CAPITULO 9.1. ENGRANAJES PLANETARIOS. DESCRIPCION GENERAL.cap09-01 (2)

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CAPITULO 9
TRENES DE ENGRANAJES, REDUCTORES
PLANETARIOS Y DIFERENCIALES
División 1
Engranajes. Descripción General
Técnicas constructivas. Cinemática
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
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1. Engranajes
Generalidades y Nociones Históricas
Los engranajes y las transmisiones de engranajes están presentes en muchas de las máquinas
que se pueden hallar tanto en el mundo industrial como en el doméstico. Los engranajes
promueven el movimiento de las ruedas y hélices de los medios de transporte, ya sea por
tierra, mar o aire.
Sin embargo, la tecnología asociada a los engranajes no es, en absoluto, una cuestión
novedosa. Antes bien, para buscar su origen debemos de remontarnos, por lo menos hasta a la
Grecia de la antigüedad. Así, hasta hace no mucho, se decía que la primera referencia a los
engranajes correspondía a Aristóteles, o a los discípulos de su escuela, y aparecía en el libro
"Problemas Mecánicos de Aristóteles" (280 a.C.). Tal apreciación, sin embargo, es incorrecta
ya que lo que contiene dicho libro es una referencia a un mecanismo constituido por ruedas de
fricción. Para una referencia más acertada deberíamos trasladarnos hacia el año 250 a.C.,
cuando Arquímedes desarrolló un mecanismo de tornillo sin fin - engranaje, en sus diseños de
máquinas de guerra.
Por otro lado, el mecanismo de engranajes más antiguo que se conserva es el mecanismo de
Antikythera (Figura 9.1) -descubierto en 1900 en la isla griega de ese nombre en un barco
hundido-. El mecanismo, datado alrededor del año 87 D.C., resultó además ser
extremadamente complejo (incluía trenes de engranajes epicicloidales) y podría tratarse de
una especie de calendario solar y lunar. Con anterioridad a este descubrimiento, se había
venido considerando como la primera aplicación conocida de engranajes diferenciales
epicicloidales al llamado "carro que apunta hacia el Sur" (120-250 D.C.): un ingenioso
mecanismo de origen chino (Figura 9.2) que mantenía el brazo de una figura humana
apuntando siempre hacia el Sur (considerando, eso sí, que en las ruedas del carro no existía
deslizamiento). Por otro lado en el Figura 9.3 se muestra un par de engranajes helicoidales
tallados en madera y hallados en una tumba real en la ciudad china de Shensi, los cuales
fueron datados en la época contemporánea a Jesucristo, específicamente 50 DC. Tales
engranajes tienen 24 dientes con un diámetro de 15 mm y un ancho de 10 mm (ver la
Referencia [6])
Posteriormente, la tecnología de los engranajes apenas sufrió avances hasta llegar a los siglos
XI-XIII con el florecimiento de la cultura del Islam y sus trabajos en astronomía. Poco tiempo
después esta tecnología se utilizó en Europa para el desarrollo de sofisticados relojes, en
muchos casos destinados a catedrales, abadías y especialmente a monasterios de
congregaciones religiosas; únicos lugares donde se generaba conocimiento antes de la
creación de las universidades europeas.
Un siglo más tarde, entre el siglo XV y XVII se desarrollan las primeras teorías de engrane y
las matemáticas de los perfiles de los dientes de los engranajes, especialmente los perfiles
cicloides debidos a Desargues y los perfiles de evolvente debidos La Hire. Luego con la
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revolución industrial la ciencia y tecnología de los engranajes alcanza su máximo esplendor.
A partir de este momento, la aparición de nuevos inventos conlleva el desarrollo de nuevas
aplicaciones para los engranajes, y con la llegada del automóvil -por ejemplo- la preocupación
por una mayor precisión y suavidad en su funcionamiento se hace prioritaria.
Figura 9.1. Mecanismo de Antikytheras (Tomado de Referencia [6])
Figura 9.2. Mecanismo que apunta al sur (modelo del museo Smithsoniano)
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Figura 9.3. Engranaje helicoidal tallado en madera, hallado en una tumba de Shensi, China (Referencia [6])
Actualmente, los métodos de desarrollo de mecanismos constituidos por engranajes han
avanzado considerablemente, por ejemplo, las aplicaciones aeronáuticas en las que se utilizan
engranajes de materiales ligeros, sometidos a condiciones de gran velocidad y que a su vez
deben soportar cargas importantes. Por otro lado el avance conjunto de la interrelación de
técnicas experimentales y computacionales complejas (Métodos de Elementos Finitos, por
citar un caso), hace posible la evaluación detallada de casi todo tipo de fenómeno asociado a
los engranajes.
Funcionamiento
Los engranajes tienen la función de transmitir una rotación entre dos ejes con una relación de
velocidades angulares constante. Así, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas o
Engrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecánica entre
dos ejes mediante contacto directo entre dos cuerpos sólidos unidos rígidamente a cada uno de
los ejes.
Se denomina "Relación de Transmisión" al cociente entre la velocidad angular de salida ω2
(velocidad de la rueda conducida) y la de entrada ω1 (velocidad de la rueda conductora):
i=ω2/ω1. Dicha relación puede tener signo positivo -si los ejes giran en el mismo sentido- o
signo negativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relación de
transmisión es mayor que 1 (i>1) se supondrá el empleo de un mecanismo multiplicador, y si
es menor que 1 (i<1) -que suele resultar lo más habitual- supondrá el empleo de un
mecanismo reductor, o simplemente de un reductor.
Es claro que la obtención de una relación de transmisión constante entre dos ejes, no es algo
privativo de los engranajes, ya que lo mismo puede obtenerse con correas o cadenas o ruedas
de fricción, o hasta levas entre los más conocidos. Sin embargo dichos dispositivos poseen
ciertas limitaciones principalmente en el orden de la carga o potencia que pueden movilizar.
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Los engranajes, por otro lado, poseen varias ventajas competitivas que los hacen óptimos para
tal tipo de tarea (transmitir movimiento rotatorio entre dos ejes con una relación de
transmisión constante), tales como su relativa sencillez de fabricación, su capacidad para
transmitir grandes potencias, la gran variedad de opciones constructivas, etc.
Clasificación
Los engranajes pueden clasificarse de diferentes maneras, a saber:
1) Según la distribución espacial de los ejes de rotación
2) Según la forma de dentado
3) Según la curva generatriz de diente
Una forma común de clasificar a los engranajes es a partir de la 1), es decir según la
distribución espacial de los ejes de rotación, también denominados axoides. En la Figura 9.4
se puede apreciar un esquema muy general de distribución de axoides de rotación y sus
respectivas direcciones. Dadas las direcciones X1 y X2 se puede trazar el vector opuesto a 1,
o sea –1 de manera que el sistema quede trabado con un movimiento resultante 2-1, cuyo
eje instantáneo de rotación y deslizamiento dará el tipo de movimiento entre los dos ejes.
Figura 9.4. Distribución de los ejes de rotación y sus direcciones
Así pues, según que los ejes sean paralelos o se corten o se crucen corresponderán a las
siguientes subclases de engranajes Cilíndricos, Cónicos o Hiperbólicos, respectivamente.
Engranajes Cilíndricos:
- De Dientes Rectos Exteriores (Ver Figura 9.5.a)
- De Dientes Rectos Interiores (Ver Figura 9.5.b)
- De Dientes Helicoidales Exteriores (Ver Figura 9.5.c)
- De Dientes Helicoidales Interiores (Ver Figura 9.5.d)
- De Dientes Rectos con cremallera (Ver Figura 9.5.e)
Engranajes Cónicos
- De dientes Rectos (Ver Figura 9.5.f)
- De dientes Helicoidales (Ver Figura 9.5.g)
Engranajes Hiperbólicos
- Sin Fin-Corona (Ver Figura 9.5.h)
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- Hipoidales (Ver Figura 9.5.i)
- De dientes helicoidales y ejes cruzados (Ver Figura 9.5.j)
Engranajes No circulares
- Ruedas dentadas para fines específicos similares a los de las levas o los de ciertos
mecanismos (Ver Figura 9.5.k)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
Figura 9.5. Ejemplos de engranajes.
En la Figura 9.6 se muestra una caja de velocidades, con aplicaciones de diversos tipos de
pares de ruedas dentadas como las expuestas en la Figura 9.5. Esta caja de velocidades,
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muestra a su vez lo económicamente funcional y atractivo de utilizar varias etapas diferentes
para incrementar la velocidad, en vez de utilizar un solo par de engranajes para cumplir el
mismo cometido. Las características más fáciles de ver son:
a) Aspecto compacto y sólido del cuerpo: dado que los ejes son más bien cortos y
simplemente apoyados y los engranajes se ubican muy cercanos a los cojinetes para
evitar deflexiones excesivas.
b) Robusteza en aumento desde la entrada de par motor a la salida del par motor
Figura 9.6. Ejemplos de aplicaciones de engranajes: caja de Velocidades: Reductora.
Con el objeto de mostrar las características operativas más importantes de los engranajes,
desde los principios de funcionamiento hasta consideraciones de seguridad y control se
emplearán preferentemente configuraciones de engranajes de dientes rectas por poseer mayor
simplicidad constructiva. El conocimiento de este tipo de engranaje es fundamental para
comprender el funcionamiento de los pares de engranajes con mayor complejidad geométrica,
lo cual incluye a los engranajes cilíndricos de dientes helicoidales, que son más preferidos que
los de dientes rectos por ser operativamente más efectivos, compactos y permiten mayores
velocidades. Aun así, los lineamientos generales del funcionamiento de los engranajes de
rientes rectos son plenamente útiles en diferentes escalas de potencia y tamaño, como lo
atestiguan los dos ejemplos de la Figura 9.7. En la Figura 9.7.a se puede observar un
dispositivo micromecánico donde la rueda dentada genera los movimientos para los
actuadores longitudinales. En la Figura 9.7.b se muestra una aplicación de engranajes
planetarios para la transmisión de grandes potencias en un puente rotativo. En definitiva, sea
en escala micro o macro, la mecánica de los engranajes se rige por las mismas expresiones
analíticas.
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(a)
(b)
Figura 9.7. Escalas de aplicación de engranajes. (a) micromecánica (b) macromecánica (Referencia [7])
La Ley de Engrane, acción conjugada y obtención de perfiles conjugados
Los dientes de los engranajes para transmitir el movimiento de rotación, actúan conectados de
modo semejante a las levas, siguiendo un patrón o pista de rodadura definido. Cuando los
perfiles de los dientes (o levas) se diseñan para mantener una relación de velocidades
angulares constante, se dice que poseen "Acción Conjugada". En consecuencia los perfiles
de dientes de engranajes que ostenten acción conjugada, se denominarán “perfiles
conjugados”.
En términos generales, cuando una superficie hipotética empuja a otra (Figura 9.8), el punto
de contacto "c" es aquél donde las superficies son tangentes entre sí. En estas circunstancias
las fuerzas de acción-reacción están dirigidas en todo momento a lo largo de la normal común
"ab" a ambas superficies. Tal recta se denomina "Línea de Acción" y cortará a la línea de
centros "O1O2" en un punto P llamado "Punto Primitivo". En los mecanismos de contacto
directo, en los cuales se produce contacto entre superficies que deslizan y/o ruedan, la
relación de velocidades angulares es inversamente proporcional a la relación de segmentos
que determina el "punto primitivo" sobre la línea de centros (la demostración se apoya en el
teorema de Aronhold-Kennedy), o sea:
i
 2 r1 O1 P
 
