ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. ESTADÍSTICA BÁSICA I AUTORES: Ing. Rómulo Eduardo Mena Campaña, MBA. Ing. Tania Eslavenska Escobar Erazo, MSc. Ing. Edwin Ramiro Haro Haro, MBA. Dra. Mayra Alexandra Córdova Alarcón, Mgst. Ing. Víctor Marcelo Merino Castillo, Mgst. Página 1 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Rómulo Eduardo Mena Campaña Tania Eslavenska Escobar Erazo Edwin Ramiro Haro Haro Mayra Alexandra Córdova Alarcón Víctor Marcelo Merino Castillo ESTADÍSTICA BÁSICA I ISBN-978-9942-21-953-4 Página 2 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. CONTENIDO 1 CAPÍTULO I: LA ESTADÍSTICA Y LA DESCRIPCIÓN DE DATOS................................................................................ 10 OBJETIVOS ...........................................................................10 1.1 CONCEPTOS BÁSICOS. ...................................................10 1.1.1 ESTADISTICA ..................................................................... 10 1.1.2. IMPORTANCIA Y ÁMBITO ...................................................... 11 1.1.3. DATOS ESTADÍSTICOS ........................................................ 12 1.1.4 MÉTODOS ESTADÍSTICOS .................................................... 15 Recolección (medición) ______________________________ 15 Recuento (cómputo) ________________________________ 16 Presentación ______________________________________ 16 Síntesis __________________________________________ 16 Análisis. _________________________________________ 17 1.2. POBLACIÓN Y MUESTRA ................................................17 1.2.1. POBLACIÓN ........................................................................ 17 1.2.2. MUESTRA ........................................................................... 18 1.3. CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA.......................................19 1.3.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ................................................. 19 1.3.2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL.................................................. 19 1.4 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA .................................19 1.4.1 PLANEAMIENTO................................................................... 20 El objeto de la investigación __________________________ 20 La finalidad. ______________________________________ 20 Página 3 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. La fuente de información. ____________________________ 21 Los procedimientos de investigación. ___________________ 22 Sistemas de investigación ___________________________ 22 El material estadístico ______________________________ 24 El costo y su financiación. ___________________________ 25 1.4.2 RECOLECCIÓN .................................................................... 25 1.4.3 CRÍTICA Y CODIFICACIÓN .................................................... 25 1.4.4 TABULACIÓN Y PROCESAMIENTO .......................................... 26 1.4.5 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN .............................................. 27 1.4.6 PUBLICACIÓN ..................................................................... 27 1.5 TABLAS ESTADÍSTICAS ..................................................28 1.5.1 PARTES DE UNA TABLA ........................................................ 29 Numeración de las tablas ____________________________ 29 Títulos de tablas ___________________________________ 30 Cuerpo de una tabla: _______________________________ 30 Notas de la tabla. __________________________________ 30 Tablas de otras fuentes. _____________________________ 31 1.5.2 TIPOS DE TABLAS ............................................................... 31 Tablas de una entrada. ______________________________ 31 Tablas de dos entradas. _____________________________ 32 Tablas complejas: __________________________________ 32 1.6 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS .............................................34 1.6.1 GRÁFICAS LINEALES............................................................ 35 1.6.2 GRÁFICOS DE SUPERFICIE ................................................... 36 1.6.3 OTROS ............................................................................... 37 Página 4 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Gráficos XY (de dispersión): __________________________ 37 Gráficos de área ___________________________________ 38 1.7 DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS 39 1.7.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS ....................................................................................... 40 Pasos para elaborar una distribución de frecuencias _______ 41 1.8 DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS.......................................49 1.8.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUALITATIVO .... 49 Diagrama de barras. ________________________________ 50 Gráficas en forma de pastel. _________________________ 50 1.8.2 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO DISCRETO 51 Diagrama de barras ________________________________ 51 Diagrama en forma de pastel _________________________ 52 1.8.3 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO CONTINUO 53 Histograma _______________________________________ 54 Polígono _________________________________________ 55 Ojiva ____________________________________________ 55 2 CAPÍTULO II: ANÁLISIS ESTADÍSTICO SIMPLE ....... 57 OBJETIVOS ...........................................................................57 2.1 INTRODUCCIÓN .............................................................57 2.2 TIPOS DE ESTADÍGRAFOS ..............................................57 Página 5 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 2.3 ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL ......................58 2.3.1 MEDIA ARITMÉTICA ............................................................. 59 Media aritmética con datos no agrupados _______________ 59 Media aritmética con datos agrupados __________________ 63 2.3.2 MEDIA PONDERADA ............................................................. 67 2.3.3 LA MEDIANA ....................................................................... 68 Mediana de datos no agrupados _______________________ 68 Mediana de datos agrupados _________________________ 71 2.3.4 MODA ................................................................................ 75 Moda de datos no agrupados _________________________ 75 Moda de datos agrupados ___________________________ 77 2.3.5 MEDIA GEOMÉTRICA ........................................................... 79 2.3.6 MEDIA ARMÓNICA ............................................................... 83 2.4 FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN ........................................85 2.4.1 RELACIÓN ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA ........ 85 2.5 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES ............................90 2.5.1 Medidas de posición relativa ................................................. 91 Los Cuartiles ______________________________________ 91 Los Deciles _______________________________________ 91 Los Percentiles ____________________________________ 91 2.6 ESTADÍGRAFOS DE DISPERCIÓN ...................................99 2.6.1 DISPERCIÓN ABSOLUTA ....................................................... 99 Rango ___________________________________________ 99 Desviación media _________________________________ 101 Varianza ________________________________________ 104 Página 6 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Desviación estándar _______________________________ 108 2.6.2 DISPERCIÓN RELATIVA ...................................................... 110 Coeficiente de variabilidad __________________________ 110 2.7 MEDIDAS DE ASIMETRÍA .............................................113 2.8 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS .................116 3 CAPÍTULO III: NÚMEROS ÍNDICES ........................ 120 OBJETIVOS .........................................................................120 3.1 INTRODUCCIÓN ...........................................................120 3.2 CARACTERÍSTICAS ......................................................120 3.3 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ÍNDICES................120 3.3.1 NÚMEROS ÍNDICES DE PRECIOS ......................................... 120 3.3.2 NÚMEROS ÍNDICES DE CANTIDAD ...................................... 121 3.3.3 NÚMEROS ÍNDICES DE VALOR ............................................ 121 3.4 NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES .......................................121 3.5 NÚMEROS ÍNDICES NO PONDERADOS ........................122 3.5.1 PROMEDIO SIMPLE DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS ................. 122 3.5.2 ÍNDICE AGREGADO SIMPLE ................................................ 124 3.6 NÚMEROS ÍNDICES PONDERADOS ..............................124 3.6.1 ÍNDICE DE LAYSPEYRES ..................................................... 125 3.6.2 ÍNDICE DE PAASCHE ......................................................... 126 3.6.3 ÍNDICE DE FISHER ............................................................ 127 3.7 ÍNDICES DE VALOR ......................................................127 Página 7 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 4 CAPÍTULO IV: REGRESIÓN. CORRELACIÓN Y SERIES DE TIEMPO ....................................................................... 129 OBJETIVOS .........................................................................129 4.1 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN ........................................129 4.1.1 VARIABLE DEPENDIENTE: .................................................. 129 4.1.2 VARIABLE INDEPENDIENTE: ............................................... 129 4.1.3 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ......................................... 129 4.1.4 CÁLCULO DE COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN ................... 133 4.2 ANÁLISIS DE REGRESIÓN ............................................134 4.2.1 PRINCIPIO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ........................... 134 4.2.2 TRAZO DE LA LÍNEA DE REGRESIÓN .................................... 137 4.2.3 EL ERROR ESTÁNDAR DE LA ESTIMACIÓN ............................ 138 4.3 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DE UNA SERIE DE TIEMPO ...................................................................................139 4.4 COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPOS.................139 4.4.1 TENDENCIA SECULAR ........................................................ 139 4.4.2 VARIACIÓN CÍCLICA .......................................................... 141 4.4.3 VARIACIÓN ESTACIONAL ................................................... 142 4.4.4 VARIACIÓN IRREGULAR ..................................................... 143 4.5 MEDICIÓN DE TENDENCIAS .........................................143 4.5.1 TENDENCIA LINEAL ........................................................... 143 Método de libre ajuste _____________________________ 143 Método de mínimos cuadrados _______________________ 145 Página 8 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 4.5.2 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL ......................................... 147 4.5.3 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL PONDERADO ...................... 151 Página 9 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1 CAPÍTULO I: LA ESTADÍSTICA Y LA DESCRIPCIÓN DE DATOS OBJETIVOS 1. Saber qué significa estadística. 2. Exponer el ámbito de aplicación y la importancia de la estadística. 3. Diferenciar entre una variable cualitativa y una variable cuantitativa. 4. Distinguir entre una variable discreta y una variable continua. 5. Diferenciar entre niveles de medición nominal, ordinal, por intervalo y de razón. 6. Explicar qué es estadística descriptiva y estadística inferencial. 7. Realizar pequeñas investigaciones estadísticas, aplicando las etapas del proceso de investigación. 8. Aplicar la metodología en la elaboración de tablas de distribución de frecuencias. 9. Seleccionar y elaborar figuras que visualicen la información de las tablas. 10. Analizar y obtener conclusiones sobre la información contenida en las tablas y gráficas. 1.1 CONCEPTOS BÁSICOS. 1.1.1 ESTADISTICA En esta unidad revisaremos algunos conceptos útiles los cuales le servirá al estudiante formarse una idea de los términos más usados en el estudio de la estadística. Una definición clara y sencilla señala que, la estadística es la ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta datos con el fin de propiciar una toma de decisiones más eficaz (Lind, Marchal, & Wathen, 2012). Ciro Martínez, al presentar el significado de la palabra estadística señala que, es un sistema o método usado para la recolección, organización, análisis y descripción numérica de la información. Página 10 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. También se puede decir que la estadística estudia el comportamiento de hechos o fenómenos de grupo (Martínez, 2012). Otra definición muy sucinta indica que, la estadística es el arte y la ciencia de recolectar, analizar, presentar e interpretar datos (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008). El término estadística proviene del latín statisticum collegium (“consejo de Estado”) y de su derivado italiano statista (“hombre de Estado o político”). En 1749, el alemán Gottfried Achenwall comenzó a utilizar la palabra alemana statistik para designar el análisis de datos estatales. Por lo tanto, los orígenes de la estadística están relacionados con el gobierno y sus cuerpos administrativos (Definición.de, 2015). Por lo anterior, teniendo en cuenta las bondades que aportó la estadística a la gestión de los estados; las empresas y personas, la han aprovechado y en la actualidad no existe campo de estudio en la que la estadística se encuentre ausente. 1.1.2. IMPORTANCIA Y ÁMBITO En nuestra vida cuotidiana, cuando revisamos periódicos, revistas, internet, al mirar los noticieros en televisión, nos encontramos con tablas, gráficos, medidas, análisis e interpretaciones que nos dan cuenta de lo que pasa en nuestro contexto y en distintos lugares del planeta. Podemos enterarnos, que está ocurriendo en el campeonato nacional de futbol, qué equipos ocupan las primeras posiciones en la tabla, cuáles ocupan las últimas posiciones; en el ámbito artístico, cuáles son las preferencias musicales de los jóvenes de 10 a 15 años, o de 16 a 25 años, por supuesto, se encontrarán diferencias; en el ámbito profesional, cuáles son las tendencias de estudios universitarios más demandadas, cuáles son las profesiones más rentables; en los dispositivos tecnológicos, cuáles son las necesidades actuales de equipos, las preferencias de un grupos de jóvenes, las necesidades de los universitarios, de las amas de casa, de los hombres y mujeres de negocios, etc. Pero no solo podemos encontrar necesidades de personas naturales; las personas jurídicas, esto es negocios y empresas, pequeñas y grandes, también necesitan información para enrumbar su actividad a aquello que les permita producir más, cubrir mayores Página 11 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. mercados, incrementar su patrimonio, incrementar su utilidad, cómo se encuentra evolucionando la demanda el mercado de los bienes que producen, cuál es la evolución de los precios, cuál es la participación de la empresa o producto en el mercado, si existen posibilidades de expansión, si las ventas en cantidad y en dólares se encuentran en franco ascenso o descenso, si existirá la posibilidad de aplicar estrategias que mejoren las ventas, la apertura para nuevos mercados, para nuevos productos, etc. Pero la estadística no solo es útil para el desempeño de la vida cuotidiana y de los negocios; sino que ésta va más allá de ellos, las diferentes ciencias se han desarrollado mediante la utilización de la estadística como: las médicas, que nos da cuenta de la evolución de las enfermedades, la eficacia de los medicamentos y tratamientos, el porcentaje de éxito en determinado tipo de cirugía, la frecuencia de las enfermedades, sus índices de mortalidad, etc.; las ciencias sociales la cual involucra a los ámbitos: educativo, que nos permite conocer los índices de estudio escolarizado, alfabetismo, analfabetismo; la psicología, que contribuye al conocimiento del comportamiento de los individuos y sus aptitudes, la sociología en la evolución y desarrollo de las culturas y sociedades, la economía contribuye con estudios tanto microeconómicos como macroeconómicos; y más ámbitos tales como demografía, administración pública, historia, geografía, antropología, etc. Como se habrá dado cuenta, el ámbito de aplicación de la estadística es extenso, por su muy diverso uso y su necesaria actualización. La toma de decisiones acertadas son realizadas con información, su validez y confiabilidad se sujetan a los instrumentos y técnicas estadísticas utilizadas en la investigación de interés. 1.1.3. DATOS ESTADÍSTICOS Los datos son hechos, informaciones y cifras que se recogen, analizan y resumen para su presentación e interpretación. A todos los datos reunidos para un determinado estudio se les llama conjunto de datos para el estudio (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008).Como por ejemplo si considera: Variable Edad (en años) Número de hijos Conjunto de datos {1, 2, 3, ⋯ } {0, 1, 2, ⋯ } Página 12 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Estatura (en centímetros) Estado civil Grupo sanguíneo {150, 162,173, ⋯ } {𝑠𝑜𝑙𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜, 𝑑𝑖𝑣𝑜𝑟𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜, ⋯ } {𝐴, 𝐵, 𝐴𝐵, 𝑂} VARIABLE. Una variable es una característica de los elementos que es de interés (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008). Las cifras o información que conforma un conjunto de datos, son obtenidas cuando se averigua una variable, a los elementos o individuos sujetos en un estudio de investigación. Como se observa en los ejemplos de: edad, número de hijos, estatura, estado civil, grupo sanguíneo; se tienen variables de dos clases de datos, los cuantitativos y cualitativos. 1. Datos cuantitativos. Son expresados numéricamente y nos dan una idea de cantidad, dimensión, duración, distancia, etc. 2. Datos cualitativos. Son conocidos también como datos de atributo, agrupan a una población o muestra en características semejantes, pero no tienen medidas numéricas; se encuentran comprendidas por etiquetas o nombres que identifican el atributo de cada elemento, Como en el caso de la variable estado civil, el dato de respuesta podría ser: soltero, casado, viudo, divorciado, etc. De acuerdo a la naturaleza de los datos se debe escoger el método apropiado para resumir la información, determinar las medidas adecuadas y realizar sus correspondientes análisis. Para ello es necesario clasificar a las variables en dos tipos. 1. Variables cuantitativas. Se encuentran en este grupo aquellas que pueden medirse, cuantificarse, permiten una descripción o representación numérica. Estas variables atendiendo a los valores que pueden tomar se clasifican en variables discretas y continuas. a. Variable discreta. Se refiere a aquella que sólo puede tomar valores enteros, esto es: 1, 2, 3, etc., tal es el caso del número de hijos por familia, número de televisores en un hogar, etc. b. Variable continua. Toma todos los valores posibles en un intervalo, es decir, se admiten valores fraccionarios, como el número de años de una persona: 20 años, tres meses, cinco Página 13 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. días, valor pagado por impuesto a la renta de un profesional o empresa, etc. 2. Variables cualitativas. Estas variables agrupan cualidades o atributos, en la que los casos de estudio pueden formarse dos grupos como: hombre – mujer, estudiante – no estudiante, con empleo – sin empleo, etc. Pero también estas variables pueden conformar más de dos grupos como; al estudiar el grupo sanguíneo de los individuos se tendrá: A, B, AB y O (cuatro grupos); el estado civil de las personas se tendrá soltero (a), casado (a), divorciado (a), viudo (a) y unión de hecho, etc. Según sea de un tipo u otro, la variable podrá medirse de distinta manera, esto es, tendrán distintas escalas o niveles de medición. En las variables cualitativas los datos son de nivel nominal y ordinal. a. Datos de nivel nominal. Los datos de los elementos sujetos de análisis se encuentran representados por nombres, admiten una clasificación, sin que ello signifique un orden lógico. Como ejemplos serían: Países que integran el pacto andino, género de los estudiantes de un curso de estadística, marca de automóviles, etc. b. Datos de nivel ordinal. Los datos de los elementos sujetos de análisis se disponen de acuerdo a un orden que se encuentra especificado, razón por lo que los datos se pueden clasificar y ordenar. Como ejemplo, las calificaciones cualitativas asignadas por el profesor de estadísticas a los trabajos presentados por los estudiantes serían: excelente, muy bueno, bueno, regular y malo. Tabla de posiciones de los equipos que intervienen en el campeonato ecuatoriano de futbol de la serie A, se tendría primero, segundo, tercero, … ,etc. En las variables cuantitativas los datos son de nivel de intervalo y de razón. a. Datos de nivel de intervalo. Identifica la posición ordinal de cada elemento sujeto de análisis y las diferencias entre intervalos es la misma. Ejemplos de datos de intervalo son la temperatura ambiental observada en la escala de grados centígrados, las tallas de las diferentes prendas de vestir, etc. Página 14 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. b. Datos de nivel de proporción: Identifica la posición ordinal de cada elemento sujeto de análisis, las distancias de cada intervalo es la misma, se basa en un sistema numérico en la que el cero es significativo y las operaciones de multiplicación y división tienen un resultado racional. Ejemplos de esto se tiene a: las ventas en dólares de un establecimiento comercial, en donde el cero representa que en ese día no ha existido ventas, costos, rentabilidad, participación en el mercado, etc. 1.1.4 MÉTODOS ESTADÍSTICOS El método estadístico según se le atribuye a Jesús Reynaga, profesor de Salud Pública de la Facultad de Medicina, UNAM, consiste en una serie de procedimientos para el manejo de los datos cualitativos y cuantitativos de la investigación. Las características que adoptan los procedimientos