A partir del contexto que trata de Ejemplo: Busca los datos en internet y construye una función
modelar, determina las características de la que relacione la temperatura media en grados centígrados en
función que mejor se ajusta a la situación
su ciudad, con los días de un mes. Traza una gráfica y una
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
21
tabla. ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál el codominio? ¿El rango?
1.5
Reconoce los cambios y modifica la Ejemplo: Dada la gráfica de la función g, traza la gráfica de
gráfica de una función a partir de cambios en
,
realizando
diferentes
su expresión algebraica como: y= af(x), y= transformaciones de la función g: A partir de la curva en verde,
f(bx), y=f(x)+c, y=f(x+d) Identifica cómo ¿Cómo se modifica la curva al multiplicar a g(x) por -0.05?
modifica cada parámetro a la curva original. ¿Cómo se modifica la curva al multiplicar a por 2? ¿Cómo se
modifica la curva al sumarle 2 a 2x? ¿Cómo se modifica la
curva al sumar 1 a



 

 
1.6
Interpreta las características de una
función que se usa para modelar una
situación en términos del contexto particular.
Determina qué tan pertinente es el modelo,
según la situación particular
Ejemplo 1: La función
se usa para
modelar la trayectoria de un objeto que ha sido lanzado hacia
arriba. La variable
representa la altura en metros,
representa el tiempo en segundos y
y las condiciones
iniciales. Analiza la ecuación y justifica intuitivamente la
validez de la elección. Escoge unos valores para h 0 y v0 y traza
una gráfica. Indica cuándo crece y cuándo decrece la función e
interpreta ese comportamiento en términos del contexto.
Determina la altura máxima y el tiempo que tarda el objeto
desde cuándo sale hasta cuando vuelve al suelo.
1.7 Analiza las propiedades de las funciones Ejemplo 1: Analiza diferencias entre el crecimiento de una
para ajustarlas al contexto que desea función lineal y una polinomial de grado 2 o 3 y busca
modelar
situaciones que se puedan modelar con cada una de ellas.
Ejemplo 2: Analiza las curvas que forman los chorros de agua
en la foto y busca una función que se acerque a ellas.
2.
Polinomios y funciones polinomiales
2.1 Reconoce las expresiones del tipo:
  como “monomios”. Calcula la

los siguientes monomios:



            
Ejemplo1: Evalúa en

suma, la diferencia, el producto y el cociente
Ejemplo 2: Calcula la suma, la diferencia, el producto y el
de dos monomios.
cociente de
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
22
    –
   

        
     
   






  
2.2
Reconoce que las expresiones del tipo: Ejemplo: Determina el grado y calcula el valor del polinomio:
p(x) =
en
se denominan polinomios, que
los números an, an-1 ,… a2 , a1 , a0 son los
coeficientes de las potencias de x y que un
polinomio toma un valor particular cuando se
le da un valor a la variable x. Determina el
grado del polinomio como el mayor
exponente que aparece en la expresión con
coeficiente diferente de cero. Calcula el valor
de un polinomio para un valor de x particular.
2.3 Reconoce que una raíz de un polinomio Ejemplo1: Indica que el p(x) = 2x 3+7x 2 -17x -10 es un polinomio
es un número a tal que cuando x=a, p(x)=0.
de grado 3, el coeficiente de x 2 en ese polinomio es 7, el valor
del polinomio en x = 3 es
y verifica que
son
raíces
de
Ejemplo
2:
Indica
que
el
polinomio
es un polinomio de grado cero.
3
2.4 Calcula la suma, la diferencia, el producto Ejemplo: Si p(x) = 6x - 13x 2 +29x -12 y q(x) = 2x+1, calcula
y el cociente de dos polinomios
p(x) + q(x) =6x 3- 13x 2 +31x -11 , p(x) - q(x) = 6x3- 13x 2 +27x 13 ,
p(x) * q(x) = 12x4 - 32x 3+ 71x 2 - 53x +12 y p(x) q(x) = 3x2 -5x
+12
  
     

  
     

2.5 Factoriza polinomios. Justifica por qué.
Ejemplo 1: Factoriza el polinomio:
x 3- 8x 2 +27x - 36 = (x 2 - 5x +12) (x-3) Ejemplo 2: Factoriza el
polinomio
p(x) = 2x 3+7x2 -17x -10 = (x-2)( 2x2 +11x +5).
2.6 Reconoce que un número a es raíz de un Ejemplo 1: Como x 3- 8x2 +27x - 36 = (x 2 - 5x +12) (x-3)
polinomio p(x) si y solamente si (x-a) divide a entonces 3 es raíz de p(x) = x 3 - 8x 2 +27x -36 es decir, p(3) = 0.
p(x). Factoriza polinomios. Justifica por qué ¿Por qué? Ejemplo 2: Como 2 es raíz del polinomio.
p(x) = 2x 3+7x2 -17x -10, es decir, como
, entonces (x2) es factor de p(x), es decir,
, en este
2
caso
Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones e indica qué tipo
2.7
Resuelve
ecuaciones
de número es su solución: x+5=0, 5x-4=0, x^2-1/4=0, x^2polinomiales sencillas e indica
2=0, x^2+1=0
qué tipo de número es su
solución y por qué. Justifica la
necesidad de introducir nuevos
sistemas numéricos a partir del
problema
de
resolver
ecuaciones polinomiales.




     
Funciones polinomiales
2.8 Dado un polinomio p(x), construye la Ejemplo: Las funciones: p(x) = 3x2 - 5x +2, q(x) = 2, r(x) = x 7 son
función f(x) = p(x), como la función que a funciones polinomiales.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
23
cada número real le asigna el valor del
polinomio evaluado en ese número.
2.9 Traza gráficas de funciones polinomiales Ejemplo 1: traza la gráfica de las funciones: p(x) = 3x 2 - 5x +2,
de grado 0, 1 y 2, y con ayuda de una q(x) = 2, r(x) = x 7 en un mismo plano. Analiza sus semejanzas
calculadora o un computador traza las y diferencias.
gráficas de funciones poli nomiales de mayor
grado.
2.10 Compara las gráficas de funciones
polinomiales de diferente grado, e identifica
semejanzas y regularidades. Usa esas
regularidades para resolver problemas o
modelar situaciones.
Ejemplo1: Compara las gráficas de y=(x+1), y=(x+1)(x+2),
y=(x+1)(x+2)(x+3), y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) etc e identifica
regularidades.
Ejemplo 2: Con el apoyo de una calculadora o un computador
traza las gráficas de y= x, y=
y identifica semejanzas y diferencias
entre las gráficas de y=
para exponentes pares e impares.
2.11 Resuelve ecuaciones polinomiales Ejemplo: De la gráfica de la función polinomial:
sencillas en forma algebráica o gráfica.
,
concluye
que
las
Identifica las rices de la ecuación: p(x) = 0 con
soluciones a la ecuación:
los cortes de la gráfica de p(x) con el eje X.
       
    
          
   
son:
,
y
  
2.12 Usa la gráfica de una función poli nomial Ejemplo 1: Considera las raíces de la función
para identificar cuándo una función posee o
donde es un número real. Hace la gráfica de
para
no raíces reales y cuándo raíces complejas.
y muestra que existen raíces reales. Sin embargo,
Identifica las rices de la ecuación: p(x) = 0 con para
no existen raíces reales. ¿Qué propiedades debe
los cortes de la gráfica de p(x) con el eje X.
satisfacer la gráfica de
para que tenga raíces reales?
Utiliza Geogebra para hacer la exploración con diferentes
valores de

 
 

Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once


24
3.
Funciones Logarítmicas
 
  
      
3.1 Para valores positivos de a, a
, calcula Ejemplo: Para a =2, calcula
para
para un número x >1. Usa la definición
Justifica su respuesta.
= 5 porque 25 =32.
de logaritmo: y=
si y sólo si
.
3.2 Justifica las propiedades de los Ejemplo: logaa = 1 porque a1 =a.
logaritmos, usando l a definición de logaritmo:
;
= 1; logaax= x
3.3 Define la función logaritmo en base a, Ejemplo: Hace una tabla para comparar 2x con log2 x, para
para un número a>0, a≠1 como una función valores enteros positivos, negativos y fraccionarios de x.
de los reales positivos en los reales, que a Identifica algunas diferencias. Traza la gráfica de puntos
todo número positivo x> 0 le hace correspondiente.
corresponder el número log ax=y, tal que
x= ay. Calcula el valor de la funci ón para
x
log2x
diferentes valores de y de .
-
 
 
   
 
0.25=2
0.5=2 0.707=21=2
0.148=2
1.414=2
2=2
4=2
32=2
1024=2
-2
-1
-0,5
0
0,2
0,5
1
2
5
10
 
3.6 Para un valor particular de a elabora una Ejemplo 1: traza y analiza la gráfica de y=
. Ejemplo 2:
x
tabla de y=
con la ayuda de una Traza la gráfica de f(x) = log 2x y de g(x) = 2 Analiza las gráficas
calculadora
y traza la gráfica.
y describe algunas relaciones entre las dos.
 
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
25
3.7 Analiza la función f(x) = logax para un
valor particular de a: traza la gráfica e indica:
dominio, rango, cortes con los ejes, donde
crece y donde decrece, dónde es positive y
dónde negativa. Justifica intuitivamente las
respuestas.
Ejemplo1: Analiza l a función: f(x) = log2 x Dominio: Dominio:
{x| x>0} o (0, ) Rango: R Corte con el eje X: (1,0), no corta el
eje Y.
Si 0< x <1, log2 x<0 ; si x=1, log2 x=0 si x>1 log 2 x>0 Donde crece:
si x 1 < x 2 entonces log2x 1 < log2 x2 , esta función siempre crece.
Analiza cuáles de estas propiedades valen para cualquier base
y justifica su respuesta

3.8 Analiza el comportamiento y las gráficas Ejemplo: Traza varias gráficas de log_a x , para distintos
de familias de funciones logarítmicas para valores de a >1. Para a=: e; 3; 5.2; 10; traza y compara las
diferentes valores de la base a
gráficas.
3.9
A partir de la gráfica de la función Ejemplo 1: Traza las gráficas de f(x) =
, g(x)=3+
y
logaritmica y=
, traza las gráficas de
h(x)= - 3
Describe cómo pasar de una gráfica a la otra y
g(x) = b+
, ; h(x)= k
, y r(x)= cómo se afecta la gráfica con los cambios en la ecuación.






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



 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Traza las gráficas de f(x ) =
y
r(x)=
Describe las diferencias e indica cómo se
modificó la gráfica con los cambios en la ecuación.

Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
26
3.10 Conoce la notación y trabaja con
logaritmos comunes y logaritmos en base 10.
log10 x =logx . Conoce el valor aproximado de
la constante e. Lo usa para trabajar con
funciones logarítmicas. Traza y analiza la
gráfica de la función “logaritmo natural” o
f(x)=log x =lnx y de la función logx= log10 x.
Ejemplo 1: Averigua en internet acerca de la constante e.
Cuánto vale? e es un número irracional cuyo valor aproximado
es: e 2.718281… Se conoce como la “base natural”. Ejemplo
2: calcula: ln5 y log5.
3.11 Justifica las leyes de los logaritmos a
partir de las leyes de los exponentes:
loga(AB)=log aA + logaB; loga(A/B)= logaA logaB ; loga(AC)= C loga(A)
3.12 Deduce la fórmula para pasar del
logaritmo en una base al logaritmo en otra
base, usando las leyes de los algoritmos y los
exponentes. Fórmula de cambio de base:
logbx = logax/ logab
3.13 Deduce la fórmula de interés compuesto
para calcular la cantidad A que recibe al final
de un período de t años, si se coloca un
capital inicial P, invertido a una tasa de
interés compuesto r, acumulable n veces al
año: A = P(1 + r/n)nt la usa para resolver
problemas.
3.14 Usa las funciones logarítmicas para
modelar distintas situaciones y resolver
problemas.
Ejemplo: Simplifica log[x 2 ((x+1)/(x-1))1/2 ] usando las leyes de
logaritmos.

e
Ejemplo: Pasa de logx a lnx. Las calculadoras permiten
regularmente calcular los logaritmos naturales. La fórmula de
cambio de base permite calcular el logaritmo en cualquier
base a partir de los logaritmos naturales.
Ejemplo: Calcula cuánto tiempo necesita para doblar una
inversión de 8 millones de pesos con un interés compuesto del
5% anual y compuesto cada 3 meses.
Ejemplo 1: Determina el número de decibeles de un sonido
con una intensidad I de 1watt por metro cuadrado, si la
relación entre los decibeles y la intensidad del sonido I está
dada por: = 10(log I/10 -12 ) Ejemplo 2: La escala de Richter se
utiliza para medir la intensidad M de los terremotos.
M=log(I/S), donde I es la intensidad que mide el sismógrafo, a
100km del sismo y S es una intensidad estándar de 10 -4 cm.
Muestra por qué la rel ación entre un grado y otro en la escala
de Richter representa una intensidad 10 veces mayor.
Averigua en internet sobre la intensidad de sismos recientes y
los compara. Ejemplo 3: Averigua en internet cómo se usan los
logaritmos para determinar la edad aproximada de fósiles
antiguos, utilizando el carbono-14.
3.15 Usa las funciones logarítmicas para Ejemplo1: En un experimento, el número de individuos en una
modelar situaciones de crecimiento de población de bacterias se dobla cada hora. Si al inicio había
poblaciones
1000 bacterias, ¿al cabo de cuánto tiempo habrá un millón?
Ejemplo 2: El crecimiento de una población de moscas en un
experimento sigue el modelo: y=a ebt. Si después de 1 día hay
50 moscas y después de 3 días hay 150, cuántas habrá después
de 5 días?


3.16 Usa las funciones logarítmicas para
modelar situaciones de decaimiento
radioactivo.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
27
4. Funciones trigonométricas
Comprende la definición de π. Mide ángulos en grados y en radianes con precisión.
4.1 Comprende qué significa un radián. Mide
ángulos en radianes.
Ejemplo 1: Usando una cuerda y un clavo traza un ángulo de 1
radián y uno de 0.5 radianes. Ejemplo 2: Si se construye un
ángulo de 8 radianes, medido en el sentido contrario a las
manecillas del reloj, con el lado inicial sobre el eje X y el vértice
en el origen, ¿en qué cuadrante cae el segundo lado? Justifica
su respuesta. Ejemplo 3: Traza un ángulo y da su medida
aproximada en radianes, usando una cuerda y un clavo.
4.2 Dada la medida de un ángulo en radianes, Ejemplo: ¿Cuánto mide en radianes un ángulo de 30°? ¿Cuánto
calcula la medida en grados y viceversa.
mide en grados un ángulo de
radianes? Ejemplo 2: Estima
la medida en radianes de un ángulo de 40° y luego verifica la
estimación usando una calculadora.
4.3 Comprende y enuncia la definici ón de π Ejemplo 1: Usando una cuerda y un clavo halla de forma
y usa esta constante para calcular el área del aproximada, un punto en la recta numérica correspondiente a
círculo y la longitud de la circunferencia.
Ejemplo 2: Usando una ruedita y una cuerda, halla de forma
aproximada un punto en la recta numérica correspondiente a
Ejemplo 3: Calcula con una aproximación de cinco cifras
decimales el área de un círculo de radio 1 y el volumen de una
esfera de radio 1. Ejemplo 3: Averigua cómo calcularon
algunas civilizaciones de la antigüedad un valor aproximado de
. ¿Qué referencia hay en la biblia al respecto?




Comprende la definición y traza las gráficas de las funciones trigonométricas.
Comprende la diferencia entre las razones trigonométricas entre los lados de un triángulo rectángulo y las
funciones trigonométricas, definidas para cualquier número real.
4.4
En el plano cartesiano, muestra que
para cualquier número x real y para cada
punto P(x,0) en el eje X, puede encontrar un
ángulo que mida x radianes. Averigua qué
hacer cuando el número es negativo
4.5 Define las funciones f= seno:
y g=coseno
. Define la
función
como una función
que a cada número real
le hace
corresponder un número entre -1 y 1, así:
Traza un sistema de coordenadas cartesianas
de centro O y llama A al punto (1,0). Traza
una circunferencia C de centro O y radio 1.
Traza un punto P sobre la circunferencia C,
llama
a las coordenadas de P y traza el
segmento OP. Mide el ángulo AOP en
radianes. Llama x a la medida en radianes del
ángulo AOP. Define el seno de como la
ordenada del punto P:
. En
forma similar, define coseno de como la
abscisa del punto P:
4.6 Deduce algunas propiedades de las
funciones trigonométricas a partir de las

  


Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo correspondiente al número -2?
¿Cuántos radianes mide un ángulo llano y por qué? ¿Cuál es el
ángulo correspondiente al número 2500? ¿Cuál es el ángulo
correspondiente a √2 ?
Ejemplo1: Indica, sin usar calculadoras ni tablas, cuáles de los
siguientes números son positivos y cuáles negativos y por qué:
sen(2)? sen(314)? cos(-10)? Ejemplo 2: Usando únicamente
la definición, una cuerda y un clavo, calcula en forma
aproximada cuánto valen: sen(1)? sen(314)? sen (-10)?
cos (2500)? Luego verifica con una calculadora y si se ha
equivocado en alguno expl ica en qué consistió el error.


