rectas planos r3

PREFACIO
En los espacios vectoriales reales 3-dimensionales o el espacio o
simplement 𝑅 3 se tienen los vectores, las recta y los planos entre otros .
En estas dos ultimas decadas el enfoque vectorial es el preferido por los
estudiantes de ingeniería, por una razón simple, los temas de los cursos de
ingenieria requieren de una interpretación conceptual y gráfica en la forma
vectorial.
Lo cual, es motivo mas que suficiente, para presentar los vectores, las
rectas y los planos en el espacio tridimensional de manera grafica y conceptual
como tema a desarrollar en el curso de Complemento de Matemática en
Ingenieria.
A continuacion bao el enfoque vectorial se desarrollan las definiciones,
propiedades, y algunas aplicaciones de los vectores, rectas y el plano en 𝑅 3
Este sexto trabajo queda ha vuestra disposición, especialmente de los
estudiantes de Ingeniería Mecánica y de Energía de la Universidad Nacional del
Callao.
El autor.
INDICE
1.
VECTORES EN EL ESPACIO R3 ........................................................................................................ 2
1.1 PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE VECTORES ............................................................................. 5
1.2 PRODUCTO ESCALAR .......................................................................................................................... 5
1.3 PRODUCTO VECTORIAL ...................................................................................................................... 5
1.3.1 PROPIEDADES ............................................................................................................................. 5
1.4 TRIPLE PRODUCTO ESCALAR .............................................................................................................. 7
1.4.1 PROPIEDADES. ............................................................................................................................ 8
1.4.2 TORQUE ..................................................................................................................................... 9
2.
LA RECTA EN EL ESPACIO R3 ........................................................................................................ 13
2.1 DIVERSAS ECUACIONES DE LA RECTA ............................................................................................... 13
2.2 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS .......................................................................................... 15
2.2.1 RECTAS PARALELAS .................................................................................................................. 15
2.2.2 RECTAS ORTOGONALES............................................................................................................ 15
2.2.3 RECTAS QUE SE INTERSECTAN ................................................................................................. 15
2.2.4 RECTAS QUE SE CRUZAN .......................................................................................................... 15
2.2.5 ANGULO ENTRE RECTAS ........................................................................................................... 17
2.3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA .......................................................................................... 18
2.4 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN ............................................................................. 19
3.
EL PLANO EN EL ESPACIO R3 ........................................................................................................ 20
3.1 DIVERSAS ECUACIONES DEL PLANO ................................................................................................. 20
3.1.1 VECTOR NORMAL AL PLANO .................................................................................................... 20
3.2 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS ......................................................................................... 22
3.2.1 PLANOS PARALELOS ................................................................................................................. 22
3.2.2 PLANOS ORTOGONALES ........................................................................................................... 22
3.2.3 ANGULO ENTRE DOS PLANOS .................................................................................................. 22
3.3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO ............................................................................................ 23
3.4 POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO ................................................................. 23
3.4.1 RECTA PARALELA A UN PLANO ................................................................................................ 23
3.4.2 RECTA ORTOGONAL A UN PLANO ............................................................................................ 23
3.5 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO NO PARALELOS............................................................ 24
3.6 DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS............................................................................................ 24
4.
REFERENCIALES ........................................................................................................................... 31
1
VECTORES, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO R3
1. VECTORES EN EL ESPACIO R3
Los vectores en el espacio vectorial 𝑅 3 , son aquellos vectores de 𝑅 𝑛 con 𝑛 = 3. Las
definiciones y propiedades de vectores son las mismas, sólo que los vectores ahora
presentan tres componentes. Se hace notar, que la construcción de un vector
ortogonal a partir de un vector dado, en 𝑅 3 no es posible.
Antes de continuar con algunas definiciones y propiedades propias de 𝑅 3 , veamos
algunos ejercicios con vectores en 𝑅 3 .
Ejercicio 1. Los puntos 𝐴(1,1,1), 𝐵(5,7,9), 𝐶(6,7,8) y 𝐷(7,5,9) determinan un
tetraedro. Si desde los vértices A y D parten simultáneamente dos móviles con
dirección al baricentro de la cara ABC, cada uno con una velocidad de √2 unidades
por segundo. Cuál es el punto en el que se encuentra el móvil que partió de D, cuando
el móvil que partió de A llega al baricentro.
Se desea hallar el punto 𝑃 en el que se encuentra el 𝐷
móvil que partió del vértice 𝐷, en la figura, cuando
𝐶
el móvil que parte del vértice A llega al baricentro 𝐺 =
∙𝐺
1
3
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)
𝐵
𝑃
Es decir;
𝐴
1
𝐺 = 3 ((1,1,1) + (5,7,9) + (6,7,8)) ↝ 𝐺 = (4,5,6) Hallemos el tiempo en el que el
móvil que parte de A llega a G
𝑡=
̅̅̅̅ ‖
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑎 𝐺 ‖𝐴𝐺
=
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
√2
̅̅̅̅ ‖ = 5√2
Donde; ̅̅̅̅
𝐴𝐺 = 𝐺 − 𝐴 = (4,5,6) − (1,1,1) = (3,4,5), ‖𝐴𝐺
Luego 𝑡 =
5√2
√2
= 5 segundos, tiempo en el cual el móvil que parte de A llega a G.
Ahora, el móvil que parte de D en 5 segundos se encuentra en el punto P.
Esto es;
̅̅̅̅‖𝑢̅
𝑃 = 𝐷 + ‖𝐷𝑃
Donde;
̅̅̅̅‖ = (𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑)(𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜) = 5√2
‖𝐷𝑃
̅̅̅̅ ‖ = 3√2
𝑢̅ ∕∕ ̅̅̅̅
𝐷𝑃 ∕∕ ̅̅̅̅
𝐷𝐺 = 𝐺 − 𝐷 = (4,5,6) − (7,5,9) = (−3,0, −3), ‖𝐷𝐺
Entonces
2
𝑢̅ =
̅̅̅̅
𝐷𝐺
1
(−3,0,3)
=
̅̅̅̅ ‖ 3√2
‖𝐷𝐺
Por lo que;
𝑃 = (7,5,9) + 5√2
1
3√2
(−3,0,3) = (2,5,4)
Finalmente, el móvil que partió del vértice D, cuando el que partió del vértice A llega
al baricentro G, se encuentra en el punto 𝑃(2,5,4).
Ejercicio 2. Sean los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅ en 𝑅 3 con ‖𝑎̅‖ = 4 y ‖𝑏‖ = 3. El ángulo entre
𝜋
𝑎̅ y 𝑏̅ es 3 . Halle:
a)
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅ (2𝑎̅ − 3𝑏̅ )
b)
El área del paralelogramo formado por los vectores 2𝑎̅ − 3𝑏̅ y 3𝑎̅ + 2𝑏̅.
c)
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅+𝑏̅ (3𝑎̅ − 2𝑏̅ )
a)
Recordamos la definición de la componente de un vector en la dirección de
otro vector no nulo. Es decir;
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅ (2𝑎̅ − 3𝑏̅) =
(2𝑎̅ − 3𝑏̅) ∙ 𝑎̅ 2𝑎̅ ∙ 𝑎̅ − 3𝑏̅ ∙ 𝑎̅
=
‖𝑎̅‖
‖𝑎̅‖
También recordamos; 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = ‖𝑎̅‖‖𝑏̅‖𝑐𝑜𝑠𝜃, entonces
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅ (2𝑎̅ − 3𝑏̅) =
𝜋
2‖𝑎̅‖2 − 3 (‖𝑎̅‖‖𝑏̅‖𝑐𝑜𝑠 ( 3))
‖𝑎̅‖
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅ (2𝑎̅ − 3𝑏̅) =
b)
=
1
2(4)2 − 3 (4(3) 2)
4
7
2
Recordamos que el área de un paralelogramo formado por los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅
esta dado por:
2
𝐴 = √‖𝑎̅‖2 ‖𝑏̅‖ − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)
2
Ahora el área del paralelogramo formado por los vectores 2𝑎̅ − 3𝑏̅ y 3𝑎̅ + 2𝑏̅
es;
2
2
2
𝐴 = √‖2𝑎̅ − 3𝑏̅ ‖ ‖3𝑎̅ + 2𝑏̅‖ − ((2𝑎̅ − 3𝑏̅) ∙ (3𝑎̅ + 2𝑏̅))
2
2
2 2
𝐴 = √(4‖𝑎̅‖2 − 12𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 9‖𝑏̅‖ ) (9‖𝑎̅‖2 + 12𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + 4‖𝑏̅‖ ) − (6‖𝑎̅‖2 − 5𝑎̅ ∙ 𝑏̅ − 6‖𝑏̅‖ )
2
1
1
1
𝐴 = √(4(4)2 − 12(4)(3) + 9(3)2 ) (9(4)2 + 12(4)(3) + 4(3)2 ) − (6(4)2 − 5(4)(3) − 6(3)2 )
2
2
2
3
𝐴 = √18252
(3𝑎̅−2𝑏̅ )∙(𝑎̅+𝑏̅)
3𝑎̅∙𝑎̅−2𝑎̅∙𝑏̅+3𝑎̅∙𝑏̅ −2𝑏̅ ∙𝑏̅
c) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅+𝑏̅ (3𝑎̅ − 2𝑏̅ ) =
=
‖𝑎̅+𝑏̅‖
‖𝑎̅+𝑏̅‖
2
π
2
3‖𝑎̅‖2 + ‖𝑎̅‖‖𝑎̅‖cos ( ) − 2‖𝑏̅‖
3‖𝑎̅‖2 + 𝑎̅ ∙ 𝑏̅ − 2‖𝑏̅‖
3
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅+𝑏̅ (3𝑎̅ − 2𝑏̅) =
=
‖𝑎̅ + 𝑏̅‖
‖𝑎̅ + 𝑏̅‖
Donde:
2
‖𝑎̅ + 𝑏̅‖ = (𝑎̅ + 𝑏̅) ∙ (𝑎̅ + 𝑏̅) = ‖𝑎̅‖2 + 2𝑎̅ ∙ 𝑏̅ + ‖𝑏̅‖
2
𝜋
2
= ‖𝑎̅‖2 + 2‖𝑎̅‖‖𝑏̅‖𝑐𝑜𝑠 ( ) + ‖𝑏̅‖
3
1
= 42 + 2(4)(3) + 32
2
2
‖𝑎̅ + 𝑏̅‖ = 37 ↝ ‖𝑎̅ + 𝑏̅‖ = √37
Entonces
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅+𝑏̅ (3𝑎̅ − 2𝑏̅ ) =
1
3(16) + 4(3) (2) − 2(9)
√37
=
36
√37
Ejercicio 3. Los puntos 𝑃3 (13,8,5) y 𝑃4 (5,8,13) son extremos de una arista de una
de las bases de un paralelepípedo rectangular, siendo 𝑃6 (−5, −20,3) y 𝑃8 los
extremos de una diagonal en la base opuesta. Si ̅̅̅̅̅̅
𝑃3 𝑃8 es una arista lateral y ̅̅̅̅̅̅
𝑃6 𝑃8 =
𝑟(6,3,2), 𝑟 ∈ 𝑅. Cuáles son los otros cinco vértices.
