CEPREUNAC 2007 Álgebra Semana 4

SEMANA 4
RESOLUCIÓN
DIVISIBILIDAD
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN I
1.
En la base a la identidad:
x
2


 y2  z2 x2  y2  z2  mx 2yz 
x  y  zq'x,y,z
¿Cuál
será
aquel
polinomio
cuadrático de coeficiente principal
4, capaz de ser divisible por
2x  1 y que al ser evaluado en
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando:
(1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0
-8=2mm=-4
RPTA.: E
(2) toma el valor de 5?
A) 4x2  4x  3
B) 4x2  4x  3
C) 4x2  4x  3
D) 4x2  4x  2
3.
E) 4x2  4x  2
Busque la relación que debe
existir entre “p” y“q” a fin de que
el polinomio:
P x  x3  3px  2q
Resulte ser divisible por x  a
2
RESOLUCIÓN
Sea este Polinomio
Px  4x2  ax  b :
Por condición:
4x2  ax  b  2x  1 .q' x 
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5
2a+b =  11 .........................(2)
: 5b=-15b=-3
x
2
 y2  z2
 x
2
de
“m”
-a
2a2
2
1 -2a 3a  3P
R1  0
R1  0
 
3
3a3  2q  a3  0  a3  q
a    q
3 2
el
2
Conclusión: P3  q2.

C) 1
-a
 P3
Reemplazando en: R1  0 
 y2  z2  mx2 yz
B) 2
E) -4
 a2  3ap
-a a2
1 -a (a2  3p) 3ap  2q  a3
a2  P  a2
RPTA.: A
es divisible por (x+y+z)?
A) 4
D) -8
-a
Si: 3a  3P  0
RPTA.: C
valor
2q
0 -3P
2
En (2) :2a=-8a=-4
Conclusión: P x  4x2  4x  3
¿Para qué
polinomio:
E) P  q2
1
Además:
4x2  ax  b  (x  2)q'' x  5
2.
D) P.q  1
C) P  q
Aplicando dos veces ruffini bajo el
principio de divisibilidad.
2
De: 2(1)+(2)
B) P 2  q3
RESOLUCIÓN
 1 
 1 
4
 a

b  0
 2 
 2 
-a+2b=-2.............................(1)

A) P 3  q2
4.
Determine “abc” sabiendo que el
polinomio :
Px  a  c  (b  c)x  a  bx  6x  2x
es divisible por x  3 x 2  1
2
3

A) -2
D) -1360
RESOLUCIÓN
Al ser divisible indistintamente lo
será también por el producto es
decir:
4

B) -34
E) 2720
Px   (x  a)(x  b)(x  c) q(x)
C) 40
x3  6x2  11x  6 3er grado
RESOLUCIÓN
Por Teorema de divisibilidad
x3  6x2  11x  6 
x3  a  b  cx2  ab  bc  cax  abc
Px   x  1q'x   R1  0
Px   x  1q' 'x   R2  0
Px   x  3q' ' 'x   R3  0
De donde:
a+b +c =6
ab +bc + cd= 11
abc= 6
Empleando Ruffini ( tres veces)
-2
1
-2
(a+b)
(b+c)
-2
-8
a+b-8
+2
-1
1
3
-6
-8
-6
(c+a)
a+2b+c-8
Se pide:
(a+b-8) (a+2b+c-81) 2(a+b+c-4)
6
-a-b+2
R1
(a+b-2)
b+c-6
-6
-2 -12
P x 
1
1
 1
x



ab
bc
ca


R2
-36
Uno
(monico)

