libro fisica ceprevi 2002

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
CEPREVI
Física
TEORÍA Y PROBLEMAS
Lima – 2002
F Í S I C A
"La enseñanza se debiera impartir de modo
que lo que ofrece se percibiera como un
regalo valioso y no como un duro deber".
Albert Einstein (New York Times - 1952)
2002. Derechos Reservados
Prohibida su reproducción parcial o total de este texto ni su tratamiento informático, ni
la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico,
fotocopia por registro u otros métodos sin el permiso previo de los autores. Ley 13714.
2
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
Presentación
El presente trabajo está dirigido a los estudiantes preuniversitarios que
inician el estudio de la Física Elemental.
El objetivo de la obra es, la comprensión de las leyes físicas fundamentales y el desarrollo, en los estudiantes, del hábito de utilizarlos en los diferentes problemas.
El conocimiento de esta ciencia permitirá entender los fenómenos naturales que se dan en el Universo y que se pueden observar en la vida diaria.
El texto consta de 12 unidades. Cada unidad se divide en tres bloques:
primero, la exposición teórica con ejemplos didácticos; segundo, problemas
para resolver en clase, dosificados en orden creciente de dificultad; tercero, la
tarea domiciliaria.
No olvidemos que la Física es la columna vertebral de la ciencia e ingeniería.
Los profesores del curso esperamos sinceramente que este texto se constituya en un buen compañero de trabajo de los estudiantes preuniversitarios.
Los Autores
U N F V – C E P R E V I
3
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Contenidos
Unidad I
Análisis Dimensional ............................................................................. 5
Unidad II
Análisis Vectorial .................................................................................. 11
Unidad III
Cinemática (MRU) ............................................................................... 21
Unidad IV
Cinemática (MRUV) ............................................................................ 29
Unidad V
Movimiento Vertical de Caída Libre (MVCL) ....................................... 34
Unidad VI
Estática ................................................................................................ 40
Unidad VII
Dinámica Lineal ................................................................................... 48
Unidad VIII
Rozamiento ......................................................................................... 56
Unidad IX
Trabajo y Potencia .............................................................................. 64
Unidad X
Energía ................................................................................................ 73
Unidad XI
Electrostática ....................................................................................... 81
Unidad XII
Electrodinámica ................................................................................... 91
4
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F Í S I C A
unidad
1
Análisis Dimensional
DIMENSIONES
Es parte de la FÍSICA que estudia las relaciones entre las magnitudes fundamentales y derivadas, en el Sistema Internacional de Unidades, el cual considera siete magnitudes fundamentales.
Las magnitudes fundamentales son: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de sustancia.
Las magnitudes derivadas son: área, volumen, densidad, velocidad, aceleración,
fuerza, trabajo, potencia, energía, etc.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
MAGNITUD FÍSICA
Nombre
damentales. La DIMENSIÓN de una magnitud física se representa del siguiente
modo:
Sea A la magnitud física.
[A] : se lee, dimensión de la magnitud física A.
FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS
1. [Longitud] = L
2. [Masa] = M
3. [Tiempo] = T
4. [Temperatura] = θ
5. [Intensidad de la corriente eléctrica]=I
6. [Intensidad luminosa] = J
7. [Cantidad de sustancia] = N
UNIDAD
Dimens. Nombre Símbolo
8. [Número] = 1
9. [Área] = L2
1 Longitud
L
metro
m
2 Masa
M
kilogramo
kg
11. [Densidad] = ML–3
3 Tiempo
T
segundo
s
12. [Velocidad] = LT–1
kelvin
K
4 Temperatura θ
5 Intensidad
de corriente
eléctrica
6 Intensidad
Luminosa
10. [Volumen] = L3
13. [Aceleración] = LT–2
14. [Fuerza] = MLT–2
15. [Trabajo] = ML2T–2
16. [Energía] = ML2T–2
I
ampere
A
17. [Potencia] = ML2T–3
18. [Presión] = ML–1T–2
J
candela
cd
19. [Período] = T
20. [Frecuencia] = T–1
7 Cantidad de
Sustancia
N
mol
mol
21. [Velocidad angular] = T–1
22. [Ángulo] = 1
FÓRMULA DIMENSIONAL
23. [Caudal] = L3T–1
Es aquella igualdad matemática que
muestra la relación que existe entre una
magnitud derivada y las magnitudes fun-
24. [Aceleración angular] = T–2
U N F V – C E P R E V I
25. [Carga eléctrica] = IT
26. [Iluminación] = JL–2
5
F Í S I C A
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
2. PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES
En una fórmula física, todos los términos
de la ecuación son dimensionalmente
iguales.
Los exponentes son siempre números,
por consiguiente la dimensión de los
exponentes es igual a la unidad.
Ejemplo:
En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K.
x = A3Kf
Donde: f : frecuencia
Resolución:
La dimensión del exponente es igual a la
unidad:
[3Kf] = 1
[3][K][f] = 1
[K]·T–1 = 1
[K] = T
A – B2 =
C
D
C
Entonces: [A] = [B2] =  
D 
Ejemplo:
En la siguiente fórmula física:
h = a + bt + ct2
Donde: h : altura
t : tiempo
Hallar la dimensión de a, b y c.
Resolución:
Principio de homogeneidad dimensional:
[h] = [a] = [b·t] = [c·t2]
I
II
III
De (I):
De (II):
De (III):
L = [a]
L = [b]T ⇒ [b] = LT–1
L = [c]T2 ⇒ [c] = LT–2
APLICACIONES:CASOS ESPECIALES
1 . PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos son números, en consecuencia la dimensión de los ángulos
es igual a la unidad.
Ejemplo:
En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de x.
A = K Cos (2πxt)
Donde: t : tiempo
Resolución:
La dimensión del ángulo es igual a la unidad:
[2πxt] = 1
[2π][x][t] = 1
[x]·T = 1
[x] = T–1
6
3. PROPIEDAD DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
En las operaciones dimensionales no
se cumplen las reglas de la adición y
sustracción.
L+L=L
... (1)
M–M=M
... (2)
Ejemplo:
Hallar la dimensión de R en la siguiente
fórmula física:
R = (k–t)(K2+a)(a2–b)
Donde: t : tiempo
Resolución:
Principio de homogeneidad dimensional:
[K] = [t] = T
[K2] = [a] = T2
[a2] = [b] = T4
Analizando la fórmula tenemos:
a2 − b]
[R] = [K − t] [
K 2 + a] [
[R] = T · T2 · T4
[R] = T7
4. FÓRMULAS EMPÍRICAS
Son aquellas fórmulas físicas que se
obtienen a partir de datos experimenU N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
tales conseguidos de la vida cotidiana
o en el laboratorio de ciencias.
Ejemplo:
La energía cinética E de un cuerpo depende de su masa "m" y de la rapidez lineal V.
E=
mx ⋅ V y
2
Hallar: x+y
Resolución:
Aplicando el principio de homogeneidad
dimensional.
[E] =
[mx ][ V y ]
[2]
[E] = Mx · (LT–1)y
M1L2T–2 = MxLyT–y
A bases iguales le corresponden exponentes iguales:
Para M: x = 1
Para L: y = 2
Luego:
(x+y) = 3
PROBLEMAS
1. De las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o
falso (F):
I. [Densidad] = L–3M
II. [Presión] = ML–1T–3
III. [Caudal] = L3T–1
a) VVF
b) FVV
c) VFF
d) VVV
e) VFV
2. De las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o falso
(F):
I. La cantidad de calor y el trabajo tienen la misma fórmula dimensional.
II. La velocidad de la luz y la velocidad del sonido tienen
diferente fórmula dimensional.
III. La dimensión del número es igual a cero: [número]=0
a) FVV
b) VFV
c) VVF
d) VVV
e) VFF
3. En las siguientes ecuaciones, determinar la dimensión de:
A·B·C.
I. 750 metros + A = 1 km
II. 2 kg – B = 500 gramos
III. 12 horas + C = 2 días
a) L
b) LM
c) LMT
d) 1
e) L2T–2
4. En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión K.
K=
m⋅V
F⋅t
m : masa ; V : velocidad ; F : fuerza ; t : tiempo
a) L2
b) T3
c) LT–3
d) ML–3
e) M0
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7
F Í S I C A
5. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K.
K = n·a·t2 + bn
a : aceleración ; t : tiempo
a) L0
b) L
c) L2
d) L3
e) L4
6. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K.
K=
a) L
x3
( y − h)( y 2 + 3x )
b) L2
c) T3
; h : distancia
d) L3
e) L6
7. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K.
a) L2
V = K − A2
; V : velocidad
b) LT–2
c) L2T–1 d) L2T–2
e) LT–1
8. En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de m.
K3 = bn + 5m·n2
Donde: k : longitud
a) L2
b) L3
c) L4
d) T6
e) L–3
9. En la siguiente ecuación, hallar la dimensión de K.
Cos (2πKt) =
a) 0
b) 1
1
2
c) T
; t : tiempo
d) T–1
e) T–2
10. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K.
K = A·W·Cos (wf+π)
A : distancia ; f : frecuencia
b) LT–2
c) L
d) LT
e) T0
a) LT–1
11. En la siguiente fórmula física, determinar el valor de "x".
d = Sen 30°·g·tx
d : distancia ; g : aceleración ; t : tiempo
a) 1
b) 2
c) 3
d) –2
e) –1
12. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B.
x = A Log (2πB) ; x : longitud
d) LT
e) M–3
a) 1
b) L
c) L2
13. Hallar la dimensión K, en la siguiente ecuación:
y = Log  a ⋅ k 
 V 
a : aceleración ; V : velocidad
c) T3
a) T
b) T2
8
d) L–2
e) LT–2
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F Í S I C A
14. En la siguiente fórmla física, hallar la dimensión de K.
x = A·B2πfK
x : distancia ; f : frecuencia
a) LT–1
b) LT–2
c) T
3
d) L
e) T–2
15. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B·C.
x = A + 2Bt + 3Ct2
x : distancia ; t : tiempo
a) L3
b) T–3
c) L2T–3
d) L3T–3
e) L3T–2
TAREA
1. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B.
x = A·Sen (2πfB)
x : distancia ; f : frecuencia
d) LT2
e) LT
a) L
b) T
c) L2T
2. En la siguiente fórmula física, hallar el valor de "x".
d=
Vx
(Sen 30°)a
d : distancia ; a : aceleración ; V : velocidad
a) 1
b) 2
c) –1
d) –2
e) 3
3. En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de
K.
B = KP + 2,331 E
E : energía ; P : presión
b) L3
c) T2
a) L2
3
2
d) T
e) M
4. En la siguiente fórmula física, determinar el valor de x.
V = (Log π)(Sen 37°) hx
V : volumen ; h : altura
a) –2
b) –1
c) 1
d) 2
e) 3
5. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A.
m·A = D(Log π)(Sec 60°)
m : masa ; D : densidad
b) L3
c) LT2
a) L2
d) ML3
e) L–3
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9
F Í S I C A
6. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K.
A = B3Kt
f: frecuencia ; B : número ; t : tiempo
a) T–1
b) T
c) T–2
2
0
d) T
e) T
7. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de J.
J=
a) M0
( W 2 − 4k )
; x : masa
( x − 2y )( y 2 + 3W)
b) M
c) M2
d) M3
e) M4
8. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de W.
W = (x–h)(x2+a)(a2+y)
Donde: h : temperatura
b) θ6
c) θ7
a) θ5
d) θ9
e) θ3
9. Determinar la dimensión de K en la siguiente fórmula física.
K·V = F·t
V : velocidad ; F : fuerza ; t : tiempo
a) L
b) M
c) T
e) M3
d) L2
10. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión K.
E = Sen 30° · KVSec 60°
E : trabajo ; V : velocidad
a) L3
b) ML–2
c) M
e) LT–1
d) M2
1. e
1. e
10
2. e
2. b
3. c
3. b
4. e
4. e
5. b
5. b
6. d
6. a
7. d
7. b
CLAVES
8. b 9. d 10. d 11. b 12. b 13. a 14. c 15. d
8. c 9. b 10. c
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
unidad
2
Análisis Vectorial
CONCEPTO DE VECTORES
Es un ente matemático como el punto, la
recta y el plano. Se representa mediante
un segmento de recta, orientado dentro del
espacio euclidiano tridimensional.
NOTACIÓN:
G
A , se lee “vector A”. Se representa por
cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior de la letra.
También se le representa mediante un par
ordenado:
G
A = (x; y)
x; y: componentes rectangulares del vector
EJEMPLO:
y
θ
8
x=8 e y=6
ELEMENTOS DE UN VECTOR
A) MÓDULO
Geométricamente es el tamaño del
vector. Indica el valor de la magnitud vectorial.
G
A ó | A |: módulo del vector “A”.
G
| A |= x 2 + y 2
U N F V – C E P R E V I
Es la línea de acción de un vector; su
orientación respecto del sistema de coordenadas cartesianas en el plano, se define mediante el ángulo que forma el vector
con el eje x positivo en posición normal.
Tan θ =
Tan θ =
6=3
8 4
y
x
⇒ θ = 37°
x
El vector se representa mediante un par
ordenado:
G
A = (8; 6)
Donde:
B) DIRECCIÓN
Gráficamente se representa por una
cabeza de flecha. Indica hacia que lado
de la dirección (línea de acción) actúa el
vector.
A
0
El módulo del vector es 10 unidades.
C) SENTIDO
(8; 6)
6
G
A = 82 + 62 = 10
OPERACIONES CON VECTORES
1 . ADICIÓN DE VECTORES
Cuando dos o más vectores están representados mediante pares ordenados,
para hallar el vector resultante se suma
las componentes rectangulares en los ejes
x e y en forma independiente.
EJEMPLO:
G
G
Sabiendo que: A = (5; 6) y B = (4; 6); hallar
G G
el módulo de: A+B.
RESOLUCIÓN
Ordenando los vectores:
11
F Í S I C A
G
A
G
B
G G
A +B
G
R
= (5; 6) 
+
= (4; 6) 
= (9; 12)
G
|R| = 92 + (12)2 = 225
G
Luego:|R| = 15
2. SUSTRACCIÓN DE VECTORES
Cuando dos vectores están representados mediante pares ordenados, para
hallar el vector diferencia se restan las
componentes rectangulares de los vectores minuendo y sustraendo.
EJEMPLO:
G
G
Sabiendo que: A = (13; 11) y B = (7; 3);
G G
hallar el módulo de: A – B.
RESOLUCIÓN
Ordenando los vectores minuendo y
sustraendo:
G
A = (13; 11) 
G
−

B = (7; 3)
G G
A – B = (13–7; 11–3)
G
D = (6; 8)
El módulo del vector diferencia se obtiene
aplicando el teorema de Pitágoras:
G
|D| = 62 + 82 = 100
G
Luego:|D| = 10
3. MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR
UN ESCALAR
G
Sea A la cantidad vectorial y K la canG
tidad escalar, entonces KA es un vector
G
paralelo al vector A donde el sentido depende del signo de k. Debo advertir que K
es un número real.
–2A
A
= (5+4; 6+6)
El módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:
12
2A
–A
G
G
Si, K es positivo, los vectores A y KA
son paralelos de igual sentido.
G
G
– Si, K es negativo, los vectores A y KA
son paralelos de sentidos opuestos.
G
El vector A también se puede expresar
como un par ordenado:
G
A = (x; y)
G
Entonces: K A = K(x; y)
G
K A = (Kx, Ky)
–
De la última expresión podemos deducir
que: si el vector se multiplica por un escalar, entonces sus coordenadas también se
multiplican por esta cantidad escalar.
PRIMER EJEMPLO:
G
Si, A = (–6; 9)
Hallar las coordenadas del vector:
G
2A
3
RESOLUCIÓN
Producto de un escalar por un vector:
G 2
2A
= ( −6; 9) =  2 ( −6 ); 2 (9) 
3
3
3
3

