Vibraciones Libres

Introducción:
Objetivos:



Comprender el comportamiento aproximado de una estructura frente a una perturbación
externa, modelando ecuaciones que rigen su movimiento o entre otro, para lo cual
empleamos las herramienta matemáticas impartidas en el curso de ecuaciones
diferenciales.
Conocer algunas definiciones y condiciones que rigen los modelos aproximados a las
situaciones reales en condiciones de perturbación.
Aprender las situaciones estructurales en las que se encuentra un edificación durante una
perturbación.
Ondas Sísmicas
La perturbación de una estructura es producida, principalmente por el movimiento de su soporte.
Estas perturbaciones son causadas por ondas las cuales son las primarias y las secundarias. La
intensidad de la fuerza externa que perturba el sistema depende del epicentro y de la energía
liberada en el mismo.
Las ondas principales que se presentan en un movimiento sísmico son las siguientes:
Ondas internas:
Primarias:
Las dos ondas compresionales se suelen denominar como ondas P de primera y segunda especie.
Las ondas de presión de primera especie corresponden a un movimiento del fluido y del sólido en
fase, mientras que para las ondas de segunda especie el movimiento del sólido y del fluido se
produce fuera de fase. Biot demuestra que las ondas de segunda especie se propagan a
velocidades menores que las de primera especie, por lo que se las suele denominar ondas lenta y
rápida de Biot, respectivamente. Las ondas lentas son de naturaleza disipativa y su amplitud decae
rápidamente con la distancia desde la fuente.
Secundarias:
Las ondas S (secundarias) son ondas en las cuales el desplazamiento es transversal a la dirección
de propagación. Su velocidad es menor que la de las ondas primarias. Debido a ello, estas
aparecen en el terreno algo después que las primeras. Estas ondas son las que generan las
oscilaciones durante el movimiento sísmico y las que producen la mayor parte de los daños. Solo
se trasladan a través de elementos sólidos. Tiene una velocidad aproximada de 4 a 7 km/segundo.
Ondas superficiales:
Love:
Las ondas de Love son ondas superficiales que producen un movimiento horizontal de corte en
superficie. Se denominan así en honor al matemático Augustus Edward Hough Love del Reino
Unido, quien desarrolló un modelo matemático de estas ondas en 1911. La velocidad de las ondas
Love es un 90 % de la velocidad de las ondas S y es ligeramente superior a la velocidad de las
ondas Rayleigh. Estas ondas solo se propagan por las superficies, es decir, por el límite entre zonas
o niveles, por ejemplo la superficie del terreno o la discontinuidad de Mohorovic.
Rayleigh:
Las ondas Rayleigh , también denominadas ground roll, son ondas superficiales que producen un
movimiento elíptico retrógrado del suelo. La existencia de estas ondas fue predicha por John
William Strutt, Lord Rayleigh, en 1885. Son ondas más lentas que las ondas internas y su velocidad
de propagación es casi un 90% de la velocidad de las ondas S.
Antes de comenzar a explicar este capítulo es necesario definir algunos términos:
Vibraciones libres: Viene a ser la oscilación libre de una estructura, después de que haya cesado la
fuerza externa que produjo dicha perturbación en la estructura.
Grados de libertad: En términos de ingeniería viene a ser el número mínimo de parámetros o
variables que determinan por completo el movimiento de un mecanismo.
Indeformable: Término empleado para los cuerpos rígidos, ya que su forma y dimensiones no son
alteradas baja la acción de cualquier carga mecánica.
Cuerpo elástico: Término que hace referencia a cuerpos que recuperan su dimensión o forma
después de cesar las fuerzas deformantes.
Vibraciones Libres
En estos sistemas no existe una fuerza externa perturbadora que actué sobre el sistema; por lo
tanto la ecuación diferencial que permite calcular su ecuación del movimiento carece de una
expresión de fuerza externa de dependencia temporal.
Estas vibraciones pueden clasificarse en 2: movimiento no amortiguado y amortiguado.
Sistemas no amortiguados:
Estos casos son ideales y son imposibles físicamente, pero posible desde un punto de vista
conceptual. Para tales situaciones la ecuación que rige el movimiento se obtiene a partir de la
siguiente ecuación diferencial:
..
m. u  K .u  0
..
u
En la ecuación anterior
K
.u  0................(1)
m
K
viene a ser el cuadrado de la frecuencia circular; es decir:
m
2 
K
...................(2)
m
Reemplazamos en (2) en (1) y se obtiene:
..
u   2 .u  0................(3)
Resolvemos (3) , mediante el método de la ecuación auxiliar:
..
u   2 .u  0
m2   2  0
m  
u  c1 cos(.t )  c2 sen(.t )...................(4)
Las constantes c1 y c2 se obtienen de las condiciones iniciales en las que se encuentra en sistema y
sus valores se obtienen de las siguientes ecuaciones:
u(0)  c1
u '(0)  c2 .
Reemplazando las expresiones anteriores en (4) :
u  c1 cos(.t )  c2 sen(.t )
u  u(0) .cos(.t ) 
u '(0)

sen(.t ).................(5)
La amplitud del sistema no amortiguado se obtiene de la siguiente manera:
umax  (u(0) ) 2  (
u '(0)

)2
Escribimos la ecuación (5) en su forma alternativa:
u  umax .sen(.t   )
u  (u(0) ) 2  (
u '(0)

) 2 ( sen(.t   ))
El ángulo  viene a ser el ángulo de fase inicial y obtiene así:
 u(0) . 
 c1 

  arctg 
u
'
 c2 
(0)


  arctg 
El periodo natural de la estructura T representa el tiempo necesario para completar una
oscilación completa, y se calcula con:
T
2

 2 .
m
k
El número de oscilaciones que la estructura efectúa por unidad de tiempo, se denomina
frecuencia natural, y se determina con:
f 
1 
1


T 2 2
k
m
Sistemas amortiguados:
Estos sistemas vienen a ser un caso existente desde un punto de vista físico, puesto no existe un
sistema que no sea no amortiguado; ya que si existiera un sistema no amortiguado las
oscilaciones nunca cesarían, lo cual es imposible. Estos sistemas disminuyen gradualmente sus
oscilaciones hasta detenerse.
El planteamiento de su ecuación diferencial que permite obtener la ecuación que rige su
movimiento es:
..
.
m. u  K .u  c. u  0
Dividimos la expresión anterior entre m y se obtiene:
..
u
De la ecuación anterior
k
c .
.u  . u  0
m
m
k c
y
vienen a ser la frecuencia circular al cuadrado y dos veces la
m m
longitud de la onda representada por su grafica; es decir:
K
m
c
2 
m
2 
Entonces, la expresión se reescribe del siguiente modo:
..
.
u   2 .u  2. u  0
La ecuación diferencial puede admitir 3 soluciones y son:
Sobreamortiguado: Esta solución se admite cuando  2   2  0
u  e  t (c1e
 2  2 .t
 c2e 
 2  2 .t
)
Criticamenteamortiguado: Esta solución se admite cuando  2   2  0
u  e  t (c1  c2 .t )
Subamortiguada: : Esta solución se admite cuando  2   2  0
u  e  t (c1 cos(  2   2 .t )  c2 sen(  2   2 .t ))
Vibraciones Forzadas
Oscilador viscoelástico de un grado de libertad:
Este modelo es empleado para el análisis y representación de sistemas estructurales sencillos
desde un punto de vista dinámico.
Para comenzar el análisis de este capítulo se tomará como ejemplo una pérgola, la cual está
construida con columnas delgadas que soportan una losa superior. En este ejemplo se analizara el
movimiento de la losa cuando su base está sometida a un movimiento símico. Para describir tal
movimiento será necesario determinar la variación del desplazamiento lateral u durante el
movimiento sísmico y después del movimiento sísmico.
Consideraciones para su planteamiento:
1. La base es fija e indeformable.
2. Se considera el desplazamiento de la losa de manera horizontal.
3. Se examina el sistema y busca todas las fuerzas externas actuantes en el mismo.
4. su movimiento es originado por una fuerza P( t ) de dependencia temporal.
5. La inercia aparece en el caso de un análisis dinámico y es una fuerza actuante de dirección
opuesta al sistema.
6. Se considera la estructura como una partícula puntual, cuya está concentrada en la losa.
7. Se considera la estructura como un sistema elástico.
8. Existe una constante de proporcionalidad entre la fuerza de restitución elástica y el
desplazamiento lateral, el cual es llamado rigidez lateral de la estructura y se denota por
k.
9. Es necesario considerar los mecanismos de disipación de energía.
10. El sistema estará en movimiento bajo la acción de una fuerza momentánea y una vez que
este deje de actuar sobre la estructura, el movimiento tiende a tener una amplitud menor
conforme pase el tiempo y esto será alcanzar el estado de equilibrio en el que se
encontraba inicialmente.
11. se considerara un amortiguador viscoso.
Ecuación del movimiento:
Para el planteamiento se realiza un diagrama de cuerpo libre de la losa y se toma como dirección
positiva el lado derecho.
En este diagrama se muestra lo siguiente:

