APUNTES DE ELECTROMAGNETISMO FRANCISCO RICARDO MUÑOZ MUÑOZ BOGOTÁ 2019 Para Eileen e Ivette Portada: Representación de una estrella de neutrones rotando con un campo magnético superficial débil dando origen a ráfagas de rayos X y rayos gamma. Fuente: http://chandra.harvard.edu/photo/2010/sgr0418/ CONTENIDO LECCIÓN NÚMERO 1. LECCIÓN NÚMERO 2. LECCIÓN NÚMERO 3. LECCIÓN NÚMERO 4. LECCIÓN NÚMERO 5. LECCIÓN NÚMERO 6. LECCIÓN NÚMERO 7. LECCIÓN NÚMERO 8. LECCIÓN NÚMERO 9. LECCIÓN NÚMERO 10. LECCIÓN NÚMERO 11. LECCIÓN NÚMERO 12. LECCIÓN NÚMERO 13. LECCIÓN NÚMERO 14. LECCIÓN NÚMERO 15. LECCIÓN NÚMERO 16. PRÓLOGO Después de haber estado orientando el curso de Física Eléctrica y Magnetismo a nivel universitario introductorio, durante varios semestres, he visto la necesidad de recopilar los desarrollos temáticos propios de un curso como éste en los apuntes de clase que aquí se presentan. Es claro que no se pretende presentar un libro en el cual se haga innovaciones a las temáticas, pero sí procura poner a disposición de estudiantes y/o profesores unos apuntes que llevan cierto orden de manera concreta, que se acompaña de múltiples ejemplos resueltos de manera detallada con las explicaciones a que dé lugar cada uno para fortalecer esta práctica. También se hacen anotaciones sobre aplicaciones modernas de muchos de los temas tratados en este curso, yendo desde los rayos de las tormentas eléctricas hasta las de Resonancia Magnética ampliamente utilizada en ciencias médicas. Para hacer esta recopilación se ha acudido a varios textos de Física, de los cuales se han tomado apuntes, primero en borrador, y luego aquí plasmados, así como algunas imágenes, de las que se hará la reseña respectiva. El contenido de estos apuntes sobre electromagnetismo tiene básicamente tres partes: i) electrostática, en la que se estudian las cargas eléctricas en equilibrio, y corriente eléctrica, ii) magnetostática, encargada de estudiar los campos magnéticos constante en el tiempo, y iii) electrodinámica, en la que se trata la evolución temporal en sistemas donde interactúan campos eléctricos y magnéticos. LECCIÓN NÚMERO 1 INTRODUCCIÓN Los fenómenos electromagnéticos, a diferencia de los gravitacionales, requieren de cierta abstracción y manejo de conceptos “nuevos”, los cuales no visualizamos en el quehacer diario de nuestras vidas. Por esto, se requerirá cierta madurez matemática e interpretativa de los fenómenos que se tratarán. CARGA ELÉCTRICA Y LEY DE COULOMB Carga eléctrica Los antiguos griegos sabían que si frotaban un trozo de ámbar (tipo de resina orgánica) con una tela podían atraer objetos pequeños y ligeros. Actualmente se diría que con tal frotamiento el ámbar ha adquirido una carga eléctrica, o que se carga. Puesto que se ha conseguido dos tipos distintos de resultados al frotar diferentes objetos, a partir de experimentos, Benjamín Franklin (1706 - 1790) sugirió llamar a estas dos clases de cargas negativa (varilla de plástico frotada con un trozo de piel) y positiva (varilla de vidrio frotada con un trozo de seda), con la siguiente propiedad fundamental: Dos cargas positivas se repelen entre sí, al igual que dos cargas negativas. Una carga positiva y una negativa se atraen. Así, la carga eléctrica es una propiedad de la materia que se manifiesta bajo ciertas condiciones, así como lo es la masa. Propiedad de la materia Masa Carga eléctrica Fuerza que la manifiesta Gravitacional Eléctrica Pero, ¿qué es lo que sucede cuando se frota un elemento como una varilla? Para responder a esta inquietud, debemos acudir a la teoría atómica de la materia. Como es bien sabido, a nivel microscópico existen átomos que se conforman, básicamente, de electrones (con carga eléctrica negativa), protones (con carga eléctrica positiva) y neutrones (sin carga eléctrica). Los protones y los neutrones forman el núcleo, cuyas dimensiones son del orden de 10−15 𝑚 (figura 1.1). Figura 1.1: Estructura de un átomo. La masa de las partículas individuales son: masa del electrón, 𝑚𝑒 = 9.109 × 10−31 𝑘𝑔; masa del protón, 𝑚𝑝 = 1.672 × 10−27 𝑘𝑔, y la masa del neutrón, 𝑚𝑛 = 1.674 × 10−27 𝑘𝑔. La carga negativa del electrón tiene exactamente la misma magnitud que la carga positiva del protón. En un átomo neutro, el número de electrones es el mismo que el de protones en el núcleo, y la carga eléctrica neta es exactamente cero. Para cargar negativamente un cuerpo se debe agregar electrones, y para cargarlo positivamente se deben extraer de él electrones. Tenga en cuenta que solo es posible, para los fenómenos electromagnéticos, la transferencia de electrones, no de protones, pues si este fuera el caso se requerirían energías extremadamente altas y se estaría abordando otro tipo de interacciones, como lo es la Nuclear Fuerte. De esto se concluye que la carga eléctrica se conserva: La suma algebraica de todas las cargas eléctricas en cualquier sistema cerrado es constante. Y otro principio importante para las cargas es su cuantización: en 1909, Robert Millikan (1886 - 1953) descubrió que si un objeto es cargado su carga es siempre un múltiplo de una unidad de carga fundamental, 𝑒. El valor de 𝑒 es la de la carga del electrón, cuya unidad de medida, en SI, es el coulomb (C). La magnitud de la carga del electrón o del protón es la unidad natural de carga. Conductores y aislantes, semiconductores y superconductores Los conductores son materiales en los cuales las cargas eléctricas se mueven libremente, mientras que los aislantes son materiales en los cuales las cargas eléctricas no se mueven libremente. Para los aislantes, no ocurre ningún movimiento libre de los electrones porque el material no tiene electrones débilmente ligados que puedan escapar de sus átomos para moverse con libertad. Algunos aislantes típicos son el vidrio, el plástico y la tela. En cambio, en los conductores, su estructura atómica permite el movimiento libre de algunos electrones. Algunos conductores representativos son los metales. El agua con sal común disuelta es buena conductora. Una clase de materiales denominados semiconductores puede cambiar de aislante a conductor y de vuelta a aislante, lo cual depende de diversos factores, como puede ser el campo eléctrico o el magnético, la presión, la radiación que le incide, o la temperatura del ambiente en el que se encuentre. Entre las aplicaciones de los semiconductores se hallan los diodos, los transistores y los termistores, de amplio uso en los dispositivos electrónicos. También existen los materiales superconductores, que tienen resistencia cero a la conducción de la electricidad, los cuales se hallan a temperaturas muy bajas (4.2 K), pero se estudian los de alta temperatura (77.3 K). Entre algunas de las aplicaciones de los superconductores se hallan la Levitación Magnética, la Magnetoencefalografía, la investigación de punta en Física de Altas Energías (en el LHC: Gran Colisionador de Hadrones, por sus siglas en inglés), imagenología por Resonancia Magnética (MRI). Métodos de electrización El efecto de electrización consiste en ganar o perder carga eléctricas, normalmente electrones. La electrización de los materiales se lleva acabo, principalmente, de tres formas: electrización por frotamiento, contacto e inducción. Frotamiento: en este método, el cuerpo menos conductor retira electrones de las capas exteriores de los átomos del otro cuerpo, quedando cargado de forma negativa, y el que libera electrones queda cargado de forma positiva. Figura 1.2: Carga por frotamiento. Si ambos cuerpos son neutros, ambo se cargan, uno con carga positiva y otro con carga negativa. Contacto: Figura 1.3: Carga por conducción. La barra de caucho cargada se pone en contacto con la esfera de metal aislada. Algunos electrones se mueven de la barra hacia la esfera. Cuando la barra se retira, la esfera queda con una carga negativa. Inducción: Figura 1.4: Carga por inducción. a) barra metálica neutra; b) la carga en la barra se redistribuye cuando una barra de caucho cargada se coloca cerca de ella, y al aterrizarse, algunos de sus electrones salen a través del alambre a tierra; c) al quitar la barra de caucho, el exceso de carga positiva se distribuye uniformemente sobre la superficie de la barra. Para cargar un objeto por inducción no es necesario que se lo ponga en contacto con el objeto que induce la carga. Ley de Coulomb En 1785 Charles Coulomb (1736 - 1806) estableció experimentalmente la ley que rige la fuerza eléctrica, entre dos partículas estacionarias cargadas. Tales experimentos establecen que una fuerza eléctrica tiene las siguientes propiedades: 1. Es inversamente proporcional al cuadrado de la separación entre las dos partículas a lo largo de la línea que las une. 2. Es proporcional al producto de las magnitudes de las cargas |𝑞1 | y |𝑞2 | en las dos partículas. 