G
Luego: 2 A = (–4; 6)
3
SEGUNDO EJEMPLO
G
G
Si: A = (4; 6) y B = (2; 1)
Hallar:
G
G
1A
+ 3B
2
RESOLUCIÓN
Producto de un escalar por un vector:
1G 1
A = (4; 6) = (2; 3)
2
2
G
3B = 3(2; 1) = (6; 3)
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
G
1G
A + 3B = (2+6; 3+3) = (8; 6)
2
G
G
1A
+ 3B = 82 + 62 = 10
2
Aplicamos el método del paralelogramo:
R = 52 + 32 + 2(5 )(3 )Cos 60°
4. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO PARA
SUMAR DOS VECTORES.
Para sumar dos vectores que tienen el
mismo origen, se construye un paralelogramo, trazando por el extremo de cada
vector una paralela al otro. El módulo del
vector suma o resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores.
A
O: origen común de los vectores.
R = 25 + 9 + 2(5)(3)(0,5)
⇒
R = 49
R=7
CASOS PARTICULARES
A . RESULTANTE MÁXIMA
La resultante de dos vectores es máxima, cuando forman entre sí un ángulo de
cero grados.
B
R=A+B
A
θ
Rmax = A + B
B
El módulo del vector resultante es:
R = A 2 + B2 + 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ Cosθ
B. RESULTANTE MÍNIMA
La resultante de dos vectores es mínima, cuando forman entre sí un ángulo de
180°.
B
A y B : Módulo de los vectores.
R : Módulo de la resultante.
θ
: Ángulo que forman los vectores.
EJEMPLO:
G G
Determinar el módulo de A + B, sabiendo
que:
A=5
B=3
85°
O1
A
Rmin = |A – B|
C. RESULTANTE DE DOS VECTORES PERPENDICULARES
Cuando dos vectores forman entre sí
un ángulo recto, la resultante se obtiene
aplicando el teorema de Pitágoras.
25°
O2
b
RESOLUCIÓN
Para determinar el ángulo entre los vectores, unimos el origen de los mismos
A=5
R
a
R = a 2 + b2
B=3
60°
25°
O
U N F V – C E P R E V I
EJEMPLO:
Si el módulo de la resultante máxima de
dos vectores es 28 y la mínima es 4.
13
F Í S I C A
Calcular el módulo de la resultante de estos vectores cuando formen un ángulo de
90°.
RESOLUCIÓN
Sabemos que:
A + B = 28
A–B=4
D = 52 + 62 − 2(5)(6)Cos 53°
D = 25 + 36 − 2(5)(6) 3 
5
⇒
D = 25
D=5
Resolviendo las ecuaciones tenemos:
A = 16 y B = 12
6. MÉTODO DEL POLÍGONO PARA SUMAR
“N” VECTORES
Cuando los vectores forman un ángulo
recto:
Consiste en construir un polígono con
los vectores sumandos, manteniendo
constante sus tres elementos (módulo, dirección y sentido), uniendo el extremo del
primer vector con el origen del segundo
vector, el extremo del segundo vector y el
origen del tercer vector, así sucesivamente hasta el último vector. El módulo del vector resultante se determina uniendo el origen del primer vector con el extremo del
último vector.
R
R = (16 )2 + (12)2 B=12
⇒
R = 20
A=16
5. DIFERENCIA DE DOS VECTORES
La diferencia de dos vectores que tienen el mismo origen se consigue uniendo
los extremos de los vectores. El vector diferencia D indica el vector minuendo A.
A
EJEMPLO:
En el sistema vectorial mostrado, determinar el módulo del vector resultante.
D
b
θ
c
B
El módulo del vector diferencia se determina aplicando la ley de Cosenos:
D = A 2 + B2 − 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ Cos θ
a
1
RESOLUCIÓN
Construimos el polígono vectorial.
c
b
EJEMPLO:
G
G
Sabiendo que: |a| = 5 y |b| = 6, calcular:
G G
|a–b|.
a
b
30°
83°
O1
O2
RESOLUCIÓN
Los vectores forman un ángulo de 53°.
Aplicamos la ley de Cosenos:
14
a
R
3
4
El módulo del vector resultante es:
R = 42 + 32
⇒
R=5
CASO ESPECIAL
Si el polígono de vectores es ordenado
(horario o antihorario) y cerrado, entonces
la resultante es cero.
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F Í S I C A
RESOLUCIÓN
Descomponiendo el vector de módulo 10.
y
A
B
C
G G G
A +B+C = 0
6
5
3
7 . DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
Consiste en escribir un vector en función de dos componentes que forman entre sí un ángulo recto.
y
Cálculo de la resultante en cada eje:
Rx = 8 – 5 = 3
Ry = 6 – 3 = 3
R = R2x + R2y = 3 2
A
θ
0
Ax
x
La componente en el eje x es:
Ax = A · Cos θ
R
⇒ θ = 45°
45°
3
=3=1
Rx 3
y
A
Ay
2k
37°
4k
60° k
30°
k 3
k 2
45° k
45°
k
PRIMER EJEMPLO
En el sistema vectorial mostrado, hallar la
dirección del vector resultante, respecto
del eje x positivo.
y
10
5
x
Utilizando el método del paralelogramo, la
descomposición tiene la siguiente forma:
También se puede descomponer utilizando triángulos rectángulos notables:
53° 3k
3
OBSERVACIÓN
La componente en el eje y es:
Ax = A · Sen θ
5k
y
Ry
Tg θ =
Ay
x
37°
8
37°
3
U N F V – C E P R E V I
x
θ
0
Ax
x
Las componentes rectangulares son:
Ax = A · Cos θ
Ay = A · Sen θ
SEGUNDO EJEMPLO
En el siguiente sistema de vectores, deG
terminar el módulo del vector A para que
la resultante sea vertical.
y
A
50
37°
60°
x
0
RESOLUCIÓN
Descomposición rectangular de los dos
vectores:
15
F Í S I C A
Representación de un vector en función
de los vectores unitarios cartesianos.
y
(8;6)
6
y
A·Sen 60°
30
A·Cos 60°
40
x
0
A
De la condición del problema: si la resultante es vertical, entonces la componente
horizontal es nula.
Σ Vectores (eje x) = 0
A · Cos 60° – 40 = 0
A = 80
x
RESOLUCIÓN
G
Cálculo del módulo del vector A :
OBSERVACIÓN
I.
8
PRIMER EJEMPLO:
G
Sabiendo que: A = 8î + 6 ĵ. Hallar el módu3 G
lo del vector:
A
5
 1
A   – 40 = 0
2
Luego:
0
Si la resultante de un sistema de vectores es VERTICAL, entonces la componente HORIZONTAL es nula.
Σ Vectores (eje x) = 0
II. Si la resultante de un sistema de vectores es HORIZONTAL, entonces la
componente VERTICAL es nula.
Σ Vectores (eje y) = 0
8. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS
Son aquellos vectores cuyo módulo es
la unidad de medida y se encuentran en
los ejes coordenados cartesianos.
y
(1;1)
j
–i
i
x
–j
(–1;–1)
G
|A| = 82 + 62 = 10
El módulo del vector:
3 G
A
5
G
G
3A
= 3 | A |= 3 (10 )
5
5
5
G
3A
=6
5
SEGUNDO EJEMPLO:
Sabiendo que:
G
G
B = 2î + 4 ĵ
y
A = 6î + 2 ĵ
G G
Hallar el módulo del vector: A + B
RESOLUCIÓN
Ordenamos verticalmente:
G
A = 6î + 2 ĵ
G
B = 2î + 4 ĵ
G G
A + B = 8î + 6 ĵ
Cálculo del módulo:
î : vector unitario en el eje x.
ĵ : vector unitario en el eje y.
16
G G
|A + B| = 82 + 62 = 10
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
PROBLEMAS
1. Sabiendo que:
G
A = 6î – 8 ĵ.
Hallar el módulo del vector:
a) 1
b) 2
c) 4
2 G
A
5
d) 6
e) 8
2. Se tiene dos vectores expresados en función de los vectores unitarios:
G
G
B = –4 î + 11 ĵ
A = 12î – 5 ĵ
G G
Hallar el módulo de A +B.
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12
3. Se tiene dos vectores de módulo 7 y 15 unidades que forman entre sí un ángulo de 53°. Hallar el ángulo formado
por la resultante y el vector de módulo 7.
a) 30°
b) 37°
c) 45°
d) 53°
e) 60°
4. Sabiendo que: A = 50 y B = 14, hallar el módulo del vecG G
tor: A –B.
A
a) 24
B
b) 48
c) 64
d) 36
50°
56°
e) 42
5. Dos vectores concurrentes tienen módulos de 3 y 5 unidades. Si el módulo del vector resultante es 7, determinar el
ángulo que forman los vectores.
a) 30°
b) 45°
c) 53°
d) 60°
e) 90°
6. Si la resultante del sistema vectorial es nula, ¿cuál es la
G
medida del ángulo θ?, ¿cuál es el módulo del vector A?
y
a) 30° y 35
A
b) 37° y 20
16
θ
c) 53° y 20
x
d) 60° y 28
e) 0° y 28
12
7. En el sistema vectorial mostrado, hallar el módulo del vec1
tor resultante.
a) 13
b) 14
1
c) 15
d) 16
e) 10
U N F V – C E P R E V I
17
F Í S I C A
G
8. La figura muestra un paralelogramo. Expresar el vector x
G
G
en función de los vectores a y b.
G
G
a) (2a–b)/2
G G
b) (2a+b)/2
a
x
G G
c) (a+b)/2
G G
d) (a–b)/2
G G
b
e) (a–2b)/2
9. En el siguiente sistema vectorial, hallar el módulo del vector resultante. A = B = C = 5.
B
a) 0
A
b) 5
c) 10
60°
d) 15
C
60°
60°
e) 2,5
O
10. Hallar el módulo del vector resultante sabiendo que:
G
G
y
a = 3 ĵ y b = –4î.
a) 5
a
b) 3
c) 4
x
d) 10
e) 15
b
11. Determinar el módulo del vector resultante, sabiendo que:
D
AB = 8 y CD = 6.
a) 2
b) 4
A
B
c) 6
d) 8
e) 10
C
12. En el cuadrado de 2 cm de lado, se establecen los siguientes vectores. Calcular el módulo de la resultante. M es punto
medio de BC.
M
C
B
a) 21 cm
b) 31 cm
c) 41 cm
d) 51 cm
e) 61 cm
A
D
13. Con los vectores expresados. Determinar la dirección del
vector resultante, respecto del eje x positivo.
18
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
a) 45°
b) 60°
c) 135°
d) 120°
e) 180°
y
8
10
4
60°
x
2 3
14. Encontrar el módulo de la resultante del sistema de vectores en el rectángulo.
4 cm
a) 5 cm
37°
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 10 cm
e) 0
15. Determinar la mínima resultante que deben definir dos
vectores que forman 143° entre sí, sabiendo que uno de
ellos tiene módulo igual a 60 unidades.
a) 12
b) 24
B
c) 36
143°
d) 48
e) 60
A=60
TAREA
G
1. Sabiendo que: a = 8î + 6 ĵ, hallar el módulo del vector
1G
a.
5
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
G
a = 2î – 3 ĵ
G
b = 4î + 11 ĵ
G G
Hallar el módulo del vector: a+b.
a) 10
b) 11
c) 12
d) 5
e) 10
2. Sabiendo que:
e) 3
G G
G
3. Expresar el vector x en función de los vectores a y b, sabiendo que: PM = MQ.
G G
O
a) a–b
G G
b) a+b
G G
b
a
c) b–a
x
G G
d) (a+b)/2
G G
P
M
Q
e) (a–b)/2
U N F V – C E P R E V I
19
F Í S I C A
4. Hallar el módulo del vector resultante en el siguiente sistema vectorial:
a) 7
3
b) 5
c) 6
d) 10
e) 15
4
5. En el siguiente conjunto de vectores, hallar el módulo del
vector resultante.
a) 0
1
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
G G
6. Sabiendo que A=5 y B=6, hallar el módulo de A–B.
a) 4
A
b) 5
B
c) 6
d) 7
83°
30°
e) 8
G
7. Hallar el módulo del siguiente vector: A = (3; 4; 12).
a) 5
b) 7
c) 13
d) 15
e) 19
8. Hallar el módulo de la resultante.
y
a) 70 u
b) 80 u
40° 50u
c) 100 u
d) 5 13 u
e) 20 u
x
170°
30u
G G G
9. El lado de cada cuadrado mide 3 . Calcular: | A + B + C |
a) 10 3
b) 30
c) 4 3
e) 0
d) 5 3
A
C
B
G
G G
10. Tres fuerzas F1, F2 y F3 actúan sobre un cuerpo en equiliG
G
brio; sabiendo que: F 1=3î+4 ĵ ; F 2=5î–10 ĵ, hallar el móG
dulo de la fuerza F3.
a) 5
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
1. c
1. a
20
2. d
2. a
3. b
3. d
4. b
4. d
5. d
5. b
6. b
6. b
7. e
7. c
CLAVES
8. a 9. c 10. d 11. e 12. c 13. c 14. a 15. c
8. a 9. b 10. d
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
unidad
3
Cinemática (MRU)
CONCEPTO DE CINEMÁTICA
Estudia las propiedades geométricas de
las trayectorias que describen los cuerpos
en movimiento mecánico, independientemente de la masa del cuerpo y de las fuerzas aplicadas.
curva, el movimiento se llama
curvilíneo y si es una recta, rectilíneo.
y
A
1 . SISTEMA DE REFERENCIA
Para describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al
observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A
este conjunto se le denomina sistema
de referencia.
y
tiempo
B
C
x
A
D
2. MOVIMIENTO MECÁNICO
Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el movimiento mecánico es relativo.
3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
a) Móvil
Es el cuerpo que cambia de posición
respecto de un sistema de referencia.
Si el cuerpo no cambia de posición, se
dice que está en reposo relativo.
b) Trayectoria
Es aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de
referencia. Es decir la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea
U N F V – C E P R E V I
e
d
trayectoria
B
x
0
c) Recorrido (e)
Es la longitud de la trayectoria entre
dos puntos (A y B).
G
d) Desplazamiento (d)
Es aquella magnitud vectorial que se
define como el cambio de posición que
experimenta un cuerpo. Se consigue
uniendo la posición inicial con la posición final. Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil.
e) Distancia (d)
Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo del vector desplazamiento.
Se cumple que:
d≤e
4. MEDIDA DEL MOVIMIENTO
a) Velocidad media ( Vm)
Es aquella magnitud física vectorial,
que mide la rapidez del cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un sistema de referencia. Se define como la relación entre el vector
desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.
21
F Í S I C A
y
e
B
A
Vm
d
x
0
G
G
d
Vm =
t
Unidades:
b) Rapidez Lineal (RL)
Es aquella magnitud física escalar que
mide la rapidez del cambio de posición
en función del recorrido. Se define
como la relación entre el recorrido (e)
y el intervalo de tiempo correspondiente.
RL =
LT–1
m·s–1 ; cm·s–1
Unidades:
G
d : vector desplazamiento
t : intervalo de tiempo
G
Vm : vector velocidad media
e
t
LT–1
m·s–1 ; cm·s–1
e : recorrido
t : intervalo de tiempo
RL: rapidez lineal
OBSERVACIÓN:
Los vectores velocidad media y desplazamiento, tienen igual dirección y sentido.
EJEMPLO:
Una mosca se traslada de la posición A
(2;2) a la posición B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la velocidad media entre A y B.
EJEMPLO:
Una paloma recorre en 2 segundos la sexta parte de una circunferencia de 6 m de
radio. Calcular:
a) La rapidez lineal de la paloma.
b) El módulo de la velocidad media.
RESOLUCIÓN:
a) El ángulo central θ mide
π
rad, equi3
valente a 60°.
y
B
A
d
0
RESOLUCIÓN:
Cálculo del vector desplazamiento entre
A y B:
G
d
G = B – A = (5; 6) – (2; 2)
d = (3; 4) = 3î + 4 ĵ
Cálculo de la velocidad media:
G
G
3ˆi + 4ˆj
Vm = d =
t
0,02
G
Vm = 150ˆi + 200ˆj (m/s)
22
60°
d
60°
θ°
R=6m
6m
x
O
e
La longitud de arco (e) es:
π
e = θ·R =  3  (6m) = 2π m
 
La rapidez lineal es:
RL = e = 2πm = π m
t
2s
s
RL = 3,1415 m/s
b) La distancia mide 6m, en la figura se
observa un triángulo equilátero.
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
La velocidad media, en módulo es:
Vm =
La distancia que recorre el móvil es directamente proporcional al tiempo
transcurrido.
I. d = V·t
d = 6m = 3 m
t
2s
s
OBSERVACIÓN:
El módulo de la velocidad media es menor o igual a la rapidez lineal.
Vm ≤ RL
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
El móvil describe una trayectoria
rectilínea respecto de un sistema de
referencia.
y
e
x
0
A
B
d
⇒
Es aquel tipo de movimiento que tiene
como trayectoria una línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias
iguales en tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad media constante en módulo, dirección y
sentido, durante su movimiento.
t
t
t
x
0
d
d
d
U N F V – C E P R E V I
V
t
G
a) Velocidad (V)
Es aquella magnitud física vectorial
que mide la rapidez del cambio de posición respecto de un sistema de referencia. En consecuencia la velocidad
tiene tres elementos: módulo, dirección
y sentido. Al módulo de la velocidad
también se le llama RAPIDEZ.
con velocidad: 5î (m/s).
V=5m/s
a.2)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve
con velocidad: –5î (m/s)
V=5m/s
Tiene rapidez de 5 m/s con dirección
horizontal hacia la izquierda.
a.3)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve
con velocidad: 5 ĵ (m/s)
Tiene rapidez de 5 m/s con dirección
vertical hacia arriba.
y
5 m/s
En forma escalar:
Velocidad = dis tan cia
tiempo
d
V
d
Tiene rapidez de 5 m/s con dirección
horizontal hacia la derecha.
RL = Vm
6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
(M.R.U.)
y
III. t =
d
t
EJEMPLOS:
a.1)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve
En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido tienen el mismo
módulo, en consecuencia el módulo de
la velocidad media y la rapidez lineal
tienen el mismo valor.
e=d
II. V =
5 m/s
x
0
23
F Í S I C A
a.4)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve
con velocidad: –5 ĵ (m/s).
Tiene rapidez de 5 m/s con dirección
vertical hacia abajo.
a.5)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve
En 10 segundos los móviles A y B se desplazan 30 m y 40 m respectivamente.
La distancia de separación entre los móviles se obtiene aplicando el teorema de
Pitágoras.
d2 = (30)2 + (40)2 = 2500
con velocidad: 3î+4 ĵ (m/s).
Luego: d = 50m
Tiene rapidez: V = 32 + 42 = 5 m/s
G
b) Desplazamiento (d)
El desplazamiento que experimenta el
móvil es directamente proporcional al
tiempo transcurrido.
G G
d = V⋅t
c) Tiempo de encuentro (Te)
Si dos móviles inician su movimiento
simultáneamente en sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es:
VA
VB
... Forma vectorial
d
d = V · t ... Forma escalar
EJEMPLO:
Dos móviles A y B salen simultáneamente
del mismo punto con velocidades de
3 î (m/s) y 4ĵ (m/s). Determinar la distancia
que separa a los móviles después de 10
segundos.
RESOLUCIÓN:
El móvil A se mueve con rapidez de 3 m/s
con dirección horizontal, y el móvil B se
mueve con rapidez de 4 m/s con dirección
vertical.
Te =
VA; VB : módulos de la velocidad.
d) Tiempo de alcance (Ta)
Si dos móviles inician su movimiento
simultáneamente en el mismo sentido,
el tiempo de alcance es:
VA
40m
Ta =
d
24
30m
d
VA − VB
; VA>VB
x
3m/s
0
VB
d
y
B
4m/s
d
VA + VB
A
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
PROBLEMAS
1. Respecto de la velocidad, marcar falso (F) o verdadero (V)
según corresponde:
G
( ) V= 6 î (m/s), entonces el módulo de la velocidad es
6m/s.
G
( ) V= 8 ĵ (m/s), entonces la rapidez del móvil es 8 m/s.
G
( ) V = 6 î +8 ĵ(m/s), entonces la rapidez del móvil es
10 m/s.
a) VVF
b) VFF
c) FVV
d) VFV
e) VVV
2. Dos móviles A y B salen simultáneamente del mismo punto con velocidades de 4 î (m/s) y –6 î (m/s) respectivamente. Determinar la distancia que separa a los móviles después de 5 segundos.
a) 25 m
b) 35 m
c) 45 m
d) 50 m
e) 55 m
3. Dos móviles A y B salen simultáneamente del mismo punto con velocidades de 6î (m/s) y 8 ĵ (m/s) respectivamente. Determinar la distancia que separa a los móviles después de 5 segundos.
a) 30 m
b) 40 m
c) 50 m
d) 60 m
e) 70 m
4. Un automóvil de 5 m de longitud se desplaza con velocidad de 108 î (km/h) por una carretera paralela a la vía del
tren. ¿Cuánto tiempo empleará el auto en pasar a un tren
de 395 m de largo que se mueve con velocidad de 72 î
(km/h)?
a) 20 s
b) 30 s
c) 40 s
d) 50 s
e) 60 s
5. ¿Qué distancia recorrerá un avión si el tanque de combustible contiene 160 litros de gasolina?. La rapidez del avión
es de 240 km/h y el consumo de combustible es de 40
litros/h.
a) 960 km
b) 950 km
c) 940 km
d) 970 km
e) 980 km
6. Un ciclista que tiene M.R.U. con rapidez de 9 km/h. ¿Cuántos metros recorre en 2 min.?
a) 30 m
b) 100 m
c) 300 m
d) 150 m
e) 180 m
U N F V – C E P R E V I
25
F Í S I C A
7. La luz se propaga en el vacío alcanzando la máxima rapidez de 300 000 km/s. ¿Cuántos millones de kilómetros
recorre la luz durante 2 minutos?
a) 9
b) 18
c) 36
d) 27
e) 21
8. La rapidez del sonido en el aire es 340 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en oírse el disparo de un cañón situado a 1,7km?
a) 0,5 s
b) 5 s
c) 10 s
d) 15 s
e) 50 s
9. Un tren de 200 m de largo se mueve con rapidez de
72 km/h. ¿Qué tiempo tardará el tren en atravesar un túnel de 700 m de largo?
a) 35 s
b) 30 s
c) 38 s
d) 40 s
e) 45 s
10. Diego sale de su casa a las 7:20 horas con destino a la PRE
con rapidez constante, llegando a las 7:58 horas. ¿Si duplicara su rapidez, a qué hora llegaría?
a) 7:37 a.m.
b) 7:38 a.m.
c) 7:39 a.m.
d) 7:40 a.m.
e) 7:41 a.m.
11. Dos móviles separados una distancia de 900 m parten simultáneamente al encuentro con rapideces de 4 m/s y
6m/s respectivamente. ¿Después de cuántos segundos
estarán separados 200 m por primera vez?
a) 60
b) 70
c) 80
d) 90
e) 110
12. Una persona ubicada entre dos montañas emite un grito y
recibe el primer eco después de 3,8 segundos y el siguiente a los 4,2 segundos. ¿Cuál es la distancia de separación
entre las montañas?
Rapidez del sonido en el aire: 340 m/s
a) 1360 m
b) 1260 m
c) 1060 m
d) 1212 m
e) 1122 m
13. Dos móviles separados una distancia de 800 m parten simultáneamente al encuentro con rapideces de 3 m/s y
7m/s respectivamente. ¿Después de cuántos segundos
estarán separados 200 m por segunda vez?
a) 80
b) 90
c) 100
d) 110
e) 120
14. Una mariposa se traslada de la posición A a la posición B,
siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar el desplazamiento que experimenta.
26
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
a) 5 î (m)
b) 5 ĵ (m)
y(m)
5
B
c) 3 î+4 ĵ (m)
d) 4 î+3 ĵ (m)
e) 6 î+5 ĵ (m)
2
A
x(m)
2
6
15. Una paloma recorre en 2 segundos la cuarta parte de una
circunferencia de 8 metros de radio. Calcular la rapidez
lineal de la paloma.
a) π (m/s)
b) 2π (m/s)
c) 0,2π (m/s)
d) 2 (m/s)
e) 0,5 (m/s)
TAREA
1. Sara salió de la ciudad A a las 2:00 p.m. en dirección a la
ciudad B, viajando en auto con rapidez de 50 km/h. Si el
auto se descompuso a la mitad del trayecto, demorando
0,5 h y luego continuar el viaje con rapidez de 5 km/h,
llegando a su destino a las 8:00 p.m.
¿Cuál es la distancia entre las ciudades A y B?
a) 25 km
b) 45 km
c) 50 km
d) 55 km
e) 60 km
2. Determinar la longitud de ómnibus sabiendo que tarda 4
segundos en pasar delante de un observador, y 10 segundos por delante de una estación de 30 m de largo.
a) 10 m
b) 15 m
c) 20 m
d) 25 m
e) 30 m
3. Un tren de 130 m de largo se mueve con velocidad constante de 36 km/h, atraviesa completamente un puente en
20 segundos. ¿Cuánto mide el largo del puente?
a) 50 m
b) 70 m
c) 100 m
d) 150 m
e) 200 m
4. Un pasajero asomado a la ventanilla de un tren que va a
90km/h observa que el tren "bala" está estacionado en la
vía adyacente. Si pasa ante él en 5 segundos. ¿Cuál es la
longitud del tren bala?
a) 100 m
b) 125 m
c) 150 m
d) 175 m
e) 200 m
5. Un móvil que tiene M.R.U. se mueve con velocidad constante de 5 î m/s en el eje x. En el instante t = 3 s se halla
U N F V – C E P R E V I
27
F Í S I C A
en la posición x = 25 m. Hallar su posición en el instante
t = 8 s.
a) x = 35 m
b) x = 40 m
c) x = 45 m
d) x = 50 m
e) x = 55
6. Un tren cruza un túnel de 200 metros de longitud con la
velocidad constante de 72 km/h. Si la longitud del tren es
el 60% de la longitud del túnel. Calcular el tiempo empleado por el tren en cruzar el túnel.
a) 16 s
b) 18 s
c) 20 s
d) 22 s
e) 24 s
7. Un auto tiene M.R.U. dirigiéndose a una gran muralla con
velocidad de 30 m/s. En cierto instante toca la bocina, ¿a
qué distancia de la muralla se encontraba, si el conductor
escuchó el sonido 2 s después de emitirlo?
(Velocidad del sonido = 340 m/s)
a) 370 m b) 360 m c) 350 m d) 340 m e) 300 m
8. Dos móviles separados por 130 km parten simultáneamente
al encuentro con velocidades de 50 km/h y 80 km/h respectivamente. ¿Después de qué tiempo estarán separados
260 km?
a) 1 h
b) 2 h
c) 3 h
d) 4 h
e) 5 h
9. Un bote es capaz de moverse sobre las aguas de un río con
la velocidad de 8 m/s, que le proporciona un motor. Si la
velocidad de la corriente del río es 6 m/s, el ancho del río
es 40 m, y el bote se mantiene perpendicular a la orilla.
¿Qué distancia recorre al moverse de una orilla a la otra?
A
a) 110 m
b) 100 m
c) 80 m
río
40m
d) 50 m
e) 150 m
B
10. El ruido emitido por el motor del avión en "A" es escuchado por el observador en "C", cuando el avión se encuentra
pasando por B. Determinar la velocidad del avión. Rapidez
del sonido en el aire: 340 m/s.
a) 119 m/s
A
B
b) 121 m/s
53°
c) 123 m/s
d) 125 m/s
16°
e) 238 m/s
C
1. e
1. c
28
2. d
2. c
3. c
3. b
4. c
4. b
5. a
5. d
6. c
6. a
7. c
7. a
CLAVES
8. b 9. e 10. c 11. b 12. a 13. c 14. d 15. b
8. c 9. d 10. a
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
unidad
4
Cinemática (MRUV)
¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO?
Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde la trayectoria es
rectilínea y la aceleración es constante.
xf = x0 + V0t ±
1 2
at
2
y
a
V x
¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?
Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil
cambia de velocidad.
a=
Vf − V0
⟨ ⟩ a = ∆V = Cte.
t
t
0
EJEMPLO:
Un móvil con M.R.U.V. se mueve bajo la
siguiente Ley en el eje “x”.
x(t) = 5 + 4t + 2t2
Unidad en el S.I.
x : posición en metros.
T : tiempo en segundos.
¿Cuál es su posición en t = 0 y t = 2 segundos?
m
 
