MATEMÁTICA I Equipo Docente EJERCICIOS DE REPASO DE FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA BÁSICA TEMA: TEORIA DE EXPONENTES 1. Calcular 𝟐𝐧+𝟏 𝐧 𝐄 = √ 𝐧+𝟐 √𝟒√𝟒𝐧 Solución: Trabajando con el denominador: n+2 √4√4n = n+2 n √41+2 = n+2 2 n+2 √(22 ) n+2 √4. 4n⁄2 n+2 √4n+2 2 = n+2 n+2 √2n+2 = 2n+2 = 2 Reemplazando, descomponiendo y simplificando: n E= √ n 2n . 21 n n = √2 = 2n = 2 2 Rpta: 2 2. Calcula el valor de: 𝟐𝐱+𝟒 + 𝟑𝟔(𝟐𝐱−𝟐 ) 𝐄 = 𝐱+𝟓 𝟐 − 𝟐(𝟐𝐱+𝟑 ) − 𝟒(𝟐𝐱+𝟏 ) − 𝟔(𝟐𝐱−𝟏 ) Solución: E= 2x . 24 + 36 ( 2x ) 22 2x 2x . 25 − 2(2x . 23 ) − 4(2x . 21 ) − 6 ( 2 ) MATEMÁTICA I Equipo Docente 2x . 24 + 2x . 9 E= x 5 2 . 2 − 2x . 24 − 2x . 23 − 2x . 3 2x (24 + 9) E= x 5 2 (2 − 24 − 23 − 3) 24 + 9 16 + 9 25 E= 5 = = 2 − 24 − 23 − 3 32 − 16 − 8 − 3 5 Rpta: 5 3. Calcular C: 3 x 1 7 y 1 3 x x y C y ; si 3 7 7 7 . 3x 3 . 7 y Solución: Hallando el valor de C: 3x.31 7 y.71 3x 7 y.31 7 y.71 7 y 7 y (31 71 1) C y 7 7 . 3x 3 . 7 y 7 y 7 . 7 y 3 . 7 y 7 y (1 7 3) (3) 1 (3) C 1 C 4. Hallando el valor de E: E 20 220 320 320 2 20 Solución: E 20 2 20 3 20 1 1 20 20 3 2 E 20 2 20 3 20 2 20 3 20 3 20.2 20 MATEMÁTICA I Equipo Docente E 20 2 20 3 20 1 20 2 3 20 3 20.2 20 E 3 20.2 20 20 E 20 E 20 2 20 3 20 3 20.2 20 2 20 3 20 E 3.2 320. 20 2 20 E6 5. Hallando el valor de T + A: T 36 . 102 . 27 A 27 64 . 5 2 9 4 1 Solución: Descomponiendo cada uno de los números en el producto de sus factores primo: (32.22 )(22.52 ).33 35.24.52 T 4 4 3.5 15 4 (2.3) .5 2 .3 .5 T 15 A 279 1 42 1 4 2 279 1 2 1 3 279 27 3 T A 15 3 18 6. Simplifique: 2n 3 2n 2 2n 1 E 2n 2 Solución: 2n.23 2n.22 2n.21 2n (23 22 21 ) E 2n.22 2n.22 MATEMÁTICA I Equipo Docente E 10 10 5 22 4 2 7. Efectúe: M x2 . x 4 . x6 . x8 . x10 x . x3 . x 5 . x 7 . x 9 Solución: Aplicando la ley de producto de bases iguales y cociente de bases iguales tenemos: x 2 4 6 810 x30 M 1357 9 25 x5 x x M x5 8. Simplifique: 1 1 A 3 3 1 1 1 2 2 1 ( 1)2003 Solución: Resuelve aplicando la ley de exponente negativo: 1 A 3 A 30 3 1 2 2 3 (1) 3 2 2 9. Calcule: 5 36 L 5 4 . 530 . 