3. Es de atracción si las cargas son de signo opuesto y de repulsión si son del mismo signo. Esto se resume por medio de la siguiente expresión: 𝐹=𝑘 |𝑞1 ||𝑞2 | 𝑟2 Ley de Coulomb (1.1) Donde 𝑘 es una constante llamada constante de Coulomb, cuya magnitud es 𝑘 = 8.9875 × 109 𝑁. 𝑚2 /𝐶 2 Constante de Coulomb Esta constante se puede escribir como 1 𝑘 = 4𝜋𝜖 0 (1.3) (1.2) Donde la constate 𝜖0 se conoce como la permitividad del espacio vacío (libre), 𝜖0 = 8.85 × 10−12 𝐶 2 /𝑁𝑚2. Para fines prácticos de cálculos se tomará 𝑘 = 9 × 109 𝑁. 𝑚2 /𝐶 2 . Las fuerzas eléctricas obedecen la tercera ley de Newton, y por lo tanto las fuerzas 𝐹⃗12 y 𝐹⃗21 son de igual magnitud pero de dirección opuesta. Siendo las fuerzas cantidades vectoriales, con 𝑟̂ 12 el vector unitario desde la carga 𝑞1 a la carga 𝑞2 , se tiene 𝑞 𝑞 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹12 = 𝑘 𝑟1 2 2 𝑟̂ 12 (1.4) Figura 1.5: Dos cargas puntuales separadas por una distancia 𝑟 ejercen una fuerza mutua que está determinada por la ley de Coulomb. Fuente: Serway (7ª edición), volumen 2, página 647. Cuando están presentes más de dos cuerpos cargados, la fuerza resultante es la suma de todos los pares de fuerzas: principio de superposición. Si hay cuatro cargas, la fuerza sobre la carga 2 es la suma de las fuerzas de las cargas 1, 3 y 4 sobre ella: ⃗⃗⃗⃗ 𝐹2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹21 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹23 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹24 (1.5) LECCIÓN NÚMERO 2 INTRODUCCIÓN La idea de campo fue introducida por Michael Faraday (1791 - 1867) a la hora de explicar las interacciones entre partículas, para dar sentido al concepto de fuerza que implicaba la acción a distancia ya desde la ley de gravitación de Newton (1643 - 1727). CAMPO ELÉCTRICO Campo eléctrico y fuerzas eléctricas El campo gravitacional en un punto del espacio se define como la fuerza gravitacional actuando sobre una masa en reposo dividida por dicha masa. De manera similar, un campo eléctrico en un punto en el espacio se define en términos de la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de prueba ubicada en ese punto. Se define (tomado de Serway, tercera edición, página 634): “el vector campo eléctrico 𝐸⃗⃗ en un punto del espacio se define como la fuerza eléctrica 𝐹⃗ actuando sobre una carga de prueba positiva en ese punto dividida por la magnitud de la carga de prueba 𝑞0 ” ⃗ 𝐹 𝐸⃗⃗ = 𝑞 0 (2.1) Cálculo de campos eléctricos para sistemas discretos y continuos Para sistemas discretos de carga, a partir de la ley de Coulomb se tiene 𝑞 𝐸⃗⃗ = 𝑘 𝑟 2 𝑟̂ Campo eléctrico a causa de la carga 𝑞 (2.2) Así, podemos decir que existe un campo eléctrico en un punto si una partícula de prueba en reposo en ese punto experimenta una fuerza eléctrica. El vector 𝐸⃗⃗ tiene unidades, en SI, de newton por coulomb (𝑁/𝐶). La dirección de 𝐸⃗⃗ en un punto está definida como la dirección de la fuerza eléctrica 𝐹⃗ que sería ejercida sobre una pequeña carga de prueba positiva colocada en ese punto. Figura 2.1: un objeto pequeño con una carga positiva 𝑞0 colocado cerca de un objeto con una carga positiva mayor 𝑄 experimenta un campo eléctrico 𝐸⃗⃗ dirigido, como muestra la figura. Fuente: Serway, séptima edición, página 651. Para calcular el campo eléctrico debido a un grupo de cargas puntuales, primero calculamos los vectores campo eléctrico en el punto de interés (𝑃) y luego se suman vectorialmente (principio de superposición). 𝑞 𝐸⃗⃗ = 𝑘 ∑𝑖 𝑟 𝑖2 𝑟̂𝑖 (2.3) 𝑖 Donde 𝑟𝑖 es la distancia desde la i - ésima carga al punto donde se va a calcular el campo, y 𝑟̂𝑖 es un vector unitario dirigido desde 𝑞𝑖 hacia el punto 𝑃. Con los sistemas de distribución continua de carga, se tienen cargas ubicadas muy cercanamente en comparación con sus distancias a los puntos de interés. Para evaluar el campo eléctrico de una distribución continua de carga, se utiliza el siguiente procedimiento: primero, se divide la distribución de cargas en pequeños elementos, cada uno con una pequeña carga ∆𝑞 (figura 2.2). Luego, se usa la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a uno de estos elementos en un punto 𝑃. Para terminar, se evalúa el campo total en 𝑃 debido a la distribución de carga sumando las contribuciones de todos los elementos de carga. Figura 2.2: el campo eléctrico en 𝑃 debido a una distribución continua de carga es la suma vectorial de los campos debidos a todos los elementos ∆𝑞 de la distribución de carga. Fuente: Serway, tercera edición, página 638. Si la separación entre los elementos en la distribución de carga es pequeña comparada con la distancia a 𝑃, la distribución de carga se puede aproximar a una continua. Luego, el campo total en 𝑃 será: 𝑑𝑞 𝐸⃗⃗ = 𝑘 ∫ 𝑟 2 𝑟̂ (2.4) Para los cálculos tener en cuenta: i) si la carga 𝑄 está uniformemente distribuida a por todo un volumen 𝑉, la carga por unidad de volumen, 𝜌, es 𝑄 𝜌=𝑉 (2.5) Donde 𝜌 tiene unidades de 𝐶/𝑚3; ii) si la carga 𝑄 está uniformemente distribuida sobre una superficie de área 𝐴, la densidad de carga superficial, 𝜎, es 𝑄 𝜎=𝐴 (2.6) Donde 𝜎 tiene unidades de 𝐶/𝑚2 ; y iii) si la carga 𝑄 está distribuida a lo largo de una línea de longitud 𝑙, la densidad de carga lineal, 𝜆, es 𝜆= 𝑄 𝑙 (2.7) Donde 𝜆 tiene unidades de 𝐶/𝑚. Si la carga está uniformemente distribuida sobre un volumen, una superficie, o una línea, se expresaría las cantidades de carga como: 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑉 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙 (2.8) Líneas de campo eléctrico La ecuación (2.1) define matemáticamente el campo eléctrico, pero para visualizar los patrones de un campo tal, se hace uso de unas líneas conocidas como líneas de campo eléctrico, que se deben inicialmente a Faraday, y que se relacionan con el campo eléctrico en cualquier región del espacio en la siguiente forma: 1. El vector de campo eléctrico es tangencial a las líneas de campo eléctrico en cada punto. 2. El número de líneas por unidad de área a través de una superficie perpendicular a las líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en esa región. Para trazar una línea de campo eléctrico, imagine que se coloca una pequeña carga positiva en cada punto del campo eléctrico, con lo que se tendrían las representaciones de la figura 2.3. Figura 2.3: Líneas del campo eléctrico de una carga puntual. a) Cuando es una carga puntual positiva, las líneas irradian hacia afuera; b) Cuando es una carga puntual negativa, las líneas convergen hacia adentro. Fuente: Serway, séptima edición, página 660. A la hora de trazar líneas de campo eléctrico tener en cuenta: i) las líneas deben empezar en una carga positiva y terminar en una negativa; ii) el número de líneas dibujadas que salen de una carga positiva o se acercan a una carga negativa será proporcional a la magnitud de dicha carga; iii) dos líneas de campo no se pueden cruzar (figuras 2.4, 2.5 y 2.6). Figura 2.4: Líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales de igual magnitud y signo contrario. Fuente: https://phet.colorado.edu/sims/html/charges-and-fields/latest/chargesand-fields_en.html Figura 2.5: Líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales de igual magnitud y de signo positivo ambas. Fuente: https://phet.colorado.edu/sims/html/charges-andfields/latest/charges-and-fields_en.html Figura 2.6: Líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales de igual magnitud y de signo negativo ambas. Fuente: https://phet.colorado.edu/sims/html/charges-andfields/latest/charges-and-fields_en.html Sea 𝐶𝑞 el número de líneas de campo partiendo de cualquier objeto con carga positiva y |𝐶𝑞| el número de líneas de campo que terminan en cualquier objeto con carga negativa, donde 𝐶 es una constante de proporcionalidad arbitraria. Una vez seleccionada 𝐶, queda fijo el número de líneas. Por ejemplo, en un sistema de dos cargas, si el objeto tiene 1 carga 𝑄1 y el objeto 𝑁 𝑄 2 tiene carga 𝑄2 , la relación del número de líneas en contacto con las cargas es 𝑁2 = 𝑄2. 