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INSTITUCION ETNOEDUCATIVA BROQUELES
GUIA DE APRENDIZAJE PARA EL GRADO ONCE
AREA: Matemáticas. ASIGNATURA: Matemáticas. DOCENTE. Ana Delfina Pérez
Hurtado.
GRADO. 11
UNIDAD: 1
TEMA: Análisis Combinatorio, conjuntos numéricos y desigualdades
La teoría combinatoria estudia la ordenación de las cosas o elementos.
En ciencias como la estadística, se presenta con mucha frecuencia la necesidad de calcular
el número de maneras de seleccionar o agrupar los elementos de un conjunto. En este
capítulo trataremos las permutaciones, variaciones y combinaciones, de manera que el
lector las entienda lo más rápido posible. Con un poco de concentración, este tema lo
entenderemos con mucha facilidad. Analice estos ejemplos sencillos que le van a servir de
base par entender ente tema.
Ejemplos.
De cuantas formas pueden ordenarse los números 1,2 y 3 sin repetir los números
Analicemos el siguiente esquema arboral.
2 ---3------123
1
3---2------132
1---3------213
obtenemos 6 permutaciones
2
3---1------231
1---2------312
3
2---1------321
Lo anterior nos indica que los números 1,2 y 3 pueden ordenarse de 6 maneras sin
repetición.
Ahora miremos de cuántas maneras podemos ordenar estos números con la opción de poder
repetir números. Iniciando con el número 1 podemos ordenar el diagrama de árbol así:
1
2
1
111
2
112
3
113
1
121
2
122
3
123
1
1
2
1
3
2
3
131
Se nos forman 9
arreglos o grupos
iniciando con el
uno
132
133
Iniciando con el 2 se forman también 9 permutaciones lo mismo que iniciando con el 3, en
total son 27 permutaciones.
El análisis combinatorio es la técnica que nos permite calcular el número de permutaciones
sin necesidad de hacer los arreglos. Si en los arreglos que hagamos interesa el orden de los
objetos, entonces dichos arreglos se llaman variaciones y permutaciones. Si no interesa el
orden de los objetos se llaman combinaciones
PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS COMBINATORIO
Principio de adición
Si un evento A puede ocurrir de a maneras y un evento B puede ocurrir de b maneras, el
evento A o B puede ocurrir de a + b maneras, Siempre que A y B no ocurran
simultáneamente. Podemos generalizar este principio a mas de dos eventos.
Ejemplo:
Si lanzamos dos dados. De cuantas maneras podemos obtener el 6 o el 7?
Utilizaremos el principio de adición para determinar el número de veces que puede caer el
6 o el 7.
El 6 lo podemos obtener de las siguientes maneras:
(1,5), (2,4),(3,3),(4,2),(5,1), es decir, de 5 maneras
El 7 lo podemos obtener de la siguientes maneras
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) , es decir, de 6 maneras
Por el principio de adición, el 6 0 el 7 lo podemos obtener de 5 + 6 = 11 maneras.
Principio de Multiplicación
Si un evento A puede ocurrir a maneras y por cada una de ellas otro evento B puede ocurrir
de b maneras, entonces el evento compuesto A y B puede ocurrir de a x b maneras. Este
principio lo podemos generalizar a mas de dos eventos.
Ejemplos:
2
3
1.-Un restaurante ofrece 4 clases de entradas y 5 platos principales. ¿Cuántas comidas
diferentes pueden servirse?
Sol:
Por cada entrada se pueden servir 5 comidas por lo tanto con 4 entradas se pueden servir 20
comidas diferentes. Por el principio de multiplicación, en número de comidas las podemos
obtener simplemente así 4 x 5 = 20
2.- Si en el ejemplo anterior cada persona puede elegir uno entre 6 postres diferentes,
entonces se pueden servir 4 x 5 x 6 = 120 comidas diferentes.
Permutaciones
Llamamos permutación a un arreglo de n objetos tomados todos a la vez. Si llamamos P a
las permutaciones, y n al número de elementos, el número de permutaciones Pn se obtiene
con la siguiente fórmula:
Pn = n!
