Universidad Nacional Daniel Alcides Carrión FACULTAD DE CIENCIAS DE EMPRESARIALES ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN INFORME TAREA ACADÉMICA N° 05 TEMA: FORMULACIÓN Y TIPOS DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ESTUDIANTE: ALCANTARA BARDALES, Elda DOCENTE: Dr. CARDENAS SINCHE, José Antonio. ASIGNATURA: MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS Yanacancha, 08 de julio del 2020 I.- Índice Portada I. Índice II. Introducción III. Desarrollo 3.1 Ejercicio 1 3.2 Ejercicio 2 3.3 Ejercicio 3 3.4 Ejercicio 4 3.5 Ejercicio 5 IV. Conclusión V. Referencias y/o bibliografía Pág. 1 Pág. 2 Pág. 3 Pág. 4 Pág. 4 Pág. 5 Pág. 12 Pág. 13 Pág. 14 Pág. 17 Pág. 18 2 II.- Introducción La programación lineal es una técnica de modelización matemática aplicado con frecuencia en los procesos de toma de decisión de numerosos ámbitos económicos y productivos, como la planificación de empresa y la ingeniería industrial. La técnica matemática conocida por programación lineal se utiliza para obtener una solución óptima a un problema condicionado por unas variables de partida sujetas a ciertas restricciones. La presente tarea, tiene como objetivo el crear modelos matemáticos de programación lineal, dándole solución a los mismo utilizando software, que en este caso es el QM, propuesto por el docente. Este tipo de trabajos son muy importantes, porque nos permiten desarrollar habilidades de análisis y búsqueda de solución haciendo uso de las herramientas computacionales de hoy en día. En el apartado de desarrollo describiremos la solución de cada uno de los problemas propuestos. Posteriormente, mencionaremos algunas conclusiones a las que hemos podido arribar con el desarrollo de esta tarea académica. Las fuentes de información que hemos podido utilizar han sido por lo general fuentes digitales, considerando la metodología virtual que estamos utilizando para el desarrollo de las actividades académicas. 3 III.- Desarrollo A continuación, presentamos la solución de los ejercicios solicitados por el docente, correspondientes a la fase 2 del documento que nos proporcionó: 3.1 Ejercicio 1 Una empresa utiliza los componentes Z1 y Z2 en la fabricación de tres productos. Las unidades requeridas de cada uno de los componentes para la fabricación de cada producto se muestran en la tabla siguiente: Producto1 Producto 2 Producto 3 Z1 5 3 2 Z2 2 4 7 Para satisfacer la demanda del mes próximo dispone de 1600 unidades de Z1 y 2000 de Z2. El costo unitario de los componentes Z1 y Z2 es de 2 y 1 soles respectivamente, y el precio unitario de venta de cada uno de los tres productos de 25, 20 y 15 soles, respectivamente. Halle el plan de producción que maximiza el beneficio teniendo en cuenta que para cubrir el punto muerto de la empresa deben fabricarse 400 unidades de los tres productos (Producto1 + Producto2 + Producto3). Planteamiento: Costo de Z1 (S/. 2) Costo de Z2 (S/. 1) Costo total Producto1 2 x 5 = 10 1x2=2 Producto 2 2x3=6 1x4=4 Producto 3 2x2=4 1x7=7 12 10 11 25 20 15 13 10 4 (Costo de Z1 + costo de Z2) Precio de venta Utilidad por unidad Precio de venta – Costo total X1 cantidad producida del Producto 1 X2 cantidad producida del Producto 2 X3 cantidad producida del Producto 3 Función Objetiva: Maximizar: 13𝑋1 + 10𝑋2 + 4𝑋3 Restricciones: 5𝑋1 + 3𝑋2 + 2𝑋3 ≤ 1600 2𝑋1 + 4𝑋2 + 7𝑋3 ≤ 2000 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 ≥ 400 Restricción de no negatividad 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ≥ 0 Solución con el software QM: Ingreso de función objetivo y restricciones: 4 Generando la solución: Lista de solución: Interpretación de resultados: La solución óptima para este ejercicio, consiste en fabricar 28.57 unidades del producto 1 y 485.71 unidades del producto 2, alcanzándose un beneficio de 5228.57 soles Sin embargo, al tratarse de cantidades decimales una propuesta sería fabricar 29 unidades del producto 1 y 485 unidades del producto 2. 