Presentación - Gradientes Uniformes

GRADIENTES
UNIFORMES
1
GRADIENTE UNIFORMES
•
GRADIENTE
Definición:
•
Hay series de flujos de efectivo que aumentan o
disminuyen en una cantidad constante o un
porcentaje. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea
ingreso o desembolso, cambia por la misma
cantidad cada periodo.
La cantidad del
aumento o de la disminución es el gradiente
(G).
Hay dos tipos de gradientes:
- Aritmético (lineal).
- Geométrico (% por periodo).
2
GRADIENTE UNIFORMES
• Un
gradiente aritmético (lineal) cambia en
una cantidad fija en dólares cada periodo.
•Un
gradiente geométrico
porcentaje fijo cada periodo.
cambia
en
un
Se
define una tasa de cambio uniforme
(%) para cada periodo.
Se
define “g ” como la tasa de cambio
constante en forma decimal, en la cual las
cantidades aumentan o disminuyen de un
periodo al siguiente.
3
GRADIENTE ARITMÉTICO
•
•
Al gradiente que aumenta o disminuye en
una cantidad o monto constante (de forma
lineal) durante n periodos se le denomina
gradiente aritmético.
Un gradiente aritmético o lineal siempre está
formado por dos componentes:
1.
El componente gradiente.
2.
El componente anualidad base.
4
GRADIENTE ARITMÉTICO
A1+(n-2)G
Ejemplo:
•
A1+(n-1)G
Suponga lo siguiente:
A1+2G
componente gradiente
A1+G
componente anualidad base
0
1
2
3
n-1
N
Este diagrama de flujo representa un gradiente
aritmético positivo, creciente con una cantidad G.
•El gradiente que empieza entre los años 1 y 2 se le
denomina gradiente convencional.
5
GRADIENTE ARITMÉTICO
Ejemplo:
•
Suponga lo siguiente:
La anualidad base
A = $1,500.00
Gradiente aritmético creciente, negativo con
una cantidad G=$50
6
GRADIENTE ARITMÉTICO
Se observa de los dos ejemplos anteriores lo
siguiente:
• El
monto “G” es el cambio
constante de un periodo al siguiente.
aritmético
• El monto “G” puede ser positivo o negativo.
• El punto del valor presente es siempre
un
periodo a la izquierda del primer flujo de efectivo
de la serie, o dos periodos a la izquierda del primer
flujo de efectivo del gradiente.
7
GRADIENTE ARITMÉTICO
•
Observe sólo el componente del gradiente.
G = “0”
A1+(n-1)G
A1+(n-2)G
A1+2G
componente gradiente
A1+G
A1
0
A1
1
2
3
n-1
n
El gradiente empieza en el año 2.
8
UBICACIÓN DEL VALOR PRESENTE
DEL GRADIENTE
$700
$600
i = dado
$500
$400
$300
$200
$100
X0
1
2
3
4
5
6
7
El punto de valor presente del
gradiente.
El punto de valor presente de un gradiente lineal está siempre:
•
•
Dos (2) periodos a la izquierda del punto “1G” o
Un (1) periodo a la izquierda del primer flujo de efectivo en la serie
del gradiente.
9
UBICACIÓN DEL VALOR PRESENTE
DEL GRADIENTE
$600
El componente gradiente.
$500
$400
$300
$200
$100
$0
X0
1
2
3
4
5
6
7
El punto de valor presente del
gradiente.
El punto de valor presente de un gradiente lineal está siempre:
•
Dos (2) periodos a la izquierda del punto “1G”
10
UBICACIÓN DEL VALOR PRESENTE
DEL GRADIENTE
El componente anualidad base
Anualidad base – A = $100
X0
1
2
3
4
5
6
7
El punto de valor presente del
gradiente.
El punto de valor presente de un gradiente lineal está siempre:
•
Un (1) periodo a la izquierda del primer flujo de efectivo
en la serie del gradiente.
• El VP de la anualidad base está en t = 0; P= A(P/A,i%,n)
• VP
=$100(P/A, i%, 7).
anualidad BASE
11
UBICACIÓN DEL VALOR PRESENTE
DEL GRADIENTE
•
•
•
•
El valor presente de un gradiente lineal es el
valor presente de los dos componentes:
1. El valor presente del componente del
gradiente, más
2. El valor presente del flujo de la anualidad
base.
¡Se requiere dos (2) cálculos diferentes!
El VP de la anualidad base es simplemente la
anualidad base(A) por el factor (P/A, i%, n).
Lo que se necesita es una expresión del valor
presente para el flujo de efectivo del componente
del gradiente.
Tenemos que derivar una expresión de forma
cerrada para el componente del gradiente.
12
FACTOR GRADIENTE DE VALOR PRESENTE (P/G)
Componente del gradiente
“ Se desea hallar el valor presente
de este flujo de efectivo”.
1G
3G
(n-1)G
(n-2)G
2G
0G
.
Determinar el VP en el tiempo t = 0 (2 periodos a la izq. de 1G)
0
1
2
3
4
………..
n-1
=A
n
P = F(P/F,i%,n)
P  G ( P / F , i %, 2)  2G ( P / F , i %, 2)
3  ...
...+ [(n-2)G](P/F,i,n-1)+[(n-1)G])P/F,i,n)
13
FACTOR GRADIENTE DE VALOR PRESENTE (P/G)
El objetivo es hallar una expresión en forma cerrada
para el valor presente de un gradiente aritmético.
Siguiente pasos:
•Extraer el factor G y escribir de nuevo…
3  ...
P  G{( P / F , i %, 2)  2( P / F , i %, 2)
...+ [(n-2)](P/F,i,n-1)+[(n-1)])P/F,i,n)}
•Reemplazar (P/F) con forma cerrada o matemática.
 1
2
n-2
n-1 
P=G 

