Separación de variables

Ecuaciones Diferenciales
Prof. Eduardo García V.
UNIDAD II
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden, Métodos de solución.
M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0
Método de Separación de variables.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden puede escribirse en la forma:
M ( x)dx + N ( y)dy = 0
se llama ecuación diferencial en variables separadas.
Observación: una ecuación de la forma:
f1 ( x) g1 ( y)dx - f 2 ( x) g2 ( y)dy = 0
puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor f 2 ( x) g1 ( y)
f 1 ( x)
g ( y)
dx - 2
dy = 0
f 2 ( x)
g1 ( y )
y al integrar obtenemos la solución
f 1 ( x)
g ( y)
dx = ò 2
dy
(
x
)
g
(
y
)
2
1
òf
Tenga presente que al dividir por el factor f 2 ( x) g1 ( y)puede perder soluciones que anulan este factor, las
cuales pueden ser soluciones singulares.
Ejemplo:
dy
3x + xy 2
=dx
2y + x2 y
factorizando
dy
x(3 + y 2 )
=dx
y (2 + x 2 )
separando variables
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Ecuaciones Diferenciales
Prof. Eduardo García V.
ydy
xdx
=2
(3 + y )
(2 + x 2 )
ydy
xdx
+
=0
2
(3 + y ) (2 + x 2 )
integrando
ln (3 + y 2 ) + ln (2 + x 2 ) = c
aplicando propiedades de logaritmos:
[
]
ln (3 + y 2 ) (2 + x 2 ) = c
Simplificando con la exponencial
e ln [(3+ y
2
) ( 2+ x 2 )
] = ec
(3 + y 2 ) (2 + x 2 ) = k
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de separación de variables.
a)
c)
!"
!#
!"
!#
!"
= 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
b) 𝑒 # !# = 2𝑥
= (𝑥 + 1)$
d)
!"
e) (𝑥 + 1) !# = 𝑥 + 6
f)
!"
!#
!#
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