29 4 25 Solución: Resolviendo tenemos: 1 27 4 1 MATEMÁTICA I Equipo Docente 5 36 34 L 5 . 29 4 2 5 . 29 4 534 534 (29 4 ) 5 L 534 (52 ) 536 34 10. Si: 3 x y = 7 ; reduce: C 3x 1 7 y 1 3x 7 y 7 . 3x 3 . 7 y Solución: 3x.31 7 y.71 3x 7 y.31 7 y.71 7 y 7 y (31 71 1) C y y 7 7 . 3x 3 . 7 y 7 y 7 . 7 y 3 . 7 y 7 (1 7 3) (3) 1 (3) C 1 C 11. Reduce la expresión: E 27 31 36 21 4 3 1 22 Solución: E 27 1 3 36 1 2 1 1 3 2 2 4 E 1 1 3 1 3 6 4 4 E 12 1 1 12 1 3 1 2 1 1 3 1 27 36 4 4 1x4 1x2 2x3 3x4 6x2 4x3 4 2 6 12 12 12 MATEMÁTICA I Equipo Docente 12. Calcule el valor de: A 4 x 3 4 x 2 4 x 1 22x 1 22x 2 22x 3 Solución: 22 x 6 22 x 4 22 x 2 22 x.26 22 x.24 22 x.22 A 2 x 1 2 x 2 2 x 3 22 x 22 x 22 x 2 2 2 2 3 2 2 2 22 x (26 24 22 ) (64 16 4) (84) A 1 1 4 2 1 7 2x 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 4 8 8 8 A 96 13. Si: n m 2 = 3 ; reduce la expresión: L 52 . 2n 2n 1 32 . 2n 3m 3 22 . 3m 1 Solución: 52 . 2n 2n.2 32 . 2n 2n (52 2 32 ) 2n (25 2 9) (25 2 9) 18 6 L m 3 n 3m.33 22 . 3m.3 3 .(3 22 .3) 2 .(27 12) (27 12) 15 5 14. Calcule el valor de: P 2 a 2 . 4 a 2b 8 a 2 . 16 b 2 Solución: 2 a 2 . 4 a 2b 2 a.2 2 . 2 2 a.2 4b 23a.2 2. 2 4b 23a.2 2. 2 4b P a 2 3a 3a 3a 4b 2 1 2 2 8 . 16b 2 2 . 2 .2 4b 8 4b 8 . 2 . 2 . 2 . 2 26 26 MATEMÁTICA I Equipo Docente 15. Calcule el valor de: S ( x2 3 4 5 x3 x 4 ) (3 5 4 x) Solución: Sx ( 2.4 3).5 4 60 x 1 60 59 60 x .x 1 60 x 60 60 x 16. Efectúe: 48 radicales 8 F 8 x . x .......... 8 8 x . x 3 3 3 x . x .......... x x 10 xx. 96 radicales Solución: F 10 8 x 48 ( x .3 x )96 x 48 8 12 13 10 x .x 48 x6 10 x 5 .48 6 x6 x 5.8 10 x6 4 x 2 17. Calcule el valor de: 2n2 1 n2 2 5 45 ( 25 ) T n 2n2 1 50 Solución: 52 n .5 45.52 n 2 T n 2 2 2 n2 1 (5 ) .2 2 2 n2 1 52 n (5 45) 2 n 2 2 2 n2 (5 ) 2 2 n2 .5 .2 .2 2 n 2 52 n (50) 2 2 n2 (5 ) 2 n2 .2 .50 n 2 52 n 2 2 54 n .22 n 2 MATEMÁTICA I Equipo Docente T n2 1 2 52 n .22 n 2 1 n2 102 n 2 1 1 0, 01 2 10 100 18. Simplifique y calcule el valor de A: 1 1 2 1 2 4 1 A 5 23 10 3 3 2 1 1/ 2 3 5 2 23 A 3 10 2 4 1/ 2 25 23 A 27 10 4 4 1/ 2 48 A 37 4 37 12 1/ 2 491 / 2 49 7 19. Simplifique y calcule el valor de A: 1 A 27 2 3 1 32 4 5 A 27 32 2 3 4 5 1 2 A 3 27 5 32 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 1 1 1 A 25 25 5 25 1 4 2 (9 16) 1 2 MATEMÁTICA I Equipo Docente 20. Simplifique y calcule el valor de B: 3 n 1 2 n 1 3 3 B n 2 n1 n1 3 3 3n 1 2n 1 2n n 2n 3 . 3 3 . 3 3 . 3 3 . 1 3 . B n 2 n1 n1 n n n n n n 32 nn 3 3 3 .3 3 1 3. B n 3n 3 21. Simplifique y calcule el valor de A. 402 x 3 32 x 1 122 x 2 A 222 x 1 2 x 2 402 x.23 32 x.21 122 x.22 A 222 x.21 2 x.22 2 x 40.23 321 1222 A 2 x 2221 22 1 1 40. 3 6 12. 2 5 6 3 14 2 2 A 2 1 11 4 7 22. 4 2 MATEMÁTICA I Equipo Docente TEMA: PRODUCTOS NOTABLES 1. Reducir: 𝐌 = (𝒙 + 𝟐)𝟐 − (𝟐 − 𝒙)𝟐 + (𝒙 − 𝟒)𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 Solución: 𝐌 = (𝟐 + 𝒙)𝟐 − (𝟐 − 𝒙)𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 𝐌 = 𝟒(𝟐)(𝒙) − 𝟖𝒙 Finalmente: 𝐌=𝟎 2. Determine el valor de A: 𝐀 = (√𝒙 + 𝟐)(√𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒) + (𝒙 + 𝟒)(𝟒 − 𝒙) Solución: 𝟐 𝐀 = (√𝒙 − 𝟐𝟐 ) (𝒙 + 𝟒) + (𝟒 + 𝒙)(𝟒 − 𝒙) 𝐀 = (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟒) + (𝟒𝟐 − 𝒙𝟐 ) 𝐀 = (𝒙𝟐 − 𝟒𝟐 ) + (𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 ) 𝐀 = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 + 𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 Finalmente: 𝐀=𝟎 MATEMÁTICA I Equipo Docente 3. Reduce y determine el valor de M: 𝟐 𝐌 = (√𝟕 + √𝟑) + (√𝟕 − √𝟑) 𝟐 Solución: 𝐌 = 𝟐[(√𝟕)𝟐 + (√𝟑)𝟐 ] 𝐌 = 𝟐[𝟕 + 𝟑] Finalmente: 𝐌 = 𝟐𝟎 4. Efectúe: 𝐄 = (𝐚 + 𝟓)(𝐚 − 𝟓)(𝒂𝟐 + 𝟓𝟐 )(𝒂𝟒 + 𝟓𝟒 ) − 𝒂𝟖 Solución: 𝐄 = (𝒂𝟐 − 𝟓𝟐 )(𝒂𝟐 + 𝟓𝟐 )(𝒂𝟒 + 𝟓𝟒 ) − 𝒂𝟖 𝐄 = (𝒂𝟒 − 𝟓𝟒 )(𝒂𝟒 + 𝟓𝟒 ) − 𝒂𝟖 𝐄 = 𝒂 𝟖 − 𝟓𝟖 − 𝒂 𝟖 Finalmente: 𝐄 = −𝟓 5. 𝟖 Calcular el valor de: 𝟑𝟐 𝟐 𝐄 = √𝟏 + 𝟑(𝟐 + 𝟏)(𝟐𝟒 + 𝟏)(𝟐𝟖 + 𝟏)(𝟐𝟏𝟔 + 𝟏)(𝟐𝟑𝟐 + 𝟏)(𝟐𝟔𝟒 + 𝟏) Solución: Se puede reemplazar: 3 = 22 − 1 (22 − 1)(22 + 1) = 24 − 1 (24 − 1)(24 + 1) = 28 − 1 (28 − 1)(28 + 1) = 216 − 1 (216 − 1)(216 + 1) = 232 − 1 (232 − 1)(232 + 1) = 264 − 1 MATEMÁTICA I Equipo Docente (264 − 1)(264 + 1) = 2128 − 1 Finalmente la expresión queda: 32 128 32 E = √1 + 2128 − 1 = √2128 = 2 32 = 24 = 16 6. Multiplique: M = (a + b)(a2 + ab + b2)(a - b)(a2 – ab + b2) Solución: M a3 b3 a3 b3 M a 6 b6 7. Reduce: M ( x5 4) ( x5 7) – ( x5 2) ( x5 9) Solución: M x10 11x 5 28 ( x10 11x 5 18) M x10 11x 5 28 x10 11x 5 18 M 10 8. Simplifique: L ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 1 Solución: L ( x 2 5 x 4)( x 2 5 x 6) 1 L (a 4)(a 6) 1 L a 2 10a 24 1 L a 2 10a 25 L (a 5) 2 L a 5 x2 5x 5 MATEMÁTICA I Equipo Docente 9. Halle “M” en: M 20 392 * 20 392 3 3 Solución: M 3 202 142.2 M 3 400 392 M 38 M 2 10. Evalúe: 8 3(22 1)(24 1)(28 1) 1 Solución: M 8 M 8 M 8 2 2 2 2 1 22 1 24 1 28 1 1 4 1 24 1 28 1 1 8 1 28 1 1 M 8 216 1 1 M 8 216 M 22 4 11. Si: 𝑎 = √3 + √2 𝑏 = √3 − √2. y a C 2 a c b 2 a 2b 2 a 2 b 2 a 2b 2 a b 4 a b 4 2 b 2 a 2b 2 a 2 b 2 a 2b 2 a b 4 a b 4 c Simplificar: 2 2 4 a 2 b 2 a 2b 2 a b a b 2 2 2 2 2 2 4 a 2 b 2 a 2b 2 c 2 2 2 2 a b a b a b a b 4 a 2 b 2 a 2b 2 a 2b 2 ab c 2 a 2 b 2 4ab 2ab 2 MATEMÁTICA I Equipo Docente 12. Si: 𝑎 = 2 − √2 𝑏 = 2 + √2. y Simplificar: 2 2 a b a b D a b a b 2ab 2b 2 4ab a 2 b 2 2ab b 2 b 2 4ab D 2 a 2ab b 2 b 2 b 2 4ab D a b 2 D D 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 22 2 42 2 D 2 4 13. Determine el valor de “K” en: a b a b 4a K 2 2 2 a Para: 𝑎 = √2 + 1 2 a 2 a b 2 2 4 a 2 b2 a b 2a b 2a b K 4a b 4a b a b K 4a b 44a b 4 K 4a b a b 4 2 b4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 K 4 a b2 K 4 4 2 1 2 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 𝑏 = √2 − 1. y a b K b4 a 4 b4 4 b2 2 2 4 2 1 2 2 1 2 4 2 2 12 2 MATEMÁTICA I Equipo Docente TEMA: FACTORIZACIÓN 1. Reduce: x2 x 2 x2 7 x 12 x2 2x 3 x2 6x 9 Solución: x 2 x 1 : x 4 x 3 x 3 x 1 x 3 x 3 x 2 . x 3 x 3 x 4 x 2 x 4 2. Simplifique: 2 x 1 x 1 x 1 E 2 x 1 x 1 2 x 2 Solución: x 1 x 1 . x 1 x 1 2 x 2 1 x 1 x 1 2 2 x 2 1 2 x 2 1 3. 