COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA MONOMIO Es un término algebraico racional entero. Ejem: 1) p(x,y,z) = – 4x5y4z2 2) p(x,y) = 2x2y Al expresar p(x,y,z) indicamos que es monomio de 2 variables. Todo polinomio posee 2 grados: Grado Absoluto M (x,y) = 4x4 y6 Grado Relativo N (x,y) = 6x3 y4 G A = 4+6 = 10 G Rx = 3 G Ry = 4 Ejemplo: 1) En el siguiente monomio: M (x,y) = 2xa+2 y3 es de Hallar a G A = 10 PROBLEMAS PARA LA CLASE M(x,y) = (a+b)x2a-4yb-3 (1) En el siguiente monomio: M(x,y) = 4xa+3y6 es de G A = 12. Hallar “a” a) 18 b) 10 c) 2 a) 20 d) 3 e) 1 a) 20 (9) b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 (3) Calcular “n”, si el G A = 12, en: M(x,y) = 3xn-4y6 a) 6 b) 8 c) 10 (4) Hallar “n” si el grado absoluto es 24 M(x,y) = 34x2n-2y6 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 (5) En el monomio: Hallar “n” si G.Rx = 15 M(x,y) = 3a x2n-3y5 b) 8 b) 9 c) 10 b) 12 c) 13 b) 11 c) 28 Si c) 12 d) 30 GRy = 10 d) 14 c) 6 d) 4 e) 15 e) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 (12) Hallar el coeficiente del monomio: M(x,y) = (a,b)x2a+1 . y3b-5 Sabiendo que: G.Rx = 7 d) 14 e) 15 a) 3 b) 6 c) 9 d) 7 (7) Hallar el coeficiente. Si G Rx = 12 G Ry = 14 en: Jr. Bolognesi 161 HUANTA e) 31 e) 11 e) 12 (6) Si P(x,y,z) = 6a2x4 ym+3 z5 Hallar “m” si G Ry = 16 a) 10 e) 26 (11) En: M(x,y) = (a+3b)x2a+3b ya+b Si el coeficiente es 11, GA = 23. Hallar GRy a) 3 a) 8 d) 25 (10) Si: M(x,y) = (a2 + b2)x3a+b y2a+5b Hallar el coeficiente si: GRx = 10, GRy = 11 a) 10 a) 10 b) 25 Hallar GRx en: M(x,y) = 5x2n-1 yn+5 a) 9 d)12 e) 14 c) 24 (8) En el monomio: M(x,y) = (3a–b)xa-b yb+7 Hallar el coeficiente si: GRx = 8 ; GRy = 9 (2) En el siguiente monomio: M(x,y) = 4xn+4y5 , su G A = 16. Hallar “n” a) 5 b) 22 TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES e) 4 COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA TAREA DOMICILIARIA M(x,y) = (a + b)xa+1yb-3 (1) En el siguiente monomio: M(x,y) = 3xa+2y5 Hallar “a” si GA = 18 a) 10 b) 11 c) 12 a) 14 d) 14 e) 15 (2) En el siguiente monomio: M(x,y) = 34a2xn+6y6 Hallar “n” si GA = 20 a) 6 b) 8 c) 10 d) 14 e) 16 (3) En el monomio: M(x,y) = 2xn+7y4 Hallar “n” si GA = 15 a) 3 b) 4 c) 6 b) 18 c) 10 d) 8 e) 10 (8) En el monomio: M(x,y) = (2a +b)xa-5yb+4 Calcular el coeficiente si: GRx = 2, GRy = 6 a) 14 a) 10 c) 6 d) 7 e) 8 (6) Si. M(x,y,z) = 7a2x3ym+2z3 Calcular “m” si el grado relativo respecto de “y” es 10 a) 4 b) 5 c) 6 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 d) 12 e) 14 a) 4 b) 4 d) 23 e) 24 (10) En el monomio: M(x,y) = 5xn+2yn+7 Calcular el valor de GRx, siendo GRy = 11 (5) Hallar “n” si: GA = 9 en: M(x,y) = 23x2n-4y5 a) 2 c) 22 (9) En el monomio: M(x,y) = 4xn-6y4n Calcular: GRy , si GRx = 4 (4) En el monomio: M(x,y) = -32x2n-8y4 Hallar “n” si GRx = 20 a) 6 b) 18 d) 7 e) 8 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 d) 12 e) 13 (11) En el monomio: M(x,y) = (2a – b)x2a+by3a-b Calcular el coeficiente si: GRx = 7, GRy = 8 a) 5 b) 7 c) 8 (12) En el monomio: M(x,y) = (a + b2 +1)xa-by5a+b GRx = 6, GRy = 12, hallar el coeficiente (7) Hallar el coeficiente si GRx = 10 y GRy = 12 en: a) 6 b) 7 c) 10 d) 11 e) 13 POLINOMIOS Concepto. Suma limitada de monomios, no semejantes. Ejem: 4x2y3 + 2x4y2 – x3y , Notación: x5 + x3 + 2x + 1 P(x) , N(x,y) Donde las variables son x ó x, y Grado Absoluto: P(x) = x7 + x5 + 4 , GA = 7 P(x,y) = xny5 + x4y + y8 , GA = 17 Jr. Bolognesi 161 HUANTA Ejem: P(x,y) = 2ax2y + 5mx + ay Las variables x e y. Grado Relativo: P(x,y) = 2x3y5 – 4x4y3 – 1y5 TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA GRx = x4 , GRy = 5 Ejemplos: (1) En el siguiente polinomio: P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa+5 (2) En el polinomio: P(x,y) = 7x2yb+4 – 5x3yb-1 – x2yb+7 Hallar “b” si GRy = 10 Calcular el valor de “a” si: GA = 14 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1) Colocar verdadero o falso corresponda: P(x) = 4x4 – 5x6 + 2x2 + 6 según I. El polinomio es de grado 4 ( ) II. El término independiente es 6 ( ) III. La suma de coeficientes es 7 ( ) 2) En el siguiente polinomio: P(x,y) = axa-4 + 3xay3 + 2y6 Calcular la suma de sus coeficientes. Si: GA = 12 a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16 8) Indicar la suma de coeficientes del polinomio: P(x) = xa+5 + 6x2a-3 – 5x2a+4 P(x,y) = axa-4yb–2 + bxa+2yb – 4xa-2yb+3 Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14 Siendo GA = 8 a) 2 a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9) Calcular el valor de “n” en: 3) En el siguiente polinomio: n n b) 8 c) 4 P(x,y) = 6x2y3 + 2x2y3 + 1, siendo: G.A = 4 P(x) = 2xa-2 + 6xa-4 + 8xa-6 Calcular el valor de “a”. Si: GA = 13 a) 6 a) 15 b) 14 c) 13 d) 5 e) 2 d) 10 e) 12 10) Determine el mayor grado relativo de una de sus variables: P(x,y) = x3k-1y k+1 + x2k+3y2k+5 + xk+2y3k-4 4) En el polinomio: P(x,y) = x2ay4 – 3x2ay6 – x2a Calcular el valor de “a” GA = 20 Sabiendo que GA del polinomio es 16. a) 7 a) 5 b) 8 c) 10 d) 11 e) 14 P(x,y) = x a-5 2 P(x,y) = (2n-1)x a-3 2 y – 7x y – 8x y Calcular el valor de “a” si G.Rx = 10 a) 4 b) 5 c) 3 d) 9 e) 10 3n-5 2 + 2ny 8+2n 3 Calcular “n”: Si G.Ry = 6 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 P(x,y) = a3y4 – 3xa+3y8 + 2xa+1y11 Si: G.Rx – G.Ry = 1 P(x,y) = 5x3yb+6 – 4x2yb+2 – x2yb+3 Calcular el valor de “b” GRy = 12 b) 6 d) 11 e) 13 12) Hallar la suma de coeficientes si: 6) En el polinomio: a) 4 c) 9 11) En el siguiente polinomio: 5) En el polinomio: 2a+4 b) 7 c) 8 d) 10 a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) N.A. e) 12 7) En el polinomio: Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA TAREA DOMICILIARA 1) Colocar verdadero o falso según corresponda: P(x,y) = 3x5 – 2x3 + 3x2 + 7 I. El polinomio es de grado 5 ( ) II. El término independiente es 3 ( ) III. La suma de coeficientes es 15 ( ) 2) La suma de coeficientes del polinomio: P(x) = 4x5 + 5x4 – 6x3 – (7-n)x + 3n es de 16 Calcular el valor de “b” GRy = 15 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 8) En el polinomio: P(x,y) = nxn-3 + 2xny2 + 4yn Señalar el término independiente: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9 3) En el siguiente polinomio: P(x) = x2ya + 2xa-3 – 5a+5 Calcular la suma de sus coeficientes, si: GA = 8 a) 10 b) 11 c) 12 d)14 e) 15 9) Indicar la suma de coeficientes del polinomio: Calcular el valor de “a” si GA = 13 P(x,y) = axa-2yb + bxa+3yb+1 + 3xa-1yb-2 a) 8 Siendo: GA = 10 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 4) En el polinomio: P(x,y) = x2ya + 2x3ya – 5a+5 a) 3 Calcular el valor de “a” si GA = 8 b) 5 c) 1 10) Calcular el valor de “n” en: n a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) 4 n P(x,y) = 2x4y2 + 2x3y3 + 3. Si: G.A = 9 Siendo: n < 15 5) En el polinomio: P(x,y) = x3ay2 – 2x3ay3 – x3a a) 10 Calcular el valor de “a” GA = 9 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 b) 12 n a) 19 b) 17 c) 15 d) 13 e) 11 12) En el polinomio: __ n-1 __ 15-n P(x,y) = 3 x + 4 y Si: G.Ry = 1 Calcular la suma de coeficientes . Si GRy = 10 c) 2 d) 14 e) 9 P(x) = nx2 + 2nx3 + 3x7-n – 4xn-5, si: G.Rx = 6 6) En el polinomio: P(x,y) = x7 – 4x2yb + byb+3 b) 1 c) 13 11) Señalar la suma de coeficientes del polinomio: n a) 0 d) 9 e) 12 d) 6 e) 4 Determine “n” a) 3 7) En el polinomio: b) 5 c) 7 d) 9 P(x,y) = 6x2yb+3 + x3yb+4 + x4yb+5 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES e) 11 COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMA Ó ADICIÓN DE POLINOMIOS Que es lo mismo que reducir términos semejantes, para esto se escriben uno a continuación de otro: Ejemplo: Efectuar: Recordando: a(b+c) = ab + ac P(x) + Q(x) si: Ejem: Efectuar: P(x) = 7x5 + 3x3 – x2 + 1 , Q(x) = 8x3 – 5x2 + 9 5 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 3 2 3 P(x) . Q(x) si: P(x) = -2x3 2 (7x + 3x – x + 1) + (8x – 5x + 9) RESTA O SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para ello se suma con el opuesto del otro, el resultado es la diferencia. Q(x) = 3x + y2 – 2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Efectuar: M + ( – S) = D 7 15 10 11 12 17 3 4 1. (35x y + 40x y – 55x y ) : – 5x y Ejem: Efectuar: P(x) – Q(x) si: P(x) = 7x3 – 8x2 – 10 , Q(x) = 6x2 – 5 PROBLEMAS PARA LA CLASE (1) Sumar los siguientes monomios: M(x,y) = ax2y3z5 , N(x,y) = bx2y3z4 Indicar su coeficiente. a) a+b b) az5 + bz 5 4 d) az – bz e) az5 + bz4 (3) Sea: P(x) = 2x(x - 1) + 5 R = x2 – x + 4 Hallar: P(x) – 2R(x) a) –3 d) 13 c) a-b (2) Indicar cual de las siguientes monomios es correcta: I. 3x2 + 2x2 + bx2 = 7x2 , b>30 II. 7x2 + 2x2 + 5x3 = 14x3 III. 3x2 + 5x3 + 7x4 = 15x9 sumas de Se sabe que: 2M(x) + 3N(x) = ax2 + bx + c Indicar “a+b+c” a) 10 a) 10 3 2 3 2 2 2 8x +mx +nx b) 20 b) 20 c) 30 c) 30 d) 40 e) 50 d) 40 e) 50 2 x 3 2 3x y 2 3 3 ax y 3 3 c) 3 (4) Se tiene: M(x) = 3x2 + 2x + 1 N(x) = 7x2 + 2x + 3 a) solo I b) solo II c) I y II d) I y III e) ninguna (5) Del gráfico relacionar A con B ax y +7x y b) –2 e) -13 (7) Se realizan las siguientes suman de términos semejantes: pxa + qxb + rxc = 5pqrxb , indicar: 3 3 2x y +px y A B (6) Dados los polinomios: P(x) = 3x+2 , Q(x) = 5x+3 a) 3 Hallar: E = 5P(x) + 3Q(x) –19 x Jr. Bolognesi 161 HUANTA M=p+q+r pqr b) 5 c) 7 d) 9 e) 6 (8) Hallar la expresión equivalente más simple de: TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA A = 3(x+7y) – 4(2x+5y) + 6x_ 3(x+y) + 4(x+3y) – 2(x+2y) – 6y a) x+y b) x/y c) x-y d) 1 e) 1/5 b) –1 a) 0 c) –2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3 2 (2x + 3)(4x – 6x + 9) = ax + bx + c Hallar: a.b.c En la siguiente adición de monomios: mx2 + m x4-a = bxb-3 , indicar: 4 _________ E = m+a+b-2 a) 1 e) 1 (15) Dada la igualdad: 2 (9) d) 2 a) 1 d) 0 b) 2 e) N.A. c) 3 (16) La