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UNI-4ded-11ea-bbdd-ffc124997606

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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Pregunta 01
La relación entre el descuento racional y el
descuento comercial es
9
.
10
` Vac = 8
Vn
9
Rpta.: 8
9
Determine la relación entre el valor actual
comercial y el valor nominal del mismo
documento.
Pregunta 02
Determine la última cifra periódica que
se obtiene al hallar la expresión decimal
equivalente a la fracción
A)
6
9
B)
7
9
C)
8
9
A)
1
B)
3
D)
9
9
C) 5
E)
10
9
E)
f=
2019
72019
D) 7
9
Resolución 01
Resolución 02
Regla de descuento
Números racionales
Descuentos comercial y racional
Números decimales
Dato:
“f” genera un número decimal periódico puro,
menor que uno.
Piden:
Se tiene que:
o
74=2401= 10 +1
Vac =1 – r %×T...(I)
Vn
Luego:
Propiedad:
72019=(74)504×73
o
Dc =1+r % × T
DR
10 =1+r % × T
9
1 =r % × T...(II)
9
=( 10 +1)504×343
Reemplazando (II) en (I):
= ...3
o
Prohibida su venta
DR = 9
Dc 10
o
=( 10 +1)×( 10 +3)
o
= 10 +3
Vac = 1 − 1
Vn
9
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1
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
; ; ;; ?
2019 = 0, a> ;;
1 a2 a3 . . . an
2019
7
2019 = a1 a2 a3 . . . an
999. . . 9
72019
_2019i # _99...99i = _72019i # _a1 a2 ...ani
...1
= (...3)× _a1 a2 ...ani
Hallando n(A):
P. A. razón +1
1; 2; 3
P. A. razón –1
3; 2; 1
2; 3; 4
4; 3; 2
h
h
10; 11; 12
10 casos
12; 11; 10
10 casos
→n(A)=10+10=20
7
Última cifra
del periodo
Rpta.: 7
Pregunta 03
`P
(A)
=
Rpta.: 1/66
Pregunta 04
Indique la alternativa correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F).
I. Dado a, b ∈ Z , a > b,
Se tiene 12 fichas numeradas del 1 al 12.
Se extrae aleatoriamente una primera ficha,
luego una segunda y una tercera ficha, sin
reposición. Calcule la probabilidad de que
estos tres números estén en progresión
aritmética de razón 1 o de razón -1.
A)
1
66
B)
5
66
C)
7
66
D)
11
66
E)
35
66
entonces ∀c ∈ N , ac<bc
Dado a, b ∈ Z , a ≤ b,
entonces ∀c ∈ Z , a - c ≤ b - c
III. ∀x ∈ N , x2 ≥ 0
A) FVV
B) FFF
C) FFV
D) FVF
E) VVV
II.
Resolución 04
Desigualdades
Axiomas de los números reales
I. FALSO
a > b; ∀ c ∈ N
Prohibida su venta
Resolución 03
→ ac > bc
Probabilidades
II.
Cálculo de probabilidades
VERDADERO
a ≤ b, ∀ c ∈ Z
Fichas: 1, 2, 3... 12
f : Extraer aleatoriamente 3 fichas sin reposición.
n(W)=12.11.10=1320
A: Extraer aleatoriamente 3 fichas sin reposición
y que formen una progresión aritmética de razón
1 o –1
2
n (A)
= 20 = 1
n (X) 1320 66
a+(-c) ≤ b+(-c)
→ a-c ≤ b-c
III. VERDADERO
∀ x ∈ N , x2 ≥ 0
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Rpta.: FVV
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Pregunta 05
°
Halle el número de elementos del conjunto
H = {m ∈ N / MCD(m,900)=1, m < 900}
N conjunto de los números naturales.
B)
150
2,66# k < 27, 66
K=3, 4, 5... 27
25 valores
C) 180
Existen 25 números.
D) 210
E)
100# 36k+4<1000
Rpta.: 25
240
Pregunta 07
Resolución 05
Números primos
Indicador de un número
H={m!N/MCD (m; 900)=1; m<900}
Los elementos de H son los valores de “m” que
son PESI con 900 y menores que 900.
Calculamos el indicador de: 900=22.32.52
Q900 = 900 `1 − 1 jc1 − 1 mc1 − 1 m
2
3
5
disminuya en
Q900 900
. 1 . 2 . 4 240
=
=
2 3 5
2
y la demanda de la esencia
5
2
de vainilla aumente en ?
3
Rpta.: 240
Pregunta 06
¿Cuántos números de tres cifras son
divisibles entre cuatro y la suma de sus cifras
al ser dividido entre 9 da 4 de residuo?