1 1 LECCIÓN NÚMERO 3 INTRODUCCIÓN El movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos sufre perturbaciones, por la fuerza que se les ejerce en virtud de la interacción eléctrica. Y es este tipo de reacción el tema central de esta lección para determinar el comportamiento de las partículas en tales campos, que se asemeja al comportamiento de una masa en un campo gravitacional. CARGAS ELÉCTRICAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y FLUJO DE CAMPO Movimiento de cargas en un campo eléctrico uniforme Cuando una partícula de carga 𝑞 se ubica en un campo eléctrico 𝐸⃗⃗ , la fuerza eléctrica sobre la carga es 𝑞𝐸⃗⃗ . Si esta es la única fuerza ejercida sobre la carga, aplicando la segunda ley de Newton daría 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗ (3.1) Donde 𝑚 es la masa de la carga y asumimos que la rapidez es pequeña comparada con la rapidez de la luz. La aceleración de la partícula está dada por 𝑎⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ (3.2) 𝑚 Si 𝐸⃗⃗ es uniforme (es decir, constante en magnitud y dirección) se halla que la aceleración es una constante del movimiento. Si la carga es positiva, la aceleración será en la dirección del campo eléctrico. Si la carga es negativa, la aceleración estará en dirección opuesta a la del campo. El campo eléctrico en la región entre dos cargas metálicas cargadas de forma opuesta es aproximadamente uniforme (figura 3.1). Suponga que un electrón de carga −𝑒 se lanza horizontalmente hacia este campo con una velocidad inicial 𝑣𝑖 𝑖̂. Como el campo eléctrico se dirige en la dirección positiva del eje 𝑦, la aceleración del electrón está en la dirección negativa del eje 𝑦. Así, 𝑒𝐸 𝑎⃗ = − 𝑚 𝑗̂ (3.3) Figura 3.1: Un electrón se proyecta horizontalmente en un campo eléctrico uniforme que es producido por dos placas cargadas. El electrón experimenta una aceleración hacia abajo y su movimiento es parabólico mientras está entre las placas. Como la aceleración es constante, al aplicar las ecuaciones de cinemática en dos dimensiones, las componentes horizontal y vertical cumplen 𝑣𝑥 = 𝑣𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝐸 𝑣𝑦 = 𝑎𝑡 = − 𝑚 𝑡 (3.4) (3.5) Además, las coordenadas del electrón después de un tiempo 𝑡 en el campo eléctrico están dadas por 𝑥 = 𝑣𝑖 𝑡 1 (3.6) 1 𝑒𝐸 𝑦 = 2 𝑎𝑡 2 = − 2 𝑚 𝑡 2 (3.7) Tenga en cuenta que no se ha considerado la fuerza gravitacional en estos análisis debido a su débil intervención en estos procesos. Dipolo eléctrico Un sistema de dos partículas puntuales con cargas opuestas se denomina dipolo eléctrico. El campo eléctrico de un dipolo está dado por la suma vectorial de los campos eléctricos provenientes de las dos cargas. Sean las cargas 𝑞1 y 𝑞2 ubicadas en el eje 𝑥, a distancias 𝑎 y 𝑏, respectivamente, del origen, como se ve en la figura 3.2. Figura 3.2: El campo eléctrico total en 𝑃 es igual a la suma vectorial ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸2 , donde ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 es el ⃗⃗⃗⃗⃗ campo debido a la carga positiva 𝑞1 y 𝐸2 es el campo debido a la carga negativa 𝑞2 . Fuente: Serway, séptima edición, página 653. Para determinar el campo eléctrico en el punto 𝑃, se calculan las componentes de los campos de cada carga, que es lo que se va a desarrollar aquí. Empezamos calculando la magnitud del campo eléctrico en 𝑃 debido a la carga 𝑞1 : |𝑞 | |𝑞 | 1 𝐸1 = 𝑘 𝑟 12 = 𝑘 (𝑎2 +𝑦 2) 1 Similarmente para la magnitud del campo eléctrico en 𝑃 debido a la carga 𝑞2 : |𝑞 | |𝑞 | 2 𝐸2 = 𝑘 𝑟 22 = 𝑘 (𝑏2+𝑦 2) 2 En forma vectorial se tiene, a partir de la figura 3.2 |𝑞1 | |𝑞1 | ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 = 𝑘 (𝑎2 +𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑖̂ + 𝑘 (𝑎2 +𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑗̂ 2) 2) |𝑞2 | |𝑞2 | ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸2 = 𝑘 (𝑏2 +𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖̂ − 𝑘 (𝑏2 +𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗̂ 2) 2) Así, las componentes del campo eléctrico total en 𝑃 son |𝑞 | |𝑞 | |𝑞 | |𝑞 | 1 2 𝐸𝑥 = 𝐸1𝑥 + 𝐸2𝑥 = 𝑘 (𝑎2 +𝑦 2 ) 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑘 (𝑏 2 +𝑦 2 ) 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 2 𝐸𝑦 = 𝐸1𝑦 + 𝐸2𝑦 = 𝑘 (𝑎2 +𝑦 2 ) 𝑠𝑒𝑛𝜙 − 𝑘 (𝑏 2 +𝑦 2 ) 𝑠𝑒𝑛𝜃 Si |𝑞1 | = |𝑞2 | y 𝑎 = 𝑏, la situación se simplifica bastante (figura 3.3), porque las componentes en 𝑦 se cancelan mutuamente y las de 𝑥 se suman para dar: 𝑞 𝑞 𝑞 𝐸𝑥 = 𝐸1𝑥 + 𝐸2𝑥 = 𝑘 (𝑎2 +𝑦2 ) 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑘 (𝑎2 +𝑦 2) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑘 (𝑎2 +𝑦 2) 𝑐𝑜𝑠𝜃 De la figura 3.3 se ve que 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 = (𝑎2 +𝑦 2 )1/2 Que al reemplazar en la expresión para la componente 𝑥 anterior se tiene 𝑞 𝑞 𝑎 2𝑞𝑎 𝐸𝑥 = 2𝑘 (𝑎2 +𝑦 2) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑘 (𝑎2 +𝑦2 ) (𝑎2 +𝑦2 )1/2 = 𝑘 (𝑎2 +𝑦2 )3/2 Usando la aproximación 𝑦 ≫ 𝑎, se puede despreciar 𝑎2 para tener 𝐸≈𝑘 2𝑞𝑎 𝑦3 (3.8) Se ve que a lo largo del eje 𝑦 el campo de un dipolo en un punto distante varía según 1/𝑟 3 , mientras que el campo de una carga puntual varía más lentamente conforme 1/𝑟 2. La ecuación (3.8) se simplifica al definir una cantidad vectorial denominada momento dipolar eléctrico, 𝑝⃗. La dirección de este momento dipolar va de la carga negativa a la positiva, que es la opuesta a la dirección de las líneas de campo eléctrico. 𝑝 = 𝑞𝑎 (3.9) Donde 𝑞 es la magnitud de la carga y 𝑎 es la distancia de separación entre las dos cargas. 2𝑝 𝐸 = 𝑘 𝑦3 (3.10) Figura 3.3: El campo eléctrico total en 𝑃 es igual a la suma vectorial ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸2 , donde ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 es el ⃗⃗⃗⃗⃗ campo debido a la carga positiva 𝑞1 y 𝐸2 es el campo debido a la carga negativa 𝑞2 . Fuente: Serway, séptima edición, página 654. Flujo de campo eléctrico Considere un campo eléctrico constante tanto en magnitud como en dirección (figura 3.4). Las líneas de campo penetran en una superficie rectangular de área 𝐴, cuyo plano tiene una orientación perpendicular al campo. Figura 3.4: Líneas de campo de un campo eléctrico uniforme que penetra una placa de área 𝐴. Fuente: Serway, séptima edición, página 673. Ya se estableció que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. Por tanto, el total de líneas que atraviesan una superficie es proporcional al producto 𝐸𝐴. A este producto de la magnitud del campo por el área superficial, perpendicular al campo, se le denomina flujo eléctrico, Φ𝐸 : Φ𝐸 = 𝐸𝐴 (3.11) Con unidades, en SI, 𝑁. 𝑚2 /𝐶. Si la superficie no es perpendicular al campo, el número de líneas que la atraviesan es menor que las dadas por la ecuación (3.11), como se indica en la figura 3.5. Ahora, de la figura se ve que el área cumple 𝐴⊥ = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃, tal que Φ𝐸 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 (3.12) Figura 3.5: Líneas de campo que representan un campo eléctrico uniforme que penetra en un área 𝐴, la cual forma un ángulo 𝜃 en relación con el campo. Fuente: Serway, séptima edición, página 674. A partir de (3.12) se ve que el valor máximo que puede alcanzar Φ𝐸 es 𝐸𝐴, cuando la superficie es perpendicular al campo. Ley de Gauss Esta ley establece que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total dentro de la superficie. Siendo la magnitud 𝐸 del campo eléctrico en cada punto de la superficie esférica, de radio 𝑅, con una carga en su centro 𝐸= 1 𝑞 4𝜋𝜖0 𝑅 2 Así, el flujo eléctrico total a través del área 𝐴 = 4𝜋𝑅 2 de la esfera, es 1 Φ𝐸 = 𝐸𝐴 = 4𝜋𝜖 𝑞 0 𝑅2 (4𝜋𝑅 2 ) = 𝑞 𝜖0 (3.13) Enunciado general de la ley de Gauss 𝑄 Φ𝐸 = ∮ 𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑑𝐴 = ∮ 𝐸⊥ 𝑑𝐴 = ∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = 𝜖𝑒𝑛𝑐 0 (3.14) LECCIÓN NÚMERO 4 INTRODUCCIÓN De alguna manera todos hemos oído hablar de voltajes en algunos dispositivos eléctricos y/o electrónicos, y es en esta lección en la cual se introducirá tal concepto, el cual está relacionado directamente con la energía que involucran los fenómenos eléctricos. POTENCIAL ELÉCTICO Y DIFERENCIA DE POTENCIAL Diferencia de potencial (ddp) y potencial eléctrico Cuando se coloca una carga de prueba 𝑞0 en un campo electrostático 𝐸⃗⃗ , la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba es 𝑞0 𝐸⃗⃗ . La fuerza 𝑞0 𝐸⃗⃗ es el vector suma de las fuerzas ejercidas sobre 𝑞0 por las cargas que producen el campo 𝐸⃗⃗ . Esta fuerza es conservativa, es decir que el trabajo que ésta realiza sobre la carga es independiente de la trayectoria de la partícula. Del teorema del Trabajo – Energía, para la energía potencial, el trabajo hecho por la fuerza 𝑞0 𝐸⃗⃗ es igual al negativo del trabajo hecho por un agente externo. El trabajo hecho por la fuerza 𝑞0 𝐸⃗⃗ sobre la carga de prueba para un desplazamiento infinitesimal 𝑑𝑠⃗ es 𝑑𝑊 = 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ = 𝑞0 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ (4.1) De donde 𝑑𝑈 = −𝑞0 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ (4.2) Siendo el cambio en la energía potencial 𝐵 ∆𝑈 = 𝑈𝐵 −𝑈𝐴 = −𝑞0 ∫𝐴 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ (4.3) La diferencia de potencial (ddp), 𝑉𝐵 −𝑉𝐴 , entre los puntos 𝐴 y 𝐵 se define como el cambio en la energía potencial dividida por la carga de prueba 𝑞0 : 𝑉𝐵 −𝑉𝐴 = 𝐵 𝑈𝐵 −𝑈𝐴 = −𝑞0 ∫ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ 𝑞0 𝐴 (4.4) La ddp no se debe confundir con la energía potencial. La ddp es proporcional la energía potencial y las dos se relacionan por ∆𝑈 = 𝑞0 ∆𝑉. La diferencia de potencial (ddp), 𝑉𝐵 −𝑉𝐴 , es igual al trabajo por unidad de carga que un agente externo debe realizar para mover una carga de prueba de 𝐴 a 𝐵 sin un cambio en la energía cinética. Considerando el potencial cero para un punto en el infinito, el potencial eléctrico en un punto arbitrario es igual al trabajo que se requiere por unidad de carga para traer una carga de prueba positiva desde el infinito hasta ese punto. Como la ddp es una medida de la energía potencial por unidad de carga, la unidad en SI del potencial es joule por coulomb, llamada voltio: 𝐽 1𝑉 = 1 𝐶 (4.5) 𝑉 𝑁 Siendo la unidad para campo eléctrico también 𝑚 = 𝐶 . Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme Considere un campo eléctrico uniforme dirigido hacia abajo (figura 4.1a). Calculando la ddp entre los puntos 𝐴 y 𝐵 separados por una distancia |𝑠⃗| = 𝑑, donde 𝑠⃗ es paralela a las líneas de campo, se tiene de (4.4) 𝐵 𝐵 𝐵 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = ∆𝑉 = − ∫𝐴 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ = − ∫𝐴 (𝐸𝑐𝑜𝑠0°)𝑑𝑠 = − ∫𝐴 𝐸𝑑𝑠 Siendo 𝐸 constante 𝐵 ∆𝑉 = −𝐸 ∫𝐴 𝑑𝑠 = −𝐸𝑑 (4.6) El sigo menos resulta del hecho de que el punto 𝐵 está a un potencial más bajo que el punto 𝐴, es decir, 𝑉𝐵 < 𝑉𝐴 . Si la carga de prueba 𝑞0 se mueve de 𝐴 a 𝐵, el cambio en su energía potencial es ∆𝑈 = 𝑞0 ∆𝑉 = −𝑞0 𝐸𝑑 (4.7) Así, si 𝑞0 es positiva, ∆𝑈 es negativa. Por esto, un sistema que consiste de una carga positiva y un campo eléctrico pierde energía potencial eléctrica cuando l carga se mueve en la dirección del campo. Si 𝑞0 es negativa ∆𝑈 es positiva: un sistema formado por una carga negativa y un campo eléctrico adquiere energía potencia potencial eléctrica cuando la carga se mueve en la dirección del campo. Figura 4.1: a) Cuando el campo eléctrico se dirige hacia abajo, el punto 𝐵 está en un potencial eléctrico menor que el punto 𝐴. Cuando una carga de prueba positiva se mueve del punto 𝐴 al punto 𝐵, la energía potencial eléctrica del sistema carga – campo disminuye. b) Cuando un objeto de masa 𝑚 se mueve hacia abajo en la dirección del campo gravitacional 𝑔⃗, la energía potencial gravitacional del sistema objeto – campo disminuye. Fuente: Serway, séptima edición, página 695. Para una partícula cargada que se mueve entre un par de puntos cualesquiera en un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje 𝑥 (figura 4.2). En este caso se tiene: 𝐵 𝐵 ∆𝑉 = − ∫𝐴 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ = −𝐸⃗⃗ ∙ ∫𝐴 𝑑𝑠⃗ = −𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑⃗ (4.8) De donde ∆𝑈 = 𝑞0 ∆𝑉 = −𝑞0 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑⃗ (4.9) Figura 4.2: Un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje positivo 𝑥. El punto 𝐵 está a un potencial más bajo que el punto 𝐴. Los puntos 𝐵 y 𝐶 están al mismo potencial. El nombre superficie equipotencial se da para cualquier superficie que consiste de una distribución continua de puntos que tienen el mismo potencial. LECCIÓN NÚMERO 5 EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE REPASO I LECCIÓN NÚMERO 6 INTRODUCCIÓN En esta parte se harán algunos cálculos de potenciales eléctricos para algunas distribuciones características de carga: sistemas discretos y continuos. POTENCIAL ELÉCTRICO Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Potencial eléctrico, superficies equipotenciales y energía potencial debida a cargas puntuales Considere una carga eléctrica positiva que produce un campo eléctrico que se dirige hacia afuera de la carga (figura 6.1). Para hallar el potencial eléctrico a una distancia 𝑟 de la carga se tiene 𝐵 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − ∫𝐴 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ Figura 6.1: La ddp entre los puntos 𝐴 y 𝐵 debida a la carga puntual 𝑞 depende solo de las coordenadas radiales 𝑟𝐴 y 𝑟𝐵 . Fuente: Serway, séptima edición, página 697. 𝑞 Utilizando la expresión para campo eléctrico generado por una carga: 𝐸⃗⃗ = 𝑘 𝑟 2 𝑟̂ , se tiene que 𝑞 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ = 𝑘 𝑟 2 𝑟̂ ∙ 𝑑𝑠⃗ Siendo 𝑟̂ ∙ 𝑑𝑠⃗ = 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃, que es la proyección de 𝑑𝑠⃗ sobre 𝑟⃗, así que 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑑𝑟. Es decir, cualquier desplazamiento 𝑑𝑠⃗ produce un cambio 𝑑𝑟 en la magnitud de 𝑟⃗. Así, 𝐵 𝑟 𝑑𝑟 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − ∫𝐴 𝐸𝑟 𝑑𝑟 = −𝑘𝑞 ∫𝑟 𝐵 𝑟 2 = 𝐴 1 1 𝐵 𝐴 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝑘𝑞 [𝑟 − 𝑟 ] 𝑘𝑞 𝑟𝐵 ] 𝑟 𝑟𝐴 (6.1) 𝐵 La integral − ∫𝐴 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ es independiente del camino entre los puntos 𝐴 y 𝐵, y la ddp entre dichos puntos solo depende de las coordenadas radiales 𝑟𝐴 y 𝑟𝐵 . Tomando 𝑟𝐴 = ∞, el potencial eléctrico debido a una carga puntual en cualquier punto a una distancia 𝑟 de la carga es 𝑞 𝑉 =𝑘𝑟 (6.2) De esta expresión se ve que 𝑉 es constante sobre una superficie esférica de radio 𝑟. Se concluye que las superficies equipotenciales (superficies sobre las cuales 𝑉 es constante) para una carga puntual aislada consisten de una familia de esferas concéntricas con la carga. El potencial eléctrico para dos o más cargas puntuales se obtiene aplicando el principio de superposición. Es decir, el potencial total en algún punto 𝑃 debido a varias cargas puntuales es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales. 𝑞 𝑉 = 𝑘 ∑𝑛𝑖=1 𝑟𝑖 (6.3) 𝑖 Donde se toma el potencial como cero en el infinito, y 𝑟𝑖 es la distancia del punto 𝑃 a la carga 𝑞𝑖 . Ahora consideremos la energía potencial de interacción de un sistema de partículas cargadas. Si 𝑉1 es el potencial eléctrico debido a la carga 𝑞1 en el punto 𝑃, luego el trabajo que se requiere para traer una segunda carga, 𝑞2 , desde el infinito al punto 𝑃 sin aceleración es 𝑞2 𝑉1. Por definición, este trabajo es igual a la energía potencial, 𝑈, del sistema de dos las partículas cuando las partículas están separadas por una distancia 𝑟12 (figura 6.2). Figura 6.2: Si dos cargas puntuales están separadas por una distancia 𝑟12, la energía potencial 𝑞 𝑞 del par de cargas es 𝑘 𝑟1 2. Fuente: Serway, séptima edición, página 699. 12 Se puede expresar la energía potencial 𝑈 = 𝑞2 𝑉1 = 𝑘 𝑞1 𝑞2 𝑟12 (6.4) Si las cargas son del mismo signo, 𝑈 es positiva, lo que significa que un agente externo debe hacer trabajo positivo sobre un sistema para acercar las dos cargas. Si las cargas son de signos opuestos, 𝑈 es negativa; un agente externo deberá realizar trabajo negativo en contra de la fuerza de atracción entre cargas de signo opuesto al acercar la una a la otra; debe aplicarse una fuerza opuesta al desplazamiento para impedir que 𝑞1 se acerque hacia 𝑞2 . Si el sistema consiste de más de dos cargas, la energía potencial total se obtiene calculando 𝑈 para cada par y sumando al final (figura 6.3). 𝑞 𝑞2 𝑈 = 𝑘 ( 𝑟1 12 + 𝑞1 𝑞3 𝑟13 + 𝑞2 𝑞3 𝑟23 ) (6.5) Figura 6.3: Tres cargas puntuales están fijas en las posiciones que se muestran. La energía potencial de este sistema de cargas está dado por la ecuación (6.5). Fuente: Serway, séptima edición, página 699. Potencial eléctrico debido a una distribución continua de carga Una manera de calcular el potencial eléctrico debido a una distribución de carga es hallando el potencial en 𝑃 debido a un elemento de carga 𝑑𝑞 para luego sumar sobre toda la distribución por medio de una integral. 𝑉 = 𝑘∫ 𝑑𝑞 𝑟 (6.6) Campo eléctrico a partir del potencial eléctrico El campo eléctrico y el potencial eléctrico se relacionan por la ecuación (4.4), a partir de la cual se puede expresar la ddp 𝑑𝑉 entre dos puntos que están separados una distancia 𝑑𝑠 conforme: 𝑑𝑉 = −𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ (6.7) Que, por componentes se puede escribir 𝑑𝑉 𝐸𝑥 = − 𝑑𝑥 𝑑𝑉 𝐸𝑦 = − 𝑑𝑦 𝑑𝑉 𝐸𝑧 = − 𝑑𝑧 (6.8) El campo eléctrico es igual al negativo de la derivada del potencial con respecto a alguna coordenada. Si la distribución de carga tiene simetría esférica, donde la densidad de carga depende solo de la distancia radial 𝑟, luego el campo eléctrico es radial. 