 

Ejemplo 1: Usando la definición, justifica por qué para todo x,
. Ejemplo 2: Usando la definición, muestra
   
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
28


definiciones.
por qué
(x)+cos2(x)
. Ejemplo 3: Averigua qué
significa que una función sea periódica y usando la definición,
muestra por qué las funciones seno y coseno son periódicas.
Identifica cuál es el período.
4.7 Traza y analiza las gráficas de las
funciones f(x)=sen(x) y g(x)=cos(x),
apoyándose exclusivamente en las
definiciones.
Ejemplo1: A partir de la definición de la función seno, analiza
el comportamiento en el intervalo [0,
. ¿Donde es positiva?
¿dónde negativa? ¿dónde crece? ¿dónde decrece? ¿dónde
corta en eje X? Justifica cada una de las afirmaciones
anteriores con base exclusivamente en la def inición.

Ejemplo 2: Usando Geogebra, traza la gráfica de la función:

   
y la compara con la gráfica
de
 
Ejemplo 3: Traza las gráficas de
y explica las diferencias con la gráfica de
y=senx.
  
4.8 Define, analiza las propiedades y traza las Ejemplo: Con apoyo de una calculadora o computador traza las
gráficas de las funciones tangente t(x)=tan(x) gráficas de f(x) = cot(2x) y la compara con g(x)=2cot(x).
y cotangente, r(x)= cot(x).
4.9
Usa funciones trigonométricas para Ejemplo: En un parque de diversiones se tiene una rueda con
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
29
modelar situaciones.
un radio de 8m, que tarda 12 segundos en dar una vuelta
completa. En el momento de subirse el pasajero, cada coche
de la rueda se encuentra a 1.20 metros de la base de la rueda.
Realiza una ilustración a escala de la situación y una tabla de
datos para valores del tiempo de entre 0 y 12 segundos, con
intervalos de 0.5 segundos. Traslada los datos a un sistema de
coordenadas, analiza la forma de la gráfica obtenida y propone
una función que modele la situación. Traza una gráfica usando
Geogebra.
4.10 Resuelve ecuaciones y desigualdades Ejemplo 1 : Halla todas las soluciones de l a ecuación:
que involucran funciones trigonométricas.
sen(x) = ½. Ejemplo 2 : Halla todos los valores de x tales que
0≤ x ≤2π para los cuales
0≤ sen(x ) ≤ ½. Usando Geogebra
traza una gráfica que ilustra su respuesta.
Observación: No es necesario que se aprenda de memoria
fórmulas sobre sumas o diferencias de ángulos ni que pi erda el
tiempo jugando con identidades trigonométricas. Si requiere
alguna fórmula puede buscarla en un texto o en internet. ¡Es
indispensable que comprenda las definiciones!
4.11 Modela fenómenos periódicos Ejemplo1: Averigua cómo y por qué se usan funciones
usando funciones trigonométricas
trigonométricas para modelar ondas sonoras. Averigua el
significado de la amplitud y la frecuencia en ese contexto.
Ejemplo 2: Pregunta al profesor de física cómo se usa las
funciones trigonométricas en clase de física.
4.12 Usa funciones trigonométricas para Ejemplo: En un parque de diversiones se tiene una rueda con
modelar situaciones
un radio de 8m, que tarda 12 segundos en dar una vuelta
completa. En el momento de subirse el pasajero, cada coche
de la rueda se encuentra a 1.20 metros de la base de la rueda.
Realiza una ilustración a escala de la situación y una tabla de
datos para valores del tiempo de entre 0 y 12 segundos, con
intervalos de 0.5 segundos. Traslada los datos a un sistema de
coordenadas, analiza la forma de la gráfica obtenida y propone
una función que modele la situación. Traza una gráfica usando
Geogebra.
Aprendizajes en pensamiento aleatorio y sistemas de datos
COMPRENSIONES
Los estudiantes comprenderán que…


El hecho de poder inferir un resultado con base en
estudios estadísticos de determinados datos es uno
de los grandes l ogros de la humanidad
Muchos fenómenos naturales tienen una
PREGUNTAS ESENCIALES
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…


¿Qué medidas estadísticas permiten resumir y
entender cierta información?
¿Cómo se puede responder una pregunta utilizando
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
30

componente estocástica alta y la probabilidad, sus
leyes y propiedades, permiten modelarlos, hacer
inferencias y predecir.
La probabi lidad es la bas e matemática que sirve para
mostrar que muchas de la s conjeturas de l as ci encias
socia les y naturales tienen vali dez.


información recogida por medio de una encuesta?
¿Qué medidas estadísticas y representaciones
gráficas son más pertinentes en cierto caso?
¿Cuándo y cómo se puede usar la probabili dad para
determinar qué tan cierta es una afirmación?
CONOCIMIENTOS
Los estudiantes sabrán …. (C)





Representación e i nterpretación de datos
Variables al eatorias , categóricas o continuas
Procesos aleatorios soportados por experimentos
estadísticos
Inferencias a partir de encuestas, experimentos o
estudios
Probabilidad condicional
HABILIDADES
Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)




Distinguir diferentes tipos de variables: categóricas,
continuas, cualitativas, cuantitativas, y determinar
cuál es la representación más adecuada según el
contexto
Juzgar inferencias hechas a partir de estudios
publicados en los medios. Hacer inferencias y
justi ficar la s concl usiones con bas e en estudios
estadísticos
Interpretar y usar conceptos de probabilidad
condicional
Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos
y matemáticos .
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
31
Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1. Representación e interpretación
i nterpretación de datos
Interpreta nociones básicas relacionadas con el manejo de informac
i nformación
ión como población,
población, muestra, variable
variable
aleatoria, distribución de frecuencias,
frecuenci as, parámetros
parámetros y estadígrafos.
1.1
Estudia variables aleatorias categóricas o
continuas mediante representaciones gráficas y
medidas estadísticas de datos correspondientes.
Reconoce si una variable puede
pue de tomar cualquier
cualquier valor
en un intervalo de los reales, o sólo toma valores
discretos
1.2
Calcula e interpreta cuantiles y percentil
percentiles
es
para una variable aleatoria cuantitativa.
Ejemplo: Determina si la variable es continua o
discreta en los siguientes casos: estatura de los
miembros de su familia, color de ojos, colores en un
conjunto de flores, nota final en el curso de
matemáticas.
Ejemplo: Para los salarios en cierta ciudad, ¿qué
quiere decir que la mediana
mediana sea 2 millones?
millones? y ¿que el
cuantil 0.75 sea 2.5 mil
millones
lones??
1.3 Representa el comportam
comportamiento
iento de una variable Ejemplo 1: Mira la factura de luz o de agua e
aleatoria mediante un diagrama de barras, de caja, interpreta el diagrama de barras. Varios alumnos
tortas o histogramas.
histogramas. Anali
Analiza
za un diagrama y saca
saca traen los recibos de sus casas, comparan los
conclusiones
conc
lusiones a partir de él.
diagramas de barras e interpretan las deferencias.
Ejemplo 2: Cada alumno trae un diagrama de
diagrama de barras, de caja, tortas o histogramas
sacado de un periódico
pe riódico o de una revista,
revi sta, con la noticia
o artículo correspondientes. En grupos de tres
analizan los diagramas y determinan qué tanto y
cómo se apoya la noticia o artículo en el diagrama.
Buscan otras afirmaciones que se puedan concluir a
partir de cada diagrama.
1.4
Calcula y util
utiliza
iza medidas de tendencia central Ejemplo: Indica qué diferencia hay entre los
y medidas de varia
variación
ción e interpreta los resultados.
resultados.
siguientes casos, y justifica por qué: el promedio del
examen fue 7 y la desviación
de sviación estándar 1,
1, el promedio
fue 7 y la desviación
desvi ación estándar 0,5.
0,5.
1.5. Anali
Analiza
za los efectos de los puntos extremos en Ejemplo: En el conjunto de datos
datos de cierta evaluación
e valuación
las medidas de tendencia central y dispersión, así de matemáticas, casi todas las calificaciones están
como en el histograma de un conjunto de datos
alrededor de 3.5,
3.5, pero hay dos datos con una nota de
0 (tal vez por haber hecho trampa), analiza cómo
afectan estos extremos los resultados de la media,
medi a, la
dispersión y la
l a forma del histograma.
histograma.
Relaciona parejas de variables cualitativas y cuantitativas resumiendo y representando los conjuntos de
datos correspondientes
correspondientes en tablas y gráficas
1.6
Representa datos categóricos de
variables
variab
les en tablas de doble entra
entrada
da
dos Ejemplo: Representa en una tabla de doble entrada
los datos de: fuma o no fuma vs enfermedad
pulmonar. Describe la relación entre las dos variables
a partir de los datos.
1.7 Representa gráficament
gráficamentee datos de dos variables Ejemplo: Analiza la información que aparece en una
cuantitativas y describe la relación entre las dos revista o en internet
i nternet sobre la relación entre
entre el nivel
variables.
socio-económico y el embarazo temprano en
diferentes lugares de Colombia o del mundo.
Inferencias y conclusiones
conclusione s soportadas
soportadas en estudios e stadísticos
2.
Mall as de aprendizaj es en mate
matemáticas
máticas para grados décimo y once
32
Justifica o refuta inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de estudios publicados en los
medios o diseñados en el ámbito escolar. Comprende y evalúa procesos aleatorios soportados por
experimentos estadísticos.
2.1
Formula una pregunta, diseña un
experimento que le permita responderla
responderla y realiza el
proyecto.
Identifica
Identi
fica cuál es la muestra más
conveniente, qué estadísticos puede utilizar para
analizar los datos y cuál es la representación gráfica
más pertinente.
Ejemplo: En grupos pequeños desarrollan el siguie
si guiente
nte
proyecto: Suponen que en su colegio se va a otorgar
un premio a un estudiante escogido por los alumnos
de los grados 8 a 11.
11. El resultado se conocerá al final
del año pero estando a mitad de año ustedes quieren
quie ren
pronosticar el ganador. No sólo quieren saber esto,
sino también la diferencia de
de criterios entre hombres
y mujeres. En el diseño de la estrategia tienen en
cuenta, por ejemplo:
ejempl o: ¿Qué tipo de muestra
mue stra escoger?
¿Cuántos hombres y cuántas mujeres en l a muestra?
¿Cuántos de cada grado?
grado? ¿Qué criterios van a tener
en cuenta: ¿sólo académicos o también
tambi én otros factores
factores
como intel
inteligenci
igencia,
a, simpatía
simpatía etc.? ¿Cómo van a
cuantificar esos criterios? ¿Qué gráficas van a usar
para visualizar
vi sualizar los
l os resultados? ¿Qué herramientas van
van
a usar para analizarlos y hacer predicciones? ¿Qué
tan válidas serán esas predicci
predicciones?
ones? Discute en el
grupo la estrategia propuesta por cada uno y deciden
decide n
cuál es la más pertinente. Realizan el proyecto
correspondiente y analizan su desarrollo y la validez
de sus resultados.
2.2 Usa la estadística para hacer infe
inferencias
rencias acerca Ejemplo: Toma 10 estudiantes del curso y obtiene
de los parámetros de una población, basándose en datos de su estatura. Calcula la media y hace una
una muestra de esa población
inferencia sobre la estatura de los estudiantes de su
clase. Analiza
Anali za el proceso
proceso y argumenta
argumenta sobre
sobre la
l a validez
vali dez
del resultado
Hace inferencias y justifica las conclusiones con base en muestras de encuestas, experimentos y estudios
observacionales.
2.3
Comprende
Compr
ende que el tipo de muestr
muestraa difiere
dependiendo del estudio poblacional que esté
realizando. Es consciente de la importancia de la
aleatoriedad en la muestra.
Ejemplo: Determina la muestra que utilizaría para
predecir el resultad
resultado
o de la elección
el ección de personero
personero en
el colegio. En grupos de tres analizan las propuestas
de cada compañero, deciden
de ciden cuáles
cuáles son las ventajas o
desventajas de la propuesta de cada uno, escogen
una y justifican por qué es la más indicada.
2.4 Utiliza medidas de tendencia central
central y variación, Ejemplo: Compara la estatura promedio de hombres
así como diagramas de barras, tortas e histogramas, y mujeres
muj eres en su clase. Realiza
Reali za un diagrama de barras
para comparar y hacer inferencias acerca de una o con la estat
e statura
ura promedio
promedio en el eje vertical y género
más poblaciones.
en el
e l horizont
horizontal.
al. A par
partir
tir de esto infiere acerca
acerca de la
la
diferencia de estatura según género, para
adolescentes de esa edad. Discute la validez de las
conclusiones.
2.5. Evalúa reportes basados en datos
Ejemplo 1: Anali
Analiza
za un artíc
artículo
ulo del periódi
periódico
co sobre los
resultados de las elecciones, basados en l os datos de
una encuesta. Escribe un informe sustentando su
opinión. Ejemplo 2: Busca en la página del Icfes los
resultados de la última prueba Saber 11 y escribe un
reporte analizando
analizando las dife
diferenc
rencias
ias según los
l os distintos
disti ntos
Mall as de aprendizaj es en mate
matemáticas
máticas para grados décimo y once
33
departamentos y según la población urbana y la
l a rural.
Compara los resultados de su colegio con los de su
región y escribe un informe sugiriendo cómo y dónde
dó nde
mejorar
3. Probabilidad condicional y reglas de probabili dad
Interpreta conceptos
conceptos de probabilidad condicional
condicional e independencia
independen cia de eventos. Maneja y reconoce el uso de
los conceptos de probabili
probabilidad
dad condicional
condicional en el
e l devenir
deve nir cotidiano.
3.1
Representa información utilizando el lengua
lenguaje
je Ejemplo: Se tomaron 100
100 muestras
mue stras de cierto aliment
ali mento
o
de la teoría de conjuntos y usa esa representación que venden a la salida
sali da del colegio. 30 tenían bacterias
para calcular ciertas probabilidades.
tipo A, 40 tenían bacterias tipo B, 10 tenían los dos
tipos de bacteria. Representa los datos y calcula la
probabilidad de que una muestra tomada al azar
tenga al menos un tipo de bacteria. Calcula la
probabilidad de que tenga máximo un tipo de
bacteria.
3.2
Usa conceptos de unión, interse
intersección
cción y Ejemplo: Se tomaron 100
100 muestras
mue stras de cierto aliment
ali mento
o
complemento de la teoría de conjuntos, para hall ar la que venden a la salida
sali da del colegio. 30 tenían bacterias
probabilidad de la unión, intersección y tipo A, 40 tenían bacterias tipo B, 10 tenían los dos
complemento, en algunos casos con ayuda de tipos de bacteria.
bacteria. Calcula:
Calcula: ¿Cuál es la
l a probabilidad
probabili dad de
diagramas de Venn.
que tenga dos tipos de bacterias? ¿Cuál es la
probabilidad de que tenga alguna bacteria? ¿Cuál es
la probabilidad de que tenga exactamente una
bacteria?
Mall as de aprendizaj es en mate
matemáticas
máticas para grados décimo y once
34
Recomendaciones didácticas
La matemática
matemática de l os grados décimo y undécimo s e construye sobre l a matemática
matemática de l a educaci
educaci ón básica,
básic a, profundizando
y generalizando los conceptos y agregando nuevas formas de ver y hacer matemáticas. Las matemáticas son como una
escalera de caracol en la que cada idea
idea se apoya en la s ideas ante
anteriores
riores y cada ve
vezz se vis itan l os mismos lugares, pero un
pis o más
más ar riba y se ven
ven de manera más general,
general, más abs tracta, más
más profunda o se apl ica n a nuevos temas
temas . La media
media es el
moment
mom
ento
o de sol idi fica r, conectar,
conectar, aplicar,
apli car, fundamentar
fundamentar y expandir los conoci mient
mientos
os de la educación
educaci ón bás
bás ica .
La comprensi
comprensi ón de las características
c aracterísticas propias de la s formulaciones algebraicas y la
lass representaci
representaci ones gráfic
gráficas
as de cada una
de estas funciones permite usarlas para modelar diferentes situaciones y hacer predicciones.
La comprensión y destreza en las operaciones entre los diferentes tipos de números, que se adquiere en la educación
básic
bás
ica,
a, soporta la compren
comprensi
si ón y destrez
destrezaa en la
l a manipula ción de
de expre
expresi
si ones al geb
gebrai
rai cas, que se desarrol la en 9, 10 y 11 y
que es el lenguaje que usan las matemáticas y las ciencias para expresarse. Un objetivo de las matemáticas en estos
grados es adquirir la destreza necesaria en el manejo de este lenguaje, indispensable para comprender las ideas
matemáticas
mate
máticas más avanzada s, para ejercitars e en
en los procedimiento
procedimientoss y pa ra ha cer matemáticas
matemáticas . El
El manejo de expresi
expresi ones
algebraicas depende de la comprensión sólida del manejo de los números, sus operaciones y propiedades. Por ejemplo,
cuando al resolver una ecuación se divide una expresión por x es necesario tener presente que esta x no puede tomar el
valor cero. O si al resolver una desigualdad se multiplica algo por x, es necesario tener en cuenta si x toma valores
positivos o negativos ya que el comportamiento de la situación varía en cada caso.
El tema central de décimo son las funciones. La idea de función iniciada en octavo, se solidifica en décimo y once. Las
representaci
represent
aci ones verbales,
verbales, gráfica , al
algeb
gebrai
rai ca y numérica de una función con tribuyen a su c ompre
omprensi
nsi ón, ya que permiten
permiten
apreciar diferentes aspectos. Herramientas tecnológicas como calculadoras graficadoras o software geométrico como
Geoge
Ge
ogebra,
bra, fa cil itan el
el trazado de gráfic
gráficas
as , indispensabl
indis pensablee en esta área. En décimo se introducen fu nciones muy utili
utili zadas
como
com
o polinomios y logaritmos
logaritmos y se pasa de las relaciones trigonomét
trigonométricas
ricas en
entre
tre los l ados de triángulos rect
rectángulos
ángulos a las
funciones trigonométricas que relacionan números reales cualesquiera con números en el intervalo [-1,1]. Uno de los
errores o confusiones más frecuentes de los estudiantes que inician cursos universitarios es la confusión entre estos dos
conceptos:
concept
os: rela ciones y funciones trigonomé
trigonométrica
tricas.
s. De ahí nuestra propuesta de tratarl os en grados di fere
ferente
ntes.
s. En décimo
ya las funcione
funcioness s e vue
vuelven
lven objetos
objetos con los cuales s e reali
reali zan operacione
operacioness y se a nali zan famili as de funciones
funciones observ
observando
ando
qué pasa en la gráfica de una función cuando se hacen cambios en un parámetro. Este nuevo nivel de variable, y la
distinción del rol de la x y la b en una expresión como:
, es otro punto muy importante de la s mate
matemáticas
máticas
de décimo.
  
