CURSO : ARITMÉTICA TEMA : CANTIDAD DE DIVISORES GRADO : SEMANA : PRIMERO DE SECUNDARIA 13 El mayor número primo conocido La técnica que se usa para hallar números primos “grandes” es utilizar los números de Mersenne. El matemático del siglo XVII Marin Mersenne pensaba que siempre que “n” sea primo, el número 2n-1 sería también primo. Por ejemplo Dicha conjetura resultó siendo falsa ya que los números 211-1; 261-1 y 289-1 no son primos. Sin embargo los números de Mersenne proporcionaron una técnica para encontrar números primos “grandes”. El número primo más grande que se conoce en la actualidad es el número de Mersenne: 282 589 933 - 1 Dicho número posee más de 24 millones de cifras y Fue descubierto por Patrick Laroche el 7 de diciembre de 2018. Cantidad de divisores de un número I. Descomposición canónica de un número Consiste en expresar un número como el producto de sus factores primos elevados a ciertos exponentes. Ejemplo. La descomposición canónica de 72 72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 23 x 32 En general: Sea la descomposición canónica de N = 72 2 y 3 son los divisores primos de 72 3 Recuerda : Los exponentes indican cuantas veces se repite cada factor primo N = an b m c p Donde: a, b y c son los divisores primos de N II. Cantidad de divisores de un número (CD) Basta determinar la descomposición canónica del número, luego sumar una unidad a cada exponente y multiplicar los resultados. El producto obtenido será igual a su cantidad de divisores del número. Ejemplo. ¿Cuántos divisores tiene 360? 360 180 90 45 15 5 1 2 2 2 3 3 5 En general: Sea la descomposición canónica de N 360 = 23 32 51 N = an b m c p CD = (3+1) (2+1) (1+1) CD = 4 x 3 x CD = (n+1)(m+1)(p+1) 2 CD = 24 Divisores = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 de 360 24 divisores III. Clasificación de los divisores de un número Ejemplo. Consideremos los divisores del número 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12 observamos que tiene tres tipos de divisores - La unidad: 1 - Divisores primos: 2 y 3 - Divisores compuestos: 4; 6 y 12 En general, para cualquier número compuesto se cumple que: divisores divisores Total de = Unidad + + primos compuestos divisores Ejemplo: Halle la cantidad de divisores compuestos de 48 Hallamos la descomposición canónica de 48 : 48 2 24 2 24 x 31 12 2 6 2 3 3 1 Total de divisores = (4+1) (1+1) = 5 x 2 = 10 Total de divisores primos = 2 y 3 las bases de la descomposición = 2 divisores primos Total de divisores simples = = 3 divisores simples 1 ; 2 y 3 (Divisores primos contando con la unidad ) Total de divisores compuestos Total de divisores compuestos = - Total de divisores simples = Total de divisores 10 - 3 =7 Ejemplo 1 : Si 240 = 2a 3b 5c. Hallar a +b + c. Resolución Descomposición canónica 240 120 60 30 15 5 1 2 2 2 2 3 5 240 = 24 31 51 a=4 Dato: 240 = 2a 3b 5c b=1 c=1 Respuesta : a + b + c = 6 Ejemplo 2 : Halle la descomposición canónica de 495 y determine su cantidad de divisores Resolución Descomposición canónica : 495 99 33 11 1 5 3 3 11 4950 = 32 51 111 Cantidad de divisores : 495 = 32 51 111 CD = (2 + 1) (1 + 1)(1 + 1) CD = 3 x 2 x 2 CD = 12 Respuesta : Tiene 12 divisores Ejemplo 3 : Si A=233n72 tiene 60 divisores. Hallar “n” Resolución A = 23 3n 72 Cantidad de divisores : CD = (3 +1)(n +1) (2 +1) CD = 4 (n +1) 3 CD = 12 (n +1) Dato: Tiene 60 divisores 12 (n +1) = 60 n +1 = 5 Respuesta : n = 4 Ejemplo 4 : Halle la cantidad de divisores compuestos de N = 83235 Resolución N = 83235 Descomposición canónica N = 23 x 32 x 51 x 71 • Cantidad de divisores simples Cantidad total de divisores CD = 4 x 3 x 2 x 2 = 48 • Cantidad de divisores compuestos =5 Son : 1 ;2 ;3 ;5 y 7 Cantidad = total de divisores 48 - Cantidad de divisores simples 5 Respuesta : Tiene 43 divisores compuestos Ejemplo 5 : ¿Cuántos divisores compuestos tiene 2 700 000? Resolución Descomposición canónica : 2 700 000 = 27 x 100 000 33 x 105 33 x (2 𝑥5 )5 33 x 25 x 55 Cantidad total de divisores ( CD) : CD = 4 x 6 x 6 = 144 • Cantidad de =4 divisores simples • Son : 1 ; 3 ; 2 y 5 Cantidad de Cantidad = total de divisores compuestos divisores = 144 - Cantidad de divisores simples 4 Respuesta : Tiene 140 divisores compuestos Ejemplo 6 : Si B = 12 5m 49 tiene 67 divisores compuestos. Hallar “m” Resolución B = 12 5m 49 Descomposición canónica : B = 4 x 3 x 5𝑚 x 72 B= 22 x 31 x 5𝑚 x 72 Cantidad de divisores ( CD) : CD = 3 x 2 x (m +1 ) x 3 CD = 18 (m +1 ) • Cantidad de =5 divisores simples • Cantidad de divisores compuestos Son : 1 ; 2 ; 3 ;5 y 7 Cantidad = total de divisores Cantidad de divisores simples 67 = 18 (m+1) - 5 72 = 18 (m+1) 72 = m +1 4 = m +1 18 Respuesta : m = 3 Ejemplo 7 : Halle la cantidad de divisores de A=242183 Resolución 24 12 6 3 1 2 2 2 3 A = 242 183 Cantidad de divisores : Descomposición canónica : A = 29 38 A = (23 31)2 (21 32)3 A = 26 32 23 36 18 2 9 3 3 3 1 A = 29 38 CD = (9+1)(8+1) CD = 10 9 = 90 Respuesta : Tiene 90 divisores A continuación se encuentran la diapositiva que copiarás en el cuaderno Cantidad de divisores de un número I. Descomposición canónica de un número Expresar un número como el producto de sus factores primos N = an b m c p Donde a, b y c son los divisores primos de N II. Cantidad de divisores Producto de los exponentes aumentados en una unidad CD = (n+1)(m+1)(p+1) III. Clasificación de los divisores divisores divisores Total de = Unidad + + primos compuestos divisores Ejemplo 1 : Si 120 = 2a 3b 5c. Hallar a +b + c. Resolución Descomposición canónica 120 60 30 15 5 1 2 2 2 3 5 240 = 23 31 51 a=3 Dato: 240 = 2a 3b 5c b=1 c=1 Respuesta : a + b + c = 5 Ejemplo 2 : Halle la descomposición canónica de 175 y determine su cantidad de divisores Resolución Descomposición canónica : 175 35 7 1 5 5 7 Cantidad de divisores : 175 = 52 71 CD = (2 + 1) (1 + 1) CD = 3 x 2 CD = 6 175 = 52 71 Respuesta : Tiene 6 divisores