25
B)
26
A)
aumenta en 44 %
B)
disminuye en 44 %
C) no cambia
D) disminuye en 12 %
E)
aumenta en 12 %
Resolución 07
Magnitudes proporcionales
C) 27
Proporcionalidad compuesta
D) 28
E)
1
, el precio del azúcar
3
aumente en
` n^Hh = 240
A)
En la fabricación de helados, los insumos
relevantes son la leche, el azúcar y los
saborizantes. El precio de estos helados
está en relación directamente proporcional
con los precios de la leche y del azúcar, e
inversamente proporcional a la demanda
de los saborizantes. ¿Qué variación
experimentará el precio de un helado
de vainilla cuando el precio de la leche
Sean:
29
PH: Precio del helado
Resolución 06
PL: Precio de la leche
Divisibilidad
PA: Precio del azúcar
Criterios de divisibilidad
DS: Demanda del saborizante
°
Prohibida su venta
120
Z
]
]
[
]
]
\
A)
°
4+4
abc= *
" abc=36 + 4 , abc=36k+4
°
+
9 4
°
Si abc= 4 , tal que a+b+c=9 + 4 .
Del enunciado tenemos:
CENTRAL: 6198 – 100
3
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Pm= 1 (16, 4) + 8 (25, 3) + 6 (35, 2) + 5 (44) + 2 (126, 5)
PH # D S =
K
PL # PA
22
902 =
Pm=
S/ 41 el m3 de la mezcla
22
Luego:
PH
100 %
X
PL
3a
2a
PA
5b
7b
DS
3c
5c
Pregunta 09
La ecuación
100 % # (3c)
X (5c)
=
(3a) (5b)
(2a) (7b)
I. m < 3
II. m ∈ [2, 6]
III. m ∈ [5, 10]
Indique cuál (o cuáles) son las correctas:
Resolviendo:
x=56 %
Rpta.: Disminuye en 44 %
Pregunta 08
Se está construyendo un tramo de una
carretera, para lo cual se necesitan 1 800 m3
de arena gruesa, 14 400 m3 de tierra dura, 10
800 m3 de piedra chancada, 9 000 m3 de roca
blanda y 3 600 m3 de roca dura. Si los precios
del metro cúbico de cada uno de estos terrenos
está dado por 15,40; 25,30; 35,20; 44 y 126,5
soles, respectivamente. Determine el precio
medio (en soles) del metro cúbico de terreno.
37
39
40
41
42
Prohibida su venta
4
Solo I
Solo II
Solo III
I y II
II y III
Resolución 09
Ecuaciones
Ec. Cuadrática
Operando
(m + 1)x2 + 3(m + 1)x = 5(m – 1)x + 12(m – 1)
(m + 1)x2 + (8 – 2m)x + 12(1 – m) = 0
x1 + x2 = 0
(x1; x2 raíces)
Entonces: 8 – 2m = 0
∴ m=4
La proposición II es la única correcta.
Rpta.: Solo II
Precio (m3)
Volumen
Total=
A)
B)
C)
D)
E)
Como las raíces son opuestas:
Resolución 08
Regla de mezcla
Precio medio
A: 1800 m3
T: 14 400 m3
P: 10 800 m3
RB: 9000 m3
RD: 3600 m3
x 2 + 3x = m − 1
en x, tiene
5x + 12 m + 1
raíces de signos el mismo valor absoluto.
Dadas las siguientes proposiciones
Reemplazando tenemos:
A)
B)
C)
D)
E)
Rpta.: 41
→ 1 m3
→ 8 m3
→ 6 m3
→ 5 m3
→ 2 m3
22 m3
S/ 15,4
S/ 25,3
S/ 35,2
S/ 44,0
S/ 126,5
Pregunta 10
En el problema:
Minimizar f (x, y) = ax + by. Sujeto a: (x, y)
∈ C0. Donde C0 es la región admisible.
Se tiene que el punto R ∈ C0 es la solución
óptima. Si se consideran los conjuntos
C1 y C2 de lados paralelos a C0 tal que
C2 ⊂ C1 ⊂ C0 (ver figura), indique la
proposición correcta.
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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Pregunta 11
C1
S
E
Dado el sistema:
R
D
J
H
F
G
A
C
– x + 7y ≥ 20
x ≥ 0
Q
y ≥ 0
Indique cuáles de las siguientes proposiciones
son correctas:
C2
B
O
–x + y ≤ 2
C0
I
P
I.
La solución es única.