 ... 

2
3
n-1
n 
(1+i)
(1+i) 
 (1+i) (1+i)
[1]
14
FACTOR GRADIENTE DE VALOR PRESENTE (P/G)
•Multiplicar ambos lados por (1+i) .
1
 1
2
n-2
n-1 
P(1+i) =G 

 ... 

1
2
n-2
n-1  [2]
(1+i)
(1+i) 
 (1+i) (1+i)
1
•Tenemos 2 ecuaciones [1] y [2].
•Reste [1] de [2].
 1
2
n-2
n-1 
P(1+i) =G 

 ... 

1
2
n-2
n-1 
(1+i)
(1+i) 
 (1+i) (1+i)
1
-
 1
2
n-2
n-1 
P=G 

 ... 

2
3
n-1
n 
(1+i)
(1+i) 
 (1+i) (1+i)
15
FACTOR GRADIENTE DE VALOR PRESENTE (P/G)
El factor de valor presente de gradiente
aritmético, o factor P/G para i y N.
G  (1  i ) N  1
N 
P= 

N
N 
i  i (1  i )
(1  i ) 
( P / G, i%, N ) factor
La ecuación es la relación general para convertir un gradiente aritmético G
(sin incluir la cantidad base) para n años en un valor presente en el año 0.
16
FACTOR GRADIENTE DE VALOR PRESENTE (P/G)
Simplificando la ecuación de P/G
(1  i)  iN  1
( P / G, i%, N ) 
2
N
i (1  i)
N
Recuerde, el punto de valor presente de cualquier
gradiente lineal está 2 periodos a la izquierda
del
flujo de efectivo 1-G o 1 periodo a la izquierda del
flujo de efectivo “0-G”.
P=G(P/G,i,n)
•El gradiente empieza en el año 2 y P está ubicado en el año 0.
17
FACTOR GRADIENTE DE SERIE ANUAL (A/G)
•
El factor A/G convierte un gradiente lineal en un
flujo de efectivo de una anualidad equivalente.
La serie anual uniforme equivalente (valorA) de un gradiente
aritmético G se calcula multiplicando el valor presente de la
ecuación P = G(P/G,i,n) por la expresión del factor (A/P,i,n).
A  G( P / G, i, n)( A / P, i, n)
A = G(A/G,i,n)
•Recuerde:
en este punto el cálculo corresponde sólo
al componente del gradiente; por lo que se tiene que
tomar en cuenta la anualidad base.
18
FACTOR GRADIENTE DE SERIE ANUAL (A/G)
•El factor A/G usando P/G con A/P.
A  G( P / G, i, n)( A / P, i, n)
N
 i (1  i ) N 


G
(1

i
)

1
N
AP=


N
N   (1  i ) N  1 
i  i (1  i )
(1  i )  

(P/G,i,n)
(A/P,i,n)
•Simplificando la ecuación de A/G.
AP= G
i
 (1  i ) N  1
N 


N
N 
i
(1

i
)
(1

i
)


A=
 i (1  i ) N 


N
 (1  i )  1 
Nn
1

G 

N
i
(1

i
)

