PRESENTACION SERIES DE FOURIER

Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a:
Series de Fourier
Sk
Convergencia
Departamento de Matemáticas
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
MA3002
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
Intro
Las Series de trigonométricas de Fourier, o simplemente series
de Fourier fueron desarrolladas por el matemático francés
Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre 16 de mayo de 1830 en Parı́s).
La idea que subyace en las series de Fourier es la
descomposición de una señal periódica en términos de señales
periódicas básicas (senos y cosenos) cuyas frecuencias son
múltiplos de la señal original.
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
La idea de descomposición es un proceso fundamental en el
area cientı́fica en general: la descomposición permite el análisis
de las propiedades y la sı́ntesis de los objetos o fenómenos.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Serie de Fourier
La serie de Fourier de una función periódica f (x) de perı́odo T ,
también conocida como señal, definida en un intervalo de
longitud T está dada por:
∞
Intro
f (x) =
Serie de
Fourier
a0 X
+
(an cos (n ω0 x) + bn sen (n ω0 x))
2
n=1
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
donde
ω0 =
a0 =
TI:f
TI:Uso
an =
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
bn =
2π
T
laZfrecuencia fundamental
1
f (x) dx
T /2 T
Z
1
f (x) cos (n ω0 x) dx
T /2 T
Z
1
f (x) sen (n ω0 x) dx
T /2 T
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sumas parciales
Para la serie de Fourier de una función f (x) periódica definida
en un intervalo de longitud T la k-ésima suma parcial,
representada por Sk (x) está dada por:
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
k
Sk (x) =
a0 X
+
(an cos (n ω0 x) + bn sen (n ω0 x))
2
n=1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 1
Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x
f (x) =
π − x para
0 ≤ x
Serie de
Fourier
< 0
< π
π
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
−π
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Aquı́ ω0 =
2π
2π
= 1.
O
π
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
a0 =
1
π
Z
π
1
f (x) dx =
π
−π
Z
0
Z
(π − x) dx
0 dx +
−π
π
0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
a0 =
=
Z 0
Z π
Z
1 π
1
0 dx +
(π − x) dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
π
1
x2
πx −
π
2 0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
a0 =
=
a0 =
Z 0
Z π
Z
1 π
1
0 dx +
(π − x) dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
π
1
x2
πx −
π
2 0
π
2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
a0 =
=
a0 =
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
an =
Z 0
Z π
Z
1 π
1
0 dx +
(π − x) dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
π
1
x2
πx −
π
2 0
π
2
Z
1 π
f (x) cos(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
a0 =
=
a0 =
Sk
Convergencia
TI:ao
an =
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
=
Z 0
Z π
Z
1 π
1
0 dx +
(π − x) dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
π
1
x2
πx −
π
2 0
π
2
Z
1 π
f (x) cos(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
0 dx +
(π − x) cos(n x) dx
π
−π
0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
a0 =
=
a0 =
Sk
Convergencia
TI:ao
an =
TI:an
TI:bn
=
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
=
Z 0
Z π
Z
1 π
1
0 dx +
(π − x) dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
π
1
x2
πx −
π
2 0
π
2
Z
1 π
f (x) cos(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
0 dx +
(π − x) cos(n x) dx
π
−π
0
1
[(π sen(n x) − cos(n x) − n x sen(n x))]π0
π n2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
a0 =
=
a0 =
Sk
Convergencia
TI:ao
an =
TI:an
TI:bn
=
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
=
an =
Z 0
Z π
Z
1 π
1
0 dx +
(π − x) dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
π
1
x2
πx −
π
2 0
π
2
Z
1 π
f (x) cos(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
0 dx +
(π − x) cos(n x) dx
π
−π
0
1
[(π sen(n x) − cos(n x) − n x sen(n x))]π0
π n2
1 − (−1)n
π n2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
bn =
1
π
Z
π
f (x) sen(ω0 n x) dx
−π
recuerde ω0 = 1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
bn =
=
Z
1 π
f (x) sen(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
0 dx +
(π − x) sen(n x) dx
π
−π
0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
bn =
=
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
=
Z
1 π
f (x) sen(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
0 dx +
