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COLEGIO “WILLIAM PAREDES”
ALGEBRA
MONOMIO
Es un término algebraico racional entero.
Ejem:
1) p(x,y,z) = – 4x5y4z2
2) p(x,y) = 2x2y
Al expresar p(x,y,z) indicamos que es monomio de 2 variables.
Todo polinomio posee 2 grados:
Grado Absoluto
M (x,y) = 4x4 y6
Grado Relativo
N (x,y) = 6x3 y4
G A = 4+6 = 10
G Rx = 3
G Ry = 4
Ejemplo:
1) En el siguiente monomio:
M (x,y) = 2xa+2 y3 es de
Hallar a
G A = 10
PROBLEMAS PARA LA CLASE
M(x,y) = (a+b)x2a-4yb-3
(1) En el siguiente monomio:
M(x,y) = 4xa+3y6 es de G A = 12.
Hallar “a”
a) 18
b) 10
c) 2
a) 20
d) 3 e) 1
a) 20
(9)
b) 6
c) 7
d) 8 e) 9
(3) Calcular “n”, si el G A = 12, en:
M(x,y) = 3xn-4y6
a) 6
b) 8
c) 10
(4) Hallar “n” si el grado absoluto es 24
M(x,y) = 34x2n-2y6
b) 11
c) 12
d) 13 e) 14
(5) En el monomio: Hallar “n” si
G.Rx = 15
M(x,y) = 3a x2n-3y5
b) 8
b) 9
c) 10
b) 12
c) 13
b) 11
c) 28
Si
c) 12
d) 30
GRy = 10
d) 14
c) 6
d) 4
e) 15
e) 2
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
(12) Hallar el coeficiente del monomio:
M(x,y) = (a,b)x2a+1 . y3b-5
Sabiendo que: G.Rx = 7
d) 14 e) 15
a) 3
b) 6
c) 9
d) 7
(7) Hallar el coeficiente. Si G Rx = 12 G Ry = 14 en:
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
e) 31
e) 11 e) 12
(6) Si P(x,y,z) = 6a2x4 ym+3 z5
Hallar “m” si G Ry = 16
a) 10
e) 26
(11) En: M(x,y) = (a+3b)x2a+3b ya+b
Si el coeficiente es 11, GA = 23.
Hallar GRy
a) 3
a) 8
d) 25
(10) Si:
M(x,y) = (a2 + b2)x3a+b y2a+5b
Hallar el coeficiente si:
GRx = 10, GRy = 11
a) 10
a) 10
b) 25
Hallar GRx en:
M(x,y) = 5x2n-1 yn+5
a) 9
d)12 e) 14
c) 24
(8) En el monomio: M(x,y) = (3a–b)xa-b yb+7
Hallar el coeficiente si: GRx = 8 ; GRy = 9
(2) En el siguiente monomio:
M(x,y) = 4xn+4y5 , su G A = 16.
Hallar “n”
a) 5
b) 22
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e) 4
COLEGIO “WILLIAM PAREDES”
ALGEBRA
TAREA DOMICILIARIA
M(x,y) = (a + b)xa+1yb-3
(1) En el siguiente monomio:
M(x,y) = 3xa+2y5
Hallar “a” si GA = 18
a) 10
b) 11
c) 12
a) 14
d) 14 e) 15
(2) En el siguiente monomio:
M(x,y) = 34a2xn+6y6
Hallar “n” si GA = 20
a) 6
b) 8
c) 10 d) 14 e) 16
(3) En el monomio:
M(x,y) = 2xn+7y4
Hallar “n” si GA = 15
a) 3
b) 4
c) 6
b) 18
c) 10
d) 8 e) 10
(8) En el monomio: M(x,y) = (2a +b)xa-5yb+4
Calcular el coeficiente si: GRx = 2, GRy =
6
a) 14
a) 10
c) 6
d) 7 e) 8
(6) Si. M(x,y,z) = 7a2x3ym+2z3
Calcular “m” si el grado relativo
respecto de “y”
es 10
a) 4
b) 5
c) 6
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
d) 12 e) 14
a) 4
b) 4
d) 23 e) 24
(10) En el monomio:
M(x,y) = 5xn+2yn+7
Calcular el valor de GRx, siendo GRy =
11
(5) Hallar “n” si: GA = 9 en:
M(x,y) = 23x2n-4y5
a) 2
c) 22
(9) En el monomio:
M(x,y) = 4xn-6y4n
Calcular: GRy , si GRx = 4
(4) En el monomio:
M(x,y) = -32x2n-8y4
Hallar “n” si GRx = 20
a) 6
b) 18
d) 7 e) 8
b) 6
c) 8
d) 9
e) 10
d) 12
e) 13
(11) En el monomio:
M(x,y) = (2a – b)x2a+by3a-b
Calcular el coeficiente si:
GRx = 7, GRy = 8
a) 5
b) 7
c) 8
(12) En el monomio:
M(x,y) = (a + b2 +1)xa-by5a+b
GRx = 6, GRy = 12, hallar el coeficiente
(7) Hallar el coeficiente si GRx = 10 y GRy
= 12 en:
a) 6
b) 7
c) 10
d) 11
e) 13
POLINOMIOS
Concepto. Suma limitada de monomios, no semejantes.
Ejem:
4x2y3 + 2x4y2 – x3y ,
Notación:
x5 + x3 + 2x + 1
P(x) , N(x,y)
Donde las variables son x ó x, y
Grado Absoluto:
P(x) = x7 + x5 + 4 ,
GA = 7
P(x,y) = xny5 + x4y + y8 , GA = 17
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
Ejem: P(x,y) = 2ax2y + 5mx + ay
Las variables x e y.
Grado Relativo:
P(x,y) = 2x3y5 – 4x4y3 – 1y5
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COLEGIO “WILLIAM PAREDES”
ALGEBRA
 GRx = x4 , GRy = 5
Ejemplos:
(1) En el siguiente polinomio:
P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa+5
(2) En el polinomio:
P(x,y) = 7x2yb+4 – 5x3yb-1 – x2yb+7
Hallar “b” si GRy = 10
Calcular el valor de “a” si: GA = 14
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Colocar verdadero o falso
corresponda:
P(x) = 4x4 – 5x6 + 2x2 + 6
según
I. El polinomio es de grado 4
( )
II. El término independiente es 6 ( )
III. La suma de coeficientes es 7 ( )
2) En el siguiente polinomio:
P(x,y) = axa-4 + 3xay3 + 2y6
Calcular la suma de sus coeficientes.
Si: GA = 12
a) 10
b) 12 c) 14 d) 15 e) 16
8) Indicar la suma de coeficientes del
polinomio:
P(x) = xa+5 + 6x2a-3 – 5x2a+4
P(x,y) = axa-4yb–2 + bxa+2yb – 4xa-2yb+3
Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14
Siendo GA = 8
a) 2
a) 1
b) 3
c) 4
d) 5 e) 6
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
9) Calcular el valor de “n” en:
3) En el siguiente polinomio:
n
n
b) 8
c) 4
P(x,y) = 6x2y3 + 2x2y3 + 1,
siendo: G.A = 4
P(x) = 2xa-2 + 6xa-4 + 8xa-6
Calcular el valor de “a”. Si: GA = 13
a) 6
a) 15
b) 14
c) 13
d) 5 e) 2
d) 10 e) 12
10) Determine el mayor grado relativo de una
de sus variables:
P(x,y) = x3k-1y k+1 + x2k+3y2k+5 + xk+2y3k-4
4) En el polinomio:
P(x,y) = x2ay4 – 3x2ay6 – x2a
Calcular el valor de “a” GA = 20
Sabiendo que GA del polinomio es 16.
a) 7
a) 5
b) 8
c) 10
d) 11 e) 14
P(x,y) = x
a-5 2
P(x,y) = (2n-1)x
a-3 2
y – 7x y – 8x y
Calcular el valor de “a” si G.Rx = 10
a) 4
b) 5
c) 3
d) 9
e) 10
3n-5
2
+ 2ny
8+2n
3
Calcular “n”: Si G.Ry = 6
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
P(x,y) = a3y4 – 3xa+3y8 + 2xa+1y11
Si: G.Rx – G.Ry = 1
P(x,y) = 5x3yb+6 – 4x2yb+2 – x2yb+3
Calcular el valor de “b” GRy = 12
b) 6
d) 11 e) 13
12) Hallar la suma de coeficientes si:
6) En el polinomio:
a) 4
c) 9
11) En el siguiente polinomio:
5) En el polinomio:
2a+4
b) 7
c) 8
d) 10
a) 3
b) 2
c) 4
d) 6
e) N.A.
e) 12
7) En el polinomio:
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
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ALGEBRA
TAREA DOMICILIARA
1) Colocar verdadero o falso según corresponda:
P(x,y) = 3x5 – 2x3 + 3x2 + 7
I. El polinomio es de grado 5
( )
II. El término independiente es 3 ( )
III. La suma de coeficientes es 15 ( )
2) La suma de coeficientes del polinomio:
P(x) = 4x5 + 5x4 – 6x3 – (7-n)x + 3n es de 16
Calcular el valor de “b” GRy = 15
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
8) En el polinomio:
P(x,y) = nxn-3 + 2xny2 + 4yn
Señalar el término independiente:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6 e) 9
3) En el siguiente polinomio:
P(x) = x2ya + 2xa-3 – 5a+5
Calcular la suma de sus coeficientes, si:
GA = 8
a) 10
b) 11 c) 12 d)14 e) 15
9) Indicar la suma de coeficientes del polinomio:
Calcular el valor de “a” si GA = 13
P(x,y) = axa-2yb + bxa+3yb+1 + 3xa-1yb-2
a) 8
Siendo: GA = 10
b) 9
c) 10
d) 11 e) 12
4) En el polinomio:
P(x,y) = x2ya + 2x3ya – 5a+5
a) 3
Calcular el valor de “a” si GA = 8
b) 5
c) 1
10) Calcular el valor de “n” en:
n
a) 2
b) 3
c) 1
d) 0 e) 4
n
P(x,y) = 2x4y2 + 2x3y3 + 3. Si: G.A = 9
Siendo: n < 15
5) En el polinomio:
P(x,y) = x3ay2 – 2x3ay3 – x3a
a) 10
Calcular el valor de “a” GA = 9
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
b) 12
n
a) 19
b) 17 c) 15 d) 13 e) 11
12) En el polinomio:
__ n-1
__ 15-n
P(x,y) = 3 x
+ 4 y
Si: G.Ry = 1
Calcular la suma de coeficientes .
Si GRy = 10
c) 2
d) 14 e) 9
P(x) = nx2 + 2nx3 + 3x7-n – 4xn-5, si: G.Rx = 6
6) En el polinomio:
P(x,y) = x7 – 4x2yb + byb+3
b) 1
c) 13
11) Señalar la suma de coeficientes del polinomio:
n
a) 0
d) 9 e) 12
d) 6
e) 4
Determine “n”
a) 3
7) En el polinomio:
b) 5
c) 7
d) 9
P(x,y) = 6x2yb+3 + x3yb+4 + x4yb+5
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e) 11
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
SUMA Ó ADICIÓN DE POLINOMIOS
Que es lo mismo que reducir términos semejantes,
para esto se escriben uno a continuación de otro:
Ejemplo:
Efectuar:
Recordando: a(b+c) = ab + ac
P(x) + Q(x) si:
Ejem:
Efectuar:
P(x) = 7x5 + 3x3 – x2 + 1 , Q(x) = 8x3 – 5x2 + 9
5
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
3
2
3
P(x) . Q(x) si:
P(x) = -2x3
2
 (7x + 3x – x + 1) + (8x – 5x + 9)
RESTA O SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Para ello se suma con el opuesto del otro, el
resultado es la diferencia.
Q(x) = 3x + y2 – 2
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Efectuar:
M + ( – S) = D
7 15
10 11
12 17
3 4
1. (35x y + 40x y – 55x y ) : – 5x y
Ejem:
Efectuar:
P(x) – Q(x) si:
P(x) = 7x3 – 8x2 – 10 , Q(x) = 6x2 – 5
PROBLEMAS PARA LA CLASE
(1) Sumar los siguientes monomios:
M(x,y) = ax2y3z5 , N(x,y) = bx2y3z4
Indicar su coeficiente.
a) a+b
b) az5 + bz
5
4
d) az – bz e) az5 + bz4
(3) Sea: P(x) = 2x(x - 1) + 5
R = x2 – x + 4
Hallar: P(x) – 2R(x)
a) –3
d) 13
c) a-b
(2) Indicar cual de las siguientes
monomios es correcta:
I. 3x2 + 2x2 + bx2 = 7x2 , b>30
II. 7x2 + 2x2 + 5x3 = 14x3
III. 3x2 + 5x3 + 7x4 = 15x9
sumas
de
Se sabe que: 2M(x) + 3N(x) = ax2 + bx + c
Indicar “a+b+c”
a) 10
a) 10
3 2
3 2
2
2
8x +mx +nx
b) 20
b) 20
c) 30
c) 30
d) 40 e) 50
d) 40 e) 50
2
x
3 2
3x y
2
3 3
ax y
3 3
c) 3
(4) Se tiene:
M(x) = 3x2 + 2x + 1
N(x) = 7x2 + 2x + 3
a) solo I
b) solo II
c) I y II
d) I y III
e) ninguna
(5) Del gráfico relacionar A con B
ax y +7x y
b) –2
e) -13
(7) Se realizan las siguientes suman de
términos semejantes:
pxa + qxb + rxc = 5pqrxb , indicar:
3 3
2x y +px y
A
B
(6) Dados los polinomios:
P(x) = 3x+2 , Q(x) = 5x+3
a) 3
Hallar: E = 5P(x) + 3Q(x) –19
x
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
M=p+q+r
pqr
b) 5
c) 7
d) 9
e) 6
(8) Hallar la expresión equivalente más
simple de:
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A = 3(x+7y) – 4(2x+5y) + 6x_
3(x+y) + 4(x+3y) – 2(x+2y) – 6y
a) x+y
b) x/y c) x-y d) 1
e) 1/5
b) –1
a) 0
c) –2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3
2
(2x + 3)(4x – 6x + 9) = ax + bx + c
Hallar: a.b.c
En la siguiente adición de monomios:
mx2 + m x4-a = bxb-3 , indicar:
4
_________
E =  m+a+b-2
a) 1
e) 1
(15) Dada la igualdad:
2
(9)
d) 2
a) 1
d) 0
b) 2
e) N.A.
c) 3
(16) La suma de coeficientes del producto:
2
2
(x – 2x – 1) . (x + 3x), es:
a) –10
d) 2
(10)Determina el valor de las siguientes
expresión:
3
–3x [2x – 3]
(11)Efectúa las siguientes multiplicaciones.
(17) Reduce la expresión:
______________________
2
2
4
E =  (a – b)(a + b)(a + b ) + b
4
4
2
a) x – 5x + 4
4
c) x – 4
4
2
e) x + 5x – 4
(12)El resultado de:
3 3
2
2
b) a +b
4
e) b
c) a
(18) El producto de:
(x + 1) (x – 2) (x – 1) (x + 2), es:
(x + 1) (x + 2) – x(x + 3)
II.
4
a) a
4
4
d) a +2b
2
(x + 2y) (x – 3y) + 6y
I.
c) –8
b) 7
e) 4
3 2
4
2
b) x + 5x + 4
4
d) x – 4x + 4
(4x y z) (2x y ), es:
9 6
a) 6x y z
9 6
d) 8x y z
6 5
b) 8x y z
e) 6xyz
6 5
c) 6x y z
(19) Dada la igualdad:
a b
(13) Sea U(x) = 2x3 + x2 + 1x – 1
5
3
N(x) = x3 + x2 – x + 1
Hallar la suma de coeficientes de
15U(x) + 5N(x)
a) 41
b) 21
c) 1
d) –1
e) 11
(14)El resultado del producto:
2
4x – 4
–1x
4
a) 40
2 c
7 13
b) 41
c) 43
d) 42
e) N.A.
(20) Indicar el mayor coeficiente del resultado
que se obtiene al multiplicar:
2
2
(a + ab + b ) (a – b)
a) 1
d) –3 e) 0
3
3 4
(3x y ) (4x y ) (cx y ) = mx y
Calcular: a+c+m
b) 3
c) –1
Hallar la suma de
coeficientes
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
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ALGEBRA
TAREA DOMICILIARIA
4
2
1. Multiplicar: 2x + 3y por 5x – y. Indicar el menor
coeficiente del resultado.
a) 10
b) –2 c) 15
d) –3
e) 1
2. Efectuar: 3x(x + 3) (x – 2) (x + 1). Indicar el mayor
coeficiente del resultado.
a) 3
b) 6
c) –15
d) –18
e) 1
2
3
3 4
3. Al multiplicar: (3x – 5xy + y ) (–2x y ) se obtiene el
siguiente resultado:
5 4
4 5
3 7
– m xy + n xy – p xy .
Determinar: m + n + p
a) 2
b) 6
c) 8
5
2
2
2
2
a
b
b) 2
c) a2
2
2
e) 6a –2b –2c
2
a) –8bc
d) bc+ab
2
b) 2x2 –1
e) 0
c) x2 + x +1
b) –10bc
e) 5bc – ab
c) bc
14. Reducir:
M = 5a (b+c) – 5b(a+c) – 5c (a+b)
a) 0
b) 2x+y-z
d) xy+yz+xz e) 1
c) x2+y2+z2
15. Simplificar:
8. Reducir:
(x + 3)(x – 2) – (x – 3)(x + 4)
b) –6
e) –18
b) 2
c) x
e) 2+ 2x+ 2x2
13. Reducir:
M = 5a (b+c) – 5b(a+c) – 5c(a+b)
7. Si efectuamos: (2x – 3x )(x – x ), uno de los
términos del resultado es:
ma
m-b
n+a
a) 2x
b) –2x
c) 3x
n+b
m+b
d) –3x
e) –2x
a) 2x – 18
d) 18
a) 0
d) 1
a) 7x
d) 11
2
n
E = 1 + x – x2
F = x2 – x – 1
5
b) 10x y – 3x y
2
3
d) 10x y – 3x y
m
10. Efectuar E + F, si:
2
2
3
d) 4 e) 5
E = 2(x + x –1)+3(x – x +1) –5 x – 1 x – 2
6. Simplificar:
3
3
(2x + 5xy) (x – y) – (x + xy)(5x – 5y)
3
c) 3
12. Reducir:
b) 10x – 5y
2
2
d) x – 4y
a) 3x y + 10x y
2
3
c) 3x y + 10x y
3
2
e) 3x y + 3x y
b) 2
a) 0
d) 2ª
a) 27
b) 33
c) –15
d) 21
e) –16
5. Reducir la expresión:
(x + y) (x – y) + (3x – 2y) (2y + 3x)
2
a) 1
11. Efectuar M – S si se cumple que:
M = 3a2 – b – c2
S = b + c2 – 3a2
d) 0 e) 18
4. Si se tiene: P(x) = 2x – 5x – 7x + 4,
2
Q(x) = –3x – 4
Calcular: P(x) .Q(x)
Indicar la suma de coeficientes del resultado.
a) 10x + 4y
2
2
c) 2x – 5y
2
2
e) 9x – y
9. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son
términos algebraicos?
__
_
2
7
2 3
2
2
3x ; – 1 ab ;  7 x y z ; 0,2x ; 5x
(a+b)x + (b+c)y-(a-b)x+(b-c)y
c) 6
a) 2b(x+y)
d) xa – yb
b) 2a(x-y)
e) 0
c) xa + yb
CAPÍTULO I
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ALGEBRA
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Es la operación que consiste en hallar una expresión denominada producto.
Recordando:
m
n
mxn
a xa =a
a) Multiplicación de Monomios
4
1. – 3x . 5x = –15x
4
5
2
2. – 4x . –3x . x = 12x
3
b) Multiplicación de Monomio por Polinomio
Efectuar:
4
5
4 2
1. – 3a b (a + b) = –3a b – 3a b
7
2
3
3
2
5
2. –x (-x + x ) = x – x
5 4
3. – 1 x y . – 3 xy x 8x = 3x y
2
4
4
c) Multiplicación de Polinomios
Ejemplo:
2
1. (x + 5) (x + 3) = x + 3x + 5x + 15
2
3
2
2
2. (2x – y) (x + y) = 2x + 2xy – yx – y
POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS
Ejemplo:
2
2
1. (5x + 3) = (5x + 3) (5x + 3) = 25x + 15x + 15x + 9
2
= 25x + 30x + 9
2. (x + 2) (x + 2) (x + 2) = (x + 2)
3
2
(x + 2x + 2x + 4) (x + 2)
2
(x + 4x + 4) (x + 2) =
3
2
2
x + 4x + 4x + 2x + 8x + 8
3
2
x + 6x + 12x + 8
RESOLVER
Bloque I:
1. Determina el valor de las siguientes
expresión:
4. El resultado del producto:
2
4x – 4
3
–1x
4
a) –3x [2x – 3]
3
Hallar la suma de
coeficientes
2. Efectúa las siguientes multiplicaciones.
b) –1
a) 0
2
c) –2
d) 2
e) 1
a) (x + 2y) (x – 3y) + 6y
5. Dada la igualdad:
2
b) (x + 1) (x + 2) – x(x + 3)
3. El resultado de:
3 3
3
2
(2x + 3)(4x – 6x + 9) = ax + bx + c
Hallar: a.b.c
a) 1
d) 0
3 2
b) 2
e) N.A.
c) 3
(4x y z) (2x y ), es:
9 6
a) 6x y z
9 6
d) 8x y z
6 5
b) 8x y z
e) 6xyz
6 5
c) 6x y z
6. La suma de coeficientes del producto:
2
2
(x – 2x – 1) . (x + 3x), es:
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a) –10
d) 2
ALGEBRA
c) –8
b) 7
e) 4
9. Dada la igualdad:
a b
7. Reduce la expresión:
______________________
2
2
4
E =  (a – b)(a + b)(a + b ) + b
4
4
a) a
4
4
d) a +2b
2
3 4
2 c
7 13
(3x y ) (4x y ) (cx y ) = mx y
Calcular: a+c+m
a) 40
b) 41
c) 43
d) 42
e) N.A.
2
b) a +b
4
e) b
c) a
10. Indicar el mayor coeficiente del resultado que
se obtiene al multiplicar:
2
2
(a + ab + b ) (a – b)
a) 1
d) –3
8. El producto de:
(x + 1) (x – 2) (x – 1) (x + 2), es:
4
2
4
a) x – 5x + 4
4
c) x – 4
4
2
e) x + 5x – 4
b) 3
e) 0
c) –1
2
b) x + 5x + 4
4
d) x – 4x + 4
TAREA DOMICILIARIA
4
2
16. Multiplicar: 2x + 3y por 5x – y. Indicar
el menor coeficiente del resultado.
a) 10
b) –2 c) 15
d) –3
e) 1
17. Efectuar: 3x(x + 3) (x – 2) (x + 1).
Indicar el mayor coeficiente del
resultado.
a) 3
b) 6
c) –15
d) –18
e) 1
2
3
3 4
18. Al multiplicar: (3x – 5xy + y ) (–2x y )
se obtiene el siguiente resultado:
5 4
4 5
3 7
– m xy + n xy – p xy .
21. Simplificar:
3
3
(2x + 5xy) (x – y) – (x + xy)(5x – 5y)
3
2
a) 3x y + 10x y
2
3
c) 3x y + 10x y
3
2
e) 3x y + 3x y
3
2
b) 10x y – 3x y
2
3
d) 10x y – 3x y
m
n
a
b
22. Si efectuamos: (2x – 3x )(x – x ), uno de los
términos del resultado es:
ma
m-b
n+a
a) 2x
b) –2x
c) 3x
n+b
m+b
d) –3x
e) –2x
23. Reducir:
(x + 3)(x – 2) – (x – 3)(x + 4)
Determinar: m + n + p
a) 2
b) 6
c) 8
5
d) 0 e) 18
a) 2x – 18
d) 18
b) –6
e) –18
c) 6
2
19. Si se tiene: P(x) = 2x – 5x – 7x + 4,
2
Q(x) = –3x – 4
Calcular: P(x) .Q(x)
Indicar la suma de coeficientes del
resultado.
a) 27
b) 33
c) –15
d) 21
e) –16
20. Reducir la expresión:
(x + y) (x – y) + (3x – 2y) (2y + 3x)
2
2
a) 10x + 4y
2
2
c) 2x – 5y
2
2
e) 9x – y
2
2
b) 10x – 5y
2
2
d) x – 4y
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CAPÍTULO II
PRODUCTOS NOTABLES
Son casos especiales que se presentan dentro de una multiplicación en los cuales se puede obtener
en forma directa el producto sin necesidad de efectuar la operación. Se presentan los siguientes
casos:
1. BINOMIO AL CUADRADO. (Trinomio
cuadrado perfecto)
2
2
2
2
2
2
2. BINOMIO AL CUBO
3
3
3
3
3
3
(a + b) = a + b + 3ab(a + b)
(a + b) = a + 2ab + b
(a – b) = a – 2ab + b
(a – b) = a – b – 3ab(a – b)
3. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Por deducción:
2
2
(a + b) (a – b) = a – b
2
1
1

2
x   x  2 2
x
x

PARTE PRÁCTICA
Bloque I
1) Sabiendo que:
A = (x + 4)(x – 6)
2
B = (x – 7)
Hallar: E = A – B + 73
a) 72x
d) 12x
b) 6x
e) 9
5) Reducir:
2
2
2
J = (2x + 3y) – (4x + 9y )
c) 5x
2
a) 8x
d) 12x
2
b) 9y
e) 12xy
c) 6xy
2) Si: x + y = 9, entonces:
2
E = (2x-y) + 3x(2y-x) + 6, es:
a) 81
d) 37
b) 83
e) a-2b
c) 19
3) Determinar el valor simplificado de:
2
(a + b) – 2ab
2
a) a
2
2
d) a + b
2
b) b
2
e) (a + b)
c) 2ab
a) 10
d) 17
b) 23
c) 12
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b) 3
e) 20
c) 14
7) Indicar el coeficiente de “x” al efectuar:
3
(2x + 3)
4) Sea: a + b = 8. a.b = 15
2
2
Hallar: a + b
a) 34
6) Simplificar:
_
_ 2
_
_ 2
G = (5 + 2) – (5 – 2)
d) 7
e) 31
a) 8
d) 17
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b) 12
e) 20
c) 36
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a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
8) Reducir:
K=
_
_
4(3 + 1)(3 – 1)
_
a) 22
d) 2
_
b) 3
e) 8
c) 1
11) Si sabemos que:
2
2
a + b = 25, y
ab = 12
Hallar: a + b
a) 5
9) Sea_
x
a) 64
d) 52
b) 6
c) 7
d) 37
e) 3
d) 8
d) 7
1
1
 4 , hallar: x 3  3
x
x
b) 12
e) 62
c) 76
12) Sea:
x
a) 9
1
1
 3 , hallar: x  2
x
x
b) 3
c) 6
10) Calcular:
x  102  x  62  3x
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TAREA DOMICILIARIA
1) Reducir:
2
2
2
(x + 3) – (x + 2) + (x + 4) – (x + 5)
b) –1
e) –4
a) 0
d) –3
2
c) –2
2) Simplificar la expresión:
2
(2x + 1) – (2x)
9) Efectuar:
a) 8
_
d) 25
_
_ 2
_
_ 2
(5 + 3) + (5 – 3)
b) 16
_
e) 5
c) 2
10) Reducir:
2
2
(2x + y) – (2x – y)
8xy
a) (4x + 1) b) 4x – 1
d) x + 1
e) x – 1
2
c) 2x + 2
a) –1
b) 1
2
d) 1
e) 1
c) 1
3) Al efectuar:
3
(a + b) – (a – b)
(a + b) – (a – b)
2
a) 2a – 2b
c) 2ab
e) 4ab
3
2
se obtiene:
11) Reducir:
2 2
b) –2a b
2
2
d) 3a + b
(x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) + 4(x + 1)
a) 2x – 5
d) 5
2
4) Si: x + 1 = 3, determinar: x + 1
2
x
x
_
a) 2
b)
c) 3
d) 16
e) 7
5) Sabiendo que: a + b = 6; a.b = 7
2
2
Hallar: a + b
a) 22
d) 14
b) 36
e) 24
c) 49
6) Si se cumple que: a – b = 8; a.b = 11
2
2
Calcular el valor de a + b
a) 64
d) 22
b) 42
e) 12
c) 86
2
a + b = 10
a+b=5
8) Reducir:
__
a) 410
__
d) 810
b) 7,5
c) 25
e) 18
_
_
_ 2
2
( 5 + 2) – (5 – 2)
_
_
b) 85
c) 45
_
e) 22
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12) Si:
 a+b=7
2
2
 a . b = 10; hallar a + b
a) 29
d) 109
b) 49
e) 69
c) 39
13) Sabiendo que:
 a+b=5
2
2
 a + b = 13; hallar “ab”
a) 2
d) 8
b) 4
e) 9
a) 41
d) 72
Hallar “a.b”
a) 15
d) 12,5
c) 12x+8
c) 6
_
14) La suma de dos números es 53 y su
producto es 16. Calcular la suma de sus
cuadrados.
7) Si sabemos que:
2
b) –6
e) –4x – 10
b) 43
e) 36
c) 75
15) El cuadrado de la suma de dos números es
10 y la suma de sus cuadrados es 6.
Calcular el producto de dichos números.
a) 4
d) 2
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b) 3
e) 1
c) –2
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CAPÍTULO III
MISCELÁNEA DE PROBLEMAS
Bloque I
Desarrolla cada uno de los siguientes productos notables:
1. (x + 5) (x + 3) =
13. Reducir:
______________________
2
(x + 2)(x + 8) – (x + 5) + 10
2. (x + 7) (x + 1) =
a) 1
d) 4
3. (m + 5) (m – 2) =
b) 2
e) 5
c) 3
4. (m + 2) (m – 6) =
14. Calcular el área de la siguiente figura:
2
5. (2x + 5) =
x –11
2
6. (3x – 2) =
x+7
2
7. (5x + 3y) =
2
a) x + 4x + 77
2
c) x – 4x + 77
e) 1
8. (x + 3) (x – m) =
9. Reducir: (x + 4)(x - 4) – x
a) 16
d) 20
2
b) x + 4x – 77
2
d) x – 4x – 77
2
b) –16
e) 0
c) –20
15. Determinar el área del siguiente rectángulo:
10. Simplificar: (x + 3)(x + 4) – (x + 1)(x +
6)
a) 6
b) 12
c) –6
d) –12
e) 0
2x+ 3
2x+10
a)
b)
c)
d)
e)
11. Simplificar: (x + 5)2 – (x + 6)(x + 4)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2
2x + 26x + 30
2
4x + 26x + 30
2
4x + 30x + 26
2
2x + 30x + 26
30
16. Hallar:
(a  b)2  4ab ; si a < b
12. Calcular:
(n + 2)(n + 7) – (n + 3)(n – 3) – 23
a) n
d) 9n
b) 7n
e) 0
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c) 3n
a) a+b
___
d) a-b
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b) b-a
___
c) a+b
e) a-b
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TAREA DOMICILIARIA
1. Simplificar:
__________________
2
(x + 3) – (x + 2)(x + 4)
5. Calcular la suma de áreas de:
3-x
a) 1
d) 4
b) 2
e) 4
c) 3
x–3
2. Reducir:
(a + 1)(a – 2)(a – 1)(a + 2)
4
2
a) a – 5a + 4
4
2
c) a – 5a – 4
e) 0
4
x+5
2
b) a + 5a – 4
4
2
d) a + 5a + 4
x +5
3. ¿Cuál es la suma de áreas de las
figuras?
x-3
x–7
9–x
2
2
a) x – 55
d) x – 55
9+x
b) x + 55
e) 3
c) x + 55
6. Reducir:
____________________
2
2
 (a+2) (a-2) (a +2 ) + 16
x+3
2
a) a
b) a
4
c) a
d) 4
e) 8
d) ¼
e) 1/8
x+3
7. Reducir:
2
2
a) 81 + x
c) 6x + 81
e) 6x + 90
b) 2x + 6x + 90
2
d) 2x – 6x + 90
4. Calcular la suma de áreas de las
figuras:
2
(2x+m) – (2x-m)
4xm
b) –1
a) 1
2
c) ½
8. Sea:
x+1=3
x
3
Hallar: x + 1
3
x
4-x
a) 2
d) 6
x+4
b) 4
e) N.A.
c) 5
2
3
9. Sea: x + 1 = 7, hallar: x + 1
2
3
x
x
x–2
a) 3
b) 9
x+8
2
c) 8
2
d) 27
3
e) 64
3
10. Sea: a + b = 13, hallar: a + b ; si a.b = 6
a) 2x
d) 5x
b) 3x
e) 6x
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c) 4x
a) 25
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b) 35
c) 15
d) 20
e) 216
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CAPÍTULO IV
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO
Recuerda la
división de bases
iguales
Efectuar:
7 15
10 11
12 17
3 4
2. (35x y + 40x y – 55x y ) : – 5x y
Se debe
comparar con
una división
normal
DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO
Nota:


Se tiene que ordenar en forma descendente
En caso de no estar completa se completa con “0”
Ejemplos:
3
2
1) Dividir: 3x + 4x – 5x + 3 : x – 2
3
2
3x + 4x – 5x + 3 |
x – 2____
3
2
2
-3x + 6x
5x + 10x + 15
2
10x – 5x
2
-10x + 20x
15x + 3
-15x + 30
33
2
Q(x) = 5x + 10x + 15
R(x) = 33
RADICACIÓN DE POLINOMIOS
(sólo con monomios)
Para extraer raíz enésima de un monomio, se
extrae la raíz de coeficiente y de la parte literal
empleando exponente fraccionario.
_________
___
__
___
3
15
18
3
3
5
3
18
 –8x . y
=
 –8 . x .  y
_______
3
15 18
5
6
  –8x y
=
–2x . y
PRÁCTICA EN CLASE
1. Efectuar:
2. Efectuar:
4
1) (-16x ) : (2x)
7
3
2
2
1) (5a – 10a + 15a ) : (-5a )
10
2) (-8y ) : (-4y)
7 8
10
2
5 10
2
3
2) (-18m n + 21m n ) : (-3m m )
3) (40z ) : (5z )
75
17
4) (x ) : (x )
2 3
3 2
8 7
7 8
3) (a b + a b ) : (ab)
48
12
5) (-a ) : (a )
48
17
6) (-a : a )
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2 2
4) (x y – x y ) : (-x y )
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3. Efectuar:
4. Efectuar:
____
3
12
1)  8x
2
1) (x – 20 + x ) : (5 + x)
5
3
2) (2x + x + 2 + 3x) : (1 + x)
4
3
3)
5
3
3) (2x + 3 – x – 2x ) : (x + 2)
3
______
15
 –27a
2)
________
10 40
 –32x y
2
4) (2 + 2x – x ) : (x – 1)
_____
20
4)  81m
3
5
5) (3x + 6 – 3x + 6x ) : (x + 1)
5)
________
27 18
 –64y z
3
____
2
6)  16x
TAREA DOMICILIARIA
1. Efectuar:
3. Efectuar:
7 8
3
4
4)
10
2)
7
5
+ 80a ) : (5a )
40 80 100
(20x y z
7 5 8
70 30
– 60x y
6 10 9
15 18
10 18
+ 16x y ) : (-4x y )
9 12
4 5
3) (16a b c + 18a b c – 14a b ) : (-2a b )
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3
3
2
4
2
[2x + 6x + 3 + 3x + x (x + 1)] : (1 + x + x )
2
3
4
2
5) [13x + x (x + x + 1) + 8x ] : (1 + x + 6x)
2. Efectuar:
1) (-100a
6
1) (5 + 2x + 3x – 3x ) : (x – 2)
6
8
2
2
2) (x + 1 + 3x – 5x ) : (x + 2)
3
3) (0,5x –
1 + 2 x ) : (x – 1)
3
2
1) (15x y ) : (-3xy
10 20
9 11
2) (24m n ) : (-8m n )
_
_
18
10
3) (–52 x ) : (–2 x )
25 17
12
4) (a b ) : (a b)
8 5 7
5
5) (-42a b c ) : (-7abc )
25 32
13 12
6) (-144x y z) : (+6x y z)
4. Efectuar:
________
5
25 5
1)  –243x y
_______
5
5 25
2)  243x y
_________
3
9 30
3)  –1000a b
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_____
5 5 5
abc
__________
72 46 2
5)  100x y z
_________
3
15 42 6
6)  –8m n p
4)
5
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CAPÍTULO V
MÉTODO DE HORNER
Para esto se tiene que tener en cuenta que debe ser completo y ordenado.
D
I
V
I
S
O
R
D I V I D E N D
O
 Los coeficientes del dividendo van con su
propio signo.
 Los coeficientes del divisor van con el signo
cambiado a excepción del primero.
C O C I E N T E
Residuo
Ejemplo:
1) Dividir:
6
3
5
2
x + 6x – 2x – 7x – 4x + 6
4
2
x – 3x + 2
METÓDO DE RUFFINI
Es un caso particular del método de Horner, se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor
que adopte la siguiente forma (x + b)
Gráficamente:
D I V I D E N D
O
C O C I E N T E
RESTO
Término independiente del divisor con el signo cambiado.
Ejemplo:
1) Completar en el problema:
Efectuar:
6
4
3
3x + 2x – 3x + 5
x–2
5
12
 Q(x) = __________________________
Rg = _______________
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
Bloque I
En los siguientes ejercicios, calcular el cociente y residuo:
3
2
1. 2x + 5x + 3x – 2 =
x+1
7. Sabiendo que la división:
4
2
3x + x – x + n + 1, es exacta, hallar “n”
x+1
3
2
2. 7x – 2x + 5x – 10 =
x–1
4
3
b) –6
e) 5
a) 1
d) 4
c) 3
2
3. 28 x + 51x + 74x + 55x – 12 =
2
4x + 5x + 6
2
3
2
8. Dividir: 4x – 5x + 3x – 3, e indicar
x–1
su residuo.
a) 1
b) –1
d) – 1
2
e) 0
c) 1
2
4. Al dividir 3x – 5x + 6, su residuo es:
x–1
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
9. Al dividir, su cociente es:
3
4
6x + x + 2x + 3
x+3
2
3
5. Al dividir 4x + 2x + 3x + 6, su cociente
es:
x+2
2
2
a) x – 3
3
d) 2x + 3
b) 2x – 3
2
e) 2x + 3
2
a) 2x + 1
3
d) 2x – 1
4
b) 2x + 1
4
e) 2x – 1
3
c) 2x + 1
c) 2x + 3
10. Completa el siguiente diagrama y luego
indica el producto de valores hallados
6. Hallar la suma de coeficientes del
cociente que resulta de dividir:
3
+ 1
-3
-4
6
-8
2
x + 5x + 10x + 1
2
x + 2x + 1
a) 1
d) 4
b) 2
e) –6
-2
c) 3
2
a) –12
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3
b) 12 c) 1
-4
d) 16 e) 0
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TAREA DOMICILIARIA
3
2
1. Dividir: x + x – x – 2, e indicar el
término
x–1
independiente de su cociente.
a) 2
d) 8
b) 4
e) 10
2
c) 6
3
2. Dividir: x + 2x – 5x + 2 e indicar la
suma de
x+2
coeficientes del cociente.
b) –1
e) 0
a) 1
d) –2
2
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
7. Determinar el valor de “n” si la división:
3
2
2x + x – 5x + (n – 7)
x+2
tiene residuo nulo.
2
3x – 32x + 52x – 63
x–9
a) 5
d) –10
3
2x – 5x + 2x – a
x–1
sea exacta.
c) 2
3. Indicar la suma de coeficientes del
cociente al dividir:
3
6. Hallar “a”, para que la división:
b) 2
e) 7
c) 5
8. Sabiendo que la división:
4
2
3x + x + 5x + (2n – 3)
x+1
c) –5
b) 10
e) 0
a) 9
d) 8
es exacta, determinar el valor de “n”
4. Completar el siguiente diagrama de
Ruffini:
2
3
-3
-5
9
2
-3
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
6
-12
6
-2
12
Luego, indicar la suma de valores
hallados.
a) 0
b) 20
c) 8
d) 14
e) 12
5. Completar el siguiente diagrama y
luego indica el producto de los valores
hallados:
+1
-3
-8
-4
6
-6
3
-4
-2
2
a) –12
d) 16
b) 12
e) 0
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8
c) 1
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CAPÍTULO VI
TEOREMA DEL RESIDUO
Este teorema, permite calcular en forma directa el residuo de la división de un P (x) de cualquier grado
entre un divisor que adopte la forma: ax + b
a y b son coeficientes
x es variable
O sea el residuo:
R=
 b
P  
 a
Si hacemos que (ax + b) sea igual a cero tendremos  ax + b = 0
x=–b
a
Despejando x:
Ejemplos:
3
1) Halla el residuo: P(x) = 3x + x +1
3x – 6
 3x – 6 = 0
3x = 6  x = 2
Reemplazamos este valor x = 2 en
P(x); el cual será el residuo pedido.
P(2) = 27
2) Hallar el residuo de:
4
3
3x + 4x – 3x + 1
2x – 2
3
P(x) = 3x + x + 1
3
P(2) = 3(2) + (2) + 1
MISCELÁNEA DE PROBLEMAS
1) ¿Cuánto
debemos
aumentar
al
polinomio P(x) para que al dividirlo entre
(x+1) el residuo resulte ser 40?
4
5) Hallar la suma de coeficientes del cociente
que resulta de dividir:
3
2
2
[x + 5x + 10x + 10] : [x + 2x + 1]
3
P(x) = x + 3x – x + 1
a) –42
d) –20
b) –17
e) 38
c) 42
2) ¿Cuánto hay que aumentar a P(x) para
que al dividirlo entre (x – 2) el resto sea
24?
5
2
P(x) = 2x – 5 + x + 2x
a) 19
d) 21
c) 11
3) ¿Cuánto se debe disminuir a P(x) para
que al dividirlo entre (x + 1) el resto sea
nulo?
6
4
P(x) = x + 2x – 1 + x
a) 3
d) –2
c) –1
4
12
a) –2
d) 2
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2
b) –1
e) –6
c) 4
7) Calcular el residuo de dividir:
x
73
49
+ 2x + x – 1
7x + 7
a) –1
d) 8
b) –7
e) –5
200
(x + 3) + 2x – 7
4x + 8
b) 4
e) –12
3
c) 5
8) Hallar el mayor de los residuos en las
siguientes divisiones:
4) Calcular el residuo de dividir:
a) 8
d) –10
c) 3
6) ¿Cuánto le debemos aumentar al coeficiente
del término cuadrático de P(x) para que dicho
polinomio sea divisible por (x + 1)?
2
b) -3
e) 2
b) 2
e) –6
P(x) = 2x + x + 4x + 1
3
b) 79
e) 13
a) 1
d) 4
3
488
17
(x + 1) + 3x – 1 ; x + 7x + 1
2x + 4
2x + 2
c) 6
a) –2
d) –5
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b) –24
e) 8
c) 1
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9) Hallar el residuo de dividir:
8
6
2
13) Calcular el resto en:
2
(3x + x – 5x + 1) : (x + 2)
a) 26
d) 18
b) 37
e) 55
4x
2
16
– 2x
b) 23
e) 12
12
b) 2
e) 5
c) 3
14) Hallar “n”, sabiendo que:
4
2
c) 11
a) –1
8
2
2
b) –3
e) –4
b) –3
c) 2
d) 3
e) 4
15) Determinar “n” para que:
3
+ 2x – 3x + 1] : [x – 1]
a) –2
d) –5
+1
2x + 3x – 5x + 2n, es exacta:
2x + 4
11) Calcular el residuo de dividir:
[x
39
a) 1
d) 4
P(x) = 3x + 2x + x + a + 1
a) 13
d) 10
+ 8x
x+2
c) 51
10) Calcular a para que P(x) sea divisible
por (x + 2)
3
40
2
3x – 17x + 27x + n + 8, tenga como residuo
x–4
16
c) –1
a) –10
b) –20 c) 10
d) 20
e) 0
12) ¿Cuánto se debe aumentar al
4
coeficiente de x en: P(x) = 3x – 2 + x –
3
x para que al dividir P(x) entre (x + 1) el
residuo sea 16?
a) –12
d) –10
b) –15
e) –20
c) –11
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior nos entrenamos en el manejo de productos con expresiones algebraicas,
mediante la aplicación de ciertas reglas.
Ahora nos interesa realizar el procedimiento contrario, es decir, que dado una expresión algebraica,
hallaremos los factores que la componen, a este proceso se le conoce con el nombre de
Factorización.
Es de suma importancia el dominio de la factorización en todo proceso matemático, ya que permite
simplificar su desarrollo.
FACTORIZACIÓN
CONCEPTO: Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada en
factores primos.
CÁLCULO DEL NÚMERO DE FACTORES ALGEBRAICOS
En general:
Si:
m
n
N=A .B .C
p
N . Fp = (M + 1) (n + 1)(P + 1) – 1
Ejem:
1) ¿Cuántos factores tiene la siguiente expresión?
3
2
P = x (x + 1) (x – 3)
4
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 N . Fp = (3 + 1)(2 + 1)(4 + 1) – 1 = 4 . 3 5 - 1
N . Fp = 60 – 1 = 59 factores.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Estudiaremos aquí tres métodos básicos:
1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN:
a) Factor Común Monomio
Ejemplo:
Factorizar: mx + my + mz
mx + my + mz = m(x + y + z)
Factor Común
Observación:
Si el factor común es un letra con diferentes exponentes en todos los términos, extraemos
dicha letra con su MENOR EXPONENTE.
b) Factor Común Polinomio
Ejemplos:
2
(1) Factorizar: (a + b)x + (a + b)y + (a + b)z
(a + b) está como factor en cada uno de todos los términos, luego (a + b) es el Factor
Común Polinomio:
2
2
(a + b)x + (a + b)y + (a + b)z = (a + b)(x + y + z)
PRÁCTICA
I.
Factoriza los siguientes polinomios:
(1)
ax + bx
(2)
my – mz
(3)
x a+x b
(4)
(5)
2
2
3
3
3
2
(6)
ax–a y
(7)
a +a
(8)
a +a +a
(9)
a b+b
2
3
2
m y+m t
2
2
a x + ay
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(16) 2mn + n
3
2
(10) x y – y – zy
2
(17) 5xy + 3y – ym
(11) x + 2x
3
2
4
3
3
(18) x + 2x – x
(12) a + 5a + 3a
2
8
(13) z + 3yz – z
2
6
(19) 6a – a
2
9
(20) 10x – 9x
(14) x + x
10
3
(15) x – xy – 5x
II.
Factorizar los siguientes polinomios:
(1) (x – y)a + (x – y)b
(6) (a + b + c)x + (a + b + c)y
2
(2) (a + b)m + (a + b)n
3
4
4
3
4
3
(7) (m + n )a – (m + n )b
3
(3) (x + y)a + (x + y)b
2
3
4
(8) (x + y) – (x + y) z
4
3
(4) (a + 2b)x + (2b + a)y
(9) (m + n – 1)x2 + (m + n – 1)x – (m + n – 1)
2
2
2
2
2
2
(5) (m + n )x + (m + n )y
2
2 3
2
2 5
2
2 2
(10) (a + b ) a + (a + b ) c + (a + b )
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TAREA DOMICILIARIA
I. Factoriza los siguientes polinomios
8
2) 7abc – 5abc
2
6
4
9) a + 12a – 18a + 24a
1) 3xy + 5xyz
2
4 4
8 3
2
11) (x + y)(a + b) + (x + y)(m + n)
2
2
3
3
9 4
10) 5a b + 25a b – 30a b
3) 6m n – mn
2
2
2
12) (m + n)(x – y) – (m + n)(2x + 5y)
4) x y + xy
5
13)
(x + y + z + w)a – (x + y + z + w)(b + c)
14)
(a + b + 1) – (a + b + 1)(x – 2) + (a + b + 1)
15)
(x – t) y – (x – t)(y – 1) + (x – t)(y – 2)
5) a b – ab
4
4
2
4
6) 2a b – 4ab – 6a b4
3
3
4
3 2
4
4
3
7) 5xyz – 3xy z + 2x yz
5
4
3
8) 2x + 3x – 2x + x
2
16) (y2 + y + 7)2c2 – (y2 + y + 7)(c – 3) + y2 + y + 7
c) Agrupación de Términos
En polinomios donde todos los términos NO TIENEN factor común, podríamos agrupar sólo
aquellos términos que los tengan para aplicar luego Factor Común Polinomio.
Ejemplos:
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(1) Factorizar:
E = am – bm + an – bn
Solución:
Dos términos no tienen m como factor común, pero sí los dos primeros.
Así mismo, todos los términos no tienen n como factor común, pero sí los dos últimos.
Entonces, extraemos el factor común m a los dos primeros y el factor común n a los dos
siguientes términos.
Es decir:
E = am – bm + an – bn
E = m(a – b) + n(a – b)
Observa que ahora podemos aplicar FACTOR COMÚN POLINOMIO, entonces decimos
que la AGRUPACIÓN FUE CONVENIENTE; si no llegamos a esta situación, debemos
ensayar otra forma de agrupar los términos, o en todo caso, cambiar de método.
E = (a – b)(m + n)
(2) Factorizar:
3
2
F=a +a +a+1
Solución.
Los cuatro términos no tienen factor común, pero si agrupamos los dos primeros y los
2
dos últimos, encontraremos como factor común polinomio a (a + 1), el cual puede ser
2
escrito también así +( a + 1)
 Agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos:
3
2
F = (a + a ) + (a + 1)
 Extraemos factor común a en el polinomio del primer paréntesis: F = a (a +1) + (a + 1)
2
2
 Extraemos factor común (a + 1) en todo el polinomio F:
(3) Factorizar:
3
2
F = (a + 1)(a + 1)
2
G = 2x + 2x – x – 1
Solución:
Para cambiar de signos a un polinomio sólo tenemos que encerrarlo en un
paréntesis, precedido del signo negativo.
Así:
– a + b = – (+a – b) ó – (a – b)
En nuestro problema, si agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos va
a ser necesario cambiar de signos a estos dos últimos términos para conseguir
finalmente el factor común
(4) Factorizar: H = 2a – 3b – 4ac + 6bc
Solución
Observa con mucho cuidado:
Todos los términos no tienen factor común, pero sí los dos últimos, los cuales
tienen a c como factor común. Además 4 y 6 pueden ser escritos como 2 x 2 y 2 x
3 respectivamente, lo que significa que el factor común de los 2 últimos será 2c.
Para que en todo el polinomio H haya un factor común polinomio, conviene que en
los dos últimos términos el factor común sea el opuesto de 2c, es decir –2c.
 Agrupando los dos últimos términos, vamos a extraer el factor común –2c:
H = (2a – 3b) – 2c(2a – 3b)
 Extraemos factor común polinomio:
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H (2a – 3b)(1 – 2c)
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PRÁCTICA
Cambiar de signos a los siguientes polinomios (o “factorizar el signo – ”)
I.
2
(1)
–a –b
(13) –2y – 5y + 1
(2)
–x –y
(14) –7m + 6m – 2
(3)
–3x – m
(15) 3x – 5x + 1
(4)
–2a + b
(16) 7x – 5y – 3z
(5)
–x – 1
(17) 3x – 5y + 1
(6)
–2x + 1
(18) 6mn – n – m
(7)
1 – 3a
(19) a – 2ab + b
(8)
x –x–1
(20) a – b
(9)
2x – 3y – 2
(21) a – b
(10) 3a – m + 1
(22) a + b
8
3
2
2
2
2
2
4
5
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
(11) x – x – 1
(23) a – 3a b + 3ab – b
(12) –3x – y + z
(24) x – 5x + 6
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3
2
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II.
ALGEBRA
Factorizar los siguientes polinomios por Agrupación de Términos:
(1)
xy – zy + xt – zt
(14) y + 3axy + 3axz + z
(2)
2
2
2
2
a b+a c+d b+d c
(15) z + 3axy + y + 3axz
(3)
5
3
2
x +x +x +1
(16) ax + a + bx + b
(4)
5
3
2
a + a – 2a – 2
2
2
(17) a – 3m + a n – 3n
(5)
ab + bc + xa + xc
2
2
(18) a m – 3n – 3m + a n
(6)
mn + 1 + 2amn + 2a
(7)
x + y + 3xz + 3yz
(8)
x + 3xz + y + 3yz
(19) ax + bx – cx + ay + by – cy
(20) 3mx – 2nx + 3my – 2ny
2
3
2
(21) 7ay – 5bx + 7by – 5ax
(9)
3
x + 3yz + y + 3xz
2
2
(22) 3az – 3bz – 3z – 3at + 2abt + 2t
(10) 2m n + 2m + n + 1
2
2
2
(11) n + 2m + 1 + 2m n
2
2
2
2
2
2
(23) am + bm + an + bn
2
2
(12) 2m n + n + 2m + 1
2
(24) bm + bn + am + an
(13) 3axy + 3axz + y + z
2
2
2 2
2
2
2 2
(25) .x m + x t + y m + y t
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2 2
2
2
ALGEBRA
2
2
2 2
2 5
2
3 5
2
2
2
2
3
3
(29) 5a x + 3a y – 5b x – 3b y
(26) y t + x m + y m + x y
3
(27) w x + 3w – t x – 3t
2
2
(30) 2a y – 2b y – 2cy – a + b + c
(28) ax – ay – cx + cy + bx – by
2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES
Este método se basa en los PRODUCTOS NOTABLES, a los que también se les llama
IDENTIDADES ALGEBRAICAS, es decir: Si se nos proporciona un polinomio cuya forma
conocemos, podemos escribir la multiplicación indicada de factores que le dio origen.
Consideremos 4 de estas identidades:
a) Diferencia de Cuadrados (DC)
2n
a
– b
n
2n
n
n
n
/ n  |N
n
= (a + b )(a – b )
La expresión factorizada, se lee así:
“Suma de las raíces cuadradas
multiplicada por la diferencia de las
mismas”
n
a
b
Ejemplos:
(1) Factorizar:
4
2
x –y
Solución:
PRÁCTICA
1) Extraer la raíz cuadrada de las siguientes expresiones algebraicas:
(Considerar sólo la raíz positiva)
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
4x
RAÍZ
CUADRADA
2
(yz)
2
4
y
EXPRESIÓN
RAÍZ
EXPRESIÓN
RAÍZ
ALGEBRAICA CUADRADA ALGEBRAICA CUADRADA
2 6
100x y
(5a - 2b )
8 26
(m – 5b)
10
abc
2 2
(x + y)
36x y
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8
8 6 4
25a b c
9x y
16z
(3x – y)
6 8 10
6
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2 4
2
8
2 10
(a – b – c )
4
(a + 1)
6
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ALGEBRA
2) Factorizar:
2
2
(13) (x + 3) – 16
(1)
1– x
(2)
16 – y
2
2
(14) (2a – 1) – 25
2
(15) 9 – (x + 1)
(3)
4
a –b
2
2
2
2
(16) a – (b + 1)
(4)
2
2
4x – y
(17) 4 – (5 – x)
(5)
2
2
–a + b
4
2
(18) 1 – (a – b)
2
2
2
(6)
25x – 9y
(7)
35a – b
(8)
100 – y
(9)
1 – 25x
8
2
8
(19) (a + 2b) – 36
2
6
(20) x y – a b
2 2
10
4 4
2
(10) 36 – z
(21) (a + b – c) – 100
2
2
2
(11) (m – 1) – n
4
(22) (a + b + c) – (x + y – z)
2
2 2
(12) 49x – 4y
(23) (x – y – z ) – 100
TAREA DOMICILIARIA
Factorizar:
(1)
(2)
(3)
2
2
(m – n) – 49
2
2
4
(4)
(7x – 1) – y
(5)
(3mn – n ) + t
2
(3x – y) – 64
2 2
2 2
8
2
(a – 5x ) – y
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ALGEBRA
2
(x + y) – (m + n)
(6)
2
4 10 2
(10) x y z – 1
2
(a + 2b) – c
(7)
2
2 4 6
(11) 9 – 4a b c
4
18
(3x – y) – z
(8)
2
(12) (a + 2b) – (c + 2d)
2
(xy) – (ab)
(9)
2
2
(13) 1 – (xyzw)
8
b) Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
2n
n n
a
a
+ 2a b + b
n
b
2n
n
n 2
= (a + b )
/
n  |N
n
n n
2a b
Ejemplos:
2
(1) Factorizar:
E = 25 + 20y + 4y
Solución:
PRÁCTICA
I.
Completar el siguiente cuadro:
Raíz
Raíz cuadrada
cuadrada del del 3° término
1° término (a)
(b)
Polinomio a
Factorizar
2
2
x + 6xy + 9y
x
3y
Doble del
producto de
ayb
¿Es
TCP?
Polinomio
factorizado
2(x)(3y) = 6xy
Si
(x + 3y)
2
2
25a – 10a + 1
m
16
8
+ 4m + 4
2
x +x+1
6
3
49x – 70x + 25
9x
20
10 3
6
+ 6x y + y
2 4
2
25x y – 20xy + 4
4
2
a +a +1
x
40
– 2x y + y
20 3
6
2
2
a + 4ab + 4b
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II.
ALGEBRA
Factorizar:
2
(1) x + 10x + 25
2 3
4 6
(12) 6x y + 9 + x y
2
(2) x – 12x + 36
2
(3) 4x – 4x + 1
2
4
2
(13) x + y – 2xy
2
(4) 49a – 28a + 4
6
4
3 2
(14) 4x + 9y – 12x y
2
2
(5) 9t + c – 6tc
2
(15) 144 + a
2
a
(6) x + 25y – 10xy
3
(16) 2x + x
6
(7) 48m + 64m + 9
2
4
(8) m + 49n – 14mn
(17) m
16
24
2a
12
– 24a
+1
8 2
4
+ 2m t + t
2
2
(18) (t + 5) – 2(t + 5) + 1
(9)
2
100x + 1 – 20x
2
(19) 49 + 4(m + 3) – 28(m + 3)
16
(10) 4a
2
8
+ b + 4a b
2
(20) 60(m – 7) + 100(m – 7) + 9
2
4
(11) 2y + 1 + y
TAREA DOMICILIARIA
(1) 4x
10
5
– 12x + 9
2
(5) (y + 2) + 6(y + 2) + 9
2
2
(6) (z + 3) + 16 – 8(z + 3)
4
(2) 12y + 1 + 36y
2
5 2
(3) 20x y + 4x
10
(7) 1 + 4(x – 3) – 4(x – 3)
4
+ 25y
(8) 25 – 20(y – 1) + 4(y – 1)
2
2
(4) (x + 5) + 2(x + 5) + 1
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ALGEBRA
(9) 12(1 – z) + 1 + 36(1 – z)
2
(10) 9 + 12(5x + 1) + 4(5x + 1)
2
3. MÉTODO DE ASPAS
a) Factorización por Aspa Simple:
¿En qué consiste esta prueba?
2
Factorizar:
10x + 23x + 12
Es decir:
2
10x + 23x + 12
5x
2x
+4
+3
Ejemplo:
(1) Factorizar:
2 4
2
M = 3a b – 8ab c + 5c
2
Solución
 Aplicamos la prueba del aspa:
M =
2 4
2
2
3a b – 8ab c + 5c


2
3ab
– 5ac
2
ab
–c
 Escribimos el polinomio factorizado: M = (3ab – 5c)(ab – c)
2
2
b) Factorización por Aspa Doble
Aplicamos este método en polinomios de SEIS términos que tengas la siguiente forma:
Ax
2n
n n
2n
+ Bx y + C + Cy
n n
n n
/ n  |N
2n
+ Dx z + Ey z + Fz
Ejemplos:
2
2
2
(1) Factorizar: E = 2x + xy – 6y – 5xz + 11yz – 3xz
Solución
 Aplicando dos veces la prueba del aspa simple:
2
E = 2x + xy

2x
x
 Escribimos el polinomio factorizado como la
multiplicación indicad de dos factores de tres
términos cada uno, así:
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2
2
– 6y – 5xy + 11yz – 3z


– 3y
+z
+ 2y
–3z
E = (2x – 3y + x)(x + 2y – 3z)
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(2) Factorizar:
ALGEBRA
2
2
F = 6x – 11xy + 3y + 7x – 7y + 2
Solución
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ALGEBRA
PRÁCTICA
I.
Factorizar por Aspa Simple:
(1)
2
x + 9x + 8
4
(11) m – 16 – 6m
(2)
2
2
a + 2a – 35
2
(12) 6m – 7m + 2
(3)
2
m – 8m + 12
2
(13) 14x + 29x – 15
(4)
2
21 + x – 10x
2
4
(14) x + 10x – 2
(5)
2
c – 6c – 27
2
(15) 7m + 4 + 3m
(6)
4
2
8t + t + 15
(16) 3x7 + 10x14 – 1
(7)
2x – 3 + x
2
4
2
(17) 15t – 39t – 16
(8)
4
2
x +x –6
2
4
(18) 2a + 8a – 3
(9)
6
3
t – 6t + 5
(19) 4 + 24x
10
10
– 35x
5
5
(10) a – a – 20
4
2
2
(20) 15a + a b – 6b
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ALGEBRA
2
(21) 6x
10
2
(23) 3a + 5ab – 2b
5
– 5x – 6
8
2
4
4
2
(24) 21m – 17m n + 2n
2
(22) 10x y + 10x – 6y
II.
Factorizar por Aspa Doble:
2
2
2
(1)
x + xy – 2y + 11yz – 2xz – 15z
(2)
7yz + 2x – 3xy – 3z – 2y – xz
(3)
a + 7ab – 4ac + 10b – 11bc + 3c
(4)
x – 2y + 6z – xy + 5xz – yz
(5)
2x + 4xy – 11x – 6y + 7y + 5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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2
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2
2
(6)
10a – ab + 11a – 6b + 13b – 5
(7)
2x – 5xy + 2y – 3y – 2
(8)
14m + 3mn + m – 5n + 8n – 3
(9)
2a + 3ab + ac – 2b – 3bc – c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(10) 6x – xy – y + 5y – 6
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ALGEBRA
PROBLEMAS PROPUESTOS
(1)
4 4
a) 5
d) 7
(2)
b) 6
e) 3
b) 7
e) 1
c) 6
Dar la cantidad de factores primos que
8
8
se obtiene al factorizar x – y
a) 8
d) 4
(4)
c) 4
¿Cuántos factores primos hay en la
8
expresión x – y ?
a)8
d) 4
(3)
b) 5
e) 1
c) 6
Uno de los factores que se obtiene al
9
9
factorizar x – y es:
(6)
b) 5
e) 6
b) 2
e) Ninguno
c) 3
(11) En Álgebra, factor (primo y no primo) de
un polinomio es otro polinomio de grado
diferente de cero que divide exactamente
al primero, razón por la cual a un factor
se le conoce también con divisor. Según
eso, ¿cuántos factores tiene el polinomio
factorizado:
2
(a + 2b) (2a + b)?
a) 3
d) 6
b) 2
e) 4
c) 5
(12) Dar un factor de P(x) si:
4
b) 3
e) Ninguno
8
P(x) = x + 6x + 9x
4
b) 3x
c) (1 + 3x )
e) (1 + 3x)
(13) ¿Cuántos factores primos lineales se
obtiene al factorizar P(x)?
4
P(x) = x + 1 – 2x
c) 1
12
4
a) 1
d) (1 – 3x)
c) 3
¿Cuántos factores primos de 2° grado se
obtiene al factorizar:
4
4
4
4
a m + a n – b m – b n?
a) 2
d) 4
a) 1
d) 4
b) (x – y)
2
d) (x – y )
¿Cuántos factores primos se obtiene al
factorizar:
2
2
2
2
ax + bx – ay – by ?
a) 1
d) 4
(10) ¿Cuántos factores primos de segundo
grado se obtiene al factorizar P(x)?
6
4
2
P(x) = 25x – 10x + x
2
a) (x + y)
2
2
c) (x + xy + y )
2
e) (x – y)
(5)
4 4
Si factorizamos ac x y – ab c y,
¿cuántos factores primos se obtiene?
a) 2
d) 4
2
b) 1
e) Ninguno
c) 3
(14) ¿Cuántos factores primos se obtiene al
factorizar la siguiente expresión?
2
2
E = 2(a + b)xy + (a + b)y + ax + bx
(7)
En el problema anterior, ¿cuántos
factores primos de primer grado hay?
a) 1
d) 5
(8)
b) 4
e) 3
2 2
(9)
2 2
2 2
b) 2
e) 5
2
2 2
c) 3
3
(16) ¿Cuántos factores primos de segundo
grado tiene la siguiente expresión?
3 2
5
E=x y –y
4
P (a,b) = 4a b + 12ab + 9b
b) 2
e) Ninguno
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
2
b) (3a – 1)
d) (a – 1)
a) (a + 1)
c) (a + 1)
2
e) (a + 2)
¿Cuántos factores primos lineales se
obtiene al factorizar P(a,b)?
a) 1
d) 4
c) 3
(15) Uno de los factores que se obtiene al
factorizar:
2
2
2
F = a (9a – 4) + (1 – 2a )
es:
F=a x –b x –a y +b y
a) 1
d) 4
b) 1
e) Ninguno
c) 2
¿Cuántos factores de primer grado se
obtiene al factorizar la expresión F?
2 2
a) 2
d) 4
2
c) 3
TELEF: 066402103
a) 2
d) 5
b) 3
e) 1
c) 4
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(17) ¿Cuántos factores primos se obtiene al
factorizar P(x,y)?
3
6
(20) Dado el siguiente polinomio:
3
F = (x + y)z + x + y
7
P(x,y) = (x – y)x + xy – y
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
la división F : P debe ser tal que el
residuo sea CERO. ¿Cuál de los
siguientes polinomios puede ser tal
expresión P?
c) 3
(18) Dado el siguiente polinomio en x:
8
2
P(x) = x – x
2
a) (z – z + 1)
c) (x – y)
2
e) (z + 1)
¿Cuál de los siguientes polinomios no es
divisor de P(x)?
b) (z – 1)
2
d) (x – y)
b) (x – 1)
c) (x + 1)
4
2
e) (x + x + 1)
a) x
2
d) (x + 1)
(19) Dado el siguiente polinomio en a:
16
P(a) = 7a
7
– 7a
¿Cuál de los siguientes polinomios divide
exactamente a P(a)?
2
a) (a – 2)
8
c) a
e) (a + 1)
b) (a + a + 1)
2
d) (a – a + 1)
PRÁCTICA DOMICILIARIA
(1) Hallar la suma de los términos
independientes de los factores primos de:
2
(5) Hallar la suma de los términos
independientes de los factores primos de
P(x) si:
72 + x – 17x
2
4
P(x) = 4x + x – 5
a) 72
d) –17
b) 15
e) –9
c) 9
a) 1
d) 0
(2) ¿Cuántos factores primos se obtiene al
factorizar P(x,y)?
3
2
P(x,y) = 2x y – 5x y – 3xy
a) 1
d) 4
b) 2
e) ninguno
a) (x – 2)
3
d) (x + 2)
2
b) (x + 1)
e) (2x + 1)
a) 2
d) 4
2 2
b) 3
e) ninguno
c) 1
(7) ¿Cuántos factores primos de 3° grado se
obtiene al factorizar:
6 3
3 3
3
2x y – 13x y – 24y ?
c) (x + 1)
a) 2
d) 5
(4) ¿Cuántos factores primos se obtiene al
factorizar?
3
c) 3
(6) ¿Cuántos factores primos de segundo
grado se obtiene al factorizar
6
4
2
9y + 26y – 3y ?
c) 3
(3) Uno de los factores que se obtiene al
4
2
factorizar (5x – 1) – (x + 3) es:
b) 5
e) 4
3
b) 3
e) 1
c) 4
(8) ¿Cuántos factores primos lineales se
obtiene al factorizar
a bc – a b c – 6ab c
4
2
4x y + 4y – 17x y ?
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
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c) 3
a) 1
d) 4
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b) 2
e) 5
c) 3
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ALGEBRA
ECUACIONES
Concepto: Es una igualdad de 2 expresiones algebraicas que se verifica o satisface sólo para
determinados valores de sus incógnitas.
Ejem:
3x + 2
=
primer
término
4x + 1
, para x = 1
segundo
término
3(1) + 2
5
=
=
4(1) + 1
5
CLASES DE ECUACIONES
I.
Ecuaciones compatibles: Es aquella cuyo conjunto solución tiene por lo menos un elemento. Éstas
a su vez pueden ser:
II. Ecuación incompatible: Denominado también absurdo o inconsistente; es aquella cuyo conjunto no
presenta ningún elemento.
2
2
X + 5x + 1 = x + 5x + 3,
1

3x
x(x + 3)+ 2 = 3(x + 1) + x
2 
3
2
III. Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos solución poseen los
mismos elementos.
4x – 8 = x + 7

x=5
2x + 8 = 20 – 3x

x=5
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN IR
Ejemplos:
1) Resuelve: 7x – (2x – 6) = (x + 1) – (3x + 2)
7x – 2x + 6 = x + 1 – 3x – 2  7x = –7
x = –1
2) Resolver:
2
x + 5x – 3 = x(x + 1) – 2
3) Despejar “x” en:
ax + b = cx + d
Nota.- Resolver una ecuación equivale a despejar la incógnita,
por lo cual daremos los pasos necesarios para que “x”
aparezca una sola vez en uno de los miembros de la
formación.
4) 5m(x – 1) – (7x + m) = nx + 1  despejar “x”
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Resolver:
5) (x + 2)(x – 2) + 3x – 1 = 2 + x(x + 2)
6) ¿Cuál es el valor de x que hace que P(x) se anule?
P(x) = 2x + 5 – 1 – x – 2
3
2
6
7) Calcular el valor de x, para el cual, la siguiente fracción no está definida:
6x – 5
5x – 3 – x – x
3
4 6 12
8) Resolver:
_
3x – 3 = 3 (3 – x)
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver las ecuaciones siguientes:
(1)
(2)
(3)
(4)
(8x + 4) – (5x – 6) = x + (–3x + 20)
2
(7)
3x(x + 2) – 9 = 3x + 4(x – 2)
(8)
(x + 5)(2x – 4) = x(2x + 1)
(9)
x – 2(x – 3) = 4x – (x + 3)(4x – 1)
12 + 2x – (10 + x) = 4 + (5x – 6)
2x – (–6 + 3x) = 4x + x – (5x + 4)
2
3(2x + 2) = 9(x – 1)
2
(10) (x + 3) = (x – 2)
(5)
2
5(x + 7) = 4x – 2(x – 13)
(11) 9x(x – 1) = x + (3x – 2)
(6)
2
24 – 4(x + 3) = 2(10x – 6)
2
2
(12) 4x – (2x + 1) = –13
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(20) x – 1 + x = 2 + 3x
2 10
5
5
2
(13) (x + 4)(x – 4) = x – 2(x – 2)
(21) x + 2x + 1 = 5x – 3
6
12 4
2
(14) (x – 1) – (x – 3)(x – 3) = 0
(15) (x + 4)(x – 2) = 6 + x(x – 5)
(22) x – 5
2
– x =2
5
(16) 12x – (2x + 3) = 8x – (2x – 5)(2x – 3)
2
(23) x + 2 + x – 4 = 1
3
6
(17) (3x – 1)(3x + 3) = (3x + 2)(3x – 2)
(24) x – x – 2 + 1 = 5x
2
7 14
(18) x – x + 5 = 3x
2
2
(25) x – 3 – x = 2 – x + 1
4
6
12
(19) 7 + x – 3x = 0
3 2
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CAPÍTULO III
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES
(Enunciados Verbales)
EXPRESIÓN SIMBÓLICA DE ENUNCIADOS VERBALES
Expresar simbólicamente un enunciado verbal es traducirlo al lenguaje simbólico, donde los números y la
variable se vinculan mediante operaciones para formar una ecuación.
En el cuadro siguiente se muestran algunos ejemplos de la expresión matemática de problemas
sencillos.
Problemas
1.
El
duplo
de
un
número
aumentado en 4 es igual a 16
La mitad de un número
disminuido en 3 es igual a 2
2.
El
triple
de
un
número
aumentado en su mitad es 7
3.
4.
5.
6.
La suma de dos números enteros
consecutivos es –17
Elección de la variable y su
relación con los datos
x representa el número
2x es duplo
2x + 4 es su duplo aumentado en
4.
x representa el número
x es su mitad
2
x – 3 es su mitad disminuido en 3
2
x representa el número
3x es su triple
3x + x es su triple aumentado
en
2 su mitad
x representa el número menor
(x + 1) es su consecutivo
La edad de un padre es el x representa la edad del hijo
cuádruplo de la de su hijo y 4x es la edad del padre
ambas edades suman 45 años
x + 4x es la suma de las edades
Juan tiene 10 soles más que x representa el dinero de Pedro
Pedro, Carlos tanto como Juan y (x + 10) es el dinero de Juan
Pedro juntos y el dinero de los (2x + 10) es el dinero de Carlos
tres suman 100 soles
Ecuación
2x + 4 = 16
x–3=2
2
3x + x = 7
2
x + (x + 1) = –17
x + 4x = 45
x + (x + 10) + (2x + 10) =
100
EJERCICIOS DE AFIANZAMIENTO
(1) Calcular el número cuyo triple disminuido
en siete unidades resulta 326.
4 años, ¿qué edad tuvo Maritza el anteaño
pasado?
(2) Hallar el número cuyo duplo aumentado
en su mitad da como resultado 90.
(6) La suma de las edades de Héctor y
Octavio es 26, si la diferencia de estas
edades es 2 años, ¿cuál será la diferencia
de estas edades dentro de 17 años?
(3) El triple de la edad de José aumentado en
un año, es igual al duplo de su edad
aumentado en 13 años. ¿Cuál será la
edad de José dentro de 13 años?
(7) La suma de 2 números es 300 y su
diferencia 42; ¿cuál es el número mayor?
(4) Alberto tiene 6 años menos que Víctor. Si
la suma de ambas edades es 16 años,
¿cuál es la edad de Víctor dentro de 2
años?
(8) La edad de Ernesto es el triple de la de
Jaimito; si ambas edades suman 52 años,
¿cuántos años cumple Jaimito el próximo
año?
(5) La edad de Maritza y de Gladys suman 20
años. Si Maritza es mayor que Gladys por
(9) Al comprar un libro, un buzo y una mochila
pagamos por todo S/. 50. Si el buzo
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cuesta 6 veces lo que cuesta la mochila y
el libro cuesta S/. 15 menos que el buzo;
calcular el precio de la mochila.
(10) Al preguntársele a un hombre por su
edad, responde: “Si al triple de mi edad le
quitas 12 años, obtendrás lo que me falta
para tener 100 años”. ¿Qué edad tenía
hace 12 años?
TAREA DOMICILIARIA
(1) Pedro tiene 6 años menos que Víctor. Si la
suma de ambas edades es 18 años. ¿Cuál
es la edad de Víctor dentro de 2 años?
a) 10
d) 13
b) 12
e) 9
a) 129
b) 87
c) 171
d) 180
e) 150
(3) La edad de Ernesto es el triple al de Jaime
si ambas suman 52 años. ¿Cuántos años
tendrá Ernesto el otro año?
b) 26
e) 50
a) 180
d) 188
c) 14
(2) La suma de dos números es 300 y el
mayor es mayor por 42. ¿Cuál es el
mayor?
a) 13
d) 39
(9) Si la suma de 2 números es 352 y la
diferencia es 24. Hallar el mayor.
a) 16
d) 22
b) 10
e) 2
c) 12
a) 21
d) 28
b) 19
e) 23
c) 21
(7) Si al triple de mi edad le quitas 12 años,
obtendrás lo que me falta para tener 100
años. ¿Qué edad tenía hace 12 años?
a) 28
d) 30
b) 16
e) N.A.
c) 20
b) 22
e) 29
c) 23
(12) La edad del abuelo es 5 veces la edad del
nieto. Si ambos suman 66 años. ¿Cuánto
tiene el abuelo?
a) 50
d) 44
b) 53
e) N.A.
c) 55
(13) El mayor de 3 números es el doble del
segundo y mayor en 20 que el primero, si
suman 100. Hallar el segundo.
(6) David es 3 años mayor que su esposa, si
ambos suman 41 años, ¿cuántos tendrá
David el otro año?
a) 18
d) 20
b) 18
e) 24
(11) Entre Abelardo y Tina tienen S/. 50.00. Si
Abelardo tiene 8 soles menos, ¿cuánto
tiene Tina?
a) 7
b) 12
c) 14
d) 21
e) 25
(5) 2 números consecutivos pares suman 22.
Hallar el menor.
a) 8
d) 14
c) 184
(10) La edad de Ena y Lucía suman 20 años.
Si Ena es mayor por 4 años, ¿qué edad
tenía Ena el anteaño pasado?
c) 30
(4) El mayor de 2 números es 3 veces el
menor. Si la suma es 28, hallar el mayor.
b) 164
e) 160
a) 23
d) 28
b) 24
e) 29
c) 48
(14) 3 números consecutivos suman 42. Hallar
la suma de los dos primeros.
a) 25
d) 28
b) 26
e) 30
c) 27
(15) El duplo de mi edad más 13 años es igual
al triple más uno. Hallar mi edad.
c) 40
a) 10
d) 13
b) 11
e) 14
c) 12
(8) La suma de dos números es 300. Si el
doble del menor excede en 40 al mayor
aumentado en 80. ¿Cuál es el número
menor?
a) 120
d) 170
b) 140
e) 160
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c) 130
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SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Forma General:
ax + by = c
dx + ey = f
Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el valor de las incógnitas que satisfagan
simultáneamente a las ecuaciones o demostrar que tal sistema no tiene solución.
Ejemplo:
Resolver:
x + y = 12
2x – y = 15
,
los valores que satisfacen para x e y son:
x=9
e
y=3
y comprobamos:
1° Ecuación:
2° Ecuación:
(9) + (3) = 12 
2(9) – (3) = 15 
12 = 12
15 = 15
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
a) Métodos de Reducción:
Consiste en transformar el sistema en una ecuación con una solo incógnita.
b) Método de Sustitución:
Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir esta expresión en la otra
ecuación, con lo cual obtendremos una sola ecuación con una incógnita cuya solución ya nos es
familiar.
c) Método de igualación:
Este método consiste en despejar en ambas UNA DE LAS INCÓGNITAS, para luego IGUALAR los
miembros bajo el siguiente criterio.
Si
x =
x =
   = 

Ejem:
(1) Resolver:
x + 2y = 13
3x – y = 11
..... (1)
..... (2)
Despejamos x de (1)

x = 13 – 2y
.... (3)
Despejamos x de (2)

x=
.... (4)
11 + y
3
igualamos (3) y (4)
13 – 2y = 11 + y
3

39 – 64 = 11 + 4
–7y = –28
en (3)

x = 13 – 2(4)
x = 13 – 8 = 5
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PROBLEMAS PROPUESTOS
I)
Hallar los valores de x e y en cada caso:
Método de reducción
Método de reducción
a)
d)
x + y = 42
2x – y = 24
3x – 2y = 24
2x + 2y = 26
Método de igualación
Método de igualación
e)
b)
x + 2y = 54
x + y = 45
x – 2y = 12
2x – y = 15
Método de sustitución
Método de sustitución
f)
c)
x + y = 124
2x + 4 = 78
2x –y = 20
2x – y = 22
1)
La suma de 2 números es 41 y la
diferencia es 21 indicar el producto de
ellos.
a) 410
d) 31
b) 200
e) N.A.
4)
Luego de resolver el sistema
3x + y = 16
3x – y = 14
c) 310
Hallar “m”, si se cumple
2)
Con el sistema mostrado
2x + y = m + 3
3x – y = 8
mx + (m – 1)y = 5
Hallar “m”, si x = 5
a) 1
d) 2
a) 24
d) 10
3)
b) 12
e) 5
c) 14
5)
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Después de hallar x e y en:
Calcular “b” en la relación:
Hallar “m”, si: y = x + 1
b) 2
e) –1
c) –1
4x + 3y = 25
3x + 4y = 24
Dado el sistema en x e y
mx + y = 10
x+y=7
a) 1
d) –3
b) 0
e) 6
b (x + y) + 2b = 9
c) 3
a) 1
d) 2
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b) 0
e) –2
c) –1
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6)
Resolver el siguiente sistema:
x + 2y – z = 2
2x + 3y + z = 11
3x + 2y – z = 4
(2) – (1) 
.....
.....
.....
(1)
(2)
(3)
3x + 5y = 9
(3) – (2) 
7)
ALGEBRA
–5x – 5y = 15
–2x = –2
x=4
y=8
Resolver:
x + 2y = –3
2x + y = 0
8)
Resolver:
10x + 1 = 7y
3(x – 1) = y
9)
Resolver:
x – y/5 = 1
x/5 + y = 27/5
10) Resolver:
m = 2n
5m – 4n = 3/5
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Estas ecuaciones se llaman también ecuaciones cuadráticas.
ECUACIONES COMPLETAS
1) Resolución por factorización:
Ejemplo:
Resolver:
2
x – 5x + 4 = 0
x
–4

x
–1
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x – 4 = 0  x1 = 4
x – 1 = 0  x2 = 1
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2
x – 3x – 10
x
–5
x
2

x – 5 = 0  x1 = 5
x + 2 = 0  x2 = –2
2) Resolución por Fórmula General:
x
 b  b 2  4ac
2a
2
Donde: D = b – 4ac
x