3.2 Ejercicio 2 Una empresa está interesada en desarrollar un abono que contenga como mínimo 100 unidades de potasa, 25 de nitrógeno y 10 de amoníaco, para ello se dispone de los productos A y B cuyo coste en el mercado asciende a 10 y 15 soless por tonelada respectivamente. El contenido de potasa, nitrógeno y amoníaco de una tonelada de producto se muestra en la tabla siguiente: Potasa Nitrógeno Amoniaco Producto A 2,0 0,3 0,2 Producto B 1,0 0,6 0,2 5 a) Desarrolle el nuevo abono tomando en consideración que se desea que dicho abono cueste lo menos posible. b) Determine qué sucedería si deseara cinco unidades suplementarias de nitrógeno, así como el coste marginal de una unidad. c) Determine qué sucedería si deseara cuatro unidades más de nitrógeno de las cinco de la pregunta anterior. d) Un proveedor le ofrece el producto D a 14 euros tonelada, con 2 unidades de potasa, 0,4 de nitrógeno y 0,2 de amoníaco por tonelada. Justifique si conviene o no utilizar dicho producto, y evalúe el precio del nuevo abono. Planteamiento: X1 toneladas del producto A que intervienen en el abono X2 toneladas del producto B que intervienen en el abono Solución (a) Desarrolle el nuevo abono tomando en consideración que se desea que dicho abono cueste lo menos posible: Función Objetiva: Minimizar: 10𝑋1 + 15𝑋2 Restricciones: Restricción de Potasa 2𝑋1 + 𝑋2 ≥ 100 Restricción de Nitrógeno 0.3𝑋1 + 0.6𝑋2 ≥ 25 Restricción de Amoniaco 0.2𝑋1 + 0.2𝑋2 ≥ 10 Restricción de no negatividad 𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0 Solución con el software QM: Ingreso de función objetivo y restricciones: Generando la solución: 6 Lista de solución: Interpretación de resultados: La solución óptima para este ejercicio, consiste en formar el nuevo abono de 38.88 toneladas del producto A y 22.22 toneladas del producto B, siendo su costo de 722.22 soles Solución (b) Determine qué sucedería si deseara cinco unidades suplementarias de nitrógeno, así como el coste marginal de una unidad: Para 1 unidades suplementarias de nitrógeno tendríamos Función Objetiva: Minimizar: 10𝑋1 + 15𝑋2 Restricciones: Restricción de Potasa 2𝑋1 + 𝑋2 ≥ 100 Restricción de Nitrógeno 0.3𝑋1 + 0.6𝑋2 ≥ 26 Restricción de Amoniaco 0.2𝑋1 + 0.2𝑋2 ≥ 10 Restricción de no negatividad 𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0 Solución con el software QM: Ingreso de función objetivo y restricciones: 7 Generando la solución: Entonces, teniendo 744.44 – 722.22 = 22.22 soles del costo de una unidad de nitrógeno. Y en 5 unidades sería: 22.22 x 5 = 111.11 soles También podemos hacerlo usando 5 unidades suplementarias de nitrógeno tendríamos Función Objetiva: Minimizar: 10𝑋1 + 15𝑋2 Restricciones: Restricción de Potasa 2𝑋1 + 𝑋2 ≥ 100 Restricción de Nitrógeno 0.3𝑋1 + 0.6𝑋2 ≥ 30 Restricción de Amoniaco 0.2𝑋1 + 0.2𝑋2 ≥ 10 Restricción de no negatividad 𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0 Solución con el software QM: Ingreso de función objetivo y restricciones: 8 Generando la solución: La lista de soluciones es: Como vemos ahora tendríamos 833.33 – 722.22 = 111.11 soles Interpretación de resultados: La solución óptima para este ejercicio que adiciona 5 unidades suplementarias de nitrógeno, consiste en formar el nuevo abono de 33.33 toneladas del producto A (5.55 menos que la anterior) y 33.33 toneladas del producto B, siendo su costo de 833.33 soles Solución (c) Determine qué sucedería si deseara cuatro unidades más de nitrógeno de las cinco de la pregunta anterior.: Función Objetiva: Minimizar: 10𝑋1 + 15𝑋2 Restricciones: Restricción de Potasa 2𝑋1 + 𝑋2 ≥ 100 Restricción de Nitrógeno 0.3𝑋1 + 0.6𝑋2 ≥ 34 Restricción de Amoniaco 0.2𝑋1 + 0.2𝑋2 ≥ 10 Restricción de no negatividad 𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0 Solución con el software QM: Ingreso de función objetivo y restricciones: 9 Generando la solución: Lista de solución: Interpretación de resultados: La solución óptima para 34 unidades de nitrógeno, consiste en formar el nuevo abono de 28.89 toneladas del producto A y 42.22 toneladas del producto B, siendo su costo de 922.22 soles; es decir 200 soles más que el anterior. Solución (d) Un proveedor le ofrece el producto D a 14 euros tonelada, con 2 unidades de potasa, 0,6 de nitrógeno y 0,2 de amoníaco por tonelada. Justifique si conviene o no utilizar dicho producto, y evalúe el precio del nuevo abono: X3 toneladas del producto D que intervienen en el abono Función Objetiva: Minimizar: 10𝑋1 + 15𝑋2 + 14𝑋3 Restricciones: 10 Restricción de Potasa Restricción de Nitrógeno Restricción de Amoniaco 2𝑋1 + 𝑋2 + 2𝑋3 ≥ 100 0.3𝑋1 + 0.6𝑋2 + 0.4𝑋3 ≥ 25 0.2𝑋1 + 0.2𝑋2 + 0.2𝑋3 ≥ 10 Restricción de no negatividad 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ≥ 0 Solución con el software QM: Ingreso de función objetivo y restricciones: Generando la solución: Lista de solución: Interpretación de resultados: La solución óptima para este ejercicio, consiste en formar el nuevo abono de 16.67 toneladas del producto A y 33.33 toneladas del producto D, siendo su costo de 633.33 soles 11 3.3 Ejercicio 3 En un almacén de frutas hay 800 kg