 1 r2 O2 P
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(9.1)
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O1P y O2P se denominan "Radios Primitivos" y a las circunferencias trazadas desde O1 y O2
con esos radios "Circunferencias Primitivas". En consecuencia, para que la relación de
transmisión se mantenga constante, el punto P deberá permanecer fijo: la línea de acción, para
cada punto de contacto, deberá pasar siempre por P.
Figura 9.8. Esquema para la ley de engrane
La ley de engrane basada en el análisis de la expresión (9.1) se puede enunciar como sigue:
"La relación de transmisión entre dos perfiles se mantendrá constante, siempre y cuando la
normal a los perfiles en el punto de contacto pase en todo instante por un punto fijo de la
línea de centros."
Como se ha mencionado anteriormente los perfiles que verifican la ley de engrane constante,
son denominados perfiles conjugados. Si se tiene un perfil cualquiera 1 que gira alrededor de
O1, siempre se puede calcular un perfil 2 que girando alrededor de O2 y en contacto con 1
dé lugar a una relación de transmisión constante i = cte. es decir, tal que 2 sea el perfil
conjugado de 1 según se puede apreciar en la Figura 9.9.
Si se conocen los puntos O1 y O2 junto con la relación de transmisión i, se puede hallar el
punto primitivo P, el cual se ubica sobre la línea de centros (y por tanto tangente a las
circunferencias primitivas de radios r1 y r2). Resolviendo el siguiente sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas:
r1  r2  O1 P  O2 P  D
i
 2 r1 O1 P
 
