1679

4º ESO
MATEMÁTICAS-OPCIÓN B
TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
OPERACIONES COMBINADAS
1) Simplifica:
a) (5x2 – 4x + 2)[2x3– 3x + 2 – (2x + 1)(x2 – 2x)]
b) 3x(2x – 1) – (x – 3)(x + 3) + (x – 2)2
c) (2x – 1)2 + (x – 1)(3 – x) – 3(x + 5)2
2) Desarrolla los productos , teniendo en cuenta las identidades notables, y simplifica
las siguientes expresiones:
a) (2y + x)(2y – x) – (x + y)2 – x(y + 3)
b) 3x(x + y) – (x – y)2 + (3x + y)y
c) (2y + x + 1)(x – 2y) – (x + 2y)(x – 2y)
3) Saca factor común:
a) 6x4– 15x3 + 9x2– 3x
b) 35x5– 42x4 + 14x3
c) 36x4– 60x3 + 12x2
4) Factoriza teniendo en cuenta las identidades notables:
a) 16x2– 8x + 1
c) 9x4+ y2 + 6x2y
e) 9x4– y2
g) 81x4– 64x2
b) 36x2+ 60xy + 25y2
d) 49x2– 16
f) y4+ 1 – 2y2
h) 1 – 144x4
5) Factoriza, sacando primero factor común y utilizando después, si es posible, las
identidades notables:
a) 20x3 – 60x2 + 45x
c) 3x3 + 6x2y + 3xy2
b) 27x3 – 3xy2
d) 4x4 – 81x2
DIVISIÓN DE POLINOMIOS, REGLA DE RUFFINI Y TEOREMA DEL
RESTO:
6) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) (7x2– 5x + 3) (x2– 2x + 1)
c) (x3– 5x2+ 2x + 4) (x2– x + 1)
b) (2x3– 7x2+ 5x –3) (x2– 2x)
d) (x2– 4x + 1) (2x – 3)
7) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) (3x5– 2x3+ 4x – 1) (x3– 2x + 1)
c) (4x5+ 3x3– 2x) (x2– x + 1)
b) (x4– 5x3+ 3x – 2) (x2+ 1)
d) (x3– 3x2+ 5) (3x2– 2x)
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TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
8) Calcula las siguientes divisiones y factoriza las que sean exactas:
a) (6x3+ 5x2– 9x) (3x – 2)
b) (x4– 4x2+ 12x – 9) (x2– 2x + 3)
c) (4x4+ 2x3– 2x2+ 9x + 5) (–2x3+ x – 5)
9) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones mediante la regla de
Ruffini:
a) (5x3 – 3x2 + x – 2) (x – 2)
c) (–x3 + 4x) (x – 3)
e) (6x5– 3x4+ 2x) (x + 1)
b) (x4– 5x3+ 7x + 3) (x + 1)
d) (x4– 3x3+ 5) (x + 2)
f) (4x4+ 6x2– 1) (x – 1/2)
10) Escribe todos los divisores del término independiente de los siguientes polinomios y
encuentra los binomios del tipo (x – a) por los que son divisibles:
a) x4+ 3x3– 2x2– 10x – 12 b) x4+ x3+ 7x2+ 2x + 10
11) Dado el polinomio P(x) = 4x3– 3x2– 2x + 1, calcula el valor numérico para:
a) x = 1
b) x = –1
c) x = 2
d) x = 0
e) x =1/2
f) x =-1/3

12) Dado el divisor (x- a) de los siguientes polinomios, encuentra el resto de las
divisiones mediante el Teorema del resto para a = 1, a = -2 y a = 3.
a) P(x ) = 2x3– 5x2+ 7x + 3
b) P(x) = 4x2+ 6x – 10
13) Escribe todos los divisores del término independiente de los siguientes polinomios y
obtén sus raíces enteras aplicando el Teorema del resto.
a) P(x) = x3– 2x2– 5x + 6
c) P(x) = 3x2+ 2x – 8
b) P(x) = x3– 3x2+ x – 3
d) P(x) = x4– 3x2+ 7
14) El polinomio x4– 2x3– 23x2– 2x – 24 es divisible por dos binomios del tipo (x – a).