propios del método estadístico dependen del diseño de investigación seleccionado para la comprobación de la consecuencia verificable en cuestión. El método estadístico tiene las siguientes etapas: Recolección (medición) Recuento (cómputo) Presentación Descripción Análisis Tales etapas siempre se encuentran en el orden descrito y cada una de ellas consiste de manera resumida en lo siguiente: Recolección (medición) En esta etapa se recoge la información cualitativa y cuantitativa señalada en el diseño de la investigación. La recolección o medición puede realizarse de diferentes maneras: a veces ocurre por simple observación y en otras ocasiones requiere de complejos procedimientos de medición La calidad técnica de esta etapa es fundamental ya que de ella depende que se disponga de datos exactos y confiables en los cuales se fundamenten las conclusiones de toda la investigación. Página 15 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. En ocasiones, la recolección de la información debe ocurrir en grupos tan grandes de individuos que se hace imposible tratar de abarcar a todos ellos; entonces es cuando se pone en práctica procedimientos de muestreo. Tales procedimientos de muestreo están subordinados a la consecuencia verificable que se desea comprobar y al diseño de investigación seleccionado. Recuento (cómputo) En ésta etapa del método estadístico, la información recogida es sometida a revisión clasificación y cómputo numérico. A veces el recuento puede realizarse de manera muy simple, por ejemplo con rayas o palillos; sin embargo, puede requerirse el empleo de computadoras y programas especiales para el manejo de base de datos. En términos generales puede decirse que el recuento consiste en la cuantificación de la frecuencia con que aparecen las diferentes características medidas de los elementos en estudio; por ejemplo, el número de personas de sexo femenino y el de personas de sexo masculino; o, el número de niños con peso menor de 3 kilos y el número de niños con peso igual o mayor a dicha cifra. Presentación En esta etapa del método estadístico, se elaboran las tablas y figuras, las cuales permiten una inspección precisa y rápida de los datos. La elaboración de tablas tiene por propósito acomodar los datos de manera que se pueda efectuar una revisión numérica precisa de los mismos. La elaboración de figuras tiene por propósito facilitar la inspección visual rápida de la información. Síntesis En esta etapa la información, es resumida en forma de medidas que permiten expresar de manera sintética las principales propiedades numéricas de grandes series o agrupamiento de datos. Tales medidas de resumen, al ser comunicadas, permiten a los interlocutores evocar de una misma esencia de los datos; por ejemplo, cuando alguien informa que el promedio de un grupo de alumnos es de 9.6 puntos en una escala que va del 0 al 10, la Página 16 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. imagen que se transmite es de un grupo con buen aprovechamiento escolar. Entre las principales medidas para sintetizar los datos cuantitativos se encuentra la moda y la amplitud, la mediana y los percentiles y el promedio y la desviación estándar. Análisis. En esta etapa mediante fórmulas estadísticas apropiadas y el uso de tablas específicamente diseñadas, se efectúa la comparación de las medidas de resumen previamente calculada. El análisis estadístico de los datos consiste en la comparación. Existen procedimientos bien establecidos para la comparación de las medidas de resumen que se hayan calculado en la etapa de descripción. Tales procedimientos, conocidos como pruebas de análisis estadísticos cuentan con sus fórmulas y procedimientos propios. Cada prueba de análisis estadístico debe utilizarse siempre en función del tipo de diseño de investigación que se haya seleccionado para la comprobación de cada consecuencia verificable o deducible, a partir de la hipótesis general de la investigación. Por lo anterior, puede considerarse a la estadística como una disciplina que posee su propio método. Tal disciplina emplea conocimientos de otras ciencias como la lógica y la matemática; y por eso, se dice que la estadística es una forma razonable de emplear el sentido común y la parte aritmética la complementa con el manejo de datos de la investigación (Reynaga, 2015). 1.2. POBLACIÓN Y MUESTRA 1.2.1. POBLACIÓN Es un conjunto de medidas o recuento de todos los elementos que presentan una característica común (Martínez, 2012). Un estudio poblacional equivale a una investigación total, ejemplo de ello, en el Ecuador se realizó en noviembre del 2010 el Censo de Población y Vivienda, el cual consistió en un recuento de la población y las viviendas para generar información estadística Página 17 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. confiable, veraz y oportuna acerca de la magnitud, estructura, crecimiento, distribución de la población y de sus características económicas, sociales y demográficas, que sirva de base para la elaboración de planes generales de desarrollo y la formulación de programas y proyectos a cargo de organismos de los sectores público y privado (Instituto Nacional de Estadísticas y Censos, 2015). 1.2.2. MUESTRA Es un conjunto de medidas o recuento de una parte de elementos que pertenecen a la población de interés. Para que una muestra sea representativa de una población, los elementos deben ser seleccionados aleatoriamente, esto es, los elementos que se encuentran en la población, todos tienen la misma oportunidad de ser elegidos en la muestra. Un estudio muestral se justifica cuando el estudio poblacional se ve imposibilitado porque: Las poblaciones son muy grandes o infinitas. El tiempo requerido es demasiado grande. Los costos son elevados que imposibilita la ejecución de la investigación. Existe limitación en la disponibilidad del recurso humano. Debido a la naturaleza destructiva de los elementos sujetos a estudio. La homogeneidad de la característica. Parámetro. Es una característica medida de una población completa, por ejemplo: la proporción de alumnos de más de 21 años que ingresan a la universidad. En estadística se asignan símbolos del alfabeto griego para designar un parámetro (Slideshare, 2015). Estimador. Es la medida de una característica relativa a la muestra, al valor promedio de los datos y la imagen de éstos; la mayoría de los estadísticos muestrales se encuentran por medio de fórmulas y suelen asignárseles símbolos del alfabeto latino (Slideshare, 2015). Página 18 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1.3. CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA 1.3.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Es el conjunto de técnicas que se encargan de organizar, resumir, presentar y describir los datos de manera informativa. Los medios útiles para la presentación y descripción de datos son: las tablas de frecuencia, los gráficos, el cálculo de medidas de tendencia central, de posición, de variabilidad, etc. 1.3.2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL Es el conjunto de técnicas que se encargan de estimar los parámetros poblacionales a partir de una muestra. La exactitud de la estimación depende de las técnicas estadísticas usadas y del cuidado con que se tomó la muestra. La diferencia entre el estadístico de la muestra y el parámetro de la población se denomina error muestral. 1.4 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA En nuestra vida cuotidiana o laboral nos encontramos en la necesidad de contar con información estadística para una adecuada toma de decisiones. En una variedad de ocasiones podremos encontrar la información requerida y elaborada usualmente por instituciones estatales (información secundaria) que para el caso ecuatoriano lo realiza el Banco Central del Ecuador, Instituto Ecuatoriano de Estadísticas y Censos, Registro Civil, Identificación y Cedulación, los diversos Ministerios que elaboran estadísticas en su ámbito de acción (educación, salud, vivienda, trabajo, etc.); así también, se puede obtener información de entidades privadas como periódicos, revistas y páginas web especializadas (economía, finanzas, educación, industrial, empresarial, emprendimientos, etc.). En otras ocasiones, habrá la necesidad de realizar una investigación con el objeto de obtener la información necesaria para el conocimiento y toma de decisiones adecuadas al interés personal, laboral o empresarial. A la hora de realizar una investigación, el método estadístico es la herramienta adecuada para la recolección de la información mediante registros, que se ordenan, clasifican, cuantifican y se muestran mediante tablas y Página 19 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. gráficos, de forma clara, resumida y fácil de interpretar grandes cantidades de información (Martínez, 2012). Otras necesidades de información, son aquellas que se obtienen en orden cronológico, tales como las temperaturas registradas en las diferentes ciudades del Ecuador a una hora determinada de cada día, número de accidentes de tránsito por provincia y periodo mensual, precio promedio mensual de la canasta básica para el consumidor, exportaciones e importaciones en periodos mensuales del Ecuador, ventas diarias registradas en determinado negocio o empresa, inventarios o utilidades al finalizar el año, etc. Ciro Martínez, señala que el proceso de investigación estadística consta de seis fases. 1.4.1 PLANEAMIENTO Un plan de investigación debe contemplar lo siguiente: El objeto de la investigación Es el hecho o fenómeno que se va a observar o registrar numéricamente. Ejemplo. Una investigación sobre los salarios. El objeto de la investigación responde a la pregunta ¿qué se va a investigar? La finalidad. Al analizar que se va a investigar se propone definir el objeto de investigación, determinar la naturaleza cuantitativa y cualitativa, determinar la posibilidad de su investigación y limitar el objeto investigable, con los que se responde el por qué: Definir el objeto de la investigación. Es la fijación precisa del concepto de o que se aspira indagar. Decir con claridad y exactitud lo que la estadística va a recoger. La unidad o elemento de investigación debe ser: clara, adecuada, mensurable y comparable. Determinar su naturaleza cuantitativa o cualitativa del objeto de la investigación. Esto es, establecer si la variable investigada es de naturaleza numérica (cuantitativa) o de atributo (cualitativa). Determinar la posibilidad de investigación. Es necesario examinar si el objeto de la investigación pueden ser conocidas Página 20 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. con precisión, si se exteriorizan, si pueden contarse si admiten su existencia y su intensidad. Limitar el objeto investigable. Por imposibilidad o por ser innecesaria la observación completa, la estadística reduce sus trabajos a un doble aspecto. El primero limitando el objeto de la investigación y segundo limitando el campo de la investigación. La limitación de la investigación puede darse de manera coordinada en función del tiempo, espacio, número, etc. La fuente de información. A continuación es necesario identificar en dónde se obtener información de la investigación y si aquellas fuentes son de naturaleza directa o indirecta. Las investigaciones directas se recogen los datos de un acontecimiento de cualquier índole, cuando acudimos a él, lo observamos y anotamos su presencia o su ausencia y su intensidad mediante números. Por tanto se llamará fuente de información estadística directa allí donde el hecho sujeto de la investigación se produce, como por ejemplo, la familia, la empresa, la fábrica, los costos, los precios, etc. Las investigaciones indirectas son cuando se recurren a un hecho distinto del que se está interesado, para después deducir de éste el valor del que en definitiva se desea conocer. Son inducciones lógicas, cálculos aproximados, estimaciones que constantemente se realizan en los negocios. Ejemplos de estos pueden ser: la estimación de la cosecha en base a la siembra de un producto agrícola, el cálculo poblacional en una fecha intermedia se determina en base a dos censos, las necesidades de llantas se calculan en base a la cantidad de autos en circulación en un estado o región, etc. Las fuentes de información indirectas son aquellas donde el hecho investigado se manifiesta indirectamente o donde se refleja. También pueden clasificarse a las fuentes de información como primaria, cuando se obtiene directamente de la investigación, realizada usualmente a través de una encuesta, y secundaria, cuando se trata de información complementaria, publicada por la misma institución o cualquier otra. Página 21 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Los procedimientos de investigación. Señala las normas que determinan el cómo debe realizarse la investigación; estas se resumen en los siguientes puntos. Claridad y publicidad. Toda investigación debe ser clara y conocida por observadores y observados. La claridad debe estar presente en todo el proceso de investigación. Sencillez. Debe estar presente en: los formularios, las instrucciones, en el proyecto, en la finalidad, en las tablas, en los gráficos, en los comentarios y análisis, operaciones de cálculo, etc. Utilidad. Toda estadística que se inicie debe tener alguna aplicación práctica de interés. Las investigaciones pueden ser: Ocasional. Si se da la recolección de datos en circunstancias extraordinarias, cuando eventualmente se presenta un problema, o se agita su solución. Por ejemplo cuando se realiza una investigación del costo de vida o de salarios cuando se plantea una huelga. Periódica. Aquellas investigaciones que se repiten de tiempo en tiempo, en lapsos regulares. Ejemplos de ello se tiene los censos en periodos decenales, las estadísticas de las industrias con periodicidad anual, los boletines de comercio exterior en forma mensual, etc. Continua. Son estadísticas que se produce sin interrupción, ejemplos de ellas se tiene a las demográficas como: la natalidad, la mortalidad, los matrimonios, tráfico por carreteras, etc. Registro permanente. Aquellas que se registra a medida que el hecho tiene lugar. Por ejemplo los accidentes de tránsito, suicidios, etc. Sistemas de investigación Se distinguen varios procedimientos de investigación, entre ellos se tiene: Las recopilaciones automáticas de datos por declaración espontánea del sujeto de la investigación, como inscripciones obligatorias en los casos de natalidad, matrimonios, mortalidad, migración, comercio exterior, edificaciones, recaudación de impuestos, etc. Página 22 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Las recopilaciones intencionales de datos, obtenidas mediante empleo de un agente que ex profeso vaya a la fuente de información para registrar los datos, como en los casos de los censos de población y vivienda, encuestas de hogares sobre ingresos y gastos, sobre las condiciones de una determinada industria, etc. Investigaciones completas, son aquellas que recogen todos los datos, indagan todo el campo de observación, como todos los balances de la banca, la producción de sal, la de cemento, de transporte aéreo, que tiene lugar en una región o estado. Investigaciones incompletas, son las que sólo atienden a una parte de las unidades estadísticas, bien por no ser posible recoger la totalidad de los datos, por no ser necesario para el fin que se persigue. Si la estadística incompleta no es representativa del conjunto, no es típica para generalizar los resultados parciales al conjunto de los casos. En caso contrario, cuando el círculo estudiado numéricamente puede sustituir al total, la estadística incompleta es de extraordinaria utilidad. Las recopilaciones voluntarias de datos, frecuentemente se llevan a cabo por las instituciones privadas y se refieren comúnmente a las monografías y encuestas científicas. La radio, prensa y las revistas suelen invitar a sus lectores a opinar sobre algunos problemas candentes o a declarar un dato de su vida o negocio particular. Pues bien, de estos sistemas, el proyecto, para el caso particular, tendrá que decir cuál interesa más y cuál debe emplearse. Sobre la recolección de información, puede ser por correo, entrega personal del cuestionario y la entrevista; otros sistemas de menor importancia corresponden a: internet, teléfono y panel. Todos estos presentan ventajas y desventajas, por ejemplo la entrevista resulta más ventajosa por que proporciona un mayor número de cuestionarios recolectados, mayor número de respuestas, permite aclarar el objetivo de la investigación y las dudas del informante; entre sus desventajas se tiene mayor costo, más tiempo de recolección, alto número de encuestadores, etc. Página 23 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. El material estadístico Está constituido por los útiles, documentos o instrumentos necesarios para llevar adelante la investigación. El material puede dividirse en impreso e instrumental. Material impreso. Se refiere a los formularios o cuestionarios, boletines, hojas de inscripción, registros, circulares, pliegos de instrucciones, etc. Las normas de diseño y redacción de un formulario que se someterá a discusión, pruebas y aprobación, son las siguientes. Debe ser sucinto, limitado a las preguntas esenciales, las necesarias para los fines de la investigación y que efectivamente pueda obtenerse de la fuente informativa. Debe prescindirse de toda pregunta indiscreta que levante suspicacias y temores, o que moleste al investigado. Debe ser claro, fácilmente comprensible, no ofrecer dudas en la forma de contestar cada pregunta, que admita una sola interpretación. Debe evitarse los juicios personales del investigador y del investigado, como cuando se deje a criterio del calificador juzgar la importancia o la bondad de un hecho (grande, mediano o pequeño); (bueno, regular, malo). También debe tenerse en cuenta, la clase de papel, su tamaño, la distribución de las partes del cuestionario, su impresión, colores, el tiempo de llenado, etc. Equipos. La recolección de datos y la elaboración posterior requieren de varios instrumentos, aparatos, máquinas y útiles, que quien proyecta debe tener en cuenta, en su número y clase. Existen investigaciones que requieren de instrumentos especiales, sin los que no se podrían recoger datos. En una investigación de antropometría, requiere de escalas cromáticas de la piel, del pelo, de los ojos, cinta métrica, balanza, etc. Si se trata de llevar estadísticas de una empresa sobre los horarios de entrada y salida del personal que labora o el de un aparcadero de autos, será necesario contar con un reloj marcador. En un almacén, la estadística de ventas e ingresos se lleva en una caja registradora. Página 24 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. El costo y su financiación. La estimación previa de gastos y su financiamiento, constituye el último punto del proyecto de investigación estadística. Estos gastos pueden ser atribuidos a estudios preliminares, asesorías, trabajos geográficos, formulación del plan, plan de propaganda, impresión del formulario, selección y adiestramiento del personal, contratación de servicios auxiliares, materiales y equipos, trabajo de campo, sistematización de la información y publicación. Todo proyecto de esta clase debe ser discutido y aprobado por un grupo de técnicos en estadística y por peritos en la materia que va a investigarse. La consecución del financiamiento no debe dejarse para más tarde de la etapa de preparación, su previsión debe abarcar la cantidad de dinero necesario hasta el final de la investigación. Aprobado el plan con las modificaciones del grupo de técnicos y peritos, se continúa con la ejecución del mismo. 1.4.2 RECOLECCIÓN Preparado el proyecto de investigación es posible comenzar con la recolección de la información. La etapa de recolección comprende aspectos tales como: Distribución del material o instrumento de recolección. La recolección propiamente dicha. Control del número de formularios recolectados Control sobre la calidad de la información recolectada. 1.4.3 CRÍTICA Y CODIFICACIÓN Es un conjunto de operaciones de revisión y corrección de la información recolectada, que nos permita agruparla y procesarla, de tal manera que se facilite la elaboración de tablas, gráficos y análisis, necesarios en su publicación. El objeto de la crítica, es clasificar el material primario que precede de la misma investigación, en tres grupos: material bueno, material incorrecto pero corregible y material incorregible o desechable. Página 25 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. La necesidad de procesar la información recogida en los cuestionarios, ha obligado a traducir las respuestas en códigos. Por ejemplo, el código para la pregunta estado civil, podría establecerse de la siguiente manera. Tabla 1. CÓDIGO DE ESTADO CIVIL DE LOS CIUDADANOS ESTADO CIVIL Soltero Casado Divorciado CÓDIGO 1 2 3 ESTADO CIVIL Viudo Separado Otro CÓDIGO 4 5 6 Cuando el número de respuestas sobrepasa de 9, es preciso utilizar cifras de dos dígitos, tal como: Tabla 2. CÓDIGO DE PROFESIONES DE LOS CIUDADANOS 1.4.4 PROFESIONES CÓDIGO Abogado/a Actor /Actriz Agente de viaje Arquitecto/ a Astrónomo/a ⋮ Veterinario/a 01 02 03 04 05 35 TABULACIÓN Y PROCESAMIENTO Puede ser manual, mecánica o computarizada y su elección dependerá: De la cantidad de formularios que se van a utilizar. Del número de preguntas que tenga el formulario. Del tiempo y los recursos, ya sean financieros o de equipo disponible. Cuando la tabulación se acuerda desde el principio como parte integrante de la planeación general de la investigación, es de suponer que todo el proceso será totalmente satisfactorio, sin embargo, es necesario que sea revisado a fin de detectar inconsistencias que se presenten en el presente proceso o en Página 26 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. procesos anteriores. Una vez elaboradas las correcciones, se procede a elaborar las tablas, gráficos, análisis, conclusiones y recomendaciones, de ser el caso. 1.4.5 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN El análisis de los datos tiene que ver con la formulación del objetivo de la investigación y de las hipótesis establecidas; sin embargo, este proceso de análisis tendrá menos dificultad, si el investigador tiene pleno conocimiento de los problemas que son inherentes al planteamiento de la investigación. En este proceso, se debe considerar la elaboración de distribuciones o tablas de frecuencia obtenidas a través de una sistematización de la información para poder ser presentada en forma de tablas y gráficos. Con los resultados anteriores se procede a realizar un resumen y aplicar las diferentes medidas, a las que se ha denominado estadígrafos cuando son aplicados a las características de las unidades de la muestra o como parámetros aplicados a las características de la población, entre los que se tendrá en cuenta las medidas de dispersión, promedios, porcentajes y proporciones. Con las cifras resultantes, se pueden hacer comparaciones con otros estudios o estudios anteriores, para llegar a mejores conclusiones. 