Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Método de Jacobi Alumnos: Jhonatan Acuña Quirova Weber Sayas Mauricio e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] Julio, 2017 Ayacucho – Perú Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga 1 Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | MÉTODO DE JACOBI Definición: El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones. 1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación 𝒊 se despeja la incógnita 𝒊. en notación matricial se escribirse como: 𝒙= b + B∗ 𝒙 donde 𝒙 es el vector de incógnitas. 2. Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa por 𝒙𝟎 . 3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación. 𝒙𝒊+𝟏 = b + B*𝒙𝒊 Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga 2 Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | Consideramos el siguiente sistema lineal 𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 𝒙𝟑 … 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝒏 = 𝒃𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 𝒙𝟑 … 𝒂𝟐𝒏 𝒙𝒏 = 𝒃𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝒏𝟑 𝒙𝟑 … 𝒂𝒏𝒏 𝒙𝒏 = 𝒃𝒏 ∀ 𝒂𝒊𝒊 ≠ 𝟎; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏, Despejando el vector 𝒙 tenemos: (𝒌+𝟏) = 𝟏 𝒌 𝒌 𝒌 (𝒃𝟏 − 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟐 − 𝒂𝟏𝟑 𝒙𝟑 − ⋯ − 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝒏 ) 𝒂𝟏𝟏 (𝒌+𝟏) = 𝟏 𝒌 𝒌 𝒌 (𝒃𝟐 − 𝒂𝟐𝟏 𝒙𝟏 − 𝒂𝟐𝟑 𝒙𝟑 − ⋯ − 𝒂𝟐𝒏 𝒙𝒏 ) 𝒂𝟐𝟐 𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⋮ (𝒌+𝟏) 𝒙𝒏 𝟏 𝒌 = (𝒃𝒏 − 𝒂𝒏𝟏 𝒙𝟏𝒌 − 𝒂𝒏𝟐 𝒙𝟑𝒌 − ⋯ − 𝒂𝒏𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 ) 𝒂𝒏𝒏 Para el sistema: 𝒙= 𝟎 𝒂𝟐𝟏 𝑩 = 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 − 𝒂𝒏𝒏 − − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟏 𝟎 ⋮ 𝒂𝒏𝟐 − 𝒂𝒏𝒏 b + B∗ 𝒙 , tenemos: 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟑 − 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟑 − 𝒂𝒏𝒏 − ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝒏 − 𝒂𝟐𝟐 − ⋮ 𝟎 𝒃𝟏 𝒂𝟏𝟏 𝒃𝟐 𝒃 = 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒃𝒏 𝒂𝒏𝒏 Para el valor mejorado tenemos: 𝒙𝒊+𝟏 = b + B*𝒙𝒊 Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga 3 Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | Convergencia y Divergencia en Jacobi Uno de los principales problemas de los métodos iterativos es la garantía de que el método va a converger, es decir, va a producir una sucesión de aproximaciones cada vez efectivamente más próximas a la solución. En el caso del método de Jacobi no existe una condición exacta para la convergencia. Lo mejor es una condición que garantiza la convergencia, pero en caso de no cumplirse puede o no haberla es la siguiente: Si la matriz de coeficientes original del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante, el método de Jacobi seguro converge. Si la matriz mejorado durante el proceso de iteración no tiende a aproximarse a la tolerancia, se dice que la matriz es divergente: 𝑫𝒊 = 𝒎á𝒙( 𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊 ; 𝒚𝒊+𝟏 − 𝒚𝒊 ; … ) Este 𝑫𝒊 es utilizado como criterio de paro en las iteraciones: Cuando 𝑫𝒊 es menos que cierto valor dado (digamos 0.001) uno ya no realiza la siguiente iteración. Si se grafica las aproximaciones obtenidas en el plano x − y se obtendrá algo como en la fig.: Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga 4 Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | Matriz Diagonalmente Dominante: Se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes del mismo renglón. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las incógnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmente dominante. 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑨= ⋮ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 ⋱ ⋮ ⋯ 𝒂𝒎𝒏 ;∀ 2 𝒂𝒊𝒊 - 𝒂𝒊𝒋 > 0 𝒎=𝒏 Ejemplo: 𝟑 −𝟏 𝟏 𝑨= 𝟏 𝟓 𝟏 ; Matriz diagonalmente dominante de 3x3. −𝟐 𝟑 𝟔 𝟏 𝟐 −𝟏 𝑩 = −𝟏 𝟐 𝟓 ; Matriz diagonalmente NO dominante de 3x3. 𝟏 𝟒 𝟐 La matriz B, es factible hacer MDD, cambiando la fila 2 con 3. Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga 5 Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | 6 Ejercicio de aplicación Solución Reemplazamos los efectos de las cargas en voladizos con su momento equivalente como en la fig. Fuente: Libro Resistencia de Materiales (1ra reimpresión) – Ing. Genner Villareal Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | Definición de ecuación de tres momentos método utilizado para resolver vigas continuas (fig.) sometida a diversos tipos de cargas. 𝑴𝟏 𝑳𝟏 𝑰𝟏 + 𝟐𝑴𝟐 𝑳𝟐 𝑰𝟐 + 𝑳𝟐 𝑰𝟐 + 𝑴𝟑 𝑳𝟑 𝑰𝟑 = −𝟔 𝑨𝟏 𝒂𝟏 𝑰𝟏 𝑳𝟏 −𝟔 𝑨𝟐 𝒃𝟐 𝑰𝟐 𝑳𝟐 Ecuación general de tres momentos 𝑨𝟏 𝒂𝟏 𝜶𝟏 = 𝑰𝟏 𝑳𝟏 𝜶𝟐 = 𝑨𝟐 𝒃𝟐 𝑰𝟐 𝑳𝟐 Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga 7 Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | Tramo ABC 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝟑 𝑴𝑨 𝟓 + 𝟐𝑴𝑩 𝟓 + 𝟔 + 𝑴𝑪 𝟔 = −𝟔 𝟐+𝟓 𝟔∗𝟓 𝟑𝟎 ∗ 𝟔𝟐 − 𝟔( ) 𝟐𝟒 -60* 𝟓 + 𝟐𝑴𝑩 𝟓 + 𝟔 + 𝑴𝑪 𝟔 = −𝟖𝟒𝟎 − 𝟏𝟔𝟐𝟎 𝟏𝟏𝑴𝑩 + 𝟑𝑴𝑪 = −𝟏𝟎𝟖𝟎 … … … … . … … … … … … … … … … . (𝟏) Tramo BCD 𝟑𝟎 ∗ 𝟔𝟐 𝟔𝟎 ∗ 𝟓𝟐 𝑴𝑩 𝟔 + 𝟐𝑴𝑪 𝟓 + 𝟔 + 𝑴𝑫 𝟓 = −𝟔 −𝟔 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟔𝑴𝑩 + 𝟐𝟐𝑴𝑪 + 𝟓𝑴𝑫 = −𝟐𝟏𝟖𝟐. 𝟓 … … … … … … … … … … . (𝟐) Tramo CDE 𝟔𝟎 ∗ 𝟓𝟐 𝟐𝟓 ∗ 𝟒. 𝟓𝟐 𝑴𝑪 𝟓 + 𝟐𝑴𝑫 𝟓 + 𝟒. 𝟓 + 𝑴𝑬 𝟒. 