u ( t ) viene a ser el desplazamiento lateral que experimenta la losa y tiene una dependencia
temporal.
.
..

y u (t ) vienen a ser la velocidad y aceleración que experimenta la losa en un tiempo
determinado.

P( t ) viene a ser la fuerza externa que actúa sobre la losa.

FI representa a la fuerza de inercia.

FE representa a la fuerza elástica.

FA representa a la fuerza de amortiguamiento.
u (t )
Ahora se procede a plantear nuestra ecuación del movimiento:
La fuerza externa P( t ) actúa a favor del desplazamiento lateral de la losa, mientras que la fuerza de
inercia, fuerza elástica y la fuerza amortiguadora se oponen al desplazamiento; por tanto se tiene
lo siguiente:
 F  m.a
F  F
I
P(t )  FE  FA  FI ..........(1)
En la expresión (1) las ecuaciones de FI , FE y FA son:
..
FI  m. u .........(2)
.
FA  c. u ..........(3)
FE  k .u...........(4)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) , (3) y (4) :
.
..
.
..
P(t )  k .u  c. u  m. u
P(t )  k .u  c. u  m. u
La expresión anterior viene a ser la ecuación del movimiento para la estructura cuando la base no
presenta movimiento alguno. Esta ecuación diferencial de segundo orden se puede resolver por
transformadas de Laplace o mediante coeficientes indeterminados, ya sea por operadores
anuladores o el método de superposición.
Ahora se analizara el caso en el que se considera el desplazamiento de la base, dejando de lado la
fuerza externa; es decir la fuerza externa es nula.
Si observamos la siguiente figura, el caso analizado viene a ser la representación gráfica de la
derecha y la representación de la izquierda viene a ser una situación equivalente, en el que se
puede hallar una fuerza externa equivalente a la excitación sísmica.
Continuando con el análisis, procederemos a plantear la ecuación del movimiento para el caso en
el que no se considera la fuerza externa P( t ) .
Ahora empleamos una ecuación de movimiento relativo y resulta lo siguiente:
u  uT  us
Derivamos la ecuación anterior con respecto al tiempo, hasta obtener una relación de aceleración
relativa:
u ''  uT '' us ''
A continuación planteamos la ecuación que rige el comportamiento de la losa:
FE   K .u
FA  c.u '
FI  m.uT ''
Las 3 ecuaciones anteriores representan las fuerzas que actúan sobre la losa; ahora empleamos la
segunda ley de Newton para encontrar la ecuación que rige el fenómeno en cuestión:
 F  mu.
T
''   FI
FE  FA   FI
FE  FA  FI  0
 K .u  c.u ' m.uT ''  0
Reemplazamos uT '' :
 K .u  c.u ' m.(u '' us '')  0
 K .u  c.u ' m.u ''  m.us ''
K .u  c.u ' m.u ''  m.us ''
La expresión m.us '' viene a ser el efecto del movimiento de la base de la estructura sobre la losa;
este efecto es equivalente a la fuerza externa aplicada sobre la losa y por tanto nuestra ecuación
queda de la siguiente manera:
K .u  c.u ' m.u ''  m.us ''  P(t )
Ejemplo:
Se tiene una estructura sencilla (un parapeto) emplazada en una ciudad en la que tiene una
ocurrencia de sismos muy frecuentes. La fuerza externa aplicada la estructura viene dada por la
siguiente ecuación periódica P( t )  B.sen( .t ) . La estructura presenta un sistema de
amortiguamiento viscoso, cuya constante de amortiguamiento es 6 veces la velocidad que
experimenta dicha estructura en un tiempo determinado. La misma estructura presenta una
fuerza de restitución cuya constante de restauración es k  22 N m . Determinar la ecuación
general que gobierna el movimiento de la estructura en un tiempo determinado. La masa del
parapeto es de m  300kg
Solución:
Planteamos la ecuación diferencial:
k .u  c.u ' m.u ''  P(t )
22.u  6.u ' 300.u ''  B.sen( .t ).............(1)
Empleamos el método de la ecuación auxiliar para determinar la solución homogénea de la
ecuación diferencial:
300.a 2  6.a  22  0
a
6  62  4(300)(22)
2(300)
6  36  26400
600
a  0.01  0.271i
a
uh  e0.01.t (c1 cos(0.271.t )  c2 sen(0.271))
Ahora que tenemos la solución homogénea, determinamos la solución particular suponiendo u
solución particular:
u p  c3 cos( .t )  c4 sen( .t )..................(2)
Derivamos 2 veces la expresión anterior con respecto a t :
u ' p  c3 . sen( .t )  c4 . .cos( .t )
u '' p  c3 . 2 .cos( .t )  c4 . 2 .sen( .t )
Reemplazamos las derivadas en la ecuación (1) y hallamos las constantes c3 y c4 :
22(c3 cos( .t )  c4 sen( .t ))  6(c3 . sen( .t )  c4 . .cos( .t ))  300(c3 . 2 .cos( .t )  c4 . 2 .sen( .t ))  B.sen( .t )
22c3  6c4 .  300c3 . 2  0
22c4  6c3 .  300c3 . 2  B
300c3 . 2  22c3
6.
300c3 . 2  22c3
22(
)  6c3 .  300c3 . 2  B
6.
6. .B
c3 
3
1800  6564 2  484
6. .B
6. .B




300 2 
  22 

3
2
3
2
1800  6564  484 
1800  6564  484 


c4 
6.
2
300.B.  22 B
c4 
1800 3  6564 2  484
c4 
Reemplazamos c3 y c4 en (2) :


6. .B
300.B. 2  22 B


up  
cos(

.
t
)


 sen( .t )

3
2
3
2
 1800  6564  484 
 1800  6564  484 
Determinamos la solución general superponiendo u p y uh :
u g  u p  uh


6. .B
300.B. 2  22 B


0.01.t
ug  
cos(

.
t
)


 sen( .t )  e (c1 cos(0.271.t )  c2 sen(0.271))