1.4.6 PUBLICACIÓN La publicación propone llegar a las personas interesadas, el resultado total del estudio, teniendo en cuenta todos los aspectos considerados en el proceso, de tal forma que los datos sean comprensibles, con la correspondiente validez que merezcan las conclusiones. En términos generales se puede decir que un informe deberá contener: Planteamiento del problema. Objetivo de la información. Hipótesis que se quiere probar. Breve exposición de la metodología utilizada, diseño y tamaño de la muestra. Proceso de selección de las unidades de información y recolección. Página 27 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Se podrá incluir en el informe, copia del formulario utilizado en la recolección de la información, aún relacionando y justificando, en forma sucinta, las preguntas que se consideran más importantes dentro de la investigación. Descripción de resultados en forma de tablas y gráficos, acompañados del análisis y comparaciones obtenidas a través de los datos. Conclusiones y recomendaciones. Estas últimas cuando así lo exija la investigación. En algunos casos, el informe tiene una parte final, denominada apéndice, en donde se incluyen tablas más generales, que permiten aclarar o comprobar rápidamente cualquier información más detallada. también puede incluir información complementaria al informe. 1.5 TABLAS ESTADÍSTICAS Al realizar una investigación estadística, lo más probable es que se cuente con una gran cantidad de datos correspondientes a una variable de interés, por lo que será necesario tabularlos; es decir, hay que confeccionar con ellos una tabla en la que aparezcan ordenadamente. Esto es los valores de la variable de interés o estudio y el número de elementos o individuos de cada valor; es decir, su frecuencia. En la sección 1.1.3 se realizó la distinción entre variables cualitativas y cuantitativas. Recordando, la variable cualitativa o atributo, es de naturaleza no numérica, la cual puede clasificarse en distintas categorías, no hay un orden particular en estas categorías. Ejemplos de datos cualitativos incluyen la afiliación política a los distintos partidos existentes en el Ecuador como: Partido Renovador Institucional Acción Nacional, Partido Avanza, Partido Movimiento Popular Democrático, Partido Sociedad Patriótica, Partido Socialista, Partido Social Cristiano, etc., el método de pago al comprar en Supermercados La Favorita (SUPERMAXI): efectivo, cargo a tarjeta de débito, crédito, etc. Por otra parte, las variables cuantitativas son de índole numérica. Ejemplos de datos cuantitativos relacionados con estudiantes universitarios incluyen: el precio de los libros de texto, edad y horas que pasan estudiando a la semana, etc. Página 28 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1.5.1 PARTES DE UNA TABLA Según el documento Introducción al estilo APA, 6ta. Ed., preparado por el Lic. Manuel De La Vega Miranda, de la Universidad Nacional abierta y a Distancia, enuncia a continuación los elementos e instrucciones que se debe tener en cuenta para la elaboración de tablas estadísticas (De La Vega, 2012). Las normas APA, generalmente las tablas, exhiben valores numéricos exactos y los datos están dispuestos de forma organizada en líneas y columnas, facilitando su comparación. Las tablas son eficientes para presentar una gran cantidad de datos en un pequeño espacio. Si la tabla es corta (dos o menos columnas y/o filas) se debe presentar textualmente la información. De manera general la estructura de una tabla está conformada por las partes señaladas en la figura 1. Las tablas para su adecuada construcción debe observase los siguientes puntos. Numeración de las tablas Las tablas deben ser enumeradas con números arábigos secuencialmente dentro del texto y en su totalidad). Ej.: Tabla 1, Tabla 2, Tabla 3, etc. No utilice subíndices (3, 3a y 3b). Si la tabla está dentro de un apéndice, use letras mayúsculas y números (Tabla B2) Figura 1. Identificación de las partes que conforma una tabla estadística Página 29 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Títulos de tablas El título de la tabla debe ser breve, claro y explicativo. Debe ser puesto arriba de la tabla, en el margen superior izquierdo, debajo de la palabra Tabla (con la inicial en mayúscula) y acompañado del número con que la designa. Si es necesario puede explicarse las abreviaturas dentro del mismo título [i.e., falsa alarma (FA)] Relación entre tablas y texto. Las tablas complementan, no duplican el texto. Se escribe en el texto los elementos destacados de la tabla. Al citar tablas en el cuerpo del texto, se escribe el número específico de la tabla. (ej.: como se muestra en la Tabla 1, Tabla 2, Tabla3, etc. (la palabra Tabla inicia con mayúscula). No se escribe, “la tabla que se muestra arriba o abajo”, tampoco, “la tabla de la página43”. Relación entre tablas. Evite combinar tablas que repitan datos. Para facilitar comparaciones, se debe ser consistente en la presentación de todas las tablas. Se debe usar la misma terminología para todos los casos. Encabezado. Establece la lógica para la organización de los datos. Identifica las columnas de datos debajo de ellos. Debe ser corto, no más ancho que la columna que abarca. Cuerpo de una tabla: a. Valores enteros y/o decimales. b. Celdillas vacías. Deje en blanco si no hay datos. Inserte una raya (guion) si no se obtuvieron o no se informaron los datos. c. Concisión. No incluya columnas de datos que puedan calcularse con facilidad a partir de otras. Notas de la tabla. Las tablas presentan tres tipos de notas: generales, específicas y de probabilidad. Las notas son útiles para eliminar la repetición en el cuerpo de una tabla. Se ubican en el margen izquierdo (sin sangría) debajo de la tabla (entre la tabla y la nota se insertan dos espacios). Y deben ser ordenadas en esta secuencia: nota general, nota específica y Página 30 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. nota de probabilidad, y cada tipo de nota debe ir en una línea nueva. Nota general. Explica u ofrece informaciones relacionadas a la tabla como un todo, explica las abreviaturas, símbolos y afines Nota específica. Se refieres a una columna, fila o ítem especifico. Debe ser indicada por letra minúscula sobrescrita (a, b, c). Nota de probabilidad. Indica los resultados de pruebas significativos y se indican con asterisco sobrescrito (*). *p < .05, **p < .01. Tablas de otras fuentes. Debe obtener la autorización de la fuente que posee la propiedad literaria (derecho de autor), para reproducir o adaptar una parte o toda una tabla de otro autor. Las tablas reproducidas de otra fuente, deben presentar debajo de la tabla, la referencia del autor original, aunque se trate de una adaptación. 1.5.2 TIPOS DE TABLAS Tablas de una entrada. Se denominan de una entrada o de entrada simple, cuando representan una sola variable o característica de la realidad. En la columna matriz van las clases en que se presenta las variaciones de la característica en estudio. Tabla 3. ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015. EDAD (AÑOS CUMPLIDOS) 18 – 27 28 – 37 38 – 47 48 – 57 MAS DE 57 TOTAL NÚMERO 1,146 573 291 113 52 2,175 Página 31 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tablas de dos entradas. Son tablas en las que se presentan dos variables de la realidad, las clases de una de ellas van en la columna matriz (vertical) y las clases de la segunda en el encabezado (horizontal). Tabla 4. ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD Y GÉNERO, DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015. EDAD (AÑOS CUMPLIDOS) 18 – 27 28 – 37 38 – 47 48 – 57 MÁS DE 57 TOTAL NÚMERO DE ESTUDIANTES Masculino Femenino 478 668 243 330 158 133 67 46 32 20 TOTAL 1146 573 291 113 52 2,175 Tablas complejas: Son tablas que presentan en forma simultánea tres o más variables o características de la realidad en estudio, una va en la columna matriz y las otras en el encabezado. El uso de estas tablas debe ser restringido, porque puede ser complicada su interpretación si representan muchas variables. Tabla 5. ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD, TIPO DE COLEGIO Y GÉNERO, DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015. BACHILLERATO EN COLEGIO EDAD (AÑOS CUMPLIDOS) Fiscal Fisco misional Particular TOTAL Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino 18 – 27 28 – 37 38 – 47 48 – 57 MÁS DE 57 259 163 87 29 15 297 154 66 23 12 82 57 22 14 9 112 55 22 7 3 137 23 49 24 8 259 121 45 16 5 1,146 573 291 113 52 TOTAL 553 552 184 199 241 446 2,175 Página 32 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 1 En el feriado del 10 de agosto del 2015, se preguntó a un total de 1,000 residentes de la sierra ecuatoriana, ¿qué playa para vacacionar preferían? Los resultados fueron que a 200 les gustaba más alguna de las playas de le provincia de Esmeraldas; a 300, alguna de las playas de la provincia de Manabí; a 400, alguna de las playas de la provincia de del Guayas y a 100, alguna de las playas de la provincia de El Oro. Elabore una tabla con los puntos sugeridos. Solución Tabla 6 PREFERENCIA DE LOS CIUDADANOS DE LA SIERRA ECUATORIANA, SOBRE LAS PLAYAS POR PROVINCIA EN LAS QUE LES GUSTA VACACIONAR, EN AGOSTO DEL 2015. PROVINCIA Playas de Esmeraldas Playas de Manabí Playas de Guayas Playas de El Oro TOTAL NÚMERO 200 300 400 100 1,000 Ejemplo de aplicación 2 Se preguntó a 500 viajeros (as) de negocios frecuentes que llegaron a la ciudad Quito, ¿qué hotel era de su preferencia?, los resultados fueron los siguientes: Casa Gangotena, 25; Swissotel, 100; Hilton Colón, 80; Best Western Premier, 120; Casa San Marcos Hotel, 45; el resto prefería JW Marriott Hotel. El 30% son mujeres. a. Elabore una tabla de frecuencias la distribución por hotel y género. b. Elabore una tabla de frecuencias la distribución por hotel, género y región de origen (Porcentaje aproximado: costa 45%, sierra 35% y oriente 20%; aproxime al entero más cercano). Solución a) La tabla estará dispuesta por la primera columna con los nombres de los hoteles que frecuentan los viajeros de negocios a Página 33 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. la ciudad de Quito; las siguientes dos columnas identificarán el género de los viajeros; y una última columna por el total. Tabla 7. PREFERENCIA DE HOTELES DE VIAJEROS (AS) DE NEGOCIOS QUE LLEGAN A QUITO, SEGÚN GENERO, EN AGOSTO DEL 2015. GÉNERO Femenino Masculino Casa Gangotena 9 21 Swissotel 30 70 Hilton Colón 24 56 Best Western Premier 36 84 Casa San Marcos Hotel 12 28 JW Marriott Hotel 39 91 TOTAL 150 350 HOTEL TOTAL 30 100 80 120 40 130 500 b) La tabla estará dispuesta al igual que la tabla 7, y además se adicionará columnas que identifiquen las regiones del Ecuador continental. Tabla 8 PREFERENCIA DE HOTELES DE VIAJEROS (AS) DE NEGOCIOS QUE LLEGAN A QUITO, SEGÚN GENERO Y REGIÓN DE PROCEDENCIA, EN AGOSTO DEL 2015. GÉNERO Femenino Masculino Costa Sierra Oriente Costa Sierra Oriente Casa Gangotena 4 3 2 10 7 4 Swissotel 14 11 5 31 25 14 Hilton Colón 11 8 5 25 20 11 Best Western Premier 16 13 7 38 29 17 Casa San Marcos Hotel 5 4 3 13 10 5 JW Marriott Hotel 18 14 7 41 32 18 TOTAL 68 53 29 158 123 69 HOTEL TOTAL 30 100 80 120 40 130 500 1.6 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS En las investigaciones estadísticas, comúnmente se tendrá una gran cantidad de datos numéricos, con los que se tendrá elaboradas tablas que resumen la información recolectada. A más de esto, es Página 34 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. necesario contar con gráficas estadística, las cuales permiten tener información clara y rápida de lo obtenido en el estudio. Existen varias gráficas para describir un conjunto de datos; dependiendo de lo que se requiera representar, cada una de ellas es adecuada para un estudio determinado, ya que no siempre se puede utilizar la misma para todos los casos. 1.6.1 GRÁFICAS LINEALES Se compone de una serie de datos representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Mediante esta gráfica se puede comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos. Los diagramas o gráficas lineales son de aplicación en las denominadas series de tiempo o series cronológicas, donde una de las variables, por defecto, corresponde al tiempo (𝑋) (años, meses, días, etc.) y la segunda es la variable investigada (Y) (Martínez, 2012). Un ejemplo de gráficas lineales podría obtenerse con los datos de la empresa ABC, en la que se señala los ingresos y costos anuales, que se muestran a continuación Tabla 9. INGRESOS Y COSTOS DE LA EMPRESA ABC EN LOS AÑOS 2004 A 2010. AÑOS 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 INGRESOS EN MILES 260 380 300 620 470 720 870 3,620 COSTOS EN MILES 110 200 150 420 360 510 620 2,370 Si solo se quiere observar la evolución de los ingresos de la empresa ABC, en una gráfica lineal, se presentaría de la siguiente manera. Página 35 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1000 E N 800 M $ I L E S 600 400 200 0 2004 2005 2006 2007 2008 2009 AÑOS Figura 2. Evolución de los ingresos de la empresa ABC en los años 2004 a 2010 Si se representa, tanto los ingresos como los costos, en una gráfica lineal, estos se representan en la misma forma que la gráfica anterior; además que se observarán las diferencias para cada uno de los años; el espacio entre las líneas de costos e ingresos, representa la utilidad bruta anual. Observe las diferencias que existen para los años 2008 y 2010, es claro que en el 2010, la utilidad es mayor. E N M I L E S $ 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 INGRESOS EN MILES COSTOS EN MILES UTIL IDAD 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 AÑOS Figura 3. Evolución de los ingresos y costos de la empresa ABC de los años 2004 a 2010. 1.6.2 GRÁFICOS DE SUPERFICIE Este tipo de gráficos puede comparar varias series de datos, como novedad respecto al resto de gráficos. En este caso se emplean distintos colores para diferenciar cada valor que Página 36 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. corresponde a una unidad mayor. Si los datos están muy dispersos el gráfico será muy difícil de interpretar (Recursos para trabajos administrativos, 2013). Tabla 10. INVENTARIO DE ARTÍCULOS PARA LA VENTA DE ALMACENES 1, 2 Y 3. ALMACÉN 1 ALMACÉN 2 ALMACÉN 3 Tijeras 4 6 8 Bolígrafos 2 4 6 Carpetas 1.4 3 6 Lapiceros 4 6 8 Figura 4. Inventario de artículos para la venta de almacenes 1, 2 y 3. 1.6.3 OTROS Gráficos XY (de dispersión): Presentan la peculiaridad de que los dos ejes muestran valores (no hay un eje de categorías). Se emplean para reflejar la relación entre dos variables. Ejemplo: relación entre la Renta y la Inversión, las dos variables están correlacionadas, a mayor renta mayor inversión (Recursos para trabajos administrativos, 2013). Página 37 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tabla 11. RELACIÓN ENTRE LA RENTA Y LA INVERSIÓN EN MILES DE DÓLARES. Renta en miles $ Inversión en miles $ 1 1.5 2 2.1 3 3.2 I N V E R S I Ó N E N 3,5 3 M I L E S $ 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 1 2 3 4 RENTA EN MILES $ Figura 5. Relación entre la renta y la inversión en miles de dólares. Gráficos de área Son como los gráficos de líneas, pero con colores debajo de las líneas para ayudar a su identificación, ya que apilar las series contribuye a verlas más claramente (Recursos para trabajos administrativos, 2013). Tabla 12. VENTAS ANUALES POR TIPO DE ORDENADORES. AÑOS 2008 2009 2010 2011 2012 SOBREMESA PORTÁTILES 32 12 32 12 28 12 12 21 15 28 Página 38 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 50 40 30 PORTÁTILES 20 SOBREMESA 10 0 2008 2009 2010 2011 2012 Figura 6. Ventas anuales por tipo de ordenadores de los años 2008 a 2012. 1.7 DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS La tabla formada por las distintas modalidades (valores o intervalos) del carácter X y por las frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas o relativas acumuladas, recibe el nombre de distribución de frecuencias: absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas, respectivamente (García & Japón , 2015). Por lo anterior, se tiene cuatro distribuciones de frecuencias, obteniéndose a partir de una cualquiera de ellas, las tres restantes, supuesto que se conoce la frecuencia total. Las cuatro distribuciones de frecuencias se expresan en tablas como las que se presentan a continuación. a. Carácter cualitativo. 𝑴𝒊 𝐂𝐮𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝𝟏 𝐂𝐮𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝𝟐 ⋮ 𝐂𝐮𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝𝐢 ⋮ 𝐂𝐮𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝𝐤 𝒇𝒊 𝑓1 𝑓2 ⋮ 𝑓𝑖 ⋮ 𝑓𝑘 𝑭𝒊 𝐹1 𝐹2 ⋮ 𝐹𝑖 ⋮ 𝐹𝑘 = 𝑛 n 𝒉𝒊 ℎ1 ℎ2 ⋮ ℎ𝑖 ⋮ ℎ𝑘 𝑯𝒊 𝐻1 𝐻2 ⋮ 𝐻𝑖 ⋮ 𝐻𝑘 = 1 1 Página 39 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. b. Carácter cuantitativo sin agrupar 𝑿𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⋮ 𝒙𝒊 ⋮ 𝒙𝒌 𝒇𝒊 𝑓1 𝑓2 ⋮ 𝑓𝑖 ⋮ 𝑓𝑘 𝑭𝒊 𝐹1 𝐹2 ⋮ 𝐹𝑖 ⋮ 𝐹𝑘 = 𝑛 𝒉𝒊 ℎ1 ℎ2 ⋮ ℎ𝑖 ⋮ ℎ𝑘 n 𝑯𝒊 𝐻1 𝐻2 ⋮ 𝐻𝑖 ⋮ 𝐻𝑘 = 1 1 c. Carácter cuantitativo agrupado en intervalos 𝑰𝒊 𝑰𝟏 𝑰𝟐 ⋮ 𝑰𝒊 ⋮ 𝑰𝒌 𝒇𝒊 𝑓1 𝑓2 ⋮ 𝑓𝑖 ⋮ 𝑓𝑘 𝑭𝒊 𝐹1 𝐹2 ⋮ 𝐹𝑖 ⋮ 𝐹𝑘 = 𝑛 n 𝒉𝒊 ℎ1 ℎ2 ⋮ ℎ𝑖 ⋮ ℎ𝑘 𝑯𝒊 𝐻1 𝐻2 ⋮ 𝐻𝑖 ⋮ 𝐻𝑘 = 1 1 Para la preparación de una tabla de distribución de frecuencias de carácter cuantitativo agrupado en intervalos, tenga en cuenta lo siguiente. 1.7.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS Las variables cuantitativas tales como número de hermanos, número de goles marcados por un equipo de fútbol, valor de ventas diarias, producción de un bien en la semana, pago de sueldos mensuales, número de turistas anuales que han ingresado al Ecuador durante una década, etc. son idóneas para realizar distribuciones de frecuencias de datos cuantitativos. Distribución de frecuencias. Agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes, que muestra el número de observaciones que hay en cada clase. Página 40 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Pasos para elaborar una distribución de frecuencias Los pasos para elaborar una distribución de frecuencias son: 1. 2. 3. 4. 5. Determinar el número de clases que se desea tener. Determinar la amplitud o intervalo de clase. Determinar los límites de cada una de las clases. Distribuir los datos originales en las distintas clases o tabular. Contar el número de elementos en cada clase que corresponde al valor de la frecuencia. Paso 1. Determinar el número de clases Es usar suficientes grupos o clases, que indiquen la forma de la distribución, por lo que se recomienda un número de clase no menor a 5 ni mayor a 15. El objetivo es usar un número suficiente de clases que indiquen la forma de la distribución. Para determinar el número de clases se utiliza la regla “2 k n”, la misma que sugiere utilizar como número de clases el menor número (k) tal que 2 k(en palabras 2 elevado a la potencia k) sea mayor que el número de observaciones (n). Donde: 𝑛 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠. 𝑘 = 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑜, 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟. Por ejemplo, si se realizaron 30 llamadas telefónicas para la venta de computadores y se desea saber cuántas clases se debe utilizar; 𝑛 = 30 2 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑘 = 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠. Utilizando la regla tenemos: 2𝑘 𝑛 25 30 Página 41 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 32 30 Al ser 32 mayor que 30, la regla para calcular el número de clases, se recomienda que sean 5 clases en la tabla de frecuencias. Paso 2. Determinar la amplitud o intervalo de clase. Para determinar la amplitud se resta del límite superior, el inferior de un conjunto de datos y se divide para el número de clases. Al conocer el ancho del intervalo o intervalo de clase a utilizar, se puede aplicar la siguiente fórmula para encontrar el número de clases a utilizarse; en caso de que se manejen datos agrupados. 𝑖≥ 𝐻−𝐿 𝐾 Donde: 𝑖 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝐻 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 𝐿 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑘 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 El primer procedimiento a estudiar para organizar y resumir un conjunto de datos es realizar una tabla de frecuencias. TABLA DE FRECUENCIAS O FRECUENCIA ABSOLUTA (𝑓𝑖 ). Se agrupa datos cualitativos y cuantitativos en clases mutuamente excluyentes que muestra el número de observaciones en cada clase. Por ejemplo, en la venta de vehículos marca Toyota se identifica cinco modelos SUV'S, la identificación por modelo es una variable cualitativa. Suponga que Toyota Ecuador desea resumir las ventas del año pasado por modelo de vehículo. El resumen en una tabla de frecuencia se presentaría de la siguiente manera. Página 42 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tabla 13. Tabla de frecuencias absolutas de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el ecuador en el año 2014. Modelos SUV'S (𝑿𝒊 ) Número de vehículos. (𝒇𝒊 ) 4RUNNER 300 FJ CRUISER 200 FORTUNER 400 LAND CRUISER 200 RAV4 500 FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (𝐹𝑖 ). Esta frecuencia tiene sentido calcularla para variables cuantitativas o cualitativas ordenables, en los demás casos no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada es el número de veces que ha aparecido en la muestra o población un valor menor o igual que el de la variable. El cálculo de la frecuencia absoluta acumulada está dado por la fórmula 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖−1 + 𝑓𝑖 La frecuencia absoluta acumulada de las operaciones de microcréditos de la Cooperativa de Ahorro y Crédito La Dura, se presenta en la tabla 14. Tabla 14. Tabla de frecuencias absolutas acumuladas de operaciones de microcrédito de la C.A.C. La Dura, correspondiente al año 2014. (𝑴𝒊 ) Microcrédito minorista Microcrédito de acumulación simple Microcrédito de acumulación ampliada TOTAL 300 200 Frecuencia absoluta acumulada (𝑭𝒊 ) 300 500 400 900 (𝒇𝒊 ) 900 Página 43 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. FRECUENCIAS RELATIVAS DE CLASE (ℎ𝑖 ). Es la fracción del número total de observaciones en cada clase; esto es, la frecuencia relativa capta la relación entre la totalidad de elementos de una clase y el número total de observaciones. En el ejemplo de la venta de vehículos Toyota, busca conocer el porcentaje de vehículos modelos SUV'S vendidos en el Ecuador en el año 2014. La fórmula de cálculo para las frecuencias relativas de clase está dada por ℎ𝑖 = ℎ𝑖 = 𝑓𝑖 𝑁 , o 𝑓𝑖 𝑛 Donde 𝑁 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 Tabla 15. Tabla de frecuencias absolutas y relativas de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el ecuador en el año 2014. 