PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS Cálculo en Varias Variables Examen Final Semestre Académico 2020 -1 Horario: Todos Duración: 150 minutos Elaborado por todos los profesores Indicaciones: • Se pueden usar apuntes de clase, libros, tablas, calculadora o computadora personal. • El examen final se desarrollará el viernes 24 de julio, tendrá una duración de dos horas y media, de 11:30 a.m. a 2:00 pm. • Todas las preguntas deben subirlo en un solo archivo en formato Word o PDF, en cada hoja desarrollada deben escribir su nombre y código. • Al terminar el examen dispondrán de una hora adicional, de 2:00 a 3:00 pm, para colocar su archivo en la carpeta Examen Final CAL V que el profesor haya creado en Paideia. ============================================================================= 1. Sea f (x, y) = x5 − 5kx y + y5 , donde (x, y) ∈ R2 . Halle los puntos críticos de f y analice su naturaleza según los valores de k ∈ R. (3,0 pts) 2. Sean f : D ⊂ R3 → R la función definida por f (x, y, z) = x yz y el conjunto D = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 17, © Halle los extremos globales de f en D. ª z≥3 . (4,0 pts) 3. Analice el valor de verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando rigurosamente cada uno de sus pasos. a) Sea f : R2 → R una función de clase C 2 , definimos F(r, θ ) = f (u, v) , donde u = r cos θ y v = r senθ . ∂F ¡p π ¢ p2 Si ∇ f (1, 1) = (2, −1) entonces 2, 4 = 2 . (1,0 pto) ∂r b) Sea D una región que se encuentra en el primer cuadrante y está acotada por los ejes coordenados y las circunferencias x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 9. Usando coordenadas polares, la región D se transforma en: o n π D0 = (r, θ ) ∈ R2 : 0 ≤ θ ≤ , 1 ≤ r ≤ 3 . 2 (1,0 pto) 3 4 3 c) Se sabe que la ecuación S : 2x + y + z − xz −2x = 0 representa localmente alrededor de Q = (1, 0, 0) el gráfico de una función z = g(x, y), entonces la ecuación del plano tangente al gráfico de g en el punto Q es P : z = 4x − 4. (2,0 pts) µ ¶ 1 2 2 2 d) Sea g = (g 1 , g 2 ) : R → R una función diferenciable tal que g (0, 0) = (0, 1) , J g (0, 1) = 2 2 µ ¶ 4 −1 y J (g ◦ g) (0, 0) = ; entonces ∇ g 1 (0, 0) = (0, 1) . (2,0 pts) 4 0 Página 1 de 2 4. Sea el sólido Ω ⊂ R3 , limitado por el cilindro x2 + y2 = 1, el paraboloide x2 + y2 + z = 1 y el plano z = 3 con x ≥ 0, y ≥ 0 . Si la función densidad en cada punto (x, , y, z) ∈ Ω es dado por δ (x, y, z) = x y. a) Grafique el sólido Ω. (1,0 pto) b) Calcule la masa del sólido Ω. (3,0 pts) 5. Calcule z Ñ K (x2 + y2 + z2 )3/2 dV , donde K es el sólido limitado por las superficies x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 4, x 2 + y2 = z 2 , con z ≥ 0. (3,0 pts) Coordinador del Curso: Norberto Chau San Miguel, 24 de julio de 2020 Página 2 de 2