3
2
3
2
 1800  6564  484 
 1800  6564  484 
La expresión anterior viene a ser la ecuación general que gobierna el movimiento de la estructura.
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SUJETOS A VIBRACIÓN FORZADA
Antes de poder hablar de vibración ante una carga armónico en cierta estructura tomaremos un
sistema vibratorio para entender el sistema de fuerzas efectuadas en este cuerpo.
Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración forzada, bajo una
excitación representada por la función F (t )  F0 sin(t ) , esta excitación es una fuerza armónica
de amplitud constante y frecuencia
.
Para obtener la ecuación de movimiento del sistema. Suponga que a partir de la posición de
equilibrio del sistema, el sistema se separa de su posición de equilibrio una distancia y (t )
comprimiendo el resorte y se le da una velocidad dada por y (t ) en la dirección positiva. Entonces,
observando el diagrama de cuerpo libre de la masa, y aplicando la segunda ley de Newton, se
tiene que:
d2y
dy
M 2  c  ky  F0 sin(t )
dt
dt
Las suposiciones de este modelo son:
1. La masa del sistema es constante y totalmente rígida, se denomina M .
2. El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto, es posible describir el resorte mediante
una única constante, denominada la constante del resorte, k . De manera que la relación entre la
fuerza y la deformación del resorte está dada por F  ky , donde F es la fuerza del resorte y y
es la deformación del resorte.
3. El amortiguamiento presente en el sistema es de masa despreciable, totalmente rígido, y lineal,
por lo tanto, es posible describir el amortiguador mediante una única constante, denominada la
constante del amortiguador c . De manera que la relación entre la fuerza y la diferencia de
velocidad entre las terminales del amortiguador está dada por FA  cv , donde F es la fuerza del
amortiguador y v es la velocidad entre las terminales del amortiguador.
Este modelo de ecuación es también aplicado en cualquier tipo de Sistema sabiendo que existe
siempre amortiguación en mayor o menor grado, lo importante de esta ecuación es la respuesta
en el estado estacionario o permanente y esta parte de la solución se fundamenta con el espacio
generado por el conjunto de funciones (cos(t ),sin(t ))
VIBRACION ANTE CARGA ARMONICA EN ESTRUCTURA
Se estudia ahora el caso en que la estructura se encuentra sometida a una fuerza externa variable
armónicamente en el tiempo.
P(t )  P0 sin(t )
………….. (1)
Sabiendo:
FE  ku
FA  cu
FI  mu
Fuerza elástica, Fuerza de amortiguamiento viscoso, Fuerza de Inercia.
El término P0 representa la magnitud máxima de la fuerza externa, que varía según la función
sin(t ) , donde  es la frecuencia circular de excitación.
Por lo tanto, la ecuación diferencial seria:
mu  cu  ku  P0 sin(t )
Donde u es el desplazamiento de la imagen .
Cuya solución es:
u (t )  ent ( A cos(D t )  B sin(D t ))  ( P0 / k )((1   2 )2  (2 ) 2 ) 1 ((1   2 )sin(t )  2 cos(t ))
Dónde:
ξ es la razón de amortiguamiento
y el parámetro  representa la razón entre la frecuencia circular de excitación
natural n :
 y la frecuencia
La expresión ( A cos(nt )  B sin(Dt )) del primer sumando, representa una vibración libre
amortiguada conocida como respuesta transiente, debido a que su amplitud se disipa en el
tiempo. Luego de que la respuesta transiente se disipa, la estructura vibra en un estado
denominado respuesta de régimen permanente, durante el tiempo que dure la carga armónica.
Las máximas deformaciones se pueden producir antes de que la estructura alcance el régimen
permanente. Si se simplifica la respuesta transiente, la ecuación queda como:
u (t )  ( P0 / k )((1   2 ) 2  (2 ) 2 ) 1 ((1   2 ) sin(t )  2 cos(t ))
Operando algebraicamente la ecuación (3.5), se obtiene la respuesta de la estructura para un
movimiento armónico simple de frecuencia 
u(t )  umax sin(t   )
Donde:
umax  ( P0 / k )((1   2 ) 2  (2 ) 2 ) 1/2
El término umax representa el máximo desplazamiento de la estructura, y  el ángulo de fase que
se calcula con:
  arctan  2 / (1   2 ) 
El término
Rd
se denomina
factor de magnificación dinámica
que depende sólo de la relación
de frecuencias  

n
y del
factor de
amortiguamiento.
Físicamente
este
factor
representa cuanto se amplifica la
respuesta estática por el efecto
de aplicar una carga dinámica.
Rd  ((1   2 )2  (2 ) 2 ) 1/2
En la figura se aprecia la variación del factor de magnificación dinámica Rd con respecto a la
relación de frecuencias  , para determinados valores de amortiguamiento (recordar que para la
mayoría de las estructuras de concreto armado  < 0.2).
Se observa de la figura , que si la frecuencia natural del sistema n es mucho mayor que la
frecuencia de excitación
 , es decir  << 1 la deformación de la estructura es prácticamente
igual a la deflexión estática, independientemente del amortiguamiento. Se considera en este caso
que el efecto dinámico es despreciable.
Si por el contrario, la frecuencia natural del sistema n es mucho menor que la frecuencia de
excitación
 , es decir  >>1 ,la fuerza externa varía rápidamente en comparación con la
respuesta de la estructura. Por lo tanto, el factor de amplificación dinámica Rd tiende a cero, es
decir, la masa del sistema controla la respuesta de la estructura.
Para valores de la frecuencia de excitación cercanos a la frecuencia natural del sistema (por
ejemplo, para valores de  comprendidos entre 0.25 y 2.5), la respuesta de la estructura depende
del factor de amortiguamiento,  . Para valores de  muy cercanos a la unidad, o cuando las
frecuencias de excitación y natural son prácticamente iguales, el factor de magnificación crece
rápidamente, es decir, la deformación de la estructura es muy grande en comparación con la
deflexión estática. Este fenómeno se acentúa más para valores pequeños de amortiguamiento. En
el caso ideal en que  =1 y  =0, la deformación de la estructura es máxima, y se dice que la
estructura está en resonancia. La frecuencia de resonancia se puede calcular con la expresión:
res  n (1  2 )
EXCITACION SISMICA
La respuesta del oscilador visco elástico sometido a un movimiento en su base, se determina
resolviendo la ecuación diferencial:
mu  cu  ku  mus (t )
Donde el término del segundo miembro de la ecuación representa una fuerza externa equivalente
a la excitación sísmica u N (t ) que se representa como la aceleración en la base de la estructura en
función del tiempo.
La solución es:
u (t )  
1
D
 Wn ( t   )
 u ()e
s
sin D (t  )d  
Por complejidad de la ecuación y la variabilidad us (t ) la evaluación en forma analítica del
desplazamiento u (t ) es prácticamente imposible.
ESPECTROS DE RESPUESTA
Para fines de diseño estructural, es importante conocer los valores máximos de respuesta de las
estructuras. Si se grafica el valor absoluto del desplazamiento máximo de varias estructuras de un
grado de libertad con igual grado de amortiguamiento, en función del período natural de cada una
de ellas, se obtiene una curva llamada espectro de respuesta de desplazamientos. Esta función se
define Como:
Sd  max u(t )
Por otro lado, existen otros dos parámetros que se suelen graficar de forma espectral, es decir, en
función del periodo o frecuencia de la estructura. Uno de ellos es la pseudovelocidad, que se
define como:
Sv  n Sd
Donde n es la frecuencia natural circular de la estructura. La pseudovelocidad también se puede
expresar en función del periodo de la estructura T con la expresión:
Sv 
2
Sd
T
El valor de S v recibe el nombre de pseudovelocidad, ya que tiene unidades de velocidad y
representa una medida de la máxima energía de deformación almacenada en la estructura
durante el movimiento.
Emax  (1/ 2)ku 2 max  (1/ 2)kSd 2  (1/ 2)mn 2 S d 2
Y por consiguiente:
Emax  (1/ 2)mSv 2
EJERCICIO SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD
La figura muestra una viga de 15m de luz sobre la cual cae súbitamente un peso w de 9,800 N en
el centro del vano desde una altura h  1m . El módulo de elasticidad de la viga es
E  2 107 kN / m 2 y el momento de inercia de la sección transversal es I  0.02m4 . Bajo la
suposición de que la viga carece de peso, calcular sus características dinámicas y la historia de su
vibración
libre.
En primer lugar, la suposición de que la viga carece de peso permite modelar la estructura como
un sistema de un grado de libertad.
m
w 9.800