𝑿𝒊 𝒇𝒊 4RUNNER FJ CRUISER FORTUNER LAND CRUISER RAV4 300 200 400 200 500 𝑵 = 𝟏, 𝟔𝟎𝟎 TOTAL Frecuencia relativa (𝒉𝒊 ). 300⁄1,600 200⁄1,600 400⁄1,600 200⁄1,600 500⁄1,600 𝟏, 𝟔𝟎𝟎⁄𝟏, 𝟔𝟎𝟎 Frecuencia relativa (𝒉𝒊 ). 0.19 0.12 0.25 0.13 0.31 1.0000 Frecuencia relativa acumulada (𝐻𝑖 ). Es el cociente entre la frecuencia acumulada de una clase determinada y el número total de datos. La fórmula de cálculo de las frecuencias relativas acumuladas se obtiene al calcular Página 44 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝐻𝑖 = 𝐻𝑖 = 𝐹𝑖 𝑁 𝐹𝑖 , o 𝑛 Tabla 16. Tabla de frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumulada de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el Ecuador en el año 2014. 𝑿𝒊 𝒇𝒊 (𝑭𝒊 ) 4RUNNER FJ CRUISER FORTUNER LAND CRUISER RAV4 TOTAL 300 200 400 300 500 900 0.188 0.125 0.250 Frecuencia relativa acumulada(𝑯𝒊 ) 0.19 0.31 0.56 200 1,100 0.125 0.69 500 1,600 1,600 0.313 1.0000 1.00 (𝒉𝒊 ). Ejemplo de aplicación 3 Se ha investigado el número de hijos correspondientes a 25 familias, los resultados se muestran a continuación. 1 4 2 1 2 4 0 2 1 2 3 0 2 1 3 3 4 5 0 1 2 2 1 3 3 a. Elabore una tabla de frecuencias absolutas. b. Otra con frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas. Solución a. Se elabora una tabla resumen, la cual contendrá en el presente caso, en la primera columna, la variable cuantitativa (número de hijos por familia) y para la segunda columna, el conteo correspondiente de acuerdo al número de hijos obtenido en los datos. Página 45 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tabla 17. Conteo de número de hijos por familia NÚMERO DE HIJOS 0 1 2 3 4 5 TOTAL CONTEO III IIIII I IIIII II IIIII III I 25 Una vez elaborado el conteo se procede a llenar la nueva tabla con números arábigos. Tabla 18. Distribución de frecuencias absolutas del número de hijos por familia. NÚMERO DE HIJOS 𝑿𝒊 0 1 2 3 4 5 TOTAL FRECUENCIA 𝒇𝒊 3 6 7 5 3 1 25 b. La tabla anterior contiene la frecuencia absoluta, por lo que le llamaríamos distribución de frecuencias absolutas. A partir de esta tabla se puede construir las demás frecuencias (absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas). Tabla 19. Distribuciones de frecuencias (absoluta, absoluta acumulada, relativa, relativa acumulada) del número de hijos por familia. 𝑿𝒊 0 1 2 3 4 5 TOTAL 𝒇𝒊 3 6 7 5 3 1 25 𝑭𝒊 3 9 16 21 24 25 𝒉𝒊 0.12 0.24 0.28 0.20 0.12 0.04 1 𝑯𝒊 0.12 0.36 0.64 0.84 0.96 1.00 Página 46 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 4 Se ha investigado la estatura de 50 estudiantes de estadística, los resultados que se muestran han sido previamente ordenados en forma ascendente. 151 158 166 173 178 151 158 168 174 180 152 158 170 174 182 152 159 170 175 183 153 161 170 176 184 154 161 170 177 184 154 163 170 177 184 154 164 171 177 185 155 164 171 177 185 156 164 172 178 185 a. Elabore una tabla de frecuencias absolutas. b. Otra con frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas. Solución a. Tenga en cuenta los pasos señalados en la preparación de una tabla de distribución de frecuencias de carácter cuantitativo agrupado en intervalos. PASO 1. Determinar el número de clases que se desea tener. 2𝑘 𝑛 Donde 𝑛 = 50, Entonces 2𝑘 > 50 Por tanto 26 > 50 64 > 50 Si 𝑘 = 6, entonces se tendrá seis intervalos de clase. PASO 2. Determinar la amplitud o intervalo de clase. 𝑖≥ 𝐻−𝐿 𝐾 Donde: 𝑖 =? Página 47 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝐻 = 186 𝐿 = 151 𝑘=6 𝑖≥ 186 − 151 = 5.83 ≅ 6 6 186 − 151 = 35 6 × 6 = 36 ∗ * El rango del problema es 35, sin embargo, se dispone de 36, lo que da lugar para mover en una unidad en uno de los extremos, sea este, superior o inferior. PASO 3. Determinar los límites de cada una de las clases. ′ 𝑋𝑖−1 − 𝑋𝑖′ 150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186 PASO 4. Distribuir los datos originales en las distintas clases o tabular. ′ 𝑋𝑖−1 − 𝑋𝑖′ 150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186 TOTAL 𝑓𝑖 IIIII IIIII IIIII I IIIII I IIIII IIIII I IIIII IIII IIIII III 50 PASO 5. Contar el número de elementos en cada clase que corresponde al valor de la frecuencia. Página 48 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tabla 20. Frecuencias absolutas de alturas de estudiantes de estadística del periodo 2015 – 2015. 𝑿′𝒊−𝟏 − 𝑿′𝒊 150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186 TOTAL 𝒇𝒊 10 6 6 11 9 8 50 b. La tabla anterior contiene la frecuencia absoluta, por lo que le llamaríamos Distribución de frecuencias absolutas. A partir de esta tabla se puede construir las demás frecuencias (absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas). Tabla 21. Frecuencias: absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas de alturas de estudiantes de estadística del periodo 2015 – 2015. 𝑿′𝒊−𝟏 − 𝑿′𝒊 150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186 𝒇𝒊 10 6 6 11 9 8 50 𝑭𝒊 10 16 22 33 42 50 𝒉𝒊 0.20 0.12 0.12 0.22 0.18 0.16 1.00 𝑯𝒊 0.20 0.32 0.44 0.66 0.84 1.00 1.8 DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS 1.8.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUALITATIVO Comúnmente las gráficas de datos cualitativos son en forma de barras y de pastel. Sin embargo en situaciones especiales pueden ser útiles para datos cuantitativos. Página 49 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Diagrama de barras. Se representa en el primer cuadrante de un sistema coordenado rectangular, aquí las clases se representan en el eje horizontal y la frecuencia de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase son proporcionales a las alturas de las barras. El eje horizontal muestra la variable de interés y el eje vertical la cantidad, número o fracción de cada uno de los posibles resultados. Una característica distintiva de la gráfica de barras es que existe una distancia o espacio entre las barras. 500 Número de vehículos 500 400 300 400 300 200 200 200 100 0 Modelos SUV'S Figura 7. Gráfica de barras de vehículos Toyota, modelos Suv's ecuador en el año 2014. vendidos en el Gráficas en forma de pastel. Es una gráfica que muestra la parte o porcentaje que representa cada clase del total de números de frecuencia. Para elaborar una gráfica de pastel consiste en registrar los porcentajes 0, 10, 20, … , 100 uniformemente alrededor de la circunferencia (véase la figura 8). Para indicar la parte de 19% destinada a 4RUNNER, trace una línea del centro del círculo al 0, y otra línea del centro del círculo al 19%. Tome el punto cero del círculo y constitúyalo como punto de partida, girando en sentido a las manecillas del reloj, señale los valores constantes en las frecuencias relativas acumuladas, en su orden; ello le permitirá distribuir los porcentajes correspondientes de cada una de las características de la variable. Página 50 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 4RUNNER 19% 4RUNNER RAV4 31% FJ CRUISER FJ CRUISER 12% FORTUNER LAND CRUISER RAV4 LAND CRUISER 13% FORTUNER 25% Figura 8. Gráfica de pastel de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el ecuador en el año 2014. 1.8.2 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO DISCRETO Diagrama de barras En el ejemplo del número de hijos por familia, la variable número de hijos, es cuantitativa discreta, por tanto, recordando la distribución de frecuencias absolutas del número de hijos por familia de la tabla 15, se tiene NÚMERO DE HIJOS 𝑿𝒊 0 1 2 3 4 5 TOTAL El diagrama continuación. de barras FRECUENCIA 𝒇𝒊 3 6 7 5 3 1 25 correspondiente, se representa a Página 51 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. F R E C U E N C I A 8 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 3 3 1 0 1 2 3 4 5 NÚMERO DE HIJOS Figura 9. Diagrama de barras del número de hijos por familia Diagrama en forma de pastel Recordando la distribución de frecuencias absolutas y relativas del número de hijos por familia de la tabla 16, se tiene 𝒇𝒊 3 6 7 5 3 1 25 𝑿𝒊 0 1 2 3 4 5 TOTAL 𝒉𝒊 0.12 0.24 0.28 0.20 0.12 0.04 1 El diagrama en forma de pastel correspondiente a la frecuencia absoluta 𝑓𝑖 , se representa a continuación. 3 1 3 6 5 0 1 2 3 4 5 7 Figura 10. Frecuencias absolutas del número de hijos por familia. Página 52 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. El diagrama en forma de pastel correspondiente a la frecuencia relativa ℎ𝑖 , se representa a continuación. 0,12 0,04 0,12 0,24 0,20 0 1 2 3 4 5 0,28 Figura 11. Frecuencias relativas del número de hijos por familia. 1.8.3 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO CONTINUO Son de común aplicación en datos agrupados cuantitativo continuo. El histograma, el polígono y la ojiva, son gráficas usualmente usadas para datos cuantitativos continuos, en los que, como se observará a continuación, se representa las frecuencias: absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas. Para la representación gráfica, tenga en cuenta la Tabla 18, que se observa a continuación. 𝑿′𝒊−𝟏 − 𝑿′𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊 150 – 156 10 10 0.20 0.20 156 – 162 6 16 0.12 0.32 162 – 168 6 22 0.12 0.44 168 – 174 11 33 0.22 0.66 174 – 180 9 42 0.18 0.84 180 – 186 8 50 0.16 1.00 50 1.00 Página 53 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Histograma Se representa en el primer cuadrante de un sistema coordenado rectangular, aquí las clases se representan en el eje horizontal y la frecuencia de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase son proporcionales a las alturas de las barras. El eje horizontal muestra la variable de interés y el eje vertical la cantidad, número o fracción de cada uno de los posibles resultados. Una característica distintiva de la gráfica de barras es que no existe una distancia o espacio entre las barras. El histograma es útil para representar las frecuencias absolutas y relativas de una variable continua. 12 F R E C U E N C I A A B S O L U T A 10 11 10 8 9 6 6 8 6 4 2 0 150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186 ESTATURAS Figura 12. Histograma de frecuencias absolutas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015. 0,25 F R E C U E N C I A R E L A T I V A 0,2 0,22 0,2 0,15 0,18 0,12 0,12 156 – 162 162 – 168 0,16 0,1 0,05 0 150 – 156 168 – 174 174 – 180 180 – 186 ESTATURAS Figura 13. Histograma de frecuencias relativas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015. Página 54 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Polígono Se representa en el primer cuadrante de un sistema coordenado rectangular, aquí las clases se representan en el eje horizontal y la frecuencia de clase en el eje vertical. Las frecuencias se representan por las alturas correspondientes en los extremos superiores de cada intervalo. Una característica distintiva del polígono es que las alturas correspondientes a los extremos superiores se unen mediante segmentos. El Polígono es útil para representar las frecuencias absolutas y relativas de una variable continua. 12 F R E C U E N C I A A B S O L U T A 10 11 10 8 9 6 4 6 6 156 – 162 162 – 168 8 2 0 150 – 156 168 – 174 174 – 180 180 – 186 ALTURAS Figura 14. Polígono de frecuencias absolutas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015. 0,25 F R E C U E N C I A R E L A T I V A 0,2 0,15 0,22 0,2 0,1 0,18 0,12 0,12 156 – 162 162 – 168 0,16 0,05 0 150 – 156 168 – 174 174 – 180 180 – 186 ALTURAS Figura 15. Polígono de frecuencias relativas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015. Ojiva Se representa en el primer cuadrante de un sistema coordenado rectangular, aquí las clases se representan en el eje horizontal y la Página 55 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. frecuencia de clase en el eje vertical. Las frecuencias acumuladas se representan por las alturas correspondientes en los extremos superiores de cada intervalo, dando una altura cero al extremo inferior del primer intervalo y siendo constante a partir del extremo superior del último. El eje horizontal muestra la variable de interés y el eje vertical la cantidad, número o fracción de cada uno de los posibles resultados. Una característica distintiva de la ojiva es que las alturas correspondientes a los extremos superiores se unen mediante segmentos. La ojiva es útil para representar las frecuencias absolutas acumuladas y relativas acumuladas de una variable continua. F R E C U E N C I A A B S O L U T A S A C U M U L A D A S 60 50 30 20 0 50 180 – 186 186 – 192 33 40 10 50 42 10 16 22 0 144 – 150 150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 ALTURAS Figura 16. Ojiva de frecuencias absolutas acumuladas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015. 1,2 F R E C U E N C I A R E L A T I V A A C U M U L A D A 1 180 – 186 186 – 192 0,66 0,6 0,4 0 1 0,84 0,8 0,2 1 0,2 0,32 0,44 0 144 – 150 150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 ALTURAS Figura 17. Ojiva de frecuencias relativas acumuladas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015. Página 56 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 2 CAPÍTULO II: ANÁLISIS ESTADÍSTICO SIMPLE OBJETIVOS 1. Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica. 2. Conocer las características, uso, ventajas de las Medidas de Tendencia Central. 3. Identificar la ubicación de las Medidas de Tendencia Central. 4. Calcular la amplitud de variación, desviación media, la varianza y la desviación estándar de datos originales. 5. Calcular la amplitud de variación, desviación media, la varianza y la desviación estándar de datos agrupados. 6. Conocer las ventajas y desventajas de las Medidas de Dispersión. 7. Calcular y analizar los cuartiles, deciles y centiles, la amplitud cuartílica e intecuartílica. 8. Elaborar el diagrama de caja. 9. Calcular y analizar el coeficiente de variación y asimetría. 2.1 INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior se presentó algunas definiciones útiles para el estudio de la estadística, la recolección de la información, su forma de resumir, tanto en tablas como en gráficos para variables cualitativas y cuantitativas. En el presente capítulo se considera medidas resúmenes, tales como; las medidas de centralización, de posición, de dispersión, de asimetría y apuntamiento. Resumir un conjunto de datos es pasar de una visión detallada a una generalización simple e informativa tratando de preservar las características esenciales. ¿Por qué resumir? Para simplificar la comprensión y la comunicación de los datos. 2.2 TIPOS DE ESTADÍGRAFOS Después de haber ordenado y descrito un conjunto de datos, aún el análisis resulta un tanto incompleto; es necesario entonces resumir la información y facilitar así su análisis e interpretación utilizando ciertos indicadores. A estos indicadores se les denomina Página 57 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. también estadígrafos o medidas de resumen, permiten hallar un valor numérico, el mismo que representa a toda la población o muestra en el estudio; estas son: 1. Medidas de tendencia central a. Media aritmética b. Media ponderada c. Mediana d. Moda e. Media geométrica f. Media armónica 2. Medidas de tendencia no central a. Deciles b. Cuartiles c. Percentiles 3. Medidas de dispersión a. Rango b. Desviación media c. Desviación estándar d. Varianza e. Coeficiente de variación 4. Medidas de asimetría, y 5. Medidas de apuntamiento o curtosis. 2.3 ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL Al recolectar y organizar los datos, el objetivo es encontrar un punto central en función de sus frecuencias. En estadística las medidas de tendencia central, varían de acuerdo con lo que se desea o que se requiera encontrar del conjunto de datos recolectados. Estas medidas serán estudiadas en dos formas: 1. Datos no agrupados, y 2. Datos agrupados en una tabla de frecuencias. Las fórmulas difieren para calcular en vista de que depende si Página 58 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. son datos de población o datos de muestras, pero el procedimiento es el mismo. Una medida de tendencia central es un valor único que resume un conjunto de datos, señalando el centro de los valores. 2.3.1 MEDIA ARITMÉTICA Es la medida de tendencia central que más se utiliza en Estadística, se calcula sumando todos los valores de las observaciones y se divide para el total de las mismas. Características 1. Es una medida totalmente numérica o sea sólo puede calcularse en datos de características cuantitativas. 2. En su cálculo se toman en cuenta todos los valores de la variable. 3. Es lógica desde el punto de vista algebraico. 4. La media aritmética es altamente afectada por valores extremos. 5. No puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas. 6. La media aritmética es única, o sea, un conjunto de datos numéricos tiene una y solo una media aritmética. 7. Esta medida es poblaciones. muy útil para analizar y comparar dos o más Media aritmética con datos no agrupados La media aritmética poblacional y muestral de datos no agrupados, es la suma de todos los valores de la población o muestra, dividido para el número total de los datos. Fórmula poblacional La fórmula está dada por: μ= ∑ 𝑥𝑖 N donde: Página 59 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. μ Es la representación de la media de la población, con letra griega “mu” minúscula. N Indica el número total de elementos de la población. 𝑥𝑖 Es cualquier valor en particular. La letra griega “sigma” mayúscula, es para sumar los datos. ∑ 𝑥𝑖 Indica que es la sumatoria total de los valores de 𝑥. La característica que mide a la población, está representada por el parámetro. Es una característica de una población. Ejemplo de aplicación 1 Las edades de un equipo titular de básquet de la liga ecuatoriana es: 22, 28, 19, 25 y 26. Calcular la media de edad de los jugadores. Solución El equipo titular de básquet contiene cinco jugadores, en consecuencia, se trata de la población o equipo titular. 𝑁 = 5, equipo titular ∑ 𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 22 + 28 + 19 + 25 + 26 = 120 μ= ∑ 𝑥𝑖 120 = = 24 𝑎ñ𝑜𝑠 N 5 μ= ∑ 𝑥𝑖 120 = N 5 μ = 24 𝑎ñ𝑜𝑠 Interpretación del resultado El equipo titular de básquet está conformado con una media de edad de 24 años. Página 60 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 2 El bufete de abogados Emily’s Asociados tiene 10 socios, el día de hoy estos socios atendieron el siguiente número de clientes. Bufete de Abogados Socio 1 Socio 2 Socio 3 Socio 4 Socio 5 Socio 6 Socio 7 Socio 8 Socio 9 Socio 10 No. de clientes 𝒙𝒊 5 10 8 6 7 6 12 11 10 5 a. ¿Esta información es una muestra o una población? b. ¿Cuál es el número medio de clientes atendidos por los 10 socios del bufete? Solución Es socios media dividir una población, puesto que se toma en cuenta a todos los del bufete de abogados Emily’s Asociados y para sacar la aritmética poblacional, se debe sumar todos los valores y para el número total de los socios atendidos. 𝑁 = 10 ∑ 𝑥𝑖 = 80 μ= ∑ 𝑥𝑖 80 = N 10 μ=8 Interpretación del resultado El valor medio de clientes atendidos por socio es 8. Página 61 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Fórmula muestral La fórmula está dada por: 𝑋̅ = ∑ 𝑥𝑖 𝑛 donde 𝑋̅ Media aritmética de la muestra 𝑛 Número de elementos de la muestra ∑ 𝑥𝑖 Indica que es la sumatoria total de los valores de 𝑥. Ejemplo de aplicación 3 Un equipo de básquet de la liga ecuatoriana está conformado por 12 jugadores, de los cuales se toma una muestra aleatoria de 5 de ellos, con el propósito de calcular la estatura promedio. Si sus estaturas en centímetros son: 190, 208, 196, 205 y 206. ¿Cuál es la media en centímetros? Solución El equipo completo de básquet contiene 12 jugadores, si se considera a cinco de ellos, tomados de manera aleatoria, entonces se tiene una muestra, ya que se ha considerado una parte del total. 𝑛 = 5, muestra aleatoria ∑ 𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 190 + 208 + 196 + 205 + 206 = 1,005 𝑋̅ = ∑ 𝑥𝑖 1,005 = n 5 𝑋̅ = 201 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Interpretación del resultado La estatura promedio de la muestra de los jugadores de básquet es de 201 centímetros. Página 62 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Media aritmética con datos agrupados En datos agrupados se pueden presentar dos grupos de tablas de frecuencia. Cuando una serie simple se le agrupa con frecuencias para obtener la media aritmética, se multiplica la variable 𝑥𝑖 por la frecuencia respectiva fi , se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos 𝑛 (Suárez, 2015). La fórmula de cálculo está dada por: Fórmula poblacional 𝜇= 𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑥 = = ∑𝑓 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑁 Donde ∑ 𝑓 = 𝑁 que es el número total de elementos de una población. Ejemplo de aplicación 4 En una fiesta infantil se encuentran 20 niños (as) de edades de 4 a 10 años, las edades en años están distribuidas de acuerdo a la información siguiente. 𝒙𝒊 en años 4 5 6 7 8 9 10 Total 𝒇𝒊 frecuencia 3 2 3 1 6 1 4 20 Se requiere calcular la media aritmética. Solución Como 𝜇= ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑥 = ∑𝑓 𝑁 Página 63 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Entonces, de acuerdo a la información prevista en la tabla del problema, se tiene 𝜇= (3)(4) + (2)(5) + (3)(6) + (1)(7) + (6)(8) + (1)(9) + (4)(10) 144 = 3+2+3+1+6+1+4 20 𝜇 = 7.2 𝑎ñ𝑜𝑠 Interpretación del resultado El promedio de edad de los 20 niños y niñas que se encuentran en la fiesta infantil es de 7.2 años. Cuando una serie se la agrupa en intervalos para obtener la media aritmética, se multiplica la marca de clase de intervalo 𝑥𝑖 por la frecuencia respectiva 𝑓𝑖 , se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos (Suárez, 2015). La fórmula de cálculo está dada por: 𝜇= 𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑥 = = ∑𝑓 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑁 Donde 𝑥𝑖 es la marca de clase de los intervalos. La fórmula para el cálculo de la marca de clase es: ′ 𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖′ 𝑥𝑖 = 2 Donde ′ 𝑥𝑖−1 = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑥𝑖′ = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 Ejemplo de aplicación 5 La edad de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, matriculados en el periodo abr – sep del 2015, arrojaron los resultados siguientes. Página 64 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. EDAD (AÑOS CUMPLIDOS) 𝒙′𝒊−𝟏 + 𝒙′𝒊 [𝟏𝟖 – 𝟐𝟖) ᴬ [𝟐𝟖 – 𝟑𝟖) [𝟑𝟖 – 𝟒𝟖) [𝟒𝟖 – 𝟓𝟖) MÁS DE 57 TOTAL MARCA DE CLASE 𝒙𝒊 NÚMERO 18 + 28 = 23 2 28 + 38 = 33 2 38 + 48 = 43 2 48 + 58 = 53 2 1,146 573 291 113 52 2,175 ᴬ El símbolo “[18”, significa que incluye el 18; y “28)”, significa que el 28 no está incluido, pero si incluye los valores cercanos al 28 por la izquierda. Se requiere calcular la media de edad en años. Solución Se ha considerado a todos los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, se trata de toda la población. En consecuencia 𝜇= ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑥 = ∑𝑓 𝑁 Entonces, de acuerdo a la información prevista en la tabla del problema y a la característica cinco de la media aritmética, no es posible el cálculo de 𝑓𝑖 𝑥𝑖 , en razón que el quinto intervalo es abierto. Fórmula muestral 𝑋̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑥 = ∑𝑓 𝑛 Ejemplo de aplicación 6 Si de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, se toma como muestra a 50 Página 65 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. matriculados de manera aleatoria en el periodo abr – sep del 2015, para determinar la media de estatura en centímetros. Entonces, de acuerdo a las mediciones correspondientes se tiene. 𝑿′𝒊−𝟏 − 𝑿′𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 [150 – 156) [156 – 162) [162 – 168) [168 – 174) [174 – 180) [180 – 186) 153 159 165 171 177 183 10 6 6 11 9 8 50 ∑= Solución Como 𝑋̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑥 = ∑𝑓 𝑛 Entonces, adecuando la tabla de información del problema y obteniendo la marca de clase 𝒙𝒊 , se tendría: 𝑿′𝒊−𝟏 − 𝑿′𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 [150 – 156) [156 – 162) [162 – 168) [168 – 174) [174 – 180) [180 – 186) 153 159 165 171 177 183 10 6 6 11 9 8 50 ∑= 𝒙𝒊 𝒇 𝒊 1,530 954 990 1,881 1,593 1,464 8,412 Reemplazando en la fórmula, queda: 𝑋̅ = 8,412 = 168.24 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 50 Página 66 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 2.3.2 MEDIA PONDERADA En ocasiones es necesaria la obtención de una media aritmética de variables cuyos valores observados tienen distinta importancia y por tanto se deben ponderar de distinta manera para obtener la media. En el caso que la ponderación sea distinta, se habla de una media ponderada y los valores por los cuales se ponderan los distintos valores se llaman pesos o ponderaciones (𝑤𝑖). La fórmula está dada por: 𝑋̅𝑤 = 𝑤1 𝑥1 + 𝑤2 𝑥2 + 𝑤3 𝑥3 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑥𝑛 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 A la fórmula se le resume de la siguiente forma: 𝑋̅𝑤 = ∑𝑛𝑖=1 𝑤𝑖 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑤𝑖 Siendo: 𝑋̅𝑤 = 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 Que se lee: “X barra subíndice W” Ejemplo de aplicación 7 A continuación se muestran las ponderaciones de las evaluaciones en los cursos de estadística y las calificaciones de un estudiante durante el semestre. Evaluación Parcial 1 Parcial 2 Examen final Tema especial Otras evaluaciones Nota 𝒙𝒊 9 7 8 9 8.4 Porcentaje 𝒘𝒊 30 30 20 10 10 Determine la calificación promedio del estudiante. Página 67 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Solución Como 𝑋̅𝑤 = 𝑤1 𝑥1 + 𝑤2 𝑥2 + 𝑤3 𝑥3 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑥𝑛 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 Entonces 𝑋̅𝑤 = (30)(9) + (30)(7) + (20)(8) + (10)(9) + (10)(8.4) 30 + 30 + 20 + 10 + 10 𝑋̅𝑤 = 814 100 𝑋̅𝑤 = 8.14 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 La calificación promedio del estudiante de los cinco ítems evaluados es de 8.14 puntos. 2.3.3 LA MEDIANA La mediana de un conjunto finito de valores, es aquel valor que divide al conjunto en dos partes iguales, de forma que el número de valores mayor o igual a la mediana es igual al número de valores menores o igual a estos. Su aplicación se ve limitada ya que solo considera el orden jerárquico de los datos y no alguna propiedad propia de los datos, como en el caso de la media. Mediana de datos no agrupados Los criterios necesarios para calcular siguientes: la mediana, son los a. Se requiere es ordenar los datos en forma ascendente o descendente, cualquiera de las ordenaciones conducen al mismo resultado. Esto es: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 . b. Si N es Impar, hay un término central, el término 𝑋𝑁+1 , que será el valor 2 de la mediana. c. Si N es Par, hay dos términos centrales, 𝑋𝑁 y 𝑋𝑁+1 , la mediana será la 2 2 media de esos dos valores Página 68 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Características: Para el cálculo de la mediana interesa que los valores estén ordenados de menor a mayor o viceversa. La mediana no es afectada por valores extremos. Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con clases abiertas. La notación más usual que se utiliza para representar a la mediana son 𝑀𝑒, 𝑀𝑑, 𝑥̃ Fórmula para población y muestra impar 𝑀𝑒 = 𝑋𝑁+1 2 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+1 2 Donde 𝑋𝑁+1 y 𝑋𝑛+1 , es la posición que ocupa el valor de la mediana. 2 2 Ejemplo de aplicación 8 El contenido de cinco botellas de gaseosas denominadas personal son seleccionadas de forma aleatoria de un lote de producción en ml, al medir sus contenidos se tiene: 235.4, 236.3, 234.9, 236.4, y 236.0. ¿Cuál es la mediana de las observaciones muestreadas? Solución Primero se ordena de mayor a menor, entonces: 234.9, 235.4, 236.0, 236.3, 236.4 Aplicando la regla para el cálculo de la mediana de datos no agrupados de un conjunto de elementos impar, se tiene: 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+1 2 𝑛+1 5+1 = =3 2 2 Página 69 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. El tres es la posición de la serie de elementos ordenados y contados de izquierda a derecha, por lo que se tendría que: 𝑀𝑒 = 236.0 234.9, 235.4, 236.0, 236.3, 236.4 Fórmula para población y muestra par 𝑀𝑒 = 𝑀𝑒 = Donde mediana. 𝑋𝑁 +𝑋𝑁 2 2 2 +1 y 𝑋𝑛 +𝑋𝑛 2 2 +1 2 𝑋𝑁 + 𝑋𝑁+1 2 2 2 𝑋𝑛 + 𝑋𝑛+1 2 2 2 , es la posición que ocupa el valor de la Ejemplo de aplicación 9 El contenido de seis botellas de gaseosas denominadas personal son seleccionadas de forma aleatoria de un lote de producción en ml, al medir sus contenidos se tiene: 235.4, 236.3, 234.9, 236.4, 237.2 y 236.0. ¿Cuál es la mediana de las observaciones muestreadas? Solución Primero se ordena de mayor a menor, entonces: 234.9, 235.4, 236.0, 236.3, 236.4, 237.2 Aplicando la regla para el cálculo de la mediana de datos no agrupados de un conjunto de elementos impar, se tiene: 𝑛 2 + 𝑛 2 2 + 1 6 = 6 +2+1 2 2 = 7 = 3.5 2 El tres punto cinco, es la posición de la serie de elementos ordenados y contados de izquierda a derecha, por lo que cuando la serie contiene un número de elementos par, se contará con dos elementos medios y se tendrá: 234.9, 235.4, 236.0, 236.3, 236.4, 237.2 Página 70 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑀𝑒 = 236.0 + 236.3 = 236.15 2 𝑀𝑒 == 169.64 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Mediana de datos agrupados Cuando los datos se encuentran agrupados en una distribución de frecuencia, no conocemos los datos originales, por lo tanto es necesario estimar la mediana mediante los siguientes pasos: 1. Calcular el valor 𝑛/2 o 𝑁⁄2, según se trate. 2. Localizar el intervalo de clase donde se encuentra la mediana (intervalo mediano). Esto se hace encontrando el primer intervalo de clase donde la frecuencia acumulada es igual o mayor que 𝑛/2. 3. Aplicar la siguiente fórmula de la mediana para datos agrupados con respecto al intervalo mediano. Fórmula de la mediana para una población. 𝑁 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖−1 + (𝑐) 2 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 Fórmula de la mediana para una muestra. 𝑛 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖−1 + (𝑐) 2 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 Donde: 𝑀𝑒 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝐿𝑖−1 = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑐 = 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝐹𝑖−1 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑓𝑖 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 Características: Existe una mediana para un conjunto de datos. Página 71 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Para el cálculo de la mediana interesa que los valores estén ordenados de menor a mayor o viceversa. Al existir valores extremadamente grandes o muy pequeños la mediana no se ve afectada. Se calculará la mediana para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto. Cuando la mediana no se encuentra en esa clase. Ejemplo de aplicación 10 La edad de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, matriculados en el periodo abr – sep del 2015, arrojaron los resultados siguientes. EDAD (AÑOS CUMPLIDOS) 𝒙′𝒊−𝟏 + 𝒙′𝒊 [𝟏𝟖 – 𝟐𝟖) ᴬ [𝟐𝟖 – 𝟑𝟖) [𝟑𝟖 – 𝟒𝟖) [𝟒𝟖 – 𝟓𝟖) MÁS DE 57 TOTAL MARCA DE CLASE 𝒙𝒊 18 + 28 = 23 2 28 + 38 = 33 2 38 + 48 = 43 2 48 + 58 = 53 2 NÚMERO 1,146 573 291 113 52 2,175 ᴬ El símbolo “[18”, significa que incluye el 18; y “28)”, significa que el 28 no está incluido, pero si incluye los valores cercanos al 28 por la izquierda. Se requiere calcular la mediana de edad en años de los estudiantes de la modalidad a distancia. Solución Se ha considerado a todos los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, se trata de toda la población. En consecuencia Página 72 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑁 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖−1 + (𝑐) 2 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 Donde 𝑁 2,175 = = 1,087.5 2 2 Completando la tabla para la aplicación de la fórmula, se tiene: EDAD (AÑOS CUMPLIDOS) 𝒙′𝒊−𝟏 + 𝒙′𝒊 [18 – 28) [28 – 38) [38 – 48) [48 – 58) MÁS DE 57 MARCA DE CLASE 𝒙𝒊 FRECUENCIA 𝒇𝒊 1,146 18 + 28 = 23 2 28 + 38 = 33 2 38 + 48 = 43 2 48 + 58 = 53 2 TOTAL FRECUENCIA ACUMULADA 𝑭𝒊 1,146 573 1,719 291 2,010 113 2,123 52 2,175 2,175 𝐿𝑖−1 =18 𝑐 = 10 𝐹𝑖−1 = 0 𝑓𝑖 = 1,146 Reemplazando 2,175 𝑀𝑒 = 18 + (10) 2 −0 1,146 = 18 + 9.49 𝑀𝑒 = 27.49 𝑎ñ𝑜𝑠 Ejemplo de aplicación 11 Si de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, se toma como muestra a 50 matriculados de manera aleatoria en el periodo abr – sep. del 2015, para determinar la mediana de estatura en centímetros. Entonces, de acuerdo a las mediciones correspondientes se tiene. Página 73 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑿′𝒊−𝟏 − 𝑿′𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 [150 – 156) 153 10 [156 – 162) 159 6 [162 – 168) 165 6 [168 – 174) 171 11 [174 – 180) 177 9 [180 – 186) 183 8 Σ 50 Solución Se ha considerado a una parte de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, se trata de una muestra. En consecuencia 𝑛 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖−1 + (𝑐) 2 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 Donde 𝑛 50 = = 25 2 2 𝐿𝑖−1 =168 𝑐=6 𝐹𝑖−1 = 22 𝑓𝑖 = 11 Completando la tabla para la aplicación de la fórmula, se tiene: 𝑿′𝒊−𝟏 − 𝑿′𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 [150 – 156) 153 10 10 [156 – 162) 159 6 16 [162 – 168) 165 6 22 [168 – 174) 171 11 33 [174 – 180) 177 9 42 [180 – 186) 183 8 50 ∑= 50 Página 74 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Reemplazando 50 𝑀𝑒 = 168 + (6) 2 − 22 11 = 168 + 1.64 𝑀𝑒 = 169.64 2.3.4 MODA La moda es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta o la que más se repite. Características 1. Es la única medida de centralización que tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la realización de ningún cálculo. 2. En su determinación no se incluyen todos los valores de la variable. 3. El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método de designación de los intervalos de clases. 4. Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas. 5. No es afectada por valores extremos. 6. Por su propia definición, la moda no es única, pues puede haber dos o más valores de la variable que tengan la misma frecuencia, siendo esta máxima; en cuyo caso se tendrá una distribución bimodal o polimodal, según el caso. Moda de datos no agrupados La moda es una medida que se relaciona con la frecuencia con que se presenta el dato o los datos con mayor incidencia; por lo que se considera la posibilidad de que exista más de una moda para un conjunto de datos. La notación más frecuente es la siguiente: 𝑀𝑜 y 𝑥̂. Esta medida es aplicable tanto para datos cualitativos como cuantitativos. Página 75 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Forma de cálculo 𝑀𝑜 = 𝑓𝑖 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑓𝑖 máxima, quiere decir que es la de mayor frecuencia absoluta Tipos de moda 1. Unimodal. La moda es única. 2. Polimodal. Por su propia definición, la moda puede no ser única, pues puede haber dos o más valores de la variable que tengan la misma frecuencia, siendo esta máxima; en cuyo caso se tendrá una distribución bimodal o polimodal según el caso (Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, 2015). Ejemplo de aplicación 12 Determinar la moda del siguiente conjunto de datos: 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 3, 1, 9, 3. Solución Para mayor facilidad, si se ordena de manera ascendente se tiene: 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9. Se identifica el elemento que más se repite, por lo cual 𝑀𝑜 = 3 Por tanto, la moda del conjunto de datos es igual a 3 y si considera unimodal. Ejemplo de aplicación 13 Determinar la moda del siguiente conjunto de datos: 1, 2, 3, 4, 4, 5, 2, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 6, 3, 3, 4. Solución Para mayor facilidad, si se ordena de manera ascendente se tiene: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 6, Se identifica los elementos que más se repite, por lo cual Página 76 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑀𝑜 = 3, y 𝑀𝑜 = 4 Las modas de este conjunto de datos son 3 y 4, ya que ambas tienen la más alta frecuencia y se determina que es bimodal. Ejemplo de aplicación 14 Determinar la moda del siguiente conjunto de datos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Solución La muestra no contiene dato o datos repetidos, por lo que se considera que la muestra es amodal. Moda de datos agrupados Para determinar la moda de datos agrupados se debe utilizar intervalos con igual amplitud. Fórmula La fórmula de cálculo para la moda de datos agrupados está dada por: 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖−1 + (𝑐) ∆𝑓𝑖 ∆𝑓𝑖 + ∆𝑓𝑠 Nomenclatura 𝑀𝑜 = 𝑀𝑜𝑑𝑎 𝐿𝑖−1 = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑐 = 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 ∆𝑓𝑖 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∆𝑓𝑠 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∆𝑓𝑖 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 ∆𝑓𝑠 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1 Página 77 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 15 La edad de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, matriculados en el periodo abr – sep del 2015, arrojaron los resultados siguientes. EDAD (AÑOS CUMPLIDOS) 𝒙′𝒊−𝟏 + 𝒙′𝒊 [𝟏𝟖 – 𝟐𝟖) ᴬ [𝟐𝟖 – 𝟑𝟖) [𝟑𝟖 – 𝟒𝟖) [𝟒𝟖 – 𝟓𝟖) MÁS DE 57 TOTAL FRECUENCIA 𝒇𝒊 1,146 573 291 113 52 2,175 ᴬ El símbolo “[18”, significa que incluye el 18; y “28)”, significa que el 28 no está incluido, pero si incluye los valores cercanos al 28 por la izquierda. Se requiere calcular la moda de edad en años de los estudiantes de la modalidad a distancia. Solución Se ha considerado a todos los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, se trata de toda la población. En consecuencia 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖−1 + (𝑐) ∆𝑓𝑖 ∆𝑓𝑖 + ∆𝑓𝑠 Donde ∆𝑓𝑖 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 𝑓𝑖−1 = 0 𝑓𝑖 = 1,146 ∆𝑓𝑖 = 1,146 − 0 = 1,146 ∆𝑓𝑠 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1 Página 78 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑓𝑖+1 = 573 𝑓𝑖 = 1,146 ∆𝑓𝑠 = 1,146 − 573 = 573 𝐿𝑖−1 =18 𝑐 = 10 Reemplazando 𝑀𝑜 = 18 + (10) 573 = 18 + 10 1,146 − 573 𝑀𝑜 = 28 𝑎ñ𝑜𝑠 2.3.5 MEDIA GEOMÉTRICA La media geométrica nos permite encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento, es utilizada ampliamente en los negocios y la economía, ya que frecuentemente permite determinar el cambio porcentual en ventas, sueldos, o cifras económicas, como el Producto Interno Bruto. La media geométrica al ser un conjunto de n números positivos se realiza como la raíz n-enésima del producto de n valores. Características 1. Se toman en cuenta todos los valores de la variable 2. Se utiliza cuando se quiere dar importancia a valores pequeños de la variable 3. Su valor no es muy influenciable por datos extremos grandes. 4. No puede ser calculada en distribuciones con clase abiertas. 5. Es usada para promediar razones, tasas de cabio, interés compuesto y números índices. Es recomendada para datos de progresión geométrica Fórmula de la media geométrica de datos no agrupados. Está dada por: Página 79 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑛 𝑛 𝑀𝑜 = 𝐺 = 𝑀𝑔 = √∏ 𝑥𝑖 = 𝑛√𝑥1 ∗ 𝑥2 ∗ 𝑥3 ∗ ⋯ ∗ 𝑥𝑛 𝑖=1 Nomenclatura 𝑀𝑜 = 𝐺 = 𝑀𝑔 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑥𝑖 = 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐺. 𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛 Usando logaritmos la fórmula queda como: log 𝑀𝑔 = ∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑖 𝑛 𝑀𝑔 = 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖 𝑛 Ejemplo de aplicación 16 Si los precios por acción de uno de los supermercados de la cuidad en los últimos cuatro meses fueron; 4.75, 5.23, 4.78 y 6.32 dólares por unidad. Calcular el factor de crecimiento promedio y el crecimiento porcentual promedio. Solución Se considera el factor de crecimiento mes a mes, esto es por lo que el primer factor se tendría 𝑥𝑖+1 5.23 4.78 4.75 5.23 , el segundo sería 𝑥𝑖 , , y así sucesivamente. Para el cálculo de la media geométrica se tienen dos formas de solución, de acuerdo a las fórmulas dadas. Primer método. Aplicando la fórmula radical, se tiene: 3 𝑀𝑔 = √ 5.23 4.78 6.32 3 × × = √1.33053 = 1.0999 4.75 5.23 4.78 El 1.0999 es factor de crecimiento promedio y para obtener el crecimiento se aplica la siguiente formula: Página 80 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = (𝑀𝑔 − 1) × 100 = (1.0999 − 1) × 100 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 9.99% Segundo método. Aplicando la fórmula logarítmica se tiene: 𝒙𝒊 5.23 = 1.101053 4.75 4.78 = 0.913958 5.23 6.32 = 1.322176 4.78 𝒍𝒐𝒈𝒙𝒊 0.041808 -0.039074 0.121289 0.124023 𝑀𝑔 = 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 𝑀𝑔 = 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖 𝑛 0.124023 3 𝑀𝑔 = 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔0.041341 𝑀𝑔 = 1.0999 El 1.0999 es factor de crecimiento promedio y el crecimiento porcentual promedio es: 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = (𝑀𝑔 − 1) × 100 = (1.0999 − 1) × 100 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 9.99% Fórmula de la media geométrica de datos agrupados. Está dada por: log 𝑀𝑔 = ∑ 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑖 𝑛 𝑀𝑔 = 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 ∑ 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖 𝑛 Página 81 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 17 Si de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, se toma como muestra a 10 matriculados de manera aleatoria en el periodo abr – sep del 2015, para determinar la media geométrica de estatura en centímetros. Entonces, de acuerdo a las mediciones correspondientes se tiene. ESTATURA (EN CENTÍMETROS) 𝒙′𝒊−𝟏 + 𝒙′𝒊 [𝟏𝟓𝟎 – 𝟏𝟔𝟎) [𝟏𝟔𝟎 – 𝟏𝟕𝟎) [𝟏𝟕𝟎 – 𝟏𝟖𝟎) TOTAL MARCA DE CLASE 𝒙𝒊 FRECUENCIA 𝒇𝒊 155 165 175 5 3 2 10 Solución Se ha considerado a una parte de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, se trata de una muestra. En consecuencia 𝑀𝑔 = 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 ∑ 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖 𝑛 Adecuando la tabla de datos a para la aplicación de la fórmula de 𝑀𝑜 , se tiene: ESTATURA (EN CENTÍMETROS) 𝒙′𝒊−𝟏 + 𝒙′𝒊 [𝟏𝟓𝟎 – 𝟏𝟔𝟎) [𝟏𝟔𝟎 – 𝟏𝟕𝟎) [𝟏𝟕𝟎 – 𝟏𝟖𝟎) TOTAL MARCA DE CLASE 𝒙𝒊 FRECUENCIA 𝒇𝒊 155 165 175 𝑀𝑔 = 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 5 3 2 10 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒍𝒐𝒈𝒙𝒊 2.19033 2.21748 2.24303 10.95165 6.65244 4.48606 22.09015 22.09015 10 Página 82 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑀𝑔 = 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 2.209015 𝑀𝑔 = 161.81 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 2.3.6 MEDIA ARMÓNICA La Media Armónica, se representa como 𝑀𝐻 y 𝑀−1 . Dada una serie de datos 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛 , el inverso de la media armónica de la variable 𝑥 es igual a la media aritmética del inverso de los valores de la variable (Martínez, 2012). Características Es de gran utilidad cuando la variable está dada en forma de tasa. La media armónica se basa en todas las observaciones por lo que está afectada por todos los valores de la variable. Un valor de la variable de cero, invalida su cálculo. La media armónica está rígidamente definida y su resultado no puede ser usado en cálculos posteriores. Fórmula de datos no agrupados 1 1 = 𝑀( ) 𝑀−1 𝑥𝑖 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 → 𝑀−1 = 𝑛 ∑ 1 𝑥𝑖 Fórmula de datos agrupados 𝑀𝐻 = 𝑀−1 = 𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 Se adapta para tasas medias de velocidad, tiempo, rendimiento, precio, etc. Nomenclatura 𝑀𝐻 = 𝑀−1 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 Ejemplo de aplicación 18 Suponga que se tiene seis observaciones con los siguientes valores: 2, 8, 6, 3, 5, 4 y se quiere calcular la media armónica. Página 83 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Solución Al aplicar la fórmula de datos no agrupados, se tiene 𝑛 𝑀𝐻 = 𝑀−1 = 𝑀𝐻 = 𝑀−1 = 1 2 ∑ 1 𝑥𝑖 6 1 1 1 1 1= +8+6+3+5+4 𝑀𝐻 = 𝑀−1 = 6 63 40 240 63 𝑀𝐻 = 𝑀−1 = 3.81 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 Ejemplo de aplicación 19 Con los datos de la siguiente tabla de frecuencias, de una distribución continua, calcular la media armónica. 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒙′𝒊−𝟏 + 𝒙′𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 2.1 – 6 4 1 0.25 6.1 - 10 8 3 0.38 10.1 - 14 12 4 0.33 14.1 - 18 16 2 0.13 Σ 10 1.08 Solución Al aplicar la fórmula de datos no agrupados, se tiene 𝑀𝐻 = 𝑀−1 = 𝑀𝐻 = 𝑀−1 = 𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 10 1.08 𝑀𝐻 = 𝑀−1 = 9.26 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 Página 84 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 2.4 FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN 2.4.1 RELACIÓN ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente relación se mantiene aproximadamente: Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para curvas simétricas los tres valores coinciden (Cabrera, 2015) Ejemplo de aplicación 20 Una granja ganadera registro durante febrero el nacimiento de 29 terneros, cuyos pesos al nacer (en kilogramos) fue el siguiente: 22 40 43 31 40 43 33 40 44 34 41 45 35 41 46 36 42 46 37 42 46 38 42 46 38 42 50 39 42 Los datos anteriores al ser dispuestos en una tabla de distribución de frecuencias se obtuvo la siguiente tabla resultante. Página 85 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Clases 𝒙′𝒊−𝟏 + 𝒙′𝒊 21.5 – 26.5 26.5 – 31.5 31.5 – 36.5 36.5 – 41.5 41.5 – 46.5 46.5 – 51.5 Total Frecuencia 𝒇𝒊 1 1 4 9 13 1 29 Calcule en las dos variantes (datos no agrupados y datos agrupados) la media aritmética, la mediana y la moda. Solución Datos no agrupados: Los nacimientos registrados en el mes de febrero es de 29 terneros, razón por la que se trata de un valor poblacional 22 40 43 31 40 43 33 40 44 34 41 45 35 41 46 36 42 46 37 42 46 38 42 46 38 42 50 39 42 Media aritmética. La fórmula de cálculo es μ= ∑ 𝑥𝑖 N Reemplazando los datos, se tiene μ= 22 + 31 + 33 + ⋯ + 46 + 50 29 μ= 1,164 = 40.14 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 29 Mediana La fórmula de cálculo es 𝑀𝑒 = 𝑋𝑁+1 2 Página 86 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑋𝑁+1 = 𝑋29+1 = 𝑋30 = 𝑋15 2 2 2 Sustituyendo 𝑋15 , se tiene 𝑀𝑒 = 𝑋15 = 41 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 Moda La fórmula de cálculo es 𝑀𝑜 = 𝑓𝑖 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 La frecuencia mayor se encuentra en el número 42, donde 𝑓𝑖 = 5. Por tanto, se tiene que 𝑀𝑜 = 42 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 Al comparar 𝜇, 𝑀𝑒 𝑦 𝑀𝑜, se tiene: μ = 40.14 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑀𝑒 = 41 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑀𝑜 = 42 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 Como 𝝁 < 𝑴𝒆 < 𝑴𝒐 Entonces, la distribución es asimétrica hacia la izquierda. Página 87 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Datos agrupados: Para el cálculo de la media, mediana y moda, es necesario adecuar la tabla proporcionada, por la siguiente. Clases 𝐱 ′𝐢−𝟏 + 𝐱 ′𝐢 21.5 26.5 31.5 36.5 41.5 46.5 – – – – – – 26.5 31.5 36.5 41.5 46.5 51.5 Marca clase 𝒙𝒊 de Frecuencia 𝒇𝒊 24 29 34 39 44 49 Σ 𝒙𝒊 𝒇 𝒊 1 1 4 9 13 1 29 24 29 136 351 572 49 1,161 Frecuencia acumulada 𝑭𝒊 1 2 6 15 28 29 Media aritmética. La fórmula de cálculo es 𝜇= ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑥 = ∑𝑓 𝑁 Reemplazando los datos, se tiene 𝜇= 1,161 29 𝜇 = 40.03 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 Mediana La fórmula de cálculo es 𝑁 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖−1 + (𝑐) 2 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 Para la aplicación de la fórmula, es necesario identificar el renglón de la clase mediana, para lo cual el número de elementos se divide para dos. 𝑁 29 = = 14.5 2 2 Página 88 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Como 14.5 es la mitad del total, buscamos en la columna de 𝐹𝑖 el valor más cercano mayor a 14.5, obteniéndose el renglón 36.5 – 41.5 39 9 351 15 En base a este renglón y sus relacionados en la tabla, se procede a su reemplazo. 29 𝑀𝑒 = 36.5 + (5) 2 −6 9 𝑀𝑒 = 36.5 + (5)(0.94444) = 36.5 + 4.7222 𝑀𝑒 = 41.22 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 Moda La fórmula de cálculo es 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖−1 + (𝑐) ∆𝑓𝑖 ∆𝑓𝑖 + ∆𝑓𝑠 Para la aplicación de la fórmula, es necesario identificar el renglón de la clase modal, la cual está dada por el intervalo de clase con mayor frecuencia, esto es 41.5 – 46.5 44 13 572 28 En base a este renglón y sus relacionados en la tabla, se procede a su reemplazo. Entonces ∆𝑓𝑖 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 = 13 − 9 = 4 ∆𝑓𝑠 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1 = 13 − 1 = 12 Reemplazando en la fórmula, se tiene 𝑀𝑜 = 41.5 + (5) 4 4 + 12 𝑀𝑜 = 41.5 + (5)(0.25) = 41.5 + 1.25 Página 89 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑀𝑜 = 42.75 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 Al comparar 𝜇, 𝑀𝑒 𝑦 𝑀𝑜, se tiene: μ = 40.03 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑀𝑒 = 41.22 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑀𝑜 = 42.75 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 Como 𝝁 < 𝑴𝒆 < 𝑴𝒐 La gráfica de la distribución, sería aproximadamente así. 2.5 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES Está claro que para localizar cuál es el valor que se encuentra al centro de un grupo de datos utilizamos la mediana y que ésta es el valor que divide al grupo de datos en mitades. Pues bien, para ciertos fines puede ser de mucha utilidad saber qué valor se encuentra al primer cuarto del grupo de datos, o al tercer cuarto del grupo de datos. De esta forma: Los cuartiles dividen a la distribución en cuartos Los deciles en décimos, y Los percentiles en 100 partes Los cuales se obtienen con fórmulas que modifican la de la mediana como en los siguientes ejemplos: Página 90 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 2.5.1 Medidas de posición relativa Estas medidas son también llamadas cuantilas, cuantiles o fractiles y cuyo objetivo es describir el comportamiento de una variable dividiendo la serie de valores en diferente número de partes porcentualmente iguales, las más usadas son: los cuartiles (cuartas partes), los deciles (decimas partes) y los centiles o percentiles (centésimas partes). Los Cuartiles Son aquellos números que dividen a éstas en cuatro partes porcentualmente iguales. Hay tres cuartiles 𝑄1 , 𝑄2 𝑦 𝑄3 . El primer cuartil 𝑄1 , es el valor en el cual o por debajo del cual queda aproximadamente un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); El segundo cuartil 𝑄2 es el valor por debajo del cual queda el 50% de los datos (Mediana), el tercer cuartil 𝑄3 es el valor por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos. Los Deciles Son ciertos números que dividen el conjunto de observaciones (ordenadas) en diez parte porcentualmente iguales. Los deciles se denotan por 𝐷1 , 𝐷2 , ⋯ , 𝑄9 . El decil 5 corresponde al cuartil 2 (mediana). Los Percentiles Son ciertos números que dividen el conjunto de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. El percentil 50 equivale a la mediana. Considerando la definición de la mediana, esta será el segundo cuartil, el quinto decil o el 50avo percentil o centil. En cualquiera de estas medidas el valor matemático que se obtenga será representativo del número de datos o menos que corresponde al valor relativo planteado. (Ejemplo: el primer cuartil es un valor representativo del 25% o menos de los valores de una distribución, es decir, los valores inferiores de la distribución). Cuantiles para datos no agrupados Para ubicar los cuartiles, deciles y percentiles, se aplica la siguiente fórmula, siendo este valor la posición donde se ubican. Página 91 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ubicación de un centil: 𝐿𝑐 = (𝑛 + 1) 𝑃 100 donde: 𝐿𝑐, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙, 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙. 𝑛, 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠. 𝑃, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙, 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙. Para calcular los cuartiles, deciles y centiles ordenar los datos. primero se debe Ejemplo de aplicación 21 Con la información que siguiente: 18 58 23 58 38 59 41 60 43 62 45 63 50 63 51 66 52 71 53 77 54 83 54 84 58 95 Se pide: a. Calcular el primer y tercer cuartil. b. Calcular el sexto decil. c. Calcular el ochenta percentil. Solución a. Calcular el primer y tercer cuartil. Primer cuartil. Donde 𝑄1 = 𝑃25 𝐿𝑐 = (𝑛 + 1) 𝑃 100 Reemplazando los datos del problema en la fórmula general, se tiene 𝐿𝑐 = (26 + 1) 25 100 Página 92 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝐿𝑐 = 6.75 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 El valor observado indica la posición del primer cuartil. En el conjunto de datos la posición del primer cuartil, ocupa la posición 6 y 7, siendo 45 y 50 y se calcula de la siguiente manera: 6 45 7 50 Restamos el valor mayor del menor, es decir, 50 − 45 = 5 Se resta la posición del primer cuartil y el inmediato anterior entero. 6.75 − 6 = 0.75 Se procede a multiplicar 5 ∗ 0.75 = 3.75 El resultado obtenido de la multiplicación más el valor menor, es el primer cuartil; es decir, 45 + 3.75 = 48.75 A los cuartiles se les abrevia con la letra 𝑄, entonces el 𝑄1, es: 𝑄1 = 48.75 Tercer cuartil. Donde 𝑄3 = 𝑃75 𝐿𝑐 = (𝑛 + 1) 𝑃 100 Reemplazando los datos del problema en la fórmula general, se tiene 𝐿𝑐 = (26 + 1) 75 100 𝐿𝑐 = 20.25 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 El valor observado indica la posición del tercer cuartil. Página 93 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. En el conjunto de datos la posición del tercer cuartil, ocupa la posición 20 y 21 siendo 63 y 66 y se calcula de la siguiente manera: 20 63 21 66 Restamos el valor mayor del menor, es decir, 66 − 63 = 3 Se resta la posición del tercer cuartil y el inmediato anterior entero. 20,25 – 20 = 0,25 Se procede a multiplicar 3 ∗ 0.25 = 0,75 El resultado obtenido de la multiplicación más el valor menor es el tercer cuartil, es decir, 63 + 0.75 = 63.75 Por tanto, 𝑄3 = 63.75 b. Calcular el sexto decil. 𝐿𝑐 = (𝑛 + 1) 𝑃 100 El sexto decil es igual a 60 percentil, por tanto: 𝐿𝑐 = (26 + 1) 60 100 𝐿𝑐 = 16.2 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 Realizando la interpolación correspondiente, se tiene: 16 59 17 60 Página 94 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Restamos el valor mayor del menor, es decir: 60 − 59 = 1 Se resta la posición del sexto decil y el inmediato anterior entero. 16.2 – 16 = 0.2 Se procede a multiplicar 1 ∗ 0.2 = 0.2 El resultado obtenido de la multiplicación más el valor menor, es el sexto decil, es decir: 59 + 0.2 = 59.20 Por tanto 𝐷6 = 59.20 c. Calcular el ochenta percentil. 𝐿𝑐 = (𝑛 + 1) 𝑃 100 Reemplazando percentil 80, en P, entonces: 𝐿𝑐 = (26 + 1) 80 100 𝐿𝑐 = 21.16 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 Realizando la interpolación correspondiente, se tiene: 21 66 22 71 Restamos el valor mayor del menor, es decir: 71 − 66 = 5 Se resta la posición del percentil 80 y el inmediato anterior entero. Página 95 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 21.16 – 21 = 0.16 Se procede a multiplicar los resultados obtenidos 5 ∗ 0.16 = 0.8 El resultado obtenido de la multiplicación más el valor menor, es el percentil 80, es decir: 66 + 0.8 = 66.80 Por tanto 𝑃80 = 59.20 Cuantiles para datos agrupados Para calcular los cuartiles 𝑄𝑘 , aplica las fórmulas que siguen. deciles 𝐷𝑘 y 𝑘𝑛 𝑄𝑘 = 𝐿𝑖−1 + 4 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 percentiles 𝑃𝑘 , se ∗ 𝑐𝑖 donde 𝑘 = 1,2,3 𝑘𝑛 𝐷𝑘 = 𝐿𝑖−1 + 10 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 ∗ 𝑐𝑖 donde 𝑘 = 1,2,3, … , 9 𝑘𝑛 𝑃𝑘 = 𝐿𝑖−1 + 100 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 ∗ 𝑐𝑖 donde 𝑘 = 1,2,3, … , 99 Nomenclatura 𝐿𝑖−1 = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑐 = 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 𝐹𝑖−1 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑓𝑖 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 Página 96 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 22 Para la tabla de salarios de la compañía P&R, encontrar: a. Los cuartiles 𝑄1 , 𝑄2 𝑦 𝑄3 . b. Decil 𝐷6 . c. Percentil 𝑃80 . Salarios Frecuencia 𝒇𝒊 250.00 - 259.99 8 Frecuencia acumulada 𝑭𝒊 8 260.00 - 269.99 10 18 270.00 - 279.99 16 34 280.00 - 289.99 14 48 290.00 - 299.99 10 58 300.00 - 309.99 5 63 310.00 - 319.99 2 65 Σ 65 Solución a. Los cuartiles 𝑄1 , 𝑄2 𝑦 𝑄3 . 𝑘𝑛 𝑄𝑘 = 𝐿𝑖 + 4 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 ∗ 𝑐𝑖 Para la aplicación de 𝑄1, tenga en cuenta que 𝑘 = 1, por consiguiente 1∗65 𝑄1 = 260 + 𝑄1 = 260 + 4 −8 10 (10) 16.25 − 8 (10) 10 𝑄1 = 268.25 Para la aplicación de 𝑄2 , tenga en cuenta que 𝑘 = 2, por Página 97 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. consiguiente 2∗65 4 𝑄2 = 270 + 𝑄2 = 270 + − 18 16 (10) 32.5 − 18 (10) 16 𝑄2 = 279.06 Para la aplicación de 𝑄3 , tenga en cuenta que 𝑘 = 3, por consiguiente 3∗65 𝑄3 = 290 + 𝑄3 = 289.995 + 4 − 48 10 (10) 48.75 − 48 (10) 10 𝑄3 = 290.75 b. Decil 𝐷6 . 𝑘𝑛 𝐷𝑘 = 𝐿𝑖−1 + 10 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 ∗ 𝑐𝑖 Para la aplicación de 𝐷6 , tenga en cuenta que 𝑘 = 6, por consiguiente 6∗65 𝐷6 = 280 + 10 − 34 14 ∗ 10 𝐷6 = 280 + 3.57 𝐷6 = 283.57 c. Percentil 𝑃80 . 𝑘𝑛 𝑃𝑘 = 𝐿𝑖−1 + 100 − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 ∗ 𝑐𝑖 Para la aplicación de 𝑃80 , tenga en cuenta que 𝑘 = 80, por consiguiente Página 98 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑃80 = 290 + 52 − 48 ∗ 10 10 𝑃80 = 290 + 4 𝑃80 = 294 2.6 ESTADÍGRAFOS DE DISPERCIÓN Los métodos numéricos que describen a los conjuntos de observaciones tienen como objetivo dar una imagen mental de la distribución de frecuencias. Una vez localizado el centro de la distribución de un conjunto de datos, lo que procede es buscar una medida de dispersión de los datos (García Pérez, 2015). La dispersión o variación es una característica importante de un conjunto de datos porque intenta dar una idea de cuán esparcidos se encuentran éstos. Se puede diferenciar dos tipos de dispersión, las absolutas y relativas. 2.6.1 DISPERCIÓN ABSOLUTA Se toma como punto central de referencia la media aritmética, aunque puede considerarse además a la mediana. Entre las medidas de dispersión absoluta se tiene al rango, desviación media, varianza y desviación estándar. Rango Se obtiene sacando la diferencia entre el valor mayor y el valor meno de un conjunto de datos. Características El rango es la medida de dispersión más sencilla de calcular e interpretar. Se basa en los valores extremos por lo que puede ser errática El recorrido solo se encuentra influenciado por los valores extremos y no considera el resto de valores de la variable. Existe el peligro que el recorrido ofrezca una descripción distorsionada de la dispersión cuando existe valores muy pequeños o muy grandes. Página 99 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Fórmula 𝑅 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 – 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜. 𝑅 = 𝑥𝑛 − 𝑥1 Nomenclatura 𝑅 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑥1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑥𝑛 = ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 Ejemplo de aplicación 23 El número de pacientes atendidos en emergencias en una clínica privada de la ciudad, en un periodo de 8 días del mes pasado fue: 3 1 5 8 2 4 8 3 5 8 8 Calcule e interprete el rango. Solución: La fórmula del rango es: 𝑅 = 𝑥𝑛 − 𝑥1 Ordenando la serie, 1 2 3 3 4 El número de elementos está dado por 𝑛=8 Por tanto 𝑅 = 𝑥8 − 𝑥1 Reemplazando valores en la fórmula, se tiene 𝑅 = 8−1=7 Página 100 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Desviación media La desviación media es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones en relación de la media aritmética. Características Con datos no agrupados, guarda el mismo número de dimensiones y observaciones. La suma de valores absolutos es relativamente sencilla de calcular. Es engorroso trabajar con ella cuando se trata de poblaciones o muestras grandes en datos no agrupados. Cuanto mayor sea el valor de la desviación media, mayor es la dispersión de los datos. La desviación media al tomar los valores absolutos mide una observación sin mostrar si la misma está por encima o por debajo de la media aritmética. Fórmula para datos no agrupados 𝐷𝑀 = |𝑥𝑖 − 𝑋̅| 𝑛 Nomenclatura 𝑥𝑖 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑋̅ = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎. 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 ̅ | = 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 − |𝒙𝒊 − 𝑿 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 Ejemplo de aplicación 24 El número de pacientes atendidos en emergencias en una clínica privada de la ciudad, en un periodo de 8 días del mes pasado fue: 3 1 5 8 2 4 8 3 Calcule e interprete la Desviación Media. Página 101 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Solución. Para la aplicación de la fórmula de 𝐷𝑀, primero se debe calcular la media aritmética. Por tanto ̅ X= ̅ X= ∑ 𝑥𝑖 n 3 + 1 + 5 + 8 + 2 + 4 + 8 + 3 34 = 8 8 𝑋̅ = 4.25 Para una mejor comprensión se ha preparado una tabla en la que se notará las operaciones necesarias y el valor absoluto correspondiente. ̅| |𝒙𝒊 − 𝑿 𝒙𝒊 3 1 5 8 2 4 8 3 34 |3 |1 |5 |8 |2 |4 |8 |3 − − − − − − − − 4,25| 4,25| 4,25| 4,25| 4,25| 4,25| 4,25| 4,25| = = = = = = = = |− 1.25| |− 3.25| |0.75| |3.75| |− 2.25| |− 0.25| | 3.75| |−1.25| Desviación Absoluta 1.25 3.25 0.75 3.75 2.25 0.25 3.75 1.25 16.5 Con estos datos se calcula la desviación media en base a la siguiente fórmula: 𝐷𝑀 = |𝑥𝑖 − 𝑋̅| 𝑛 Reemplazando valores, se tiene: 𝐷𝑀 = 16.50 8 𝐷𝑀 = 2.06 Se observa que la desviación media es de 2.06 pacientes por día, es decir que el número varía, en promedio, en 2.06 pacientes por día respecto de la media de 4.25 enfermos diarios. Página 102 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Fórmula para datos agrupados. Se emplea la ecuación: 𝐷𝑀 = 𝛴𝑓𝑖 |𝑥𝑚 − 𝑋̅| 𝑛 Nomenclatura 𝑓𝑖 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑥𝑚 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑋̅ = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎. 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 Ejemplo de aplicación 25 Calcular la desviación media de las calificaciones finales en la asignatura de matemáticas, de un curso de 40 estudiantes, según datos de la tabla que sigue. Calificación (0 − 2] (2 − 4] (4 − 6] (6 − 8] (8 − 10] Total Cantidad de estudiantes 2 4 8 16 10 40 Solución: Para calcular la media aritmética se llena la siguiente tabla: Calificación (0 − 2] (2 − 4] (4 − 6] (6 − 8] (8 − 10] Σ Cantidad de estudiantes 𝒇𝒊 2 4 8 16 10 40 Marca de clase 𝒙𝒎 𝒇 𝒊 𝒙𝒎 1 3 5 7 9 Σ 2 12 40 112 90 256 Página 103 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Calculando la media aritmética se obtiene: 𝑋̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑛 𝑋̅ = 256 40 𝑋̅ = 6.4 Para calcular la desviación media es necesario adecuar la tabla de la siguiente forma: Calificación Cantidad de estudiantes 𝒇𝒊 (0 − 2] (2 − 4] 2 4 (4 − 6] (6 − 8] (8 − 10] 8 16 10 40 Σ Marca de clase 𝒙𝒎 1 3 5 7 9 ̅| |𝒙𝒎 − 𝑿 5.4 3.4 1.4 0.6 2.6 Σ 𝐷𝑀 = ̅| 𝒇𝒊 |𝒙𝒎 − 𝑿 10.8 13.6 11.2 9.6 26.0 71.2 𝛴𝑓𝑖 |𝑥𝑚 − 𝑋̅| 𝑛 𝐷𝑀 = 71.2 40 𝐷𝑀 = 1.78 Varianza La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación típica y viene dada en consecuencia por 𝜎 2 . Cuando sea necesario distinguir la desviación típica de una población y de una muestra, se usará 𝜎 2 o 𝑠 2 , correspondientemente. La varianza no puede ser negativa. Características Para su cálculo se utilizan todos los valores. No se ve influenciada por valores extremos. Página 104 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. La varianza indica el grado en que están dispersos los datos en una distribución. A mayor medida, mayor dispersión. La varianza es un número muy grande con respecto a las observaciones, por lo que con frecuencia se vuelve difícil para trabajar. Debido a que la varianza siempre se expresa en términos de los datos originales elevados al cuadrado, el resultado tiene unidades de medida al cuadrado, lo cual no permite una apreciación lógica. Para solucionar las complicaciones que se tiene con la varianza, se halla la raíz cuadrada de la misma, es decir, se calcula la desviación estándar. Fórmulas Para el cálculo de la varianza poblacional y muestral se debe tener en cuenta si se trata de datos agrupados o no agrupados. Datos no agrupados 𝜎2 = ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 𝑁 𝑠2 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑋̅)2 𝑛−1 Datos agrupados 𝜎2 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝜇)2 𝑁 𝑠2 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑋̅)2 𝑛−1 Nomenclatura 𝜎 2 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑥𝑖 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑖 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 Página 105 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝜇 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑁 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠 2 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑋̅ = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 Ejemplo de aplicación 26 El número de pacientes atendidos en emergencias en una clínica privada de la ciudad, en un periodo de 8 días del mes pasado fue: 3 1 5 8 2 4 8 3 Calcule e interprete la varianza. Solución. Para la aplicación de la fórmula de 𝑠 2 , primero se debe calcular la media aritmética. Por tanto ̅ X= ̅ X= ∑ 𝑥𝑖 n 3 + 1 + 5 + 8 + 2 + 4 + 8 + 3 34 = 8 8 𝑋̅ = 4.25 La fórmula de la varianza muestral 𝑠2 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑋̅)2 𝑛−1 Reemplazando los datos en la fórmula, se tiene. (3 − 4.25)2 + (1 − 4.25)2 + (5 − 4.25)2 + (8 − 4.25)2 +(2 − 4.25)2 + (4 − 4.25)2 + (8 − 4.25)2 + (3 − 4.25)2 𝑠2 = 8−1 𝑠2 = 1.5625 + 10.5625 + 0.5625 + 14.0625 + 5.0625 + 0.0615 + 14.0625 + 1.5625 8−1 Página 106 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 47.50 8−1 𝑠2 = 𝑠 2 = 6.79 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 2 Ejemplo de aplicación 27 Calcular la varianza de las calificaciones finales en la asignatura de matemáticas, de un curso de 40 estudiantes, según datos de la tabla que sigue. Calificación Cantidad de estudiantes 2 4 8 16 10 40 (0 − 2] (2 − 4] (4 − 6] (6 − 8] (8 − 10] Total Solución: Para calcular la varianza es necesario primero calcular la media aritmética, la siguiente tabla permite su cálculo. Calificación (0 − 2] (2 − 4] (4 − 6] (6 − 8] (8 − 10] Σ Cantidad de estudiantes 𝒇𝒊 2 4 8 16 10 40 Marca de clase 𝒙𝒊 𝒇 𝒊 𝒙𝒊 1 3 5 7 9 Σ 2 12 40 112 90 256 La media aritmética es: 𝑋̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑛 𝑋̅ = 256 40 𝑋̅ = 6.4 Página 107 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Para calcular la varianza es necesario adecuar la tabla de la siguiente forma: Calificación Cantidad de estudiantes 𝒇𝒊 (0 − 2] (2 − 4] 2 4 (4 − 6] (6 − 8] (8 − 10] 8 16 10 40 Σ Marca de clase 𝒙𝒊 ̅ )𝟐 (𝒙𝒊 − 𝑿 ̅ )𝟐 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝑿 1 3 5 7 9 29.16 11.56 1.96 0.36 6.76 58.32 46.24 15.68 5.76 67.6 Σ 193.6 La fórmula para el cálculo de la varianza del problema, es ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑋̅)2 𝑠 = 𝑛−1 2 𝑠2 = 193.6 40 − 1 𝑠 2 = 4.96 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 2 Desviación estándar Es la medida más frecuentemente usada de variabilidad y se calcula como la raíz cuadrada de la varianza. Características Expresa la cantidad de variabilidad promedio en una distribución. Permite determinar cómo se distribuyen los valores en relación con la media Su fórmula es indistinta para distribuciones de datos originales o agrupados. Para solucionar las complicaciones que se tiene con la varianza, se halla la raíz cuadrada de la misma, es decir, se calcula la desviación estándar es un número pequeño expresado en unidades de los datos originales y que tiene un significado lógico. A pesar de lo anterior, es difícil describir exactamente qué es lo que mide la desviación estándar. Sin embargo, el teorema de Página 108 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Chebyshev establece que para todo conjunto de datos en una distribución, se cumple lo siguiente. 