𝑑𝑉 𝐸𝑟 = − 𝑑𝑟 (6.9) En general, en notación vectorial ⃗⃗𝑉 = − (𝑖̂ 𝜕 + 𝑗̂ 𝜕 + 𝑘̂ 𝜕 ) 𝑉 𝐸⃗⃗ = −∇ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Donde ⃗∇⃗ se llama el operador gradiente. Potencial debido a un dipolo eléctrico (6.10) Apliquemos la ecuación (6.3) a un dipolo eléctrico para hallar el potencial en un punto arbitrario 𝑃 en la figura 6.4. Siendo que en dicho punto las partículas establecen los potenciales 𝑉(+) y 𝑉(−) por la presencia de las cargas +𝑞 y – 𝑞, respectivamente, el potencial neto en 𝑃 es 1 𝑉 = 𝑉(+) + 𝑉(−) = 4𝜋𝜖 (𝑟 0 𝑞 (+) −𝑞 (−) (a) 𝑟(−) −𝑟(+) 𝑞 + 𝑟 ) = 4𝜋𝜖 0 𝑟(−) 𝑟(+) (6.11) (b) Figura 6.4. (a) El punto 𝑃 está a una distancia 𝑟 del punto medio 𝑂 del dipolo. (b) Si 𝑃 está muy lejos del dipolo las líneas 𝑟(−) y 𝑟(+) son aproximadamente paralelas a la línea de longitud 𝑟. Fuente: Walker, 1º th edition, pág. 697. Para una gran distancia del punto 𝑃, de la figura (b) de arriba se tiene 𝑟(−) −𝑟(+) ≈ 𝑑 cos 𝜃 y 𝑟(−) 𝑟(+) ≈ 𝑟 2 Entonces (6.11) queda 𝑉= 𝑞 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 4𝜋𝜖0 𝑟 2 Como el momento dipolar eléctrico está dado por 𝑝 = 𝑞𝑑, se tiene 𝑉= 1 𝑝 𝑐𝑜𝑠𝜃 4𝜋𝜖0 𝑟2 (dipolo eléctrico) (6.12) LECCIÓN NÚMERO 7 INTRODUCCIÓN La capacitancia hace referencia a una propiedad física que tienen algunos dispositivos eléctricos para almacenar carga y energía eléctrica (Vega, pág. 72) y un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica y carga eléctrica (Young y Freedman, pág. 788). En esta parte del curso se tratará la descripción desde la teoría física de esta propiedad que tiene amplias aplicaciones en dispositivos eléctricos que nos rodean, como en las cámaras fotográficas y las pantallas táctiles que son de gran uso en pleno siglo XXI. CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS I Capacitancia Un arreglo de dos conductores eléctricos de gran superficie, separados cierta distancia, como se ve en la figura 7.1, constituye un capacitor. Figura 7.1: Capacitor de placas paralelas. Fuente: Serway, 7 edición, pág. 723. De acuerdo con su construcción física, hay dos tipos de capacitores eléctricos (Vega, pág. 72): 1. Capacitor seco de placas planas separadas por un material aislante sólido, como puede ser mica, cerámica, papel parafinado y plásticos, entre otros. Éstos no tienen polaridad y por lo general sus valores nominales (capacidad: expresión de la magnitud de la capacitancia) son pequeñas. 2. Capacitor electrolítico construido con dos placas conductoras separadas por un material aislante líquido, constituida a base de dióxido de titanio, o en forma de pasta semilíquida. Estos capacitores tienen polaridad eléctrica positiva y negativa; comúnmente construidos con geometría cilíndrica. Tienen la propiedad de manejar valores altos de capacitancia. La capacitancia 𝐶 de un condensador se define como la relación de la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores a la magnitud de la diferencia de potencial entre dichos conductores: 𝑞 𝐶 = 𝑉 (7.1) Que, por definición, siempre es una cantidad positiva, y solo depende de la geometría de las placas y no de su carga o diferencia de potencial. La unidad en el sistema internacional (SI) de la capacitancia viene a ser el coulomb por voltio, que tiene un nombre especial: 1 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 1 𝐹 = 1 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜 Pero esta unidad es muy grande, por lo que se acostumbra a trabajar con submúltiplos de ella, como se verá en un ejemplo posteriormente. Cargando un capacitor Una manera de cargar un capacitor es ubicarlo en un circuito eléctrico con una batería. Un circuito eléctrico es una trayectoria por la que fluye carga. Una batería es un dispositivo que mantiene una cierta diferencia de potencial entre sus terminales por medio de reacciones electroquímicas internas. En el circuito de la figura 7.1 los electrones se ponen en movimiento a través de los alambres por el campo eléctrico que la batería establece en los alambres. El campo lleva electrones de la placa de la izquierda al terminal positivo de la batería, así dicha placa pierde electrones cargándose positivamente. El campo, a su vez, transporta electrones del terminal negativo de la batería a la placa de la derecha que, al ganar electrones, queda cargada negativamente (figura 7.2). Figura 7.2: Representación esquemática de la carga de un capacitor. Cálculo de la capacitancia: capacitores con vacío 1. Capacitor de placas planas. Es un dispositivo construido básicamente por dos láminas metálicas conductoras eléctricas separadas cierta distancia. Cuando las placas del capacitor se conectan a la batería estas se cargan con la misma polaridad, o con el mismo signo, de las terminales de la batería, formándose un campo eléctrico uniforme entre estas (figura 7.3). Figura 7.3: Diagrama esquemático de un capacitor de placas paralelas. De la ley de Gauss, la intensidad de campo eléctrico para una placa conductora cargada es 𝐸= 𝑞 𝜖0 𝐴 Y, como el potencial eléctrico entre las placas es 𝑉 = 𝐸𝑑, entonces 𝑉 𝑞 𝑞𝑑 = →𝑉= 𝑑 𝜖0 𝐴 𝜖0 𝐴 Que al sustituir en la expresión (7.1) 𝐶= 𝜖0 𝐴 𝑑 (7.2) 2. Capacitor cilíndrico. Es un dispositivo eléctrico que consta de dos cilindros metálicos conductores concéntricos, separados entre sí, de tal forma que al conectarse a una batería cada uno de los cilindros se carga conforme a la polaridad de las terminales de la batería, generándose un campo eléctrico entre los cilindros, cuyo sentido va del cilindro positivo al negativo (figura 7.4). Figura 7.4: Diagrama esquemático de un capacitor cilíndrico. De la ley de Gauss, siendo el área lateral del cilindro 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿, 𝐸= Con el potencial entre los cilindros 𝑞 𝜖0 2𝜋𝑟𝐿 𝑏 𝑉 = ∫ 𝐸 𝑑𝑟 = ∫ 𝑎 𝑞 𝑑𝑟 𝑞 𝑏 = 𝑙𝑛 ( ) 2𝜋𝜖0 𝐿 𝑟 2𝜋𝜖0 𝐿 𝑎 Reemplazando en (7.1) 𝐶= 𝐶= 2𝜋𝜖0 𝐿 𝑏 𝑎 𝑙𝑛( ) 𝑞 = 𝑉 𝑞 𝑞 𝑏 2𝜋𝜖0 𝐿 𝑙𝑛 (𝑎) (7.3) 3. Capacitor esférico. Es un dispositivo constituido por dos esferas metálicas conductoras concéntricas, colocadas de tal manera que no hay contacto eléctrico entre ellas. Cuando estas esferas se conectan a un potencial eléctrico, como el que suministra una batería, entonces las dos esferas se cargan conforme a la polaridad de la batería, generando un campo eléctrico entre las dos esferas (figura 7.5). Figura 7.5: Diagrama esquemático de un capacitor esférico 1 De la ley de Gauss, siendo el área de la esfera 𝐴 = 2𝜋𝑟 2 , 𝐸 = 4𝜋𝜖 𝑞 0 𝑟2 , se tiene 𝑟𝑏 𝑞 𝑑𝑟 𝑞 1 1 𝑞 𝑟𝑏 −𝑟𝑎 𝑉 = ∫ 𝐸 𝑑𝑟 = ∫ = ( − ) = 4𝜋𝜖0 𝑟𝑎 𝑟 2 4𝜋𝜖0 𝑟𝑏 𝑟𝑎 4𝜋𝜖0 𝑟𝑎 𝑟𝑏 Que al reemplazar en (7.1) 𝐶= 𝐶= 4𝜋𝜖0 𝑟𝑎 𝑟𝑏 𝑟𝑏 −𝑟𝑎 𝑞 = 𝑉 𝑞 𝑞 𝑟𝑏 −𝑟𝑎 4𝜋𝜖0 𝑟𝑎 𝑟𝑏 (7.4) 4. Esfera conductora eléctrica. 1 El potencial eléctrico de la esfera está dado por 𝑉 = 4𝜋𝜖 𝐶= 𝑞 1 𝑞 4𝜋𝜖0 𝑅 𝑞 0 𝑅 , por lo que su capacitancia será 𝐶 = 4𝜋𝜖0 𝑅 (7.5) Como puede verse de las ecuaciones (7.2), (7.3), (7.4) y (7.5) la capacitancia de los dispositivos estudiados solo depende de su geometría. A partir de la expresión (7.5) se puede hacer una estimación de lo que realmente implicaría una capacitancia de 1 faradio. Para ello, despejando el radio de la expresión con 𝐶 = 1𝐹 𝑅= 𝐶 1𝐹 = = 8.99 × 109 𝑚 4𝜋𝜖0 4𝜋 × (8.85 × 10−12 𝐶 2⁄ 𝑁𝑚2 ) Que al compararse con el radio de la Tierra, que es 6.371 × 106 m, sería unas 1411.36 veces mayor. ¡Imagínate una esfera conductora 1411.36 veces más grande que nuestro planeta! Capacitor con un dieléctrico Los capacitores que se han estado considerando tienen aire o vacío entre las placas, pero, los capacitores en realidad cuentan con un material aislante, denominado dieléctrico. Dicho material tiene básicamente cuatro funciones (Bauer, 2011): a. Mantiene la separación entre las placas. b. Aísla eléctricamente las dos placas. c. Permite que el capacitor mantenga una diferencia de potencial más alta que si entre las placas hubiera aire. Se define la rigidez dieléctrica como el valor límite de intensidad de campo eléctrico (o de voltaje) que puede soportar el material aislante o dieléctrico sin que se pierdan sus propiedades eléctricas. Cada material tiene su propio valor de rigidez dieléctrica. Se conoce como ruptura del dieléctrico al hecho de que cuando un dieléctrico se somete a un campo eléctrico suficientemente intenso se llega a convertir en un conductor. d. Aumenta la capacidad del capacitor, cuya explicación se halla en razón de la estructura atómica de l materia del dieléctrico. Funcionamiento de un capacitor con dieléctrico: al aplicar una diferencia de potencial eléctrico entre sus placas conductoras eléctricas (figura 7.6), los electrones más débilmente ataos al átomo se polarizan en sentido contrario de la carga eléctrica de las placas, de tal manera que al moverse los electrones de los átomos del material dieléctrico estos dejan huecos, lo que provoca que los átomos queden cargados positivamente; así, esta orientación de las cargas negativas hacia la placa cargada positivamente genera un campo eléctrico, 𝐸𝑝 , entre las placas del capacitor. La magnitud del campo eléctrico de las placas es mucho mayor que el campo eléctrico del dieléctrico 𝐸𝑑 . Así el campo eléctrico total 𝐸 es 𝐸 = 𝐸𝑝 − 𝐸𝑑 . Figura 7.6: Diagrama esquemático de un capacitor con dieléctrico. Fuente: Vega y Vega (2012, pág. 82). Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo tiempo que la carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquellas disminuye en un factor 𝐾. Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe disminuir en el mismo factor. Si 𝐸0 es el valor con vacío y 𝐸 es el valor con dieléctrico, entonces 𝐸= 𝐸𝑜 𝐾 (7.6) La constante 𝐾 determina la calidad de los materiales utilizados como dieléctricos y se conoce como constante dieléctrica del material, que es una cantidad sin unidades. En la tabla siguiente se indica el valor de la rigidez dieléctrica y de la constante dieléctrica de los materiales utilizados con mayor frecuencia en la fabricación de los capacitores. Rigidez dieléctrica (N/C) 16 3 16 Material Constante dieléctrica 7 1.006 4 Baquelita Aire seco a 1 atm Aceite de transformador 200 5 Mica 51 2 Papel parafinado 28 3 Plástico 250 9 Plástico de nitrocelulosa 59 2 Teflón 118 7.5 Vidrio Tabla 7.1: Rigidez y constantes dieléctrica de algunos materiales. La capacitancia cuando hay un dieléctrico presente está dada por 𝐴 𝐴 𝐶 = 𝐾𝐶0 = 𝐾𝜖0 𝑑 = 𝜖 𝑑 (7.7) Donde la permitividad del dieléctrico es 𝜖 = 𝐾𝜖0 (7.8) La ecuación (7.7) muestra que es posible obtener capacitancias muy elevadas con las placas que tienen una gran área superficial y están separadas una pequeña distancia por un dieléctrico con un valor elevado de 𝐾. Energía almacenada por un capacitor Cuando las placas de un capacitor se cargan eléctricamente entonces se genera un campo eléctrico estático entre ellas; tal fenómeno provoca que se almacene energía potencial eléctrica en el capacitor, que es una medida de la cantidad de trabajo requerido para cargarlo. Así que para determinar la cantidad de energía almacenada en un capacitor se calcula el trabajo que se hace para cargarlo. Sean 𝑞 y 𝑣 la carga y la diferencia de potencial, respectivamente, en una etapa intermedia del proceso de carga, entonces, 𝑣 = 𝑞/𝐶. En esta etapa, el trabajo 𝑑𝑊 requerido para transferir un elemento adicional de carga 𝑑𝑞 es 𝑑𝑊 = 𝑣 𝑑𝑞 = 𝑞 𝑑𝑞 𝐶 El trabajo total 𝑊 necesario para incrementar la carga 𝑞 del capacitor, de cero a un valor 𝑄, es 𝑄 𝑄2 𝑄 1 𝑊 = ∫0 𝑑𝑊 = 𝐶 ∫0 𝑞 𝑑𝑞 = 2𝐶 (7.9) El trabajo invertido al cargar el capacitor se presenta como una energía potencial eléctrica 𝑈 almacenada en el mismo. Mediante la ecuación (7.1) se tiene 𝑄2 𝑈 = 2𝐶 = (𝑣 𝐶)2 2𝐶 = 𝐶 𝑣2 2 Y 𝑄2 𝑄2 𝑈 = 2𝐶 = 2 (𝑄/𝑣) = 𝑄𝑣 2 Así, la energía almacenada en un capacitor está dada por 𝑈= 𝑄2 2𝐶 = 𝐶 𝑣2 2 = 𝑄𝑣 2 (7.10) Cuando 𝑄 está en Coulombs, 𝐶 en faradios y 𝑉 en voltios, 𝑈 se expresa en joules. Las ecuaciones (7.9) y (7.10) plantean que la capacitancia mide la propiedad de un capacitor para almacenar tanto energía como carga. Es posible considerar la energía como si estuviera almacenada en el campo eléctrico, en la región entre las placas, para lo cual es necesario considerar la energía por unidad de volumen en el espacio entre las placas paralelas de un capacitor con área 𝐴 y separación 𝑑. Tal cantidad se denomina densidad de energía (𝑢). 1 𝐶𝑉 2 𝑢 = 2𝐴𝑑 Siendo 𝐶 = 𝜖0 𝐴/𝑑 y 𝑉 = 𝐸𝑑, se tiene después de cancelar algunas variables, 𝑢= 1 𝐶𝑉 2 2 𝐴𝑑 = 1 𝜖0 𝐴 ( )(𝐸𝑑)2 2 𝑑 𝐴𝑑 1 = 2 𝜖0 𝐸 2 (7.11) Esta relación es válida para todo tipo de capacitor, aunque fue obtenida para uno de placas paralelas, para cualquier configuración de campo eléctrico en el vacío. Este resultado implica que el espacio vacío no lo es en absoluto, porque puede contener campos eléctricos y, por lo tanto, energía. LECCIÓN NÚMERO 8 INTRODUCCIÓN CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS II Capacitores en paralelo y en serie Cuando hay alguna combinación de capacitores en un circuito, algunas veces se hace necesario reemplazarlos por uno equivalente, logrando simplificarse el circuito. 1. Capacitores en paralelo. La figura 8.1 muestra un circuito eléctrico en el que se conectan tres capacitores en paralelo a una batería 𝐵. Para que se hallen en paralelo se debe conectar las terminales positivas de todos los capacitores al mismo punto o terminal positiva de la batería, al mismo tiempo que también se realiza la conexión de todas las terminales negativas de los capacitores a otro punto o terminales negativas de la batería. Figura 8.1: (a) Tres capacitores conectados en paralelo a la batería 𝐵. La batería mantiene una diferencia de potencial entre los terminales. (b) El capacitor equivalente, con capacitancia 𝐶𝑒𝑞 , reemplaza la combinación en paralelo. Fuente: Walker (2014), pág. 724. En la conexión en paralelo de capacitores se cumplen las siguientes características: a. El voltaje es el mismo en todos los capacitores: 𝑉𝐶1 = 𝑉𝐶2 = 𝑉𝐶3 = ⋯ = 𝑉𝐶𝑛 b. La carga eléctrica es diferente para cada capacitor, por tanto la carga total es la suma de las cargas parciales: 𝑞𝑇 = 𝑞𝐶1 + 𝑞𝐶2 + 𝑞𝐶3 + ⋯ + 𝑞𝐶𝑛 c. A partir de (7.1) y de la última expresión se tiene 𝐶𝑒𝑞 𝑉𝑇 = 𝐶1 𝑉𝐶1 + 𝐶2 𝑉𝐶2 + 𝐶3 𝑉𝐶3 + … + 𝐶𝑛 𝑉𝐶𝑛 Teniendo en cuenta la característica (a), cancelo los voltajes en esta última expresión y se tiene la capacidad total del circuito 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + … + 𝐶𝑛 (8.1) 2. Capacitores en serie. Consiste en conectar la terminal negativa del primer capacitor a la terminal positiva del segundo capacitor y así sucesivamente hasta el último capacitor, de tal manera que la terminal positiva del primer capacitor y la terminal negativa del último capacitor se conecten a las terminales positiva y negativa, respectivamente, de la fuente de voltaje o batería (figura 8.2). Figura 8.2: Tres capacitores conectados en serie a la batería 𝐵. La batería mantiene una diferencia de potencial entre los terminales. El capacitor equivalente, con capacitancia 𝐶𝑒𝑞 , reemplaza la combinación en serie. Fuente: Walker (2014), pág. 725. En la conexión en serie de capacitores las características son: a. El voltaje se divide entre los capacitores: 𝑉𝑇 = 𝑉𝐶1 + 𝑉𝐶2 + 𝑉𝐶3 + ⋯ + 𝑉𝐶𝑛 b. La carga eléctrica es la misma en todos los capacitores: 𝑞𝐶1 = 𝑞𝐶2 = 𝑞𝐶3 = ⋯ = 𝑞𝐶𝑛 c. A partir de (7.1) y de la expresión del literal (a) se tiene 1 1 1 1 1 = 𝐶 + 𝐶 + 𝐶 + ⋯ + 𝐶 (8.2) 𝐶 𝑒𝑞 1 2 3 𝑛 3. Conexión mixta. Consiste en la combinación en serie y en paralelo en el mismo arreglo o circuito de capacitores. No hay una fórmula única de determinar la capacidad total del capacitor equivalente, así como las características eléctricas de carga y de voltaje para cada capacitor de una conexión mixta, por lo que el circuito se analiza por partes según corresponda a la porción del mismo que se esté analizando. Pero recuerda, siempre hay que iniciar por calcular la capacidad total del circuito y la carga total en el mismo, a partir de la relación (7.1), para después irse devolviendo en los pasos que ya diste hacia la reducción inicial, teniendo en cuenta las características de los circuitos en serie y paralelo antes enunciadas. LECCIÓN NÚMERO 9 INTRODUCCIÓN Ahora inicia una nueva parte del curso, en la cual se abandonan las cargas eléctricas en reposo, y se estudian las que se hallan en movimiento – la corriente eléctrica - y las consecuencias de tal fenomenología, como lo es las propiedades de la materia cuando por ella circulan cargas eléctricas, llegando así al concepto de resistencia eléctrica. Y con estos dos nuevos conceptos (corriente y resistencia eléctricas) se da pasa al análisis de circuitos eléctricos. CORRIENTE, RESISTENCIA Y FUERZA ELECTROMOTRIZ Corriente eléctrica Aunque una corriente se entiende como un chorro de cargas en movimiento, no todas las cargas en movimiento constituyen una corriente eléctrica. Para que haya una corriente a través de una superficie, debe haber un flujo neto a través de dicha superficie. Veamos, Los electrones libres en un alambre de cobre aislado se hallan en movimiento aleatorio. Si se pasa una superficie plana hipotética por tal alambre, los electrones se mueven en ambas direcciones. El modelo clásico de un metal lo representa como un arreglo tridimensional de átomos o iones con un gran número de electrones libres para moverse por el metal. En ausencia de campos eléctricos la rapidez promedio de tales electrones es bastante alta, que se determina a partir de ⟨𝑣⟩ = √ 8𝑘𝑇 (9.1) 𝜋𝑚𝑒 En esta expresión: 𝑘 = 1.38 × 10−23 𝐽/𝐾, 𝑚𝑒 = 9.11 × 10−31 𝑘𝑔; 𝑇 es la temperatura del medio. Así, por ejemplo, para 𝑇 = 300 𝐾 (ejemplo tomado de Tipler & LLewellyn; pág. 438) ⟨𝑣⟩ = √ 8𝑘𝑇 𝜋𝑚𝑒 8 (1.38×10−23 𝐽/𝐾)(300 𝐾) =√ 𝜋 (9.11×10−31 𝑘𝑔) = 1.08 × 105 𝑚/𝑠 Se