La solución es un conjunto no acotado.
A)
f(R) > f(D) > f(I)
II.
B)
f(R) < f(D) < f(I)
III. La solución es un conjunto vacío.
C) f(R) = f(D) = f(I)
A)
I, II y III
D) f(R) = f(D) < f(I)
B)
I y II
E)
C) Solo II
f(R) = 2f(D) = 4f(I)
D) I y III
Resolución 10
E)
Programación lineal
Solo III
Valor óptimo
Resolución 11
Se tiene: función objetivo
Programación lineal
Región factible
f^x; yh = ax + by
Aplicando la familia de las rectas de nivel
LN: y = mx
y
Pendiente: m = -a/b
Del gráfico:
R
I
Solución
óptima
D
2
LN: y = mx
x
–2
x
Decreciente
Por lo tanto: f(R)<f(D)<f(I)
Rpta.: f(R)< f(D)< f(I)
Del gráfico:
I.
Falso. Tiene infinitas soluciones.
II.
Verdadero.
III. Falso. Tiene infinitas soluciones.
CENTRAL: 6198 – 100
Rpta.: Solo II
5
Prohibida su venta
y
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Pregunta 12
Entonces el mínimo se encuentra en cualquier
punto de la región triangular ABC
Dado el problema:
Por lo tanto lo correcto es:
Minimizar f( x )
mínimo f (x ) =f(A)<máximo f (x )
x∈P
donde P es una pirámide A – BCDE.
Si mínimo f( x ) = f(A), siendo f una función
lineal de la forma f( x ) = ax + by + cz y además
se cumple que
f(A) = f(B) = f(C)
x d P
xdP
Rpta.: mínimo f(x)=f(A)<máximo f(x)
xdP
xdP
Pregunta 13
Dada la ecuación cuadrática
Indique cuál de las siguientes proposiciones es
correcta:
A)
mínimo f(x) = máximo f(x)= f(A)
x∈ P
x∈ P
B) mínimo f(x) = f(A) < máximo f(x)
x∈ P
x∈ P
C) f(A) = f (B) = f(C) < f(x), x ∈ {ABC}
D) f(A) < f(x) ∀ x∈ P
E)
f(A) = f(B) = f(C) > f(x), x ∈ {A, B , C}
Determine m tal que tenga soluciones reales.
A) ⟨– ∞, 3] ∪ [7, + ∞⟩
B)
⟨– ∞, – 4] ∪ [8, + ∞⟩
C)
⟨– ∞, – 2] ∪ [6, + ∞⟩
D)
R
E)
⟨– ∞, – 5]
Resolución 13
Ecuaciones
Resolución 12
Ecuación cuadrática
Programación lineal
Valor óptimo
La ecuación tiene soluciones reales, por lo tanto
se cumple:
Del problema minimizar f (x )
DH0
(–m)2–4(1)(m+3) H 0
xdP
z
m2 – 4m – 12 H 0
A
D
Prohibida su venta
x2 – mx + m + 3 = 0
E
(m – 6)(m+2) H 0
C
–∞
B
y
x
Con f (x ) =ax+by+cz
Como:
` m ! − 3; − [email protected] j 66 + 3
6
+∞
Rpta.: − 3; − [email protected] j 66 + 3
Pregunta 14
Sean p, q, r, t proposiciones lógicas tales que:
p → r = V, p → ∼ q = F
Mínimo f (x ) =f(A)
Además: f(A)=f(B)=f(C)
6
–2
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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Halle el valor de verdad de las siguientes
proposiciones e indique cuántas son
verdaderas.
I.
∼ p → t = ∼ (t ∧ ∼ t)
II.
(p ∧ q) ∧ t = (q ∧ r) ∧ t
Pregunta 15
Indique la alternativa correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F) según el orden dado.
I.
III. (p ∨ t) ∧ q = (p ∧ t) ∨ q
IV.
∼ (∼ p ∨ t) ∧ (p → ∼ t) = ∼ t
A)
0
B)
1
1
solución en - 3 , 3 .
II.
Sean f(x) = x2, g(x) = ln ^ 1x h en
⟨0, ∞⟩, entonces las gráficas de f y g se
interceptan en un único punto.
III. Las funciones f(x) = log2(x + 1)
y g(x) = log3(x + 2) tienen un único
punto en común.
C) 2
D) 3
4
VVV
B)
VVF
Lógica proposicional
C) VFV
Leyes lógicas
p→r ≡ V; p→∼q ≡ F
D) FVF
E)
V
V V
F
` p ≡ V; q ≡ V; r ≡ V
Resolución 15
Logaritmos
Reemplazando en las proposiciones:
Función logarítmica
)
{
I. ∼p→t ≡ ∼(t ∧ ∼t) ≡ V ... (V)
I.