suma de coeficientes del producto: 2 2 (x – 2x – 1) . (x + 3x), es: a) –10 d) 2 (10)Determina el valor de las siguientes expresión: 3 –3x [2x – 3] (11)Efectúa las siguientes multiplicaciones. (17) Reduce la expresión: ______________________ 2 2 4 E = (a – b)(a + b)(a + b ) + b 4 4 2 a) x – 5x + 4 4 c) x – 4 4 2 e) x + 5x – 4 (12)El resultado de: 3 3 2 2 b) a +b 4 e) b c) a (18) El producto de: (x + 1) (x – 2) (x – 1) (x + 2), es: (x + 1) (x + 2) – x(x + 3) II. 4 a) a 4 4 d) a +2b 2 (x + 2y) (x – 3y) + 6y I. c) –8 b) 7 e) 4 3 2 4 2 b) x + 5x + 4 4 d) x – 4x + 4 (4x y z) (2x y ), es: 9 6 a) 6x y z 9 6 d) 8x y z 6 5 b) 8x y z e) 6xyz 6 5 c) 6x y z (19) Dada la igualdad: a b (13) Sea U(x) = 2x3 + x2 + 1x – 1 5 3 N(x) = x3 + x2 – x + 1 Hallar la suma de coeficientes de 15U(x) + 5N(x) a) 41 b) 21 c) 1 d) –1 e) 11 (14)El resultado del producto: 2 4x – 4 –1x 4 a) 40 2 c 7 13 b) 41 c) 43 d) 42 e) N.A. (20) Indicar el mayor coeficiente del resultado que se obtiene al multiplicar: 2 2 (a + ab + b ) (a – b) a) 1 d) –3 e) 0 3 3 4 (3x y ) (4x y ) (cx y ) = mx y Calcular: a+c+m b) 3 c) –1 Hallar la suma de coeficientes Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA TAREA DOMICILIARIA 4 2 1. Multiplicar: 2x + 3y por 5x – y. Indicar el menor coeficiente del resultado. a) 10 b) –2 c) 15 d) –3 e) 1 2. Efectuar: 3x(x + 3) (x – 2) (x + 1). Indicar el mayor coeficiente del resultado. a) 3 b) 6 c) –15 d) –18 e) 1 2 3 3 4 3. Al multiplicar: (3x – 5xy + y ) (–2x y ) se obtiene el siguiente resultado: 5 4 4 5 3 7 – m xy + n xy – p xy . Determinar: m + n + p a) 2 b) 6 c) 8 5 2 2 2 2 a b b) 2 c) a2 2 2 e) 6a –2b –2c 2 a) –8bc d) bc+ab 2 b) 2x2 –1 e) 0 c) x2 + x +1 b) –10bc e) 5bc – ab c) bc 14. Reducir: M = 5a (b+c) – 5b(a+c) – 5c (a+b) a) 0 b) 2x+y-z d) xy+yz+xz e) 1 c) x2+y2+z2 15. Simplificar: 8. Reducir: (x + 3)(x – 2) – (x – 3)(x + 4) b) –6 e) –18 b) 2 c) x e) 2+ 2x+ 2x2 13. Reducir: M = 5a (b+c) – 5b(a+c) – 5c(a+b) 7. Si efectuamos: (2x – 3x )(x – x ), uno de los términos del resultado es: ma m-b n+a a) 2x b) –2x c) 3x n+b m+b d) –3x e) –2x a) 2x – 18 d) 18 a) 0 d) 1 a) 7x d) 11 2 n E = 1 + x – x2 F = x2 – x – 1 5 b) 10x y – 3x y 2 3 d) 10x y – 3x y m 10. Efectuar E + F, si: 2 2 3 d) 4 e) 5 E = 2(x + x –1)+3(x – x +1) –5 x – 1 x – 2 6. Simplificar: 3 3 (2x + 5xy) (x – y) – (x + xy)(5x – 5y) 3 c) 3 12. Reducir: b) 10x – 5y 2 2 d) x – 4y a) 3x y + 10x y 2 3 c) 3x y + 10x y 3 2 e) 3x y + 3x y b) 2 a) 0 d) 2ª a) 27 b) 33 c) –15 d) 21 e) –16 5. Reducir la expresión: (x + y) (x – y) + (3x – 2y) (2y + 3x) 2 a) 1 11. Efectuar M – S si se cumple que: M = 3a2 – b – c2 S = b + c2 – 3a2 d) 0 e) 18 4. Si se tiene: P(x) = 2x – 5x – 7x + 4, 2 Q(x) = –3x – 4 Calcular: P(x) .Q(x) Indicar la suma de coeficientes del resultado. a) 10x + 4y 2 2 c) 2x – 5y 2 2 e) 9x – y 9. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son términos algebraicos? __ _ 2 7 2 3 2 2 3x ; – 1 ab ; 7 x y z ; 0,2x ; 5x (a+b)x + (b+c)y-(a-b)x+(b-c)y c) 6 a) 2b(x+y) d) xa – yb b) 2a(x-y) e) 0 c) xa + yb CAPÍTULO I Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Es la operación que consiste en hallar una expresión denominada producto. Recordando: m n mxn a xa =a a) Multiplicación de Monomios 4 1. – 3x . 5x = –15x 4 5 2 2. – 4x . –3x . x = 12x 3 b) Multiplicación de Monomio por Polinomio Efectuar: 4 5 4 2 1. – 3a b (a + b) = –3a b – 3a b 7 2 3 3 2 5 2. –x (-x + x ) = x – x 5 4 3. – 1 x y . – 3 xy x 8x = 3x y 2 4 4 c) Multiplicación de Polinomios Ejemplo: 2 1. (x + 5) (x + 3) = x + 3x + 5x + 15 2 3 2 2 2. (2x – y) (x + y) = 2x + 2xy – yx – y POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS Ejemplo: 2 2 1. (5x + 3) = (5x + 3) (5x + 3) = 25x + 15x + 15x + 9 2 = 25x + 30x + 9 2. (x + 2) (x + 2) (x + 2) = (x + 2) 3 2 (x + 2x + 2x + 4) (x + 2) 2 (x + 4x + 4) (x + 2) = 3 2 2 x + 4x + 4x + 2x + 8x + 8 3 2 x + 6x + 12x + 8 RESOLVER Bloque I: 1. Determina el valor de las siguientes expresión: 4. El resultado del producto: 2 4x – 4 3 –1x 4 a) –3x [2x – 3] 3 Hallar la suma de coeficientes 2. Efectúa las siguientes multiplicaciones. b) –1 a) 0 2 c) –2 d) 2 e) 1 a) (x + 2y) (x – 3y) + 6y 5. Dada la igualdad: 2 b) (x + 1) (x + 2) – x(x + 3) 3. El resultado de: 3 3 3 2 (2x + 3)(4x – 6x + 9) = ax + bx + c Hallar: a.b.c a) 1 d) 0 3 2 b) 2 e) N.A. c) 3 (4x y z) (2x y ), es: 9 6 a) 6x y z 9 6 d) 8x y z 6 5 b) 8x y z e) 6xyz 6 5 c) 6x y z 6. La suma de coeficientes del producto: 2 2 (x – 2x – 1) . (x + 3x), es: Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” a) –10 d) 2 ALGEBRA c) –8 b) 7 e) 4 9. Dada la igualdad: a b 7. Reduce la expresión: ______________________ 2 2 4 E = (a – b)(a + b)(a + b ) + b 4 4 a) a 4 4 d) a +2b 2 3 4 2 c 7 13 (3x y ) (4x y ) (cx y ) = mx y Calcular: a+c+m a) 40 b) 41 c) 43 d) 42 e) N.A. 2 b) a +b 4 e) b c) a 10. Indicar el mayor coeficiente del resultado que se obtiene al multiplicar: 2 2 (a + ab + b ) (a – b) a) 1 d) –3 8. El producto de: (x + 1) (x – 2) (x – 1) (x + 2), es: 4 2 4 a) x – 5x + 4 4 c) x – 4 4 2 e) x + 5x – 4 b) 3 e) 0 c) –1 2 b) x + 5x + 4 4 d) x – 4x + 4 TAREA DOMICILIARIA 4 2 16. Multiplicar: 2x + 3y por 5x – y. Indicar el menor coeficiente del resultado. a) 10 b) –2 c) 15 d) –3 e) 1 17. Efectuar: 3x(x + 3) (x – 2) (x + 1). Indicar el mayor coeficiente del resultado. a) 3 b) 6 c) –15 d) –18 e) 1 2 3 3 4 18. Al multiplicar: (3x – 5xy + y ) (–2x y ) se obtiene el siguiente resultado: 5 4 4 5 3 7 – m xy + n xy – p xy . 21. Simplificar: 3 3 (2x + 5xy) (x – y) – (x + xy)(5x – 5y) 3 2 a) 3x y + 10x y 2 3 c) 3x y + 10x y 3 2 e) 3x y + 3x y 3 2 b) 10x y – 3x y 2 3 d) 10x y – 3x y m n a b 22. Si efectuamos: (2x – 3x )(x – x ), uno de los términos del resultado es: ma m-b n+a a) 2x b) –2x c) 3x n+b m+b d) –3x e) –2x 23. Reducir: (x + 3)(x – 2) – (x – 3)(x + 4) Determinar: m + n + p a) 2 b) 6 c) 8 5 d) 0 e) 18 a) 2x – 18 d) 18 b) –6 e) –18 c) 6 2 19. Si se tiene: P(x) = 2x – 5x – 7x + 4, 2 Q(x) = –3x – 4 Calcular: P(x) .Q(x) Indicar la suma de coeficientes del resultado. a) 27 b) 33 c) –15 d) 21 e) –16 20. Reducir la expresión: (x + y) (x – y) + (3x – 2y) (2y + 3x) 2 2 a) 10x + 4y 2 2 c) 2x – 5y 2 2 e) 9x – y 2 2 b) 10x – 5y 2 2 d) x – 4y Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA CAPÍTULO II PRODUCTOS NOTABLES Son casos especiales que se presentan dentro de una multiplicación en los cuales se puede obtener en forma directa el producto sin necesidad de efectuar la operación. Se presentan los siguientes casos: 1. BINOMIO AL CUADRADO. (Trinomio cuadrado perfecto) 2 2 2 2 2 2 2. BINOMIO AL CUBO 3 3 3 3 3 3 (a + b) = a + b + 3ab(a + b) (a + b) = a + 2ab + b (a – b) = a – 2ab + b (a – b) = a – b – 3ab(a – b) 3. DIFERENCIA DE CUADRADOS Por deducción: 2 2 (a + b) (a – b) = a – b 2 1 1 2 x x 2 2 x x PARTE PRÁCTICA Bloque I 1) Sabiendo que: A = (x + 4)(x – 6) 2 B = (x – 7) Hallar: E = A – B + 73 a) 72x d) 12x b) 6x e) 9 5) Reducir: 2 2 2 J = (2x + 3y) – (4x + 9y ) c) 5x 2 a) 8x d) 12x 2 b) 9y e) 12xy c) 6xy 2) Si: x + y = 9, entonces: 2 E = (2x-y) + 3x(2y-x) + 6, es: a) 81 d) 37 b) 83 e) a-2b c) 19 3) Determinar el valor simplificado de: 2 (a + b) – 2ab 2 a) a 2 2 d) a + b 2 b) b 2 e) (a + b) c) 2ab a) 10 d) 17 b) 23 c) 12 Jr. Bolognesi 161 HUANTA b) 3 e) 20 c) 14 7) Indicar el coeficiente de “x” al efectuar: 3 (2x + 3) 4) Sea: a + b = 8. a.b = 15 2 2 Hallar: a + b a) 34 6) Simplificar: _ _ 2 _ _ 2 G = (5 + 2) – (5 – 2) d) 7 e) 31 a) 8 d) 17 TELEF: 066402103 b) 12 e) 20 c) 36 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 8) Reducir: K= _ _ 4(3 + 1)(3 – 1) _ a) 22 d) 2 _ b) 3 e) 8 c) 1 11) Si sabemos que: 2 2 a + b = 25, y ab = 12 Hallar: a + b a) 5 9) Sea_ x a) 64 d) 52 b) 6 c) 7 d) 37 e) 3 d) 8 d) 7 1 1 4 , hallar: x 3 3 x x b) 12 e) 62 c) 76 12) Sea: x a) 9 1 1 3 , hallar: x 2 x x b) 3 c) 6 10) Calcular: x 102 x 62 3x Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA TAREA DOMICILIARIA 1) Reducir: 2 2 2 (x + 3) – (x + 2) + (x + 4) – (x + 5) b) –1 e) –4 a) 0 d) –3 2 c) –2 2) Simplificar la expresión: 2 (2x + 1) – (2x) 9) Efectuar: a) 8 _ d) 25 _ _ 2 _ _ 2 (5 + 3) + (5 – 3) b) 16 _ e) 5 c) 2 10) Reducir: 2 2 (2x + y) – (2x – y) 8xy a) (4x + 1) b) 4x – 1 d) x + 1 e) x – 1 2 c) 2x + 2 a) –1 b) 1 2 d) 1 e) 1 c) 1 3) Al efectuar: 3 (a + b) – (a – b) (a + b) – (a – b) 2 a) 2a – 2b c) 2ab e) 4ab 3 2 se obtiene: 11) Reducir: 2 2 b) –2a b 2 2 d) 3a + b (x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) + 4(x + 1) a) 2x – 5 d) 5 2 4) Si: x + 1 = 3, determinar: x + 1 2 x x _ a) 2 b) c) 3 d) 16 e) 7 5) Sabiendo que: a + b = 6; a.b = 7 2 2 Hallar: a + b a) 22 d) 14 b) 36 e) 24 c) 49 6) Si se cumple que: a – b = 8; a.b = 11 2 2 Calcular el valor de a + b a) 64 d) 22 b) 42 e) 12 c) 86 2 a + b = 10 a+b=5 8) Reducir: __ a) 410 __ d) 810 b) 7,5 c) 25 e) 18 _ _ _ 2 2 ( 5 + 2) – (5 – 2) _ _ b) 85 c) 45 _ e) 22 Jr. Bolognesi 161 HUANTA 12) Si: a+b=7 2 2 a . b = 10; hallar a + b a) 29 d) 109 b) 49 e) 69 c) 39 13) Sabiendo que: a+b=5 2 2 a + b = 13; hallar “ab” a) 2 d) 8 b) 4 e) 9 a) 41 d) 72 Hallar “a.b” a) 15 d) 12,5 c) 12x+8 c) 6 _ 14) La suma de dos números es 53 y su producto es 16. Calcular la suma de sus cuadrados. 7) Si sabemos que: 2 b) –6 e) –4x – 10 b) 43 e) 36 c) 75 15) El cuadrado de la suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 6. Calcular el producto de dichos números. a) 4 d) 2 TELEF: 066402103 b) 3 e) 1 c) –2 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA CAPÍTULO III MISCELÁNEA DE PROBLEMAS Bloque I Desarrolla cada uno de los siguientes productos notables: 1. (x + 5) (x + 3) = 13. Reducir: ______________________ 2 (x + 2)(x + 8) – (x + 5) + 10 2. (x + 7) (x + 1) = a) 1 d) 4 3. (m + 5) (m – 2) = b) 2 e) 5 c) 3 4. (m + 2) (m – 6) = 14. Calcular el área de la siguiente figura: 2 5. (2x + 5) = x –11 2 6. (3x – 2) = x+7 2 7. (5x + 3y) = 2 a) x + 4x + 77 2 c) x – 4x + 77 e) 1 8. (x + 3) (x – m) = 9. Reducir: (x + 4)(x - 4) – x a) 16 d) 20 2 b) x + 4x – 77 2 d) x – 4x – 77 2 b) –16 e) 0 c) –20 15. Determinar el área del siguiente rectángulo: 10. Simplificar: (x + 3)(x + 4) – (x + 1)(x + 6) a) 6 b) 12 c) –6 d) –12 e) 0 2x+ 3 2x+10 a) b) c) d) e) 11. Simplificar: (x + 5)2 – (x + 6)(x + 4) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2 2x + 26x + 30 2 4x + 26x + 30 2 4x + 30x + 26 2 2x + 30x + 26 30 16. Hallar: (a b)2 4ab ; si a < b 12. Calcular: (n + 2)(n + 7) – (n + 3)(n – 3) – 23 a) n d) 9n b) 7n e) 0 Jr. Bolognesi 161 HUANTA c) 3n a) a+b ___ d) a-b TELEF: 066402103 b) b-a ___ c) a+b e) a-b FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA TAREA DOMICILIARIA 1. Simplificar: __________________ 2 (x + 3) – (x + 2)(x + 4) 5. Calcular la suma de áreas de: 3-x a) 1 d) 4 b) 2 e) 4 c) 3 x–3 2. Reducir: (a + 1)(a – 2)(a – 1)(a + 2) 4 2 a) a – 5a + 4 4 2 c) a – 5a – 4 e) 0 4 x+5 2 b) a + 5a – 4 4 2 d) a + 5a + 4 x +5 3. ¿Cuál es la suma de áreas de las figuras? x-3 x–7 9–x 2 2 a) x – 55 d) x – 55 9+x b) x + 55 e) 3 c) x + 55 6. Reducir: ____________________ 2 2 (a+2) (a-2) (a +2 ) + 16 x+3 2 a) a b) a 4 c) a d) 4 e) 8 d) ¼ e) 1/8 x+3 7. Reducir: 2 2 a) 81 + x c) 6x + 81 e) 6x + 90 b) 2x + 6x + 90 2 d) 2x – 6x + 90 4. Calcular la suma de áreas de las figuras: 2 (2x+m) – (2x-m) 4xm b) –1 a) 1 2 c) ½ 8. Sea: x+1=3 x 3 Hallar: x + 1 3 x 4-x a) 2 d) 6 x+4 b) 4 e) N.A. c) 5 2 3 9. Sea: x + 1 = 7, hallar: x + 1 2 3 x x x–2 a) 3 b) 9 x+8 2 c) 8 2 d) 27 3 e) 64 3 10. Sea: a + b = 13, hallar: a + b ; si a.b = 6 a) 2x d) 5x b) 3x e) 6x Jr. Bolognesi 161 HUANTA c) 4x a) 25 TELEF: 066402103 b) 35 c) 15 d) 20 e) 216 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA CAPÍTULO IV DIVISIÓN DE POLINOMIOS DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO Recuerda la división de bases iguales Efectuar: 7 15 10 11 12 17 3 4 2. (35x y + 40x y – 55x y ) : – 5x y Se debe comparar con una división normal DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO Nota: Se tiene que ordenar en forma descendente En caso de no estar completa se completa con “0” Ejemplos: 3 2 1) Dividir: 3x + 4x – 5x + 3 : x – 2 3 2 3x + 4x – 5x + 3 | x – 2____ 3 2 2 -3x + 6x 5x + 10x + 15 2 10x – 5x 2 -10x + 20x 15x + 3 -15x + 30 33 2 Q(x) = 5x + 10x + 15 R(x) = 33 RADICACIÓN DE POLINOMIOS (sólo con monomios) Para extraer raíz enésima de un monomio, se extrae la raíz de coeficiente y de la parte literal empleando exponente fraccionario. _________ ___ __ ___ 3 15 18 3 3 5 3 18 –8x . y = –8 . x . y _______ 3 15 18 5 6 –8x y = –2x . y PRÁCTICA EN CLASE 1. Efectuar: 2. Efectuar: 4 1) (-16x ) : (2x) 7 3 2 2 1) (5a – 10a + 15a ) : (-5a ) 10 2) (-8y ) : (-4y) 7 8 10 2 5 10 2 3 2) (-18m n + 21m n ) : (-3m m ) 3) (40z ) : (5z ) 75 17 4) (x ) : (x ) 2 3 3 2 8 7 7 8 3) (a b + a b ) : (ab) 48 12 5) (-a ) : (a ) 48 17 6) (-a : a ) Jr. Bolognesi 161 HUANTA 2 2 4) (x y – x y ) : (-x y ) TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 3. Efectuar: 4. Efectuar: ____ 3 12 1) 8x 2 1) (x – 20 + x ) : (5 + x) 5 3 2) (2x + x + 2 + 3x) : (1 + x) 4 3 3) 5 3 3) (2x + 3 – x – 2x ) : (x + 2) 3 ______ 15 –27a 2) ________ 10 40 –32x y 2 4) (2 + 2x – x ) : (x – 1) _____ 20 4) 81m 3 5 5) (3x + 6 – 3x + 6x ) : (x + 1) 5) ________ 27 18 –64y z 3 ____ 2 6) 16x TAREA DOMICILIARIA 1. Efectuar: 3. Efectuar: 7 8 3 4 4) 10 2) 7 5 + 80a ) : (5a ) 40 80 100 (20x y z 7 5 8 70 30 – 60x y 6 10 9 15 18 10 18 + 16x y ) : (-4x y ) 9 12 4 5 3) (16a b c + 18a b c – 14a b ) : (-2a b ) Jr. Bolognesi 161 HUANTA 3 3 2 4 2 [2x + 6x + 3 + 3x + x (x + 1)] : (1 + x + x ) 2 3 4 2 5) [13x + x (x + x + 1) + 8x ] : (1 + x + 6x) 2. Efectuar: 1) (-100a 6 1) (5 + 2x + 3x – 3x ) : (x – 2) 6 8 2 2 2) (x + 1 + 3x – 5x ) : (x + 2) 3 3) (0,5x – 1 + 2 x ) : (x – 1) 3 2 1) (15x y ) : (-3xy 10 20 9 11 2) (24m n ) : (-8m n ) _ _ 18 10 3) (–52 x ) : (–2 x ) 25 17 12 4) (a b ) : (a b) 8 5 7 5 5) (-42a b c ) : (-7abc ) 25 32 13 12 6) (-144x y z) : (+6x y z) 4. Efectuar: ________ 5 25 5 1) –243x y _______ 5 5 25 2) 243x y _________ 3 9 30 3) –1000a b TELEF: 066402103 _____ 5 5 5 abc __________ 72 46 2 5) 100x y z _________ 3 15 42 6 6) –8m n p 4) 5 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA CAPÍTULO V MÉTODO DE HORNER Para esto se tiene que tener en cuenta que debe ser completo y ordenado. D I V I S O R D I V I D E N D O Los coeficientes del dividendo van con su propio signo. Los coeficientes del divisor van con el signo cambiado a excepción del primero. C O C I E N T E Residuo Ejemplo: 1) Dividir: 6 3 5 2 x + 6x – 2x – 7x – 4x + 6 4 2 x – 3x + 2 METÓDO DE RUFFINI Es un caso particular del método de Horner, se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que adopte la siguiente forma (x + b) Gráficamente: D I V I D E N D O C O C I E N T E RESTO Término independiente del divisor con el signo cambiado. Ejemplo: 1) Completar en el problema: Efectuar: 6 4 3 3x + 2x – 3x + 5 x–2 5 12 Q(x) = __________________________ Rg = _______________ Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA PROBLEMAS PARA LA CLASE Bloque I En los siguientes ejercicios, calcular el cociente y residuo: 3 2 1. 2x + 5x + 3x – 2 = x+1 7. Sabiendo que la división: 4 2 3x + x – x + n + 1, es exacta, hallar “n” x+1 3 2 2. 7x – 2x + 5x – 10 = x–1 4 3 b) –6 e) 5 a) 1 d) 4 c) 3 2 3. 28 x + 51x + 74x + 55x – 12 = 2 4x + 5x + 6 2 3 2 8. Dividir: 4x – 5x + 3x – 3, e indicar x–1 su residuo. a) 1 b) –1 d) – 1 2 e) 0 c) 1 2 4. Al dividir 3x – 5x + 6, su residuo es: x–1 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 9. Al dividir, su cociente es: 3 4 6x + x + 2x + 3 x+3 2 3 5. Al dividir 4x + 2x + 3x + 6, su cociente es: x+2 2 2 a) x – 3 3 d) 2x + 3 b) 2x – 3 2 e) 2x + 3 2 a) 2x + 1 3 d) 2x – 1 4 b) 2x + 1 4 e) 2x – 1 3 c) 2x + 1 c) 2x + 3 10. Completa el siguiente diagrama y luego indica el producto de valores hallados 6. Hallar la suma de coeficientes del cociente que resulta de dividir: 3 + 1 -3 -4 6 -8 2 x + 5x + 10x + 1 2 x + 2x + 1 a) 1 d) 4 b) 2 e) –6 -2 c) 3 2 a) –12 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 3 b) 12 c) 1 -4 d) 16 e) 0 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA TAREA DOMICILIARIA 3 2 1. Dividir: x + x – x – 2, e indicar el término x–1 independiente de su cociente. a) 2 d) 8 b) 4 e) 10 2 c) 6 3 2. Dividir: x + 2x – 5x + 2 e indicar la suma de x+2 coeficientes del cociente. b) –1 e) 0 a) 1 d) –2 2 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 7. Determinar el valor de “n” si la división: 3 2 2x + x – 5x + (n – 7) x+2 tiene residuo nulo. 2 3x – 32x + 52x – 63 x–9 a) 5 d) –10 3 2x – 5x + 2x – a x–1 sea exacta. c) 2 3. Indicar la suma de coeficientes del cociente al dividir: 3 6. Hallar “a”, para que la división: b) 2 e) 7 c) 5 8. Sabiendo que la división: 4 2 3x + x + 5x + (2n – 3) x+1 c) –5 b) 10 e) 0 a) 9 d) 8 es exacta, determinar el valor de “n” 4. Completar el siguiente diagrama de Ruffini: 2 3 -3 -5 9 2 -3 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 6 -12 6 -2 12 Luego, indicar la suma de valores hallados. a) 0 b) 20 c) 8 d) 14 e) 12 5. Completar el siguiente diagrama y luego indica el producto de los valores hallados: +1 -3 -8 -4 6 -6 3 -4 -2 2 a) –12 d) 16 b) 12 e) 0 Jr. Bolognesi 161 HUANTA 8 c) 1 TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA CAPÍTULO VI TEOREMA DEL RESIDUO Este teorema, permite calcular en forma directa el residuo de la división de un P (x) de cualquier grado entre un divisor que adopte la forma: ax + b a y b son coeficientes x es variable O sea el residuo: R= b P a Si hacemos que (ax + b) sea igual a cero tendremos ax + b = 0 x=–b a Despejando x: Ejemplos: 3 1) Halla el residuo: P(x) = 3x + x +1 3x – 6 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 2 Reemplazamos este valor x = 2 en P(x); el cual será el residuo pedido. P(2) = 27 2) Hallar el residuo de: 4 3 3x + 4x – 3x + 1 2x – 2 3 P(x) = 3x + x + 1 3 P(2) = 3(2) + (2) + 1 MISCELÁNEA DE PROBLEMAS 1) ¿Cuánto debemos aumentar al polinomio P(x) para que al dividirlo entre (x+1) el residuo resulte ser 40? 4 5) Hallar la suma de coeficientes del cociente que resulta de dividir: 3 2 2 [x + 5x + 10x + 10] : [x + 2x + 1] 3 P(x) = x + 3x – x + 1 a) –42 d) –20 b) –17 e) 38 c) 42 2) ¿Cuánto hay que aumentar a P(x) para que al dividirlo entre (x – 2) el resto sea 24? 5 2 P(x) = 2x – 5 + x + 2x a) 19 d) 21 c) 11 3) ¿Cuánto se debe disminuir a P(x) para que al dividirlo entre (x + 1) el resto sea nulo? 6 4 P(x) = x + 2x – 1 + x a) 3 d) –2 c) –1 4 12 a) –2 d) 2 Jr. Bolognesi 161 HUANTA 2 b) –1 e) –6 c) 4 7) Calcular el residuo de dividir: x 73 49 + 2x + x – 1 7x + 7 a) –1 d) 8 b) –7 e) –5 200 (x + 3) + 2x – 7 4x + 8 b) 4 e) –12 3 c) 5 8) Hallar el mayor de los residuos en las siguientes divisiones: 4) Calcular el residuo de dividir: a) 8 d) –10 c) 3 6) ¿Cuánto le debemos aumentar al coeficiente del término cuadrático de P(x) para que dicho polinomio sea divisible por (x + 1)? 