s
a=   = m
(s)
s2
EJEMPLO:
Un móvil comienza a moverse sobre una
trayectoria horizontal variando el módulo
de su velocidad a razón de 4 m/s en cada
2 segundos. Hallar la aceleración.
RESOLUCIÓN:
V=0
∆V
a=
t
2s 4 m
s
⇒
x
2s 8 m
s
2s
12m
s
4m
s
a=
= 2 m2
2s
s
POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL
M.R.U.V.
La posición de una partícula, que se mueve en el eje “x” en el instante “t” es.
U N F V – C E P R E V I
RESOLUCIÓN:
Para t = 0
x(0) = 5 + 4(0) + 2(0)2 = 5 m
Para t = 2
x(2) = 5 + 4(2) + 2(2)2 = 21m
ECUACIONES DEL M.R.U.V.
 V0 + Vf 
1. d = 
 t
2


2. Vf = V0 ± at
3. d = V0t ±
1 2
at
2
4. Vf2 = V02 ± 2ad
5. dn = V0 ± 1 a(2n–1)
2
29
F Í S I C A
TIPOS DE MOVIMIENTO
I.
–
ACELERADO
El signo (+) es para un movimiento
acelerado (aumento de velocidad).
OBSERVACIÓN:
Números de Galileo
a=cte.
V=0 t
t
t
t
3k
5k
7k
a
V
II. DESACELERADO
– EL signo (–) es para un movimiento
desacelerado (disminución de velocidad).
a
V
1k
EJEMPLO:
Un móvil que parte del reposo con MRUV
recorre en el primer segundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el
cuarto segundo?
RESOLUCIÓN:
Primer segundo:
Cuarto segundo:
1k = 5m ⇒ k = 5
7k = 7(5) ⇒ 35m
PROBLEMAS
1. En el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV),
¿qué parámetro varía uniformemente?
a) La rapidez
b) La aceleración c) La posición
d) La distancia
e) El desplazamiento
G
2. Para cierto instante, se muestra la velocidad (V) y la aceleG
ración (a) de un móvil, luego es correcto decir:
I. La velocidad aumenta.
II. El móvil se mueve en el sentido de la velocidad.
III. El móvil está en reposo.
a
a) I
b) II
V
c) III
d) I y II
e) II y III
3. Señale si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o
falsas (F):
I. En el MRUV la aceleración es constante.
II. Es posible que un móvil se dirija hacia el norte acelerando hacia el sur.
III. En el MRUV la velocidad es constante.
a) VFV
b) VVF
c) VVV
d) FVF
e) FFF
30
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
m/s2
4. Una aceleración constante de 3
indica que:
I. La velocidad del móvil varía.
II. Cada segundo la velocidad varía en 3 m/s.
III. Cada segundo el móvil recorre 3 m.
a) I y II
b) I y III
c) II y III
d) Sólo I
e) Sólo II
5. Una pelotita llega en trayectoria horizontal estrellándose
contra una pared vertical a 8 m/s, y rebota con una rapidez de 7 m/s. Si estuvo en contacto con la pared 0,25
segundo. Determinar la aceleración media producida por
el choque.
a) –50 i (m/s2)
b) 20 i (m/s2)
V
c) –60 i (m/s2)
d) –50 i (m/s2)
e) 60 i (m/s2)
6. Una pelotita llega en trayectoria vertical estrellándose contra
el suelo con una rapidez de 5 m/s, y rebota con una rapidez de 4 m/s. Si estuvo en contacto con el suelo
1/3 s. Determinar la aceleración media producida por el
choque.
y
a) 27 j m/s2
b) 17 j m/s2
c) 22 j m/s2
V
d) 15 j m/s2
2
e) 8 j m/s
0
x
7. Una partícula con MRUV duplica su rapidez luego de 5 segundos, acelerando a razón de 2 m/s2. El espacio recorrido en ese tiempo es:
a) 35 m
b) 45 m
c) 55 m
d) 65 m
e) 75 m
8. A un auto que viaja con rapidez de 36 km/h, se le aplica
los frenos y se detiene después de recorrer 50 m. Si tiene
MRUV, ¿qué tiempo demoró en detenerse?
a) 5 s
b) 10 s
c) 15 s
d) 20 s
e) 25 s
9. Los extremos de un tren de 42 m de largo pasan por el
costado de un "poste de luz" a razón de 4 y 10 m/s, respectivamente. Hallar la aceleración del tren, en m/s2.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. Dos autos están separados 100 m uno delante del otro,
parten del reposo en el mismo sentido y en el mismo instante, el primero con una aceleración de 5 m/s2 y el se-
U N F V – C E P R E V I
31
F Í S I C A
gundo con una aceleración de 7 m/s2. Al cabo de cuánto
tiempo el segundo alcanza al primero.
a) 5 s
b) 10 s
c) 15 s
d) 25 s
e) 30 s
11. Dos móviles A y B empiezan a moverse desde un mismo
lugar y en el mismo sentido. El móvil A se mueve con rapidez constante de 40 m/s, mientras que B parte del reposo
y acelera a razón de 4 m/s2. Calcular la velocidad de B en
el instante que alcanza al móvil A.
a) 75 m/s
b) 80 m/s
c) 85 m/s
d) 90 m/s
e) 95 m/s
12. Un hombre se mueve con una rapidez constante de
5 m/s tras un microbús que se encuentra en reposo; pero
cuando está a 6 m, el microbús parte con una aceleración
de 2 m/s2. Hallar a partir de ese momento el tiempo en
que logra alcanzar al microbús. Dar como respuesta el tiempo mínimo.
a) 1 s
b) 1,5 s
c) 2 s
d) 2,5 s
e) 3 s
13. Un móvil que tiene MRUV sale del reposo y recorre 100
metros en el décimo tercer segundo de su movimiento.
Determinar la distancia que recorre entre los instantes
t = 4 s y t = 8 s.
a) 192 m b) 182 m c) 190 m d) 180 m e) 100 m
14. Un automóvil que tiene MRUV sale con rapidez de
4 m/s y aceleración de 3 m/s2. Calcular la distancia que
recorre en el octavo segundo de su movimiento.
a) 24,6 m b) 26,5 m c) 28 m d) 30 m
e) 32 m
15. Un zorro puede lograr desde el reposo una aceleración de
3 m/s2. Si va a la caza de un conejo que puede lograr una
aceleración de 1 m/s2, y si éste inicia la huida desde el
reposo en el mismo instante que el zorro está a 36 m de él.
¿Qué distancia recorre el zorro hasta alcanzar al conejo?
a) 54 m
b) 44 m
c) 64 m d) 75 m
e) 84 m
TAREA
1. La siguiente cantidad 4
km
h
s
, en el MRUV representa:
a) Una velocidad b) Una distancia
d) Una aceleración e) Una rapidez
c) Un tiempo
2. El MRUV se caracteriza porque es constante su .........
a) velocidad
b) aceleración
c) rapidez
d) desplazamiento e) posición
32
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
3. Un auto parte de reposo y se mueve con una aceleración
constante de 4 m/s2 y viaja durante 4 segundos. Durante
los próximos 10 segundos se mueve a velocidad constante. Se aplica luego los frenos y el auto desacelera a razón
de 8 m/s2 hasta que se detiene. Calcular la distancia total
recorrida.
a) 205 m b) 208 m c) 212 m d) 215 m e) 225 m
4. Un automóvil que tiene MRUV sale con rapidez inicial diferente de cero y aceleración de 4 m/s2, recorre 80 m en 4
segundos. Halle la velocidad final.
a) 12 m/s b) 20 m/s c) 24 m/s d) 25 m/s e) 28 m/s
5. Un avión se encuentra en reposo; antes de despegar recorre 2 km en 20 segundos con MRUV. ¿Cuál es la rapidez
con que despega?
a) 100 m/s
b) 120 m/s
c) 180 m/s
d) 200 m/s
e) 250 m/s
6. Un móvil que parte del reposo se desplaza con MRUV y
recorre en el tercer segundo 16 m menos que el recorrido
en el séptimo segundo. Calcular la aceleración del móvil,
en m/s2.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 4,5
7. Un móvil que tiene MRUV recorre "d" metros partiendo del
reposo durante cierto tiempo "t", para luego recorrer 600
m más durante los 10 segundos siguientes logrando triplicar
su rapidez. Hallar "d".
a) 55 m
b) 65 m
c) 75 m d) 85 m
e) 89 m
8. Un móvil parte del origen con una velocidad de 5 m/s y
viaja con una aceleración constante de 2 m/s2 durante 10
segundos, al final de los cuales continua el trayecto a velocidad constante. Se pide determinar el tiempo en que habrá recorrido 1 km desde el inicio del movimiento.
a) 35 s
b) 37 s
c) 44 s
d) 48 s
e) 52 s
9. Un auto parte del reposo con aceleración constante. Si
tiene MRUV y recorre 34 m en el noveno segundo. ¿Qué
distancia recorre en el décimo segundo de su movimiento?
a) 38 m
b) 36 m
c) 56 m d) 66 m
e) 76 m
10. Un auto que tiene MRUV sale del reposo. En el noveno
segundo recorre 51 m de distancia. ¿Qué distancia recorre
en el décimo segundo de su movimiento?
a) 59 m
b) 57 m
c) 79 m d) 89 m
e) 99 m
1. b
1. d
2. b
2. b
3. b
3. b
4. a
4. e
5. c
5. d
6. a
6. c
U N F V – C E P R E V I
7. e
7. c
CLAVES
8. b 9. a 10. b 11. b 12. c 13. b 14. b 15. e
8. c 9. a 10. b
33
F Í S I C A
unidad
5
Movimiento Vertical
de Caída Libre (MVCL)
MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA
LIBRE (MVCL)
Teniendo las siguientes consideraciones,
el movimiento de caida libre es un caso
particular del M.R.U.V.
CONSIDERACIONES:
1. La altura máxima alcanzada es suficientemente pequeña como para despreciar la variación de la gravedad con la
altura.
2. En caída libre se desprecia la resistencia del aire.
Las caídas libres de los cuerpos describiendo una trayectoria recta, son ejemplos
de movimiento rectilíneo uniformemente
variado.
GALILEO GALILEI estableció que dichos
movimientos son uniformemente variados;
sus mediciones mostraron que la aceleración estaba dirigida hacia el centro de la
Tierra, y su valor es aproximadamente
9,8 m/s2.
Con el fin de distinguir la caída libre de los
demás movimientos acelerados, se ha
adoptado designar la aceleración de dicha
caída con la letra “g”.
Con fines prácticos se suele usar a:
g = 10 m/s2
PROPIEDADES
1) Respecto del mismo nivel de referencia, el módulo de la velocidad de subida es igual al módulo de la velocidad
de bajada.
2) Los tiempos de subida y de bajada, son
iguales respecto al mismo nivel horizontal.
34
V=0
g
V1 = V2
ts = tb
ts
tb
V1
V2
hmax
ECUACIONES PARA M.V.C.L.
 V0 + Vf
1) h = 
2