*
II.
)
V
{
{
t
x=5
V
Al graficar las funciones f(x) y g(x).
y
y = x2
*
*
{
{
V
)
V
1
3
∴ CS = {5} (Verdadera)
III. (p ∨ t) ∧ q ≡ (p ∧ t) ∨ q ... (V)
V
∧ 3x+1 = 24
3x+1 > 0
x >−
V V
t
*
V
t
{
{
{
{
F
F
II. (p ∧ q)∧t ≡ (q ∧ r) ∧ t ...(V)
V
FFF
{
{
{
{
A)
Resolución 14
V
V
{
V
∼t
1
Z
]
]
]]
[
]
]
]
\
*
F
∼t
)
{
IV. ∼(∼p ∨ t) ∧ (p→∼t) ≡ ∼t ... (V)
∼t
` Las 4 son verdaderas.
Rpta.: 4
y = ln(
1
)
x
x
Del gráfico notamos que las funciones se
interceptan en un único punto (Verdadera)
III. Al graficar las funciones f(g) y g(x)
CENTRAL: 6198 – 100
7
Prohibida su venta
E)
La ecuación log2(3x + 1) = 4 tiene
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
II. Verdadero
y
De lo anterior, para x=1:
1720
y = log2(x+1)
k
R ^− 1 h = 1
k=0
y = log3(x+2)
III. Verdadero
-1
x
0
Para x=− 1:
1720
Del gráfico notamos que la funciones se
interceptan en un único punto (Verdadera)
Rpta.: VVV
Pregunta 16
Dadas las siguientes proposiciones
respecto a la suma finita
1720
con
Z
]
]
[
]
]
\
R ^1 hk = 1 + 1 + ... + 1 = 1721
k=0
1721 sumandos
Rpta.: II y III
Pregunta 17
El teorema fundamental de la aritmética
establece que, todo número natural mayor o
igual a dos se puede expresar de forma única
n
k=0
I.
La suma es igual a cero para x = 1.
II.
La suma es igual a uno para x = 1.
III. La suma es 1721 para x = – 1.
Solo I
B)
Solo II
Se define la función
f : N = {1,2,3,...} → N
1
f(x)=
C) Solo III
II y III
n
Series numéricas
I.
f es sobreyectiva.
II.
La ecuación f(n) = 1 tiene infinitas
soluciones.
De la serie finita:
III. f es creciente.
I. Falso
A)
Solo I
Para x=1:
B)
Solo II
1720
C) Solo III
k
R ^− 1h = 1 − 1 + 1 − ... + 1 − 1 + 1 = 1
Z
]
]
]
]]
[
]
]
]
]]
\
Prohibida su venta
Sucesiones y series
8
n
Indique cuáles de las siguientes proposiciones
son verdaderas:
Resolución 16
k=0
, x=1
n1+ ... +nk , x = P 1 ...P k
k
1
D) I y II
E)
n
donde P1, P2, ..., Pk son sus factores primos y
n1, n2, ... , nk son enteros mayores o iguales
a uno.
Son correctas:
A)
n
P1 1 P2 2 g P k k
k
/ `− 1x j
1721 sumandos
D) I y II
E)
I y III
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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Resolución 17
Resolución 18
Funciones
Matrices
Funciones especiales
Determinante
f: N={1; 2; 3; ...; ...} → N
De la condición:
1
; x=1
f (x) = )
n
n
n
n1 + n2 + ... + n k ; x = P1 1 . P2 2 ...P k k
Nótese que:
i.j
; si : i ≥ j
La matriz será:
f(2)=1; 2=21
f(3)=1; 3=31
A=
f(4)=2; 4=22
5=51
1
4
5
2
4
7
2×3
1 2
AT= 4 4
5 7 3×2
multiplicando las matrices:
f(6)=2; 6=31 . 21
f(7)=1; 7=71
A.AT=
f(8)=3; 8=23
42
53
53
69
A.A T = 89
f(9)=2; 9=32
Rpta.: 89
f(10)=2; 10=51 . 21
Pregunta 19
f(11)=1; 11=111
.
.
.
Sea la expresión matemática
x
+
1 − x2
x g " − 1, 0, 1 ,
f^ x h =
Con lo cual se concluye que:
“f” es sobreyectiva.
f(n)=1 tiene infinitas soluciones.
+
Calcule m^m g R h , si se cumple que
“f” no es monótona.
