Ing. Roger Miguel Zumaeta López Instructor Esc. Administración Industrial. Administración de Operaciones II. Diseño de portada RZ

Administración de Operaciones II
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Ing. Roger Miguel Zumaeta López
Instructor Esc. Administración Industrial
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Esc. Administración Industrial
INTRODUCCIÓN
Podemos definir la Administración de Operaciones como el área
de la Administración de Empresas dedicada tanto a la investigación
como a la ejecución de todas aquellas acciones tendientes a generar el
mayor valor agregado mediante la planificación, organización, dirección
y control en la producción tanto de bienes como de servicios, destinado
todo ello a aumentar la calidad, productividad, mejorar la satisfacción
de los clientes, y disminuir los costes. A nivel estratégico el objetivo de
la Administración de Operaciones es participar en la búsqueda de una
ventaja competitiva sustentable para la empresa.
Una definición alternativa es la que define a los administradores
de operaciones como los responsables de la producción de los bienes
o servicios de las organizaciones. Los administradores de operaciones
toman decisiones que se relacionan con la función de operaciones y los
sistemas de transformación que se utilizan. Así pues, la administración
de operaciones es el estudio de la toma de decisiones en la función de
operaciones.
De estas definiciones surge claramente que el proceso de
dirección de operaciones consiste en planificar, organizar, gestionar
personal, dirigir y controlar, a los efectos de lograr optimizar la función
de producción.
Heizer & Render
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ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES
OBJETIVO
Explicar la importancia de la Administración de Operaciones en el proceso de
transformación de recursos en productos, orientados a satisfacer las necesidades de
un mercado.
DEFINICIÓN
Esto implica establecer las políticas y planes para utilizar los recursos, de
manera tal, que apoyen de la forma más conveniente la estrategia de competitividad a
largo plazo.
Hoy en día, los clientes tiene muchas opciones respecto a qué producto o
servicio comprar. Diferentes atributos atraen a distintos clientes. A continuación, se
comentan las principales dimensiones que establecen la posición competitiva de la
empresa.
ÁREAS DE DECISIÓN
Según Schoeder, los aspectos que requieren especial atención son:
Proceso: Las decisiones en esta área, determinan el proceso físico o instalación que
se utiliza para obtener el producto o servicio. Las decisiones incluyen el tipo y
tecnología, el flujo de proceso, la distribución de planta, así como todos los otros
aspectos de las instalaciones físicas o de servicios.
Muchas de estas decisiones son a largo plazo y no se pueden revertir, en
particular, por la inversión de capital; por lo tanto, resulta importante que el proceso
físico se diseñe con relación a la postura estratégica de largo plazo de la empresa.
Capacidad: Estas decisiones se orientan al suministro de la cantidad correcta de
capacidad, en el lugar correcto y en el momento exacto. La capacidad a largo plazo la
determina el tamaño de las instalaciones físicas que se construyen.
A corto plazo, se puede aumentar la capacidad por medio de subcontratos,
turnos adicionales o arrendamiento de espacio. La planeación de capacidad no sólo se
orienta al tamaño de las instalaciones sino también al número de apropiado de
trabajadores.
Inventarios: Las decisiones sobre inventarios determinan lo que debe ordenar, qué
tanto pedir y cuándo solicitarlo. Esto permite administrar los materiales desde su
compra, a través de los inventarios de materia prima, de productos en proceso y de
productos terminados. Los gerentes de inventarios deciden cuánto gastar en
inventarios, dónde colocar los materiales y otras soluciones derivadas de lo anterior.
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Fuerza de trabajo: La administración del recurso humano es el de mayor importancia,
dado que nada podrá realizarse sin el personal que elabora el producto o presta el
servicio. Las decisiones sobre la fuerza de trabajo incluyen la selección, contratación,
despido, capacitación, supervisión y compensación.
Calidad: La función de operaciones, es casi siempre responsable de la calidad de los
bienes y servicios producidos. Las decisiones sobre calidad deben asegurar que la
calidad se mantenga en el producto en todas las etapas de las operaciones, se deben
establecer estándares, diseñar equipos, capacitar personal e inspeccionar el producto o
servicio para obtener un resultado de calidad.
Costo o precio: Siempre hay un segmento del mercado que compra en función al
costo. Esto implica una empresa con estructuras de bajos costos de producción; dado
que es un sector muy competitivo. Los productos y servicios de este tipo son de tipo
general, es decir, no es fácil distinguir un producto o servicio de otro.
Calidad: Las características que definen la calidad son: diseño y proceso. Establecer el
grado “correcto” de calidad de diseño se basa en concentrarse en los requerimientos
del cliente. La calidad del proceso se relaciona con la confiabilidad del producto o
proceso.
Velocidad de la entrega: Muchos mercados valoran la capacidad de una empresa
para entregar su producto con mayor rapidez que sus competidores.
Confiabilidad de entrega: entregue cuando haya prometido. Se refiere a la capacidad
de la empresa para suministrar el producto o servicio en la fecha de entrega prometida
o antes de ella.
Afrontar los cambios de la demanda: cambie el volumen. Se refiere a la capacidad
de la empresa para responder ante incrementos o decrementos de la demanda; las
decisiones pueden pasar de invertir en nuevas tecnologías hasta despedir personal o
reducir activos, respectivamente.
Flexibilidad y velocidad para la introducción de nuevos productos: Se refiere a la
capacidad para ofrecer una amplia variedad de productos; se asocia con el tiempo de
desarrollo de nuevos productos.
Servicios adicionales: son los que apoyan e incrementan las ventas de productos
manufacturados, como consecuencia de tener productos poco diferenciados.





Apoyo técnico.
Apoyo después de la venta.
Producción a la medida.
Mezcla de productos.
Otros
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LOTE ECONÓMICO DE COMPRA
OBJETIVO
Determinar el lote económico de compra, que
permita atender el flujo normal del proceso
productivo, a la vez, de minimizar los gastos de
gestión de inventarios.
CONCEPTOS
Los factores a tener en cuenta en la gestión de
stocks pueden ser diferentes de un almacén a otro, o de una empresa a otra. No
obstante, hay una serie de elementos que en la mayoría de las ocasiones inciden en la
gestión de los almacenes.
Dichos elementos a veces pueden controlarse y en otros casos son
condicionantes. Entre los factores que con mayor frecuencia se pueden controlar
están: la cantidad a pedir o fabricar, el punto de pedido, el stock de seguridad o
protección y el plazo de aprovisionamiento. Entre los factores que se presentan como
no controlables podemos citar las demandas o necesidades de salida de almacén, la
forma de financiación, la caducidad de los artículos y el espacio del almacén.
El modelo de Wilson, se aplica para determinar el tamaño del lote a comprar o
fabricar. Los supuestos en los que se apoya el modelo son bastante ideales, al menos,
es difícil que se den en la realidad en su forma pura. Dichos supuestos son los
siguientes:






Que todas las variables que intervienen en la gestión son conocidas.
La demanda o necesidades de salida del almacén son conocidas y regulares a
lo largo de todo el período a estudiar.
Que los precios de adquisición o costes de fabricación permanecen invariables
durante dicho período.
Que no existen restricciones de espacio ni de presupuesto financiero.
Que los aprovisionamientos son instantáneos, o bien que el plazo de entrega es
totalmente conocido.
Que los costes de la gestión que afectan a la cantidad o lote a pedir o fabricar se
reducen a dos categorías que son: coste de mantenimiento y coste de pedido.
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INVENTARIO SIN DÉFICIT
Este modelo tiene como base el mantener un inventario sin falta de productos
para desarrollar las actividades de cualquier empresa.
Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes
suposiciones:
 La demanda se efectúa a tasa constante.
 El reemplazo es instantáneo (la tasa de reemplazo es infinita).
 Todos los coeficientes de costos son constantes.
En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una
empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías
para la venta.
D (A): Demanda anual
R: Nivel de reorden
Q: Cantidad óptima a pedir
Cu: Costo unitario (de compra)
Im: Inventario máximo
Cp (S): Costo de pedido
t: periodo entre pedidos
Cm (H): Costo de mantenimiento
L: Periodo de anticipación
i: Tasa o porcentaje de mantenimiento
Fórmulas:
Cantidad de pedido (unidad)
Q=√
2 Cp D
Cm
= √
2 Cp D
i Cu
Intervalo entre pedidos (años o la escala de tiempo de su análisis)
t=
Q
D
Número de pedidos (ped/año)
N=
D
Q
Punto de reorden (unidad)
R = Ddiaria L
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Costo total (um/año) = Costo comprar + Costo de pedir + Costo de mantener
Ct = Cu D + Cp
D
Q
+ Cm
Q
2
Costo gestión (um/año) = Costo de pedir + Costo de mantener
Cg = Cp
D
Q
+ Cm
Q
2
Gráfica de costos (gestión)
Ejemplo:
La demanda de fajas en V, para un distribuidor de repuestos de automóvil es de
18,000 u/año. El costo de almacenamiento es de 1.20 $/u, el costo de ordenar es de $
400 y el costo de adquirir es de 1 $/u. El proveedor tiene un tiempo de atención de 20
días. Asumir un año de 250 días.
Solución:
Si construyéramos una tabla de costos (de gestión) por cantidad pedida (o
número de pedidos), obtenemos los siguientes resultados.
Cant
Núm
Costo
Costo
Costo
Q
Pedidos Pedido ($) Mant ($) Total ($)
1,800
10.0
4,000
1,080
5,080
3,600
5.0
2,000
2,160
4,160
5,400
3.3
1,333
3,240
4,573
7,200
2.5
1,000
4,320
5,320
9,000
2.0
800
5,400
6,200
10,800
1.7
667
6,480
7,147
12,600
1.4
571
7,560
8,131
14,400
1.3
500
8,640
9,140
16,200
1.1
444
9,720
10,164
18,000
1.0
400
10,800
11,200
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Esc. Administración Industrial
Notamos, que si la cantidad pedida es de 1,800 u el costo asociado es de $
5,080; al incrementar la cantidad pedida a 3,600 u, el costo disminuye a $ 4,160. Si se
incrementa el pedido a 5,400 u, el costo se incrementa a $ 4,573. Cuál es la cantidad a
comprar que permita un mínimo costo de inventarios.
Al observar la gráfica (ver línea de costo total), el punto de inflexión está entre
las 1,800 y 3,600 unidades.
Al aplicar las fórmulas antes mencionadas, obtenemos los siguientes resultados:
Cantidad económica:
2(400)(18000)
Q=√
= 3465 unid
1.2
Tiempo entre pedidos:
t=
3465
días
= 0.19 años (250
) = 48 días
18000
año
Número de pedidos
N=
18000
= 5.2 ped/años
3465
Punto de reorden
R=
18000
(20) = 1,440 unid
250
Costo total
Ct = 1(18,000) + 400
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18,000
3,465
+ 1.2
= $ 22,156.92
3,365
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Casos Propuestos: Inventario sin déficit
1. Sharp Inc., una empresa que comercializa agujas hipodérmicas indoloras en los
hospitales, desea reducir sus costos de inventario mediante la determinación del
número de agujas hipodérmicas que debe obtener en cada orden. La demanda
anual es de 1000 unidades; el costo de preparación es de 10 dólares por orden; y el
costo de manejo por unidad de año es de 50 centavos de dólar. Calcule el número
óptimo de unidades por orden (Q), el número de órdenes, el tiempo transcurrido y el
costo total anual del inventario. Año laboral de 250 días.
2. Suponga que R & B Beverage Company tiene una bebida refrescante que muestra
una tasa de demanda anual constante de 3600 cajas. Una caja de la bebida le
cuesta a R & B $3. Los costos de ordenar son $20 por pedido y los costos de
mantener son 25% del valor del inventario. R & B tiene 250 días hábiles anuales, y
el tiempo de entregar es de cinco días.
3. Westside Auto compra directamente del proveedor un componente que usa en la
manufactura de generadores para automóviles. La operación de producción del
generador de Westside, la cual trabaja a una tasa constante, requerirá mil
componentes por mes a lo largo del año. Suponga que los costos de ordenar son
$25 por pedido, el costo unitario es $2.50 por componentes y los costos de
mantener anuales y un tiempo de entrega de cinco días. Responda las siguientes
preguntas sobre la política de inventario.
a) ¿Cuál es la EOQ para este componente? y ¿Cuál es el tiempo de ciclo?
b) ¿Cuáles son los costos por pedir y mantener inventario?
4. Suponga que a la administración de Westside en el problema anterior le gusta la
eficiencia operacional de ordenar una vez cada mes y en cantidades de mil
unidades. ¿Cuánto más costosa seria esta política que su recomendación de EOQ?
¿Recomendaría ordenar la cantidad de mil unidades?
5. Tele-Reco es una nueva tienda especializada en televisores, videograbadoras,
juegos de videos y otros productos relacionados. Una videograbadora nueva
fabricada en Japón le cuesta a Tele-Reco $600 por unidad, la tasa del costo de
mantener es de 22%, los costos de ordenar se estiman en $70 por pedido.
a) Si se espera que la demanda para la nueva videograbadora sea constante con
una tasa de 20 unidades por mes, ¿Cuál es la cantidad a ordenar recomendada
para la videograbadora?
b) ¿Cuáles son los costos de mantener inventario y de ordenar anuales estimados,
asociados con este producto?
c) ¿Cuántos pedidos se colocaran en el año?
d) Con 250 días hábiles anuales, ¿Cuál es el tiempo del ciclo para el producto?
6. Un distribuidor grande de equipo de perforación para pozos petroleros operó
durante los pasados años con políticas EOQ basadas en una tasa de costo de
mantener anual de 22%. Bajo la política EOQ, se ha ordenado un producto
particular con una Q*=80. Una evaluación reciente de los costos de mantener
muestra que debido a un incremento en la tasa de interés asociada con los
préstamos bancarios, la tasa del costo de mantener anual debería ser 27%.
a) ¿Cuál es la nueva cantidad económica a ordenar para el producto?
b) Cuál es la diferencia de unidades entre uno y otro lote económico
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7. Un determinado comerciante al por menor se dedica a la compra y venta de harina
de trigo. Dicho producto lo importa de un país extranjero y lo vende al por menor a
los consumidores locales. Cada tonelada de harina le cuesta 2.000 € y al año vende
5.600 toneladas. Una tonelada de harina en el almacén durante el año le cuesta al
comerciante 140 €, si se tiene en cuenta el interés de la inmovilización financiera y
la merma experimentada por el producto. Los costes fijos de cada pedido,
consistentes en el fletamento de un buque carguero ascienden a 12.500 €.
a) Determinar el lote económico de compra.
b) ¿A cuánto asciende el costo de gestión de inventarios?
8. Una compañía se abastece actualmente de cierto producto solicitando una cantidad
suficiente para satisfacer la demanda de un mes. La demanda anual del artículo es
de 1500 unidades. Se estima que cada vez que hace un pedido se incurre en un
costo de $20 el costo de almacenamiento por inventario unitario por mes es de $2 y
no se admite escasez.
a) Determinar la cantidad de pedido optima y el tiempo entre pedidos
b) Determinar la diferencia de costos de inventarios anuales entre la política óptima
y la política actual, de solicitar un abastecimiento de un mes 12 veces al año.
9. Una ferretería tiene que abastecer a sus clientes con 30 sacos de cemento diarios,
siendo esta una demanda conocida. Si la ferretería falla en la entrega del producto
pierde definitivamente el negocio; para que esto no suceda se asume que no
existirá escasez. El costo de almacenamiento por unidad de tiempo es de $ 0.35
unidad al mes y el costo por hacer el pedido es de $ 55.00
a) ¿Cuál es la cantidad optima a pedir?
b) ¿Cuál es el periodo de agotamiento (1 mes = 30 días, 1 año = 360 días)
10. Un local de comida rápida, utiliza 120 vasos de papel, de seis onzas, por día. Los
planes del negocio, son atender 360 días al año. Los vasos tiene un costo de
$100/ciento, los costos de ordenar son de $5/pedido y los costos de manejo son del
50% al año del costo del artículo. Determine la cantidad óptima de pedido.
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INVENTARIO CON DÉFICIT
Este modelo permite déficit. En este modelo es posible diferir un pedido, de manera
que una vez recibida la cantidad pedida, desaparece el déficit.
Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes
suposiciones:
 La demanda se efectúa a tasa constante.
 El reemplazo es instantáneo (la tasa de reemplazo es infinita).
 Todos los coeficientes de costos son constantes.
Q: Cantidad óptima a pedir
S: Cantidad unidades agotadas
Im: Inventario máximo
t: Periodo entre pedidos (t1 + t2)
t1: Tiempo con inventario
t2: Tiempo con unidades agotadas
Cf: Costo faltante
Fórmulas:
Cantidad de pedido (unidades)
Q=√
2 Cp D(Cm + Cf)
Cm(Cf)
Cantidad de unidades agotadas (unidades)
S=√
2 Cp DCa
Cf(Cm + Cf)
Inventario Máximo
Im = Q - S
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Intervalo entre pedidos (años)
t1 =
t(Q − S)
Q
t2 =
tS
Q
Número de pedidos (ped/año)
N=
D
Q
Costo total (um/año) = Costo comprar + Costo pedir + Costo mantener + Costo faltante
Ct = Cu D + Cp
D
(Q − S)2
S2
+ Cm
+ Cf
Q
2Q
2Q
Ejemplo:
La demanda de fajas en V, para un distribuidor de repuestos de automóvil es de
18,000 u/año. El costo de almacenamiento es de 1.20 $/u, el costo de ordenar es de $
400 y el costo de adquirir es de 1 $/u. El proveedor tiene un tiempo de atención de 20
días. El costo por unidad faltante es de $ 5. Asumir un año de 250 días.
Solución:
Cantidad de pedido (unidades)
2 (400)(18,000)(1.2+5)
Q=√
1.2(5)
= 3860 unid
Cantidad de unidades agotadas (unidades)
2 (400)(18,000)(1.2)
S=√
5(1.2+5)
= 747 unid
Inventario Máximo
Im = 3,860 – 747 = 3,113 unid
Intervalo entre pedidos (días)
t=
3,860
= 0.215(250) = 53.75 días
18,000
t1 =
53.75(3,860 − 747)
= 43.35 días
3,860
t2 =
53.75 (747)
= 10.40 días
3860
Costo total ($/año)
Ct = 1 (18,000) + 400
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(3,860 − 747)2
18,000
7472
+ 1.2
+ 5
= $ 21,733.03
3,860
2(3,860)
2(3,860)
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Casos propuestos: Inventario con déficit
1. Cada año la Nova moda vende 20,000 bolsos a los súper almacenes Éxito,
que tienen un costo de 14 dólares cada uno. Cada pedido incurre en un costo de 40
dólares. Nova moda cree que la demanda de bolsos puede acumularse y que el
costo por carecer de uno durante un año es 20 dólares debido a la pérdida de
negocios futuros. El costo anual por mantener un inventario es de 20% del valor del
inventario. Determine:
a) La cantidad óptima de pedido
b) La escasez máxima que se presentará
c) El nivel máximo de inventario
2. Un agente de Audi debe pagar $25,000 por cada automóvil que compra. El costo
anual de almacenamiento se calcula en 35% del valor del inventario. El agente
vende un promedio de 450 automóviles al año. El costo de faltante se estima
en $15,000 y el costo de pedir en $8,000.
a) Determine la política óptima de pedidos del agente
b) ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará?
c) Determine la cantidad de pedidos en el año.
3. Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 20,000 unidades por
año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.50 por año y el costo de
ordenar una compra es de $ 350. El costo unitario del artículo es $ 500. El costo por
unidad de faltante es de $ 150 por año. Determinar:
a) La cantidad óptima pedida
b) El costo total por año
c) El número de pedidos por año
4. Una empresa vende un artículo que tiene una demanda anual de 5,000 unidades, el
costo unitario es de $10,000, su costo de almacenamiento es de $300 por unidad, el
costo de hacer el pedido es de $ 150000; si llegase a haber faltante, se incurriría en
un costo de $15,000. Determine
a) Cantidad económica de pedido
b) Cantidad máxima de faltante
c) Costo total anual
5. Cada año la Samltown Optometry Clinic Vende 10,000 armazones para lentes la
clínica pide las armazones a un abastecedor regional, que cobra 14 dólares por
armazón. Cada pedido incurre en un costo de 50 dólares. La óptica cree que la
demanda de armazones puede acumularse y que el costo por carecer de un
armazón durante un año es 15 dólares debido a la pérdida de negocios futuros. El
costo anual por mantener un inventario es de 30 centavos por dólar del valor del
inventario.
a) ¿Cuál es la cantidad óptima de pedido?
b) ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará?
c) ¿Cuál es el nivel máximo de inventario que se presentará?
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INVENTARIO CON DESCUENTO
En este modelo se presenta como variable crítica el costo de adquisición para la
toma de decisión, debido a que éste va a variar con respecto a la cantidad de
productos solicitados
Al existir un descuento por cantidad o volumen de compra se genera un incentivo
a pedir lotes de un mayor tamaño, sin embargo, esto a la vez incrementa el costo de
mantener unidades en inventario. Por tanto se busca determinar la cantidad óptima a
pedir para cada nivel o quiebre de precios, analizar si dicho tamaño de pedido es
factible, ajustar el tamaño de lote si es necesario y finalmente comparar las
distintas alternativas para ver cuál de ellas provee el menor Costo Total.
Procedimiento
1. Calcular las cantidades económicas para cada nivel de precio. Esto se realiza con
la fórmula de lote económico sin déficit.
2. Evaluar la cantidad a comprar, según los siguientes criterios:
a. Si el Q calculado pertenece al intervalo, se compra el Q calculado.
b. Si el Q calculado es menor que el Qmin del intervalo, se compra el Qmin del
intervalo.
c. Si el Q calculado es mayor que el Qmax del intervalo, se descarta la opción.
3. Calcular los costos totales para cada nivel de compra, considerando los valores
del punto anterior.
4. La decisión de la cantidad Q a comprar, lo determina la alternativa de menor
costo.
Ejemplo:
Una empresa local de contaduría pide cajas de 10 DVD a un almacén en la
ciudad. El precio por caja que cobra el almacén depende del número de cajas que se le
compren (ver tabla). La empresa de contadores utiliza 10,000 disquetes por año. El
costo de hacer un pedido es 100 dólares. El único costo de almacenamiento es el costo
de oportunidad de capital, que es de 20% por año. El precio de compra se muestra en
la tabla adjunta.
Número de cajas Precio por caja
pedidas (q)
(dólares)
0 < Q <= 100
50.00
100< Q <= 300
49.00
Q > 300
48.50
Cada vez que se hace un pedido de DVD ¿Cuántas cajas se deben pedir? ¿Cuál es el
costo anual total para cumplir con la demanda de disquetes por parte de la empresa de
contadores? ¿Cuántos pedidos se hacen al año?
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Solución:
Demanda = 1,000 cajas por año (D=10,000 disquetes por año, pero los costos
asociados se refieren a cajas).
Cantidad económica:
Q1 = √
2(100)(1000)
= 141.42 unid
0.20(50)
Q2 = √
2(100)(1000)
= 142.86 unid
0.20(49)
Q3 = √
2(100)(1000)
= 143.59 unid
0.20(48.50)
Evaluando el Q de compra.
Q1 es mayor que el Qmax del intervalo, entonces se descarta la opción.
Q2 pertenece al intervalo, entonces Q = 142.86 = 143 unid.
Q3 es menor que el Qmin del intervalo, entonces Q = 300 unid.
Calculando Costos totales
1,000
143
+ 0.20(49)
= $ 50,400.00
143
2
1,000
300
Ct 3 = 48.50(1,000) + 100
+ 0.20(48.50)
= $ 50,288.33
300
2
Ct 2 = 49(1,000) + 100
Decisión de compra
La cantidad económica de compra será de Q=300 unid, ya que se incurre en un
menor costo.
Número de pedidos (ped/año)
N=
1,000
= 3.33 = 4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠/𝑎ñ𝑜
300
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Casos propuestos: Inventario con descuento
1. Una empresa de informática se dedica a la venta de computadoras, trata
determinar cómo minimizar los costos anuales relacionados con la compra
tarjetas de video para las computadoras, cada vez que se hace un pedido
incurre en un costo de $20. El precio por tarjeta de video depende del número
tarjetas pedidas según la siguiente tabla
No. de tarjetas
Precio por tarjetas
Q <= 300
$10.00
300 < Q <= 500
$9.80
de
de
se
de
Q > 500
$9.70
El costo anual de almacenamiento es el 20% del valor del inventario. Cada mes
la empresa de consultaría emplea 80 tarjetas de video.
2. Un distribuidor de artículos marinos compra tanques de gas a un fabricante, el
fabricante ofrece 5% de descuento en ordenes de 15 o más y un 10% de
descuento en ordenes de 100 o más. El distribuidor estima sus costos de ordenar
en $5 por orden y los de conservación en un 10% del precio del producto, el
distribuidor compra 300 tanques por año.
Cantidad
Precio
Unitario
0 < Q <= 15
$ 12.00
15 < Q <= 100
$ 11.40
Q > 100
$ 10.80
3. Determine cuál es el volumen de compra que minimiza el costo total, el precio
unitario de cada tanque es de $12.
Un proveedor le ofrece la siguiente tabla de descuento para la adquisición de su
principal producto, cuya demanda anual usted ha estimado en 5.000 unidades. El
costo de emitir una orden de pedido es de $49 y adicionalmente se ha estimado
que el costo anual de almacenar una unidad en inventario es un 20% del costo de
adquisición del producto. ¿Cuál es la cantidad de la orden que minimiza el costo
total del inventario?
Cantidad
X < 1000
1000 - 2500
X > 2500
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Descuento
0
3%
5%
17
Costo de adquisición
€ 5.00
€ 4.85
€ 4.75
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
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LOTE ECONÓMICO DE PRODUCCIÓN
OBJETIVO
Determinar el lote económico de producción, para casos en que es posible el
autoabastecimiento, es decir, si bien la empresa puede comprar los materiales que
requiera, puede también, producirlos.
CONCEPTOS
El EPQ (Economic Production Quantity) es un modelo matemático para control
de inventarios que extiende el modelo de EOQ (Economic order Quantity) a una tasa
finita de producción. Así, en este modelo la recepción de pedidos de inventario y la
producción y venta de productos finales ocurrirán de forma simultánea, lo que lo
diferencia del modelo de cantidad económica de pedido. El modelo fue formulado
inicialmente por E. W. Taft en 1918.
PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT
El modelo de lote económico con producción y consumo simultáneo determina
que su rango de aplicabilidad esta principalmente asociado a sistemas
con autoabastecimiento, es decir, donde una parte del sistema productivo abastece
en sus requerimientos a otra. Los principales supuestos del modelo son:






La recepción del inventario es constante durante un periodo de tiempo.
La producción y demanda es conocida y constante.
El tiempo de entrega (lead time) se conoce y es constante.
No existen descuentos por cantidad.
Los dos únicos costos relevantes son el costo de mantener el inventario y el
costo de hacer un pedido.
La falta de existencias (escasez) se evita si la orden se coloca en el momento
adecuado.
Ing. Roger M. Zumaeta López
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Esc. Administración Industrial
Cu= Costo unitario
D= Demanda total
Cm= Costo de mantener inventario
Cpr= Costo de preparar la producción
Cup= Costo de producción unitario
Q= Lote económico de producción
N= número de pedidos en el año
f= Tasa de producción diaria
d= tasa de demanda diaria
f-d = Nivel de inventario diario después del consumo
t = tiempo entre pedidos (reaprovisionamiento)
t1= tiempo de producción
t2= tiempo de consumo
ts= tiempo de suministro (emisión de orden de producción hasta inicio de producción)
Imáx= Inventario máximo
R = punto de reorden
Fórmulas:
Cantidad de producción (unid)
2(𝐷)(𝐶𝑝𝑟)
𝑓
2(𝐷)(𝐶𝑝𝑟)
𝑓
Q𝑝 = √
(
)=√
(
)
𝐶𝑚
𝑓−𝑑
%𝐶𝑢𝑝
𝑓−𝑑
Intervalo entre pedidos (años o la escala de tiempo de su análisis)
t=
Q
D
Duración de una corrida de producción (años o la escala de tiempo de su análisis)
𝑡1 =
Q
f
Inventario máxima (unid)
d
𝐼𝑚𝑎𝑥 = Q (1 − )
f
Punto de reorden (unid) ver fig.


Si ts < t – t1  R = d * ts
Si ts > t – t1  R = (f - d) * (t – t1)
Costo total (um/año) = Costo adquirir + Costo de producción + Costo de mantener
𝐶𝑡 = 𝐶𝑢 𝐷 + 𝐶𝑝𝑟
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𝐷
𝑄 𝑓−𝑑
+ 𝐶𝑚 ( ∗
)
𝑄
2
𝑓
19
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
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Ejemplo:
La empresa Lavanda se dedica a la fabricación y envasado de productos de
limpieza. Uno de sus productos es la lejía densa de dos litros, cuyo envase se fabrica
en la misma empresa. Cuando es necesario, se producen diariamente 2,700 envases,
mientras que cada día se envasan 1,800 litros de lejía.
La empresa ha estimado el costo de fabricación de cada envase en 0.20 €,
siendo el costo de lanzamiento de cada pedido de 82.55 € y el de almacenamiento de
cada envase es de 1.24 € al año. Sabiendo que transcurren 4 días desde que se
solicita un nuevo lote de envases hasta que comienza su producción y que el horizonte
de fabricación es de 365 días. Calcular:
1. El tamaño de lote de envases que debe fabricar para que el costo sea mínimo.
2. Nivel máximo de envases.
3. Cantidad de envases en almacén para que se solicite la fabricación de un nuevo
lote.
4. Número de lotes (pedidos) al año.
5. Inventario existente a los dos días de comenzar la producción, tras haber realizado
el consumo del día.
6. Costo total del inventario.
Solución:
2(900∗365)(82.55)
1. 𝑄𝑝 = √
1.24
2,700
(2,700−900) = 8,100 𝑒𝑛𝑣𝑎𝑠𝑒𝑠
900
2. 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 8,100 (1 − 2700) = 5,400 𝑒𝑛𝑣𝑎𝑠𝑒𝑠
8,100
3. 𝑡 = 328,500 = 0.246 𝑎ñ𝑜𝑠 = 9 𝑑í𝑎𝑠
𝑡1 =
8,100
= 3 𝑑í𝑎𝑠
2,700
Se tiene: t – t1 = 6 días, entonces ts < t – t1 = 4 < 9 – 3
R = 900 * 4 = 3,400 unidades (después de alcanzar el nivel máximo)
4. t = 9 días
5. f – d = (2,700 – 900 ) * 2 = 3,600 envases
6. 𝐶𝑡 = 0.20 ∗ 328,500 + 82.55
Ing. Roger M. Zumaeta López
328,500
8,100
8,100
+ 1.24 (
20
2
∗
2,700−900
2,700
) = 72,395.86 €
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Esc. Administración Industrial
Casos propuestos: Lote económico de producción
1. Una empresa puede producir un artículo o comprarlo a un contratista. Si lo produce
le costará $30 cada vez que prepare sus máquinas. La tasa de producción es 150
unidades diarias. Si lo compra a un contratista le costará $20 emitir un pedido. El
costo de mantener un artículo en existencia, sea producido o comprado, es de
$0.02 por unidad y por día. El consumo estimado de ese artículo por la empresa es
de 29,200 unidades anuales. Asuma que un año tiene 365 días.
2. Un fabricante de varias marcas de pasta dental emplea el modelo de tamaño del
lote de producción para determinar las cantidades de producción para sus diversos
productos. La pasta conocida como extra White se está produciendo en la
actualidad en tamaños del lote de producción de 5,000 unidades. La duración de la
corrida de producción para esta cantidad es de 10 días. Debido a una escasez
reciente de una materia prima en particular, el proveedor del material anunció que le
incrementaría el costo de la misma al fabricante de extra White. Las estimaciones
actuales son que el nuevo costo de la materia prima aumentará es costo de
manufactura de los productos de pasta dental en 23% por unidad. ¿Cuál será el
efecto de este aumento de precio en los tamaños del lote de producción para extra
White?
3. Un gran productor de medicamentos para tratar los nervios produce sus provisiones
en remesas, el costo de preparación para cada remesa es de $750. De la
producción se obtiene 48 galones diarios del producto y cuesta $0.05 cada uno para
conservarlos en existencia. La demanda constante es de 600 galones al mes.
Suponga 12 meses, 300 días al año y 25 días al mes. Encuentre la cantidad óptima
de producción, el tiempo de ciclo óptimo, la existencia máxima, la duración en días
de cada remesa de producción y el costo total óptimo.
4. All-Star Bat Manufacturing suministra bates de béisbol a equipos de ligas mayores y
menores. Después de un pedido inicial en enero, la demanda durante la temporada
de béisbol de seis meses es aproximadamente constante con 1000 bates
mensuales. Suponiendo que el proceso de producción puede manejar hasta 4000
bates por mes, los costos de montaje de la producción son $150 por montaje, el
costo de producción es $10 por unidad y que los costos de mantener tienen una
tasa mensual de 2%. ¿Qué tamaño del lote de producción recomendaría para
cumplir con la demanda durante la temporada de béisbol? Si All-Star opera 20 días
por mes, con cuánta frecuencia operará el proceso de producción y cuál es la
duración de una corrida de producción?
5. Suponga que está revisando la decisión de tamaño del lote de producción asociada
con una operación de producción donde P= 8000 unidades anuales, D= 2000
unidades anuales, Cop=$3000 y Cmi=$1.60 por unidad anuales. También suponga
que la práctica actual exige corridas de producción de 500 unidades cada tres
meses. ¿Recomendaría cambiar el tamaño del lote de producción actual? ¿Por
qué? ¿Cuánto podría ahorrarse en el total de los costos de mantener y producir si
se implementa su recomendación de tamaño del lote de producción?
Fuente:
http://inoperaciones7.blogspot.pe/2011/02/modelo-lep-lote-economico-de-produccion.html
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Administración de Operaciones II
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Introduc a la Dirección de producción y operaciones: Rafaela Alfalla Luque
PRODUCCIÓN CON DÉFICIT
El modelo LEP con faltantes al igual que el modelo sin déficit es de carácter
productivo y rigen los mismos postulados, sin embargo su diferencia radica en que en
este modelo si se admiten faltantes, es decir, cuando nos quedamos sin inventario y
aun se necesitan más cantidades para satisfacer la demanda.
En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento del modelo LEP con
faltantes relacionando la cantidad a pedir vs el tiempo.
D: demanda
Q: Cantidades a pedir.
Imax: Inventario máximo.
S: Cantidades faltantes.
Cf: Costo por faltantes
t1: Tiempo de fabricación
t2: Tiempo de consumo.
t3: Tiempo en el cual se empieza a acumular pedidos (existencia de faltantes).
t4: Tiempo en el cual la producción se nivela con los pedidos pendientes.
Ing. Roger M. Zumaeta López
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Esc. Administración Industrial
Fórmulas:
Cantidad de producción (unid)
2(𝐷)(𝐶𝑝𝑟)(𝐶𝑓 + 𝐶𝑚)𝑓
Q𝑝 = √
𝐶𝑓 ∗ 𝐶𝑚 (𝑓 − 𝑑)
Cantidad de faltantes (unid)
2(𝐷)(𝐶𝑝𝑟)(𝐶𝑚)(𝑓 − 𝑑)
𝑆=√
𝐶𝑓(𝐶𝑓 + 𝐶𝑚)𝑓
Intervalo máximo (unid)
𝐼𝑚𝑎𝑥 =
𝑄(𝑓 − 𝑑)
−𝑆
𝑓
Tiempos (años o la escala de tiempo de análisis)
𝑡1 =
𝐼𝑚𝑎𝑥
𝑓−𝑑
𝑡2 =
𝐼𝑚𝑎𝑥
𝑑
𝑡3 =
𝑆
𝑑
𝑡4 =
𝑆
𝑓−𝑑
Costo total (um/año)
(𝑄(𝑓 − 𝑑) − 𝑆 ∗ 𝑓)2
𝐷
𝑆 2 ∗ 𝑓 ∗ 𝑑)
𝐶𝑡 = 𝐶𝑢 𝐷 + 𝐶𝑝𝑟 + 𝐶𝑚 ∗ 𝐷
+ 𝐶𝑓 (
)
𝑄
2(𝑓 − 𝑑) ∗ 𝑓 ∗ 𝑑
2 ∗ 𝑄(𝑓 − 𝑑)𝑑
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Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
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Ejemplo:
En una empresa fabricadora de llantas, cada vez que se produce un lote se incurre en
un costo de preparación $40, El costo de mantenimiento de inventario de una llanta es
de $20 mes, la demanda es 20.000 llantas anuales y la tasa anual es de 25.000 llantas.
Cada llanta que falta cuando se necesita cuesta $25. Indique cual es la cantidad óptima
a pedir y la cantidad de faltante permitida. Considerar año de 360 días)
Cantidad de producción (unid)
2(20,000)(40)(25 + 20)25,000
Q𝑝 = √
= 848 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠
25 ∗ 20 (25,000 − 20,000)
Cantidad de faltantes (unid)
2(20,000)(40)(20)(25,000 − 20,000)
𝑆=√
= 75 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠
25(25 + 20)(25,000)
Intervalo máximo (unid)
𝐼𝑚𝑎𝑥 =
848(25,000 − 20,000)
− 75 = 94 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠
25,000
Tiempos (años o la escala de tiempo de análisis)
94
𝑡1 = 25,000−20,000 = 0.018 𝑎ñ𝑜𝑠 = 6.48 𝑑í𝑎𝑠
𝑡2 =
94
= 0.0047 𝑎ñ𝑜𝑠 = 1.69 𝑑í𝑎𝑠
20,000
𝑡3 =
75
= 0.00375 𝑎ñ𝑜𝑠 = 1.35 𝑑í𝑎𝑠
20,000
𝑡4 =
75
= 0.015 𝑎ñ𝑜𝑠 = 5.40 𝑑í𝑎𝑠
25,000 − 20,000
Costo total (um/año)
(848(25,000 − 20,000) − 75 ∗ 25,000)2
20,000
𝐶𝑡 = 𝐶𝑢 𝐷 + 40
+ 25 ∗ 20,000
848
2(25,000 − 20,000) ∗ 25,000 ∗ 20,000
2
75 ∗ 25,000 ∗ 20,000)
+ 25 (
)
2 ∗ 848(25,000 − 20,000)20,000
Ct=$ 560,680.47
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Esc. Administración Industrial
PROGRAMACIÓN LINEAL
OBJETIVO
Aplicar técnicas de optimización a diferentes situaciones prácticas. Este desarrollo
de situaciones busca reflejar casos del mundo real.
DEFINICIÓN
La programación lineal es una técnica matemática de optimización, que trata de
maximizar o minimizar un objetivo. Su interés principal es tomar decisiones óptimas.
La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o
minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que
llamaremos restricciones.
Un problema es lineal porque la función objetivo y restricciones que se imponen al
sistema son lineales, es decir, cumplen las propiedades de Proporcionalidad y
Aditividad.


Proporcionalidad: El valor de cada variable, x, y……. debe ser directamente
proporcional en la función objetivo y en el uso de los recursos, o sea que las
variaciones de las variables deben afectar en forma proporcional a la función
objetivo y al conjunto de restricciones.
Aditividad: Requiere que la función objetivo sea la suma directa de las
contribuciones de cada variable y las restricciones deben ser la suma de los
usos individuales de cada variable del recurso correspondiente.
ESTRUCTURA DE UN PROBLEMA DE PL
Un problema de PL consta de una función objetivo (lineal) por maximizar o
minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.



Variables de decisión: Las incógnitas cuyo valores se deben obtener.
Función objetivo: La función por optimizar (maximizar o minimizar)
Restricciones: Representan condiciones (Disponibilidad o Requerimiento) que
es preciso satisfacer. Sistema de igualdades y desigualdades (≤, ≥ )
En un problema de programación lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar
(hacer máxima o mínima, según sea el caso) la función objetivo de la forma:
F(x, y)= A x + B y
sujeta a una serie de restricciones dadas, mediante un sistema de inecuaciones
lineales del tipo:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤ c2
amx + bmy ≤ cm
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MODELADO DEL PROBLEMA
No existe una metodología “única” o estandarizada acerca de cómo modelar
casos de programación lineal; en todo caso, se sugieren algunas pautas que pueden
ser valederas según se dominen.
Se parte de identificar claramente, estos tres
componentes:
Variables de decisión
Es el conjunto de incógnitas del problema a resolver, por lo general, se
desprende o identifica de la pregunta planteada en el caso propuesto. Son variables
sobre las que tenemos algún grado de control.
Están relacionadas con casos de producción, transporte, asignación de personal,
uso de horas de taller, disponibilidad de materiales, requerimientos de insumos, etc.
Función objetivo
En un problema de optimización se intenta encontrar el mejor valor de algo. Para
ello deberemos especificar una función tal, que una combinación de variables será
mejor que otra si genera un mayor valor de la función en el caso de maximización y un
menor valor de la función en el caso de minimización.
Ejemplos típicos de funciones objetivos vienen dados por maximización de
utilidades y minimización de costos, los que deben ser escritos en función de las
variables del problema.
Restricciones
En un problema de optimización, intentaremos buscar combinaciones de
variables de decisión que generen un mejor valor de la función objetivo, pero en la
práctica nuestro problema está limitado por un gran número de restricciones físicas,
económicas, técnicas, etc. Es por esto que en el planteamiento de nuestro problema
debemos especificar que limitantes tienen los valores que puedan tomar las variables
de decisión. En síntesis, en esta parte debemos escribir matemáticamente las
limitaciones que nos impone el problema.
Ing. Roger M. Zumaeta López
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Esc. Administración Industrial
Ejemplo 1:
Un granjero está engordando cerdos para luego venderlos en la primera feria
ganadera del milenio y desea determinar las cantidades de cada tipo de alimento
disponible que deben darse a cada cerdo para satisfacer con los requerimientos
nutricionales a un costo mínimo.
Para ello cuenta con la siguiente información: cada kg de maíz contiene 90 unid
de carbohidratos, 30 unid de proteínas y 10 unid de vitaminas, cada kg de residuos
grasos contiene 20 unid de carbohidratos, 80 unid de proteínas y 20 unid de vitaminas,
cada kg de alfalfa contiene 40 unid de carbohidratos, 40 unid de proteínas y 60 unid de
vitaminas. Los requerimientos alimenticios son como mínimo 200 unid de
carbohidratos, 180 unid de proteínas y 150 unid de vitaminas. Se sabe además, que el
valor de los alimentos son del orden de: maíz 21 $/kg, residuos grasos 18 $/kg y alfalfa
15 $/kg.
Solución:
Un método práctico, es la de construir una tabla, que tenga la siguiente
estructura:
Variables de
Restricción
decisión
(Disponible/Requerido)
Recursos
Entonces, para el caso propuesto se tiene:
Recursos
Carbohidratos
Proteínas
Vitaminas
Precio ($)
Variables de decisión
Maíz
Residuo
Alfalfa
(kg)
graso (kg)
(kg)
90
20
40
30
80
60
10
20
60
21
18
15
Restricción
>=200
>=180
>=150
Sin restricciónFO
Por lo tanto, el modelado es el siguiente:
Variables de decisión:
M: Cantidad (Kg) de maíz a comprar
R: Cantidad (Kg) de residuos grasos a comprar
A: Cantidad (Kg) de alfalfa a comprar
Función objetivo:
Min Z = 21 M + 18 R + 15 A
Restricciones:
90 M + 20 R + 40 A >= 200
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30 M + 80 R + 60 A >= 180
10 M + 20 R + 60 A >= 150
Ejemplo 2:
La oficina técnica coordinadora de cultivos, tiene a su cargo la administración de
3 parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está limitado tanto por la cantidad
de tierra cultivable como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela
por la comisión de aguas.
Los datos proporcionados por este organismo son los siguientes:
Parcela
1
2
3
Tierra
Cultivable [ha]
400
600
300
Asignación de
agua [m3]
600
800
375
Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maíz, pero el
ministerio de agricultura ha establecido un número máximo de hectáreas que pueden
dedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en conjunto, como lo muestra
la siguiente tabla:
Parcela
Remolacha
Trigo
Maíz
Consumo de
agua [m3/ha]
3
2
1
Cuota máxima
[ha]
600
500
325
Ganancia neta
[$/ha]
400
300
100
Los dueños de las parcelas, han convenido que en cada parcela se sembrará la
misma fracción de su tierra cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier
combinación en cualquiera de las parcelas.
La tarea que encara la oficina técnica, es plantear cuantas hectáreas se deben
dedicar al cultivo de las distintas especies en cada parcela, de modo que se pueda
maximizar la ganancia neta total para todas las parcelas a su cargo.
Solución:
Identificando las variables de decisión:
xi = Cantidad [ha] de remolacha a cultivar en la parcela i (i=1, 2, 3)
yi = Cantidad [ha] de trigo a cultivar en la parcela i (i=1, 2, 3)
wi = Cantidad [ha] de maíz a cultivar en la parcela i (i=1, 2, 3)
Definiendo la función objetivo:
Max Z = 400(x1 + x2 + x3) + 300(y1 + y2 + y3) + 100(w1 + w2 + w3)
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Restricciones
a) Tierra disponible por Parcela
Parcela 1: x1 + y1 + w1 ≤ 400
Parcela 2: x2 + y2 + w2 ≤ 600
Parcela 3: x3 + y3 + w3 ≤ 300
b) Disponibilidad de agua por parcela
Parcela 1: 3x1 + 2y1 + 1z1 ≤ 600
Parcela 2: 3x2 + 2y2 + 1z2 ≤ 800
Parcela 3: 3x3 + 2y3 + 1z3 ≤ 375
c) Cuota Máxima de cultivo por especie
Remolacha: x1 + x2 + x3 ≤ 600
Trigo: y1 + y2 + y3 ≤ 500
Maíz: w1 + w2 + w3 ≤ 325
d) Misma proporción de tierra cultivable
Parcela 1= Parcela 2: (x1 + y1 + w1)/400 = (x2 + y2 + w2)/600
Parcela 2= Parcela 3: (x2 + y2 + w2)/600 = (x3 + y3 + w3)/300
Parcela 3= Parcela 1: (x3 + y3 + w3)/300 = (x1 + y1 + w1)/400
e) La restricción de no negatividad
xi, yi, zi ≥ 0
i=1, 2, 3.
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Casos propuestos: Programación lineal modelado
1. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro y
1,5 g de plata y se vende a 25 €. Las de tipo B se vende a 30 € y lleva 1,5 g de oro
y 1 g de plata. Si solo se dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de
fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
2. Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de
la nave Enterprise. Cada gramo del complemento A contiene 2 unidades de
riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento B
contiene 2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuántos
gramos de cada complemento son necesarios para producir exactamente una dosis
con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos?
3. Un agricultor desea plantar 750 cerezos, 700 perales y 650 manzanos. En el vivero
Agro ofrecen un lote de 15 cerezos, 30 perales y 10 manzanos por 700 €,y en el
vivero Ceres el lote de 15 cerezos, 10 perales y 20 manzanos cuesta 650 €.
a) Plantea y resuelve un programa lineal para averiguar el número de lotes que ha
de comprar en cada vivero para que pueda plantar los árboles que desea y para
que el coste total de adquisición sea mínimo.
b) ¿Utiliza el agricultor todos los árboles que ha adquirido? En caso negativo,
cuántos no ha plantado y de qué tipo son.
4. Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125 000 €, distribuido
entre acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una
ganancia del 10% anual, y es obligatorio invertir en ellas un mínimo de 30 000 € y
un máximo de 81 000 €. Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5%
anual, y es obligatorio invertir en ellas un mínimo de 25 000 €. La cantidad invertida
en acciones del tipo B no puede superar el triple de la cantidad invertida en
acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para maximizar la
ganancia anual? Determina dicha ganancia máxima.
5. Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no
debe ingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B.
Para ello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la
marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de
euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y
cuesta 8 céntimos de euro. Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el de
máximo coste diario?
6. Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B.
Las almazaras A y B venden el aceite a 2000 y 3000 euros por tonelada,
respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de dos toneladas y un
máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un
mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A
el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el
distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determina
dicho coste mínimo.
Ing. Roger M. Zumaeta López
30
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Esc. Administración Industrial
7. Una compañía de telefonía móvil quiere celebrar una jornada de «Consumo
razonable» y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 céntimos de euro por cada
mensaje SMS y 25 céntimos de euro por cada minuto de conversación incluyendo
el coste de establecimiento de llamada. Impone las condiciones:
a) El número de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el número de
mensajes aumentado en 3, ni ser menor que el número de mensajes disminuido
en 3
b) Sumando el quíntuplo del número de mensajes con el número de llamadas no
puede obtenerse más de 27.
Determine el número de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea
máximo. ¿Cuál es ese beneficio máximo?
8. Una fábrica de papel tiene almacenados 4 000 kg de pasta de papel normal y 3000
kg de pasta de papel reciclado. La fábrica produces dos tipos diferentes de cajas
de cartón. Para el primer tipo se utilizan 0,2 kg de pasta de papel normal y 0,1 kg
de pasta de papel reciclado, mientras que para la caja de segundo tipo se utilizan
0,2 kg de pasta de papel normal y 0,3 kg de pasta de papel reciclado. Los
beneficios que la fábrica obtiene por la venta de cada caja son: respectivamente, 5
€ para el primer tipo y 6 € para el segundo tipo de cajas. Utilizando técnicas de
programación lineal, calcula cuántas cajas de cada tipo deben fabricar para obtener
el máximo beneficio. ¿A cuánto asciende el beneficio máximo obtenido?
9. Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de la ciudad, se quieren colocar al
menos 20 piezas entre farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras
disponibles. Se pretende que el número de jardineras colocadas no sea superior a
una tercera parte del de farolas colocadas, pero de forma que por lo menos un 20%
de las piezas que se coloquen sean jardineras.
a) ¿Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el
problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de
jardineras colocadas sea mayor? ¿Es la combinación donde más piezas de
mobiliario se colocan?
10. Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que diseñar un menú utilizando
dos ingredientes. El ingrediente A contiene 35 g de grasas y 150 kilocalorías por
cada 100 gramos de ingrediente, mientras que el ingrediente B contiene 15 g de
grasas y 100 kilocalorías por cada 100 g. El coste es de 1,5 € por cada 100 g del
ingrediente A y de 2 € por cada 100 g del ingrediente B. El menú que hay que
diseñar debería contener no más de 30 g de grasas y, al menos, 110 kilocalorías
por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones de cada uno de los
ingredientes que se emplearán en el menú, de manera que su coste sea lo más
reducido posible.
a) Indique la expresión de las restricciones y la función objetivo del problema.
b) Calcule el porcentaje óptimo de cada uno de los ingredientes que se incluirán en
el menú.
11. El señor Martínez tiene un pequeño camión con capacidad interior de 20m 3 en el
cual transporta mercancía. Una reconocida empresa de la ciudad le ha contratado
para hacer acarreos de esta mercancía, desde la planta de producción, hacia los
puntos de distribución. La mercancía está empacada en cajas de 3 tamaños
diferentes. Además la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta.
Caja 1: 1.00 m3, $ 1,000
Caja 2: 1.20 m3, $ 1,120
Caja 3: 0.80 m3, $ 900
¿Cómo debe llenar el señor Martínez su camión para maximizar las ganancias en
cada viaje que realice, si tiene que transportar como mínimo 8 cajas tipo 1 y 5
cajas tipo 3 en cada viaje?
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12. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y
vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina)
y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen
dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la
marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y
cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de
vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos.
Hierro
Marca A
40 mg
Marca B
10 mg
Req mínimos
2400 mg
Vitamina B-1
10 mg
15 mg
2100 mg
Vitamina B-2
5 mg
15 mg
1500 mg
Costo por píldora (US$)
0,06
0,08
¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus
requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?
13. Considere que una fábrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4
periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene
adicionalmente la siguiente información:
Periodos
Demandas
Costo Prod.
Costo de
(unidades)
(US$/unidad)
Inventario (US$/u)
1
130
6
2
2
80
4
1
3
125
8
2.5
4
195
9
3
Adicionalmente considere que se dispone de un Inventario Inicial de 15 unidades y
no se acepta demanda pendiente o faltante, es decir, se debe satisfacer toda la
demanda del período.
14. Un laboratorio farmacéutico produce en sus laboratorios los medicamentos Gramax
(G), Neutrolín (N) y Sabatox (S) a partir de dos tipos diferentes de ingredientes C1 y
C2. Los laboratorios están dotados de dos tipos de tecnologías, la tecnología nueva
(Tn) utiliza por cada sesión de mezcla 7 unidades de C1 y 12 de C2 para producir 8
unidades de G, 6 de N y 5 de S, mientras que con la tecnología antigua (Ta) se
obtiene en cada sesión de mezclas 10 unidades de G, 7 de N y 4 de S, con un
gasto de 10 unidades de C1 y 8 de C2. Teniendo en cuenta los estudios de
demanda de los tres productos para el mes próximo, la compañía estima que debe
producir al menos 900 unidades de G, 300 de N y entre 800 y 1700 de S. La
disponibilidad del ingrediente C1 es de 1400 unidades y de C2 de 2000 unidades.
Los beneficios por unidad producida de los tres productos en unidades monetarios
son 4, 6 y 7 por unidad del producto G, N y S respectivamente. El problema que se
plantea es, como utilizar ambos los procesos de mezcla y los medicamentos
disponibles, para que el beneficio sea lo mayor posible.
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MÉTODO GRÁFICO
OBJETIVO
Aplicar el método gráfico para la solución de problemas de PL.
DEFINICIÓN
El método gráfico, permite definir un polígono o espacio bidimensional, que
representa el espacio solución del problema; siempre y cuando, el modelo de
programación lineal se exprese en términos de dos variables.




Conjunto o Región factible: Es el conjunto de puntos que integran la región de
resolución. Es un polígono convexo finito o infinito en el que toma valores la
función objetivo; es decir, son todos los puntos del plano que cumplen todas las
restricciones del enunciado del problema.
Solución factible: Cada punto que integra la región (plana) que resuelve el
problema.
Solución óptima: La solución óptima son los puntos de la región factible donde
la función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la
solución óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen
varias soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados.
Vector director de la función objetivo f(x, y) = ax + by es el vector:
V = (–b, a)
Las dos coordenadas del vector director de la función objetivo se pueden
multiplicar o dividir por un mismo número distinto de cero, y su dirección no
varía.
¿Cuál es el objetivo de la solución gráfica? Encontrar (entre todos los puntos
del conjunto factible) el punto o los puntos que optimicen la función objetivo.
PROCEDIMIENTO
1) Modelar el problema a solucionar.
Por ejemplo, se tiene la siguiente función objetivo (productos X e Y):
Max Z($) = 30x + 20y
Sujeto a las siguientes restricciones:
x + y <= 7
2x + y <= 10
x >= 0
y >= 0
2) En cada eje se colocará una de las variables de decisión.
3) Cada restricción se transforma momentáneamente en una igualdad, para
determinar pares ordenados que permitirán graficar rectas en el plano cartesiano.
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De x + y = 7 se obtiene:
si x=0  y=7 primera coordenada: (0,7)
si y=0  x=7 segunda coordenada: (7,0)
repetir el proceso para cada una de las restricciones.
4) Graficar dichas rectas en el plano. Cada una de las restricciones define una recta
que divide el espacio solución en dos áreas.
a. Se tomará el lado de “arriba” si es una restricción del tipo mayor o igual.
b. Se tomará el lado de “abajo” si es una restricción del tipo menor o igual.
5) Grafique el vector director: recuerde que es –b,a (-20,30 o simplificado -2,3)
6) Grafique las rectas de nivel, estas rectas son paralelas al vector director de la
función objetivo que pasan por los puntos de la región factible, prolongarlas
hasta cortar al eje Y.
7) Finalmente, determine la solución óptima.
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SOLUCIÓN ÓPTIMA
La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo
alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única,
es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los
puntos que están sobre uno de los lados.
Gráficamente
Si la solución óptima es un máximo, ésta corresponde al punto o puntos en los
que la recta de nivel corta al eje Y en el punto más alto posible. Si la solución es un
mínimo, corresponde al punto o puntos en los que la recta de nivel corta al eje Y en el
punto más bajo posible.
Considerando el ejemplo, la solución óptima es el punto B(3, 4); puesto que la
recta que parte desde ese punto, corta al eje Y en el punto más alto)
Analíticamente
Para hallar la solución óptima, se prueba en la función objetivo, cada uno de los
vértices de la región factible.
ZO(0, 0) = 30 (0) + 20 (0) = 0
ZA(5, 0) = 30 (5) + 20 (0) = 150
ZB(3, 4) = 30 (3) + 20 (4) = 170 Máximo
ZC(0, 7) = 30 (0) + 20 (7) = 140
La solución óptima es el punto B(3, 4), es decir: fabricar 3 unidades del producto
X y 4 unidades de producto Y, lo que generará un ingreso de $ 170.
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NÚMERO DE SOLUCIONES
Un problema de PL, puede tener una única solución, infinitas soluciones y sin
solución.
Solución única
Un problema tiene solución óptima única, cuando este corresponde a uno de los
vértices de la región factible.
Por ejemplo: Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La
fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de
paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para construir una bicicleta de
montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las bicicletas de
paseo a 200 € y las de montaña a 150 €, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe
construir para que el beneficio sea máximo?
Modelado: Sea x: bicicletas de paseo e y: bicicletas de montaña
Max Z = 200x + 150y
Sujeto a:
x + 2y <= 80
3x + 2y Ì 120
x >= 0; y >= 0
Solución gráfica:
Zmáx está en el punto B (20, 30)
Solución analítica:
ZO(0, 0) = 200 (0) + 150 (0) = 0 €
ZA(40, 0) = 200 (40) + 150 (0) = 8 000 €
ZB(20, 30) = 200 (20) + 150 (30) = 8 500 € Máximo
ZC(0, 40) = 200 (0) + 150 (40) = 6 000 €
Conclusión: fabricar 20 bicicletas de paseo y 30 bicicletas de montaña, para
lograr ingresos de 8 500 €.
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Infinitas soluciones
Un problema de programación lineal tiene infinitas soluciones si tiene la solución
óptima en dos vértices de la región factible. En este caso, todos los puntos del lado que
une ambos vértices son soluciones óptimas.
Por ejemplo: Sea Z = 30x + 60y
Sujeto a:
x + y <= 8
x + 2y <= 10
x >= 0
y >= 0
Solución gráfica:
El lado CB es paralelo al vector director de la función objetivo.
Solución analítica:
ZO(0, 0) = 30 (0) + 60 (0) = 0
ZA(8, 0) = 30 (8) + 60 (0) = 240
ZB(6, 2) = 30 (6) + 60 (2) = 300 Máximo
ZC(0, 5) = 30 (0) + 60 (5) = 300 Máximo
Problemas sin solución
Un problema de programación lineal puede que no tenga solución, debido a dos
razones:
a) Porque la región factible es vacía.
Sea Min Z = 17x + 35y
Sujeto a:
x + y >= 7
2x + 3y <= 12
x >= 0
y >= 0
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b) Porque la región factible no está acotada y no se alcance nunca en ella la solución
óptima.
Sea Max = 10x + 20y
Sujeto a:
x <= y
x + 2y >= 6
x >= 0
y >= 0
Nota: minimizar una función objetivo en un recinto no acotado, sí puede tener
solución.
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Casos propuestos: PL solución gráfica
1. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La
empresa A le paga 5 Bs. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos
más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para
los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben
100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo.
Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada
clase para que su beneficio diario sea máximo?
2. Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Bs. Le
ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el
kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700
kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58
ptas. y el kg. de tipo B a 90 ptas. Contestar justificando las respuestas:
a) ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo
beneficio?
b) ¿Cuál será ese beneficio máximo?
3. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 6 millones de
dólares y el coste de una casa de tipo A es de 13 mil y 8 mil una de tipo B. El
número de casas de tipo A, ha de ser al menos el 40 % del total y el de tipo B, el 20
% por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 mil y cada una de tipo B en 9
mil. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?
4. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de
pasaje y carga, para transportar a 1 600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los
aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de
un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de
equipaje, cuesta 40 000 €; la contratación de uno del tipo B, que puede transportar
a 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10 000 €. ¿Cuántos aviones de
cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?
5. Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 libros de la colección Austral y
80 de la colección Alianza de bolsillo. Decide hacer dos tipos de lotes: el lote de tipo
A con 3 libros de Austral y 1 de Alianza de bolsillo, que vende a 8 €, y el de tipo B
con 1 libro de Austral y 2 de Alianza de bolsillo, que vende a 10 € ¿Cuántos lotes de
cada tipo debe hacer el vendedor para maximizar su ganancia cuando los haya
vendido todos?
6. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin
cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A
contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos
con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete de tipo
A y 5 euros por cada uno del tipo B. Calcular, cuántos paquetes de cada tipo debe
vender para maximizar los beneficios.
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7. Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos
de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además,
quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B.
¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el
problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. Sabiendo que el
rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué
cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ?A cuánto
ascenderá
8. Una empresa produce dos bienes A y B. Tiene dos factorías y cada una de ellas
produce los dos bienes en las cantidades por hora siguientes:
Factoría 1 Factoría 2
Bien
10 u/h
20 u/h
A
Bien
25 u/h
25 u/h
B
a) La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y 500 de B. Los costes de
funcionamiento de las dos factorías son: 100 € por hora para la factoría 1 y 80 €
por hora para la factoría 2.
b) ¿Cuántas horas debe funcionar cada factoría para minimizar los costes de la
empresa y satisfacer el pedido?
9. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su
alimentación dos clases de compuestos: A y B. necesita tomar 70 unidades de A y
120 unidades de B. El médico le sugiere dos tipos de dietas en las que la
concentración de dichos compuestos es:
a) Dieta 1: 2 unidades de A y 3 unidades de B.
b) Dieta 2: 1 unidades de A y 2 unidades de B.
Sabiendo que el precio de la dieta 1 es 2.5 euros y el de la dieta 2 es 1.45 euros.
¿Cuál es la distribución óptima para el menor costo.
10. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar
más de 8 Ha con olivos del tipo A, ni más de 10 Ha con olivos del tipo B. Cada
hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m 3 de agua/año y cada una de tipo B, 3 m 3.
Cada hectárea de tipo A requiere de una inversión de 500 euros y cada una de tipo
B, 225 euros. Se dispone de 4500 euros para realizar dicha inversión. Si cada
hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente 500 y 300 litros anuales
de aceite.
c) Calcular las hectáreas de cada tipo de olivo que se debe cultivar para maximizar
la producción de aceite.
d) Obtener la producción máxima.
11. Una empresa fabrica dos modelos de sofá: A y B, que dejan unos beneficios de 40 y
20 dólares respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de
trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de
trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60
unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas
fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y, cuál
sería éste?
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12. Disponemos de 210,000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de
acciones. Las de tipo A rinden el 10% y las de tipo B rinden el 8%. Decidimos
invertir un máximo de 130,000 euros en las del tipo A y como mínimo 60,000 en las
del tipo B. Además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el
doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para
obtener el máximo interés anual?
13. En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa
necesita un cuarto de relleno por cada kg de bizcocho y produce un beneficio de
250 ptas, mientras que una torta Real necesita medio kg de relleno por cada kg de
bizcocho y produce 400 ptas de beneficio. En la pastelería se pueden hacer
diariamente hasta 150 kg de bizcocho y 50 kg de relleno, aunque por problemas de
maquinaria no se pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo. ¿cuántas tortas
Vienesas y cuántas Reales deben vender al día para que el beneficio sea el
máximo?
14. Un profesor ha dado a sus alumnos una lista de problemas para que resuelvan,
como máximo, 70 de ellos. Los problemas están clasificados en dos grupos. Los del
grupo A valen 5 puntos cada uno, y los del B, 7 puntos. Para resolver un problema
del tipo A, se necesitan 2 minutos, y para resolver un problema del tipo B, 3
minutos. Si los alumnos disponen de dos horas y media para resolver los
problemas, ¿cuántos problemas de cada tipo habría que hacer para obtener la
puntuación máxima? ¿Cuál es dicha puntuación máxima?
15. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que
cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de
crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de
combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T),
mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles
de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles
de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo
ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo
mínimo. La tabla de producción de cada producto con arreglo al tipo de crudo es:
G
C
T
Ligero
0,3 0,2 0,3
Pesado 0,3 0,4 0,2
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ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
OBJETIVO
La administración de proyectos es la forma de planear,
organizar, dirigir y controlar una serie de actividades realizadas por
un grupo de personas que tienen un objetivo especifico; el cual
puede ser crear, diseñar, elaborar, mejorar, analizar, etc, un
producto, servicio.
CONCEPTO
Es la suma de esfuerzos que en forma temporal se utilizan para generar un
producto o servicio en particular o único, cuyo desarrollo se da en etapas o fases.
Es la aplicación racional de conocimientos, habilidades, herramientas y técnicas
a las actividades del proyecto, para alcanzar y satisfacer los requisitos del mismo.
CONTEXTO
Dado que un proyecto se concibe como una tarea única, éste conlleva un grado
de incertidumbre. Todo proyecto se divide en fases, las que se conocen como ciclo de
vida.
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AGREGACIÓN DE VALOR Y COSTO DE CAMBIAR
Los periodos generales de duración, los podemos apreciar en la siguiente
gráfica:
OBJETIVOS DEL PROYECTO
Un principio básico de la gestión de proyectos, así como en toda actividad de
gestión, es que los objetivos estén definidos a priori y con un grado de suficiente de
claridad y precisión. Hay proyectos donde la definición de objetivos se hace
realmente difícil, pero esa dificultad no significa que no deba hacerse, puesto que
cuanto más inmaterial es o más arriesgado sea un proyecto más necesario será
contar con un marco de referencia, aunque sus contornos sean menos nítidos que en
otras ocasiones.
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TRIÁNGULO DEL PROYECTO
El objetivo del proyecto es siempre triple: Resultado (Ámbito), Coste, Plazo.
No basta con conseguir uno o dos objetivos, ni hay que dar más importancia a uno o a
otro.
El primer objetivo es el resultado final de proyecto, es decir, la obra que se
quiere realizar y que supone el origen y justificación del proyecto, por lo que puede
considerarse el objetivo más importante y significativo. Pero la consecución del objetivo
técnico no es suficiente. Eso sí: ha de considerarse más bien como una condición
ineludible. En el caso de abordar la electrificación de una aldea, la aldea se debe
electrificar, pero no a cualquier precio ni en cualquier plazo.
En el caso de proyectos externos, el objetivo de costo suele estar definido y
tiene una importancia grande. Normalmente existe un contrato, y el proveedor deberá
respetarlo o tendrá dificultades para revisar al alza el presupuesto. En proyectos
internos es frecuente que el objetivo de coste no figure en forma explícita, algo que se
debe intentar reducir.
El plazo es el objetivo que más fácilmente se deteriora, convirtiéndose así en el
que mejor mide el grado de calidad de gestión del proyecto. A menudo se piensa que el
plazo de realización de un proyecto no debe valorarse excesivamente, puesto que es
algo que "casi nunca se respeta". Pero hay proyectos en los que este objetivo se
convierte en el más importante. ¿Qué pasaría si las obras del estadio olímpico no
estuvieran terminadas para la inauguración de los Juegos Olímpicos?
El aspecto triangular de los objetivos se refuerza por la necesidad de
coherencia y proporción entre los mismos. Los tres son inseparables y forman un
sistema en el que cada modificación de cada una de las partes afecta a las
restantes.
Pueden darse los siguientes casos:
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TÉCNICA PERT-CPM
Durante muchos años, los diagramas de Gantt constituían prácticamente el
único método de planificación y control de proyectos. A finales de los años
cincuenta aparece, una técnica para la planificación de proyectos, que es el PERT. La
técnica se inicia en 1957 por problemas surgidos en la planificación y control del
proyecto “Polaris” (submarino de la armada norteamericana).
PERT (Program of Evaluation and Review Tecnique): Toma en cuenta el la
duración probable de cada tarea. Es decir, se emplea en proyectos no realizados
anteriormente, por lo que se desconocen los tiempos reales de duración de las tareas,
por tanto, estos tiempos se determinan por técnicas probabilísticas.
CPM (Critical Path Method): Toma como base la duración real de cada tarea. Se
aplica a proyectos realizados anteriormente, en la medida que se conocen los tiempos
de cada actividad.
Es conveniente usar esta técnica cuando un proyecto:

Tiene todas sus actividades bien definidas.
 Las actividades se pueden comenzar, interrumpir y realizar de forma separada
dentro de una secuencia dada.
 Las actividades se pueden relacionar con otras.
 Las actividades están ordenadas de forma que se pueda seguir una secuencia.
 Una vez comenzada una actividad, debe continuar sin interrupción hasta su
finalización.
“La red” es un modelo gráfico que señala las relaciones secuenciales entre
los sucesos claves en un proyecto. PERT puede mostrar el camino crítico, que es la
secuencia más larga de actividades conectadas a través de la red y que determina la
duración total del proyecto. Este camino crítico es la base para la planificación y el
control de un proyecto”.
Para disminuir el tiempo total, hay que reducir los tiempos de las actividades que
forman parte del camino crítico, teniendo en cuenta que esa disminución suele
conllevar un aumento del coste de la actividad.
Esta técnica también permite visualizar las tareas que no son críticas. Si
aparecen retrasos inevitables durante el proyecto, el director del proyecto puede
retrasar esas actividades, si lo desea, para reducir la demanda de recursos.
Como los cambios en el alcance del proyecto y los requisitos de tiempo
normalmente aparecen a medida que avanza el proyecto, el camino crítico identificado
al principio del proyecto puede, al final, no determinar la duración total del proyecto. A
menudo, una actividad que originalmente no estaba en el camino crítico se retrasa
hasta el punto de que el proyecto completo se prolonga, creando un nuevo camino
crítico. El director de proyecto debe supervisar continuamente aquellas actividades que
pueden ser muy proclives a retrasarse. Cuanto más complicado sea el proyecto, más
tareas habrá cerca del nivel crítico, así como varios caminos críticos. El director de
proyecto debe valorar el impacto de hacer cambios significativos en estas actividades
las del camino crítico para asegurar que no se forma un nuevo camino crítico.
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FASE DE DISEÑO
La técnica PERT parte de la descomposición de un proyecto en actividades.
Para su realización se consumen unos recursos determinados (como mano de obra,
máquina, etc.) las actividades ocurren entre dos sucesos (que llamaremos suceso
inicial y suceso final), entendiendo como suceso un acontecimiento o punto temporal
(una fecha) que no consume recursos.
La representación se realiza por medio de un grafo en donde las actividades se
reflejan mediante arcos y los sucesos mediante vértices.
Cada tarea o actividad se representa con una flecha orientada, cuyos extremos
están limitados con círculos llamados nodos.
La tarea se designa con una letra mayúscula o por un código numérico, formado
por el par (i,j), que indican los nodos inicial y final, respectivamente. Debajo de la flecha
se consigna la duración de la actividad o tarea.
Nota: Dos tareas no pueden tener el mismo nodo inicial y final, para ello deberá
“cortar” una de las actividades, la que se unirá al final del nodo común a través de
una actividad ficticia (duración = 0).
Relaciones de precedencia
Para iniciar la actividad B es necesario haber finalizado la actividad A.
Relaciones de precedencia convergentes
Para iniciar la actividad D es necesario haber finalizado las actividades A, B y C.
Ing. Roger M. Zumaeta López
46
[email protected]
Senati
Esc. Administración Industrial
Relaciones de precedencia divergentes
Para poder iniciar cualquiera de las actividades B, C, o D, es necesario que haya
finalizado la actividad A.
Ejemplo 1:
Un cliente adquiere un disco duro (nuevo o usado) para una Pc. Le encomienda a
Ud., la tarea de dejarla apta para su utilización.
Identificar las actividades
a. Instalación física del disco duro (cable de datos, cable de poder, configuración
como master o esclavo, etc).
b. Verificar reconocimiento de hardware (setup).
c. Instalación lógica (particiones y formato lógico y/o físico).
d. Instalación del sistema operativo.
e. Instalación de las aplicaciones.
Tabular la secuencia de las actividades y las precedencias
Actividad
Descripción
Precedencia
A
Instalación física del disco duro
Ninguna
B
Reconocimiento por hardware
A
C
Instalación lógica
B
D
Instalación del sistema operativo
C
E
Instalación de aplicaciones
D
Nota: Los códigos o nodos de cada actividad, se completa luego de tener la red de
precedencias
Dibujar la red de precedencias
A
1
B
C
2
3
D
4
E
5
6
Completar la tabla de secuencias
Nodos
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
http://zumlop.jimdo.com
Activid
A
B
C
D
E
Descripción
Instalación física del disco duro
Reconocimiento por hardware
Instalación lógica
Instalación del sistema operativo
Instalación de aplicaciones
47
Preced
Ningun
a
A
B
C
D
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
Senati
Ejemplo 2:
Se le encomienda la tarea de preparar una taza de café.
Identificar las actividades:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Hervir agua
Preparar taza y cucharilla
Disponer los ingredientes
Verter el agua hervida
Agregar azúcar
Agregar café
Mezclar
Servir
Tabular la secuencia de las actividades y las precedencias
Nodos
Activid
A
B
C
D
E
F
G
H
Descripción
Hervir agua
Preparar taza y cucharilla
Disponer los ingredientes
Verter el agua hervida
Agregar azúcar
Agregar café
Mezclar
Servir
Preced
Ning
Ning
Ning
A, B
C,D
D
E,F
H
Dibujar la red de precedencias
1
A
4
D
E
5
7
G
8
H
9
B
2
F
C
6
3
Completar la tabla
Nodos
1-4
2-4
3-5
4-5
5-7
5-6
6-7
7-8
8-9
Activida
d
A
B
C
D
E
F
G
H
Ing. Roger M. Zumaeta López
Descripción
Hervir agua
Preparar taza y cucharilla
Disponer los ingredientes
Verter el agua hervida
Agregar azúcar
Agregar café
Ficticia
Mezclar
Servir
48
Preced
Ning
Ning
Ning
A, B
C,D
C,D
E,F
H
[email protected]
Senati
Esc. Administración Industrial
Ejemplo 3:
Construir la red de precedencia del siguiente proyecto. Completar los nodos.
Nodos
1
A
Activid
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
C
3
D
6
A
H
E
B
4
D
B
F
J
7
8
5
G
1
I
Preced
Ning
Ning
A
A
B
B
E
C,G
D,E
H,I,F
C
2
G
5
2
Descripción
H
4
E
I
F
3
J
6
7
Ejemplo 4:
Construir la red de precedencia del siguiente proyecto.
Nodos
Activid
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Descripción
A
G
1
2
6
I
9
C
F
D
5
11
K
E
4
10
J
B
3
Preced
Ning
A
B
B
B
B
C,D
E,F
G,H
I
J
H
7
8
12
Nota: La actividad I, requiere de las actividades G (inicia en el nodo 6) y H (inicia en el
nodo 7); por lo tanto la actividad H debería ser el nodo 7-9. Por estética, para la
actividad H se han creado sus propios nodos (7-8). Por lo tanto, se hace
necesario crear la actividad ficticia 8-9.
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49
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
Senati
Red de precedencias: Casos propuestos
1. Judy Kramer, directora ejecutiva del St Adolf’s Hospital; emprendió una evaluación
para identificar las brechas en la capacidad para ofrecer un servicio de calidad
superior. Para ello, debe desarrollar las actividades indicadas en la tabla adjunta.
Construya la red de precedencias e indique la duración del proyecto.
Activ
Descripción
A
Seleccionar personal administrativo y médico
B
Seleccionar lugar y realizar levantamiento
topográfico
C
Seleccionar el equipo
D
Preparar planos definitivos de construcción y
distribución
E
Llevar los servicios públicos al predio
F
Entrevistar candidatos para ocupar las plaza
G
Comprar equipo y supervisar la entrega del
mismo
H
Construir el hospital
I
Desarrollar un sistema de información
J
Instalar el equipo
K
Capacitar al personal de enfermería y de apoyo
Preced
A
B
B
A
C
D
A
E, G, H
F, I, J
2. El director del Bluebird University acaba de aprobar los planes para realizar un
seminario de capacitación en ventas. En virtud de la incertidumbre que rodea la
planificación del nuevo curso, el asistente ha preparado las siguientes estimaciones
de tiempo para cada actividad:
Tiempo
Activ
Descripción
Predec
(días)
A
Diseñar folleto y anuncio del curso
5
B
Identificar a los posibles profesores
6
C
Preparar un plan detallado del curso
3
D
Enviar el folleto y las solicitudes a los
A
11
estudiantes
E
Enviar solicitudes a los profesores
B
8
F
Seleccionar al profesor para el curso
C, E
3
G
Aceptar a los estudiantes
D
4
H
Seleccionar el texto para el curso
F
5
I
Pedir y recibir los textos
G, H
8
J
Preparar el aula para las clases
G
4
El director desea inaugurar el seminario dentro de 47 días hábiles a partir de hoy
¿podrá inaugurar el seminario en el plazo deseado?
Ing. Roger M. Zumaeta López
50
[email protected]
Senati
Esc. Administración Industrial
3. Cuando el hotel The Phoenix, trató de rediseñar las instalaciones de su spa, el
equipo de gerencia creó una estructura de división del trabajo para comparar
diferentes opciones del proyecto y elegir la mejor. ¿Cuándo podrá la gerencia
tomar una decisión sobre el spa?
Act
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Descripción
Concepción del proyecto
Reunión de puesta en marcha del
proyecto
Creación de las especificaciones del spa
Investigación geotécnica
Caracterizaciones preliminares del sitio
Investigación del subsuelo
Pruebas de laboratorio
Evaluación de riesgos geológicos
Desarrollo del diseño
Diseños iniciales
Plano preliminar de zonificación
Diseños finales
Aprobación de los diseños por el
propietario
Documentación y estimación de
costos
Documentación para la construcción y
paquete de paisajismo
Adquisición de estimaciones y ofertas de
contratistas
Decisión
Aprobación de uno del tres proyectos por
parte del propietario
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51
Predec
Tiempo
(días)
-
2
A
30
B
C
D
E
10
10
5
10
B
C, G
H
I
70
15
18
5
F, I
80
J, K
90
L
60
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
Senati
FASE DE PROGRAMACIÓN
Esta etapa del método, permite determinar los inicios, términos y holguras de las
actividades. También se identificarán las actividades que forman parte de la ruta crítica
(actividades con holgura cero).
1. Obtener información sobre la duración del proyecto, así como los inicios y términos
de cada una de las actividades.
Actividad
Descripción
Precedenci
a
Duración
A
Ning
5 días
B
A
10 días
C
A
4 días
2. Construida la red de precedencias, completar los diagramas según se indica.
TiA: Tiempo de inicio de la actividad “A” (nodo inicial)
TfA: Tiempo de finalización de la actividad “A” (nodo terminal)
d: Duración de la actividad “A”
Nota:

El lado izquierdo de los recuadros, representa los inicios y finalizaciones
tempranos (ES: early start, EF: early finish).
 El lado derecho de los recuadros, representa los inicios y finalizaciones
tardíos (LS: last start, LF: last finish).
3. Determinar los tiempos de inicio (del nodo 1 al nodo n)
 En el primer nodo del proyecto, el tiempo de
inicio es cero.
 El tiempo de inicio en el nodo siguiente es:
Tij =Tii + d = 3 + 8 = 11

Si a un nodo “llegan” varias actividades (cuando se va de izquierda a derecha),
el tiempo de inicio será el mayor de todas las tareas que convergen en dicho
nodo común.
Nodo i-k: Ti + d = 5 + 6 = 11
Nodo j-k: Ti + d = 3 + 9 = 12
Por lo tanto, tiempo de inicio del nodo k, es 12
Ing. Roger M. Zumaeta López
52
[email protected]
Senati
Esc. Administración Industrial
4. Determinar los tiempos de finalización (del nodo n al nodo 1)
 En el último nodo del proyecto, el tiempo de finalización es igual al tiempo de
inicio.
 El tiempo de finalización en el nodo
anterior (nodo Inicial de la actividad en
estudio), es: Tfi =Tfj - d = 15 - 8 = 7

Si de un nodo “salen” varias actividades, el
tiempo de finalización será el menor de todas
las tareas que parten de un nodo común.
Nodo i-j: Tf - d = 25 - 6 = 19
Nodo i-k: Tf - d = 12 - 9 = 3
Por lo tanto, el tiempo de finalización en el
nodo i, es 3
Ejemplo 1:
La comisión de Cultura y Recreación del Consejo Metropolitano, desea construir
un jardín botánico para contribuir a la recreación de los habitantes. Para ello debe
realizar las actividades indicadas en la tabla adjunta. Construya la red actividades del
proyecto.
Código
Actividad
Tiempo
(hr)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Planeación
Compras
Excavación
Corte de madera
Colocación
Ensamble
Nivelación
Rellenado
Decoración
20
60
100
30
20
10
20
10
30
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53
Precedentes
Ning
A
A
B
C, D
E
F
F
G,H
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
Senati
Ejemplo 2:
Determinar los tiempos de inicio y finalización (días), del siguiente proyecto.
Tiempos de inicio:
Nodo 3-5: 6 + 10 = 16
Nodo 4-5: 5 + 5 = 10
Por lo tanto, en el nodo 5, el Ti = 16
Tiempos de finalización:
Nodo 2-3: 6 – 4 = 2
Nodo 2-4: 11 – 3 = 8
Por lo tanto, en el nodo 2, el Tf = 2
Otra manera, es utilizar una escala de tiempo.
Este diagrama, además de mostrar la duración del proyecto, muestra también
los inicios, términos y holguras de las actividades.
Ing. Roger M. Zumaeta López
54
[email protected]
Senati
Esc. Administración Industrial
Duración del proyecto: Casos propuestos
1. Determinar los tiempos de inicio y finalización, del siguiente proyecto.
2. Determinar los tiempos de inicio y finalización, del siguiente proyecto.
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55
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
Senati
RUTA CRÍTICA
Es el conjunto de actividades que limitan la duración de un proyecto. En otras
palabras, para lograr que el proyecto se realice en el plazo previsto, las actividades de
la ruta crítica deberán realizarse en sus tiempos asignados, dado que tienen una
holgura igual a cero.
Dicho en otros términos, si una actividad de la ruta crítica se retrasa, el proyecto
como un todo se retrasará en la misma cantidad.
Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una holgura; es decir,
pueden empezar más tarde y no afectan la duración del proyecto. De ser necesario,
estas actividades pueden “ceder” sus recursos.
Cálculo
Teniendo la red, la ruta crítica lo conforma la “ruta” de mayor duración, en
consecuencia, las actividades comprendidas en dicha ruta merecen un cuidado
especial, pues un retraso en una de ellas, implica un retraso para el proyecto.
Rutas posibles para llegar del nodo 1 al nodo 9:
A-B-D-E-F-G-I
A-B-D-E-F-H-I
A-C-E-F-G-I
A-C-E-F-H-I
Ing. Roger M. Zumaeta López
tiempo 190 hr.
tiempo 180 hr
tiempo 200 hr (ruta crítica)
tiempo 190 hr
56
[email protected]
Senati
Esc. Administración Industrial
HOLGURA
En todo proyecto, las actividades de la ruta crítica tienen holgura igual a
cero. Las actividades que cuentan con holgura, pueden retrasar su inicio tanto tiempo
como holgura tenga.
Holgura = Terminación tardía – Duración – Inicio temprano
H = LF – d - ES
Ejemplo
Construir la red y calculado los tiempos de las actividades.
Construir la siguiente tabla:
Activ
A
B
C
D
E
F
ES
Gráf red
0
2
2
6
5
16
d
2
4
3
10
5
4
EF
ES + d
2
6
5
16
10
20
H
0
0
6
0
6
0
LS
ES + H
0
2
8
6
11
16
LF
LS + d
2
6
11
16
16
20
La ruta crítica es: A-B-D-F (las líneas sombreadas)
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57
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
Senati
Ruta crítica: Casos propuestos
1. La Comisión de Bienestar Ciudadano, ha decidido construir un jardín botánico y
una zona de comidas en el centro de la ciudad con el fin de contribuir a la
recreación de sus habitantes. Construya la red y determine la duración de las
actividades y del proyecto.
Activ
Descripción
Predec
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Planeación
Compras
Excavación
Corte de madera
Colocación
Ensamble
Nivelado
Rellenado
Decoración
Planeación
Planeación
Compras
Corte, Excavación
Colocación
Ensamble
Ensamble
NIvelado, Ensamble
Tiempo
(horas)
20
60
100
30
20
10
20
10
30
a. Determine la secuencia de actividades.
b. Determine la ruta crítica.
2. El rector de la Southwestern University, tomó la decisión de ampliar la capacidad del
estadio localizado en el campus universitario.
Activ
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Descripción
Depósitos, seguros e
impuestos
Cimientos, base de
concreto
Arreglo de asientos y
palcos
Pasillos, escaleras y
elevadores
Cableado interior
Aprobaciones de
inspección
Plomería
Pintura
Ferretería
Mosaico, alfombra y
ventanas
Inspección
Acabados y detalles,
limpieza
-
Tiempo
(días)
30
A
65
A
60
C
50
B
E
30
0.1
D, E
G
H
H
35
30
60
12
J
I, K
0.1
60
Predec
¿Podrá terminarse la construcción en 270 días?
Ing. Roger M. Zumaeta López
58
[email protected]
Senati
Esc. Administración Industrial
3. Alfa es una compañía en la que se manufactura y ensambla todo tipo de gabinetes.
Se va a manufacturar un nuevo tipo de gabinete, el cual requiere las siguientes
tareas:
Activ
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Descripción
Preparar las ruedas
Montar las ruedas
Ensamblar los
costados
Colocar la cubierta
superior
Colocar la base
Insertar las ménsulas
Insertar las repisas
Colocar las puertas
Colocar el panel
posterior
Pintar la unidad
Tiempo
(min)
10
5
15
11
10
5
5
10
10
15
Las ruedas se montan después de ser preparadas. La base no puede unirse hasta
que se ensamblen los costados y las ruedas estén montadas. La parte superior no
puede unirse ni insertarse las ménsulas hasta que estén ensamblados los
costados. Las repisas se colocan después de haber colocado las ménsulas. El
panel posterior se une después de que la base y la cubierta superior son
colocadas. Las puertas se colocan después de que se instalan las repisas, la base
y cubierta superior. La unidad se pinta después de haber sido colocadas la base y
la cubierta superior.
a. Identifique los predecesores inmediatos de cada tarea.
b. Construya la red del proyecto
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59
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
Senati
4. El Maser es un nuevo automóvil deportivo diseñado sobre pedido. Un análisis de la
tarea de construir un Maser revela la siguiente lista de actividades relevantes, sus
precedentes inmediatos y su duración.
Activ
Descripción
Prec
A
B
C
D
E
F
Reunión equipo trabajo
Diseño
Pedido de accesorios
Construcción del chasis
Construcción de puertas
Unir ejes, llantas y
tanque de gasolina
Construcción de
carrocería
Construcción
transmisión y dirección
Ajuste de puertas
Construcción de motor
Prueba estacionaria del
motor
Ensamble de chasis
Prueba de chasis en
movimiento
Pintura de carrocería
Instalación de cableado
Instalación de interiores
Aceptar entrega de
accesorios
Montaje de carrocería y
accesorios
Prueba del auto en
movimiento
Ajuste de ensamble
exterior
Supervisión final
A
B
B
B
D
Tiempo
(días)
1
8
1
1
1
1
B
2
B
3
G, E
B
J
1
4
2
F, H, K
L
1
1
I
N
N
C
2
1
2
5
M, O, P,
Q
R
1
S
1
T
1
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
1
Si el Maser debe terminarse 2 días antes, ayudaría si:
a. ¿Se compraran transmisiones y direcciones prefabricadas?
b. ¿Se instalarán robots para construir el motor en la mitad del tiempo?
c. ¿Se acelerara en 3 días la entrega de accesorios especiales?
Ing. Roger M. Zumaeta López
60
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Senati
Esc. Administración Industrial
TÉCNICA DE ESTIMACIÓN DE TIEMPOS
OBJETIVO
Determinar la duración de un proyecto, en base a tiempos probabilísticos.
CONCEPTO
Si la duración de las actividades no es conocida con certeza, se puede emplear la
Técnica de Revisión y Evaluación del Programa (PERT) para determinar la probabilidad
de que un proyecto termine antes de una fecha específica.
Para ello, haremos uso de las siguientes fórmulas:
Tiempo estimado:
𝑎 + 4 𝑡𝑚 + 𝑏
𝑡𝑒 =
6
Varianza:
𝑏−𝑎 2
2
𝜎 =(
)
6
Desviación estándar:
𝜎 = √𝜎 2
Sean los datos siguientes:
Activ
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Descripción
Diseño de producto
Diseño de envase
Orden y recibo mat producc
Orden y recibo mat envase
Fabricación producto
Fabricación envase
Envasar productos
Prueba mercado del producto
Prueba mercado del envase
Entrega a distribuidores
Preced
A
B
C
D
E
F
G,H
I
a
3.5
1.0
1.5
1.2
2.0
1.8
3.0
2.0
0.5
0.8
m
5.0
1.5
3.0
3.2
3.5
2.8
6.5
4.2
0.8
2.1
b
11.0
5.0
4.5
4.0
8.0
5.0
7.0
5.2
2.3
2.8
te
σ2
Estos tiempos suponen lo siguiente: por ejemplo, la actividad F requiere 1.8
semanas en condiciones óptimas y 5.0 semanas en condiciones pesimistas, siendo el
tiempo de estimación probable 2.8 semanas.
Si esta actividad se repitiera varias veces, el tiempo esperado que requiere dicha
actividad es de 2.8 semanas.
¿Hasta qué punto son confiables estos datos?
Estas estimaciones serán útiles para determinar la dispersión de los tiempos,
para así evaluar el nivel de incertidumbre de que el proyecto se termine conforme a lo
programado.
¿Por qué las tres estimaciones?
¿Por qué no simplemente estimar los valores esperados y hacer los cálculos de
PERT/CPM con base en éstos?
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61
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
Senati
La justificación que responde estas interrogantes:





Se necesita saber qué tan confiables son las estimaciones de los tiempos
esperados. Esto se puede hacer teniendo las tres estimaciones.
Si el tiempo requerido para terminar una actividad es muy grande, entonces
tendremos menos confianza en el tiempo esperado que si el intervalo fuera
menor. Por ejemplo: si las tres estimaciones para la actividad “fabricar el
producto” fueran 2, 3 y 4 en vez de 1.8, 2.8 y 5.0 en ambos casos el tiempo
promedio sería 3.0 semanas; pero en el primer caso tendríamos más confianza
en que estas cifras modificadas fueran más precisas puesto que tiene menor
variabilidad. Un intervalo amplio de las estimaciones representa una mayor
incertidumbre y, por ello, menor confianza en el tiempo esperado que se calcula.
A menor confianza, la probabilidad de terminar el proyecto hacia una fecha dada
se reduce.
La ventaja de tener tres estimaciones de tiempos es que puede calcularse la
dispersión de los tiempos de las actividades y puede utilizarse esta información
para evaluar la incertidumbre de que el proyecto se termine de acuerdo con el
programa.
Se utiliza la varianza como medida para describir la dispersión o variación de las
estimaciones de los tiempos de las actividades.
Aplicando dichas fórmulas al caso de estudio, tenemos:
Activ Varianza 2
A
1.56
B
0.44
C
0.25
D
0.22
E
1.00
F
0.28
G
0.44
H
0.28
I
0.09
J
0.11
A partir de estos datos, se obtiene, que la actividad A tiene un mayor grado de
incertidumbre que la actividad J. (1.56 vs 0.11).
Variabilidad en la fecha de terminación del proyecto.



Al calcular la ruta crítica se utilizaron los tiempos esperados de duración para los
tiempos de las actividades; lo que se obtuvo fue una duración esperada para el
proyecto.
Como es probable que cada actividad varíe en duración en vez de ser fija; el
tiempo de terminación del proyecto será variable, y en particular si existen
variaciones considerables en las actividades de la ruta crítica.
Es “probable” que el tiempo de duración del proyecto varíe positiva como
negativamente.
Ing. Roger M. Zumaeta López
62
[email protected]
Senati



Esc. Administración Industrial
La influencia en el tiempo de duración del proyecto no sólo es de las actividades
de la ruta crítica, sino que se puede generar otra ruta crítica debido a la
variabilidad de las actividades.
Puesto que la varianza de una actividad da una medida de la variación en la
incertidumbre, puede utilizarse para calcular la variación total en el tiempo
esperado del término del proyecto.
Al calcular el tiempo esperado de terminación del proyecto, se toman las
varianzas (2), de las actividades que forman la ruta crítica. Para calcular la
varianza del tiempo de terminación del proyecto, simplemente se suman las
varianzas (2) de las actividades que forman la ruta crítica.
De la gráfica se tiene que la ruta crítica lo forman las actividades A, C, E, G, I y J,
con un tiempo esperado de terminación de 22 semanas.
La varianza del proyecto es:
2 = A2 + C2 + E2 + G2 + I2 + J2
2 = 1.56 + 0.25 + 1.00 + 0.44 + 0.09 + 0.11
2 = 3.45 semanas
La desviación estándar para la terminación del proyecto es
 = (2)1/2 = (3.45)1/2  2 semanas
Estadísticamente, se considera que los tiempos de terminación de un proyecto no
están descritos por una distribución
beta
sino
que
siguen
una
distribución
aproximadamente
normal o en forma de campana
(Gauss).
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63
Ing. Roger M. Zumaeta López
Administración de Operaciones II
Senati
Estandarización o Normalización:
Utilizando la distribución normal podemos hacer planteamientos de probabilidades
con respecto a fecha de término del proyecto; dada una fecha específica de
terminación, puede calcularse la probabilidad de que el proyecto se termine en esa
fecha o antes.
Ejemplo se desea saber cuál es la probabilidad de que el proyecto termine antes de
26 semanas.
Primero.Convertir 26 semanas a un valor Z. (X = 26,  = 22 y  = 2)
Z=
X-

26 – 22
2
=2
Segundo.Con el valor Z = 2 y una tabla de distribución normal, se encuentra que la
probabilidad asociada es 0.9772. La probabilidad de que el proyecto se termine
en 26 semanas o menos es 0.9772 o 97.72%; por tanto, se puede tener
bastante confianza en que el proyecto pueda terminarse para esa fecha.
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Esc. Administración Industrial
Casos propuestos:
1. Una cadena de restaurantes fast-food desea adquirir una nueva computadora que
le permita llevar su contabilidad y realizar el control de inventarios. Una empresa de
informática le presenta al Director la siguiente información
Calcular la probabilidad de terminar el proyecto en 55 días.
2. Cierta empresa ha decidido añadir un nuevo producto a su línea. Las actividades a
realizar son las siguientes. (Los números entre paréntesis representan los nodos).
a. Si se contratan vendedores con experiencia y se elimina el periodo de
entrenamiento. ¿se podrá colocar el producto 7 semanas antes?
b. Probabilidad de terminar en 37 semanas.
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3. Un proyecto se compone de las siguientes actividades.
¿Qué plazos de ejecución tienen un 80% y 90% de probabilidad de cumplirse?
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Tabla Distribución Normal
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ESTIMACION DE COSTOS vs TIEMPO
Hasta el momento, los casos estudiados se han centrado en aspectos del
tiempo, y como cumplir éstos conforme a la fecha programada.
La relación costo vs tiempo, es una relación del tipo inversamente proporcional,
dado que una disminución/aumento en el tiempo de ejecución conlleva a un
aumento/disminución de costos, según se aprecia en el siguiente esquema.
Muchas actividades pueden reducir su duración, pero sólo aumentando los
costos, para ello por ejemplo: habría que acelerar pedidos y quizá para ello debamos
pagar extras; podría utilizarse más equipos y/o mano de obra adicionales.
Sin embargo, las actividades no pueden reducirse más allá de cierto punto, sin
importar la cantidad de dinero adicional que se invierta.
La relación entre las actividades y sus duraciones, se estiman con la siguiente
ecuación:
Cunid tiempo = Cn – Cc
tc - tn
Nota:
Costo actual
proy =
Costo ant proy + Costo var por unid tiempo - Costo fijo
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Para determinar qué actividad debe reducirse y en cuánto, es necesario saber:



El costo esperado asociado con cada tiempo esperado de actividad.
El tiempo más breve posible para cada actividad si se aplica el máximo de
recursos.
El costo esperado para la actividad y asociado con el tiempo más corto posible
para esa actividad.
Caso de aplicación: Se tiene la siguiente información:
Activid
Preced
G
A
B
C
D
E
F
H
I
Ning
Ning
Ning
A
A
B,C
B,C
G,D,E
H,F
Duración
Normal Tope
22
2
8
4
14
12
12
6
18
14
10
8
8
2
14
12
6
6
Costo
Costo
Normal Límite
50
50
420
700
800
960
1,000
1,300
1,080
1,200
300
480
1,000
2,200
1,200
1,500
300
300
6,150
8,690
Los totales de la columna de costo normal nos indican los costos directos del
proyecto ejecutado en tiempos estándares
Los totales de costo límite no nos indican un costo real, ya que no será
necesaria que todas las actividades sean realizadas en tiempo límite, sino solo algunas
de ellas.
Procedimiento:
Se tiene los siguientes datos:
Activid
Preced
A
B
C
D
E
F
G
H
Ning
A
B
C, H
B
E
A
G
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Duración (d)
Normal Tope
3
1
4
2
6
3
4
1
5
3
3
0
6
1
3
1
70
Costos ($)
Normal
Tope
300
360
500
900
1,000
1,600
600
650
1,200
1,500
500
500
800
1,050
900
1,200
Costo ($)
unid tiemp
60
200
200
50
100
0
250
300
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Solución:
Construyendo la red. Ruta crítica: A-B-C-D (17 días)
La actividad D, tiene el menor costo de reducción, entonces se reduce en un día,
teniendo la nueva red. La nueva ruta crítica: A-B-C-D
La actividad A (de las que quedan), tiene el menor costo de reducción, por lo
tanto, se reduce en un día, teniendo la nueva red: La nueva ruta crítica: A-B-C-D (A y D
ya se redujeron a su máximo).
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Las actividades B y C, tienen el mismo costo de reducción; pero conviene reducir
B, porque reduce la longitud de dos rutas. Al reducir B en un día, se dan dos rutas
críticas: A-B-C-D y A-G-H-D.
Por lo tanto, se deberá reducir en forma simultánea 1 día en una actividad en cada una
de las rutas.
Puesto que la actividad B se puede reducir aún en un día (basados en el punto
anterior), para la ruta A-B-C-D.
También se reducirá la actividad G, para la ruta A-G-H-D.
Nos queda la siguiente red:
Las rutas críticas siguen siendo: A-B-C-D y A-G-H-D.
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Quedan por reducir C y H, a las que se reducen un día, con lo que nos queda la nueva
red:
En este punto todas las actividades son críticas; por lo tanto, si quisiéramos
realizar una mayor reducción en el tiempo total del proyecto, habría que reducir
simultáneamente las tres rutas críticas: A-B-C-D, A-G-H-D y A-B-E-F.
Pero las actividades A-B-C-D ya se redujeron a su máximo; por lo tanto, el
proyecto completo ya se redujo a su máximo.
Esto no significa que el proyecto deba hacerse en 12 días, sino que es el tope
hasta el cual puede reducirse su duración y los costos asociados a tales tiempos
menores.
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Costo del proyecto: Casos propuestos:
1. En la tabla adjunta se muestran actividades asociadas a la construcción de una
casa.
2.
Una compañía que monta espectáculos musicales acaba de firmar un contrato para
un nuevo show. El productor ha identificado las siguientes tareas que necesitan
hacerse antes de presentar el espectáculo:
La coreografía se realiza después de orquestada la música. Los ensayos de danza
no pueden empezar hasta que cada parte esté preparada, se contrate a los artistas
y se termine la coreografía. El escenario es diseñado y construido después del
ensayo de danza. El vestuario se prepara después de contratados los artistas. El
ensayo de vestuario se hace después del ensayo de danza y cuando el vestuario
esté listo. Al ensayo de vestuario le sigue el ensayo general, que también requiere
el escenario. El ensayo final sigue después del ensayo general.
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REFERENCIAS
Libros
Administración de Operaciones
Richard Chase
Principios de Administración de Operaciones
Jay Heizer & Barry Render
Administración de Operaciones
Lee Krajewski
Administración de Operaciones
Roger Schroeder
Ejercicios de Investigación de operaciones
Félix Alonso Gomollón
Métodos cuantitativos para los negocios
David R. Anderson
Métodos cuantitativos para los negocios
B Render R Stair M Hanna
Dirección de producción y operaciones
Ma. Luz Martín Peña
Introduc a la Dirección de producción y operaciones Rafaela Alfalla Luque
Web
http://www.slideshare.net/fperalesv/creacin-y-desarrollo-de-nuevos-productos
http://www.investigaciondeoperaciones.net/eoq_con_descuentos.html
http://ingindustrialinvop.blogspot.pe/2011/06/blog-post.html
http://es.slideshare.net/alconguerrero/ejercicios-lep-sin-faltante?related=1
http://www.gestiondeoperaciones.net/inventarios/ejemplo-del-modelo-de-loteeconomico-con-produccion-y-consumo-simultaneo-poq/
http://ingindustrialinvop.blogspot.pe/2011/02/modelo-lep-sin-faltantes.html
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Aplicaciones_PL.pdf
http://www.iessantvicent.com/departament/matematiques/solucions/MCS2_SM/u4.pdf (ejemplos resueltos progr lineal método gráfico)
http://www.edu.xunta.es/centros/iesastelleiras/?q=system/files/cuatro.pdf
http://www.monografias.com/trabajos104/soluciones-programacionlineal/soluciones-programacion-lineal.shtml
http://es.slideshare.net/YORSCHITOOO/programacion-lineal-45285385 (mét gráf)
Videos
Evoluc Adm Operac https://www.youtube.com/watch?v=IPvhWKlThZk
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