𝜇 ± 𝜎 ≅ 𝑎𝑙 68% 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝜇 ± 2𝜎 ≅ 𝑎𝑙 95% 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝜇 ± 3𝜎 ≅ 𝑎𝑙 99.74% 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Fórmula poblacional 𝜎 = √𝜎 2 Fórmula muestral 𝑠 = √𝑠 2 Nomenclatura 𝜎 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Ejemplo de aplicación 28 Calcule las desviaciones estándar de los ejemplos de aplicación 26 y 27. Ejemplos aplicación 26 Página 109 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Se tiene que 𝑠 2 = 6.79 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 2 Aplicando la fórmula de la desviación estándar 𝑠 = √6.79 𝑠 = 2.61 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Ejemplos de aplicación 27 Se tiene que 𝑠 2 = 4.96 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 2 Aplicando la fórmula de la desviación estándar 𝑠 = √4.96 𝑠 = 2.23 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 2.6.2 DISPERCIÓN RELATIVA Cuando el objetivo es realizar comparaciones, no resulta adecuado comparar magnitudes absolutas, ya que las unidades no son siempre comparables. Cuando se pretende comparar la dispersión de variables medidas en distintas unidades o variables con distinto orden de magnitud, es necesario relativizar. Coeficiente de variabilidad Una forma de relativizar es considerar la dispersión en relación al valor absoluto de la media, consiguiendo así el coeficiente de variación, que suele ser interpretado en términos de proporción o porcentaje: El coeficiente de variación es la razón (cociente) de la desviación estándar y la media aritmética expresada con un porcentaje. Características Se utiliza cuando no es posible una comparación directa de dos o más medidas de dispersión y muy útil cuando: Página 110 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Los datos están en unidades diferentes (como dólares y días de inasistencia) Los datos están en las mismas unidades, pero los valores medios están muy distantes (como sucede con los ingresos de ejecutivos superiores, y el ingreso de empleados no calificados) Fórmula Se calcula con la siguiente fórmula: 𝐶𝑉 = 𝑠 |𝑋̅| Nomenclatura 𝐶𝑉 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 |𝑋̅| = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 Ejemplo de aplicación 29 El número de pacientes atendidos en emergencias en una clínica privada de la ciudad, en un periodo de 8 días del mes pasado fue: 3 1 5 8 2 4 8 3 Calcule e l coeficiente de variación. Solución. La media aritmética es 𝑋̅ = 4.25 La varianza es 𝑠 2 = 6.79 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 2 La desviación estándar es 𝑠 = 2.61 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 La fórmula para el cálculo del coeficiente de variación es Página 111 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝐶𝑉 = Reemplazando valores, se tiene 𝐶𝑉 = 𝑠 |𝑋̅| 2.61 |4.25| 𝐶𝑉 = 0.61 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Ejemplo de aplicación 30 Calcular el coeficiente de variación de las calificaciones finales en la asignatura de matemáticas, de un curso de 40 estudiantes, según datos de la tabla que sigue. Calificación Cantidad de estudiantes (0 − 2] 2 (2 − 4] 4 (4 − 6] 8 (6 − 8] 16 (8 − 10] 10 Total 40 Solución: La media aritmética es 𝑋̅ = 6.4 La varianza es 𝑠 2 = 4.96 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 2 La desviación estándar es 𝑠 = 2.23 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 La fórmula para el cálculo del coeficiente de variación es 𝐶𝑉 = Reemplazando valores, se tiene 𝑠 |𝑋̅| Página 112 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝐶𝑉 = 2.23 |6.4| 𝐶𝑉 = 0.35 2.7 MEDIDAS DE ASIMETRÍA Mide la desviación de la simetría, expresada la diferencia entre la media y la mediana con respecto a la desviación estándar del conjunto de mediciones de la población o muestra. En un conjunto de datos con asimetría positiva, la parte alargada de la gráfica está a la derecha y cuando un conjunto de datos con asimetría negativa, la parte alargada de la gráfica está a la izquierda. Características Definiremos asimetría positiva, cuando 𝑀𝑑 ≤ 𝑀𝑒 ≤ 𝑋̅ . Esto queda reflejado en el diagrama de barras o en un histograma presentando la distribución de los datos una cola a la derecha. Definiremos asimetría negativa, cuando 𝑋̅ ≤ 𝑀𝑒 ≤ 𝑀𝑑 . Esto queda reflejado en el diagrama de barras o en un histograma presentando la distribución de los datos una cola a la izquierda. Fórmula 𝐶𝐴 = 3(𝑋̅ − 𝑀𝑒) 𝑠 Página 113 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tomando en cuenta esta relación, el coeficiente de asimetría puede variar desde −3 hasta +3. Un valor cercano a −3, como por ejemplo −2.57 indica una considerable asimetría negativa; un valor como +1.63 indica una asimetría positiva moderada. El valor de 0 que se presenta cuando la media y la mediana son iguales, señala que la distribución es simétrica. Nomenclatura 𝐶𝐴 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 𝑋̅ = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑀𝑒 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 Ejemplo de aplicación 31 El número de pacientes atendidos en emergencias en una clínica privada de la ciudad, en un periodo de 8 días del mes pasado fue: 3 1 5 8 2 4 8 3 Calcule el coeficiente de asimetría. Solución. El ejemplo tiene una media aritmética de 𝑋̅ = 4.25 Una mediana de 𝑀𝑒 = 3.5 Una desviación estándar de 𝑠 = 2.61 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 La fórmula de coeficiente de variación es 𝐶𝐴 = 3(𝑋̅ − 𝑀𝑒) 𝑠 Reemplazando valores, se tiene Página 114 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝐶𝐴 = 3(4.25 − 3.5) 2.61 𝐶𝐴 = 2.25 2.61 𝐶𝐴 = 0.86 Definiremos asimetría positiva, cuando 𝑀𝑒 ≤ 𝑋̅ . Presenta la distribución de los datos una cola a la derecha. Ejemplo de aplicación 32 Calcular el coeficiente de asimetría de las calificaciones finales en la asignatura de matemáticas, de un curso de 40 estudiantes, según datos de la tabla que sigue. Calificación Cantidad de estudiantes (0 − 2] 2 (2 − 4] 4 (4 − 6] 8 (6 − 8] 16 (8 − 10] 10 Total 40 Solución: La media aritmética es 𝑋̅ = 6.4 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 La mediana es 𝑀𝑒 = 6.75 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 La desviación estándar es 𝑠 = 2.23 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 La fórmula para el cálculo del coeficiente de asimetría es 𝐶𝐴 = 3(𝑋̅ − 𝑀𝑒) 𝑠 Página 115 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝐶𝐴 = 3(6.4 − 6.75) 2.23 𝐶𝐴 = −0.47 Definiremos asimetría negativa, cuando 𝑋̅ ≤ 𝑀𝑒 . Presenta la distribución de los datos una cola a la izquierda. 2.8 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS La curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de una distribución con relación a la distribución normal, es decir, mide cuán puntiaguda es una distribución. Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis: 1. Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal). 2. Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. 3. Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable (Aula Fácil, 2015). Características 𝑔2 = 0 ; 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑒𝑠𝑜𝑐ú𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎 Página 116 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑔2 > 0 ; 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑒𝑝𝑡𝑜𝑐ú𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑔2 < 0 ; 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑐ú𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎 Fórmula El coeficiente de curtosis viene definido por la siguiente fórmula: 1 𝑚 ∑ (𝑥𝑖 − 𝑋̅)4 𝑚4 𝑛 1 𝑔2 = 4 − 3 = −3 𝑠 𝑠4 1 𝑔2 = 𝑛 ̅ 4 ∑𝑚 1 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑋 ) 𝑠4 −3 Página 117 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 32 Calcular el coeficiente de apuntamiento o curtosis de las calificaciones finales en la asignatura de matemáticas, de un curso de 40 estudiantes, según datos de la tabla que sigue. Calificación Cantidad de estudiantes (0 − 2] 2 (2 − 4] 4 (4 − 6] 8 (6 − 8] 16 (8 − 10] 10 Total 40 Solución: La media aritmética es 𝑋̅ = 6.4 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 La desviación estándar es 𝑠 = 2.23 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 La fórmula para el cálculo del coeficiente de apuntamiento es 1 𝑚 ∑ 𝑓 (𝑥 − 𝑋̅)4 𝑚4 𝑛 1 𝑖 𝑖 𝑔2 = 4 − 3 = −3 𝑠 𝑠4 𝑔2 = 1 [2(1 − 40 6.4)4 + 4(3 − 6.4)4 + 8(5 − 6.4)4 + 16(7 − 6.4)4 + 10(9 − 6.4)4 ] (2.23)4 𝑔2 = 1 [2(−5.4)4 40 + 4(−3.4)4 + 8(−1.4)4 + 16(−0.6)4 + 10(−2.6)4 ] (2.23)4 𝑔2 = 1 [1,700.61 + 40 534.53 + 30.73 + 2.07 + 456.98] 24.73 𝑔2 = −3 −3 −3 2,724.93 −3 989.2 𝑔2 = 2.7547 − 3 𝑔2 = −0.2453 Página 118 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Como 𝑔2 < 0 Entonces la distribución es platicúrtica. Página 119 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 3 CAPÍTULO III: NÚMEROS ÍNDICES OBJETIVOS El estudiante podrá: 1. Expresar las características y definir un número índice. 2. Calcular e interpretar los números índices de precios, cantidad y valor. 3. Calcular e interpretar los números índices simples, ponderados y no ponderados. 3.1 INTRODUCCIÓN Número índice es una medida estadística diseñada para poner de relieve cambios en una variable o en un grupo de variables relacionadas con respecto al tiempo, situación geográfica, ingresos, o cualquier otra característica. (Spiegel, 1997) Número índice es un número que expresa el cambio relativo en precio, cantidad o valor comparado con un periodo base. (Lind, Marchal, & Wathen, 2006). 3.2 CARACTERÍSTICAS Es un porcentaje, porcentual. pero generalmente se omite el signo Tiene un período base. La mayor parte de los índices se aproximan al décimo más próximo de un porcentaje . La base de la mayor parte de los índices es 100. 3.3 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ÍNDICES 3.3.1 NÚMEROS ÍNDICES DE PRECIOS Es un número que expresa el cambio relativo de precio comparando con un periodo base. El índice de este tipo más conocido es Índice de precios al consumidor (IPC), el cual mide el costo de vida en los países. Página 120 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 3.3.2 NÚMEROS ÍNDICES DE CANTIDAD Es un número que expresa el cambio relativo de cantidad de una variable comparando con un periodo base. 3.3.3 NÚMEROS ÍNDICES DE VALOR Es un número que expresa el cambio relativo de valor comparando con un periodo base. Es decir mide los cambios en el valor monetario total. (Levin & Rubin, 2004) 3.4 NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES Son los que se refieren a una sola magnitud, y por lo tanto nos proporcionan la variación que ha sufrido esa magnitud en dos periodos distintos. Se calcula hallando el cociente del valor del año determinado entre el valor del año base por 100, así: 𝑃= 𝑝𝑡 ∗ 100 𝑝𝑜 Donde: 𝑃 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑝𝑡 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 Ejemplo de aplicación 1 El salario básico unificado en enero del 2012 fue de $292, el salario básico unificado en enero del 2015 fue de $354. Cuál es el índice correspondiente para los trabajadores en enero del 2015, con base en los datos de enero del 2012? 𝑃= 𝑝𝑡 354 ∗ 100 = 100 = 121.23 𝑝𝑜 292 Durante este periodo aumento en 121.23 − 100 = 21.23 el salario básico unificado. Página 121 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 2 En el 2013 la población de hombres en Ecuador fue de 7,868,368 y el de mujeres fue de 7,869,510 ¿Cuál fue la proporción de la población de hombres comparada con la de mujeres? 𝑃= 𝑝𝑡 7,868,368 ∗ 100 = 100 = 99.98 𝑝𝑜 7,869,510 El índice de hombres es de 99.98 de la población de mujeres o la población de hombres es 100 − 99.98 = 0.02 menor que la de mujeres Ejemplo de aplicación 3 Los siguientes datos, se tomaron de los informes anuales de la empresa Johnson & Johnson, de la misma que sus acciones comunes se enlistan en la Bolsa de Valores con el símbolo de JNJ. Tomando como base el año 1991, calcular el Índice Simple. Regla de tres : Años 1991 1992 1993 1994 1995 1996 5.43 ---- 6.25 ---- Ventas Nacionales (miles de dólares) 5.43 6.25 6.9 7.2 7.81 9.19 100 % x = Cálculo del Índice 5.43 6.25 6.90 7.20 7.81 9.19 /5.43 /5.43 /5.43 /5.43 /5.43 /5.43 =1 =1.15101289 =1.2071823 =1.32596685 =1.43830571 =1.69244936 115,10 Índice Simple % 100 115.1 127.07 132.6 143.83 169.24 3.5 NÚMEROS ÍNDICES NO PONDERADOS 3.5.1 PROMEDIO SIMPLE DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS Este índice se obtiene sumando los índices simples de cada producto y dividiendo para el número de productos. Página 122 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Así: 𝑃 = ∑ 𝑃𝑖 𝑛 𝑃𝑖 = Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 Ejemplo de aplicación 4 Tomando como base los siguientes datos se calcula el promedio simple de los índices de precios relativos. 𝑃= 100 + 115.1 + 127.07 + 132.60 + 143.83 + 169.24 6 𝑃= 787.85 6 𝑃 = 131.31 Ejemplo de aplicación 5 Un administrador estudia la evolución de los precios de un artículo que produce su empresa en los 5 últimos años, los valores se registran en la siguiente tabla. Calcule el promedio simple de los índices de precios, tomando como periodo de referencia el año 1. Años Precio del producto 1 4 2 5.5 3 6 4 5 5 8 Primero calculo los índices simples Años 1 2 3 4 5 𝑃 = Precio del producto 4 5.5 6 5 8 Índice Simple 100 137.5 150 125 200 ∑ 𝑃𝑖 100 + 137.5 + 150 + 125 + 200 = = 142.5 𝑛 5 Página 123 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Esto indica que el precio del producto a incrementado en 42.5% 3.5.2 ÍNDICE AGREGADO SIMPLE Un índice agregado simple se calcula sumando todos los elementos de un periodo dado y luego dividiendo este resultado entre la suma de los mismos elementos durante el periodo base. Así: 𝑃 = ∑ 𝑃𝑖 ∗ 100 ∑ 𝑃0 𝑃𝑖 ∶ Cantidad de elementos del periodo que se desea el índice 𝑃0 : Cantidad de elementos en el año base Ejemplo de aplicación 6 Determine el índice agregado simple de precios para el año 2015 y 2012 de tres productos considerados, usando como año base 2012. Tabla 3: PRODUCTOS DE PRIMERA NECESIDAD Producto Leche $/lt Pan $/und Huevos$/doc 2012 ∑ = 2.42 𝑃 = 2015 0.84 0.14 1.44 0,86 0.16 1.50 ∑ = 2.52 ∑ 𝑃𝑖 2.52 ∗ 100 = ∗ 100 ∑ 𝑃0 2.42 𝑃 = 104.13 3.6 NÚMEROS ÍNDICES PONDERADOS Dos métodos para calcular el índice de precios compuestos o ponderado son el método de Laspeyres y el de Paasche. Difieren sólo en el periodo para la ponderación. En el método de Laspeyres se utilizan ponderaciones en el periodo base; es decir, los precios y las cantidades originales de los artículos comprados se utilizan para Página 124 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. encontrar el cambio porcentual durante un periodo, ya sea en el precio o en la cantidad consumida, según el problema. En el método de Paasche se utilizan ponderaciones en el año en curso. (Lind, Marchal, & Wathen, 2006) 3.6.1 ÍNDICE DE LAYSPEYRES 𝑃 = Dónde: ∑ 𝑝𝑡 𝑞0 𝑥 100 ∑ 𝑝0 𝑞0 𝑃 𝑒𝑠 𝑒𝑙 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑠. 𝑝𝑡 es el precio actual 𝑝0 es el precio del periodo base 𝑞0 es la cantidad en el periodo base (Lind, Marchal, & Wathen, 2006) Ejemplo de aplicación 7 Determinar un índice de precios ponderado con el método de Laysperes, con los precios dados en la siguiente tabla tomando como referencia Quito. Producto Arveja tierna Banano Limón Piña Cantidad (Libras) 0,55 0,65 0,80 0,05 𝑃 = Quito Guayaquil 12,50 7,00 15,00 1,50 20,00 5,00 15,18 1,31 ∑ 𝑝𝑡 𝑞0 𝑥 100 ∑ 𝑝0 𝑞0 Calculemos el índice simple de cada producto tomando como referencia Quito, a continuación presentamos los precios de diferentes productos en Quito y Guayaquil Página 125 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Quito Producto 𝒒𝟎 (𝒍𝒃) Arveja tierna Banano Limón Guayaquil 𝒑𝟎 110 Piña 𝒒𝒕 (𝒍𝒃) 𝒑𝒕 𝒒𝒕 𝒑𝒐 𝒒𝒕 55 65 7 65 5 325 455 325 455 80 15 95 18 1,440 1,200 1,710 1,425 5 1.5 65 17 𝑃 = 20 𝒑𝟎 𝒒𝟎 25 𝑃 = 3.6.2 𝒑𝒕 𝒒𝟎 𝒑𝒕 2,200 2,750 1,100 1,375 85 7.5 1105 97.5 4,050 4,412.5 4,240 3,352.5 ∑ 𝑝𝑡 𝑞0 𝑥 100 ∑ 𝑝0 𝑞0 4,050 𝑥 100 = 91.78 4,412.5 ÍNDICE DE PAASCHE El cálculo es similar que el índice de Laspeyres, pero en lugar de emplear cantidades en el periodo base como ponderaciones, se utilizan cantidades en el período actual. 𝑃 = ∑ 𝑝𝑡 𝑞𝑡 𝑥 100 ∑ 𝑝0 𝑞𝑡 Ejemplo de aplicación 8 En el ejercicio de aplicación 7, calculemos el índice de Paasche 𝑃 = 4,240 𝑥 100 = 126.47 3,352.5 Ejemplo de aplicación 9 Los precios, de cuatro artículos que se indican a continuación, en los años 2001 y 2003, permitiran calcular el índice de Paasche. Artículo Pan Huevos Leche Manzana ∑ po 2001 0.05 0.06 0.35 0.15 0.61 Qo 2001 20 30 10 15 75 Pt 2003 0.08 0.09 0.48 0.25 0.90 qt 2003 24 36 15 20 95 pt*qt po*qt 1.92 3.24 7.20 5.00 17.36 1.20 2.16 5.25 3.00 11.61 Página 126 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑃 = ∑ 𝑝𝑡 𝑞𝑡 𝑥 100 ∑ 𝑝0 𝑞𝑡 𝑃 = 17.36 𝑥 100 11.61 𝑃 = 149.52 Este resultado. indica que el precio de este grupo de alimentos. aumentó en el 49.52 %. en el período de dos años. 3.6.3 ÍNDICE DE FISHER Es la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche. Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑠ℎ𝑒𝑟 = √(Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑠𝑝𝑒𝑦𝑟𝑒𝑠)(Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒) Parece ser el ideal porque combina las mejores características del de Laspeyres y del de Paasche. Ejemplo de aplicación 10 Al tener ya determinado el índice de Laspeyres y el índice de Paasche, en el ejemplo de aplicación 9 procedemos a calcular el índice ideal de Fisher. Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑠ℎ𝑒𝑟 = √(150.29)(149.52) Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑠ℎ𝑒𝑟 = √22471.3608 Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑠ℎ𝑒𝑟 = 149.90 3.7 ÍNDICES DE VALOR Mide cambios tanto en los precios como en las cantidades que intervienenen. Se usa precios y cantidades del perìodo base y del perìodo actual. 𝑉= ∑𝑝𝑡 ∗ 𝑞𝑡 ∑𝑝𝑜 ∗ 𝑞𝑜 Página 127 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. donde: 𝑉 𝑒𝑠 𝑒𝑙 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑜 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑡 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑡 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 Ejemplo de aplicación 11 Los precios de cuatro artículos que se indican a continuación, en los años 2001 y 2003, permitirán calcular el índice de Valor. Artículo qo 2001 20 30 10 15 Pt 2003 0.08 0.09 0.48 0.25 Qt 2003 24 36 15 20 ptqt poqo Pan Huevos Leche Manzana Po 2001 0.05 0.06 0.35 0.15 1.92 3.24 7.20 5.00 1.00 1.80 3.50 2.25 ∑ 0.61 75 0.90 95 17.36 8.55 𝑉= 𝑉= ∑𝑝𝑡 ∗ 𝑞𝑡 ∑𝑝𝑜 ∗ 𝑞𝑜 17.36 ∗ 100 8.55 𝑉 = 203.04 Con este resultado, miramos que el valor de este grupo de alimentos, aumentó en el 103.04 %, en el período de dos años. Página 128 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 4 CAPÍTULO IV: REGRESIÓN. CORRELACIÓN Y SERIES DE TIEMPO OBJETIVOS El estudiante podrá: 1. Diferenciar e interpretar los términos variable dependiente e independiente. 2. Encontrar y analizar los coeficientes de correlación y determinación y error estándar. 3. Encontrar la ecuación de la recta aplicando el método del libre ajuste 4. Encontrar la ecuación de la recta aplicando el método de los mínimos cuadrados. 5. Especificar los componentes de una serie de tiempo. 6. Encontrar un promedio móvil. 7. Calcular la ecuación para una tendencia lineal 4.1 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Mide la intensidad de la asociación entre dos variables, cuyo principal objetivo es determinar, qué tan intensa es la relación entre esas dos variables. 4.1.1 VARIABLE DEPENDIENTE: Es la variable que se predice o se calcula. 4.1.2 VARIABLE INDEPENDIENTE: Es una variable que proporciona las bases para el cálculo. Es la variable de predicción. 4.1.3 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Mide la intensidad de la asociación entre dos variables. Ambas variables deben ser al menos el nivel de intervalo de medición. El coeficiente de correlación puede variar desde -1.00 hasta 1.00. Página 129 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Si la correlación entre dos variables es 0, no hay asociación entre ellas. Un valor de 1.00 indica una correlación positiva perfecta, y una de -1.00, una correlación negativa perfecta. Un signo positivo significa que hay una relación directa entre las variables, y un signo negativo, que hay una relación inversa. Se identifica con la letra 𝑟. La fórmula que permite calcular el coeficiente de correlación es la siguiente: 𝑟= 𝑛(∑𝑋𝑌) − (∑𝑋)(∑𝑌) √(𝑛(∑𝑋 2 ) − (∑𝑋)2 )(𝑛(∑𝑌 2 ) − (∑𝑌)2 ) donde: 𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∑𝑋 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑋 ∑𝑌 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑌 (∑𝑋 2 ) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑋 (∑𝑌 2 ) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑌 (∑𝑋)2 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑋 (∑𝑌)2 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑌 ∑𝑋𝑌 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑋 𝑦 𝑌 En la Figura 1 y 2 se resume la intensidad y la dirección del coeficiente de correlación. Figura 1. Intensidad del coeficiente de correlación Página 130 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Figura 2. Recta con correlación positiva y negativa Ejemplo de aplicación 1 Las llamadas mensuales realizadas para la venta de productos de limpieza y desinfección de la empresa Solquim S.A. de lo cual se toma una muestra de 5 vendedores, se expresa en la siguiente tabla. Representantes de ventas Paquita Trujillo Kléver Sosa Ximena López Andrea Flores Marcelo Campaña No. de llamadas 20 40 20 30 10 No. de productos vendidos 40 60 40 60 20 Solución El primer paso para mostrar la relación entre dos variables es graficando los datos en un diagrama de dispersión. En la Figura 3 podemos obsevar que existe relación entre el número de llamadas y los productos vendidos, puesto que, a mayor número de llamadas, se realizan mayores ventas de productos. Para realizar el cálculo del coeficiente de correlación es importante que identifiquemos las variable dependiente (No. de productos vendidos) y la independiente (No. de llamadas). Página 131 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Figura 3. Diagrama de dispersión. A continuación añadimos tres columnas a la tabla para realizar los cálculos requeridos por la fórmula de coeficiente de correlación. 