ESTADÍSTICA - TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS - CICLO PRIMERA SELECCIÓN - SEMANA 4

ESTADÍSTICA:
COMBINACIONES Y SUS
PROPIEDADES
PRESENTADO POR: ING. CHURA CURASMA BERLING ISMAEL
COMBINACIONES:
𝑘 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
𝑛
𝐶𝑘
𝑛!
𝑛 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3 …
=
=
𝑘!. 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 𝑘 − 1 𝑘 − 2 𝑘 − 3 … 1
𝑘 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
𝐷𝑂𝑁𝐷𝐸:
𝑛: 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠.
𝑘: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎 "𝒂𝒈𝒓𝒖𝒑𝒂𝒓".
Las combinaciones se aplican cuando:
✓𝑆𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑆𝐼𝑁 𝐼𝑀𝑃𝑂𝑅𝑇𝐴𝑅 𝐸𝐿 𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁 𝐷𝐸 𝐿𝑂𝑆 𝐸𝐿𝐸𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂𝑆 .
✓𝑆𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑔𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑎𝑏𝑜𝑟𝑒𝑠.
✓𝑆𝑒 𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠.
✓𝑆𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 sin 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑜𝑠.
EJEMPLO:
𝐶0𝑛 = 1
𝐶1𝑛 = 𝑛
𝐶𝑛𝑛 = 1
Propiedad complementaria
𝑛
𝐶𝑘𝑛 = 𝐶𝑛−𝑘
Combinación con elementos
repetidos:
𝑛
𝐶𝑅𝑘
=
𝑛+𝑘−1
𝐶𝑘
𝐶46
6.5.4.3
=
= 15
4.3.2.1
𝐶26
6.5
=
= 15
2.1
𝐶𝑅73 = 𝐶73+7−1
→ 𝐶79 = 36
𝐶46 = 𝐶26
PARA EL CASO DE PREPARAR JUGOS:
PROPIEDAD:
𝐶1𝑛 + 𝐶2𝑛 + 𝐶3𝑛 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛 − 1
Donde:
𝒏: 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑢𝑡𝑎𝑠.
Ejemplo:
Con 5 frutas diferentes. ¿cuántos jugos de diferentes sabores se pueden
preparar?.
𝐶15 + 𝐶25 + 𝐶35 + 𝐶45 + 𝐶55 = 25 − 1 = 31 sabores.
PARA EL CASO DE FORMAR GRUPOS O COMISIONES:
EJEMPLO 1:
EN UN SALÓN DEL COLEGIO WINNER, SE TIENEN 25 ALUMNOS. ¿CUÁNTOS GRUPOS
DISTINTOS DE 3 INTEGRANTES SE PODRÁN FORMAR?
𝑛 = 25
𝑘=3
𝐶325
25.24.23
=
= 2300
3.2.1
Ejemplo 2:
De un grupo de 5 niños y 7 niñas. ¿cuántos grupos de 6 integrantes se podrá formar?
𝑛 = 5 + 7 = 12
𝑘=6
𝐶612
12.11.10.9.8.7
=
= 924
6.5.4.3.2.1
Método del cajón
Ejemplo 3:
a un campamento asistieron 10 niños y 8 niñas. si se quiere forman un grupo de 5
integrantes, donde haya 2 niñas. ¿cuántos grupos se podrán formar?
▪ 𝑆𝑒 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎, 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 .
NIÑOS
NIÑAS
TOTAL DE DATOS
10
8
GRUPO
3
2
𝐶310
𝐶28
𝑥
CONDICIONES:
• 𝐷𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 2 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜.
• 𝐸𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 5 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠.
𝒌=𝟓
=
10.9.8
3.2.1
𝑥
8.7
2.1
= 3360 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠.