𝑃7
De la figura se tiene que:
̅̅̅̅̅̅
𝑃3 𝑃4 = (−8,0,8) = ̅̅̅̅̅̅
𝑃7 𝑃6
𝑃6
𝑃2
De donde
𝑃7 = 𝑃6 − (−8,0,8) = (−5, −20,3) − (−8,0,8)
𝑃1
𝑃5
𝑃8
Luego el vértice es:
𝑃4
𝑃3
𝑷𝟕 (𝟑, −𝟐𝟎, −𝟓)
Además, en la figura se aprecia que;
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
𝑃𝑟𝑜𝑦̅̅̅̅̅̅̅
𝑃6 𝑃8 𝑃6 𝑃3 = 𝑃6 𝑃8
Donde;
̅̅̅̅̅̅
𝑃6 𝑃8 = 𝑟(6,3,2) , 𝑟 ∈ 𝑅 y ̅̅̅̅̅̅
𝑃6 𝑃3 = (18,28,2)
Luego,
̅̅̅̅̅̅
𝑃𝑟𝑜𝑦̅̅̅̅̅̅̅
𝑃6 𝑃8 𝑃6 𝑃3 = 𝑃𝑟𝑜𝑦(6,3,2) (18,28,2) =
(18,28,2)∙(6,3,2)
‖(6,3,2)‖
(6,3,2) = 𝑟(6,3,2) ↝ 𝑟 = 4
Entonces
̅̅̅̅̅̅
𝑃6 𝑃8 = 4(6,3,2) ↝ 𝑃8 = 𝑃6 + (24,12,8) = (−5, −20,3) + (24,12,8)
4
Obteniéndose el otro vértice
𝑷𝟖 (𝟏𝟗, −𝟖, 𝟏𝟏)
Se observa que;
𝑃5 = 𝑃4 + ̅̅̅̅̅̅
𝑃4 𝑃5 = 𝑃4 + ̅̅̅̅̅̅
𝑃3 𝑃8 ,
̅̅̅̅̅̅
𝑃3 𝑃8 = (19, −8,11) − (13,8,5) = (6, −16,6)
𝑃5 = (5,8,13) + (6, −16,6) ↝ 𝑷𝟓 (𝟏𝟏, −𝟖, 𝟏𝟗)
𝑃1 = 𝑃6 + ̅̅̅̅̅̅
𝑃6 𝑃1 = 𝑃6 + ̅̅̅̅̅̅
𝑃8 𝑃3 ,
̅̅̅̅̅̅
𝑃8 𝑃3 = (13,8,5) − (19, −8,11) = (−6,16, −6)
𝑃1 = (−5, −20,3) + (−6,16, −6) ↝ 𝑷𝟏 (−𝟏𝟏, −𝟒, −𝟑)
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑃2 = 𝑃3 + 𝑃
3 𝑃2 = 𝑃3 + 𝑃4 𝑃1 ,
̅̅̅̅̅̅
𝑃4 𝑃1 = (−11, −4, −3) − (5,8,13) = (−16, −12, −16)
𝑃2 = (13,8,5) + (−16, −12, −16) ↝ 𝑷𝟐 (−𝟑, −𝟒, −𝟏𝟏)
Verificando el vértice hallado anteriormente,
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
𝑃7 = 𝑃8 + 𝑃
8 𝑃7 = 𝑃8 + 𝑃3 𝑃2 , 𝑃3 𝑃2 = (−3, −4, −11) − (13,8,5) = (−16, −12, −16)
𝑃7 = (19, −8,11) + (−16, −12, −16) ↝ 𝑷𝟕 (𝟑, −𝟐𝟎, −𝟓)
1.1 PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE VECTORES
Las definiciones y propiedades para el paralelismo y ortogonalidad de vectores en
𝑅 3 son análogas a las presentadas para 𝑅 𝑛 con 𝑛 = 3.
1.2 PRODUCTO ESCALAR
La definición y propiedades son análogas a las presentadas para 𝑅 𝑛 , sólo que ahora
se tiene 𝑛 = 3.
1.3 PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial de dos vectores 𝑎̅ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y
𝑏̅ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) solo en 𝑅 3 , denotado por 𝑎̅×𝑏̅, se define como
el vector dado por:
̅ = (𝒂𝟐 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑 𝒃𝟐 , 𝒂𝟑 𝒃𝟏 − 𝒂𝟏 𝒃𝟑 , 𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒃𝟏 )
̅ ×𝒃
𝒂
𝑎̅×𝑏̅: Se lee “el producto vectorial de los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅
OBSERVACIONES.
1.
𝑎̅ ∙ (𝑎̅×𝑏̅) = 𝑎1 (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 ) + 𝑎2 (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 ) +
Figura 1. Producto vectorial
de los vectores 𝑎̅ 𝑦 𝑏̅
𝑎3 (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ) = 0 significa que 𝑎̅ ⊥ (𝑎̅×𝑏̅)
2.
𝑏̅ ∙ (𝑎̅×𝑏̅) = 𝑏1 (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 ) + 𝑏2 (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 ) + 𝑏3 (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ) = 0
significa que 𝑏̅ ⊥ (𝑎̅×𝑏̅)
1.3.1 PROPIEDADES
Sean lo vectores 𝑎̅, 𝑏̅, 𝑐̅ en 𝑅 3 y cualesquiera escalares 𝑟 ∈ 𝑅, se tiene
5
1.
𝑎̅×𝑏̅ = −𝑏̅×𝑎̅
2.
(𝑟𝑎̅)×𝑏̅ = 𝑟(𝑎̅×𝑏̅) = 𝑎̅×(𝑟𝑏̅)
3.
𝑎̅×(𝑏̅ + 𝑐̅) = 𝑎̅×𝑏̅ + 𝑎̅×𝑐̅
4.
𝑎̅×(𝑏̅×𝑐̅) = (𝑎̅ ∙ 𝑐̅)𝑏̅ − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)𝑐̅
5.
𝑎̅×𝑎̅ = 𝑜̅ para todo vector 𝑎̅ ∈ 𝑅 3
6.
𝑎̅×(𝑏̅×𝑐̅) ≠ (𝑎̅×𝑏̅)×𝑐̅
7.
𝑎̅×𝑜̅ = 𝑜̅ ×𝑎̅ = 𝑜̅
8.
𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅) = (𝑎̅×𝑏̅) ∙ 𝑐̅
Z
Según las propiedades se tiene
𝑖̅×𝑖̅ = 𝑗̅×𝑗̅ = 𝑘̅×𝑘̅ = 𝑜̅
𝑖̅×𝑗̅ = 𝑘̅ ,
𝑗̅×𝑖̅ = −𝑘̅
𝑗̅×𝑘̅ = 𝑖̅ ,
𝑘̅ ×𝑗̅ = −𝑖̅
𝑘̅×𝑖̅ = 𝑗̅ ,
𝑖̅×𝑘̅ = −𝑗̅
𝑘̅
𝑖̅
Y
X
Figura 2. Producto vectorial
de los vectores 𝑖̅, 𝑗̅ 𝑦 𝑘̅
Ejercicio 4. Demostrar la identidad de Lagrange
2
𝑗̅
2
‖𝑎̅×𝑏̅‖ = ‖𝑎̅‖2 ‖𝑏̅‖ − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)
2
Demostración.
Sean 𝑎̅ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y 𝑏̅ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )
2
‖𝑎̅×𝑏̅‖ = ‖(𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 , 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 , 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )‖2
= (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 )2 + (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 )2 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )2
= (𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 )(𝑏1 2 + 𝑏2 2 + 𝑏3 2 ) − (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 )2
̅‖2 − (𝑎
̅)2
̅‖2 ‖𝑏
̅∙𝑏
= ‖𝑎
Finalmente,
2
2
2
‖𝑎̅×𝑏̅‖ = ‖𝑏̅‖ ‖𝑎̅‖2 − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅ )
O también
2
‖𝑎̅×𝑏̅‖ = (𝑎̅×𝑏̅) ∙ (𝑎̅×𝑏̅)
= 𝑎̅ ∙ (𝑏̅×(𝑎̅×𝑏̅)) ,
(𝑎̅×𝑏̅) ∙ 𝑐̅ = 𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅)
= 𝑎̅ ∙ [(𝑏̅ ∙ 𝑏̅)𝑎̅ − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)𝑏̅], 𝑎̅×(𝑏̅×𝑐̅) = (𝑎̅ ∙ 𝑐̅)𝑏̅ − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)𝑐̅
2
= ‖𝑏̅‖ 𝑎̅ ∙ 𝑎̅ − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)(𝑎̅ ∙ 𝑏̅)
2
= ‖𝑏̅‖ ‖𝑎̅‖2 − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅ )
2
Finalmente,
6
2
2
‖𝑎̅×𝑏̅‖ = ‖𝑏̅‖ ‖𝑎̅‖2 − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅ )
2
Ejercicio 5. Determinar una fórmula para calcular el área de un paralelogramo cuyos
lados están representados por los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅.de 𝑅 3.