 t

2) Vf = V0 ± gt
3) h = V0t ± 1 gt2
2
(–) sube
4) Vf2 = V02 ± 2gh
(+) baja
5) hn = V0 ± 1 g(2n–1)
2
COMENTARIO
De una misma altura se dejó caer una pluma de gallina y un trozo de plomo, ¿cuál
de los cuerpos toca primero el suelo si
están en el vacío?
pluma
g
plomo
vacío
Respuesta: Llegan simultáneamente
En los problemas a resolverse se consideran a los cuerpos en el vacío, salvo que
se indique lo contrario.
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
EJEMPLOS:
1) Se lanza verticalmente hacia arriba una
partícula con una rapidez de V=30 m/s
como se muestra en la figura; si se
mantuvo en el aire durante 10 segundos, hallar “h”. (g = 10 m/s2).
V
CASOS ESPECIALES
1) Como el tiempo de subida y de bajada
son iguales, el tiempo de vuelo es:
tvuelo =
2) La altura máxima se obtiene con la siguiente fórmula:
g
h
hmax =
RESOLUCIÓN
V=0
3s
30 m/s
30 m/s
4s
h
V02
2g
3) Números de Galileo
V=0
3s
A B
2V0
g
1k
5m
3k
15m
5k
25m
7k
35m
g = 10 m/s2
En general:
k=
g
2
C
Dato: ttotal = 10 s
*
De BC:
1 2
gt
2
1
h = 30(4) + 10(4)2
2
h = 120 + 80
h = 200 m
h = V0t +
4) Si dos cuerpos se mueven verticalmente en forma simultánea y en el mismo
sentido, se puede aplicar.
2) Se abandona una partícula a cierta altura. ¿Qué altura desciende en el octavo segundo de su caída?
(g = 10 m/s2)
h
VA − VB
VA > VB
t=
VA
h
VB
RESOLUCIÓN
h(n) = V0 ±
5) Si dos cuerpos se mueven verticalmente en forma simultánea y en sentidos
contrarios, se puede aplicar:
1
g(2n–1)
2
V=0
1
·10 (2·8–1)
2
h(8) = 75 m
10 m/s
h(8) =
h(8)
U N F V – C E P R E V I
1s
t=
8vo.
1s
h
VA + VB
VA
h
VB
35
F Í S I C A
PROBLEMAS
1. Walter lanza una pelota con una velocidad de 15 j (m/s).
¿Cuánto tiempo tarda en regresar a su nivel de lanzamiento?. (g = –10 j m/s2)
a) 3 s
b) 4 s
c) 2 s
d) 1 s
e) 0,5 s
2. Un objeto es lanzado con una velocidad de 80 j (m/s). ¿Cuál
es su velocidad despues de 10 segundos? (g = 10 j m/s2)
a) –22 j (m/s)
b) –20 j (m/s)
c) –18 j (m/s)
d) –15 j (m/s)
e) –12 j (m/s)
3. Se lanza una pelota desde la superficie terrestre con una
rapidez inicial de 50 m/s. Si después de un tiempo t se
encuentra acercándose a tierra con una velocidad de
30 m/s. Hallar t. (g = 10 m/s2).
a) 4 s
b) 8 s
c) 12 s
d) 16 s
e) 20 s
4. Se suelta un cuerpo desde cierta altura, entonces, luego
de tres segundos ha recorrido:
(g = 10 m/s2)
a) 25 m
b) 35 m
c) 45 m
d) 55 m
e) 12 m
5. Dos segundos después de ser lanzado desde el suelo verticalmente hacia arriba, un objeto está subiendo a
20 m/s; entonces al llegar al suelo su rapidez es:
(g = 10 m/s2)
a) 20 m/s
b) 30 m/s
c) 40 m/s
d) 50 m/s
e) 60 m/s
6. Desde cierta altura se lanza verticalemente hacia abajo un
objeto con 10 m/s; si llega al suelo a 30 m/s, la rapidez del
objeto cuando se encuentra a la mitad de su trayectoria
es:
(g = 10 m/s2)
a) 10 m/s
d) 20 m/s
b) 10 5 m/s
e) 30 m/s
c) 10 2 m/s
7. Desde la base de un edificio se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a 60 m/s; si luego de 2 s se encuentra
en la mitad del edificio (por primera vez). ¿Cuál es la altura
del edificio?
(g = 10 m/s2)
a) 100 m
b) 200 m
c) 300 m
d) 400 m
e) 500 m
36
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
8. Una partícula lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez V, alcanza una altura máxima H. Si la rapidez de lanzamiento se duplica, la altura máxima.
a) Se duplica
b) Es la misma
c) Se cuadriplica
d) Aumenta 2 h
e) Aumenta 4 h
9. A y B son puntos sobre la misma vertical, A está 100 m
sobre B; desde A se deja caer una bolita y simultáneamente se lanza hacia arriba otra bolita con una rapidez de
50 m/s. Considerando que sólo actúa la gravedad
(g = 10 m/s2). ¿A qué altura sobre B chocarán ambas bolitas?
a) 20 m
b) 80 m
c) 98 m
d) 2 m
e) Nunca chocarán
10. Desde el suelo se lanza un objeto verticalmente hacia arriba; si alcanza una altura máxima de 80 m, entonces el
tiempo que emplea en la bajada es:
(g = 10 m/s2)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
11. Desde la azotea de un edificio se lanza un cuerpo con rapidez vertical hacia arriba de 20 m/s, llegando al piso 10 s
después. Determinar la altura del edificio.
(g = 10 m/s2)
a) 100 m
b) 200 m
c) 300 m
d) 400 m
e) 500 m
12. Un cuerpo que ha sido soltado, recorre en sus tres primeros segundos igual distancia que en el último segundo.
Halle la altura de la caída. (g=10 m/s2)
a) 125 m
b) 128 m
c) 130 m
d) 145 m
e) 148 m
13. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde el
borde de un acantilado de 60 m de altura, con una rapidez
inicial de V0. ¿Después de qué tiempo de haber sido lanzado el cuerpo está a una altura de 35 m acercándose a
tierra con una rapidez de 1,5 V0?. (g = 10 m/s2)
a) 5 s
b) 10 s
c) 7,5 s
d) 12,5 s
e) 15 s
14. Dos cuerpos A y B se encuentra a una misma altura de
320 m; se deja caer el cuerpo A, y 3 s después se lanza en
cuerpo B verticalmente hacia abajo. ¿Con qué rapidez lanzó B para que ambos cuerpos lleguen al mismo instante a
tierra? (g = 10 m/s2)
a) 38 m/s
b) 30 m/s
c) 22 m/s
d) 28 m/s
e) 39 m/s
U N F V – C E P R E V I
37
F Í S I C A
15. ¿Cuánto tiempo empleará en llegar al punto B de la circunferencia una esferita dejada en la boca A del tubo liso?
a) 2
c)
R
g
2R
g
b)
d) 4
A
R
g
R
g
R
g
R
R
e) 3
g
B
TAREA
1. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 40 m/s; entonces, su velocidad (módulo y
sentido) al cabo de 6 segundos es:
(g = 10 m/s2)
a) 20j (m/s)
b) –30j (m/s)
c) 30j (m/s)
d) –20j (m/s)
e) 40j (m/s)
2. Una pelota de beisbol es lanzada en forma recta alcanzando una altura máxima de 20 m sin considerar la resistencia
del aire. ¿Cuál es el módulo de la velocidad vertical de la
pelota cuando golpea el suelo?
(g = 10 m/s2)
a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 40 m/s
e) 50 m/s
3. Desde cierta altura se lanza verticalmente hacia arriba un
objeto a 40 m/s; si llega al suelo luego de 13 s, la altura
desde la que lanzó es:
(g = 10 m/s2)
a) 300 m
b) 310 m
c) 320 m
d) 325 m
e) 335 m
4. Tres segundos después de lanzar un cuerpo verticalemente
hacia arriba se observa que su rapidez se ha reducido a la
cuarta parte. ¿Cuál será la altura máxima que alcanzará?
a) 120 m
b) 60 m
c) 80 m
d) 160 m
e) 180 m
5. Dos segundos antes de alcanzar su máxima altura, un objeto lanzado verticalmente hacia arriba se encuentra a una
altura de 15 m. Entonces la máxima altura que alcanza
respecto al suelo es:
(g = 10 m/s2)
a) 15 m
b) 25 m
c) 35 m
d) 45 m
e) 50 m
38
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
6. Un globo aerostático asciende con una velocidad de
50 m/s; si se deja caer un cuerpo que tarda 20 s en llegar
a tierra. ¿De qué altura se soltó el objeto?
(g = 10 m/s2)
a) 500 m
b) 700 m
c) 1000 m
d) 1200 m
e) 1500 m
7. Desde la parte superior de una torre se lanza una piedra
verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. ¿A
qué distancia del punto de lanzamiento se encontrará luego de 7 segundos?
(g = 10 m/s2)
a) 85 m
b) 95 m
c) 105 m
d) 115 m
e) 125 m
8. Un globo aerostático se eleva con una rapidez constante
de 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360 m se
deja caer una piedra. Hallar el tiempo que tarda la piedra
en llegar a tierra.
(g = 10 m/s2)
a) 6 s
b) 9 s
c) 12 s
d) 15 s
e) 18 s
9. Una pelota es lanzada desde el piso con una rapidez de
40 m/s en un lugar donde g = 10 m/s2. ¿Al cabo de qué
tiempo máximo llegará a estar 60 m sobre el piso?
a) 4 s
b) 5 s
c) 6 s
d) 7 s
e) 8 s
10. Empleando un dinamómetro dentro de un ascensor, un
hombre pesa un cuerpo, observándose que el dinamómetro
no marca peso alguno. Luego lo más probable que sucede
es:
a) El ascensor está detenido.
b) Está subiendo con una velocidad constante de 9,8 m/s.
c) El ascensor baja con una aceleración de 9,8 m/s.
d) El ascensor sube con una aceleración de 9,8 m/s2.
e) El ascensor baja a una velocidad constante de 9,8 m/s.
1. a
1. d
2. b
2. b
3. b
3. d
4. c
4. c
5. c
5. c
6. b
6. c
U N F V – C E P R E V I
7. b
7. c
CLAVES
8. c 9. b 10. d 11. c 12. a 13. a 14. e 15. a
8. b 9. c 10. c
39
F Í S I C A
unidad
6
Estática
Parte de la física que estudia las condiciones que deben cumplir las fuerzas, para
que un cuerpo o un sistema mecánico se
encuentre en equilibrio.
FR : fuerza resultante (newton)
a : aceleración (m/s2)
m : masa (kilogramo)
TERCERA LEY (Principio de Acción y Reacción)
EQUILIBRIO
Un cuerpo está en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración.
Si un cuerpo A aplica una fuerza (acción)
sobre otro “B”, entonces “B” aplica una
fuerza del mismo módulo pero de sentido
contrario sobre “A”.
Equilibrio
Reposo
MRU ⟨ ⟩ V=Cte.
LEYES DE NEWTON
PRIMERA LEY (Principio de Inercia)
Observaciones de la Tercera Ley
– Acción y reacción no se anulan a pesar de tener el mismo valor y sentido
contrarios, porque actúan sobre cuerpos diferentes.
EJEMPLO:
Todo cuerpo permanece en equilibrio, salvo que una fuerza externa le haga variar
dicho estado (tendencia al equilibrio).
EJEMPLO:
Si un bus se mueve M.R.U. y de pronto
choca con un muro (desacelera), los cuerpos tienden a mantener su estado de movimiento (accidente).
SEGUNDA LEY (Principio de Aceleración)
Si una fuerza resultante diferente de cero
actúa sobre un cuerpo de masa “m”; le
produce una aceleración en la misma dirección y sentido de la fuerza resultante,
directamente proporcional a ella e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
a
FR
m
a=
40
AC
AC
RC
RC
–
No es necesario que haya contacto
para que haya acción y reacción.
EJEMPLO:
Cargas Eléctricas
F
Q
+
q
+
F
d
Q
+
F
F
q
–
d
OBSERVACIONES
Si las superficies en contacto son lisas las
reacciones son perpendiculares a ellas.
FR
m
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
3. FUERZA ELÁSTICA
EJEMPLO:
R1
Se presenta en los cuerpos deformables
(elásticos).
LEY DE HOOKE
R2
–
Si las superficies en contacto son ásperas, o hay articulaciones, las reacciones ya no son perpendiculares a las
superficies en contacto.
EJEMPLO:
T
R
peso
Roberto Hooke establece una relación
entre la fuerza que deforma a un resorte
“F” y la deformación “x”.
F = K·x
K : constante de elasticidad del resorte
(N/m ; N/cm).
x : Deformación longitudinal del resorte
(m, cm)
F : Fuerza deformadora (N)
EJEMPLO:
Hallar “x”; si: F = 100N y K = 50 N/m.
FUERZA
Es la medida cuantitativa de una
interacción; se mide en newton (N).
K
L
FUERZAS INTERNAS
1. TENSIÓN
Es aquella fuerza generada internamente
en un cable, soga, barras, etc. cuando
están estiradas.
EJEMPLO:
P
J
T
El sentido de una tensión siempre indica
a un corte imaginario.
2. COMPRESIÓN
Se presenta en los cuerpos rígidos y es
aquella fuerza interna que se opone a la
deformación por aplastamiento.
EJEMPLO:
FC
x
Fuerza deformadora:
F
F = K·x
100 = 50x ; x = 2m
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
(D.C.L)
Consiste en aislar imaginariamente al
cuerpo en análisis de un sistema mecánico, indicando sobre él a todas las fuerzas
externas que lo afectan.
EJEMPLO:
1. DCL del nudo (P)
P
El sentido de una fuerza de compresión
siempre se aleja de un corte imaginario.
U N F V – C E P R E V I
41
F Í S I C A
2. DCL de la polea.
T
T
Triángulo de Fuerzas:
T2
W
T1
W
T1
Ley de los Senos:
T2
θ
T1
β
α
3. DCL de la esfera.
W
T
T1
T2
=
= W
Sen β Sen α Sen θ
R
W
CONCEPTO DE ADICIONALES
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARTÍCULA
(EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN)
Para que un punto material o un sistema
mecánico se mantenga en equilibrio (reposo o velocidad constante), la suma de
las fuerzas que actúan sobre el “cuerpo”
debe ser cero.
∑F = 0
∑F = ∑F
ó
OBSERVACIONES
Cuando se tiene sólo tres fuerzas concurrentes y coplanares en el D.C.L; se puede aplicar el triángulo de fuerzas o la ley
de los senos.
EJEMPLO:
T1
T2
P
W
Es un concepto ideal de la física que sirve
para simplificar la solución de un problema real. Se considera partícula a todo
cuerpo del cual se prescinde de su movimiento de rotación.
Una partícula se puede reducir a un punto, o si se conserva sus dimensiones reales se acepta que las fuerzas externas que
actúan sobre él son concurrentes.
EJEMPLO:
Un nudo, la cuerda, una persona, la Tierra
en un problema astronómico.
CUERPO RÍGIDO
Se considera a todo cuerpo del cual se
supone que no se deforma por grandes
que sean las fuerzas externas que actúan
sobre él.
Se entiende que la distancia entre dos
puntos de un cuerpo rígido no varía.
EJEMPLO:
F2
F2
W
F1
F3 F1
Situación ideal
42
F3
Situación real
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
PROBLEMAS
1. El diagrama de cuerpo libre de la viga homogénea es:
(superficies lisas).
W
a)
b)
d)
e)
c)
2. El diagrama de cuerpo libre de la bola (1) es:
(Superficies lisas)
a)
b)
1
2
c)
d)
e)
3. Hallar el valor de la reacción normal sobre el bloque de
20 N de peso, cuando F = 30 N.
a) 0 N
30 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 50 N
20 N
e) 60 N
4. Hallar la tensión de la cuerda. Pesos; A = 10 N ; B = 18 N;
C = 42 N. El sistema está en equilibrio y las superficies son
lisas.
a) 70 N
A
b) 60 N
B
c) 42 N
d) 52 N
C
e) 62 N
U N F V – C E P R E V I
43
F Í S I C A
5. Hallar la tensión de la cuerda AC; el
sistema está en equilibrio y
W = 300 N. (polea lisa).
a) 75 N
b) 100 N
c) 450 N
d) 150 N
e) 250 N
E
6. Hallar la tensión de la cuerda.
Superficies lisas.
a) W Cos θ
b) W Sen θ
c) W Sen α
W
d) W Cos α
θ
e) W Sen (α+θ)
D
A
B
C
30°
W
α
7. En la figura, los cuerpos A y B están en equilibrio. Determinar el peso de B, si A pesa 240 N. (Superficies lisas).
a) 405 N
b) 240 N
B
c) 200 N
A
d) 120 N
37°
53°
e) 320 N
8. Hallar el peso de B en el siguiente sistema en equilibrio
(A = 40 N). Superficies lisas y las poleas no pesan.
a) 40 N
b) 20 N
c) 80 N
d) 10 N
B
e) 60 N
A
30°
9. Que fuerza F es necesaria para el
equilibrio W = 200 N. Las poleas
no pesan.
a) 100 N
b) 50 N
c) 150 N
d) 120 N
e) 180 N
F
W
10. Calcular el valor de F para que el sistema se encuentre en
equilibrio. Las poleas no pesan.
44
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
a)
W
2
b)
W
3
c)
W
5
d)
2W
3
e)
3W
5
F
W
11. Determinar el valor del ángulo "α" para el equilibrio, si se
sabe que la polea A puede deslizarse libremente sobre la
cuerda que une los apoyos B y C.
a) 60°
B
b) 30°
30°
c) 45°
d) 53°
α
A
60°
e) 37°
C
W
12. En el siguiente sistema, calcular la distancia que bajará el
bloque del centro para que el sistema alcance el equilibrio.
a) 3 n
c) n
e) n
3
3
b)
n
2 3
n
3
d) 3n
n
W
W
W
13. Si hay equilibrio, ¿cuál es la relación entre las tensiones de
las cuerdas A y B?
60°
45°
1
a) 2
b)
2
A
B
2
c)
d) 2
2
W
e) 3
14. Determinar la lectura "L" del dinamómetro, sabiendo que
existe equilibrio y que los pesos A y B son de 21 N y 28 N.
a) 49 N
b) 27 N
L
c) 30 N
d) 35 N
e) 40 N
A
B
15. Se tiene una esfera de 120 N de peso. Calcular las reacciones en los puntos A y B. (No existe rozamiento).
U N F V – C E P R E V I
45
F Í S I C A
a) 80 N y 100 N
b) 72 N y 96 N
c) 60 N y 90 N
d) 96 N y 24 N
e) 24 N y 18 N
A
53°
B
37°
TAREA
1. Hallar "θ" y "α", si A = 800 N ; B = 600 N y C = 1000 N.
a) 60° y 30°
b) 45° y 45°
c) 53° y 37°
α
θ
A
B
d) 120° y 60°
e) 90° y 45°
C
2. Determine las fuerzas de reacción en los apoyos, si el peso
de la esfera es 180 N.
a) 200 N y 250 N
b) 300 N y 500 N
c) 135 N y 150 N
d) 225 N y 180 N
37°
e) 225 N y 135 N
3. Mediante dos fuerzas se jala una argolla carente de peso.
Hallar la tensión en la cuerda.
12N
a) 15 N
b) 20 N
16N
c) 25 N
d) 28 N
e) 40 N
4. Hallar el valor de la fuerza F para subir el bloque de 400 N
con velocidad constante. No considerar rozamiento.
a) 400 N
F
b) 200 N
c) 240 N
d) 320 N
e) 500 N
37°
5. En el siguente sistema, hallar la tensión con el cable que
une el bloque B con el tope. (g = 10 m/s2)
mA = 5 kg
mB = 3 kg
B
a) 74 N
b) 80 N
37°
c) 50 N
d) 68 N
A
e) 45 N
46
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
6. Un ascensor sube con una velocidad constante de 4 m/s.
Calcular la tensión en el cable que eleva al ascensor cuya
masa es 100 kg.
a) 1000 N
b) 98 N
c) 980 N
d) 400 N
e) Es mayor a 1000 N
7. La esfera pesa 80 N y las superficies son lisas. Calcular la
tensión en el cable.
a) 80 N
b) 64 N
37°
c) 48 N
d) 100 N
e) 60 N
37°
8. El cilindro pesa 120 3. Calcular la reacción de la pared
vertical. No considerar rozamiento.
a) 120 N
30°
b) 240 N
c) 360 N
d) 480 N
e) 180 N
9. Hallar el peso del bloque B que permite el equilibrio del
sistema, si A pesa 320 N.
a) 240 N
b) 160 N
c) 80 N
A
d) 40 N
B
e) N.A.
53°
53°
10. Hallar el ángulo θ para el equilibrio, si los pesos A y B son
de 60 N y 50 N, y descansan sobre planos sin rozamiento.
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 53°
e) 37°
1. d
1. c
2. c
2. e
B
A
30°
3. d
3. b
4. a
4. c
5. d
5. d
θ°
6. b
6. c
U N F V – C E P R E V I
7. e
7. b
CLAVES
8. b 9. a 10. d 11. c 12. a 13. d 14. d 15. e
8. c
9. 10. e
47
F Í S I C A
7
unidad
Dinámica Lineal
CONCEPTO
Es aquella parte de la física que estudia la
relación entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que actúan sobre ellos.
menor inercia el cuerpo ejerce menor oposición a modificar su velocidad. La masa
de un cuerpo es la misma en cualquier lugar del universo.
PESO O FUERZA GRAVITATORIA
Es la interacción entre la masa de la tierra
y la masa de los cuerpos que están en su
campo gravitatorio.
m
F=peso
Tierra
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas,
éstas pueden ser reemplazadas por una
sola llamada fuerza resultante (FR); esta
ley nos dice:
"Toda fuerza resultante que actúa sobre
un cuerpo generará una aceleración en la
misma dirección y sentido que la fuerza
resultante, tal que el valor de dicha aceleración es directamente proporcional a la
fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”.
F2
Peso = masa · g
g : Aceleración de la gravedad.
OBSERVACIÓN
El peso está aplicado en el centro de gravedad de los cuerpos.
F1
a
F3
m
<>
m
FR
F4
INERCIA
Es la tendencia natural de un objeto a
mantener un estado de reposo o a permanecer en movimiento uniforme en línea
recta (velocidad constante).
V
V
MASA
Es una medida de la INERCIA que posee
un cuerpo; es decir que a mayor masa el
cuerpo tendrá más inercia y será más difícil cambiar su velocidad, en cambio a
48
a=
FR
m
FR = m · a
Unidad (S.I.):
F
m
newton (N) kg
a
m
s2
OBSERVACIONES:
De lo anteriormente expuesto es bueno
resaltar las siguientes características:
1) La aceleración de un cuerpo tiene la
misma dirección y sentido que la fuerza resultante que la produce.
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
2) Si las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo permanecen constantes, entonces
la aceleración también será constante.
3) La aceleración que se imprime a un
cuerpo es directamente proporcional a
la fuerza resultante aplicada. Por lo tanto si la resultante se duplica, la aceleración también se duplica; si la resultante se reduce a la tercera parte, la
aceleración también lo hará.
2a
a
F
m
2F
m
Σ(Fuerzas) y = 0
4) Las componentes de las fuerzas (eje
x) en la dirección del movimiento cumplen la Segunda Ley de Newton:
FR = m.a
Donde:
Fuerzas a 
−  Fuerzas en 
FR = ∑  favor
de "a"  ∑  contra de "a" 

