Inductancia

Corrientes transitorias e
inductancia
TELECOMUNICACIONES
Objetivos:
• Definir y calcular la inductancia en
términos de una corriente variable.
• Calcular la energía almacenada en un
inductor y encontrar la densidad de
energía.
• Discutir y resolver problemas que
involucran aumento y reducción de
corriente en capacitores e inductores.
Autoinductancia
Considere una bobina conectada a una resistencia R y
voltaje V. Cuando se cierra el interruptor, el aumento
de corriente I aumenta el flujo, lo que produce una
fuerza contraelectromotriz interna en la bobina. El
interruptor abierto invierte la fem.
Ley de Lenz:
La fcem (flecha roja) 
debe oponerse al
cambio en flujo:
I creciente
R
I decreciente
R
Inductancia
La fuerza contraelectromotriz (fcem) E inducida en
una bobina es proporcional a la tasa de cambio de la
corriente DI/Dt.
Di
E  L ;
Dt
L  inductancia
inductance
Una inductancia de un henry (H) significa que
el cambio de corriente a la tasa de un ampere
por segundo inducirá una fcem de un volt.
Di/ Dt creciente
R
1V
1 H
1 A/s
Ejemplo 1: Una bobina de 20 vueltas tiene una
fem inducida de 4 mV cuando la corriente cambia
a la tasa de 2 A/s. ¿Cuál es la inductancia?
Di/ Dt = 2 A/s
4 mV
R
Di
E  L ;
Dt
(0.004 V)
L
2 A/s
E
L
Di / Dt
L = 2.00 mH
Nota: Se sigue la práctica de usar i minúscula para corriente variable o
transitoria e I mayúscula para corriente estacionaria.
Cálculo de inductancia
Recuerde dos formas de encontrar E:
D
E  N
Dt
Di
E  L
Dt
Di/ Dt creciente
R
Al igualar estos términos se obtiene:
D
Di
N
L
Dt
Dt
Por tanto, la inductancia L
se puede encontrar de:
Inductancia L
N
L
I
Inductancia de un solenoide
El campo B que crea una corriente I para
longitud l es:
Solenoide
B
l
B
 0 NI
y  = BA
R
Inductancia L

0 NIA
Al combinar las últimas dos ecuaciones se
obtiene:
L
N
L
I
0 N A
2
Ejemplo 2: Un solenoide de 0.002 m2 de área y 30 cm
de longitud tiene 100 vueltas. Si la corriente aumenta
de 0 a 2 A en 0.1 s, ¿cuál es la inductancia del
solenoide?
Primero se encuentra la inductancia del solenoide:
0 N A (4 x 10
L

2
l
-7 Tm
A
2
2
)(100) (0.002 m )
0.300 m
L = 8.38 x 10-5 H
A
R
Nota: L NO depende de la corriente, sino de
parámetros físicos de la bobina.
Ejemplo 2 (Cont.): Si la corriente en el solenoide
de 83.8 H aumentó de 0 a 2 A en 0.1 s, ¿cuál es
la fem inducida?
l
L = 8.38 x 10-5 H
A
R
Di
E  L
Dt
(8.38 x 10-5 H)(2 A - 0)
E
0.100 s
E  1.68 mV
Energía almacenada en un inductor
En un instante cuando la corriente
cambia a Di/Dt, se tiene:
Di
EL ;
Dt
Di
P  Ei  Li
Dt
R
Dado que la potencia P = trabajo/t, Trabajo = P Dt. Además,
el valor promedio de Li es Li/2 durante el aumento a la
corriente final I. Por tanto, la energía total almacenada es:
Energía potencial
almacenada en
inductor:
U  Li
1
2
2
Ejemplo 3: ¿Cuál es la energía potencial
almacenada en un inductor de 0.3 H si la
corriente se eleva de 0 a un valor final de 2 A?
U  Li
L = 0.3 H
1
2
R
I = 2A
2
U  (0.3 H)(2 A)  0.600 J
2
1
2
U = 0.600 J
Esta energía es igual al trabajo realizado al llegar a la corriente
final I; se devuelve cuando la corriente disminuye a cero.
Densidad de energía (opcional)
La densidad de energía u es la
energía U por unidad de volumen V
l
A
R
L
0 N 2 A
; U  12 LI 2 ; V  A
Al sustituir se obtiene u = U/V :
 0 N A  2
U 
I ;


2
1
2
 0 N 2 AI 2 


2
U 

u 
V
A
u
0 N I
2 2
2
2
Densidad de energía (continúa)
2 2

N
I
Densidad
0
l
de energía: u 
2
2
A
R
Recuerde la fórmula para el campo
B:
B
0 NI
2

0  NI  0 B 
u
 2

 
2 
2  0 

2

NI

2
B
u
2 0
B
0
Ejemplo 4: La corriente estacionaria final en un
solenoide de 40 vueltas y 20 cm de longitud es 5 A.
¿Cuál es la densidad de energía?
B
0 NI
(4 x 10-7 )(40)(5 A)