llama corriente eléctrica al flujo de electrones dentro de un conductor eléctrico, como los metales. Este fenómeno es posible cuando se conecta el conductor a una fuente de energía o potencial eléctrico, lo que provoca una diferencia de potencial entre los extremos del conductor. La intensidad de corriente eléctrica se define en función de la carga que pasa a través de un conductor en función del tiempo. Matemáticamente se define por 𝐼= 𝑁𝑒 𝑡 (9.2) Donde: 𝑁 es el número de electrones (sin unidades); 𝑒 es la carga fundamental (en coulombs); 𝑡 el tiempo (en segundos); 𝐼 la intensidad de corriente (en ampere). Cuando se requiere analizar circuitos eléctricos es necesario determinar el sentido de la corriente eléctrica. Pero se debe tener en cuenta la existencia de dos sentidos (Vega y Vega, pág. 103): Sentido verdadero: el fenómeno de la corriente eléctrica se debe al flujo de electrones dentro de un campo eléctrico, desde un punto de menor potencial a uno de mayor potencial eléctrico (figura 9.1). Figura 9.1 Figura 9.2 Sentido convencional: por acuerdo internacional se determinó que el sentido de la corriente eléctrica será de un punto de mayor potencial a uno de menor potencial eléctrico; es decir, de más a menos. Viene a ser el sentido contrario al del flujo de los electrones, o sea se toma como el del flujo de cargas positivas (figura 9.2). Definición formal de corriente eléctrica: si la carga 𝑑𝑞 pasa a través de un plano hipotético en un tiempo 𝑑𝑡, la corriente a través de ese plano se define por 𝐼= 𝑑𝑞 𝑑𝑡 (9.3) La unidad en SI para la corriente es el coulomb por segundo, o ampere (A): 1 𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒 = 1𝐴 = 1𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 = 1𝐶/𝑠 Densidad de corriente El tema de interés es la corriente en un conductor particular. Otras veces importa el estudio del flujo de carga a través de una sección transversal del conductor por un punto particular. Para describir tal flujo hay que introducir el concepto de densidad de corriente 𝐽⃗, que tiene la misma dirección que la velocidad de las cargas en movimiento si son positivas y dirección opuesta si son negativas. Para cada elemento de sección transversal la magnitud 𝐽 es igual a la corriente por unidad de área como 𝐽⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗, donde 𝑑𝐴⃗ es el vector área del elemento, perpendicular al elemento. La corriente total a través de la superficie es 𝐼 = ∫ 𝐽⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ (9.4) Si la corriente es uniforme a través de la superficie y paralela a 𝑑𝐴⃗, luego 𝐽⃗ también es uniforme y paralelo a 𝑑𝐴⃗. La ecuación (9.4) queda 𝐼 = ∫ 𝐽 𝑑𝐴 = 𝐽 ∫ 𝑑𝐴 = 𝐽𝐴 𝐼 𝐽=𝐴 (9.5) Donde 𝐴 es el área total de la superficie. De las ecuaciones (9.4) y (9.5) se ve que las unidades en SI para la densidad de corriente es A/m2. Cuando un conductor no tiene una corriente a través de él es porque no hay un movimiento neto en alguna dirección cuando el conductor tiene una corriente a través de él, los electrones se mueven aleatoriamente, pero ahora tienden a ir a la deriva con una rapidez de deriva 𝑣𝑑 en dirección opuesta a la del campo eléctrico aplicado que causa la corriente. Tal velocidad es pequeña comparada con las rapideces del movimiento aleatorio. La figura 9.3 ayuda a entender esta velocidad: las cargas positivas llevan una velocidad 𝑣𝑑 en la dirección del campo eléctrico aplicado. Por convención, la dirección de la densidad de corriente y el sentido de la corriente se dibujan en la misma dirección. Figura 9.3: velocidad de deriva. Fuente: Walker, pág. 749. Supongamos que todas estas cargas se mueven con la misma velocidad 𝑣𝑑 y que la densidad de corriente es uniforme a través del área 𝐴 de la sección transversal del alambre. El número de transportadores de corriente en una longitud 𝐿 del alambre es 𝑛𝐴𝐿, donde 𝑛 es el número de transportadores por unidad de volumen. La carga total de los transportadores en la longitud 𝐿, cada una con carga 𝑒, es 𝑞 = (𝑛𝐴𝐿)𝑒 Ya que los transportadores se mueven a lo largo del alambre con rapidez 𝑣𝑑 , esta carga total se mueve a través de cualquier sección superficial del alambre en el intervalo de tiempo 𝑡= 𝐿 𝑣𝑑 Usando las ecuaciones 9.3 y las dos últimas se tiene 𝐼= 𝑞 𝑡 = 𝑛𝐴𝑒𝐿 𝐿/𝑣𝑑 = 𝑛𝐴𝑒𝑣𝑑 (9.6) De donde 𝑣𝑑 = 𝐼 𝐽 = 𝑛𝐴𝑒 𝑛𝑒 En forma vectorial 𝐽⃗ = (𝑛𝑒)𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑 (9.7) Si 𝑞 es positiva, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑑 tiene la misma dirección que 𝐸⃗⃗ ; si 𝑞 es negativa, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑑 es opuesta a 𝐸⃗⃗ . En general, un conductor puede contener varias clases diferentes de partículas cargadas en movimiento 𝑞1 , 𝑞2 , …, concentraciones 𝑛1 , 𝑛2 , … y velocidades de arrastre con magnitudes 𝑣𝑑1 , 𝑣𝑑2 , … Un ejemplo es el flujo de corriente en una solución iónica. En una solución de sulfato de cobre, la corriente es transportada tanto por los iones positivos de cobre (𝐶𝑢2+ ), como por los iones negativos del ion sulfato (𝑆𝑂4 2− ); la corriente total se encuentra sumando las corrientes debidas a cada clase de partícula con carga mediante la ecuación 9.6. También la densidad de corriente se obtiene con la ecuación 9.7 para cada tipoi de partícula con carga y al sumar los resultados. Resistencia y resistividad La densidad de corriente en un conductor depende del campo eléctrico aplicado, a través de la batería, y de las propiedades del material. Para ciertos materiales, sobre todo los metálicos, a una temperatura dada, 𝐽⃗ es casi directamente proporcional a 𝐸⃗⃗ , y la razón de las magnitudes de 𝐸 y 𝐽 es constante. Esta relación, llamada ley de Ohm, fue descubierta en 1826 por el físico Georg Simon Ohm (1787 - 1854). Pero hay que tener en cuenta que tal ley no merece ser llamada como tal porque no es generalizada, sino que se cumple solo para algunos materiales. Entonces se tiene 𝐸 = 𝜌𝐽 (9.8) Donde 𝜌 es la constante de proporcionalidad que se conoce como resistividad del material. De la ecuación (9.8) se ve que cuanto mayor sea la resistividad, mayor será el campo necesario para causar una densidad de corriente determinada. También de esta ecuación se 𝑉 ve que las unidades de 𝜌 son (V/m)/(A/m2) = V. m/A. Siendo 1 𝐴 conocido como un ohm (1Ω), así las unidades de las resistividad son Ω ∙ 𝑚. La tabla 9.1 presenta los valores de algunas resistividades para diferentes materiales. Un conductor perfecto tendrá resistividad cero, y un aislante perfecto tendrá resistividad infinita. Tabla 9.1: Resistividades para diversos materiales. Fuente: Serway (2009), pág. 758. El recíproco de la resistividad es la conductividad. 1 𝜌=𝜎 (9.9) Sus unidades son (Ω ∙ 𝑚)−1. Considérese un trozo de alambre de longitud y área de sección transversal 𝑙 y 𝐴, respectivamente, como se ve en la figura 9.4. Entre los extremos se mantiene una diferencia de potencial ∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 , dando origen a una corriente. La relación entre la diferencia e potencial y el campo que se genera es ∆𝑉 = 𝐸𝑙 Y la densidad de corriente será ∆𝑉 𝐽 = 𝜎𝐸 = 𝜎 ( ) 𝑙 Y siendo 𝐽 = 𝐼/𝐴 se tiene ∆𝑉 = 𝑙 𝑙 𝐽 = ( ) 𝐼 = 𝑅𝐼 𝜎 𝜎𝐴 Figura 9.4: Conductor uniforme de corriente. Fuente: Serway (2009), pág. 756. La cantidad definida por 𝑅 = 𝑙/𝜎𝐴 se conoce como la resistencia del material que se define mediante la relación entre la diferencia de potencial y la corriente eléctrica: 𝑹= ∆𝑽 𝑰 (9.10) Con unidad de medida el ohm (Ω): 1Ω = 1 𝑉 𝐴 En función de la resistividad del material, entonces, la resistencia eléctrica es 𝑙 𝑅 = 𝜌𝐴 (9.11) Siendo: 𝑙: longitud ene metros 𝐴: área de sección transversal en m2. 𝜌: resitividad en Ω ∙ 𝑚. 