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 "𝑛“
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 "𝑛“
𝑎 𝑙𝑜 𝑚á𝑠 "𝑛“
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 "𝑛“
SIGNIFICA: 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 "n" hacia arriba
EJEMPLO:
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 5: 5; 6; 7; 8; …
SIGNIFICA: 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 "n" hacia abajo
EJEMPLO:
𝑎 𝑙𝑜 𝑚á𝑠 5: 5; 4; 3; 2; 1; 0
𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜
SIGNIFICA:
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜
RESOLUCIÓN DE
EJERCICIOS:
CEPRE – UNCP
COMBINACIONES
Elegir preguntas
𝑛 = 10
𝑘=8
𝐶810
=
𝐶210
10.9
=
= 45
2.1
ASIGNATURAS
7
3
4
5
6
7
COMBINACIONES
Múltiples casos
𝑛=7
𝑘 = 3; 4; 5; 6; 7
𝐶37 + 𝐶47 + 𝐶57 + 𝐶67 + 𝐶77
35 + 35 + 21 + 7 + 1
99
COMBINACIONES
Método del Cajón
𝐶112 . 𝐶27 + 𝐶012 . 𝐶37
V
M
12
7
1
2
𝒌=𝟑
0
3
𝒌=𝟑
12.21 + 1.35
252 + 35
287
RESOLUCIÓN DE
EJERCICIOS:
CICLO PRIMERA SELECCIÓN
1. María tiene 5 pantalones diferentes y desea embolsarlos. Si solo entran 3 pantalones en
una bolsa y dispone únicamente de una bolsa, ¿de cuántas maneras distintas podría
embolsar sus 3 pantalones?
a)
b)
c)
d)
e)
5
10
15
20
25
𝑛 = 5 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑘=3
𝐶35
5.4.3
=
= 10
3.2.1
1. ¿Cuántas ensaladas de frutas, que contengan exactamente 4 frutas, podemos elaborar si
disponemos de 10 frutas diferentes?
a)
b)
c)
d)
e)
120
150
180
210
240
𝑛 = 10 𝑓𝑟𝑢𝑡𝑎𝑠
𝑘=4
𝐶410
10.9.8.7
=
= 210
4.3.2.1
1. Un grupo de excursionistas está integrado por 7 mujeres y 4 hombres. ¿De cuántas
maneras diferentes se puede formar una expedición de 6 personas en la cual debe haber
por lo menos 2 hombres?
a)
b)
c)
d)
e)
284
371
390
412
512
𝐶24 . 𝐶47 + 𝐶34 . 𝐶37 + 𝐶44 . 𝐶27
6.35 + 4.35 + 1.21
V
M
4
7
2
4
𝒌=𝟔
3
3
𝒌=𝟔
4
2
𝒌=𝟔
210 + 140 + 21
371
1. Dada la figura mostrada, ¿Cuántos triángulos pueden formarse teniendo como vértices 3
puntos de los 12 dados? Considere que 𝐿1 //𝐿2 .
a)
b)
c)
d)
e)
160
170
165
175
180
FORMA DIRECTA
𝐶27 . 𝐶15 + 𝐶17 . 𝐶25
21.5 + 7.10
175
L1
L2
7
5
2
1
𝒌=𝟑
1
2
𝒌=𝟑
L1
L2
7
5
0
3
𝒌=𝟑
3
0
𝒌=𝟑
FORMA INVERSA
TOTAL – OPUESTO = X
𝐶312 − 𝐶07 . 𝐶35 − 𝐶37 . 𝐶05
220 − 1.10 − 35.1
220 − 45
175
1. ¡cuántos sonidos diferentes pueden producirse con 8 teclas de un piano si se tocan 4
simultáneamente?
a)
b)
c)
d)
e)
40
50
60
70
80
𝑛=8
𝑘=4
𝐶48
8.7.6.5
=
= 70
4.3.2.1
1. De una baraja de 52 cartas, se extrae al azar 5 de ellas. Calcule de cuántas formas distintas
se puede obtener.
I. 3 corazones y 2 espadas.
II. Full (3 del mismo puntaje y las 2 cartas restantes también).
a)
b)
c)
d)
e)
22308 y 3744
20308 y 3744
22308 y 3344
23312 y 3740
22202 y 3350
I.