 1 r2 O2 P
(9.2)
El lugar geométrico de los puntos que coinciden en cada instante con el punto de contacto
entre ambos perfiles o superficies se le denomina "Línea de Engrane". El ángulo α que
forma la normal a los perfiles en el punto de contacto con la perpendicular a la línea de
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centros se denomina "Ángulo de Presión". El ángulo α determina, por tanto, la dirección en
la que tiene lugar la transmisión de potencia entre ambos perfiles. Si este ángulo varía, la
dirección de transmisión de potencia varía y esto es algo que, desde el punto de vista
dinámico, puede resultar muy perjudicial. Lo ideal sería poder obtener una "línea de engrane"
que fuese una línea recta (con lo que el ángulo de presión se mantendría constante).
1
r1
2
r2
Figura 9.9. Cinemática de los perfiles conjugados
Las superficies o perfiles conjugados gozan de las siguientes propiedades
a) Si 2 es el perfil conjugado de 1, se verifica la inversa, es decir que 1 es el perfil
conjugado de 2.
b) Si 2 es el perfil conjugado de 1 y 3 es el perfil conjugado de 2, entonces 3 y 1
son el mismo perfil.
c) Si se fija un perfil conjugado 1 a una circunferencia ruleta de radio r1 y se hace rodar
sobre una circunferencia base de radio r2 se obtendrá una serie de posiciones sucesivas
del perfil 1 según se aprecia en la Figura 9.10, de manera que la curva evolvente del
perfil 1 en todas esas posiciones dará el perfil conjugado.
d) La recta normal a dos perfiles conjugados pasa siempre por el punto primitivo P.
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Figura 9.10. Evolvente de un perfil conjugado.
La esencia en la mecánica y cinemática de los perfiles conjugados, no es estrictamente
privativa de los perfiles de dientes de engranajes, dado que aquella se presenta en muchas
otras aplicaciones no necesariamente emparentadas con los engranajes. Entre otras
aplicaciones importantes de las superficies conjugadas se encuentran, los impulsores de
bombas de lóbulo (ver Figura 9.11.a), o la bomba de espiral (ver Figura 9.11.b).
(a)
(b)
Figura 9.11. Otras superficies conjugadas. (a) bomba de lóbulos (b) Bomba de espiral
El perfil de evolvente
Una de las cosas que interesa en los engranajes es encontrar perfiles conjugados que, por una
parte, satisfagan la ley general de engrane y, por otra, sean fáciles de construir. Un perfil que
cumple estas condiciones es el de evolvente tal como se muestra en la Figura 9.12. Este tipo
de perfil es el que se emplea en la mayor parte de los engranes.
El perfil de evolvente o una curva de evolvente se puede definir de la siguiente manera.
-
La Evolvente es una curva tal que el lugar geométrico de los centros de curvatura
de todos sus puntos forma una circunferencia.
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(a)
(b)
Figura 9.12. (a) Perfil de evolvente (b) Generación para un diente de engranaje
La obtención del perfil evolvente sigue un patrón bastante claro si se observa la Figura 9.12.b.
Así pues la curva de evolvente se obtiene a partir del punto A0, desarrollando sobre las
tangentes sucesivas A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, etc., las longitudes de arco de A1A0, A2A0, A3A0,
A4A0, etc. con lo cual se obtienen los segmentos A1C1, A2C2, A3C3, A4C4, etc. uniendo los
puetos Ci se obtiene la curva evolvente deseada.
Entre las propiedades de los perfiles de evolvente se pueden destacar:
- La línea de engrane es una recta: Llamábamos línea de engrane al lugar geométrico
de los puntos de contacto entre perfiles conjugados. En el caso de los perfiles de
evolvente la línea de engrane es AB: la tangente común a las circunferencias base de
ambos perfiles (según se muestra en la Figura 9.13). La normal a los perfiles de
evolvente, que coincide con la línea de engrane, da la dirección de transmisión de los
esfuerzos El ángulo α que forma la línea de engrane con la horizontal, se denomina
ángulo de presión. El ángulo de presión en este caso es constante, lo que resulta
beneficioso desde el punto de vista dinámico.
-
Las superficies pueden engranar en cualquier distancia entre centros: Así pues, si
se modifica la distancia entre centros, los perfiles siguen engranando, aunque con
distinto ángulo de presión α' y distintos radios primitivos (r1i y r2i). Esto se debe a que
la relación de velocidades depende sólo de los radios de la circunferencia base (ρ1 y
ρ2), y no de la distancia entre centros. Conclusión que puede deducirse de forma
directa observando la Figura 9.13. Esto se puede ver analíticamente como:
 1 O1 AO1 PCos O1 A O1 PCos  r1Cos    1 O1 P r1 r1  2
   i  cte (9.3)
 
 2 O2 B O2 PCos O2 B O2 PCos  r2 Cos   2 O2 P r2 r2  1
-
Los perfiles de evolvente son fáciles de generar: Recurriendo a la fórmula de EulerSavary se puede comprobar que todos los perfiles de evolvente son conjugados entre
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sí, porque todos son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil con un
perfil solidario que es una línea recta. Este plano se apoya, a su vez, sobre una base
que no es otra que la circunferencia primitiva del engranaje. De esta forma, si se hace
evolucionar un plano móvil, en el que se encuentra una curva Cm de centro de
curvatura Om. Su conjugada en el plano fijo es Cf, de centro de curvatura Of. El punto
de contacto entre ambas es A. Esta construcción se puede apreciar en al Figura 9.13.b.
Por otro lado, conociendo las curvas base y ruleta del movimiento relativo entre
ambos planos, se puede plantear la ecuación de Euler-Savary de la siguiente manera:
 1
 1
1 
1 