0.200 m
B = 1.26 mT
B2
(1.26 x 10-3T)2
u

20 2(4 x 10-7 TAm )
u = 0.268 J/m3
l
A
R
La densidad de energía
es importante para el
estudio de las ondas
electromagnéticas.
El circuito R-L
Un inductor L y un resistor
R se conectan en serie y el
interruptor 1 se cierra:
V – E = iR
Di
EL
Dt
Di
V  L  iR
Dt
V
S1
S2
R
i
L
E
Inicialmente, Di/Dt es grande, lo que hace grande la fcem y la corriente i
pequeña. La corriente aumenta a su valor máximo I cuando la tasa de
cambio es cero.
Aumento de corriente en L
V
i  (1  e  ( R / L ) t )
R
i
I
En t = 0, I = 0
En t = , I = V/R
Constante de tiempo
t:
L
t 
0.63 I
Aumento de
corriente
t
Tiempo, t
R
En un inductor, la corriente subirá a 63% de su
valor máximo en una constante de tiempo t = L/R.
Reducción R-L
Ahora suponga que S2 se cierra
después
E = iR de que hay energía en
el inductor:
Di
EL
Dt
Para reducción de
corriente en L:
Di
L  iR
Dt
V
S1
i
S2
R
L
E
Inicialmente, Di/Dt es grande y la fem E que activa la corriente está en su
valor máximo I. la corriente se reduce a cero cuando la fem se quita.
Reducción de corriente en L
i
V  ( R / L )t
i e
R
I
Reducción de
corriente
En t = 0, i = V/R
En t = , i = 0
Constante de tiempo
t:
L
t 
0.37 I
t
Tiempo, t
R
En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una
constante de tiempo
t.
Ejemplo 5: El circuito siguiente tiene un inductor de 40
mH conectado a un resistor de 5 W y una batería de 16 V.
¿Cuál es la constante de tiempo y la corriente después
de una constante de tiempo?
L 0.040 H
t 
R
5W
16 V
5W
L = 0.04 H
Después del
tiempo t:
i = 0.63(V/R)
R
Constante de tiempo: t = 8 ms
V
( R / L)t
i  (1  e
)
R
 16V 
i  0.63 

 5W 
i = 2.02 A
V
El circuito R-C
S1
Cierre S1. Entonces, conforme la
carga Q se acumula en el capacitor
C, resulta una fcem E:
V – E = iR
Q
V   iR
C
S2
R
Q
E
C
i
C
E
Inicialmente, Q/C es pequeño, lo que hace pequeña la fcem y la corriente i
es un máximo I. Conforme la carga Q se acumula, la corriente se reduce a
cero cuando Eb = V.
Aumento de carga
q
Q
V   iR
C
t = 0, Q = 0, I = V/R
Capacitor
Qmax
0.63 I
Aumento de carga
t =  , i = 0, Qm = C V
Q  CV (1  e
 t / RC
)
Constante de tiempo t:
t  RC
t
Tiempo, t
En un capacitor, la carga Q aumentará a
63% de su valor máximo en una
constante de tiempo
t.
Desde luego, conforme la carga aumenta, la corriente i se reducirá.
Reducción de corriente en C
V  t / RC
i e
R
i
Capacitor
I
En t = 0, i = V/R
En t = , i = 0
Constante de tiempo
t:
t  RC
Reducción
de
corriente
0.37 I
t
Tiempo, t
Conforme aumenta la carga Q
La corriente se reducirá a 37% de su valor máximo
en una constante de tiempo t; la carga aumenta.
Descarga R-C
Ahora suponga que se cierra
S2 y se permite la descarga
de C:
E = iR
Para
reducción de
corriente en
L:
Q
E
C
Q
 iR
C
V
S1
S2
R
i
C
E
Inicialmente, Q es grande y la fem E que activa la corriente está en su valor
máximo I. La corriente se reduce a cero cuando la fem se quita.
Reducción de corriente
V  t / RC
i
e
R
Capacitor
i
t  RC
En t = 0, I = V/R
En t = , I = 0
Conforme la corriente se
reduce, la carga también se
reduce:
I
Current Decay
Reducción
de
corriente
0.37 I
t
Q  CVe
Tiempo, t
 t / RC
En un capacitor que se descarga, tanto corriente
como carga se reducen a 37% de sus valores
máximos en una constante de tiempo t = RC.
Ejemplo 6: El circuito siguiente tiene un capacitor de
4 F conectado a un resistor de 3 W y una batería de
12 V. El interruptor está abierto. ¿Cuál es la corriente
después de una constante de tiempo t?
t = RC = (3 W)(4 F)
12 V
3W
C = 4 F
Después del
tiempo t:
i = 0.63(V/R)
R
Constante de tiempo: t = 12 s
V
 t / RC
i  (1  e
)
R
 12V 
i  0.63 

 3W 
i = 2.52 A
Resumen
Di
E  L ;
Dt
L
0 N A
2
l
inductancia
L  inductance
A
N
L
I
Energía potencial,
densidad de energía:
R
U  Li
1
2
2
2
B
u
2 0
Resumen
i
Inductor
I
V
i  (1  e  ( R / L ) t )
R
L
t 
R
Aumento de
corriente
0.63I
t
Tiempo, t
En un inductor, la corriente aumentará a 63% de su
valor máximo en una constante de tiempo t = L/R.
La corriente inicial es cero debido al rápido cambio de
corriente en la bobina. Eventualmente, la fem inducida se
vuelve cero, lo que resulta en la corriente máxima V/R.
Resumen (Cont.)
V  ( R / L )t
i e
R
La corriente inicial, I = V/R,
se reduce a cero conforme
se disipa la fem en la
bobina.
i
Inductor
I
Current Decay
Reducción
de corriente
0.37I
t
Tiempo, t
La corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una constante de
tiempo
t = L/R.
Resumen (Cont.)
Cuando se carga un capacitor, la carga se eleva
a 63% de su máximo mientras la corriente
disminuye a 37% de su valor máximo.
Capacitor
q
Capacitor
i
I
Qmax
Aumento de
carga
0.63 I
t
Q  CV (1  e
Current
Decay
Reducción
Tiempo, t
 t / RC
)
de carga
0.37 I
t  RC
t
Tiempo, t
V  t / RC
i e
R
CONCLUSIÓN: Corriente transitoria - Inductancia