2 1 Reduce: M Solución: M b a b b a b a b a a a b M b b a b a b a a M b b 2b a a a ab b2 ab a2 ab b2 a2 ab MATEMÁTICA I Equipo Docente 4. Reduce: 2x2 10 x x2 25 x2 16 x 15 x2 6x 5 Solución: 2 x x 5 x 15 x 1 x 5 x 5 x 5 x 1 2x x 15 3x 15 3( x 5) 3 x5 x5 x5 x5 5. Efectúe: x2 2x 3 2 2x x 1 x2 4 2x2 5x 2 Solución: x 3 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 1 2 x 1 x 2 x 3 x 2 2x 1 1 2x 1 2x 1 2x 1 6. Simplifique: x 2 x 6 x 2 3x 4 x 2 49 . . x 2 6 x 7 x 2 7 x 12 ( x 2) 2 Solución: ( x 2)( x 3) ( x 1)( x 4) ( x 7)( x 7) . . ( x 1)( x 7) ( x 3)( x 4) ( x 2)( x 2) x7 x2 7. Simplificar: x 2 15 x 56 x 2 x 12 x 2 15 x 56 . . x 2 5 x 24 x 2 49 x 2 4 x 32 Solución: ( x 7)( x 8) ( x 3)( x 4) ( x 8)( x 7) . . 1 ( x 8)( x 3) ( x 7)( x 7) ( x 4)( x 8) MATEMÁTICA I Equipo Docente 8. Simplifica: x2 1 x3 27 x3 2 x 2 8 x . 2 . 2 3 2 x 3x 9 x x 2 x 8 x 4 x 3 Solución: (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) (𝑥 − 3)(𝑥 2 + 3𝑥 + 9) 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 4) . . (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) (𝑥 − 3)(𝑥 − 1) 𝑥(𝑥 2 + 3𝑥 + 9) =𝑥+1 9. Simplifica: 3 2 3 x 17 1 x 5 x 5 x 3 x 4 : x 2 x 20 Solución: 2 4 2 x 8 3 x 9 x x 20 . x 5 ( x 3)( x 4) x 17 4 ( x 17) ( x 4)( x 5) x 5 ( x 3)( x 4) . x 17 4 x3 10. Factorizar la expresión: P(x, y) = x5y + 2x4y2 + x3y3 Solución: FC x3 y x3 y ( x 2 2 xy y 2 ) x3 y ( x y )2 11. Factorizar la expresión: M(x, y) = 12(x - y)2 + 7(x - y) – 12 Solución: 12( x y ) 2 7( x y ) 12 3( x y ) 4 4( x y ) 3 3( x y ) 4( x y ) 4 3 MATEMÁTICA I Equipo Docente 12. Factorizar: M(x, y) = ab(x2 – y2) + xy(a2 – b2) Solución: abx 2 xya 2 aby 2 xyb 2 ax(bx ay ) by (ay bx ) (ay bx )(ax by ) 13. Factorizar: M(x, y) = (3x + y)2 – (3y - x)2 Solución: 9 x 2 6 xy y 2 (9 y 2 6 xy x 2 ) 9 x 2 6 xy y 2 9 y 2 6 xy x 2 8 x 2 12 xy 8 y 2 4(2 x 2 3xy 2 y 2 ) 4(2 x y )( x 2 y ) 14. Factorizar: M(x, y) = x3 – 2x2y + xy2 – 2y3 Solución: x3 2 x 2 y xy 2 2 y 3 x2 ( x 2 y) y 2 ( x 2 y) ( x 2 y )( x 2 y 2 ) 15. Factorizar: P(x, y) = 25x4 – 109x2y2 + 36y4; Solución: 25 x 4 109 x 2 y 2 36 y 4 (25 x 2 9 y 2 )( x 2 4 y 2 ) 25 x 2 -9 y 2 9 x 2 y 2 x2 -4 y 2 100 x 2 y 2 (25 x 2 9 y 2 )( x 2 4 y 2 ) 5 x 3 y 5 x 3 y x 2 y x 2 y MATEMÁTICA I Equipo Docente 16. Factorizar: M(x,y,z) = xm+a + xmyb + xayn + ynyb + zpxa + zpyb Solución: xm