CORAZ
ÓN
ESPAD
AS
13
13
3
2
#2
#3
4
4
3
2
CASO 1
𝐶313 . 𝐶213
286.78 = 22308
𝒌=𝟓
II. CASO 2
𝐶113 . 𝐶34 . 𝐶112 . 𝐶24
13.4.12.6 = 3744
𝒌=𝟓
1. Un examen psicológico está formado por tres fases y cada fase tiene cierto número de
preguntas. La fase A contiene 5 preguntas; la fase B, 7 preguntas; y la fase C, 9 preguntas.
Si un estudiante tiene que contestar exactamente 3 preguntas de cada fase, ¡De cuántas
maneras diferentes puede elegir sus preguntas?
a)
b)
c)
d)
e)
29400
28800
29800
27400
22800
𝐶35 . 𝐶37 . 𝐶39
10.35.84
A
B
C
5
7
9
3
3
3
29400
𝒌=𝟗
1. De un grupo de 8 varones y 7 mujeres. ¡Cuántos grupos mixtos de 6 personas se pueden
formar si se sabe que en cada grupo debe haber por lo menos 4 varones?
a)
b)
c)
d)
e)
1344
1356
1728
1768
1862
𝐶48 . 𝐶27 + 𝐶58 . 𝐶17
V
M
70.21 + 56.7
8
7
1470 + 392
4
2
𝒌=𝟔
5
1
𝒌=𝟔
1862
1. Se tiene una urna con cinco esferas numeradas de diferente valor. ¡De cuántas maneras
distintas se puede extraer por lo menos una esfera?
a)
b)
c)
d)
e)
20
25
32
31
30
𝐶15 + 𝐶25 + 𝐶35 + 𝐶45 + 𝐶55
URNA
5
1
2
3
4
5
25 − 1
31
1. Con las frutas piña, plátano, manzana, papaya, fresa, lúcuma y naranja, ¡Cuántos jugos de
diferentes sabores puede prepararse Ernesto si se sabe que no le gusta combinar fresa con
ninguna otra fruta?
a)
b)
c)
d)
e)
128
127
63
64
32
FRUTAS
𝐶16 + 𝐶26 + 𝐶36 + 𝐶46 + 𝐶56 + 𝐶66 + 1(𝐹𝑅𝐸𝑆𝐴)
7-1=6
(26 −1) + 1
1
2
3
4
5
6
64
1. Con 7 consonantes y 5 vocales, todas diferentes entre sí, ¡Cuántas palabras de 5 letras, con
o sin sentido, pueden formarse de maneras que cada palabra contenga 3 consonantes y 2
vocales?
a)
b)
c)
d)
e)
40000
42200
41000
42000
43400
𝐶37 . 𝐶25 = 35.10 = 350
C
V
7
5
3
2
Formar palabras: Teniendo las 5 letras,
tenemos que ordenarlas
𝑃5 = 120
𝒌=𝟓
𝑅𝑃𝑇𝐴: 350.120 = 42000
1. Un estudiante ha adquirido 4 libros de aritmética, 4 de álgebra y 5 de geometría, cada
uno diferente a otro. Se desea ordenar 6 libros en un estante en donde haya por lo menos
3 libros de aritmética. ¡De cuántas maneras se podrá ordenar dichos libros?
a)
b)
c)
d)
e)
313456
224560
267840
287800
292000
𝐶34 . 𝐶39 + 𝐶44 . 𝐶29 . 𝑃6
4.84 + 1.36 . 720
ARIT
ALG
4
4
GEO
9
336 + 36 . 720
5
3
3
𝒌=𝟔
4
2
𝒌=𝟔
372.720
267840
1. Un examen está conformado por 15 preguntas, de las que se debe escoger 10; de esta
manera, como cada pregunta vale 2 puntos, el puntaje máximo es 20. Si se sabe que las
preguntas con numeración de un número primo son obligatorias, ¡De cuántas maneras
distintas se pueden seleccionar las preguntas para responder?
a)
b)
c)
d)
e)
130
136
126
124
120
𝐶66 . 𝐶49
1.126
# PRIMO
RESTO PR.