Encuentra los y obtén sus cocientes.
15) Encuentra el valor de k para que (2x4– 5x3+ kx2– 12) (x + 2) sea exacta.
16) Encuentra el valor de m para que P(x) = x3– mx2+ 5x – 2 sea divisible por (x + 1).
17) El resto de la división (2x4+ kx3– 7x + 6) (x – 2) es –8. Encuentra el valor de k .
18) Encuentra el valor de m sabiendo que (x + 2) es un factor del polinomio mx3– 3x2+
5x + 9m.
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TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
19) Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
a) 3x3– 12x
d) x4+ 2x3+ x2
b) 4x3– 24x2+ 36x
e) x6– 16x2
c) 45x2– 5x4
f) 16x4– 81
20) Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
a) x2– 4x – 5
d) 3x2+ 9x – 210
b) x2+ 8x + 15
e) 2x2– 9x – 5
c) 7x2 – 21x – 280
f) 4x2– 4x – 3
21) Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
a) x3+ 2x2– x – 2
d) x4– 13x2+ 36
b) 3x3– 15x2+ 12x
e) x3– 2x2– 2x – 3
c) x3– 9x2+ 15x – 7
f) 4x4+ 4x3– 3x2– 4x – 1
22) Calcula los m.c.m y M. c.d de los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2; Q(x) = x2– x; R(x) = x2– 1
b) P(x) = x – 3; Q(x) = x2– 9; R(x) = x2– 6x + 9
c) P(x) = x + 2; Q(x) = 3x + 6; R(x) = x2+ x – 2
d) P(x) = 2x; Q(x) = 2x + 1; R(x) = 4x2– 1
FRACCIONES ALGEBRAICAS
23) Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
b)
c)
d)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
25) Reduce:
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TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
26) Reduce a común denominador y calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
27) Calcula teniendo en cuenta el orden de operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
28) Calcula:
a)
b)
c)
d)
29) Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
30) Expresa el área y el volumen de la siguiente figura usando polinomios:
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TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
31) Expresa el área del siguiente tronco de pirámide como función de x.
32) Expresa el perímetro del rombo inscrito en el rectángulo como una función de x e y.
33) Expresa el área coloreada como una función de x e y.
SOLUCIONES
1) a) 15x4– 17x3+ 20x2–10x + 4 b) 6x2– 7x + 13 c) –30x – 77
2) a) 3y2– 2x2– 3xy – 3x b) 2x2+ 8xy c) x – 2y
3) a) 3x(2x3– 5x2+ 3x – 1) b) 7x3(5x2– 6x + 2) c) 12x2(3x2– 5x + 1)
4) a) (4x – 1)2 b) (6x +5y)2 c) (3x2+ y)2 d) (7x + 4)(7x – 4) e) (3x2+ y)(3x2– y)
f) (y2– 1)2 g) (9x2+ 8x)(9x2– 8x) h) (1 + 12x2)(1 – 12x2)
5) a) 5x(2x – 3)2 b) 3x(3x + y)(3x – y) c) 3x(x + y)2 d) x2(2x + 9)(2x – 9)
6) a) Q(x) = 7; R(x) = 9x – 4 b) Q(x) = 2x –3; R(x) = –x – 3
c) Q(x) = x – 4;
R(x) = –3x + 8 d) Q(x) = x/2–5/4; R(x) = – 11/4
7) a) Q(x) =3x2+ 4; R(x) = –3x2+ 12x – 5 b) Q(x) = x2– 5x – 1; R(x) = 8x – 1
c) Q(x) = 4x3+ 4x2+ 3x – 1;
R(x) = –6x + 1 d) Q(x) = x/3 – 7/9; R(x) = –14x/9 + 5
8)a) Q(x) = 2x2+ 3x – 1; R = –2 b) Q(x) = x2+ 2x – 3; R = 0 exacta: 
x4–4x2+ 12x – 9 = (x2– 2x + 3) (x2+ 2x – 3) c) Q(x) = –2x – 1; R = 0 exacta:
4x4+ 2x3– 2x2+ 9x + 5 = (–2x3+ x – 5)(–2x – 1)
9)a) Q(x) = 5x2+ 7x + 15; R = 28 b) Q(x) = x3– 6x2+ 6x + 1; R = 2
c) Q(x) = –x2– 3x – 5; R = –15 d) Q(x) = x3– 5x2+ 10x – 20; R = 45
e) Q(x) = 6x4– 9x3+ 9x2– 9x + 11; R = –11
f) Q(x) = 4x3+ 2x2+ 7x + 7/2; R = ¾
10)a) por (x – 2) y por (x + 3) b) por ninguno.