EJEMPLO 1:
Determinar la aceleración del bloque de
masa 2 kg, si no existe rozamiento.
(g = 10 m/s2)
a
4) La aceleración que se imprime a un
cuerpo es inversamente proporcional
a la masa de dicho cuerpo. Es decir si
aplicamos una misma fuerza a dos bloques A y B, de tal manera que la masa
de B sea el doble que la masa de A,
entonces la aceleración de B será la
mitad de la aceleración de A.
m
m
F1=50N
SOLUCIÓN:
y
N
10N
a
50N x
a/2
a
F
F2=10N
F
mg=20N
2m
MÉTODO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE
DINÁMICA
1) Hacer un diagrama de cuerpo libre
(D.C.L.) del cuerpo.
2) Elegir el sistema de ejes adecuados;
un eje paralelo al movimiento (eje x) y
otro perpendicular a él (eje y), y descomponer todas las fuerzas en estas
dos direcciones.
3) Las componentes de la fuerzas perpendiculares al movimiento se anulan
entre sí, puesto que el cuerpo no se
mueve en esa dirección. Por lo tanto
en el eje “y” hay equilibrio de fuerzas.
U N F V – C E P R E V I
Elijamos el sistema de ejes adecuados; se
observa que:
Σ Fy = 0
⇒ N = 20 newtons
Luego:
a=
FR 50 − 10
=
= 20 m/s2
m
2
EJEMPLO 2:
Determinar la aceleración de los bloques,
si no existe rozamiento.
mA = 3 kg
mB = 2 kg
g = 10 m/s2
A
B
49
F Í S I C A
CASOS ESPECIALES:
SOLUCIÓN:
1) Aceleración de un cuerpo en un plano
inclinado liso:
a = g Sen θ
a
A
a
B
30N
a
20N
θ
Analizamos el sistema:
2) Máquina de ATWOOD:
F
30 − 20
= 2 m/s2
a= R =
3+2
m
*
a=
m : Masa total
EJEMPLO 3:
Si no existe rozamiento, determinar la aceleración del bloque:
m
g(m1 − m2 )
m1 + m2
a
m2
a
m1>m2
a
m1
3) Aceleración en función del ángulo:
θ
a = g Tg θ
SOLUCIÓN:
N
θ
mg Cosθ
mg
x
a
a
θ
mg Senθ
y
θ
4) Peso aparente dentro del ascensor:
P = W (1 ±
Elijamos el sistema de ejes adecuados y
descomponiendo.
Σ Fy = 0
Luego:
a=
⇒
FR mg ⋅ Sen θ
=
m
m
a = g Sen θ
50
N = mg Cos θ
a
)
g
a↑ : sube (+)
a↓ : sube (–)
P : Peso aparente
W : Peso real
balanza
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
PROBLEMAS
1. Con respecto a la Segunda Ley de Newton se cumple:
a) La fuerza resultante y la aceleración tienen diferentes
sentidos.
b) La fuerza resultante y la aceleración tienen direcciones
perpendiculares.
c) La fuerza resultante y la aceleración tiene la misma
dirección y sentido.
d) La fuerza resultante y la aceleración tienen la misma
dirección y sentido opuestos.
e) La fuerza resultante y la aceleración no tienen la misma dirección y sentido.
2. Dos esferas “A” y “B” son de madera y hierro respectivamente; ambas tienen el mismo volumen. ¿Cuál de éstas
será más difícil de acelerar?
a) A
b) B
c) Ambas presentan igual dificultad
d) No se puede precisar
e) Ninguna.
3. Si la aceleración de un cuerpo es cero podemos afirmar
que:
I. No actúan fuerzas sobre él.
II. Siempre se mueve con velocidad constante.
III. El cuerpo está en equilibrio.
a) I y II
b) II y III
c) I y III
d) Sólo II
e) Sólo III
4. Un cuerpo se encuentra sometido a la acción de 2 fuerzas:
G
G
F1 = (21i + 28j) N
F2 = (–14i – 4j) N
Determinar la aceleración del cuerpo, si su masa es de
5kg.
a) 1 m/s2
b) 3 m/s2
c) 5 m/s2
2
2
d) 7 m/s
e) 4 m/s
5. Si no existe rozamiento, determinar la masa del cuerpo, si:
G
G
G
a = 3i (m/s2) ; F1 = (40i)N ; F2 = (–10i)N
a) 16,6 kg
b) 10 kg
c) 8 kg
d) 9 kg
e) 3 kg
a
F2
U N F V – C E P R E V I
m
F1
51
F Í S I C A
6. En el gráfico mostrado determinar la aceleración del bloque de masa 5 kg. (No existe rozamiento).
a) 6 m/s2
50 N
b) 8 m/s2
c) 10 m/s2
37°
d) 12 m/s2
m
2
e) 15 m/s
7. Hallar la tensión en la cuerda “A”, si no existe rozamiento.
a) 120N
b) 160N
F=100N
A
c) 40N
6kg
2kg
2kg
d) 60N
e) 80N
8. Si no existe rozamiento, determinar la tensión en la cuerda
y la aceleración de los bloques. (mA = 2kg ; mB = 3 kg y
g = 10 m/s2).
a) 2N; 1 m/s2
b) 8N; 2 m/s2
c) 16N; 4 m/s2
d) 24N; 2 m/s2
A B
e) 18N; 4,5 m/s2
9. Calcular la fuerza "F" necesaria para que el carrito de juguete de masa 2 kg, partiendo del reposo recorra 100 m
en 10 s.
a) 10N
b) 20N
c) 30N
d) 40N
e) 50N
F
m
µ=0
10. Hallar la reacción entre los bloques “B” y “C”, si no existe
rozamiento. (mA = 5 kg ; mB = 3 kg ; mC = 2 kg).
a) 10N
b) 15N
F=100N
c) 20N
A
B
d) 25N
C
e) 30N
11. Calcular “F” para que el bloque baje con una aceleración
constante de a = 10 m/s2.
(m = 3 kg y g = 10 m/s2).
F
a) 2N
a
m
b) 1N
c) 60N
d) 30N
2m
e) 0
52
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
12. Se presenta la siguiente paradoja dinámica ¿Cuál es la conclusión que podemos sacar de sus aceleraciones en los
casos (a) y (b) de las figuras?
(No existe rozamiento y g = 10 m/s2)
M
(a)
a) aa > ab
d) aa = ab+1
M
5kg
(b)
b) aa < ab
e) Faltan datos
F=50N
c) aa = ab
13. Dentro de un ascensor hay una balanza sobre la cual hay
una persona; cuando el ascensor baja a velocidad constante la balanza marca 800N. ¿Cuál será la lectura cuando
la balanza acelere hacia abajo a razón de 5 m/s2?
(g = 10 m/s2)
a) 1200N
b) 400N
c) 600N
d) 900
e) 500N
14. Una bala que lleva una velocidad de 50 m/s hace impacto
en un costal de arena y llega al reposo en 1/25 segundos.
La masa de la bala es de
1
kg.
5
Calcular la fuerza de resistencia ejercida por el costal de
arena suponiendo que es uniforme.
a) 100N
b) 150N
c) 200N d) 250N
e) 300N
15. Calcular la fuerza que se aplica al collar “M” sobre el eje
horizontal liso, sabiendo que el ángulo entre la cuerda y la
vertical es 37°. (M = 3 kg ; m = 1 kg ; g = 10 m/s2)
F
a) 18N
b) 12N
M
c) 30N
d) 20N
e) 42N
37°
m
TAREA
1. De las siguientes afirmaciones ¿Cuáles son ciertas?
I. El peso se debe a la atracción terrestre.
II. La masa se mide con la balanza de brazos.
III. El peso se mide con la balanza de resorte.
a) I y II
b) II y III
c) I y III
d) Todas
e) Ninguna
U N F V – C E P R E V I
53
F Í S I C A
2. Un cuerpo de masa 10 kg se mueve con una aceleración
G
de: a = –2i + j (m/s2); determinar la fuerza resultante
sobre el cuerpo.
a) 10i – 8k (N)
b) –20j + 10j (N) c) 20i – 10j (N)
d) 8i – 10j (N)
e) –10j + 10j (N)
3. Sobre un cuerpo de masa 2 kg actúa una fuerza resultante
G
de: FR = 10i + 6j; determinar su aceleración:
a) 5i – 3j (m/s2) b) –5i + 3j (m/s2) c) 5i + 3j (m/s2)
d) 5i – 2j (m/s2) e) –5i – 3j (m/s2)
4. Según las gráficas mostradas, indique cuál es la alternativa correcta: (no existe rozamiento).
a1
a2
a3
m
2m
m
θ
θ
2θ
a) a1 = a2 = a3
d) a1 = a2 < a3
b) a1 > a2 > a3
e) a1 < a2 = a3
c) a1 < a2 < a3
5. En el gráfico mostrado determinar la masa del bloque si se
mueve con una aceleración de 10 m/s2. No existe rozamiento.
50N
a
a) 6 kg
b) 8 kg
c) 3 kg
37°
10N
m
d) 5 kg
e) 12 kg
6. Si no existe rozamiento, determinar la tensión en la cuerda
si: m = 2kg y F = 40N.
a) 10N
a
b) 15N
c) 20N
F
m
m
d) 25N
e) 30N
7. Si no existe rozamiento, determinar la aceleración de los
bloques. (g = aceleración de la gravedad).
a) cero
b) g
c) g/3
2m
d) 2g/3
e) 3g/2
m
30°
54
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
8. En el gráfico mostrado, determinar la tensión en la cuerda
“A”. Se sabe que los tres bloques tienen la misma masa
(m=3 kg) y no existe rozamiento. (g = 10 m/s2).
a) 10N
b) 20N
c) 30N
A
d) 40N
m
m
e) 50N
m
9. Si la fuerza de contacto entre los bloques “A” y “B” es de
20N. Hallar “F” si: mA = 3 kg ; mB = 2 kg. No existe rozamiento.
a
a) 10N
b) 20N
F
c) 30N
A
B
d) 40N
e) 50N
10. En el instante mostrado el sistema parte del reposo, después de qué tiempo el bloque “A” llegará a tocar el piso.
(mA = 3 kg ; mB = 2 kg y g = 10 m/s2).
a) 2 s
b) 3 s
c) 4 s
d) 5 s
B
e) 6 s
A
h=16m
1. c
1. d
2. b
2. b
3. e
3. c
4. c
4. d
5. b
5. c
6. b
6. c
U N F V – C E P R E V I
7. e
7. c
CLAVES
8. d 9. d 10. c 11. e 12. b 13. b 14. d 15. c
8. d 9. e 10.
55
F Í S I C A
unidad
8
Rozamiento
ROZAMIENTO O FRICCIÓN
Esta a punto de deslizar
Todos los cuerpos materiales presentan en
sus superficies asperezas o rugosidades
las que generan una resistencia u oposición al deslizamiento de una superficie
sobre la otra; ésta oposición se manifiesta
a través de una fuerza (f) paralela a la superficie de contacto y perpendicular a la
fuerza normal (N) en dicho contacto.
Si las superficies en contacto no deslizan
se dice que el rozamiento es estático, en
cambio si existe deslizamiento presenta
rozamiento cinético.
FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO (fS):
Es una fuerza variable que trata de evitar
el inicio del deslizamiento; su valor cambia desde un mínimo de cero cuando las
superficies no tratan de deslizar, hasta un
valor máximo que se alcanza cuando el
deslizamiento es inminente (a punto de
efectuarse).
No hay tendencia al deslizamiento:
fS = 0
F2 = fS (max)
F2
fS(máx)
0 ≤ fS ≤ fS(max)
fS(max) = µSN
fS(máx): fuerza de rozamiento estático máximo
µS : coeficiente de rozamiento estático.
N : fuerza normal en el contacto.
FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICO (fK):
Esta fuerza se presenta cuando existe
deslizamiento, siendo su valor constante
independiente de la velocidad de resbalamiento y del área en contacto; su valor es
directamente proporcional a la fuerza normal en el contacto, denominándose a la
constante de proporcionalidad coeficiente de rozamiento cinético.
mov.
F
Hay tendencia al deslizamiento:
F1 = fS
fs
56
fk
fK = µK N
F1
fK : fuerza de rozamiento cinético.
µK : coeficiente de rozamiento cinético.
N : Fuerza normal en el contacto.
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
OBSERVACIONES:
1) La fuerza de fricción(f) es independiente del área de contacto de las superficies ásperas.
2) Para dos superficies ásperas en contacto se cumple que:
fS(max) > fK
⇒
µS > µK
3) Los coeficientes de rozamiento son
números (adimensionales) generalmente entre 0 y 1.
4) La fricción disminuye con el uso de
lubricantes, asimismo la humedad y el
calor.
Ejemplos de casos frecuentes de cómo
gráficar y determinar la fuerza normal.
1)
N
N
R
F
fRoz.
Por Pitágoras:
2
R2 = N2 + fRoz.
F : Fuerza que produce la tendencia al
movimiento o el movimiento relativo.
Gráfica “f” versus “F”:
f
fS(máx.)
fK
mg
F
45°
0
N = mg
2)
F
N
reposo
deslizamiento
EJEMPLOS:
1) El bloque mostrado de masa 3 kg se
mueve con velocidad constante; si
µK=0,8 y g = 10 m/s2, hallar “F”.
F
3 kg
F=N
3)
N
mg Senθ
θ
RESOLUCIÓN
θ
N
V=Cte.
mg Cosθ
mg
N = mg Cos θ
REACCIÓN TOTAL EN UNA SUPERFICIE
ÁSPERA
fK
3 kg
F
30 N
Como se mueve con velocidad constante,
entonces se encuentra en equilibrio
Es la resultante de la fuerza normal y la
fuerza de rozamiento.
U N F V – C E P R E V I
57
F Í S I C A
A) La reacción normal: N = 30
B) La fuerza de rozamiento: F = fK
F = µKN
F=
8
·30
10
⇒
2) Cuando el bloque baja con velocidad
constante sobre un plano inclinado “α”
respecto a la horizontal, entonces:
F = 24 N
V=Cte.
2) Determinar la aceleración del bloque,
si F = 100N y µK = 0,5. (m = 10 kg y
g=10 m/s2).
a
F
m
α
µK = Tg α
3) Cuando el bloque baja con aceleración
constante sobre un plano inclinado “α”
respecto a la horizontal, entonces:
RESOLUCIÓN
N
fK
10 kg
a
a
F
α
a = g(Sen α – µK Cos α)
100 N
ΣFy = 0 ⇒ N = 100
fK = µ·N 0,5 (100) = 50
De la 2da. Ley de Newton:
FR = m · a
100 – fk = 10 · a
100 – 50 = 10 · a
a = 5 m/s2
4) Desaceleración de un cuerpo.
µk
a
movimiento
a = µK · g
CASOS ESPECIALES
1) Cuando un bloque está sobre un plano inclinado “θ” respecto de la horizontal, encontrándose a punto de resbalar, entonces:
µK : Coeficiente de rozamiento cinético.
5) La mínima fuerza para empezar a deslizar al bloque es igual a la fuerza de
rozamiento estático máximo.
Fmín.
fs(max)
θ
µS = Tg θ
58
Fmín = fs(max)
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
PROBLEMAS
1. Señale con verdadero (V) o falso (F):
I. La fuerza normal siempre es igual al peso.
II. La fricción estática es variable.
III. La fricción cinética es constante.
a) FVV
b) VVV
c) FFF
d) VVF
e) FFV
2. Señale con verdadero (V) o falso (F):
I. Si el cuerpo está a punto de moverse entonces la fuerza de rozamiento es máxima.
II. Los coeficientes de rozamiento no tienen unidad.
III. La fuerza de rozamiento no depende del tamaño de las
superficies en contacto.
a) VVV
b) FFF
c) VFV
d) VFF
e) VVF
3. Dos ladrillos idéntidos se han colocado sobre una misma
mesa; uno descansa sobre su cara amplia y el otro sobre
su extremo; con respecto a sus coeficientes de rozamiento
se tendrá:
a) µ1>µ2
Caso (2)
b) µ1<µ2
Caso (1)
c) µ1=µ2
d) µ1≠µ2
e) µ1>>µ2
4. Para iniciar el deslizamiento de un cuerpo es necesario
una fuerza "A", mientras que para mantener el deslizamiento a velocidad constante se necesita una fuerza "B";
luego será cierto:
a) A=B
b) A<B
c) A>B
d) A=B=0 e) A≠B
5. Si el bloque está en reposo, hallar la fuerza de rozamiento
en cada caso:
a) 60 N ; 20 N
50N
b) 60 N ; –20 N
80N
30N
10N
37°
c) 50 N ; 30 N
d) 10 N ; 40 N
e) 80 N ; 40 N
6. Hallar el valor de "F" si el bloque de 9 kg está a punto de
resbalar hacia abajo. (µS=0,5 y g=10 m/s2)
a) 180 N
b) 90 N
c) 20 N
F
d) 50 N
e) 80 N
U N F V – C E P R E V I
59
F Í S I C A
7. Si al bloque de masa 10 kg se le aplica una fuerza horizontal de F = 20 N; hallar la fuerza de rozamiento sobre el
bloque. (µS=0,8 ; µk=0,6 y g=10 m/s2)
a) 10 N
b) 20 N
F
c) 30 N
d) 40 N
e) 50 N
8. Hallar con qué aceleración se mueve el bloque mostrado.
(µk=0,5 ; m=10 kg ; g = 10 m/s2)
a) 1 m/s2
a
b) 2 m/s2
2
c) 3 m/s
F=80N
d) 4 m/s2
e) 5 m/s2
9. El extremo de una tabla de madera se ha levantado gradualmente hasta el instante en que está a una altura "h"
del piso, y la moneda estará a punto de resbalar; la tabla
mide 60 cm y µS = 0,75. Calcule "h".
a) 30 cm
b) 36 cm
h
c) 40 cm
d) 44 cm
e) 50 cm
10. Hallar la aceleración con la cual se mueve el bloque mostrado sobre el plano inclinado. (µk = 0,75 ; g = 10 m/s2)
a) 3,5 m/s2
a
b) 5 m/s2
c) 2 m/s2
d) 4 m/s2
e) 7 m/s2
53°
11. Si el sistema se encuentra en reposo y mA=10 kg y mB=8kg;
la fuerza de rozamiento en el bloque "A" es:
(g = 10 m/s2)
a) 30 N
A
b) 20 N
c) 10 N
B
d) 0
37°
e) 25 N
12. Un bloque de 2 kg desliza sobre una superficie horizontal.
Si µk = 0,3; el módulo de su aceleración es: (en m/s2)
a
(g = 10 m/s2)
a) 1
b) 2
m
c) 3
d) 4
e) 5
60
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
13. Calcular la aceleración de los bloques, si: m1=4 kg ;
m2=8kg; µk = 1/2 y g = 10 m/s2.
a) 1 m/s2
m1
b) 2 m/s2
2
c) 3 m/s
d) 4 m/s2
m2
e) 5 m/s2
14. Un bloque de 4 kg se desliza hacia la izquierda con velocidad constante, si µk = 0,5. Hallar el módulo de "F".
a) 110 N
100N V=Cte.
b) 120 N
c) 130 N
37°
d) 140 N
F
m
e) 150 N
15. El bloque de masa 30 kg se mueve hacia la derecha con
una aceleración de 2 m/s2, si µk = 0,2; la fuerza "F" mide:
(g = 10 m/s2).
200N
a) 8 N
b) 16 N
37°
c) 24 N
F
d) 12 N
m
e) 20 N
TAREA
1. ¿Qué fuerza es la que impulsa hacia delante al andar?
a) Peso
b) Normal
c) Fricción estática
d) Fricción cinética
e) Fuerza muscular
2. Si se cambia los neumáticos de un automóvil por otros
más anchos, la fuerza de fricción entre los nuevos neumáticos y la pista .................
a) aumenta
b) disminuye
c) permanece igual
d) puede aumentar
e) no se sabe
3. ¿Qué fuerza mínima se necesita, para que un bloque de
masa 5 kg no caiga al ser comprimido a una pared vertical
por una fuerza perpendicular a la misma?
(µS = 0,5 ; g = 10 m/s2)
a) 60 N
b) 80 N
F
c) 100 N
m
d) 110 N
e) 150 N
U N F V – C E P R E V I
61
F Í S I C A
4. Hallar "F" tal que el bloque de 16 kg de masa se mueva
con una aceleración de 5 m/s2, g = 10 m/s2.
a
a) 120 N
b) 136 N
F
c) 200 N
d) 180 N
e) 160 N
µk = 0,75
5. El bloque es lanzado en forma rasante sobre una mesa de
madera y resbala como se muestra en la figura; la dirección de la reacción de la madera sobre el bloque es:
a)
b)
c)
d)
e)
6. ¿Cuánto debe valer la fuerza "F" para que el bloque de
masa "m" descienda con velocidad constante?
(µ: coeficiente de fricción cinético)
a) µmg
b) mg
c)
e)
mg
(1 + µ)
d)
mg
(1 − µ)
F
F
mg
(1 + µ)
7. Un pequeño bloque de 2 kg de masa resbala sobre el plano
inclinado, según la figura. Si parte del reposo y recorre 4
m en 4 s con M.R.U.V., determinar la fuerza de rozamiento. (g = 10 m/s2)
a) 11 N
b) 22 N
c) 10 N
d) 12 N
e) 7 N
37°
8. Si los coeficientes de rozamiento entre "A" y el plano inclinado es: µS = 0,5 y µk = 0,4. Calcular el peso de "B", si "A"
de peso 50 N está a punto de moverse hacia abajo.
a) 25 N
b) 50 N
c) 70 N
d) 110 N
A
e) 140 N
53°
62
B
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
9. Hallar el tiempo que tarda el bloque "B" en llegar al piso, si
parte del reposo y el coeficiente cinético entre el bloque
"A" y la superficie horizontal es 0,2.
(mB = 4 kg ; mA = 2 kg ; g = 10 m/s2)
A
B
12m
a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s
e) 5 s
10. En el sistema mostrado, hallar la aceleración del carrito
"M", sabiendo que "m" no resbala con respecto a "M".
(µS = 0,4 y g = aceleración de la gravedad).
a
µS
M
m
liso
a) g
d) g/2
1. a
1. c
2. a
2.
b) 5g/2
e) g/3
3. c
3. c
4. c
4. c
5. c
5. d
6. a
6. c
U N F V – C E P R E V I
c) 2g/5
7. b
7. a
CLAVES
8. c 9. b 10. a 11. b 12. c 13. e 14. c 15. b
8. c 9. b 10. b
63
F Í S I C A
unidad
9
Trabajo y Potencia
TRABAJO MECÁNICO
Consiste en vencer una resistencia comunicándole un movimiento. El rozamiento,
el peso y la inercia son las resistencias más
frecuentes.
TRABA
JO DE UNA FUERZ
A CONST
ANTE
TRABAJO
FUERZA
CONSTANTE
B) α = 180°
Cuando entre la fuerza y el desplazamiento el ángulo es 180°.
mov.
F
Es una magnitud escalar, cuyo valor se
halla con el producto de la fuerza paralela
al desplazamiento por el desplazamiento.
W = F Cos 180° d
F
α
d
( −1)
F Cos α
W = –F · d
C) α = 90°
Cuando entre la fuerza y el desplazamiento el ángulo es 90°.
d
W = F Cos α · d
F
UNIDADES EN EL S.I.
mov.
W
F
d
joule newton metro
(J)
(N)
CASOS PARTICULARES
A) α = 0°
Cuando entre la fuerza y el desplazamiento el ángulo es cero grados.
mov.
F
d
W = F Cos 0° d
d
(m )
W = F Cos 90° d
0
W = Cero
TRABAJO NETO O TOTAL
Cuando varias fuerzas actúan sobre un
cuerpo en movimiento, el trabajo neto es
el que desarrolla la fuerza resultante o es
la suma de los trabajos efectuados por
cada una de las fuerzas.
WNETO = FR · d
ó
(1)
W=F·d
64
WNETO = W1 + W2 + W3 + ...
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
EL TRABAJO NETO PUEDE SER:
F(N)
A) POSITIVO
Cuando el movimiento del cuerpo es
acelerado.
B) NEGATIVO
Cuando el movimiento del cuerpo es
desacelerado.
C) CERO O NULO
En particular cuando el movimiento del
cuerpo es con velocidad constante.
EJEMPLO 1
Hallar el trabajo neto en el gráfico mostrado; no existe rozamiento. (g = 10 m/s2)
F
A
x
0
x(m)
En la gráfica fuerza (F) versus posición (x),
se cumple que el área bajo la gráfica representa el trabajo realizado.
W = Área =
W=
b ⋅h
2
Fx
2
mov.
10N
6kg
II. FUERZA DE MÓDULO CONSTANTE
TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
80N
d = 5m
L
RESOLUCIÓN
N
10N
6kg
60N
Ftangente
80N
R
R
θ
d = 5m
W = Ftangente · L
WNETO = FR · d
WNETO = (80 – 10) · 5
WNETO = 350 J
L : Longitud del arco
TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE
I.
TRABAJO EN UN RESORTE
La fuerza deformadora varía
linealmente de acuerdo a la ley de Hooke.
III. En general, se cumple que en el gráfico fuerza (F) versus posición (x), se
verifica que el área bajo la curva coincide con el trabajo realizado por dicha
fuerza.
F
k
A
x
0
x
F=kx
W = Área = A
U N F V – C E P R E V I
65
F Í S I C A
EL TRABAJO DEL PESO DE UN CUERPO
Am
mg
La potencia se puede calcular de las siguientes formas:
mov.
h
OTRAS UNIDADES:
1 HP = 746 W
1 CV = 735 W
P = F⋅d
t
B
A →B = mgh
Wpeso
Si: V = cte.
F : Fuerza
t : Tiempo
B
mov.
h
P=F·V
A
m
V : Velocidad
d : Distancia
EJEMPLO 2
Se eleva un bloque de masa 3 kg a velocidad constante hasta una altura de 5 m en
2 s, tal como se muestra en la figura. Hallar la potencia de la fuerza "F".
mg
A →B = −mgh
Wpeso
g
El trabajo realizado por el peso es independiente de la trayectoria; depende sólo
del desplazamiento vertical. Por esta razón se considera al peso una fuerza
conservativa.
RESOLUCIÓN
F
OBSERVACIÓN
El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento depende de la trayectoria; por esta
razón se considera a la fricción una fuerza no conservativa.
mg
d=5m
Potencia =
Trabajo
Tiempo
P= W
t
UNIDADES EN EL S.I.
P
watts
(W )
66
W
t
joule segundo
(J)
( s)
V = cte.
F
mg
POTENCIA MECÁNICA
Es una magnitud escalar que nos indica
la rapidez con que se realiza un trabajo.
F
P=
W = F⋅d
t
t
P=
mgd
t
P=
3 ⋅ 10 ⋅ 5
= 75 W
2
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F Í S I C A
EFICIENCIA O RENDIMIENTO
MECÁNICO (η)
Es aquel coeficiente adimensional que indica el grado de perfeccionamiento de una
máquina.
η=
Potencia útil
⋅ 100%
Potencia entregada
Donde:
PE : Potencia entregada
PU : Potencia útil
PP : Potencia perdida
EJEMPLO 3
El músculo humano tiene un rendimiento
del 25%. Si absorbe 200J, el trabajo útil
realizado será de:
RESOLUCIÓN
P
E
Motor
P
U
η=
PU
· 100%
PE
⇒ η=
WU
· 100%
WE
P
P
∴ PE = PU + PP
25 =
WE
· 100
200
WU = 50 J
PROBLEMAS
1. Señalar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
– El trabajo es una magnitud física escalar.
– La unidad de la potencia en el SI es el watt (W).
– La eficiencia de una máquina nunca es mayor del 100%.
a) VFV
b) VVV
c) VFF
d) VVF
e) FVF
2. Señalar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:
I. El trabajo es positivo si la fuerza tiene la misma dirección y sentido del desplazamiento.
II. El trabajo es negativo si la fuerza tiene la misma dirección y sentido opuesto al desplazamiento.
III. El trabajo es cero si la fuerza es perpendicular al desplazamiento.
a) FFF
b) FVV
c) VVF
d) FFV
e) VVV
U N F V – C E P R E V I
67
F Í S I C A
3. En un movimiento rectilíneo señalar verdadero (V) o falso
(F) con respecto al trabajo neto en las siguentes proposiciones:
I. Si es positivo entonces el movimiento es acelerado.
II. Si es negativo entonces el movimiento es desacelerado.
III. Si es cero entonces es un M.R.U.
a) FFF
b) VFV
c) VVV
d) FVF
e) VVF
4. Hallar el trabajo que realiza la fuerza "F" de 120 N, que se
desplaza 10 m hacia la derecha. (d = 10 m)
F
53°
d
a) 720 J
d) 580 J
b) 180 J
e) 800 J
c) 960 J
5. Hallar el trabajo neto realizado en un cuerpo de 10 kg, que
se desplaza verticalmente hacia arriba con una aceleración de 5 m/s2, recorriendo una altura de 12 m.
a) 600 J
b) 1800 J
c) 1000 J
d) 800 J
e) 400 J
6. Un bloque es ayudado a descender a velocidad constante,
por una fuerza "F" también constante de 80 N, desde "A"
hasta "B". ¿Qué trabajo realizó dicha fuerza "F"?
A
15m
V=Cte.
F
37°
B
a) –300 J b) –400 J c) –500 J d) –1000 J e) –2000 J
7. El sistema mostrado se mueve 5 m hacia la derecha con
velocidad constante; entonces el trabajo realizado por la
tensión y la fuerza de rozamiento sobre el bloque "A" es:
(µk = 0,5 ; mA = 4 kg ; g = 10 m/s2)
a) 100 J ; –100 J
b) 80 J ; –80 J
F
A
B
c) 60 J ; –60 J
d) 40 J ; –40 J
e) 30 J ; –30 J
68
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
8. A un motor se le entrega una potencia de 800 W para que
éste mueva un eje que se encargará de trasmitir movimiento; si este motor pierde 160 J por cada segundo en
forma de calor, que este disipa, determinar la eficiencia del
motor.
a) 60%
b) 80%
c) 50%
d) 70%
e) 75%
9. Determinar la potencia desarrollada por una fuerza "F" sobre
un cuerpo de 40 kg de masa, que le hace cambiar su velocidad de 20 m/s a 40 m/s en 10 s.
a) 400 W
liso
b) 512 W
F
40 kg
c) 256 W
d) 144 W
e) 2400 W
10. La gráfica muestra la variación de la fuerza con el desplazamiento horizontal. Determinar el trabajo desarrollado
desde x = 0 hasta x = 10 m.
F(N)
20
0
10
6
x(m)
–8
a) 0
c) 120 J
e) 88 J
b) 100 J
d) 152 J
11. Calcular el trabajo que realiza la fuerza constante
(F = 50 N), al trasladar la esfera de masa "m" desde "A"
hasta "B" a lo largo de la trayectoria curvilínea. (α = 37°)
B
F
6m
α°
A
a) 240 J
c) 640 J
e) 1020 J
8m
b) 480 J
d) 720 J
U N F V – C E P R E V I
69
F Í S I C A
12. Calcular la potencia al levantar un bloque de 200 kg hasta
una altura de 10 m, con velocidad constante en 5 s.
(g = 10 m/s2)
a) 4 W
b) 40 W
c) 400 W
d) 4000 W
e) 0,004 W
13. Se usa una cuerda para bajar un bloque de masa "m" una
altura "H", con una aceleración hacia abajo constante g/4.
Encontrar el trabajo efectuado por la cuerda sobre el bloque:
−(mgH)
(mgH)
b) –mgH
c)
a)
2
4
−(3mgH)
d) –2mgH
e)
4
14. Hallar la potencia realizada por la fuerza F = 50 N al desplazar 200 m el bloque de masa 10 kg, sobre el piso liso
desde el reposo. (g = 10 m/s2)
F
37°
a) 200 W
d) 800 W
b) 400 W
e) 1000 W
c) 600 W
15. El bloque de 8 kg, desciende con una aceleración de
1 m/s2. El trabajo de la fuerza de rozamiento y el trabajo
neto al recorrer una distancia de 5 m, es:
(g = 10 m/s2)
a
45°
a) –400 J ; 40 J
d) –100 J ; –40 J
50 2 N
b) –40 J ; –40 J
e) –80 J ; 80 J
c) –110 J ; 40 J
TAREA
1. Si lanzamos un bloque sobre una superficie rugosa, entonces la fuerza de rozamiento realiza un trabajo:
a) cero
V
b) positivo
rugoso
c) negativo
d) positivo o negativo
e) ninguna
70
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
2. Un bloque se mueve a velocidad constante sobre una superficie horizontal, con rozamiento debido a la acción de
una fuerza horizontal "F". Determinar el trabajo neto para
una distancia "d".
a) +F·d
b) –F·d
c) Cero
d) Falta µk
e) Falta conocer la masa del bloque
3. El trabajo del peso de un cuerpo no depende de la:
a) masa
b) gravedad
c) peso
d) trayectoria
e) desplazamiento vertical
4. Una fuerza de módulo constante F, es aplicada siempre
tangencial a la trayectoria circular de radio "R" que describe el cuerpo sobre la cual acciona "F". Halle el trabajo de
"F" cuando el cuerpo da "n" vueltas.
a) 2πRFn
b) 2πRF(n+1)
c) 2πRF
d) 2πRF(n–1)
e) 4πRFn
5. Determinar el trabajo que se efectúa para levantar el bloque de masa "m" mostrado.
L
a)
m
L
mgL
4
mgL
2
e) mgL
c)
b)
mgL
3
d)
2mgL
3
6. Un bloque que pesa 80 N se abandona sobre un plano
inclinado liso. Determinar el trabajo realizado por la fuerza
de gravedad para un desplazamiento de 10 m sobre el
plano.
30°
a) 100 J
c) 300 J
e) 500 J
b) 200 J
d) 400 J
U N F V – C E P R E V I
71
F Í S I C A
7. A un motor se le entrega una potencia de 1000 W; si la
eficiencia de este motor es del 80%, calcular la potencia
útil y la potencia perdida.
a) 900 W ; 100 W b) 700 W ; 300 W c) 800 W ; 200 W
d) 600 W ; 400 W e) 500 W ; 500 W
8. En la figura mostrada, un bloque de peso 40 N es sometido
a la acción de fuerzas de módulos iguales a 10 N. Calcular
el trabajo neto realizado sobre el cuerpo para un desplazamiento de 5 m. (No existe rozamiento).
F
F
mov.
37°
F
a) –20 J
F
b) 20 J
c) –40 J
d) 40 J
e) 0
9. El sistema mostrado, inicialmente está en reposo, luego se
deja y empieza a moverse; entonces el trabajo desarrollado por la tensión sobre el bloque "B", cuando éste llega al
piso, es: (mA = 4 kg ; mB = 6 kg ; g = 10 m/s2)
A
B
4m
a) 192 J
b) –192 J c) 160 J
d) –160 J
e) –240 J
10. Determinar el trabajo realizado por el peso del bloque (1),
si el bloque (2) se desplaza 4 m; m1 = 3 kg ; m2 = 8 kg. No
existe rozamiento y g = 10 m/s2.
2
1
a) 80 J
1. b
1. c
72
2. e
2. c
b) 30 J
3. c
3. d
4. a
4. a
c) 60 J
5. a
5. c
6. e
6. d
d) 40 J
7. a
7. c
e) 100 J
CLAVES
8. b 9. e 10. e 11. b 12. d 13. e 14. d 15. c
8. d 9. b 10. c
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
unidad 10
Energía
ENERGÍA
La energía es la capacidad o actitud que
tiene un cuerpo o sistema para realizar un
trabajo. La energía se puede presentar de
diferentes formas; como: mecánica,
calorífica, luminosa, química, magnética,
nuclear, etc.
La energía es una magnitud escalar; tiene
la misma fórmula dimensional que el trabajo. Por lo tanto, en el sistema internacional, la energía se mide en joules (J).
Cualquiera sea la forma de la energía, ésta
sólo puede presentarse en dos estados:
cinético y potencial. Cinético, cuando está
manifestándose, y potencial cuando se
encuentra almacenado, concentrado, listo para manifestarse.
ENERGÍA MECÁNICA (EM)
Un sistema puede tener energía mecánica como consecuencia de su ubicación,
su arreglo molecular interno o su movimiento.
ENERGÍA CINÉTICA (EK)
Es la capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su velocidad.
La energía cinética de un cuerpo de masa
m y velocidad V es dada por:
Es la energía que posee un cuerpo, debido a la altura a la que se encuentra respecto a un nivel de referencia a partir del
cual se miden las alturas, y está dada por:
m
C.G.
g
Nivel de
referencia
h
EP = mgh
ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (EPE)
Es la energía que poseen los cuerpos debido a su elasticidad. Al comprimir o estirar un resorte se realiza un trabajo, este
trabajo se almacena en el resorte bajo la
forma de energía potencial elástica.
La energía potencial elástica en un resorte representa el trabajo realizado en contra de las fuerzas elásticas (Ley de Hooke)
deformadoras.
La energía potencial elástica para el resorte de la figura está dada por:
k
V
x
F
m
EK =
1
mV2
2
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA (EP)
Es la aptitud que tiene un cuerpo para efectuar un trabajo en virtud de su posición.
U N F V – C E P R E V I
EPE =
1 2
Kx
2
ENERGÍA MECÁNICA TOTAL (EM)
La energía mecánica total de un cuerpo
en un instante, es la suma de la energía
73
F Í S I C A
cinética y potencial que posee el cuerpo
en el instante considerado.
EM = EK + EP
TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICA
La energía cinética equivale al trabajo que
se desarrolla sobre un cuerpo para que
incremente su velocidad.
“La variación de la energía cinética es una
medida del trabajo de la fuerza resultante”
4,5 ⋅ V 2
(40 – 1 · 15) 20 =
2
3
V = 17,6 m/s
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
Cuando sobre un cuerpo actúan sólo fuerzas conservativas (peso del cuerpo, o fuerzas elásticas) se afirma que su energía
mecánica se conserva.
EM = EC + EP = Constante
WNETO = ∆EC = EKf – EK0
EJEMPLO:
La figura muestra un bloque que es arrastrado sobre una superficie horizontal por
una fuerza del 50N. Hallar la velocidad que
alcanza luego de recorrer 20 m. (V0=0)
(Masa del bloque 4,5 kg; coeficiente de
rozamiento cinético para el bloque y la
superficie µ = 1/3).
ECA + EPA = ECB + EPB
EJEMPLO:
Se deja caer un bloque de 2 kg, inicialmente en reposo, desde una altura de
0,4 m sobre un resorte cuya constante de
elasticidad es 2 000 N/m.
Hallar la máxima distancia y que comprimirá el resorte (g = 10 m/s2).
RESOLUCIÓN
En este caso la pérdida de energía potencial gravitatoria del bloque es igual a la
ganancia de energía potencial elástica del
resorte:
50N
37°
A
RESOLUCIÓN:
30N
h
50N
N
40N
y
B
N.R.
f
45N
WNETO = ∆EC = ECf – ECi
m ⋅ V2
(40 – f) 20 =
–0
2
(40 – µN) 20 =
74
4,5 ⋅ V
2
2
EM (A) = EM (B)
EK (A) + EP (A) = EK (B) + EPE (B)
0 + mg(h+y) = 0 +
1
Ky2
2
1
(2000)y2
2
y = 0,1 m
2(10)(0,4+y) =
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
“La energía no se crean ni se destruye,
sólo se transforma”
Esto quiere decir que la cantidad total de
energía del universo es constante, y lo que
el hombre hace es sólo transformarla para
utilizarla mejor.
rozamiento. Sabiendo que existe rozamiento sólo en la superficie horizontal,
hallar la distancia “d” que recorre hasta
detenerse.
A
H
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA
MECÁNICA
“El trabajo realizado por fuerzas diferentes al peso y a la fuerza elástica, sobre un
cuerpo o sistema, es igual a la variación
de su energía mecánica.
W(F ≠ mg) = EM (final) – EM (inicial)
µ
B
N.R.
d
RESOLUCIÓN:
W(F ≠ mg) = EM (B) – EM (A)
–fd = 0 – (EK (A) + EP (A))
–µNd = 0 – (0 + mgH)
–µmgd = –mgH
EJEMPLO:
Un bloque se abandona en la posición A
sobre una superficie curva que no ofrece
d=
H
µ
PROBLEMAS
1. Un camión cargado y un auto pequeño se desplazan con la
misma energía cinética. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas?
I. La velocidad del auto es mayor que la del camión.
II. El trabajo que se deberá realizar para hacer que el auto
se detenga, es menor que el trabajo que habrá que
efectuar para que el camión pare.
III. Si ambos son frenados (hasta detenerse) por medio de
fuerzas del mismo valor, la distancia recorrida por el
auto será mayor que la recorrida por el camión.
a) I
b) II
c) III
d) I y II
e) I y III
2. Una piedra de masa igual a 2 kg. se deja caer desde un
punto A, y desciende en forma vertical, como muestra la
figura. Suponiendo que la resistencia del aire no sea despreciable. Cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas. (g = 10 m/d2).
I. La energía mecánica total de la piedra en A, es igual a
100 J.
II. La energía mecánica total de la piedra en B, es igual a
100 J.
U N F V – C E P R E V I
75
F Í S I C A
III. La energía potencial de la piedra en B, es igual a 40 J.
a) I
A
b) II
3m
c) III
d) I y II
B
e) I y III
2m
N.R.
3. Una bola, de masa 2 kg. se desliza sin fricción, por el tobogán de la figura. En A la energía cinética de la bola es de
10 J, y su energía potencial vale 54 J. Indicar las afirmaciones verdaderas.
I. La energía cinética de la bola al pasar por B, es de 64 J.
II. La energía potencial de la bola en C, vale 18 J.
III. La energía cinética de la bola en C vale 46 J
A
C
H
H
3
N.R.
a) I
d) I y II
b) II
e) III
B
D
c) I, II y III
4. Indicar si las siguientes proporciones son verdaderas o
falsas.
I. Las fuerzas cuyo trabajo depende del camino recorrido, se denominan fuerzas disipativas (fuerzas no
conservativas).
II. La energía mecánica de un cuerpo no cambia cuando
actúan sobre él únicamente fuerzas conservativas.
III. El trabajo realizado por el peso de un cuerpo depende
de su trayectoria.
a) VVV
b) FFF
c) FFV
d) VVF
e) FVV
5. De las gráficas mostradas, indicar las que corresponden a
la energía cinética de un cuerpo (EK = energía cinética;
V = velocidad). (I)
(II)
(III)
a) I
EK
E
E
K
K
b) II
c) III
d) I y II
e) II y III
V
V2
V2
6. Un bloque de 6 kg., que parte del reposo, se desliza 4 m
por el plano inclinado. ¿Cuál es la energía potencial del
76
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
bloque (con respecto a la parte inferior del plano inclinado) cuando está en la parte superior? (g = 10 m/s2).
a) 90 J
b) 240 J
4m
c) 120 J
3m
d) 180 J
e) 360 J
7. En el problema (6) si el plano inclinado carece de rozamiento; ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando alcanza la
parte inferior del plano inclinado?
a) 8,75 m/s
b) 9,75 m/s
c) 6,75 m/s
d) 5,75 m/s
e) 7,75 m/s
8. En el problema (6) si hay una fuerza de rozamiento constante de 8N sobre el bloque mientras se desliza por el plano inclinado; ¿Cuál es su velocidad en la parte inferior?
a) 8 J
b) 6 J
c) 7 J
d) 5 J
e) 9 J
9. Una bala de 7 g. disparada verticalmente hacia arriba al
aire con una velocidad inicial de 200 m/s, alcanza una altura de 900 m. ¿Cuál es la fuerza de rozamiento media
sobre la bala?
a) 0,096 N
b) 0,086 N
c) 0,076 N
d) 0,172 N
e) 0,129 N
10. Un conductor aplica los frenos cuando su auto lleva la velocidad de 72 km/h. ¿Qué distancia recorre antes de pararse si el coeficiente de rozamiento entre las llantas y el
suelo es de 0,5? (g = 10 m/s2).
a) 20 m
b) 30 m
c) 25 m
d) 40 m
e) 50 m
11. Un bloque parte de A sin velocidad inicial y se desliza por el
camino de la figura. Hasta qué altura sube si solamente
hay rozamiento en la parte plana d con un coeficiente de
rozamiento µ.
(h − µd)
2
b) h–µd
c) 2h–µd
d) h+µd
e) h–2µd
A
a)
h
d
12. Un péndulo formado por una pequeña esfera de 500 g en
el extremo de una cuerda de 1 m, oscila formando un ángulo de 37° con la vertical. ¿Cuál es la velocidad de la
esfera cuando pasa por la posición vertical?. (g=10 m/s2).
U N F V – C E P R E V I
77
F Í S I C A
a) 1 m/s
d) 2 m/s
b) 3 m/s
e) 5 m/s
c) 4 m/s
13. Una muchacha deja caer una pelota de 0,5 kg. desde un
puente que está 12 m por encima de las aguas. ¿Cuál es la
velocidad V de la pelota cuando toca el agua?.
(g = 10 m/s2)
a) 14,5 m/s
b) 12,5 m/s
c) 15,5 m/s
d) 12,0 m/s
e) 15,0 m/s
14. Una masa “m” colocada suavemente sobre un resorte sin
comprimirse le produce una deformación “y0”. ¿Desde qué
altura debe dejarse caer la misma masa para que se produzca una deformación de “3y0”?.
b) 2,5 y0
c) 3 y0
a) 2 y0
d) 1,5 y0
e) 3,5 y0
15. Un bloque que parte del reposo resbala por una rampa y
pierde entre A y B el 10% de su energía mecánica, por
efecto del razonamiento. Si en el punto hC su velocidad es
de 5 m/s. Hallar hC. (g = 10 m/s2).
a) 6,75 m
A
b) 5,75 m
c) 4,75 m
hC
10m
d) 8,75 m
e) 7,75 m
B
TAREA
1. ¿Qué fuerza media debe ejercerse sobre un bloque de
1 200 kg. de masa, para que adquiera una velocidad de
90 km/h en una distancia de 30 m, partiendo del reposo?
a) 2500N
90 km/h
b) 5500N
µ=0
c) 8500N
d) 12 500N
30m
e) 9500N
2. Se suelta un cuerpo de 2 kg. de masa desde una altura de
20 m. Calcular su energía cinética en Joules, cuando se
encuentra a 10 m de altura. (g = 10 m/s2).
a) 100 J
b) 300 J
c) 200 J
d) 500 J
e) 400 J
3. Dos cuerpos, uno de masa 1 kg. y el otro de peso 1 N,
cada uno con energía potencial de 1 J con respecto a la
tierra. Hallar la suma de sus alturas con respecto a la tierra. (g = 10 m/s2)
78
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
a) 0,6 m
d) 0,7 m
b) 1,1 m
e) 1,3 m
c) 0,9 m
4. Una bala de 0,15 kg. con velocidad de 200 m/s penetra en
una pared de madera deteniéndose al recorrer 0,3 m. La
magnitud de la fuerza media que detiene la bala es:
a) 10 000N
b) 9 000N
c) 900N
d) 5 000N
e) 7 500N
5. Sobre un piso horizontal liso desliza un bloque de masa
1 kg. con una velocidad de 10 m/s, como se muestra en la
figura. Hallar la máxima compresión del resorte de constante elástica K = 104 N/m.
a) 1 m
V
b) 0,5 m
c) 0,4 m
d) 0,1 m
e) 0,2 m
6. Un bloque de masa 15 kg. está sometido a la acción de
una sola fuerza de dirección horizontal y su módulo varía
con la posición “x” tal como indica el gráfico. Si el bloque
parte del reposo en la posición x = 0. ¿Cuál será su velocidad en x = 25 m? F(N)
a) 4 m/s
10
b) 10 m/s
c) 5 m/s
5
d) 6 m/s
e) 3 m/s
0
25 x(m)
7. Un bloque parte de A sin velocidad inicial y se desliza por el
camino de la figura. ¿Qué distancia d recorre en la parte
plana si solamente hay rozamiento en esta parte?.
(µ = 0,2)
a) 10 m
b) 20 m
5m
c) 15 m
d) 12,5 m
d
e) 25 m
8. Un bloque de masa 2 kg. parte de una altura de 5 m con
velocidad inicial horizontal de 5 m/s, como muestra la figura, y comprime un resorte en una distancia de 1 m.
¿Cuál es la constante del resorte? (g = 10 m/s2).
V=5 m/s
a) 125 N/m
b) 250 N/m
c) 500 N/m
5m
d) 100 N/m
e) 200 N/m
U N F V – C E P R E V I
79
F Í S I C A
9. Una fuerza resultante F actúa sobre un cuerpo con M.R.U.
en la dirección y sentido de su velocidad. La fuerza F varía
según muestra la figura. Si el cuerpo poseía una energía
cinética de 10 J al pasar por d = 0. ¿Cuánto es su energía
al pasar por d = 5 m
a) 110 J
F(N)
b) 65 J
20
c) 55 J
d) 75 J
10
e) 80 J
0
1
3
5
d(m)
10. Una caja de fósforos de masa “m” es lanzada horizontalmente sobre un piso con una velocidad de 5 m/s.
Si µK = 0,2. ¿Qué velocidad poseerá la caja luego de recorrer una distancia de 6 m? (g = 10 m/s2)
a) 0
b) 1 m/s
c) 2 m/s
d) 3 m/s
e) 4 m/s
1. a
1. d
80
2. e
2. e
3. c
3. b
4. d
4. a
5. b
5. d
6. d
6. c
7. e
7. e
CLAVES
8. c 9. b 10. d 11. b 12. d 13. c 14. d 15. e
8. b 9. b 10. b
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
unidad 11
Electrostática
ELECTROSTÁTICA
Es el estudio de las propiedades e
interacciones entre los cuerpos electrizados, en reposo.
CARGA ELÉCTRICA (q)
Es una magnitud que caracteriza a un
cuerpo por el exceso o defecto de electrones que posee después de una interacción
con otro.
Si un cuerpo tiene exceso de electrones
se dice que está cargado negativamente;
si tiene defecto, está cargado positivamente.
Así tenemos que si se frota una barra de
vidrio con seda, el vidrio adquiere "carga
positiva" y la seda queda con "carga negativa".
En general los átomos están constituidos
por 3 partículas estables básicas: electrón,
protón y neutrón. El electrón es una partícula que posee masa y carga negativa; el
protón posee masa y carga positiva, y el
neutrón posee masa pero no carga.
Partícula
Carga
Masa
Electrón
e–=1,6·10–19C me=9,11·10–31kg
Protón
e–=1,6·10–19C mp=1,67·10–27kg
Neutrón
e=0
mn = mp
En el Sistema Internacional, la unidad de
carga eléctrica es el coulomb (C).
ELECTRIZACIÓN
Los cuerpos se pueden electrizar de las
siguientes formas:
– Por frotamiento.
U N F V – C E P R E V I
–
–
Por contacto.
Por inducción.
POR FROTAMIENTO
En dos cuerpos eléctricamente neutros por
resultado del frotamiento o fricción, las
cargas pasan de un cuerpo a otro, y los
cuerpos se cargan con electricidades de
diferente signo.
Así por ejemplo al frotar una varilla de vidrio con un paño de seda, la varilla de vidrio se carga positivamente mientras que
el paño de seda se carga negativamente.
POR CONTACTO
Cuando dos cuerpos conductores se ponen en contacto, y estando por los menos
uno de ellos cargando, se establece una
transferencia de cargas entre ellos debido
a la diferencia de potencial entre las superficies de dichos cuerpos.
POR INDUCCIÓN
Cuando un cuerpo electrizado se acerca
a un cuerpo neutro, ocasiona en él una
distribución de cargas de tal forma que en
una parte surge un exceso de cargas (+) y
en la otra un exceso de cargas (–).
+
inductor
–+
++
––
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
––
– ++
inducido
Para el ejemplo de la figura, si se desea
cargar en forma definitiva el inducido (esfera), se debe mantener la posición del
inductor y conectar a tierra la parte (+) de
la esfera, quedando finalmente el inducido cargado (–).
81
F Í S I C A
PROPIEDADES DE LA CARGA
ELÉCTRICA
A) ESTÁ CUANTIFICADA
ducto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
las separa, y la dirección de la fuerza está
dada por la recta que une las partículas".
La carga de un cuerpo puede ser solamente múltiplo entero de la carga de
un electrón.
q1
+
F
q2
+
F
d
q = ± ne
q: carga del cuerpo
n: número entero
e: carga del electrón
F=K
B) LA CARGA SE CONSERVA
La carga total de un sistema aislado
permanece constante. Esto es, la carga no se crea ni se destruye, sólo se
trasmite de un cuerpo hacia otro.
C) LA CARGA ES INVARIANTE
La carga eléctrica de una partícula permanece igual sin importar la velocidad
con que se mueve.
LEYES ELECTROSTÁTICAS
LEY CUALITATIVA
"Cargas del mismo signo se rechazan y
de signo contrario se atraen".
F
F
+
+
F
–
– F
–
F
LEY CUANTITATIVA O DE COULOMB
"La fuerza de atracción o de repulsión
electrostática entre dos partículas cargadas, es directamente proporcional al pro-
82
d2
F : fuerza (N)
q1, q2 : carga (C)
d : distancia (m)
K : constante de Coulomb
2
1
K=
K = 9 ⋅ 109 Nm
2
4πε0
C
ε0 : permitividad del vacío
ε0 = 8,85 · 10–12
C2
N ⋅ m2
Ejemplo:
Para dos cargas eléctricas positivas de
3·10–4C, separadas una distancia de 3 m.
La fuerza de repulsión entre ellas se determina de la siguiente forma.
F
+
F
+
q1 ⋅ q2
+
F
3m
F=K
q⋅q
d2
F = 9·109
N ⋅ m2 ⋅ 3 ⋅ 10 −4 C ⋅ 3 ⋅ 10 −4 C
C2
(3 m)2
F = 90 N
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
PROBLEMAS
1. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o
falsas:
I. Cuando se frotan dos cuerpos sólidos hechos de la misma sustancia, éstos no se electrizan.
II. Los conductores eléctricos no poseen electrones libres
en su interior.
III. El cuerpo humano no es capaz de conducir cargas eléctricas.
a) VVV
b) FFF
c) VVF
d) VFF
e) FFV
2. Indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
I. Un auto en movimiento
adquiere carga eléctrica
metal
debido al roce con el aire.
A
B
II. En la figura: los electro–––
nes libres del metal se
–
–
desplazan al extremo A.
III. En la figura: el signo de la
carga en A es positivo.
a) FFF
b) VVV
c) VFF
d) VVF
e) VFV
3. Indicar las proposiciones verdaderas:
I. La fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas
puntuales es proporcional al producto de dichas cargas.
II. La carga eléctrica no se conserva.
III. La carga eléctrica es proporcional a la velocidad del
cuerpo electrizado.
a) I
b) II
c) III
d) I, II
e) II, III
4. Señalar si las siguientes proposiciones son verdaderas o
falsas:
I. La fuerza de repulsión entre dos cargas puntuales es
directamente proporcional al cuadrado de la distancia
entre ellas.
II. Un cuerpo que tiene 5·1010 protones en exceso tiene
una carga de 8·10–9 C.
III. La ropa hecha de tejido sintético se electriza al frotamiento con nuestro cuerpo.
a) VVV
b) FFF
c) FFV
d) FVV
e) VVF
5. Siendo F la fuerza entre dos cargas puntuales, separadas
una distancia d. ¿Cuál es el gráfico que representa mejor
la relación entre F y d?
U N F V – C E P R E V I
83
F Í S I C A
F
a)
d
b)
d
c)
d
F
F
d)
F
F
d
e)
d
6. La cantidad de electrones que existe en una carga negativa de 16 C, es:
b) 1610
c) 20
d) 160·1019 e) 1016
a) 1020
7. Dos partículas idénticas están cargadas igualmente y se
encuentran en reposo.
Si el peso de cada una es W = 10–2 N, entonces el módulo
de la fuerza repulsiva entre ellas es:
a) 10–2 N
 3
 ·10–2 N
b) 

