UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BÁSICAS PARA INGENIERÍA. GUÍA DE APRENDIZAJE RAZÓN DE CAMBIO Resultados de Aprendizaje: 1. El estudiante será capaz de aplicar las propiedades del Cálculo Diferencial a la resolución de problemas básicos relacionados con razón de cambio. Contenidos: 1. Razón de cambio. Razón de cambio: f (a + h) − f (a) . Si h→0 h representa la ecuación de desplazamiento de una partı́cula, entonces el cuociente en esta expresión se interpreta como la variación promedio o razón de cambio promedio de la posición de la partı́cula en el intervalo de tiempo que transcurre entre a y a + h (velocidad promedio). El lı́mite de este cuociente, es la razón de cambio instantánea o velocidad instantánea o simplemente, velocidad. Existen diversos problemas prácticos donde se desea conocer la velocidad con que varı́a en el tiempo una determinada función, la cual está relacionada con otras funciones cuyas derivadas son conocidas. Este tipo de problemas reciben el nombre de problemas de razón decambio relacionado o simplemente razón de cambio. La derivada de una función en un punto se define como f 0 (a) = lim Estrategia para resolver un problema de razón de cambio Lea un par de veces el problema tratando de imaginarse la situación planteada. Si es factible, haga un esquema o dibujo que represente la situación. 1. Identifique las variables y los datos en el problema. Use t para el tiempo y asuma que todas las variables dependen de t. Por ejemplo, si el tiempo se mide en segundos, entonces las variables t debe definirse como el número de segundos de tiempo o, equivalentemente, t segundos es el tiempo. Asegurarse de definir primero t, y las otras variables deben indicar su dependencia de t. 2. Escriba los hechos numéricos conocidos acerca de las variables y de sus derivadas con respecto a la variable t. 3. Escriba lo que desea determinar. 4. Escriba una ecuación que relacione las variables que dependen de t. Este es el modelo matemático de nuestra situación. 5. Derive con respecto a t los dos miembros de la ecuación obtenida en el paso 4) para relacionar las tasas de variación de las variables. 6. Sustituya los valores de las cantidades conocidas en la ecuación del paso 5) y despeje la cantidad deseada. 7. Escriba una conclusión que consista de una o más oraciones completas y que respondan las preguntas del problema. No olvide que la conclusión debe contener las unidades correctas de medición. 1 PROBLEMAS RESUELTOS. Ejemplo 1 Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m3 /min hacia el interior de un depósito cuya forma es la de un cono invertido de 16 m de altura y 4 m de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta ha alcanzado 5 m de profundidad? Solución: Primero elaboraremos un esquema de la situación. Pasos a seguir: 1) Variables: - t : número de minutos de tiempo transcurrido. - h : número de metros de la altura del nivel del agua a los t minutos. - r : número de metros del radio de la superficie del agua a los t minutos. - V : número de metros cúbicos de agua en el tanque a los t minutos. 2) Hechos numéricos. H = 16m (altura del depósito), R = 4m (radio del depósito), 3) Lo que deseo determinar 4) Ecuación: V = dh dt dV = 2m3 /min dt . h=5 πr2 h 3 El asunto es que se conoce del volumen en función de 16 4 Por Thales: = ↔ r = h r dh dV y se desea conocer . Por tanto debemos considerar dejar la ecuación dt dt la altura. h πh3 , sustituyendo en la ecuación: V = 4 48 5) Derivemos: 3π 2 dh dV = h dt 48 dt 6) Evalúo: 2 = 3π dh dh 32 · 25 · ↔ = ≈ 0.41 m/min 48 dt dt 25π 7) Concluyo: El nivel del agua sube a 0, 41 m/min cuando la profundidad del agua es 5 m. Ejemplo 2 Dos automóviles, uno va hacia el este a una velocidad de 90 Km/h y el otro hacia el sur a 60 km/h, se dirigen hacia la intersección de dos carreteras. ¿A qué velocidad se están aproximando uno al otro en el instante en que el primer auto está a 0,2 km de la intersección y el segundo a 0,15 km de la misma? Solución: Primero elaboraremos un esquema de la situación. Pasos a seguir: 1) Variables: Llamaremos P al punto de intersección de las calles. - t : número de minutos del tiempo transcurrido desde el momento en que los automóviles comienzan a acercarse a P . - x : número de km de distancia del primer automóvil a P a las t horas. - y : número de km de distancia del segundo automóvil a P a las t horas. - z : el número de km de distancia entre los dos automóviles a las t horas. 2) Hechos numéricos. dx dy = −90, = −60 dt dt 3) Lo que deseo determinar dz dt x=0.2; y=0.15 4) Ecuación: z 2 = x2 + y 2 dx dy x +y dz dx dy dz dt dt 5) Derivemos: 2z = 2x + 2y ↔ = dt dt dt dt z 6) Evalúo: Cuando x = 0.2, y = 0.15, z = 0.25. dz dt = z=0.25 (0.2)(−90) + (0.15)(−60) = −108 0.25 7) Concluyo: En el instante en cuestión, los vehı́culos se aproximan el uno al otro a una tasa de 108 km/h Ejemplo 3 Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto con su vértice hacia abajo. Su altura es de 10 m y el radio de su base es de 15 m.El agua contenida en él sale a una rapidez constante de 1 m3 por segundo. Se vierte agua en el depósito a razón de c m3 por segundo. Calcular el valor de c de modo que el nivel de agua ascienda a razón de 4 m por segundo en el instante que el agua alcance la altura de 1 m. Solución: En cualquier instante el volumen del cono que forma el agua en el recipiente está dado por: V (r, h) = π 2 r h 3 15 r = y como se pregunta sobre el nivel del agua 10 h 2 entonces despejamos r en términos de h obteniendo que r = h lo que permite expresar el volumen en 3 3π 3 π 2 2 términos de una sola variable, es decir,V (h) = h h ⇒ V (h) = h . 3 3 4 dV dV Como representa la variación del volumen en algún instante entonces = c − 1. Derivando con dt dt dV 3π 2 dh dV 9π 2 dh respecto al tiempo la expresión obtenida para el volumen se tiene que = 3h , o sea = h . dt 4 dt dt 4 dt 9π 2 Reemplazando ahora los datos: c − 1 = 1 · 4 ⇒ c = 1 + 9π 4 Respuesta: Debe ingresar agua al recipiente a una razón constante de 1 + 9π m3 por segundopara que el nivel de agua ascienda a razón de 4 m por segundo en el instante que el agua alcance la altura de 1 m. Usando semejanza de triángulos se establece que 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Cuando un plato circular de metal se está calentando en un horno, su radio aumenta a razón de 0, 01cm/min. ¿A qué razón aumenta el área del plato cuando su radio mide 50 cm.? 2. Una escalera de 13 mts. está apoyada contra una casa cuando de improviso se empieza a resbalar. En el momento en que la base está a 12 mts. de la casa, la base se mueve a una razón de 5 mts/seg. a) ¿Qué tan rápido se está resbalandopor la pared la parte superior de la escalera en ese momento? b) ¿A qué tasa está cambiando el área del triángulo formado por la escalera, la pared y el suelo en ese momento? c) ¿Con qué rapidez está cambiando el ángulo formado por la escalera y el suelo en ese momento? 3. De un depósito de forma hemisférica con radio 13 mts, ilustrado de perfil, el agua fluye a razón de π 6 m3/min. Sabiendo que el volumen del agua en el depósito hemisférico de radio R es V = y 2 (3R−y) 3 cuando el agua tiene y metros de profundidad. a) ¿A qué razón cambia el nivel del lı́quido cuando el agua tiene 8 m de profundidad? b) ¿Cuál es el radio r de la superficie del agua cuando ésta tiene y metros de profundidad? c) ¿A qué razón cambia el radio r cuando el agua tiene 8 metros de profundidad? 4. El café está pasando a través de un filtro cónico hasta una cafetera cilı́ndrica a una razón de 10 pulg 3 /min. a) ¿Qué tan rápido sube el nivel de lı́quido en la cafetera cuando el café del cono tiene 5 pulgadas de profundidad? b) ¿Qué tan rápido disminuye el nivel del cono en ese momento? 3 Bibliografı́a 1. Leithold, L. El Cálculo. 7a edición. Oxford UniversityPress. 2002. 2. Thomas Jr. George B., Cálculo una variable, Undécima edición, Pearson Educación, México, 2005. 3. Stewart, Cálculo en una Variable Trascendentes y Tempranas. 4ta edición. 4. Salas, Hille, Etgen. CalculusVol I. Ed. Reverté. 5. Links de ejercicios resueltos y propuestos. • http : //canek.uam.mx/?secc = 2 • http : //ed21.webcindario.com/CalculoDif erencial/rapideces de variacion relacionadas.htm • http : //ed21.webcindario.com/CalculoDif erencial/intensidadd e variacion relativa.htm