2 b) -3 e) 2 b) 2 e) –6 P(x) = 2x + x + 4x + 1 3 b) 79 e) 13 a) 1 d) 4 3 488 17 (x + 1) + 3x – 1 ; x + 7x + 1 2x + 4 2x + 2 c) 6 a) –2 d) –5 TELEF: 066402103 b) –24 e) 8 c) 1 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 9) Hallar el residuo de dividir: 8 6 2 13) Calcular el resto en: 2 (3x + x – 5x + 1) : (x + 2) a) 26 d) 18 b) 37 e) 55 4x 2 16 – 2x b) 23 e) 12 12 b) 2 e) 5 c) 3 14) Hallar “n”, sabiendo que: 4 2 c) 11 a) –1 8 2 2 b) –3 e) –4 b) –3 c) 2 d) 3 e) 4 15) Determinar “n” para que: 3 + 2x – 3x + 1] : [x – 1] a) –2 d) –5 +1 2x + 3x – 5x + 2n, es exacta: 2x + 4 11) Calcular el residuo de dividir: [x 39 a) 1 d) 4 P(x) = 3x + 2x + x + a + 1 a) 13 d) 10 + 8x x+2 c) 51 10) Calcular a para que P(x) sea divisible por (x + 2) 3 40 2 3x – 17x + 27x + n + 8, tenga como residuo x–4 16 c) –1 a) –10 b) –20 c) 10 d) 20 e) 0 12) ¿Cuánto se debe aumentar al 4 coeficiente de x en: P(x) = 3x – 2 + x – 3 x para que al dividir P(x) entre (x + 1) el residuo sea 16? a) –12 d) –10 b) –15 e) –20 c) –11 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior nos entrenamos en el manejo de productos con expresiones algebraicas, mediante la aplicación de ciertas reglas. Ahora nos interesa realizar el procedimiento contrario, es decir, que dado una expresión algebraica, hallaremos los factores que la componen, a este proceso se le conoce con el nombre de Factorización. Es de suma importancia el dominio de la factorización en todo proceso matemático, ya que permite simplificar su desarrollo. FACTORIZACIÓN CONCEPTO: Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada en factores primos. CÁLCULO DEL NÚMERO DE FACTORES ALGEBRAICOS En general: Si: m n N=A .B .C p N . Fp = (M + 1) (n + 1)(P + 1) – 1 Ejem: 1) ¿Cuántos factores tiene la siguiente expresión? 3 2 P = x (x + 1) (x – 3) 4 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA N . Fp = (3 + 1)(2 + 1)(4 + 1) – 1 = 4 . 3 5 - 1 N . Fp = 60 – 1 = 59 factores. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Estudiaremos aquí tres métodos básicos: 1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN: a) Factor Común Monomio Ejemplo: Factorizar: mx + my + mz mx + my + mz = m(x + y + z) Factor Común Observación: Si el factor común es un letra con diferentes exponentes en todos los términos, extraemos dicha letra con su MENOR EXPONENTE. b) Factor Común Polinomio Ejemplos: 2 (1) Factorizar: (a + b)x + (a + b)y + (a + b)z (a + b) está como factor en cada uno de todos los términos, luego (a + b) es el Factor Común Polinomio: 2 2 (a + b)x + (a + b)y + (a + b)z = (a + b)(x + y + z) PRÁCTICA I. Factoriza los siguientes polinomios: (1) ax + bx (2) my – mz (3) x a+x b (4) (5) 2 2 3 3 3 2 (6) ax–a y (7) a +a (8) a +a +a (9) a b+b 2 3 2 m y+m t 2 2 a x + ay Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA (16) 2mn + n 3 2 (10) x y – y – zy 2 (17) 5xy + 3y – ym (11) x + 2x 3 2 4 3 3 (18) x + 2x – x (12) a + 5a + 3a 2 8 (13) z + 3yz – z 2 6 (19) 6a – a 2 9 (20) 10x – 9x (14) x + x 10 3 (15) x – xy – 5x II. Factorizar los siguientes polinomios: (1) (x – y)a + (x – y)b (6) (a + b + c)x + (a + b + c)y 2 (2) (a + b)m + (a + b)n 3 4 4 3 4 3 (7) (m + n )a – (m + n )b 3 (3) (x + y)a + (x + y)b 2 3 4 (8) (x + y) – (x + y) z 4 3 (4) (a + 2b)x + (2b + a)y (9) (m + n – 1)x2 + (m + n – 1)x – (m + n – 1) 2 2 2 2 2 2 (5) (m + n )x + (m + n )y 2 2 3 2 2 5 2 2 2 (10) (a + b ) a + (a + b ) c + (a + b ) Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA TAREA DOMICILIARIA I. Factoriza los siguientes polinomios 8 2) 7abc – 5abc 2 6 4 9) a + 12a – 18a + 24a 1) 3xy + 5xyz 2 4 4 8 3 2 11) (x + y)(a + b) + (x + y)(m + n) 2 2 3 3 9 4 10) 5a b + 25a b – 30a b 3) 6m n – mn 2 2 2 12) (m + n)(x – y) – (m + n)(2x + 5y) 4) x y + xy 5 13) (x + y + z + w)a – (x + y + z + w)(b + c) 14) (a + b + 1) – (a + b + 1)(x – 2) + (a + b + 1) 15) (x – t) y – (x – t)(y – 1) + (x – t)(y – 2) 5) a b – ab 4 4 2 4 6) 2a b – 4ab – 6a b4 3 3 4 3 2 4 4 3 7) 5xyz – 3xy z + 2x yz 5 4 3 8) 2x + 3x – 2x + x 2 16) (y2 + y + 7)2c2 – (y2 + y + 7)(c – 3) + y2 + y + 7 c) Agrupación de Términos En polinomios donde todos los términos NO TIENEN factor común, podríamos agrupar sólo aquellos términos que los tengan para aplicar luego Factor Común Polinomio. Ejemplos: Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA (1) Factorizar: E = am – bm + an – bn Solución: Dos términos no tienen m como factor común, pero sí los dos primeros. Así mismo, todos los términos no tienen n como factor común, pero sí los dos últimos. Entonces, extraemos el factor común m a los dos primeros y el factor común n a los dos siguientes términos. Es decir: E = am – bm + an – bn E = m(a – b) + n(a – b) Observa que ahora podemos aplicar FACTOR COMÚN POLINOMIO, entonces decimos que la AGRUPACIÓN FUE CONVENIENTE; si no llegamos a esta situación, debemos ensayar otra forma de agrupar los términos, o en todo caso, cambiar de método. E = (a – b)(m + n) (2) Factorizar: 3 2 F=a +a +a+1 Solución. Los cuatro términos no tienen factor común, pero si agrupamos los dos primeros y los 2 dos últimos, encontraremos como factor común polinomio a (a + 1), el cual puede ser 2 escrito también así +( a + 1) Agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos: 3 2 F = (a + a ) + (a + 1) Extraemos factor común a en el polinomio del primer paréntesis: F = a (a +1) + (a + 1) 2 2 Extraemos factor común (a + 1) en todo el polinomio F: (3) Factorizar: 3 2 F = (a + 1)(a + 1) 2 G = 2x + 2x – x – 1 Solución: Para cambiar de signos a un polinomio sólo tenemos que encerrarlo en un paréntesis, precedido del signo negativo. Así: – a + b = – (+a – b) ó – (a – b) En nuestro problema, si agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos va a ser necesario cambiar de signos a estos dos últimos términos para conseguir finalmente el factor común (4) Factorizar: H = 2a – 3b – 4ac + 6bc Solución Observa con mucho cuidado: Todos los términos no tienen factor común, pero sí los dos últimos, los cuales tienen a c como factor común. Además 4 y 6 pueden ser escritos como 2 x 2 y 2 x 3 respectivamente, lo que significa que el factor común de los 2 últimos será 2c. Para que en todo el polinomio H haya un factor común polinomio, conviene que en los dos últimos términos el factor común sea el opuesto de 2c, es decir –2c. Agrupando los dos últimos términos, vamos a extraer el factor común –2c: H = (2a – 3b) – 2c(2a – 3b) Extraemos factor común polinomio: Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 H (2a – 3b)(1 – 2c) FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA PRÁCTICA Cambiar de signos a los siguientes polinomios (o “factorizar el signo – ”) I. 2 (1) –a –b (13) –2y – 5y + 1 (2) –x –y (14) –7m + 6m – 2 (3) –3x – m (15) 3x – 5x + 1 (4) –2a + b (16) 7x – 5y – 3z (5) –x – 1 (17) 3x – 5y + 1 (6) –2x + 1 (18) 6mn – n – m (7) 1 – 3a (19) a – 2ab + b (8) x –x–1 (20) a – b (9) 2x – 3y – 2 (21) a – b (10) 3a – m + 1 (22) a + b 8 3 2 2 2 2 2 4 5 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 (11) x – x – 1 (23) a – 3a b + 3ab – b (12) –3x – y + z (24) x – 5x + 6 Jr. Bolognesi 161 HUANTA 3 2 TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” II. ALGEBRA Factorizar los siguientes polinomios por Agrupación de Términos: (1) xy – zy + xt – zt (14) y + 3axy + 3axz + z (2) 2 2 2 2 a b+a c+d b+d c (15) z + 3axy + y + 3axz (3) 5 3 2 x +x +x +1 (16) ax + a + bx + b (4) 5 3 2 a + a – 2a – 2 2 2 (17) a – 3m + a n – 3n (5) ab + bc + xa + xc 2 2 (18) a m – 3n – 3m + a n (6) mn + 1 + 2amn + 2a (7) x + y + 3xz + 3yz (8) x + 3xz + y + 3yz (19) ax + bx – cx + ay + by – cy (20) 3mx – 2nx + 3my – 2ny 2 3 2 (21) 7ay – 5bx + 7by – 5ax (9) 3 x + 3yz + y + 3xz 2 2 (22) 3az – 3bz – 3z – 3at + 2abt + 2t (10) 2m n + 2m + n + 1 2 2 2 (11) n + 2m + 1 + 2m n 2 2 2 2 2 2 (23) am + bm + an + bn 2 2 (12) 2m n + n + 2m + 1 2 (24) bm + bn + am + an (13) 3axy + 3axz + y + z 2 2 2 2 2 2 2 2 (25) .x m + x t + y m + y t Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” 2 2 2 2 ALGEBRA 2 2 2 2 2 5 2 3 5 2 2 2 2 3 3 (29) 5a x + 3a y – 5b x – 3b y (26) y t + x m + y m + x y 3 (27) w x + 3w – t x – 3t 2 2 (30) 2a y – 2b y – 2cy – a + b + c (28) ax – ay – cx + cy + bx – by 2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES Este método se basa en los PRODUCTOS NOTABLES, a los que también se les llama IDENTIDADES ALGEBRAICAS, es decir: Si se nos proporciona un polinomio cuya forma conocemos, podemos escribir la multiplicación indicada de factores que le dio origen. Consideremos 4 de estas identidades: a) Diferencia de Cuadrados (DC) 2n a – b n 2n n n n / n |N n = (a + b )(a – b ) La expresión factorizada, se lee así: “Suma de las raíces cuadradas multiplicada por la diferencia de las mismas” n a b Ejemplos: (1) Factorizar: 4 2 x –y Solución: PRÁCTICA 1) Extraer la raíz cuadrada de las siguientes expresiones algebraicas: (Considerar sólo la raíz positiva) EXPRESIÓN ALGEBRAICA 4x RAÍZ CUADRADA 2 (yz) 2 4 y EXPRESIÓN RAÍZ EXPRESIÓN RAÍZ ALGEBRAICA CUADRADA ALGEBRAICA CUADRADA 2 6 100x y (5a - 2b ) 8 26 (m – 5b) 10 abc 2 2 (x + y) 36x y Jr. Bolognesi 161 HUANTA 8 8 6 4 25a b c 9x y 16z (3x – y) 6 8 10 6 TELEF: 066402103 2 4 2 8 2 10 (a – b – c ) 4 (a + 1) 6 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 2) Factorizar: 2 2 (13) (x + 3) – 16 (1) 1– x (2) 16 – y 2 2 (14) (2a – 1) – 25 2 (15) 9 – (x + 1) (3) 4 a –b 2 2 2 2 (16) a – (b + 1) (4) 2 2 4x – y (17) 4 – (5 – x) (5) 2 2 –a + b 4 2 (18) 1 – (a – b) 2 2 2 (6) 25x – 9y (7) 35a – b (8) 100 – y (9) 1 – 25x 8 2 8 (19) (a + 2b) – 36 2 6 (20) x y – a b 2 2 10 4 4 2 (10) 36 – z (21) (a + b – c) – 100 2 2 2 (11) (m – 1) – n 4 (22) (a + b + c) – (x + y – z) 2 2 2 (12) 49x – 4y (23) (x – y – z ) – 100 TAREA DOMICILIARIA Factorizar: (1) (2) (3) 2 2 (m – n) – 49 2 2 4 (4) (7x – 1) – y (5) (3mn – n ) + t 2 (3x – y) – 64 2 2 2 2 8 2 (a – 5x ) – y Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 2 (x + y) – (m + n) (6) 2 4 10 2 (10) x y z – 1 2 (a + 2b) – c (7) 2 2 4 6 (11) 9 – 4a b c 4 18 (3x – y) – z (8) 2 (12) (a + 2b) – (c + 2d) 2 (xy) – (ab) (9) 2 2 (13) 1 – (xyzw) 8 b) Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) 2n n n a a + 2a b + b n b 2n n n 2 = (a + b ) / n |N n n n 2a b Ejemplos: 2 (1) Factorizar: E = 25 + 20y + 4y Solución: PRÁCTICA I. Completar el siguiente cuadro: Raíz Raíz cuadrada cuadrada del del 3° término 1° término (a) (b) Polinomio a Factorizar 2 2 x + 6xy + 9y x 3y Doble del producto de ayb ¿Es TCP? Polinomio factorizado 2(x)(3y) = 6xy Si (x + 3y) 2 2 25a – 10a + 1 m 16 8 + 4m + 4 2 x +x+1 6 3 49x – 70x + 25 9x 20 10 3 6 + 6x y + y 2 4 2 25x y – 20xy + 4 4 2 a +a +1 x 40 – 2x y + y 20 3 6 2 2 a + 4ab + 4b Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” II. ALGEBRA Factorizar: 2 (1) x + 10x + 25 2 3 4 6 (12) 6x y + 9 + x y 2 (2) x – 12x + 36 2 (3) 4x – 4x + 1 2 4 2 (13) x + y – 2xy 2 (4) 49a – 28a + 4 6 4 3 2 (14) 4x + 9y – 12x y 2 2 (5) 9t + c – 6tc 2 (15) 144 + a 2 a (6) x + 25y – 10xy 3 (16) 2x + x 6 (7) 48m + 64m + 9 2 4 (8) m + 49n – 14mn (17) m 16 24 2a 12 – 24a +1 8 2 4 + 2m t + t 2 2 (18) (t + 5) – 2(t + 5) + 1 (9) 2 100x + 1 – 20x 2 (19) 49 + 4(m + 3) – 28(m + 3) 16 (10) 4a 2 8 + b + 4a b 2 (20) 60(m – 7) + 100(m – 7) + 9 2 4 (11) 2y + 1 + y TAREA DOMICILIARIA (1) 4x 10 5 – 12x + 9 2 (5) (y + 2) + 6(y + 2) + 9 2 2 (6) (z + 3) + 16 – 8(z + 3) 4 (2) 12y + 1 + 36y 2 5 2 (3) 20x y + 4x 10 (7) 1 + 4(x – 3) – 4(x – 3) 4 + 25y (8) 25 – 20(y – 1) + 4(y – 1) 2 2 (4) (x + 5) + 2(x + 5) + 1 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA (9) 12(1 – z) + 1 + 36(1 – z) 2 (10) 9 + 12(5x + 1) + 4(5x + 1) 2 3. MÉTODO DE ASPAS a) Factorización por Aspa Simple: ¿En qué consiste esta prueba? 2 Factorizar: 10x + 23x + 12 Es decir: 2 10x + 23x + 12 5x 2x +4 +3 Ejemplo: (1) Factorizar: 2 4 2 M = 3a b – 8ab c + 5c 2 Solución Aplicamos la prueba del aspa: M = 2 4 2 2 3a b – 8ab c + 5c 2 3ab – 5ac 2 ab –c Escribimos el polinomio factorizado: M = (3ab – 5c)(ab – c) 2 2 b) Factorización por Aspa Doble Aplicamos este método en polinomios de SEIS términos que tengas la siguiente forma: Ax 2n n n 2n + Bx y + C + Cy n n n n / n |N 2n + Dx z + Ey z + Fz Ejemplos: 2 2 2 (1) Factorizar: E = 2x + xy – 6y – 5xz + 11yz – 3xz Solución Aplicando dos veces la prueba del aspa simple: 2 E = 2x + xy 2x x Escribimos el polinomio factorizado como la multiplicación indicad de dos factores de tres términos cada uno, así: Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 2 2 – 6y – 5xy + 11yz – 3z – 3y +z + 2y –3z E = (2x – 3y + x)(x + 2y – 3z) FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” (2) Factorizar: ALGEBRA 2 2 F = 6x – 11xy + 3y + 7x – 7y + 2 Solución Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA PRÁCTICA I. Factorizar por Aspa Simple: (1) 2 x + 9x + 8 4 (11) m – 16 – 6m (2) 2 2 a + 2a – 35 2 (12) 6m – 7m + 2 (3) 2 m – 8m + 12 2 (13) 14x + 29x – 15 (4) 2 21 + x – 10x 2 4 (14) x + 10x – 2 (5) 2 c – 6c – 27 2 (15) 7m + 4 + 3m (6) 4 2 8t + t + 15 (16) 3x7 + 10x14 – 1 (7) 2x – 3 + x 2 4 2 (17) 15t – 39t – 16 (8) 4 2 x +x –6 2 4 (18) 2a + 8a – 3 (9) 6 3 t – 6t + 5 (19) 4 + 24x 10 10 – 35x 5 5 (10) a – a – 20 4 2 2 (20) 15a + a b – 6b Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 2 (21) 6x 10 2 (23) 3a + 5ab – 2b 5 – 5x – 6 8 2 4 4 2 (24) 21m – 17m n + 2n 2 (22) 10x y + 10x – 6y II. Factorizar por Aspa Doble: 2 2 2 (1) x + xy – 2y + 11yz – 2xz – 15z (2) 7yz + 2x – 3xy – 3z – 2y – xz (3) a + 7ab – 4ac + 10b – 11bc + 3c (4) x – 2y + 6z – xy + 5xz – yz (5) 2x + 4xy – 11x – 6y + 7y + 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Jr. Bolognesi 161 HUANTA 2 TELEF: 066402103 2 2 (6) 10a – ab + 11a – 6b + 13b – 5 (7) 2x – 5xy + 2y – 3y – 2 (8) 14m + 3mn + m – 5n + 8n – 3 (9) 2a + 3ab + ac – 2b – 3bc – c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (10) 6x – xy – y + 5y – 6 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA PROBLEMAS PROPUESTOS (1) 4 4 a) 5 d) 7 (2) b) 6 e) 3 b) 7 e) 1 c) 6 Dar la cantidad de factores primos que 8 8 se obtiene al factorizar x – y a) 8 d) 4 (4) c) 4 ¿Cuántos factores primos hay en la 8 expresión x – y ? a)8 d) 4 (3) b) 5 e) 1 c) 6 Uno de los factores que se obtiene al 9 9 factorizar x – y es: (6) b) 5 e) 6 b) 2 e) Ninguno c) 3 (11) En Álgebra, factor (primo y no primo) de un polinomio es otro polinomio de grado diferente de cero que divide exactamente al primero, razón por la cual a un factor se le conoce también con divisor. Según eso, ¿cuántos factores tiene el polinomio factorizado: 2 (a + 2b) (2a + b)? a) 3 d) 6 b) 2 e) 4 c) 5 (12) Dar un factor de P(x) si: 4 b) 3 e) Ninguno 8 P(x) = x + 6x + 9x 4 b) 3x c) (1 + 3x ) e) (1 + 3x) (13) ¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar P(x)? 4 P(x) = x + 1 – 2x c) 1 12 4 a) 1 d) (1 – 3x) c) 3 ¿Cuántos factores primos de 2° grado se obtiene al factorizar: 4 4 4 4 a m + a n – b m – b n? a) 2 d) 4 a) 1 d) 4 b) (x – y) 2 d) (x – y ) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar: 2 2 2 2 ax + bx – ay – by ? a) 1 d) 4 (10) ¿Cuántos factores primos de segundo grado se obtiene al factorizar P(x)? 6 4 2 P(x) = 25x – 10x + x 2 a) (x + y) 2 2 c) (x + xy + y ) 2 e) (x – y) (5) 4 4 Si factorizamos ac x y – ab c y, ¿cuántos factores primos se obtiene? a) 2 d) 4 2 b) 1 e) Ninguno c) 3 (14) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar la siguiente expresión? 2 2 E = 2(a + b)xy + (a + b)y + ax + bx (7) En el problema anterior, ¿cuántos factores primos de primer grado hay? a) 1 d) 5 (8) b) 4 e) 3 2 2 (9) 2 2 2 2 b) 2 e) 5 2 2 2 c) 3 3 (16) ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene la siguiente expresión? 3 2 5 E=x y –y 4 P (a,b) = 4a b + 12ab + 9b b) 2 e) Ninguno Jr. Bolognesi 161 HUANTA 2 b) (3a – 1) d) (a – 1) a) (a + 1) c) (a + 1) 2 e) (a + 2) ¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar P(a,b)? a) 1 d) 4 c) 3 (15) Uno de los factores que se obtiene al factorizar: 2 2 2 F = a (9a – 4) + (1 – 2a ) es: F=a x –b x –a y +b y a) 1 d) 4 b) 1 e) Ninguno c) 2 ¿Cuántos factores de primer grado se obtiene al factorizar la expresión F? 2 2 a) 2 d) 4 2 c) 3 TELEF: 066402103 a) 2 d) 5 b) 3 e) 1 c) 4 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA (17) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x,y)? 3 6 (20) Dado el siguiente polinomio: 3 F = (x + y)z + x + y 7 P(x,y) = (x – y)x + xy – y a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 la división F : P debe ser tal que el residuo sea CERO. ¿Cuál de los siguientes polinomios puede ser tal expresión P? c) 3 (18) Dado el siguiente polinomio en x: 8 2 P(x) = x – x 2 a) (z – z + 1) c) (x – y) 2 e) (z + 1) ¿Cuál de los siguientes polinomios no es divisor de P(x)? b) (z – 1) 2 d) (x – y) b) (x – 1) c) (x + 1) 4 2 e) (x + x + 1) a) x 2 d) (x + 1) (19) Dado el siguiente polinomio en a: 16 P(a) = 7a 7 – 7a ¿Cuál de los siguientes polinomios divide exactamente a P(a)? 2 a) (a – 2) 8 c) a e) (a + 1) b) (a + a + 1) 2 d) (a – a + 1) PRÁCTICA DOMICILIARIA (1) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de: 2 (5) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de P(x) si: 72 + x – 17x 2 4 P(x) = 4x + x – 5 a) 72 d) –17 b) 15 e) –9 c) 9 a) 1 d) 0 (2) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x,y)? 3 2 P(x,y) = 2x y – 5x y – 3xy a) 1 d) 4 b) 2 e) ninguno a) (x – 2) 3 d) (x + 2) 2 b) (x + 1) e) (2x + 1) a) 2 d) 4 2 2 b) 3 e) ninguno c) 1 (7) ¿Cuántos factores primos de 3° grado se obtiene al factorizar: 6 3 3 3 3 2x y – 13x y – 24y ? c) (x + 1) a) 2 d) 5 (4) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar? 3 c) 3 (6) ¿Cuántos factores primos de segundo grado se obtiene al factorizar 6 4 2 9y + 26y – 3y ? c) 3 (3) Uno de los factores que se obtiene al 4 2 factorizar (5x – 1) – (x + 3) es: b) 5 e) 4 3 b) 3 e) 1 c) 4 (8) ¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar a bc – a b c – 6ab c 4 2 4x y + 4y – 17x y ? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 Jr. Bolognesi 161 HUANTA c) 3 a) 1 d) 4 TELEF: 066402103 b) 2 e) 5 c) 3 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA ECUACIONES Concepto: Es una igualdad de 2 expresiones algebraicas que se verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas. Ejem: 3x + 2 = primer término 4x + 1 , para x = 1 segundo término 3(1) + 2 5 = = 4(1) + 1 5 CLASES DE ECUACIONES I. Ecuaciones compatibles: Es aquella cuyo conjunto solución tiene por lo menos un elemento. Éstas a su vez pueden ser: II. Ecuación incompatible: Denominado también absurdo o inconsistente; es aquella cuyo conjunto no presenta ningún elemento. 2 2 X + 5x + 1 = x + 5x + 3, 1 3x x(x + 3)+ 2 = 3(x + 1) + x 2 3 2 III. Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos solución poseen los mismos elementos. 4x – 8 = x + 7 x=5 2x + 8 = 20 – 3x x=5 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN IR Ejemplos: 1) Resuelve: 7x – (2x – 6) = (x + 1) – (3x + 2) 7x – 2x + 6 = x + 1 – 3x – 2 7x = –7 x = –1 2) Resolver: 2 x + 5x – 3 = x(x + 1) – 2 3) Despejar “x” en: ax + b = cx + d Nota.- Resolver una ecuación equivale a despejar la incógnita, por lo cual daremos los pasos necesarios para que “x” aparezca una sola vez en uno de los miembros de la formación. 4) 5m(x – 1) – (7x + m) = nx + 1 despejar “x” Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA Resolver: 5) (x + 2)(x – 2) + 3x – 1 = 2 + x(x + 2) 6) ¿Cuál es el valor de x que hace que P(x) se anule? P(x) = 2x + 5 – 1 – x – 2 3 2 6 7) Calcular el valor de x, para el cual, la siguiente fracción no está definida: 6x – 5 5x – 3 – x – x 3 4 6 12 8) Resolver: _ 3x – 3 = 3 (3 – x) EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las ecuaciones siguientes: (1) (2) (3) (4) (8x + 4) – (5x – 6) = x + (–3x + 20) 2 (7) 3x(x + 2) – 9 = 3x + 4(x – 2) (8) (x + 5)(2x – 4) = x(2x + 1) (9) x – 2(x – 3) = 4x – (x + 3)(4x – 1) 12 + 2x – (10 + x) = 4 + (5x – 6) 2x – (–6 + 3x) = 4x + x – (5x + 4) 2 3(2x + 2) = 9(x – 1) 2 (10) (x + 3) = (x – 2) (5) 2 5(x + 7) = 4x – 2(x – 13) (11) 9x(x – 1) = x + (3x – 2) (6) 2 24 – 4(x + 3) = 2(10x – 6) 2 2 (12) 4x – (2x + 1) = –13 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA (20) x – 1 + x = 2 + 3x 2 10 5 5 2 (13) (x + 4)(x – 4) = x – 2(x – 2) (21) x + 2x + 1 = 5x – 3 6 12 4 2 (14) (x – 1) – (x – 3)(x – 3) = 0 (15) (x + 4)(x – 2) = 6 + x(x – 5) (22) x – 5 2 – x =2 5 (16) 12x – (2x + 3) = 8x – (2x – 5)(2x – 3) 2 (23) x + 2 + x – 4 = 1 3 6 (17) (3x – 1)(3x + 3) = (3x + 2)(3x – 2) (24) x – x – 2 + 1 = 5x 2 7 14 (18) x – x + 5 = 3x 2 2 (25) x – 3 – x = 2 – x + 1 4 6 12 (19) 7 + x – 3x = 0 3 2 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA CAPÍTULO III PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES (Enunciados Verbales) EXPRESIÓN SIMBÓLICA DE ENUNCIADOS VERBALES Expresar simbólicamente un enunciado verbal es traducirlo al lenguaje simbólico, donde los números y la variable se vinculan mediante operaciones para formar una ecuación. En el cuadro siguiente se muestran algunos ejemplos de la expresión matemática de problemas sencillos. Problemas 1. El duplo de un número aumentado en 4 es igual a 16 La mitad de un número disminuido en 3 es igual a 2 2. El triple de un número aumentado en su mitad es 7 3. 4. 5. 6. La suma de dos números enteros consecutivos es –17 Elección de la variable y su relación con los datos x representa el número 2x es duplo 2x + 4 es su duplo aumentado en 4. x representa el número x es su mitad 2 x – 3 es su mitad disminuido en 3 2 x representa el número 3x es su triple 3x + x es su triple aumentado en 2 su mitad x representa el número menor (x + 1) es su consecutivo La edad de un padre es el x representa la edad del hijo cuádruplo de la de su hijo y 4x es la edad del padre ambas edades suman 45 años x + 4x es la suma de las edades Juan tiene 10 soles más que x representa el dinero de Pedro Pedro, Carlos tanto como Juan y (x + 10) es el dinero de Juan Pedro juntos y el dinero de los (2x + 10) es el dinero de Carlos tres suman 100 soles Ecuación 2x + 4 = 16 x–3=2 2 3x + x = 7 2 x + (x + 1) = –17 x + 4x = 45 x + (x + 10) + (2x + 10) = 100 EJERCICIOS DE AFIANZAMIENTO (1) Calcular el número cuyo triple disminuido en siete unidades resulta 326. 4 años, ¿qué edad tuvo Maritza el anteaño pasado? (2) Hallar el número cuyo duplo aumentado en su mitad da como resultado 90. (6) La suma de las edades de Héctor y Octavio es 26, si la diferencia de estas edades es 2 años, ¿cuál será la diferencia de estas edades dentro de 17 años? (3) El triple de la edad de José aumentado en un año, es igual al duplo de su edad aumentado en 13 años. ¿Cuál será la edad de José dentro de 13 años? (7) La suma de 2 números es 300 y su diferencia 42; ¿cuál es el número mayor? (4) Alberto tiene 6 años menos que Víctor. Si la suma de ambas edades es 16 años, ¿cuál es la edad de Víctor dentro de 2 años? (8) La edad de Ernesto es el triple de la de Jaimito; si ambas edades suman 52 años, ¿cuántos años cumple Jaimito el próximo año? (5) La edad de Maritza y de Gladys suman 20 años. Si Maritza es mayor que Gladys por (9) Al comprar un libro, un buzo y una mochila pagamos por todo S/. 50. Si el buzo Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA cuesta 6 veces lo que cuesta la mochila y el libro cuesta S/. 15 menos que el buzo; calcular el precio de la mochila. (10) Al preguntársele a un hombre por su edad, responde: “Si al triple de mi edad le quitas 12 años, obtendrás lo que me falta para tener 100 años”. ¿Qué edad tenía hace 12 años? TAREA DOMICILIARIA (1) Pedro tiene 6 años menos que Víctor. Si la suma de ambas edades es 18 años. ¿Cuál es la edad de Víctor dentro de 2 años? a) 10 d) 13 b) 12 e) 9 a) 129 b) 87 c) 171 d) 180 e) 150 (3) La edad de Ernesto es el triple al de Jaime si ambas suman 52 años. ¿Cuántos años tendrá Ernesto el otro año? b) 26 e) 50 a) 180 d) 188 c) 14 (2) La suma de dos números es 300 y el mayor es mayor por 42. ¿Cuál es el mayor? a) 13 d) 39 (9) Si la suma de 2 números es 352 y la diferencia es 24. Hallar el mayor. a) 16 d) 22 b) 10 e) 2 c) 12 a) 21 d) 28 b) 19 e) 23 c) 21 (7) Si al triple de mi edad le quitas 12 años, obtendrás lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tenía hace 12 años? a) 28 d) 30 b) 16 e) N.A. c) 20 b) 22 e) 29 c) 23 (12) La edad del abuelo es 5 veces la edad del nieto. Si ambos suman 66 años. ¿Cuánto tiene el abuelo? a) 50 d) 44 b) 53 e) N.A. c) 55 (13) El mayor de 3 números es el doble del segundo y mayor en 20 que el primero, si suman 100. Hallar el segundo. (6) David es 3 años mayor que su esposa, si ambos suman 41 años, ¿cuántos tendrá David el otro año? a) 18 d) 20 b) 18 e) 24 (11) Entre Abelardo y Tina tienen S/. 50.00. Si Abelardo tiene 8 soles menos, ¿cuánto tiene Tina? a) 7 b) 12 c) 14 d) 21 e) 25 (5) 2 números consecutivos pares suman 22. Hallar el menor. a) 8 d) 14 c) 184 (10) La edad de Ena y Lucía suman 20 años. Si Ena es mayor por 4 años, ¿qué edad tenía Ena el anteaño pasado? c) 30 (4) El mayor de 2 números es 3 veces el menor. Si la suma es 28, hallar el mayor. b) 164 e) 160 a) 23 d) 28 b) 24 e) 29 c) 48 (14) 3 números consecutivos suman 42. Hallar la suma de los dos primeros. a) 25 d) 28 b) 26 e) 30 c) 27 (15) El duplo de mi edad más 13 años es igual al triple más uno. Hallar mi edad. c) 40 a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12 (8) La suma de dos números es 300. Si el doble del menor excede en 40 al mayor aumentado en 80. ¿Cuál es el número menor? a) 120 d) 170 b) 140 e) 160 Jr. Bolognesi 161 HUANTA c) 130 TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Forma General: ax + by = c dx + ey = f Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el valor de las incógnitas que satisfagan simultáneamente a las ecuaciones o demostrar que tal sistema no tiene solución. Ejemplo: Resolver: x + y = 12 2x – y = 15 , los valores que satisfacen para x e y son: x=9 e y=3 y comprobamos: 1° Ecuación: 2° Ecuación: (9) + (3) = 12 2(9) – (3) = 15 12 = 12 15 = 15 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN a) Métodos de Reducción: Consiste en transformar el sistema en una ecuación con una solo incógnita. b) Método de Sustitución: Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir esta expresión en la otra ecuación, con lo cual obtendremos una sola ecuación con una incógnita cuya solución ya nos es familiar. c) Método de igualación: Este método consiste en despejar en ambas UNA DE LAS INCÓGNITAS, para luego IGUALAR los miembros bajo el siguiente criterio. Si x = x = = Ejem: (1) Resolver: x + 2y = 13 3x – y = 11 ..... (1) ..... (2) Despejamos x de (1) x = 13 – 2y .... (3) Despejamos x de (2) x= .... (4) 11 + y 3 igualamos (3) y (4) 13 – 2y = 11 + y 3 39 – 64 = 11 + 4 –7y = –28 en (3) x = 13 – 2(4) x = 13 – 8 = 5 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA PROBLEMAS PROPUESTOS I) Hallar los valores de x e y en cada caso: Método de reducción Método de reducción a) d) x + y = 42 2x – y = 24 3x – 2y = 24 2x + 2y = 26 Método de igualación Método de igualación e) b) x + 2y = 54 x + y = 45 x – 2y = 12 2x – y = 15 Método de sustitución Método de sustitución f) c) x + y = 124 2x + 4 = 78 2x –y = 20 2x – y = 22 1) La suma de 2 números es 41 y la diferencia es 21 indicar el producto de ellos. a) 410 d) 31 b) 200 e) N.A. 4) Luego de resolver el sistema 3x + y = 16 3x – y = 14 c) 310 Hallar “m”, si se cumple 2) Con el sistema mostrado 2x + y = m + 3 3x – y = 8 mx + (m – 1)y = 5 Hallar “m”, si x = 5 a) 1 d) 2 a) 24 d) 10 3) b) 12 e) 5 c) 14 5) Jr. Bolognesi 161 HUANTA Después de hallar x e y en: Calcular “b” en la relación: Hallar “m”, si: y = x + 1 b) 2 e) –1 c) –1 4x + 3y = 25 3x + 4y = 24 Dado el sistema en x e y mx + y = 10 x+y=7 a) 1 d) –3 b) 0 e) 6 b (x + y) + 2b = 9 c) 3 a) 1 d) 2 TELEF: 066402103 b) 0 e) –2 c) –1 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” 6) Resolver el siguiente sistema: x + 2y – z = 2 2x + 3y + z = 11 3x + 2y – z = 4 (2) – (1) ..... ..... ..... (1) (2) (3) 3x + 5y = 9 (3) – (2) 7) ALGEBRA –5x – 5y = 15 –2x = –2 x=4 y=8 Resolver: x + 2y = –3 2x + y = 0 8) Resolver: 10x + 1 = 7y 3(x – 1) = y 9) Resolver: x – y/5 = 1 x/5 + y = 27/5 10) Resolver: m = 2n 5m – 4n = 3/5 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Estas ecuaciones se llaman también ecuaciones cuadráticas. ECUACIONES COMPLETAS 1) Resolución por factorización: Ejemplo: Resolver: 2 x – 5x + 4 = 0 x –4 x –1 Jr. Bolognesi 161 HUANTA x – 4 = 0 x1 = 4 x – 1 = 0 x2 = 1 TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 2 x – 3x – 10 x –5 x 2 x – 5 = 0 x1 = 5 x + 2 = 0 x2 = –2 2) Resolución por Fórmula General: x b b 2 4ac 2a 2 Donde: D = b – 4ac x b D 2a 2 x – 5x + 4 = 0 Ejem: a = 1; b = –5; c=4 EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones: 2 6) x + 2 = 5 (x + 1) 2 2 7) 3x + 5x = 7 2 8) 2(x + 1) = 5(x – 2) 1) x – x = 0 2 2) x – 16 = 0 2 3) x – 5x = 0 2 2 4) 2x – 1 = x + 24 2 2 2 5) 3x + 8x = 5x – x Jr. Bolognesi 161 HUANTA 2 2 2 9) 5(2x + 1) = 3(4x + 1) 2 2 10) 7(x + x) = 2(3x + 4x) TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 2 13) (2x + 3) = 9 + x 2 11) 6x(x + 1) = 5(x +x) 2 14) (5x + 2) = 4(5x + 1) 12) (x + 2)(x – 2) = 5 I. Resolver las siguientes ecuaciones: (1) 2 x –x=0 (9) (2) 2 2 2x + 9 = 3(x + 3) 2 x – 16 = 0 2 2 (10) 2(x + 1) = 5(x – 2) 2 (3) x = 16 (4) x – 5x = 0 (5) 2x – 1 = x + 24 2 2 2 2 (11) 5(2x + 1) = 3(4x + 1) 2 2 2 (12) 7(x + x) = 2(3x + 4x) 2 (13) 6x(x + 1) = 5(x + x) (6) 2 2 3x + 8x = 5x – x 2 (14) 4x – 9 = 0 (7) 2 2 x + 2 = 5x = 5(x + 1) 2 (15) 4x – 9x = 0 (8) 2 2 3x + 5x = 7(x + x) Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 2 (16) 2x + 50 = 0 (22) (5x + 1)x = x + 2 2 (17) 2x + 50x = 0 2 (23) (2x + 3) = (9 + x) 2 (18) 3x – 24x = 0 2 (24) (3x – 1) = (2x + 1) 2 (19) 3x + 24 = 0 2 (25) (5x + 2) = 4(5x + 1) (20) (x + 2)(x – 2) = 5 2 (26) (3x – 2) = 5 – 12x (21) (3x – 1)(3x + 1) = x 2 II. Dadas las siguientes ecuaciones, resolver empleando fórmula general: (1) (2) (3) (4) (5) 2 x + 5x + 2 = 0 2 (6) x + 6x + 2 = 0 (7) 2x + 9x + 1 = 0 (8) 3x + 7x + 2 = 0 (9) x +x+5=0 2 x + 7x + 5 = 0 2 2 x + 4x – 1 = 0 2 2 x + 8x + 9 = 0 2 2 x +x–2=0 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 2 (10) x + 5x + 7 = 0 2 (16) x – 8x + 16 = 0 2 (11) 3x + 2x – 1 = 0 2 (17) 3x – 6x + 3 = 0 2 (12) 2x + 3x + 1 = 0 2 (18) 4x – 20x + 25 = 0 2 (13) 2x + 3x – 1 = 0 2 (19) x + 10x + 25 = 0 2 (14) 3x + 7x + 5 = 0 2 (15) 4x + 12x + 9 = 0 III. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones empleados Factorización. (1) (2) (3) (4) (5) 2 x + 3x + 2 = 0 2 (6) 9x + 6x + 1 = 0 (7) 25x – 10x + 1 = 0 (8) 4x – 12x + 9 = 0 (9) 30x + x – 1 = 0 2 3x + x – 4 = 0 2 2 x – 8x – 9 = 0 2 2 2x – 5x + 2 = 0 2 2 5x + 4x – 1 = 0 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA 2 (10) 20x – x – 1 = 0 2 (18) 4x – 21x + 5 = 0 2 (11) 15x + 8x + 1 = 0 2 (19) 5x + x – 6 = 0 2 (12) 15x + 2x – 1 = 0 2 (20) 5x + x – 4 = 0 2 (13) 5x – 12x + 4 = 0 2 (21) 7x + 8x = 16 2 (14) 6x + 13x + 6 = 0 2 (22) 4x + x = 18 2 (15) 2x + 17x + 21 = 0 2 (23) 5x + 2x = 24 2 (16) 2x – 17x + 21 = 0 2 (24) 3x – 2x = 21 2 (17) 3x + 19x + 6 = 0 2 (25) 7x – 5x = 2 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA NATURALEZA DE LAS RAÍCES La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, depende del valor del DISCRIMINANTE (D). Analicemos tres casos: 1. Si D > 0 Discriminante Positivo. Entonces las raíces son REALES y DIFERENTES. Es decir: Dada la fórmula general: x 2. Si D = 0 b D 2a Discriminante nulo, entonces las raíces son REALES e IGUALES. x b D 2a Si D = 0 x b 0 2a Es decir: x b 2a Es decir: Dada la fórmula general: Como a y b son reales entonces x tiene valor real. 3. Si D < 0 Determinante negativo. Entonces las raíces NO SON REALES (o no existen en el conjunto de los números reales) sino que son COMPLEJAS y CONJUGADAS. 2 Ejemplo: En la ecuación x – 6x + 25 = 0 Los coeficientes son: a=1 b = –6 c = 25 el DISCRIMINANTE es: 2 D = b – 4ac 2 D = (–6) – 4(1)(25) D = –64, es decir D < 0 lo que significa que las raíces no son reales, sino COMPLEJAS y CONJUGADAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 2 Dada la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0, podemos hallar la suma, diferencia, producto y suma de inversas de las raíces sin resolver dicha ecuación empleando las siguientes propiedades. 1° x1 x 2 b a 2° x1 x 2 D a 3° x1 x 2 4° 1 1 b x1 x 2 c c a Jr. Bolognesi 161 HUANTA Donde x1 y x2 son las raíces o soluciones; a, b y c son los coeficientes de la ecuación; D es el Discriminante en la fórmula general TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Vamos a proceder ahora un tanto a la inversa; es decir: si se nos diera las raíces x1 y x2 ¿Cuál es la ecuación que queda satisfecha con estas raíces? 2 Citemos la fórmula general: ax + bx + c = 0 Dividimos la ecuación entre a: ax + bx + c = 0 a a a a 2 2 x +bx + c = 0 a a Arreglemos el término central, así: c b x 2 x 0 a a Si asignamos las letras S y P a la suma y al producto de las raíces respectivamente, nuestra ecuación quedaría así: 2 x – Sx + P = 0 Esta última formula nos servirá para la formación de una ECUACIÓN CUADRÁTICA a partir de la suma (S) y el producto (P) de las raíces. PRÁCTICA I. Marcar con un aspa indicando la naturaleza de las raíces de la ecuación respectiva: N° ECUACIÓN D>0 RAÍCES REALES DIFERENTES D=0 RAÍCES REALES IGUALES D<0 NO TIENE RAÍCES REALES 2 1 x + 5x + 6 =0 2 x + 5x – 6 = 0 3 3x + x + 1 = 0 4 2x – 5x + 2 = 0 5 2x +2x + 5 = 0 6 x + 5x + 7 = 0 7 9x + 30x + 25 = 0 8 25x + 10x + 1 = 0 9 49x + 14x – 1 = 0 10 5x + 9x – 2 = 0 11 x + x – a = 0; a > 0 12 ax + x + 1 = 0; a > 1 13 x + ax + 1 = 0; a > 2 14 (a + 1)x + ax – 1 =0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA II. Dadas las siguientes raíces, formar las respectivas ecuaciones: x1 x2 2 3 -2 -3 ECUACIÓN x1 x2 5 ECUACIÓN 1/2 5– 3 5+ 3 5 -1 1– 1/3 2 1/3 ¼ ¼ 1/3 6 -8 -1/7 -2/3 0,2 2 3 3 2 +1 2–1 10 -6 1 3 2m 5m – n a – 4b 1 3 – 7 7 1+ – a+1 a–1 2a + 3b 1 ab 1 ab 6+ 3 6– 5 5 III. Contesta las siguientes preguntas: 2 (1) ¿Cuántas raíces tiene la ecuación x = 25? ¿Por qué? (2) ¿Por qué las ecuaciones x – 2 = 0 y x – 2 + (3) Las siguientes ecuaciones x = 9 y x = (4) ¿Cuántas raíces tendría la ecuación 0x = 0? ¿Por qué? (5) ¿Por qué decimos que la ecuación 0x = 8 no tiene solución? (6) ¿Cuál es el grado de la ecuación x + (7) ¿Cuál es el grado de la ecuación (8) ¿Cuál es el grado de la ecuación x (x + 1) – 2 = x (x + 1)? (9) ¿Cuál es la relación que debe existir entre los coeficientes a, b y c de la ecuación ax + bx + c = 0 para que la diferencia de sus raíces sea nula? 2 1 1 no son equivalentes? x2 x2 9 , ¿son equivalentes? ¿Por qué? 1 = 1? x x 1 x 1 1? 3 4 2 5 2 (10) Una de las raíces de una ecuación cuadrática es 5 + 2i. ¿Es posible formar la ecuación a partir de este dato? ¿Por qué? Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS 2 Son aquellas que se pueden transformar a ecuaciones de la forma ax + bx + c = 0. Las más conocidas son las llamadas ECUACIONES BICUADRADAS, las cuales tienen la siguiente forma general: 4 2 ax + bx + c = 0 2 Para resolverla sólo se hace el siguiente cambio de variable: x = y con lo cual la ecuación queda convertida en una ecuación cuadrática. Ejemplos: 4 2 (1) Resolver x – 13x + 36 = 0 (2) Resolver y completar: 4 2 36x – 13x + = 0 Solución: Arreglamos: Cambiando x por y: Resolviendo la ecuación cuadrática por factorización: 2 2 36 ( x ) – 2 13( x ) +1 2 =0 =0 =0 Igualando cada factor a cero: = 0 y= = 0 y= Reemplacemos el valor original de y: 2 En : y = x = x= x= 2 En : y = x = x= x= Respuesta.- Las raíces de la ecuación bicuadrada son: x1 = ½ , x2 = – ½ , Jr. Bolognesi 161 HUANTA x3 = 1/3 , x4 = – 1/3 TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN BICUADRADA En los ejemplos anteriores podemos comprobar las siguientes propiedades: 4 2 Si ax + bx + c = 0 1° PROPIEDAD: x1 + x2 + x3 + x4 = 0 2° PROPIEDAD: x1 x2 + x3 x4 = 3° PROPIEDAD: x1 x2 x3 x4 = b c SUMA DE RAÍCES SUMA DE PRODUCTOS BINARIOS c a PRODUCTO DE RAÍCES Veamos lo que ocurre con las raíces del ejemplo (1): Suma de Raíces: 3 – 3 + 2 – 2 = 0 (Primera propiedad) b a Suma de Productos Binarios: (3) (–3) + (2) (–2) = –13 = Producto de Raíces: (3) (–3) (2) (–2) = 36 = c a (segunda propiedad) (tercera propiedad) Comprueba estas propiedades en el ejemplo (2) ECUACIONES IRRACIONALES Son aquellas cuya variable aparece afectada por el operador radical. En este curso sólo estudiaremos la resolución de ecuaciones con radicales de índice 2. Veamos el procedimiento de resolución de este tipo de ecuaciones en algunos ejemplos: (1) Resolver x+ 2x 2 1 2 Solución: 2x 2 1 2 x Transponemos x al segundo miembro: Elevamos a ambos miembros de la ecuación al 2 x 2 1 2 x 2 cuadrado: Simplificamos y desarrollamos: 2x – 1 = 4 – 4x + x Transponemos y reducimos términos semejantes: x + 4x – 5 = 0 Resolvemos la ecuación cuadrática por factorización: Igualamos cada factor a CERO: (2) Resolver: 2 2 2 2 x +5 x –1 (x + 5) (x – 1) = 0 x+5=0 x–1=0 x = –5 x=1 x 1 x 1 1 Solución: Para eliminar los radicales, elevaremos al cuadrado la ecuación, pero si aún no se han eliminado todos los radicales, será necesario volver a elevar al cuadrado a la nueva ecuación. Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA x 1 x 1 1 2 Elevamos al cuadrado la ecuación: Desarrollaremos las potencias: x + 1 + Reduciendo y transponiendo: Elevamos otra vez al cuadrado: Desarrollando potencias: 4(x – 1) = 1 – 4x + 4x Reducimos términos semejantes: 4x = 5 Despejamos x: x = 5/4 2 2 x 1 x 1+ x – 1 = 1 2 x 2 1 = 1 – 2x 2 x 2 1 1 2 x 2 2 2 2 7 23 x 3 (3) Resolver: Solución: PRÁCTICA I. Resolver las siguientes ecuaciones: 4 2 (1) x – 10x + 9 = 0 (2) 4x – 13x + 9 = 0 4 (9) 4 2 5x – 26x + 5 = 0 2 4 2 (10) x + 8x + 12 = 0 (3) 4 2 x – 29x + 100 = 0 4 2 4 2 (11) 4x + 4 = 17x (4) 4 2 9x – 6x + 1 = 0 (12) 5x + 6 = 13x (5) 4 2 x – 17x + 72 = 0 4 (13) x + 96 = 22x (6) 4 2 2 x – x – 20 = 0 4 2 (14) x = x + 12 (7) 4 2 x – 2x – 35 = 0 4 (8) 4 (15) 3x = -3 + 10x 2 2 2x – x – 6 = 0 4 2 (16) 4x = 19x – 12 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA II. Hallar la suma de las raíces de las siguientes ecuaciones. (1) 3x 3 3 (9) 2x 1 x + 1 (2) 5x 6 4 (10) 5x 4 9 x – 2 (3) 3x 4 x (11) 2x 7 x 2 (4) x2 =x (12) x 7 2x + 1 (5) 4x 1 = x + 1 (13) x 7 2 2x – 1 (6) 7 x 2 = 2x (14) x 1 2x – 1 (7) x 2 6 x = 3x – 2 (15) x5 x =5 (8) x 2 8 x = 2x + 1 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA PROBLEMAS PROPUESTOS BLOQUE I (1) Resolver la siguiente ecuación y hallar la 2 suma de sus raíces. 16x – 25 = 0 (12) Resolver: x = 1 y hallar la suma de sus x raíces. (2) Hallar las raíces de la siguiente ecuación y proporcionar la diferencia de ellas: (13) Hallar la suma de las raíces de la siguiente ecuación: 2 7x – 700 = 0 (3) Resolver la siguiente ecuación: 2 9x – 49 = 0, y encontrar el producto de raíces. (4) Hallar el cociente de las raíces, al resolver la siguiente ecuación: 2 2x – 72 = 0 2 2 3 x 3 2 (14) Calcular la menor raíz que se obtiene al resolver: x2 (5) (6) Resolver la siguiente ecuación y proporcionar el doble producto de sus 2 raíces: 6x – 18x = 0 Resolver la siguiente ecuación: 2 7x + 21x = 0 7 0? x 1 2 (15) Hallar una de las raíces de: x – 3x = 28 (16) ¿Cuál es la mayor de las raíces de la ecuación: 2 (7) Resolver la siguiente ecuación: 14x + x – 3 = 0, y hallar el producto de sus raíces. (8) Hallar el doble producto de las raíces de 2 la siguiente ecuación: x + 7x + 6 = 0 (9) Resolver la siguiente ecuación: x – 8x + 15 = 0, y encontrar el doble de la diferencia de sus raíces. x 5 9 ? 2x 2 (17) Hallar la menor de las raíces de la siguiente ecuación: x 2 66 17 x 2 (10) ¿Cuál es el número natural que sumado con su cuadrado da como resultado 56? (11) ¿Cuáles son los valores de x para los cuales la siguiente fracción algebraica no existe? (18) Si se cumple que yx = 2x + y + 5: Calcular el menor valor de x si: (x) (3x) = 0 (19) Calcular le mayor de los valores de x en: 2 (5x) * (x ) = 0; si se cumple que: 5x 1 x 6x 7 x * y = x + 2(y + 1) 2 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA (20) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son de 2° grado? I. x 1 x 1 -1 III. x = 1 – x 2 II. (x + 3) = (7 + x) 2 IV. x 1 2 x (21) Viviana es un año menor que Paloma. Si el producto de ambas edades es igual a la edad de Viviana aumentada en 25 años; ¿Cuál es la edad de Viviana? (22) El doble del cuadrado de un número natural disminuido en tres unidades es igual al quíntuple del mismo. ¿Cuál es dicho número? (23) Un número natural es los 2/7 de otro, siendo el producto de ambos 56. ¿Cuál es la diferencia positiva de ambos números? (24) La suma de las edades de Pablo y Enory es 20 años. Si el producto de ambas edades es 75 años. ¿Cuál es la diferencia entre ellas? (25) El ancho de un campo rectangular es 4 metros menor que el largo del mismo. Si se incrementan ambas dimensiones en 4 metros, el área se duplicaría. ¿Cuál es el ancho del campo rectangular? (26) Las edades de 2 personas están en relación de 5 a 4, si el cuadrado de la menor excede en 375 a la mayor. ¿Cuáles son las edades? (27) Ana y Carla tienen entre las dos 10 vestidos de fiesta, si la mitad de vestidos que tiene Ana multiplicado por la tercera parte de vestidos de Carla es 4; indicar cuántos vestidos tiene c/u. BLOQUE II (1) Calcular la suma de raíces reales en la siguiente ecuación: (4) 2 2 3x = – (x + 4) a) 5 d) (2) b) –3 e) 1/3 Hallar el valor de P para el cual la diferencia de las raíces de la ecuación: 4x + 8x + P = 1 es nula. c) – 1/3 Calcular el discriminante correspondiente a la siguiente ecuación: a) 5 d) 1/5 (5) b) 3/2 e) –5 c) ½ Si se cumple que: x y = x + 2y – 4xy + 4x + 4 2 2 7x (x + 5) = 3 a) 89 d) – 109 (3) b) –89 e) 106 c) 1 309 Hallar el valor de m para el cual la ecuación siguiente tiene raíces iguales: ¿Cuál es la naturaleza de las raíces de la ecuación: z (2z) = 0? a) b) c) d) e) Raíces Reales e iguales Raíces Reales y diferentes Raíces no reales Raíces Complejas e iguales La ecuación no tiene raíces 2 x + 8x + m = 0 a) 2 d) 8 b) 16 e) 6 Jr. Bolognesi 161 HUANTA c) –2 TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” (6) ALGEBRA Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación (sin resolverla): (9) Si b es una raíz de la ecuación: 2 x + bx – 2 = 0 3x + 5 6 x Hallar la suma de las raíces de: 2 a) –2 d) 5/3 (7) b) ½ e) 2 3 2 x a) – 2/7 d) 3 (8) a) – 7 d) 8 ¿Cuál es el producto de las raíces de la siguiente ecuación (encontrar la respuesta sin resolver la ecuación)? 7 x b) 2/7 e) 0 b) 2 e) 4 Jr. Bolognesi 161 HUANTA c) – 8 (10) Hallar q, sabiendo que el producto de 2 raíces de la ecuación 2x + 3x + q = 0, es igual a la suma de las raíces de la ecuación: 2 c) – 3 m 7 2x 2 a) – 1 d) 6 b) 7 e) 1 3x – 6x + 7 = 0 ¿Qué valor debe tener m para que una raíz sea la inversa de la otra en: x 2 b x + 7x – 8 = 0 c) – ½ a) 6 d) 5 b) 4 e) – 5 c) – 4 2 (11) En la siguiente ecuación: 5x = x + 1, calcular la suma de las inversas de sus raíces. a) 1 d) ½ b) 0 e) – 2 c) – 1 c) – 2 TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA INECUACIÓN DE PRIMER GRADO FORMA GENERAL ax + b 0 ax + b 0 ax + b > 0 ax + b < 0 Para resolver inecuaciones de primer grado seguimos los siguientes pasos: Ejemplo 1: 5x – 7 < 7x – (x + 1) Resolver: Solución: – 0 Ejemplo 2: 3 Resolver en |N (x – 7) (7 + x) + 2x (x + 1) < x(3x + 1) – 42 Recordar: 2 2 (a – b) (a + b) = a – b 2 2 (a – b) (a + b) = a – b Solución: 2 2 2 x – 49 + 2x + 2x < 3x + x – 42 Reduciendo términos semejantes: 2 2 3x + 2x – 49 < 3x + x – 42 x – 49 + 42 < 0 C. S. = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Ejemplo 3: ¿Cuál es el mayor valor entero qué satisface la inecuación? x 1 1 x3 2x 1 3 2 6 PROBLEMAS – INECUACIONES DE PRIMER GRADO BLOQUE I a) 5 d) 8 1) Resolver: b) 6 e) 9 c) 7 2x 1 x 3 4 3 2 Señale el menor valor entero de “x” Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA Indique la suma de los valores de “x” 2) Resolver: 4x 2 x 1 4 5 2 a) 60 d) 21 Indique el menor valor entero que toma “x” a) 3 d) 6 b) 4 e) 2 c) 5 2 x 1 3x 1 4 3 7 3 4 a) 1 d) no existen x 1 x 2 x 7 3 9 8 3 el menor valor entero de “x” es: b) 10 e) 1 c) 80 8) Señale la suma de los valores enteros y positivos que toma “x” de manera que se verifique la relación: 3) Al resolver: a) 11 d) 8 b) 56 e) 40 c) –1 b) 10 e) 2 9) Hallar el intervalo inecuación: solución de la 3x(x + 1) + 2x(x + 2) < 5x(x + 3) – 24 c) 9 4) Resolver: x 1 x 3 3 x5 2 4 a) – ; 3 b) – ; –3] c) – ; – 3 d) – ; 3] e) 3 ; + Señale el mayor valor entero de “x” BLOQUE II a) 0 d) 3 1) ¿Cuál es el intervalo solución de la siguiente inecuación? b) 1 e) 4 c) 2 3x 2 6 x 3 9 x 1 3 3 5 2 5) ¿Cuál será el número entero mayor que cumplirá con la relación? a) x 1 x 2 2 5 7 7 4 a) 4 d) 5 b) 6 e) 3 1; 3 1; 1 3 1 1 ; 3 3 c) 0; 1 3 e) 1 ; 3 c) 8 b) d) 2) Luego de resolver la inecuación: 6) Resolver en |N. 1 x 3 1 x 2 1 x 1 1 5 2 4 3 3 6 x 1 x 2 x 6 3 2 6 15 5 2 10 a) – ; 3 d) 0; 2] Dar como respuesta la suma de los valores que puede tomar “x” a) 36 d) 4 b) 21 e) 6 c) 12 c) 0; 2 3) El mayor valor entero que cumple la relación: 7) Resolver la inecuación en |N. 2 x 1 3x 1 4 x 3 6 5 10 25 1 x 1x 1 1 2 3 3. 4 2 a) 8 Jr. Bolognesi 161 HUANTA b) 2; 3 e) [2; 6 TELEF: 066402103 b) 32 c) 18 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” d) 2 ALGEBRA e) 5 a) 1 d) 4 4) La raíz cuadrada del mayor número entero que satisface la inecuación que se indica b) 3 e) 6 c) 3 9) Al resolver la inecuación: 6x – 45 15x – 12 14x – 11 1 x 1 x 1 x 1 2 3 ; es: 6 2 2 5 3 10 a) 2 d) 5 b) 2 e) 5 ¿Cuántos valores enteros de “x” se verifican? c) 4 a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 5) Resolver: x 1 x 2 x 3 x 5 2 3 4 6 a) [–8; + b) [1/5; + c) [5 ; + d) – ; – 5] BLOQUE III 1) Resolver: a(x – a) – b(x – b) 0 a=– Donde: 5 b=2+ e) – ; – 1/5] 6) Resolver: (4x + 3) (9x – 1) – (6x – 1) – 4 2 b) – ; 0] c) [1/35; + d) [ –1/35 – b) – ; 3] c) [–3 ; + d) – ; – 3] x 1 x a 2 ; siendo a > 0 a 2a 1 e) – ; 1/35] a) a; a + 1 c) a + 1; + e) – ; a + 1 7) Resolver el sistema de inecuaciones. x 1 x 1 2x 1 x 1 2; 2 4 6 3 2 b) [2; 4] e) {3} a) [3; + e) – ; a – b] 2) Resolver la inecuación: a) [0; + a) 1; 5 d) 1; 4] 5+1 b) a; + d) a; 1 3) Si el intervalo solución del sistema: c) [2; 5 a(x – 2) > a + 3 b(x + 1) < 2b + 5 8) Resolver: es 4; 6. Hallar (a + b) , siendo: a > b > 0. 2 2x 3 x 1 3x 2 x 2 2; 4 9 5 5 3 a) 1 d) 25 b) 4 e) 16 c) 9 Indicar el número de valores enteros que la verifican. PROBLEMAS – INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO BLOQUE I a) |R d) 2 1) Resolver: x – x – 20 < 0 b) – 4; 5 e) – ; – 4 c) – 5; 4 2) Resolver: x + x – 72 0 2 Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA b) – ; –9] [8; + d) [–7; 6 a) |R c) [–7; 6] e) a) [2; + 3 b) ; 5 c) ; d) 2 3 3) Resolver: x 9 2 a) x 3 –3 c) x 3 e) |R b) –3 x 3 d) x –3 e) 5 3 ;2 5 ; 2 3 2 2) Resolver: 8x – 22x + 15 > 0; indicar un intervalo. 4) Resolver: x 49 2 a) [–7; 7] b) [–1; 1] c) – ; –7] [7; + d) |R e) a) ; 5) Resolver: –x + 7x 0 2 a) [0; 7] d) – ; 7] b) [–7; 7] e) – ; 0] c) [7; + 6) Resolver: (x – 2) 16 5 4 c) 5 3 ; 4 2 d) 5 ; 4 b) 3 5 ; 2 4 c) ; 3 2 2 a) x 2 d) x -2 b) x 6 e) |R 2 3) Resolver: 2x + 4x + 3 < 0 c) –2 x 6 a) |R 7) Resolver: (x – 5) 4; indicar un intervalo solución. b) c) ; 2 a) – ; – 4] c) – ; – 1] e) |R b) – ; 3] d) – ; 8] d) 2 2 a) x = 3 x = – 3 c) x e) x 3 e) 3 3 ; 2 2 4) Resolver: (ax – b) (bx – a) ; siendo: 0 < a < b. 8) Resolver: (x – 9) 0 2 3 ; 2 3 2 b) x |R d) x |R – {0} 2 c) – ; 0 a) {1} b) |R d) 0; + e) [–1; 1] 2 9) Resolver: x – 4x + 1 0; indicar su intervalo solución. 2 5) Resolver ax + bx + a < bx + ax + b; siendo: 0 < a < b. 2 a) [2 – 3;2+ 3 ] b) [–1; 1] d) [2+ 3 ; + ] c) [–3; 3] e) – ; 2+ b) |R d) 0; + e) [0; 1] 6) Resolver: 3] x(x + 2)(x + 4) + 6 > (x + 1)(x + 3)(x + 5) + 9 10) Resolver: (x – 4) 9 2 a) [1; 2] d) [1; 8] c) – ; 0 a) {1} b) [1; 6] e) [–3; 3] c) [1; 7] a) – ; –3 b) –2; + c) – 3; –2 d) – ; –2 e) – 3; + BLOQUE II 2 1) Resolver: 3x – 11x + 10 < 0; indicar un intervalo. 7) Resolver el sistema: 2 x < 36 ... (1) 2 x 4x ... (2) Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES COLEGIO “WILLIAM PAREDES” ALGEBRA e) – 5; 1 {5} d) |R – {– 1} Indique el número de valores enteros que verifica. a) 1 d) 8 b) 6 e) 9 2 2) Resolver: 25x – 20x + 4 > 0 2 5 5 c) |R – 2 c) 7 a) |R – 8) Resolver: 2x + x – 1 < x – 6x + 17 x – 5x + 20 2 2 2 b) 2 5 5 ; 2 d) e) |R Dar como respuesta la suma de los valores enteros que verifican. a) 45 d) 36 b) 48 e) 35 2 3) Si la inecuación: x – ax + b < 0, presenta como solución x 3; 5. Hallar “2a + b” c) 44 a) 23 d) 15 b) 18 e) 24 c) 31 2 9) Resolver: (x + 3) > –193 4) Si: x |R, se cumple: x + 2x + r 0; obtener el menor valor entero de “r” 2 a) |R b) |R – {–3} d) – ; +3 e) –3; + c) {–3} a) – 2 d) 5 5) Resolver: 10) Resolver: x – 4 3 x + 12 0 2 a) |R d) {2 3 } b) |R c) [0; + e) |R – {2 3 }2 b) 1 e) 6 c) 3 + BLOQUE III 1) Resolver: (x + 5)(2x + 1) > (x + 5)(x + 2); indicar su conjunto solución. a) – 5; – 1 c) – ; – 5 1; + 2 x – 5x + 4 < 0 2 x + 6 – 5x < 0 a) x b) x |R c) x 2; + d) x 2; 3 e) x 1; 2 3; 4 2 6) Resolver: 5x – 1 < (x + 1) < 7x – 3; indicar un intervalo solución. b) 1; + Jr. Bolognesi 161 HUANTA TELEF: 066402103 a) – ; 2 c) 2; 4 e) – ; 2 4; + b) 4; + d) 1; 5 FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES