UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FISICA Asignatura: Física III (Química) Profesor: Jesús M. Calero Q. Taller # 1 (Oscilaciones) Preguntas Teóricas: a) ¿Todo movimiento periódico es Armónico Simple?. b) Qué distancia total recorre en un periodo completo una partícula que oscila con amplitud A?. c) ¿Pueden tener el mismo sentido la aceleración y el desplazamiento (respecto a la posición de equilibrio) de un oscilador armónico simple?. ¿La aceleración y la velocidad?. ¿La velocidad y el desplazamiento?. d) Normalmente se desprecia el efecto de la propia masa del resorte sobre el movimiento de un objeto unido al mismo. Describir cualitativamente su influencia cuando no se desprecia. e) Si se triplica la amplitud de un oscilador armónico simple, ¿en qué factor varía el periodo?, ¿la velocidad máxima?, ¿la aceleración máxima?, ¿la energía?. f) ¿En qué posiciones se hacen iguales las energías cinética y potencial elástica de un cuerpo que describe un MAS?. g) Cuando la elongación de un móvil que describe un MAS es la mitad de la amplitud, ¿qué porcentaje de su energía total corresponde a la energía cinética y qué porcentaje a la potencial elástica?. h) ¿Se atrasará o adelantará un reloj de péndulo llevado de la tierra a la luna?. i) ¿Qué debe hacerse a la longitud de la cuerda de un péndulo simple para duplicar su frecuencia?. ¿Duplicar su periodo?. j) ¿En qué punto del movimiento de un péndulo simple es máxima la tensión en la cuerda?. ¿En qué punto es mínima?. k) Razona si es cierta o falsa la siguiente afirmación: “En el movimiento de un péndulo la componente del peso en la dirección del hilo se contrarresta en todo momento con la tensión de este” l) ¿Cómo varía funcionalmente con el tiempo la energía de un oscilador amortiguado, no forzado?. m) ¿Ocurrirán oscilaciones amortiguadas para cualquier valor de las constantes b y k?. n) La frecuencia con que los perros jadean es la frecuencia natural de su sistema respiratorio. ¿Por qué escogen esa frecuencia?. o) Para un oscilador forzado y amortiguado en resonancia, ¿qué valor toma la constante de fase α en la solución para x(t)?. Problemas: 1. Un cuerpo unido a un resorte horizontal oscila con un periodo T. Si se suspende verticalmente del resorte, ¿en cuánto se alarga el resorte, respecto a su longitud normal, cuando el cuerpo está en equilibrio?. (Rta: y =T 2 g /4 π 2 ). 2. Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza recuperadora. Cuando t = 2 s, la partícula pasa a través del origen, y cuando t = 4 s su velocidad es de 4 m/s. Encontrar la ecuación para su posición en función del tiempo, si el periodo de oscilación es de 16 s. 3. Un resorte de masa despreciable cuelga verticalmente y en su extremo inferior se cuelga, a su vez, un cuerpo de masa desconocida que se suelta desde el reposo. Cae una distancia d antes de que quede en reposo por primera vez. Hallar el periodo del movimiento. (Rta: T =π √ 2 d / g ). 4. Se suspende un cuerpo de masa m del extremo libre de un resorte de masa despreciable que cuelga verticalmente. Demuestre que el periodo de oscilación del sistema es igual que el correspondiente a un resorte horizontal, pero la nueva posición de equilibrio no corresponde a la posición no deformada del resorte. 5. Un bloque de 0.4 kg que está sujeto a un resorte de constante elástica 12 N/m oscila con una amplitud de 8 cm. Determinar (a) la velocidad máxima del bloque, (b) su velocidad y aceleración cuando se encuentra a 4 cm de la posición de equilibrio y (c) el tiempo que tarda en desplazarse de x = 0 a x = 4 cm. (Rta: (a) vM = 0.44 m/s, (b) v = 0.38 m/s y a = 1.2m/s2, (c) t = 0.096 s). 6. El estudio experimental del movimiento armónico simple de una partícula de 250 g se hace tomando t = 0 en el instante en que pasa la partícula por el punto de equilibrio y en el sentido de elongación negativa a positiva. Si su periodo es de 1.0 s, y el valor máximo de la fuerza que produce el movimiento es 25 N, determinar la función que describe la posición x de la partícula en función del tiempo t. 7. Una partícula describe un movimiento armónico simple con amplitud A. Si la posición de la partícula en función del tiempo está descrita mediante una función coseno, ¿cuál es la constante de fase α si la posición de la partícula oscilante en el instante t = 0 es: (a) 0, (b) -A, (c) A, (d) A/2?. (Rta: (a) α = π/2, (b) α = π, (c) α = 0, (d) α = π/3). 8. El movimiento de la aguja de una máquina de coser es prácticamente armónico simple. Si su amplitud es de 0.3 cm y su frecuencia de 10 Hz. ¿cuál será la posición, velocidad y aceleración un treintavo de segundo después que pase por el centro de la trayectoria (a) en sentido positivo (o hacia arriba), (b) en sentido negativo (o hacia abajo)?. 9. Una plancha horizontal oscila con movimiento armónico simple de amplitud 5 mm y frecuencia 5 Hz. Calcular el valor mínimo del coeficiente de fricción a fin de que un cuerpo colocado sobre la plancha no resbale cuando esta se mueve. (Rta: µs = 0.50). 10. Una pequeña partícula de masa m se desliza sin rozamiento en el fondo de un cuenco esférico de radio R. (a) Demostrar que para pequeñas oscilaciones alrededor del fondo del cuenco, la partícula describe un M.A.S. Y hallar su periodo. (b) Obtener una expresión para la fuerza normal, ejercida por el cuenco sobre la partícula, en función del desplazamiento angular θ con respecto a la vertical. 11. El péndulo de un reloj tiene un periodo de 2.0 s en un lugar donde la aceleración de la gravedad es 9.8 m/s 2. Si la longitud se aumenta en 1 mm, ¿cuánto se habrá atrasado el reloj después de 24 horas?. (Rta: ∆t = 43.2 s). 12. Una balanza de torsión consiste de un objeto de momento de inercia I que se cuelga del extremo de un hilo. Si se retuerce el hilo, este produce un torque restaurador τ = −κ θ , donde κ es la constante de torsión y θ es el ángulo de deformación. Demostrar que cuando se tuerce el hilo un ángulo pequeño, la frecuencia de las oscilaciones de torsión vale ω = κ I . 13. Un péndulo de longitud L se libera partiendo del reposo desde un ángulo θ0. (a) Suponiendo que el péndulo realiza un movimiento armónico simple, determine su velocidad cuando pasa por la posición θ = 0. (b) Considerando la conservación de la energía, determinar exactamente esta velocidad. (c) Demostrar que los resultados (a) y (b) coinciden cuando θ0 es pequeño. (Rta: (a) v M = √ gL θ 0 , (b) v M = √ 2gL(1cos θ 0 ) ). 14. Un péndulo físico se compone de una lenteja esférica de radio r y masa m colgada de una cuerda de masa despreciable. La distancia desde el centro de la esfera al punto de suspensión es L. (a) Obtenga el periodo para pequeñas oscilaciones de este péndulo. (b) Demuestre que en el caso límite r << L, el periodo se reduce al de un péndulo simple de longitud L. 15. Un péndulo está formado por una varilla rígida de longitud L y masa despreciable, con un pequeño cuerpo de masa m suspendido en su extremo inferior. Un resorte horizontal de constante elástica k está unido por uno de sus extremos al péndulo, a una distancia h por debajo del punto de suspensión ubicado en el extremo superior de la varilla. El otro extremo del resorte está atado a una pared rígida de tal manera que cuando el péndulo está en su posición de equilibrio, el resorte no se encuentra deformado. Determine el periodo con que oscila el sistema para pequeños valores de la amplitud. (Rta: T =2 π (g / L+kh 2 / mL2 )1 /2 ). 16. Una varilla de longitud L oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por un extremo. Un pequeño cuerpo de igual masa que la varilla está situado sobre ella a una distancia h del eje. (a) Obtener el periodo del sistema en función de h y L. (b) ¿Hay algún valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa?. 17. Considere un péndulo físico formado por un cuerpo plano de masa m, que oscila alrededor de un pivote ubicado a una distancia d del centro de masa. Si ICM es el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje que pasa por su centro de masa y es paralelo al eje de rotación que pasa a través del pivote, muestre que: (a) el periodo de oscilación es T =2 π √ ( I CM +md 2 )/ mgd y, (b) el periodo toma su valor mínimo cuando d satisface la condición I CM =md 2 . 18. Un objeto plano tiene un momento de inercia ICM respecto a su centro de masas. Cuando se hace oscilar el objeto alrededor de un punto P1, situado a una distancia h1 del centro de masas, oscila con un periodo T. Existe otro punto P2, al lado opuesto del centro de masas y a una distancia h2 del mismo, respecto al cual el objeto oscila con el mismo periodo T. Demostrar que h1 + h2 = gT 2 4π 2 . 19. Si atamos dos cuerpos de masas m1 y m2 a los dos extremos de un resorte de constante elástica k y los hacemos oscilar, demostrar que la frecuencia de oscilación es ω = k µ , donde µ = m1 m2 (m1 + m2 ) es la masa reducida del sistema. Uno de los modos vibracionales de la molécula de HCl tiene una frecuencia de 8.969×1013 s-1, determinar la constante k de la molécula de HCl. 20. Un oscilador tiene un periodo de 3 s. Su amplitud disminuye en un 5 % durante cada ciclo. (a) ¿Cuál es la constante de amortiguamiento γ. (b) ¿En cuánto disminuye su energía durante cada ciclo?. 21. Un oscilador amortiguado tiene una frecuencia ω que es 10% menor que su frecuencia sin amortiguamiento. ¿En qué factor disminuye su amplitud en cada oscilación?. ¿En qué factor se reduce su energía durante cada oscilación?. (Rta: la amplitud disminuye en un factor e-π aprox. y la energía en un factor e-2π). 22. Demuestre que la rata de cambio temporal de la energía mecánica para un oscilador amortiguado está dada por dE /dt =bv 2 , y por consiguiente es siempre negativa. 23. (a) Verificar por sustitución directa que cuando γ > ω0, la solución de la ecuación de movimiento para un oscilador amortiguado es x= Ae(γ +β)t +Be( γβ)t , donde 2 2 β= √ γ ω0 . Encontrar los valores de A y B si en t = 0, x = x0 y v = 0. (b) Verificar por sustitución directa que para el caso críticamente amortiguado (γ = ω0), la solución de la ecuación de movimiento es x=( A+ Bt ) eγ t . Encontrar A y B si en t = 0, x = x0 y v = 0. 24. Encontrar los valores límites de la amplitud y la diferencia de fase α de un oscilador forzado con amortiguamiento cuando (a) ω >> ω0 y (b) ω << ω0. Recuerde que ω es la frecuencia de la fuerza impulsora. 25. Demostrar que en el oscilador forzado con amortiguamiento, la potencia promedio de la fuerza aplicada es igual a la potencia promedio disipada por amortiguamiento. 26. Escriba la ecuación diferencial de un oscilador armónico no amortiguado al que se le aplica la fuerza F = F0 cos (ω t ) . Verifique que la solución en este caso es x= F0 cos (ω t ) . ¿Qué ocurre con las resonancias en amplitud y energía en m ω 02 − ω 2 ( este caso?. )