Sen    cte

Sen  cte 



 2 
 OfP OmP 
 O1 P O2 P 
En consecuencia se puede escribir
 1
1 
1
1

Sen 


O1 P O2 P
 OfP OmP 
(9.4)
(9.5)
(a)
(b)
Figura 9.13. (a) Propiedad de separación de los perfiles conjugados. (b) Generación de evolvente
Ahora bien, la construcción genérica de la Figura 9.13.b con la expresión (9.5) se pueden
disponer en el caso de la evolvente. Así pues, según la Figura 9.14, la normal por el punto P
al perfil recto siempre es tangente a la circunferencia base. Luego, la evolvente de las distintas
posiciones del perfil de la recta da el perfil de evolvente. Para comprobarlo basta con
demostrar que el punto C de la Figura 9.14 es el centro de curvatura del perfil y que se
encuentra sobre una circunferencia de radio ρ. Así, teniendo en cuenta (9.5) se puede escribir:
 1
1 
1 1 1

Sen    , pero Om luego OfP  R Sen 

R  R
 OfP OmP 
(9.6)
Esto significa que el punto Of de la Figura 9.13.b, está siempre sobre una circunferencia de
centro O y radio  = R. Sen[].
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Figura 9.14. Generación del perfil de evolvente y su relación con las circunferencias base y primitiva.
En términos generales cuando se debe decidir por seleccionar el tipo de perfil del diente, se
puede hacer arbitrariamente. En tal caso, el perfil del diente de la otra rueda se calculará
mediante el método general de determinación del perfil conjugado de uno dado. Las ventajas
asociadas al perfil de evolvente que acaban de verse dan lugar a que éste sea el perfil
mayormente extendido; no obstante, pueden encontrarse también otros tipos de perfiles,
aunque en menor medida y en la mayor parte de los casos orientados a aplicaciones
específicas.
- Engranajes Cicloidales: La cabeza del diente está trazada por una epicicloide y el pie
por una hipocicloide. Tuvieron una gran difusión hace aproximadamente un siglo, en
virtud de la facilidad para reproducirlos por fundición. No obstante, en la actualidad
sólo se emplean en raras ocasiones para mecanismos especiales. En estos engranajes el
perfil convexo contacta con el cóncavo. Lo cual hace que la presión específica en este
tipo de contacto sea menor que cuando están en contacto dos perfiles convexos. Sin
embargo, esto mismo los hace ser muy sensibles a las variaciones en la distancia entre
ejes, requiriendo de una gran precisión. Al mismo tiempo, la velocidad de
deslizamiento que tiene lugar entre dos dientes de este tipo es constante en cada una de
las zonas del diente; y en ambos casos es significativamente menor que en el caso de
los engranajes de evolvente. Esto da lugar a un menor nivel de desgaste del diente. Ver
las Figuras 9.15 para entender el concepto de epicicloide e hipocicloide, mientras que
en la Figura 9.16 se puede ver su ensamble. Una limitación significativa delos perfiles
cicloidales reside en que la línea de engrane no resulta ser una línea recta, luego el
ángulo de presión varía y en consecuencia varían tanto las magnitudes de las fuerzas
de reacción en los cojinetes como las orientaciones de estas reacciones, lo que
conduce al aflojamiento de los cojinetes.
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-
Perfiles para engranajes de relojes: Utilizado en mecanismos de relojería y en
ciertos aparatos. Son similares a los perfiles cicloidales, pero en ellos la cabeza del
diente es una circunferencia y no una epicicloide, mientras que el pie tiene una
configuración rectilínea. Sufren poco desgaste y, sobre todo, tienen un funcionamiento
muy suave.
(a)
(b)
Figura 9.15. (a) Epicicloide. (b) Hipocicloide
Figura 9.16. Combinación de perfiles cicloidales.
2. Engranajes cilíndricos de dientes rectos
Los engranajes cilíndricos de dientes rectos tienen su antecedente en las denominadas ruedas
de fricción (Ver Figura 9.17) para poder transmitir movimiento entre dos ejes paralelos.
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Figura 9.17. Ruedas de Fricción y su relación con los engranajes.
Estas ruedas de fricción aun cuando permitan transmitir cierto par torsor o torque, no siempre
es constante debido al deslizamiento que se genera. Aprovechando las características de los
perfiles conjugados se puede hacer lo mismo dando lugar a los engranajes.
Nomenclatura
En la Figura 9.18 se muestra el desarrollo de una parte de la corona de un engranaje cilíndrico
de dientes rectos. En la misma se pueden apreciar las entidades geométricas más importantes
que definen a los engranajes. En cuanto sigue, los subíndices 1 y 2 indican los respectivos
engranajes
Figura 9.18. Características de los engranajes.
-
Circunferencia Primitiva (R): Llamada también circunferencia de paso y
corresponde a la homónima circunferencia de contacto de las ruedas de fricción.
Circunferencia Exterior (Re): Es denominada también circunferencia de addendum
o circunferencia de cabeza.
Circunferencia inferior (Ri): Es denominada también circunferencia de raíz o de pie
o de deddendum.
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-
Ancho de cara: Es la longitud del diente medida axialmente. También se la denomina
ancho de faja.
Addendum (a): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio de cabeza.
a  Re  R
-
(9.7)
Deddendum (l): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio inferior.
l  R  Ri
-
(9.8)
Paso Circular (p): es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes
consecutivos, medidos sobre la circunferencia primitiva o de paso
2  R
(9.9)
Z
Paso angular (pa): es el ángulo entre dos puntos homólogos de dos dientes
consecutivos.
pc 
-
2
(9.10)
Z
Ancho de espacio (h): es el espacio entre dos dientes consecutivos, medido en la
pa 
-
circunferencia de paso.
h  p e
-
Juego (j): es la diferencia entre el huelgo de un diente y el espesor del engranaje junto
con aquel.
j  h1  e2
-
-
(9.12)
Holgura (c): es la diferencia entre el deddendum de un diente y el addendum del que
engrana con aquel.
c l 2  a1
-
(9.11)
(9.13)
Altura de diente (hT): es la distancia radial entre las circunferencias exterior e
inferior.
hT  a  l
(9.14)
Espesor de diente (e): es el espesor medido sobre la circunferencia de paso.
Número de dientes (Z): es la cantidad de dientes que tiene el engranaje
Módulo (m): es el cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y el número de
dientes.
2R
(9.15)
Z
Paso diametral (pd): es el cociente entre el número de dientes al diámetro primitivo
m
-
del engranaje
pd 