1


La expresión entre
corchetes se denomina
factor de gradiente
aritmético de una serie
uniforme.
19
GRADIENTE ARITMÉTICO
•
•
El valor presente total PT para una serie gradiente
debe considerar por separado la base y el gradiente.
Para series de flujo de
gradientes convencionales:
fectivo
que
impliquen
1.
La cantidad base es la cantidad A de serie
uniforme que empieza en el año 1 y se extiende
hasta el año n. Su valor presente se simboliza con
PA.
2.
Para un gradiente creciente, la cantidad gradiente
debe agregarse a la cantidad de la serie uniforme.
El valor presente es PG.
3.
Para un gradiente decreciente, la cantidad
gradiente debe restarse de la cantidad de la serie
uniforme. El valor presente es -PG.
20
GRADIENTE ARITMÉTICO
•
Ecuaciones generales para calcular el valor
presente total (PT) de los gradientes aritméticos
convencionales.
PT = PA + PG (Gradiente creciente)
PT = PA - PG (Gradiente decreciente)
•
AT = A A + A G
AT = A A – A G
Ecuaciones generales para calcular las series
anuales totales equivalentes (AT) de los
gradientes aritméticos convencionales.
21
Ejemplo (gradiente aritmético creciente
convencional)
•
Considere el siguiente flujo de efectivo. Calcule el
valor presente, si i = 10% al año y n = 5 años.
El monto G = $100/periodo.
PT = ?
$500
$400
$300
$200
$100
0
1
2
3
4
5
Punto del valor presente
22
1 - El componente anualidad base
• La anualidad base es de $100/periodo.
PA = ?
0
A = +$100
1
2
3
4
5
P = A(P/A,i%,n)
VP(10%) de la anualidad base = $100(P/A,10%,5)
= $100(3.7908)
PA = $379.08
Ahora necesitamos calcular el VP del componente del
gradiente (PG) y luego, sumar ese valor a la cantidad de
$379.08.
23
2 - El componente gradiente
$400
i = 10%, N = 5, G = 100
$300
PG = ?
$0
0
1
$100
2
$200
3
4
5
Se requiere el VP del componente del gradiente en t = 0.
P = G(P/G,i%,N)
PG. t = 0 = G(P/G,10%,5) = $100(P/G,10%,5)= 100 (6.8618)
G  (1  i ) N  1
N 
P= 


N
i  i (1  i )
(1  i ) N 
PG = $686.18
24
3 - Resultado final
PT = PA + PG (Gradiente creciente)
• VPComponente anualidad base = $379.08
• VPComponente
gradiente =
$686.18
• VPtotal = $379.08 + $686.18
PT = $1,065.26
$500
$400
$300
$200
$100
0
1
2
3
4
¡Es equivalente a $1,065.26 en el tiempo 0
si la tasa de interés es 10% anual!
5
25
Ejemplo (gradiente desviado decreciente)
• Considere el siguiente flujo de efectivo.
i = 10%
0
1
G = -$50 por periodo
2
3
4
5
6
7
$450
$500
PT = ?
$600
$550
1. Es un gradiente “desviado” negativo, decreciente.
2. El punto VP en el tiempo está en t = 3 (no t = 0).
Se requiere el VP en t = 0. Para ello, primero obtenga el VP en
t = 3 del gradiente; luego, usando el factor P/F calcule la
equivalencia de VP3 en t = 0.
26
1- El componente anualidad base
i = 10%
0
1
2
3
4
5
6
7
$450
$500
PA = ?
$600
$550
Para obtener el VP de la anualidad base
consideraremos un flujo de efectivo de $600 para 3
periodos.
27
VP de la anualidad base
i = 10%
0
1
P=A(P/A,i%,n)
2
3
PA-0=PA-3(P/F,10%,3)
P = F(P/F,i%,n)
4
5
6
7
PA-3 = 600(P/A,10%,4)
PA-3
PA = ?
A = $600
PA-0= [600(P/A,10%,4)](P/F,10%,3)
PA-0=[600(3.1699)](0.7513)
P A = $1,428.93
28
2 – El componente gradiente
VP del componente gradiente: G = +$50.
i = 10%
0
1
P=G(P/G,i%,n)
2
3
P = F(P/F,i%,n)
4
5
6
7
PG-3 = +50(P/G,10%,4)
PG-0=P3(P/F,10%,3)
PG = ?
P3
0G
1G
2G
3G
PG-0 = {50(P/G,10%,4)}(P/F,10%,3)
PG-0 = {50(4.3781)}(0.7513)
PG = $164.46
29
3 - Resultado final
PT = PA - PG (Gradiente decreciente)
• VPAnualidad base = $1,428.93
• VPComponente del gradiente = $164.46
• VPtotal = $1,428.93 -$164.46
PT = $1,264.47
0
1
2
3
4
5
6
7
$450
$500
$600
PT
$550
¡Es equivalente a $1,264.47 en el tiempo 0
si la tasa de interés es 10% anual!
30
Resumiendo
•Un gradiente es un monto o cantidad constante
(fija) que aumenta o disminuye por periodo.
•Existen
dos clases de gradiente aritmético y
geométrico.
•El
gradiente aritmétco
creciente o decreciente.
o
lineal
puede
ser
•El gradiente que empieza entre los periodos 1 y
2 recibe el nombre de gradiente convencional.
•El
punto del valor presente es siempre un
periodo a la izquierda del primer flujo de efectivo
de la serie, o dos periodos a la izquierda del
primer flujo de efectivo del gradiente.
31