de naranjas, 800 kg de manzanas y 500 kg de plátanos. Para su venta se hacen dos lotes (A y B). El lote A contiene 1 kg de naranjas, 2 kg de manzanas y 1 kg de plátanos; el lote B se compone de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de plátanos. El beneficio por kilogramo que se obtiene con el lote A es de 1200 u.m. y con el lote B de 1400 u.m. Determinar el número de kilogramo de cada tipo para conseguir beneficios máximos. Plantear y resolver el anterior problema como un modelo de programación lineal. Planteamiento: X1 número de lotes del tipo A X2 número de lotes del tipo B Función Objetiva: Maximizar: 1200𝑋1 + 1400𝑋2 Restricciones: 𝑋1 + 2𝑋2 ≤ 800 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 800 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 500 Restricción de no negatividad 𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0 Solución con el software QM: Ingreso de función objetivo y restricciones: Generando la solución: 12 Lista de solución: Interpretación de resultados: El máximo beneficio se obtiene formando 200 lotes del tipo A y 300 lotes del tipo B, obteniéndose un beneficio de 660000 um 3.4 Ejercicio 4 Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. Planteamiento: Mayorista A Mayorista B 8 1 2 150 2 1 7 300 Naranjas Plátanos Manzanas Distancia (km) Necesidades mínimas 16 cajas 5 cajas 20 cajas X1 número de contenedores del mayorista A X2 número de contenedores del mayorista B Función Objetiva: Minimizar: 150𝑋1 + 300𝑋2 Restricciones: 8𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 16 𝑋1 + 𝑋2 ≥ 5 2𝑋1 + 7𝑋2 ≥ 20 Restricción de no negatividad 𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0 13 Solución con el software QM: Ingreso de función objetivo y restricciones: Generando la solución: Lista de solución: Interpretación de resultados: Por tanto, el frutero solicitará 3 contenedores del mayorista A y 2 contenedores del mayorista B. 3.5 Ejercicio 5 Una compañía tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. Esta compañía 14 necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 500 u.m. y los de la mina B a 750 u.m. ¿Cuántos días deberán trabajar en cada mina para que la función de coste sea mínima? Plantear y resolver el anterior problema como un modelo de programación lineal. Planteamiento: Necesidades Mina A Mina B mínimas Alta 1 2 70 TM Media 2 2 130 TM Baja 4 2 150 TM Costo diario ($) 500 750 X1 número de días trabajados en la mina A X2 número de días trabajados en la mina B Función Objetiva: Minimizar: 500𝑋1 + 750𝑋2 Restricciones: 𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 70 2𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 130 4𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 150 Restricción de no negatividad 𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0 Solución con el software QM: Ingreso de función objetivo y restricciones: Generando la solución: 15 Lista de solución: Interpretación de resultados: Por tanto, la compañía debe trabajar 60 días en la mina A y 5 días en la mina B para que el costo sea mínimo, que asciende a $ 33750. 16 IV.- Conclusión Con la presente tarea hemos podido arribar a las siguientes conclusiones: Es posible utilizar los modelos matemáticos para dar solución a problemas de tipo empresarial e industrial para maximizar beneficios o minimizar costos o tiempos. La etapa más importante, es el planteamiento de los modelos ya que estos nos permitirán reconocer las variables de estudios, definir la función objetivo y las restricciones operacionales de dicho modelo. El uso de software de modelamiento matemático, como es el caso del QM, nos facilita bastante en la búsqueda de las soluciones de dichos modelos, ahorrándonos tiempo y teniendo la seguridad de que sus resultados sean válidos. El software QM es más amigable y de fácil uso que la herramienta Solver del Excel, ya que nos permite introducir los coeficientes de manera rápida y entendible. Así como la generación de sus resultados. 17 V.- Referencias y/o bibliografía Programación Lineal https://www.hiru.eus/es/matematicas/programacionlineal#:~:text=Conceptos%20de%20programaci%C3%B3n%20lineal,partida%20sujeta s%20a%20ciertas%20restricciones.&text=Las%20restricciones%20que%20se%20imp onen%2C%20expresadas%20por%20inecuaciones%20lineales. Programación lineal: para qué sirve, modelos, restricciones, aplicaciones https://www.lifeder.com/programacion-lineal/ Programación Lineal http://grupo-proglineal.blogspot.com/2011/06/que-esprogramacion-lineal.html 18