pc

1
m
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(9.16)
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El valor numérico de módulo determina el tamaño del diente, ya que el paso es el mismo sin
importar si los dientes se colocan en una rueda pequeña o en una rueda grande. Nótese que a
mayor "m", mayor será el diente y a mayor pd menor tamaño de diente. Por otro lado, y con
respecto a otro tipo de pasos (pc, pa) el módulo tiene la ventaja de no depender del número π.
En la Figura 9.19 se puede ver una galga de identificación de pasos diametrales normalizados.
Figura 9.19. Galga de pasos diametrales.
En general, para que dos ruedas dentadas con perfil de evolvente sean intercambiables entre
sí, se deben cumplir las siguientes condiciones.
- Tener el mismo módulo (o mismo paso circular o diametral según (9.16)).
- Igual ángulo de presión de generación.
- Presentar addendum y dedendum normalizados.
- Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia
primitiva.
Existen diferentes criterios y formas de normalización de los perfiles de dientes, según las
normas técnicas de cada país:
- DIN de Alemania
- AFNOR de Francia
- UNE de España
- AGMA de Estados Unidos de Norteamérica
Sin embargo la más conocida y empleada es la última. En la Tabla 9.1 se muestran algunos
casos estándar para cuatro clases de dientes.
CLASE
Grueso
Semi Grueso
Fino
pd [pul-1]
½, 1, 2, 4, 6, 8, 10
12, 14, 16, 18
20, 24, 32, 48, 64, 72, 80, 96, 120, 128
Extrafino
150, 180, 200
Tabla 9.1. Paso diametral estándar (AGMA) para cuatro clases de dientes
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Distancia central entre engranajes
Observando la Figura 9.17 y teniendo en cuenta las definiciones (9.7) a (9.16) se puede
obtener la siguiente expresión de la distancia entre ejes:
pc
1
 Z 1  Z 2 
Z 1  Z 2 
(9.17)
2
2. pd
Es claro que conocidos los radios de las circunferencias primitivas de los engranajes, se puede
obtener fácilmente la distancia central.
cd  R1  R2 
Construcción de engranajes rectos
Los procedimientos más comunes para el tallado de ruedas dentadas se dividen en dos
grandes grupos:
- Procedimientos de reproducción.
- Procedimientos de generación o rodadura.
Procedimientos de Reproducción
En los procedimientos de mecanizado o tallado de ruedas dentadas por reproducción, el borde
cortante de la herramienta es una copia exacta de la rueda a tallar o de cierta parte de ella (por
ejemplo, del hueco entre dientes contiguos). Estos métodos exigen de un número elevado de
herramientas, ya que incluso para fabricar ruedas dentadas con el mismo módulo es necesario
contar con una herramienta para cada número de dientes puesto que el hueco interdental varía.
Se pueden distinguir los siguientes procedimientos:
- Fundición: Se puede considerar como herramienta el molde que se llena con el
material colado. Este molde es una copia exacta de la futura rueda, si no se considera
el sobreespesor que va asociado a la fundición.
- Procesos de metalurgia de polvos o pulvimetalurgia.
- Estampado: La matriz que sirve como herramienta cortante tiene la forma de la futura
-
rueda. Es un procedimiento empleado generalmente con ruedas delgadas.
Por corte con herramientas: La herramienta tiene la forma exacta del hueco
interdental. Cabe distinguir dos procedimientos según la máquina herramienta
utilizada
o Cepillado: La herramienta en la sección perpendicular a la dirección de su
movimiento tiene perfiles cortantes que se corresponden perfectamente con el
contorno del hueco interdental del engranaje a tallar.
o Fresado: se utiliza una herramienta denominada fresa estandarizada o “fresa de
módulo" cuyos dientes tienen perfiles idénticos a la forma del hueco
interdental que se pretende. Al final de cada operación de fresado la fresa
vuelve a su posición inicial y la pieza bruta gira un ángulo igual a 1/Z de vuelta
para poder fresar el siguiente hueco. Ver Figura 9.20
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Figura 9.20. Características del fresado.
Procedimientos de Generación
Entre los procedimientos de generación de ruedas dentadas se pueden hallar:
- Generación por cremallera: para esto se aprovecha una propiedad del perfil de
evolvente, según la cual todos los perfiles de evolvente son conjugados a una ruleta
constituida por un plano móvil, que apoya sobre una base que es la circunferencia
primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una línea recta. Así se pueden
generar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la línea primitiva de
ésta ruede sobre la circunferencia primitiva del engranaje. La cremallera consiste en
varios planos rectos unidos rígidamente, de modo que pueden generarse
simultáneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, la
cremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano
del dibujo de la Figura 9.21. Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se
gira la pieza que se está tallando un ángulo determinado y se repite el proceso.
Figura 9.21. Generación por cremallera.
-
Generación por mortajadora: es un procedimiento análogo al de la cremallera, pero la
mortajadora además del giro comunica un movimiento complementario de vaivén
axial. Después de cada operación de corte la rueda-herramienta y la pieza bruta giran
unos ángulos que mantienen la misma relación que las velocidades angulares. Ver
Figura 9.22.
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Figura 9.22. Generación por mortajadora.
Razón de contacto
Para garantizar un funcionamiento continuo y suave, cuando un par de dientes termina de
hacer contacto, debe haber un par sucesivo de dientes que entren en contacto inmediatamente
o que ya estén en contacto. Un objetivo en el diseño de ruedas dentadas es tener la mayor
superposición como sea posible. En la Figura 9.23 se muestran los elementos necesarios para
poder definir la relación de contacto, la cual es una medida de la superposición que se puede
obtener en un dentado determinado. La razón de contacto es un cociente entre la longitud de
la línea de acción al paso de la circunferencia de base.
Figura 9.23. Elementos geométricos para definir la razón de contacto.
Para un par de dientes, el contacto arranca en el punto “a” y concluye en el punto “b” (ver
Figura 9.23). Con rp y rg se identifican los radios los engranajes que intervienen. Con  se
identifica el ángulo de presión. Observando la Figura 9.23 se puede llegar a obtener la
siguiente relación entre longitudes:
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rog2  rbg2  L2ab*  rbg2  Lac  Lcb* 
2
rop2  rbp2  L2ba*  rbp2  Lcb  Lca* 
(9.18)
2
pero teniendo en cuenta que
Sen 
L
cb*