(π − x) sen(n x) dx
π
−π
0
1
[(−π n cos(n x) − sen(n x) + n x cos(n x))]π0
π n2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
bn =
=
Sk
Convergencia
=
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
bn =
Z
1 π
f (x) sen(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
0 dx +
(π − x) sen(n x) dx
π
−π
0
1
[(−π n cos(n x) − sen(n x) + n x cos(n x))]π0
π n2
1
n
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Algunas sumas parciales:
S1
=
π
4
+
2
π
cos(x) + sen(x)
S2
=
π
4
+
2
π
cos(x) + sen(x) +
S3
=
π
2
4 + π cos(x) +
1
2
9 π cos(3 x) + 3
sen(x) +
sen(3 x)
S4
=
π
2
4 + π cos(x) +
1
2
9 π cos(3 x) + 3
sen(x) + 12 sen(2 x)+
sen(3 x) + 41 sen(4 x)
S5
=
π
2
1
4 + π cos(x) + sen(x) + 2 sen(2 x)+
2
1
1
9 π cos(3 x) + 3 sen(3 x) + 4 sen(4 x)+
1
2
25 π cos(5 x) + 5 sen(5 x),
S6
=
π
2
1
4 + π cos(x) + sen(x) + 2 sen(2 x)+
2
1
1
9 π cos(3 x) + 3 sen(3 x) + 4 sen(4 x)+
2
1
1
25 π cos(5 x) + 5 sen(5 x) + 6 sen(6 x)
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
1
2
sen(2 x)
1
2
sen(2 x)+
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
π
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
π
S1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
π
S2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
π
S3
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
π
S4
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
S
π 5
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
S
π 6
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
S
π 7
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
S
π 8
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
S
π 9
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Ejemplo 1
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
0
para −π < x < 0
f (x) =
π − x para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
a0 =
1 − (−1)n
1
π
, an =
, bn =
2
2
n π
n
Convergencia
TI:ao
TI:an
Las aproximaciones a f (x) mediante las sumas parciales
quedan de la siguiente manera:
TI:bn
π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
S
π 10
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 2
Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Serie de
Fourier
Sk
2
Convergencia
TI:ao
TI:an
−π
TI:bn
O
π
TI:f
−1
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Aquı́ ω0 =
2π
2π
= 1.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
a0 =
1
π
Z
π
1
f (x) dx =
π
−π
Z
0
Z
−1 dx +
−π
π
2 dx
0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
a0 =
=
Z 0
Z π
Z
1 π
1
−1 dx +
2 dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
1
[−x]0−π + [2 x]π0
π
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
a0
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
a0
Z 0
Z π
Z
1 π
1
=
−1 dx +
2 dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
1
=
[−x]0−π + [2 x]π0
π
= 1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
a0
Intro
Serie de
Fourier
a0
Z 0
Z π
Z
1 π
1
=
−1 dx +
2 dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
1
=
[−x]0−π + [2 x]π0
π
= 1
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
an =
1
π
Z
π
f (x) cos(ω0 n x) dx
−π
recuerde ω0 = 1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
a0
Intro
Serie de
Fourier
a0
Z 0
Z π
Z
1 π
1
=
−1 dx +
2 dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
1
=
[−x]0−π + [2 x]π0
π
= 1
Sk
Convergencia
an =
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
=
Z
1 π
f (x) cos(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
−1 cos(n x) dx +
2 cos(n x) dx
π
−π
0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
a0
Intro
Serie de
Fourier
a0
Z 0
Z π
Z
1 π
1
=
−1 dx +
2 dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
1
=
[−x]0−π + [2 x]π0
π
= 1
Sk
Convergencia
an =
TI:ao
TI:an
=
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
=
Z
1 π
f (x) cos(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
−1 cos(n x) dx +
2 cos(n x) dx
π
−π
0
!
sen(n x) 0
1
sen(n x) π
+ 2
−
π
n
n
−π
0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
a0
Intro
Serie de
Fourier
a0
Sk
Convergencia
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Z
1 π
f (x) cos(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
=
−1 cos(n x) dx +
2 cos(n x) dx
π
−π
0
!
sen(n x) 0
1
sen(n x) π
=
+ 2
−
π
n
n
−π
0
= 0
an =
TI:ao
Hechos 1
Z 0
Z π
Z
1 π
1
=
−1 dx +
2 dx
f (x) dx =
π −π
π
−π
0
1
=
[−x]0−π + [2 x]π0
π
= 1
an
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
bn =
1
π
Z
π
f (x) sen(ω0 n x) dx
−π
recuerde ω0 = 1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
bn =
=
Z
1 π
f (x) sen(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
−1 sen(n x) dx +
2 sen(n x) dx
π
−π
0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
bn =
=
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
=
Z
1 π
f (x) sen(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
−1 sen(n x) dx +
2 sen(n x) dx
π
−π
0
!
1
cos(n x) π
cos(n x) 0
+ −2
π
n
n
−π
0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
bn =
=
Sk
Convergencia
TI:ao
=
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
bn =
Z
1 π
f (x) sen(ω0 n x) dx
recuerde ω0 = 1
π −π
Z 0
Z π
1
−1 sen(n x) dx +
2 sen(n x) dx
π
−π
0
!
1
cos(n x) π
cos(n x) 0
+ −2
π
n
n
−π
0
3 (1 − (−1)n )
nπ
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Algunas sumas parciales:
S1 = S2
=
1
2
+
6
π
sen(x)
S3 = S4
=
1
2
+
6
π
sen(x) +
2
π
sen(3 x)
S5 = S6
=
1
2
+
6
π
sen(x) +
2
π
sen(3 x) +
6
5π
sen(5 x)
S7 = S8
=
1
6
2 + π sen(x)
6
7 π sen(7 x)
2
π
sen(3 x) +
6
5π
sen(5 x)+
S9 = S10
=
1
6
2
2 + π sen(x) + π sen(3 x)
6
2
7 π sen(7 x) + 3 π sen(9 x)
6
5π
sen(5 x)+
S11 = S12
=
1
6
2
6
2 + π sen(x) + π sen(3 x) + 5 π sen(5 x)+
6
2
6
7 π sen(7 x) + 3 π sen(9 x) + 11 π sen(11 x)
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
+
+
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Ejemplo 2
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
2
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
−π
O
π
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 2
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
Serie de
Fourier
Sk
a0 = 1, an = 0, bn =
Convergencia
3 (1 − (−1)n )
nπ
TI:ao
TI:an
TI:bn
2
TI:f
TI:Uso
S1
Hechos 1
Compacta
−π
O
π
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 2
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
Serie de
Fourier
Sk
a0 = 1, an = 0, bn =
Convergencia
3 (1 − (−1)n )
nπ
TI:ao
TI:an
TI:bn
2
TI:f
TI:Uso
S3
Hechos 1
Compacta
−π
O
π
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 2
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
Serie de
Fourier
Sk
a0 = 1, an = 0, bn =
Convergencia
3 (1 − (−1)n )
nπ
TI:ao
TI:an
TI:bn
2
TI:f
TI:Uso
S5
Hechos 1
Compacta
−π
O
π
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 2
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
Serie de
Fourier
Sk
a0 = 1, an = 0, bn =
Convergencia
3 (1 − (−1)n )
nπ
TI:ao
TI:an
TI:bn
2
TI:f
TI:Uso
S7
Hechos 1
Compacta
−π
O
π
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 2
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
Serie de
Fourier
Sk
a0 = 1, an = 0, bn =
Convergencia
3 (1 − (−1)n )
nπ
TI:ao
TI:an
TI:bn
2
TI:f
TI:Uso
S9
Hechos 1
Compacta
−π
O
π
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 2
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
Serie de
Fourier
Sk
a0 = 1, an = 0, bn =
Convergencia
3 (1 − (−1)n )
nπ
TI:ao
TI:an
TI:bn
2
TI:f
TI:Uso
S11
Hechos 1
Compacta
−π
O
π
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 2
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
Serie de
Fourier
Sk
a0 = 1, an = 0, bn =
Convergencia
3 (1 − (−1)n )
nπ
TI:ao
TI:an
TI:bn
2
TI:f
TI:Uso
S13
Hechos 1
Compacta
−π
O
π
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 2
Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función:
−1 para −π < x < 0
f (x) =
2
para
0 ≤ x < π
Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:
Serie de
Fourier
Sk
a0 = 1, an = 0, bn =
Convergencia
3 (1 − (−1)n )
nπ
TI:ao
TI:an
TI:bn
2
TI:f
TI:Uso
S15
Hechos 1
Compacta
−π
O
π
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Condiciones de convergencia
Sea f (x) una función periódica definida en un intervalo de
longitud T continua, excepto posiblemente en un número finito
de puntos donde tiene discontinuidades finitas y que posee
derivada continua también excepto en número finito de puntos
donde tiene discontinuidades finitas. Entones, la serie de
Fourier para f (x) converge a f (x) en todo punto de
continuidad y en los puntos de discontinuidad la serie de
Fourier converge a
f (x+) + f (x−)
2
donde f (x+) representa el lı́mite por la derecha a x y f (x−)
representa el lı́mite por la izquierda a x.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Código en la TI para a0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Código en la TI para an
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Código en la TI para bn
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Formato para la función de entrada
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Uso de las funciones
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Ejemplo 3
Expanda en una Serie de