Rpta.: I y II
Pregunta 18
2i + j si i < j
ij
Calcule AA T .
A)
82
B)
84
f (∆) = 2, cuando:
9=
Se define la matriz A = [aij]2×3 como
aij=
si i ≥ j
1 − x2
;
x
1−
2
A)
1
B)
49
1− 1
4 m2
Prohibida su venta
f(5)=1;
2.i + j ; si : i < j
aij=
C) 2
D) 4
E)
11
C) 86
D) 89
E)
92
CENTRAL: 6198 – 100
9
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Resolución 19
Resolución 20
Funciones
Matrices
Función real de variable real
Ecuación matricial
De la función:
I. Verdadero
F (x ) =
En efecto XTATAX = (AX)T(AX) H 0
1 − x2
x
+
x
1 − x2
Según el dato: F (9) = 2 $
=
x
Efectuando:
Como: 9 =
1
=
$9
2
1−
2
Nota:
x
=1
1 − x2
(vector fila) · (vector columna) = escalar
1
2
En efecto, consideremos:
II. Falso
A = ca b m ∧ X = c x m
cd
y
1− 1 = 1
4 m2
2
De la condición:
Al resolver: m = 2 ∨ m = – 2
ATAX=λX; λ ˂ 0
Como m∈R+ , m = 2
Rpta.: 2
Pregunta 20
Sea A una matriz cuadrada de orden 2.
Sea X una matriz 2 × 1 no nula. Indique la
secuencia correcta después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I.
XT AT AX ≥ 0
II.
Existe l ∈ R tal que AT AX = lX y
l < 0.
Tenemos:
(a2 + c2 − m) x + (ab + cd) y = 0
)
(ab + cd) x + (b2 + d2 − m) y = 0
Aquí por condición:
a2 + c2 − m
ab + cd
Al resolver:
λ 2 – ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) λ + [( a 2 + c 2 ) ( b 2 + d 2 ) –
(ab+cd)2]=0
III. Si existe l ∈ R tal que AT AX = lX,
entonces una de las columnas de
lY– AT A, es un múltiplo de la otra.
Aquí descubrimos por propiedad de raíces y el
discriminante que λ es positivo.
A)
FFV
B)
FVV
Es una consecuencia inmediata de la proposición
anterior.
III. Verdadero
Rpta.: VFV
C) VFF
Prohibida su venta
D) VFV
E)
10
ab + cd
=0
b2 + d2 − m
VVV
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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Pregunta 21
Pregunta 22
En un trapecio ABCD cuyas bases son AD y
BC, donde AD = 1 BC y la altura BD=3u. Si
3
En la figura ABCDEF es un hexágono regular,
determine RH, sabiendo que BM=a y MR=b,
con a>b.
m+BAD=2m+BCD.
Calcule el área del trapecio (en
A)
4 3
B)
6 3
C)
8 3
C
u2)
H
D
R
M
B
E
D) 10 3
12 3
A
Resolución 21
Áreas
Áreas de regiones cuadrangulares
Piden: A
A
ABCD
a
D
2θ
3
2a
B
2θ
a
E
2a
θ
C
Se traza DE paralelo a AB
→
B)
b^a + bh
a−b
^a + bh2
a−b
D)
ab
a-b
E)
b2
a-b
Resolución 22
Proporcionalidad
ABED: Paralelogramo
→
A)
C)
30 θ
F
a^a + bh
a−b
Cuaterna armónica
BDE: Notable
2 θ =60º
D
C
→ θ =30º
M b
→ a= 3
a
3 3 + 3 m.
A
=c
3
2
∴A
=6 3 u2
R
30º 60º
30º
B
H
x
Prohibida su venta
E)
60º
E
Rpta.: 6 3
A
CENTRAL: 6198 – 100
F
11
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Pregunta 24
Piden x
B, M, R y H forman la cuaterna armónica.
ax = b(a + b + x)
x=
b (a + b)
a−b
Rpta.:
b (a + b)
a−b
Pregunta 23
En un triángulo acutángulo ABC, se cumple
que m+ABC = 3m+ACB.
Si la mediatriz de BC interseca a la
prolongación de la bisectriz interior BM en el
punto P, entonces el mayor valor entero de la
medida (en grados sexagesimales) del ángulo
PCA es
A)
B)
C)
D)
E)
11
12
13
14
15
Un vaso que tiene la forma de un cilindro circular
recto cuyo diámetro mide 6 cm, contiene agua
hasta cierta altura. Se inclina el vaso justo hasta
que el agua llegue al borde, en ese instante del
borde opuesto del agua se ha alejado del borde
del vaso 4 cm. Determine el área (en cm2) de la
película que se ha formado por la inclinación.