Recordamos que el área del paralelogramo es el producto de la base por la altura, por
lo que en la figura se observa
𝐴𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = ‖𝑎̅‖‖𝑏‖𝑠𝑒𝑛𝜃
Recordamos
𝑎̅ ∙ 𝑏̅ = ‖𝑎̅‖‖𝑏̅‖𝑐𝑜𝑠𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
𝑎̅×𝑏̅
𝑏̅
Y de la identidad de Lagrange
2
2
2
‖𝑎̅×𝑏̅‖ = ‖𝑏̅‖ ‖𝑎̅‖2 − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)
𝜃
‖𝑏̅‖𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑎̅
Se tiene:
2
2
‖𝑎̅×𝑏̅ ‖ = ‖𝑏̅‖ ‖𝑎̅‖2 − (‖𝑎̅‖‖𝑏̅‖𝑐𝑜𝑠𝜃 )
2
2
2
= ‖𝑏̅‖ ‖𝑎̅‖2 − ‖𝑎̅‖2 ‖𝑏̅‖ 𝑐𝑜𝑠 2
2
= ‖𝑏̅‖ ‖𝑎̅‖2 (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 )
2
= ‖𝑏̅‖ ‖𝑎̅‖2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
Finalmente,
2
2
‖𝑎̅×𝑏̅‖ = ‖𝑏̅‖ ‖𝑎̅‖2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
Con lo cual se ha demostrado que el área del paralelogramo es la norma o longitud
del vector 𝑎̅×𝑏̅ .
Es decir
𝐴𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = ‖𝑎̅×𝑏̅‖
Y el área del triángulo cuyos lados están representados por los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅ está
𝑏̅
dado por
𝐴∆ =
1
‖𝑎̅×𝑏̅‖
2
NOTA. Dos vectores 𝑎̅ y 𝑏̅ de 𝑅 3 son paralelos si y sólo si 𝑎̅×𝑏̅ = 0̅
𝑎̅
1.4 TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
El producto mixto o triple producto escalar de los vectores 𝑎̅, 𝑏̅ y 𝑐̅ de 𝑅 3 ,
denotado por [𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅], se define como es número dado por:
̅ 𝒄̅] = 𝒂
̅×𝒄̅)
̅𝒃
̅ ∙ (𝒃
[𝒂
7
NOTA. La expresión (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)×𝑐̅ no tiene significado alguno
1.4.1 PROPIEDADES.
1.
[𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] = [𝑏̅ 𝑐̅ 𝑎̅] = [𝑐̅ 𝑎̅ 𝑏̅]
2.
[𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] = 𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅) = 𝑏̅ ∙ (𝑐̅×𝑎̅) = 𝑐̅ ∙ (𝑎̅×𝑏̅)
3.
[𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] = 𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅) = ‖𝑏̅×𝑐̅‖𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏̅×𝑐̅ 𝑎̅
NOTAS.
1. Tres vectores 𝑎̅, 𝑏̅ y 𝑐̅ de 𝑅 3 son linealmente dependientes si y sólo si
[𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] = 𝑎̅ ∙ (𝑏̅× 𝑐̅) = 0
2. La dependencia lineal de tres vectores es equivalente a que los tres vectores
sean paralelos a un mismo plano.
Ejercicio 6. Determinar una fórmula para calcular el volumen del paralelepípedo de
arista lateral el vector 𝑎̅ y cuya base tiene lados representados por los vectores 𝑏̅ y 𝑐̅.
En
la
figura,
el
volumen
del
paralelepípedo es el producto del área de
la base por la altura.
𝑏̅×𝑐̅
𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏̅×𝑐̅𝑎̅
𝑎̅
𝑉 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
El área de la base, es el área del paralelogramo
determinado por los vectores 𝑏̅ y 𝑐̅
𝑐̅
𝑏̅
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 = ‖𝑏̅×𝑐̅‖
La altura del paralelepípedo es la norma, de la proyección ortogonal del vector 𝑎̅
sobre el vector 𝑏̅×𝑐̅
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = ‖𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏̅×𝑐̅ 𝑎̅‖
Luego, el volumen del paralelepípedo está dado por
𝑉 = ‖𝑏̅×𝑐̅‖‖𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏̅×𝑐̅ 𝑎̅‖
𝑉 = ‖𝑏̅×𝑐̅‖ ‖
𝑉 = ‖𝑏̅×𝑐̅‖ |
𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅) 𝑏̅ ×𝑐̅
‖
‖𝑏̅×𝑐̅‖ ‖𝑏̅×𝑐̅‖
𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅)
𝑏̅×𝑐̅
|‖
‖
‖𝑏̅×𝑐̅‖
‖𝑏̅×𝑐̅‖
̅
̅
𝑎̅∙(𝑏 ×𝑐̅)
𝑏 ×𝑐̅
𝑉 = ‖𝑏̅×𝑐̅‖ | ‖𝑏̅×𝑐̅‖ | , ‖‖𝑏̅×𝑐̅‖‖ = 1
𝑉 = ‖𝑏̅×𝑐̅‖
1
‖𝑏̅×𝑐̅‖
|𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅)|
8
𝑉 = |𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅)|
Finalmente, el volumen del paralelepípedo es
̅ 𝒄̅]|
̅𝒃
𝑽 = |[𝒂
1.4.2 TORQUE
Al aplicar una fuerza en una llave inglesa al final del brazo lo más lejos del
perno causa el movimiento de atornillar en dirección perpendicular al plano
determinado por el brazo de la llave y la dirección de tu fuerza (se asume que
el plano existe). Para medir cuanto atornillamos, necesitamos la noción de
torque (o fuerza de torsión) (COLLEY, 1998).
En particular, si el vector 𝐹̅ representa a la fuerza aplicada a la llave inglesa,
Se tiene
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐹̅ 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = (
)(
)
𝑙𝑙𝑎𝑣𝑒 𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠𝑎
𝑎 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑣𝑒 𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠𝑎
Sea 𝑎̅ el vector que representa, desde el centro de la cabeza del perno hasta el
final del brazo de la llave inglesa. Entonces
𝑎̅
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖𝑎̅‖𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅⊥ 𝐹̅
𝜃
‖𝐹̅ ‖𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝐹̅ ∙ 𝑎̅⊥
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖𝑎̅‖ ⊥
‖𝑎̅ ‖
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖𝑎̅‖
𝐹̅
Figura 3: El torque sobre el perno
̅
̅ ×𝑭
es el vector 𝒂
1
𝜋
‖𝐹̅ ‖‖𝑎̅⊥ ‖𝑐𝑜𝑠 ( − 𝜃) , ∡(𝑎̅, 𝐹̅ ) = 𝜃
⊥
‖𝑎̅ ‖
2
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖𝑎̅‖‖𝐹̅ ‖𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Recordamos que
‖𝑎̅×𝑏̅‖=‖𝑏̅‖‖𝑎̅‖𝑠𝑒𝑛𝜃
Por lo que
̅‖
̅×𝑭
𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 = ‖𝒂
Se observa que la dirección de 𝑎̅×𝐹̅ es igual a la dirección en la que se esta
atornillando el perno (se asume la regla de la mano derecha sobre el perno).
̅ como:
Por consiguiente, es completamente natural definir el vector torque 𝑻
9
̅=𝒂
̅
̅×𝑭
𝑻
El vector torque 𝑇̅ es la manera precisa de representar la situación física.
NOTA. Si 𝐹̅ es paralelo al vector 𝑎̅, entonces 𝑇̅ = 𝑜̅ . Lo cual indica que por
más que presionemos la llave inglesa el perno no gira.
Ejercicio 7. Arturo está cambiando un neumático. La llave es posicionada en uno de
los pernos de la rueda y hace un ángulo de 30° con la horizontal. Arturo ejerce una
fuerza de 40 lb hacia abajo para aflojar el perno.
a)
Si la longitud del brazo de la llave es un pie, ¿Qué cantidad de torque se imparte
al perno?
b) Si se cambia la llave por una de 18 pulgadas de longitud, ¿Qué cantidad de
torque se imparte al perno?
En la figura, el brazo de la llave es paralelo al vector
𝑎̅ = (‖𝑎̅‖𝑐𝑜𝑠𝜃, ‖𝑎̅‖𝑠𝑒𝑛𝜃, 0)
𝑎̅
°
Y la fuerza está representada por el vector
30
40 𝑙𝑏
𝐹̅
𝐹̅ = ‖𝐹̅ ‖(0,1,0) = 40(0,1,0) = (0,40,0)
a) Se desea hallar la cantidad de torque
que se imparte al perno.
̅‖
̅×𝑭
𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 = ‖𝒂
La longitud del brazo de la llave es ‖𝑎̅‖ = 1 𝑝𝑖𝑒, entonces
𝜋
𝜋
√3 1
𝑎̅ = ((1)𝑐𝑜𝑠 ( ) , (1)𝑠𝑒𝑛 ( ) , 0) = ( , , 0)
6
6
2 2
Luego
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖𝑎̅×𝐹̅ ‖
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖(
√3 1
, , 0) ×(0,40,0)‖
2 2
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖(0,0,
40√3
)‖
2
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = 20√3 𝑝𝑖𝑒 − 𝑙𝑏
b) La longitud del brazo de la llave es ‖𝑎̅‖ = 18 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠, entonces
𝜋
𝜋
𝑎̅ = ((18)𝑐𝑜𝑠 ( ) , (18)𝑠𝑒𝑛 ( ) , 0) = (9√3, 9,0)
6
6
Luego
10
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖𝑎̅×𝐹̅ ‖
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖(9√3, 9,0)×(0,40,0)‖
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = ‖(0,0,360√3)‖
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = 360√3 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 − 𝑙𝑏
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = 30√3 𝑝𝑖𝑒𝑠 − 𝑙𝑏
Ejercicio 8. Sean 𝑎̅, 𝑏̅ y 𝑐̅ vectores en 𝑅 3 . Demostrar que:
[𝑎̅ 𝑎̅×(𝑎̅×𝑏̅) 𝑐̅] = −‖𝑎̅‖2 [𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅]
Demostración.