6
9
𝒏 = 𝟏𝟓
6
4
𝒌 = 𝟏𝟎
126
1. De un grupo de 3 varones y 5 mujeres, ¡Cuántos grupos mixtos diferentes de 4 personas se
pueden formar?
a)
b)
c)
d)
e)
36
48
65
72
60
𝐶13 . 𝐶35 + 𝐶23 . 𝐶25 + 𝐶33 . 𝐶15
3.10 + 3.10 + 1.5
V
M
3
5
1
3
𝒌=𝟒
2
2
𝒌=𝟒
3
1
𝒌=𝟒
65
1. Si se dispone de un total de 7 frutas diferentes. ¡Cuántos jugos surtidos diferentes podrán
prepararse?
a)
b)
c)
d)
e)
128
120
126
127
124
FRUTAS
7
2
3
4
5
6
7
JUGO SURTIDO: 2 a más
𝐶17 + 𝐶27 + 𝐶37 + 𝐶47 + 𝐶57 + 𝐶67 + 𝐶77 − 𝐶17
(27 −1) − 7
127 − 7
120
1. La carátula de una prueba indica: “De las 10 preguntas, conteste 5 cualesquiera. Luego
escoja una de las preguntas restantes para tarea, y entregue su solución”. ¡De cuántas
formas distintas, un estudiante puede desarrollar la prueba?
a)
b)
c)
d)
e)
630
252
720
1260
156
𝐶510
EXÁMEN
10
5
10.9.8.7.6
=
= 252
5.4.3.2.1
1. Un grupo de trabajadores de un área, conformado por 10 varones y 7 mujeres, va a
formar un comité para conversar con su jefe sobre algunos puntos pendientes. El comité
lo integrarán 5 varones y 3 mujeres. ¡De cuántas maneras distintas se puede seleccionar el
comité?
a)
b)
c)
d)
e)
1764
3528
1260
8820
2580
𝐶510 . 𝐶37
252.35
V
M
10
7
5
3
8820
1. Hugo quiere repartir 6 caramelos del mismo sabor entre sus 2 sobrinos. ¡De cuántas
formas distintas se puede realizar el reparto si cada sobrino debe recibir por lo menos un
caramelo?
a)
b)
c)
d)
e)
4
7
21
30
15
RPTA: 7
FEDERI RIGOB
CO
ERTO
0
6
𝒌=𝟔
6
0
𝒌=𝟔
1
5
𝒌=𝟔
5
1
𝒌=𝟔
2
4
𝒌=𝟔
4
2
𝒌=𝟔
3
3
𝒌=𝟔
COMBINACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS
𝐶𝑅𝑘𝑛 = 𝐶𝑅62 = 𝐶62+6−1 = 𝐶67 = 7
𝑛 = 2 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑒)
𝑘 = 6 (𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑒)
1. De 7 varones y 5 mujeres se quieren formar grupos mixtos de 6 personas. ¡De cuántas
formas diferentes se podrán formar estos grupos?
a)
b)
c)
d)
e)
924
919
917
929
35
𝐶17 . 𝐶55 + 𝐶27 . 𝐶45 + 𝐶37 . 𝐶35 + 𝐶47 . 𝐶25 + 𝐶57 . 𝐶15
V
M
7
5
1
5
𝒌=𝟔
2
4
𝒌=𝟔
3
3
𝒌=𝟔
4
2
𝒌=𝟔
5
1
𝒌=𝟔
7.1 + 21.5 + 35.10 + 35.10 + 21.5
7 + 105 + 350 + 350 + 105
917
TOTAL – OPUESTO = X
𝐶612 − 𝐶67 . 𝐶05
924 − 7 = 917
1. ¿Cuántos triángulos se podrán formar en total al elegir como vértices del triángulo 3
puntos cualesquiera del gráfico mostrado?