 1.000 Kg
g
9.8
En lo que respecta a la rigidez, de acuerdo a la Resistencia de Materiales, la deflexión causada por
una fuerza concentrada w en el centro de una viga de longitud l es:

wl 3
48 EI
k
48EI
l3
En consecuencia, la rigidez es:
Reemplazando datos:
k  5, 688.9kN / m
Ahora hallaremos la frecuencia natural de vibración:

k
rad
 75.425
m
s
Periodo:
T
2

 0.083
Ahora bien, en el instante que el cuerpo cae sobre la viga produce un desplazamiento instantáneo:

wl 3
 0.0017m
48EI
el cual constituye la condición inicial de la vibración que se produce en adelante, la cual es de tipo
libre debido a que no está acompañada de carga dinámica ninguna. Si se mide el desplazamiento
dinámico desde la posición de deformación estática definida por  , se tiene que en el instante en
que el cuerpo entra en contacto con la viga, t = 0, el desplazamiento inicial, medido desde dicha
posición, es
u0  
donde el signo negativo se debe a que en dicho instante aún no ha ocurrido la deformación
estática.
La historia del desplazamiento queda entonces descrita por:
u  0.0587 sin(75.425t )  0.0017 cos(75.425t )
Finalmente, es necesario recordar que el desplazamiento total de la estructura en cualquier
instante de tiempo es   u (t ) , ya que este último término se mide a partir de la deformación
instantánea  .
SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
El oscilador viscoelástico de varios grados de libertad
Para iniciar el estudio de vibraciones de varios grados de libertad se analiza un ejemplo sencillo de
un edificio de pórticos de dos pisos. Para la idealización de esta estructura, se asume que los
elementos estructurales como vigas y columnas carecen de masa, concentrándose sólo en las
losas de entrepiso de cada nivel. El conjunto estructural de losas y vigas se consideran rígidas, en
comparación de las columnas que se consideran flexibles para deformaciones laterales, pero
rígidas verticalmente. Este modelo idealizado de la estructura de dos pisos se conoce como
edificio de corte, este es el más empleado en el estudio de la dinámica de estructuras de varios
pisos.
Fig. 4.1 Edificio de corte
Cualquier modelo matemático de la estructura, debe tener la cantidad suficiente de grados de
libertad que asegure una respuesta dinámica muy similar a la respuesta real.
El número de grados de libertad depende del número de desplazamientos elegidos para describir
el movimiento de la estructura. En el caso del ejemplo del edificio, los desplazamientos se toman
como las coordenadas de los nudos
Ecuación del movimiento:
El movimiento de los edificios de corte, al igual que los sistemas de un grado de libertad, se define
por medio de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, el edificio de dos pisos que se ilustra en la
figura , presenta en cada nivel una fuerza externa variable en el tiempo, y desplazamientos
traslacionales de los niveles 1 y 2, representados por u1  t  y u2  t  respectivamente. Estos
desplazamientos representan los movimientos de los nudos extremos de cada piso.
Fig. 4.2 Edificio de corte de 2 pisos sometido a cargas externas
La figura 4.3 muestra el diagrama de cuerpo libre de cada una de las losas de entrepiso del edificio
de corte.
Fig. 4.3 Diagrama de cuerpo libre
Si se realiza el equilibrio dinámico en el diagrama de cuerpo libre de cada una de las losas se tiene:
F11  FS1  p1  t 
para el primer piso
F12  FS 2  p2  t  para el segundo piso
(4.1)
En estructuras linealmente elásticas, las fuerzas restitutivas se relacionan con los desplazamientos
de entrepiso por medio de la rigidez equivalente. Por ejemplo, en las siguientes ecuaciones se
relacionan las siguientes ecuaciones se relacionan las fuerzas elásticas con los desplazamientos de
entrepiso.
FS1  FS1a  FS1b  k1u1  k2  u1  u2  para el primer piso
FS 2  k2  u2  u1 
para el segundo piso
(4.2)
Las fuerzas de inercia para los niveles 1 y 2, respectivamente, son:
F11  m1u1
F12  m2u2
(4.3)
Si se plantea equilibrio dinámico, se tiene:
m1u1  k1u1  k2  u1  u2   p1  t 
m2u2 
k2  u1  u2   p2  t 
(4.4)
Las ecuaciones se pueden escribir en notación matricial, como:
 m1
0

0   u1   k1  k2  k2   u1   p1  t  


   
m2  u2   k2
k2  u2   p2  t  
(4.5)
En este caso, se emplea la siguiente notación para representar a cada matriz descrita:
 p t  
u 
u 
u   1  u   1  P t    1 
u2 
u2 
 p2  t  
m
m 1
0
0
 k  k   k 2 
k 1 2


m2 
k2 
  k2
Luego, se obtiene la ecuación del movimiento para el edificio de 2 pisos:
mu  ku  P  t 
(4.6)
Fig. 4.4 Edificio de N pisos sometido a cargas externas
En general, para el análisis de edificios de N pisos como el que se ilustra en la figura 4.4, se pueden
calcular matrices de la ecuación del movimiento, como:
 u1 
u 
 2
 
u 
 ui 
 
 
u N 
 p1  t  
 m1


0
 p2  t  




P t   
 m
 pi  t  
0






 0
 pN  t  
 k1  k2 

 k2
 0
k
 0


 0
k2
 k 2  k3 
0
0
m2
0
0
mi
0
0
0
0
 k3
0
 k3
 k3  k 4 
0
k4
0
0
k4
 k 4  k5 
k N
0 
0 


0 


mN 
0 

0 
0 


k N 

k N 
En el caso particular de considerar un sistema estructural amortiguado, se considera una matriz c
de amortiguamiento viscoso:
 c1  c2 

