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CENTRIOIDE OK

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UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO
FACULTAD: CIENCIAS AGRARIAS
RESUMEN
Habitualmente el concepto de centro de gravedad se introduce de una forma
teórica en las clases de física 1 y se demuestran diversas relaciones
matemáticas para determinar el centro de gravedad de sistemas o cuerpos con
formas geométricas sencillas. Sin embargo, en una clase de física aplicada a la
Ing. Agrícola será muy instructivo, en cuyo caso los cálculos teóricos son
demasiado complejos para un curso básico. Describimos aquí un sencillo trabajo
monográfico.
CURSO: FISICA I
UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO
FACULTAD: CIENCIAS AGRARIAS
a.
OBJETIVOS:
1.1.
Objetivo General:
1.1.1. Es conocer bastante de este tema para poder aplicarlo en la
cotidiana.
1.2.
Objetivos Específicos:
1.2.1. Estudiar el concepto de gravedad, centro de masa y centroides.
1.2.2. Determinar la ubicación del centro de gravedad y centroide para
un sistema de partículas discretas y un
u n cuerpo de forma arbitraria.
1.2.3. Determinar centroides para áreas planas simples y para áreas
planas compuestas.
1.2.4. Usar los teoremas de Pappus Guldinus para encontrar el área de
una superficie de revolución o el volumen de un cuerpo en
revolución.
CURSO: FISICA I
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FACULTAD: CIENCIAS AGRARIAS
INTRODUCCION:
El centro de gravedad de un objeto es el punto ubicado en la posición
p osición promedio del
peso del objeto. En el caso de un objeto simétrico, este punto se encuentra en el
centro geométrico. Pero un objeto irregular, como un bate de béisbol, tiene más
peso en uno de sus extremos y el centro de gravedad está cargado hacia dicho
extremo. El centro de gravedad se llama también centro de masa, que es la posición
promedio de todas las partículas
par tículas de masa que forman el objeto. Estos términos son
equivalentes para casi todos los objetos que están sobre la superficie terrestre o
sus cercanías. Se denomina "posición de peso ponderado" o centroide
c entroide a la posición
promedio de cualquier conjunto de cantidades a las que podamos asociar
posiciones.
En este tema llegaremos aprender como determinar el centro de gravedad, esto es,
el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas.
A su vez se incluyen un concepto que está muy relacionado con la determinación
del centro de gravedad de una placa o alambre como lo es el centroide de un área
o de una línea, y se utilizara el teorema de Pappus Guldinus para determinar el área
o volumen de un cuerpo en revolución.
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FACULTAD: CIENCIAS AGRARIAS
b.
MARCO TEORICO:
2. CENTRO DE GRAVEDAD
Es el punto donde se considera aplicado el peso. Debido a que un cuerpo es una
distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de
gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posición donde se puede
considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición
promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico
homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no
para un objeto irregular.
Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas
respectivas valgan m1 y m2; además los suponemos rígidamente unidos por una
varilla de masa despreciable, a fin de poder
po der considerarlos como formando parte
pa rte de
un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas
par alelas
m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto de aplicación recibe el nombre
de centro de gravedad o centroide.
m2
m1
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C.G.
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En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo
cu erpo es el punto de aplicación de
la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos
materiales que constituyen el cuerpo.
Un objeto está en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba y
dentro de su base original de apoyo.
Cuando éste es el caso, siempre habrá un torque de restauración. No obstante,
cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de
restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace
rotar fuera de su posición de equilibrio.
Los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por
consiguiente, más estables y menos propensos a voltearse. Esta relación es
evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta velocidad, que tienen
neumáticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. También la posición
del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades
físicas. Por ejemplo, las mujeres suelen doblarse y tocar los dedos de sus pies o el
suelo con las palmas de sus manos, con más facilidad que los varones, quienes
con frecuencia se caen al tratar de hacerlo; en general, Los varones tienen centros
de gravedad más altos (hombros más anchos) que las mujeres (pelvis grande), de
modo que es más fácil que el centro de gravedad de un varón quede fuera de su
base de apoyo cuando se flexiona hacia el frente.
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El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el único vector que cumple
que:
Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo
gravitatorio
es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a
una equivalente a la definición del centro de masas.
Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo másico cuya distancia al objeto
considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo másico y
del propio objeto, el centro de gravedad del objeto vienen dado por:
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2.1. Centro de gravedad para un sistema de partículas:

Es el punto donde se ubica el peso resultante de un sistema de partículas.
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Las partículas solo tendrán peso bajo la influencia de una atracción gravitatoria.