𝑅: resistencia del material en ohm. Efecto de la temperatura sobre la resistividad La resistividad de un conductor metálico generalmente se incrementa con el aumento de la temperatura, y esto se debe a que al aumentar la temperatura del material conductor, sus partículas componentes se mueven más a prisa y esto favorece “colisiones” entre éstas y las partículas conductoras de carga propiamente (electrones). De tal manera que la relación es aproximadamente directa (figura 9.5). Figura 9.5: Efecto de la temperatura sobre la resistividad. Fuente: tomada de galería de imágenes de Google. Y la relación matemática es 𝜌(𝑇) = 𝜌0 [1 + 𝛼(𝑇 − 𝑇0 )] (9.12) siendo 𝜌0 la resistividad a una temperatura de referencia 𝑇0 y 𝜌(𝑇) es la resistividad a la temperatura 𝑇. El factor 𝛼 se llama coeficiente de temperatura de la resistividad y es una constante para cada material (Tabla 9.1). LECCIÓN NÚMERO 10 INTRODUCCIÓN EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE REPASO II LECCIÓN NÚMERO 11 INTRODUCCIÓN CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA I Fuerza electromotriz Para que una corriente fluya por un conductor, es necesaria una diferencia de potencial a través del resistor. Esta diferencia de potencial, suministrada generalmente por una batería, se denomina fuerza electromotriz (fem). Hay que tener en cuenta que la fem no hace referencia a una fuerza, sino una diferencia de potencial. Así, a la batería se le conoce como fuente de fem y actúa como una “bomba para las cargas” (Serway, 2009). Pero no solo las baterías son fuentes de fem, también los son los generadores eléctricos, las celdas de combustión y las celdas solares. Las baterías producen fem por medio de reacciones químicas. Los generadores eléctricos crean fem a partir de movimiento mecánico. Las celdas de combustión son dispositivos en los que se oxida un combustible dentro de una celda electroquímica para producir electricidad. Las celdas solares convierten energía luminosa del Sol en energía eléctrica. Ley de Ohm El físico Georg Simon Ohm realizó varios experimentos para observar los efectos provocados por la resistencia eléctrica, con respecto a la intensidad de la corriente eléctrica que fluía a través de la propia resistencia, cuando a sus extremos se les aplicaba una fem. De los resultados de sus experimentos, Ohm obtuvo las siguientes conclusiones (Figura 11.1): a) Para una resistencia constante y una diferencia de potencial variable, la corriente es directamente proporcional a la diferencia de potencial. b) Si se mantiene constante la diferencia de potencial, pero se varía el valor de la resistencia, se encontró con que la intensidad de la corriente eléctrica es inversamente proporcional a la resistencia. Estas conclusiones se resumen en la ecuación: 𝑰= ∆𝑽 𝑹 (11.1) Figura 11.1: Representación gráfica de la ley de Ohm. Resistor eléctrico Es un dispositivo eléctrico fabricado para introducir una resistencia eléctrica determinada entre dos puntos de un circuito. Tipos de resistores: Resistor de composición: Se caracteriza porque su resistencia está impresa en el cuerpo del resistor mediante franjas de colores, las cuales se leen mediante un código de colores. Las primeras dos bandas de colores (comenzando por la más próxima al extremo) son dígitos, y la tercera es una potencia de 10 por la que se multiplica, y al haber una tercera franja esta indica la tolerancia. Por ejemplo, el naranja - amarillo – rojo – dorado, significa: Naranja Amarillo Rojo (3) (4) (x 100) Dorado (±5%) 3400 Ω ± 5% Figura 11.2: Código de colores. Resistor de alambre enrollado: Este tipo de resistor consta de una bobina de alambre. Energía y potencia en circuitos eléctricos En los circuitos eléctricos es frecuente reconocer la rapidez con la que la energía se entrega a un elemento del circuito o se extrae de él. Para ello considere un circuito simple en el que la fuente de fem ∆𝑉 origina una corriente 𝐼. El trabajo requerido por la fuente de fem para mover una cantidad diferencial de carga, 𝑑𝑞, de la terminal negativa a la positiva es igual al incremento en energía potencial eléctrica de la carga, 𝑑𝑈: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑞 ∆𝑉 Teniendo en cuenta la definición de intensidad de corriente eléctrica 𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡, tenemos 𝑑𝑈 = 𝐼𝑑𝑡 ∆𝑉 Y usando la definición de potencia, 𝑃 = 𝑑𝑈/𝑑𝑡 𝑃= 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = 𝐼𝑑𝑡 ∆𝑉 𝑑𝑡 = 𝐼 ∆𝑉 (11.2) Por conservación de la energía, esta potencia, suministrada por la fuente, es igual a la potencia disipada en un circuito que contiene un resistor. La ley de Ohm permite obtener 𝑷 = 𝑰 ∆𝑽 = 𝑰𝟐 𝑹 = (∆𝑽)𝟐 𝑹 (11.3) La unidad de potencia es el watt (W): 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜 × 𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 = 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 × = = 𝑤𝑎𝑡𝑡 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 La potencia determinada por las últimas dos expresiones en (11.3) se denomina calentamiento Joule o efecto Joule. La mayor parte de la energía disipada en los resistores se convierte en calor y esto se debe al choque de los electrones con los átomos por donde circula. Resistencias en serie y en paralelo Los resistores se encuentran en toda clase de circuitos, y es común que haya varios de estos dispositivos en cada circuito, razón por la cual resulta adecuado considerarlos en combinaciones. Conexión de resistores en serie Se llama así a la conexión de dos o más resistores, donde una de las terminales del primer resistor se conecta la terminal positiva de la fuente y la otra terminal se conecta a una delas terminales del segundo resistor; i.e. una a continuación de la otra, mientras que el último resistor se conecta a la terminal negativa de la fuente, como se ve en la figura 11.3. Figura 11.3: Conexión de resistores en serie. Fuente: Vega y Vega (2012), pág. 130. En una combinación de resistores en serie se cumplen las siguientes características (Vega Vega, pág. 131): a) En el circuito solo hay una trayectoria para la corriente, por lo que en todos los resistores del arreglo circula la misma corriente. 𝐼𝑇 = 𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼3 = ⋯ = 𝐼𝑛 (11.4) b) El resistor equivalente o total es aquel que sustituye al conjunto de resistores y provoca el mismo efecto que todos juntos. c) El voltaje total de la batería se distribuye o se divide entre todos los resistores, por tanto el voltaje total de un arreglo de resistores se obtiene mediante la suma de las caídas de potencial o voltaje en cada uno de los resistores: 𝑉𝑇 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + ⋯ + 𝑉𝑛 (11.5) A partir de (11.4) y (11.5) y utilizando la ley de Ohm en la forma (11.1), se llega a la expresión para la resistencia equivalente o total: 𝑹𝑻 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 + ⋯ + 𝑹𝒏 (11.6) La resistencia equivalente de cualquier número de resistores en serie es igual la suma de sus resistencias individuales. La resistencia equivalente es mayor que cualquiera de las resistencias individuales. Conexión de resistores en paralelo Una conexión en paralelo consiste en la conexión de una de las terminales de todos los resistores a la terminal positiva de la batería, al tiempo que se realiza la conexión de la otra terminal de todos los resistores a la terminal negativa de la betería. Figura 11.4. Figura 11.4: Conexión de resistores en paralelo. Fuente: Vega y Vega (2012), pág. 132. Siendo que las características de este tipo de arreglo son: a) El voltaje en cada uno de los resistores es el mismo, debido a que todos están conectados a la misma fuente: 𝑉𝑇 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3 = ⋯ = 𝑉𝑛 (11.7) b) Dado que la corriente total de la batería se divide en cada resistor del circuito, entonces la corriente total se obtiene de la suma de las corrientes de cada resistor: 𝐼𝑇 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + ⋯ + 𝐼𝑛 (11.8) De (11.7) y (11.8), se tiene 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 = + + + ⋯+ 𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑛 Entonces 𝟏 𝑹𝒆𝒒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝑹 + 𝑹 + 𝑹 + ⋯+ 𝑹 𝟏 𝟐 𝟑 𝒏 (11.9) Para cualquier número de resistores en paralelo, el recíproco de la resistencia equivalente es igual la suma de los recíprocos de sus resistencias individuales. La resistencia equivalente siempre es menor que cualquier resistencia individual. Cuando se tienen únicamente dos resistencias en paralelo, resulta útil aplicar 𝑅 𝑅 𝑅𝑇 = 𝑅 1+𝑅2 1 2 (11.10) Conexión mixta de resistores Consiste en una combinación de conexiones en serie y de conexiones en paralelo, en un mismo circuito. Para analizar un arreglo de este tipo requiere utilizar las características ya establecidas por separado de los dos arreglos anteriores. Ver figura 11.5. Figura 11.5. Conexión mixta de resistores. Fuente: Fuente: Vega y Vega (2012), pág. 133. LECCIÓN NÚMERO 12 INTRODUCCIÓN CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA II LECCIÓN NÚMERO 13 INTRODUCCIÓN CAMPO MAGNÉTICO Y FUERAS MAGNÉTICAS LECCIÓN NÚMERO 14 INTRODUCCIÓN FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO, LEY DE AMPERE Y FLUJO MAGNÉTICO LECCIÓN NÚMERO 15 INTRODUCCIÓN INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA E INDUCTANCIA LECCIÓN NÚMERO 16 INTRODUCCIÓN EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE REPASO III BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Alonso, M. y Finn, E. (1995). Física. Massachusetts, E.U.A.: Addison – Wesley Iberoamericana. Bauer, W. y Westfall, G. (2011). 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