Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Sk Convergencia Departamento de Matemáticas TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn MA3002 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an Intro Las Series de trigonométricas de Fourier, o simplemente series de Fourier fueron desarrolladas por el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre 16 de mayo de 1830 en Parı́s). La idea que subyace en las series de Fourier es la descomposición de una señal periódica en términos de señales periódicas básicas (senos y cosenos) cuyas frecuencias son múltiplos de la señal original. TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn La idea de descomposición es un proceso fundamental en el area cientı́fica en general: la descomposición permite el análisis de las propiedades y la sı́ntesis de los objetos o fenómenos. Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Serie de Fourier La serie de Fourier de una función periódica f (x) de perı́odo T , también conocida como señal, definida en un intervalo de longitud T está dada por: ∞ Intro f (x) = Serie de Fourier a0 X + (an cos (n ω0 x) + bn sen (n ω0 x)) 2 n=1 Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn donde ω0 = a0 = TI:f TI:Uso an = Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn bn = 2π T laZfrecuencia fundamental 1 f (x) dx T /2 T Z 1 f (x) cos (n ω0 x) dx T /2 T Z 1 f (x) sen (n ω0 x) dx T /2 T Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sumas parciales Para la serie de Fourier de una función f (x) periódica definida en un intervalo de longitud T la k-ésima suma parcial, representada por Sk (x) está dada por: Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn k Sk (x) = a0 X + (an cos (n ω0 x) + bn sen (n ω0 x)) 2 n=1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 1 Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x f (x) = π − x para 0 ≤ x Serie de Fourier < 0 < π π Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f −π TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Aquı́ ω0 = 2π 2π = 1. O π Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn a0 = 1 π Z π 1 f (x) dx = π −π Z 0 Z (π − x) dx 0 dx + −π π 0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn a0 = = Z 0 Z π Z 1 π 1 0 dx + (π − x) dx f (x) dx = π −π π −π 0 π 1 x2 πx − π 2 0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn a0 = = a0 = Z 0 Z π Z 1 π 1 0 dx + (π − x) dx f (x) dx = π −π π −π 0 π 1 x2 πx − π 2 0 π 2 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier a0 = = a0 = Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn an = Z 0 Z π Z 1 π 1 0 dx + (π − x) dx f (x) dx = π −π π −π 0 π 1 x2 πx − π 2 0 π 2 Z 1 π f (x) cos(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier a0 = = a0 = Sk Convergencia TI:ao an = TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn = Z 0 Z π Z 1 π 1 0 dx + (π − x) dx f (x) dx = π −π π −π 0 π 1 x2 πx − π 2 0 π 2 Z 1 π f (x) cos(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 0 dx + (π − x) cos(n x) dx π −π 0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier a0 = = a0 = Sk Convergencia TI:ao an = TI:an TI:bn = TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn = Z 0 Z π Z 1 π 1 0 dx + (π − x) dx f (x) dx = π −π π −π 0 π 1 x2 πx − π 2 0 π 2 Z 1 π f (x) cos(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 0 dx + (π − x) cos(n x) dx π −π 0 1 [(π sen(n x) − cos(n x) − n x sen(n x))]π0 π n2 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier a0 = = a0 = Sk Convergencia TI:ao an = TI:an TI:bn = TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn = an = Z 0 Z π Z 1 π 1 0 dx + (π − x) dx f (x) dx = π −π π −π 0 π 1 x2 πx − π 2 0 π 2 Z 1 π f (x) cos(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 0 dx + (π − x) cos(n x) dx π −π 0 1 [(π sen(n x) − cos(n x) − n x sen(n x))]π0 π n2 1 − (−1)n π n2 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn bn = 1 π Z π f (x) sen(ω0 n x) dx −π recuerde ω0 = 1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn bn = = Z 1 π f (x) sen(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 0 dx + (π − x) sen(n x) dx π −π 0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier bn = = Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn = Z 1 π f (x) sen(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 0 dx + (π − x) sen(n x) dx π −π 0 1 [(−π n cos(n x) − sen(n x) + n x cos(n x))]π0 π n2 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier bn = = Sk Convergencia = TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn bn = Z 1 π f (x) sen(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 0 dx + (π − x) sen(n x) dx π −π 0 1 [(−π n cos(n x) − sen(n x) + n x cos(n x))]π0 π n2 1 n Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Algunas sumas parciales: S1 = π 4 + 2 π cos(x) + sen(x) S2 = π 4 + 2 π cos(x) + sen(x) + S3 = π 2 4 + π cos(x) + 1 2 9 π cos(3 x) + 3 sen(x) + sen(3 x) S4 = π 2 4 + π cos(x) + 1 2 9 π cos(3 x) + 3 sen(x) + 12 sen(2 x)+ sen(3 x) + 41 sen(4 x) S5 = π 2 1 4 + π cos(x) + sen(x) + 2 sen(2 x)+ 2 1 1 9 π cos(3 x) + 3 sen(3 x) + 4 sen(4 x)+ 1 2 25 π cos(5 x) + 5 sen(5 x), S6 = π 2 1 4 + π cos(x) + sen(x) + 2 sen(2 x)+ 2 1 1 9 π cos(3 x) + 3 sen(3 x) + 4 sen(4 x)+ 2 1 1 25 π cos(5 x) + 5 sen(5 x) + 6 sen(6 x) Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f 1 2 sen(2 x) 1 2 sen(2 x)+ TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O π Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O π S1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O π S2 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O π S3 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O π S4 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O S π 5 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O S π 6 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O S π 7 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O S π 8 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O S π 9 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Ejemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 0 para −π < x < 0 f (x) = π − x para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: a0 = 1 − (−1)n 1 π , an = , bn = 2 2 n π n Convergencia TI:ao TI:an Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales quedan de la siguiente manera: TI:bn π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O S π 10 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 2 Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Serie de Fourier Sk 2 Convergencia TI:ao TI:an −π TI:bn O π TI:f −1 TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Aquı́ ω0 = 2π 2π = 1. Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn a0 = 1 π Z π 1 f (x) dx = π −π Z 0 Z −1 dx + −π π 2 dx 0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn a0 = = Z 0 Z π Z 1 π 1 −1 dx + 2 dx f (x) dx = π −π π −π 0 1 [−x]0−π + [2 x]π0 π Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas a0 Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn a0 Z 0 Z π Z 1 π 1 = −1 dx + 2 dx f (x) dx = π −π π −π 0 1 = [−x]0−π + [2 x]π0 π = 1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas a0 Intro Serie de Fourier a0 Z 0 Z π Z 1 π 1 = −1 dx + 2 dx f (x) dx = π −π π −π 0 1 = [−x]0−π + [2 x]π0 π = 1 Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn an = 1 π Z π f (x) cos(ω0 n x) dx −π recuerde ω0 = 1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas a0 Intro Serie de Fourier a0 Z 0 Z π Z 1 π 1 = −1 dx + 2 dx f (x) dx = π −π π −π 0 1 = [−x]0−π + [2 x]π0 π = 1 Sk Convergencia an = TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn = Z 1 π f (x) cos(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 −1 cos(n x) dx + 2 cos(n x) dx π −π 0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas a0 Intro Serie de Fourier a0 Z 0 Z π Z 1 π 1 = −1 dx + 2 dx f (x) dx = π −π π −π 0 1 = [−x]0−π + [2 x]π0 π = 1 Sk Convergencia an = TI:ao TI:an = TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn = Z 1 π f (x) cos(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 −1 cos(n x) dx + 2 cos(n x) dx π −π 0 ! sen(n x) 0 1 sen(n x) π + 2 − π n n −π 0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas a0 Intro Serie de Fourier a0 Sk Convergencia TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Z 1 π f (x) cos(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 = −1 cos(n x) dx + 2 cos(n x) dx π −π 0 ! sen(n x) 0 1 sen(n x) π = + 2 − π n n −π 0 = 0 an = TI:ao Hechos 1 Z 0 Z π Z 1 π 1 = −1 dx + 2 dx f (x) dx = π −π π −π 0 1 = [−x]0−π + [2 x]π0 π = 1 an Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn bn = 1 π Z π f (x) sen(ω0 n x) dx −π recuerde ω0 = 1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn bn = = Z 1 π f (x) sen(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 −1 sen(n x) dx + 2 sen(n x) dx π −π 0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier bn = = Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn = Z 1 π f (x) sen(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 −1 sen(n x) dx + 2 sen(n x) dx π −π 0 ! 1 cos(n x) π cos(n x) 0 + −2 π n n −π 0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier bn = = Sk Convergencia TI:ao = TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn bn = Z 1 π f (x) sen(ω0 n x) dx recuerde ω0 = 1 π −π Z 0 Z π 1 −1 sen(n x) dx + 2 sen(n x) dx π −π 0 ! 1 cos(n x) π cos(n x) 0 + −2 π n n −π 0 3 (1 − (−1)n ) nπ Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Algunas sumas parciales: S1 = S2 = 1 2 + 6 π sen(x) S3 = S4 = 1 2 + 6 π sen(x) + 2 π sen(3 x) S5 = S6 = 1 2 + 6 π sen(x) + 2 π sen(3 x) + 6 5π sen(5 x) S7 = S8 = 1 6 2 + π sen(x) 6 7 π sen(7 x) 2 π sen(3 x) + 6 5π sen(5 x)+ S9 = S10 = 1 6 2 2 + π sen(x) + π sen(3 x) 6 2 7 π sen(7 x) + 3 π sen(9 x) 6 5π sen(5 x)+ S11 = S12 = 1 6 2 6 2 + π sen(x) + π sen(3 x) + 5 π sen(5 x)+ 6 2 6 7 π sen(7 x) + 3 π sen(9 x) + 11 π sen(11 x) Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f + + TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn 2 TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta −π O π Hechos 2 Complejas TI:cn −1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: Serie de Fourier Sk a0 = 1, an = 0, bn = Convergencia 3 (1 − (−1)n ) nπ TI:ao TI:an TI:bn 2 TI:f TI:Uso S1 Hechos 1 Compacta −π O π Hechos 2 Complejas TI:cn −1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: Serie de Fourier Sk a0 = 1, an = 0, bn = Convergencia 3 (1 − (−1)n ) nπ TI:ao TI:an TI:bn 2 TI:f TI:Uso S3 Hechos 1 Compacta −π O π Hechos 2 Complejas TI:cn −1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: Serie de Fourier Sk a0 = 1, an = 0, bn = Convergencia 3 (1 − (−1)n ) nπ TI:ao TI:an TI:bn 2 TI:f TI:Uso S5 Hechos 1 Compacta −π O π Hechos 2 Complejas TI:cn −1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: Serie de Fourier Sk a0 = 1, an = 0, bn = Convergencia 3 (1 − (−1)n ) nπ TI:ao TI:an TI:bn 2 TI:f TI:Uso S7 Hechos 1 Compacta −π O π Hechos 2 Complejas TI:cn −1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: Serie de Fourier Sk a0 = 1, an = 0, bn = Convergencia 3 (1 − (−1)n ) nπ TI:ao TI:an TI:bn 2 TI:f TI:Uso S9 Hechos 1 Compacta −π O π Hechos 2 Complejas TI:cn −1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: Serie de Fourier Sk a0 = 1, an = 0, bn = Convergencia 3 (1 − (−1)n ) nπ TI:ao TI:an TI:bn 2 TI:f TI:Uso S11 Hechos 1 Compacta −π O π Hechos 2 Complejas TI:cn −1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: Serie de Fourier Sk a0 = 1, an = 0, bn = Convergencia 3 (1 − (−1)n ) nπ TI:ao TI:an TI:bn 2 TI:f TI:Uso S13 Hechos 1 Compacta −π O π Hechos 2 Complejas TI:cn −1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 2 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: −1 para −π < x < 0 f (x) = 2 para 0 ≤ x < π Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron: Serie de Fourier Sk a0 = 1, an = 0, bn = Convergencia 3 (1 − (−1)n ) nπ TI:ao TI:an TI:bn 2 TI:f TI:Uso S15 Hechos 1 Compacta −π O π Hechos 2 Complejas TI:cn −1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Condiciones de convergencia Sea f (x) una función periódica definida en un intervalo de longitud T continua, excepto posiblemente en un número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas y que posee derivada continua también excepto en número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas. Entones, la serie de Fourier para f (x) converge a f (x) en todo punto de continuidad y en los puntos de discontinuidad la serie de Fourier converge a f (x+) + f (x−) 2 donde f (x+) representa el lı́mite por la derecha a x y f (x−) representa el lı́mite por la izquierda a x. Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Código en la TI para a0 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Código en la TI para an Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Código en la TI para bn Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Formato para la función de entrada Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Uso de las funciones Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Ejemplo 3 Expanda en una Serie de 1 0 f (x) = π−x x −π Fourier la función: para −2 π ≤ para −π ≤ para 0 ≤ para π ≤ x x x x < < < < −π 0 π 2π Sk Convergencia π TI:ao TI:an TI:bn 1 TI:f TI:Uso −π −2 π Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Aquı́ ω0 = 2π 4π = 1/2. 0 π 2π Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 4 Expanda en una Serie de 0 −2 f (x) = 1 0 Fourier la función: para −2 ≤ x para −1 ≤ x para 0 ≤ x para 1 ≤ x < < < < Serie de Fourier Sk 1 Convergencia TI:ao TI:an −2 −1 0 1 TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 −2 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Aquı́ ω0 = 2π 4 = π/2. 2 −1 0 1 2 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Cosas a recordar • Las funciones sen(x) y cos(x) son funciones periódicas con periodo 2 π. • Si f (x) es periódica con periodo T entonces f (a x) es periódica con periodo S = T /a: Pues se necesita que f (a (x + S)) = f (a x + a S) = f (a x): a S = T . En términos de la frecuencia, tenemos que la frecuencia de f (a x) es a-veces la frecuencia de f (x). Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn • Si f (x) es periódica con periodo T y g (x) es periódica con periodo S entonces f (x) + g (x) será periódica sii existen enteros positivos n y m tales que n · T = m · S. Pues se necesita encontrar un cierto número de veces que ambos periodos se repitan. • Si f (x) es periódica con periodo T entonces para cualquier entero positivo n, f (x) + f (n x) es una función periódica con periodo T . Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Forma compacta de la series Fourier La serie de Fourier: ∞ a0 X 2πn 2πn + an cos x + bn sen x 2 T T n=1 se puede escribir en la forma compacta: Sk Convergencia A0 + TI:ao n=1 TI:an TI:bn ∞ X An cos 2πn x + φn T donde TI:f TI:Uso Hechos 1 q −1 bn 2 2 A0 = a0 /2, An = an + bn , φn = −tan an Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Es más conveniente calcular: φn = −Arg (an + bn i) Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Ejemplo 5 Expanda en una Serie de Fourier la función: f (x) = e −x para 0 < x < 0.5 Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn 0.5 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Problema anterior realizado mediante la calculadora. Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Amplitud y fase del ejemplo 5 A0 ≈ 0.787 An A1 ≈ 0.125 Serie de Fourier Sk 4 π 8 π 12 π 16 π 20 π 24 π Convergencia TI:ao TI:an φn TI:bn 4 π 8 π 12 π 16 π 20 π 24 π TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn ω −π/2 ω Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Ideas Usando la fórmula de Euler e a i = cos(a) + sen(a) i y su variante e −a i = cos(a) − sen(a) i, tenemos: cos(a) = e a i + e −a i e a i − e −a i y sen(a) = 2 2i Intro Serie de Fourier Sk por tanto, el término fk (x) = ak cos(k ω0 x) + bk sen(k ω0 x) Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 puede escribirse como k ω x i −k ω x i k ω x i −k ω x i o +e o o e o −e + b fk (x) = ak e k 2 2i = 1 2 si definimos los coeficientes de las exponenciales e k ωo x i y de e −k ωo x i como Complejas TI:cn (ak − bk i) e k ωo x i + 12 (ak + bk i) e −k ωo x i ck = 1 1 (ak − bk i) y c−k = (ak + bk i) 2 2 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Entonces la serie de Fourier ∞ f (x) = a0 X + (an cos (n ω0 x) + bn sen (n ω0 x)) 2 n=1 Intro Serie de Fourier podrı́a escribirse como: Sk Convergencia f (x) = TI:ao TI:an = TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn = ∞ a0 X + cn e n ωo x i + c−n e −n ωo x i 2 n=1 ∞ ∞ X a0 X n ωo x i cn e + c−n e −n ωo x i + 2 n=1 n=1 ∞ −∞ X a0 X + cn e n ωo x i + cn e n ωo x i 2 n=1 n=−1 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Series complejas de Fourier La serie compleja de Fourier de una función f (x) perı́odica definida en el intervalo de longitud T está dada por la fórmula Departamento de Matemáticas +∞ X Intro n=−∞ Serie de Fourier Sk c n e n ωo x i donde Convergencia TI:ao ω0 = 2π T cn = 1 T TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Z f (x) e −n ω0 x i dx para n = 0, ±1, ±2, ±3, . . . T Relación entre la forma compacta y la compleja: (cn − c−n ) i An = 2 |cn | , φn = −tan−1 cn + c−n Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Ejemplo 6 Expanda en una Serie 0 1 f (x) = 0 de Fourier la función: para −1/2 < x para −1/4 < x para 1/4 < x Sk Convergencia TI:ao 1 TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −1/2 −1/4 0 1/4 1/2 < −1/4 < 1/4 < 1/2 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Código en la TI para cn Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Ejemplo para cn Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn c0 mediante lı́mites Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Varios ci Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Potencia media La potencia media de una señal periódica f (x) con perı́odo T se define como: . 1 Pmedia = T Z |f (x)|2 dx T Intro Serie de Fourier Sk La relación de Parseval para las series de Fourier en el caso de la serie de Fourier compleja se expresa como: Convergencia TI:ao Pmedia = TI:an +∞ X |cn |2 n=−∞ TI:bn TI:f TI:Uso y en el caso de la serie de Fourier real: Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Pmedia 1 = 2 +∞ ao2 X 2 + an + bn2 2 n=1 ! Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Para poder responder la pregunta: ¿cuántos términos de la serie de Fourier se deben tomar para aproximar razonablemente una función periódica? La clave puede estar en la potencia media. Se calcula la potencia media y establece un nivel en el cual se desea aproximarla. Digamos un 95% o un 99%. Con esto se van realizando sumas parciales de la fórmula de Parseval hasta alcanzar el nivel de aproximación deseado. Aunque serı́a deseable determinar analı́ticamente para un nivel de aproximación el valor no en el cual se obtiene la aproximación, en general, es muy difı́cil tener dicho valor. Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Ejemplo Para la función f (x) = 0 π−x para −π < x para 0 ≤ x < 0 < π Intro Serie de Fourier Sk determine el porcentaje de la potencia media que aproxima tomar la 20-ésima suma parcial. Convergencia π TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn −π O π Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Definición de la función Definiremos la función en el formato requerido y aprovecharemos que cuando aplicamos fa0(f 2 ) entrega Z Z 1 1 2 f (x) dx = 2 f (x)2 dx = 2 Pmedia T /2 T T T Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Determinación de a0 , an y bn Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Generación de a1 a a20 y b1 a b20 Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a: Series de Fourier Departamento de Matemáticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn Potencia media en S20 y su comparación contra la de f (x): Tenemos una aproximación del 98%