1



0
f (x) =
π−x



x −π
Fourier la función:
para −2 π ≤
para
−π ≤
para
0 ≤
para
π ≤
x
x
x
x
<
<
<
<
−π
0
π
2π
Sk
Convergencia
π
TI:ao
TI:an
TI:bn
1
TI:f
TI:Uso
−π
−2 π
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Aquı́ ω0 =
2π
4π
= 1/2.
0
π
2π
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 4
Expanda en una Serie de

0



−2
f (x) =
1



0
Fourier la función:
para −2 ≤ x
para −1 ≤ x
para
0 ≤ x
para
1 ≤ x
<
<
<
<
Serie de
Fourier
Sk
1
Convergencia
TI:ao
TI:an
−2
−1
0
1
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
−2
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Aquı́ ω0 =
2π
4
= π/2.
2
−1
0
1
2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Cosas a recordar
• Las funciones sen(x) y cos(x) son funciones periódicas con
periodo 2 π.
• Si f (x) es periódica con periodo T entonces f (a x) es
periódica con periodo S = T /a: Pues se necesita que
f (a (x + S)) = f (a x + a S) = f (a x): a S = T . En
términos de la frecuencia, tenemos que la frecuencia de
f (a x) es a-veces la frecuencia de f (x).
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
• Si f (x) es periódica con periodo T y g (x) es periódica con
periodo S entonces f (x) + g (x) será periódica sii existen
enteros positivos n y m tales que n · T = m · S. Pues se
necesita encontrar un cierto número de veces que ambos
periodos se repitan.
• Si f (x) es periódica con periodo T entonces para
cualquier entero positivo n, f (x) + f (n x) es una función
periódica con periodo T .
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Forma compacta de la series Fourier
La serie de Fourier:
∞ a0 X
2πn
2πn
+
an cos
x + bn sen
x
2
T
T
n=1
se puede escribir en la forma compacta:
Sk
Convergencia
A0 +
TI:ao
n=1
TI:an
TI:bn
∞
X
An cos
2πn
x + φn
T
donde
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
q
−1 bn
2
2
A0 = a0 /2, An = an + bn , φn = −tan
an
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Es más conveniente calcular: φn = −Arg (an + bn i)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo 5
Expanda en una Serie de Fourier la función:
f (x) = e −x para 0 < x < 0.5
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
0.5
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Problema anterior realizado mediante la calculadora.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Amplitud y fase del ejemplo 5
A0 ≈ 0.787
An
A1 ≈ 0.125
Serie de
Fourier
Sk
4 π 8 π 12 π 16 π 20 π 24 π
Convergencia
TI:ao
TI:an
φn
TI:bn
4 π 8 π 12 π 16 π 20 π 24 π
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
ω
−π/2
ω
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Ideas
Usando la fórmula de Euler e a i = cos(a) + sen(a) i y su
variante e −a i = cos(a) − sen(a) i, tenemos:
cos(a) =
e a i + e −a i
e a i − e −a i
y sen(a) =
2
2i
Intro
Serie de
Fourier
Sk
por tanto, el término
fk (x) = ak cos(k ω0 x) + bk sen(k ω0 x)
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
puede escribirse como
k ω x i −k ω x i k ω x i −k ω x i o +e
o
o
e o −e
+
b
fk (x) = ak e
k
2
2i
=
1
2
si definimos los coeficientes de las exponenciales e k ωo x i y de
e −k ωo x i como
Complejas
TI:cn
(ak − bk i) e k ωo x i + 12 (ak + bk i) e −k ωo x i
ck =
1
1
(ak − bk i) y c−k = (ak + bk i)
2
2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Entonces la serie de Fourier
∞
f (x) =
a0 X
+
(an cos (n ω0 x) + bn sen (n ω0 x))
2
n=1
Intro
Serie de
Fourier
podrı́a escribirse como:
Sk
Convergencia
f (x) =
TI:ao
TI:an
=
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
=
∞
a0 X +
cn e n ωo x i + c−n e −n ωo x i
2
n=1
∞
∞
X
a0 X
n ωo x i
cn e
+
c−n e −n ωo x i
+
2
n=1
n=1
∞
−∞
X
a0 X
+
cn e n ωo x i +
cn e n ωo x i
2
n=1
n=−1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Series complejas de Fourier
La serie compleja de Fourier de una función f (x) perı́odica
definida en el intervalo de longitud T está dada por la fórmula
Departamento
de
Matemáticas
+∞
X
Intro
n=−∞
Serie de
Fourier
Sk
c n e n ωo x i
donde
Convergencia
TI:ao
ω0 =
2π
T
cn =
1
T
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Z
f (x) e −n ω0 x i dx para n = 0, ±1, ±2, ±3, . . .
T
Relación entre la forma compacta y la compleja:
(cn − c−n ) i
An = 2 |cn | , φn = −tan−1
cn + c−n
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Ejemplo 6
Expanda en una Serie

 0
1
f (x) =

0
de Fourier la función:
para −1/2 < x
para −1/4 < x
para
1/4 < x
Sk
Convergencia
TI:ao
1
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−1/2 −1/4 0
1/4
1/2
< −1/4
< 1/4
< 1/2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Código en la TI para cn
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Ejemplo para cn
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
c0 mediante lı́mites
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Varios ci
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Potencia media
La potencia media de una señal periódica f (x) con perı́odo T
se define como:
. 1
Pmedia =
T
Z
|f (x)|2 dx
T
Intro
Serie de
Fourier
Sk
La relación de Parseval para las series de Fourier en el caso de
la serie de Fourier compleja se expresa como:
Convergencia
TI:ao
Pmedia =
TI:an
+∞
X
|cn |2
n=−∞
TI:bn
TI:f
TI:Uso
y en el caso de la serie de Fourier real:
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Pmedia
1
=
2
+∞
ao2 X 2
+
an + bn2
2
n=1
!
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Para poder responder la pregunta:
¿cuántos términos de la serie de Fourier se deben
tomar para aproximar razonablemente una función
periódica?
La clave puede estar en la potencia media. Se calcula la
potencia media y establece un nivel en el cual se desea
aproximarla. Digamos un 95% o un 99%. Con esto se van
realizando sumas parciales de la fórmula de Parseval hasta
alcanzar el nivel de aproximación deseado. Aunque serı́a
deseable determinar analı́ticamente para un nivel de
aproximación el valor no en el cual se obtiene la aproximación,
en general, es muy difı́cil tener dicho valor.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Ejemplo
Para la función
f (x) =
0
π−x
para −π < x
para
0 ≤ x
< 0
< π
Intro
Serie de
Fourier
Sk
determine el porcentaje de la potencia media que aproxima
tomar la 20-ésima suma parcial.
Convergencia
π
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
−π
O
π
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Definición de la función
Definiremos la función en el formato requerido y
aprovecharemos que cuando aplicamos fa0(f 2 ) entrega
Z
Z
1
1
2
f (x) dx = 2
f (x)2 dx = 2 Pmedia
T /2 T
T T
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Determinación de a0 , an y bn
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Generación de a1 a a20 y b1 a b20
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Series de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Serie de
Fourier
Sk
Convergencia
TI:ao
TI:an
TI:bn
TI:f
TI:Uso
Hechos 1
Compacta
Hechos 2
Complejas
TI:cn
Potencia media en S20 y su comparación contra
la de f (x): Tenemos una aproximación del 98%