 3 
1
L
L
c) ·102 N
3
30°
q –
– q
d) 3 ·102 N
 2
 · 102 N
e) 

 3 
8. Se tienen dos cargas de –20 C y +30 C. ¿Qué carga poseen en conjunto?. Después de unir las dos esferas. ¿Qué
carga poseerán?
a) +10 C ; –5 C
b) –10 C ; +5 C
–20C
+30C
c) +25 C ; –5 C
d) +10 C ; +5 C
e) –25 C ; +5 C
9. Se tienen dos cargas de +2 µC y +4µC separadas por
10 cm. Calcular la fuerza que experimentará otra tercera
carga negativa de 1 µC colocada a 4 cm de la primera.
a) 1 N
b) 1,5 N
+
–
+
c) 1,75 N
2µC
1µC
4µC
d) 1,05 N
e) 1,25 N
84
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
10. En la figura, la esfera A y el péndulo poseen cargas de
igual magnitud y de signo contrarios. Sabiendo que B está
en equilibrio y que su masa tiene un valor de 10 gramos.
Determine la magnitud de la carga en cada uno de estos
cuerpos. (g = 10 m/s2)
a) 2 · 10–6 C
45°
30cm
b) 3 · 10–6 C
A+
– B
c) 1 C
d) 10–6 C
aislante
e) 2 C
11. La figura muestra una barra homogénea y uniforme en
equilibrio; sabiendo que las esferitas de peso despreciable
están cargadas con magnitud q = 20 µC y separadas una
distancia d = 0,3 m, hallar el peso de la barra.
a) 40 N
b) 60 N
–q
c) 50 N
0,3m
d) 80 N
+q
e) 70 N
12. Dos cargas eléctricas Q y q están separadas a una distancia de 10 cm. ¿Cuál debe ser la separación entre las cargas
para que las fuerzas entre ellas sea 4 veces la fuerza inicial?
a) 6 cm
b) 5 cm
c) 4 cm d) 8 cm
e) 2 cm
13. Considere dos cargas (Q1>Q2) como se indica. ¿Dónde se
debe colocar una tercera carga "q" para que quede en
equilibrio sobre la línea que une las cargas?
q
+Q1
+Q2
a) En el punto medio de la distancia que las separa.
b) Más cerca de Q1 entre ambas cargas.
c) Más cerca de Q2 entre ambas cargas.
d) A la izquierda de Q1
e) A la derecha de Q2
14. Como se muestra en la figura, se colocan cargas de +10µC
y –20 µC. La fuerza sobre una carga de –5 µC se dirige
siempre hacia la derecha.
I
II
–20µC
a) En la parte I
c) En las partes I y III
e) En las pates II y III
III
+10µC
b) En la parte II
d) En la parte III
U N F V – C E P R E V I
85
F Í S I C A
15. Dos cargas esféricas de 2 y 3 cm de radio están cargadas
con –200 y +800 µC respectivamente. Si ambas esferas se
ponen en contacto y luego se les separa en 12 cm. Determinar en estas condiciones la fuerza con la cual se atraen
o se rechazan dichas cargas.
a) 54000 N
b) 108000 N
c) 27000 N
d) 54·1015 N
e) 54·1011 N
TAREA
1. Una barra de vidrio es cargada positivamente al ser frotada con seda. Si la carga de la barra es Q+ = 3,2·10–9 C.
¿Cuántos electrones pasaron a la seda?.
b) 2·1010
c) 1,6·1019
a) 3,2·10–19
d) 3·1028
e) 3,2·109
2. Las cargas que se muestran en la figura se atraen con una
fuerza igual a 81·103 N. Si se coloca una tercera carga de
igual magnitud que las anteriores en el tercer vértice, se
encuentra que la magnitud de la fuerza resultante sobre
ésta, es:
a) 0 N
L
L
b) 103 N
c) 27·103 N
d) 81·103 N
q +
– q
e) 81 N
L
3. Se tienen dos cargas iguales colocadas a 3 cm de distancia
y experimentando una fuerza de 360 N. ¿Cuál es el valor
de q?
q –
a) 12·10–6 C
d) 6·10–6 C
+ q
b) 9·10–6 C
e) 12·10–7 C
c) 9·10–7 C
4. Si se cuadruplica la distancia entre dos cargas eléctricas.
¿Cuántas veces mayor deberá hacerse a una de ellas sin
que varíe la otra, para que la fuerza de repulsión sea la
misma?
a) 8
b) 4
c) 10
d) 16
e) 12
5. En la figura mostrada, hallar "x" para que la fuerza eléctrica resultante sobre la carga q0 sea cero.
a) 4 cm
x
b) 2 cm
c) 1 cm
+
+
+
d) 3 cm
1C
q0
4C
e) 2,5 cm
6cm
86
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
6. La figura muestra dos cargas puntuales de magnitudes iguales q = 10–4 C pero de signos diferentes y pesos despreciables, separados una distancia d = 1 m. Sabiendo que existe rozamiento entre el bloque de peso "P" y la superficie
horizontal (µS = 0,5). Determinar el peso del bloque si
está pronto a moverse.
a) 90 N
b) 135 N
c) 140 N
+q
d) 155 N
d
e) 180 N
–q
7. Dos partículas cargadas se atraen entre sí con una fuerza
F. Si la carga de una de las partículas se aumenta al doble
y también se aumenta al doble la distancia entre ellas,
entonces la fuerza será:
a) F
b)
F
2
c) 2F
d) 3F
e)
F
4
8. Tres cargas Q se encuentran en los vértices de un triángulo rectángulo de lados 3 m, 4 m y 5 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que actúa sobre la carga situada en el
vértice del ángulo recto?
 337 
 KQ2
a) 
 144 