𝟓 = −𝟔 −𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟒 𝟓𝑴𝑪 + 𝟏𝟗𝑴𝑫 − 𝟔𝟎 ∗ 𝟒. 𝟓 = −𝟓𝟔𝟐. 𝟓 − 𝟓𝟔𝟗. 𝟓𝟑 𝟓𝑴𝑪 + 𝟏𝟗𝑴𝑫 = −𝟖𝟔𝟐. 𝟎𝟑 Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil … … … … … … … … … … … . . (𝟑) Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga 8 Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | Resolución por el método directo con EXCELL 𝟏𝟏𝑴𝑩 + 𝟑𝑴𝑪 + 𝟎𝑴𝑫 = −𝟏𝟎𝟖𝟎 … … … … . … … … … … … … … … … . (𝟏) 𝟔𝑴𝑩 + 𝟐𝟐𝑴𝑪 + 𝟓𝑴𝑫 = −𝟐𝟏𝟖𝟐. 𝟓 … … … … … … … … … . … … … … . (𝟐) 𝟎𝑴𝑩 + 𝟓𝑴𝑪 + 𝟏𝟗𝑴𝑫 = −𝟖𝟔𝟐. 𝟎𝟑 … … … … … … … … … … … . . (𝟑) 𝟏𝟏 𝑩= 𝟔 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐𝟐 𝟓 𝟓 𝟏𝟗 −𝟏𝟎𝟖𝟎. 𝟎 𝒃 = −𝟐𝟏𝟖𝟐. 𝟓 −𝟖𝟔𝟐. 𝟎𝟑 𝑴𝑩 𝑴𝑪 = 𝑩 𝑴𝑫 −𝟏 . 𝒃 Determinamos la inversa de la matriz B 𝑺 = 𝑩 −𝟏 𝟎. 𝟎𝟗𝟖𝟕 −𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟑 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟖 = −𝟎. 𝟎𝟐𝟖𝟔 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟓 −𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟑 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟓 −𝟎. 𝟏𝟑𝟖 𝟎. 𝟎𝟓𝟔𝟑 −𝟏𝟎𝟖𝟎. 𝟎 𝒃 = −𝟐𝟏𝟖𝟐. 𝟓 −𝟖𝟔𝟐. 𝟎𝟑 Multiplicando las matrices: 𝑴𝑩 −𝟕𝟖. 𝟔𝟏𝟔𝒌𝑵. 𝒎 𝑴𝑪 = −𝟕𝟏. 𝟕𝟒𝟑𝒌𝑵. 𝒎 𝑴𝑫 −𝟐𝟔. 𝟒𝟗𝟎𝒌𝑵. 𝒎 RTA Con los valores obtenidos podemos determinar ya sea los reacciones en los apoyos, DMF y DFC u otros afines en la viga Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga 9 Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | 10 Desarrollo por el método Jacobi con C++ Insertar la matriz de coeficientes y los resultados: 𝟏𝟏 𝑩= 𝟔 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐𝟐 𝟓 𝟓 𝟏𝟗 −𝟏𝟎𝟖𝟎. 𝟎 𝒃 = −𝟐𝟏𝟖𝟐. 𝟓 −𝟖𝟔𝟐. 𝟎𝟑 Asumimos los valores iniciales: 𝑴𝑩 𝟏 𝑴𝑪 = 𝟏 𝟏 𝑴𝑫 𝒍𝒂 𝒕𝒐𝒍𝒆𝒓𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 Matriz de resultados: 𝑴𝑩 −𝟕𝟖. 𝟔𝟏𝟓𝟒𝟏𝟎𝟔𝟕𝟔𝟖 𝑴𝑪 = −𝟕𝟏. 𝟕𝟒𝟑𝟒𝟗𝟒𝟏𝟎𝟖𝟖 𝑴𝑫 −𝟐𝟔. 𝟒𝟗𝟎𝟏𝟑𝟑𝟏𝟐𝟗𝟑 Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil (IC - 343) | 11 Conclusión Debe percibirse que el método de jacobi es un antecedente del método de gaus-seidel, mismo que mejora notable al acelerar su convergencia. En otros términos, estos métodos del genero de las aproximaciones sucesivas dependen fundamentalmente de su criterio de convergencia. En este caso de del criterio de la diagonal dominante. Es establecer una matriz dominante diagonalmente, ya sea reordenando la matriz. No se establece una relación numérica que nos diga la relación que debe guardar el elemento 𝑎𝑖𝑖 sobre el resto de los coeficientes 𝑎𝑖𝑗 de su ecuación. En todo caso, entre mas evidente sea el dominio de los elementos sobre la diagonal principal, mas rápida será la convergencia. Escuela de Formación Profesional de Ingeniería Civil Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga
