Subido por Po Chiu

1300 Math Formulas by Golden Art

Anuncio
http://fribok.blogspot.com/
1300 Math Formulas
fp_k VVQVNMTTQN
`çéóêáÖÜí « OMMQ ^KpîáêáåK ^ää oáÖÜíë oÉëÉêîÉÇK
http://fribok.blogspot.com/
Preface
qÜáë Ü~åÇÄççâ áë ~ ÅçãéäÉíÉ ÇÉëâíçé êÉÑÉêÉåÅÉ Ñçê ëíìÇÉåíë ~åÇ ÉåÖáåÉÉêëK fí Ü~ë ÉîÉêóíÜáåÖ Ñêçã ÜáÖÜ ëÅÜççä
ã~íÜ íç ã~íÜ Ñçê ~Çî~åÅÉÇ ìåÇÉêÖê~Çì~íÉë áå ÉåÖáåÉÉêáåÖI
ÉÅçåçãáÅëI éÜóëáÅ~ä ëÅáÉåÅÉëI ~åÇ ã~íÜÉã~íáÅëK qÜÉ ÉÄççâ
Åçåí~áåë ÜìåÇêÉÇë çÑ Ñçêãìä~ëI í~ÄäÉëI ~åÇ ÑáÖìêÉë Ñêçã
kìãÄÉê pÉíëI ^äÖÉÄê~I dÉçãÉíêóI qêáÖçåçãÉíêóI j~íêáÅÉë
~åÇ aÉíÉêãáå~åíëI sÉÅíçêëI ^å~äóíáÅ dÉçãÉíêóI `~äÅìäìëI
aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåëI pÉêáÉëI ~åÇ mêçÄ~Äáäáíó qÜÉçêóK
qÜÉ ëíêìÅíìêÉÇ í~ÄäÉ çÑ ÅçåíÉåíëI äáåâëI ~åÇ ä~óçìí ã~âÉ
ÑáåÇáåÖ íÜÉ êÉäÉî~åí áåÑçêã~íáçå èìáÅâ ~åÇ é~áåäÉëëI ëç áí
Å~å ÄÉ ìëÉÇ ~ë ~å ÉîÉêóÇ~ó çåäáåÉ êÉÑÉêÉåÅÉ ÖìáÇÉK
ii
http://fribok.blogspot.com/
Contents
1 krj_bo pbqp
NKN
pÉí fÇÉåíáíáÉë 1
NKO
pÉíë çÑ kìãÄÉêë 5
NKP
_~ëáÅ fÇÉåíáíáÉë 7
NKQ
`çãéäÉñ kìãÄÉêë 8
2 ^idb_o^
OKN
c~ÅíçêáåÖ cçêãìä~ë 12
OKO
mêçÇìÅí cçêãìä~ë 13
OKP
mçïÉêë 14
OKQ
oççíë 15
OKR
içÖ~êáíÜãë 16
OKS
bèì~íáçåë 18
OKT
fåÉèì~äáíáÉë 19
OKU
`çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~ë 22
3 dbljbqov
PKN
oáÖÜí qêá~åÖäÉ 24
PKO
fëçëÅÉäÉë qêá~åÖäÉ 27
PKP
bèìáä~íÉê~ä qêá~åÖäÉ 28
PKQ
pÅ~äÉåÉ qêá~åÖäÉ 29
PKR
pèì~êÉ 33
PKS
oÉÅí~åÖäÉ 34
PKT
m~ê~ääÉäçÖê~ã 35
PKU
oÜçãÄìë 36
PKV
qê~éÉòçáÇ 37
PKNM fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ 38
PKNN fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 40
PKNO qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 41
iii
http://fribok.blogspot.com/
PKNP
PKNQ
PKNR
PKNS
PKNT
PKNU
PKNV
PKOM
PKON
PKOO
PKOP
PKOQ
PKOR
PKOS
PKOT
PKOU
PKOV
PKPM
PKPN
PKPO
PKPP
PKPQ
PKPR
PKPS
PKPT
PKPU
PKPV
PKQM
háíÉ 42
`óÅäáÅ nì~Çêáä~íÉê~ä 43
q~åÖÉåíá~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 45
dÉåÉê~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 46
oÉÖìä~ê eÉñ~Öçå 47
oÉÖìä~ê mçäóÖçå 48
`áêÅäÉ 50
pÉÅíçê çÑ ~ `áêÅäÉ 53
pÉÖãÉåí çÑ ~ `áêÅäÉ 54
`ìÄÉ 55
oÉÅí~åÖìä~ê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ 56
mêáëã 57
oÉÖìä~ê qÉíê~ÜÉÇêçå 58
oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 59
cêìëíìã çÑ ~ oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 61
oÉÅí~åÖìä~ê oáÖÜí tÉÇÖÉ 62
mä~íçåáÅ pçäáÇë 63
oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê 66
oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê ïáíÜ ~å lÄäáèìÉ mä~åÉ c~ÅÉ 68
oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 69
cêìëíìã çÑ ~ oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 70
péÜÉêÉ 72
péÜÉêáÅ~ä `~é 72
péÜÉêáÅ~ä pÉÅíçê 73
péÜÉêáÅ~ä pÉÖãÉåí 74
péÜÉêáÅ~ä tÉÇÖÉ 75
bääáéëçáÇ 76
`áêÅìä~ê qçêìë 78
4 qofdlkljbqov
QKN
o~Çá~å ~åÇ aÉÖêÉÉ jÉ~ëìêÉë çÑ ^åÖäÉë 80
QKO
aÉÑáåáíáçåë ~åÇ dê~éÜë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 81
QKP
páÖåë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 86
QKQ
qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë çÑ `çããçå ^åÖäÉë 87
QKR
jçëí fãéçêí~åí cçêãìä~ë 88
iv
http://fribok.blogspot.com/
QKS
QKT
QKU
QKV
QKNM
QKNN
QKNO
QKNP
QKNQ
QKNR
QKNS
QKNT
QKNU
QKNV
QKOM
QKON
oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 89
mÉêáçÇáÅáíó çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90
oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90
^ÇÇáíáçå ~åÇ pìÄíê~Åíáçå cçêãìä~ë 91
açìÄäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 92
jìäíáéäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 93
e~äÑ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 94
e~äÑ ^åÖäÉ q~åÖÉåí fÇÉåíáíáÉë 94
qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç mêçÇìÅí 95
qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç pìã 97
mçïÉêë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 98
dê~éÜë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 99
mêáåÅáé~ä s~äìÉë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 102
oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 103
qêáÖçåçãÉíêáÅ bèì~íáçåë 106
oÉä~íáçåë íç eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 106
5 j^qof`bp ^ka abqbojfk^kqp
RKN
aÉíÉêãáå~åíë 107
RKO
mêçéÉêíáÉë çÑ aÉíÉêãáå~åíë 109
RKP
j~íêáÅÉë 110
RKQ
léÉê~íáçåë ïáíÜ j~íêáÅÉë 111
RKR
póëíÉãë çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë 114
6 sb`qlop
SKN
sÉÅíçê `ççêÇáå~íÉë 118
SKO
sÉÅíçê ^ÇÇáíáçå 120
SKP
sÉÅíçê pìÄíê~Åíáçå 122
SKQ
pÅ~äáåÖ sÉÅíçêë 122
SKR
pÅ~ä~ê mêçÇìÅí 123
SKS
sÉÅíçê mêçÇìÅí 125
SKT
qêáéäÉ mêçÇìÅí 127
7 ^k^ivqf` dbljbqov
TKN
låÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 130
v
http://fribok.blogspot.com/
TKO
TKP
TKQ
TKR
TKS
TKT
TKU
TKV
TKNM
TKNN
TKNO
qïç -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 131
píê~áÖÜí iáåÉ áå mä~åÉ 139
`áêÅäÉ 149
bääáéëÉ 152
eóéÉêÄçä~ 154
m~ê~Äçä~ 158
qÜêÉÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 161
mä~åÉ 165
píê~áÖÜí iáåÉ áå pé~ÅÉ 175
nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë 180
péÜÉêÉ 189
8 afccbobkqf^i `^i`rirp
UKN
cìåÅíáçåë ~åÇ qÜÉáê dê~éÜë 191
UKO
iáãáíë çÑ cìåÅíáçåë 208
UKP
aÉÑáåáíáçå ~åÇ mêçéÉêíáÉë çÑ íÜÉ aÉêáî~íáîÉ 209
UKQ
q~ÄäÉ çÑ aÉêáî~íáîÉë 211
UKR
eáÖÜÉê lêÇÉê aÉêáî~íáîÉë 215
UKS
^ééäáÅ~íáçåë çÑ aÉêáî~íáîÉ 217
UKT
aáÑÑÉêÉåíá~ä 221
UKU
jìäíáî~êá~ÄäÉ cìåÅíáçåë 222
UKV
aáÑÑÉêÉåíá~ä léÉê~íçêë 225
9 fkqbdo^i `^i`rirp
VKN
fåÇÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 227
VKO
fåíÉÖê~äë çÑ o~íáçå~ä cìåÅíáçåë 228
VKP
fåíÉÖê~äë çÑ fêê~íáçå~ä cìåÅíáçåë 231
VKQ
fåíÉÖê~äë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 237
VKR
fåíÉÖê~äë çÑ eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 241
VKS
fåíÉÖê~äë çÑ bñéçåÉåíá~ä ~åÇ içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåë 242
VKT
oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 243
VKU
aÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 247
VKV
fãéêçéÉê fåíÉÖê~ä 253
VKNM açìÄäÉ fåíÉÖê~ä 257
VKNN qêáéäÉ fåíÉÖê~ä 269
vi
http://fribok.blogspot.com/
VKNO
VKNP
iáåÉ fåíÉÖê~ä 275
pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä 285
10 afccbobkqf^i bnr^qflkp
NMKN cáêëí lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 295
NMKO pÉÅçåÇ lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 298
NMKP pçãÉ m~êíá~ä aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 302
11 pbofbp
NNKN ^êáíÜãÉíáÅ pÉêáÉë 304
NNKO dÉçãÉíêáÅ pÉêáÉë 305
NNKP pçãÉ cáåáíÉ pÉêáÉë 305
NNKQ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë 307
NNKR mêçéÉêíáÉë çÑ `çåîÉêÖÉåí pÉêáÉë 307
NNKS `çåîÉêÖÉåÅÉ qÉëíë 308
NNKT ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë 310
NNKU mçïÉê pÉêáÉë 311
NNKV aáÑÑÉêÉåíá~íáçå ~åÇ fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë 312
NNKNM q~óäçê ~åÇ j~Åä~ìêáå pÉêáÉë 313
NNKNN mçïÉê pÉêáÉë bñé~åëáçåë Ñçê pçãÉ cìåÅíáçåë 314
NNKNO _áåçãá~ä pÉêáÉë 316
NNKNP cçìêáÉê pÉêáÉë 316
12 mol_^_fifqv
NOKN mÉêãìí~íáçåë ~åÇ `çãÄáå~íáçåë 318
NOKO mêçÄ~Äáäáíó cçêãìä~ë 319
vii
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 1
Number Sets
1.1 Set Identities
pÉíëW ^I _I `
råáîÉêë~ä ëÉíW f
`çãéäÉãÉåí W ^′
mêçéÉê ëìÄëÉíW ^ ⊂ _
bãéíó ëÉíW ∅
råáçå çÑ ëÉíëW ^ ∪ _
fåíÉêëÉÅíáçå çÑ ëÉíëW ^ ∩ _
aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ ëÉíëW ^ y _
1.
^⊂f
2.
^⊂^
3.
^ = _ áÑ ^ ⊂ _ ~åÇ _ ⊂ ^ .
4.
bãéíó pÉí
∅⊂^
5.
råáçå çÑ pÉíë
` = ^ ∪ _ = {ñ ö ñ ∈ ^ çê ñ ∈ _}
1
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
Figure 1.
6.
`çããìí~íáîáíó
^∪_ = _∪^
7.
^ëëçÅá~íáîáíó
^ ∪ (_ ∪ ` ) = (^ ∪ _ ) ∪ `
8.
fåíÉêëÉÅíáçå çÑ pÉíë
` = ^ ∪ _ = {ñ ö ñ ∈ ^ ~åÇ ñ ∈ _}
Figure 2.
9.
`çããìí~íáîáíó
^∩_ = _∩^
10.
^ëëçÅá~íáîáíó
^ ∩ (_ ∩ ` ) = (^ ∩ _ ) ∩ `
2
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
11.
aáëíêáÄìíáîáíó
^ ∪ (_ ∩ ` ) = (^ ∪ _ ) ∩ (^ ∪ ` ) I
^ ∩ (_ ∪ ` ) = (^ ∩ _ ) ∪ (^ ∩ ` ) K
12.
fÇÉãéçíÉåÅó
^∩^ = ^I
^∪^= ^
13.
açãáå~íáçå
^∩∅ = ∅I
^∪f= f
14.
fÇÉåíáíó
^ ∪∅ = ^ I
^∩f= ^
15.
`çãéäÉãÉåí
^′ = {ñ ∈ f ö ñ ∉ ^}
16.
`çãéäÉãÉåí çÑ fåíÉêëÉÅíáçå ~åÇ råáçå
^ ∪ ^′ = f I
^ ∩ ^′ = ∅
17.
aÉ jçêÖ~å∞ë i~ïë
(^ ∪ _ )′ = ^′ ∩ _′ I
(^ ∩ _ )′ = ^′ ∪ _′
18.
aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ pÉíë
` = _ y ^ = {ñ ö ñ ∈ _ ~åÇ ñ ∉ ^}
3
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
Figure 3.
19.
_ y ^ = _ y (^ ∩ _ )
20.
_ y ^ = _ ∩ ^′
21.
^y^=∅
22.
^ y _ = ^ áÑ ^ ∩ _ = ∅ .
Figure 4.
23.
(^ y _) ∩ ` = (^ ∩ `) y (_ ∩ `)
24.
^′ = f y ^
25.
`~êíÉëá~å mêçÇìÅí
` = ^ × _ = {(ñ I ó ) ö ñ ∈ ^ ~åÇ ó ∈ _}
4
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
1.2 Sets of Numbers
k~íìê~ä åìãÄÉêëW k
tÜçäÉ åìãÄÉêëW kM
fåíÉÖÉêëW w
mçëáíáîÉ áåíÉÖÉêëW w +
kÉÖ~íáîÉ áåíÉÖÉêëW w −
o~íáçå~ä åìãÄÉêëW n
oÉ~ä åìãÄÉêëW o
`çãéäÉñ åìãÄÉêëW `
26.
k~íìê~ä kìãÄÉêë
`çìåíáåÖ åìãÄÉêëW k = {NI OI PI K} K
27.
tÜçäÉ kìãÄÉêë
`çìåíáåÖ åìãÄÉêë ~åÇ òÉêçW k M = {MI NI OI PI K} K
28.
fåíÉÖÉêë
tÜçäÉ åìãÄÉêë ~åÇ íÜÉáê çééçëáíÉë ~åÇ òÉêçW
w + = k = {NI OI PI K}I
w − = {KI − PI − OI − N} I
w = w − ∪ {M} ∪ w + = {KI − PI − OI − NI MI NI OI PI K} K
29.
o~íáçå~ä kìãÄÉêë
oÉéÉ~íáåÖ çê íÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëW
~


n = ñ ö ñ = ~åÇ ~ ∈ w ~åÇ Ä ∈ w ~åÇ Ä ≠ M K
Ä


30.
fêê~íáçå~ä kìãÄÉêë
kçåêÉéÉ~íáåÖ ~åÇ åçåíÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëK
5
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
31.
oÉ~ä kìãÄÉêë
råáçå çÑ ê~íáçå~ä ~åÇ áêê~íáçå~ä åìãÄÉêëW oK
32.
`çãéäÉñ kìãÄÉêë
` = {ñ + áó ö ñ ∈ o ~åÇ ó ∈ o}I
ïÜÉêÉ á áë íÜÉ áã~Öáå~êó ìåáíK
33.
k⊂w⊂n⊂o⊂`
Figure 5.
6
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
1.3 Basic Identities
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å
34.
^ÇÇáíáîÉ fÇÉåíáíó
~+M=~
35.
^ÇÇáíáîÉ fåîÉêëÉ
~ + (− ~ ) = M
36.
`çããìí~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå
~ +Ä= Ä+~
37.
^ëëçÅá~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå
(~ + Ä) + Å = ~ + (Ä + Å )
38.
aÉÑáåáíáçå çÑ pìÄíê~Åíáçå
~ − Ä = ~ + (− Ä)
39.
jìäíáéäáÅ~íáîÉ fÇÉåíáíó
~ ⋅N = ~
40.
jìäíáéäáÅ~íáîÉ fåîÉêëÉ
N
~ ⋅ =NI ~ ≠ M
~
41.
jìäíáéäáÅ~íáçå qáãÉë M
~ ⋅M = M
42.
`çããìí~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå
~ ⋅Ä = Ä⋅~
7
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
43.
^ëëçÅá~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå
(~ ⋅ Ä)⋅ Å = ~ ⋅ (Ä ⋅ Å )
44.
aáëíêáÄìíáîÉ i~ï
~ (Ä + Å ) = ~Ä + ~Å
45.
aÉÑáåáíáçå çÑ aáîáëáçå
~
N
= ~⋅
Ä
Ä
1.4 Complex Numbers
k~íìê~ä åìãÄÉêW å
fã~Öáå~êó ìåáíW á
`çãéäÉñ åìãÄÉêW ò
oÉ~ä é~êíW ~I Å
fã~Öáå~êó é~êíW ÄáI Çá
jçÇìäìë çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW êI êN I êO
^êÖìãÉåí çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW ϕ I ϕN I ϕO
46.
áN = á
á O = −N
á P = −á
áQ = N
áR = á
á S = −N
á T = −á
áU = N
47.
ò = ~ + Äá
48.
`çãéäÉñ mä~åÉ
á Q å +N = á
á Q å+ O = −N
á Q å + P = −á
á Qå = N
8
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
Figure 6.
49.
(~ + Äá ) + (Å + Çá ) = (~ + Å ) + (Ä + Ç )á
50.
(~ + Äá ) − (Å + Çá ) = (~ − Å ) + (Ä − Ç)á
51.
(~ + Äá )(Å + Çá ) = (~Å − ÄÇ ) + (~Ç + ÄÅ )á
52.
~ + Äá ~Å + ÄÇ ÄÅ − ~Ç
=
+
⋅á
Å + Çá Å O + Ç O Å O + Ç O
53.
`çåàìÖ~íÉ `çãéäÉñ kìãÄÉêë
|||||||
~ + Äá = ~ − Äá
54.
~ = ê Åçë ϕ I Ä = ê ëáå ϕ
9
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
Figure 7.
55.
mçä~ê mêÉëÉåí~íáçå çÑ `çãéäÉñ kìãÄÉêë
~ + Äá = ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)
56.
jçÇìäìë ~åÇ ^êÖìãÉåí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê
fÑ ~ + Äá áë ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêI íÜÉå
ê = ~ O + ÄO EãçÇìäìëFI
Ä
ϕ = ~êÅí~å E~êÖìãÉåíFK
~
57.
mêçÇìÅí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå
ò N ⋅ ò O = êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) ⋅ êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO )
= êNêO [Åçë(ϕN + ϕO ) + á ëáå(ϕN + ϕO )]
58.
`çåàìÖ~íÉ kìãÄÉêë áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå
|||||||||||||||||||||
ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = ê[Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)]
59.
fåîÉêëÉ çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå
N
N
= [Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)]
ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) ê
10
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
60.
nìçíáÉåí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå
ò N êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) êN
=
= [Åçë(ϕN − ϕO ) + á ëáå(ϕN − ϕO )]
ò O êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) êO
61.
mçïÉê çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê
å
ò å = [ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)] = ê å [Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ)]
62.
cçêãìä~ ±aÉ jçáîêÉ≤
(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)å = Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ)
63.
kíÜ oççí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê
ϕ + Oπâ
ϕ + Oπâ 

å
ò = å ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = å ê  Åçë
+ á ëáå
I
å
å 

ïÜÉêÉ
â = MI NI OI KI å − N K
64.
bìäÉê∞ë cçêãìä~
É áñ = Åçë ñ + á ëáå ñ
11
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 2
Algebra
2.1 Factoring Formulas
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å
k~íìê~ä åìãÄÉêW å
65.
~ O − ÄO = (~ + Ä)(~ − Ä)
66.
~ P − ÄP = (~ − Ä)(~ O + ~Ä + ÄO )
67.
~ P + ÄP = (~ + Ä)(~ O − ~Ä + ÄO )
68.
~ Q − ÄQ = (~ O − ÄO )(~ O + ÄO ) = (~ − Ä)(~ + Ä)(~ O + ÄO )
69.
~ R − ÄR = (~ − Ä)(~ Q + ~ P Ä + ~ O ÄO + ~ÄP + ÄQ )
70.
~ R + ÄR = (~ + Ä)(~ Q − ~ P Ä + ~ O ÄO − ~ÄP + ÄQ )
71.
fÑ å áë çÇÇI íÜÉå
~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO − K − ~Äå −O + Äå −N ) K
72.
fÑ å áë ÉîÉåI íÜÉå
~ å − Äå = (~ − Ä)(~ å −N + ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO + K + ~Äå−O + Äå −N ) I
12
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO − K + ~Äå−O − Äå −N ) K
2.2 Product Formulas
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å
tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI â
73.
(~ − Ä)O = ~ O − O~Ä + ÄO
74.
(~ + Ä)O = ~ O + O~Ä + ÄO
75.
(~ − Ä)P = ~ P − P~ O Ä + P~ÄO − ÄP
76.
(~ + Ä)P = ~ P + P~ OÄ + P~ÄO + ÄP
77.
(~ − Ä)Q = ~ Q − Q~ P Ä + S~ O ÄO − Q~ÄP + ÄQ
78.
(~ + Ä)Q = ~ Q + Q~ P Ä + S~ OÄO + Q~ÄP + ÄQ
79.
80.
81.
_áåçãá~ä cçêãìä~
(~ + Ä)å = å` M~ å + å`N~ å−NÄ + å` O~ å−OÄO + K + å` å−N~Äå−N + å` å Äå I
å>
~êÉ íÜÉ Äáåçãá~ä ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK
ïÜÉêÉ å ` â =
â> (å − â )>
(~ + Ä + Å )O = ~ O + ÄO + Å O + O~Ä + O~Å + OÄÅ
(~ + Ä + Å + K + ì + î )O = ~ O + ÄO + Å O + K + ì O + î O +
+ O(~Ä + ~Å + K + ~ì + ~î + ÄÅ + K + Äì + Äî + K + ìî )
13
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
2.3 Powers
_~ëÉë EéçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëFW ~I Ä
mçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã
82.
~ ã ~ å = ~ ã+å
83.
~ã
= ~ ã −å
å
~
84.
(~Ä)ã = ~ ã Äã
85.
~ã
~
  = ã
Ä
 Ä
86.
(~ )
87.
~M = N I ~ ≠ M
88.
~N = N
89.
~ −ã =
ã
90.
ã å
= ~ ãå
N
~ã
ã
å
~ = å ~ã
14
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
2.4 Roots
_~ëÉëW ~I Ä
mçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã
~ I Ä ≥ M Ñçê ÉîÉå êççíë E å = Oâ I â ∈ k F
91.
å
~Ä = å ~ å Ä
92.
å
~ ã Ä = åã ~ ã Äå
93.
å
~ å~
=
I Ä≠M
Ä åÄ
94.
~ åã ~ ã åã ~ ã
=
=
I Ä≠MK
ã
Äå
Ä åã Äå
å
95.
(~ )
96.
( ~)
å
ã
å
å
é
= å ~ ãé
=~
åé
97.
å
~ã =
98.
å
~ =~
99.
ã å
100.
ã
ã
å
~ = ãå ~
( ~)
å
~ ãé
ã
= å ~ã
15
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
101.
N å ~ å −N
=
I ~ ≠ MK
å
~
~
~ + ~O − Ä
~ − ~O − Ä
±
O
O
102.
~± Ä =
103.
N
~m Ä
=
~−Ä
~± Ä
2.5 Logarithms
mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ñI óI ~I ÅI â
k~íìê~ä åìãÄÉêW å
104. aÉÑáåáíáçå çÑ içÖ~êáíÜã
ó = äçÖ ~ ñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ñ = ~ ó I ~ > M I ~ ≠ N K
105. äçÖ ~ N = M
106. äçÖ ~ ~ = N
− ∞ áÑ ~ > N
107. äçÖ ~ M = 
+ ∞ áÑ ~ < N
108. äçÖ ~ (ñó ) = äçÖ ~ ñ + äçÖ ~ ó
109. äçÖ ~
ñ
= äçÖ ~ ñ − äçÖ ~ ó
ó
16
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
110. äçÖ ~ (ñ å ) = å äçÖ ~ ñ
111. äçÖ ~ å ñ =
N
äçÖ ~ ñ
å
112. äçÖ ~ ñ =
äçÖ Å ñ
= äçÖ Å ñ ⋅ äçÖ ~ Å I Å > M I Å ≠ N K
äçÖ Å ~
113. äçÖ ~ Å =
N
äçÖ Å ~
114. ñ = ~ äçÖ ~ ñ
115. içÖ~êáíÜã íç _~ëÉ NM
äçÖ NM ñ = äçÖ ñ
116. k~íìê~ä içÖ~êáíÜã
äçÖ É ñ = äå ñ I
â
 N
ïÜÉêÉ É = äáã N +  = OKTNUOUNUOUK
â →∞
 â
117. äçÖ ñ =
118. äå ñ =
N
äå ñ = MKQPQOVQ äå ñ
äå NM
N
äçÖ ñ = OKPMORUR äçÖ ñ
äçÖ É
17
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
2.6 Equations
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI éI èI ìI î
pçäìíáçåëW ñ N I ñ O I ó N I ó O I ó P
119. iáåÉ~ê bèì~íáçå áå låÉ s~êá~ÄäÉ
Ä
~ñ + Ä = M I ñ = − K
~
120. nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå
− Ä ± ÄO − Q~Å
~ñ + Äñ + Å = M I ñ NI O =
K
O~
O
121. aáëÅêáãáå~åí
a = ÄO − Q~Å
122. sáÉíÉ∞ë cçêãìä~ë
fÑ ñ O + éñ + è = M I íÜÉå
ñ N + ñ O = −é
K

ñ
ñ
=
è
N
O

Ä
123. ~ñ O + Äñ = M I ñ N = M I ñ O = − K
~
124. ~ñ O + Å = M I ñ NI O = ± −
Å
K
~
125. `ìÄáÅ bèì~íáçåK `~êÇ~åç∞ë cçêãìä~K
ó P + éó + è = M I
18
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
ó N = ì + î I ó OI P = −
N
(ì + î ) ± P (ì + î ) á I
O
O
ïÜÉêÉ
O
ì=P −
O
O
O
è
è
è  é
 è  é
+   +  I î =P − −   +  K
O
O
 O P
 O P
2.7 Inequalities
s~êá~ÄäÉëW ñI óI ò
~ I ÄI ÅI Ç
I ãI å
oÉ~ä åìãÄÉêëW 
~N I ~ O I ~ P I KI ~ å
aÉíÉêãáå~åíëW aI añ I aó I aò
126. fåÉèì~äáíáÉëI fåíÉêî~ä kçí~íáçåë ~åÇ dê~éÜë
fåÉèì~äáíó
~≤ñ≤Ä
fåíÉêî~ä kçí~íáçå
[~I Ä]
~<ñ≤Ä
(~I Ä]
~≤ñ<Ä
[~I Ä)
~<ñ<Ä
(~I Ä)
−∞< ñ ≤ÄI
ñ≤Ä
−∞< ñ <ÄI
ñ<Ä
~≤ñ<∞I
ñ≥~
~<ñ<∞I
ñ >~
(− ∞I Ä]
(− ∞I Ä)
[~I ∞ )
(~I ∞ )
19
http://fribok.blogspot.com/
dê~éÜ
CHAPTER 2. ALGEBRA
127. fÑ ~ > Ä I íÜÉå Ä < ~ K
128. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ − Ä > M çê Ä − ~ < M K
129. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ + Å > Ä + Å K
130. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ − Å > Ä − Å K
131. fÑ ~ > Ä ~åÇ Å > Ç I íÜÉå ~ + Å > Ä + Ç K
132. fÑ ~ > Ä ~åÇ Å > Ç I íÜÉå ~ − Ç > Ä − Å K
133. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã > M I íÜÉå ã~ > ãÄ K
134. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã > M I íÜÉå
~ Ä
> K
ã ã
135. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã < M I íÜÉå ã~ < ãÄ K
136. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã < M I íÜÉå
~ Ä
< K
ã ã
137. fÑ M < ~ < Ä ~åÇ å > M I íÜÉå ~ å < Äå K
138. fÑ M < ~ < Ä ~åÇ å < M I íÜÉå ~ å > Äå K
139. fÑ M < ~ < Ä I íÜÉå
140.
å
~ <å ÄK
~+Ä
I
O
ïÜÉêÉ ~ > M I Ä > M X ~å Éèì~äáíó áë î~äáÇ çåäó áÑ ~ = Ä K
~Ä ≤
N
141. ~ + ≥ O I ïÜÉêÉ ~ > M X ~å Éèì~äáíó í~âÉë éä~ÅÉ çåäó ~í ~ = N K
~
20
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
142.
å
~N~ O K~ å ≤
~N + ~ O + K + ~ å
I ïÜÉêÉ ~N I ~ O I KI ~ å > M K
å
Ä
143. fÑ ~ñ + Ä > M ~åÇ ~ > M I íÜÉå ñ > − K
~
Ä
144. fÑ ~ñ + Ä > M ~åÇ ~ < M I íÜÉå ñ < − K
~
145. ~ñ O + Äñ + Å > M
~>M
~<M
ñ < ñN I ñ > ñ O
ñN < ñ < ñ O
ñN < ñ I ñ > ñN
ñ ∈∅
−∞< ñ <∞
ñ ∈∅
a>M
a=M
a<M
21
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
146.
~+Ä ≤ ~ + Ä
147. fÑ ñ < ~ I íÜÉå − ~ < ñ < ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K
148. fÑ ñ > ~ I íÜÉå ñ < −~ ~åÇ ñ > ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K
149. fÑ ñ O < ~ I íÜÉå ñ < ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K
150. fÑ ñ O > ~ I íÜÉå ñ > ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K
151. fÑ
152.
Ñ (ñ )
> M I íÜÉå
Ö (ñ )
Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) > M
K

Ö (ñ ) ≠ M
Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) < M
Ñ (ñ )
K
< M I íÜÉå 
Ö (ñ )
Ö (ñ ) ≠ M
2.8 Compound Interest Formulas
cìíìêÉ î~äìÉW ^
fåáíá~ä ÇÉéçëáíW `
^ååì~ä ê~íÉ çÑ áåíÉêÉëíW ê
kìãÄÉê çÑ óÉ~êë áåîÉëíÉÇW í
kìãÄÉê çÑ íáãÉë ÅçãéçìåÇÉÇ éÉê óÉ~êW å
153. dÉåÉê~ä `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~
åí
 ê
^ = ` N + 
 å
22
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
154. páãéäáÑáÉÇ `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~
fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ çåÅÉ éÉê óÉ~êI íÜÉå íÜÉ éêÉîáçìë
Ñçêãìä~ ëáãéäáÑáÉë íçW
í
^ = `(N + ê ) K
155. `çåíáåìçìë `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí
fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ Åçåíáåì~ääó E å → ∞ FI íÜÉå
^ = `É êí K
23
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 3
Geometry
3.1 Right Triangle
iÉÖë çÑ ~ êáÖÜí íêá~åÖäÉW ~I Ä
eóéçíÉåìëÉW Å
^äíáíìÇÉW Ü
jÉÇá~åëW ã ~ I ã Ä I ã Å
^åÖäÉëW α I β
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
^êÉ~W p
Figure 8.
156. α + β = VM°
24
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
157. ëáå α =
~
= Åçë β
Å
158. Åçë α =
Ä
= ëáå β
Å
159. í~å α =
~
= Åçí β
Ä
160. Åçí α =
Ä
= í~å β
~
161. ëÉÅ α =
Å
= Åçë ÉÅ β
Ä
162. Åçë ÉÅ α =
Å
= ëÉÅ β
~
163. móíÜ~ÖçêÉ~å qÜÉçêÉã
~ O + ÄO = Å O
164. ~ O = ÑÅ I ÄO = ÖÅ I
ïÜÉêÉ Ñ ~åÇ Å ~êÉ éêçàÉÅíáçåë çÑ íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄI êÉëéÉÅíáîÉäóI çåíç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK
Figure 9.
25
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
165. Ü O = ÑÖ I
ïÜÉêÉ Ü áë íÜÉ ~äíáíìÇÉ Ñêçã íÜÉ êáÖÜí ~åÖäÉK
~O
ÄO
I ã OÄ = ~ O − I
Q
Q
ïÜÉêÉ ã ~ ~åÇ ã Ä ~êÉ íÜÉ ãÉÇá~åë íç íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄK
166. ã O~ = ÄO −
Figure 10.
Å
167. ã Å = I
O
ïÜÉêÉ ã Å áë íÜÉ ãÉÇá~å íç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK
168. o =
Å
= ãÅ
O
169. ê =
~ +Ä−Å
~Ä
=
O
~ + Ä+Å
170. ~Ä = ÅÜ
26
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
171. p =
~Ä ÅÜ
=
O
O
3.2 Isosceles Triangle
_~ëÉW ~
iÉÖëW Ä
_~ëÉ ~åÖäÉW β
sÉêíÉñ ~åÖäÉW α
^äíáíìÇÉ íç íÜÉ Ä~ëÉW Ü
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 11.
172. β = VM° −
α
O
~O
173. Ü = Ä −
Q
O
O
27
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
174. i = ~ + OÄ
175. p =
~Ü ÄO
= ëáå α
O
O
3.3 Equilateral Triangle
páÇÉ çÑ ~ Éèìáä~íÉê~ä íêá~åÖäÉW ~
^äíáíìÇÉW Ü
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 12.
176. Ü =
~ P
O
28
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
~ P
O
177. o = Ü =
P
P
~ P o
N
178. ê = Ü =
=
S
O
P
179. i = P~
180. p =
~Ü ~ O P
=
O
Q
3.4 Scalene Triangle
E^ íêá~åÖäÉ ïáíÜ åç íïç ëáÇÉë Éèì~äF
páÇÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW ~I ÄI Å
~ +Ä+Å
pÉãáéÉêáãÉíÉêW é =
O
^åÖäÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW αI βI γ
^äíáíìÇÉë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW Ü ~ I Ü Ä I Ü Å
jÉÇá~åë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW ã ~ I ã Ä I ã Å
_áëÉÅíçêë çÑ íÜÉ ~åÖäÉë αI βI γ W í ~ I í Ä I í Å
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
^êÉ~W p
29
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 13.
181. α + β + γ = NUM°
182. ~ + Ä > Å I
Ä+Å >~ I
~+Å>ÄK
183.
~−Ä <ÅI
Ä−Å <~ I
~−Å <ÄK
184. jáÇäáåÉ
~
è = I è öö ~ K
O
Figure 14.
30
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
185. i~ï çÑ `çëáåÉë
~ O = ÄO + Å O − OÄÅ Åçë α I
ÄO = ~ O + Å O − O~Å Åçë β I
Å O = ~ O + ÄO − O~Ä Åçë γ K
186. i~ï çÑ páåÉë
~
Ä
Å
=
=
= Oo I
ëáå α ëáå β ëáå γ
ïÜÉêÉ o áë íÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉK
187. o =
~
Ä
Å
ÄÅ
~Å
~Ä ~ÄÅ
=
=
=
=
=
=
O ëáå α O ëáå β O ëáå γ OÜ ~ OÜ Ä OÜ Å Qp
188. ê O =
(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I
é
N N
N
N
= +
+ K
ê Ü~ ÜÄ ÜÅ
α
=
O
(é − Ä)(é − Å ) I
Åçë
é(é − ~ )
α
I
=
O
ÄÅ
í~å
α
=
O
(é − Ä)(é − Å ) K
é(é − ~ )
189. ëáå
ÄÅ
O
é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I
~
O
é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I
ÜÄ =
Ä
O
é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) K
ÜÅ =
Å
190. Ü ~ =
31
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
191. Ü ~ = Ä ëáå γ = Å ëáå β I
Ü Ä = ~ ëáå γ = Å ëáå α I
Ü Å = ~ ëáå β = Ä ëáå α K
ÄO + Å O ~ O
− I
O
Q
O
O
~ + Å ÄO
− I
ã OÄ =
O
Q
O
O
~ + Ä ÅO
O
− K
ãÅ =
O
Q
192. ã O~ =
Figure 15.
O
O
O
193. ^j = ã ~ I _j = ã Ä I `j = ã Å EcáÖKNRFK
P
P
P
QÄÅé(é − ~ )
I
(Ä + Å )O
Q~Åé(é − Ä)
í OÄ =
I
(~ + Å )O
Q~Äé(é − Å )
í OÅ =
K
(~ + Ä)O
194. í O~ =
32
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
~Ü ~ ÄÜ Ä ÅÜ Å
=
=
I
O
O
O
~Ä ëáå γ ~Å ëáå β ÄÅ ëáå α
I
=
=
p=
O
O
O
p = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) EeÉêçå∞ë cçêãìä~FI
p = éê I
~ÄÅ
p=
I
Qo
p = Oo O ëáå α ëáå β ëáå γ I
α
β
γ
p = éO í~å í~å í~å K
O
O
O
195. p =
3.5 Square
páÇÉ çÑ ~ ëèì~êÉW ~
aá~Öçå~äW Ç
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 16.
33
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
196. Ç = ~ O
197. o =
Ç ~ O
=
O
O
198. ê =
~
O
199. i = Q~
200. p = ~ O
3.6 Rectangle
páÇÉë çÑ ~ êÉÅí~åÖäÉW ~I Ä
aá~Öçå~äW Ç
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 17.
201. Ç = ~ O + ÄO
34
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
202. o =
Ç
O
203. i = O(~ + Ä)
204. p = ~Ä
3.7 Parallelogram
páÇÉë çÑ ~ é~ê~ääÉäçÖê~ãW ~I Ä
aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O
`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW αI β
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
^äíáíìÇÉW Ü
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 18.
205. α + β = NUM°
206. ÇNO + Ç OO = O(~ O + ÄO )
35
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
207. Ü = Ä ëáå α = Ä ëáå β
208. i = O(~ + Ä)
209. p = ~Ü = ~Ä ëáå α I
N
p = ÇNÇ O ëáå ϕ K
O
3.8 Rhombus
páÇÉ çÑ ~ êÜçãÄìëW ~
aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O
`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW αI β
^äíáíìÇÉW e
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 19.
36
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
210. α + β = NUM°
211. ÇNO + Ç OO = Q~ O
212. Ü = ~ ëáå α =
213. ê =
ÇNÇ O
O~
Ü ÇNÇ O ~ ëáå α
=
=
O
Q~
O
214. i = Q~
215. p = ~Ü = ~ O ëáå α I
N
p = ÇNÇ O K
O
3.9 Trapezoid
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä
jáÇäáåÉW è
^äíáíìÇÉW Ü
^êÉ~W p
37
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 20.
216. è =
~+Ä
O
217. p =
~+Ä
⋅ Ü = èÜ
O
3.10 Isosceles Trapezoid
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä
iÉÖW Å
jáÇäáåÉW è
^äíáíìÇÉW Ü
aá~Öçå~äW Ç
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
^êÉ~W p
38
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 21.
218. è =
~+Ä
O
219. Ç = ~Ä + Å O
220. Ü = Å O −
221. o =
222. p =
N
(Ä − ~ )O
Q
Å ~Ä + Å O
(OÅ − ~ + Ä)(OÅ + ~ − Ä)
~+Ä
⋅ Ü = èÜ
O
39
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.11 Isosceles Trapezoid with
Inscribed Circle
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä
iÉÖW Å
jáÇäáåÉW è
^äíáíìÇÉW Ü
aá~Öçå~äW Ç
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 22.
223. ~ + Ä = OÅ
224. è =
~+Ä
=Å
O
225. Ç O = Ü O + Å O
40
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
226. ê =
Ü
~Ä
=
O
O
227. o =
Ä
~+Ä ~
ÅO
Å
ÅÇ ÅÇ Å
=
=
=
+S+
ÜO + Å O =
N+
~
U
Ä
~Ä OÜ
OÜ Qê O
228. i = O(~ + Ä) = QÅ
229. p =
(~ + Ä) ~Ä = èÜ = ÅÜ = iê
~+Ä
⋅Ü =
O
O
O
3.12 Trapezoid with Inscribed Circle
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä
i~íÉê~ä ëáÇÉëW ÅI Ç
jáÇäáåÉW è
^äíáíìÇÉW Ü
aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
41
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 23.
230. ~ + Ä = Å + Ç
231. è =
~+Ä Å+Ç
=
O
O
232. i = O(~ + Ä) = O(Å + Ç )
Å+Ç
~+Ä
⋅Ü =
⋅ Ü = èÜ I
O
O
N
p = ÇNÇ O ëáå ϕ K
O
233. p =
3.13 Kite
páÇÉë çÑ ~ âáíÉW ~I Ä
aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O
^åÖäÉëW αI βI γ
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
42
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 24.
234. α + β + Oγ = PSM°
235. i = O(~ + Ä)
236. p =
ÇNÇ O
O
3.14 Cyclic Quadrilateral
páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Ç
aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW αI βI γ I δ
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
mÉêáãÉíÉêW i
pÉãáéÉêáãÉíÉêW é
^êÉ~W p
43
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 25.
237. α + γ = β + δ = NUM°
238. míçäÉãó∞ë qÜÉçêÉã
~Å + ÄÇ = ÇNÇ O
239. i = ~ + Ä + Å + Ç
240. o =
N
Q
(~Å + ÄÇ )(~Ç + ÄÅ )(~Ä + ÅÇ ) I
(é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç )
ïÜÉêÉ é =
i
K
O
N
241. p = ÇNÇ O ëáå ϕ I
O
p = (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) I
i
ïÜÉêÉ é = K
O
44
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.15 Tangential Quadrilateral
páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Ç
aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
mÉêáãÉíÉêW i
pÉãáéÉêáãÉíÉêW é
^êÉ~W p
Figure 26.
242. ~ + Å = Ä + Ç
243. i = ~ + Ä + Å + Ç = O(~ + Å ) = O(Ä + Ç )
ÇNOÇ OO − (~ − Ä) (~ + Ä − é )
I
Oé
i
ïÜÉêÉ é = K
O
O
O
244. ê =
45
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
N
245. p = éê = ÇNÇ O ëáå ϕ
O
3.16 General Quadrilateral
páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Ç
aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW αI βI γ I δ
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 27.
246. α + β + γ + δ = PSM°
247. i = ~ + Ä + Å + Ç
46
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
N
248. p = ÇNÇ O ëáå ϕ
O
3.17 Regular Hexagon
páÇÉW ~
fåíÉêå~ä ~åÖäÉW α
pä~åí ÜÉáÖÜíW ã
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
mÉêáãÉíÉêW i
pÉãáéÉêáãÉíÉêW é
^êÉ~W p
Figure 28.
249. α = NOM°
250. ê = ã =
~ P
O
47
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
251. o = ~
252. i = S~
~OP P
I
O
i
ïÜÉêÉ é = K
O
253. p = éê =
3.18 Regular Polygon
páÇÉW ~
kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW å
fåíÉêå~ä ~åÖäÉW α
pä~åí ÜÉáÖÜíW ã
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
mÉêáãÉíÉêW i
pÉãáéÉêáãÉíÉêW é
^êÉ~W p
48
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 29.
254. α =
å−O
⋅ NUM°
O
255. α =
å−O
⋅ NUM°
O
~
256. o =
O ëáå
257. ê = ã =
π
å
~
O í~å
π
å
= oO −
~O
Q
258. i = å~
259. p =
Oπ
åo O
ëáå I
å
O
p = éê = é o O −
~O
I
Q
49
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
ïÜÉêÉ é =
i
K
O
3.19 Circle
o~ÇáìëW o
aá~ãÉíÉêW Ç
`ÜçêÇW ~
pÉÅ~åí ëÉÖãÉåíëW ÉI Ñ
q~åÖÉåí ëÉÖãÉåíW Ö
`Éåíê~ä ~åÖäÉW α
fåëÅêáÄÉÇ ~åÖäÉW β
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
260. ~ = Oo ëáå
α
O
Figure 30.
50
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
261. ~N~ O = ÄNÄO
Figure 31.
262. ÉÉN = ÑÑN
Figure 32.
263. Ö O = ÑÑN
51
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 33.
264. β =
α
O
Figure 34.
265. i = Oπo = πÇ
266. p = πo O =
〠O io
=
Q
O
52
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.20 Sector of a Circle
o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o
^êÅ äÉåÖíÜW ë
`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ
`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 35.
267. ë = oñ
268. ë =
πoα
NUM°
269. i = ë + Oo
oë o O ñ πo Oα
270. p =
=
=
O
O
PSM°
53
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.21 Segment of a Circle
o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o
^êÅ äÉåÖíÜW ë
`ÜçêÇW ~
`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ
`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α
eÉáÖÜí çÑ íÜÉ ëÉÖãÉåíW Ü
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 36.
271. ~ = O OÜo − Ü O
272. Ü = o −
N
Qo O − ~ O I Ü < o
O
273. i = ë + ~
54
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
O
O
N
[ëo − ~(o − Ü )] = o  απ − ëáå α  = o (ñ − ëáå ñ ) I
O
O  NUM°
 O
O
p ≈ Ü~ K
P
274. p =
3.22 Cube
bÇÖÉW ~
aá~Öçå~äW Ç
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW ê
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW ê
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 37.
275. Ç = ~ P
276. ê =
~
O
55
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
277. o =
~ P
O
278. p = S~ O
279. s = ~ P
3.23 Rectangular Parallelepiped
bÇÖÉëW ~I ÄI Å
aá~Öçå~äW Ç
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 38.
280. Ç = ~ O + ÄO + Å O
281. p = O(~Ä + ~Å + ÄÅ )
282. s = ~ÄÅ
56
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.24 Prism
i~íÉê~ä ÉÇÖÉW ä
eÉáÖÜíW Ü
i~íÉê~ä ~êÉ~W p i
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 39.
283. p = p i + Op_ K
284. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~ oáÖÜí mêáëã
p i = (~ N + ~ O + ~ P + K + ~ å )ä
285. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~å lÄäáèìÉ mêáëã
p i = éä I
ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêáãÉíÉê çÑ íÜÉ Åêçëë ëÉÅíáçåK
57
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
286. s = p_ Ü
287. `~î~äáÉêáDë mêáåÅáéäÉ
dáîÉå íïç ëçäáÇë áåÅäìÇÉÇ ÄÉíïÉÉå é~ê~ääÉä éä~åÉëK fÑ ÉîÉêó
éä~åÉ Åêçëë ëÉÅíáçå é~ê~ääÉä íç íÜÉ ÖáîÉå éä~åÉë Ü~ë íÜÉ ë~ãÉ
~êÉ~ áå ÄçíÜ ëçäáÇëI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉë çÑ íÜÉ ëçäáÇë ~êÉ Éèì~äK
3.25 Regular Tetrahedron
qêá~åÖäÉ ëáÇÉ äÉåÖíÜW ~
eÉáÖÜíW Ü
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 40.
288. Ü =
O
~
P
58
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
289. p_ =
P~ O
Q
290. p = P~ O
~P
N
291. s = p_ Ü =
K
P
S O
3.26 Regular Pyramid
páÇÉ çÑ Ä~ëÉW ~
i~íÉê~ä ÉÇÖÉW Ä
eÉáÖÜíW Ü
pä~åí ÜÉáÖÜíW ã
kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW å
pÉãáéÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW é
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉ çÑ Ä~ëÉW ê
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W pi
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
59
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 41.
292. ã = ÄO −
293. Ü =
~O
Q
π O
−~
å
π
O ëáå
å
QÄO ëáå O
N
N
294. p i = å~ã = å~ QÄO − ~ O = éã
Q
O
295. p_ = éê
296. p = p_ + p i
N
N
297. s = p_ Ü = éêÜ
P
P
60
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.27 Frustum of a Regular Pyramid
~N I ~ O I ~ P IKI ~ å
_~ëÉ ~åÇ íçé ëáÇÉ äÉåÖíÜëW 
ÄN I ÄO I ÄP IKI Äå
eÉáÖÜíW Ü
pä~åí ÜÉáÖÜíW ã
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW pN I pO
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i
mÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉëW mN I mO
pÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW â
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 42.
298.
ÄN ÄO ÄP
Ä
Ä
= = =K= å = = â
~N ~ O ~ P
~å ~
61
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
299.
pO
= âO
pN
300. p i =
ã(mN + mO )
O
301. p = p i + pN + pO
(
)
302. s =
Ü
pN + pNpO + pO
P
303. s =
O
ÜpN  Ä  Ä   ÜpN
N+ â + âO
N
+
+
  =

P  ~ ~  P
[
]
3.28 Rectangular Right Wedge
páÇÉë çÑ Ä~ëÉW ~I Ä
qçé ÉÇÖÉW Å
eÉáÖÜíW Ü
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
62
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 43.
304. p i =
N
(~ + Å ) QÜO + ÄO + Ä ÜO + (~ − Å )O
O
305. p_ = ~Ä
306. p = p_ + p i
307. s =
ÄÜ
(O~ + Å )
S
3.29 Platonic Solids
bÇÖÉW ~
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
63
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
308. cáîÉ mä~íçåáÅ pçäáÇë
qÜÉ éä~íçåáÅ ëçäáÇë ~êÉ ÅçåîÉñ éçäóÜÉÇê~ ïáíÜ Éèìáî~äÉåí
Ñ~ÅÉë ÅçãéçëÉÇ çÑ ÅçåÖêìÉåí ÅçåîÉñ êÉÖìä~ê éçäóÖçåëK
pçäáÇ
kìãÄÉê
çÑ sÉêíáÅÉë
qÉíê~ÜÉÇêçå
Q
`ìÄÉ
U
lÅí~ÜÉÇêçå
S
fÅçë~ÜÉÇêçå
NO
açÇÉÅ~ÜÉÇêçå
OM
kìãÄÉê
çÑ bÇÖÉë
S
NO
NO
PM
PM
kìãÄÉê
çÑ c~ÅÉë
Q
S
U
OM
NO
Octahedron
Figure 44.
309. ê =
~ S
S
310. o =
~ O
O
64
http://fribok.blogspot.com/
pÉÅíáçå
PKOR
PKOO
PKOT
PKOT
PKOT
CHAPTER 3. GEOMETRY
311. p = O~ O P
312. s =
~P O
P
Icosahedron
Figure 45.
(
)
313. ê =
~ P P+ R
NO
314. o =
~
O R+ R
Q
(
)
315. p = R~ O P
(
R~ P P + R
316. s =
NO
)
65
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Dodecahedron
Figure 46.
(
317. ê =
~ NM OR + NN R
O
318. o =
~ P N+ R
Q
(
)
(
319. p = P~ O R R + O R
320. s =
(
)
~ P NR + T R
Q
)
)
3.30 Right Circular Cylinder
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW o
aá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW Ç
66
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
eÉáÖÜíW e
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 47.
321. p i = Oπoe
Ç

322. p = p i + Op_ = Oπo(e + o ) = πÇ e + 
O

323. s = p_ e = πo O e
67
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.31 Right Circular Cylinder with
an Oblique Plane Face
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW o
qÜÉ ÖêÉ~íÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW ÜN
qÜÉ ëÜçêíÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW Ü O
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i
^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW p_
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 48.
324. p i = πo(ÜN + Ü O )
 Ü − ÜO 
325. p_ = πo + πo o +  N

 O 
O
O
O
68
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
O

ÜN − Ü O  

O
326. p = p i + p_ = πo ÜN + Ü O + o + o + 
 
 O  

327. s =
πo O
(ÜN + ÜO )
O
3.32 Right Circular Cone
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW o
aá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW Ç
eÉáÖÜíW e
pä~åí ÜÉáÖÜíW ã
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W pi
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 49.
69
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
328. e = ã O − o O
329. p i = πoã =
πãÇ
O
330. p_ = πo O
Ç
N 
331. p = p i + p_ = πo (ã + o ) = πÇ ã + 
O
O 
N
N
332. s = p_ e = πo O e
P
P
3.33 Frustum of a Right Circular Cone
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW oI ê
eÉáÖÜíW e
pä~åí ÜÉáÖÜíW ã
pÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW â
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW pN I pO
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
70
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 50.
333. e = ã O − (o − ê )
O
334.
o
=â
ê
335.
pO o O
= O = âO
pN ê
336. p i = πã(o + ê )
[
]
337. p = pN + pO + p i = π o O + ê O + ã(o + ê )
338. s =
(
Ü
pN + pNpO + pO
P
)
O
ÜpN  o  o   ÜpN
339. s =
N+ â + âO
N + +    =
P  ê ê  P
[
]
71
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.34 Sphere
o~ÇáìëW o
aá~ãÉíÉêW Ç
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 51.
340. p = Qπo O
Q
N
N
341. s = πo P e = πÇ P = po
P
S
P
3.35 Spherical Cap
o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW o
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW ê
eÉáÖÜíW Ü
^êÉ~ çÑ éä~åÉ Ñ~ÅÉW p_
^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW p`
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
72
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 52.
ê O + ÜO
342. o =
OÜ
343. p_ = πê O
344. p` = π(Ü O + ê O )
345. p = p_ + p` = π(Ü O + Oê O ) = π(OoÜ + ê O )
346. s =
π O
π
Ü (Po − Ü ) = Ü(Pê O + Ü O )
S
S
3.36 Spherical Sector
o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW o
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW ê
eÉáÖÜíW Ü
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
73
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 53.
347. p = πo(OÜ + ê )
O
348. s = πo O Ü
P
kçíÉW qÜÉ ÖáîÉå Ñçêãìä~ë ~êÉ ÅçêêÉÅí ÄçíÜ Ñçê ±çéÉå≤ ~åÇ
±ÅäçëÉÇ≤ ëéÜÉêáÅ~ä ëÉÅíçêK
3.37 Spherical Segment
o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW o
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW êN I êO
eÉáÖÜíW Ü
^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä ëìêÑ~ÅÉW pp
^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW pN I pO
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
74
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 54.
349. pp = OπoÜ
350. p = pp + pN + pO = π(OoÜ + êNO + êOO )
N
351. s = πÜ(PêNO + PêOO + Ü O )
S
3.38 Spherical Wedge
o~ÇáìëW o
aáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ÇÉÖêÉÉëW ñ
aáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ê~Çá~åëW α
^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä äìåÉW p i
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
75
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 55.
352. p i =
πo O
α = Oo O ñ
VM
353. p = πo O +
354. s =
πo O
α = πo O + Oo O ñ
VM
πoP
O
α = oP ñ
OTM
P
3.39 Ellipsoid
pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Å
sçäìãÉW s
76
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 56.
Q
355. s = π~ÄÅ
P
Prolate Spheroid
pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E ~ > Ä F
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
~ ~êÅëáå É 

356. p = OπÄ Ä +
I
É


ïÜÉêÉ É =
~ O − ÄO
K
~
Q
357. s = πÄO~
P
77
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Oblate Spheroid
pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E ~ < Ä F
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s

 ÄÉ  
~ ~êÅëáåÜ   

 ~ I
358. p = OπÄ Ä +


ÄÉ L ~




ïÜÉêÉ É =
ÄO − ~ O
K
Ä
Q
359. s = πÄO~
P
3.40 Circular Torus
j~àçê ê~ÇáìëW o
jáåçê ê~ÇáìëW ê
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
78
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
Picture 57.
360. p = QπOoê
361. s = OπOoê O
79
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 4
Trigonometry
^åÖäÉëW α I β
oÉ~ä åìãÄÉêë EÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ éçáåíFW ñI ó
tÜçäÉ åìãÄÉêW â
4.1 Radian and Degree Measures of Angles
362. N ê~Ç =
NUM°
≈ RT°NT DQR?
π
363. N° =
π
ê~Ç ≈ MKMNTQRP ê~Ç
NUM
364. N D =
π
ê~Ç ≈ MKMMMOVN ê~Ç
NUM ⋅ SM
365. N ? =
π
ê~Ç ≈ MKMMMMMR ê~Ç
NUM ⋅ PSMM
366.
^åÖäÉ
EÇÉÖêÉÉëF
^åÖäÉ
Eê~Çá~åëF
M
PM
QR
SM
VM
NUM
OTM
PSM
M
π
S
π
Q
π
P
π
O
π
Pπ
O
Oπ
80
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric
Functions
Figure 58.
367. ëáå α =
ó
ê
368. Åçë α =
ñ
ê
369. í~å α =
ó
ñ
370. Åçí α =
ñ
ó
81
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
371. ëÉÅ α =
ê
ñ
372. ÅçëÉÅ α =
ê
ó
373. páåÉ cìåÅíáçå
ó = ëáå ñ I − N ≤ ëáå ñ ≤ N K
Figure 59.
374. `çëáåÉ cìåÅíáçå
ó = Åçë ñ I − N ≤ Åçë ñ ≤ N K
82
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
Figure 60.
375. q~åÖÉåí cìåÅíáçå
π
ó = í~å ñ I ñ ≠ (Oâ + N) I − ∞ ≤ í~å ñ ≤ ∞K
O
Figure 61.
83
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
376. `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå
ó = Åçí ñ I ñ ≠ âπ I − ∞ ≤ Åçí ñ ≤ ∞ K
Figure 62.
377. pÉÅ~åí cìåÅíáçå
π
ó = ëÉÅ ñ I ñ ≠ (Oâ + N) K
O
84
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
Figure 63.
378. `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå
ó = Åçë ÉÅ ñ I ñ ≠ âπ K
Figure 64.
85
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.3. Signs of Trigonometric Functions
379.
nì~Çê~åí
f
ff
fff
fs
páå
α
H
H
`çë
α
H
q~å
α
H
`çí
α
H
H
H
H
380.
Figure 65.
86
http://fribok.blogspot.com/
pÉÅ
α
H
H
`çëÉÅ
α
H
H
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.4 Trigonometric Functions of Common
Angles
381.
α° α ê~Ç
M
M
π
PM
S
π
QR
Q
π
SM
P
π
VM
O
Oπ
NOM
P
NUM
π
Pπ
OTM
O
PSM
Oπ
í~å α
M
N
P
Åçí α
O
O
P
O
Åçë α
N
P
O
O
O
N
O
N
N
P
N
P
O
O
P
N
M
∞
M
∞
N
ëáå α
M
N
O
P
O
M
N
O
−N
−
∞
P
ëÉÅ α
N
O
P
O
ÅçëÉÅ α
∞
O
O
M
N
P
∞
−N
O
P
∞
− P
−
−O
−N
M
∞
M
∞
−N
M
N
M
∞
N
∞
87
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
382.
α ê~Ç
α°
π
NR
NO
ëáå α
Åçë α
í~å α
Åçí α
S− O
Q
S+ O
Q
O− P
O+ P
R+O R
NU
π
NM
R −N
Q
NM + O R
Q
R−O R
R
PS
π
R
NM − O R
Q
R +N
Q
NM − O R
R +N
NM − O R
RQ
Pπ
NM
R +N
Q
NM − O R
Q
R +N
NM − O R
R +N
TO
Oπ
R
NM + O R
Q
R −N
Q
R+O R
R−O R
R
TR
Rπ
NO
S+ O
Q
S− O
Q
O+ P
O− P
NM − O R
4.5 Most Important Formulas
383. ëáå O α + Åçë O α = N
384. ëÉÅ O α − í~å O α = N
385. ÅëÅ O α − Åçí O α = N
386. í~å α =
ëáå α
Åçë α
88
http://fribok.blogspot.com/
R +N
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
387. Åçí α =
Åçë α
ëáå α
388. í~å α ⋅ Åçí α = N
389. ëÉÅ α =
N
Åçë α
390. ÅçëÉÅ α =
N
ëáå α
4.6 Reduction Formulas
391.
β
−α
VM° − α
VM° + α
NUM° − α
NUM° + α
OTM° − α
OTM° + α
PSM° − α
PSM° + α
ëáå β
− ëáå α
+ Åçë α
+ Åçë α
+ ëáå α
− ëáå α
− Åçë α
− Åçë α
− ëáå α
+ ëáå α
Åçë β
+ Åçë α
+ ëáå α
− ëáå α
− Åçë α
− Åçë α
− ëáå α
+ ëáå α
+ Åçë α
+ Åçë α
í~å β
− í~å α
+ Åçí α
− Åçí α
− í~å α
+ í~å α
+ Åçí α
− Åçí α
− í~å α
+ í~å α
89
http://fribok.blogspot.com/
Åçí β
− Åçí α
+ í~å α
− í~å α
− Åçí α
+ Åçí α
+ í~å α
− í~å α
− Åçí α
+ Åçí α
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.7 Periodicity of Trigonometric Functions
392. ëáå(α ± Oπå ) = ëáå α I éÉêáçÇ Oπ çê PSM° K
393. Åçë(α ± Oπå ) = Åçë α I éÉêáçÇ Oπ çê PSM° K
394. í~å(α ± πå ) = í~å α I éÉêáçÇ π çê NUM° K
395. Åçí(α ± πå ) = Åçí α I éÉêáçÇ π çê NUM° K
4.8 Relations between Trigonometric
Functions
396. ëáå α = ± N − Åçë O α = ±
α
O
=
α
N + í~å O
O
N
(N − Åçë Oα ) = O Åçë O  α − π  − N
O
 O Q
O í~å
397. Åçë α = ± N − ëáå O α = ±
α
O
=
α
N + í~å O
O
N
(N + Åçë Oα ) = O Åçë O α − N
O
O
N − í~å O
398. í~å α =
ëáå α
ëáå Oα
N − Åçë Oα
= ± ëÉÅ O α − N =
=
Åçë α
N + Åçë Oα
ëáå Oα
90
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
α
N − Åçë Oα
O
=±
=
N + Åçë Oα
O α
N + í~å
O
O í~å
399. Åçí α =
Åçë α
N + Åçë Oα
ëáå Oα
= ± ÅëÅ O α − N =
=
ëáå α
ëáå Oα
N − Åçë Oα
α
N − í~å O
N + Åçë Oα
O
=±
=
α
N − Åçë Oα
O í~å
O
α
N
O
400. ëÉÅ α =
= ± N + í~å O α =
α
Åçë α
N − í~å O
O
N + í~å O
N
401. ÅëÅ α =
= ± N + Åçí O α =
ëáå α
α
O
α
O í~å
O
N + í~å O
4.9 Addition and Subtraction Formulas
402. ëáå(α + β) = ëáå α Åçë β + ëáå β Åçë α
403. ëáå(α − ó ) = ëáå α Åçë β − ëáå β Åçë α
404. Åçë(α + β ) = Åçë α Åçë β − ëáå α ëáå β
405. Åçë(α − β ) = Åçë α Åçë β + ëáå α ëáå β
91
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
406. í~å(α + β ) =
í~å α + í~å β
N − í~å α í~å β
407. í~å(α − β ) =
í~å α − í~å β
N + í~å α í~å β
408. Åçí(α + β) =
N − í~å α í~å β
í~å α + í~å β
409. Åçí(α − β) =
N + í~å α í~å β
í~å α − í~å β
4.10 Double Angle Formulas
410. ëáå Oα = O ëáå α ⋅ Åçë α
411. Åçë Oα = Åçë O α − ëáå O α = N − O ëáå O α = O Åçë O α − N
412. í~å Oα =
O í~å α
O
=
O
N − í~å α Åçí α − í~å α
Åçí O α − N Åçí α − í~å α
413. Åçí Oα =
=
O Åçí α
O
92
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.11 Multiple Angle Formulas
414. ëáå Pα = P ëáå α − Q ëáå P α = P Åçë O α ⋅ ëáå α − ëáåP α
415. ëáå Qα = Q ëáå α ⋅ Åçë α − U ëáå P α ⋅ Åçë α
416. ëáå Rα = R ëáå α − OM ëáå P α + NS ëáå R α
417. Åçë Pα = Q ÅçëP α − P Åçë α = Åçë P α − P Åçë α ⋅ ëáå O α
418. Åçë Qα = U Åçë Q α − U Åçë O α + N
419. Åçë Rα = NS Åçë R α − OM Åçë P α + R Åçë α
420. í~å Pα =
P í~å α − í~å P α
N − P í~å O α
Q í~å α − Q í~å P α
421. í~å Qα =
N − S í~å O α + í~å Q α
422. í~å Rα =
í~å R α − NM í~å P α + R í~å α
N − NM í~å O α + R í~å Q α
423. Åçí Pα =
Åçí P α − P Åçí α
P Åçí O α − N
424. Åçí Qα =
N − S í~å O α + í~å Q α
Q í~å α − Q í~å P α
93
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
425. Åçí Rα =
N − NM í~å O α + R í~å Q α
í~å R α − NM í~å P α + R í~å α
4.12 Half Angle Formulas
426. ëáå
α
N − Åçë α
=±
O
O
427. Åçë
α
N + Åçë α
=±
O
O
428. í~å
α
N − Åçë α
ëáå α
N − Åçë α
=±
=
=
= ÅëÅ α − Åçí α
O
N + Åçë α N + Åçë α
ëáå α
429. Åçí
α
N + Åçë α
ëáå α
N + Åçë α
=±
=
=
= ÅëÅ α + Åçí α
O
N − Åçë α N − Åçë α
ëáå α
4.13 Half Angle Tangent Identities
α
O
430. ëáå α =
α
N + í~å O
O
O í~å
94
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
α
O
431. Åçë α =
O α
N + í~å
O
N − í~å O
α
O
432. í~å α =
α
N − í~å O
O
O í~å
α
O
433. Åçí α =
α
O í~å
O
N − í~å O
4.14 Transforming of Trigonometric
Expressions to Product
434. ëáå α + ëáå β = O ëáå
α+β
α −β
Åçë
O
O
435. ëáå α − ëáå β = O Åçë
α +β
α −β
ëáå
O
O
436. Åçë α + Åçë β = O Åçë
α+β
α −β
Åçë
O
O
437. Åçë α − Åçë β = −O ëáå
α +β
α −β
ëáå
O
O
95
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
438. í~å α + í~å β =
ëáå(α + β )
Åçë α ⋅ Åçë β
439. í~å α − í~å β =
ëáå(α − β )
Åçë α ⋅ Åçë β
440. Åçí α + Åçí β =
ëáå(β + α )
ëáå α ⋅ ëáå β
441. Åçí α − Åçí β =
ëáå(β − α )
ëáå α ⋅ ëáå β
π

π

442. Åçë α + ëáå α = O Åçë − α  = O ëáå + α 
Q

Q

π

π

443. Åçë α − ëáå α = O ëáå − α  = O Åçë + α 
Q

Q

444. í~å α + Åçí β =
Åçë(α − β)
Åçë α ⋅ ëáå β
445. í~å α − Åçí β = −
Åçë(α + β )
Åçë α ⋅ ëáå β
446. N + Åçë α = O Åçë O
α
O
447. N − Åçë α = O ëáå O
α
O
96
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
π α
448. N + ëáå α = O Åçë O  − 
Q O
π α
449. N − ëáå α = O ëáå O  − 
Q O
4.15 Transforming of Trigonometric
Expressions to Sum
450. ëáå α ⋅ ëáå β =
Åçë(α − β) − Åçë(α + β )
O
451. Åçë α ⋅ Åçë β =
Åçë(α − β ) + Åçë(α + β )
O
452. ëáå α ⋅ Åçë β =
ëáå(α − β ) + ëáå(α + β )
O
453. í~å α ⋅ í~å β =
í~å α + í~å β
Åçí α + Åçí β
454. Åçí α ⋅ Åçí β =
Åçí α + Åçí β
í~å α + í~å β
455. í~å α ⋅ Åçí β =
í~å α + Åçí β
Åçí α + í~å β
97
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.16 Powers of Trigonometric Functions
456. ëáå O α =
N − Åçë Oα
O
457. ëáå P α =
P ëáå α − ëáå Pα
Q
458. ëáå Q α =
Åçë Qα − Q Åçë Oα + P
U
459. ëáå R α =
NM ëáå α − R ëáå Pα + ëáå Rα
NS
460. ëáå S α =
NM − NR Åçë Oα + S Åçë Qα − Åçë Sα
PO
461. Åçë O α =
N + Åçë Oα
O
462. Åçë P α =
P Åçë α + Åçë Pα
Q
463. Åçë Q α =
Åçë Qα + Q Åçë Oα + P
U
464. Åçë R α =
NM Åçë α + R ëáå Pα + Åçë Rα
NS
465. Åçë S α =
NM + NR Åçë Oα + S Åçë Qα + Åçë Sα
PO
98
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.17 Graphs of Inverse Trigonometric
Functions
466. fåîÉêëÉ páåÉ cìåÅíáçå
ó = ~êÅëáå ñ I − N ≤ ñ ≤ N I −
π
π
≤ ~êÅëáå ñ ≤ K
O
O
Figure 66.
467. fåîÉêëÉ `çëáåÉ cìåÅíáçå
ó = ~êÅÅçë ñ I − N ≤ ñ ≤ N I M ≤ ~êÅÅçë ñ ≤ π K
99
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
Figure 67.
468. fåîÉêëÉ q~åÖÉåí cìåÅíáçå
ó = ~êÅí~å ñ I − ∞ ≤ ñ ≤ ∞ I −
π
π
< ~êÅí~å ñ < K
O
O
Figure 68.
100
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
469. fåîÉêëÉ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå
ó = ~êÅ Åçí ñ I − ∞ ≤ ñ ≤ ∞ I M < ~êÅ Åçí ñ < π K
Figure 69.
470. fåîÉêëÉ pÉÅ~åí cìåÅíáçå
 π  π 
ó = ~êÅëÉÅ ñ I ñ ∈ (− ∞I − N] ∪ [NI ∞ )I ~êÅ ëÉÅ ñ ∈ MI  ∪  I πK
 O  O 
Figure 70.
101
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
471. fåîÉêëÉ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå
 π   π
ó = ~êÅÅëÅ ñ I ñ ∈ (− ∞I − N] ∪ [NI ∞ )I ~êÅ ÅëÅ ñ ∈ − I M  ∪  MI K
 O   O
Figure 71.
4.18 Principal Values of Inverse
Trigonometric Functions
472.
ñ
~êÅëáå ñ
~êÅÅçë ñ
ñ
~êÅëáå ñ
~êÅÅçë ñ
M
M°
VM°
N
−
O
− PM°
NOM°
N
O
PM°
SM°
O
−
O
O
O
QR°
QR°
P
−
O
− QR°
− SM°
NPR°
NRM°
P
O
SM°
PM°
−N
− VM°
NUM°
102
http://fribok.blogspot.com/
N
VM°
M°
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
473.
ñ
M
P
P
N
P
~êÅí~å ñ
M°
PM°
QR°
SM°
− PM°
~êÅ Åçí ñ
VM°
SM°
QR°
PM°
NOM°
−
P
P
4.19 Relations between Inverse
Trigonometric Functions
474. ~êÅëáå(− ñ ) = − ~êÅëáå ñ
475. ~êÅëáå ñ =
π
− ~êÅÅçë ñ
O
476. ~êÅëáå ñ = ~êÅÅçë N − ñ O I M ≤ ñ ≤ N K
477. ~êÅëáå ñ = − ~êÅÅçë N − ñ O I − N ≤ ñ ≤ M K
478. ~êÅëáå ñ = ~êÅí~å
ñ
N− ñ
O
O
I ñ < NK
479. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí
N− ñO
I M < ñ ≤ NK
ñ
480. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí
N− ñO
− π I −N≤ ñ < M K
ñ
481. ~êÅÅçë(− ñ ) = π − ~êÅÅçë ñ
103
http://fribok.blogspot.com/
−N
− QR°
NPR°
− P
− SM°
NRM°
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
482. ~êÅÅçë ñ =
π
− ~êÅëáå ñ
O
483. ~êÅÅçë ñ = ~êÅëáå N − ñ O I M ≤ ñ ≤ N K
484. ~êÅÅçë ñ = π − ~êÅëáå N − ñ O I − N ≤ ñ ≤ M K
485. ~êÅÅçë ñ = ~êÅí~å
N− ñO
I M < ñ ≤ NK
ñ
N− ñO
I −N≤ ñ < M K
ñ
486. ~êÅÅçë ñ = π + ~êÅí~å
487. ~êÅÅçë ñ = ~êÅ Åçí
ñ
N− ñO
I −N≤ ñ ≤ NK
488. ~êÅí~å(− ñ ) = − ~êÅí~å ñ
489. ~êÅí~å ñ =
π
− ~êÅ Åçí ñ
O
490. ~êÅí~å ñ = ~êÅëáå
491. ~êÅí~å ñ = ~êÅÅçë
492. ~êÅí~å ñ = − ~êÅÅçë
ñ
N+ ñO
N
N+ ñO
I ñ ≥MK
N
N+ ñO
I ñ ≤MK
104
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
493. ~êÅí~å ñ =
π
N
− ~êÅí~å I ñ > M K
ñ
O
π
N
494. ~êÅí~å ñ = − − ~êÅí~å I ñ < M K
ñ
O
495. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí
N
I ñ >MK
ñ
N
496. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí − π I ñ < M K
ñ
497. ~êÅ Åçí(− ñ ) = π − ~êÅ Åçí ñ
498. ~êÅ Åçí ñ =
π
− ~êÅí~å ñ
O
499. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅëáå
N
N+ ñO
N
500. ~êÅ Åçí ñ = π − ~êÅëáå
501. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅÅçë
502. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅí~å
I ñ >MK
N+ ñO
I ñ <MK
ñ
N+ ñO
N
I ñ > MK
ñ
503. ~êÅ Åçí ñ = π + ~êÅí~å
N
I ñ <MK
ñ
105
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.20 Trigonometric Equations
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
504. ëáå ñ = ~ I ñ = (− N) ~êÅëáå ~ + πå
å
505. Åçë ñ = ~ I ñ = ± ~êÅÅçë ~ + Oπå
506. í~å ñ = ~ I ñ = ~êÅí~å ~ + πå
507. Åçí ñ = ~ I ñ = ~êÅ Åçí ~ + πå
4.21 Relations to Hyperbolic Functions
fã~Öáå~êó ìåáíW á
508. ëáå(áñ ) = á ëáåÜ ñ
509. í~å(áñ ) = á í~åÜ ñ
510. Åçí(áñ ) = −á ÅçíÜ ñ
511. ëÉÅ(áñ ) = ëÉÅÜ ñ
512. ÅëÅ(áñ ) = −á ÅëÅÜ ñ
106
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 5
Matrices and Determinants
j~íêáÅÉëW ^I _I `
bäÉãÉåíë çÑ ~ ã~íêáñW ~ á I Äá I ~ áà I Äáà I Å áà
aÉíÉêãáå~åí çÑ ~ ã~íêáñW ÇÉí ^
jáåçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí ~ áà W j áà
`çÑ~Åíçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí ~ áà W ` áà
ú
qê~åëéçëÉ çÑ ~ ã~íêáñW ^ q I ^
^Çàçáåí çÑ ~ ã~íêáñW ~Çà ^
qê~ÅÉ çÑ ~ ã~íêáñW íê ^
fåîÉêëÉ çÑ ~ ã~íêáñW ^ −N
oÉ~ä åìãÄÉêW â
oÉ~ä î~êá~ÄäÉëW ñ á
k~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI å
5.1 Determinants
513. pÉÅçåÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
~ ÄN
ÇÉí ^ = N
= ~ N Ä O − ~ O ÄN
~ O ÄO
107
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
514. qÜáêÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
~NN ~NO ~NP
ÇÉí ^ = ~ ON ~ OO ~ OP = ~NN~ OO~ PP + ~NO~ OP~ PN + ~ NP~ ON~ PO −
~ PN ~ PO ~ PP
− ~NN~ OP~ PO − ~NO~ ON~ PP − ~ NP~ OO~ PN
515. p~êêìë oìäÉ E^êêçï oìäÉF
Figure 72.
516. k-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
~NN ~NO K ~Nà K ~Nå
~ ON ~ OO K ~ O à K ~ Oå
K K K K K K
ÇÉí ^ =
~ áN ~ á O K ~ áà K ~ áå
K K K K K K
~ åN ~ å O K ~ åà K ~ åå
517. jáåçê
qÜÉ ãáåçê j áà ~ëëçÅá~íÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÉäÉãÉåí ~ áà çÑ å-íÜ çêÇÉê
ã~íêáñ ^ áë íÜÉ (å − N) -íÜ çêÇÉê ÇÉíÉêãáå~åí ÇÉêáîÉÇ Ñêçã
íÜÉ ã~íêáñ ^ Äó ÇÉäÉíáçå çÑ áíë á-íÜ êçï ~åÇ à-íÜ ÅçäìãåK
108
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
518. `çÑ~Åíçê
á +à
` áà = (− N) j áà
519. i~éä~ÅÉ bñé~åëáçå çÑ å-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
i~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ á-íÜ êçï
å
ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I á = NI OI KI å K
à=N
i~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ à-íÜ Åçäìãå
å
ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I à = NI OI KI å K
á =N
5.2 Properties of Determinants
520. qÜÉ î~äìÉ çÑ ~ ÇÉíÉêãáå~åí êÉã~áåë ìåÅÜ~åÖÉÇ áÑ êçïë ~êÉ
ÅÜ~åÖÉÇ íç Åçäìãåë ~åÇ Åçäìãåë íç êçïëK
~N ~ O ~N ÄN
=
ÄN ÄO ~ O ÄO
521. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉ ëáÖå çÑ
íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ÅÜ~åÖÉÇK
~N ÄN
~ ÄO
=− O
~ O ÄO
~N ÄN
522. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áÇÉåíáÅ~äI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉ
ÇÉíÉêãáå~åí áë òÉêçK
~N ~N
=M
~O ~O
109
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
523. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ ãìäíáéäáÉÇ Äó
~ Åçããçå Ñ~ÅíçêI íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ãìäíáéäáÉÇ Äó íÜ~í
Ñ~ÅíçêK
â~ N âÄN
~ ÄN
=â N
~ O ÄO
~ O ÄO
524. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ áåÅêÉ~ëÉÇ Eçê
ÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó Éèì~ä ãìäíáéäÉë çÑ íÜÉ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíë
çÑ ~åó çíÜÉê êçï Eçê ÅçäìãåFI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí
áë ìåÅÜ~åÖÉÇK
~N + âÄN ÄN ~N ÄN
=
~ O + âÄO ÄO ~ O ÄO
5.3 Matrices
525. aÉÑáåáíáçå
^å ã × å ã~íêáñ ^ áë ~ êÉÅí~åÖìä~ê ~êê~ó çÑ ÉäÉãÉåíë EåìãÄÉêë çê ÑìåÅíáçåëF ïáíÜ ã êçïë ~åÇ å ÅçäìãåëK
 ~ NN ~ NO K ~ Nå 
~
~ OO K ~ Oå 
ON


^ = ~ áà =
 M
M
M 


~ ãN ~ ã O K ~ ãå 
[ ]
526. pèì~êÉ ã~íêáñ áë ~ ã~íêáñ çÑ çêÇÉê å × å K
[ ]
527. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ ~ áà áë ëóããÉíêáÅ áÑ ~ áà = ~ àá I áKÉK áí áë
ëóããÉíêáÅ ~Äçìí íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK
[ ]
528. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ ~ áà áë ëâÉï-ëóããÉíêáÅ áÑ ~ áà = −~ àá K
110
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
529. aá~Öçå~ä ã~íêáñ áë ~ ëèì~êÉ ã~íêáñ ïáíÜ ~ää ÉäÉãÉåíë òÉêç
ÉñÅÉéí íÜçëÉ çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK
530. råáí ã~íêáñ áë ~ Çá~Öçå~ä ã~íêáñ áå ïÜáÅÜ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çå
íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~ä ~êÉ ~ää ìåáíóK qÜÉ ìåáí ã~íêáñ áë
ÇÉåçíÉÇ Äó fK
531. ^ åìää ã~íêáñ áë çåÉ ïÜçëÉ ÉäÉãÉåíë ~êÉ ~ää òÉêçK
5.4 Operations with Matrices
532. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ ~êÉ Éèì~ä áÑI ~åÇ çåäó áÑI íÜÉó ~êÉ ÄçíÜ
çÑ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ ã × å ~åÇ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíë ~êÉ
Éèì~äK
533. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ Å~å ÄÉ ~ÇÇÉÇ Eçê ëìÄíê~ÅíÉÇF çÑI ~åÇ
çåäó áÑI íÜÉó Ü~îÉ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ ã × å K fÑ
 ~NN ~NO K ~Nå 
~
~ OO K ~ Oå 
I
^ = ~ áà =  ON
 M
M
M 


~ ãN ~ ã O K ~ ãå 
 ÄNN ÄNO K ÄNå 
Ä
ÄOO K ÄOå 
I
_ = Äáà =  ON
 M
M
M 


ÄãN Äã O K Äãå 
[ ]
[ ]
111
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
íÜÉå
~NO + ÄNO K ~ Nå + ÄNå 
 ~NN + ÄNN
~ +Ä
~ OO + ÄOO K ~ Oå + ÄOå 
ON
ON

K
^+_=


M
M
M


~ ãN + ÄãN ~ ã O + Äã O K ~ ãå + Äãå 
[ ]
534. fÑ â áë ~ ëÅ~ä~êI ~åÇ ^ = ~ áà áë ~ ã~íêáñI íÜÉå
 â~NN â~NO K â~Nå 
 â~
â~ OO K â~ Oå 
ON

K
â^ = â~ áà =
 M
M
M 


â~ ãN â~ ã O K â~ ãå 
[ ]
535. jìäíáéäáÅ~íáçå çÑ qïç j~íêáÅÉë
qïç ã~íêáÅÉë Å~å ÄÉ ãìäíáéäáÉÇ íçÖÉíÜÉê çåäó ïÜÉå íÜÉ
åìãÄÉê çÑ Åçäìãåë áå íÜÉ Ñáêëí áë Éèì~ä íç íÜÉ åìãÄÉê çÑ
êçïë áå íÜÉ ëÉÅçåÇK
fÑ
 ~NN
~
^ = ~ áà =  ON
 M

~ ãN
 ÄNN
Ä
_ = Äáà =  ON
 M

 Ä åN
[ ]
[ ]
~NO
~ OO
M
~ãO
ÄNO
ÄOO
M
Äå O
K ~Nå 
K ~ Oå 
I
M 

K ~ ãå 
K ÄNâ 
K ÄO â 
I
M 

K Äåâ 
112
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
íÜÉå
 ÅNN ÅNO K ÅNâ 
Å
Å OO K Å O â 
ON

I
^_ = ` =
 M
M
M 


Ä ãN Å ã O K Å ãâ 
ïÜÉêÉ
å
Å áà = ~ áNÄNà + ~ á O ÄO à + K + ~ áå Äåà = ∑ ~ á λ Äλ à
E á = NI OI KI ã X à = NI OI KI â FK
λ =N
qÜìë áÑ
[ ]
~ NN
^ = ~ áà = 
~ ON
~ NO
~ OO
 ÄN 
~ NP 
I _ = [Ä á ] = Ä O  I


~ OP 
ÄP 
íÜÉå
~ NO
~
^_ =  NN
~ ON ~ OO
Ä 
~ NP   N  ~ NNÄN
⋅ Ä =
~ OP   O  ~ ONÄN
ÄP 
~ NO Ä O
~ OO Ä O
~ NP ÄP 
K
~ OP ÄP 
536. qê~åëéçëÉ çÑ ~ j~íêáñ
fÑ íÜÉ êçïë ~åÇ Åçäìãåë çÑ ~ ã~íêáñ ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉå
íÜÉ åÉï ã~íêáñ áë Å~ääÉÇ íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñK
fÑ ^ áë íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñI áíë íê~åëéçëÉ áë ÇÉåçíÉÇ ^ q çê
ú
^K
537. qÜÉ ã~íêáñ ^ áë çêíÜçÖçå~ä áÑ ^^ q = f K
538. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå
(^_ )q = _ q ^ q K
113
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
539. ^Çàçáåí çÑ j~íêáñ
fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI áíë ~ÇàçáåíI ÇÉåçíÉÇ Äó ~Çà ^ I
áë íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ ã~íêáñ çÑ ÅçÑ~Åíçêë ` áà çÑ ^W
[ ]
~Çà ^ = ` áà K
q
540. qê~ÅÉ çÑ ~ j~íêáñ
fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI áíë íê~ÅÉI ÇÉåçíÉÇ Äó íê ^ I áë
ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ íÜÉ ëìã çÑ íÜÉ íÉêãë çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äW
íê ^ = ~NN + ~ OO + K + ~ åå K
541. fåîÉêëÉ çÑ ~ j~íêáñ
fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñ ïáíÜ ~ åçåëáåÖìä~ê ÇÉíÉêãáå~åí
ÇÉí ^ I íÜÉå áíë áåîÉêëÉ ^ −N áë ÖáîÉå Äó
~Çà ^
K
^ −N =
ÇÉí ^
542. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå
(^_)−N = _ −N^ −N K
543. fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI íÜÉ ÉáÖÉåîÉÅíçêë u ë~íáëÑó
íÜÉ Éèì~íáçå
^u = λu I
ïÜáäÉ íÜÉ ÉáÖÉåî~äìÉë λ ë~íáëÑó íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå
^ − λf = M K
5.5 Systems of Linear Equations
s~êá~ÄäÉëW ñI óI òI ñ N I ñ O I K
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~ N I ~ O I ~ P I ÄN I ~ NN I ~ NO I K
114
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
aÉíÉêãáå~åíëW aI añ I aó I aò
j~íêáÅÉëW ^I _I u
~ ñ + ÄNó = ÇN
I
544.  N
~ O ñ + ÄO ó = Ç O
aó
a
E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI
ñ= ñ I ó=
a
a
ïÜÉêÉ
~ ÄN
a= N
= ~NÄO − ~ O ÄN I
~ O ÄO
Ç ÄN
añ = N
= ÇNÄO − Ç O ÄN I
Ç O ÄO
~ ÇN
aó = N
= ~NÇ O − ~ OÇN K
~ O ÇO
545. fÑ a ≠ M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW
aó
a
K
ñ= ñ I ó=
a
a
fÑ a = M ~åÇ añ ≠ M Eçê aó ≠ M FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë åç
ëçäìíáçåK
fÑ a = añ = aó = M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó
ëçäìíáçåëK
~Nñ + ÄNó + ÅNò = ÇN

546. ~ O ñ + ÄO ó + Å Oò = Ç O I
~ ñ + Ä ó + Å ò = Ç
P
P
P
 P
ñ=
aó
añ
a
I ó=
I ò = ò E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI
a
a
a
115
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
ïÜÉêÉ
~N
a = ~O
~P
ÄN
ÅN
ÇN
ÄN
ÅN
ÄO
Å O I añ = Ç O
ÄO
ÅO I
ÄP
ÅP
ÄP
ÅP
ÇP
~N
ÇN
ÅN
~N
ÄN
ÇN
aó = ~ O
~P
ÇO
ÇP
Å O I aò = ~ O
ÅP
~P
ÄO
ÄP
ÇO K
ÇP
547. fÑ a ≠ M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW
aó
a
a
I ò= ò K
ñ= ñ I ó=
a
a
a
fÑ a = M ~åÇ añ ≠ M Eçê aó ≠ M çê aò ≠ M FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã
Ü~ë åç ëçäìíáçåK
fÑ a = añ = aó = aò = M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó
ã~åó ëçäìíáçåëK
548. j~íêáñ cçêã çÑ ~ póëíÉã çÑ å iáåÉ~ê bèì~íáçåë áå
å råâåçïåë
qÜÉ ëÉí çÑ äáåÉ~ê Éèì~íáçåë
~NNñ N + ~ NO ñ O + K + ~Nå ñ å = ÄN
~ ñ + ~ ñ + K + ~ ñ = Ä
 ON N OO O
Oå å
O

K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K

~ åNñ N + ~ å O ñ O + K + ~ åå ñ å = Äå
Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå ã~íêáñ Ñçêã
 ~ NN ~ NO K ~ Nå   ñ N   ÄN 

    
 ~ ON ~ OO K ~ Oå   ñ O   Ä O 
⋅
=
I
 M
M
M   M   M 

    
~
    
 åN ~ å O K ~ åå   ñ å   Ä å 
áKÉK
^⋅u = _I
116
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
ïÜÉêÉ
 ~ NN

~
^ =  ON
M

~
 åN
~ NO K ~ Nå 
 ñN 
 ÄN 
 
 

~ OO K ~ Oå 
 ñO 
 ÄO 
=
=
u
_
I
I
 M 
 M K
M
M 
 
 

ñ 
Ä 
~ å O K ~ åå 
 å
 å
549. pçäìíáçå çÑ ~ pÉí çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë å × å
u = ^ −N ⋅ _ I
ïÜÉêÉ ^ −N áë íÜÉ áåîÉêëÉ çÑ ^K
117
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 6
Vectors
r r r r →
sÉÅíçêëW ì I î I ï I ê I ^_ I £
r r
sÉÅíçê äÉåÖíÜW ì I î I £
r r r
råáí îÉÅíçêëW á I à I â
r
kìää îÉÅíçêW M
r
`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê ì W uN I vN I wN
r
`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê î W u O I vO I wO
pÅ~ä~êëW λ I µ
aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW Åçë α I Åçë β I Åçë γ
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç îÉÅíçêëW θ
6.1 Vector Coordinates
550. råáí sÉÅíçêë
r
á = (NI MI M) I
r
à = (MI NI M) I
r
â = (MI MI N) I
r r r
á = à = â = NK
r
r
r
r →
551. ê = ^_ = (ñ N − ñ M ) á + (ó N − ó M ) à + (ò N − ò M ) â
118
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 73.
552.
→
r
ê = ^_ =
(ñ N − ñ M )O + (óN − ó M )O + (òN − ò M )O
→
→
r
r
553. fÑ ^_ = ê I íÜÉå _^ = − ê K
Figure 74.
r
554. u = ê Åçë α I
r
v = ê Åçë β I
r
w = ê Åçë γ K
119
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 75.
r
r
555. fÑ ê (uI v I w ) = êN (uN I vN I wN ) I íÜÉå
u = uN I v = vN I w = wN K
6.2 Vector Addition
r r r
556. ï = ì + î
Figure 76.
120
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 77.
r
r r r r
557. ï = ìN + ì O + ìP + K + ì å
Figure 78.
558. `çããìí~íáîÉ i~ï
r r r r
ì+ î =î+ì
559. ^ëëçÅá~íáîÉ i~ï
(ìr + îr ) + ïr = ìr + (îr + ïr )
r r
560. ì + î = (uN + u O I vN + vO I wN + wO )
121
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
6.3 Vector Subtraction
r r r r r r
561. ï = ì − î áÑ î + ï = ì K
Figure 79.
Figure 80.
r r r
r
562. ì − î = ì + (− î )
r r r
563. ì − ì = M = (MI MI M )
564.
r
M =M
r r
565. ì − î = (uN − u O I vN − vO I wN − w O ) I
6.4 Scaling Vectors
r
r
566. ï = λì
122
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 81.
567.
r
r
ï = λ⋅ì
r
568. λì = (λuI λv I λw )
r r
569. λì = ìλ
570.
(λ + µ ) ìr = λìr + µìr
r
r
r
571. λ(µì ) = µ(λì ) = (λµ )ì
r r
r
r
572. λ(ì + î ) = λì + λî
6.5 Scalar Product
r
r
573. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ì ~åÇ î
r r r r
ì ⋅ î = ì ⋅ î ⋅ Åçë θ I
r
r
ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå îÉÅíçêë ì ~åÇ î K
123
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 82.
574. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
r
r
fÑ ì = (uN I vN I wN ) I î = (u O I vO I w O ) I íÜÉå
r r
ì ⋅ î = uNu O + vNvO + wNwO K
575. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë
r
r
fÑ ì = (uN I vN I wN ) I î = (u O I vO I w O ) I íÜÉå
uNu O + vNvO + wNw O
K
Åçë θ =
O
O
O
O
O
O
uN + vN + wN u O + vO + w O
576. `çããìí~íáîÉ mêçéÉêíó
r r r r
ì⋅î = î ⋅ì
577. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó
(λìr ) ⋅ (µîr ) = λµìr ⋅ îr
578. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó
r r r r r r r
ì ⋅ (î + ï ) = ì ⋅ î + ì ⋅ ï
π
r r
r r
579. ì ⋅ î = M áÑ ì I î ~êÉ çêíÜçÖçå~ä E θ = FK
O
π
r r
580. ì ⋅ î > M áÑ M < θ < K
O
124
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
π
r r
581. ì ⋅ î < M áÑ < θ < π K
O
r r r r
582. ì ⋅ î ≤ ì ⋅ î
r r r r
r r
583. ì ⋅ î = ì ⋅ î áÑ ì I î ~êÉ é~ê~ääÉä E θ = M FK
r
584. fÑ ì = (uN I vN I wN ) I íÜÉå
r r r
rO
O
O
O
ì ⋅ ì = ì O = ì = uN + vN + wN K
r r r r r r
585. á ⋅ á = à ⋅ à = â ⋅ â = N
r r r r r r
586. á ⋅ à = à ⋅ â = â ⋅ á = M
6.6 Vector Product
r
r
587. sÉÅíçê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ì ~åÇ î
r r r
ì × î = ï I ïÜÉêÉ
π
r r r
•
ï = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ I ïÜÉêÉ M ≤ θ ≤ X
O
r r
r r
•
ï ⊥ì
~åÇ ï ⊥ î X
r r r
•
sÉÅíçêë ì I î I ï Ñçêã ~ êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ ëÅêÉïK
125
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 83.
r
â
wN
wO
r
á
r r r
588. ï = ì × î = u N
uO
r
à
vN
vO
r r r v
589. ï = ì × î =  N
 vO
wN
u
I− N
wO
uO
wN uN
I
wO uO
vN
vO
r r r r
590. p = ì × î = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ EcáÖKUPF
591. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë EcáÖKUPF
r r
ì× î
ëáå θ = r r
ì⋅î
592. kçåÅçããìí~íáîÉ mêçéÉêíó
r r
r r
ì × î = − (î × ì )
593. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó
(λìr )× (µîr ) = λµìr × îr
126
http://fribok.blogspot.com/




CHAPTER 6. VECTORS
594. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó
r r r r r r r
ì × (î + ï ) = ì × î + ì × ï
r r r r
r
595. ì × î = M áÑ ì ~åÇ î ~êÉ é~ê~ääÉä E θ = M FK
r r r r r r r
596. á × á = à × à = â × â = M
r r r r r r r r r
597. á × à = â I à × â = á I â × á = à
6.7 Triple Product
598. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí
[ìr îrïr ] = ìr ⋅ (îr × ïr ) = îr ⋅ (ïr × ìr ) = ïr ⋅ (ìr × îr )
599.
[ìr îrïr ] = [ïr ìr îr ] = [îrïr ìr ] = −[îrìr ïr ] = −[ïr îrìr ] = −[ìr ïr îr ]
r r r
rr r
600. âì ⋅ (î × ï ) = â[ìîï ]
601. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
uN vN wN
r r r
ì ⋅ (î × ï ) = u O vO w O I
uP vP wP
ïÜÉêÉ
r
r
r
ì = (uN I vN I wN ) I î = (u O I vO I w O ) I ï = (uP I vP I wP ) K
602. sçäìãÉ çÑ m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ
r r r
s = ì ⋅ (î × ï )
127
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 84.
603. sçäìãÉ çÑ móê~ãáÇ
Nr r r
s = ì ⋅ (î × ï )
S
Figure 85.
r r r
r r
r
604. fÑ ì ⋅ (î × ï ) = M I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ì I î I ~åÇ ï ~êÉ äáåÉ~êäó
r
r
r
ÇÉéÉåÇÉåí I ëç ï = λì + µî Ñçê ëçãÉ ëÅ~ä~êë λ ~åÇ µ K
r r r
r r
r
605. fÑ ì ⋅ (î × ï ) ≠ M I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ì I î I ~åÇ ï ~êÉ äáåÉ~êäó
áåÇÉéÉåÇÉåíK
128
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
606. sÉÅíçê qêáéäÉ mêçÇìÅí
r r r
r r r r r r
ì × (î × ï ) = (ì ⋅ ï )î − (ì ⋅ î )ï
129
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 7
Analytic Geometry
7.1 One-Dimensional Coordinate System
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñ M I ñ N I ñ O I ó M I ó N I ó O
oÉ~ä åìãÄÉêW λ
aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç
607. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
Ç = ^_ = ñ O − ñ N = ñ N − ñ O
Figure 86.
608. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ
ñ + λñ O
^`
I λ=
ñM = N
I λ ≠ −N K
N+ λ
`_
Figure 87.
130
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
609. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
ñ + ñO
I λ =NK
ñM = N
O
7.2 Two-Dimensional Coordinate System
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñ M I ñ N I ñ O I ó M I ó N I ó O
mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW êI ϕ
oÉ~ä åìãÄÉêW λ
mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI
aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç
^êÉ~W p
610. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
Ç = ^_ =
(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O
Figure 88.
131
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
611. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ
ñ + λñ O
ó + λó O
ñM = N
I óM = N
I
N+ λ
N+ λ
^`
λ=
I λ ≠ −N K
`_
Figure 89.
132
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 90.
612. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
ñ + ñO
ó + óO
I óM = N
I λ =NK
ñM = N
O
O
613. `ÉåíêçáÇ EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ jÉÇá~åëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
ñ + ñ O + ñP
ó + óO + óP
ñM = N
I óM = N
I
P
P
ïÜÉêÉ ^(ñ N I ó N ) I _(ñ O I ó O ) I ~åÇ `(ñ P I ó P ) ~êÉ îÉêíáÅÉë çÑ
íÜÉ íêá~åÖäÉ ^_` K
133
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 91.
614. fåÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^åÖäÉ _áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
~ñ + Äñ O + Åñ P
~ó + Äó O + Åó P
ñM = N
I óM = N
I
~ +Ä+Å
~ +Ä+Å
ïÜÉêÉ ~ = _` I Ä = `^ I Å = ^_ K
Figure 92.
134
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
615. `áêÅìãÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ íÜÉ páÇÉ mÉêéÉåÇáÅìä~ê
_áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
ñ NO + ó NO ó N N
ñ N ñ NO + ó NO N
ñM =
ñ OO + ó OO
ñ PO + ó PO
ñN
O ñO
ñP
óO N
óP N
óN N
óO N
óP N
I óM =
ñO
ñP
ñ OO + ó OO N
ñ PO + ó PO N
ñN
O ñO
ñP
óN N
óO N
óP N
Figure 93.
135
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
616. lêíÜçÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^äíáíìÇÉëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
ó N ñ O ñ P + ó NO N
ñ NO + ó O ó P ñ N N
ñM =
óO
óP
ñ P ñ N + ó OO N
ñ Nñ O + ó PO N
ñN
ñO
ñP
óN N
óO N
óP N
I óM =
ñ OO + ó P ó N
ñ PO + ó Nó O
ñN
ñO
ñP
ñO N
ñP N
óN N
óO N
óP N
Figure 94.
617. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉ
ñ N óN N
N
N ñ O − ñN
p = (± ) ñ O ó O N = (± )
O
O ñ P − ñN
ñP óP N
ó O − óN
ó P − óN
136
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
618. ^êÉ~ çÑ ~ nì~Çêáä~íÉê~ä
N
p = (± ) [(ñ N − ñ O )(ó N + ó O ) + (ñ O − ñ P )(ó O + ó P ) +
O
+ (ñ P − ñ Q )(ó P + ó Q ) + (ñ Q − ñ N )(ó Q + ó N )]
Figure 95.
kçíÉW få Ñçêãìä~ë SNTI SNU ïÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëç
íÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ ~åëïÉê Ñçê ~êÉ~K
619. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
Ç = ^_ = êNO + êOO − OêNêO Åçë(ϕ O − ϕN )
137
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 96.
620. `çåîÉêíáåÖ oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë íç mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
ñ = ê Åçë ϕ I ó = ê ëáå ϕ K
Figure 97.
621. `çåîÉêíáåÖ mçä~ê `ççêÇáå~íÉë íç oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë
ó
ê = ñ O + ó O I í~å ϕ = K
ñ
138
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
7.3 Straight Line in Plane
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW uI vI ñI ñ M I ñ N I ó M I ó N I ~N I ~ O I £
oÉ~ä åìãÄÉêëW âI ~I ÄI éI íI ^I _I `I ^N I ^ O I £
^åÖäÉëW α I β
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ
r
kçêã~ä îÉÅíçêW å
r r r
mçëáíáçå îÉÅíçêëW ê I ~ I Ä
622. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ
^ñ + _ó + ` = M
623. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ píê~áÖÜí iáåÉ
r
qÜÉ îÉÅíçê å(^I _ ) áë åçêã~ä íç íÜÉ äáåÉ ^ñ + _ó + ` = M K
Figure 98.
624. bñéäáÅáí bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí cçêãF
ó = âñ + Ä K
139
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
qÜÉ Öê~ÇáÉåí çÑ íÜÉ äáåÉ áë â = í~å α K
Figure 99.
625. dê~ÇáÉåí çÑ ~ iáåÉ
ó − óN
â = í~å α = O
ñ O − ñN
Figure 100.
140
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
626. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ dáîÉå ~ mçáåí ~åÇ íÜÉ dê~ÇáÉåí
ó = ó M + â (ñ − ñ M ) I
ïÜÉêÉ â áë íÜÉ Öê~ÇáÉåíI m(ñ M I ó M ) áë ~ éçáåí çå íÜÉ äáåÉK
Figure 101.
627. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ qÜ~í m~ëëÉë qÜêçìÖÜ qïç mçáåíë
ó − óN
ñ − ñN
=
ó O − óN ñ O − ñN
çê
ñ ó N
ñN óN N = M K
ñO óO N
141
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 102.
628. fåíÉêÅÉéí cçêã
ñ ó
+ =N
~ Ä
Figure 103.
142
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
629. kçêã~ä cçêã
ñ Åçë β + ó ëáå β − é = M
Figure 104.
630. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã
ñ − ñ N ó − óN
=
I
u
v
ïÜÉêÉ (uI v ) áë íÜÉ ÇáêÉÅíáçå çÑ íÜÉ äáåÉ ~åÇ mN (ñ N I ó N ) äáÉë
çå íÜÉ äáåÉK
143
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 105.
631. sÉêíáÅ~ä iáåÉ
ñ =~
632. eçêáòçåí~ä iáåÉ
ó=Ä
633. sÉÅíçê bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ
r r r
ê = ~ + íÄ I
ïÜÉêÉ
l áë íÜÉ çêáÖáå çÑ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉëI
u áë ~åó î~êá~ÄäÉ éçáåí çå íÜÉ äáåÉI
r
~ áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~ âåçïå éçáåí ^ çå íÜÉ äáåÉ I
r
Ä áë ~ âåçïå îÉÅíçê çÑ ÇáêÉÅíáçåI é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉI
í áë ~ é~ê~ãÉíÉêI
r →
ê = lu áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~åó éçáåí u çå íÜÉ äáåÉK
144
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 106.
634. píê~áÖÜí iáåÉ áå m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
ñ = ~N + íÄN
I

ó = ~ O + íÄO
ïÜÉêÉ
(ñ I ó ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI
(~N I ~ O ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ âåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI
(ÄN I ÄO ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ îÉÅíçê é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉI
í áë ~ é~ê~ãÉíÉêK
145
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 107.
635. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ iáåÉ
qÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí m(~ I Ä) íç íÜÉ äáåÉ
^ñ + _ó + ` = M áë
^~ + _Ä + `
Ç=
K
^O + _O
Figure 108.
146
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
636. m~ê~ääÉä iáåÉë
qïç äáåÉë ó = â Nñ + ÄN ~åÇ ó = â O ñ + ÄO ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
âN = â O K
qïç äáåÉë ^Nñ + _Nó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _O ó + ` O = M ~êÉ
é~ê~ääÉä áÑ
^N _N
=
K
^ O _O
Figure 109.
637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉë
qïç äáåÉë ó = â Nñ + ÄN ~åÇ ó = â O ñ + ÄO ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ
N
âO = −
çêI Éèìáî~äÉåíäóI â Nâ O = −N K
âN
qïç äáåÉë ^Nñ + _Nó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` O = M ~êÉ
éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ
^N^ O + _N_ O = M K
147
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 110.
638. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç iáåÉë
â − âN
í~å ϕ = O
I
N + â Nâ O
^N^ O + _N_ O
K
Åçë ϕ =
^NO + _NO ⋅ ^ OO + _ OO
148
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 111.
639. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë
fÑ íïç äáåÉë ^Nñ + _Nó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` O = M áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå éçáåí Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë
− ^N` O + ^ O`N
− `N_ O + ` O_N
K
ñM =
I óM =
^N_ O − ^ O_N
^N_ O − ^ O_N
7.4 Circle
o~ÇáìëW o
`ÉåíÉê çÑ ÅáêÅäÉW (~ I Ä)
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI ñ N I ó N I £
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í
149
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
640. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇ
cçêãF
ñ O + ó O = oO
Figure 112.
641. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí (~I Ä)
(ñ − ~ )O + (ó − Ä)O = o O
Figure 113.
150
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
642. qÜêÉÉ mçáåí cçêã
ñO + óO ñ ó N
ñ NO + ó NO
ñN
óN N
ñ +ó
ñ +ó
ñO
ñP
óO N
óP N
O
O
O
P
O
O
O
P
=M
Figure 114.
643. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
ñ = o Åçë í
I M ≤ í ≤ Oπ K

ó = o ëáå í
644. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + ^ó O + añ + bó + c = M E^ åçåòÉêçI aO + b O > Q ^c FK
qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë (~ I Ä) I ïÜÉêÉ
a
b
~=−
I Ä=−
K
O^
O^
qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ áë
151
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
o=
aO + b O − Q ^c
K
O^
7.5 Ellipse
pÉãáã~àçê ~ñáëW ~
pÉãáãáåçê ~ñáëW Ä
cçÅáW cN (− ÅI M) I cO (ÅI M)
aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅ
bÅÅÉåíêáÅáíóW É
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í
mÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
645. bèì~íáçå çÑ ~å bääáéëÉ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
ñO óO
+ =N
~ O ÄO
Figure 115.
152
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
646. êN + êO = O~ I
ïÜÉêÉ êN I êO ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí m(ñ I ó ) çå
íÜÉ ÉääáéëÉ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK
Figure 116.
647. ~ O = ÄO + Å O
648. bÅÅÉåíêáÅáíó
Å
É = <N
~
649. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë
~
~O
ñ=± =±
É
Å
650. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
ñ = ~ Åçë í
I M ≤ í ≤ Oπ K

ó = Ä ëáå í
153
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
651. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I
ïÜÉêÉ _ O − Q ^` < M K
652. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë
^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I
ïÜÉêÉ ^` > M K
653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ
i = Q~b(É ) I
ïÜÉêÉ íÜÉ ÑìåÅíáçå b áë íÜÉ ÅçãéäÉíÉ ÉääáéíáÅ áåíÉÖê~ä çÑ
íÜÉ ëÉÅçåÇ âáåÇK
654. ^ééêçñáã~íÉ cçêãìä~ë çÑ íÜÉ `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ
i = π NKR(~ + Ä) − ~Ä I
(
i = π O(~ O + ÄO ) K
)
655. p = π~Ä
7.6 Hyperbola
qê~åëîÉêëÉ ~ñáëW ~
`çåàìÖ~íÉ ~ñáëW Ä
cçÅáW cN (− ÅI M) I cO (ÅI M)
aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅ
bÅÅÉåíêáÅáíóW É
^ëóãéíçíÉëW ëI í
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI íI â
154
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
656. bèì~íáçå çÑ ~ eóéÉêÄçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
ñO óO
− =N
~ O ÄO
Figure 117.
657.
êN − êO = O~ I
ïÜÉêÉ êN I êO ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí m(ñ I ó ) çå
íÜÉ ÜóéÉêÄçä~ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK
155
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 118.
658. bèì~íáçåë çÑ ^ëóãéíçíÉë
Ä
ó=± ñ
~
659. Å O = ~ O + ÄO
660. bÅÅÉåíêáÅáíó
Å
É = >N
~
661. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë
~
~O
ñ=± =±
É
Å
156
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
662. m~ê~ãÉíêáÅ bèì~íáçåë çÑ íÜÉ oáÖÜí _ê~åÅÜ çÑ ~ eóéÉêÄçä~
ñ = ~ ÅçëÜ í
I M ≤ í ≤ Oπ K

ó = Ä ëáåÜ í
663. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I
ïÜÉêÉ _ O − Q ^` > M K
664. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë
^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I
ïÜÉêÉ ^` < M K
665. ^ëóãéíçíáÅ cçêã
ÉO
ñó = I
Q
çê
ÉO
â
ó = I ïÜÉêÉ â = K
ñ
Q
få íÜáë Å~ëÉ I íÜÉ ~ëóãéíçíÉë Ü~îÉ Éèì~íáçåë ñ = M ~åÇ
ó =MK
157
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 119.
7.7 Parabola
cçÅ~ä é~ê~ãÉíÉêW é
cçÅìëW c
sÉêíÉñW j(ñ M I ó M )
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI éI ~I ÄI Å
666. bèì~íáçå çÑ ~ m~ê~Äçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
ó O = Oéñ
158
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 120.
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
é
ñ=− I
O
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
é 
c I M  I
O 
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ
j(MI M) K
667. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I
ïÜÉêÉ _ O − Q ^` = M K
N
K
O~
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
668. ó = ~ñ O I é =
159
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
é
ó=− I
O
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
 é
c MI  I
 O
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ
j(MI M) K
Figure 121.
669. dÉåÉê~ä cçêãI ^ñáë m~ê~ääÉä íç íÜÉ ó-~ñáë
^ñ O + añ + bó + c = M E^I b åçåòÉêçFI
N
ó = ~ñ O + Äñ + Å I é = K
O~
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
é
ó = óM − I
O
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
160
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
é

c ñ M I ó M +  I
O

`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ
Ä
Q~Å − ÄO
ñ M = − I ó M = ~ñ OM + Äñ M + Å =
K
O~
Q~
Figure 122.
7.8 Three-Dimensional Coordinate System
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñ M I ó M I ò M I ñ N I ó N I ò N I £
oÉ~ä åìãÄÉêW λ
aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç
^êÉ~W p
sçäìãÉW s
161
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
670. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
Ç = ^_ =
(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O + (ò O − òN )O
Figure 123.
671. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ
ñ + λñ O
ó + λó O
ò + λò O
I óM = N
I òM = N
I
ñM = N
N+ λ
N+ λ
N+ λ
ïÜÉêÉ
^`
λ=
I λ ≠ −N K
`_
162
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 124.
Figure 125.
163
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
672. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
ñ + ñO
ó + óO
ò +ò
I òM = N O I λ = N K
ñM = N
I óM = N
O
O
O
673. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉ
qÜÉ ~êÉ~ çÑ ~ íêá~åÖäÉ ïáíÜ îÉêíáÅÉë mN (ñ N I ó N I ò N ) I
mO (ñ O I ó O I ò O ) I ~åÇ mP (ñ P I ó P I ò P ) áë ÖáîÉå Äó
p=
N
O
O
ñN N
óO
òO N + òO
ñO N + ñO
óO N K
óP
òP
ñP
óP
òP
N
ñN
ñP
óN N
O
òN N
N
òN
O
óN
N
674. sçäìãÉ çÑ ~ qÉíê~ÜÉÇêçå
qÜÉ îçäìãÉ çÑ ~ íÉíê~ÜÉÇêçå ïáíÜ îÉêíáÅÉë mN (ñ N I ó N I ò N ) I
mO (ñ O I ó O I ò O ) I mP (ñ P I ó P I ò P ) I ~åÇ mQ (ñ Q I ó Q I ò Q ) áë ÖáîÉå Äó
ñ N óN òN N
óO
óP
óQ
òO N
I
òP N
òQ N
ñN − ñ Q
N
s = ± ñO − ñQ
S
ñP − ñ Q
óN − ó Q
òN − ò Q
óO − óQ
óP − ó Q
òO − òQ K
òP − òQ
s=±
N ñO
S ñP
ñQ
çê
kçíÉW tÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëç íÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ
~åëïÉê Ñçê îçäìãÉK
164
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 126.
7.9 Plane
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI ñ M I ó M I ò M I ñ N I ó N I ò N I £
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI ^N I ^ O I ~I ÄI ÅI ~N I ~ O I λ I éI íI £
r r r
kçêã~ä îÉÅíçêëW å I åN I å O
aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW Åçë α I Åçë β I Åçë γ
aáëí~åÅÉ Ñêçã éçáåí íç éä~åÉW Ç
675. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ
^ñ + _ó + `ò + a = M
165
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
676. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ mä~åÉ
r
qÜÉ îÉÅíçê å (^I _I ` ) áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉ
^ñ + _ó + `ò + a = M K
Figure 127.
677. m~êíáÅìä~ê `~ëÉë çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ
^ñ + _ó + `ò + a = M
fÑ
fÑ
fÑ
fÑ
^ = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñ-~ñáëK
_ = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ó-~ñáëK
` = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ò-~ñáëK
a = M I íÜÉ éä~åÉ äáÉë çå íÜÉ çêáÖáåK
fÑ ^ = _ = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñó-éä~åÉK
fÑ _ = ` = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ óò-éä~åÉK
fÑ ^ = ` = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñò-éä~åÉK
166
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
678. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã
^(ñ − ñ M ) + _(ó − ó M ) + `(ò − ò M ) = M I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí m(ñ M I ó M I ò M ) äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI ~åÇ íÜÉ îÉÅíçê (^I _I ` ) áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK
Figure 128.
679. fåíÉêÅÉéí cçêã
ñ ó ò
+ + =N
~ Ä Å
167
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 129.
680. qÜêÉÉ mçáåí cçêã
ñ − ñP ó − óP ò − òP
ñ N − ñ P óN − ó P òN − ò P = M I
ñ O − ñ P ó O − óP ò O − òP
çê
ñ ó ò N
ñN óN òN N
=MK
ñO óO òO N
ñP óP òP N
168
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 130.
681. kçêã~ä cçêã
ñ Åçë α + ó Åçë β + ò Åçë γ − é = M I
ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ çêáÖáå íç
íÜÉ éä~åÉ I ~åÇ Åçë α I Åçë β I Åçë γ ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë
çÑ ~åó äáåÉ åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK
169
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 131.
682. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
ñ = ñ N + ~Në + ~ O í

ó = ó N + ÄNë + ÄO í I
ò = ò + Å ë + Å í
N
N
O

ïÜÉêÉ (ñ I ó I ò ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå
íÜÉ äáåÉ I íÜÉ éçáåí m(ñ N I ó N I ò N ) äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI íÜÉ îÉÅíçêë
(~N I ÄN I ÅN ) ~åÇ (~ O I ÄO I Å O ) ~êÉ é~ê~ääÉä íç íÜÉ éä~åÉK
170
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 132.
683. aáÜÉÇê~ä ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç mä~åÉë
fÑ íÜÉ éä~åÉë ~êÉ ÖáîÉå Äó
^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M I
^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M I
íÜÉå íÜÉ ÇáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉã áë
r r
åN ⋅ å O
^N^ O + _N_ O + `N` O
Åçë ϕ = r r =
K
åN ⋅ å O
^NO + _NO + `NO ⋅ ^ OO + _ OO + ` OO
171
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 133.
684. m~ê~ääÉä mä~åÉë
qïç éä~åÉë ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M ~åÇ
^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
^N _N `N
=
=
K
^O _O `O
685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê mä~åÉë
qïç éä~åÉë ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M ~åÇ
^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ
^N^ O + _N_ O + `N` O = M K
686. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ m(ñ N I ó N I ò N ) ~åÇ m~ê~ääÉä qç
íÜÉ sÉÅíçêë (~N I ÄN I ÅN ) ~åÇ (~ O I ÄO I Å O ) EcáÖKNPOF
172
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ñ − ñN
~N
~O
ó − óN ò − òN
ÄN
ÅN = M
ÄO
ÅO
687. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ mN (ñ N I ó N I ò N ) ~åÇ mO (ñ O I ó O I ò O ) I
~åÇ m~ê~ääÉä qç íÜÉ sÉÅíçê (~ I ÄI Å )
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
ñ O − ñN
~
ó O − óN ò O − òN = M
Ä
Å
Figure 134.
688. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ mä~åÉ
qÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí mN (ñ N I ó N I ò N ) íç íÜÉ éä~åÉ
^ñ + _ó + `ò + a = M áë
173
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Ç=
^ñ N + _ó N + `òN + a
^O + _O + `O
K
Figure 135.
689. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç mä~åÉë
fÑ íïç éä~åÉë ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M ~åÇ
^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå ëíê~áÖÜí
äáåÉ áë ÖáîÉå Äó
ñ = ñ N + ~í

ó = ó N + Äí I
ò = ò + Åí
N

çê
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
=
=
I
Ä
Å
~
ïÜÉêÉ
174
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
~=
_N
_O
Ä
aN
aO
Å
aN
aO
~
aN
aO
ñN =
óN =
òN =
`N
`
I Ä= N
`O
`O
^N
^
I Å= N
^O
^O
_N
I
_O
`N
a _N
−Å N
`O
aO _ O
I
O
O
~ + Ä + ÅO
^N
a `N
−~ N
^O
aO ` O
I
O
O
~ + Ä + ÅO
_N
a ^N
−Ä N
_O
aO ^ O
K
O
O
~ + Ä + ÅO
7.10 Straight Line in Space
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI ñ N I ó N I ò N I £
aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW Åçë α I Åçë β I Åçë γ
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI ~I ÄI ÅI ~N I ~ O I íI £
r r r
aáêÉÅíáçå îÉÅíçêë çÑ ~ äáåÉW ë I ëN I ëO
r
kçêã~ä îÉÅíçê íç ~ éä~åÉW å
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ
690. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
=
=
I
Ä
Å
~
ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí mN (ñ N I ó N I ò N ) äáÉë çå íÜÉ äáåÉI ~åÇ (~ I ÄI Å ) áë
íÜÉ ÇáêÉÅíáçå îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉK
175
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 136.
691. qïç mçáåí cçêã
ñ − ñN
ó − óN
ò − òN
=
=
ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN
Figure 137.
176
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
692. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
ñ = ñ N + í Åçë α

ó = ó N + í Åçë β I
ò = ò + í Åçë γ
N

ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí mN (ñ N I ó N I ò N ) äáÉë çå íÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉI
Åçë α I Åçë β I Åçë γ ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå
îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉI íÜÉ é~ê~ãÉíÉê í áë ~åó êÉ~ä åìãÄÉêK
Figure 138.
693. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç píê~áÖÜí iáåÉë
r r
ë ⋅ë
~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O
Åçë ϕ = r N rO =
O
ëN ⋅ ëO
~N + ÄNO + ÅNO ⋅ ~ OO + ÄOO + Å OO
177
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 139.
694. m~ê~ääÉä iáåÉë
qïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
r r
ëN öö ëO I
çê
~N ÄN ÅN
= = K
~ O ÄO Å O
695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉë
qïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
r r
ëN ⋅ ëO = M I
çê
~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O = M K
696. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
qïç äáåÉë
=
=
~åÇ
~N
ÄN
ÅN
178
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ñ − ñO ó − óO ò − òO
=
=
áåíÉêëÉÅí áÑ
~O
ÄO
ÅO
ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN
~N
ÄN
ÅN = M K
~O
ÄO
ÅO
697. m~ê~ääÉä iáåÉ ~åÇ mä~åÉ
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉ
=
=
~åÇ íÜÉ éä~åÉ
Ä
Å
~
^ñ + _ó + `ò + a = M ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
r r
å⋅ ë = M I
çê
^~ + _Ä + `Å = M K
Figure 140.
179
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉ ~åÇ mä~åÉ
ñ − ñ N ó − óN ò − òN
qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉ
=
=
~åÇ íÜÉ éä~åÉ
Ä
Å
~
^ñ + _ó + `ò + a = M ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ
r r
å öö ë I
çê
^ _ `
= = K
~ Ä Å
Figure 141.
7.11 Quadric Surfaces
mçáåí ÅççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ èì~ÇêáÅ ëìêÑ~ÅÉëW ñI óI ò
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I ~I ÄI ÅI â N I â O I â P I £
180
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
699. dÉåÉê~ä nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå
^ñ O + _ó O + `ò O + Ocóò + Odòñ + Oeñó + Omñ + Onó + Ooò + a = M
700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå çÑ nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë
`~ëÉ
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
NM
NN
NO
NP
NQ
NR
NS
NT
o~åâEÉF
P
P
P
P
P
P
O
O
O
O
O
O
O
N
N
N
N
o~åâEbF
Q
Q
Q
Q
P
P
Q
Q
P
P
P
O
O
P
O
O
N
∆
<M
>M
>M
<M
<M
>M
â ëáÖåë
p~ãÉ
p~ãÉ
aáÑÑÉêÉåí
aáÑÑÉêÉåí
aáÑÑÉêÉåí
p~ãÉ
p~ãÉ
aáÑÑÉêÉåí
p~ãÉ
p~ãÉ
aáÑÑÉêÉåí
aáÑÑÉêÉåí
p~ãÉ
qóéÉ çÑ pìêÑ~ÅÉ
oÉ~ä bääáéëçáÇ
fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ
eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí
eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë
oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ
fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ
bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ
eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ
oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê
fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê
eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê
oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë
fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë
m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê
oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë
fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë
`çáåÅáÇÉåí mä~åÉë
eÉêÉ
^ e n m


 ^ e d


 e _ c n
I ∆ = ÇÉí(b ) I
É = e _ c I b = 
d c ` o
 d c `




 m n o a


â N I â O I â P ~êÉ íÜÉ êççíë çÑ íÜÉ Éèì~íáçåI
^−ñ
e
d
e
_−ñ
c =MK
d
c
`−ñ
181
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
701. oÉ~ä bääáéëçáÇ E`~ëÉ NF
ñO óO òO
+ + =N
~ O ÄO Å O
Figure 142.
702. fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ E`~ëÉ OF
ñO óO òO
+ + = −N
~ O ÄO Å O
703. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí E`~ëÉ PF
ñO óO òO
+ − =N
~ O ÄO Å O
182
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 143.
704. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë E`~ëÉ QF
ñO óO òO
+ − = −N
~ O ÄO Å O
Figure 144.
183
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
705. oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ RF
ñO óO òO
+ − =M
~ O ÄO Å O
Figure 145.
706. fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ SF
ñO óO òO
+ + =M
~ O ÄO Å O
707. bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ TF
ñO óO
+ −ò = M
~ O ÄO
184
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 146.
708. eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ UF
ñO óO
− −ò = M
~ O ÄO
Figure 147.
185
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
709. oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ VF
ñO óO
+ =N
~ O ÄO
Figure 148.
710. fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NMF
ñO óO
+ = −N
~ O ÄO
711. eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NNF
ñO óO
− =N
~ O ÄO
186
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 149.
712. oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NOF
ñO óO
− =M
~ O ÄO
713. fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NPF
ñO óO
+ =M
~ O ÄO
714. m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NQF
ñO
−ó=M
~O
187
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 150.
715. oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NRF
ñO
=N
~O
716. fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NSF
ñO
= −N
~O
717. `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë E`~ëÉ NTF
ñO = M
188
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
7.12 Sphere
o~Çáìë çÑ ~ ëéÜÉêÉW o
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI ñ N I ó N I ò N I £
`ÉåíÉê çÑ ~ ëéÜÉêÉW (~ I ÄI Å )
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I aI bI cI j
718. bèì~íáçå çÑ ~ péÜÉêÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇ
cçêãF
ñ O + ó O + ò O = oO
Figure 151.
719. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí (~ I ÄI Å )
(ñ − ~ )O + (ó − Ä)O + (ò − Å )O = o O
720. aá~ãÉíÉê cçêã
(ñ − ñ N )(ñ − ñ O ) + (ó − ó N )(ó − ó O ) + (ò − òN )(ò − ò O ) = M I
189
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ïÜÉêÉ
mN (ñ N I ó N I ò N ) I mO (ñ O I ó O I ò O ) ~êÉ íÜÉ ÉåÇë çÑ ~ Çá~ãÉíÉêK
721. cçìê mçáåí cçêã
ñO + óO + òO ñ
ñ NO + ó NO + ñ NO ñ N
ñ OO + ó OO + ñ OO ñ O
ñ PO + ó PO + ñ PO ñ P
ñ OQ + ó OQ + ñ OQ ñ Q
ó
ò
N
óN
óO
òN N
òO N = M
óP
óQ
òP N
òQ N
722. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + ^ó O + ^ò O + añ + bó + cò + j = M E^ áë åçåòÉêçFK
qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë (~ I ÄI Å ) I ïÜÉêÉ
a
b
c
~=−
I Ä=−
I Å=−
K
O^
O^
O^
qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ áë
aO + b O + c O − Q ^ O j
o=
K
O^
190
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 8
Differential Calculus
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI î
^êÖìãÉåí EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉFW ñ
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI Ç
k~íìê~ä åìãÄÉêW å
^åÖäÉW α
fåîÉêëÉ ÑìåÅíáçåW Ñ −N
8.1 Functions and Their Graphs
723. bîÉå cìåÅíáçå
Ñ (− ñ ) = Ñ (ñ )
724. lÇÇ cìåÅíáçå
Ñ (− ñ ) = −Ñ (ñ )
725. mÉêáçÇáÅ cìåÅíáçå
Ñ (ñ + åq ) = Ñ (ñ )
726. fåîÉêëÉ cìåÅíáçå
ó = Ñ (ñ ) áë ~åó ÑìåÅíáçåI ñ = Ö (ó ) çê ó = Ñ −N (ñ ) áë áíë áåîÉêëÉ
ÑìåÅíáçåK
191
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 152.
727. `çãéçëáíÉ cìåÅíáçå
ó = Ñ (ì ) I ì = Ö (ñ ) I ó = Ñ (Ö (ñ )) áë ~ ÅçãéçëáíÉ ÑìåÅíáçåK
728. iáåÉ~ê cìåÅíáçå
ó = ~ñ + Ä I ñ ∈ o I ~ = í~å α áë íÜÉ ëäçéÉ çÑ íÜÉ äáåÉI Ä áë
íÜÉ ó-áåíÉêÅÉéíK
192
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 153.
729. nì~Çê~íáÅ cìåÅíáçå
ó = ñO I ñ ∈o K
Figure 154.
193
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
730. ó = ~ñ O + Äñ + Å I ñ ∈ o K
Figure 155.
731. `ìÄáÅ cìåÅíáçå
ó = ñP I ñ ∈o K
194
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 156.
732. ó = ~ñ P + Äñ O + Åñ + Ç I ñ ∈ o K
195
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 157.
733. mçïÉê cìåÅíáçå
ó = ñ å I å∈ k K
196
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 158.
Figure 159.
197
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
734. pèì~êÉ oççí cìåÅíáçå
ó = ñ I ñ ∈ [MI ∞ ) K
Figure 160.
735. bñéçåÉåíá~ä cìåÅíáçåë
ó = ~ñ I ~ > M I ~ ≠ NI
ó = É ñ áÑ ~ = É I É = OKTNUOUNUOUQSK
Figure 161.
198
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
736. içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåë
ó = äçÖ ~ ñ I ñ ∈ (MI ∞ ) I ~ > M I ~ ≠ N I
ó = äå ñ áÑ ~ = É I ñ > M K
Figure 162.
737. eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçå
Éñ − É−ñ
I ñ ∈o K
ó = ëáåÜ ñ I ëáåÜ ñ =
O
199
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 163.
738. eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçå
Éñ + É−ñ
I ñ ∈o K
ó = Åçë Ü ñ I Åçë Ü ñ =
O
Figure 164.
200
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
739. eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçå
ëáåÜ ñ É ñ − É − ñ
=
I ñ ∈o K
ó = í~åÜ ñ I ó = í~åÜ ñ =
ÅçëÜ ñ É ñ + É − ñ
Figure 165.
740. eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå
ÅçëÜ ñ É ñ + É − ñ
=
I ñ ∈o I ñ ≠ M K
ó = Åçí Ü ñ I ó = Åçí Ü ñ =
ëáåÜ ñ É ñ − É − ñ
201
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 166.
741. eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçå
N
O
ó = ëÉÅ Ü ñ I ó = ëÉÅ Ü ñ =
= ñ −ñ I ñ ∈ o K
ÅçëÜ ñ É + É
Figure 167.
202
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
742. eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå
N
O
= ñ −ñ I ñ ∈ o I ñ ≠ M K
ó = ÅëÅÜ ñ I ó = ÅëÅÜ ñ =
ëáåÜ ñ É − É
Figure 168.
743. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçå
ó = ~êÅëáåÜ ñ I ñ ∈ o K
203
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 169.
744. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçå
ó = ~êÅÅçëÜ ñ I ñ ∈ [NI ∞ ) K
Figure 170.
745. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçå
ó = ~êÅí~åÜ ñ I ñ ∈ (− NI N) K
204
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 171.
746. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå
ó = ~êÅÅçíÜ ñ I ñ ∈ (− ∞I − N) ∪ (NI ∞ ) K
205
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 172.
747. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçå
ó = ~êÅëÉÅÜ ñ I ñ ∈ (MI N] K
206
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 173.
748. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå
ó = ~êÅÅëÅÜ ñ I ñ ∈ o I ñ ≠ M K
Figure 174.
207
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
8.2 Limits of Functions
cìåÅíáçåëW Ñ (ñ ) I Ö(ñ )
^êÖìãÉåíW ñ
oÉ~ä Åçåëí~åíëW ~I â
749. äáã[Ñ (ñ ) + Ö(ñ )] = äáã Ñ (ñ ) + äáã Ö (ñ )
ñ →~
ñ →~
ñ →~
750. äáã[Ñ (ñ ) − Ö (ñ )] = äáã Ñ (ñ ) − äáã Ö (ñ )
ñ →~
ñ →~
ñ →~
751. äáã[Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ )] = äáã Ñ (ñ ) ⋅ äáã Ö (ñ )
ñ →~
ñ →~
ñ →~
Ñ (ñ )
Ñ (ñ ) äáã
= ñ →~
I áÑ äáã Ö (ñ ) ≠ M K
ñ → ~ Ö (ñ )
ñ →~
äáã Ö (ñ )
752. äáã
ñ →~
753. äáã[âÑ (ñ )] = â äáã Ñ (ñ )
ñ →~
ñ →~
(
)
754. äáã Ñ (Ö (ñ )) = Ñ äáã Ö (ñ )
ñ →~
ñ →~
755. äáã Ñ (ñ ) = Ñ (~ ) I áÑ íÜÉ ÑìåÅíáçå Ñ (ñ ) áë Åçåíáåìçìë ~í ñ = ~ K
ñ →~
ëáå ñ
=N
ñ →M
ñ
756. äáã
757. äáã
ñ →M
í~å ñ
=N
ñ
ëáå −N ñ
=N
ñ →M
ñ
758. äáã
208
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
í~å −N ñ
=N
ñ →M
ñ
759. äáã
äå(N + ñ )
=N
ñ →M
ñ
760. äáã
ñ
 N
761. äáã N +  = É
ñ →∞
 ñ
ñ
 â
762. äáã N +  = É â
ñ →∞
 ñ
763. äáã ~ ñ = N
ñ →M
8.3 Definition and Properties of the Derivative
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI î
fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ
oÉ~ä Åçåëí~åíW â
^åÖäÉW α
Ñ (ñ + ∆ñ ) − Ñ (ñ )
∆ó Çó
= äáã
=
∆ñ → M
∆ñ →M ∆ñ
Çñ
Ɩ
764. ó′(ñ ) = äáã
209
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 175.
765.
Çó
= í~å α
Çñ
766.
Ç(ì + î ) Çì Çî
=
+
Çñ
Çñ Çñ
767.
Ç(ì − î ) Çì Çî
=
−
Çñ
Çñ Çñ
768.
Ç(âì )
Çì
=â
Çñ
Çñ
769. mêçÇìÅí oìäÉ
Ç(ì ⋅ î ) Çì
Çî
=
⋅î + ì⋅
Çñ
Çñ
Çñ
210
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
770. nìçíáÉåí oìäÉ
Çì
Çî
⋅î −ì⋅
Ç  ì  Çñ
Çñ
 =
O
Çñ  î 
î
771. `Ü~áå oìäÉ
ó = Ñ (Ö(ñ )) I ì = Ö(ñ ) I
Çó Çó Çì
=
⋅
K
Çñ Çì Çñ
772. aÉêáî~íáîÉ çÑ fåîÉêëÉ cìåÅíáçå
Çó
N
=
I
Çñ
Çñ
Çó
ïÜÉêÉ ñ (ó ) áë íÜÉ áåîÉêëÉ ÑìåÅíáçå çÑ ó (ñ ) K
773. oÉÅáéêçÅ~ä oìäÉ
Çó
Ç  N
  = − ÇñO
Çñ  ó 
ó
774. içÖ~êáíÜãáÅ aáÑÑÉêÉåíá~íáçå
ó = Ñ (ñ ) I äå ó = äå Ñ (ñ ) I
Çó
Ç
= Ñ (ñ ) ⋅ [äå Ñ (ñ )] K
Çñ
Çñ
8.4 Table of Derivatives
fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ
oÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI Å
k~íìê~ä åìãÄÉêW å
211
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
775.
Ç
(` ) = M
Çñ
776.
Ç
(ñ ) = N
Çñ
777.
Ç
(~ñ + Ä) = ~
Çñ
778.
Ç
(~ñ O + Äñ + Å ) = ~ñ + Ä
Çñ
779.
Ç å
(
ñ ) = åñ å −N
Çñ
780.
Ç −å
å
(
ñ ) = − å +N
ñ
Çñ
781.
Ç N
N
 =− O
Çñ  ñ 
ñ
782.
Ç
Çñ
( ñ ) = O Nñ
783.
Ç
Çñ
( ñ )=
784.
Ç
(äå ñ ) = N
ñ
Çñ
785.
Ç
(äçÖ ~ ñ ) = N I ~ > M I ~ ≠ N K
ñ äå ~
Çñ
N
å
å å ñ å −N
212
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
786.
Ç ñ
(
~ ) = ~ ñ äå ~ I ~ > M I ~ ≠ N K
Çñ
787.
Ç ñ
(
É ) = Éñ
Çñ
788.
Ç
(ëáå ñ ) = Åçë ñ
Çñ
789.
Ç
(Åçë ñ ) = − ëáå ñ
Çñ
790.
Ç
(í~å ñ ) = NO = ëÉÅ O ñ
Åçë ñ
Çñ
791.
Ç
(Åçí ñ ) = − NO = − ÅëÅ O ñ
ëáå ñ
Çñ
792.
Ç
(ëÉÅ ñ ) = í~å ñ ⋅ ëÉÅ ñ
Çñ
793.
Ç
(ÅëÅ ñ ) = − Åçí ñ ⋅ ÅëÅ ñ
Çñ
794.
Ç
(~êÅëáå ñ ) = N O
Çñ
N− ñ
795.
Ç
(~êÅÅçë ñ ) = − N O
Çñ
N− ñ
796.
Ç
(~êÅí~å ñ ) = N O
N+ ñ
Çñ
213
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
797.
Ç
(~êÅ Åçí ñ ) = − N O
N+ ñ
Çñ
798.
Ç
(~êÅ ëÉÅ ñ ) = NO
Çñ
ñ ñ −N
799.
Ç
(~êÅ ÅëÅ ñ ) = − NO
Çñ
ñ ñ −N
800.
Ç
(ëáåÜ ñ ) = ÅçëÜ ñ
Çñ
801.
Ç
(ÅçëÜ ñ ) = ëáåÜ ñ
Çñ
802.
Ç
(í~åÜ ñ ) = N O = ëÉÅÜ O ñ
ÅçëÜ ñ
Çñ
803.
Ç
(ÅçíÜ ñ ) = − N O = −ÅëÅÜ O ñ
ëáåÜ ñ
Çñ
804.
Ç
(ëÉÅÜ ñ ) = −ëÉÅÜ ñ ⋅ í~åÜ ñ
Çñ
805.
Ç
(ÅëÅÜ ñ ) = −ÅëÅÜ ñ ⋅ ÅçíÜ ñ
Çñ
806.
Ç
(~êÅëáåÜ ñ ) = NO
Çñ
ñ +N
807.
Ç
(~êÅÅçëÜ ñ ) = ON
Çñ
ñ −N
214
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
808.
Ç
(~êÅí~åÜ ñ ) = N O I ñ < N K
Çñ
N− ñ
809.
Ç
(~êÅÅçíÜ ñ ) = − ON I ñ > N K
Çñ
ñ −N
810.
Ç î
Çì
Çî
(
+ ì î äå ì ⋅
ì ) = îì î −N ⋅
Çñ
Çñ
Çñ
8.5 Higher Order Derivatives
cìåÅíáçåëW ÑI óI ìI î
fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ
k~íìê~ä åìãÄÉêW å
811. pÉÅçåÇ ÇÉêáî~íáîÉ
O
 Çó  ′ Ç  Çó  Ç ó
′
Ñ ′′ = (Ñ ′) =   =
 = O
 Çñ  Çñ  Çñ  Çñ
812. eáÖÜÉê-lêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉ
Çå ó
(å )
Ñ = å = ó (å ) = (Ñ (å −N) ) ′
Çñ
813.
(ì + î )(å ) = ì (å ) + î (å )
814.
(ì − î )(å ) = ì(å ) − î (å )
815. iÉáÄåáíò∞ë cçêãìä~ë
(ìî )′′ = ì′′î + Oì′î′ + ìî′′
215
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
(ìî )′′′ = ì′′′î + Pì′′î′ + Pì′î′′ + ìî′′′
(ìî )(å ) = ì (å ) î + åì (å−N) î ′ + å(å − N) ì (å−O) î ′′ + K + ìî (å )
N⋅ O
816.
(ñ )( ) = (ãã−>å)> ñ
817.
(ñ )( ) = å>
818.
å −N
(
− N) (å − N)>
(äçÖ ~ ñ ) =
å
819.
å −N
(äå ñ )(å ) = (− N) (åå − N)>
820.
(~ )( ) = ~
å
ñ
821.
(É )( ) = É
ñ
822.
(~ )( ) = ã ~
823.
(ëáå ñ )(å ) = ëáå ñ + åπ 
824.
(Åçë ñ )(å ) = Åçë ñ + åπ 
ã
å
å
ã −å
å
(å )
ñ äå ~
ñ
ñ
ñ
ãñ
å
å
äå å ~
å ãñ


äå å ~
O 
O 
216
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
8.6 Applications of Derivative
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ó
mçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅíW ë
sÉäçÅáíóW î
^ÅÅÉäÉê~íáçåW ï
fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ
qáãÉW í
k~íìê~ä åìãÄÉêW å
825. sÉäçÅáíó ~åÇ ^ÅÅÉäÉê~íáçå
ë = Ñ (í ) áë íÜÉ éçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅí êÉä~íáîÉ íç ~ ÑáñÉÇ
ÅççêÇáå~íÉ ëóëíÉã ~í ~ íáãÉ íI
î = ë′ = Ñ ′(í ) áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë îÉäçÅáíó çÑ íÜÉ çÄàÉÅíI
ï = î′ = ë′′ = Ñ ′′(í ) áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ
íÜÉ çÄàÉÅíK
826. q~åÖÉåí iáåÉ
ó − ó M = Ñ ′(ñ M )(ñ − ñ M )
217
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 176.
827. kçêã~ä iáåÉ
N
(ñ − ñ M ) EcáÖ NTSF
ó − óM = −
Ñ ′(ñ M )
828. fåÅêÉ~ëáåÖ ~åÇ aÉÅêÉ~ëáåÖ cìåÅíáçåëK
fÑ Ñ ′(ñ M ) > M I íÜÉå ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M K EcáÖ NTTI ñ < ñ N I
ñ O < ñ FI
fÑ Ñ ′(ñ M ) < M I íÜÉå ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M K EcáÖ NTTI
ñ N < ñ < ñ O FI
fÑ Ñ ′ (ñ M ) ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
218
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
Figure 177.
829. içÅ~ä ÉñíêÉã~
^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ñ N áÑ ~åÇ çåäó áÑ
íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ ñ N ëìÅÜ íÜ~í
Ñ (ñ N ) ≥ Ñ (ñ ) Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK
^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ñ O áÑ ~åÇ çåäó áÑ
íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ ñ O ëìÅÜ íÜ~í
Ñ (ñ O ) ≤ Ñ (ñ ) Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK
830. `êáíáÅ~ä mçáåíë
^ ÅêáíáÅ~ä éçáåí çå ÑEñF çÅÅìêë ~í ñ M áÑ ~åÇ çåäó áÑ ÉáíÜÉê
Ñ ′ (ñ M ) áë òÉêç çê íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ÇçÉëå∞í ÉñáëíK
831. cáêëí aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~K
fÑ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) > M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä
(~I ñ N ] ~åÇ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) < M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ
áåíÉêî~ä [ñ N I Ä) I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ñ N
EcáÖKNTTFK
219
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
832. fÑ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) < M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä
(~I ñ O ] ~åÇ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) > M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ
áåíÉêî~ä [ñ O I Ä) I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ñ O K
EcáÖKNTTFK
833. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~K
fÑ Ñ ′ (ñ N ) = M ~åÇ Ñ ′′(ñ N ) < M I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã
~í ñ N K
fÑ Ñ ′ (ñ O ) = M ~åÇ Ñ ′′(ñ O ) > M I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã
~í ñ O K EcáÖKNTTF
834. `çåÅ~îáíóK
ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í ñ M áÑ ~åÇ çåäó áÑ Ñ ′ (ñ ) áë
áåÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M EcáÖKNTTI ñ P < ñ FK
ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í ñ M áÑ ~åÇ çåäó áÑ Ñ ′ (ñ ) áë
ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M K EcáÖKNTTI ñ < ñ P FK
835. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê `çåÅ~îáíóK
fÑ Ñ ′′(ñ M ) > M I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í ñ M K
fÑ Ñ ′′(ñ M ) < M I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í ñ M K
fÑ Ñ ′′(ñ ) ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
836. fåÑäÉÅíáçå mçáåíë
fÑ Ñ ′ (ñ P ) Éñáëíë ~åÇ Ñ ′′(ñ ) ÅÜ~åÖÉë ëáÖå ~í ñ = ñ P I íÜÉå
íÜÉ éçáåí (ñ P I Ñ (ñ P )) áë ~å áåÑäÉÅíáçå éçáåí çÑ íÜÉ Öê~éÜ çÑ
Ñ (ñ ) K fÑ Ñ ′′(ñ P ) Éñáëíë ~í íÜÉ áåÑäÉÅíáçå éçáåíI íÜÉå Ñ ′′(ñ P ) = M
EcáÖKNTTFK
837. i∞eçéáí~ä∞ë oìäÉ
M
Ñ ′(ñ )
Ñ (ñ )
= äáã
áÑ äáã Ñ (ñ ) = äáã Ö (ñ ) =  K
äáã
ñ → Å Ö (ñ )
ñ →Å Ö ′(ñ )
ñ →Å
ñ →Å
∞
220
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
8.7 Differential
cìåÅíáçåëW ÑI ìI î
fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ
aÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ó ′(ñ ) I Ñ ′(ñ )
oÉ~ä Åçåëí~åíW `
aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ÑìåÅíáçå ó = Ñ (ñ ) W Çó
aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ñW Çñ
pã~ää ÅÜ~åÖÉ áå ñW ∆ñ
pã~ää ÅÜ~åÖÉ áå óW ∆ó
838. Çó = ó ′Çñ
839. Ñ (ñ + ∆ñ ) = Ñ (ñ ) + Ñ ′(ñ )∆ñ
Figure 178.
221
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
840. pã~ää `Ü~åÖÉ áå ó
∆ó = Ñ (ñ + ∆ñ ) − Ñ (ñ )
841. Ç(ì + î ) = Çì + Çî
842. Ç(ì − î ) = Çì − Çî
843. Ç(`ì ) = `Çì
844. Ç(ìî ) = îÇì + ìÇî
 ì  îÇì − ìÇî
845. Ç  =
îO
î
8.8 Multivariable Functions
cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ò (ñ I ó ) I Ñ (ñ I ó ) I Ö (ñ I ó ) I Ü(ñ I ó )
^êÖìãÉåíëW ñI óI í
pã~ää ÅÜ~åÖÉë áå ñI óI òI êÉëéÉÅíáîÉäóW ∆ñ I ∆ó I ∆ò K
846. cáêëí lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ñ
∂Ñ
∂ò
= Ñ ñ E~äëç
= ò ñ FI
∂ñ
∂ñ
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ó
∂Ñ
∂ò
= Ñ ó E~äëç
= ò ó FK
∂ó
∂ó
222
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
847. pÉÅçåÇ lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë
∂  ∂Ñ  ∂ OÑ
= Ñ ññ I
 =
∂ñ  ∂ñ  ∂ñ O
∂  ∂Ñ  ∂ OÑ
 =
= Ñ óó I
∂ó  ∂ó  ∂ó O
∂  ∂Ñ  ∂ OÑ
= Ñ ñó I
 =
∂ó  ∂ñ  ∂ó∂ñ
∂  ∂Ñ  ∂ OÑ
 =
= Ñ óñ K
∂ñ  ∂ó  ∂ñ∂ó
fÑ íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉë ~êÉ ÅçåíáåìçìëI íÜÉå
∂ OÑ
∂ OÑ
=
K
∂ó∂ñ ∂ñ∂ó
848. `Ü~áå oìäÉë
fÑ Ñ (ñ I ó ) = Ö(Ü(ñ I ó )) EÖ áë ~ ÑìåÅíáçå çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉ ÜFI íÜÉå
∂Ü ∂Ñ
∂Ü
∂Ñ
= Ö′(Ü(ñ I ó )) I
= Ö′(Ü(ñ I ó )) K
∂ñ ∂ó
∂ñ
∂ó
fÑ Ü(í ) = Ñ (ñ (í )I ó (í )) I íÜÉå Ü′(í ) =
∂Ñ Çñ ∂Ñ Çó
+
K
∂ñ Çí ∂ó Çí
fÑ ò = Ñ (ñ (ìI î )I ó (ìI î )) I íÜÉå
∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ó ∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ó
=
+
K
+
=
I
∂ì ∂ñ ∂ì ∂ó ∂ì ∂î ∂ñ ∂î ∂ó ∂î
849. pã~ää `Ü~åÖÉë
∂Ñ
∂Ñ
Ƙ ŠƖ + Ɨ
∂ó
∂ñ
223
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
850. içÅ~ä j~ñáã~ ~åÇ jáåáã~
Ñ (ñ I ó ) Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í (ñ M I ó M ) áÑ Ñ (ñ I ó ) ≤ Ñ (ñ M I ó M )
Ñçê ~ää (ñ I ó ) ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç (ñ M I ó M ) K
Ñ (ñ I ó ) Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í (ñ M I ó M ) áÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ Ñ (ñ M I ó M )
Ñçê ~ää (ñ I ó ) ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç (ñ M I ó M ) K
851. pí~íáçå~êó mçáåíë
∂Ñ ∂Ñ
=MK
=
∂ñ ∂ó
içÅ~ä ã~ñáã~ ~åÇ äçÅ~ä ãáåáã~ çÅÅìê ~í ëí~íáçå~êó éçáåíëK
852. p~ÇÇäÉ mçáåí
^ ëí~íáçå~êó éçáåí ïÜáÅÜ áë åÉáíÜÉê ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã
åçê ~ äçÅ~ä ãáåáãìã
853. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê pí~íáçå~êó mçáåíë
∂Ñ ∂Ñ
iÉí (ñ M I ó M ) ÄÉ ~ ëí~íáçå~êó éçáåí E
=
= M FK
∂ñ ∂ó
Ñ ññ (ñ M I ó M ) Ñ ñó (ñ M I ó M )
K
a=
Ñ óñ (ñ M I ó M ) Ñ óó (ñ M I ó M )
fÑ
fÑ
fÑ
fÑ
a > M I Ñ ññ (ñ M I ó M ) > M I (ñ M I ó M ) áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ãáåáã~K
a > M I Ñ ññ (ñ M I ó M ) < M I (ñ M I ó M ) áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ã~ñáã~K
a < M I (ñ M I ó M ) áë ~ ë~ÇÇäÉ éçáåíK
a = M I íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
854. q~åÖÉåí mä~åÉ
qÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ í~åÖÉåí éä~åÉ íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ò = Ñ (ñ I ó )
~í (ñ M I ó M I ò M ) áë
ò − ò M = Ñ ñ (ñ M I ó M )(ñ − ñ M ) + Ñ ó (ñ M I ó M )(ó − ó M ) K
224
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
855. kçêã~ä íç pìêÑ~ÅÉ
qÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ åçêã~ä íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ò = Ñ (ñ I ó ) ~í
(ñ M I ó M I ò M ) áë
ñ − ñM
ó − óM
ò − òM
=
=
K
Ñ ñ ( ñ M I ó M ) Ñ ó (ñ M I ó M )
−N
8.9 Differential Operators
r r r
råáí îÉÅíçêë ~äçåÖ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ ~ñÉëW á I à I â
pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåë EëÅ~ä~ê ÑáÉäÇëFW Ñ (ñ I ó I ò ) I ì(ñ N I ñ O I KI ñ å )
dê~ÇáÉåí çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑáÉäÇW Öê~Ç ì I ∇ì
∂Ñ
aáêÉÅíáçå~ä ÇÉêáî~íáîÉW
∂ä
r
sÉÅíçê ÑìåÅíáçå EîÉÅíçê ÑáÉäÇFW c (mI nI o )
r
r
aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Çáî c I ∇ ⋅ c
r
r
`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Åìêä c I ∇ × c
i~éä~Åá~å çéÉê~íçêW ∇ O
856. dê~ÇáÉåí çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå
 ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ 
Öê~Ç Ñ = ∇Ñ =  I I  I
 ∂ñ ∂ó ∂ò 
 ∂ì ∂ì
∂ì 
K
Öê~Ç ì = ∇ì = 
I
IKI
∂ñ å 
 ∂ñ N ∂ñ O
857. aáêÉÅíáçå~ä aÉêáî~íáîÉ
∂Ñ
∂Ñ
∂Ñ ∂Ñ
= Åçë α + Åçë β + Åçë γ I
∂ó
∂ò
∂ä ∂ñ
225
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
ïÜÉêÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê
r
ä (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) I Åçë O α + Åçë O β + Åçë O γ = N K
858. aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ
r
r ∂m ∂n ∂o
+
+
Çáî c = ∇ ⋅ c =
∂ñ ∂ó ∂ò
859. `ìêä çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ
r
r
á
à
r
r ∂
∂
Åìêä c = ∇ × c =
∂ñ ∂ñ
m n
r
â
∂
∂ñ
o
 ∂o ∂n  r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r
 á +  −
= 
−
− â
 à + 
 ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó 
860. i~éä~Åá~å léÉê~íçê
∂ OÑ ∂ OÑ ∂ OÑ
∇ OÑ = O + O + O
∂ò
∂ó
∂ñ
(
)
(
)
r
r
861. Çáî Åìêä c = ∇ ⋅ ∇ × c ≡ M
862. Åìêä(Öê~Ç Ñ ) = ∇ × (∇Ñ ) ≡ M
863. Çáî (Öê~Ç Ñ ) = ∇ ⋅ (∇Ñ ) = ∇ OÑ
(
)
(
)
( )
r
r
r
r
r
864. Åìêä Åìêä c = Öê~Ç Çáî c − ∇ Oc = ∇ ∇ ⋅ c − ∇ Oc
226
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 9
Integral Calculus
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ìI î
fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëW ñI íI ξ
fåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ∫ Ñ (ñ )Çñ I ∫ Ö (ñ )Çñ I £
aÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ó ′(ñ ) I Ñ ′(ñ ) I c′(ñ ) I £
oÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI ÅI ÇI â
k~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI åI áI à
9.1 Indefinite Integral
865.
∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ ) + ` áÑ c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K
866.
(∫ Ñ (ñ )Çñ ) ′= Ñ (ñ )
867.
∫ âÑ (ñ )Çñ = â ∫ Ñ (ñ )Çñ
868.
∫ [Ñ (ñ ) + Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ö(ñ )Çñ
869.
∫ [Ñ (ñ ) − Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ − ∫ Ö(ñ )Çñ
870.
∫ Ñ (~ñ )Çñ = ~ c(~ñ ) + `
N
227
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
N
871.
∫ Ñ (~ñ + Ä)Çñ = ~ c(~ñ + Ä) + `
872.
N
∫ Ñ (ñ )Ñ ′(ñ )Çñ = O Ñ (ñ ) + `
873.
∫ Ñ (ñ ) Çñ = äå Ñ (ñ ) + `
O
Ñ ′(ñ )
874. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçå
∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ì(í ))ì′(í )Çí áÑ ñ = ì(í ) K
875. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë
∫ ìÇî = ìî − ∫ îÇì I
ïÜÉêÉ ì(ñ ) I î (ñ ) ~êÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåëK
9.2 Integrals of Rational Functions
876.
∫ ~Çñ = ~ñ + `
877.
∫ ñÇñ =
878.
O
∫ ñ Çñ =
ñP
+`
P
879.
é
∫ ñ Çñ =
ñ é +N
+ ` I é ≠ −N K
é+N
ñO
+`
O
228
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
880.
å +N
(
~ñ + Ä)
∫ (~ñ + Ä) Çñ = ~(å + N) + ` I å ≠ −N K
881.
∫
882.
∫ ~ñ + Ä = ~ äå ~ñ + Ä + `
883.
∫ Åñ + Ç Çñ = Å ñ +
884.
∫ (ñ + ~ )(ñ + Ä) = ~ − Ä äå ñ + ~ + ` I ~ ≠ Ä K
885.
N
ñÇñ
∫ ~ + Äñ = Ä (~ + Äñ − ~ äå ~ + Äñ ) + `
886.
ñ OÇñ
N N

O
O
∫ ~ + Äñ = ÄP  O (~ + Äñ ) − O~(~ + Äñ ) + ~ äå ~ + Äñ  + `
887.
∫ ñ (~ + Äñ ) = ~ äå
888.
∫ ñ (~ + Äñ ) = − ~ñ + ~
889.
∫ (~ + Äñ )
å
Çñ
= äå ñ + `
ñ
Çñ
N
~ñ + Ä
~
Çñ
ÄÅ − ~Ç
äå Åñ + Ç + `
ÅO
ñ+Ä
N
O
Çñ
N
Çñ
~ + Äñ
+`
ñ
N
O
ñÇñ
O
=
Ä
O
äå
~ + Äñ
+`
ñ
N
~ 
äå ~ + Äñ +
+`
O 
Ä 
~ + Äñ 
229
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
890.
~O 
ñ OÇñ
N

+`
=
+
−
+
−
~
Äñ
O
~
äå
~
Äñ
∫ (~ + Äñ )O ÄP 
~ + Äñ 
891.
∫ ñ (~ + Äñ )
892.
∫ñ
893.
∫ N− ñ
894.
∫~
O
895.
∫ñ
O
896.
∫ N+ ñ
897.
∫~
O
898.
∫ñ
O
899.
∫ ~ + Äñ
Çñ
O
=
N
N ~ + Äñ
+ O äå
+`
~ (~ + Äñ ) ~
ñ
Çñ
N ñ −N
+`
= äå
−N O ñ +N
O
Çñ
O
N N+ ñ
= äå
+`
O N− ñ
Çñ
N ~+ñ
+`
= äå
O
O~ ~ − ñ
−ñ
ñ−~
Çñ
N
+`
= äå
O
O~ ñ + ~
−~
Çñ
O
= í~å −N ñ + `
Çñ
ñ
N
= í~å −N + `
O
~
~
+ñ
ñÇñ
N
= äå(ñ O + ~ O ) + `
O
+~
O
Çñ
O
=
 Ä
N
 + ` I ~Ä > M K
~êÅí~å ñ

~
~Ä


230
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
ñÇñ
~
N
äå ñ O + + `
Ä
OÄ
900.
∫ ~ + Äñ
901.
ñO
Çñ
N
=
äå
∫ ñ (~ + Äñ O ) O~ ~ + Äñ O + `
902.
∫~
O
O
=
Çñ
N
~ + Äñ
=
äå
+`
O O
−Ä ñ
O~Ä ~ − Äñ
O~ñ + Ä − ÄO − Q~Å
Çñ
N
903. ∫ O
=
+`I
äå
~ñ + Äñ + Å
ÄO − Q~Å O~ñ + Ä + ÄO − Q~Å
ÄO − Q~Å > M K
904.
O~ñ + Ä
Çñ
O
=
+` I
~êÅí~å
+ Äñ + Å
Q~Å − ÄO
Q~Å − ÄO
ÄO − Q~Å < M K
∫ ~ñ
O
9.3 Integrals of Irrational Functions
905.
∫
Çñ
O
~ñ + Ä + `
=
~ñ + Ä ~
906.
∫
~ñ + Ä Çñ =
907.
∫
ñÇñ
O(~ñ − OÄ)
=
~ñ + Ä + `
P~ O
~ñ + Ä
P
O
(~ñ + Ä) O + `
P~
231
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
908.
909.
910.
∫ñ
~ñ + Ä Çñ =
P
O(P~ñ − OÄ)
(~ñ + Ä) O + `
O
NR~
~ñ + Ä − Ä − ~Å
Çñ
N
äå
=
+`I
~ñ + Ä + Ä − ~Å
~ñ + Ä
Ä − ~Å
Ä − ~Å > M K
∫ (ñ + Å )
~ñ + Ä
Çñ
N
~êÅí~å
=
+`I
~Å − Ä
~ñ + Ä
~Å − Ä
Ä − ~Å < M K
∫ (ñ + Å )
911.
∫
~ñ + Ä
N
(~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) −
Çñ =
Åñ + Ç
Å
~Ç − ÄÅ
äå ~ (Åñ + Ç ) + Å(~ñ + Ä) + ` I ~ > M K
−
Å ~Å
912.
∫
~ñ + Ä
N
Çñ =
Åñ + Ç
Å
−
913.
~ (Åñ + Ç )
~Ç − ÄÅ
~êÅí~å
+ ` I E ~ < M I Å > M FK
Å(~ñ + Ä)
Å ~Å
O
∫ ñ ~ + Äñ Çñ =
914.
∫
915.
∫ñ
(~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) −
O(U~ O − NO~Äñ + NRÄO ñ O )
NMRÄP
(~ + Äñ )P + `
ñ OÇñ
O(U~ O − Q~Äñ + PÄO ñ O )
=
~ + Äñ + `
NRÄP
~ + Äñ
Çñ
N
~ + Äñ − ~
=
äå
+`I ~ >MK
~ + Äñ
~
~ + Äñ + ~
232
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Çñ
O
~ + Äñ
=
~êÅí~å
+`I ~ <MK
−~
~ + Äñ
−~
916.
∫ñ
917.
∫
~−ñ
Çñ =
Ä+ ñ
918.
∫
~+ñ
Ä−ñ
Çñ = − (~ + ñ )(Ä − ñ ) − (~ + Ä)~êÅëáå
+`
Ä−ñ
~+Ä
919.
∫
N+ ñ
Çñ = − N − ñ O + ~êÅëáå ñ + `
N− ñ
920.
∫ (ñ − ~ )(Ä − ~ ) = O ~êÅëáå
921.
∫
922.
∫
(~ − ñ )(Ä + ñ ) + (~ + Ä)~êÅëáå
Çñ
∫
924.
∫
ñ −~
+`
Ä−~
OÅñ − Ä
~ + Äñ − Åñ O +
QÅ
ÄO − Q~Å
OÅñ − Ä
+
~êÅëáå
+`
U ÅP
ÄO + Q~Å
~ + Äñ − Åñ O Çñ =
Çñ
~ñ O + Äñ + Å
~ > MK
923.
ñ+Ä
+`
~+Ä
Çñ
~ñ + Äñ + Å
O
ñ O + ~ O Çñ =
=
N
äå O~ñ + Ä + O ~ (~ñ O + Äñ + Å ) + ` I
~
=−
N
O~ñ + Ä O
~êÅëáå
Ä − Q~Å + ` I ~ < M K
Q~
~
ñ O O ~O
ñ + ~ + äå ñ + ñ O + ~ O + `
O
O
233
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
925.
∫ñ
926.
∫ñ
ñ O + ~ O Çñ =
ñ O + ~ O Çñ =
O
−
927.
∫
928.
∫
929.
∫
930.
∫
931.
∫
932.
∫ñ
933.
∫
934.
∫ñ
N O O PO
(ñ + ~ ) + `
P
ñ
(
Oñ O + ~ O ) ñ O + ~ O −
U
~Q
äå ñ + ñ O + ~ O + `
U
ñ O + ~O
ñ O + ~O
Çñ
=
−
+ äå ñ + ñ O + ~ O + `
ñO
ñ
Çñ
ñ +~
O
O
= äå ñ + ñ O + ~ O + `
ñ O + ~O
ñ
Çñ = ñ O + ~ O + ~ äå
+`
ñ
~ + ñ O + ~O
ñÇñ
ñ +~
O
O
ñ OÇñ
ñ O + ~O
= ñ O + ~O + `
=
ñ O O ~O
ñ + ~ − äå ñ + ñ O + ~ O + `
O
O
Çñ
N
ñ
= äå
+`
ñ O + ~O ~ ~ + ñ O + ~O
ñ O − ~ O Çñ =
ñ O O ~O
ñ − ~ − äå ñ + ñ O − ~ O + `
O
O
ñ O − ~ O Çñ =
N O O PO
(ñ − ~ ) + `
P
234
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫
ñO − ~O
~
Çñ = ñ O − ~ O + ~ ~êÅëáå + `
ñ
ñ
936.
∫
ñO − ~O
ñ O − ~O
Çñ
=−
+ äå ñ + ñ O − ~ O + `
O
ñ
ñ
937.
∫
938.
∫
935.
Çñ
ñ −~
O
= äå ñ + ñ O − ~ O + `
O
ñÇñ
ñ −~
O
= ñO − ~O + `
O
ñ OÇñ
ñ O O ~O
=
ñ − ~ + äå ñ + ñ O − ~ O + `
O
O
O
O
ñ −~
939.
∫
940.
∫ñ
941.
∫ (ñ + ~ )
942.
∫ (ñ − ~ )
Çñ
N
~
= − ~êÅëáå + `
~
ñ
ñ −~
O
O
Çñ
ñ O − ~O
Çñ
ñ −~
O
Çñ
943.
∫ñ
944.
∫ (ñ
O
ñ O − ~O
Çñ
O
− ~O ) O
P
O
=
=−
=
N ñ −~
+`
~ ñ+~
=−
N ñ+~
+`
~ ñ −~
ñ O − ~O
+`
~Oñ
ñ
~O ñ O − ~O
+`
235
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
945.
∫ (ñ
O
− ~ O ) O Çñ = −
P
ñ
(
Oñ O − R~ O ) ñ O − ~ O +
U
P~ Q
+
äå ñ + ñ O − ~ O + `
U
ñ O
~O
ñ
~ − ñ O + ~êÅëáå + `
O
~
O
946.
∫
947.
O
O
∫ ñ ~ − ñ Çñ = −
948.
O
O
O
∫ ñ ~ − ñ Çñ =
~ O − ñ O Çñ =
P
N O
(
~ − ñO ) O + `
P
ñ
~Q
ñ
(
Oñ O − ~ O ) ~ O − ñ O + ~êÅëáå + `
U
U
~
∫
~O − ñ O
ñ
Çñ = ~ O − ñ O + ~ äå
+`
ñ
~ + ~O − ñ O
950.
∫
~O − ñO
~O − ñO
ñ
Çñ
=
−
− ~êÅëáå + `
O
ñ
ñ
~
951.
∫
952.
∫
953.
∫
949.
954.
∫
Çñ
= ~êÅëáå ñ + `
N− ñO
Çñ
~O − ñO
ñÇñ
~ −ñ
O
O
ñ OÇñ
~O − ñ O
= ëáå
ñ
+`
~
= − ~O − ñ O + `
=−
ñ O
~O
ñ
~ − ñ O + ~êÅëáå + `
O
O
~
236
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Çñ
955.
∫ (ñ + ~ )
956.
∫ (ñ − ~ )
~O − ñ O
Çñ
~O − ñ O
Çñ
957.
∫ (ñ + Ä )
958.
∫ (ñ + Ä )
~O − ñ O
Çñ
~ −ñ
O
O
=−
N ~−ñ
+`
O ~+ñ
=−
N ~+ñ
+`
O ~−ñ
N
=
ÄO − ~ O
N
=
~ −Ä
O
O
~êÅëáå
äå
Äñ + ~ O
+`I Ä>~ K
~ (ñ + Ä )
ñ+Ä
~ −Ä
O
O
~ O − ñ O + ~ O + Äñ
Ä<~ K
Çñ
959.
∫ñ
960.
∫ (~
961.
∫ (~
O
O
~O − ñO
− ñ O ) O Çñ =
P
Çñ
O
=−
−ñ
O
)
P
=
O
~O − ñO
+`
~Oñ
ñ O
P~ Q
ñ
(
R~ − Oñ O ) ~ O − ñ O +
~êÅëáå + `
U
U
~
ñ
~O ~O − ñ O
+`
9.4 Integrals of Trigonometric Functions
962.
∫ ëáå ñÇñ = − Åçë ñ + `
963.
∫ Åçë ñÇñ = ëáå ñ + `
237
http://fribok.blogspot.com/
+ `I
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
ñ Çñ =
ñ N
− ëáå Oñ + `
O Q
ñ Çñ =
ñ N
+ ëáå Oñ + `
O Q
964.
∫ ëáå
965.
∫ Åçë
966.
∫ ëáå
967.
∫ Åçë
968.
∫ ëáå ñ = ∫ ÅëÅ ñ Çñ = äå í~å O + `
969.
∫ Åçë ñ = ∫ ëÉÅ ñ Çñ = äå í~å O + Q  + `
970.
∫ ëáå
971.
∫ Åçë
972.
∫ ëáå
973.
∫ Åçë
974.
∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = − Q Åçë Oñ + `
O
O
P
N
N
P
ñ Çñ = ÅçëP ñ − Åçë ñ + ` = Åçë Pñ − Åçë ñ + `
NO
Q
P
P
N
N
P
ñ Çñ = ëáå ñ − ëáå P ñ + ` = ëáå Pñ + ëáå ñ + `
P
NO
Q
Çñ
ñ
Çñ
ñ
Çñ
O
ñ
= ∫ ÅëÅ O ñ Çñ = − Åçí ñ + `
ñ
= ∫ ëÉÅ O ñ Çñ = í~å ñ + `
ñ
= ∫ ÅëÅ P ñ Çñ = −
ñ
= ∫ ëÉÅ P ñ Çñ =
Çñ
O
Çñ
P
Çñ
P
π
Åçë ñ
N
ñ
+ äå í~å + `
O
O ëáå ñ O
O
ëáå ñ
N
 ñ π
+ äå í~å +
+`
O
O Åçë ñ O
O Q
N
238
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
N
ñ Åçë ñ Çñ = ëáå P ñ + `
P
975.
∫ ëáå
976.
∫ ëáå ñ Åçë
977.
∫ ëáå
978.
∫ í~å ñÇñ = − äå Åçë ñ + `
979.
∫ Åçë
980.
ëáå O ñ
 ñ π
∫ Åçë ñ Çñ = äå í~å O + Q  − ëáå ñ + `
981.
∫ í~å
982.
∫ Åçí ñÇñ = äå ëáå ñ + `
983.
∫ ëáå
O
O
O
N
ñ Çñ = − ÅçëP ñ + `
P
ñ Åçë O ñ Çñ =
ñ N
− ëáå Q ñ + `
U PO
ëáå ñ
N
+ ` = ëÉÅ ñ + `
Çñ =
O
ñ
Åçë ñ
O
ñ Çñ = í~å ñ − ñ + `
Åçë ñ
N
+ ` = − ÅëÅ ñ + `
Çñ = −
O
ñ
ëáå ñ
Åçë O ñ
ñ
Çñ = äå í~å + Åçë ñ + `
984. ∫
ëáå ñ
O
985.
∫ Åçí
986.
∫ Åçë ñ ëáå ñ = äå í~å ñ + `
O
ñ Çñ = − Åçí ñ − ñ + `
Çñ
239
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Çñ
N
 ñ π
=−
+ äå í~å +  + `
ñ Åçë ñ
ëáå ñ
O Q
987.
∫ ëáå
988.
∫ ëáå ñ Åçë
989.
∫ ëáå
990.
∫ ëáå ãñ ëáå åñ Çñ = − O(ã + å)
O
Çñ
O
O
ñ
=
N
ñ
+ äå í~å + `
Åçë ñ
O
Çñ
= í~å ñ − Åçí ñ + `
ñ Åçë O ñ
ëáå(ã + å )ñ
+
ëáå(ã − å )ñ
+`I
O(ã − å )
−
Åçë(ã − å )ñ
+`I
O(ã − å )
ãO ≠ åO K
991.
Åçë(ã + å )ñ
∫ ëáå ãñ Åçë åñ Çñ = − O(ã + å)
ãO ≠ åO K
992.
ëáå(ã + å )ñ
∫ Åçë ãñ Åçë åñ Çñ = O(ã + å)
+
ëáå(ã − å )ñ
+`I
O(ã − å )
ãO ≠ åO K
993.
∫ ëÉÅ ñ í~å ñÇñ = ëÉÅ ñ + `
994.
∫ ÅëÅ ñ Åçí ñÇñ = − ÅëÅ ñ + `
995.
å
∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = −
Åçë å+N ñ
+`
å +N
ëáå å +N ñ
996. ∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ =
+`
å +N
å
240
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
997.
∫ ~êÅëáå ñ Çñ = ñ ~êÅëáå ñ +
N− ñO + `
998.
∫ ~êÅÅçë ñ Çñ = ñ ~êÅÅçë ñ −
N− ñO + `
999.
∫ ~êÅí~å ñ Çñ = ñ ~êÅí~å ñ − O äå(ñ
N
O
+ N) + `
N
1000. ∫ ~êÅ Åçí ñ Çñ = ñ ~êÅ Åçí ñ + äå(ñ O + N) + `
O
9.5 Integrals of Hyperbolic Functions
1001. ∫ ëáåÜ ñÇñ = ÅçëÜ ñ + `
1002. ∫ ÅçëÜ ñÇñ = ëáåÜ ñ + `
1003. ∫ í~åÜ ñ Çñ = äå ÅçëÜ ñ + `
1004. ∫ ÅçíÜ ñ Çñ = äå ëáåÜ ñ + `
1005. ∫ ëÉÅÜ O ñÇñ = í~åÜ ñ + `
1006. ∫ ÅëÅÜ O ñÇñ = − ÅçíÜ ñ + `
1007. ∫ ëÉÅÜñ í~åÜ ñÇñ = −ëÉÅÜñ + `
241
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1008. ∫ ÅëÅÜñ ÅçíÜ ñÇñ = −ÅëÅÜñ + `
9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic
Functions
1009. ∫ É ñ Çñ = É ñ + `
~ñ
1010. ∫ ~ Çñ =
+`
äå ~
ñ
1011. ∫ É ~ñ Çñ =
É ~ñ
+`
~
1012. ∫ ñÉ ~ñ Çñ =
É ~ñ
(~ñ − N) + `
~O
1013. ∫ äå ñ Çñ = ñ äå ñ − ñ + `
1014.
Çñ
∫ ñ äå ñ = äå äå ñ + `
 äå ñ
N 
1015. ∫ ñ å äå ñ Çñ = ñ å +N 
−
+`
O
 å + N (å + N) 
1016. ∫ É ~ñ ëáå Äñ Çñ =
~ ëáå Äñ − Ä Åçë Äñ ~ñ
É +`
~ O + ÄO
242
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1017. ∫ É ~ñ Åçë Äñ Çñ =
~ Åçë Äñ + Ä ëáå Äñ ~ñ
É +`
~ O + ÄO
9.7 Reduction Formulas
1018. ∫ ñ å É ãñ Çñ =
1019.
N å ãñ å
ñ É − ∫ ñ å −NÉ ãñ Çñ
ã
ã
É ãñ
É ãñ
ã É ãñ
Çñ
=
−
+
Çñ I å ≠ N K
∫ ñå
(å − N)ñ å−N å − N ∫ ñ å−N
1020. ∫ ëáåÜ å ñÇñ =
1021.
Çñ
∫ ëáåÜ
å
ñ
=−
1022. ∫ ÅçëÜ å ñÇñ =
1023.
Çñ
∫ ÅçëÜ
å
ñ
=−
N
å −N
ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ −
ëáåÜ å −O ñÇñ
∫
å
å
ÅçëÜ ñ
å−O
Çñ
−
I å ≠NK
å −N
∫
(å − N) ëáåÜ ñ å − N ëáåÜ å−O ñ
N
å −N
ëáåÜ ñ ÅçëÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ +
ÅçëÜ å −O ñÇñ
∫
å
å
ëáåÜ ñ
å−O
Çñ
+
I å ≠NK
å −N
∫
(å − N) ÅçëÜ ñ å − N ÅçëÜ å−O ñ
ëáåÜ å +N ñ ÅçëÜ ã −N ñ
1024. ∫ ëáåÜ ñ ÅçëÜ ñÇñ =
å+ã
ã −N
+
ëáåÜ å ñ ÅçëÜ ã −O ñÇñ
∫
å+ã
å
ã
1025. ∫ ëáåÜ å ñ ÅçëÜ ã ñÇñ =
ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ã +N ñ
å+ã
243
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
å −N
ëáåÜ å −O ñ ÅçëÜ ã ñÇñ
∫
å+ã
−
1026. ∫ í~åÜ å ñÇñ = −
N
í~åÜ å −N ñ + ∫ í~åÜ å −O ñÇñ I å ≠ N K
å −N
1027. ∫ ÅçíÜ å ñÇñ = −
N
ÅçíÜ å −N ñ + ∫ ÅçíÜ å − O ñÇñ I å ≠ N K
å −N
ëÉÅÜ å −O ñ í~åÜ ñ å − O
1028. ∫ ëÉÅÜ ñÇñ =
+
ëÉÅÜ å −O ñÇñ I å ≠ N K
∫
å −N
å −N
å
N
å −N
1029. ∫ ëáå å ñÇñ = − ëáå å −N ñ Åçë ñ +
ëáå å −O ñÇñ
∫
å
å
1030.
Çñ
∫ ëáå
å
ñ
=−
1031. ∫ Åçë å ñÇñ =
1032.
Çñ
∫ Åçë
å
ñ
=
Åçë ñ
å−O
Çñ
+
I å ≠NK
å −N
∫
(å − N) ëáå ñ å − N ëáå å−O ñ
å −N
N
ëáå ñ Åçë å −N ñ +
Åçë å −O ñÇñ
∫
å
å
ëáå ñ
å−O
Çñ
+
I å ≠NK
å −N
∫
(å − N) Åçë ñ å − N Åçë å−O ñ
1033. ∫ ëáå å ñ Åçë ã ñÇñ =
+
ëáå å+N ñ Åçë ã −N ñ
å+ã
ã −N
ëáå å ñ Åçë ã −O ñÇñ
å+ã∫
1034. ∫ ëáå å ñ Åçë ã ñÇñ = −
ëáå å −N ñ Åçë ã +N ñ
å+ã
244
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
+
å −N
ëáå å −O ñ Åçë ã ñÇñ
∫
å+ã
1035. ∫ í~å å ñÇñ =
N
í~å å −N ñ − ∫ í~å å −O ñÇñ I å ≠ N K
å −N
1036. ∫ Åçí å ñÇñ = −
N
Åçí å −N ñ − ∫ Åçí å−O ñÇñ I å ≠ N K
å −N
ëÉÅ å −O ñ í~å ñ å − O
1037. ∫ ëÉÅ ñÇñ =
+
ëÉÅ å −O ñÇñ I å ≠ N K
∫
å −N
å −N
å
1038. ∫ ÅëÅ å ñÇñ = −
ÅëÅ å −O ñ Åçí ñ å − O
+
ÅëÅ å −O ñÇñ I å ≠ N K
∫
å −N
å −N
1039. ∫ ñ å äå ã ñÇñ =
1040.
ñ å +N äå ã ñ ã
−
ñ å äå ã −N ñÇñ
å +N
å +N ∫
äå ã ñ
äå ã ñ
ã äå ã −N ñ
Çñ
=
−
+
Çñ I å ≠ N K
∫ ñå
(å − N)ñ å−N å − N ∫ ñ å
1041. ∫ äå å ñÇñ = ñ äå å ñ − å ∫ äå å −N ñÇñ
1042. ∫ ñ å ëáåÜ ñÇñ = ñ å ÅçëÜ ñ − å ∫ ñ å −N ÅçëÜ ñÇñ
1043. ∫ ñ å ÅçëÜ ñÇñ = ñ å ëáåÜ ñ − å ∫ ñ å −N ëáåÜ ñÇñ
1044. ∫ ñ å ëáå ñÇñ = − ñ å Åçë ñ + å ∫ ñ å −N Åçë ñÇñ
1045. ∫ ñ å Åçë ñÇñ = ñ å ëáå ñ − å ∫ ñ å −N ëáå ñÇñ
245
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1046. ∫ ñ å ëáå −N ñÇñ =
ñ å +N
N
ñ å +N
ëáå −N ñ −
Çñ
å +N
å + N ∫ N− ñO
1047. ∫ ñ å Åçë −N ñÇñ =
ñ å +N
N
ñ å +N
Åçë −N ñ +
Çñ
å +N
å + N ∫ N− ñO
1048. ∫ ñ å í~å −N ñÇñ =
N
ñ å +N
ñ å +N
Çñ
í~å −N ñ −
å +N
å + N ∫ N+ ñO
ñ å Çñ
ñ Ä
Çñ
1049. ∫ å
= − ∫ å
~ñ + Ä ~ ~ ~ñ + Ä
1050.
∫ (~ñ
1051.
∫ (ñ
1052.
Çñ
Çñ
+~
å ≠NK
∫ (ñ
O
Çñ
O
− O~ñ − Ä
=
(å − N)(Ä − Q~Å )(~ñ O + Äñ + Å )
+ Äñ + Å )
O(Oå − P)~
Çñ
−
I å ≠NK
O
∫
O
(å − N)(Ä − Q~Å ) (~ñ + Äñ + Å )å−N
å
O
)
=
)
=−
O å
å −N
O
ñ
O(å − N)~ O (ñ O + ~
)
O å −N
+
Oå − P
O(å − N)~ O
ñ
O(å − N)~ O (ñ O − ~ O )
Oå − P
Çñ
−
I å ≠NK
O ∫
O(å − N)~ (ñ O − ~ O )å−N
−~
O å
å −N
246
http://fribok.blogspot.com/
∫ (ñ
Çñ
O
+ ~O )
å −N
I
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
9.8 Definite Integral
Ä
Ä
~
~
aÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ∫ Ñ (ñ )Çñ I ∫ Ö (ñ )Çñ I £
å
oáÉã~åå ëìãW
∑ Ñ (ξ )∆ñ
á
á =N
á
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW ∆ñ á
^åíáÇÉêáî~íáîÉëW c(ñ ) I d(ñ )
iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI ÅI Ç
Ä
1053. ∫ Ñ (ñ )Çñ =
~
å
äáã
∑ Ñ (ξ )∆ñ
å→∞
ã~ñ ∆ñ á →M á =N
á
á
I
ïÜÉêÉ ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I ñ á −N ≤ ξ á ≤ ñ á K
Figure 179.
247
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Ä
1054. ∫ NÇñ = Ä − ~
~
Ä
Ä
~
~
1055. ∫ âÑ (ñ )Çñ = â ∫ Ñ (ñ )Çñ
1056.
1057.
Ä
Ä
Ä
~
~
~
Ä
Ä
Ä
~
~
~
∫ [Ñ (ñ ) + Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ö(ñ )Çñ
∫ [Ñ (ñ ) − Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ − ∫ Ö(ñ )Çñ
~
1058. ∫ Ñ (ñ )Çñ = M
~
Ä
~
~
Ä
1059. ∫ Ñ (ñ )Çñ = − ∫ Ñ (ñ )Çñ
Ä
Å
Ä
~
~
Å
1060. ∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ñ (ñ )Çñ Ñçê ~ < Å < Ä K
Ä
1061. ∫ Ñ (ñ )Çñ ≥ M áÑ Ñ (ñ ) ≥ M çå [~ I Ä] K
~
Ä
1062. ∫ Ñ (ñ )Çñ ≤ M áÑ Ñ (ñ ) ≤ M çå [~ I Ä] K
~
248
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1063. cìåÇ~ãÉåí~ä qÜÉçêÉã çÑ `~äÅìäìë
Ä
∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ )
Ä
~
= c(Ä) − c(~ ) áÑ c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K
~
1064. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçå
fÑ ñ = Ö (í ) I íÜÉå
Ä
Ç
~
Å
∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (Ö(í ))Ö′(í )Çí I
ïÜÉêÉ
Å = Ö −N (~ ) I Ç = Ö −N (Ä) K
1065. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë
Ä
Ä
∫ ìÇî = (ìî ) ~ − ∫ îÇì
~
Ä
~
1066. qê~éÉòçáÇ~ä oìäÉ
Ä
å −N
Ä−~ 

(
)
(
)
Ñ
ñ
Çñ
Ñ
(
ñ
)
Ñ
ñ
O
Ñ (ñ á )
=
+
+
∑
M
å

∫~
Oå 
á =N

249
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 180.
1067. páãéëçå∞ë oìäÉ
Ä
Ä−~
∫~ Ñ (ñ )Çñ = På [Ñ (ñ M ) + QÑ (ñ N ) + OÑ (ñ O ) + QÑ (ñ P ) +
+ OÑ (ñ Q ) + K + QÑ (ñ å −N ) + Ñ (ñ å )] I
ïÜÉêÉ
Ä−~
ñá = ~ +
á I á = MI NI OI KI å K
å
250
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 181.
1068. ^êÉ~ råÇÉê ~ `ìêîÉ
Ä
p = ∫ Ñ (ñ )Çñ = c(Ä) − c(~ ) I
~
ïÜÉêÉ c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K
251
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 182.
1069. ^êÉ~ _ÉíïÉÉå qïç `ìêîÉë
Ä
p = ∫ [Ñ (ñ ) − Ö (ñ )]Çñ = c(Ä) − d(Ä) − c(~ ) + d(~ ) I
~
ïÜÉêÉ c′(ñ ) = Ñ (ñ ) I d′(ñ ) = Ö (ñ ) K
252
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 183.
9.9 Improper Integral
Ä
1070. qÜÉ ÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä
∫ Ñ (ñ )Çñ áë Å~ääÉÇ ~å áãéêçéÉê áåíÉÖê~ä
~
áÑ
•
•
~ çê Ä áë áåÑáåáíÉI
Ñ (ñ ) Ü~ë çåÉ çê ãçêÉ éçáåíë çÑ ÇáëÅçåíáåìáíó
áå íÜÉ áåíÉêî~ä [~ I Ä] K
1071. fÑ Ñ (ñ ) áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå [~ I ∞ ) I íÜÉå
∞
å
∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K
~
å →∞
~
253
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 184.
1072. fÑ Ñ (ñ ) áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå (− ∞I Ä] I íÜÉå
Ä
Ä
∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K
−∞
å→ −∞
å
Figure 185.
254
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
kçíÉ W qÜÉ áãéêçéÉê áåíÉÖê~äë áå NMTNI NMTO ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåí
áÑ íÜÉ äáãáíë Éñáëí ~åÇ ~êÉ ÑáåáíÉX çíÜÉêïáëÉ íÜÉ áåíÉÖê~äë ~êÉ
ÇáîÉêÖÉåíK
1073.
∞
Å
∞
−∞
−∞
Å
∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ñ (ñ )Çñ
Figure 186.
fÑ Ñçê ëçãÉ êÉ~ä åìãÄÉê ÅI ÄçíÜ çÑ íÜÉ áåíÉÖê~äë áå íÜÉ êáÖÜí
∞
ëáÇÉ ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä
∫ Ñ (ñ )Çñ
áë ~äëç
−∞
ÅçåîÉêÖÉåíX çíÜÉêïáëÉ áí áë ÇáîÉêÖÉåíK
1074. `çãé~êáëçå qÜÉçêÉãë
iÉí Ñ (ñ ) ~åÇ Ö(ñ ) ÄÉ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçåë çå íÜÉ ÅäçëÉÇ
áåíÉêî~ä [~ I ∞ ) K pìééçëÉ íÜ~í M ≤ Ö (ñ ) ≤ Ñ (ñ ) Ñçê ~ää ñ áå
[~I ∞ ) K
255
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
•
∞
∞
~
~
fÑ ∫ Ñ (ñ )Çñ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå ∫ Ö (ñ )Çñ áë ~äëç
ÅçåîÉêÖÉåíI
∞
•
fÑ ∫ Ö (ñ )Çñ
~
∞
áë ÇáîÉêÖÉåíI íÜÉå ∫ Ñ (ñ )Çñ áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
~
1075. ^ÄëçäìíÉ `çåîÉêÖÉåÅÉ
fÑ
∞
∞
~
~
∫ Ñ (ñ ) Çñ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ∫ Ñ (ñ )Çñ áë ~Äëç-
äìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK
1076. aáëÅçåíáåìçìë fåíÉÖê~åÇ
iÉí Ñ (ñ ) ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë Åçåíáåìçìë çå íÜÉ áåíÉêî~ä
[~I Ä) Äìí áë ÇáëÅçåíáåìçìë ~í ñ = Ä K qÜÉå
Ä
∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã
~
ε →M +
Ä−ε
∫ Ñ (ñ )Çñ
~
Figure 187.
256
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1077. iÉí Ñ (ñ ) ÄÉ ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå Ñçê ~ää êÉ~ä åìãÄÉêë ñ áå
íÜÉ áåíÉêî~ä [~ I Ä] ÉñÅÉéí Ñçê ëçãÉ éçáåí Å áå (~ I Ä) K qÜÉå
Å −ε
Ä
Ä
∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ + äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K
~
ε →M +
δ →M +
~
Å +δ
Figure 188.
9.10 Double Integral
cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW Ñ (ñ I ó ) I Ñ (ìI î ) I £
açìÄäÉ áåíÉÖê~äëW
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó I ∫∫ Ö(ñ I ó )ÇñÇó I £
o
oáÉã~åå ëìãW
o
∑∑ Ñ (ì I î )∆ñ ∆ó
ã
å
á =N à=N
á
à
á
à
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW ∆ñ á I ∆ó à
oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW oI p
mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ
257
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
^êÉ~W ^
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
j~ëë çÑ ~ ä~ãáå~W ã
aÉåëáíóW ρ(ñ I ó )
cáêëí ãçãÉåíëW j ñ I j ó
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W f ñ I f ó I fM
`Ü~êÖÉ çÑ ~ éä~íÉW n
`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW σ(ñ I ó )
`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó
^îÉê~ÖÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW µ
1078. aÉÑáåáíáçå çÑ açìÄäÉ fåíÉÖê~ä
qÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ êÉÅí~åÖäÉ [~I Ä]× [ÅI Ç] áë ÇÉÑáåÉÇ
íç ÄÉ
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = äáã
[~ I Ä ]×[Å I Ç ]
(
)
∑∑ Ñ (ì I î )∆ñ ∆ó
ã
å
ã~ñ ∆ñ á →M
ã~ñ ∆ó à → M á =N à=N
á
à
á
à
I
ïÜÉêÉ ì á I î à áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ êÉÅí~åÖäÉ
(ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à I ~åÇ ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I ∆ó à = ó à − ó à−N K
(
)
Figure 189.
258
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
qÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ ÖÉåÉê~ä êÉÖáçå o áë
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ I
o
[~ I Ä ]×[Å I Ç ]
ïÜÉêÉ êÉÅí~åÖäÉ [~I Ä]× [ÅI Ç] Åçåí~áåë oI
Ö(ñ I ó ) = Ñ (ñ I ó ) áÑ Ñ (ñ I ó ) áë áå o ~åÇ Ö(ñ I ó ) = M çíÜÉêïáëÉK
Figure 190.
1079.
∫∫ [Ñ (ñ I ó ) + Ö(ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^
o
1080.
o
∫∫ [Ñ (ñ I ó ) − Ö(ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ − ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^
o
1081.
o
o
o
∫∫ âÑ (ñ I ó )Ç^ = â ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I
o
o
ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK
1082. fÑ Ñ (ñ I ó ) ≤ Ö(ñ I ó ) çå oI íÜÉå
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ K
o
1083. fÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ M çå o ~åÇ p ⊂ o I íÜÉå
259
http://fribok.blogspot.com/
o
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K
p
o
Figure 191.
1084. fÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ M çå o ~åÇ o ~åÇ p ~êÉ åçå-çîÉêä~ééáåÖ
êÉÖáçåëI íÜÉå
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K
o ∪p
o
p
eÉêÉ o ∪ p áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë o ~åÇ pK
Figure 192.
260
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1085. fíÉê~íÉÇ fåíÉÖê~äë ~åÇ cìÄáåá∞ë qÜÉçêÉã
Ä è(ñ )
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫( Ñ) (ñ I ó )ÇóÇñ
o
~é ñ
Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ fI
o = {(ñ I ó ) ö ~ ≤ ñ ≤ ÄI é(ñ ) ≤ ó ≤ è(ñ )} K
Figure 193.
Ç î (ó )
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó
o
Å ì(ó )
Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ ffI
o = {(ñ I ó ) ö ì(ó ) ≤ ñ ≤ î (ó )I Å ≤ ó ≤ Ç} K
261
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 194.
1086. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê oÉÅí~åÖìä~ê oÉÖáçåë
fÑ o áë íÜÉ êÉÅí~åÖìä~ê êÉÖáçå [~I Ä]× [ÅI Ç] I íÜÉå
Ä Ç
Ç Ä





 ∫ Ñ (ñ I ó )Çñ Çó K

(
)
(
)
Ñ
ñ
I
ó
ÇñÇó
Ñ
ñ
I
ó
Çó
Çñ
=
=
∫∫o
∫~  ∫Å
∫



Å~


få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ Ñ (ñ I ó ) Å~å ÄÉ ïêáííÉå ~ë Ö (ñ )Ü(ó ) ïÉ Ü~îÉ

Ç
Ä
K



(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Ñ
ñ
I
ó
ÇñÇó
Ö
ñ
Ü
ó
ÇñÇó
Ö
ñ
Çñ
Ü
ó
Çó
=
=
∫∫o
∫∫o

∫
∫

Å
~
1087. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë
∂ (ñ I ó )
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ñ [ñ (ìI î )I ó(ìI î )] ∂(ìI î ) ÇìÇî I
o
p
∂ñ ∂ñ
∂ (ñ I ó ) ∂ì ∂î
ïÜÉêÉ
=
≠ M áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ íÜÉ íê~åë∂ (ìI î ) ∂ó ∂ó
∂ì ∂î
Ñçêã~íáçåë (ñ I ó ) → (ìI î ) I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ o ïÜáÅÜ
262
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ñ = ñ (ìI î ) I ó = ó (ìI î ) áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ oK
1088. mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
ñ = ê Åçë θ I ó = ê ëáå θ K
Figure 195.
1089. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇó Ñçê mçä~ê `ççêÇáå~íÉë áë
∂ (ñ I ó )
ÇñÇó =
ÇêÇθ = êÇêÇθ K
∂ (êI θ)
iÉí íÜÉ êÉÖáçå o áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW
M ≤ Ö (θ) ≤ ê ≤ Ü(θ) I α ≤ θ ≤ β I ïÜÉêÉ β − α ≤ Oπ K
qÜÉå
β Ü (θ )
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K
o
α Ö (θ )
263
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 196.
fÑ íÜÉ êÉÖáçå o áë íÜÉ éçä~ê êÉÅí~åÖäÉ ÖáîÉå Äó
M ≤ ~ ≤ ê ≤ Ä I α ≤ θ ≤ β I ïÜÉêÉ β − α ≤ Oπ I
íÜÉå
β Ä
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K
o
α ~
Figure 197.
264
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1090. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå
Ä Ñ (ñ )
^ = ∫ ∫ ÇóÇñ EÑçê ~ íóéÉ f êÉÖáçåFK
~ Ö (ñ )
Figure 198.
Ç è(ó )
^ = ∫ ∫ ÇñÇó EÑçê ~ íóéÉ ff êÉÖáçåFK
Å é( ó )
Figure 199.
265
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1091. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ
s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K
o
Figure 200.
fÑ o áë ~ íóéÉ f êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ñ = ~ I ñ = Ä I ó = Ü(ñ ) I
ó = Ö (ñ ) I íÜÉå
Ä Ö(ñ )
s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇóÇñ K
o
~ Ü(ñ )
fÑ o áë ~ íóéÉ ff êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ó = Å I ó = Ç I ñ = è(ó ) I
ñ = é(ó ) I íÜÉå
Ç è(ó )
s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó K
o
Å é( ó )
266
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
fÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ Ö (ñ I ó ) çîÉê ~ êÉÖáçå oI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉ çÑ
íÜÉ ëçäáÇ ÄÉíïÉÉå òN = Ñ (ñ I ó ) ~åÇ ò O = Ö(ñ I ó ) çîÉê o áë
ÖáîÉå Äó
s = ∫∫ [Ñ (ñ I ó ) − Ö (ñ I ó )]Ç^ K
o
1092. ^êÉ~ ~åÇ sçäìãÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
fÑ p áë ~ êÉÖáçå áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ÄçìåÇÉÇ Äó θ = α I θ = β I
ê = Ü(θ) I ê = Ö (θ) I
íÜÉå
β Ö (θ )
^ = ∫∫ Ç^ = ∫ ∫ êÇêÇθ I
p
α Ü(θ )
s = ∫∫ Ñ (êI θ)êÇêÇθ K
p
Figure 201.
1093. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~
p = ∫∫
o
O
 ∂ò   ∂ò 
N +   +   ÇñÇó
 ∂ñ   ∂ó 
O
267
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1094. j~ëë çÑ ~ i~ãáå~
ã = ∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ I
o
ïÜÉêÉ íÜÉ ä~ãáå~ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í
~ éçáåí EñIóF áë ρ(ñ I ó ) K
1095. jçãÉåíë
qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë áë ÖáîÉå Äó Ñçêãìä~
j ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ K
o
qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ó-~ñáë áë
j ó = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ K
o
qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë áë
f ñ = ∫∫ ó Oρ(ñ I ó )Ç^ K
o
qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ó-~ñáë áë
f ó = ∫∫ ñ Oρ(ñ I ó )Ç^ K
o
qÜÉ éçä~ê ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ áë
fM = ∫∫ (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó )Ç^ K
o
1096. `ÉåíÉê çÑ j~ëë
jó
N
= ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ =
ñ=
ã ã o
∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^
o
∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^
o
268
http://fribok.blogspot.com/
I
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^
j
N
ó = ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ =
ã ã o
o
∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^
K
o
1097. `Ü~êÖÉ çÑ ~ mä~íÉ
n = ∫∫ σ(ñ I ó )Ç^ I
o
ïÜÉêÉ ÉäÉÅíêáÅ~ä ÅÜ~êÖÉ áë ÇáëíêáÄìíÉÇ çîÉê ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë
ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí EñIóF áë σ(ñ I ó ) K
1098. ^îÉê~ÖÉ çÑ ~ cìåÅíáçå
N
µ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I
po
ïÜÉêÉ p = ∫∫ Ç^ K
o
9.11 Triple Integral
cìåÅíáçåë çÑ íÜêÉÉ î~êá~ÄäÉëW Ñ (ñ I ó I ò ) I Ö (ñ I ó I ò ) I £
qêáéäÉ áåíÉÖê~äëW
∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs I ∫∫∫ Ö(ñ I ó I ò )Çs I £
d
oáÉã~åå ëìãW
d
∑∑∑ Ñ (ì I î I ï )∆ñ ∆ó ∆ò
ã
å
é
á =N à=N â =N
á
à
â
á
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW ∆ñ á I ∆ó à I ∆ò â
iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåW ~I ÄI ÅI ÇI êI ë
oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW dI qI p
`óäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ò
péÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ϕ
sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
269
http://fribok.blogspot.com/
à
â
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
j~ëë çÑ ~ ëçäáÇW ã
aÉåëáíóW µ(ñ I ó I ò )
`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I ò
cáêëí ãçãÉåíëW j ñó I j óò I j ñò
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W f ñó I f óò I f ñò I f ñ I f ó I fò I fM
1099. aÉÑáåáíáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~ä
qÜÉ íêáéäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [~I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë]
áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ
∫∫∫
Ñ (ñ I ó I ò )Çs =
[~ I Ä ]×[Å I Ç ]×[ê I ë ]
(
)
)
∑∑∑ Ñ (ì I î I ï )∆ñ ∆ó ∆ò
ã
äáã
é
å
ã~ñ ∆ñ á →M
ã~ñ ∆ó à →M á =N à=N â =N
ã~ñ ∆ò â →M
á
à
â
á
à
â
I
ïÜÉêÉ ì á I î à I ï â áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ
(ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à × (ò â −N I ò â ) I ~åÇ ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I
∆ó à = ó à − ó à−N I ∆ò â = ò â − ò â −N K
1100.
(
∫∫∫ [Ñ (ñ I óI ò ) + Ö(ñ I óI ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs + ∫∫∫ Ö(ñ I óI ò )Çs
d
1101.
d
∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) − Ö(ñ I óI ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs − ∫∫∫ Ö(ñ I óI ò )Çs
d
1102.
d
d
d
∫∫∫ âÑ (ñ I óI ò )Çs = â ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I
d
d
ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK
1103. fÑ Ñ (ñ I ó I ò ) ≥ M ~åÇ d ~åÇ q ~êÉ åçåçîÉêä~ééáåÖ Ä~ëáÅ
êÉÖáçåëI íÜÉå
∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs + ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs K
d∪q
d
q
eÉêÉ d ∪ q áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë d ~åÇ qK
270
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1104. bî~äì~íáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äë Äó oÉéÉ~íÉÇ fåíÉÖê~äë
fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë (ñ I ó I ò ) ëìÅÜ íÜ~í
(ñ I ó )∈ oI χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I íÜÉå

χ O ( ñ I ó )
(
)
(
)
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
ÇñÇóÇò
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
Çò
=
 ÇñÇó I

∫∫∫
∫∫o  χ (∫ñ Ió )

d
N
ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK
fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë (ñ I ó I ò ) ëìÅÜ íÜ~í
~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN (ñ ) ≤ ó ≤ ϕO (ñ )I χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I íÜÉå
∫∫∫
d
 ϕO ( ñ )  χ O ( ñ I ó )
 
Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫  ∫  ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò Çó Çñ
 

~ 
 
 ϕN ( ñ )  χN ( ñ I ó )
Ä
1105. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ
fÑ d áë ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [~ I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] I íÜÉå
Ä Ç ë
 
 

Çó Çñ K
(
)
(
)
=
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
ÇñÇóÇò
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
Çò

∫∫∫
∫
∫
∫


d
~ Å  ê
 
få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ Ñ (ñ I ó I ò ) Å~å ÄÉ
ïêáííÉå ~ë Ö (ñ ) Ü(ó ) â (ò ) ïÉ Ü~îÉ
Ä
 Ç
 ë




 ∫ â (ò )Çò  K
(
)
(
)
(
)
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
ÇñÇóÇò
Ö
ñ
Çñ
Ü
ó
Çó
=
∫∫∫

∫
 ∫

d

~
 Å
 ê
1106. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë
∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò =
d
= ∫∫∫ Ñ [ñ (ìI î I ï )I ó (ìI î I ï )I ò (ìI î I ï )]
p
∂ (ñ I ó I ò )
ÇñÇóÇòI
∂(ìI î I ï )
271
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∂ñ ∂ñ ∂ñ
∂ì ∂î ∂ï
∂(ñ I ó I ò ) ∂ó ∂ó ∂ó
ïÜÉêÉ
=
≠ M áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ
∂(ìI î I ï ) ∂ì ∂î ∂ï
∂ò ∂ò ∂ò
∂ì ∂î ∂ï
íÜÉ íê~åëÑçêã~íáçåë (ñ I ó I ò ) → (ìI î I ï ) I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d ïÜáÅÜ Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ñ = ñ (ìI î I ï ) I
ó = ó (ìI î I ï )
ò = ò (ìI î I ï ) áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ dK
1107. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉë áë
∂ (ñ I ó I ò )
ÇñÇóÇò =
ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K
∂(êI θI ò )
iÉí íÜÉ ëçäáÇ d áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW
(ñ I ó ) ∈ o I χ N (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O ( ñ I ó ) I
ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK qÜÉå
∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = ∫∫∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θI ò )êÇêÇθÇò
d
p
χ O ( ê Åçë θ Iê ëáå θ )


(
)
Ñ
ê
Åçë
I
ê
ëáå
I
ò
Çò
θ
θ
 êÇêÇθ K

∫∫  χ (ê Åçë∫θIê ëáå θ )
o ( ê Iθ ) 
N

eÉêÉ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK
=
1108. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë áë
∂ (ñ I ó I ò )
ÇñÇóÇò =
ÇêÇθÇϕ = ê O ëáå θÇêÇθÇϕ
∂ (êI θI ϕ)
∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò =
d
272
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
= ∫∫∫ Ñ (ê ëáå θ Åçë ϕI ê ëáå θ ëáå ϕI ê Åçë θ) ê O ëáå θÇêÇθÇϕ I
p
ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ëéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK qÜÉ ~åÖäÉ θ ê~åÖÉë Ñêçã M íç Oπ I íÜÉ ~åÖäÉ ϕ
ê~åÖÉë Ñêçã M íç π K
Figure 202.
1109. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ
s = ∫∫∫ ÇñÇóÇò
d
1110. sçäìãÉ áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
s = ∫∫∫ êÇêÇθÇò
p ( ê I θ Iò )
1111. sçäìãÉ áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
s = ∫∫∫ ê O ëáå θÇêÇθÇϕ
p ( ê I θ Iϕ )
273
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1112. j~ëë çÑ ~ pçäáÇ
ã = ∫∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çs I
d
ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå d ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í
~ éçáåí (ñ I ó I ò ) áë µ(ñ I ó I ò ) K
1113. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pçäáÇ
j óò
j ñó
j
I ó = ñò I ò =
I
ñ=
ã
ã
ã
ïÜÉêÉ
j óò = ∫∫∫ ñµ(ñ I ó I ò ) Çs I
d
j ñò = ∫∫∫ óµ(ñ I ó I ò ) Çs I
d
j ñó = ∫∫∫ òµ(ñ I ó I ò ) Çs
d
~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë ñ = M I
ó = M I ò = M I êÉëéÉÅíáîÉäóI µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK
1114. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó-éä~åÉ Eçê ò = M FI óò-éä~åÉ
E ñ = M FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E ó = M F
f ñó = ∫∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I
d
f óò = ∫∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I
d
f ñò = ∫∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò ) Çs K
d
1115. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë
f ñ = f ñó + f ñò = ∫∫∫ (ò O + ó O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I
d
f ó = f ñó + f óò = ∫∫∫ (ò O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I
d
274
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
fò = f ñò + f óò = ∫∫∫ (ó O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs K
d
1116. mçä~ê jçãÉåí çÑ fåÉêíá~
fM = f ñó + f óò + f ñò = ∫∫∫ (ñ O + ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò ) Çs
d
9.12 Line Integral
pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW c(ñ I ó I ò ) I c(ñ I ó ) I Ñ (ñ )
pÅ~ä~ê éçíÉåíá~äW ì(ñ I ó I ò )
`ìêîÉëW `I `N I ` O
iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI α I β
m~ê~ãÉíÉêëW íI ë
mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ
r
sÉÅíçê ÑáÉäÇW c (mI nI o )
r
mçëáíáçå îÉÅíçêW ê (ë )
r r r r
råáí îÉÅíçêëW á I à I â I τ
^êÉ~ çÑ êÉÖáçåW p
iÉåÖíÜ çÑ ~ ÅìêîÉW i
j~ëë çÑ ~ ïáêÉW ã
aÉåëáíóW ρ(ñ I ó I ò ) I ρ(ñ I ó )
`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I ò
cáêëí ãçãÉåíëW j ñó I j óò I j ñò
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W f ñ I f ó I fò
sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
tçêâW t
r
j~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇW _
`ìêêÉåíW f
bäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉW ε
j~ÖåÉíáÅ ÑäìñW ψ
275
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1117. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå
r r
iÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ê = ê (ë ) I
M ≤ ë ≤ p I ~åÇ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå c áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K
qÜÉå
p
r
∫ c(ê (ë ))Çë = ∫ c(ñ I óI ò )Çë = ∫ cÇë I
M
`
`
ïÜÉêÉ Çë áë íÜÉ ~êÅ äÉåÖíÜ ÇáÑÑÉêÉåíá~äK
∫ c Çë = ∫ c Çë + ∫ c Çë
1118.
`N ∪` O
`N
`O
Figure 203.
r r
1119. fÑ íÜÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó ê = ê (í ) I
α ≤ í ≤ β I íÜÉå
β
∫ c(ñ I óI ò )Çë = ∫ c(ñ (í )I ó(í )I ò(í )) (ñ ′(í )) + (ó′(í )) + (ò′(í )) Çí K
O
O
O
α
`
1120. fÑ ` áë ~ ëãççíÜ ÅìêîÉ áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå
ó = Ñ (ñ ) I ~ ≤ ñ ≤ Ä I íÜÉå
Ä
∫ c(ñ I ó )Çë = ∫ c(ñ I Ñ (ñ )) N + (Ñ ′(ñ )) Çñ K
O
`
~
1121. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
276
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
β
O
 Çê 
∫` c(ñ I ó )Çë = ∫α c(ê Åçë θI ê ëáå θ) ê +  Çθ  Çθ I
ïÜÉêÉ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ éçä~ê ÑìåÅíáçå êEθF K
O
1122. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ sÉÅíçê cáÉäÇ
r r
iÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ê = ê (ë ) I
M ≤ ë ≤ p K qÜÉå
r
Çê r
= τ = (Åçë αI Åçë βI Åçë γ )
Çë
áë íÜÉ ìåáí îÉÅíçê çÑ íÜÉ í~åÖÉåí äáåÉ íç íÜáë ÅìêîÉK
Figure 204.
r
iÉí ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c (mI nI o ) áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K
r
qÜÉå íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c ~äçåÖ íÜÉ ÅìêîÉ
` áë
p
∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çë K
`
M
277
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1123. mêçéÉêíáÉë çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë çÑ sÉÅíçê cáÉäÇë
r r
r r
c
⋅
Ç
ê
=
−
c
∫
∫ ⋅ Çê I
(
−`
)
(
)
`
ïÜÉêÉ -` ÇÉåçíÉ íÜÉ ÅìêîÉ ïáíÜ íÜÉ çééçëáíÉ çêáÉåí~íáçåK
r
r
r
r
∫ (c ⋅ Çê ) = ∫ (c ⋅ Çê ) = ∫ (c ⋅ Çê ) + ∫ (c ⋅ Çê ) I
r
r
`N ∪ ` O
`
r
`N
r
`O
ïÜÉêÉ ` áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ ÅìêîÉë `N ~åÇ ` O K
r
1124. fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I
α ≤ í ≤ β I íÜÉå
∫ mÇñ + nÇó + oÇò =
`
β
Çó
Çñ
Çò 

= ∫  m(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) Çí
Çí
Çí
Çí 
α
1125. fÑ ` äáÉë áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ~åÇ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ó = Ñ (ñ ) I
íÜÉå
Ä
ÇÑ 

mÇñ
nÇó
+
=
∫`
∫~  m(ñ I Ñ (ñ )) + n(ñ I Ñ (ñ )) Çñ Çñ K
1126. dêÉÉå∞ë qÜÉçêÉã
 ∂n ∂m 
∫∫o  ∂ñ − ∂ó ÇñÇó = ∫` mÇñ + nÇó I
r
r
r
ïÜÉêÉ c = m(ñ I ó ) á + n(ñ I ó ) à áë ~ Åçåíáåìçìë îÉÅíçê ÑìåÅ∂m ∂n
íáçå ïáíÜ Åçåíáåìçìë Ñáêëí é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉë
I
áå ~
∂ó ∂ñ
ëçãÉ Ççã~áå oI ïÜáÅÜ áë ÄçìåÇÉÇ Äó ~ ÅäçëÉÇI éáÉÅÉïáëÉ
ëãççíÜ ÅìêîÉ `K
278
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1127. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå o _çìåÇÉÇ Äó íÜÉ `ìêîÉ `
N
p = ∫∫ ÇñÇó = ∫ ñÇó − óÇñ
O`
o
1128. m~íÜ fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë
r
r
r
r
qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå c = m á + n à + oâ áë
ë~áÇ íç ÄÉ é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåíI áÑ ~åÇ çåäó áÑ mI nI ~åÇ o ~êÉ
Åçåíáåìçìë áå ~ Ççã~áå aI ~åÇ áÑ íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ ëÅ~ä~ê
ÑìåÅíáçå ì = ì(ñ I ó I ò ) E~ ëÅ~ä~ê éçíÉåíá~äF áå a ëìÅÜ íÜ~í
r
∂ì
∂ì
∂ì
=nI
c = Öê~Ç ì I çê
=oK
=mI
∂ò
∂ó
∂ñ
qÜÉå
rr r
∫ c(ê ) ⋅ Çê = ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ì(_) − ì(^ ) K
`
`
1129. qÉëí Ñçê ~ `çåëÉêî~íáîÉ cáÉäÇ
r
^ îÉÅíçê ÑáÉäÇ çÑ íÜÉ Ñçêã c = Öê~Ç ì áë Å~ääÉÇ ~ ÅçåëÉêî~íáîÉ
r
r
r
r
ÑáÉäÇK qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå c = m á + n à + oâ
áë é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåí áÑ ~åÇ çåäó áÑ
r
r
r
á
à
â
r ∂
∂
∂ r
Åìêä c =
=MK
∂ñ ∂ó ∂ò
m n o
fÑ íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå áå ñó-éä~åÉ ëç íÜ~í
∫ mÇñ + nÇó = ì(_) − ì(^ ) I
`
íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñçê ÇÉíÉêãáåáåÖ áÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ áë ÅçåëÉêî~íáîÉ
Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå íÜÉ Ñçêã
∂m ∂n
=
K
∂ó ∂ñ
279
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1130. iÉåÖíÜ çÑ ~ `ìêîÉ
r
O
O
O
β
β
Çó
Çê
i = ∫ Çë = ∫
(í ) Çí = ∫  Çñ  +   +  Çò  Çí I
Çí
Çí   Çí   Çí 
`
α
α 
ïÜÉêÉ ` á~ ~ éáÉÅÉïáëÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ éçëár
íáçå îÉÅíçê ê (í ) I α ≤ í ≤ β K
fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë íïç-ÇáãÉåëáçå~äI íÜÉå
r
O
O
β
β
Çê
 Çñ   Çó 
(í ) Çí = ∫   +   Çí K
i = ∫ Çë = ∫
Çí
Çí   Çí 
α
α 
`
fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë íÜÉ Öê~éÜ çÑ ~ ÑìåÅíáçå ó = Ñ (ñ ) áå íÜÉ ñóéä~åÉ (~ ≤ ñ ≤ Ä) I íÜÉå
Ä
i=∫
~
O
 Çó 
N +   Çñ K
 Çñ 
1131. iÉåÖíÜ çÑ ~ `ìêîÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
β
O
 Çê 
i = ∫   + ê O Çθ I
Çθ 
α 
ïÜÉêÉ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ê = ê(θ) I
α ≤ θ ≤ β áå éçä~ê ÅççêÇáå~íÉëK
1132. j~ëë çÑ ~ táêÉ
ã = ∫ ρ(ñ I ó I ò )Çë I
`
ïÜÉêÉ ρ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí äÉåÖíÜ çÑ íÜÉ ïáêÉK
fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå
r
ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I íÜÉå íÜÉ ã~ëë Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó
íÜÉ Ñçêãìä~
280
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
β
ã = ∫ ρ(ñ (í )I ó (í )I ò (í ))
α
O
O
O
 Çñ   Çó   Çò 
  +   +   Çí K
 Çí   Çí   Çí 
fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ áå ñó-éä~åÉI íÜÉå íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ ïáêÉ áë ÖáîÉå
Äó
ã = ∫ ρ(ñ I ó )Çë I
`
çê
β
ã = ∫ ρ(ñ (í )I ó (í ))
α
O
O
 Çñ   Çó 
  +   Çí Eáå é~ê~ãÉíêáÅ ÑçêãFK
 Çí   Çí 
1133. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ táêÉ
j óò
j ñó
j
I ó = ñò I ò =
I
ñ=
ã
ã
ã
ïÜÉêÉ
j óò = ∫ ñρ(ñ I ó I ò )Çë I
`
j ñò = ∫ óρ(ñ I ó I ò )Çë I
`
j ñó = ∫ òρ(ñ I ó I ò )Çë K
`
1134. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~
qÜÉ ãçãÉåíë çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë
~êÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Ñçêãìä~ë
f ñ = ∫ (ó O + ò O )ρ(ñ I ó I ò )Çë I
`
f ó = ∫ (ñ O + ò O )ρ(ñ I ó I ò )Çë I
`
f ò = ∫ (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó I ò )Çë K
`
281
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1135. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ
N
p = ∫ ñÇó = − ∫ óÇñ = ∫ ñÇó − óÇñ K
O`
`
`
Figure 205.
fÑ íÜÉ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã
r
ê (í ) = ñ (í )I ó (í ) I íÜÉå íÜÉ ~êÉ~ Å~å ÄÉ Å~äÅìä~íÉÇ Äó íÜÉ Ñçêãìä~
β
β
β
Çó
Çó
Çñ
N 
Çñ 
p = ∫ ñ (í ) Çí = − ∫ ó (í ) Çí = ∫  ñ (í ) − ó (í ) Çí K
Çí
Çí
O α
Çí
Çí 
α
α
1136. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ cçêãÉÇ Äó oçí~íáåÖ ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ
~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë
π
s = − π ∫ ó OÇñ = −Oπ ∫ ñóÇó = − ∫ OñóÇó + ó OÇñ
O`
`
`
282
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 206.
1137. tçêâ
r
tçêâ ÇçåÉ Äó ~ ÑçêÅÉ c çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ
` áë ÖáîÉå Äó íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä
r r
t = ∫ c ⋅ Çê I
`
r
r
ïÜÉêÉ c áë íÜÉ îÉÅíçê ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ ~ÅíáåÖ çå íÜÉ çÄàÉÅíI Ç ê áë
íÜÉ ìåáí í~åÖÉåí îÉÅíçêK
Figure 207.
283
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
fÑ íÜÉ çÄàÉÅí áë ãçîÉÇ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ ` áå íÜÉ ñó-éä~åÉI íÜÉå
r r
t = ∫ c ⋅ Ç ê = ∫ mÇñ + nÇó I
`
`
fÑ ~ é~íÜ ` áë ëéÉÅáÑáÉÇ Äó ~ é~ê~ãÉíÉê í Eí çÑíÉå ãÉ~åë
íáãÉFI íÜÉ Ñçêãìä~ Ñçê Å~äÅìä~íáåÖ ïçêâ ÄÉÅçãÉë
β
Çñ
Çó
Çò 

t = ∫ m(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o(ñ (í )I ó (í )I ò (í ))  ÇíI
Çí
Çí
Çí 
α
ïÜÉêÉ í ÖçÉë Ñêçã α íç β K
r
fÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c áë ÅçåëÉêî~íáîÉ ~åÇ ì(ñ I ó I ò ) áë ~ ëÅ~ä~ê
éçíÉåíá~ä çÑ íÜÉ ÑáÉäÇI íÜÉå íÜÉ ïçêâ çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖ
Ñêçã ^ íç _ Å~å ÄÉ ÑçìåÇ Äó íÜÉ Ñçêãìä~
t = ì(_ ) − ì(^ ) K
1138. ^ãéÉêÉ∞ë i~ï
r r
_
∫ ⋅ Çê = µMf K
`
r
qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ã~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇ _ ~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇ é~íÜ
` áë Éèì~ä íç íÜÉ íçí~ä ÅìêêÉåí f ÑäçïáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ ~êÉ~
ÄçìåÇÉÇ Äó íÜÉ é~íÜK
Figure 208.
284
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1139. c~ê~Ç~ó∞ë i~ï
r r
Çψ
ε = ∫ b ⋅ Çê = −
Çí
`
qÜÉ ÉäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉ EÉãÑF ε áåÇìÅÉÇ ~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇ
äççé ` áë Éèì~ä íç íÜÉ ê~íÉ çÑ íÜÉ ÅÜ~åÖÉ çÑ ã~ÖåÉíáÅ Ñäìñ ψ
é~ëëáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ äççéK
Figure 209.
9.13 Surface Integral
pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW Ñ (ñ I ó I ò ) I ò (ñ I ó )
r
r
mçëáíáçå îÉÅíçêëW ê (ìI î ) I ê (ñ I ó I ò )
r r r
råáí îÉÅíçêëW á I à I â
pìêÑ~ÅÉW p
r
sÉÅíçê ÑáÉäÇW c (mI nI o )
r
r
aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Çáî c = ∇ ⋅ c
285
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r
r
`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Åìêä c = ∇ × c
r
sÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW Çp
r
kçêã~ä íç ëìêÑ~ÅÉW å
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ^
j~ëë çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW ã
aÉåëáíóW µ(ñ I ó I ò )
`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I ò
cáêëí ãçãÉåíëW j ñó I j óò I j ñò
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W f ñó I f óò I f ñò I f ñ I f ó I fò
sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
r
cçêÅÉW c
dê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíW d
rr
cäìáÇ îÉäçÅáíóW î (ê )
cäìáÇ ÇÉåëáíóW ρ
r
mêÉëëìêÉW é(ê )
j~ëë ÑäìñI ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñW Φ
pìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉW n
`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW σ(ñ I ó )
r
j~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇW b
1140. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå
iÉí ~ ëìêÑ~ÅÉ p ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê
r
r
r
r
ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I
ïÜÉêÉ (ìI î ) ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå a(ìI î ) çÑ íÜÉ ìîéä~åÉK
qÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå Ñ (ñ I ó I ò ) çîÉê
íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÇÉÑáåÉÇ ~ë
r
r
∂ê ∂ê
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
=
×
Ñ
ñ
I
ó
I
ò
Çp
Ñ
ñ
ì
I
î
I
ó
ì
I
î
I
ò
ì
I
î
ÇìÇî I
∫∫p
∫∫
∂
∂
ì
î
a(ì I î )
r
r
∂ê
∂ê
~åÇ
~êÉ ÖáîÉå Äó
ïÜÉêÉ íÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉë
∂ì
∂î
286
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r
r
r ∂ó
r ∂ò
∂ê ∂ñ
= (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â I
∂ì
∂ì ∂ì
∂ì
r
r
r ∂ó
r ∂ò
∂ ê ∂ñ
= (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â
∂î
∂î
∂î ∂î
r
r
∂ê ∂ê
~åÇ
áë íÜÉ Åêçëë éêçÇìÅíK
×
∂ì ∂î
1141. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ò = ò(ñ I ó ) ïÜÉêÉ
ò (ñ I ó ) áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå a(ñ I ó ) I
íÜÉå
∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çp = (∫∫ ) Ñ (ñ I ó I ò(ñ I ó ))
p
a ñ Ió
O
 ∂ò   ∂ò 
N +   +   ÇñÇó K
 ∂ñ   ∂ó 
O
r
1142. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ sÉÅíçê cáÉäÇ c çîÉê íÜÉ pìêÑ~ÅÉ p
• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ çìíï~êÇI íÜÉå
r
r
r
r
(
)
c
ñ
I
ó
I
ò
⋅
Ç
p
=
c
∫∫
∫∫ (ñ I óI ò ) ⋅ åÇp
p
•
p
r
r
r
 ∂ê ∂ê 
= ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K
 ∂ì ∂î 
a( ì I î )
fÑ p áë çêáÉåíÉÇ áåï~êÇI íÜÉå
r
r
r
r
∫∫ c(ñ I óI ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I óI ò ) ⋅ åÇp
p
p
r
r
r
 ∂ê ∂ê 
= ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K
 ∂î ∂ì 
a( ì I î )
r r
Çp = åÇp áë Å~ääÉÇ íÜÉ îÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉK açí
ãÉ~åë íÜÉ ëÅ~ä~ê éêçÇìÅí çÑ íÜÉ ~ééêçéêá~íÉ îÉÅíçêëK
r
r
∂ê
∂ê
~åÇ
~êÉ ÖáîÉå Äó
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉë
∂ì
∂î
287
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r
r
r ∂ó
r ∂ò
∂ê ∂ñ
= (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â I
∂ì ∂ì
∂ì
∂ì
r
r
r ∂ó
r ∂ò
∂ ê ∂ñ
= (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â K
∂î
∂î
∂î ∂î
1143. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ò = ò (ñ I ó ) I ïÜÉêÉ
ò (ñ I ó ) áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå a(ñ I ó ) I
íÜÉå
• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ ìéï~êÇI áKÉK íÜÉ â-íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ
åçêã~ä îÉÅíçê áë éçëáíáîÉI íÜÉå
r
r
r
r
(
)
c
ñ
I
ó
I
ò
⋅
Ç
p
=
c
∫∫
∫∫ (ñ I óI ò ) ⋅ åÇp
p
p
=
r
 ∂ò r ∂ò r r 
 −
(
)
c
ñ
I
ó
I
ò
á−
à + â ÇñÇó I
⋅
∫∫
∂ó
 ∂ñ

a( ñ I ó )
fÑ p áë çêáÉåíÉÇ Ççïåï~êÇI áKÉK íÜÉ â-íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ
åçêã~ä îÉÅíçê áë åÉÖ~íáîÉI íÜÉå
r
r
r
r
∫∫ c(ñ I óI ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I óI ò ) ⋅ åÇp
•
p
p
r
 ∂ò r ∂ò r r 
à − â ÇñÇó K
= ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅  á +
∂ó
 ∂ñ

a( ñ I ó )
1144.
∫∫ (c ⋅ å)Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó
r r
p
p
= ∫∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çp I
p
ïÜÉêÉ m(ñ I ó I ò ) I n(ñ I ó I ò ) I o(ñ I ó I ò ) ~êÉ íÜÉ ÅçãéçåÉåíë çÑ
r
íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c K
Åçë α I Åçë β I Åçë γ ~êÉ íÜÉ ~åÖäÉë ÄÉíïÉÉå íÜÉ çìíÉê ìåáí
r
åçêã~ä îÉÅíçê å ~åÇ íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáëI êÉëéÉÅíáîÉäóK
288
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1145. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã Äó íÜÉ îÉÅíçê
r
ê (ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) I íÜÉå íÜÉ ä~ííÉê Ñçêãìä~ Å~å ÄÉ
ïêáííÉå ~ë
m n
∂ñ ∂ó
∫∫p
∫∫ ∂ì ∂ì
p
a(ì I î )
∂ñ ∂ó
∂î ∂î
ïÜÉêÉ (ìI î ) ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå a(ìI î ) çÑ íÜÉ
éä~åÉK
( )
r r
c ⋅ å Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó =
o
∂ò
ÇìÇî I
∂ì
∂ò
∂î
ìî-
1146. aáîÉêÖÉåÅÉ qÜÉçêÉã
r r
r
c
⋅
Ç
p
=
∇
⋅
c
Çs I
∫∫
∫∫∫
(
p
)
d
ïÜÉêÉ
r
c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò )
áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉ
Åçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI
r ∂m ∂n ∂o
∇⋅c =
+
+
∂ñ ∂ó ∂ò
r
r
áë íÜÉ ÇáîÉêÖÉåÅÉ çÑ c I ~äëç ÇÉåçíÉÇ Çáîc K qÜÉ ëóãÄçä
∫∫ áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê ~ ÅäçëÉÇ
ëìêÑ~ÅÉK
1147. aáîÉêÖÉåÅÉ qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
 ∂m ∂n ∂o 

ÇñÇóÇò K
+
+
=
+
mÇóÇò
nÇñÇò
oÇñÇó
+
∫∫p
∫∫∫
∂
∂
ñ
ó
ò
∂

d 
1148. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã
r r
r r
c
⋅
Ç
ê
=
∇
×
c
⋅ Çp I
∫
∫∫
(
`
)
p
289
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
ïÜÉêÉ
r
c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò )
áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉ
Åçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI
r
r
r
á
à
â
r ∂
∂
∂  ∂o ∂n  r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r
á + 
∇×c=
=
−
−
− â
à +
∂ñ ∂ñ ∂ñ  ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó 
m n o
r
r
áë íÜÉ Åìêä çÑ c I ~äëç ÇÉåçíÉÇ Åìêä c K
qÜÉ ëóãÄçä
∫
áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê
~ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉK
1149. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
∫ mÇñ + nÇó + oÇò
`
 ∂o ∂n 
 ∂n ∂m 
∂m ∂o 
ÇóÇò +  −
= ∫∫ 
−
− ÇñÇó
ÇòÇñ + 
∂ó ∂ò 
 ∂ò ∂ñ 
 ∂ñ ∂ó 
p 
1150. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~
^ = ∫∫ Çp
p
1151. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê
r
r
r
r
ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I
íÜÉå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~ áë
r
r
∂ê ∂ê
× ÇìÇî I
^ = ∫∫
∂ì ∂î
a( ì I î )
r
ïÜÉêÉ a(ìI î ) áë íÜÉ Ççã~áå ïÜÉêÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ê (ìI î ) áë
ÇÉÑáåÉÇK
290
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1152. fÑ p áë ÖáîÉå ÉñéäáÅáíäó Äó íÜÉ ÑìåÅíáçå ò (ñ I ó ) I íÜÉå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~ áë
O
 ∂ò   ∂ò 
^ = ∫∫ N +   +   ÇñÇó I
 ∂ñ   ∂ó 
a( ñ I ó )
ïÜÉêÉ a(ñ I ó ) áë íÜÉ éêçàÉÅíáçå çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p çåíç íÜÉ ñóéä~åÉK
O
1153. j~ëë çÑ ~ pìêÑ~ÅÉ
ã = ∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çp I
p
ïÜÉêÉ µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí ~êÉ~ EÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåFK
1154. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pÜÉää
j óò
j ñó
j
I ó = ñò I ò =
I
ñ=
ã
ã
ã
ïÜÉêÉ
j óò = ∫∫ ñµ(ñ I ó I ò )Çp I
p
j ñò = ∫∫ óµ(ñ I ó I ò )Çp I
p
j ñó = ∫∫ òµ(ñ I ó I ò )Çp
p
~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë ñ = M I
ó = M I ò = M I êÉëéÉÅíáîÉäóK µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK
1155. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó-éä~åÉ Eçê ò = M FI óò-éä~åÉ
E ñ = M FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E ó = M F
f ñó = ∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò )Çp I
p
f óò = ∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò )Çp I
p
291
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
f ñò = ∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò )Çp K
p
1156. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë
f ñ = ∫∫ (ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò )Çp I
p
f ó = ∫∫ (ñ O + ò O )µ(ñ I ó I ò )Çp I
p
fò = ∫∫ (ñ O + ó O )µ(ñ I ó I ò )Çp K
p
1157. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ pìêÑ~ÅÉ
s=
N
ñÇóÇò + óÇñÇò + òÇñÇó
P ∫∫
p
1158. dê~îáí~íáçå~ä cçêÅÉ
r
r
ê
c = dã ∫∫ µ(ñ I ó I ò ) P Çp I
ê
p
ïÜÉêÉ ã áë ~ ã~ëë ~í ~ éçáåí ñ M I ó M I ò M çìíëáÇÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉI
r
ê = ñ − ñ M I ó − ó M Iò − òM I
µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåI
~åÇ d áë Öê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíK
1159. mêÉëëìêÉ cçêÅÉ
r
r r
c = ∫∫ é(ê )Çp I
p
r
ïÜÉêÉ íÜÉ éêÉëëìêÉ é(ê ) ~Åíë çå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p ÖáîÉå Äó
r
íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê ê K
1160. cäìáÇ cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF
r r r
Φ = ∫∫ î (ê ) ⋅ Çp I
p
292
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r r
ïÜÉêÉ î (ê ) áë íÜÉ ÑäìáÇ îÉäçÅáíóK
1161. j~ëë cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF
r r r
Φ = ∫∫ ρî (ê ) ⋅ Çp I
p
r
r
ïÜÉêÉ c = ρî áë íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇI ρ áë íÜÉ ÑäìáÇ ÇÉåëáíóK
1162. pìêÑ~ÅÉ `Ü~êÖÉ
n = ∫∫ σ(ñ I ó )Çp I
p
ïÜÉêÉ σ(ñ I ó ) áë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíóK
1163. d~ìëë∞ i~ï
qÜÉ ÉäÉÅíêáÅ Ñäìñ íÜêçìÖÜ ~åó ÅäçëÉÇ ëìêÑ~ÅÉ áë éêçéçêíáçå~ä
íç íÜÉ ÅÜ~êÖÉ n ÉåÅäçëÉÇ Äó íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ
r r n
Φ = ∫∫ b ⋅ Çp = I
εM
p
ïÜÉêÉ
Φ áë íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñI
r
b áë íÜÉ ã~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇ ëíêÉåÖíÜI
c
ε M = UIUR × NM −NO
áë éÉêãáííáîáíó çÑ ÑêÉÉ ëé~ÅÉK
ã
293
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 10
Differential Equations
cìåÅíáçåë çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉW óI éI èI ìI ÖI ÜI dI eI êI ò
^êÖìãÉåíë EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëFW ñI ó
cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW Ñ (ñ I ó ) I j(ñ I ó ) I k(ñ I ó )
Çó
cáêëí çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉW ó ′ I ì′ I ó& I
I£
Çí
Ç Of
pÉÅçåÇ çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉëW ó′′ I &ó& I O I £
Çí
O
∂ì ∂ ì
m~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëW
I
I£
∂í ∂ñ O
k~íìê~ä åìãÄÉêW å
m~êíáÅìä~ê ëçäìíáçåëW ó N I ó é
oÉ~ä åìãÄÉêëW âI íI `I `N I ` O I éI èI α I β
oççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåëW λN I λ O
qáãÉW í
qÉãéÉê~íìêÉW qI p
mçéìä~íáçå ÑìåÅíáçåW m(í )
j~ëë çÑ ~å çÄàÉÅíW ã
píáÑÑåÉëë çÑ ~ ëéêáåÖW â
aáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãW ó
^ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW ^
cêÉèìÉåÅóW ω
a~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíW γ
mÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW δ
^åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíW θ
mÉåÇìäìã äÉåÖíÜW i
294
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
^ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóW Ö
`ìêêÉåíW f
oÉëáëí~åÅÉW o
fåÇìÅí~åÅÉW i
`~é~Åáí~åÅÉW `
10.1 First Order Ordinary Differential
Equations
1164. iáåÉ~ê bèì~íáçåë
Çó
+ é(ñ )ó = è(ñ ) K
Çñ
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
∫ ì(ñ )è(ñ )Çñ + ` I
ó=
ì (ñ )
ïÜÉêÉ
ì(ñ ) = Éñé ∫ é(ñ )Çñ K
(
)
1165. pÉé~ê~ÄäÉ bèì~íáçåë
Çó
= Ñ (ñ I ó ) = Ö (ñ )Ü(ó )
Çñ
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó
Çó
∫ Ü(ó ) = ∫ Ö(ñ )Çñ + ` I
çê
e(ó ) = d(ñ ) + ` K
295
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1166. eçãçÖÉåÉçìë bèì~íáçåë
Çó
= Ñ (ñ I ó ) áë ÜçãçÖÉåÉçìëI áÑ
Çñ
íÜÉ ÑìåÅíáçå Ñ (ñ I ó ) áë ÜçãçÖÉåÉçìëI íÜ~í áë
Ñ (íñ I íó ) = Ñ (ñ I ó ) K
qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå
qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå ò =
ó
EíÜÉå ó = òñ F äÉ~Çë íç íÜÉ ëÉé~ê~ÄäÉ
ñ
Éèì~íáçå
Çò
ñ
+ ò = Ñ (NI ò ) K
Çñ
1167. _Éêåçìääá bèì~íáçå
Çó
+ é(ñ )ó = è(ñ )ó å K
Çñ
qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå ò = ó N−å äÉ~Çë íç íÜÉ äáåÉ~ê Éèì~íáçå
Çò
+ (N − å )é(ñ ) ò = (N − å )è(ñ ) K
Çñ
1168. oáÅÅ~íá bèì~íáçå
Çó
= é(ñ ) + è(ñ ) ó + ê(ñ ) ó O
Çñ
fÑ ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå ó N áë âåçïåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Å~å ÄÉ çÄí~áåÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÜÉäé çÑ ëìÄëíáíìíáçå
N
ò=
I ïÜáÅÜ äÉ~Çë íç íÜÉ Ñáêëí çêÇÉê äáåÉ~ê Éèì~íáçå
ó − óN
Çò
= −[è(ñ ) + Oó Nê(ñ )] ò − ê(ñ ) K
Çñ
296
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1169. bñ~Åí ~åÇ kçåÉñ~Åí bèì~íáçåë
qÜÉ Éèì~íáçå
j(ñ I ó )Çñ + k(ñ I ó )Çó = M
áë Å~ääÉÇ Éñ~Åí áÑ
∂j ∂k
=
I
∂ó ∂ñ
~åÇ åçåÉñ~Åí çíÜÉêïáëÉK
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
∫ j(ñ I ó )Çñ + ∫ k(ñ I ó )Çó = ` K
1170. o~Çáç~ÅíáîÉ aÉÅ~ó
Çó
= − âó I
Çí
ïÜÉêÉ ó (í ) áë íÜÉ ~ãçìåí çÑ ê~Çáç~ÅíáîÉ ÉäÉãÉåí ~í íáãÉ íI â
áë íÜÉ ê~íÉ çÑ ÇÉÅ~óK
qÜÉ ëçäìíáçå áë
ó (í ) = ó M É − âí I ïÜÉêÉ ó M = ó (M) áë íÜÉ áåáíá~ä ~ãçìåíK
1171. kÉïíçå∞ë i~ï çÑ `ççäáåÖ
Çq
= −â (q − p ) I
Çí
ïÜÉêÉ q(í ) áë íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ çÑ ~å çÄàÉÅí ~í íáãÉ íI p áë íÜÉ
íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ ëìêêçìåÇáåÖ ÉåîáêçåãÉåíI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíK
qÜÉ ëçäìíáçå áë
q(í ) = p + (qM − p) É −âí I
ïÜÉêÉ qM = q(M) áë íÜÉ áåáíá~ä íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ çÄàÉÅí ~í
íáãÉ í = M K
297
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1172. mçéìä~íáçå aóå~ãáÅë EiçÖáëíáÅ jçÇÉäF
Çm
m