 137  2
 KQ
b) 
 144 


 237 
 KQ2
d) 

 144 
 537 
 KQ2
e) 
 144 


 437  2
 KQ
c) 
 144 


9. La figura muestra dos esferas idénticas de peso 10 N y
carga q = 20 µC cada una. Determinar la tensión en las
cuerdas (1) y (2).
(1)
a) 50 N ; 20 N
b) 30 N ; 60 N
q
c) 40 N ; 20 N
0,3 m (2)
d) 50 N ; 30 N
e) 20 N ; 50 N
q
10. El peso de un cuerpo parece disminuir en 147·10–3 N cuando
se coloca encima de él, a 15 cm, una carga positiva de
6·10–9 C. ¿Cuál es el signo y la carga del primer cuerpo?
a) +6,125·10–7C b) +1,225·10–6 C c) –1,225·10–7 C
d) –6,125·10–7 C e) –1,225·10–6 C
1. d
1. b
2. e
2. d
3. a
3. d
4. d
4. d
5. e
5. b
6. a
6. e
U N F V – C E P R E V I
7. b
7. c
CLAVES
8. d 9. e 10. d 11. d 12. b 13. c 14. b 15. a
8. a 9. e 10. d
87
F Í S I C A
unidad 12
Electrodinámica
ELECTRODINÁMICA
LEY DE OHM
Estudia los fenómenos producidos por las
cargas eléctricas en movimiento.
En todo conductor metálico a temperatura
constante, la diferencia de potencial entre
dos puntos es directamente proporcional
a la intensidad de corriente.
CORRIENTE ELÉCTRICA
Es el flujo de electrones a través de un
conductor, debido al campo eléctrico producido por la diferencia de potencial a la
cual se encuentran sus extremos.
I
R
V
INTENSIDAD DE CORRIENTE (I)
Es la cantidad de carga que pasa por la
sección recta de un conductor en la unidad de tiempo.
V
= Constante ⇒
I
q
ohm (Ω) =
I=
Unidad:
ampere (A)
RESOLUCIÓN:
5A
–
20V
⇒
I=
18 C
9s
Por la ley de OHM: R =
∴ I = 2A
RESISTENCIA ELÉCTRICA (R)
Es la oposición que ofrece un conductor
al paso de la corriente a través de él.
Representación:
R
Unidad: ohm
Símbolo: Ω
88
R
+
RESOLUCIÓN:
q
t
voltio
ampere
EJEMPLO:
Calcule el valor de la resistencia de un
conductor, si por él pasa 5A y está sometido a una diferencia de potencial de 20V.
q
t
EJEMPLO:
Si por la sección recta de un conductor
pasa una carga de 18 C cada 9 s, calcular
la intensidad de corriente.
Si: I =
V
=R
I
∴ V = RI
R=
20 V
5A
V
I
R = 4Ω
EJEMPLO:
Si por la sección recta de un conductor
pasan 5·1019 electrones cada 4 segundos.
Determinar su resistencia eléctrica si está
sometido a una diferencia de potencial de
120V.
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
RESOLUCIÓN:
n = 5·1019
t = 4s
e = –1,6·10–19 C
V = 120V
RESISTENCIA EQUIVALENTE (Req)
Es aquella resistencia que reemplaza a un
conjunto de resistencias produciendo el
mismo efecto.
Sabemos que: q = ne
∴ q = 5·1019 · 1,6·10–19
q = 8C
A) ASOCIACIÓN EN SERIE:
Si: I =
q
t
⇒ I=
Por Ohm: R =
ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS
8C
4s
+ R1 – +R2 – + R3 –
V1
⇒ I = 2A
I
120 V
V
⇒ R=
2A
I
R = 60Ω
LEY DE POÜILLETT
La resistencia de un conductor es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al área de su sección recta.
V2
+
–
V3
Req
≡
+
V
R1
I1 R
I2 2
+V
L
A
R = 1,69·10–8
+ –
V
314
π ⋅ 10 −6
4
πd2 π ⋅ 10 −6 m2
=
4
4
Ω
R = 6,76 Ω
U N F V – C E P R E V I
≡
I
+
V
–
CARACTERÍSTICAS:
1) V = constante
2) I = I1 + I2 + I3
3)
A=
I
I
Req
–V
I3 R3
L
R=ρ
A
ρ = Resistividad eléctrica (Ω·m)
(depende del material)
R=ρ
–
B) ASOCIACIÓN EN PARALELO
L
SOLUCIÓN:
V
CARACTERÍSTICAS
1) I = constante
2) V = V1 + V2 + V3
3) Req = R1 + R2 + R3
A
EJEMPLO:
Calcular la resistencia eléctrica de 314 m
de cobre, de 1 mm de diámetro.
π = 3,14
ρCu = 1,69·10–8 Ωm
I
I
I = I + I + I
Req R1 R2 R3
OBSERVACIONES:
1) Para dos resistencias.
R1
Req =
R2
R1 ⋅ R2
R1 + R2
89
F Í S I C A
2) Para “N” resistencias iguales en paralelo.
R
R
Req =
R
RESOLUCIÓN:
R
a
R
N
R
R
R
b
R
R
2
Req =
(paralelo)
N
R
EJEMPLOS:
a) Hallar la resistencia equivalente entre
x e y.
R
R
x
R
y
a
b
3R
Req =
2
(serie)
d) Calcular la resistencia equivalente entre los puntos “x” e “y”.
b) Calcular la resistencia equivalente entre x e y.
x
R
R
I
RESOLUCIÓN:
x
1 = 1+1
Req R R
(paralelo)
R
2
c) Hallar la resistencia equivalente entre
a y b.
R
R
b
90
3Ω
R
1Ω
RESOLUCIÓN:
y
a
y
4Ω
x
Req =
(serie)
3R
2
Req =
RESOLUCIÓN:
Req = R + R + R
Req = 3R
R
2
4Ω a
I
3Ω
b 1Ω
y
Nota:
La corriente sigue el camino más fácil.
x
4Ω a
b 1Ω
y
(a y b es el mismo punto, no hay resistencia)
Req = 4 + 1 ← (serie)
Req = 5Ω
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
e) Determinar la resistencia equivalente
entre “x” e “y”.
R
x
R
R
R
x
R
R
2
R
y
y
x a
R
3R (serie)
2
R
RESOLUCIÓN:
R
b
R
x
R
a
y
b
3R
2
R
x y a es el mismo punto
y y b es el mis punto
y
3R (paralelo)
5
R
R
R
a
x
b
y
R
x
x
R
3R ≡
5
(paralelo)
y
13R
5
y
R
Req =
R
3
Rx
3
Req =
y
f) Hallar la resistencia equivalente entre
x e y.
R
R
x
R
R
R
y
R
RESOLUCIÓN:
x
R
R
R
y
R
R
R
R (paralelo)
2
U N F V – C E P R E V I
13R
5
FUENTE DE FUERZA
ELECTROMOTRIZ (f.e.m.)
Es una fuente de fuerza electromotriz
(f.e.m.) la energía química, magnética,
mecánica, luminosa, etc. que se convierte
en energía eléctrica con la cual se realiza
trabajo sobre las cargas eléctricas para llevarlas de menor a mayor potencial, garantizando que continúe el flujo de cargas.
Representación:
+
–
Batería
+ –
Pila
91
F Í S I C A
TRABAJO DE UNA FUENTE (W)
A
– +
EFECTO JOULE
La energía consumida por una resistencia
se transforma completamente en calor,
entonces la potencia (P) que consume una
resistencia es:
B
ε
VB > VA
W: Trabajo para mover una carga (q) de
menor a mayor potencial.
–
+
ε= W
q
Q
ε = VB – VA
Donde:
Calor generado (Q)
P = Unidad de tiempo (t)
POTENCIA ELÉCTRICA (P)
Determina la cantidad de energía que suministra o consume un dispositivo eléctrico en la unidad de tiempo.
–
I
+
D.E.
La potencia eléctrica se define como:
P = VI
V2
·t
R
Para obtener Q en calorías, recordamos
el equivalente mecánico del calor:
Para conductores que cumplen con la ley
de OHM: V = IR
2
V
R
EJEMPLO:
Hallar la potencia eléctrica que da una
batería de 12 V, si entrega una corriente
de 0,5 A a una resistencia.
92
Q = Vi t
Q = I2 R t
Q=
Unidades: P = watts (W)
V = voltios (V)
I = ampere (A)
SOLUCIÓN:
Sabemos que:
Unidades: Q = Joule (J)
I = ampere (A)
R = ohmio (Ω)
t = segundo (s)
Q=Pt
V
P = VI = I2R =
R
I
P = V·I
P = 12 V · 0,5 A
P=6W
1J = 0,24 Cal.
∴ Q = 0,24 P t
Q = calorías (col)
EJEMPLO:
Qué cantidad de calor se disipa por una
plancha eléctrica cuya resistencia es de
10 ohm, si la corriente es de 10 A durante
0,5 minutos.
RESOLUCIÓN:
Se sabe que: Q = 0,24 I2Rt
Q = 0,24 · (10)2 · 10 · 30
Q = 7200 cal
Q = 7,2 kcal.
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
LEYES DE KIRCHOOFF
PRIMERA LEY:
"Ley de nudos o Ley de las corrientes"
La suma de corrientes que llegan a un
nudo es igual a la suma de corrientes que
salen.
Σ Ientran = Σ Isalen
EJEMPLO:
En el gráfico mostrado, hallar I.
3A
5A
SEGUNDA LEY:
"Ley de los voltajes o de mallas"
La suma algebraica de las f.e.m. en una
malla es igual a la suma de la caída de
potencial (IR) en cada resistencia de la
malla.
Σ V = Σ IR
EJEMPLO:
Hallar la intensidad de corriente "I" en el
circuito mostrado.
6Ω
I
40 V
6A
–
+
I
8A
RESOLUCIÓN:
Σ Ientran = Σ Isalen
3+5+6=I+8
I=5A
U N F V – C E P R E V I
RESOLUCIÓN:
–
+
10 V
4Ω
Σ V = Σ IR
40 – 10 = I (10)
30 = I (10)
I=3A
93
F Í S I C A
PROBLEMAS
1. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
"Las cargas eléctricas en un conductor fluyen ................"
( ) Porque sus protones se desplazan ante un campo eléctrico.
( ) Porque sus neutrones se desplazan ante una diferencia
de potencial.
( ) Porque sus electrones libres fluyen ante un campo eléctrico externo.
a) VVV
b) VVF
c) VFF
d) FVF
e) FFV
2. Calcular la cantidad de carga que fluye por un conductor,
si en 8 segundos circula por él 4 A.
a) 16 C
b) 30 C
c) 32 C
d) 42 C
e) 20 C
3. Por un conductor circula una intensidad de corriente de
8 A, durante 2 s. ¿Qué cantidad de electrones han pasado
a través de su sección recta? (e = 1,6·10–19 C)
a) 1019
b) 1020
c) 1021
–19
–18
d) 10
e) 10
4. Calcular la resistencia eléctrica si por ella circulan 5 A y
está sometida a una diferencia de potencial de 100 V.
a) 20 Ω
I=5A
b) 10 Ω
R
+
–
c) 5 Ω
d) 30 Ω
100V
e) 50 Ω
5. Se tiene un alambre de resistencia 8 Ω; si se estira hasta
cuadruplicar su longitud, permaneciendo constante su densidad y resistividad eléctrica. Hallar la nueva resistencia.
a) 80 Ω
b) 100 Ω
c) 128 Ω
d) 140 Ω
e) 150 Ω
6. Calcular la resistencia equivalente entre "x" e "y".
a) R
b) 2R
c)
5R
2
e)
R
2
d)
R
3
R
R
R
x
R
y
94
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
7. Calcular la resistencia equivalente entre a y b.
6Ω
a) 5 Ω
b) 7 Ω
a
12Ω
c) 9 Ω
d) 11 Ω
3Ω
6Ω
e) 13 Ω
b
12Ω
8. Calcular la resistencia equivalente entre a y b.
a
a) 1 Ω
2Ω
6Ω
b) 2 Ω
c) 3 Ω
2Ω
3Ω
5Ω
d) 4 Ω
e) 5 Ω
b
9. Calcular la resistencia equivalente entre x e y.
R
x
a)
R
3
b)
R
R
2
c)
R
2R
3
R
d)
y
4R
3
e)
3R
2
e)
R
3
10. Calcular la resistencia equivalente entre x e y.
x
R
R
R
R
y
R
3R
a)
5
5R
b)
3
c)
8R
3
d)
11. En el circuito mostrado, calcular "I".
a) 1 A
4Ω
b) 2 A
R
c) 3 A
2A
d) 4 A
8Ω
e) 5 A
8R
5
I
12. En el circuito mostrado, determine la intensidad de corriente "I".
a) 1 A
4Ω
b) 2 A
36V
6Ω
3Ω
I
c) 3 A
d) 4 A
e) 5 A
U N F V – C E P R E V I
95
F Í S I C A
13. En el circuito mostrado. Determine el valor de "V".
4Ω
a) 30 V
6Ω
b) 40 V
c) 50 V
3Ω
5A
d) 60 V
6Ω
12Ω
e) 70 V
V
14. Cuando un motor eléctrico se conecta a una tensión de
110 V da una potencia de 500 W. Si se conecta a una
tensión de 220 V. Calcular la potencia que entrega.
a) 1 kW
b) 2 kW
c) 750 kW
d) 125 kW
e) 150 W
15. Si por la sección transversal de un conductor de 50 W pasa
una carga de 16 C en 4 s. Hallar la cantidad de calor que
disipa dicho conductor.
a) 10 kJ
b) 12 kJ
c) 14 kJ
d) 16 kJ
e) 20 kJ
TAREA
1. Se tiene un alambre de resistencia 100 Ω. Si se estira hasta duplicar su longitud permaneciendo constante su densidad y resistividad eléctrica. Hallar la nueva resistencia.
a) 200 Ω
b) 300 Ω
c) 350 Ω
d) 400 Ω
e) 600 Ω
2. Si la resistencia de un alambre de un metal "x" de 1 m de
longitud y 1 gramo de masa es 0,15 Ω. Calcule la longitud
de un alambre del mismo material cuya masa sea 106 gramos y su resistencia 6·103 Ω.
b) 2·106 m
c) 0,2·105 m
a) 2·105 m
5
5
d) 4·10 m
e) 0,4·10 m
3. Se tiene una resistencia desconocida en serie con otra de
4 Ω. La caída de tensión en la primera es 12 V y en la segunda 8 V. Determinar el valor de la resistencia desconocida.
a) 3 Ω
b) 4 Ω
c) 5 Ω
d) 6 Ω
e) 7 Ω
4. Calcular la cantidad de calor en joules que disipa la resistencia de 40 Ω, durante 10 segundos.
R=40Ω
x
y
I=1A
a) 100
d) 400
96
b) 200
e) 500
c) 300
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
5. Calcular la resistencia equivalente entre "x" e "y".
R
x
a) 3R
b) 4R
R
c)
R
R
4
R
d)
R
3
6. Calcular la resistencia equiva- 3Ω
lente entre a y b.
a
6Ω
a) 2 Ω
b) 4 Ω
10Ω
c) 6 Ω
b
d) 8 Ω
e) 10 Ω
80Ω
7. En el circuito mostrado, calcular "I":
a) 2 A
2Ω
b) 4 A
R
c) 6 A
I
d) 8 A
4Ω
e) 10 A
12A
y
e)
R
2
4Ω
8. En el circuito mostrado, calcule el voltaje V de la fuente:
4Ω
a) 24 V
b) 12 V
c) 46 V
+
4A
V
6Ω
12Ω
d) 48 V
–
e) 84 V
9. Calcular la intensidad de corriente "I" en el siguiente circuito.
1Ω
2Ω
a) 5 A
b) 10 A
I
+
c) 15 A
4Ω
100Ω
60V
–
d) 25 A
4Ω
2Ω
e) 30 A
10. En el circuito mostrado, calcule el valor de R.
a) 4 Ω
R
b) 6 Ω
c) 8 Ω
4A
60V
6Ω
6Ω
d) 10 Ω
e) 12 Ω
1. e
1. d
2. c
2. a
3. b
3. d
4. a
4. d
5. c
5. d
6. c
6. c
U N F V – C E P R E V I
7. c
7. d
CLAVES
8. c 9. d 10. d 11. c 12. b 13. c 14. b 15. d
8. d 9. b 10. c
97
F Í S I C A
APÉNDICE
98
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
UNIDADES BASE SI
MAGNITUD
longitud
masa
tiempo
intensidad de corriente eléctrica
temperatura termodinámica
intensidad luminosa
cantidad de sustancia
UNIDAD
metro
kilogramo
segundo
ampere
kelvin
candela
mol
SÍMBOLO
m
kg
s
A
K
cd
mol
DEFINICIÓN DE LAS UNIDADES DE BASE SI
1. metro
El metro es la longitud del trayecto recorrido, en el vacío, por un rayo de luz en un
tiempo de: 1/299 792 458 segundo.
2. segundo
El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del
átomo de cesio 133.
3. kelvin
El kelvin, unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
4. mol
El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades
elementales como átomos hay en 0,012 kilogramo de carbono 12. La mol contiene
6,023.1023 entidades elementales.
5. kilogramo
El kilogramo es la unidad de masa (y no de peso ni de fuerza); igual a la masa del
prototipo internacional del kilogramo.
6. ampere
El ampere es la intensidad de corriente constante que mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos de longitud infinita, de sección circular despreciable, y que
estando en el vacío a una distancia de un metro, el uno del otro, produce entre
estos conductores una fuerza igual a 2.10–7 newton por metro de longitud.
7. candela
La candela es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que
emite radiación monocromática de frecuencia 540 . 1012 hertz y de la cual la intensidad radiante en esa dirección es 1/683 watt por estereorradián.
U N F V – C E P R E V I
99
F Í S I C A
UNIDADES DERIVADAS SI APROBADAS
MAGNITUD
UNIDAD
SÍMBOLO
frecuencia
hertz
Hz
1 Hz = 1 s–1
fuerza
newton
N
1 N = 1 Kg. m.s–2
presión y tensión
pascal
Pa
1 Pa = 1 N.m–2
trabajo, energía, cantidad de calor
joule
J
1 J = 1 N.m
potencia
watt
W
1 W = 1 J.s–1
cantidad de electricidad
coulomb
C
1 C = 1 A.s
potencial eléctrico, diferencia de
potencal, tensión, fuerza electromotriz
volt
V
1 V = 1 J.C–1
capacidad eléctrica
farad
F
1 F = 1 C.V–1
resistencia eléctrica
ohm
Ω
1 Ω = 1 V.A–1
conductancia eléctrica
siemens
S
1 S = 1 Ω–1
flujo de inducción magnética,
flujo magnético
weber
Wb
1 Wb = 1 V.s
Densidad de flujo magnético,
inducción magnética
tesla
T
1 T = 1 Wb.m–2
inductancia
henry
H
1 H = 1 Wb.A–1
flujo luminoso
lumen
Im
1 Im = 1 cd.sr
iluminación
lux
Ix
1 Ix = 1 lm.m–2
UNIDADES FUERA DEL SI, RECONOCIDAS POR EL CIPM
PARA USO GENERAL
MAGNITUD
UNIDAD
SÍMBOLO
tiempo
minuto
hora
día
min
h
d
ángulo plano
grado
minuto
segundo
volumen
litro
masa
tonelada
100
DEFINICIÓN
1 min = 60 s
1 h = 60 min
1 d = 24 h
°
'
''
1° = (π/180) rad
1' = (1/60)°
1'' = (1/60)'
IoL
1I o 1L = 1 dm3
t
1t = 103 kg
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
UNIDADES FUERA DEL SI, RECONOCIDAS POR EL CIPM
PARA USOS EN CAMPOS ESPECIALIZADOS
energía
electronvolt
masa de
un átomo
longitud
eV
1 electronvolt es la energía cinética
adquirida por un electrón al pasar a través de una diferencia de potencial de
un volt, en el vacío.
1eV = 1,60219·1019 J (aprox.)
unidad de
masa atómica
u
1 unidad de masa atómica (unificada) es igual a 1/12 de la masa del
átomo de núcleo C–12.
1u = 1,660 57·10–27 kg (aprox.)
unidad
astronómica
UA
1UA = 149 597,870·104 m (sistema
de constantes astronómicas, 1979)
parsec
pc
1 parsec es la distancia a la cual 1
unidad astronómica subtiende un
ángulo de 1 segundo de arco.
1pc = 30 857·1012 m (aprox.)
bar
bar
1 bar = 105 Pa
presión de fluido
PREFIJO SI
PREFIJO
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
hecto
deca
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
SÍMBOLO FACTOR
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
10
10–1
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
10–15
10–18
10–21
10–24
U N F V – C E P R E V I
EQUIVALENTE
1 000 000 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000
1 000 000 000
1 000 000
1 000
1 00
10
0,1
0,01
0,001
0,000 001
0,000 000 001
0,000 000 000 001
0,000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 000 000 001
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F Í S I C A
VIDA Y OBRA DE FEDERICO VILLARREAL
Federico Villarreal, nació el 31 de agosto de 1850 en el Distrito de Túcume del Departamento de Lambayeque donde inició estudios. Se graduó como Preceptor de Primeras Letras
en Trujillo, y, después Preceptor de Segunda Enseñanza. En 1881 fue el primer Graduado de
Doctor en Matemáticas, con las tesis ”Clasificación de las Curvas de Tercer Grado”. Recibió
medalla de oro.
Opto el Título de Ingeniero Civil y Minas en la Escuela de Ingenieros. Realiza estudios
de Física Superior, entre los cuales se citan: “Dinámica Analítica”, “Teoría sobre la Máquina y
Motores”, “Descarga oscilante de un condensador”, “La desviación del Péndulo en el Callao
por efecto que ejerce sobre él la Cordillera de los Andes”, “Principios de la Relatividad” y
finalmente, en Mecánica, interpretando el principio de la Relatividad formulado por Einstein en
1905.
Federico Villarreal, ejerció la docencia durante 44 años (1880 – 1923). Inicia su labor,
en la Facultad de Ciencias de San Marcos, dictando el Curso de Astronomía. En 1988 fue
profesor de la Escuela de Ingenieros, en 1890 hasta 1894 en la Escuela Militar de Chorrillos, y,
desde 1887 hasta 1903 en la Escuela Naval. Fue un revolucionario de la enseñanza de la Matemática. Introdujo los conocimientos y métodos de la Nomografía, la Estática Gráfica, la Teoría
de los Errores, la Geografía Matemática, la Resistencia de Materiales, la Teoría de la Relatividad.
Para Villarreal, la Matemática es la concepción general de las ciencias y una herramienta
fundamental para la aplicación en los diversos campos del conocimiento humano entre ellos la
Mecánica Racional, Astronomía, Física, Geodesia, Topografía, Cartografía, Ingeniería Civil,
de Minas, Hidráulica.
A los 23 años de edad, su pasión por las ciencias lo llevó a superar el método matemático del Binomio de Newton, por el “Método para elevar un Polinomio a una Potencia cualquiera”. Investigaciones como: “Clasificación de las Curvas de Tercer Orden”, “Volúmenes de los
Poliedros Regulares”, “Método de Integración por Traspasos”, “Teoría sobre la Flexión de las
Vigas y la Resistencia de las Columnas”, lo ubican como el más grande matemático peruano.
Contribuyó al Álgebra, la Geometría, el Cálculo Infinitesimal y la Resistencia de materiales. En la Geografía Matemática, son clásicos los trabajos, la Determinación de Meridianos,
y, la de Coordenadas y Altitudes y en Astronomía, difundió las Hipótesis de Wronski, sus Cálculos sobre la Trayectoria de algunos Cometas y la mayor parte de los eclipses del calendario
astronómico (1886 – 1914). Tiene aproximadamente 600 publicaciones en revistas universitarias, científicas y otras de carácter cultural, en la que destacan. “Historia del Departamento de
Lambayeque durante la Conquista”, “Coca”, “Cascarilla”, “Llama” (y Vicuña), “La Lengua
Yunga”.
Es elegido Senador Suplente en 1892, por el Colegio Electoral de Lambayeque y en
1900 Concejal de Lima. Realiza trabajos técnicos profesionales a favor de Lima, Callao y
Lambayeque. Falleció el 3 de junio de 1923 en Barranco, recibiendo Honores de Ministro de
Estado.
La Vida ejemplar de este insigne peruano, que destacó como maestro, científico, matemático, poeta, político y amigo, han sido razones mas que suficientes para que nuestra Casa de
Estudios Superiores, perennicen su memoria y se honre con llevar su nombre, el 30 de octubre de
1963, se crea la Universidad Nacional “Federico Villarreal”, cuyo nombre se convierte en un
paradigma de la juventud estudiosa, en un símbolo de esperanza, de trabajo creador y fundamento de los valores de justicia y libertad para las generaciones estudiosas.
102
U N F V – C E P R E V I
F Í S I C A
BIBLIOGRAFÍA
1.
FÍSICA GENERAL. Beatriz Alvarenga – Antonio Máximo.
2.
FÍSICA. Jerry D. Wilson
3.
FÍSICA RECREATIVA. Tomo I y II – de Y. Perelman.
4.
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA. Tomo I y II – Alonso / Acosta
5.
FÍSICA UNIVERSITARIA. Sears / Zemansky / Young
6.
FÍSICA. Tippens
7.
FUNDAMENTOS DE FÍSICA. Bueche.
8.
LA FÍSICA. Aventura del pensamiento – Albert Einstein – Leopold Infeld
9.
HISTORIA DEL TIEMPO: Del Big Bang a los Agujeros Negros – Stephen W.
Hawking.
10. PREGUNTAS Y PROBLEMAS DE FÍSICA. L. Tarásov – A. Tarásova.
11. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA. Tomos I y II – Alberto Maistegui – Jorge A. Sabato.
12. FÍSICA. Tomos I y II – Robert Resnick – David Halliday
13. FÍSICA. Tomos I y II – R.A. Serway.
14. FÍSICA. Tilley – Thumm
15. FÍSICA. Tomos I , II y III – Marcelo Alonzo – Edward J. Finn
16. FÍSICA. Tomos I , II y III – Feymman
17. ELEMENTOS DE FÍSICA CLÁSICA – Weidner y Sells.
18. MECÁNICA. S. Strelkóv.
19. EL PANORAMA INESPERADO – La naturaleza vista por un Físico. James S. Trefil.
20. ROMPECABEZAS Y PARADOJAS CIENTÍFICOS. Cristopher P. Jargocki.
21. INTRODUCCIÓN A LA QUÍMICA. Hazel Rossotti.
22. FÍSICA sin matemáticas. Clarence E. Bennett.
23. FUNDAMENTOS DE FÍSICA. Tomos I y II – Yavorski – Pinski.
24. PROBLEMAS SELECCIONADOS DE LA FÍSICA GENERAL. Editorial MIR Moscú.
25. FÍSICA FUNDAMENTAL. Jay Orear
26. FÍSICA GENERAL, Teoría y problemas. Wálter Pérez Terrel
27. FÍSICA. Editorial Escuela Nueva. Wálter Pérez Terrel.
28. FÍSICA BIOLÓGICA. José Quiñones D. – Humberto Sandoval S.
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