A)
r 13
B)
2r 13
C)
3r 13
D)
4r 13
E)
5r 13
Resolución 24
Geometría del espacio
Tronco de cilindro
En el gráfico
Resolución 23
3
4
Congruencia
2
Aplicaciones de la congruencia
A
B
En el gráfico
B
Prohibida su venta
3q
2q
A
P
q
C
Piden B
A: área de la base del cilindro.
DABC: acutángulo
0º<6q<90º
0º<q<15º
qmáx = 14º
12
3
a
13
Piden qmáx
3q
3
B: área de la película
A=p32=9p
A = B.cos a
S
6
Rpta.: 14
www.trilce.edu.pe
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Vol E - DPC = 8 m3
6
2 13
Rpta.: 8
B = 3r 13
Pregunta 26
Rpta.: 3r 13
Pregunta 25
Se tiene un paralelogramo ABCD en cuyo
interior se toma un punto P. Por P se levanta
una perpendicular al plano del paralelogramo
y en ella se toma un punto E. Halle el volumen
en m3 de la pirámide E – DPC, si los volúmenes
de las pirámides E – DPA, E – CPB y E – BPA
son 10m3, 12m3 y 14m3 respectivamente.
A)
B)
C)
D)
E)
6
7
8
10
13
Dado el punto P1(3,4), determine el número
de los puntos que se generan por simetría,
si se toman como ejes de simetría, los ejes
coordenados y la recta y=x.
A)
B)
C)
D)
E)
2
4
6
8
10
Resolución 26
Simetría
Simetría axial
y
(- 3, 4)
Resolución 25
3
(- 4, 3)
Geometría del espacio
(3, 4) L
4
(4, 3)
Pirámide
E
-4 -3
(- 4, - 3)
h
B
S2
S1
A
S4
P
1 2 3
-3
4
(- 3, - 4)
Piden el número de puntos de simetría respecto a
los ejes coordenados y a la recta L: y=x.
D
Del gráfico, se observa que hay 8 puntos de simetría.
Rpta.: 8
1
Vol E - DPC = · h · S3
3
1
1
1
h · S4 =10;
h S2 =12;
h S1 =14
3
3
3
S1 + S3 = S2 + S4
h S
hS
hS
hS
1+
3=
2+
4
3
3
3
3
(4, - 3)
(3, - 4)
C
S3
Piden Vol E - DPC
Por teorema:
x
4
Pregunta 27
Una torta de tres pisos de 30 cm de alto está
formada por tres prismas rectos de base
rectangular de igual altura. Si los volúmenes
de dichos prismas están en relación 1, 2 y 3.
Calcule el área de la base de la torta (en cm2),
si el volumen total es de 12×104 cm3.
14 + Vol E - DPC = 12 + 10
CENTRAL: 6198 – 100
13
Prohibida su venta
9r = B.
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
A)
B)
C)
D)
E)
103
6×103
12×103
6×104
12×104
Resolución 28
Polígonos
Teoremas
Resolución 27
G. espacio
Nº de lados
Nº diagonales
Polígono inicial
n
n (n - 3)
2
Polígono final
n-2
(n - 2) (n - 5)
2
Prisma
En el gráfico
A
10
10
30
A
2A
A
10=h
}
Piden SmBi polígono inicial
V1=V
}
V2=2V
}
V3=3V
n (n − 3) (n − 2) (n − 5)
−
= 15
2
2
n2 - 3n - n2+7n - 10 = 30
4n = 40
n = 10
3A
Sm≤i = 180º(10 - 2) = 1440º
Piden: ABASE
Rpta.: 1440
Pregunta 29
V =12 × 104
T
S
T
6V =12 × 104
Se traza una circunferencia que tiene como
diámetro uno de los lados de un triángulo
equilátero de lado “a”. La longitud de la parte
de la circunferencia que queda dentro del
triángulo es:
S
3V =6 × 104
S
ABASE # h =6 × 104
14
424 3
ABASE= 6 × 103
Rpta.: 6×103
Prohibida su venta
Pregunta 28
Si el número de lados de un polígono convexo
disminuye en dos, el número de diagonales
disminuye en quince. Calcule la suma de las
medidas de los ángulos internos del polígono
inicial en grados sexagesimales.
A)
1440
B)
1620
A)
ra
6
B)
ra
3
ra
3 +1
C)
D)
ra
2
E)
C) 1800
D) 1980
E)
14
2160
www.trilce.edu.pe
ra
2 +1
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Resolución 29
Resolución 30
Circunferencia
Geometría del espacio
Circunferencia - Ángulos
Poliedros regulares
F
B
E
,
60°
60°
60°
60°
60°
,
60°
a
2
60°
C
Z
]
]
]
[
]
]
]
\
Z
]
]
]
[
]
]
]
\
A
60°
a
2
a
2
2m 2
m
m
α
D
C
2m 2
Piden “α”.
M y N están a la misma distancia del
2m
∴α=arctan c
3
ra
Rpta.:
6
Pregunta 30
ABCD – EFGH es un hexaedro regular; M
y N centros de las caras ABFE y BFGC
respectivamente. Calcule la medida del diedro
que forman los planos MND y ADC.
ABCD.
2m
Rpta.: arctan c
3
Pregunta 31
Se desea diseñar un mosaico compuesto
por tres mayólicas que deben tener la forma
de polígonos regulares, de tal manera que al
menos dos mayólicas sean congruentes con un
vértice común.
A)
arctan c 1 m
3
B)
arctan c 2 m
3
C)
arctan ` 1 j
2
D)
arctan c 1 m
3
A)
20
B)
21
arctan c 3 m
2
C) 22
E)
m
3m
La medida del diedro formado por los planos
MND y ADC es “α”.
Piden “ , ”.
a
3 , = r` j
2
` , = ar
6
2m 2 2m 2
B
A
2m 2
N
M
60°
a
2
H
Los lados de cada mayólica deben tener una
longitud de 1 m y la suma de las medidas
de los ángulos interiores de las mayólicas
que tiene el vértice común es 360°. Calcule
el mayor perímetro (en m) que debe tener el
mosaico obtenido.
D) 23
E)
24
CENTRAL: 6198 – 100
15
Prohibida su venta
,
60°
G
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Resolución 31
D)
Polígonos
E)
Polígonos regulares
13
14
Resolución 32
Geometría del espacio
Distancia entre alabeadas
B
4
P1
a a
q
A
P2
P3
E
4
2
C
2
x
y
30º
3
D
Piden “x”.
•
En DECD:
2
y2 = 42 + 3 − 2 (4) ( 3 ) . cos 30o
y2 = 7
Piden el mayor perímetro del mosaico
Los polígonos congruentes P1 y P2 deben tener la
mayor cantidad de lados.
Para ello “a” debe ser máximo y “q” debe ser
mínimo.
→q=60º
Los polígonos congruentes tendrían 12 lados.
` Perímetro=21
Prohibida su venta
Rpta.: 21
Pregunta 32
Sean los segmentos AB y CD ubicados en
planos diferentes, que forman un ángulo que
mide 30°. Si AC ⊥ AB, AC ⊥ CD, AC = 2 m,
AB = 4 m y CD = 3 m, entonces la longitud
(en m) de BD es:
B)
C)
16
En DBED:
x2 = 2 2 + y2
x = 11
Rpta.:
11
Pregunta 33
y a=150º
A)
•
Tres ángulos a°, β° y γ° medidos positivamente
son coterminales con el ángulo de 7000°,
también medido positivamente.
Determine la suma de los menores ángulos
con esa propiedad si se tiene que a° < β° < γ°.
A)
480°
B)
840°
C) 1200°
D) 1560°
E)
1920°
10
11
12
www.trilce.edu.pe
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Resolución 33
Resolución 34
Razones trigonométricas de un ángulo de
cualquier magnitud
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Ángulos coterminales
2 2
B
C
Si a° b° y γ° son coterminales con 7000°
& ángulo coterminal = 7000° – 360°K ; K ∈ Z
Son los menores positivos (a° < b° < γ°)
Para:
2 2
M
θ
K=19 → a=160°
2 2
K=18 → b=520°
2
K=17 → γ=880°
45°
A
Piden: a + b + γ = 1560°
2 2
Rpta.: 1560°
N
45° 2 2
1
1
Pregunta 34
D
Q
En el cuadrado ABCD de la figura mostrada,
M y N son puntos medios de sus respectivos
lados. Si m B NMD = θ, entonces el valor de
i
cot c 2 m es:
B
C
MQD: tanθ=
cot
1
3
i
i
=cosecθ+cotθ → cot = 10 +3
2
2
Rpta.:
10 + 3
Pregunta 35
Determine el valor máximo de la siguiente
función.