= âm N −  I
Çí
 j
ïÜÉêÉ m(í ) áë éçéìä~íáçå ~í íáãÉ íI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíI
j áë ~ äáãáíáåÖ ëáòÉ Ñçê íÜÉ éçéìä~íáçåK
qÜÉ ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå áë
jmM
m(í ) =
I ïÜÉêÉ mM = m(M) áë íÜÉ áåáíá~ä éçéìmM + (j − mM )É − âí
ä~íáçå ~í íáãÉ í = M K
10.2 Second Order Ordinary Differential
Equations
1173. eçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí `çÉÑÑáÅáÉåíë
ó′′ + éó′ + èó = M K
qÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå áë
λO + éλ + è = M K
fÑ λN ~åÇ λ O ~êÉ ÇáëíáåÅí êÉ~ä êççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ
Éèì~íáçåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
ó = `NÉ λNñ + ` OÉ λ O ñ I ïÜÉêÉ
`N ~åÇ ` O ~êÉ áåíÉÖê~íáçå Åçåëí~åíëK
é
fÑ λN = λ O = − I íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
O
ó = (`N + ` O ñ )É
é
− ñ
O
K
fÑ λN ~åÇ λ O ~êÉ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêëW
298
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
λN = α + β á I λ O = α − β á I ïÜÉêÉ
Qè − é O
é
α=− I β=
I
O
O
íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
ó = É αñ (`N Åçë β ñ + ` O ëáå β ñ ) K
1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí
`çÉÑÑáÅáÉåíë
ó′′ + éó′ + èó = Ñ (ñ ) K
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó
ó = ó é + ó Ü I ïÜÉêÉ
ó é áë ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå çÑ íÜÉ áåÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå
~åÇ ó Ü áë íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ~ëëçÅá~íÉÇ ÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå EëÉÉ íÜÉ éêÉîáçìë íçéáÅ NNTPFK
fÑ íÜÉ êáÖÜí ëáÇÉ Ü~ë íÜÉ Ñçêã
Ñ (ñ ) = É αñ (mN (ñ )Åçë β ñ + mN (ñ )ëáå βñ ) I
íÜÉå íÜÉ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå ó é áë ÖáîÉå Äó
ó é = ñ â É αñ (oN (ñ )Åçë βñ + o O (ñ )ëáå β ñ ) I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçäóåçãá~äë oN (ñ ) ~åÇ o O (ñ ) Ü~îÉ íç ÄÉ ÑçìåÇ
Äó ìëáåÖ íÜÉ ãÉíÜçÇ çÑ ìåÇÉíÉêãáåÉÇ ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK
• fÑ α + β á áë åçí ~ êççí çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåI íÜÉå
íÜÉ éçïÉê â = M I
• fÑ α + β á áë ~ ëáãéäÉ êççíI íÜÉå â = N I
• fÑ α + β á áë ~ ÇçìÄäÉ êççíI íÜÉå â = O K
1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ó jáëëáåÖ
ó′′ = Ñ (ñ I ó′) K
pÉí ì = ó ′ K qÜÉå íÜÉ åÉï Éèì~íáçå ë~íáëÑáÉÇ Äó î áë
ì′ = Ñ (ñ I ì ) I
ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK
299
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ñ jáëëáåÖ
ó′′ = Ñ (ó I ó′) K
pÉí ì = ó ′ K páåÅÉ
Çì Çì Çó
Çì
ó′′ =
=
=ì I
Çñ Çó Çñ
Çó
ïÉ Ü~îÉ
Çì
ì
= Ñ (ó I ì ) I
Çó
ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK
1177. cêÉÉ råÇ~ãéÉÇ sáÄê~íáçåë
qÜÉ ãçíáçå çÑ ~ j~ëë çå ~ péêáåÖ áë ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ Éèì~íáçå
ã&ó& + âó = M I
ïÜÉêÉ
ã áë íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ çÄàÉÅíI
â áë íÜÉ ëíáÑÑåÉëë çÑ íÜÉ ëéêáåÖI
ó áë Çáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãK
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
ó = ^ Åçë(ωM í − δ ) I
ïÜÉêÉ
^ áë íÜÉ ~ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíI
ωM áë íÜÉ ÑìåÇ~ãÉåí~ä ÑêÉèìÉåÅóI íÜÉ éÉêáçÇ áë q =
δ áë éÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíK
qÜáë áë ~å Éñ~ãéäÉ çÑ ëáãéäÉ Ü~êãçåáÅ ãçíáçåK
1178. cêÉÉ a~ãéÉÇ sáÄê~íáçåë
ã&ó& + γó& + âó = M I ïÜÉêÉ
γ áë íÜÉ Ç~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíK
qÜÉêÉ ~êÉ P Å~ëÉë Ñçê íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçåW
300
http://fribok.blogspot.com/
Oπ
I
ωM
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
`~ëÉ NK γ O > Qâã EçîÉêÇ~ãéÉÇF
ó (í ) = ^É λNí + _É λ Oí I
ïÜÉêÉ
λN =
− γ − γ O − Q âã
− γ + γ O − Q âã
I λO =
K
Oã
Oã
`~ëÉ OK γ O = Qâã EÅêáíáÅ~ääó Ç~ãéÉÇF
ó (í ) = (^ + _í )É λí I
ïÜÉêÉ
γ
λ=−
K
Oã
`~ëÉ PK γ O < Qâã EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF
ó (í ) = É
−
γ
í
Oã
^ Åçë(ωí − δ ) I ïÜÉêÉ
ω = Qâã − γ O K
1179. páãéäÉ mÉåÇìäìã
Ç Oθ Ö
+ θ=MI
Çí O i
ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíI i áë íÜÉ éÉåÇìäìã
äÉåÖíÜI Ö áë íÜÉ ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóK
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Ñçê ëã~ää ~åÖäÉë θ áë
i
Ö
θ(í ) = θã~ñ ëáå
í I íÜÉ éÉêáçÇ áë q = Oπ
K
Ö
i
1180. oi` `áêÅìáí
Ç Of
Çf N
i O + o + f = s′(í ) = ωb M Åçë(ωí ) I
Çí
Çí `
301
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
ïÜÉêÉ f áë íÜÉ ÅìêêÉåí áå ~å oi` ÅáêÅìáí ïáíÜ ~å ~Å îçäí~ÖÉ
ëçìêÅÉ s(í ) = b M ëáå(ωí ) K
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
f(í ) = `NÉ êNí + ` OÉ êOí + ^ ëáå(ωí − ϕ) I
ïÜÉêÉ
Qi
− o ± oO −
` I
ê NI O =
Oi
ωb M
^=
I
O
N
 O

O O
 iω −  + o ω
`


N 
 iω
ϕ = ~êÅí~å
−
I
 o o`ω 
`N I ` O ~êÉ Åçåëí~åíë ÇÉéÉåÇáåÖ çå áåáíá~ä ÅçåÇáíáçåëK
10.3. Some Partial Differential Equations
1181. qÜÉ i~éä~ÅÉ bèì~íáçå
∂ Oì ∂ Oì
+
=M
∂ñ O ∂ó O
~ééäáÉë íç éçíÉåíá~ä ÉåÉêÖó ÑìåÅíáçå ì(ñ I ó ) Ñçê ~ ÅçåëÉêî~íáîÉ ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ áå íÜÉ ñó-éä~åÉK m~êíá~ä ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ ÉääáéíáÅK
1182. qÜÉ eÉ~í bèì~íáçå
∂ O ì ∂ O ì ∂ì
+
=
∂ñ O ∂ó O ∂í
302
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
~ééäáÉë íç íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ ÇáëíêáÄìíáçå ì(ñ I ó ) áå íÜÉ ñóéä~åÉ ïÜÉå ÜÉ~í áë ~ääçïÉÇ íç Ñäçï Ñêçã ï~êã ~êÉ~ë íç Åççä
çåÉëK qÜÉ Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ é~ê~ÄçäáÅK
1183. qÜÉ t~îÉ bèì~íáçå
∂ Oì ∂ Oì ∂ Oì
+
=
∂ñ O ∂ó O ∂í O
~ééäáÉë íç íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåí ì(ñ I ó ) çÑ îáÄê~íáåÖ ãÉãÄê~åÉë
~åÇ çíÜÉê ï~îÉ ÑìåÅíáçåëK qÜÉ Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ
Å~ääÉÇ ÜóéÉêÄçäáÅK
303
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 11
Series
11.1 Arithmetic Series
fåáíá~ä íÉêãW ~N
kíÜ íÉêãW ~ å
aáÑÑÉêÉåÅÉ ÄÉíïÉÉå ëìÅÅÉëëáîÉ íÉêãëW Ç
kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å
pìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW på
1184. ~ å = ~ å −N + Ç = ~ å −O + OÇ = K = ~N + (å − N)Ç
1185. ~N + ~ å = ~ O + ~ å−N = K = ~ á + ~ å +N−á
1186. ~ á =
~ á −N + ~ á +N
O
1187. på =
~N + ~ å
O~ + (å − N)Ç
⋅å = N
⋅å
O
O
304
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
11.2 Geometric Series
fåáíá~ä íÉêãW ~N
kíÜ íÉêãW ~ å
`çããçå ê~íáçW è
kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å
pìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW på
pìã íç áåÑáåáíóW p
1188. ~ å = è~ å −N = ~Nè å −N
1189. ~N ⋅ ~ å = ~ O ⋅ ~ å −N = K = ~ á ⋅ ~ å +N−á
1190. ~ á = ~ á −N ⋅ ~ á +N
~ å è − ~N ~N (è å − N)
=
1191. på =
è −N
è −N
~N
å →∞
N− è
cçê è < N I íÜÉ ëìã p ÅçåîÉêÖÉë ~ë å → ∞ K
1192. p = äáã på =
11.3 Some Finite Series
kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å
305
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
1193. N + O + P + K + å =
å(å + N)
O
1194. O + Q + S + K + Oå = å(å + N)
1195. N + P + R + K + (Oå − N) = å O
1196. â + (â + N) + (â + O) + K + (â + å − N) =
1197. NO + OO + PO + K + å O =
å(Oâ + å − N)
O
å(å + N)(Oå + N)
S
 å(å + N) 
1198. NP + OP + PP + K + åP = 
 O 
O
å(Qå O − N)
1199. N + P + R + K + (Oå − N) =
P
O
O
O
O
1200. NP + PP + RP + K + (Oå − N) = å O (Oå O − N)
P
N N N
N
1201. N + + + + K + å + K = O
O Q U
O
1202.
N
N
N
N
+
+
+K+
+K = N
N⋅ O O ⋅ P P ⋅ Q
å(å + N)
1203. N +
N N N
N
+ + +K+
+K = É
(å − N)>
N> O> P>
306
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
11.4 Infinite Series
pÉèìÉåÅÉW {~ å }
cáêëí íÉêãW ~N
kíÜ íÉêãW ~ å
1204. fåÑáåáíÉ pÉêáÉë
∞
∑~
å =N
å
= ~N + ~ O + K + ~ å + K
1205. kíÜ m~êíá~ä pìã
å
på = ∑ ~ å = ~N + ~ O + K + ~ å
å =N
1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ çÑ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë
∞
∑~
å =N
å
= i I áÑ äáã på = i
å →∞
1207. kíÜ qÉêã qÉëí
∞
•
fÑ íÜÉ ëÉêáÉë
∑~
å =N
•
å
áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå äáã ~ å = M K
å→∞
fÑ äáã ~ å ≠ M I íÜÉå íÜÉ ëÉêáÉë áë ÇáîÉêÖÉåíK
å→∞
11.5 Properties of Convergent Series
∞
`çåîÉêÖÉåí pÉêáÉëW
∑ ~å = ^ I
å =N
∞
∑Ä
å =N
å
=_
oÉ~ä åìãÄÉêW Å
307
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
∞
∞
∞
å =N
å =N
å =N
1208. ∑ (~ å + Ä å ) = ∑ ~ å + ∑ Ä å = ^ + _
1209.
∞
∑ Å~
å =N
∞
å
= Å∑ ~ å = Å^ K
å =N
11.6 Convergence Tests
1210. qÜÉ `çãé~êáëçå qÉëí
∞
iÉí
∑ ~ å ~åÇ
å =N
∞
•
fÑ
∑Ä
å =N
∞
•
fÑ
∞
∑Ä
å =N
å
ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í M < ~ å ≤ Äå Ñçê ~ää åK
∞
å
áë ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå
∑~
å =N
∑ ~ å áë ÇáîÉêÖÉåí íÜÉå
å =N
å
áë ~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK
∞
∑Ä
å =N
å
áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
1211. qÜÉ iáãáí `çãé~êáëçå qÉëí
∞
iÉí
∑ ~ å ~åÇ
å =N
∞
∑Ä
å =N
å
ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í ~ å ~åÇ Äå ~êÉ éçëá-
íáîÉ Ñçê ~ää åK
•
•
∞
∞
~å
< ∞ íÜÉå ∑ ~ å ~åÇ ∑ Äå ~êÉ ÉáíÜÉê ÄçíÜ
å →∞ Ä
å =N
å =N
å
ÅçåîÉêÖÉåí çê ÄçíÜ ÇáîÉêÖÉåíK
∞
∞
~
fÑ äáã å = M íÜÉå ∑ Äå ÅçåîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑ ~ å áë
å →∞ Ä
å =N
å =N
å
~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK
fÑ M < äáã
308
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
~å
= ∞ íÜÉå
å →∞ Ä
å
~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
fÑ äáã
•
∞
∑ Äå ÇáîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í
å =N
∞
∑~
å =N
å
áë
1212. é-ëÉêáÉë
∞
é-ëÉêáÉë
N
∑å
å =N
é
ÅçåîÉêÖÉë Ñçê é > N ~åÇ ÇáîÉêÖÉë Ñçê
M < é ≤NK
1213. qÜÉ fåíÉÖê~ä qÉëí
iÉí Ñ (ñ ) ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë ÅçåíáåìçìëI éçëáíáîÉI ~åÇ
ÇÉÅêÉ~ëáåÖ Ñçê ~ää ñ ≥ N K qÜÉ ëÉêáÉë
∞
∑ Ñ (å) = Ñ (N) + Ñ (O) + Ñ (P) + K + Ñ (å) + K
å =N
∞
ÅçåîÉêÖÉë áÑ ∫ Ñ (ñ )Çñ ÅçåîÉêÖÉëI ~åÇ ÇáîÉêÖÉë áÑ
N
å
∫ Ñ (ñ )Çñ → ∞ ~ë å → ∞ K
N
1214. qÜÉ o~íáç qÉëí
∞
iÉí
∑~
å =N
•
•
•
å
ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK
~ å +N
< N íÜÉå
å →∞ ~
å
fÑ äáã
∞
∑~
å =N
å
áë ÅçåîÉêÖÉåíK
∞
~ å +N
> N íÜÉå ∑ ~ å áë ÇáîÉêÖÉåíK
å →∞ ~
å =N
å
∞
~
fÑ äáã å +N = N íÜÉå ∑ ~ å ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉ ~åÇ
å →∞ ~
å =N
å
íÜÉ ê~íáç íÉëí áë áåÅçåÅäìëáîÉX ëçãÉ çíÜÉê íÉëíë ãìëí ÄÉ
ìëÉÇK
fÑ äáã
309
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
1215. qÜÉ oççí qÉëí
∞
∑~
iÉí
å =N
•
•
•
å
ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK
∞
fÑ äáã å ~ å < N íÜÉå
∑~
å
áë ÅçåîÉêÖÉåíK
fÑ äáã å ~ å > N íÜÉå
∑~
å
áë ÇáîÉêÖÉåíK
fÑ äáã å ~ å = N íÜÉå
∑~
å →∞
å →∞
å →∞
å =N
∞
å =N
∞
å =N
å
ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉI Äìí
åç ÅçåÅäìëáçå Å~å ÄÉ Çê~ïå Ñêçã íÜáë íÉëíK
11.7 Alternating Series
1216. qÜÉ ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë qÉëí EiÉáÄåáò∞ë qÜÉçêÉãF
iÉí {~ å } ÄÉ ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ éçëáíáîÉ åìãÄÉêë ëìÅÜ íÜ~í
~ å+N < ~ å Ñçê ~ää åK
äáã ~ å = M K
å→∞
∞
qÜÉå íÜÉ ~äíÉêå~íáåÖ ëÉêáÉë
∑ (− N) ~
å =N
∞
å
å
~åÇ
∑ (− N)
å =N
å −N
~å
ÄçíÜ ÅçåîÉêÖÉK
1217. ^ÄëçäìíÉ `çåîÉêÖÉåÅÉ
∞
•
^ ëÉêáÉë
∑~
å =N
å
áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë
∞
∑~
å =N
å
áë ÅçåîÉêÖÉåíK
310
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
∞
fÑ íÜÉ ëÉêáÉë
•
∑~
å =N
å
áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå áí áë Åçå-
îÉêÖÉåíK
1218. `çåÇáíáçå~ä `çåîÉêÖÉåÅÉ
∞
^ ëÉêáÉë
∑~
å =N
å
áë ÅçåÇáíáçå~ääó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë áë
ÅçåîÉêÖÉåí Äìí áë åçí ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK
11.8 Power Series
oÉ~ä åìãÄÉêëW ñI ñ M
∞
∑~
mçïÉê ëÉêáÉëW
å=M
å
ñå I
∞
∑ ~ (ñ − ñ )
å =M
å
å
M
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o
1219. mçïÉê pÉêáÉë áå ñ
∞
∑~
å=M
å
ñ å = ~ M + ~Nñ + ~ O ñ O + K + ~ å ñ å + K
1220. mçïÉê pÉêáÉë áå (ñ − ñ M )
∞
∑ ~ (ñ − ñ )
å=M
å
å
M
= ~ M + ~ N (ñ − ñ M ) + ~ O ( ñ − ñ M ) + K + ~ å ( ñ − ñ M ) + K
O
1221. fåíÉêî~ä çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉ
qÜÉ ëÉí çÑ íÜçëÉ î~äìÉë çÑ ñ Ñçê ïÜáÅÜ íÜÉ ÑìåÅíáçå
∞
Ñ (ñ ) = ∑ ~ å (ñ − ñ M ) áë ÅçåîÉêÖÉåí áë Å~ääÉÇ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ
å
å =M
ÅçåîÉêÖÉåÅÉK
311
http://fribok.blogspot.com/
å
CHAPTER 11. SERIES
1222. o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉ
fÑ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉ áë (ñ M − oI ñ M + o ) Ñçê ëçãÉ
o ≥ M I íÜÉ o áë Å~ääÉÇ íÜÉ ê~Çáìë çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉK fí áë ÖáîÉå
~ë
~
N
çê o = äáã å K
o = äáã
å →∞ ~
å →∞ å ~
å +N
å
11.9 Differentiation and Integration of Power
Series
`çåíáåìçìë ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ )
∞
mçïÉê ëÉêáÉëW
∑~
å=M
å
ñå
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o
1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë
∞
iÉí Ñ (ñ ) = ∑ ~ å ñ å = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K Ñçê ñ < o K
å =M
qÜÉåI Ñçê ñ < o I Ñ (ñ ) áë ÅçåíáåìçìëI íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ Ñ ′(ñ )
Éñáëíë ~åÇ
Ç
Ç
Ç
Ñ ′(ñ ) = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K
Çñ
Çñ
Çñ
∞
= ~N + O~ O ñ + P~ P ñ O + K = ∑ å~ å ñ å −N K
å =N
312
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
1224. fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë
∞
iÉí Ñ (ñ ) = ∑ ~ å ñ å = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K Ñçê ñ < o K
å =M
qÜÉåI Ñçê ñ < o I íÜÉ áåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ∫ Ñ (ñ )Çñ Éñáëíë ~åÇ
∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ ~ Çñ + ∫ ~ ñÇñ + ∫ ~ ñ Çñ + K
O
M
N
= ~ M ñ + ~N
O
∞
ñO
ñP
ñ å +N
+ ~O + K = ∑ ~å
+`K
O
P
å +N
å =M
11.10 Taylor and Maclaurin Series
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
aáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ )
oÉã~áåÇÉê íÉêãW o å
1225. q~óäçê pÉêáÉë
∞
Ñ (ñ ) = ∑ Ñ (å ) (~ )
å=M
+
Ñ
(å )
(ñ − ~ )å
å>
= Ñ (~ ) + Ñ ′(~ )(ñ − ~ ) +
(~ )(ñ − ~ )å + o
å>
å
Ñ ′′(~ )(ñ − ~ )
+K
O>
K
1226. qÜÉ oÉã~áåÇÉê ^ÑíÉê åHN qÉêãë áë ÖáîÉå Äó
å +N
Ñ (å +N) (ξ )(ñ − ~ )
oå =
I ~<ξ<ñ K
(å + N)>
1227. j~Åä~ìêáå pÉêáÉë
313
http://fribok.blogspot.com/
O
CHAPTER 11. SERIES
∞
Ñ (ñ ) = ∑ Ñ (å ) (M )
å =M
Ñ ′′(M )ñ O
Ñ (å ) (M )ñ å
ñå
= Ñ (M ) + Ñ ′(M )ñ +
+K+
+ oå
å>
O>
å>
11.11 Power Series Expansions for Some
Functions
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
oÉ~ä åìãÄÉêW ñ
1228. É ñ = N + ñ +
1229. ~ ñ = N +
ñO ñP
ñå
+
+K+
+K
O> P>
å>
(ñ äå ~ ) + K
ñ äå ~ (ñ äå ~ ) (ñ äå ~ )
+
+
+K+
N>
O>
P>
å>
O
P
å
(− N) ñ å+N ± K I − N < ñ ≤ N K
ñ O ñP ñ Q
1230. äå(N + ñ ) = ñ − + − + K +
O P
Q
å +N
å
1231. äå


N+ ñ
ñP ñR ñT
= O ñ + + + + K I ñ < N K
N− ñ
P
R
T


 ñ − N N  ñ − N P N  ñ − N  R 
+ 
1232. äå ñ = O
 + 
 K I ñ > M K
+
+
+
ñ
N
P
ñ
N
R
ñ
N



 

1233. Åçë ñ = N −
(− N) ñ Oå ± K
ñO ñQ ñS
+ − +K+
(Oå )>
O> Q> S>
å
314
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
(− N) ñ Oå+N ± K
ñP ñR ñT
1234. ëáå ñ = ñ − + − + K +
(Oå + N)>
P> R> T>
å
1235. í~å ñ = ñ +
1236. Åçí ñ =
π
ñ P Oñ R NT ñ T SOñ V
+
+
+
+KI ñ < K
O
P NR
PNR OUPR

N  ñ ñ P Oñ R Oñ T
− + +
+
+ K I ñ < π K
ñ  P QR VQR QTOR

1237. ~êÅëáå ñ = ñ +
ñ <NK
1238. ~êÅÅçë ñ =
ñ P N ⋅ Pñ R
N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N
+
+K+
+KI
O⋅P O⋅ Q ⋅R
O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N)

π 
ñ P N ⋅ Pñ R
N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N
−ñ +
+
+K+
+ K I
O 
O⋅P O⋅Q ⋅R
O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N)

ñ <NK
1239. ~êÅí~å ñ = ñ −
(− N) ñ Oå+N ± K I ñ ≤ N K
ñP ñR ñT
+ − +K+
P
R T
Oå + N
å
1240. ÅçëÜ ñ = N +
ñO ñQ ñS
ñ Oå
+
+
+K+
+K
(Oå )>
O> Q> S>
1241. ëáåÜ ñ = ñ +
ñP ñR ñT
ñ O å +N
+
+
+K+
+K
(Oå + N)>
P> R> T>
315
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
11.12 Binomial Series
tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã
oÉ~ä åìãÄÉêW ñ
`çãÄáå~íáçåëW å ` ã
1242. (N + ñ ) = N + å`Nñ + å` O ñ O + K + ã ` å ñ ã + K + ñ å
å
1243. å ` ã =
å(å − N)K[å − (ã − N)]
I ñ <NK
ã>
1244.
N
= N− ñ + ñO − ñP + K I ñ < N K
N+ ñ
1245.
N
= N+ ñ + ñO + ñP + KI ñ < N K
N− ñ
1246. N + ñ = N +
ñ ñ O N ⋅ Pñ P N ⋅ P ⋅ Rñ Q
−
+
−
+KI ñ ≤ NK
O O⋅Q O⋅Q ⋅S O⋅Q ⋅S⋅U
1247. P N + ñ = N +
ñ N ⋅ Oñ O N ⋅ O ⋅ Rñ P N ⋅ O ⋅ R ⋅ Uñ Q
−
+
−
+KI ñ ≤ NK
P P⋅S
P⋅S⋅V
P ⋅ S ⋅ V ⋅ NO
11.13 Fourier Series
fåíÉÖê~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ )
cçìêáÉê ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW ~ M I ~ å I Äå
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
316
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
∞
~
1248. Ñ (ñ ) = M + ∑ (~ å Åçë åñ + Äå ëáå åñ )
O
å =N
π
N
1249. ~ å = ∫ Ñ (ñ )Åçë åñ Çñ
π −π
π
1250. Äå =
N
Ñ (ñ )ëáå åñ Çñ
π −∫π
317
http://fribok.blogspot.com/
Chapter 12
Probability
12.1 Permutations and Combinations
mÉêãìí~íáçåëW å mã
`çãÄáå~íáçåëW å ` ã
tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã
1251. c~Åíçêá~ä
å> = N ⋅ O ⋅ PK(å − O)(å − N)å
M> = N
1252. å må = å>
1253. å mã =
å>
(å − ã )>
1254. _áåçãá~ä `çÉÑÑáÅáÉåí
å
å>
å
`ã =   =
 ã  ã> (å − ã )>
1255. å ` ã = å ` å −ã
1256. å ` ã + å ` ã +N = å +N ` ã +N
318
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
1257. å ` M + å `N + å ` O + K + å ` å = Oå
1258. m~ëÅ~ä∞ë qêá~åÖäÉ
oçï M
oçï N
oçï O
oçï P
oçï Q
oçï R
oçï S
N
N
N
N
N
N
N
O
P
Q
R
S
N
N
P
S
NM
NR
N
Q
NM
OM
NR
12.2 Probability Formulas
bîÉåíëW ^I _
mêçÄ~ÄáäáíóW m
o~åÇçã î~êá~ÄäÉëW uI vI w
s~äìÉë çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëW ñI óI ò
bñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ uW µ
^åó éçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêW ε
pí~åÇ~êÇ ÇÉîá~íáçåW σ
s~êá~åÅÉW σ O
aÉåëáíó ÑìåÅíáçåëW Ñ (ñ ) I Ñ (í )
1259. mêçÄ~Äáäáíó çÑ ~å bîÉåí
ã
m( ^ ) = I
å
ïÜÉêÉ
ã áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëI
å áë íÜÉ íçí~ä åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK
319
http://fribok.blogspot.com/
N
R
N
S
N
CHAPTER 12. PROBABILITY
1260. o~åÖÉ çÑ mêçÄ~Äáäáíó s~äìÉë
M ≤ m(^ ) ≤ N
1261. `Éêí~áå bîÉåí
m( ^ ) = N
1262. fãéçëëáÄäÉ bîÉåí
m( ^ ) = M
1263. `çãéäÉãÉåí
m(^ ) = N − m(^ )
1264. fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë
m(^ L _ ) = m(^ ) I
m(_ L ^ ) = m(_ )
1265. ^ÇÇáíáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë
m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ )
1266. jìäíáéäáÅ~íáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë
m(^ ∩ _ ) = m(^ ) ⋅ m(_ )
1267. dÉåÉê~ä ^ÇÇáíáçå oìäÉ
m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ ) − m(^ ∩ _ ) I
ïÜÉêÉ
^ ∪ _ áë íÜÉ ìåáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _I
^ ∩ _ áë íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _K
1268. `çåÇáíáçå~ä mêçÄ~Äáäáíó
m(^ ∩ _ )
m( ^ L _ ) =
m(_ )
1269. m(^ ∩ _ ) = m(_ ) ⋅ m(^ L _ ) = m(^ ) ⋅ m(_ L ^ )
320
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
1270. i~ï çÑ qçí~ä mêçÄ~Äáäáíó
ã
m(^ ) = ∑ m(_ á )m(^ L _ á ) I
á =N
ïÜÉêÉ _ á áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíëK
1271. _~óÉë∞ qÜÉçêÉã
m(^ L _ ) ⋅ m(_ )
m(_ L ^ ) =
m(^ )
1272. _~óÉë∞ cçêãìä~
m(_ ) ⋅ m(^ L _ á )
m(_ á L ^ ) = ã á
I
∑ m(_ á ) ⋅ m(^ L _ á )
â =N
ïÜÉêÉ
_ á áë ~ ëÉí çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíë EÜóéçíÜÉëÉëFI
^ áë íÜÉ Ñáå~ä ÉîÉåíI
m(_ á ) ~êÉ íÜÉ éêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëI
m(_ á L ^ ) ~êÉ íÜÉ éçëíÉêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëK
1273. i~ï çÑ i~êÖÉ kìãÄÉêë
p

m å − µ ≥ ε  → M ~ë å → ∞ I
 å

p

m å − µ < ε  → N ~ë å → ∞ I
 å

ïÜÉêÉ
på áë íÜÉ ëìã çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëI
å áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK
1274. `ÜÉÄóëÜÉî fåÉèì~äáíó
s(u )
m( u − µ ≥ ε ) ≤ O I
ε
ïÜÉêÉ s(u ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uK
321
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
1275. kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå
( ñ −µ ) O
−
N
O
ϕ(ñ ) =
É Oσ I
σ Oπ
ïÜÉêÉ ñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉK
1276. pí~åÇ~êÇ kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå
O
N − òO
ϕ(ò ) =
É
Oπ
^îÉê~ÖÉ î~äìÉ µ = M I ÇÉîá~íáçå σ = N K
Figure 210.
1277. pí~åÇ~êÇ w s~äìÉ
u−µ
w=
σ
1278. `ìãìä~íáîÉ kçêã~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
ñ
−
N
c(ñ ) =
É
∫
σ Oπ −∞
( í −µ ) O
OσO
Çí I
322
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
ïÜÉêÉ
ñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI
í áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK
 α −µ β−µ
1279. m(α < u < β ) = c
 − c
I
 σ   σ 
ïÜÉêÉ
u áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI
c áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåI
m(α < u < β ) áë áåíÉêî~ä éêçÄ~ÄáäáíóK
ε
1280. m( u − µ < ε ) = Oc  I
σ
ïÜÉêÉ
u áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI
c áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåK
1281. `ìãìä~íáîÉ aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
ñ
c(ñ ) = m(u < ñ ) = ∫ Ñ (í )Çí I
−∞
ïÜÉêÉ í áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK
1282. _Éêåçìääá qêá~äë mêçÅÉëë
µ = åé I σ O = åéè I
ïÜÉêÉ
å áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ÉñéÉêáãÉåíëI
é áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëë çÑ É~ÅÜ ÉñéÉêáãÉåíëI
è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K
1283. _áåçãá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
 å
Ä(åI éI è ) =   é â è å − â I
â
323
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
µ = åé I σ O = åéè I
Ñ (ñ ) = (è + éÉ ñ ) I
ïÜÉêÉ
å áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ íêá~äë çÑ ëÉäÉÅíáçåëI
é áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëëI
è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K
å
1284. dÉçãÉíêáÅ aáëíêáÄìíáçå
m(q = à) = è à−Né I
N
è
µ = I σO = O I
é
é
ïÜÉêÉ
q áë íÜÉ Ñáêëí ëìÅÅÉëëÑìä ÉîÉåí áë íÜÉ ëÉêáÉëI
à áë íÜÉ ÉîÉåí åìãÄÉêI
é áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó íÜ~í ~åó çåÉ ÉîÉåí áë ëìÅÅÉëëÑìäI
è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K
1285. mçáëëçå aáëíêáÄìíáçå
λâ −λ
m(u = â ) ≈ É I λ = åé I
â>
O
µ =λI σ =λ I
ïÜÉêÉ
λ áë íÜÉ ê~íÉ çÑ çÅÅìêêÉåÅÉI
â áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëK
1286. aÉåëáíó cìåÅíáçå
Ä
m(~ ≤ u ≤ Ä) = ∫ Ñ (ñ )Çñ
~
1287. `çåíáåìçìë råáÑçêã aÉåëáíó
~+Ä
N
I µ=
I
Ñ=
Ä−~
O
324
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
ïÜÉêÉ Ñ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK
1288. bñéçåÉåíá~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå
Ñ (í ) = λÉ −λí I µ = λ I σ O = λO
ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK
1289. bñéçåÉåíá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
c(í ) = N − É −λí I
ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK
1290. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
å
µ = b(u ) = ∑ ñ á éá I
á =N
ïÜÉêÉ ñ á áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI é á áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK
1291. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
∞
µ = b(u ) = ∫ ñÑ (ñ )Çñ
−∞
1292. mêçéÉêíáÉë çÑ bñéÉÅí~íáçåë
b(u + v ) = b(u ) + b(v ) I
b(u − v ) = b(u ) − b(v ) I
b(Åu ) = Åb(u ) I
b(uv ) = b(u ) ⋅ b(v ) I
ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK
1293. b(u O ) = s(u ) + µ O I
ïÜÉêÉ
µ = b(u ) áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉI
s(u ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉK
325
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
1294. j~êâçî fåÉèì~äáíó
b(u )
m(u > â ) ≤
I
â
ïÜÉêÉ â áë ëçãÉ Åçåëí~åíK
1295. s~êá~åÅÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
[
]
å
σ O = s(u ) = b (u − µ ) = ∑ (ñ á − µ ) éá I
O
O
á =N
ïÜÉêÉ
ñ á áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI
é á áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK
1296. s~êá~åÅÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
[
] ∫ (ñ − µ) Ñ (ñ )Çñ
σ = s(u ) = b (u − µ ) =
O
O
∞
O
−∞
1297. mêçéÉêíáÉë çÑ s~êá~åÅÉ
s(u + v ) = s(u ) + s(v ) I
s(u − v ) = s(u ) + s(v ) I
s(u + Å ) = s(u ) I
s(Åu ) = Å O s(u ) I
ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK
1298. pí~åÇ~êÇ aÉîá~íáçå
[
a(u ) = s(u ) = b (u − µ )
O
]
1299. `çî~êá~åÅÉ
Åçî (uI v ) = b[(u − µ(u ))(v − µ(v ))] = b(uv ) − µ(u )µ(v ) I
ïÜÉêÉ
u áë ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI
s(u ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uI
µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ u çê vK
326
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
1300. `çêêÉä~íáçå
Åçî (uI v )
I
ρ(uI v ) =
s(u )s(v )
ïÜÉêÉ
s(u ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uI
s(v ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ vK
327
http://fribok.blogspot.com/
Descargar