 c2
 0
c
 0


 0
c2
 c2  c3 
0
0
c3
0
c3
 c3  c4 
0
c4
0
0
c4
 c4  c5 
cN
0 

0 
0 


cN 

cN 
Finalmente, se obtiene la ecuación del movimiento para un edificio de corte de N pisos con
amortiguamiento:
mu  cu  ku  P  t 
(4.7)
Donde c representa la matriz de amortiguamiento viscoso y u el vector velocidad.
Como se observa, existen determinadas características en las matrices que determinan la ecuación
del movimiento. Por ejemplo, la matriz de masas es del tipo diagonal, y las matrices de rigidez y
amortiguamiento son simétricas. Por otro lado, cuando no existen fuerzas externas aplicadas a la
estructura, y tiene un movimiento sísmico en su base, las ecuaciones que rigen el comportamiento
de la estructura son muy semejantes a las estudiadas.
Si se analiza el edificio de dos pisos bajo un movimiento sísmico en su base, como se ilustra en la
figura 4.5, el desplazamiento total del primer y segundo piso, respectivamente, son:
u1t  t   u g  t   u1  t 
u2 t  t   u g  t   u 2  t 
(4.8)
Fig. 4.5 Edificio de dos pisos sometido a excitación sísmica
La figura 4.6 muestra el diagrama de cuerpo libre de cada una de las losas de entrepiso del edifico
de corte, sometido a un movimiento en su base.
Fig. 4.6 Diagrama de cuerpo libre
De acuerdo al diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 4.6, las ecuaciones de equilibrio
dinámico son:
F11  FS 1  0
F12  FS 2  0
(4.9)
Donde las masas m1 y m2 de acuerdo a las aceleraciones impuestas, presentan las siguientes
fuerzas de inercia:
F11  m1u1t
F12  m2u2t
(4.10)
Las ecuaciones se pueden expresar como:
F11  m1  u g  u1 
F12  m2  u g  u2 
(4.11)
Entonces, las ecuaciones de equilibrio dinámico son:
m1u1  k1u1  k2  u1  u2   m1u g  t 
m2u2 
k2  u1  u2   m2u g  t 
(4.12)
Estas expresiones se describen de forma genérica como:
mu  ku  m1ug  t 
(4.13)
En esta ecuación, el vector desplazamiento se representa por u , el vector aceleración por u , y las
matrices de masa y rigidez por m y k , respectivamente. El vector 1 representa el desplazamiento
resultante de la masa que se obtiene al aplicar estáticamente un desplazamiento unitario en la
base del edificio. Finalmente, si se considera que la estructura presenta amortiguamiento viscoso,
se debe considerar la matriz de amortiguamiento por el vector velocidad en la ecuación de
movimiento.
La ecuación se puede generalizar para un edificio de corte de N pisos, como el mostrado en la
figura 4.7.
Fig. 4.7 Edificio de N pisos sometido a movimiento sísmico en su base
En este caso si el edificio de N pisos, se encuentra sometido a una excitación en su base, todo el
bloque del edificio presenta un movimiento de cuerpo rígido de desplazamiento ug  t  , más una
configuración deformada representada por u j  t  con valores de j  1,..., N ; relativos.
Por lo tanto, la ecuación general del movimiento para el edificio de N pisos es:
mu  cu  ku  m1ug t 
(4.14)
Donde la fuerza externa se representa con la siguiente expresión:
Pefect  t   m1ug  t 
(4.15)
La figura 4.8 muestra la equivalencia entre aplicar una solicitación sísmica en la base del edificio y
un sistema de fuerza efectivas m j 1ug  t  , para un edificio de corte de N pisos.
Fig. 4.8 Sistemas de solicitaciones equivalentes
En conclusión, el desplazamiento total de cada nivel se expresa como la suma del desplazamiento
total de la base del edificio, más el desplazamiento producido por la fuerza efectiva aplicada en
cada nivel.
Vibraciones libres
Sistemas no amortiguados
Cuando una estructura se encuentra sometida a un movimiento producido por fuerzas externas o
de excitación en su base, su posición de equilibrio se interrumpe por la aparición de fuerzas de
inercia que afectan a las masas de entrepiso. Entonces, la respuesta de una estructura en vibración
libre se describe por el vector desplazamiento u  t  , que varía en el tiempo.
La figura muestra las respuestas de desplazamiento de una estructura de tres niveles, en los cuales
tanto los valores de u j  t  y u j  t  , se inician para un tiempo t  0 , y para este caso particular, se
tiene que u j  0 .
Los sistemas estructurales de varios grados de libertad no presentan un único movimiento
armónico simple con una sola frecuencia de vibración, Por el contrario, su movimiento depende de
las diversas formas que la estructura responde a una excitación. Además, no sólo los
desplazamientos varían con el tiempo, sino también la configuración deformada de la estructura
Fig. 4.9 Edificio en vibración libre con desplazamientos iniciales
Cada una de las formas de vibración son conocidas como modos naturales de vibración  n . Cada
modo presenta un periodo natural de vibración T característico. Este periodo representa el
tiempo requerido para que la estructura complete un ciclo en movimiento armónico simple. El
término natural se emplea para enfatizar las propiedades naturales de la estructura, dependientes
de su masa y rigidez.
El vector  n define sólo la deformada de la estructura vibrando con su correspondiente periodo
natural. Sin embargo, se debe tener en cuenta que el vector  n no define los valores de
desplazamiento de entrepiso. Para conocer estos desplazamientos se deben conocer las
amplitudes de los movimientos.
Las figuras 4.10 (a) y (b) muestran los dos modos naturales de vibración para el ejemplo del
edificio de dos pisos, sin considerar el efecto del amortiguamiento.
(a) Primer modo
(b) Segundo modo
Fig. 4.10 Modos naturales de vibración de un edificio de dos pisos sin considerar el efecto de
amortiguamiento
Los valores de los modos generalmente se normalizan considerando como valor unitario el
desplazamiento correspondiente al último nivel. También se pueden normalizar considerando el
valor total de las masas como unitario. Sim embargo, cualquier parámetro de normalización no
afecta al resultado final del análisis de la respuesta dinámica
Sistemas amortiguados
Los sistemas estructurales amortiguados de varios grados de libertad se idealizan considerando un
amortiguamiento viscoso. Estos sistemas se perturban desde su posición de equilibrio y presentan
un decaimiento de su amplitud, hasta lograr el equilibrio estático.
El periodo TnD , la frecuencia circular nD y la frecuencia cíclica f nD , de cualquiera de los n
modos de vibración, se relacionan al igual que los casos de sistemas sin amortiguamiento.
Por otro lado, la influencia del amortiguamiento en la frecuencia y el periodo natural de la
estructura es similar al de los sistemas de un grado de libertad, según se muestran en las
ecuaciones:
nD  n
TnD  Tn / 1  n 2
(4.16)
Donde  n representa la razón de amortiguamiento para una estructura de varios pisos de un
determinado modo de vibración.
La figura 4.11 ilustra los dos modos naturales de vibración del edificio de dos pisos considerando el
efecto del amortiguamiento. Se observa de la figura 4.11, las distintas configuraciones deformadas
de cada uno de los modos y sus distintos valores de respuesta.
(a) Primer modo
(b) Segundo modo
Fig. 4.11 Modos naturales de vibración de un edificio de dos pisos con el efecto de
amortiguamiento
Ejemplos
El sistema estructural mostrado en la figura corresponde a una edificación aporticada construida
en concreto armado. La viga de la edificación tiene 0.35 m. de altura por 0.30 m. de ancho y,
las columnas son cuadradas de 0.35 m de lado. Las masas de las estructuras se estiman en 200
Kg/m2 en la losa del primer nivel y de 100 Kg/m2 en la cubierta. La estructura cuenta con un
módulo de elasticidad E  2000 MPa. Es de interés determinar las frecuencias, los modos de
vibración del edificio y la respuesta dinámica de la estructura cuando vibra libremente en la
dirección X. Se pide obtener las matrices de masa y rigidez, la ecuación dinámica del sistema, el
polinomio característico, los valores propios, las frecuencias y períodos correspondientes. Calcular
los modos de vibración y el sistema homogéneo de ecuaciones. Así mismo, graficar las formas de
los modos de vibrar.
Fig. 4.12 Edificación de dos grados de libertad
Solución:
i ) Idealización de la estructura:
Fig. 4.13 Idealización de edificación de dos grados de libertad
ii ) Determinación de las masas:
m1  200kg/m2 . 8.0m  6.0m  m2  100kg/m2 . 8.0m  6.0m 
m1  9.6Tn
iii ) Determinación de la rigidez:
Para la columna:
m2  4.8Tn
K
12 EI
L3
Suponer que la rigidez de las vigas es:
I viga  
k1  ka  kb  kc
k 2  k d  ke  k f
12  2 106 N/m 2  121 0.35  0.353 m 4  

k1  3 
2
 4.0m 
k1  14068.36KN/m k2  33347.22 KN/m
iv) Planteamiento de las ecuaciones de movimiento:
 m1 0  u2   k1  k2
 0 m   u    k

2 1

2
k2  u2  0

k2   u1  0
Redondeando la expresión matricial a:
 K   2 M   z  0


  k1  k2

   k2
k2 
m
2  1

k2 
0
0    z1  0 


m2    z2  0 
v) Determinación de los periodos:
det
m1 2   k1  k2 
k2
k2
m2 2  k2
0
46.08 4  54.7728 2  469.14069  0
Autovalores:
12  929.15 2 2  10957.31
Periodos:
T1  0.206s (Modo 1)
T2  0.060s (Modo 2)
Frecuencia:
f
 1/ T  2 
f1  4.85c.p.s.
f1  16.66c.p.s.
Determinación de los modos de vibración:
 K   2 M  z  0
Primer modo 1 ,T1 
Fig. 4.14 Primer modo de vibración
Segundo modo 2 ,T2 
Fig. 4.15 Segundo modo de vibración
RESPUESTA SÍSMICA
Respuesta a excitaciones sísmicas
La ecuación de equilibrio dinámico del sistema de 1 grado de libertad
dinámico (1 GLD) sin amortiguamiento indicado en la Figura 1 se expresa
como:
K * u (t )  M * y (t )  0
(1)
yt
M
y(t )  u(t ) us (t )
y(t )  u(t ) us (t )
K
us (t ) u(t )
Figura 1. Oscilador simple sujeto a movimiento de apoyo
El término nulo de la derecha indica que no existe una fuerza P (t) externa
conocida aplicada directamente sobre la masa. La fuerza elástica K*u (t) es sólo
función del movimiento relativo entre los extremos del resorte, es decir entre la
masa y el apoyo. La aceleración absoluta y  t  es igual a la suma de la
aceleración relativa u  t  y de la aceleración del apoyo correspondiente al sismo
uS  t  que se considera como un dato del problema. Con estas definiciones, la
ecuación de equilibrio dinámico resulta:
K * u(t )  M * u(t )  M * uS (t )
(2)
El segundo miembro de esta expresión M * uS (t ) cumple el rol de una fuerza
externa equivalente en las ecuaciones de equilibrio dinámico expresadas en
función del desplazamiento relativo u(t) . En otras palabras, la solución de la
ecuación (2) no difiere en nada de la determinación de la respuesta u(t) para una
carga exterior conocida igual a M * uS (t )
Una particularidad de la ecuación (1) es que para el instante en que el
desplazamiento relativo pasa por su valor máximo umax la fuerza que soporta el
resorte K es máxima, y dado que no hay otro término en la ecuación también debe
ser máxima la aceleración absoluta de la masa y  t  y alcanzar su valor ymax , es
decir que:
K * umax  M * ymax
ymax  w2 * umax
donde ω es la frecuencia natural del sistema.
Esta expresión tiene una forma muy particular ya que es similar a la derivada
segunda de una acción armónica de frecuencia ω de amplitud umax .Debe
destacarse que se trata de una coincidencia formal, ya que la respuesta sísmica
u(t) a una excitación sísmica no armónica uS  t  no resulta en general armónica.
De acuerdo con la definición de Espectro de Respuesta Elástica ya visto, el valor
del desplazamiento relativo máximo umax se denomina habitualmente
“Desplazamiento Espectral Sd”. De esta manera, resulta que la máxima
aceleración absoluta de la masa M puede obtenerse como el producto del
desplazamiento espectral Sd por el cuadrado de la frecuencia natural ω. Nótese
que en materia de excitaciones sísmicas el histograma de aceleraciones uS  t 
puede considerarse con su signo, o con el signo opuesto, ya que se trata de un
proceso de origen aleatorio cuyo signo podría ser intercambiable entre + y –. En el
análisis de la respuesta sísmica, en particular cuando se trata de determinar el
valor máximo, se considerará con el signo ± en todos los casos.
En el caso que el amortiguamiento no sea nulo, como ocurre en la inmensa
mayoría de estructuras civiles, la expresión (3) no representa el valor exacto de la
aceleración máxima sino sólo una aproximación de ella, ya que además de las
fuerzas elásticas K*u (t) coexisten contemporáneamente las fuerzas de
amortiguamiento fD. Para el caso de fuerzas viscosas lineales resulta: f D  C * u  t  .
De esta forma, la máxima aceleración absoluta no está rigurosamente dada por la
expresión (3), pero de todos modos ésta representa una muy buena aproximación
de la máxima aceleración absoluta ymax para estructuras civiles en que el
amortiguamiento típico es del orden del 5% del crítico. El valor de ymax dado por la
ec. (3) para el caso de amortiguamiento diferente de cero se conoce como
“Pseudo-aceleración” de la masa, y representa una muy buena aproximación de
la aceleración máxima cuando el amortiguamiento es distinto de cero. La pseudoaceleración se expresa habitualmente con la notación Sa, que en todos los casos
está dada por la expresión (ignorando el signo): S a  w2 * S d
(4)
De todos modos, vale la pena destacar que a pesar que la pseudo-aceleración Sa
es una aproximación de la máxima aceleración absoluta, la fuerza elástica máxima
inducida por el sismo es exactamente la dada por la expresión:
K * umax  M * Sa
(5)
Por lo antes expuesto, dado que el análisis sísmico centra su interés en los
desplazamientos y esfuerzos máximos, los valores espectrales de desplazamiento
Sd, o de pseudo-aceleración Sa pueden utilizarse en forma indistinta con las
expresiones anteriores para evaluar los desplazamientos o esfuerzos máximos
inducidos por un sismo utilizando expresiones de formato estático; es decir, sin
tener que incluir en forma explícita las fuerzas de inercia o de amortiguamiento
propias de un problema dinámico. Cuando se utilizan los valores espectrales (Sa y
Sd) la dinámica del problema está tenida en cuenta en forma implícita en la
dependencia de Sa y Sd en función del período natural (o frecuencia) del sistema
considerado.
De todo lo expresado surge que el análisis sísmico lineal de un sistema
elástico puede ser realizado utilizando expresiones que son de tipo estático, y
que esta situación no constituye una aproximación del problema, sino que es una
solución exacta para el sistema de 1 GLD.
Para estructuras con múltiples grados de libertad dinámicos (MGLD) este tipo de
enfoque del problema lleva naturalmente a ciertas aproximaciones derivadas del
hecho que el análisis es sólo exacto para un grado de libertad dinámico, ya que
las máximas respuestas dinámicas de los modos naturales, desacoplados entre sí
en el campo lineal, no coinciden en el tiempo y por lo tanto no pueden
superponerse como si se tratara de excitaciones estáticas.
Análisis modal de la respuesta sísmica
La ecuación del movimiento de edificios sometidos a excitación sísmica en su
base, en función a las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento, se define con
la expresión: mu  cu  ku   m1u g  t 
Para la idealización de un edificio de N pisos, esta ecuación matricial tiene N
ecuaciones diferenciales ordinarias. Estas ecuaciones se descomponen en N
ecuaciones desacopladas, las que contienen las matrices modales y espectrales.
La solución de este sistema de ecuaciones es igual al de sistemas de un grado de
libertad.
La respuesta de cada modo natural de vibración se calcula independientemente
con cada una de las ecuaciones desacopladas (ecuación 6.2). Cada una de las
respuestas modales presenta un modo natural de vibración n una frecuencia
circular n , una frecuencia natural f n y una razón de amortiguamiento n .
Con las N ecuaciones desacopladas, se establece la amplitud para cada modo
natural de vibración:
qn 2 n wn qn wn 2 qn  
Ln
ug t 
Mn
(6.2)
Donde:
Ln  nT m1
y
M n  nT m n
La solución de la ecuación diferencial (6.2) del sistema presenta la forma:
t
Ln 1
  m
qn  t   
u g   e  n n