Las ideas geométricas acerca de polígonos, sólidos o localización de puntos y objetos en el espacio desembocan en la
educación media
media en l a geome
geometría
tría ana lítica donde, con la a yuda de la correspondencia ent
entre
re puntos y pareja s de números
números,,
se refuerzan mutuamente el álgebra y la geometría. Se tiene entonces una nueva herramienta para probar afirmaciones
geométricas y la resolución de ecuaciones o desigualdades algebraicas cuenta con un nuevo recurso.
El manejo y representaci
representaci ón de al
algunos
gunos pocos datos, que se va cons truye
truyendo
ndo a través de la educaci ón bás ica y que permite
permite
inicialmente extraer información evidente con argumentos intuitivos, desemboca en herramientas cada vez más
sofisticadas que permiten examinar y analizar con precisión grandes volúmenes de datos y hacer predicciones con
probabi lidades de éxito cada vez mayores. El
El uso de herramientas
herramientas tecnológicas es un apoyo indi spensable en esta
esta á rea. El
paso
pas
o del
del pensa
pensa mient
miento
o det
determ
erminís
inístico
tico al estocástic o, de un mundo en donde l as afi rm
rmaciones
aciones son verdaderas o fa ls as a un
mundo en donde la s afirmaciones
afi rmaciones son verdaderas
verdaderas con cierta probabilidad,
probabilidad, es
es otra de la s grandes trans formaciones que s e
deben lograr en el paso por la educación media.
Mall as de aprendizaj es en mate
matemáticas
máticas para grados décimo y once
35
Para l a construcción del conocimiento
conocimiento matem
matemático
ático es necesari o planear actividades que perm
permitan
itan al estudiante relaci onar
lo que sabe con las nuevas ideas, así como aplicarlas en diversos contextos. Es importante mantener un balance entre la
comprensión de las ideas fundamentales, la ejercitación y el dominio de los procedimientos y algoritmos, el uso y
apli cación de las ideas mat
matem
emáticas
áticas a otras disci plinas y el
el desarroll o de com
compe
pete
tencias
ncias mat
matem
emáticas
áticas como propone
proponerr y
resolver problemas, razonar y comunicarse usando las matemáticas.
Con el fin de interesar al estudiante en el estudio y profundización de los temas de este grado, se sugiere solicitarle que
averigüee por la his toria de ideas como la definici
averigü
definici ón de núm
número
ero real o d e función, el
el i nfinito, o el
el de
desarr
sarr ollo de la s ideas de
dell
cálcul o, que soportan la ciencia y l a técnica
técnica de hoy.
hoy.
Aprender y comprender autónomamente es un requisito indispensable en la preparación de los estudiantes para su
ingreso a l a educación
educación postsecundaria, al mu
mundo
ndo del
del trabajo y al ejercicio responsable de la ci udadanía. Sólo así podrá
aprovechar las oportunidades que le ofrece hoy la tecnología, de aprender de manera gratuita casi cualquier cosa que
desee aprender, oportunidades que s egu
egurament
ramentee serán muchísimas más, en el moment
momento
o en que term
terminen
inen su vida escola r.
El maestro debe proveer
proveer al estudiante de oportunidades que le permitan:
permitan: generar
generar y explorar
explora r conj et
eturas
uras ; plantear nuevos
problemas e ideas propi as ; trabaj ar colaborativame
colaborativamente
nte con otros; r eflexiona
eflexionarr sobre l o que sa be, sobre lo que comprende y
sobre lo que no comprende y decidir cómo puede mejorar. Este tipo de actividades propician el desarrollo de la
autonomía
autonom
ía y el pensamiento crítico y creativo, atributos que debe
debe tener
tener un indivi
i ndividuo
duo para desem
desemp
p eñarse como
como ci udadano
en el siglo XXI.
Hoy es no sólo conveniente sino indispensable integrar la utilización de herramientas tecnológicas en la clase de
matemáticas. El objetivo no es evitar que los estudiantes adquieran las destrezas necesarias en el uso de procesos y
procedimientos matemáticos. La tecnología permite la solución de problemas complejos, el trabajo con datos reales,
permite explorar nuevos campos o profundizar en aspectos que el estudiante considere interesantes, pero entre los
impactos más grandes de la tecnología hoy están el haber puesto el conocimiento al alcance de todas aquellas personas
que tienen el interés
interés por aprende
apr enderr y l a capacidad
capac idad de aprender autónomam
autónomament
entee y el haber hecho
hecho reali dad la posibilida d de
ser parte
pa rte de comunidades global es de aprendices. El uso de l a tecnología
tecnología ha tenido
tenido tres grandes i mpactos en
en la
l a educaci
educaci ón
en l os últi mos años: primero democratizó
democratizó el
el conocimi ent
ento
o poniendo la i nformación al alcance de todos. Luego
Luego si mplificó la
la
comunicación y la hizo fácil, ágil y segura y recientemente facilitó la interacción entre personas de todo el mundo, con
herramientas que permiten
permiten ver y hablar en tiempo
tiempo real
real,, gratuitamente
gratuitamente o a muy bajos costos
costos.. Es
Es i mposibl e prever
prever qué nos
demandar
dem
andaráá el
el futuro, pero es respons abi
abilida
lidad
d de
de la escuela y el maestro mostra
mostrar,
r, interesa
interesa r y capa citar al estudiante en
en el
uso de los desarrollos tecnológicos actuales para prepararlo para que aproveche los que con seguridad se seguirán
generando.
ge
nerando. No ha cerlo es
es como obligar lo a recorrer
recorrer grandes
grandes di stanci as a pi e y empeñars
empeñars e en
en que no conozca
conozca l as enorm
enormes
es
ventajas y posibilidades que ofrecen hoy los diferentes medios de transporte.
Recursos como software, wikis, páginas web, blogs, publicaciones de otros docentes o estudiantes en la red, proyectos
globales, Moocs, etc. ofrecen tanto a estudiantes como a docentes apoyos muy importantes en su labor de aprender y
apoyar el aprendizaje.
Indicaciones para la evaluación formativa
La evaluación constituye un elemento fundamental en el aprendizaje. No debe ser un proceso independiente, es parte
integral de la planeaci ón y del desarr
desarrollo
ollo de cada clas
cl as e, de cada uni dad, de cada ac tivida
tividad.
d. La eval
eval uaci ón permite
permite conocer
los avances con respecto a los objetivos de aprendizaje, logros, progresos o dificultades y las oportunidades de
mejoramiento.
Mall as de aprendizaj es en mate
matemáticas
máticas para grados décimo y once
36
Debe ser el indi cador que le dice al maestro: ¿Qué comprendieron? ¿Cómo comprendieron? ¿Qué hago para mejora r? al
joven: ¿Cómo voy? ¿Qué va cíos tengo y qué debo ha cer para l lenarl os? y al padre de famil ia : ¿Cómo va mi hi jo? ¿Cómo l o
puedo apoyar para que mejore? La evaluación también le da información a la escuela sobre su desempeño y el
desempeño de ca da uno de s us miembros; y a la soci edad sobre la escuela y el futuro de sus c iudadanos, informaci ón que
le permite al estado tomar decis iones fundamentadas . Para l ograr lo anterior, la evalua ción debe incl uir comentari os
explícitos acerca de las razones que ll evaron a ese juici o y l os cri terios y resultados de la evaluaci ón siempre deben ser
conocidos prontamente por los estudiantes.
Las activi dades de evaluaci ón deben ser s imil ares a lo hecho y desarroll ado en clas e, ofreciendo retos y diferentes niveles
de compleji dad, que permitan que ca da cual pueda autoevalua rse y determinar, con el apoyo del maestro, qué debe hacer
para mejorar.
Hay muchas formas de evaluar el desempeño del joven: observando lo que hace durante la clase, hablando con él acerca
del tema que se está desarrollando, pidiéndole que lleve un diario y analizando lo que escribe allí, pidiéndole que vaya
haciendo un portafolio o una carpeta donde ponga los trabajos de los que se sienta orgulloso, etc. Una de las estrategias
de evaluación más idóneas para este grado es la elaboración de proyectos para desarrollar en una o varias semanas.
Requieren de un alto grado de autonomía de los estudiantes y les permiten trabajar en grupo, asumiendo diferentes
responsa bilidades. Pueden resolver probl emas de mayor compleji dad que los que habitualmente se resulven en clas e, en
los que utilicen y conecten diferentes conocimientos de matemáticas y otras disciplinas para describir, interpretar y
modelar situaciones de su contexto.
El estudiante debe aprender en las evaluaciones que es tan importante el proceso y la estrategia que escoja y siga para
resolver un problema, como lograr ll egar a un resul tado correcto. Es importante que se forme en el hábito de verifi car, al
finalizar una tarea, que efectivamente contestó la pregunta que le formularon, que resolvió el problema que le
plantearon, y que la respuesta que obtuvo satisface las condiciones del problema. Otra competencia básica en la
resolución de problemas es mantener una actitud reflexiva a lo largo del proceso de resolución, que lo mantenga
enfocado en qué quiere logra y que le indique si el c amino que escogi ó lo lleva en esa dirección .
Uno de los puntos más importantes relacionados con la evaluación es la honestidad. El estudiante debe aprender a
responder por sus acciones, y en la media ya está a un paso de salir al mundo de los adultos. Debe ser consciente de que
su responsabilidad como estudiante es aprender, que su aprendizaje depende de su esfuerzo y que no puede evadir esa
responsabilidad acudiendo al atajo de la trampa. El maestro debe ser consciente de que tiene una responsabilidad con la
sociedad cuando acredita, con sus notas, la idoneidad de cierto joven como bachiller, por tanto, es su obligación no
permitir que esa información sea falsa porque esté contaminada con trampas.
El maestro de los grados 10 y 11 puede escoger algunas de las preguntas de las pruebas Saber 11 que aparecen en la
página del Icfes, para que los estudiantes se vayan familiarizando con esta forma de preguntar. Luego de que los
estudiantes contesten estas preguntas en tiempos precisos, deben analizar no sólo los resultados sino las diferentes
estrategias que se pueden usar para contestar ese tipo de exámenes. Un punto muy importante de estas pruebas, que
debe ejercitars e, es l a lectura comprensi va de las preguntas, que es muchas veces la c ausa de los errores en los r esultados.
Al evaluar las matemáticas es importante tener en cuenta no solo el nivel de comprensión y aplicación de los conceptos
sino el nivel de desarrollo de las competencias matemáticas, dentro del contexto y grado. El maestro debe plantear
situaciones que permitan observar el nivel de desarrollo en cuanto a la resolución de problemas, la comunicación, el
razonamiento, etc.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
37
Para preparar a los j óvenes para el siglo XXI, es indi spensable ofrecerles oportunidades de aprender a reflexionar sobre sí
mismo y a monitorear sus acciones. Debe aprender a autoevaluarse, a juzgar su trabajo y el de los demás de manera
crítica y objetiva y a apreciar y aceptar los jui cios que otros hagan de su trabaj o, presentando argumentos váli dos cua ndo
no esté de acuerdo. Debe aprender a tomar decisiones autónomamente y a responder por sus actos. Estas habilidades o
competencias, indispensables para la vida de un ciudadano hoy, sólo se desarrollan si el estudiante tiene oportunidad de
hacerlo. El joven que sólo sigue órdenes e instrucciones y que siempre espera el juicio del maestro acerca de su trabajo,
perderá muchas oportunidades que l e ofrece el mundo hoy.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
38
Derechos bási cos de aprendizaje
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
39
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
40
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
41
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
42
GRADO ONCE
Visión general del grado
Para comprender la importancia de las ideas matemáticas que se aprenden en la educación media hagamos un poco de
his toria. En la segunda mitad del s iglo XV dos grandes a contecimientos convul si onaron el mundo: se descubrió América y
se popula rizó la i mprenta y con ell o se democratizó el conocimiento. Entre los pri ncipa les protagonis tas de los ca mbios
sociales, políticos, religiosos, científicos y tecnológicos que acaecieron en los siglos posteriores están las ideas
matemáticas que se desar rollaron en esos s igl os, que favorecieron otras formas de ver y comprender el universo y que s on
precis amente las ideas bás icas de las matemáticas de la educación media.
Gerolamo Cardano (1501-1576), René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665), entre otros, desarrollaron
las ideas del álgebra e introdujeron los conceptos de la Geometría Analítica o Cartesiana. Estas ideas permitieron el
estudio de curvas diferentes a circunferencias o segmentos y sustituyeron el estudio de las propiedades de los números
por la manipulación de letras que generalizan esas propiedades, con lo que se construyó un lenguaje abstracto que
permitió describir y analizar fenómenos y le dio un impulso a la física. Sobre estas ideas se construyó el concepto de
función y este nuevo lenguaje les permitió a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), en la primera
mitad del sigl o XVIII , desarr olla r la s matemáticas necesarias para reflexionar sobre el i nfinito y descri bir y manipular el
movimiento. Esta nueva herramienta matemáti ca: el cálculo, permitió estudiar el movimiento de l os as tros, los barcos, los
proyectiles, los fluidos y los gases, pero también permitió describir fenómenos como el calor, el sonido, la luz y luego la
electricidad y el magnetis mo, fundamentos de l a cienci a y la tecnología de hoy. El estudio de la s funciones y una iniciación
al cálculo, son algunas de los temas que se esbozan en undécimo.
Otra de las ideas matemáticas que surgen en el siglo XVII y tienen hoy una gran importancia tanto dentro de las
matemáticas como en sus a pli caciones es la probabilidad. A partir de un probl ema que l e planteó un amigo a Fermat sobre
el j uego, él y Blaise Pascal (1623-1662) ini ciaron el estudio de la incertidumbre y el a zar, que hoy forman par te también de
las matemáticas de undécimo.
Entre los grandes desarr ollos del si glo XIX está el estudio de los distintos s is temas numéricos y s us ca racterísticas, en el
cual s obresal en Georg Cantor (1845-1918) y Richa rd Dedekind (1831 -1916), entre otros. En la s matemática s de undécimo
se miran cuáles son al gunas de estas propiedades que di ferencian a l os naturales, los racionales, los reales y l os complejos
y qué características tienen las representaciones de cada uno. Esto es tal vez lo más abstracto, matemático y avanzado
que se hace en matemáticas escola res, pero su comprensi ón permitirá mirar por una pequeña ventana a lgo de la belleza
que entraña el universo abstracto de las matemáticas.
Finalmente, otro de los temas centrales de las matemáticas de undécimo es el estudio de cómo medir propiedades o
cara cterísticas abstractas, a partir de la medida de razones entre cantidades, construyendo índices como el de pobreza, el
IPC, el SISBEN o la aceleración. Este tema es uno de l os principales aportes de las matemáticas a l as ci encias socia les y su
comprensi ón es indi spensable para a nalizar críticamente la i nformación que aparece todos l os días en peri ódicos y revistas
y que indudablemente soporta muchas decisiones que afectan nuestras vidas.
NOTA: Al comparar la educación media en matemáticas en Colombi a con otros países del mundo se observan dos grandes
diferencias: en primer lugar, la educación escolar colombiana comprende once años: de primero a once, mientras en
muchos otros países son doce: de primero a doce. La segunda diferencia importantes es que el currículo de matemáticas
de los últimos grados suele ser flexibl e, dependiendo de la s expectativas futuras de los jóvenes. Nuestros estándares s on
homogéneos. Estas dos consideraciones tienen implicaciones sobre las matemáticas de la educación media, pero sobre
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
43
todo de once, en temas como cálculo, ya que este tema es en muchos currículos un tema que se desarrolla en el grado
doce y como una de las opciones recomendada a aquellos estudia ntes que desean hacer ca rreras que tienen que ver con
ciencias natural es, económicas o ingeniería. En Colombia, mientras en los estándares de décimo y once, en pensamiento
variacional se habla de hallar, interpretar y utilizar la noción de derivada, en el exámen Saber 11 (icfes.gov.co) sólo se
mencionan “sucesiones y límite” en contenidos no genéricos, pero en el examen de admisión de la Universidad Nacional
se requieren algunos conocimientos de cálculo. A partir de la reflexión anterior hemos colocado en once algunos
desempeños bási cos de cálc ulo, pero hemos señalado co n asterisco y rojo a lgunos de los as pectos más avanzados, que
consideramos podrían s er opcionales. Es necesari o cerciorars e antes, de cuáles son l os conocimientos r equeridos por el
examen de a dmisi ón de la Universi dad Nacional, para no poner en desventaja a los a lumnos que no los ha yan adquirido en
la educación media.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
44
Aprendizajes para el grado
ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS GRADOS 10 Y 11
PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS





Anali zo representaciones decimales de l os números reales para diferenciar entre racionales e i rraci onales.
Reconozco la i ncompletitud de los números raci onales a través de métodos numéricos, geométricos y al gebraicos.
Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, raci ona les y reales) y la s de sus
relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos s is temas numéricos .
Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales.
Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en
una situación dada.
PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS



Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representaciones cartesianas y
polares y en particular de las curvas y figuras cónica s.
Uso argumentos geométricos para resolver y formular probl emas en contextos matemáticos y en otras ciencia s.
Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usa ndo relaci ones y funci ones trigonométricas .
PENSAMIENTO METRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS


Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valor es medios se suelen definir i ndirectamente
como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad
media.
Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en
situaciones de medición.
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS




Util izo la s técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos
Interpreto la noci on de derivada como razón de cambio y como va lor de la pendiente de la tangente a una curva y
desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no
matemáticos
Anali zo las r elaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y la s gráfi cas de funciones polinomicas y
racional es de sus derivadas.
Modelo si tuaciones de vari aci ón periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utili zo sus derivadas .
PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS









Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de
comunicación.
Justifico o refuto inferencias ba sadas en razonamientos estadísticos a partir de resultados de estudios publi cados
en los medios o diseñados en el ámbito escolar.
Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o
pregunta.
Descri bo tendencias que se observan en conjuntos de variables r elacionadas.
Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable
aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos).
Uso comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles,
cuartiles, centrali dad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad).
Interpreto conceptos de probabil idad condici onal e independencia de eventos.
Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones,
permutaciones, espa cio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con rempla zo).
Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas .
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
45
METAS DE TRANSFERENCIA
Los estudiantes serán capaces de utilizar autónomamente sus aprendizajes para …
















Reconocer y di ferencia r dis tintos tipos de números: natural es, enteros, negativos , raciona les, irracionales, reales y
complejos y us arl os para resolver problemas.
Identificar diferencias y semejanzas entre los números ra cionales y los irra cionales.
Comprender el uso de expresiones algebrai cas en la modela ción de si tuaciones o en la r esoluci ón de problemas.
Leer, escri bir e interpretar mensaj es escri tos en ese lenguaje.
Comprender y us ar el l enguaje de la s funciones para representar cantidades cuya varia ci ón depende de la
variaci ón de otra.
Interpretar i nformación presentada en forma de una curva, en contextos de ciencias o cuotidia nos.
Distinguir características de diferentes tipos de funciones. Establecer diferencias entre la manera como varían
funciones: lineales, polinomiales, exponenciales, trigonométricas, etc. a fin de usarlas para modelar situaciones.
Usar las propiedades de las cónicas, justificarlas con argumentos algebraicos o geométricos y usarlas para
modelar si tuaciones.
Comprender cómo se construyen los índices que se usan para medir atributos como la inteligencia o la pobreza.
Descri bir posi ciones y figuras en el espaci o usando diversos si stemas de coordenadas.
Analizar y juzgar la validez de noticias o estudios donde aparecen inferencias basadas en razonamientos
estadísticos.
Formular una pregunta y diseñar un experimento que permita responderla. Identificar cuál es la muestra más
conveniente, qué estadísticos se pueden utilizar para anali zar los datos y cuál es la representación gráfica más
pertinente.
Reconocer, comprender y utilizar conceptos de probabilidad en situaciones cuotidianas.
Util izar herramientas tecnológicas para resolver problemas complejos, trabajar con información real, explorar
nuevos campos, construir nuevos conocimientos o profundizar en otros.
*Utili zan la derivada para medir el cambio.
*Interpretan la derivada como la razón de cambio instantánea.
*Aplicar la derivada a la identificación de los valores extremos (máximo y mínimo) de una función.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
46
Aprendizajes en pensamiento numérico y sistemas numéricos
COMPRENSIONES
Los estudia ntes comprenderán que…



Cualquier número real se puede expresar por medio
de una expansión decimal infinita, periódica si es
racional y no periódica si es irracional.
A cada punto de una recta se le puede asociar un
único número real y a cada número real se le puede
asociar un único punto de una recta. Hay puntos
sobre la recta a los que no les corresponde ningún
número racional.
Hay tantos números enteros como natural es.
PREGUNTAS ESENCIALES
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…





¿Cómo se diferencian los números racionales de los
irracionales?
¿Cómo se establece la correspondencia entre los
reales y los puntos de una recta?
¿Cómo se demuestra que a no todos los puntos de
una recta les corresponden números racionales?
¿Hay muchos o hay pocos puntos en una recta a los
que no les corresponden números racionales?
¿Hay ecuaciones cuadráticas que no se pueden
resolver?
CONOCIMIENTOS
Los estudiantes sabrán …. (C)



Sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales,
reales y complejos
Correspondencia entre los números reales y los
puntos de una recta.
Vectores
HABILIDADES
Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)








Reconocer y demostrar que no todos los números
reales son racionales.
Escribir los números reales usando dis tintos si stemas
de representación. Pasar de un sistema de
representaci ón a otro.
Representar los números reales en una recta. Situar
en la recta de manera exacta números racionales y
algunos irracionales como y .
Indicar propiedades comunes y diferencias entre
números raci onales e irra cionales
Representar números complejos en el plano
complejo y realizar operaciones entre complejos.
Usar las propiedades de los números para plantear y
resolver problemas.
Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos
y matemáticos .
*Representar vectores en el plano y realiza
operaciones de suma, resta, producto por un escalar
y producto punto entre vectores.
 
Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1. Representación de números reales: racionales e irracionales
Analiza cómo distintas representaciones de lo s reales permiten diferenciar entre racionales e
irracionales
1.1.
Reconoce que el conjunto de números
Ejemplo: Representa los números -7 y 13/6 como
racionales incluye los naturales, enteros
números fraccionarios p/q con p y q números
positivos y negativos y fracciones. Muestra
enteros, de 5 formas diferentes.
que todo número racional se puede escribir
de diferentes maneras como un cociente de
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
47
  

la forma
, con y enteros, diferente
de 0 o también como un entero seguido de
una expansión decimal fi nita o periódica
1.2.
Reconoce y pasa de la representación de un
número racional en la forma decimal a la
forma fraccionaria:
y viceversa

1.3.
1.4.
Conoce y ejemplifica la siguiente proposición:
Todo número real se puede escribir con la
notación decimal. La parte decimal de todo
número racional es periódica, incluyendo
aquellos con periodo cero, mientras que la
parte decimal de un irracional no es periódi ca
Conoce y ejemplifica la siguiente proposición:
Dada una recta, existe una correspondencia
con los números reales tal que a cada número
real le corresponde un único punto de la
recta y a cada punto de la recta le
corresponde un único número real.
Ejemplo 1: Halla la forma fraccionaria del número
decimal periódico 2,23454545… Encuentra la forma
decimal de 23/21, ¿cuál es su parte periódica?
Ejemplo 2: Establece una conjetura acerca de la
expansión decimal de racionales cuyo denominador
tiene por factores únicamente a 2 o 5. Encuentra la
representación decimal de 73/25 y justifica su
conjetura. Ejemplo 3: Escribe la representación
fraccionaria irreducible p/q, de 0.2 y de 0.199999...
(periodo 9).
Ejemplo: Escribe en notación decimal los números:
1/5; 10/7; ; . ¿Cuáles de esas formas decimales
representan exactamente al número propuesto y
cuáles no? ¿por qué?
 
Ejemplo 1: Dada una recta L escoge arbitrariamente
dos puntos diferentes O y P y les asigna los números
cero y uno respectivamente. Muestra cómo puede
usar el teorema de Tales para encontrar el punto
correspondiente a 2/3.
Ejemplo 2: Dada una recta L, un cero y un uno. A
partir de esa escogencia, describe cómo encontrar los
puntos correspondientes a los números: 3, -5, 7/3 y
√2, luego los sitúa en l a recta L.
1.5
Usa la notación fraccionaria, la decimal o la Ejemplo: Busca en internet el tamaño del diámetro de
científica para representar números según la un pelo, el tamaño promedio de un niño al nacer, la
situación dada.
distancia de la luna a la tierra, el ingreso anual
promedio por habitante en Colombia, el tamaño de
una bacteria y el diámetro medio de la vía láctea.
Escribe esas cantidades usando la notación más
conveniente y justifica su elección
2.
Diferencias entre racionales e irracionales
Muestra intuitivamente algunas de las propiedades más importantes de los números racionales como la
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
48
densidad y la numerabilidad. Reconoce algunas diferencias entre los racionales y los irracionales.
2.1.
Muestra que entre dos números racionales
siempre se puede encontrar otro número racional.
Ejemplo: Encuentra 10 números racionales entre 1/3
y 1/2. Propone una estrategia que siempre funcione,
para encontrar un número racional entre cualquier
par de racionales diferentes y . Muestra por qué
su estrategia funciona. La ilustra gráficamente.
2.2. Explica de manera intuitiva por qué hay tantos Ejemplo: Dados los conjuntos
enteros como naturales
de los números naturales, y
de los números
enteros, establece una correspondencia biunívoca
(uno a uno) entre y así:
A los número naturales 25 y 30,
¿cuáles enteros les corresponde? El número entero 10 es el correspondiente a ¿cuál número natural?
Busca una manera de expresar esta correspondencia
en forma general. Muestra que esta relación permite
asociar cada número natural con un único entero y
cada entero con un único natural. Analiza lo hecho y
escribe sus conclusiones. Busca en internet otras
maneras de hacerlo.
2.3. Reconoce que los números racionales no son Ejemplo: Muestra cuáles de las siguientes ecuaciones
suficientes para resolver ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando números racionales y
sencillas.
cuáles no y justifica su respuesta:
,
,
,
Halla las
soluciones racionales de las que se puedan resolver.


 






 

     


2.4. Muestra intuitivamente algunas diferencias Ejemplo: Muestra que
no es un número racional.
entre los racionales y l os reales. Explica de manera Ejemplo 2: Establece una conjetura acerca de bajo
intuitiva por qué hay reales que no son racionales
qué condiciones para n, el número
es irracional.
Muestra algunos ejemplos y justifica su conjetura con
argumentos matemáticos. Ejemplo 3: Indica cuáles de
los siguientes números son racionales y cuáles no y
por qué:
2.5. Muestra que, a cada punto de una recta
numérica, dotada de un sistema de coordenadas, le
corresponde un número real pero no necesariamente
un número racional

, 

,  
 
Ejemplo: En el plano cartesiano de origen O, traza el
punto A de coordenadas (1,0), el punto B de
coordenadas
y los segmentos OB y AB. Con el
compás traslada el punto B sobre el eje X al punto D
. ¿Cuál es el valor de la
con coordenadas
coordenada (abscisa de D)? Muestra que al punto
D, que está sobre una recta numérica, le corresponde
el número
que no es un número racional.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once






49



Ejemplo 2: Indica otros irracionales diferentes de
¿Conoce alguno que no sea de la forma
?
.
2.6.
Muestra algunas propiedades de la aritmética Ejemplo 1: Cuáles de las siguientes afirmaciones son
de los racionales y de los irracionales.
ciertas y ¿por qué?: Si y son racionales la suma y
el producto son racionales. Si y son irracionales la
suma y el producto son irracionales. Si es racional y
irracional la suma y el producto son irracionales.
Ejemplo 2: Dada una circunferencia de longitud y
radio , muestra que los números y no pueden
ser ambos racionales.
2.7.
Dados dos números enteros cualesquiera, Ejemplo 1: Construye una serie de triángulos
genera infinitos números irracionales, usando rectángulos cuyos catetos miden y , donde es un
triángulos y el teorema de Pitágoras
número natural
. Halla la medida
de la hipotenusa y muestra para cuáles
la longitud de la hipotenusa es un número
irracional. Interpreta ese resultado en términos de las
coordenadas de los puntos de una recta. ¿Para cuále s
otros valores de la longitud de la hipotenusa es un
número irracional? ¿Para cualquier valor de n?
Ejemplo 2: Construye un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden 1 y 1. Traza un segundo triángulo
rectángulo cuyos catetos son la hipotenusa del
primero y el otro mide 1. Traza un tercer triángulo
rectángulo cuyos catetos son la hipotenusa del
segundo y el otro cateto mide unos. Continúa en esa
forma. ¿Cuánto mide la hipotenusa en cada caso? Si
continúa así, ¿cuánto mide la hipotenusa del décimo
triángulo? Reproduce esa construcción con una hoja
cuadrada y origami. Ejemplo 3: Justifica por qué el
punto A de la gráfica corresponde a
¿Cómo
encuentra el punto correspondiente a
  














3.Números Complejos
Comprende la defi nición, la representación y la aritmética básica entre números complejos
3.1.
Justifica la necesidad de introducir los
Ejemplo: Muestra por qué la ecuación:
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
 
50
,
números complejos.
3.2.
Indica la definición de i: un número cuyo
cuadrado es -1, y de los números complejos, como los
números de la forma
, donde es una solución
de la ecuación:
.
3.3. Muestra que cualquier número real r es un
número complejo de la forma r+0i.
3.4.
Representa números complejos en la forma
a+bi o como puntos de coordenadas (a, b) en el plano
complejo.

 

no tiene ningún número real que la satisfaga
Ejemplo 1: muestra que las soluciones de la ecuación:
son:
Ejemplo 2: Justifica por
qué no es un número real.
 








Ejemplo: Muestra que el real 5 se puede escribir
como 5 + 0i.
Ejemplo: Representa en el plano complejo los
números:
.
   
Comprende y realiza operaciones básicas con números complejos.
(– ) 
 

  
        

3.5.
Calcula sumas, restas, multiplicaciones y Ejemplo: Calcula:
divisiones con números complejos.
3.6. Usa los números complejos en la resolución de Ejemplo: Resuelve las ecuaciones:
ecuaciones polinomiales.
y
Traza las gráficas de los
polinomios respectivos
y
, y
explica cómo interpretar gráficamente las sol uciones
de las ecuaciones anteriores para un valor particular
de .
4. Vectores
Lee, escribe y representa vectores, realiza operaciones fundamentales y los usa para resolver problemas y
modelar situaciones.
4.1. Lee, escribe y representa vectores de diferentes
maneras.
Ejemplo 1: Representa en el plano cartesiano el
vector u que va del punto
al punto
como un vector u1 [1, -6], del punto
a un
punto
Ejemplo 2: Representa en el plano el
vector de componentes:
.




4.2. Realiza operaciones fundamentales entre
vectores: la suma
, la diferencia
, el
producto de un vector por un escalar (número
real),
, y el producto escalar (también llamado
producto punto) de dos vectores
, y muestra sus
propiedades


 










  

Ejemplo 1: Dados dos vectores
y
, halla la suma
, la diferencia
, el
producto por un escalar
y el producto escalar
. Representa en el plano las operaciones y sus
resultados. Ejemplo 2: Muestra que la suma de
vectores en R2 es una operación conmutativa.