Donde n! = n(n-1) (n-2)(1)
Así: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Ejemplos:
1.- Cuantas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra “ropa” (no
importa que las palabras no tengan sentido)
Como son 4 letras, entonces n = 4, por lo tanto:
P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, o sea que se pueden formar 24 grupitos de a 4 con esas 4 letras.
Estas son:
ropa, roap, raop, rapo, rpoa, rpao, arop, arpo, apro, apor, aorp, aopr, orpa, orap, opar, opra,
oapr, oarp, proa, prao, pora, poar, paro, paor
2.- ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los números 1,2 ,3, 4 y 5,
repetir ninguno.
Como son 5 elementos, entonces n = 5, por lo tanto:
sin
P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120, es decir, se pueden formar 120 números diferentes.
Permutaciones con repetición
Cuando al calcular una permutación encontramos elementos repetidos, decimos que hay
una permutación con repetición. Si tenemos n objetos de los cuales los x1 son iguales, los
x2 son iguales,… los xk también son iguales, donde x1 + x2 + … + xk = n, entonces
Px1 ...x k (permutaciones con repetición) se calcula con la siguiente ecuación:
Px1 ...x k =
n!
x1 !.x 2 !...x k !
Ejemplo:
3
4
¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra “amamantar”?
Observemos que hay 9 letras, por lo tanto n = 9, vemos que la letra a se repite 4 veces, la
m, 2 veces y las demás no se repiten, entonces:
Px1 ...x k =
9!
9 x8 x7 x6 x5 x 4 x3x 2 x1 9 x8 x7 x6 x5
=
=
= 7560
4!.2!.1!.1!.1!
4 x3x 2 x1(2 x1)
2 x1
Variaciones
Si tenemos n objetos podemos formar con ellos subgrupos de r objetos. Cada subgrupo se
llama una variación o permutación de orden r si los subgrupos difieren al menos en un
elemento o en el orden de colocación. El número de variaciones de n objetos agrupados de
a r se representa por Vr y se calcula con la siguiente expresión:
V rn =
n!
(n − r )!
Ejemplos:
1.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden colocar dos anillos en una mano si no se
pueden colocar ambos en el mismo dedo?
Como son 5 dedos entonces n= 5 y r = 2, aplicando la formulita tenemos:
V 25 =
5!
5!
= = 20
(5 − 2)! 3!
2,- ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos de 1 a 9?
Como n= 9 y r = 3 , entonces:
V39 =
9!
9!
= = 504
(9 − 3)! 6!
Variaciones con repetición
Cuando en las variaciones se permite repetir objetos en los subgrupos, se llama variación
con repetición y su fórmula es:
VRrn = n r
4
5
Ejemplos:
1.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar dos anillos en una mano si se permite
colocarlos en el mismo dedo?
VR25 = 52 = 25 , Como era de esperarse hay 5 opciones mas
2.- ¿Cuantos números de 4 cifras pueden formarse con los números del 1 al 9?
Como en ningún momento se dice que no se pueden repetir números, entonces es una
variación con repetición, por lo tanto tenemos:
VR49 = 94 = 6561
Combinaciones
Decimos que una combinación es diferente de otra cuando al menos tienen un elemento
distinto ( el cambio de posición es una variación pero no una combinación). Por ejemplo:
abc, bca, acb son tres variaciones pero la misma combinación.
n
El número de combinaciones de n objetos agrupados de a r se representa
r y su
fórmula es:
C
C rn =
n!
r! (n − r )!
Ejemplos:
1.- Cuantos comités de cuatro personas se pueden formar de un total de 10 personas?
Nótese que en un comité no importa el orden de colocación, entonces la fórmula que me
permite calcular en número de comités es la de combinaciones ya que para las variaciones
el cambio de posición es un grupo diferente lo que me daría un valor errado, entonces:
C 410 =
10!
10! 10 x9 x8 x7 x6! 10 x9 x8 x7 5040
=
=
=
=
= 210
4! (10 − 4)! 4! (6)!
4! (6)!
4!
24
2.- En una sala hay 7 personas. ¿Cuántos saludos de mano son posibles?
C 27 =
7!
7!
=
= 21
2! (7 − 2)! 2! (5)!