11)a) P(1) = 0 b) P(–1) = –4 c) P(2) = 17 d) P(0) = 1 e) P(1/2) = –1/4 f) P(–1/3) = 32/27
12)a) P(1) = 7; P(–2) = –47; P(3) = 33 b) P(1) = 0; P(–2) = –6; P(3) = 44
13)a) 1, –2 y 3 b) 3 c) –2 d) ninguno
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TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
14)a) por (x + 4) Q(x) = x3– 6x2+ x – 6 y por (x – 6) Q(x) = x3+ 4x2+ x + 4
15) k = –15
16) m = –8
17) k = –4
18) m = 22
19)a) 3x(x + 2)(x – 2); raíces: 0, –2, 2 b) 4x(x – 3)2; raíces: 0, 3 doble
c) 5x2(3 + x)(3 – x); raíces: 0 doble,–3, 3 d) x2(x + 1)2; raíces: 0 doble, –1 doble
e) x2(x + 2)(x – 2)(x2+ 4); raíces: 0 doble, –2, 2 f) (4x2+ 9)(2x + 3)(2x – 3); raíces: –3/2,
3/2
20)a) (x – 1)(x + 5); raíces: 1, –5 b) (x + 5)(x + 3); raíces: –5, –3 c) 7(x + 5)(x – 8);
raíces: –5, 8 d) 3(x –7)(x + 10); raíces: 7, –10 e) (x – 5)(2x + 1); raíces: 5, –1/2
f) (2x – 3)(2x + 1); raíces: 3/2, –1/2
21)a) (x – 1)(x + 1)(x + 2); raíces 1, –1, –2 b) 3x(x – 1)(x – 4); raíces 0, 1, 4
c) (x – 1)2(x – 7); raíces: 1doble, 7 d) (x – 2)(x + 2)(x – 3)(x + 3); raíces: 2, –2, 3, –3
e) (x – 3)(x2+ x +1); raíces: 3 f) (x – 1)(x + 1)(2x + 1)2; raíces: 1, –1, –1/2 doble
22)a) M.c.d = 1; m.c.m = x2(x – 1)(x + 1) b) M.c.d = (x – 3); m.c.m = (x – 3)2(x + 3)
c) M.c.d = x + 2; m.c.m =3(x + 2)(x – 1) d) M.c.d = 1; m.c.m = 2x(2x + 1)(2x – 1)
23) a) sí b) no c) sí d) sí
24) a)
b)
c)
d)
e)
f)
25) a)
b)
26) a)
d)
e)
b)
27) a)
b)
28) a)
b)
29) a)
c)
f)
c)
c) 3 – x d)
c)
d)
b) -2 c) 1 d) b e) 2 f)
30) A = 6x2+ 8x – 12; V = x3+ 2x2– 8x
31)A = 6x2+ 12x + 8
32)
33)A = 4xy – 4x2.
d)
e)
f)
e)
f)