a)
b)
c)
d)
e)
240
196
220
170
160
FORMA OPUESTA
𝑛 = 12 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑘=3
TOTAL – OPUESTO = X
𝐶312 − (𝐶34 ). 6
220 − 24
196
1. El Dr. Salcedo convoca a 8 varones y 7 mujeres ¿Cuántos comités de 5 personas se pueden
formar, de modo que estén conformados por 3 varones y 2 mujeres?
a)
b)
c)
d)
e)
648
948
1058
1176
1234
𝒌=
1. De 5 ingenieros y 4 médicos se desea escoger un grupo de 4 personas. ¿De cuántas
maneras se podrá realizar esto si en cada grupo debe haber, como máximo, 2 médicos?
a)
b)
c)
d)
e)
65
81
105
125
155
𝒌=
𝒌=
𝒌=
1. En una empresa trabajan 5 mecánicos, 4 físicos y 2 geólogos. Se desea formar una
comisión de 5 personas, en la cual haya siempre un físico. ¿De cuántas formas se puede
seleccionar dicha comisión?
a)
b)
c)
d)
e)
140
280
40
70
80
𝒌=
1. En un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez
dadas. ¿De cuántas formas diferentes seleccionará las preguntas si debe responder, por lo
menos, tres de las cinco primeras?
a)
b)
c)
d)
e)
110
220
330
55
70
𝒏=
𝒌=
𝒌=
𝒌=
1. Un club de vóley tiene un total de 10 jugadoras, pero en cada partido solo pueden jugar 6
de ellas. ¿Cuántos equipos diferentes, cada uno de 6 jugadoras, podrían formarse en este
club si en todos ellos siempre tiene que estar como capitana la misma jugadora?
a)
b)
c)
d)
e)
612
126
216
162
261
1. En una reunión se dan 105 apretones de manos. ¿Cuántas personas fueron a dicha reunión?
a)
b)
c)
d)
e)
10
30
15
20
60
𝑛 = 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
𝑘 = 2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑙𝑢𝑑𝑜
𝐶2𝑛 = 105
𝑛(𝑛 − 1)
= 105
2.1
𝑛 𝑛 − 1 = 210
15.14 = 210
𝑛 = 15 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
1. ¿De Cuántas maneras diferentes María puede sacar a pasear a sus mascotas si tiene 6
mascotas distintas?
a)
b)
c)
d)
e)
64
63
62
60
61
1. Abraham tiene 7 lápices de colores diferentes. ¿De cuántas maneras se pueden formar
grupos de 3 o 2 elementos?
a)
b)
c)
d)
e)
35
48
56
64
73
1. Luis organiza un campeonato de fútbol, conformado por 12 equipos, donde deberán jugar
todos contra todos. Si llegan tres equipos más, ¿cuántos partidos adicionales deben
jugarse?
a)
b)
c)
d)
e)
15
25
30
39
42
1. Se quiere formar una Asamblea Constituyente de 5 miembros y se cuenta con 12
congresistas. Halle cuántas formas hay de formar el comité si dos de ellos en particular no
pueden ir al mismo tiempo.
a)
b)
c)
d)
e)
495
450
240
714
200
𝒌=
𝒌=
1. Con cuatro números positivos y seis números negativos (todos diferentes), ¿cuántas parejas
se pueden formar, de tal manera que su producto sea positivo?
a)
b)
c)
d)
e)
90
45
240
27
200
𝒌=
𝒌=
𝒌=
1. De 5 varones y 4 mujeres se debe escoger un comité de 6 personas. ¿De cuántas maneras
se podrá realizar si debe haber 2 mujeres?
a)
b)
c)
d)
e)
15
20
25
30
35
𝒌=
1. De 5 algebraicos; 4 geométricos y 4 aritméticos, se tiene que escoger un comité de 6
miembros, de modo que se incluyan 3 algebraicos; 2 geométricos y un aritmético. ¿De
cuántas maneras puede realizarse?
a)
b)
c)
d)
e)
120
140
160
240
200
𝒌=