PROPOSICIONES ¿Qué es una proposición? Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (v o f). Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Es cualquier agrupación de palabras o símbolos que tengan sentido y de la que en un momento determinado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo: p, q, r, a, b. EJEMPLO: Hoy es lunes. (si es proposición ya que se puede verificar). Carlos Fuentes es un escritor. Sen(x) no es un número mayor que 1. El 14 y el 7 son factores del 42. El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. El 2 o el 3 son divisores de 48. El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. Si x es número primo, entonces x impar. Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. No todos los números primos son impares. proposiciones Se clasifican en: Simples Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. El cielo es azul., 8≤ 15 Compuestas están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios. Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto. Conectores lógicos Negación (NO, ⌐) Se toman como sinónimo las expresiones: No es cierto que… No es el caso que… Es falso que… Ejemplo: P: 5 es un número impar ⌐ p : 5 no es número par q: febrero tiene 30 días ⌐ q: febrero no tiene 30 días valor de verdad p: 4 es número par ( V ) • ⌐p: 4 no es número par (F) • q : (−2)3 = 6 ( F) ⌐q : : (−2)3 ≠ 6 (V) p ⌐p v F F v Conjunción (y, ꓥ) Se toman como sinónimo las expresiones: Ejemplo : P: 7 es número primo q: -5 es mayor que 4 Además Pero Sin embargo También Aún S: hoy es martes A la vez r: está lloviendo p ꓥ q : 7 es número primo y -5 es mayor que 4 s ꓥ r : hoy es martes además está lloviendo Valor de verdad • P: hoy voy al cine q: hoy salgo al parque • P : 3 es divisor de 9 (v) q: −1 = 1 1 q: < 1 10 (v) 2 P ꓥ q : 3 es divisor de 9 y 3 < 10 , Entonces P ꓥ q (v). • P: −1 = 1 (F) q: • 1 2 1 (V) 1 P ꓥ q : −1 = 1 y < 1 , 2 entonces P ꓥ q (F) p q P ꓥq V V V V F F F V F F F F Disjunción ( o,V) Ejemplo: p: 11 es divisible por 2 q: 11 es número primo p v q: 11 es divisible por 2 o 11 es número primo Valor de verdad P: hoy voy al cine q: hoy salgo al parque p: 5 ϵ N (f) q: -8 ϵ Q (v) pvq: 5 ϵ N ó -8 ϵ Q, entonces pvq es V p q Pvq V V V V F V F V V F F F CONDICIONAL (SI…ENTONCES, →) P: si no llueve q: vamos a la playa P → q: si no llueve entonces vamos a la playa r: x < 0 s: x es positivo r → s : si x < 0 entonces x es positivo CONDICIONAL (SI…ENTONCES, →) p q P →q P: hoy estudio V V V q: gano el examen V F F F V V F F v EJEMPLO P: 4 = 2 (v) q: 2 ϵ Q (v) P → q : si 4 = 2 entonces 2 ϵ Q (v) Bicondicional (si…sólo si, ↔) "Enseñar matemática es necesario y suficiente para que me paguen una gran suma de dinero.“ "Me pagan una gran suma de dinero si y solo si enseño matemáticas." p ↔ q : (P → q) ꓥ (q → p) Valor de verdad P: x > o (v) p q P↔q q: x ϵ N (v) V V V P ↔ q: x > o si y sólo si x ϵ N V F F P →q: si x > o entonces x ϵ N (v) F V F F F V q → p : si x ϵ N entonces x > o(v) Ejemplo: construyamos la tabla de verdad para la proposición ⌐ p → (⌐ p → p) p ⌐p ⌐p→ p ⌐ p → (⌐ p → p) V F v V F V V F construyamos la tabla de verdad para la proposición (pꓥq) ꓥ (p → ⌐q) p q ⌐q pꓥq p → ⌐q (pꓥq) ꓥ (p → ⌐q) V V F V F F V F V F V F F V F F V F F F V F V F Actividad Simboliza las siguientes proposiciones: a) Sergio es doctor y Nelson odontólogo b) El árbol es alto y da mucha sombra c) 7 es mayor que 3 o 5 más 6 es menor que 10 d) 16 = 24 si y sólo si 2 x 4 = 16 e) Si 2 es mayor que 1 y 1 mayor que -4 entonces 2 es mayor que -4 2. Construye la tabla de verdad para las siguientes proposiciones: a) p → (⌐ p v q) b) ⌐(p v q) ꓥ (⌐p →q) c) ⌐ (⌐p v ⌐q) 1.