M n wnD 0
 t  
 sen  wnD  t     d
(6.3)
La contribución del n-ésimo modo del desplazamiento uj(t) al j-ésimo piso, se
obtiene con:
u jn  t   qn  t  jn
(6.4)
Para j=1,2,3,…, N
Por lo tanto, se tiene que:
t
Ln  jn
  m
u jn  t   
u g   e  n n

M n wnD 0
 t  
 sen  wnD  t     d
(6.5)
Las fuerzas internas como los cortantes y momentos, asociados a las
deformaciones de un edificio de varios pisos, se determinan mediante el método
de fuerzas laterales equivalentes. Estas son fuerzas externas que pueden ser
aplicadas como cargas estáticas en función a un
determinado desplazamiento un(t):
f n  t   kun  t 
Por lo tanto, cualquier fuerza interna se puede determinar por medio de un análisis
estático de la estructura sujeta a un sistema equivalente de fuerzas laterales. Por
ejemplo, la fuerza cortante y el momento en la base de una estructura se evalúan
con las expresiones:
N
Von  t    f jn  t 
(6.6)
j 1
N
M on  t    h j f jn  t 
(6.7)
j 1
Donde hj es la altura del j-ésimo piso a la base. La figura 6.1 ilustra las fuerzas
laterales equivalentes para el n-ésimo modo de vibración.
Fig2. Fuerzas laterales equivalentes para el n-ésimo modo de vibración
La respuesta de la estructura ante un movimiento sísmico, se obtiene por
combinación o superposición modal de las respuestas de todos los modos
naturales de vibración. La figura 3 ilustra este proceso.
Por lo tanto, el desplazamiento y la fuerza cortante del j-ésimo piso, así como la
fuerza cortante y el momento basal, se determinan con las ecuaciones:
N
u j  t    u jn  t 
(6.8.a)
n 1
N
f j  t    f jn  t 
(6.8.b)
n 1
N
V0  t    V0 n  t 
(6.8.c)
n 1
N
M 0  t    M 0 n  t  (6.8.d)
n 1
En general cualquier valor de la respuesta r(t) es una combinación de la
contribución de todos los modos naturales de vibración (ver figura 6.2), y se
expresa como:
N
r  t    rn  t 
(6.9)
n 1
(a) Idealización de un edificio de tres pisos.
(b) Registro sísmico terremoto El Centro, componente S00E, 18 mayo 1940.
Fig.3. Respuesta sísmica de un edifico de tres pisos
En conclusión, se tienen los siguientes pasos para analizar la respuesta de un
edificio de varios pisos:
1.- Escribir la aceleración del terreno üg  t  en forma numérica con las ordenadas
correspondientes del acelerograma. Esto permite establecer un vector columna
2.- Definir las propiedades de la estructura:
a.- Calcular las matrices de masa y rigidez
b.- Estimar las razones de amortiguamiento.
3.- Resolver el problema de valores propios y determinar las frecuencias naturales
de vibración y los modos naturales de vibración.
4.- Calcular la respuesta para cada uno de los modos de vibración de la siguiente
manera:
a.- Calcular la respuesta modal qn
b.- Calcular los desplazamientos de entrepiso u jn  t 
c.- Calcular los desplazamientos relativos de entrepiso.
d.- Calcular las fuerzas estáticas equivalentes.
e,.- Calcular las fuerzas internas.
5.- Realizar la combinación modal para cada uno de los valores de respuesta, es
decir, desplazamientos, cortantes y momentos.
Análisis espectral
Los valores máximos de la respuesta estructural de un edificio frente a un
movimiento sísmico, generalmente son usados para calcular las fuerzas internas
máximas de la estructura.
Por ejemplo, la figura 6.3 muestra un modelo de un edifico de corte de 5 pisos,
para el cual se han calculado los periodos de cada uno de sus modos naturales de
vibración. La máxima respuesta en el n-ésimo modo natural de vibración se
expresa en términos de S dn , S vn y S an , que representan las ordenadas de la
respuesta espectral de desplazamiento, pseudo-velocidad y pseudo-aceleración,
respectivamente.
Fig. 4. Ejemplo de edificio de 5 pisos
Para cada uno de estos parámetros espectrales y para cada modo de análisis,
corresponde un periodo natural Tn y una razón de amortiguamiento n .
Estos parámetros espectrales se pueden obtener directamente del espectro de
respuesta sísmica mostrado en la figura 5.
Fig. 5. Espectro de repuesta sísmica
El máximo desplazamiento modal se expresa como:
qn 
Ln
S dn (6.10)
Mn
El máximo desplazamiento del j-ésimo piso como:
u jn 
Ln
Sdn jn
Mn
(6.11)
y la máxima deformación en el j-ésimo nivel como:
 jn 
Ln
Sdn  jn   j 1,n  (6.12)
Mn
donde el máximo valor de la fuerza lateral equivalente se determina como:
f jn 
Ln
S an m j jn
Mn
(6.13)
Los valores de cortante y momento basal se pueden calcular con las expresiones:
v0 n 
L2 n
Sdn
Mn
M 0n 
(6.14)
N
Ln
San  h j m j jn
Mn
n 1
(6.15)
Cada uno de los valores de Sdn , Svn , San se relacionan mediante:
San  n2 Svn  n2 Sdn
San 
(6.16.a)
 2  2
2
Svn  
 Sdn (6.16.b)
Tn
 Tn 
La figura 6 muestra los valores máximos de desplazamiento para los 5 primeros
modos de vibración de un edifico de 5 pisos, obtenido del espectro de respuesta
sísmica.
Fig. 6. Valores máximos de desplazamiento para los 5 primeros modos de
vibración de un edifico de 5 pisos
Métodos de combinación espectral de la respuesta modal
La respuesta r(t) de un edificio se describe como la superposición de las
contribuciones rn  t  de cada uno de los modos naturales de vibración, para un
análisis de la variación de las aceleraciones en el tiempo de una estructura. Sin
embargo, para un análisis espectral, la máxima respuesta en cada uno de los
modos se determina directamente del espectro de respuesta sísmica.
Debido a que las máximas respuestas para cada modo no ocurren
simultáneamente, estas no pueden ser superpuestas de forma directa para
obtener el máximo valor de respuesta.
El método más conocido de combinación modal espectral es el de la Raíz
Cuadrada de la Suma de los Cuadrados (SRSS), es decir:
r
rn
2
(6.17)
Donde r representa la máxima respuesta de desplazamiento, deformación,
cortante, o momento en un determinado nivel del edificio.
Este método se aplica sólo a los resultados máximos modales, es decir, a los
valores máximos de desplazamientos horizontales (ecuación 6.18.a), derivas de
entrepiso (ecuación 6.18.b), cortantes de entrepiso (ecuación 6.18.c), momentos
volcantes de entrepiso (ecuación 6.18.d), momento volcante en la base (ecuación
6.18.e) y fuerzas horizontales estáticas correspondientes a las fuerzas máximas
modales. A continuación se presentan cada una de las ecuaciones mencionadas:
u jmax 
 u
 jmax 

N
i 1
i
jmod

N
i1
i
jmod
2

(6.18.a)
2
(6.18.b)
v 
N
vmax 
i
2
(6.18.c)
mod
i 1
M jmax 
 M
M max 
M
N
i
jmod
i 1
N
i 1
i
mod


2
2
(6.18.d)
(6.18.e)
Otro método también utilizado es el llamado Método de la Combinación Cuadrática
Completa (CQC), que representa la forma de combinar la respuesta de los
diferentes parámetros modales como:
r
N
N
 (r r 
i 1 j 1
i j
ij
)
(6.19)
Donde ri y r j representan las respuestas modales máximas del parámetro de
estudio para los modos i, j respectivamente, mientras que  ij corresponde al
parámetro de relación entre ambos modos.
La ecuación (6.19) se puede expresar entonces como:
r
N
N
N
i 1
i 1 j 1
i1 j j1i
 ri2  (ri rj ij )
(6.20)
La ecuación (6.20) es similar al método SRSS en su primera expresión, ya que el
método SRSS parte de la premisa que las respuestas de los grados de libertad
desacoplados son estadísticamente independientes. En comparación a esta
premisa, el método CQC (ecuación 6.20) asume que existe una interacción modal.
Finalmente, un caso particular resulta cuando los coeficientes de correlación entre
modos es cero (ecuación 6.17), en este caso el método CQC es igual al método
SRSS.
La figura 7 muestra los coeficientes de correlación para el método CQC.
Fig. 7. Coeficiente de correlación para el método CQC. (Ref. 4
Método estático equivalente – Disposiciones reglamentarias
A los efectos de simplificar el cálculo de los esfuerzos y deformaciones de una
estructura debidos a la acción sísmica, los reglamentos de diseño de estructura de
edificios típicamente dan una serie de pautas a través de las cuales es posible
aproximar la solución del problema a través de la respuesta del modo
fundamental. Más aún, para estructuras regulares en planta y elevación tal como
aquellas para las cuales está orientado este método, es normal considerar que los
desplazamientos horizontales asociados al modo fundamental varían linealmente
en función de la altura del piso.
Por lo tanto, sobre la base de esta hipótesis, ni siquiera resulta necesario calcular
con precisión el modo fundamental, ya que se supone una ley lineal en altura y
sólo es necesario estimar la frecuencia fundamental a los efectos de la
determinación del valor de la aceleración espectral Sa,1 de dicho modo.
Una manera de estimar el valor de ω1 es a través del cociente de Rayleigh
tomando como forma modal a una ley lineal en altura Φ. Se define como cociente
de Rayleigh a la relación:
1T K1
  T
(6.21)
1 M 1
2
1
Si la forma supuesta Φ fuera exactamente el modo fundamental el valor dado por
la ec.(6.21) para el modo fundamental sería el valor exacto de ω1.
Con el valor de T1 = 2 π / ω1, se obtiene del espectro de pseudo-aceleración la
ordenada espectral Sa,1 y se procede a calcular el vector de fuerzas estáticas
equivalentes, designado P1,eq , y la masa modal M . Como es de esperar, la masa
modal M es inferior al 100% de la masa total del edificio. Típicamente, para un
edificio regular en altura, y con la forma lineal del modo fundamental, el valor de la
masa modal M1 resulta aproximadamente cerca del 85% del total. En otras
palabras, si el análisis se hiciera sólo con el primer modo aproximado en forma
lineal, habría un faltante de masa del 15% del total.
Para corregir esa masa faltante, pero manteniendo la ley lineal de variación del
modo (y de las fuerzas estáticas equivalentes que producen la respuesta dinámica
máxima), los reglamentos introducen un factor de amplificación de la respuesta del
primer modo calculada sobre la hipótesis de variación lineal de los
desplazamientos en altura, de forma tal que la masa modal sea igual al 100% de
la masa de la estructura. Esto se logra multiplicando la fuerzas estáticas
equivalentes antes calculadas y definidas según el método modal espectral
M
general, P1,eq , por el factor mayor a la unidad: total
m1
En síntesis, el método estático equivalente de análisis sísmico incorporado a los
reglamentos de diseño sísmico de edificios consiste en una aproximación del
método modal espectral general ya visto, en el que se introducen las siguientes
aproximaciones adicionales:
-La forma del modo fundamental presenta una variación lineal en altura, desde un
valor nulo en correspondencia con la fundación hasta un valor máximo en
correspondencia con el techo del último piso.
-La frecuencia fundamental se calcula con el cociente de Rayleigh para esa forma
aproximada del primer modo, y se determina la ordena espectral correspondiente
Sa ,1.
-Se calcula el vector de cargas estáticas equivalentes P1,eq , y se lo multiplica por el
factor mayor a la unidad igual a
M total
. Con el vector de cargas así factorizado se
m1
calculan los esfuerzos y deformaciones de la estructura como si fuera un problema
estático, tal como se ha desarrollado para el método modal espectral en general.
Consideraciones sobre el comportamiento elasto-plástico
El análisis modal espectral desarrollado en las secciones precedentes es aplicable
sólo a estructuras que permanecen elásticas durante la acción sísmica. Sin
embargo, la intensidad de los sismos de diseño prescriptos por los reglamentos
actuales se corresponde con una acción sísmica cuyo período de recurrencia es
475 años, constituyendo una acción extrema, es decir una acción que se acepta
puede dejar daños permanentes en la estructura aunque sin llegar a provocar su
colapso.
Aceptando que las acciones sísmicas corresponden a un modelo probabilístico de
Poisson, se demuestra que dicho período de recurrencia corresponde a una
probabilidad de excedencia de 10% en 50 años para el sismo de diseño asociado
al espectro Sa ,i.
Algunos reglamentos recomiendan considerar, además del espectro así definido
para evaluar la seguridad de la estructura, otro sismo de mayor frecuencia de
ocurrencia y menor intensidad que se denomina sismo de operación normal, cuya
probabilidad de excedencia resulta de 50% en 100 años, lo que corresponde a un
período medio de recurrencia de 144 años. Para este nivel de acciones sísmicas
se espera que el comportamiento de la estructura se mantenga dentro del campo
elástico.
En la Figura 8 se muestra el espectro de pseudo-aceleración para la zona sísmica
1 dado por el Reglamento INPRES-CIRSOC 103 en correspondencia con un perfil
de suelo de rigidez intermedia (suelo tipo II).
Figura 7. Espectro elástico de pseudo-aceleraciones con ξ = 5%
La manera prevista en este reglamento para tener en cuenta el comportamiento
inelástico de las estructuras bajo el sismo consiste en efectuar el cálculo como si
fuera elástica pero corrigiendo la repuesta por medio de un factor de reducción R
que varía según el período fundamental de la estructura T según se ilustra en la
Figura 8. La variación del coeficiente de reducción R indicada por el reglamento es
una ley formada por dos rectas.
Para estructuras cuyo período fundamental es igual o inferior al período definido
como T1 en el reglamento, el coeficiente R varía entre 1 para T = 0, hasta R = μ
para T = T1, donde μ es la ductilidad máxima nominal que el reglamento permite
asignar a la estructura según sus características. Para estructuras cuyo período T
es mayor que T1, el reglamento permite adoptar el valor máximo de R = μ
independientemente del valor de T.
Figura 8. Variación del coeficiente de reducción R en función del período natural