IMPORTANTE. Una agrupación en la que el cambio de posición de dos o mas elementos
genera una situación diferente es una variación, pero si ese cambio de posición no genera
5
6
una situación diferente estamos hablando de una combinación. Por ejemplo: si tomamos 10
sabores de una empresa de helados y armamos galletas heladas de tres sabores distintos,
vainilla, arequipe y fresa, es el mismo helado de fresa, vainilla y arequipe; en este caso
estamos hablando de una combinación porque el cambio de posición no genera una nueva
situación. Pero si tomamos 10 personas en una competencia y queremos saber de cuantas
formas se pueden formar los podios, o sea primerio segundo y tercer puesto, aquí el solo
cambio de posición genera una nueva situación, ya que, si Juan es el primero, Diego el
segundo y Pedro el tercero, al cambiar a Diego de primero y juan de segundo ya es otra
situación y entonces esta es una variación.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
1. ¿En una clase de 24 alumnos, cuantos grupos de tres personas se pueden organizar?
2. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra matemáticas? (no
importa que no tengan sentido)
3. Una fábrica produce 21 clases de cremas de dos sabores. ¿Cuántos sabores básicos
tiene?
4. Se tienen 10 personas para cubrir las vacantes de presidente, vicepresidente y secretario.
De lo anterior podemos concluir que dichas vacantes se pueden cubrir de:
A. 6545 maneras diferentes
B. 3628 formas
C. 720 maneras
D. 1000 formas
5. Se tienen 5 niños y un sofá de 5 puestos, el número de formas en que podemos ubicarlos
es:
A. 25
B. 120
C. 60
D. 10
Responda las preguntas 6 y7 de acuerdo con la siguiente información.
números 1,2,3,5 y 7 con los cuales se quieren formar números de 4 cifras.
6. De acuerdo con estos números es posible afirmar que:
A. Se pueden formar 125 números de 3 cifras.
B. Se pueden formar 60 números de 3 dígitos.
6
Se tienen los
7
C. entre números pares e impares de 3 cifras que pueden formarse hay más de 100
números.
D. se pueden formar 30 números pares de tres cifras y 30 números impares.
7. Si para formar números de 3 cifras, cada dígito se debe utilizar una sola vez, entonces es
posible deducir que:
A. El total de números que pueden formarse es 125, pues cada dígito tiene 5
posibilidades de salir.
B. se pueden formar 120 números de 3 cifras ya que se trata de una variación.
C. En la casilla de las unidades hay 5 posibilidades al igual que en las decenas y
centenas.
D. De un total de n dígitos, la cantidad de números de tres dígitos que pueden formarse
si cada dígito se utiliza solo una vez, es n(n-1)(n-2).
LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
En ocasiones cuando se le pide a un alumno que se ubique en un determinado
conjunto numérico se queda sin saber que hacer o confunde uno con otro debido a
que le dan muy poca importancia a conocer y distinguir estos conjuntos tan
importantes y cuando se trata de ubicarse en uno u otro para determinado proceso
u operación se pegan la embalada más grande. Para que a usted no le suceda
esto haré un resumen sencillo y muy práctico sobre los conjuntos numéricos:
NÚMEROS NATURALES
El más pequeño de los conjuntos numéricos es el de los números naturales que
denotamos con la letra N y está formado por los números que habitualmente
utilizamos para contar y van desde el cero hasta infinito es decir, el conjunto de los
números naturales es:
N ={0,1,2,3,4,5,...}
NOTA: Algunos autores no toman al cero como número natural.
NÚMEROS ENTEROS
En su orden el conjunto que sigue es el de los números enteros que denotamos
con la letra Z y está formado por los naturales y sus opuestos (los negativos)
recordemos que el cero es neutro, es decir, no es ni positivo ni negativo. Los
enteros son entonces:
Z ={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} los tres puntos indican que a lado y lado hay
infinitos números.
Su representación gráfica es la siguiente:
...
-3
-2
-1
0
1
7
2
3 ...
8
Los enteros mayores que cero se llaman enteros positivos y se denotan con Z +
Los enteros menores que cero son los enteros negativos y se denotan por
Z − Como se dijo anteriormente el cero es neutro aunque para algunos casos se
considera positivo.
Z + = {1,2,3,4,5,...}
Z − = {−1,−2,−3,−4,−5,...}
Si nos fijamos bien vemos que los enteros contienen a los naturales es decir, el
conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números
enteros (N Z ) .
NÚMEROS RACIONALES
Este conjunto contiene a todos los números que se pueden expresar de la forma
a
2 3 10
donde a y b son números enteros y b es diferente de cero Ej: , , , etc . Este
b
5 4 5
conjunto se denota con la letra Q. Y es
a
Q = { / a, b Z y b 0 } (definición por comprensión).
b
a
Observemos que todos los enteros se pueden expresar de la forma
b
10
4
por ejemplo = 2 ;
4 = , etc . Por lo tanto el conjunto de los números enteros
5
1
está incluido en el conjunto de los números racionales ( Z Q) .
a
Si tenemos un fraccionario
y realizamos una división entre el numerador y el
b
denominador obtenemos un entero o un decimal que puede ser finito o infinito
periódico (los decimales se repiten por períodos) esto quiere decir que un número
racional es un entero, un decimal finito o un decimal infinito periódico.
15
Ejemplo:
= 3,75 (decimal finito)
4
7
= 2,33... (Decimal infinito periódico, el 3 se repite indefinidamente)
3
20
= 4 (Entero)
5
Forma mixta de un racional. Hay ocasiones en que el numerador de una
fracción es mayor que el denominador. En estas situaciones dividimos en
numerador por el denominador, el cociente de esta división es la parte entera
mientras que el residuo sigue dividido por el divisor (denominador) y esta es la
parte fraccionaria para formar el número mixto. Por ejemplo expresar
como
número mixto.
8
9
7
3
1
2
Observemos que 7 dividido en 3 cabe dos veces y sobra 1, ese 1 sigue dividido en
3, por lo tanto la fracción se puede expresar así:
Para expresar un mixto como fracción, basta con multiplicar el entero por el
denominador de la fracción, sumarle el numerador y dejar el mismo denominador,
por ejemplo
Expresión fraccionaria de un número decimal
Para pasar un número decimal a fracción existen 3 posibles casos:
1. Decimales finitos, es decir, cuando las cifras decimales son finitas, por
ejemplo 3,475 es un decimal finito pues tiene un numero finito de cifras
decimales. El número 2,6666666… es un decimal infinito pues tiene
infinitas cifras después de la coma.
Para expresar los decimales finitos en forma de fracción, basta con escribir
una fracción cuyo numerador sea el mismo número pero sin coma y el
denominador sea la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales
tenga el número, por ejemplo:
2. Decimales periódicos. Son aquellos en los cuales las cifras decimales se
repiten infinitamente, por ejemplo.
5,22222222… el 2 se repite
infinitamente, 1,254254254254… en numero 254 se repite de forma infinita.
El numero anterior se puede escribir de la siguiente forma
Para expresar esta clase de decimales a fracción se procede de la siguiente
manera:
Como se trata es de expresar un numero x de la forma
, lo que hacemos
es armar una ecuación donde el número dado sea x, para luego determinar
quienes son a y b.
Si el número dado tiene dos decimales infinitos periódicos, multiplicamos la
ecuación por 100 y restamos la segunda de la primera para determinar
quiénes son a y b después de despejar, así por ejemplo, expresar
3,25252525… como fracción. Se arman las ecuaciones de la siguiente
manera.
(ecuac.1)
9
10
Como son dos decimales multiplicamos esta ecuación por 100, así:
(ecuac.2)
Al restar la ecuación 2 de la 1 nos queda.
Entonces:
Al despejar x nos queda
, que es la fracción que estábamos
buscando.
Importante: si hay una cifra decimal que se repite, multiplicamos la
ecuación por 10, si son 3 cifras que se repiten, multiplicamos la ecuación
por 1000 y así sucesivamente.
3. Decimales semiperiódicos. Son aquellos en los que hay cifra decimales
que aparecen una sola vez y las demás se repiten infinitamente, por
ejemplo: 4,35222222222… aquí después del 35, el 2 se repite infinitamente,
3,627272727272… aquí del 6, el 27 se repite infinitamente.
Para expresar estos decimales en forma de fracción, tomamos el número
sin coma y sin línea periódica, menos la parte no periódica del número,
dividido por tantos 9 como decimales periódicos halla y por tantos ceros
como dígitos no periódicos halla después de la coma, por ejemplo:
Importante: las fracciones se pueden simplificar si son reducibles
Otra forma de convertir decimales semi periódicos en fracciones es
PASOS PARA CONVERTIR UN DECIMAL INFINITO SEMI PERIÓDICO EN
FRACCIONARIO
Ejemplo.
1. Igualar el decimal a equis (x)
2. Multiplicar la ecuación por una potencia de 10 que convierta el decimal en
periódico puro.
Como hay una cifra no periódica multiplicamos a lado y lado por 10. Así:
3. Multiplicar por una potencia de 10 cuyos ceros sean el número de cifras del
periodo.
Como el periodo tiene 2 cifras, entonces multiplicamos la ecuación anterior
por 100. Así:
10
11
4. De la ecuación 3 restamos la ecuación 2 y nos queda así:
5. Resolver la ecuación.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Exprese cada uno de los siguientes decimales como fracción.
NÚMEROS IRRACIONALES
Hay otro conjunto formado por los decimales que no se pueden expresar de la
a
forma
estos decimales son infinitos no periódicos o sea que los decimales no se
b
repiten por períodos, un ejemplo de estos números son las raíces cuadradas no
exactas por ejemplo 2 = 1,4142 ...
Este conjunto es el de los números IRRACIONALES que denotamos por Q’.
Nótese que los números racionales y los irracionales no tienen nada en común, es
decir Q Q ' = (vacío). Porque aunque ambos tienen números decimales son
decimales muy diferentes.
e = 2,718...
Otros ejemplos de números irracionales son = 3,14159 ...
REPRESENTACION GRAFICA DE LOS IRRACIONALES
11
12
Para los enteros positivos que no son cuadrados perfectos, se puede demostrar que su
raiz cuadrada es un número irracional, cuya localización en la recta numérica se logra
de una manera sencilla empleando el teorema de Pitágoras (Ver fig. siguiente).
NÚMEROS REALES
Este conjunto contiene los números racionales más los irracionales y
automáticamente contiene a los enteros y a los naturales o sea que es la reunión
de todos los anteriores, se denota con la letra R. Conjuntos como el de los reales
se llaman conjuntos densos ya que entre un elemento y otro no hay espacio.
Imaginémonos que pudiéramos mirar en la recta numérica entre dos enteros, por
lógica entre ellos hay un espacio pero entre dos números reales hay infinitos
números o sea que no hay ningún espacio entre ellos, es por eso que se llama un
conjunto denso.
Podemos hacer el siguiente esquema:
R = QUQl
Así como existen los números reales, existen otros que no son reales, son los
llamados imaginarios.
NÚMEROS IMAGINARIOS
Tratemos resolver la siguiente operación
− 4 , observemos que en los reales no
hay ningún números que elevado al cuadrado nos de –4 ya que cualquier número
elevado al cuadrado nos da un número positivo (ojo con la ley de los signos) por lo
tanto este problema no tiene solución en los reales. Lo que si podemos hacer con
− 4 = 4(−1) = 2 − 1 = 2i , la expresión
este caso es lo siguiente
−1 = i
llamada unidad imaginaria. Todos los números de esta forma son los llamados
números imaginarios.
NÚMEROS COMPLEJOS
Al unirlos reales con los imaginarios formamos el conjunto de los números
complejos, es decir un número complejo tiene una parte real y otra imaginaria, por
ejemplo: 4 + 2i
12
13
Cabe aclarar que todos los números son complejos ya que todos los conjuntos
numéricos están incluidos en los complejos, por ejemplo 5 es un complejo (la parte
imaginaria es cero
). De igual forma
es complejo ya que la parte real es
cero
Podemos hacer entonces el siguiente esquema para resumir los conjuntos
numéricos.
N⊂Z ⊂ Q
R
C
Q’
I
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Coloque en cada espacio el símbolo pertenece
, o no pertenece
pertenezca o no dicho número al conjunto indicado arriba.
número
-3
2,888…
1,2579…
7
N
Z
Q’
Q
R
I
, según
C
DESIGUALDADES.
La expresión
, quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores
particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que
"b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que
"b", cuando la diferencia a - b es negativa.
Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o
menor que la otra".
13
14
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a
la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la
desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la
definición de desigualdad, se deducen algunas consecuencias, que son:
1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:
5>0;
porque 5 - 0 = 5
2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
-9 < 0 ;
porque -9 -0 = -9
3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;
Ejemplo:
-10 > -30;
porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
SENTIDO DE UNA DESIGUALDAD.
Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las
desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el
segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro
mayor se convierte en menor o viceversa.
Desigualdades absolutas y condicionales.
Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades
condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de
desigualdades: las absolutas y las condicionales.
Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se
atribuya a las literales que figuran en ella
Ejemplo:
a2+ 3 > a
Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores
de las literales:
Ejemplo:
2x - 8 > 0
que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.
Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES.
14
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1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un
mismo número a cada miembro
Ejemplos:
9>5
9+2>5+2
11 > 7
-2 > -6
-2 -3 > -6 -3
-5 > -9
Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro
de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el
término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un
miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar
una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:
6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2
2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos
miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor,
también positivo.
Ejemplos:
12 > 7
12 * 3 > 7 * 3
36 > 21
15 > -25
15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5
3 > -5
3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros
por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también
negativo.
Ejemplos:
3 > -15
3(-4) < (-15)(-4)
-12 < 60
64 < 80
64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4)
-16 > -20
Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de
una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto
equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.
Ejemplo:
-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5x
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DEFINICIÓN DE INTERVALO
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos
dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.
INTERVALO ABIERTO
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a
y menores que b.
(a, b) = {x
/ a < x < b}
INTERVALO CERRADO
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o
iguales que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x
/ a ≤ x ≤ b}
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números
reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x
/ a < x ≤ b}
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números
reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x
/ a ≤ x < b}
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de
estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.
Semirrectas
LAS SE MI RRECT AS . Están limitadas por un número. En una se mi r r e cta se
encuentran todos los números mayores (o menores) que él.
x>a
16
17
( a , +∞ ) = { x
/ a < x < +∞ }
x≥a
[ a , +∞ ) = { x
/ a ≤ x < +∞ }
x<a
( - ∞ , a) = { x
/ -∞ < x < a}
x≤a
( - ∞ , a] = { x
/ -∞ < x ≤ a}
Las semirrectas son la representación gráfica de aquellos intervalos en los que al
menos uno de los lados no esta definido.
INECUACIÓN
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de
desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual
la variable independiente puede tomar cualquier valor de ese conjunto cumpliendo esta
desigualdad. A este conjunto se le conoce como Intervalo.
Propiedades
Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:
Tricotomía
La propiedad de la tricotomía dicta que:
•
Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes
afirmaciones:
o
o
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18
o
Simetría
Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:
•
Para dos números reales, a y b:
o
Si
entonces
o
Si
entonces
Transitiva
•
Para tres números reales, a, b, y c:
•
o
Si
y
entonces
o
Si
y
entonces
o
Si
y
entonces
RESOLVER UNA INECUACIÓN
Consiste en hallar el valor o valores de la(s) incógnita(s) para que la desigualdad sea
verdadera
Ejemplo: Inecuación: x-3 > 2
Sumando 3 a ambos miembros, obtenemos: x > 5
Soluciones: Todos los números reales mayores que 5, es decir: x ∈ (5, ∞)
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las
siguientes formas básicas:
ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b ≤ 0
ax + b ≥ 0
RESOLUCION DE INECUACIONES
Para resolver una inecuación podemos proceder como con las ecuaciones
teniendo en cuenta que cuando una cantidad negativa pasa a dividir o cuando
se multiplica por una cantidad negativa, la desigualdad se invierte.
Ejemplo: Resolvamos la inecuación: 2x - 3 ≤ 0
Haciendo transposición de términos, pasamos -3 al otro lado así: 2x≤3
pasamos ahora el 2 a dividir al otro lado y nos queda
Que es la solución, significa lo anterior que las x son menores o iguales que
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tres medios. En forma de intervalo se indica así
.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES
En este caso, para quitar denominadores, multiplicamos la inecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores o simplemente multiplicamos en cruz. Así:
Resolver
tanto nos
El mínimo común múltiplo de los denominadores es 6, por lo
queda :
simplificando tenemos:
Como intervalo sería:
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
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