El peso resultante de un sistema será igual al peso total de la suma de las
partículas.
Formula general si la gravedad (g) es constante.
Donde:
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m: masa de la partícula.
= coordenadas de cada particula.
∑W= es la suma resulatante de los pesos de todas las
particulas presentes en el sistema (Wi=mi*g).
Mediante este llegamos a una conclusion que los pesos no
produciran momentos respecto al eje Y, si se hace coinsidir la
direccion de los pesos con el eje Y.
2.1.Centro de gravedad:
Un cuerpo rigido esta compuesto de un numero infinito de particulas, y si los
prinsipios usados para determinar las ecuaciones del centro de graedad para un
sistema de particulas discretas son aplicados al sistema de particulas que
componen un cuerpo rigido, resulta necesario usar integracion en vez de una
suma discreta de terminos. Conciderando la particula arbitraria ubicada en (x,y,z)
y con un peso diferencial dW, las ecuaciones resultantes son:
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Para aplicar estas ecuaciones apropiadamente, el peso diferencial dW debe ser
expresado en terminos de su volumen asociado dV. Si
ɤ representa el peso especifico del cuerpo, medido como un pesopor volumen
unitario, entonces dW= ɤdV, y por tanto.
Aquí la integración debe ser efectuada a todo el volumen del cuerpo.
3. CENTRO DE MASAS:
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que
dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las
fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema
formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema
equivalente al original.
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En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto
donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El
concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es indispensable considerar
la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.
En la Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo
ciertas circunstancias, o coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los
términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El
centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del
sistema; el centro de masas depende de la distribución de
d e materia, mientras que el
centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.
3.1. Centro de masas para un sistema de partículas.
Es una medida que depende de la masa individual y de las posiciones de las
partículas que lo componen.
El centro de masas no tiene porque coincidir con ninguna de las partículas del
sistema.
También para un sistema discreto se va a considerar como un punto geométrico.
Coordenadas del centro de masa.
La ubicación del centro de masa coincide con la del centro de gravedad pero no
hay que olvidar que las partículas tienen peso solo baja la influencia de una
atracción
gravedad. gravitatoria, mientras que el centro de masa es independiente de la
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3.2.Centro de masas.
La densidad, o masa por volumen unitario, está relacionada mediante la ecuación
ecua ción
ɤ=g
Donde:
g=es la aceleración debido a la gravedad.
Sustituyendo esta relación en las ecuaciones del centro de gravedad y cancelando
g en los numeradores y denominadores, se obtienen ecuaciones similares (con 
reemplazando a ɤ) que se pueden usar para determinar el centro de masa del
cuerpo.


Distribución e masa homogénea: Si la masa esta distribuida
homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar
fuera de la integral haciendo uso de la relación.
Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos
de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad.
4. CENTROIDE:
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