M
A)
B)
C)
D)
E)
5 –2
10 – 3
5 +2
10 + 5
10 + 3
N
D
A)
3
4
B)
3 2
4
C)
3 3
4
D)
6
4
E)
3 5
4
CENTRAL: 6198 – 100
Prohibida su venta
A
2r
y(x)= (1 − cos x) (1 + 2 cos x) ; x∈ 0, 3
17
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Pregunta 37
Resolución 35
Funciones trigonométricas
De las relaciones:
Dominio y rango
tanx = coty
1 −
+
2 (2 2 cos x) (1 2 cos x)
y(x)=
cos(πcosx) = sen(πseny)
Si a+b=constante, entonces P=a.b es máximo
cuando a=b
2 – 2cosx = 1+2cosx
1
4 =cosx
2r
r
r r
donde x ∈ - 2 , 2 ; y ∈ 0, 6
Calcule E = secx.
x∈ 0, 3
Reemplazando:
A)
0
B)
1
1 − 1
+ 1
2 (2 2. 4 ) (1 2. 4 )
3 2
y(x)máx=
4
D) 3
C) 2
y(x)=
E)
Rpta.:
3 2
4
Determine el valor de “x” si se cumple que
arc tan(x+ 5 )+arc cot(5x – 2)= r .
2
(2+ 5 )
B)
1 (2+ 5 )
2
1 (2 – 5 )
2
C)
D)
E)
Resolución 37
Ecuaciones trigonométricas
Sistema de ecuaciones
Pregunta 36
A)
4
tan x = cot y ............................ (1)
cos (p cos x) = sen(p sen y) .... (2)
x+y =
de (2)
r cos x + r sen y =
⇓ ⇓
1
2
1
cos x =
4
sec x = 4
Rpta.: 4
Prohibida su venta
Resolución 36
Funciones trigonométricas inversas
r
; N∈R
2
arc tan(x+ 5 )+ arc cot(5x – 2) =
⇒ x+ 5 = 5x – 2
x=
r
2
5 +2
4
Rpta.:
18
r
2
cos x + cos x =
1 (2+ 5 )
4
1
6 (2 – 5 )
arc tan(N) + arc cot(N) =
r
r r
r
; x! - ;
, y ! 0;
2
2 2
6
de (1)
1^ +
2
5h
4
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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Pregunta 39
Pregunta 38
Si la gráfica de y = A arc cos(Bx+C)+D es
Se desea construir un túnel en una montaña
entre dos pueblos en Huancayo, que tenga
como sección transversal un arco semielíptico,
con eje mayor de 15 metros y una altura en
el centro de 3 metros. Encuentre la ecuación
canónica de la elipse sobre la que descansa la
sección transversal del túnel.
A)
2
x2 + y =
225 9 1
B)
x2 + y =
56, 25 2, 25 1
C)
y
3π
2
y
x
+
=
56, 25 9 1
2
2
D)
x +y =
900 36 1
E)
2
x2 + y =
30 6 1
x
Determine el valor de E=A+B+C.
2
2
4
–2
–π
A)
3
B)
2
3
C)
4
3
D) 4
E)
Resolución 38
14
3
Resolución 39
Ecuación de la elipse
Trigonometría
y
Funciones trigonométricas inversas
y
3π
b
3m
a
x
15 m
C(1, π)
Aπ
Elipse horizontal, entonces
2
2
2
y
x
+
=1
56, 25 9
x
–π 2
B
2
2
2
y
y
+
=1
Ecuación: x2 + 2 = 1 $ x
56, 25 9
a
b
Rpta.:
4
–2
a=7,5 ∧ b=3 ∴
Prohibida su venta
a
y=A arc cos(Bx+C)+D
2 =
6
B
1
B=
3
II) Aπ=4π
I)
A=4
CENTRAL: 6198 – 100
19
SOLUCIONARIO
Examen UNI 2020 – I
Matemática
Resolución 40
III) Abscisa del centro:
Bx+C=0
Identidades
variable
C
x=B
1
1 c m =- C
3
C=- 1
3
sec2θ = cotanθ
cos2θ = tanθ
cos4θ = tan2θ
Rpta.: 4
E= 3 9 + tan2 i − sec2 i
0.
E= 3 9 + (− 1)
Calcule el valor de
4
E= 3 8
2
2
9 + cos i − tan i. csc i
A)
1
B)
2
Piden:
E= 3 9 + cos 4 i − tan2 i. csc2 i
1+tan2θ – cotθ =
E=
∴E=2
Rpta.: 2
C) 3
D) 4
5
Prohibida su venta
E)
20
una
1+tan2θ = cotanθ
Pregunta 40
3
de
Usando el dato:
1 1
∴ A+B+C=4+ - =4
3 3
Si
trigonométricas
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