 
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
51
4.3.
Calcula la magnitud de un vector usando el
teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la magnitud del vector
justifica su respuesta.
y
   
4.4. Calcula el producto escalar o producto punto Ejemplo: Calcula
si
entre dos vectores. Muestra que dos vectores son
es perpendicular a
perpendiculares si y sólo si el producto punto es cero. perpendiculares.


pero
Muestra que
y no son
       
4.5.
Descompone un vector como la suma de una
componente horizontal y una vertical
Ejemplo:
. Traza una gráfica.

4.6. Utiliza los conocimientos de vectores para
resolver problemas.
Ejemplo 1: Usa vectores y su aritmética para resolver
problemas de fuerzas, tomados del texto de física.
Ejemplo 2: Le pregunta al profesor de física para qué
se usan los vectores en esa materia.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
52
Aprendizajes en pensamiento espacial y sistemas geométricos
COMPRENSIONES
PREGUNTS ESENCIALES
Los estudia ntes comprenderán que…



La correspondencia entre puntos de la recta y
números reales se extiende a una correspondencia
entre puntos en un plano y parejas de números
reales y puntos en el espacio y tripletas de números
reales.
El edifici o de la geometría euclidi ana está construi do
sobre unas pocas definiciones y unos pocos
postulados.
Las propiedades geométricas de las cónica s permiten
usarlas para modelar situaciones cuotidianas.
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…





¿Por qué se llaman cónicas ?
¿Qué relación hay entre la parábola y las antenas
parabólicas?
¿Qué relación hay entre las elipses y un salón
elíptico?
¿Cómo se trazan espirales?
¿Cómo se localizan puntos en el espacio?
CONOCIMIENTOS
Los estudiantes sabrán …. (C)




Nociones Geométricas Básica s
Nociones básicas de geometría del espacio
Cónicas
Curvas y lugares geométricos
HABILIDADES
Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)






Reconocer las definiciones y demostrar teoremas
bási cos de la geometría euclidia na.
Usar coordenadas rectangulares para si tuar puntos y
objetos y para probar relaciones en el plano y en el
espacio.
Representar puntos en el espacio tri-dimensional
usando coordenadas rectangulares, esféricas y
cilíndricas. Pasar de un sistema de coordenadas a
otro.
Identifica r las cónicas por sus ecuaci ones, sus gráficas
y sus propiedades y utilizarlas para plantear
problemas, modelar situaciones y resolver
problemas.
Usar argumentos algebraicos para resolver
problemas geométricos y usar argumentos
geométricos para resolver problemas algebraicos.
Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos
y matemáticos .
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
53
Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1.
Nociones Geométricas Básicas
Usa apropiadamente el vocabulario, conoce y comprende las definiciones y afirmaciones
geométricas básicas y las usa para resolver prob lemas.
Prueba teoremas básicos de la geometría.
1.1
Reconoce propiedades y relaciones Ejemplo 1: ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores
geométricas en polígonos regulares o no de un polígono de n lados? ¿Cuál es la suma de los
regulares de cualquier número de lados.
ángulos exteriores de un polígono de n lados? ¿Por
qué? Ejemplo 2: Traza un pentágono cualquiera y
calcula el área a partir de la longitud de los lados y los
ángulos. Ejemplo 3: En el plano cartesiano traza un
triángulo cualquiera y verifica la desigualdad del
triángulo usando coordenadas
1.2
Sigue una cadena de razonamientos Ejemplo 1: Busca en Internet pruebas de alguno de
que llevan a la prueba de un teorema básico los teoremas de Tales, las analiza, reproduce alguna y
y es capaz de reproducirla
justifica su elección. Ejemplo 2: Juzga la validez de
una prueba hecha por un compañero. Identifica
errores si los hay.
1.3
Se interesa y comprende las raíces Ejemplo: Busca en internet una copia de los
históricas de los resultados matemáticos.
Elementos de Euclides, busca allí la manera como
Euclides demostró el teorema de Pitágoras y trata de
seguir esa demostración.
1.4
Elabora
conjeturas
sobre Ejemplo: Toma un cuadrado, halla los puntos medios
afirmaciones geométricas y las valida o de los lados y los une en orden ¿Qué obtiene? Hace
refuta
la misma construcción con un rectángulo. Luego la
hace con un cuadrilátero cualquiera. Propone una
conjetura, prueba que es cierta o que es falsa. Ensaya
con otros polígonos. Intercambia sus conjeturas y sus
pruebas con las de un compañero y juzga la validez
del trabajo del compañero.
1.5
Comprende la diferencia entre una Ejemplo: Explica con palabras sencillas la diferencia
afirmación del tipo: p implica q y una entre la afirmación: “Dados dos triángulos, si son
afirmación del tipo: q implica p. Sabe cómo congruentes, entonces todos sus ángulos
demostrar que una afirmación del tipo p correspondientes son iguales” y la afirmación:
implica q es verdadera y cómo demostrar “Dados dos triángulos, si todos sus ángulos
que es falsa
correspondientes son iguales entonces son
congruentes”. Determina y prueba cuál es verdadera
y cuál es falsa.
2.
Nociones básicas de geometría del espacio
Conoce y comprende nociones básicas de geometría en el espacio
2.1 Utiliza el sistema de coordenadas Ejemplo 1: Muestra en la gráfica cuál sería el eje X,
cartesianas para situar puntos en el espacio. cuál el eje Y y cuál el eje z en un sistema de la mano
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
54

Comprende qué significa
y describe cómo derecha.
trazar un sistema de coordenadas en tres
dimensiones. Explica qué es un sistema que
satisface la “regla de la mano derecha”.
Ejemplo 2: Traza un sistema de coordenadas en R3 y
sitúa el punto A(1,2,3)
Ejemplo 3: Halla la distancia entre los puntos A(1,2,3)
y B(-1,2,½).
  
2.2
Describe y representa planos en el Ejemplo 1: La ecuación del plano
es z
, porque
espacio. Indica que la ecuación de la forma los puntos del plano
son todos los de la forma:
ax+by+cz+d=0 representa un plano en el
donde
y
son números reales
espacio
cualesquiera, pero la última coordenada es cero.
Ejemplo 2: Halla dos puntos situados en el plano


 

  
origen
Muestra que ese plano pasa por el
Los
puntos
¿están en ese plano? ¿Por
qué?
2.3
Representa puntos en el espacio Ejemplo1: Halla las coordenadas rectangulares
usando coordenadas esféricas y cilíndricas. (cartesianas) de los puntos A y B cuyas coordenadas
Pasa de una a otra
cilíndricas son: A(5,π/2,3) y B(2,π/3,-3) Ejemplo 2:
Halla las coordenadas cartesianas y cilíndricas del
punto C cuyas coordenadas esféricas son:
(2,π/3,π/2). Ejemplo 3: Halla la ecuación de una
esfera de centro en el origen y radio 1 en
coordenadas cartesianas y esféricas.
3.
Cónicas
Define las diferentes cónicas, deduce las ecuaciones y traza las curvas. Identifica de forma visual,
gráfica y algebraica algunas pro piedades. Resuelve problemas en los que se usan las propiedades
geométricas de las cónicas.
3.1 Averigua en internet de donde viene el
nombre de “cónicas”. Diseña y construye una
maqueta que muestre la procedencia de
elipses, parábolas e hipérbolas
Ejemplo 1: Analiza las diferentes cónicas que se
forman al proyectar el chorro de luz de una linterna
contra una pared. Ejemplo 2: Toma un vaso cilíndrico,
de cristal transparente y lo llena hasta la mitad con
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
55
3.2
Deduce
la
ecuación
de
la
circunferencia a partir de la definición: “La
circunferencia es el conjunto de puntos que
equidistan de un punto fijo” y traza una
gráfica.
3.3
Deduce la ecuación de la elipse a
partir de la definición: Conjunto de puntos
tales que la suma de las distancias a dos
puntos fijos es constante y traza una gráfica.
3.4
Deduce la ecuación de la parábola a
partir de la definición: Conjunto de puntos Q
tales que la distancia de Q a un punto fijo F
es igual a la distancia de Q a una recta fija d y
traza una gráfica
agua coloreada. Analiza y describe las diferentes
curvas que forma la superficie del agua con el vaso, al
ladearlo.
Ejemplo: Halla la ecuación de la circunferencia de
radio 2 y centro en el punto
. Traza una gráfica.
Como la distancia de un punto cualquiera de la
circunferencia P al punto Q(1,2) es igual a:
d(P(x,y),Q(1,2))=
= 2, entonces
esa es la ecuación de la
circunferencia con centro en Q y radio 2.

 

√
    
Ejemplo: Halla la ecuación de la elipse de puntos (x,y)
tales que la suma de las distancias a los puntos (-2,0)
y (2,0) sea igual a 9. Traza una gráfica.
Ejemplo: Usando Geogebra traza una recta d y un
punto exterior F. Construye el conjunto de puntos Q
cuya distancia a d es igual a la distancia a F. Traza una
gráfica.
{Q | distancia de Q a d es igual a la distancia de Q a F}
  
3.5 Traza la gráfica de la parábola
y la de la
parábola
las compara. Indica cuál
representa una función y cuál no y justifica su
respuesta.
  
3.6
Relaciona la ecuación y la gráfica de la Ejemplo: Traza las gráficas de las parábolas:
parábola con la solución de ecuaciones
y a partir de
cuadráticas.
las gráficas resuelve las ecuaciones:
        
     
3.7
Deduce la ecuación de la hipérbola a
partir de la definición: conjunto de puntos
cuya diferencia de las distancias a dos puntos
fijos es constante y traza una gráfica.
Ejemplo 1: Halla la ecuación de la hipérbola de
puntos (x, y) tales que la diferencia de las distancias a
los puntos (-1,0) y (1,0) es 1. Traza una gráfica.
Ejemplo 2: Muestra que la ecuación:
     
 
corresponde a una hipérbola. Halla los ejes y los
focos. Traza la gráfica usando Geogebra.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
56
3.8
A partir de las ecuaciones generales Ejemplo 1: Usando Geogebra, analiza cómo cambia la
de las diferentes cónicas, traza las gráficas y gráfica de la parábola
, cuando
analiza cómo cambian las gráficas al cambiar se modifican los parámetros
o
algunos parámetros en la ecuación.
Ejemplo 2: Usando Geogebra, analiza cómo cambia la
gráfica de la hipérbola

  

     cuando c ambia  o cambia .
 
Ejemplo 3: Usando
Geogebra, analiza cómo
cambia la gráfica de la
elipse

   
 
cuando cambian a o
b.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
57
Analiza las gráficas y ecuaciones cuando Ejemplo 1: Determina la ecuación y gráfica de una
aplica una traslación.
circunferencia de radio 1 y
centro en el punto (1, -2).
Ejemplo 2: Determina la
ecuación de la elipse de la
gráfica y justifica por qué.
Ejemplo 3:
Analiza la
ecuación y la gráfica de
la parábola
si se
hace una traslación de
una
unidad
con
respecto al vector [0,1],
es decir, si todos los
puntos se suben una
unidad: el punto de
coordenadas (a,b) pasa
al
punto
de
coordenadas
(a,b+1).
Ejemplo 4: ¿Qué sucede
con la ecuación de la
parábola
si se traslada dos unidades a la
derecha? ¿Si se traslada una unidad hacia arriba y
dos unidades a la derecha? ¿Cuál es el vector de
traslación correspondiente?
3.9
 
 
Aplica las propiedades de las cónicas a la resolución de problemas.
3.10 Reconoce
circunferencias y
hipérbolas.
propiedades
de Ejemplo 1: Identifica objetos de su entorno que
elipses, parábolas e tengan forma de circunferencia o elipse. Justifica por
qué. Ejemplo 2: Busca en internet algunas
propiedades de la parábola y la elipse
3.11 Aplica las propiedades de las cónicas Ejemplo 1: Averigua en qué consiste el “tiro
a la resolución de problemas en ciencias.
parabólico” y por qué se llama parabólico. Busca un
ejemplo de tiro parabólico y analiza la gráfica.
Ejemplo 2: Según las leyes de Kepler, las órbitas de
los planetas son elípticas. Averigua cómo es la forma
de la órbita de la tierra y cómo la de Mercurio y las
representa gráficamente. Averigua cómo se enuncia
la ley de Kepler mencionada.
Aplica las propiedades de las cónicas a la Ejemplo 2: ¿Por qué razón se habla del "salón
resolución de problemas en otros contextos. elíptico"? Justifica su respuesta. Ejemplo 2: ¿Por qué
y cómo se usa la parábola para construir antenas
parabólicas? ¿Cuál es la propiedad de la parábola que
hace que las antenas parabólicas sean eficientes?
Ejemplo 3: En un terremoto las ondas sísmicas se
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
58
propagan en forma de círculos con centro en el
epicentro. Si dos estaciones situadas a 200Km de
distancia (una de otra) reportan que percibieron un
terremoto, una a 300Km y otra a 200Km, de la
estación, ¿son esos datos suficientes para determinar
con exactitud el epicentro? En caso de que no sea
posible, indica por qué y propone qué se requeriría
para poder hacerlo. Ejemplo 4: Un depósito tiene una
puerta en forma de arco parabólico que mide 3m de
ancho en la base y 4m de alto, en el punto más alto.
Identifica una parábola que satisfaga esas
condiciones. Determina cuál es la caja de forma
cúbica de mayor volumen que puede entrar por esa
puerta y justifica su respuesta. Propone otros
problemas aprovechando ese contexto.
4.
Curvas y Lugares Geométricos
Reconoce y describe curvas y lugares geométricos. Conoce y analiza algunos tipos de curvas.
4.1
Averigua en internet acerca de otros Ejemplo 1: Averigua acerca de la braquistocrona.
tipos de curvas.
Traza la curva y busca algunas de sus propiedades.
Ejemplo 2: Averigua en internet por diferentes tipos
de espirales, en qué objetos de la naturaleza
aparecen estas curvas, por qué se les llama “la curva
de la vida” y por qué son tan frecuentes en la
naturaleza. Traza alguna espiral usando Geogebra.
Saca una fotografía o busca una lámina que muestre
una espiral en la naturaleza.
Reconoce y describe lugares geométricos.
4.2
Comprende qué significa un “lugar Ejemplo 1: Describe el lugar geométrico de los puntos
geométrico”, reconoce lugares geométricos, Q del plano que distan 1 del punto P de coordenadas
traza la gráfica y explora la figura
(1,1). Traza la gráfica. Ejemplo 2: Usando Geogebra
hace la siguiente construcción: Traza una
circunferencia y un punto E sobre la circunferencia.
Traza la recta OE que pasa por el centro O de la
circunferencia y por el punto E. Traza un punto F
exterior a la recta OE y el segmento FE. Traza la
mediatriz del segmento FE y el punto Q de corte de
ésta con la recta OE. Explora el lugar geométrico que
describe Q cuando se mueve E. Tiene en cuenta que E
debe moverse exclusivamente sobre la circunferencia
y la circunferencia debe permanecer fija. Reconoce la
figura que forma el punto Q al moverse.
Ejemplo 2: LÑos pueblos A y B distan 10 kilómetros el
uno del otro. Se va a construir una antena que les
sirva a ambos pueblos, pero la antena tiene un
alcance de 6 kilómetros. Traza una gráfica y muestra
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
59
en qué sitio se puede construir la antena. Hay un
tercer pueblo que también quisiera poder
beneficiarse de la antena. Ese pueblo está a 8
kilómetros de A y a 8 kilómetros de B. ¿Es posible, y
dónde habría que poner la antena?
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
60
Aprendizaj es en pensa miento métrico y s is temas de medidas
COMPRENSIONES
Los estudiantes comprenderán que…



Es posible medir longitudes, áreas o volúmenes
cualesquiera, mediante procesos de aproximación
sucesiva.
Es posible asignar un valor y comparar atributos
como la belleza, el conoci miento, el dolor, etc.
En procesos de medición, es necesario analizar la
precisión requerida y determinar el proceso, las
herramientas y el sistema de medidas más
apropiado.
PREGUNTS ESENCIALES
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…



¿Qué precisión se requiere y cuáles son el proceso,
las herramientas y el sistema de medidas más
apropiado?
¿Cómo s e mide la pobreza?
¿Qué es el SISBEN? ¿Qué es el PIB?
CONOCIMIENTOS
Los estudiantes sabrán que…. (C)



Estrategias de medición
Mediciones usando aproximaciones s ucesi vas
Medición de atributos
HABILIDADES
Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)