L
ca*
(9.19)
rg
rp
se pueden despejar de (9.18) Lac y Lcb de forma que la longitud de la línea de acción Lab viene
dada por:
Lab  rop2  rbp2  rog2  rbg2  cd Sen 
(9.20)
Luego la razón de contacto viene dado por la siguiente expresión:
Cr 
Lab
c Tan 
1

rop2  rbp2  rog2  rbg2  d
pc Cos  pc Cos 
pc


(9.21)
Por observaciones experimentales, las normas AGMA sugieren el diseño de engranajes que
tengan como mínimo una relación de contacto Cr = 1.2. Una razón de contacto entre 1 y 2
significa que en algún momento se encuentran dos pares de dientes en contacto. Mientras que
relaciones de contacto mayores que 2 o que 3 implica que habrá en algún momento tres o
cuatro pares de dientes en contacto simultáneo. La razón de contacto ofrece una idea del
número de dientes que engranan en cada instante y nunca podrá ser menor que uno. Por
ejemplo, una relación de contacto de 1.6 sugiere que el 60% del tiempo hay dos pares de
dientes en contacto simultáneamente, mientras que el 40% restante sólo hay uno.
Asociado a la razón de contacto, se halla el concepto de ángulo de conducción o ángulo de
contacto, el cual es el ángulo descripto desde el punto de primer contacto entre un par de
dientes hasta que los dientes pierden el contacto.
Interferencia
Se llama interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugadas, y a la
interferencia de la propia materia. Pueden distinguirse dos tipos:
- Interferencia de Tallado o Penetración.
- Interferencia de Funcionamiento.
La “Interferencia de tallado o penetración” tiene lugar cuando la cremallera de generación
corta material en puntos situados en el interior de la circunferencia base, es decir, más allá de
donde termina el perfil de evolvente. Ello destruye parcialmente el perfil de evolvente y
provoca un debilitamiento en la base del diente que afecta negativamente la resistencia del
mismo, como se puede ver en la Figura 9.24.a. El tallado de un engranaje con cremallera se
realiza haciendo rodar la "línea primitiva de la cremallera" (que tiene circunferencia primitiva
de R = ∞) sobre la circunferencia primitiva de la rueda. Así los dientes de la rueda se tallan
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como perfiles conjugados de los dientes de la cremallera (evolventes de sus sucesivas
posiciones). Sin embargo hay que tener en presente que el perfil de evolvente termina en el
punto C de la Figura 9.24.b (punto de la circunferencia base), y si la línea exterior de la
cremallera pasa por debajo de C se produce interferencia de tallado. Para que no se produzca
interferencia, el addendum debe cumplir con la siguiente expresión:
ac  PM  PC  Sen  R Sen 2  
(9.22)
pero teniendo presente que
mZ
2R
 Sen 2  
(9.23)
 ac 
2
Z
y si los dientes son normalizados según AGMA, donde se cumple que ac=m, entonces
m
2
(9.24)
Sen 2  
La expresión (9.24) pone ciertos límites al tallado de engranajes con el método de cremallera,
ya que favorece la interferencia en ruedas con menos de 17 dientes (con el ángulo de presión
Z
normalizado =20°).
(a)
(b)
Figura 9.24. (a) efecto de la interferencia de penetración. (b) Simulación de la interferencia
Existen sin embargo, algunas técnicas para salvar este inconveniente, entre las que están
- Incrementar el ángulo de presión a 25°
- Disminuir el tamaño del addendum del diente
- Tallar engranajes corregidos desplazando la cremallera
Estas tres alternativas exceden el alcance de estas notas y por ello se sugiere recurrir a la
literatura especializada (referencia [8]).
La “Interferencia por Funcionamiento” tiene lugar cuando un diente de una de las ruedas
entra en contacto con el de la otra en un punto que "no está tallado" como función evolvente,
tanto en el caso de que se pretenda engranar fuera de "segmento de engrane", como en el que
se pretenda engranar en un punto de este segmento que no esté tallado como perfil de
evolvente.
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En la Figura 9.25 se puede apreciar el potencial efecto de la interferencia de funcionamiento,
para lo cual se prevé una holgura circunferencial determinada, llamada también juego o
“backlash”. En la Tabla 9.2 se suministran algunos valores indicativos de juegos mínimos
recomendados para el buen funcionamiento de engranajes de paso basto. Un efecto
contraproducente que puede traer el “backlash” o golpeteo, es que puede no transferir toda la
carga de manera uniforme y genera condiciones de potencial rotura por fatiga.
Figura 9.25. Interferencia de funcionamiento y juego.
distancia central cd [pul]
2
4
8
16
18
0.005
0.006
12
0.006
0.007
0.009
8
0.007
0.008
0.010
0.014
5
0.010
0.012
0.016
3
0.014
0.016
0.020
Tabla 9.2. Juego recomendado (medido en [pul]) por AGMA 1012-F90.
Paso diametral pd [pul-1]
Formas analíticas de los perfiles de evolvente: Aplicaciones
Se puede obtener una forma analítica para hallar el perfil de evolvente, con el cual luego se
puede tiene una forma para medir el espesor del diente para diferentes radios, conociendo el
espesor del diente en la circunferencia de paso.
Así pues, en la Figura 9.26.a se puede observar la generación de un perfil de evolvente. De
acuerdo a lo expuesto en los apartados anteriores, queda claro que la longitud del arco AB es
igual a la longitud del segmento BC. En consecuencia se puede escribir:
AB  R    


BC  R Tan 

 Tan    
(9.25)
La expresión recuadrada es denominada función evolvente. Se puede calcular el ángulo  de
generación en función de y, lo cual es muy fácil de obtener. Pero para construir la curva es
necesario emplear la inversa de (9.25) cuya solución se halla con métodos aproximados, luego
   