P x 
c  ab
x

 abc 

P x 
x 1
Evaluando en x=1: R  P1  0
a+b-38
RPTA.: A
R3
6.
Si: a+b+c-4=0a+b+c=4
b+c-6=0 b+c=6
a+b-38=0a+b=38
en (1) c=-34
en (2) b=40
Luego: abc=2720.
a
35
RPTA.: E
5.
¿Cuál será aquella división notable
que
genere
al
cociente
Si el Polinomio:

 a30  a25  ...  a5  1 .
A)
a36  1
a1
C)
a40  1
a5  1
B)
a40  1
a5  1
Px   x3  6x 2  11x  6;es
RESOLUCIÓN
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c)
indistintamente.
Por principio teórico de signo y
variación de exponente de 5 en 5,
es la B.
RPTA.: B
¿Cuál será el residuo de:
Px 
1
xa b
1
1
b c
A) 0
C) ab + bc + ca
D) ab + cb + ca
1
1
c a
B)1
D) 1
1
?
7.
Encuentre
10
9

el
valor
 1  999
A) 1000001
C) 1001001
E) 1
B) 1010101
D) 0
de:
RESOLUCIÓN
T10  x10
Acondicionando el divisor:
 
3 3
   10 
109  1
10  1

 103
3
3
10  1
10  1
2
3 1
x10 .x50 .x100  x236
T50  x50
1
T100  x100 x3160  x236
De donde:
 1001001
RPTA.: C
3  160  236
3  396
  132
Luego: # términos=132+1=133
8.
división
x 30  y m
; consta de 10
xn  y2
términos.
Determine el valor de: mn
A) 60
D) 600
C) 320
B) 8000
E) 8
Por condición:
30 m

 10
n
2
A) x 2y9
B) x6 y324
C) x36 y360
D) 0
314
Si la división indicada es notable,
debe cumplir que:
P 432

3
P
2
P  3.432
n=3
m=20
Se desea conocer de cuántos
términos
está
constituido
el

x 1
sabiendo que
x 1
T10 T50 T100   x236
cociente de :
B) 133
E) 131
C) 132
RESOLUCIÓN
P2  3.33.24  P  32.22  36
Luego:
   y 
   y 
x3
x36  y432

x3  y36
x3
12
1
36
12

1
antepenúltimo
 
Tk
36
T1  T2  ...  T10  T11  T12
Tantep  T10  x3
x  1
 x1  x2  x3  ...xk  ...  1
x 1
T3
genera
un
cociente
notable.
Averigüe al término antepenúltimo
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
T2
x P  y 432
x3  yP
Si la división indicada:
E) x y
Luego: 20³ = 8000
A) 396
D) 236
10.
6
RESOLUCIÓN
9.
RPTA.: B
Sabiendo que el cociente de la
1210
y 
36
101
 x6 y324
RPTA.: B
11.
Después de dividir el cociente de
RESOLUCIÓN
x6n1  1
; n  N . Entre x  1; se
x 1
Asociando:
Qa,b   1  b  c  bc  a1  b  c  bc
obtiene un nuevo cociente que al
ser
dividido
por
x
2

Extrayendo factor común
 x 1
Qa,b   1  b  c  bc1  a
obtendremos como residuo.
A) 0
D) x-1
B) -x
E) 1
Qa,b   1  b  c1  b1  a
Qa,b  1  c  1  b 1  a
C) x+1
Constante
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
Efectuando la división notable
13.
x6n  1
 x6n1  x6n2  x6n3  x2  x  1
x 1
Luego en:
x6n1  x6n2  x6n3  ...  x2  x  1
x 1
Aplicando Ruffini
Px   Xn2  xn  x3  x 2  x  1;n  N.
A) 1
D) n
1
-1
-1
1
0
B) 2
C) 3
E) ninguno
RESOLUCIÓN
Existen “6n” términos
1
¿Cuántos
factores
primos
binómicos admite el polinomio;
Asociando de 2 en 2:
Px   xn.x 2  xn  x3  x 2  x  1
1 ... 1 1 1
0 -1
-1
1 0 ... 0 1 0
Px  xn (x2  1)  x(x2  1)  (x2  1)
…
…......
….....


Px   (x2  1) xn  x  1

Existen “6n-1” términos
RPTA.: B
qx  x6n2  x6n4  x6n6  ...  x4  x2  1
Finalmente en:

2
14.

q x  x  x  1
Según el teorema del residuo
Si: x2  x  1   x  
Que al evaluarlo en este valor
R  q     2  1  0
RPTA.: A
Factor Primo de:
Q a,b   1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc
será:
A) 1+c
D) 1+bc
Uno de los divisores de:
a2  b2  c2  d2  2ad  bc Será:
A) a-b+c-d
C) a-b-c + d
E) a-b-c-d
Asociando convenientemente
a2  b2  c2  d2  2ad  2bc a =
a
2
 
C) 1+ab

 2ad  d2  b2  2bc  c2 =
a  d  b  c  
a  d  b  c  a  d  b  c
2
B) 1+b
E) 1+abc
B) a+b-c+d
D) a+b+c-d
RESOLUCIÓN
Cero
12.