[𝑎̅ 𝑎̅×(𝑎̅×𝑏̅) 𝑐̅] = 𝑎̅ ∙ ((𝑎̅×(𝑎̅×𝑏̅)) ×𝑐̅) pues[𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] = 𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅)
= 𝑎̅ ∙ (((𝑎̅ ∙ 𝑏̅)𝑎̅ − (𝑎̅ ∙ 𝑎̅)𝑏̅) ×𝑐̅) pues 𝑎̅×(𝑏̅×𝑐̅) = (𝑎̅ ∙ 𝑐̅)𝑏̅ − (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)𝑐̅
= 𝑎̅ ∙ ((𝑎̅ ∙ 𝑏̅)𝑎̅×𝑐̅ − (𝑎̅ ∙ 𝑎̅)𝑏̅×𝑐̅) pues 𝑎̅×(𝑏̅ + 𝑐̅) = 𝑎̅×𝑏̅ + 𝑎̅×𝑐̅
(𝑟𝑎̅)×𝑏̅ = 𝑟(𝑎̅×𝑏̅) = 𝑎̅×(𝑟𝑏̅)
= (𝑎̅ ∙ 𝑏̅)𝑎̅ ∙ (𝑎̅×𝑐̅) − (𝑎̅ ∙ 𝑎̅)𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅) pues {
𝑎̅×(𝑏̅ + 𝑐̅) = 𝑎̅×𝑏̅ + 𝑎̅×𝑐̅
= −(𝑎̅ ∙ 𝑎̅)𝑎̅ ∙ (𝑏̅×𝑐̅) pues 𝑎̅ ∙ (𝑎̅×𝑐̅) = 0
= −‖𝑎̅‖2 [𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅]
Por lo tanto,
[𝑎̅ 𝑎̅×(𝑎̅×𝑏̅) 𝑐̅] = −‖𝑎̅‖2 [𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅]
Ejercicio 9. Sean A, B y C vectores en 𝑅 3 tales que 𝐴 = 𝐵 + 𝐶, donde B pertenece
̅̅̅̅ es el vector proyección
al plano que pasa por el origen O y tiene normal N. Si 𝑂𝑄
̅̅̅̅‖ ≤ ‖𝑂𝐶
̅̅̅̅ ‖.
de ̅̅̅̅
𝑂𝐴 sobre N, demostrar que ‖𝑂𝑄
Demostración.
En la figura
𝑁
𝐴=𝐵+𝐶
̅̅̅̅
̅̅̅̅ + 𝑂𝐶
̅̅̅̅
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵
𝐴
̅̅̅̅
𝑂𝑄
̅̅̅̅ ∙ 𝑁
𝑂𝐴
̅̅̅̅ = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑁 ̅̅̅̅
𝑂𝑄
𝑂𝐴 =
𝑁
‖𝑁‖2
𝑂
𝐶
𝐵
̅̅̅̅ = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑁 (𝑂𝐵
̅̅̅̅ + 𝑂𝐶
̅̅̅̅ ) = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑁 ̅̅̅̅
𝑂𝑄
𝑂𝐵 + 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑁 ̅̅̅̅
𝑂𝐶
̅̅̅̅ =
𝑂𝑄
̅̅̅̅ =
𝑂𝑄
̅̅̅̅ ∙ 𝑁
̅̅̅̅ ∙ 𝑁
𝑂𝐵
𝑂𝐶
𝑁
+
𝑁
‖𝑁‖2
‖𝑁‖2
̅̅̅̅ ∙ 𝑁
𝑂𝐶
𝑁,
‖𝑁‖2
̅̅̅̅ ⊥ 𝑁 ↭ 𝑂𝐵
̅̅̅̅ ∙ 𝑁 = 0
𝑂𝐵
Sacamos norma en ambos miembros se tiene;
11
̅̅̅̅ ‖ = ‖
‖𝑂𝑄
̅̅̅̅ ‖ =
‖𝑂𝑄
1
̅̅̅̅
|𝑂𝐶
‖𝑁‖
̅̅̅̅ ∙ 𝑁
̅̅̅̅ ∙ 𝑁
̅̅̅̅ ∙ 𝑁
𝑂𝐶
𝑂𝐶
𝑁
𝑂𝐶
1
̅̅̅̅ ∙ 𝑁|
|𝑂𝐶
𝑁‖
=
|
|
‖
‖
=
|
|
=
‖𝑁‖2
‖𝑁‖
‖𝑁‖
‖𝑁‖
‖𝑁‖
1
̅̅̅̅ ‖‖𝑁‖, por la desigualdad de Schwarz
∙ 𝑁| ≤ ‖𝑁‖ ‖𝑂𝐶
Finalmente,
̅̅̅̅‖ ≤ ‖𝑂𝐶
̅̅̅̅ ‖
‖𝑂𝑄
12
2. LA RECTA EN EL ESPACIO R3
DEFINICIÓN. La recta 𝐿 es el conjunto de puntos de 𝑅 3 definido por:
𝐿 = {𝑃 ∈ 𝑅 3 ⁄𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑎̅ ; 𝑡 ∈ 𝑅}
𝑍
Dónde
𝑃0 ; es un punto de paso de la recta 𝐿
𝑃0
𝑎̅ ; es un vector direccional de la recta 𝐿
𝑎̅
𝑌
2.1 DIVERSAS ECUACIONES DE LA RECTA
De la definición de la recta 𝐿 se tiene
𝑃 ∈ 𝐿 ⟺ 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑎̅ ,
𝑋
𝐿
Figura 4: La recta 𝑳 en 𝑹𝟑 con
punto de paso 𝑃0 y vector
direccional 𝑎̅
𝑡∈𝑅
Y la expresión
̅ ,𝒕 ∈ 𝑹
𝑳: 𝑷 = 𝑷𝟎 + 𝒕𝒂
Es llamada ecuación vectorial de la recta 𝑳.
Sean 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y 𝑎̅ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) entonces la recta L resulta
𝐿: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝑡(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ), 𝑡 ∈ 𝑅
De donde
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒕𝒂𝟏
𝑳: {𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒕𝒂𝟐 ,
𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒕𝒂𝟑
𝒕∈𝑹
Expresión llamada ecuación paramétrica de la recta L.
Despejando el parámetro 𝑡 e igualando se obtiene
𝒙 − 𝒙 𝟎 𝒚 − 𝒚𝟎 𝒛 − 𝒛 𝟎
𝑳:
=
=
𝒂𝟏
𝒂𝟐
𝒂𝟑
Expresión llamada ecuación simétrica de la recta L.
Los números 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 se llaman números directores de la recta L.
Además, sea 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 )
P2
P1

L


Figura 5. Números, ángulos y cosenos directores de la recta
𝐿
De la figura se tiene;
13
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑥2 − 𝑥1
,
̅̅̅̅̅̅
‖𝑃
1 𝑃2 ‖
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝑦2 − 𝑦1
,
̅̅̅̅̅̅
‖𝑃
1 𝑃2 ‖
𝑐𝑜𝑠𝛾 =
𝑧2 − 𝑧1
̅̅̅̅̅̅
‖𝑃
1 𝑃2 ‖
Llamados los cosenos directores de la recta determinada por los puntos 𝑃1 y 𝑃2 ;
𝛼, 𝛽 y 𝛾 son llamado los ángulos directores.
Ejercicio 10. Halle las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica de la recta 𝐿 que
pasa por el punto (1,1,1) y tiene sus tres ángulos directores iguales.
Se desea hallar ecuaciones de la recta de las formas
𝐿: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑎̅ , 𝑡 ∈ 𝑅
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎1
𝑦
𝐿: { = 𝑦0 + 𝑡𝑎2 ,
𝑡∈𝑅
𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑎3
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
𝐿:
=
=
𝑎1
𝑎2
𝑎3
Consideremos el vector unitario
̅ = (𝒄𝒐𝒔𝜶, 𝒄𝒐𝒔𝜷, 𝒄𝒐𝒔𝜸)
𝒖
(1,1,1)
como vector direccional de la recta 𝑳.

Se conoce que; 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 y ‖𝑢̅‖ = 1
L


Luego,
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1
De donde se obtiene
3𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 ↝ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±
1
√3
Entonces
𝑢̅ = (±
1
√3
,±
1
√3
,±
1
) ∕∕ (1,1,1)
√3
Luego;
𝐿: 𝑃 = (1,1,1) + 𝑡(1,1,1), 𝑡 ∈ 𝑅, Ecuación vectorial de la recta.
𝑥 = 1+𝑡
𝐿: {𝑦 = 1 + 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑅, Ecuación paramétrica de la recta
𝑧 = 1+𝑡
𝐿: 𝑥 − 1 = 𝑦 − 1 = 𝑧 − 1, Ecuación simétrica de la recta
Además, la recta pasa por el origen de coordenadas, pues el origen pertenece a la
recta 𝐿 para 𝑡 = −1
14
2.2 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Sean 𝐿1 : 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑎̅ , 𝑡 ∈ 𝑅 y 𝐿2 : 𝑃 = 𝑄0 + 𝑠𝑏̅ , 𝑠 ∈ 𝑅 dos rectas en 𝑅 3 .
Se presentan las siguientes posiciones relativas:
2.2.1 RECTAS PARALELAS
Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 son paralelas (𝐿1 ∕∕ 𝐿2 ) si y sólo si
los vectores direccionales 𝑎̅ y 𝑏̅ son paralelos.
𝐿2
𝑏̅
𝐿1
𝑎̅
𝐿1 ∕∕ 𝐿2 ⟺ 𝑎̅ ∕∕ 𝑏̅
Figura 6. Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 son paralelas
2.2.2 RECTAS ORTOGONALES
Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 son ortogonales(𝐿1 ⊥ 𝐿2 ) si y sólo
si los vectores direccionales 𝑎̅ y 𝑏̅ son ortogonales.
