CEPREUNAC 2007 Álgebra Semana 3

SEMANA 3
RESOLUCIÓN
PRODUCTOS NOTABLES
2
1.
2
x
y
Si

 3x  y , halle
y
x
4
8
mn  0  m  n
8
mp  0  m  p
8
pm  0 p  m
x
y 
W   x  y  x  0, y  0
x 
y

w=1
A) 16
B) 23
4.
Si:
D)  24
E) 161 / 2
y
x
C) 42
RPTA.: B
4
x3  y3  3xyx  y
A) 161
D) 16
x  y3  3xyx  y  3xyx  y
x  y3  0
4
x
 x

x  y  W   xx  xx   16
x 
x

3.
Si
Halle W 
3
 36 xyz
3
6
3
6
6
2
3
xy  xz  yz 
=
=
=
=
=
1
3
7
343
322
xyz
93 xyz  x  y  z
2
4


 3



9
xyz

x

y

z

  24  16
W
 93 xyz  x  y  z  


2


RPTA.: D
5.
Si
x bca
y  c  ab
2p
m n 1
m4m  p2n  1
z  abc
m, np  R 
Halle:
A) mnp
B)1
C) mnp
D) m  n  p
E) 21
6
2
C) 343
m  n  8 m  p  8 p  m  0,
4n
x 6y
6
RPTA.: D
8
3
6
   z 
x  3 xy  z   y   z
 x  y  z   3 xyz 
x  y  z  2 xy  xy  yz   9
RESOLUCIÓN

3
6
Si a  a1  1 , halle W  a12  a12
a²  2 + a2
a² + a2
a4 + a4
12
12
a + a + 3(7)
a12 + a12
C) 18
 x   y   z
6
B)306
E)196
B) 32
E) 8
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
A)256
D)322
x  6 y  6 z  0, halle
 93 xyz  x  y  z 
 , x, y, z  R  0
W
 xy  xz  yz 


RESOLUCIÓN
2.
6
W
x2yz  xy2z  xyz2
b  c  ac  a  ba  b  ca  b  c
A)
x
y
B) b  c  a
C) 2y  z
D)
1
abc
x2  2xy  y2  5xy
x  y2  5xy
x  y4  25x2y2
E) 1
RESOLUCIÓN
W
xyzx  y  z
1
xyza  b  c 

RPTA.:B
8.
RPTA.: E


W


Simplificar:
W
32
2
Simplificar:
5
4
8  2 1 
4
8 
4
8
2 1
A) 343
B) 4 2
D) 8 2
E) 32
25x²y²  3x²y²
4x²y²

x+y+z=a+b+c
6.
w

f2 
24 8  2
4
24 8 
4
8
2 1

 

B)2
E)1
2  12  1  2
2
22
2
2N3
N

2
1
4




 1 24  1
2
8
2
3
22  22  28
N  1  22  1 22  1
n
8
N 2

1
D 28
f 2f  2

1
.
.
.
5
 W 2
W4 2
2256  1
RPTA.: B
7.
Si xy

1
 22
2
1

C)4
D
.
.
.
2 1
2 1

D  2  12  1  22  1
8  2 1
8

RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
f2 

1  2  1 22  1 24  1 28  1 ...n fact
A) 0,5
D) 0,25

2 1 



C) 32 2
n3
1  3 22  1 24  1 28  1 ... 2128  1
N  32 2256  28
1
 3  x y, halle
RPTA.: E
 x  y 4  3x2y2 

W
2 2


4
x
y


A)11
D)4
B)7
E)8
RESOLUCIÓN
x y
 3
y x
x2  y2  3xy
9.
1
2 7 3
2 7
 1
3 3
3 3
Operar: W 
3
A)1
B)2
D) 2 7
E)  2 3
C)-6
C)3
RESOLUCIÓN
W3  1 
RESOLUCIÓN
2 7
2 7
28
W
1
 33 1 
27
3 3
3 3
1
W  2  33 
W
27
W3  2  W
W3  W  2  W  1
3
RPTA.: A
10.
Si ab
1
 ac  bc
Halle: W 
1
1
x
z


1  a   a  y  1  a   a  x  y  z




a  xa  ya  z  a2 a  x  y  z
a3  a2 x  y  z  axy  xz  yz  xyz 
a3  a2 x  y  z
axy  xz  yz  xyz
xy  xz  yz
1

xyz
a
1 1 1
   a1
z y x
x1  y1  z1  a1
 1 ,
a  1b  1c  1 ,
a  1b  1c  1
RPTA.: C
 a, b, c  0
A)1
D)
1
abc
B)-1
C)2
12.
Simplificar:
2
E) 21
x
1024
 
2
a  b  c  abc
RESOLUCIÓN
W=
a  b  c  abc  0
Si 1  a1xa  y1  a1z  a  x  y  z ,
Halle: x1  y1  z1,  x, y,z  0
A)a
B) a1
D) a2
E)1
C)  a1

2
2
2
C) 211
 x  1 ²  x  1 ²  x²  1 ²  x4  1 ²...
1024
RPTA.:B

B) 0
E) 4096
x
ab  bc  ac  1
 1
W=
  ab  bc  ac  1

2
 1  1  x2048
A)1
D)-2
abc  ac  bc  c  ab  a  b  1
W
 1
abc  ac  bc  c  ab  a  b  1
11.
2
RESOLUCIÓN
1
1
1


 1
ab ac bc


W  x  1 x  1 x2  1 x4  1 ...



 1 ²  1  x2048 ²  2


W =  x²  1 ²  x²  1 ² x4  1 ²...
x
1024




 1 ²  1  x2048 ²  2
 

W = x4  1 ² x4  1 ²...
x
1024




 1 ²  1  x2048 ²  2
 

W = x8  1 ² x8  1 ²....
x
1024
W=
x
2048



 1 ²  1  x2048 ²  2



 1 ²  x2048  1 ²  2
W = 2
RPTA.: D
13.
Si n  a  b  c  4ab  bc  ac
4
a
2
2
Si a1  b 1  c 1  0;a, b  c  0,
15.
Halle:

2
 b  c  ab  ac  bc
y:
E
a 2  b2  c2  8
Halle:
A) 2 2
D)4
E)8
A)  4abc
D)2
C)2
b2c2  a2c2  a2b2  2abc2  2ab2c  2a2bc  0
b2c2  a2c2  a2b2  2abcc  b  a... ()
n  x  2y  4yx  y
n  x2  4xy  4y2  4xy  4y2
2

n  a2  b2  c2
a
2
Además:
a

2
2
 b2  c


D)
B)2
1
16
E) 16
C)

1
4


a  b  c   a  b  c  2 2abcc  b  a
a  b  c   a  b  c  4abca  b  c
8
RPTA.: E
Operar:
3
3
2
W  a  b  c  a  b  c  6b a  c  b2
Si: b = 0,5

 b2  c2  a4  b4  c4  2 a2b2  a2c2  b2c2 ...(  )
()  β 
2 2
A)1
C)1
1 1 1
  0
a b c
bc  ac  ab2  02
a2  b2  c2  x
ab  bc  ac  y
n  x²
B)4abc
E)abc
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
14.
a  b  c4
n, a  b  c
2
B)
2
n
a4  b 4  c 4  4abca  b  c
2
2

2 2
2
2 2
2
3
4
4
4
a
2
a
a
2
4
 b2  c 2

2

 b2  c2  2ab  2ac  2bc
2
a
4
4
2

Ε
4
 b2  c 2

2
2

 b2  c2  2ab  ac  bc
2
1
0
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
a+c=n

W  n  b  n  b  6b n2  b2
3
3

W  n3  3n2b  3nb2  b3  n3  3n2b  3nb2  b3


16.
¿Cuál es el intervalo de valores de
“”, de modo que la ecuación
2x2  2(1) x  8  0,
raíces de distinto signo?
 6bn2  6b3
W  8b3
3
1
W  8   1
2
A)
RPTA.: A
1
,
2
C)  ;2
E)
8;
B)  2;
D)  6;2
tenga
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
 2  1 
x2  
x  4  0    0
 2 
x2 
ax2  2ax  a  bx  b  c  0
2
 2  1 

  16  0 , como c<0, se
 2 
ax2  2a  bx  a  b  c  0
 2a  b 
a  b  c
x2  
x  
 0
a
 a 


2a  b
S
a
b  b

B  A    2        2
a  a

RPTA.: A
presentan 2 posibilidades:
2  1
1
 0  2  1  0   
2
2
2  1
1
ii) b  0  
 0  2a  1  0   
2
2
i) b  0  
En este caso una respuesta seria
1
1
x  ;

;
2
2
RPTA.:A
17.
Los valores de “x” que satisfacen
la ecuación:
2x  13  x  3  x  6
tiene la propiedad que su suma
es:
A)-14
D)-2
B)-7
E)7
x= -7No cumple
x=-2 Si cumple
(-2)
satisface
la
RPTA.: D
18.
Sea A la suma de las raíces de
ax2  bx  c  0 y B la suma de las
raíces a
x  12  bx  1  c  0 ,
entonces B-A es:
A)-2
D)1
B)-1
E)2
En la ecuación cuadrática:
ax2  bx  c  0 afirmamos:
I. Si la suma de sus raíces es igual
a
su
producto,
entonces
b+c=0.
II. Si una raíz es la negativa de la
otra, entonces b=0.
III. Si una raíz es doble de la otra,
entonces 2b2  9ac
2x  13  x  3  2 x  3x  6  x  6
Únicamente
ecuación.
19.
C)-9
RESOLUCIÓN
4  2 x2  9x  18
4  x2  9x  18
0  x2  9x  14
0  x  7x  2
b
c
b
x 0S  
a
a
a
A) Las
3
afirmaciones
son
verdaderas.
B) Solo I y II son verdaderas.
C) Solo I y III son verdaderas.
D) Solo II y III son verdaderas.
E) Solo II es verdadera.
RESOLUCIÓN
S
b
c
; P
a
a
I. x1  x2  x1.x2

b c
 bc 0
a a
(V)
II. x1  x2, pero x1  x 2  
 x2  x2  
C)0
0
b
a
b
a
0  b (V)
b
a
RESOLUCIÓN
b
a
b
2x 2  x2  
a
b
3x 2  
a
2 m1 3n


3
3n
m2
III. x1  2x2  x1  x2  
x2  
x2 
2
x 22 
 13  3n 
6n  3 
3
2


b
3a
 b
 

 3a 
2
b2
...........................(1)
9a2
Luego: x1.x 2 
x 22 
2m  4  9  3n  6n  3m  3
13  3n
m
2
c
a
2x2 x2 
c
a
2x 22 
c
a
RPTA. C
c
...........................(2)
2a
De (1) y (2)
b²
c

9a² 2a
2b² = 9ac
RPTA.: A
20.
Si las ecuaciones cuadráticas:
2x2  m  1x  3  n  0
3x2  3nx  m  2  0
Son equivalentes, para
m  n  R, calcule n.
23
5
11
D)
9
A)
B)15
E) 9
39  9n
3
2
12n  39  9n  6
15
n
7
6n 
C)
15
7