b D
2a
2
x – 5x + 4 = 0
Ejem:
a = 1;
b = –5;
c=4
EJERCICIOS
Resolver las siguientes ecuaciones:
2
6) x + 2 = 5 (x + 1)
2
2
7) 3x + 5x = 7
2
8) 2(x + 1) = 5(x – 2)
1) x – x = 0
2
2) x – 16 = 0
2
3) x – 5x = 0
2
2
4) 2x – 1 = x + 24
2
2
2
5) 3x + 8x = 5x – x
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2
2
2
9) 5(2x + 1) = 3(4x + 1)
2
2
10) 7(x + x) = 2(3x + 4x)
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2
13) (2x + 3) = 9 + x
2
11) 6x(x + 1) = 5(x +x)
2
14) (5x + 2) = 4(5x + 1)
12) (x + 2)(x – 2) = 5
I.
Resolver las siguientes ecuaciones:
(1)
2
x –x=0
(9)
(2)
2
2
2x + 9 = 3(x + 3)
2
x – 16 = 0
2
2
(10) 2(x + 1) = 5(x – 2)
2
(3)
x = 16
(4)
x – 5x = 0
(5)
2x – 1 = x + 24
2
2
2
2
(11) 5(2x + 1) = 3(4x + 1)
2
2
2
(12) 7(x + x) = 2(3x + 4x)
2
(13) 6x(x + 1) = 5(x + x)
(6)
2
2
3x + 8x = 5x – x
2
(14) 4x – 9 = 0
(7)
2
2
x + 2 = 5x = 5(x + 1)
2
(15) 4x – 9x = 0
(8)
2
2
3x + 5x = 7(x + x)
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2
(16) 2x + 50 = 0
(22) (5x + 1)x = x + 2
2
(17) 2x + 50x = 0
2
(23) (2x + 3) = (9 + x)
2
(18) 3x – 24x = 0
2
(24) (3x – 1) = (2x + 1)
2
(19) 3x + 24 = 0
2
(25) (5x + 2) = 4(5x + 1)
(20) (x + 2)(x – 2) = 5
2
(26) (3x – 2) = 5 – 12x
(21) (3x – 1)(3x + 1) = x
2
II. Dadas las siguientes ecuaciones, resolver empleando fórmula general:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2
x + 5x + 2 = 0
2
(6)
x + 6x + 2 = 0
(7)
2x + 9x + 1 = 0
(8)
3x + 7x + 2 = 0
(9)
x +x+5=0
2
x + 7x + 5 = 0
2
2
x + 4x – 1 = 0
2
2
x + 8x + 9 = 0
2
2
x +x–2=0
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2
(10) x + 5x + 7 = 0
2
(16) x – 8x + 16 = 0
2
(11) 3x + 2x – 1 = 0
2
(17) 3x – 6x + 3 = 0
2
(12) 2x + 3x + 1 = 0
2
(18) 4x – 20x + 25 = 0
2
(13) 2x + 3x – 1 = 0
2
(19) x + 10x + 25 = 0
2
(14) 3x + 7x + 5 = 0
2
(15) 4x + 12x + 9 = 0
III. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones empleados Factorización.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2
x + 3x + 2 = 0
2
(6)
9x + 6x + 1 = 0
(7)
25x – 10x + 1 = 0
(8)
4x – 12x + 9 = 0
(9)
30x + x – 1 = 0
2
3x + x – 4 = 0
2
2
x – 8x – 9 = 0
2
2
2x – 5x + 2 = 0
2
2
5x + 4x – 1 = 0
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2
(10) 20x – x – 1 = 0
2
(18) 4x – 21x + 5 = 0
2
(11) 15x + 8x + 1 = 0
2
(19) 5x + x – 6 = 0
2
(12) 15x + 2x – 1 = 0
2
(20) 5x + x – 4 = 0
2
(13) 5x – 12x + 4 = 0
2
(21) 7x + 8x = 16
2
(14) 6x + 13x + 6 = 0
2
(22) 4x + x = 18
2
(15) 2x + 17x + 21 = 0
2
(23) 5x + 2x = 24
2
(16) 2x – 17x + 21 = 0
2
(24) 3x – 2x = 21
2
(17) 3x + 19x + 6 = 0
2
(25) 7x – 5x = 2
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NATURALEZA DE LAS RAÍCES
La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, depende del valor del DISCRIMINANTE
(D). Analicemos tres casos:
1.
Si D > 0
Discriminante Positivo.
Entonces las raíces son REALES y DIFERENTES.
Es decir: Dada la fórmula general:
x
2.
Si D = 0
b D
2a
Discriminante nulo, entonces las raíces son REALES e IGUALES.
x
b D
2a
Si D = 0
x
b 0
2a
Es decir:
x
b
2a
Es decir: Dada la fórmula general:
Como a y b son reales entonces x tiene valor real.
3. Si D < 0
Determinante negativo.
Entonces las raíces NO SON REALES (o no existen en el conjunto de los números reales) sino
que son COMPLEJAS y CONJUGADAS.
2
Ejemplo: En la ecuación x – 6x + 25 = 0

Los coeficientes son:
a=1
b = –6
c = 25 el DISCRIMINANTE es:
2
D = b – 4ac
2
D = (–6) – 4(1)(25)
D = –64, es decir D < 0
lo que significa que las raíces no son reales, sino COMPLEJAS y CONJUGADAS
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
2
Dada la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0, podemos hallar la suma, diferencia, producto y suma de
inversas de las raíces sin resolver dicha ecuación empleando las siguientes propiedades.
1°
x1  x 2  
b
a
2°
x1  x 2 
D
a
3°
x1  x 2 
4°
1
1
b


x1 x 2
c
c
a
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Donde x1 y x2 son las raíces o
soluciones; a, b y c son los
coeficientes de la ecuación; D es el
Discriminante en la fórmula general
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FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Vamos a proceder ahora un tanto a la inversa; es decir: si se nos diera las raíces x1 y x2 ¿Cuál es la
ecuación que queda satisfecha con estas raíces?
2
Citemos la fórmula general:
ax + bx + c = 0
 Dividimos la ecuación entre a:
ax + bx + c = 0
a
a a a
2
2
x +bx + c = 0
a
a
 Arreglemos el término central, así:
c
 b
x 2    x   0
a
 a
 Si asignamos las letras S y P a la suma y al producto de las raíces respectivamente, nuestra
ecuación quedaría así:
2
x – Sx + P = 0
Esta última formula nos servirá para la formación de una ECUACIÓN CUADRÁTICA a partir de la
suma (S) y el producto (P) de las raíces.
PRÁCTICA
I.
Marcar con un aspa indicando la naturaleza de las raíces de la ecuación respectiva:
N°
ECUACIÓN
D>0
RAÍCES REALES
DIFERENTES
D=0
RAÍCES REALES
IGUALES
D<0
NO TIENE
RAÍCES REALES
2
1
x + 5x + 6 =0
2
x + 5x – 6 = 0
3
3x + x + 1 = 0
4
2x – 5x + 2 = 0
5
2x +2x + 5 = 0
6
x + 5x + 7 = 0
7
9x + 30x + 25 = 0
8
25x + 10x + 1 = 0
9
49x + 14x – 1 = 0
10
5x + 9x – 2 = 0
11
x + x – a = 0; a > 0
12
ax + x + 1 = 0; a > 1
13
x + ax + 1 = 0; a > 2
14
(a + 1)x + ax – 1 =0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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II. Dadas las siguientes raíces, formar las respectivas ecuaciones:
x1
x2
2
3
-2
-3
ECUACIÓN
x1
x2
5
ECUACIÓN
1/2
5– 3
5+
3
5
-1
1–
1/3
2
1/3
¼
¼
1/3
6
-8
-1/7
-2/3
0,2
2
3
3
2 +1
2–1
10
-6
1
3
2m
5m – n
a – 4b
1
3
–
7
7
1+
–
a+1
a–1
2a + 3b
1
ab
1
ab
6+
3
6–
5
5
III. Contesta las siguientes preguntas:
2
(1)
¿Cuántas raíces tiene la ecuación x = 25? ¿Por qué?
(2)
¿Por qué las ecuaciones x – 2 = 0 y x – 2 +
(3)
Las siguientes ecuaciones x = 9 y x =
(4)
¿Cuántas raíces tendría la ecuación 0x = 0? ¿Por qué?
(5)
¿Por qué decimos que la ecuación 0x = 8 no tiene solución?
(6)
¿Cuál es el grado de la ecuación x +
(7)
¿Cuál es el grado de la ecuación
(8)
¿Cuál es el grado de la ecuación x (x + 1) – 2 = x (x + 1)?
(9)
¿Cuál es la relación que debe existir entre los coeficientes a, b y c de la ecuación ax + bx +
c = 0 para que la diferencia de sus raíces sea nula?
2
1
1
no son equivalentes?

x2 x2
9 , ¿son equivalentes? ¿Por qué?
1
= 1?
x
x  1  x 1 1?
3
4
2
5
2
(10) Una de las raíces de una ecuación cuadrática es 5 + 2i. ¿Es posible formar la ecuación a
partir de este dato? ¿Por qué?
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ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS
2
Son aquellas que se pueden transformar a ecuaciones de la forma ax + bx + c = 0. Las más
conocidas son las llamadas ECUACIONES BICUADRADAS, las cuales tienen la siguiente forma
general:
4
2
ax + bx + c = 0
2
Para resolverla sólo se hace el siguiente cambio de variable: x = y con lo cual la ecuación queda
convertida en una ecuación cuadrática.
Ejemplos:
4
2
(1) Resolver x – 13x + 36 = 0
(2) Resolver y completar:
4
2
36x – 13x + = 0
Solución:

Arreglamos:

Cambiando x por y:

Resolviendo la ecuación
cuadrática por factorización:
2
2
36 ( x ) –
2
13( x )
+1
2
=0
=0
=0


Igualando cada factor a cero:

= 0
y=

= 0
y=
Reemplacemos el valor original de y:
2
En : y =
x =
x=
x=
2
En : y =
x =
x=
x=
Respuesta.- Las raíces de la ecuación bicuadrada son:
x1 = ½ ,
x2 = – ½ ,
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x3 = 1/3 ,
x4 = – 1/3
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PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN BICUADRADA
En los ejemplos anteriores podemos comprobar las siguientes propiedades:
4
2
Si ax + bx + c = 0
1° PROPIEDAD: x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2° PROPIEDAD: x1 x2 + x3 x4 =
3° PROPIEDAD: x1 x2 x3 x4 =
b
c
SUMA DE RAÍCES
SUMA DE PRODUCTOS BINARIOS
c
a
PRODUCTO DE RAÍCES
Veamos lo que ocurre con las raíces del ejemplo (1):
 Suma de Raíces: 3 – 3 + 2 – 2 = 0 (Primera propiedad)
b
a
 Suma de Productos Binarios: (3) (–3) + (2) (–2) = –13 =
 Producto de Raíces: (3) (–3) (2) (–2) = 36 =
c
a
(segunda propiedad)
(tercera propiedad)
Comprueba estas propiedades en el ejemplo (2)
ECUACIONES IRRACIONALES
Son aquellas cuya variable aparece afectada por el operador radical.
En este curso sólo estudiaremos la resolución de ecuaciones con radicales de índice 2.
Veamos el procedimiento de resolución de este tipo de ecuaciones en algunos ejemplos:
(1) Resolver
x+
2x 2  1  2
Solución:


2x 2  1  2  x
Transponemos x al segundo miembro:
Elevamos a ambos miembros de la ecuación al
2 x 2  1  2  x 
2
cuadrado:

Simplificamos y desarrollamos:
2x – 1 = 4 – 4x + x

Transponemos y reducimos términos
semejantes:
x + 4x – 5 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática
por factorización:
Igualamos cada factor a CERO:
(2) Resolver:
2
2
2
2
x
+5
x
–1
(x + 5) (x – 1) = 0
x+5=0
x–1=0
x = –5
x=1
x 1  x 1 1
Solución:
Para eliminar los radicales, elevaremos al cuadrado la ecuación, pero si aún no se han eliminado
todos los radicales, será necesario volver a elevar al cuadrado a la nueva ecuación.
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

x  1  x  1  1
2

Elevamos al cuadrado la ecuación:

Desarrollaremos las potencias: x + 1 +

Reduciendo y transponiendo:

Elevamos otra vez al cuadrado:



Desarrollando potencias:
4(x – 1) = 1 – 4x + 4x
Reducimos términos semejantes:
4x = 5
Despejamos x:
x = 5/4
2
2 x 1 x 1+ x – 1 = 1
2 x 2  1 = 1 – 2x
2

x 2  1  1  2 x
2
2
2
2
7 23 x 3
(3) Resolver:
Solución:
PRÁCTICA
I.
Resolver las siguientes ecuaciones:
4
2
(1)
x – 10x + 9 = 0
(2)
4x – 13x + 9 = 0
4
(9)
4
2
5x – 26x + 5 = 0
2
4
2
(10) x + 8x + 12 = 0
(3)
4
2
x – 29x + 100 = 0
4
2
4
2
(11) 4x + 4 = 17x
(4)
4
2
9x – 6x + 1 = 0
(12) 5x + 6 = 13x
(5)
4
2
x – 17x + 72 = 0
4
(13) x + 96 = 22x
(6)
4
2
2
x – x – 20 = 0
4
2
(14) x = x + 12
(7)
4
2
x – 2x – 35 = 0
4
(8)
4
(15) 3x = -3 + 10x
2
2
2x – x – 6 = 0
4
2
(16) 4x = 19x – 12
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II. Hallar la suma de las raíces de las siguientes ecuaciones.
(1)
3x  3  3
(9)
2x  1  x + 1
(2)
5x  6  4
(10)
5x  4  9 x – 2
(3)
3x  4  x
(11)
2x  7  x  2
(4)
x2 =x
(12)
x  7  2x + 1
(5)
4x  1 = x + 1
(13)
x  7  2 2x – 1
(6)
7 x  2 = 2x
(14)
x  1  2x – 1
(7)
x 2  6 x = 3x – 2
(15)
x5  x =5
(8)
x 2  8 x = 2x + 1
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PROBLEMAS PROPUESTOS
BLOQUE I
(1)
Resolver la siguiente ecuación y hallar la
2
suma de sus raíces. 16x – 25 = 0
(12) Resolver: x =
1
y hallar la suma de sus
x
raíces.
(2)
Hallar las raíces de la siguiente ecuación
y proporcionar la diferencia de ellas:
(13) Hallar la suma de las raíces de la
siguiente ecuación:
2
7x – 700 = 0
(3)
Resolver la siguiente ecuación:
2
9x – 49 = 0, y encontrar el producto de
raíces.
(4)
Hallar el cociente de las raíces, al
resolver la siguiente ecuación:
2
2x – 72 = 0
2 2 3
x 
3
2
(14) Calcular la menor raíz que se obtiene al
resolver:
x2 
(5)
(6)
Resolver la siguiente ecuación y
proporcionar el doble producto de sus
2
raíces: 6x – 18x = 0
Resolver la siguiente ecuación:
2
7x + 21x = 0
7
 0?
x 1
2
(15) Hallar una de las raíces de: x – 3x = 28
(16) ¿Cuál es la mayor de las raíces de la
ecuación:
2
(7)
Resolver la siguiente ecuación: 14x + x
– 3 = 0, y hallar el producto de sus
raíces.
(8)
Hallar el doble producto de las raíces de
2
la siguiente ecuación: x + 7x + 6 = 0
(9)
Resolver la siguiente ecuación: x – 8x +
15 = 0, y encontrar el doble de la
diferencia de sus raíces.
x
5
9
 ?
2x
2
(17) Hallar la menor de las raíces de la
siguiente ecuación:
x
2
66
 17
x
2
(10) ¿Cuál es el número natural que sumado
con su cuadrado da como resultado 56?
(11) ¿Cuáles son los valores de x para los
cuales la siguiente fracción algebraica no
existe?
(18) Si se cumple que yx = 2x + y + 5:
Calcular el menor valor de x si:
(x)  (3x) = 0
(19) Calcular le mayor de los valores de x en:
2
(5x) * (x ) = 0; si se cumple que:
5x  1
x  6x  7
x * y = x + 2(y + 1)
2
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ALGEBRA
(20) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones
son de 2° grado?
I.
x
1
x 1
-1
III. x = 1 – x
2
II. (x + 3) = (7 + x)
2
IV.
x
1
2
x
(21) Viviana es un año menor que Paloma. Si
el producto de ambas edades es igual a
la edad de Viviana aumentada en 25
años; ¿Cuál es la edad de Viviana?
(22) El doble del cuadrado de un número
natural disminuido en tres unidades es
igual al quíntuple del mismo. ¿Cuál es
dicho número?
(23) Un número natural es los 2/7 de otro,
siendo el producto de ambos 56. ¿Cuál
es la diferencia positiva de ambos
números?
(24) La suma de las edades de Pablo y Enory
es 20 años. Si el producto de ambas
edades es 75 años. ¿Cuál es la
diferencia entre ellas?
(25) El ancho de un campo rectangular es 4
metros menor que el largo del mismo. Si
se incrementan ambas dimensiones en 4
metros, el área se duplicaría. ¿Cuál es el
ancho del campo rectangular?
(26) Las edades de 2 personas están en
relación de 5 a 4, si el cuadrado de la
menor excede en 375 a la mayor.
¿Cuáles son las edades?
(27) Ana y Carla tienen entre las dos 10
vestidos de fiesta, si la mitad de vestidos
que tiene Ana multiplicado por la tercera
parte de vestidos de Carla es 4; indicar
cuántos vestidos tiene c/u.
BLOQUE II
(1)
Calcular la suma de raíces reales en la
siguiente ecuación:
(4)
2
2
3x = – (x + 4)
a) 5
d) 
(2)
b) –3
e) 1/3
Hallar el valor de P para el cual la
diferencia de las raíces de la ecuación:
4x + 8x + P = 1 es nula.
c) – 1/3
Calcular el discriminante correspondiente
a la siguiente ecuación:
a) 5
d) 1/5
(5)
b) 3/2
e) –5
c) ½
Si se cumple que:
x  y = x + 2y – 4xy + 4x + 4
2
2
7x (x + 5) = 3
a) 89
d) – 109
(3)
b) –89
e) 106
c) 1 309
Hallar el valor de m para el cual la
ecuación siguiente tiene raíces iguales:
¿Cuál es la naturaleza de las raíces de la
ecuación: z  (2z) = 0?
a)
b)
c)
d)
e)
Raíces Reales e iguales
Raíces Reales y diferentes
Raíces no reales
Raíces Complejas e iguales
La ecuación no tiene raíces
2
x + 8x + m = 0
a) 2
d) 8
b) 16
e) 6
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c) –2
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(6)
ALGEBRA
Hallar la suma de raíces de la siguiente
ecuación (sin resolverla):
(9)
Si b es una raíz de la ecuación:
2
x + bx – 2 = 0
3x +
5
6
x
Hallar la suma de las raíces de:
2
a) –2
d) 5/3
(7)
b) ½
e) 2
3
2
x
a) – 2/7
d) 3
(8)
a) – 7
d) 8
¿Cuál es el producto de las raíces de la
siguiente
ecuación
(encontrar
la
respuesta sin resolver la ecuación)?

7 x 

b) 2/7
e) 0
b) 2
e) 4
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c) – 8
(10) Hallar q, sabiendo que el producto de
2
raíces de la ecuación 2x + 3x + q = 0, es
igual a la suma de las raíces de la
ecuación:
2
c) – 3
m 7

2x 2
a) – 1
d) 6
b) 7
e) 1
3x – 6x + 7 = 0
¿Qué valor debe tener m para que una
raíz sea la inversa de la otra en:
x
2
b x + 7x – 8 = 0
c) – ½
a) 6
d) 5
b) 4
e) – 5
c) – 4
2
(11) En la siguiente ecuación: 5x = x + 1,
calcular la suma de las inversas de sus
raíces.
a) 1
d) ½
b) 0
e) – 2
c) – 1
c) – 2
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ALGEBRA
INECUACIÓN DE PRIMER GRADO
FORMA GENERAL
ax + b  0
ax + b  0
ax + b > 0
ax + b < 0
Para resolver inecuaciones de primer grado seguimos los siguientes pasos:
Ejemplo 1:
5x – 7 < 7x – (x + 1)
Resolver:
Solución:
–
0
Ejemplo 2:
3
Resolver en |N
(x – 7) (7 + x) + 2x (x + 1) < x(3x + 1) – 42
Recordar:
2
2
(a – b) (a + b) = a – b
2
2
(a – b) (a + b) = a – b
Solución:
2
2
2
x – 49 + 2x + 2x < 3x + x – 42
Reduciendo términos semejantes:
2
2
3x + 2x – 49 < 3x + x – 42
x – 49 + 42 < 0
C. S. = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ejemplo 3:
¿Cuál es el mayor valor entero qué satisface la inecuación?
x 1 1
x3
  2x  1 
3
2
6
PROBLEMAS – INECUACIONES DE PRIMER GRADO
BLOQUE I
a) 5
d) 8
1) Resolver:
b) 6
e) 9
c) 7
2x  1 x  3

4
3
2
Señale el menor valor entero de “x”
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Indique la suma de los valores de “x”
2) Resolver:
4x  2 x  1

4
5
2
a) 60
d) 21
Indique el menor valor entero que toma “x”
a) 3
d) 6
b) 4
e) 2
c) 5
 2 x  1   3x  1 
4
  3
7
 3   4 
a) 1
d) no existen
x 1 x  2 x  7


3
9
8
3
el menor valor entero de “x” es:
b) 10
e) 1
c) 80
8) Señale la suma de los valores enteros y
positivos que toma “x” de manera que se
verifique la relación:
3) Al resolver:
a) 11
d) 8
b) 56
e) 40
c) –1
b) 10
e) 2
9) Hallar el intervalo
inecuación:
solución
de
la
3x(x + 1) + 2x(x + 2) < 5x(x + 3) – 24
c) 9
4) Resolver:
x 1  x  3
 3
 x5
2
 4 
a) –  ; 3
b)  –  ; –3]
c) –  ; – 3
d)  –  ; 3]
e) 3 ; + 
Señale el mayor valor entero de “x”
BLOQUE II
a) 0
d) 3
1) ¿Cuál es el intervalo solución de la
siguiente inecuación?
b) 1
e) 4
c) 2
3x  2 6 x  3 9 x  1


3
3
5
2
5) ¿Cuál será el número entero mayor que
cumplirá con la relación?
a)
 x  1  x  2 
2
  5
7
 7   4 
a) 4
d) 5
b) 6
e) 3
1;
3

 1;
1
3
 1 1
; 
 3 3
c) 0;
1
3
e) 
1
; 
3
c) 8
b)
d) 

2) Luego de resolver la inecuación:
6) Resolver en |N.
1  x  3  1  x  2  1  x  1

 
 
 1
5 2  4 3  3 6 
 x  1  x  2   x  6 
3
  2
  6
  15
 5   2   10 
a) – ; 3
d) 0; 2]
Dar como respuesta la suma de los
valores que puede tomar “x”
a) 36
d) 4
b) 21
e) 6
c) 12
c) 0; 2
3) El mayor valor entero que cumple la
relación:
7) Resolver la inecuación en |N.
2 x  1 3x  1 4 x  3


6
5
10
25
1 x
 1x 
  1    1  2
3  3.  4  2 
a) 8
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
b) 2; 3
e) [2; 6
TELEF: 066402103
b) 32
c) 18
FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES
COLEGIO “WILLIAM PAREDES”
d) 2
ALGEBRA
e) 5
a) 1
d) 4
4) La raíz cuadrada del mayor número entero
que satisface la inecuación que se indica
b) 3
e) 6
c) 3
9) Al resolver la inecuación:
6x – 45  15x – 12  14x – 11
1 x  1 x 1 x

  1       2   3 ; es:
6  2  2  5  3  10

a) 2
d) 5
b) 2
e) 5
¿Cuántos valores enteros de “x” se
verifican?
c) 4
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
5) Resolver:
x 1 x  2 x  3 x  5



2
3
4
6
a) [–8; + 
b) [1/5; +
c) [5 ; + 
d)  – ; – 5]
BLOQUE III
1) Resolver:
a(x – a) – b(x – b)  0
a=–
Donde:
5
b=2+
e)  – ; – 1/5]
6) Resolver:
(4x + 3) (9x – 1) – (6x – 1)  – 4
2
b) – ; 0]
c) [1/35; + 
d) [ –1/35 – 
b) – ; 3]
c) [–3 ; + 
d)  – ; – 3]
x 1 x  a

 2 ; siendo a > 0
a
2a  1
e)  – ; 1/35]
a) a; a + 1
c) a + 1; + 
e) – ; a + 1
7) Resolver el sistema de inecuaciones.
x 1 x 1
2x  1 x  1

 2;

2
4
6
3
2
b) [2; 4]
e) {3}
a) [3; + 
e)  – ; a – b]
2) Resolver la inecuación:
a) [0; + 
a) 1; 5
d) 1; 4]
5+1
b) a; + 
d) a; 1
3) Si el intervalo solución del sistema:
c) [2; 5
a(x – 2) > a + 3
b(x + 1) < 2b + 5
8) Resolver:
es 4; 6. Hallar (a + b) , siendo: a > b > 0.
2
2x  3 x  1
3x  2 x  2

 2;

4
9
5
5
3
a) 1
d) 25
b) 4
e) 16
c) 9
Indicar el número de valores enteros que
la verifican.
PROBLEMAS – INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
BLOQUE I
a) |R
d) 
2
1) Resolver: x – x – 20 < 0
b) – 4; 5
e) – ; – 4
c) – 5; 4
2) Resolver: x + x – 72  0
2
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
TELEF: 066402103
FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES
COLEGIO “WILLIAM PAREDES”
ALGEBRA
b) – ; –9]  [8; +
d) [–7; 6
a) |R
c) [–7; 6]
e) 
a) [2; + 
3
b)  ; 

5
c)  ; 

d)
2
3
3) Resolver: x  9
2
a) x  3   –3
c) x  3
e) |R
b) –3  x  3
d) x  –3
e)
5 
 3 ;2 


5
; 2
3
2
2) Resolver: 8x – 22x + 15 > 0; indicar un
intervalo.
4) Resolver: x  49
2
a) [–7; 7]
b) [–1; 1]
c) – ; –7]  [7; + 
d) |R
e) 
a)  ;
5) Resolver: –x + 7x  0
2
a) [0; 7]
d) – ; 7]
b) [–7; 7]
e) – ; 0]
c) [7; + 
6) Resolver: (x – 2)  16
5
4
c)
5 3
;
4 2
d)
5
;
4
b)
3 5
;
2 4
c)  ;
3
2
2
a) x  2
d) x  -2
b) x  6
e) |R
2
3) Resolver: 2x + 4x + 3 < 0
c) –2  x  6
a) |R
7) Resolver: (x – 5)  4; indicar un intervalo
solución.
b) 
c)  ;
2
a) – ; – 4]
c) – ; – 1]
e) |R
b) – ; 3]
d) – ; 8]
d)
2
2
a) x = 3  x = – 3
c) x  
e) x  3
e) 
3 3
;
2 2
4) Resolver: (ax – b)  (bx – a) ; siendo: 0 <
a < b.
8) Resolver: (x – 9)  0
2
3
;
2
3
2
b) x  |R
d) x  |R – {0}
2
c) – ; 0
a) {1}
b) |R
d) 0; + 
e) [–1; 1]
2
9) Resolver: x – 4x + 1  0; indicar su
intervalo solución.
2
5) Resolver ax + bx + a < bx + ax + b;
siendo: 0 < a < b.
2
a) [2 –
3;2+
3 ] b) [–1; 1]
d) [2+ 3 ; + ]
c) [–3; 3]
e) – ; 2+
b) |R
d) 0; + 
e) [0; 1]
6) Resolver:
3]
x(x + 2)(x + 4) + 6 > (x + 1)(x + 3)(x + 5) +
9
10) Resolver: (x – 4)  9
2
a) [1; 2]
d) [1; 8]
c) – ; 0
a) {1}
b) [1; 6]
e) [–3; 3]
c) [1; 7]
a) – ; –3
b) –2; + 
c) – 3; –2
d) – ; –2
e) – 3; + 
BLOQUE II
2
1) Resolver: 3x – 11x + 10 < 0; indicar un
intervalo.
7) Resolver el sistema:
2
x < 36 ... (1)
2
x  4x ... (2)
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
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COLEGIO “WILLIAM PAREDES”
ALGEBRA
e) – 5; 1  {5}
d) |R – {– 1}
Indique el número de valores enteros que
verifica.
a) 1
d) 8
b) 6
e) 9
2
2) Resolver: 25x – 20x + 4 > 0
2
 
5
5
c) |R –  
2
c) 7
a) |R –
8) Resolver:
2x + x – 1 < x – 6x + 17  x – 5x + 20
2
2
2
b)
2 5
5 ; 2


d) 
e) |R
Dar como respuesta la suma de los
valores enteros que verifican.
a) 45
d) 36
b) 48
e) 35
2
3) Si la inecuación: x – ax + b < 0, presenta
como solución x  3; 5. Hallar “2a + b”
c) 44
a) 23
d) 15
b) 18
e) 24
c) 31
2
9) Resolver: (x + 3) > –193
4) Si:  x  |R, se cumple: x + 2x + r  0;
obtener el menor valor entero de “r”
2
a) |R
b) |R – {–3}
d) – ; +3 e) –3; + 
c) {–3}
a) – 2
d) 5
5) Resolver:
10) Resolver: x – 4 3 x + 12  0
2
a) |R
d) {2 3 }
b) |R
c) [0; + 
e) |R – {2 3 }2
b) 1
e) 6
c) 3
+
BLOQUE III
1) Resolver: (x + 5)(2x + 1) > (x + 5)(x + 2);
indicar su conjunto solución.
a) – 5; – 1
c) – ; – 5  1; + 
2
x – 5x + 4 < 0
2
x + 6 – 5x < 0
a) x  
b) x  |R
c) x  2; + 
d) x  2; 3
e) x  1; 2  3; 4
2
6) Resolver: 5x – 1 < (x + 1) < 7x – 3; indicar
un intervalo solución.
b) 1; + 
Jr. Bolognesi 161 HUANTA
TELEF: 066402103
a) – ; 2
c) 2; 4
e) – ; 2  4; + 
b) 4; + 
d) 1; 5
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