(9.26)
Las funciones  y  son funciones inversas. Luego el radio r, medido desde O, se obtiene de
la siguiente manera:
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r
R
R

Cos  Cos  
(9.27)
(a)
(b)
Figura 9.26. Función de envolvente y la ponderación de espesor.
Ahora bien, Para hallar el espesor del diente en un punto T, conocido dicho espesor en otro
punto A, del análisis de la Figura 9.26 se pueden establecer las siguientes relaciones:
eT  2 RT   T
e A  2 R A   A
(9.28)
 A   A  T   T
Luego, teniendo en cuenta (9.25) y (9.28) se puede despejar eT como:
e

eT  RT  A  2  A   T 
 RA

(9.29)
Normalmente, el espesor del diente conocido es el situado sobre la circunferencia primitiva
(A está sobre la circunferencia primitiva). Para engranes tallados a cero (sin corrección) se
verifica que eA = pc/2 = m π/2. La expresión (9.29) puede emplearse para evaluar
analíticamente la corrección de dentado.
Los dientes de engranajes vistos en los apartados anteriores corresponden a engranajes
normales o tallados a cero, es decir, tallados de forma que la circunferencia primitiva de
tallado (la que rueda sobre la línea primitiva del piñón o de la cremallera) tiene igual espesor
de diente que de hueco. Además del interés que se puede tener en obtener una relación de
contacto razonable y en mejorar la resistencia mecánica de los dientes de las ruedas, estos
engranajes tienen dos importantes limitaciones:
- Un Número de dientes mínimo, por debajo del cual se produce interferencia de tallado,
según la (9.24)
- La distancia entre centros viene impuesta por la normalización de los módulos y los
números de dientes, pues:
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m
d c  R1  R2  Z 1  Z 2 
2
(9.30)
La solución a estos problemas se obtiene con los engranajes corregidos. La idea consiste en
tomar como línea primitiva de la cremallera de tallado -en el caso de generación por
cremallera- una línea en la que la anchura del diente sea distinta de la anchura del hueco,
según se puede apreciar en la Figura 9.27. Donde  es el ángulo de presión. De esta manera la
cremallera es desplazada una cantidad “m·x”, donde “x” es denominado factor de corrección
y “m” el módulo del engranaje. Así una corrección positiva, evitará la interferencia de tallado,
nótese por otro lado la Figura 9.28 con las diferentes situaciones de interferencia.
Figura 9.27. Tallado para un engranaje corregido.
Figura 9.28. Interferencias y tallado.
En la Figura 9.28, se muestra un engranaje de Z = 12, ángulo de presión 20°, módulo 2. La
parte superior tiene una interferencia de x = 0.1, mientras que la parte inferior tiene una
interferencia de x = 0.5. Obsérvese, por otro lado, las diferencias en el espesor en la cabeza
del diente, para un caso y otro, siendo ambos maquinados con la misma herramienta.
En determinadas circunstancias es necesario plantear el problema de interferencia de tallado
de modo inverso, es decir conocido el número de dientes a tallar, calcular cuál será el factor
de corrección mínimo (x) para que no exista interferencia de tallado. En virtud de lo visto en
los apartados anteriores, tal solución es viable desde un punto de vista analítico, el cual
redunda en importantes conclusiones de índole más práctica en el tallado de engranajes por
cremallera.
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Figura 9.29. Esquema de corrección de dentado por cremallera.
Si se observa la Figura 9.29 se desprende que para que no exista interferencia por tallado, se
debe cumplir la siguiente relación:
m1 x CP Sen 
(9.31)
de la cual teniendo en cuenta la expresión (9.24) y que:
CP Sen  R Sen 2  
mZ
 Sen 2  
2
(9.32)
se tiene finalmente el factor de corrección mínimo como:
x  1
Z  Sen 2  
Z
 1
2
Z límite
(9.33)
Ahora bien, en cuanto a la distancia entre centros, considérense dos ruedas de radios
primitivos R1 y R2 maquinadas con la misma cremallera pero con desplazamientos distintos x1
y x2, respectivamente. Si x1 y x2 son positivos, las ruedas no engranarán a la distancia entre
centros igual a la suma (R1 + R2), porque ha aumentado el espesor de los dientes en las
circunferencias primitivas, y cada diente no cabe en el hueco de la otra rueda. Análogamente,
si ambas son negativas, existirá gran holgura entre el espesor del diente y el hueco sobre la
circunferencia primitiva. En cualquier caso, las ruedas engranarán a otra distancia entre ejes y
los radios de las circunferencias primitivas de tallado no coincidirán con los de las
circunferencias primitivas de funcionamiento. Estos tendrán los siguientes valores R1v y R2v,
formando en consecuencia un nuevo ángulo de presión efectivo a v. Esto puede verse en la
Figura 9.30. Los radios de base se mantienen iguales, es decir se cumple que
Rb1  R1 Cos  R1v Cos v 
Rb 2  R2 Cos  R2 v Cos v 
(9.34)
Ahora bien observando la Figura 9.31, se pueden deducir los espesores de diente sin
modificación (e) y modificado (e’), los cuales vienen dados por las siguientes expresiones:
e
pc m.
, e'e  2 x.mTan 

2
2
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(9.35)
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Figura 9.30. Esquema de funcionamiento.
Figura 9.31. Esquema de modificación en el tallado.
Luego los espesores en las circunferencias primitivas de los engranajes 1 y 2 vienen dados
por:
m.
 2 x1 mTan 
2
m.
e'2 
 2 x 2 .mTan 
2
e'1 
(9.36)
Ahora bien teniendo en cuenta la expresión (9.29), los espesores
e'

e'1v  R1v  1  2    v 
 R1

e'

e'2v  R2 v  2  2    v 
 R2

(9.37)
E igualando la suma de los espesores de los dientes de ambas ruedas al paso medido sobre las
circunferencias primitivas de funcionamiento se tiene:
e'1v e'2v  pv 
2R1v 2R1v
R

 m 1v
Z 1 2 R1 / m
R1
(9.38)
Sustituyendo (9.36) y (9.37) en (9.38) y teniendo en cuenta que
R1 R1v Rb1