Px  (x  1)(x  1) xn  x  1
2
RPTA.: A
15.
¿Cuál será el divisor trinomio del
polinomio en variables: m,n,p.
m3 n  P   n3 P  m  P3 m  n ?
Extrayendo el factor común
M  x, y    x  y  1  x2  xy  y2  x  y  1 
A) m-n-P
C) m-n+P
E) mn+nP+Pn
17.
B) m+n-P
D) m+n+P
RPTA.: C

en
el
n  P…......
n  Pn
n  P …......
 np  P
E) a2  b2  ab  3a  b  9
2
RESOLUCIÓN

R a  a3  b3   3  3ab 3
3
(n-P) m3  n2P  nP2  mn²  mnP  mP2  
(n-P) mm2  n2   nPm  n  P2 m  n 
(m+n)(m-n)

(n  P) m  n m2  mn  nP  P2 
 m  Pm… P)  n(m… P 
(n  P)m  n
(n  P)m  nm  Pm  n  P
RPTA.: D
16.
Corresponde
a
la
identidad
Gaussiana, que proviene de:

2

3

 a  b  c a  b  9  ab  3a  b
RPTA.: D
18.
2
2
Cuántos divisores
Polinomio:
El Polinomio:
Mx, y  x  y  3xy1  x  y  1

 a  b   3 a2  b2   3  ab  a 3   3b


de:
D) a2  b2  ab  3a  b  9

2
racional
3
A) a+b+3
B) a-b+3
C) ab-3(a+b)
m3 n  P  nP n2  p2  m(n3  p3) 
…......
primo
R a  a  b  9ab  27 ; será:
m3 n  P  n3P  n3m  P3m  P3n 
Asociando:
factor
3
RESOLUCIÓN
Mediante la distribución
segundo y tercer término:
Un

admitirá
el

Px;y   a2bx4  b3  a3 x2y4  ab2y8
Será divisible por:
A) x  xy  y  x  y  1
2
2
B) x2  xy  y2  x  y  1
C) x 2  xy  y 2  x  y  1
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
Mx, y  x  y  1  3xyx  y  1
A) 8
D) 4
B) 7
E) 3
C) 15
RESOLUCIÓN
Empleando el aspa simple:


Px,y   a2bx4  b3  a3 x2.y4  ab2y8
a2x2
 b2y4
bx2
ay4
3
Diferencia de cubos
2
M  x, y    x  y  1   x  y    x  y   1 


-3xy(x+y-1)


Px,y   a2x2  b2y4 bx2  ay4




Px,y   ax  by2 ax  by2 bx2  ay4

Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: A
19.
Halle la suma de los elementos de
aquellos Polinomios irreductibles
que se desprenden de:



Qx, y,z   z4  2 x2y2 z2  x2  y2
A) 4x
D) 2(x-y)
B) 4y
E) 2(x+y)

2
C) 4z
RESOLUCIÓN
Mediante un aspa simple



Q  z4  2 x2  y2 z2  x2  y2
2
2
z2
 x  y 
2
z2

 x  y 


Q  z2  x  y z2  x  y
2
2

Qx,y,z   z  x  yz  x  yz  x  yz  x  y
Sumando estos elementos =4z
RPTA.: C
20.
Un divisor del Polinomio:
Px,y  2x 2x  7y   3y(5y  12)  48x
será:
A) 3x-4y
D) 2x-3x
B) 4x-3y
C)2x-3y
E) 2x-5y+12
RESOLUCIÓN
Buscando la forma de un aspa
doble:
Px,y   8x2  14xy  15y2  48x  36y  0
4x
2x
-3y
5y
0
12
Px,y   4x  3y2x  5y  12
RPTA.: B