xa xm yb xa y n y n yb z p xa z p yb xm ( xa yb ) y n ( xa yb ) z p ( xa yb ) ( x a y b )( x m y n z p ) 17. Factorizar: M(x) = x3 – 7x + 6 Solución: Primero completamos la expresión algebraica: 1 0 7 6 1 1 1 6 1 1 6 0 2 2 6 1 3 x3 + 0x2 – 7x + 6 ( x 1)( x 2)( x 3) 0 18. Factorizar: R= 32m+2 – 3m+1 – 30 Solución: 32 m 2 3m 1 30 32.32 m 3.3m 30 (3.3m 6)(3.3m 5) 3.3m 6 18.3m 3m +5 15.3m 3.3m (3.3m 6)(3.3m 5) 3(3m 2)(3.3m 5) MATEMÁTICA I Equipo Docente 19. Factorizar: P(x,y) = 10x4 + 7x2y2 – 12y4 Solución: 10 x 4 7 x 2 y 2 12 y 4 (5 x 2 4 y 2 )(2 x 2 3y 2 ) 5x2 4 y 2 8 x 2 y 2 2 x2 3y2 15x 2 y 2 20. Factorizar: (x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38 Solución: ( x 2 2 x 3)( x 2 2 x 24) 38 (a 3)(a 24) 38 Hacemos un cambio de variable, x2-2x = a a 2 27a 72 38 a 2 27a 110 a a 22 22a 5 5a (a 22)(a 5) ( x 2 2 x 22)( x 2 2 x 5) 21. Factorizar: P(x) = x8 - 1 Solución: x8 1 ( x 4 1)( x 4 1) ( x 2 1)( x 2 1)( x 4 1) ( x 1)( x 1)( x 2 1)( x 4 1) MATEMÁTICA I Equipo Docente 22. Factorizar: x5 3x 4 5 x3 15 x 2 4 x 12 Solución: 1 1 1 2 1 1 1 2 3 5 15 1 4 4 1 16 12 2 12 22 12 6 11 6 0 1 5 6 5 0 6 1 4 12 16 12 0 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 2 6 1 3 0 23. Factorizar: x 4 2 x3 x 2 4 x 6 Solución: 1 3 1 4 6 3 2 6 2 6 0 1 0 2 0 2 0 2 3 1 1 1 1 x 3 x 1 x2 2 24. Factorizar: 2 x3 3x 2 11x 6 Solución: 3 11 6 3 6 9 6 2 3 2 0 2 4 2 2 2 1 0 x 3 x 2 2 x 1 MATEMÁTICA I Equipo Docente 25. Factorice y simplifique la expresión algebraica F. x 3 9 x ² 24x 20 x² x 6 F 3 2 x 4 x x 7 x 10 x² 2 x x 2x 7 x 10 . x( x 2) F xx 4 x 7 x 10 ( x 3)( x 2) 2 2 2 F x 2 x 2x 2( x 3) F 1 x 2( x 3) 26. Factorice y simplifique la expresión algebraica F. x 3 5 x ² 2 x 24 x 3 1 F 3 x x² 6 x x² x x 2x 4x 3 x 1x² x 1 x x ² x 6 x x 1 x 2x 4x 3 x ² x 1 F x x 3 x 2 x x 4 x² x 1 x ² x 1 x 4 F F x x² 5 F x x x 27. Factorice y simplifique la expresión algebraica F. F F F F F 4 x3 64x 4 x ² 16x 3 x 2 x² x 2 x² x 2 4 x3 64x 4 x ² 16x 3 x 2 x² x 2 x² x 2 4 x3 64x x² x 2 3 . x 2 x ² x 2 4 x ² 16x x 2x 1 4 x x 2 16 . x 1x 2x 1 4 x 2 16 x x 1