Dada una si tuación en que es necesario efectuar una
medición, analizar qué precisión requiere y diseñar
cómo medir y qué unida des e instrumentos usa r.
Realizar mediciones usando aproximaciones
sucesivas.
Analizar diversas formas de medir atributos tales
como la pobreza, la belleza, el conocimiento, el
dolor, etc.
Plantear y resolver problemas que involucran
medidas, aj ustando la s olución al contexto.
Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos
y matemáticos .
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
61
Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1.
Estrategias de Medición
Diseña estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión
específicos.
1.1
Elige la unidad y la notación numérica
apropiada según el contexto
Ejemplo: Busca en internet el tamaño de un átomo, el
diámetro de un pelo, la altura de la torre Colpatria en
Bogotá, la distancia entre la tierra y la luna y el ancho
de nuestra galaxia. Escoge la unidad y la notación
apropiada que le permita escribir las diferentes
medidas y compararlas. Justifica la elección.
1.2
Elige la estrategia adecuada para Ejemplo 1: Elige una estrategia para medir el grosor
realizar una medición, según el grado de de una hoja de cuaderno. Ejemplo 2: Un médico
precisión requerido.
receta inyectar una dosis de 1cc de cierta medicina
tres veces al día. En el empaque dice que un error
superior al 10% por exceso puede causar la muerte
del paciente y un error superior al 10% por defecto
hace que la medicina no obre. ¿Qué estrategia debe
seguir la enfermera para proteger al paciente? ¿Qué
tipo de jeringa debe usar?
2.
Mediciones usando aproximaciones sucesivas
Justifica los resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de
variación y límites en situaciones de medición.
2.1
Calcula longitudes de curvas, áreas o Ejemplo: Un objeto se desplaza sobre una trayectoria
volúmenes
usando
aproximaciones que tiene la forma de la parábola y =
desde el
sucesivas.
punto
hasta el punto
Calcula,
mediante aproximaciones sucesivas, la distancia
recorrida por el objeto. Realiza el proceso varias
veces obteniendo cada vez una mayor precisión.
Traza una gráfica que ilustre la situación. ¿Cómo halla


las coordenadas de los puntos A, S, T, P … y las
magnitudes de los segmentos AS, ST, TP, …?
2.2
Tiene en cuenta el rango de variación Ejemplo: Un médico le prescribe a un enfermo tomar
en procesos de medición.
una dosis de 10 gramos de una medicina, cada 8
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
62
horas por 3 días. La etiqueta del medicamento dice:
“Atención. Luego de 8 horas queda 1/3 de la
medicina en su organismo. Si se excede los 14 gramos
acuda inmediatamente a urgencias”. ¿La dosis
prescrita por el médico pone en peligro al enfermo?
¿Por qué? Hace una tabla y una gráfica que ilustren la
situación.
3.
Razones entre cantidades y medición de atributos.
Resuelve y formula problemas que involucran magnitudes cuyos valores medios se suelen definir
indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, tales como velocidad media,
aceleración media o densidad media.
3.1
Resuelve problemas que involucran Ejemplo 1: Un ciclista en la vuelta a Colombia,
razones entre magnitudes
demora 2:30 horas en ir de Armenia a Cajamarca.Se
imagina ´como pudo haber sido el recorrido del
ciclista y hace las gráficas de la distancia recorrida
con respecto al tiempo y la gráfica de la velocidad
con respecto al tiempo durante ese recorrido.
Compara las dos gráficas y analiza posibles
incongruencias entre ellas o entre ellas y el contexto.
A partir de las gráficas escribe una narración de los
principales momentos de la carrera. (Imagínese que
es un locutor narrando la vuelta a Colombia) Ejemplo
2: Explica qué mide el marcador de velocidad de un
carro en un instante dado
3.2
Formula y resuelve problemas que Ejemplo 1: Averigua en internet cuál es la densidad
involucran el valor medio de dos de dos materiales diferentes. Compara las
magnitudes.
densidades y explica en qué consiste la diferencia.
Ejemplo 2: Hace una gráfica, coloca en el eje
horizontal la edad y en el eje vertical el peso
promedio de una persona desde que nace hasta los
60 años, con datos tomados de internet. A partir de
la gráfica, formula y resuelve preguntas como: ¿Cuál
es el peso promedio entre los 25 y los 40 años de
edad? ¿Cuál es el peso promedio entre los 50 y los 60
años? ¿A qué edad el peso suele ser el máximo?
3.3
Plantea estrategias para medir y Ejemplo 1: Busca en internet qué es el IPC y diseña
analizar la medida de cualidades, atributos o una estrategia para medir el IPC en su municipio.
ideas abstractas.
Ejemplo 2: Analiza la manera como se mide a las
familias para asignarles el “Sisben”. Escribe un
comentario sobre esa medición y su significado.
Ejemplo 3: Averigua en internet qué es el PIB, cómo
se mide y para qué se utiliza. Busca los datos del PIB
de Colombia y otros cinco países en los últimos 10
años y hace un pequeño ensayo comentando los
cambios, las semejanzas y las diferencias. Ejemplo 4:
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
63
Analiza l a manera como se mide la “belleza” en el
concurso de Miss Universo. Ejemplo 5: Averigua
cómo mide la UNESCO el nivel de analfabetismo de
un país. Analiza la manera cómo ha cambiado el
índice de analfabetismo en los últimos 10 años en el
mundo y en Colombia. Averigua cómo son las
expectativas para el mundo y para Colombia para el
2020.
3.4
Plantea y resuelve problemas que Ejemplo1: Busca en un periódico reciente alguna
involucran la medida de atributos
noticia que dependa de la medición de algún atributo
o cualidad. Analiza la forma como se definieron e
hicieron las mediciones y escribe un comentario.
Ejemplo 2: Analiza la manera como se miden en el
colegio sus conocimientos de matemáticas. Escribe
un pequeño ensayo analizando los aciertos y
desaciertos de esa práctica y propone mejoras con su
justificación.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
64
Aprendizajes en pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos
COMPRENSIONES
Los estudia ntes comprenderán que…






Las funciones son una poderosa herramienta para
modelar, manipular y predecir en si tuaciones en las
cuales la variación de una variable está ligada a la
variaci ón de otra.
Es posi ble acercarse al i nfinito y manipularlo a través
de construcciones matemáticas.
El ál gebra es un lenguaje cuya escritura ideográfica
universa l le permite a las matemática s y a la s ci encias
expresar de manera unívoca relaciones entre
variables. Es necesario leer, escribir e interpretar
mensajes escritos en ese lenguaje.
Las curvas en el pla no son una herramienta poderosa
para presentar información acerca de la relación
entre dos variables. Es necesario interpretar esta
información en contextos de ciencias o cuotidianos.
Identificar características propias de diferentes tipos
de funciones es indis pensable para decidir qué usar
para modelar si tuaciones.
El cálculo y la derivada permiten describir, medir y
manipular el movimiento y el cambio.
PREGUNTS ESENCIALES
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…





¿Si hay que modelar una situación, cómo saber qué
función s e debe elegir?
¿Cómo cambia la gráfica de una función si se hacen
cambios a la función?
¿Qué se puede modelar usando funciones a trozos o
funciones ra cionales?
¿Qué hay que hacer para interpretar la información
consignada en una curva, que aparece en un
periódico, una revis ta, internet o la TV?
¿Cómo juzgar la validez de una conclusión de un
artículo, si se basa en información dada en una
curva?
CONOCIMIENTOS
Los estudiantes sabrán …. (C)








Funciones racionales, a trozos y función valor
absoluto.
Aritmética de funciones, suma, producto,
compuesta, inversa.
Sucesiones
Razón de cambio promedio e instantáneo. Pendiente
de la recta tangente.
Definición de derivada.
*Derivada de un monomio, de un poli nomio.
*Relación entre la gráfica de una función y su
derivada
*Aplicaciones de la derivada: ratas de cambio,
tangente a una curva, velocidad, gráfica de una
curva, máximos y mínimos.
HABILIDADES
Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)







Traza las curvas de funciones ra cionales, funciones a
trozos y función val or absoluto y resuelve ecuaci ones
y desigualdades que involucran estas funciones.
Efectúa operaciones entre funci ones. Hall a la inversa
de una función.
Halla el término siguiente, el término que ocupa un
sitio dado o el patrón de formación en una sucesión
representada en forma gráfica o algebraica.
*Calcula la derivada de una función polinómica y
traza la gráfica de la derivada.
*Aplica las derivadas a calcul ar razones de cambio,
tangentes a curvas, máximos o mínimos y curvas de
funciones.
*Relaciona la gráfica de una curva y l a de su derivada
y las utiliza para modelar y analizar situaciones.
Justifica lo que hace, usando ar gumentos i ntuitivos y
matemáticos.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
65
Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1.
Definición de función. Funciones racionales.
   
1.1 Explica la definición de función y determina Ejemplo: Compara
con
. Indica cuál
cuando una relación es una función y cuando no.
define una función de los reales en los reales y cuál
no. Hace la gráfica correspondiente
1.2
Realiza diferentes operaciones entre Ejemplo1: Factoriza la expresión: 3 x3 2 -9 x1 2 +6 x-1 2 y
expresiones algebraicas: sumas, productos, cocientes, resuelve la ecuación 3 x3/2 -9 x 1/2 +6 x -1/2 = 0. Ejemplo
potencias.
2:Indica por qué las siguientes igualdades son falsas:
y
+
Construye un
       



contraejemplo en cada caso.
1.3 Define una función racional como
Ejemplo: Calcula los valores de
donde
son dos
para
polinomios y
Calcula el valor de una
. Qué sucede si
función racional para diferentes polinomios y
diferentes valores de x.
   
    

 


1.4
Reconoce que el dominio de una función
racional
son todos los reales
excepto aquellos para los cuales
.
Ejemplo 1: Indica cuál es el dominio y cuál el rango de
la función racional:
       
?
   
  

 
Ejemplo
2: Compara la función
con la
función
Indica las
semejanzas y diferencias. Traza una gráfica
que ilustre la situación.
  
1.5
Analiza la función
para
dos polinomios particulares
y
. Traza la
gráfica e indica: dominio, rango, cortes con los ejes,
donde crece y donde decrece. Justifica intuitivamente
las respuestas. Analiza en qué consiste una asíntota y
cuándo una función tiene asíntotas horizontales y
cuándo tiene asíntotas verticales.



Ejemplo1: Analiza la función:
Traza
la gráfica e indica qué pasa cuándo
y qué pasa
cuándo se acerca a 1 por la derecha y por la
izquierda. Indica qué sucede cuando
tiende a
infinito y a menos infinito. Indica cuál es el dominio y
cuál el rango de la función. Muestra y justifica cuáles
son las asíntotas horizontales y verticales de la
función.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

66

Ejemplo 2: Argumenta por qué la función
a pesar de ser una función racional, no posee
asíntotas verticales. ¿Tiene asíntotas horizontales?
¿Por qué?




Ejemplo 3: Analiza la función g(x) =
Determina el
dominio, el rango y las asíntotas horizontales y
verticales.
Ejemplo 4: Analiza la función dada por la gráfica
adjunta. Propone una representación algebraica y
justifica la respuesta. Hace una tabla, con por lo
menos 10 puntos (aproximados) que pertenecen a la
función.
Funciones a trozos. Función valor absoluto.
1.6 Define una función a trozos dividiendo el dominio Ejemplo 1. Analiza y traza la gráfica de la función:
en dos o más pedazos, y definiendo los valores de la
función de forma particular para cada pedazo
Indica el dominio y el rango de la función f(x).
    
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
67
Ejemplo 2: Dada la siguiente gráfica definida a trozos,
determinar su representación algebraica.
1.7 Reconoce la función “valor absoluto” como la
función definida a trozos así:
|x|=
 
Analiza la función. Determina el dominio y el rango.
1.8 Traza gráficas de funciones que involucran valor
absoluto
1.9 Resuelve ecuaciones y desigualdades que
involucran valor absoluto por medios
algebraicos o gráficos.
Ejemplo: Traza la gráfica de la función:
f(x) = | +x| - 2 y la compara con
g(x) =
Indica cuál es el dominio y cual el
rango de cada una.
  
    

   
Ejemplo: Resuelve la ecuación:
resuelve la desigualdad:
gráfica anterior
y
analizando la
2.
Operaciones entre funciones. Función inversa.
Realiza diferentes operaciones entre funciones: suma, resta, multiplicación, composición y halla la función
inversa cuando existe.
2.1
Realiza
funciones.
operaciones
aritméticas
    
     
        
entre Ejemplo: Dadas las funciones:
y
, halla la función
   
determina
2.2
Calcula la compuesta de dos funciones
      
Ejemplo
función:
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
1:
,
y el dominio y rango de .
Dadas
las
funciones:
y
, halla la
h: f compuesta con g,
68





     

  

, k: g compuesta con f
y s:
Determina
, y el dominio
y rango de
y de . Qué relación hay entre
Ejemplo 2: La función
se puede escribir como compuesta
¿de cuáles funciones? ¿en qué orden?







 
2.3 Comprende que una función f es la inversa de una Ejemplo1: Muestra que la función
función g
si y sólo si para cualquier del es la inversa de la función
dominio
y
calculando
y
*2
-3
x
2x
2x -3
   
     

*1/2
+3
Ejemplo 2: Muestra que las funciones f(x) =
son la una inversa de la otra.

2.4
Determina cuándo existe la inversa de una
función y la halla si existe. Determina, a partir de la
gráfica de una función y de la definición de función,
cuándo existe inversa y cuándo no.
,

y g(x)=
Ejemplo 1: Analiza la gráfica siguiente y determina
que la función no tiene inversa y justifica por qué.
Ejemplo 2: Determina cuáles de las siguientes
funciones tienen inversa y cuáles no y justifica su
respuesta.
,
=
,
. Ejemplo 3: Para las funciones f y g, averigua
si la función tiene i nversa, halla la inversa y traza las
gráficas de la función y su inversa en los mismos ejes.
Analiza sus relaciones geométricas.
.
 





  



 
Funciones trigonométricas inversas
2.5 Determina cuáles funciones trigonométricas Ejemplo 1: Restringe el dominio de la función seno de
tienen inversa. Halla las inversas y sus gráficas. tal manera que tenga inversa y la define. Traza la
Restringe el dominio de tal manera que exista la gráfica.
función inversa y traza su gráfica con ayuda de alguna
aplicación tecnológica.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
69
2.6 Utiliza las funciones inversas para resolver
ecuaciones





    
 
Ejemplo: Resuelve la ecuación:
¿Para
qué valores de x entre
? ¿Qué
respuesta le da la calculadora para
?
¿Cuáles son todas las soluciones de la ecuación:
y por qué? Analiza la gráfica de la
función sen(x) y resuelve la ecuación a partir de la
gráfica. Las coordenadas x de los puntos de corte de
la gráfica de la función seno con la recta y=1/2 son las
soluciones de la ecuación
  
  
¿Por qué?
3 Aplicaciones de funciones. Modelación.
Comprende y compara las propiedades de los diferentes tipos de funciones que conoce y las usa para
resolver problemas y modelar situaciones
3.1 Comprende y compara las propiedades de Ejemplo 1: traza la gráfica y analiza las funciones:
funciones polinómicas, racionales, a trozos, valor
y
h(x) =
absoluto,
exponenciales,
logarítmicas
y
. ¿Cuál es el domini o y cuál el rango de cada
trigonométricas.
una y por qué? ¿Hay alguna periódica? Si hay, halle el
período. Estima el valor de
Ejemplo 2: Usando tecnología, como la aplicación
Wolfram Alpha, o Geogebra, traza las gráficas de las
funciones
y
, analiza sus
diferencias y calcula el valor de
Ejemplo
3: Traza las gráficas y analiza el comportamiento de
las funciones:
y g(x) =
Indica cuál es el dominio y cuál el rango
de cada una y justifica su respuesta. ¿Qué relación
hay entre las dos funciones?








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
  

    



Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
70
3.2 Resuelve ecuaciones sencillas que involucran Ejemplo 1: Halla las soluciones de la ecuación sen(x) =
funciones polinomiales, racionales, exponenciales,
Ejemplo 2: Halla todas las soluciones de la
logarítmicas y trigonométricas
ecuación:

  
3.3 Resuelve desigualdades sencillas que involucran Ejemplo: Halla las soluciones de las desigualdades
expresiones algebraicas y trigonométricas
usando métodos gráficos o algebraicos:
y
Qué
valores de x satisfacen ambas desigualdades?
       