𝐿2
𝑏̅
𝐿1 ⊥ 𝐿2 ⟺ 𝑎̅ ⊥ 𝑏̅
𝑎̅
𝐿1
Figura 7. Las rectas 𝐿1 y
𝐿2 son ortogonales
2.2.3 RECTAS QUE SE INTERSECTAN
Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 se interceptan si y sólo si [𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] = 0 donde 𝑐̅ = ̅̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑄0
𝑏̅
𝑃0
𝐿2
𝑐̅
𝑄0
𝑎̅
𝐿1
Figura 8. Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 se intersectan
2.2.4 RECTAS QUE SE CRUZAN
Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 se cruzan si y sólo si [𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] ≠ 0 donde 𝑐̅ = ̅̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑄0
Q0
L2
P0
L
Figura 9. Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 se cruzan
L1
15
La recta 𝐿 tiene como vector direccional al vector 𝑎̅×𝑏̅ y es ortogonal a las
rectas 𝐿1 y 𝐿2 .
Ejercicio 11. Dadas las rectas
𝐿1 : 𝑃 = (0,1,2) + 𝑡(1,1,1), 𝑡 ∈ 𝑅
𝐿2 : 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 0
Determinar si las rectas se interceptan o se cruzan. Si se interceptan hallar el punto
de intersección, si se cruzan hallar la recta ortogonal a 𝐿1 y a 𝐿2 .
De 𝐿1 se tiene: 𝑎̅ = (1,1,1), 𝑃0 (0,1,2)
De 𝐿2 se tiene: 𝑏̅ = (1,1,0) , 𝑄0 (0,0,0)
Obteniéndose: 𝑐̅ = ̅̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑄0 = (0, −1, −2)
Luego
𝐿1 y 𝐿2 se interceptan si y sólo si [𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] = 0
𝐿1 y 𝐿2 se cruzan si y sólo si [𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] ≠ 0
Veamos,
[𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] = (1,1,1) ∙ ((1,1,0)×(0, −1, −2)) = (1,1,1) ∙ (−2,2, −1) = −1 ≠ 0
Por lo que 𝐿1 y 𝐿2 se cruzan.
Ahora, hallemos la recta 𝐿 ortogonal a las rectas 𝐿1 y 𝐿2
Q0
L2
S
R
P0
L
L1
En la figura
𝐿: 𝑃 = 𝑅 + 𝑟(𝑎̅×𝑏̅) , 𝑟 ∈ 𝑅
Donde
𝑅 = 𝑃0 + 𝑡𝑎̅ , 𝑡 ∈ 𝑅 ↝ 𝑅 = (0,1,2) + 𝑡(1,1,1), 𝑡 ∈ 𝑅
𝑆 = 𝑄0 + 𝑠𝑏̅ , 𝑠 ∈ 𝑅 ↝ 𝑆 = (0,0,0) + 𝑠(1,1,0) 𝑠 ∈ 𝑅
Entonces
̅̅̅̅ = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑎̅×𝑏̅ ̅̅̅̅̅̅
𝑅𝑆
𝑃0 𝑄0 =
(0, −1, −2) ∙ (−1,1,0)
1
(−1,1,0) = − (−1,1,0)
2
‖(−1,1,0)‖
2
Luego
16
1
𝑠(1,1,0) − (0,1,2) − 𝑡(1,1,1) = (1, −1,0)
2
1
𝑠(1,1,0) − 𝑡(1,1,1) = (1,1,4)
2
1
𝑠−𝑡 =
2
3
1 ↝ 𝑡 = −2, 𝑠 = −
2
𝑠−𝑡 =
2
{ −𝑡 = 2
Obteniéndose los puntos
𝑅 = (0,1,2) + (−2)(1,1,1) = (−2, −1,0)
3
3 3
𝑆 = (0,0,0) + (− ) (1,1,0) = (− , − , 0)
2
2 2
Finalmente, la recta 𝐿 esta dada por;
𝐿: 𝑃 = (−2, −1,0) + 𝑟(1,1,1)×(1,1,0), 𝑟 ∈ 𝑅
𝑳: 𝑷 = (−𝟐, −𝟏, 𝟎) + 𝒓(−𝟏, 𝟏, 𝟎), 𝒓 ∈ 𝑹
2.2.5 ANGULO ENTRE RECTAS
Sean
𝐿1 : 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑎̅ , 𝑡 ∈ 𝑅 y 𝐿2 : 𝑃 = 𝑄0 + 𝑠𝑏̅ , 𝑠 ∈ 𝑅
Dos rectas en 𝑅 3 . Se define el ángulo entre las rectas como aquel ángulo que
forman sus vectores direccionales.
Es decir,
∡(𝐿1 , 𝐿2 ) = ∡(𝑎̅, 𝑏̅) = 𝜃
Y queda completamente determinado por:
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎̅ ∙ 𝑏̅
‖𝑎̅‖‖𝑏̅‖
NOTA. Si 𝐿1 y 𝐿2 se cruzan, el ángulo entre ellas se determina trazando una
recta 𝐿, paralela a cualquiera de ellas y que pase por un punto cualquiera de
la otra recta, luego el ángulo está formado por la recta 𝐿 y la recta con la que
tienen el punto común.
17
2.3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Sea L: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑎̅ , 𝑡 ∈ 𝑅 una recta y 𝑄 un punto en 𝑅 3 , para determinar la
distancia del punto 𝑄 a 𝐿 se sigue;
𝑄
En la figura, el área del paralelogramo está dado
̅̅̅̅̅
‖𝑃
0 𝑄 ‖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑑(𝑄, 𝐿)
por
𝜃
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝐴 = ‖𝑃
̅‖ = ‖𝑎̅‖‖𝑃
0 𝑄 ×𝑎
0 𝑄 ‖𝑠𝑒𝑛𝜃
De donde
𝑃0
𝑎̅
𝐿
Figura 10. Distancia del punto 𝑄 a la recta 𝐿
̅̅̅̅̅
‖𝑃
̅‖ = ‖𝑎̅‖𝑑(𝑄, 𝐿)
0 𝑄 ×𝑎
Finalmente;
𝒅(𝑸, 𝑳) =
̅̅̅̅̅̅
‖𝑷
̅‖
𝟎 𝑸×𝒂
‖𝒂
̅‖
Ejercicio 12. Halle la distancia entre las rectas:
𝐿1 : 𝑥 − 1 = 7(𝑧 − 3), 𝑦 = 6
𝐿2 : 𝑃 = (4,2,7) + 𝑡(−7,0, −1), 𝑡 ∈ 𝑅
De 𝐿1 se tiene que su vector direccional es 𝑎̅ = (7,0,1) y su punto de paso es
𝑃0 (1,6,3).
De 𝐿2 se tiene que su vector direccional es 𝑏̅ = (−7,0, −1) y su punto de paso es
𝑄(4,2,7)
Como 𝑎̅ ∕∕ 𝑏̅ entonces 𝐿1 ∕∕ 𝐿2 .
Luego la distancia de 𝐿1 a 𝐿2 esta dado por la distancia del punto 𝑄(4,2,7) a 𝐿1
Es decir;
𝑑(𝑄, 𝐿1 ) =
𝑑(𝑄, 𝐿1 ) =
̅̅̅̅̅̅
‖𝑃
̅‖
0 𝑄×𝑎
,
‖𝑎̅‖
̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑄 = (3, −4,4)
‖(3, −4,4)×(7,0,1)‖ ‖(−4,25,28)‖ 5√57 1
=
=
= √114
‖(7,0,1)‖
2
5√2
5√2
18
2.4 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
Sean 𝐿1 : 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑎̅ , 𝑡 ∈ 𝑅 y 𝐿2 : 𝑃 = 𝑄0 + 𝑠𝑏̅ , 𝑠 ∈ 𝑅 dos rectas que se cruzan.
Q0
L2
Q
R0
̅̅̅̅ ‖
𝑑(𝐿1 , 𝐿2 ) = ‖𝑃𝑄
P
P0
L
L1
Figura 11. Distancia entre las rectas que se cruzan 𝐿1 y
𝐿2
En la figura, la distancia (mínima)
de 𝐿1 a 𝐿2 es medida a lo largo de la recta 𝐿
perpendicular a ellas.
Es decir,
̅̅̅̅ ‖ = ‖𝑅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
‖𝑃𝑄
0 𝑄0 ‖ = |𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎̅×𝑏̅ 𝑃0 𝑄0 | = |
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑄0 ∙ (𝑎̅×𝑏̅ )
|[𝑃
̅ 𝑏̅]|
0 𝑄0 𝑎
|=
‖𝑎̅×𝑏̅‖
‖𝑎̅×𝑏̅‖
Finalmente,
𝒅(𝑳𝟏 , 𝑳𝟐 ) =
̅]|
̅̅̅̅̅̅̅
̅𝒃
|[𝑷
𝟎 𝑸𝟎 𝒂
̅‖
̅×𝒃
‖𝒂
Ejercicio 13. Sean las rectas
𝐿1 : 𝑃 = (0,1,2) + 𝑡(1,1,1), 𝑡 ∈ 𝑅
𝐿2 : 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 0
Determinar la distancia (mínima) de 𝐿1 a 𝐿2 .