𝑛(∑𝑋𝑌) − (∑𝑋)(∑𝑌) 𝑟= √(𝑛(∑𝑋 2 ) − (∑𝑋)2 )(𝑛(∑𝑌 2 ) − (∑𝑌)2 ) Representantes de ventas Paquita Trujillo Kléver Sosa Ximena López Andrea Flores Marcelo Campaña Total 20 40 No. de productos vendidos (Y) 40 60 20 30 10 120 40 60 20 220 No. de llamadas (X) X2 400 1,60 0 400 900 100 3,40 0 Y2 XY 1,600 3,600 800 2,400 1,600 3,600 400 10,800 800 1,800 200 6,000 Reemplazando los datos obtenidos en la fórmula, se tiene. r 56000 120 220 53400 120 510800 220 2 2 Página 132 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. r 30000 26400 17000 14400 54000 48400 r 3600 26005600 r r 3600 14560000 3600 3815 .76 El coeficiente de correlación es: 𝑟 = 0.94 El coeficiente de correlación es positivo, lo cual nos permite ver que existe una relación directa entre el número de llamadas y la cantidad de productos vendidos. El valor de 0.94, está bastante cercano a 1.00. Si observamos la figura 1 podemos concluir que la relación es fuerte. 4.1.4 CÁLCULO DE COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN Es la porción de la variación total en la variable dependiente Y que se explica por la variación en la variable independiente X. Varía de 0 a 1. Es el cuadrado del coeficiente de correlación. Al elevar el coeficiente de correlación al cuadrado. obtendremos el coeficiente de determinación. 𝑟 = 0.94 Entonces 𝑟 2 = 0.942 𝑟 2 = 0.89 Ver figura 3, obtenido a través de excel. Página 133 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 4.2 ANÁLISIS DE REGRESIÓN La intensidad y dirección de la relación que existe entre dos variables se determina en una ecuación que define la relación lineal entre dos variables. 4.2.1 PRINCIPIO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Es la técnica empleada para obtener la ecuación de regresión, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores verdaderos de 𝑌 y los valores pronosticados de 𝑌 ′ . La forma general de la ecuación de regresión lineal es: 𝑌′ = 𝑎 + 𝑏𝑥 donde: 𝑌’ se lee “Y prima”, es el valor pronosticado de la variable 𝑌 para un valor seleccionado de 𝑋. 𝑎 es la ordenada de la intersecciòn con el eje 𝑌; es decir, el valor estimado de 𝑌′ cuando 𝑥 = 0 . Dicho de otra forma, corresponde al valor estimado de 𝑌′, donde la recta de regresiòn cruza el eje 𝑌, cuando 𝑥 = 0. 𝑏 es la pendiente de la recta, o el cambio promedio en Y’ por unidad de cambio (incremento o decremento) en la variable independiente 𝑥. 𝑥 es cualquier valor seleccionado de la variable independiente. Para poder encontrar ( 𝒂 que es la ordenada) y ( 𝒃 que es la pendiente) a las que se les denomina coeficientes de regresión estimado, o simplemente coeficiente de regresión, para lo cual se requiere de las siguientes fórmulas Pendiente de la línea de regresión 𝑏= 𝑛 ∗ ∑(𝑋𝑌) − ∑𝑋 ∗ ∑𝑌 𝑛 ∗ ∑𝑋 2 − (∑𝑋)2 Punto donde se intercepta con el eje 𝑌 Página 134 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑎= ∑𝑌 ∗ ∑𝑋 2 − ∑𝑋 ∗ ∑(𝑋𝑌) 𝑛 ∗ ∑𝑋 2 − (∑𝑋)2 o’ 𝑎= ∑𝑌 ∑𝑋 −𝑏 𝑛 𝑛 donde: 𝑋 es un valor de la variable independiente 𝑌 es un valor de la variable dependiente 𝑛 es el número de elementos en la muestra Ejemplo de aplicación 2 Para calcular la ecuación de la recta, utilizando el método de los mínimos cuadrados, traemos el planteamiento del problema del ejemplo 1. Representantes de ventas Paquita Trujillo Kléver Sosa Ximena López Andrea Flores Marcelo Campaña No. de llamadas 20 40 20 30 10 No. de productos vendidos 40 60 40 60 20 Las fórmulas a utilizar son las siguientes: Pendiente de la línea de regresión 𝑏= 𝑛 ∗ ∑(𝑋𝑌) − ∑𝑋 ∗ ∑𝑌 𝑛 ∗ ∑𝑋 2 − (∑𝑋)2 Punto donde se intercepta con el eje 𝑌 𝑎= ∑𝑌 ∗ ∑𝑋 2 − ∑𝑋 ∗ ∑(𝑋𝑌) 𝑛 ∗ ∑𝑋 2 − (∑𝑋)2 Página 135 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑎= ∑𝑌 ∗ ∑𝑋 2 − ∑𝑋 ∗ ∑(𝑋𝑌) 𝑛 ∗ ∑𝑋 2 − (∑𝑋)2 o’ 𝑎= ∑𝑌 ∑𝑋 −𝑏 𝑛 𝑛 A la tabla anterior añadimos tres columnas para realizar los cálculos requeridos por las fórmulas de los mínimos cuadrados. Identificando primero la variable dependiente (No. de productos vendidos) Y y la independiente (No. de llamadas) X. Representantes de ventas Paquita Trujillo Kléver Sosa Ximena López Andrea Flores Marcelo Campaña Total No. de llamadas (X) 20 40 20 30 10 120 No. de productos vendidos (Y) 40 60 40 60 20 220 X2 400 1,600 400 900 100 3,400 Y2 1,600 3,600 1,600 3,600 400 10,800 XY 800 2,400 800 1,800 200 6,000 Pendiente de la línea de regresión: 𝑏= 𝑛 ∗ ∑(𝑋𝑌) − ∑𝑋 ∗ ∑𝑦 𝑛 ∗ ∑𝑥 2 − (∑𝑥)2 𝑏= 5(6000) − (120)(220) 5(3400) − (120)2 𝑏= 30000 − 26400 17000 − 14400 𝑏= 3600 2600 𝑏 = 1.38 Punto donde se intercepta con el eje 𝑌: ∑𝑌 ∑𝑋 𝑎 = 𝑛 −𝑏 𝑛 220 120 𝑎= − (1.38) 5 5 𝑎 = 44 − 33.12 Página 136 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 𝑎 = 10.88 Remplazando en la ecuación 𝑌′ = 𝑎 + 𝑏𝑥, los valores obtenidos se obtiene Y= 10.88+1.38X El valor de 𝑏 = 1.38 significa que para cada llamada adicional que realizan los representantes de ventas pueden esperar aumentar en casi 1.4 el número de venta de productos de limpieza y desinfección. El valor a de 10.88 es el punto donde la ecuaciòn cruza el eje 𝑌, luego si no se hacen llamadas esto es 𝑋 = 0 se venderán 10.88 productos. 4.2.2 TRAZO DE LA LÍNEA DE REGRESIÓN Consideraciones Básicas Para aplicar correctamente la regresión lineal deben satisfacerse varias suposiciones: Para cada valor de la variable 𝑋, hay un cojunto de valores de 𝑌. Estos valores de 𝑌 siguen una distribución normal. Las medias de estas distribuciones normales se encuentran sobre la línea de regresión. Las desviaciones estándar de todas estas distribuciones normales, son iguales. La mejor estimación que se tiene de esta desviación estándar es común, es el error estándar de estimación (𝑆𝑦, 𝑥). Los valores de 𝑌 son estadísticamente independientes. Lo que significa que el tomar la muestra en determinado valor de X no depende de ningún otro valor de X. Esto es importante cuando se toman datos durante un período. En esos casos los errores de un determinado período suelen estar correlacionados con lo de otro período. Ejemplo de aplicación 3 En el ejemplo 2 se obtuvo la gráfica 𝑌 = 10.88 + 1.38𝑋. El valor de 10.88 representa la intersección con el eje y, para encontrar otro punto, arbitrariamente damos un punto cualquiera a la variable X, podría ser el 20, remplazando en la ecuación 𝑌 = 10.88 + 1.38(20) se obtiene Y = 38.48. Si tenemos dos puntos ya podemos encontrar el gráfico de la ecuación al unir estos puntos. Tomando en cuenta que se trata de la Ecuación de la recta, como se muestra a continuación. Página 137 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Figura 4 Gráfica de la ecuación de la recta. 4.2.3 EL ERROR ESTÁNDAR DE LA ESTIMACIÓN Es la medida de la dispersión de los valores observados. con respecto a la línea de regresión. Está en las mismas unidades que la variable dependiente. Se basa en las desviaciones al cuadrado respecto de la recta de regresión Valores pequeños indican que los puntos se agrupan cerca de la recta de regresión Para su cálculo se utiliza la siguiente fórmula: S y. x Y 2 aY bXY n2 Ejemplo de aplicación 4 Al trabajar con los datos del ejercicio del ejemplo 3, tendremos el siguiente error estándar de estimación. Para su cálculo se utiliza la siguiente fórmula: S y. x S y. x Y 2 aY bXY n2 10,800 10.88220 1.386,000 52 Página 138 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. S y. x 10,800 2,393.6 8,280 3 S y. x 126.4 3 S y. x 42.13 S y. x 6.49 El error estándar de estimación. mide la variación alrededor de la línea de regresión. 4.3 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DE UNA SERIE DE TIEMPO Una serie de tiempo es una oportunidad, de poder mejorar las decisiones que toma la gerencia ya que se puede realizar una predicción a largo plazo. Ya que una serie de tiempo al registrar los datos puede hacer uso de ellos para realizar proyecciones, ya que los patrones del pasado pueden repetirse y ser de gran utilidad. En una empresa si disponemos de la información en que los periodos de ventas en que la demanda es alta pueden ayudar a predecir, planificar y programar la producción en un período posterior, incluso puede ayudar a tomar decisiones a largo plazo. 4.4 COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPOS Tendencia Secular Variación cíclica Variación estacional Variación irregular. 4.4.1 TENDENCIA SECULAR La serie de tiempo con tendencia secular sigue una dirección uniforme en el tiempo. A pesar de que pueda haber variaciones, es importante notar a largo plazo la tendencia que sigue. Página 139 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 5 En el siguiente ejemplo se muestra una empresa se sabe que en función del tiempo, sus clientes han incrementado en cientos, figuran en la tabla siguiente: se puede observar que el incremento es proporcional en el tiempo y sigue una tendencia definida. Figura 5. Ventas del 2009 al 2014 El micro mercado Cotocollao revisa el historial de sus ventas y encuentra que las ventas se han incrementado con el tiempo, a pesar de tener una acentuada disminución en las ventas en el año 2001 comparado con las ventas en el 2000, luego se observa una recuperación en los años siguientes. Figura 6. Venta del micro mercado Cotocollao Página 140 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Si consideramos el número personas que salieron a España a buscar trabajo de un determinado sector del país en el transcurso del 2000 al 2010, encontramos que en el 2000 salieron 1,000 personas, mientras que en el 2002 fueron 1,300, luego encontramos una clara disminución para el año 2010 ya tenemos 70 personas que abandonaron el país, la tendencia a largo plazo está bastante clara. Figura 7. Emigrantes a España (datos supustos) 4.4.2 VARIACIÓN CÍCLICA Se da un aumento y una disminución en períodos mayores a un año, manteniendo la tendencia en el trascurso del tiempo. Ejemplo de aplicación 6 En la parte productiva es normal que existan variaciones en las ventas o ingresos en el trascurso de períodos de tiempo, esto se puede dar por reactivación de la economía por nuevos ingresos petroleros o disminución de los mismos. Nuevas obras de inversión en el país como es el caso de las hidroeléctricas, finalización de estas obras, incluso cambios de gobierno, entre otros factores que determina e influyen sobre la producción. El ejemplo expuesto a continuación muestra la variación de los ingreso de Sinec Constructores en miles de dólares entre 1998 y el 2015. Página 141 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 800 600 400 200 0 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Ingresos en miles de dólares Ingresos en miles de dolares Año Figura 8. Ingresos en miles de dólares Sinec Constructores 4.4.3 VARIACIÓN ESTACIONAL Sigue patrones de cambio durante un año, y se repiten en los años posteriores. Ejemplo de aplicación 7 En la mayoría de negocios suele suceder que se repiten los patrones de venta de un año a otro, pueden ser por situaciones como las de fin de año en la que la mayoría realiza compras y regalos por motivos religiosos o de comportamiento, que en nuestro país viene acompañado del sueldo adicional que se recibe en diciembre, lo mismo sucede con el inicio de clases y todos los requerimientos, que pueden ser lista de útiles, ropa de uniformes, zapatos. Negocios que se ven estimulados en sus ingresos en estas fechas. Este comportamiento suele repetirse cada año, para ello se muestra un ejemplo de la ventas en miles de dólares. Figura 9. Ventas en miles de dólares Página 142 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 4.4.4 VARIACIÓN IRREGULAR Es aquella cuya variación es difícil predecir y pueden se variaciones episódicas y residuales. Ejemplo de aplicación 8 Las variaciones episódicas pueden originarse por eventos como una guerra, una huelga, un golpe de estado, una catástrofe natural y la residual por los demás factores que originan la variación. Como se indica son impredecibles. 4.5 MEDICIÓN DE TENDENCIAS 4.5.1 TENDENCIA LINEAL Se da un aumento y una disminución de los ingresos, ventas, gastos u otra variable, manteniendo la tendencia en el trascurso del tiempo. Del ejemplo 6 anterior la variación de los ingreso de Sinec Constructores en miles de dólares entre 1998 y el 2015. Podemos ver que la tendencia que sigue a pesa de la variación en el transcurso del tiempo el lineal. Método de libre ajuste Es un método aproximado y rápido para obtener la ecuación de la recta. Ejemplo de aplicación 9 En la tabla 4, se muestra los ingreso en miles de dólares en función del tiempo. Solución Graficamos como se muestra en la figura 10 los puntos de los años y los ingresos, numerados el primero como el año uno (1998 = Página 143 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. 1), como se indica en la tabla 4 para los siguientes años tomando la misma consideración. Trace una recta entre los puntos, la recta indica la tendencia. Tabla 4 CÁLCULO POR EL MÉTODO DEL LIBRE AJUSTE Ingresos Ingresos en miles de Años (X) Años (X) en miles de dólares (Y) dólares (Y) 200 2007 10 450 Años (X) Años (X) 1998 1 1999 2 300 2008 11 470 2000 3 350 2009 12 490 2001 4 250 2010 13 600 2002 5 270 2011 14 700 2003 6 290 2012 15 750 2004 7 400 2013 16 650 2005 8 500 2014 17 670 2006 9 550 2015 18 690 Extendemos la recta para obtener el punto donde interseca con el eje ‘𝑦’. Encontramos dos puntos de esta recta estimando los valores que serán aproximados, el primero puede ser (0; 185) y el oro el final (18; 735). Encuentre el valor de la pendiente con los puntos anteriores 𝑏= 𝑦2 − 𝑦1 735 − 185 = = 30.55 𝑥2 − 𝑥1 18 − 0 El valor de 𝑎 recuerde que es la intersección con el eje ‘𝑦’ el cual es 𝑎 = 185 La ecuación de la recta es 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑥 Remplazando los valores encontrados 𝑌 = 185 + 30.55𝑥 Al realizar una comparación de la ecuación de la recta encontrada en Excel es bastante aproximada a la encontrada. Página 144 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Figura 10. Ingreso en miles de dólares Método de mínimos cuadrados Para encontrar la tendencia aplicando el método de los mínimos cuadrado realizamos las siguientes consideraciones. Grafique los puntos de los años numerados el primero como el año uno (1998 = 1) los siguiente tomando la misma consideración como en el caso anterior o simplemente con los años reales y los ingresos. La ecuación de la recta es 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑥 Donde ∑𝑦 ∗ ∑𝑥 2 − ∑𝑥 ∗ ∑(𝑥𝑦) 𝑎= 𝑛 ∗ ∑𝑥 2 − (∑𝑥)2 𝑏= 𝑛 ∗ ∑(𝑥𝑦) − ∑𝑥 ∗ ∑𝑦 𝑛 ∗ ∑𝑥 2 − (∑𝑥)2 Ejemplo de aplicación 10 Realice una tabla y encuentre los valores requeridos, al final podemos ver los valores encontrados. Página 145 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Tabla 5. CÁLCULO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Ingresos en miles de dólares (Y) 200 300 350 250 270 290 400 500 550 450 470 490 600 700 750 650 670 690 3,992,004 3,996,001 4,000,000 4,004,001 4,008,004 4,012,009 4,016,016 4,020,025 4,024,036 4,028,049 4,032,064 4,036,081 4,040,100 4,044,121 4,048,144 4,052,169 4,056,196 4,060,225 36117 ∑𝑥 8,580 ∑𝑦 72,469,245 ∑𝑥 2 Número de años Años (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18 𝑛 X*Y 𝑿𝟐 399,600 599,700 700,000 500,250 540,540 580,870 801,600 1,002,500 1,103,300 903,150 943,760 984,410 1,206,000 1,407,700 1,509,000 1,308,450 1,349,380 1,390,350 17,230,560 ∑𝑥𝑦 Remplace los valores encontrados en las fórmulas. ∑𝑦 ∗ ∑𝑥 2 − ∑𝑥 ∗ ∑(𝑥𝑦) 𝑎= 𝑛 ∗ ∑𝑥 2 − (∑𝑥)2 𝑎= 8580 ∗ 72469245 − 36117 ∗ 17230560 = −60,774 18 ∗ 72469245 − (36117)2 𝑏= 𝑏= 𝑛 ∗ ∑(𝑥𝑦) − ∑𝑥 ∗ ∑𝑦 𝑛 ∗ ∑𝑥 2 − (∑𝑥)2 18 ∗ 17230560 − 36117 ∗ 8580 18 ∗ 72469245 − (36117)2 𝑚 = 30.526 Página 146 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Remplazando los valores encontrados 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑦 = − 60,774 + 30.526𝑥 Ingreso en miles de dólares Al realizar una comparación de la ecuación de encontrada en Excel es igual al calculado. 800 la recta Ingresos en miles de dolares (Y) 600 400 200 y = 30,526x + 186,67 R² = 0,8713 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Años Figura 11. Ingreso en miles de dólares 4.5.2 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL El promedio móvil es óptimo para patrones de demanda aleatoria o nivelada donde se pretende eliminar el impacto de los elementos irregulares históricos mediante un enfoque en períodos de demanda reciente. El promedio móvil podemos observar la tendencia que indica la proyección de la serie, la variación cíclica en este caso el ciclo se repite cada 7 años Finalmente se promedia la variación cíclica y la variación irregular y como resultado obtenemos la tendencia, que esta expresada por una recta que es una forma suavizada de representar el promedio móvil, recta viene dada de la forma 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 , donde 𝑏 es la pendiente de la recta y 𝑎 representa la intersección con el eje 𝑦. Página 147 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. Ejemplo de aplicación 11 Tabla 6 CÁLCULO DEL PROMEDIO MOVIL PARA 7 AÑOS Año Ventas Promedio móvil de 7 años 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 4 5 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7 8 9 10 6.14 6.29 6.43 6.57 6.71 6.86 7.00 7.14 7.29 7.43 7.57 7.71 7.86 8.00 8.14 8.29 8.43 8.57 8.71 La primera columna indica el año, la segunda la ventas anuales en miles de dólares y la tercera el promedio móvil el mismo que se calcula sumando los primeros 7 años de ventas que es donde se repite completamente el ciclo (color azul) y dividimos para en número de años (4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6)/7 = 6.14 que viene a ser el promedio móvil, el siguiente de color naranja (5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6)/7 = 6.29 y de esta manera continuamos con los siguientes valores. Si graficamos los años con las ventas observamos diferentes rectas cada una con una tendencia propia, en este caso al graficar el tiempo con el promedio móvil, la gráfica se suaviza y Página 148 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. se convierte en la tendencia de las ventas, si tomamos dos puntos cualquiera de los años y el valor de promedio móvil (1993; 6.14) y (2011; 8.71), calculamos la pendiente 8.71−6.14 𝑎 = 2011−1993 = 0.1429 , la proyección de la recta sobre el eje “y” es 5.57. De ésta manera obtenemos la ecuación 𝑦 = 0.1429𝑥 + 5.57 que representa el promedio móvil; excel es una gran herramienta que permite encontrar la variación y la tendencia con la respectiva ecuación, la gráfica muestra lo expuesto. 12 Ventas 10 y = 0,1429x + 5,5714 Ventas 8 6 Ventas Promedio Movil 4 Lineal (Promedio Movil) 2 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 0 Años Figura 12. Ventas entre 1900 y 2014 En la mayoría de los casos es difícil obtener una tendencia lineal, por lo general sea las ventas, los ingreso, la producción u otra variable en función del tiempo presentan una variación irregular, razón por la que la tendencia del promedio móvil no representa una línea recta como se muestra en el ejemplo a continuación. Además se debe considerar la naturaleza de los datos que pueden ser mensuales en este caso el promedio móvil se sugiere que se lo tome para los doce meses, o incluso la información la podemos tener diaria, que la relacionaríamos con el número de días de la semana. En la tabla expuesta a continuación los ingresos por Página 149 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. ventas son anuales y está calculado el promedio móvil para tres y cinco años. Para calcular el primer valor del promedio móvil para tres años (azul), sume las tres primero datos y divida para tres (8 + 9 + 11)/3 = 9.33 y el promedio móvil para cinco años (amarillo) (8 + 9 + 11 + 15 + 6)/5 = 9.80. El promedio móvil para cuatro años se debe encontrar un doble promedio (violeta) y colocar en la ubicación mitad del número de años más uno. (4/2) + 1 = 3; encuentre el promedio los cuatro primeros datos de los Ingresos por Ventas (8 + 9 + 11 + 15)/4 = 10.75 ; luego parta del segundo valor y calculo el promedio de los siguientes cuatro datos (9 + 11 + 15 + 6)/4 = 10.25; finalmente calcule el promedio de los dos promedios (10.75 + 10.25)/2 = 10.50. Continúe con el procedimiento como se indica en la tabla. Tabla 7 CÁLCULO DEL PROMEDIO MÓVIL DE 3, 5 Y 4 AÑOS Luego de calcular los datos lo ideal es representarlos en una gráfica. Al observar el promedio móvil de los ingresos agrupados en tres años, cuatro y el de cinco años, este último tiene una tendencia más suave, por lo que se observa que mientras mayores Página 150 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. sea la cantidad de datos que agrupemos para el promedio móvil la tendencia está mejor representada. Figura 13 Ingreso por ventas 4.5.3 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL PONDERADO El pronóstico de promedio móvil es óptimo para patrones de demanda aleatoria o nivelada donde se pretende eliminar el impacto de los elementos irregulares históricos mediante un enfoque en períodos de demanda reciente. Ejemplo de aplicación 12 En el promedio móvil las ponderaciones son las mismas para todos los datos si ponderamos para tres años sumamos los tres valores y dividimos para tres cada valor tiene una ponderación de 1/3, mientras que en el promedio ponderado cada valor tiene una ponderación según la necesidad, la consideración que podría tomarse en cuenta es la necesidad de que al calcular el promedio móvil éste se encuentra entre los valores tomados. Si bien la tendencia se ha suavizado, existe la necesidad de que el promedio se aproxime al valor del período final. El promedio móvil obtenemos al sumar los clientes de los tres primeros años y dividirlo para tres (4,511 + 4,898 + 5,533)/3 = 4,980.67 Las ponderaciones para este ejemplo son de 0.1; 0.2; 0.7, que suma 1; para cada uno de los períodos la ponderación es diferente tomando en cuenta que la ponderación del último año es mayor. Página 151 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. El promedio móvil ponderado obtenemos al sumar los clientes de los tres primero años multiplicados por la ponderación y dividirlo para tres (4,511(0.1) + 4,898(0.20) + 5,533(0.7))/3 = 5,303.80. En la tabla siguiente del ejemplo se observa en 1999 existieron 10,200 clientes y el promedio móvil fue de 8,776.33, mientras que el promedio ponderado de 9,278 que se aproxima más a los clientes en ese año. La grafica muestra como el promedio móvil ponderado se aproxima más al número de clientes. Figura 14. Promedio móvil ponderado para diferentes periodos. Página 152 ESTADÍSTICA BÁSICA I Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V. BIBLIOGRAFÍA Anderson, D., Sweeney, D., & Williams, T. (2008). Estadística para administración y economía. Mexico D.F.: CENAGE Learning. Aula Fácil. (28 de 12 de 2015). Curso de Estadística. Obtenido de http://www.aulafacil.com/cursos/l11221/ciencia/estadisticas/estadi sticas/coeficiente-de-curtosis Cabrera, F. A. (24 de 12 de 2015). 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