Modela diferentes situaciones usando funciones.
3.4 Identifica relaciones cuantitativas en una
situación y determina la(s) clase(s) de funciones que
podrían modelar estas relaciones
Ejemplo: Propone una función (puede ser a trozos)
que modele la siguiente situación: La empresa HH
inició actividades en el 2000. Los dos primeros años
las ganancias fueron moderadas, pero aumentaron
constantemente. Luego vinieron cuatro años
excelentes, las ganancias aumentaron cada vez más y
al finalizar el 2006 obtuvieron las mayores ganancias
de su historia, situación que se mantuvo estable por
un año, pero vinieron circunstancias difíciles en el
mercado, las ventas bajaron considerable mente y las
ganancias disminuyeron cada vez más hasta llegar a
tener pérdidas durante los años 2010 y 2011. Pero se
logró recuperar, han venido aumentando las
ganancias desde entonces y al finalizar el 2014
reportan unas ganancias del 75% de las reportadas en
el 2007. Justifica su escogencia.
3.5 Usa propiedades de las funciones para modelar
situaciones particulares
Ejemplo 1: Analiza la diferencia en la manera como
crece una función lineal, una polinomial, una
logarítmica y una exponencial y busca situaciones que
se puedan modelar con cada una de ellas. Ejemplo 2:
En un laboratorio hacen un experimento con un
cultivo de bacterias. Si el experimento se inicia con
500 bacterias y el número se dobla cada media hora,
¿cuántas bacterias habrá en cuatro horas? Plantea
una función que modela la situación y hace una
gráfica. Si en el laboratorio pueden tener máximo 100
millones de bacterias, ¿cuánto tiempo máximo
pueden continuar con el experimento?
3.6
Interpreta información presentada en forma Ejemplo: En una revista aparece la siguiente gráfica
gráfica.
que representa las ventas de cierta empresa durante
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
71
sus 23 años de existencia. A partir de la gráfica
escribe un reporte indicando en palabras cuál ha sido
ese comportamiento
4
Sucesiones
4.1 Reconoce una sucesión como una lista infinita de
números, que siguen cierto patrón. Dada una
sucesión, encuentra el término siguiente a un término
dado y describe el patrón general
Ejemplo 1: Dada la sucesión: 3, 6, 9, 12, 15, … indica
que a1=3, a2=6 , a3 = 9 , a4= 12 , a5= 15, …, el término
que sigue a , a5 es a6 =18. A un término cualquiera an
le sigue el término, a n+1 = an+3 y un término
cualquiera se puede escribir como: an= 3n , donde la
n de an sirve para indicar el puesto que ocupa ese
número en la fila, o para contar el número de
elementos que hay hasta an en la sucesión. El número
an= 3n describe el patrón de formación de esta
sucesión. El número a 1 = 3x1 es el primer término, a 2
= 3x2 el segundo término, a 3 = 3x3 el tercer término y
an = 3xn el enésimo término de la sucesión. Ejemplo
2: Halla los 6 primeros términos y el término 20 de la
sucesión: an = n2 – (-1) n, y de la sucesión: a1=2 y
an=1/an-1 Ejemplo 3: Encuentra el décimo término y el
término general de la siguiente sucesión, y los
representa en forma gráfica y numérica. Justifica su
respuesta con argumentos algebraicos o geométricos:
Aplicaciones de las sucesiones
4.1 Usa las sucesiones para calcular interés
compuesto
Ejemplo 1: En cierta ciudad el valor de las casas
aumenta el 10% anual, Si Carlos compra una casa en
50 millones, ¿cuánto costará al final de 1, 2, 3 y 4
años? ¿Después de cuánto tiempo vale el doble?
Hace una tabla representando esos valores. Ejemplo
2: María recibe dos ofertas de trabajo: el sueldo
inicial es en ambos casos 2 millones de pesos, pero en
una le prometen un aumento anual de $100.000
mientras en la otra le ofrecen un aumento del 4.5% al
final de cada año. ¿Cuál es el sueldo en cada caso, al
inicio de cada uno de los 10 primeros años? Si María
piensa permanecer 20 años en esa empresa, ¿cuál
oferta es mejor y por qué? Si sólo piensa permanecer
5 años, porque quiere estudiar luego, ¿cuál oferta es
mejor y por qué? Ejemplo 3: En una fábrica compran
en un millón de pesos una máquina que pierde el 20%
de su valor cada año. ¿Cuánto vale al final de los tres
primeros años? Escribe una fórmula que le permite
calcular rápidamente cuál sería un precio justo si
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
72
4.2 Comprende y representa en forma algebraica o
gráfica sucesiones provenientes de diferentes
contextos. Halla el término siguiente, el término que
ocupa un sitio dado o el patrón de formación
quieren venderla después de n años de uso para
comprar otra y usando la fórmula calcula en cuánto la
debería vender después de diez años de uso.
Ejemplo 1: Analiza la siguiente sucesión. ¿Qué
relación hay entre los números y los dibujos de la
gráfica? Halla el término siguiente, el término que
ocupa el lugar 10 y el término general en forma
gráfica y algebraica.
Ejemplo 2: Analiza la siguiente sucesión. Halla el
término siguiente, el término que ocupa el lugar 10 y
el término general. Un pedazo de alambre tiene la
forma de M como se muestra en la figura. Se hacen
cortes paralelos a las puntas sin tocar éstas. Cuando
se hace un corte se producen 5 pedazos de alambre.
Cuando se hacen dos cortes se producen 9 pedazos,
cuando se hacen 3 cortes se producen 13 pedazos.
¿Cuántos pedazos se producen cuando se hacen 15
cortes de este mismo tipo? ¿Cómo es la sucesión del
número de pedazos según el número de cortes?
5.
La Derivada
Interpreta la noción de derivada como: el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una
función; la razón de cambio instantánea de una función en un punto. Calcula la derivada de algunas funciones
básicas. Aplica la derivada al cálculo de la velocidad instantánea y al trazado y análisis de curvas.
5.1
Dada una función “suave” (con gráfico que se Ejemplo. Con Geogebra dibuja la función
puede hacer sin levantar la mano y que no tiene pi cos
, el punto A(1,2) y un punto
o quiebres), encuentra el valor de la pendiente de la movible C(1+h, f(1+h)) donde h varia de 1 hacia 0.
recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, Dibuja el punto D que es la intersección de las rectas
f(b)), con b = a + h, para h una cantidad positiva paralelas a los ejes que pasan por A y C. Escribe la
pequeña. Luego encuentra el valor de la pendi ente de pendiente de la recta secante que pasa por A y C.
la recta secante manteniendo fijo el valor de a, y Varia h de tal manera que el punto C se acerque al
variando h, de tal manera que h es más pequeño cada punto A. Hace una tabla de los valores de la
vez. Repite el ejercicio para varios valores de h y hace pendiente de la secante cuando el punto C se mueve
una tabla
hacia A, es decir, con valores de h cada vez más
pequeños. ¿El valor de la pendiente tiende a un valor
límite? ¿Qué dicen la gráfica y la tabla?
  
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
73
5.2
h
(f(1+h)f(1))/h
1
1
0,8
1,2
0,6
1,4
0,4
1,6
0,2
1,8
0,1
1,9
0,01
1,99
0,001
1,999
Usa la definición de derivada
Ejemplo 1. Usa la definición de derivada





 para calcular la derivada
deunmonomio.
  para calcular la derivada  




de    en .

   =   
      f´(2) = 4.

5.3 Usa la definición de la derivada para comprobar
las reglas de derivación: la derivada de una constante,
la derivada del producto de una constante por un
monomio, la derivada de la suma de dos monomios,
la derivada de un polinomio.
5.4 Interpreta la derivada de una función como otra
función. Si
es la expresión que define cierta
función, entonces
, también es una
función. Relaciona la gráfica de la función y la de su
derivada. Toma un punto P(a, f(a)) e indica qué
información sobre la función da f´(a).
   

        
  
  
Ejemplo: Encuentra la derivada en
función polinomial:
de la
Ejemplo: Si
, halla la derivada
.
Traza y compara las dos gráficas. ¿Cómo es la gráfica
de f cuando x varía entre -4 y 0? ¿Cómo son los
valores de f´ en ese intervalo? ¿Cómo es la gráfica de
f cuando x= 0? ¿Cómo es la gráfica de f´ en x=0?
Cómo es la gráfica de f cuando x varía entre 0 y 4?
¿Cómo son los valores de f´ en ese intervalo? Para
x=2, ¿qué significa f´(2)?
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
74
5.5 Dada una función f(x), determina la ecuación de Ejemplo: Halla la ecuación de la recta tangente a la
la tangente a la curva en un punto y traza la gráfica. curva,
, en el punto
La recta tangente a la curva en el punto
es:
, ya que f´(a)
es la pendiente m de la recta tangente a la curva en el
punto (a, f(a)).
   

5.6 Analiza la relación entre la derivada de una
función y la gráfica de la función. Razona acerca
del valor de la pendiente en
,
y el comportamiento de la gráfica de
la función. Si el valor de la pendiente en P es un
número positivo la función en ese punto es
creciente, si es negativo la función decrece y si es
cero ni crece ni decrece

  


Ejemplo: Considera la función
, en los intervalos [-2,-1] y [1,2]. La
derivada de f(x) es f´(x) = 0.6x, luego en el intervalo [ 2,-1] la variable es negativa y por tanto la derivada
es negativa, pero la derivada en un punto es la
pendiente de la recta tangente a la curva en ese
punto luego las tangentes a la cueva en el intervalo [ 2,-1] son negativas, como en el punto E y la función
decrece como se parecía en la gráfica. ¿Qué pasa
entre [1,2]?
  

Aplicaciones de la derivada
5.7
Utiliza la derivada para modelar una situación Ejemplo 1: Una compañía fabrica pequeñas piezas de
cuotidiana e interpreta y expl ica con palabras cuál es material quirúrgico en forma de esferas de 5
el significado de la derivada
milímetros de radio y debe mantener una gran
precisión en sus productos. ¿Cómo cambia el
volumen de sus piezas cuando cambia la longitud del
radio entre 5 y 6 milímetros? ¿Cómo es la medida del
cambio instantáneo cuando el radio vale 5
milímetros? Si el error en el volumen no puede ser
superior al 5%, qué error puede haber al medir el
radio? Si al medir el radio se detecta un error del 2%,
es necesario desechar la pieza?
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
75
5.8
Usa el concepto de derivada de una función
para modelar situaciones en las que interviene la
velocidad o la aceleración de un cuerpo en
movimiento
Ejemplo: Un ciclista que participa en la Vuelta a
Colombia, corre la etapa Armenia – Ibagué. Traza una
gráfica de la función que representa la distancia
recorrida con respecto al tiempo y otra de la
velocidad con respecto al tiempo durante el recorrido
de la etapa. Escribe qué hipótesis hizo para trazar las
gráficas y muestra que las dos gráficas son
coherentes. ¿Si f(x) es la gráfica que representa la
distancia recorrida por el ciclista desde la partida
hasta la llegada, cuál es la gráfica de la velocidad?
*Mínimos o máximos, gráficas de funciones.
5.9
Usa el concepto de derivada de una función Ejemplo: Según cierto modelo, la velocidad con que
para modelar situaciones en las que es necesario sale el aire cuando uno tose depende del radio r en
hallar mínimos o máximos
que se contrae la tráquea y es igual a v(r) = k(r 0 – r) r2
donde k es una constante, r0 es el radio normal de la
tráquea y r0 /2< r < r0 . ¿Cuál es el valor de r cuando la
velocidad del aire es máxima?
5.10 Usa el concepto de derivada de una función para
trazar gráficas de funciones. Dada la gráfica de la
función esboza la gráfica de la derivada o viceversa.

Ejemplo 1: Traza la gráfica de la función:
que
pasa por el origen, a partir de la gráfica de su
derivada:
. Para
, ¿qué le dice
sobre la gráfica de la función si conoce la gráfica de la
derivada? Ejemplo 2: Indica, a partir de la gráfica de
su derivada
dónde tiene un máximo o un
mínimo la función:
y explica intuitivamente por
qué.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
   

76
Aprendizajes en pensamiento aleatorio y sistemas de datos
COMPRENSIONES
Los estudia ntes comprenderán que…




Los estudios estadísticos permiten inferir o predecir
resultados a partir del anál is is de datos.
Es posible soportar la validez de una conjetura
basándose en argumentos provenientes de la
probabilidad.
La mayoría de fenómenos naturales no son
determinísticos, tienen una componente estocástica
alta.
Es necesari o analizar y juzgar l a val idez de notici as o
estudios donde aparecen inferencias basadas en
razonamientos estadísticos.
PREGUNTS ESENCIALES
Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las
siguientes preguntas…




¿Cuál representación gráfica sirve para visualizar y
entender mejor un conjunto de datos?
¿Qué medidas estadísticas permiten resumir y
entender cierta información?
¿Cómo se puede responder una pregunta utilizando
información recogida por medio de una encuesta?
¿Qué medidas estadísticas y representaciones
gráficas es mejor usar?
¿Cuándo y cómo se puede usar la probabili dad para
determinar qué tan cierta es una afirmación?
CONOCIMIENTOS
Los estudiantes sabrán …. (C)




La representación e interpretación de datos:
población, muestra, vari able al eatoria, distribución
de frecuencias, parámetros y estadígrafos
Variables aleatorias categóricas o continuas,
variables cualitativas y cuantitativas.
Inferencias y conclusi ones:
Probabilidad condicional y reglas de probabilidad
HABILIDADES
Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)