De la recta 𝐿1 se tiene el vector direccional 𝑎̅ = (1,1,1) y punto de paso 𝑃0 (0,1,2)
De la recta 𝐿2 se tiene el vector direccional 𝑏̅ = (1,1,0) y punto de paso 𝑄0 (0,0,0)
De donde 𝑐̅ = ̅̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑄0 = (0, −1, −2) y 𝑎̅×𝑏̅ = (−1,1,0)
Luego [𝑎̅ 𝑏̅ 𝑐̅] = (0, −1, −2) ∙ ((1,1,1)×(1,1,0)) = −1
Por lo que las recta 𝐿1 y 𝐿2 se cruzan
𝑑(𝐿1 , 𝐿2 ) =
̅̅̅̅̅̅
|[𝑃
̅ 𝑏̅]| |(0, −1, −2) ∙ (−1,1,0)| |−1|
1
0 𝑄0 𝑎
=
=
=
‖(−1,1,0)‖
‖𝑎̅×𝑏̅ ‖
√2
√2
19
3. EL PLANO EN EL ESPACIO R3
DEFINICIÓN. El Plano es un conjunto de puntos 𝑃 en 𝑅 3
que tiene un punto de paso 𝑃0 y dos vectores 𝑎̅ , 𝑏̅ no Z
paralelos en 𝑅 3 tal que
𝑏̅
𝑃0
𝑟𝑎̅ + 𝑠𝑏̅
𝑷
𝑎̅
𝑷 = {𝑃 ∈ 𝑅 3 ⁄𝑃 = 𝑃0 + 𝑟𝑎̅ + 𝑠𝑏̅; 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅}
Y
X
3.1 DIVERSAS ECUACIONES DEL PLANO
Figura 12: El Plano 𝑃 en 𝑅 3con punto
de paso 𝑃0 y vectores generadores
𝑎̅ 𝑦 𝑏̅
De la definición del plano 𝑷
𝑃 ∈ 𝑷 ⟺ 𝑃 = 𝑃0 + 𝑟𝑎̅ + 𝑠𝑏̅; 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅
Luego, la expresión
𝑷: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑟𝑎̅ + 𝑠𝑏̅; 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅
Es llamada la ecuación vectorial del plano P que pasa por el punto 𝑃0 y es
generado por los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅.
Sean 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), 𝑎̅ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y 𝑏̅ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), entonces la
ecuación del plano resulta
𝑃: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝑟(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) + 𝑠(𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ); 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅
De donde
𝑥 = 𝑥0 + 𝑟𝑎1 + 𝑠𝑏1
𝑃: {𝑦 = 𝑦0 + 𝑟𝑎2 + 𝑠𝑏2 ; 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅
𝑧 = 𝑧0 + 𝑟𝑎3 + 𝑠𝑏3
Expresión llamada ecuación paramétrica del plano P.
3.1.1 VECTOR NORMAL AL PLANO
Cualquier vector no nulo 𝑛̅ ortogonal al plano P, es ortogonal a los vectores 𝑎̅
y 𝑏̅, se llama vector normal al plano P.
𝑛̅ = 𝑎̅×𝑏̅
𝑏̅
𝑃0
P
𝑎̅
̅ al plano P
Figura 13: Vector normal 𝒏
En particular un vector normal al plano P es
̅
̅=𝒂
̅×𝒃
𝒏
20
Si 𝑃0 es un punto fijo del plano 𝑷 y P es un punto
𝑛̅ = 𝑎̅×𝑏̅
cualquiera de 𝑷, entonces el vector ̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑃 es ortogonal
𝑏̅
al vector normal 𝑛̅ = 𝑎̅×𝑏̅
P0
Luego la ecuación del plano está dada por
̅̅̅̅̅
𝑃: (𝑃
̅=0
0 𝑃) ∙ 𝑛
𝑃
𝑷
𝑎̅
Figura 14: Ecuación normal del Plano P
Expresión llamada ecuación normal del plano P con punto de paso 𝑃0 y vector
normal 𝑛̅.
Ahora si 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y 𝑛̅ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) se tiene que la ecuación del plano
está dada por
𝑃: (𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0 ) ∙ (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 0
Operando se obtiene,
𝑷: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎
Donde: 𝒅 = −𝒂𝒙𝟎 − 𝒃𝒚𝟎 − 𝒄𝒛𝟎
Expresión llamada ecuación general del plano P con vector normal 𝑛̅ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) y
punto de paso 𝑃0 .
Ejercicio 14. Halle la ecuación; vectorial, paramétrica y general del plano P que pasa
por el punto 𝑃0 (1,2,3) y es paralelo a las rectas
𝐿1 :
𝑥−1 𝑦−2 𝑧−3
=
=
,
3
−1
2
𝐿2 :
𝑥−1 𝑦+2 𝑧+3
=
=
2
5
−3
De la recta 𝐿1 se tiene el vector direccional 𝑎̅ = (3, −1,2)
De la recta 𝐿2 se tiene el vector direccional 𝑏̅ = (2,5, −3)
De donde se aprecia que los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅ son no paralelos, por lo que:
La expresión
𝑷: 𝑃 = (1,2,3) + 𝑟(3, −1,2) + 𝑠(2,5, −3); 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅
Es la ecuación vectorial del plano P.
Si 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) se obtiene;
𝒙 = 𝟏 + 𝟑𝒓 + 𝟐𝒔
𝑷: { 𝒚 = 𝟐 − 𝒓 + 𝟓𝒔 ; 𝒓, 𝒔 ∈ 𝑹
𝒛 = 𝟑 + 𝟐𝒓 − 𝟑𝒔
Expresión llamada ecuación paramétrica del plano P.
De la ecuación normal del plano
̅̅̅̅̅
𝑷: (𝑃
̅=0
0𝑃) ∙ 𝑛
̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑃 = (𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 − 3) y 𝑛̅ = 𝑎̅×𝑏̅ = (3, −1,2)×(2,5, −3) = (−7,13,17)
21
Luego se tiene
𝑷: (𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 − 3) ∙ (−7,13,17) = 0
𝑷: 𝟕𝒙 − 𝟏𝟑𝒚 − 𝟏𝟕𝒛 + 𝟕𝟎 = 𝟎
Expresión llamada la ecuación general del plano P.
3.2 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Sean los planos 𝑃1 : (𝑃
̅1 = 0 y 𝑃2 : (𝑄
̅2 = 0 en 𝑅 3 . Se presentan las
0 𝑃) ∙ 𝑛
0 𝑃) ∙ 𝑛
siguientes posiciones relativas:
3.2.1 PLANOS PARALELOS
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Los planos 𝑃1 : (𝑃
̅1 = 0 y 𝑃2 : (𝑄
̅2 = 0 son paralelos si sus
0 𝑃) ∙ 𝑛
0 𝑃) ∙ 𝑛
vectores normales 𝑛̅1 y 𝑛̅2 son paralelos.
Es decir,
𝑃1 ∕∕ 𝑃2 ⟺ 𝑛̅1 ∕∕ 𝑛̅2
Notas.
• Si 𝑃1 y 𝑃2 son paralelos entonces 𝑃1 = 𝑃2 (coincidentes) o 𝑃1 ∩ 𝑃2 = ∅
(intersección nula)
• Si 𝑃1 y 𝑃2 no son paralelos entonces su intersección es una recta
3.2.2 PLANOS ORTOGONALES
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Los planos 𝑃1 : (𝑃
̅1 = 0 y 𝑃2 : (𝑄
̅2 = 0 son ortogonales si sus
0 𝑃) ∙ 𝑛
0 𝑃) ∙ 𝑛
vectores normales 𝑛̅1 y 𝑛̅2 son ortogonales.
Es decir,
𝑃1 ⊥ 𝑃2 ⟺ 𝑛̅1 ⊥ 𝑛̅2
3.2.3 ANGULO ENTRE DOS PLANOS
̅̅̅̅̅
El ángulo entre los planos 𝑃1 : (𝑃
̅1 = 0
0 𝑃) ∙ 𝑛
𝑛̅2
𝑛̅2
̅̅̅̅̅
y 𝑃2 : (𝑄
̅2 = 0 se define como el
0 𝑃) ∙ 𝑛
ángulo formado entre sus vectores
𝑷𝟐 𝟐
𝜃
𝜃
normales 𝑛̅1 y 𝑛̅2 .
𝑷𝟏
Es decir,
Figura 15: Angulo entre dos planos
∡(𝑃1 , 𝑃2 ) = ∡(𝑛̅1 , 𝑛̅2 ) ↝ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑛̅1 ∙ 𝑛̅2
‖𝑛̅1 ‖‖𝑛̅2 ‖
22
3.3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
̅̅̅̅̅
Sea el plano 𝑃: (𝑃
̅ = 0 , 𝑛̅ = 𝑎̅×𝑏̅ y el punto 𝑄 de 𝑅 3 . Para hallar la
0 𝑃) ∙ 𝑛
distancia del punto 𝑄 al plano 𝑃 se sigue;
En la figura
𝑑(𝑄, 𝑃) = ‖
̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑄 ∙ (𝑎̅×𝑏̅)
2
‖𝑎̅×𝑏̅‖
𝑄
𝑎̅×𝑏̅
𝑑(𝑄, 𝑃) = ‖𝑃𝑟𝑜𝑦𝑎̅×𝑏̅ ̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑄 ‖
‖
𝑷
𝑃0
̅̅̅̅̅
|𝑃
̅×𝑏̅)|
0 𝑄 ∙ (𝑎
𝑑(𝑄, 𝑃) =
‖𝑎̅×𝑏̅‖
Figura 16: Distancia del punto Q al
plano P
𝑑(𝑄, 𝑃) =
̅̅̅̅̅
|𝑃
̅|
0𝑄 ∙ 𝑛
‖𝑛̅‖
Si 𝑄(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), 𝑛̅ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) y 𝑑 = −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0, entonces
𝑑(𝑄, 𝑃) =
|(𝑥1 − 𝑥0 , 𝑦1 − 𝑦0 , 𝑧1 − 𝑧0 ) ∙ (𝑎, 𝑏, 𝑐)|
√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
𝒅(𝑸, 𝑷) =
|𝒂𝒙𝟏 + 𝒃𝒚𝟏 + 𝒄𝒛𝟏 + 𝒅|
√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
3.4 POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
̅̅̅̅̅
Sea la recta 𝐿: 𝑃 = 𝑄0 + 𝑡𝑎̅, 𝑡 ∈ 𝑅 y el plano 𝑃: (𝑃
̅ = 0 en 𝑅 3 . Se presenta
0𝑃) ∙ 𝑛
las siguientes posiciones relativas:
3.4.1 RECTA PARALELA A UN PLANO
̅̅̅̅̅
La recta 𝐿: 𝑃 = 𝑄0 + 𝑡𝑎̅, 𝑡 ∈ 𝑅 es paralela al plano 𝑃: (𝑃
̅ = 0 si y sólo
0𝑃) ∙ 𝑛
su vector direccional 𝑎̅ y su vector normal 𝑛̅, respectivamente, son ortogonales.
Es decir;
𝐿 ∥ 𝑃 ⟺ 𝑛̅ ⊥ 𝑎̅ ⇔ 𝑛̅ ∙ 𝑎̅ = 0
y puede suceder que 𝐿 ∩ 𝑃 = 𝐿 ó 𝐿 ∩ 𝑃 = 𝜙
3.4.2 RECTA ORTOGONAL A UN PLANO
̅̅̅̅̅
La recta 𝐿: 𝑃 = 𝑄0 + 𝑡𝑎̅, 𝑡 ∈ 𝑅 es ortogonal al plano 𝑃: (𝑃
̅ = 0 si y sólo
0𝑃) ∙ 𝑛
su vector direccional 𝑎̅ y su vector normal 𝑛̅, respectivamente, son paralelos.
Es decir;
𝐿 ⊥ 𝑃 ⟺ 𝑛̅ ∥ 𝑎̅
En general, la recta 𝐿 que no es paralela al plano 𝑃 se interceptan en un punto.
23
3.5 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO NO PARALELOS
̅̅̅̅̅
Sea la recta 𝐿: 𝑃 = 𝑄0 + 𝑡𝑎̅, 𝑡 ∈ 𝑅 y el plano 𝑃: (𝑃
̅ = 0 no paralelos.
0𝑃) ∙ 𝑛
Se desea hallar el punto de intersección 𝐿 ∩ 𝑃 = 𝑅
𝐿
𝑃0
Para ello se sigue;
𝑅
P
En la figura
𝑎̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑄0 𝑃0 + ̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑅 = 𝑄
0𝑅
𝑄0
y
Figura 17: Intersección de la recta
L y el plano P
̅̅̅̅̅
𝑄
̅ ,𝑡 ∈ 𝑅
0 𝑅 = 𝑡𝑎
Aplicando multiplicación escalar en ambos
miembros de la ecuación anterior por el vector 𝑛̅ resulta
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑄0 𝑃0 ⋅ 𝑛̅ + ̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑅 ⋅ 𝑛̅ = 𝑄
̅
0𝑅 ⋅ 𝑛
Pero 𝑛̅ ⊥ ̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑅 , es decir 𝑛̅ ⋅ ̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑅 = 0,
Entonces
̅̅̅̅̅̅̅
𝑄 𝑃 ∙𝑛̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑄0 𝑃0 ⋅ 𝑛̅ = 𝑄
̅ ↝ ̅̅̅̅̅̅
𝑄0 𝑃0 ⋅ 𝑛̅ = 𝑡𝑎̅ ⋅ 𝑛̅ ↝ 𝑡 = 0𝑎̅∙𝑛0̅
0𝑅 ⋅ 𝑛
Luego la ecuación anterior resulta
̅̅̅̅̅
𝑄
0𝑅 = (
̅̅̅̅̅̅
𝑄0 𝑃0 ∙ 𝑛̅
) 𝑎̅
𝑎̅ ∙ 𝑛̅
Finalmente
(𝑷𝟎 − 𝑸𝟎 ) ∙ 𝒏
̅
̅
𝑹 = 𝑸𝒐 + [
]𝒂
̅∙𝒏
̅
𝒂
Es el punto de intersección de la recta 𝐿 y el plano 𝑃.
3.6 DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS
Sean los planos paralelos dados en su forma general por:
℘1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷1
℘2 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷2
Para hallar la distancia entre estos planos se sigue;
Sean 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) ∈ ℘1 y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) ∈ ℘2
𝑑(℘1 , ℘2 ) = |𝐶𝑜𝑚𝑝𝑛̅ ̅̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃2 |
̅̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃2 ∙ 𝑛̅
𝑑(℘1 , ℘2 ) = |
|
‖𝑛̅‖
𝑃2
℘𝟐
𝑛̅ = (𝐴, 𝐵, 𝐶)
𝑃1
℘𝟐
Figura 18: Distancia entre dos planos
paralelos
24
𝑑(℘1 , ℘2 ) = |
(𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ) ∙ (𝐴; 𝐵; 𝐶)
|
‖(𝐴, 𝐵, 𝐶)‖
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 − 𝐴𝑥1 − 𝐵𝑦1 − 𝐶𝑧1
𝑑(℘1 , ℘2 ) = |
|
√𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2
Finalmente,
𝐷2 − 𝐷1
𝑑(℘1 , ℘2 ) = |
|
√𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2
Ejercicio 15. Halle la ecuación del plano 𝑃 que contiene a la recta
2𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 + 7 = 0
𝐿: {
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
Y es perpendicular al plano 𝑃1 : 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 1 = 0.
Se desea hallar la ecuación del plano 𝑃 generado por el vector direccional de la recta
𝐿 y por el vector normal del plano 𝑃1 , sino no son paralelos, y con punto de paso
alguno punto de la recta L.
La recta 𝐿 es intersección de dos planos con vectores normales
𝐿: {
2𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 + 7 = 0 ↝ 𝑛̅1 = (2, −1, −4)
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0 ↝ 𝑛̅2 = (3,2,1)
Tales que 𝑛̅1 ∙ 𝑛̅2 = 0, por lo que los planos son ortogonales.
En la figura, la recta 𝐿 tiene como vector direccional al vector
𝑛̅1 ×𝑛̅2 = (7, −14,7), por lo que
𝐿: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡(1, −2,1) , 𝑡 ∈ 𝑅
Donde 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ∈ 𝐿
𝑛̅1 ×𝑛̅2
𝑛̅1
Sea 𝑥0 = 0, entonces
𝑃0 (0, 𝑦0 , 𝑧0 ) ∈ 𝐿: {
𝑦0 − 4𝑧0 + 7 = 0
2𝑦0 + 𝑧0 = 0
Resolviendo se obtiene 𝑦0 = −1, 𝑧0 = 2
𝑛̅2
𝐿
Luego el punto de paso es 𝑃0 (0, −1,2) y la recta es;
𝐿: 𝑃 = (0, −1,2) + 𝑡(1, −2,1) , 𝑡 ∈ 𝑅
25
Ahora el plano P es generado por el vector 𝑎̅ = (2,1, −2) normal a 𝑃1 y el vector
𝑏̅ = (1, −2,1) vector direccional de L.
P
Es decir
𝑏̅
𝑃: 𝑃 = (0, −1,2) + 𝑟𝑎̅ + 𝑠𝑏̅; 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅
𝑃: 𝑃 = (0, −1,2) + 𝑟(2,1, −2) + 𝑠(1, −2,1); 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅
𝑎̅
𝐿
De
𝑷𝟏
𝑃: ̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑃 ∙ (𝑎̅×𝑏̅) = 0
Se obtiene la ecuación general del plano P
𝑃: (𝑥, 𝑦 + 1, 𝑧 − 2) ∙ ((2,1, −2)×(1, −2,1)) = 0
𝑃: (𝑥, 𝑦 + 1, 𝑧 − 2) ∙ (−3, −4, −3) = 0
𝑷: 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟐 = 𝟎
Ejercicio 16. Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 tienen vectores direccionales 𝑎̅ = (4,0,3) y 𝑏̅ =
(−3, √11, 4) respectivamente. Su intersección es el punto 𝑆(3,2,1). Cual es la recta
𝐿3 que pasa por el punto 𝑃(15,2,10) y determina con 𝐿1 y 𝐿2 un triángulo de 6𝑢2 de
área.
Haciendo un esbozo de las rectas se tiene
En la figura se tiene
𝑎̅ ∕∕ ̅̅̅̅
𝑆𝑃 = (12,0,9) = 3(4,0,3)
𝐿1
P
Se verifica que
𝑎̅ ⋅ 𝑏̅ = (4,0,3) ⋅ (−3, √11, 4) = 0
𝑐̅
𝑎̅
Por lo que las rectas 𝐿1 y 𝐿2 son ortogonales. Y el área
S
𝑏̅
𝐿2
𝐿3
del triángulo es;
1
̅̅̅̅‖ = 12
𝐴△ = ‖(𝑡𝑏̅)×𝑆𝑃
2
‖𝑡(−3, √11, 4)×(12,0,9)‖ = 24
‖𝑡(9√11, 75, −12√11)‖ = 24
2
2
|𝑡|√(9√11) + (75)2 + (−12√11) = 24
90|𝑡| = 24 ↝ 𝑡 = ±
4
15
4
Luego el vector base del triángulo es: 𝑡𝑏̅ = 15 (−3, √11, 4)
Sea 𝑐̅ el vector direccional de la recta 𝐿3 : 𝑃 = (15,20,10) + 𝑟𝑐̅ , 𝑟 ∈ 𝑅 tal que
26
̅̅̅̅
𝑐̅ = 𝑡𝑏̅ − 𝑆𝑃
4
(−3, √11, 4) − (12,0,9)
15
64 4
119
𝑐̅ = (− , √11, −
)
5 15
15
𝑐̅ =
Finalmente, la recta pedida es;
𝑳𝟑 : 𝑷 = (𝟏𝟓, 𝟐, 𝟏𝟎) + 𝒓(−𝟏𝟗𝟐, 𝟒√𝟏𝟏, −𝟏𝟏𝟗) , 𝒓 ∈ 𝑹
Ejercicio 17. Sean los puntos 𝑅(2,3,4) y 𝑆(3,1,6) y el plano 𝑃1 : 𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 3.
Hallar la ecuación de un plano P que pasa por 𝑅, 𝑆 y que forma con 𝑃1 un ángulo de
45° .
Se desea hallar el plano
P
𝑃: 𝑃 = 𝑅 + 𝑡𝑎̅ + 𝑠𝑏̅ ; 𝑡, 𝑠 ∈ 𝑅
𝑛̅1
𝑛̅
O también
𝑃: 𝑃 = 𝑆 + 𝑡𝑎̅ + 𝑠𝑏̅ ; 𝑡, 𝑠 ∈ 𝑅
S
R
45°
P1
Donde
̅̅̅̅ = (1, −2,2)
𝑎̅ = 𝑅𝑆
Cuyo vector normal es
𝑛̅ = (1, −2,2)×(𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) = (−2𝑏3 − 2𝑏2 , 2𝑏1 − 𝑏3 , 𝑏2 + 2𝑏1 )
Además, el ángulo entre los planos P y P1 es el ángulo formado por sus vectores
normales.
Es decir
∡(𝑃, 𝑃1 ) = ∡(𝑛̅, 𝑛̅1 ) = 45° ,
𝑛̅1 = (1,1, −4)
Entonces
𝑐𝑜𝑠(45) =
(−2𝑏3 − 2𝑏2 , 2𝑏1 − 𝑏3 , 𝑏2 + 2𝑏1 ). (1,1, −4)
𝑛̅ ∙ 𝑛̅1
1
↝
=
‖𝑛̅‖‖𝑛̅1 ‖
‖𝑛̅‖‖(1,1, −4)‖
√2
1
−2𝑏3 − 2𝑏2 + 2𝑏1 − 𝑏3 − 4𝑏2 − 8𝑏1
=
3√2‖𝑛̅‖
√2
1
√2
1
√2
=
=
−3𝑏3 − 6𝑏2 − 6𝑏1
3√2‖𝑛̅‖
−𝑏3 − 2𝑏2 − 2𝑏1
√2‖𝑛̅‖
Luego
‖𝑛̅‖2 = (−𝑏3 − 2𝑏2 − 2𝑏1 )2
Es decir,
27
‖(−2𝑏3 − 2𝑏2 , 2𝑏1 − 𝑏3 , 𝑏2 + 2𝑏1 )‖2 = (−𝑏3 − 2𝑏2 − 2𝑏1 )2
Desarrollando se tiene
4𝑏32 + 𝑏22 + 4𝑏12 + 4𝑏2 𝑏3 − 8𝑏1 𝑏3 − 4𝑏1 𝑏2 = 0
(2𝑏3 − 2𝑏1 + 𝑏2 )2 = 0 ↝ 2𝑏3 − 2𝑏1 = −𝑏2
Entonces el vector normal
𝑛̅ = (−2𝑏3 − 2𝑏2 , 2𝑏1 − 𝑏3 , 𝑏2 + 2𝑏1 ) = (2𝑏3 − 4𝑏1 , 2𝑏1 − 𝑏3 , 4𝑏1 − 2𝑏3 )
𝑛̅ = (2𝑏1 − 𝑏3 )(−2,1,2)
Luego basta considerar como vector normal
𝑛̅ = (−2,1,2)
De la ecuación normal del plano
𝑃: (𝑃 − 𝑅) ∙ 𝑛̅ = 0 ,
𝑅(2,3,4)
𝑃: ((𝑥, 𝑦, 𝑧) − (2,3,4)) ∙ (−2,1,2) = 0
𝑃: (𝑥 − 2, 𝑦 − 3, 𝑧 − 4) ∙ (−2,1,2) = 0
𝑃: 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 7 = 0
Ejercicio 18. Justificando debidamente su proceso, demostrar:
Si 𝑋 = 𝐴×𝐵, 𝑌 = 𝐵×𝐶, 𝑍 = 𝐶×𝐴, entonces
[𝑋𝑌 𝑌×𝑍 𝑍×𝑋] = [𝐴 𝐵 𝐶]4
Ejercicio 19. Demostrar la identidad de Jacobi:
(𝑎̅×𝑏̅)×𝑐̅ + (𝑏̅×𝑐̅)×𝑎̅ + (𝑐̅×𝑎̅)×𝑏̅ = 0
Ejercicio 20. Sean A, B y C vectores en 𝑅 3 talque
∡(𝐴, 𝐵) =
𝜋
4
1
y ‖𝐶‖ = ‖𝐵‖ = 1 = 2 ‖𝐴‖
Demostrar que:
[𝐴 𝐵×(𝐵×𝐶 ) 𝐴×(𝐴×𝐶)] = −2√2[𝐴 𝐵 𝐶]
Ejercicio 21. Sean los puntos 𝐴(1,2,3), 𝐵(1,3,0), 𝐶(1 + √5, 4,2) y 𝐷(1 + √5, 1,1).
Los segmentos ̅̅̅̅
𝐴𝐵 y ̅̅̅̅
𝐶𝐷 son las diagonales de dos caras opuestas de un cubo. Hallar
sus vértices.
Ejercicio 22. Hallar el ángulo que forman los vectores
AF
y
AC
si
PF  Pr oy AF CF  (3,6,3) , CP  (1,3,7) . Donde A(4,0,1) y F(a, b,0) son vértices de un
paralelepípedo ABCDEFGH.
Ejercicio 23. Sean A, B y C vectores en R3. Si, X  A  B , Y  B  C , Z  C  A Y
A B C 
2
hallar: X  Y Y  Z Z  X
28
Ejercicio 24. Los puntos A y H, B y E, C y F, D y G son respectivamente vértices
opuestos de las caras ABCD y HEFG (opuestas) de un paralelepípedo. Halle su
volumen si se sabe que A(4,0,1) , F(f1 , f 2 ,0) , CP  (1,3,7) , BD  (13,1,21) y
PF  Pr oy AF CF  (3,6,3)
Ejercicio 25. Un objeto de 2 kg se desliza por una rampa que tiene un ángulo de 30
con la horizontal. Se desprecia la fricción, la única fuerza que actúa sobre el objeto
es la gravitacional. ¿Cuál es la componente de la fuerza gravitacional en la dirección
del movimiento del objeto?
Ejercicio 26. En un paralelepípedo rectangular, ABCD y EFGH son caras opuestas
y AH , BG , CF y DE son aristas. Sean los vértices A(13,8,5) , B(5,8,13) y
F(5, 20,3) . Si FH es paralelo al vector v  (6,3, 2) . Hallar el vértice H y el
volumen del paralelepípedo.
Ejercicio 27. Sea la recta
 3x  y  z  1  0
L:
2x  y  2z  1  0
y el plano P : 3x  2y  z  2  0
a)
Determinar si L y P son paralelos o se interceptan
b)
Si son paralelos halle la distancia de L a P
c)
Si se interceptan halle el punto de intersección.
Ejercicio 28.
a)
Sea F una fuerza aplicada en uno de los extremos de un brazo que tiene fijo
el otro. Determine una formula vectorial para:
cantidad de torque  (longitud del brazo )(componente de F  al brazo )
a)
Melisa está cambiando un neumático. La llave es posicionada en uno de los
pernos de la rueda formando un ángulo de 53 con la horizontal y aplica una
fuerza de 40 lb. hacia abajo para aflojar el perno. Si la longitud de la llave es
un pie, cual es el torque que imparte al perno.
Ejercicio 29. Dadas las rectas:
L1 : x  y  1  z  2
L 2 : x  t, y  t, z  0
Determinar si se intersecan o se cruzan. Si se intersecan hallar el punto de
intersección, de lo contrario la distancia de L1 a L2 y la recta L perpendicular a ambas.
29
Ejercicio 30. Los puntos A(1,1,1) , B(5,7,9) , C(6,7,8) y D(7,5,9) determinan un
tetraedro. Si desde A y D parten simultáneamente dos móviles con dirección al
baricentro de la cara ABC, cada uno con una velocidad de
2
u/seg. En que punto
se encuentra el móvil que partió de D, cuando el que partió de A llega al baricentro.
Ejercicio 31. Sea la recta
 3x  y  z  1  0
L: 
2x  y  2z  1  0
y el plano P : 3x  2y  z  2  0
Determine si L y P son paralelos o se interceptan. Si son paralelos halle la distancia
de L a P, Si se interceptan halle el punto de intersección.
Ejercicio 32. Sean a y b dos vectores de R 3 con longitudes a  2 , b  3 y que
forman un ángulo de

3
radianes. Hallar
a) Pr oy a 2a  b
b) El área del paralelogramo formado por los vectores 2a  b y a  2b
Ejercicio 33. La longitud de las aristas laterales de un paralelepípedo P es 4
3
la
2
longitud de las aristas de las bases. Hallar el mínimo volumen de P si
L1 : 0,1,2  r1,1,1 ; r  R contiene
una arista lateral y L 2 : x  t , y  t , z  0; t  R
contiene una arista en la base.
Ejercicio 34. Hallar la ecuación del plano P que contiene a la recta
 2x  y  4z  7  0
L: 
 3x  2 y  z  0
y es perpendicular al plano P1 : 2x  y  2z  1  0
Ejercicio 35. Los puntos A(6 ,  6 , 8) , B , C y D son vértices de un paralelogramo
siendo AB  (1,7,3) una de las diagonales. Si Pr oy 3 CA AB  AC , encuentre el área del
paralelogramo que se construye con auxilio del punto Q de modo que AQ  (1, 4 , 4)
sea una de sus aristas, AD una de sus diagonales y Pr oy 45
7
BQ  
BC
7
(2,4,5)
45
Ejercicio 36. Hallar las rectas que pasan por el punto (3,4,0) y cortan al eje Z,
sabiendo que la distancia del origen de coordenadas a dichas rectas es 4 unidades.
30
4. REFERENCIALES
1.
2.
3.
COLLEY, SUSAN JANE. 1998. Vector Calculus. Upper Saddle River, New
Jersey : Prentice-Hall, Inc., 1998. 0-13-149204-7.
KOLMAN, BERNARD. 1999. Algebra Lineal con Aplicaciones y Matlab.
Sexta Edición. México : PRENTICE HALL, 1999. pág. 704. 970-17-0265-4.
STEWART, JAMES, REDLIN, LOTHER y WATSON, SALEEM. 2007.
Precálculo Matemáticas para el Cálculo. Quinta Edición. México : International
Thomson Editores, S. A., 2007.
31
32