El centroide es un punto que de
define
fine el centro g
geométrico
eométrico de un objet
objeto.
o.
Su ubicación puede ser determinada a partir de fórmulas simil
similares
ares a las
usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa.
En particular, si el material que compone un cuerpo es uniforme u
homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo,
y por tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelara a partir de
los numeradores y denominadores de las ecuaciones.
Las formulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son
independientes del peso del cuerpo y dependen solo de la geometría de
este.
4.1. Centroide del volumen:
Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV, ubicación del
centroide C(x,y,z) para el volumen del objeto puede ser determinada
calculando los
de los elementos con respecto a cada uno de los
“momentos”
ejes coordenados.
Las formulas siguientes son:
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4.2. Centroide del área:
Es la superficial de un objeto, tal como una placa o un disco, se puede encontrar
subdividiendo el área en elementos dA y calculando los “momentos de esos
elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados.
4.3. Centroide de una línea:
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Si la simetría del del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre,
toma la forma de una línea, el equilibrio de los momentos de los elementos
diferenciales dL, con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta.
4.4. Simetría:
En los casos donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se
encontrara a lo largo de ese eje.
Ejemplo:
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En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el
centroide se encuentra en la intersección de eso ejes.
Ejemplo:
5. CENTROIDE PARA AREAS PLANAS COMPUESTAS:
Consisten en una serie de cuerpos “más simple” que pueden ser rectangulares,
triangulares o semicirculares y que están conectados entre si.
Dichos cuerpos pueden ser seccionados en sus partes componentes.
Para un número finito de pesos tenemos.
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Ejemplo:
Su fórmula:
6. TEOREMA DE PAPPUS-GULDINOS:
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Los 2 teoremas de Pappus-Guldinos se usan para encontrar el área superficial y
el volumen de cualquier objeto de revolución. Una área superficial de revolución
es generada al girar una curva plana alrededor de un eje fijo, en cambio el volumen
de revolución es generado al girar una área plana alrededor de un eje fijo. Se
proporciona las pruebas e los teoremas y estas requieren que las curvas y áreas
generatrices no crucen el eje alrededor del cual gira.
6.1. Teorema I: área de una superficie de revolución.
El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz
multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva el momento
de generar la superficie.
Deduciendo de la formula.
Espesamos por dL que es
e s un trozo mínimo de longitud de la superficie, a ese trozo
le damos una vuelta de longitud 2 ᴫr la cual podemos tomar como un anillo,
an illo, la vuelta
que dio esa longitud genero un área= dA, dA=dL (2ᴫr).
Esta fórmula es solo una parte del área de la superficie y necesitamos el área total
de la superficie, para esto tenemos que sumar todos los trozos de la superficie o
anillos que tiene la superficie, lo cual viene siendo la integral.
A=
ᴫᶋ rdL
Y por la ecuación del centroide esto se transforma quedando:
rdL= L
Llegando a la formula siguiente:
A=2ᴫṝL
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De forma general para cualquier angulo de rotación,
r otación, expresado en radianes, el área
de una superficie en revolución es:
A=ѳṝL
A=superficie de revolución.
Ѳ=ángulo de revolución.
ṝ=centroide de la curva generatriz.
L=longitud de la curva generatriz.
6.2. Teorema II: el volumen.
.
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V=volumen de revolución.
Ѳ=ángulo de revolución.
ṝ=centroide.
A=área generatriz.
El volumen de un cuerpo de revolución es igual al producto del área generatriz (A)
por la distancia recorrida por el centroide del área (L= ѳr).
V= 2ᴫᶋrdA
Donde el centroide esta dado por la ecuación.
ᶋrdA=ṝA
Sustituyendo se obtiene que el volumen:
V=2ᴫṝA
dV=2ᴫrdA
Por lo tanto la formula general será.
V=ѳṝA
VOLUMEN DE FORMAS COMPUESTAS:
También podemos aplicar los 2 teoremas anteriores a líneas o áreas que pueden
estar compuestas por una serie de partes componentes.
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En este caso, el área superficial o volumen generado total es la suma de las áreas
superficiales o volúmenes generados por cada una de las partes.
A=ѳ∑ (ṝL)
V=ѳ∑ (ṝA)
C. CONCLUSION.
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Llegamos concluir este presente trabajo monográfico mediante el cual para poder
aplicar más adelante, es un tema que es muy
mu y importante que tenemos que dominar.
D.BIBLIOGRAFÍA.

http://www.ing.ula.ve/~rubio/centroide01.htm Información recuperada el día 08
de octubre del 2016

http://www.monografias.com/trabajos71/centro-de-gravedad/centro-degravedad.shtml Información recuperada el día 08 de octubre del 2016

http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad Información recuperada el día
08 de octubre del 2016

http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_masas Información recuperada el día 08
de octubre del 2016

http://www.scribd.com/doc/7016198/Centro-de-Gravedad
Información
recuperada el día 08 de octubre del 2016

http//www.monografias.com
http/
/www.monografias.com Información recuperada el día 10 de octubre del
2016.

http//www.altavista.com
http/
/www.altavista.com Información recuperada el día 10 de octubre del 2016.
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