R2 R2 v Rb 2
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(9.39)
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Luego de algunas manipulaciones algebraicas se obtiene finalmente:
  v    2
 x1  x2 
Tan 
Z 1  Z 2 
(9.40)
La cual es la condición geométrica para que un engranaje engrane con otro sin juego y
garantice las condiciones de funcionamiento.
3. Engranajes cilíndricos de dientes helicoidales
Nociones Básicas
Los engranajes rectos tienen la característica de que cada diente empieza a engranar
bruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los
pequeños errores geométricos inevitables en la fabricación de los dientes se traducen en
pequeños choques al empezar el engrane, acompañados del correspondiente ruido. Además, al
ser variable con el tiempo el número de dientes en contacto (por ejemplo, para una relación de
contacto del 1,7), ello se traduce en variaciones de carga súbitas sobre los dientes (no es lo
mismo que un diente soporte toda la carga que ésta sea repartida entre dos); es decir,
variaciones bruscas de la fuerza transmitida a cada diente. Debido a esto, los engranajes
cilíndricos rectos no resultan adecuados para transmitir potencias importantes (producen
vibraciones, ruidos, etc).
Una primera aproximación para solucionar este problema podría consistir en tallar engranajes
rectos desplazados, de modo que los saltos súbitos se suavicen. Es lo que se conoce como
engranajes cilíndricos escalonados y su funcionamiento es tanto más suave cuanto mayor es el
número de escalones en los que es tallado el engranaje. La idea de los engranajes helicoidales
surge así como el paso al límite de los engranajes escalonados, en donde los saltos son tan
pequeños (infinitesimales) que hay continuidad. En ellos, el engrane de dos dientes empieza y
termina de forma gradual, lo que se traduce en una marcha más “suave” (menos ruido y
vibraciones). Al mismo tiempo, los dientes helicoidales permiten obtener, con cualquier
número de dientes, una relación de contacto tan grande como se quiera.
Figura 9.32. Esquema de engranaje helicoidal como límite de sucesión de engranajes rectos infinitesimales.
En un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales (véase la Figura 9.33), una sección formada
por un plano normal al eje de giro presenta un perfil análogo al de un engranaje de dientes
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rectos (perfil de evolvente, ángulo de presión, línea de engrane, etc). Este es el denominado
perfil frontal de la rueda, situado sobre el plano frontal o aparente.
Figura 9.33. Plano de corte frontal de un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales.
Los engranajes helicoidales tienen dos pasos relacionados, uno en el plano de rotación y otro
en el plano normal al diente. En los engranajes de dientes rectos, los pasos se miden solo en el
plano de rotación. En los engranajes de dientes helicoidales existe además un paso axial. En la
Figura 9.34 se muestran estos pasos.
Figura 9.34. Pasos de los engranajes helicoidales.
-
pc es el paso circunferencial
pcn es el paso normal
pa es el paso axial
 es el ángulo de hélice
pcn  pc Cos  ,
p dn 
pd
,
Cos 
pa 
pc
p
 cn
Tan  Sen 
(9.41)
En los engranajes helicoidales se pueden caracterizar tres ángulos diferentes, que influyen en
la definición geométrica y distribución de las fuerzas. Estos ángulos son:
-
El ángulo de hélice 
-
El ángulo de presión en la dirección normal n
-
El ángulo de presión en la dirección tangencial t
Estos tres ángulos pueden ser identificados en la Figura 9.35. Se podría ver sin mayores
complicaciones que los tres ángulos están relacionados por la siguiente expresión
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Cos 
Tan n 
Tan t 
(9.42)
Ahora bien, observando la Figura 9.35, donde se presenta un cilindro cortado por un plano
oblicuo en un ángulo igual al ángulo de hélice. El plano oblicuo corta un arco que tiene radio
de curvatura R. En el caso de que  = 0 (engranaje de dientes rectos), el radio de curvatura es
igual a R = D/2. Pero si se va aumentando paulatinamente el valor del ángulo , hasta llegar a
 = 90°, se tendrá que el radio de curvatura es INFINITO. El radio de curvatura R del cilindro
intersectado por el plano oblicuo, es el radio de paso aparente de un diente de engranaje
helicoidal cuando se ve en la dirección de los elementos del diente. Un engranaje con el
mismo paso y con el ángulo y, tendrá un mayor número de dientes debido al radio
incrementado. Este número de dientes se denomina Número de Dientes Virtuales y se calcula
de la siguiente forma
N 
N
Cos 3  
(9.43)
donde N es el número de dientes real, N’ es el número de dientes virtual.
Figura 9.35. Identificación de ángulos en un perfil helicoidal.
Al igual que los engranajes rectos, los helicoidales pueden presentar interferencia, el número
mínimo de dientes para un engranaje que opera sin riesgo de interferencia se calcula con la
siguiente expresión (ver referencia [9])
NP 
4 kCos 
1 1 3Sen 2 t 
2
6 Sen t 
1_ Para _ dientes _ completos
con k  
 0.8 _ Para _ dientes _ cortos
(9.44)
4. Engranajes cónicos
Nociones Básicas
Los engranajes cónicos se emplean para transmitir movimiento entre ejes que se intersecan.
En la Figura 9.36 se muestra un par de engranajes cónicos y se ilustra la terminología de los
mismos. Los ángulos de paso se definen por los conos de paso que se unen en el ápice. Así
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pues, si NP y NG son los números de dientes en el engranaje pequeño y grande,
respectivamente; entonces:
NG
NP
Tan  ,
Tan 
NG
NP
(9.45)
Figura 9.36. Engranajes cónicos.
En la expresión (9.46) se indica una forma aproximada para calcular el número virtual de
dientes de un engranaje cónico
N 
2 rb
pc
(9.46)
siendo rb el radio del cono posterior, pc es el paso circular medido en el extremo mayor de los
dientes.
5. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000
[3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1999
[4] A.H. Erdman y G.N. Sandor, “Diseño de Mecanismos” Prentice Hall 1998
[5] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000
[6] M.J.T Lewis “Gearing in the ancient world”
[7] Editorial. “Lifting Boats, measuring gears”. Gear Technology. May-June 2003, 9-11.
[8] D.P. Townsend “Dudley´s gear handbook” McGraw Hill 1992
[9] R. Lipp, “Avoiding Tooth interference in Gears”. Machine Design 54(1) 122-124 (1982)
6. Problemas propuestos
Problema 1.
La entrada y la salida de
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Problema 2.
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