Interpretar nociones básicas relacionadas con el
manejo de información como población, muestra,
variable aleatoria, distribución de frecuencias,
parámetros y estadígrafos.
Relacionar parejas de variables cualitativas y
cuantitativa s. Resumir y representar los conjuntos de
datos correspondientes en tablas y gráficas .
Justificar o refutar inferencias basadas en
razonamientos estadísticos a partir de estudios
publicados en los medios o diseñados en el ámbito
escolar. Evaluar procesos al eatorios soportados por
experimentos estadísticos.
Hacer inferencias y justificar las conclusiones con
base en muestras de encuestas, experimentos y
estudios observacional es.
Manejar, interpretar y reconocer conceptos de
probabilidad condicional e independencia en el
devenir cotidiano.
Usar las reglas de probabilidad para calcular
probabilidades de eventos compuestos en modelos
cuyos eventos simples son igualmente probables.
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
77
Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas
1.
Representación e interpretación de datos
Interpreta nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra,
variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos. Estudia variables aleatorias
categóricas o continuas mediante representaciones gráficas y medidas estadísticas de datos.
1.1
Reconoce si una variable puede tomar Ejemplo: Clasifica si la variable es continua o
cualquier valor en un intervalo de los reales, o discreta en los siguientes casos: estatura de los
toma valores discretos.
miembros de su familia, color de ojos, colores en
un conjunto de flores, nota final en el curso de
matemáticas.
1.2
Reconoce si los datos provienen de una Ejemplo: Se tienen los datos de las calificaciones
distribución normal y usa tablas y hojas de de un grupo de 40 estudiantes. Realiza el
cálculo para calcular áreas bajo la curva normal y histograma y superpone una curva normal con la
porcentajes poblacionales.
media y la desviación de las calificaciones.
Suponiendo que los datos provienen de una
población normal, el profesor decide que le
coloca excelente al 15% más alto, ¿cuál es la
mínima calificación para obtener excelente en la
evaluación? Si el profesor decide que reprueban
con una calificación de 2,8, ¿qué porcentaje del
grupo pierde el examen?
Relaciona parejas de variables cualitativas y cuant itativ as. Resume y representa los conjuntos d e
datos correspondientes en tablas y gráficas.
1.3
Usa una hoja de cálculo o un software Ejemplo: Ajusta los datos de la cantidad de agua
como Excel o Geogebra para hacer la función de que se le suministra a una planta y su
ajuste a un grupo de datos
crecimiento en determinado periodo de tiempo.
Interpreta modelos lineales.
1.4
Interpreta la pendiente y el intercepto de Ejemplo: Realiza un experimento con un resorte:
un modelo lineal en términos de los datos.
toma un resorte, mantiene una punta fija y
coloca distintos pesos en la otra, mide la
elongación con respecto al peso aplicado por lo
menos para 10 pesos diferentes y hace una tabla
y una gráfica. Determina la recta que mejor se
ajusta a los datos con respecto a la elongación y
la fuerza aplicada. Interpreta la pendiente y el
intercepto de la recta. Averigua en internet
acerca de la ley de Hook para resortes.
1.5 Calcula, usando tecnología, el coeficiente de Ejemplo 1: Calcula la correlación entre la
correlación en un ajuste lineal e interpreta el elongación y la fuerza aplicada, en el ejemplo del
resultado.
resorte (1.4). Averigua si se acerca a uno en
valor absoluto. ¿Qué quiere decir esto con
respecto a la relación lineal entre las dos
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
78
variables? ¿Qué tiene que ver el signo de la
correlación con la pendiente de la recta, en caso
de una relación lineal? Ejemplo 2: Obtiene datos
en Internet del PIB y el porcentaje de
analfabetismo de varios países de todos los
continentes. Halla el coeficiente de correlación
entre estas dos variables. ¿Se acerca a uno en
valor absoluto? ¿Qué información puede concluir
de la magnitud y signo de esta correlación, con
respecto a una posible relación lineal entre las
dos variables? Interpreta los resultados y escribe
un reporte sobre el tema: “Relación entre el PIB y
el analfabetismo”.
2.
Inferencias y conclusiones
Justifica o refuta inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de estudios pu blicados
en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Comprende y evalúa procesos aleatorios
soportados p or experimentos estadísticos.
2.1
Formula una pregunta y diseña un
experimento que le permita responderla.
Identifica cuál es la muestra más conveniente,
qué estadísticos puede utilizar para analizar los
datos y cuál es la representación gráfica más
pertinente. Realiza el proyecto correspondiente y
analiza su desarrollo y la validez de sus
resultados
Ejemplo: Suponga que usted quiere saber cuáles
son las mejores condiciones para el crecimiento
del fríjol que se da en su región, evitando una
plaga típica de ese fríjol. Desea analizar la
cantidad de agua, de luz, de determinado
fertilizante, de plaguicida, etc. Para poder sacar
conclusiones hace distintas combinaciones de los
factores:
agua,
iluminación,
fertilizante,
plaguicida. Decide si estas variables van a ser
cuantitativas, como medición de la cantidad de
agua suministrada diariamente en centímetros
cúbicos o cantidad de fertilizante diario también
en centímetros cúbicos o si va a considerar
variables cualitativas, como: se le suministra
fertilizante o no, se le suministra plaguicida o no,
o cuál de distintos tipos de plaguicida usa, etc.
Decide cuántas combinaciones de estos factores
va a usar y cuántas plantas de fríjoles va a
sembrar, para cada una de las combinaciones de
estos factores. Decide cómo va a medir la
variable de respuesta: podría ser el crecimiento
del tallo o el número de fríjoles por planta,
después de cierto período de tiempo. Analiza qué
estadísticos va a usar: promedio de crecimiento o
de número de fríjoles por planta en cada
combinación de factores, variabilidad en cada
combinación, etc. Indica cómo va a ilustrar
gráficamente los resultados: podría hacer
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
79
diagramas de caja para cada combinación y
ponerlas todas en una misma gráfica u otras que
se le ocurran. Piensa cuál es la más apropiada y
por qué. Discute con sus compañeros las
estrategias propuestas por cada uno y deciden
cuál es la más pertinente y por qué. Realizan en
grupos pequeños el proyecto correspondiente y
analizan su desarrollo y la validez de sus
resultados.
2.2 Usa la estadística para hacer inferencias Ejemplo: Toma 10 estudiantes del curso, obtiene
acerca de los parámetros de una población, datos de su estatura, calcula la media y hace una
basándose en una muestra de esa población.
inferencia sobre la estatura de los estudiantes de
su clase. Analiza el proceso y argumenta sobre la
validez del resultado. ¿Si generaliza las
conclusiones de su estudio a los estudiantes de
undécimo de Colombia, qué tan válidas es? ¿Por
qué?
Hace inferencias y justifica las conclusiones con base en muestras de encuestas, experimentos y
estudios observacionales.
2.4
Es consciente de que el tipo de muestra
que debe escoger depende del estudio
poblacional que esté realizando. Entiende la
importancia de la aleatoriedad en la muestra.
Ejemplo: Determina el método que utilizaría para
predecir el resultado de la elección de alcalde en
su municipio. Discute con sus compañeros los
métodos propuestos por cada uno y deciden cuál
es el más conveniente y por qué.
2.5 Utiliza medidas de tendencia central y Ejemplo: Compara la estatura promedio de
variación, así como diagramas de barras, tortas e hombres y mujeres en su clase. Realiza un
histogramas, para comparar y hacer inferencias diagrama de barras con la estatura promedio en
acerca de una o más poblaciones.
el eje vertical y género en el horizontal. A partir
de esto infiere acerca de la diferencia de estatura
según el género, para adolescentes de esa edad.
Justifica la validez de su respuesta.
3. Probabilidad condicional y reglas de probabilidad
Interpreta conceptos de prob abilidad con dicional e independencia de eventos. Maneja y reconoce
el uso de los conceptos de probabilidad condicional e independencia en el devenir cotidiano.
3.1
Dados dos eventos A y B, determina el Ejemplo: Se tomaron 100 muestras de cierto
significado de la probabilidad condicional de A alimento que venden a la salida del colegio. 30
dado B y la calcula en casos sencillos
tenían bacterias tipo A, 40 tenían bacterias tipo
B, 10 tenían los dos tipos de bacterias. Dado que
tiene bacterias, calcula la probabilidad de que
sean bacterias tipo A.
3.2 Comprende la noción de eventos Ejemplo: Se tomaron 100 muestras de cierto
independientes y determina si dos eventos son alimento que venden a la salida del colegio. 30
independientes usando que la probabilidad muestras tenían bacterias tipo A, 40 tenían
condicional de A dado B es la misma probabilidad bacterias tipo B, 10 tenían los dos tipos de
Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
80
de A.
bacterias. ¿Tener bacterias tipo A es
independiente de tener bacterias tipo B?
3.3 Reconoce y explica los conceptos de Ejemplo: Analiza la siguiente situación: Está
probabilidad condicional e independencia en conduciendo embragado, cuál es la probabilidad
contextos cotidianos.
de que tenga un accidente.
Usa las reglas de probabilidad para calcular probabilidades de eventos compuestos en modelos
cuyos eventos simples son igualmente probables.
3.4 Conoce la diferencia entre permutaciones y
combinaciones. Usa estas técnicas de conteo
para calcular probabilidades de eventos
compuestos y resolver problemas.
Ejemplo:
Se
escogen
dos
alumnos
aleatoriamente para representante y secretario
del representante en una actividad del colegio.
¿Cuál es la probabilidad de que queden Pepito
Pérez y Juanita González respectivamente? Se
escogen dos alumnos aleatoriamente para
representantes en una actividad del colegio,
¿cuál es la probabilidad de que queden Pepito
Pérez y Juanita González como representantes?
3.5
Aplica la regla de la adición
Ejemplo: De los 40 niños de grado décimo, 22
, para calcular la niños juegan fútbol, 20 juegan basquetbol y 12
probabilidad de la unión de dos eventos, así juegan ajedrez. Diez niños juegan fútbol y
como la regla del complemento
basquetbol, 5 juegan fútbol y ajedrez, ocho niños
.
juegan basquetbol y ajedrez y tres practican los
tres deportes, ¿cuál es la probabilidad de que un
niño juegue fútbol o basquetbol? ¿Cuál es la
probabilidad de que solamente realice una de
estas tres actividades? ¿Cuál es la probabilidad
de que practique ajedrez dado que juega
basquetbol? ¿Cuál es la probabilidad de que no
practique ninguna de estas tres actividades?
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Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once
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Recomendaciones didácticas
La educación media es el puente entre la escuela y el trabajo o la educación postsecundaria, pero el enlace entre una y
otros es la prueba Saber 11. Una de las primeras recomendaciones al maestro es que sea consiente de los conocimientos
que traen los alumnos de los años anteriores, pues muchos de estos serán evaluados en la prueba Saber 11. Esta prueba
es l a l lave que abre o cierra oportunidades claves para los estudiantes: becas, préstamos, admis ión a instituciones de
educación postsecundaria, oportunidades de empleo, etc. Por tanto, es responsabilidad de la escuela y el maestro
sumini strar al estudiante todos los elementos a su al cance para que ll egue al examen con l a mejor prepara ción posi ble, sin
desconocer que es el esfuerzo del estudiante, lo que él ha aprendido y su interés por conocer, los que determinan su
resultado en la prueba. Temas de undécimo como el estudio de funciones y sus gráficas ofrecen espacios para repasar y
profundizar en l os conocimientos bási cos de años a nteriores.
La matemática de los grados décimo y undécimo se construye sobre la matemática de l a educaci ón básic a, profundizando
y generalizando los conceptos y agregando nuevas formas de ver y hacer matemáticas. Las matemáticas son como una
escalera de caracol en la que cada idea s e apoya en las ideas a nteriores y cada vez se visi tan los mismos lugares, pero un
pis o más ar riba y se ven de manera más general, más abs tracta, más profunda o se apl ica n a nuevos temas . La media es el
momento de sol idi ficar, conectar, aplic ar, fundamentar y expandir los conoci mientos de la educación bás ica .
La comprensi ón de las características propias de la s formulaciones algebraicas y las representaci ones gráficas de cada una
de estas funciones, permite usarlas para modelar diferentes situaciones y hacer predicciones.
La comprensión y destreza en las operaciones entre los diferentes tipos de números, que se adquiere en la educación
básica, soporta la comprensi ón y destreza en la manipula ción de expresi ones algebraic as, que se desarrol la en 9, 10 y 11 y
que es el lenguaje que usan las matemáticas y las ciencias para expresarse. Un objetivo de las matemáticas en estos
grados es adquirir la destreza necesaria en el manejo de este lenguaje, indispensable para comprender las ideas
matemáticas más avanzada s, para ejercitar se en los procedimientos y para ha cer matemáticas . El manejo de expresi ones
algebraicas depende de la comprensión sólida del manejo de los números, sus operaciones y propiedades. Por ejemplo,
cuando al resolver una ecuación se divide una expresión por x es necesario tener presente que esta x no puede tomar el
valor cero. O si al resolver una desigualdad se multiplica algo por x, es necesario tener en cuenta si x toma valores
positivos o negativos ya que el comportamiento de la situación varía en cada caso.
El tema central de once son las funciones. En primer lugar, se cuenta con un número interesante de funciones, con
diferencias algebraicas y l as gráficas que hay que tener presentes para poder usarl as para modelar si tuaciones y hacer
predicci ones. Esa visión de las funciones sustenta l a comprensión de la noción de derivada y s us a plicaciones para medir el
cambio, hallar la tangente a una curva o trazar la gráfica de una función. La importancia de la derivada radica en
comprender su significado, no en aprender fórmulas acerca del cálculo de derivadas de diferentes funciones.
Las ideas geométricas acerca de polígonos, sólidos o localización de puntos y objetos en el espacio desembocan en la
educación media en l a geometría anal ítica donde, con la ayuda de la cor respondencia entre puntos y parejas de números,
se refuerzan mutuamente el álgebra y la geometría. Se tiene entonces una nueva herramienta para probar afirmaciones
geométricas y la resolución de ecuaciones o desigualdades algebraicas cuenta con un nuevo recurso. El estudio de las
rectas y su r elación con la proporcional idad di recta l leva al estudio de la pendiente que soporta la noción de derivada.
El manejo y representaci ón de algunos pocos datos, que se va cons truyendo a través de la educ aci ón bás ica y que permite
inicialmente extraer información evidente con argumentos intuitivos, desemboca en herramientas cada vez más
sofisticadas que permiten examinar y analizar con precisión grandes volúmenes de datos y hacer predicciones con
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probabi lidades de éxito cada vez mayores. El uso de herramientas tecnológica s es un apoyo indis pensable en esta ár ea. El
paso del pensa miento determinístico al estocástic o, de un mundo en donde l as afi rmaciones son verdaderas o fa ls as a un
mundo en donde las a fir maciones son verdaderas con cierta probabilidad, es otra de las grandes trans formaciones que se
deben lograr en el paso por la educación media.
Para l a construcción del conocimiento matemático es necesari o planear actividades que permitan al estudiante rel aci onar
lo que sabe con las nuevas ideas, así como aplicarlas en diversos contextos. Es importante mantener un balance entre la
comprensión de las ideas fundamentales, la ejercitación y el dominio de los procedimientos y algoritmos, el uso y
apli cación de las ideas matemáticas a otras di sci plinas y el desarroll o de competencias matemáticas como proponer y
resolver problemas, razonar y comunicars e usando l as matemáticas.
Con el fin de interesar al estudiante en el estudio y profundización de los temas de este grado, se sugiere solicitarle que
averigüe por la his toria de ideas como la definici ón de número real o de función, el infinito, o el desarroll o de las ideas d el
cálcul o, que soportan la ciencia y l a técnica de hoy.
Aprender y comprender autónomamente es un requisito indispensable en la preparación de los estudiantes para su
ingreso a l a educación postsecundari a, al mundo del trabajo y al ejercici o responsabl e de la ciudadanía. Sólo así podrá
aprovechar las oportunidades que le ofrece hoy la tecnología, de aprender de manera gratuita casi cualquier cosa que
desee aprender, oportuni dades que seguramente serán muchísimas más en el momento en que terminen su vi da escol ar.
El maestro debe proveer al estudiante de oportunidades que le permitan: generar y explorar conjeturas, nuevos
problemas e ideas propi as ; trabaj ar colaborativamente con otros; r eflexionar sobre l o que sa be, sobre lo que comprende y
sobre lo que no comprende y decidir cómo puede mejorar. Este tipo de actividades propician el desarrollo de la
autonomía y el pensamiento crítico y creativo, atributos que debe tener un individuo para desempeñarse como ci udadano
en el siglo XXI.
Hoy es no sólo conveniente sino indispensable integrar la utilización de herramientas tecnológicas en la clase de
matemáticas. El objetivo no es evitar que los estudiantes adquieran las destrezas necesarias en el uso de procesos y
procedimientos matemáticos. La tecnología permite la solución de problemas complejos, el trabajo con datos reales,
permite explorar nuevos campos o profundizar en aspectos que el estudiante considere interesantes, pero entre los
impactos más grandes de la tecnología hoy están el haber puesto el conocimiento al alcance de todas aquellas personas
que tienen el interés por aprender y l a capacidad de aprender autónomamente y el haber hecho reali dad la posibilida d de
ser parte de comunidades global es de aprendices. El uso de l a tecnología ha tenido tres gra ndes impactos en la educaci ón
en l os últimos años: primero democratizó el conocimi ento poniendo l a informaci ón al alcance de todos. Luego si mplificó la
comunicación y la hizo fácil, ágil y segura y recientemente facilitó la interacción entre personas de todo el mundo, con
herramientas que permiten ver y hablar en tiempo real, gratuitamente o a muy ba jos costos. Es i mposibl e prever qué nos
demandará el futuro, pero es respons abilidad de la escuela y el maestro mostrar, i nteresar y capacitar al estudiante en el
uso de l os desar rollos tecnológicos a ctuales para prepararl o para que aproveche los que con seguridad se seguirán
generando. No ha cerlo es como obligar lo a recorrer grandes di stanci as a pi e y empeñars e en que no conozca l as enormes
ventajas y ni use las posibilidades que ofrecen hoy los diferentes medios de transporte.
Recursos como software, wikis, páginas web, blogs, publicaciones de otros docentes o estudiantes en la red, proyectos
global es, Moocs, etc. ofrecen tanto a estudiantes como a docentes apoyos muy importantes en su l abor de a prender y
apoyar el aprendizaje.
Indicaciones para la evaluación formativa
La evaluación constituye un elemento fundamental en el aprendizaje. No debe ser un proceso independiente, es parte
integral de la planeaci ón y del desarrollo de cada clas e, de cada uni dad, de cada ac tividad. La eval uaci ón permite conocer
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los avances con respecto a los objetivos de aprendizaje, logros, progresos o dificultades y las oportunidades de
mejoramiento.
Debe ser el indi cador que le dice al maestro: ¿Qué comprendieron? ¿Cómo comprendieron? ¿Qué hago para mejora r? al
joven: ¿Cómo voy? ¿Qué va cíos tengo y qué debo ha cer para l lenarl os? y al padre de familia : ¿Cómo va mi hi jo? ¿Cómo l o
puedo apoyar para que mejore? La evaluación también le da información a la escuela sobre su desempeño y el
desempeño de cada uno de sus miembros; y a l a soci edad sobre la escuela y el futuro de s us ciudadanos, i nformación que
le permite al estado tomar decis iones fundamentadas. Para l ograr lo anterior, la evalua ción debe incl uir comentari os
explícitos acerca de las razones que ll evaron a ese juici o y los criterios y resultados de la evaluación s iempre deben ser
conocidos prontamente por los estudiantes.
Las actividades de evaluaci ón deben ser s imil ares a lo hecho y desarroll ado en clas e, ofreciendo retos y diferentes niveles
de compleji dad, que permitan que c ada cual pueda autoevaluars e y determinar, con el apoyo del maestro, qué debe hacer
para mejorar.
Hay muchas formas de evaluar el desempeño del joven: observando lo que hace durante la clase, hablando con él acerca
del tema que se está desarrollando, pidiéndole que lleve un diario y analizando lo que escribe allí, pidiéndole que vaya
haciendo un portafolio o una carpeta donde ponga los trabajos de los que se sienta orgulloso, etc. Una de las estrategias
de evaluación más idóneas para este grado es la elaboración de proyectos para desarrollar en una o varias semanas.
Requieren de un alto grado de autonomía de los estudiantes y les permiten trabajar en grupo, asumiendo diferentes
responsa bilidades. Pueden resolver probl emas de mayor compleji dad que los que habitual mente se resulven en clas e, en
los que utilicen y conecten diferentes conocimientos de matemáticas y otras disciplinas para describir, interpretar y
modelar situaciones de su contexto.
El estudiante debe aprender en las evaluaciones que es tan importante el proceso y la estrategia que escoja y siga para
resolver un probl ema, como lograr ll egar a un resul tado correcto. Es i mportante que se forme en el hábito de verificar, al
final izar una tarea, que efectivamente contestó la pregunta que l e formularon, que resol vió el problema que le
plantearon, y que la respuesta que obtuvo satisface las condiciones del problema. Otra competencia básica en la
resolución de problemas es mantener una actitud reflexiva a lo largo del proceso de resolución, que lo mantenga
enfocado en qué quiere logra y que le indique si el camino que escogió l o ll eva en esa dirección o es necesa rio mejorar el
rumbo.
Uno de los puntos más importantes relacionados con la evaluación es la honestidad. El estudiante debe aprender a
responder por sus acciones, y en la media ya está a un paso de salir al mundo de los adultos. Debe ser consciente de que
su responsabilidad como estudiante es aprender, que su aprendizaje depende de su esfuerzo y que no puede evadir esa
responsabilidad acudiendo al atajo de la trampa. El maestro debe ser consciente de que tiene una responsabilidad con la
sociedad cuando acredita, con sus notas, la idoneidad de cierto joven como bachiller, por tanto, es su obligación no
permitir que esa información sea falsa porque esté contaminada con trampas.
El maestro de los grados 10 y 11 puede escoger algunas de las preguntas de las pruebas Saber 11 que aparecen en la
página del Icfes, para que los estudiantes se vayan familiarizando con esta forma de preguntar. Luego de que los
estudiantes contesten estas preguntas en tiempos precisos, deben analizar no sólo los resultados sino las diferentes
estrategias que se pueden usar para contestar ese tipo de exámenes. Un punto muy importante de estas pruebas, que
debe ejercitars e, es l a lectura comprensi va de la s preguntas , que es muchas veces la ca usa de los errores en l os resultados.
En este punto es i ndis pensable ejercitarse el leer la i nformación presentada en tablas y diferentes tipos de gráficos ya que
hoy es esa una forma muy común de presentar información en periódicos y revistas así como en la prueba Saber 11.
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Al evaluar las matemáticas es importante tener en cuenta no solo el nivel de comprensión y aplicación de los conceptos
sino el nivel de desarrollo de las competencias matemáticas, dentro del contexto y grado. El maestro debe plantear
situaciones que permitan observar el nivel de desarrollo en cuanto a la resolución de problemas, la comunicación, el
razonamiento, etc.
Para preparar a l os jóvenes para el siglo X XI, es i ndispensable ofrecerles oportunidades de aprender a reflexionar sobre s í
mismos y a monitorear sus acciones. Debe aprender a autoevaluarse, a juzgar su trabajo y el de los demás de manera
crítica y objetiva y a apreciar y aceptar los jui cios que otros hagan de su traba jo, presentando argumentos vál idos cuando
no esté de acuerdo. Debe aprender a tomar decisiones autónomamente y a responder por sus actos. Estas habilidades o
competencias, indispensables para la vida de un ciudadano hoy, sólo se desarrollan si el estudiante tiene oportunidad de
hacerlo. El joven que sólo sigue órdenes e instrucciones y que siempre espera el juicio del maestro acerca de su trabajo,
perderá muchas oportunidades que l e ofrece el mundo hoy.
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Derechos básicos de aprendizaje
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