Derivaci_n_algebraica

Derivación algebraica
La obtención de las derivadas de las funciones algebraicas a partir de su
definición, en general de todas las funciones, sería algo tedioso y poco práctico.
Por ello se han elaborado una serie de reglas que permiten hacer esto de manera
mecánica.
Funciones trascendentes
En las funciones trascendentes la variable independiente figura como
exponente, o como índice de la ra íz, o se ha lla afectada del signo logaritmo o de
cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial
Sea a un
número
real
positivo.
La
función
que
a
cad a
número
real x le hac e corresp onder la potenc ia a x se llama función expon encial de
base a y exponente x .
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencia l en
base a.
Funciones trigonométricas
La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el va lor de
la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cosen x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
 Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos
puntos cualesquiera del mismo,x1 y x2, con la condición x1  x2, se
verifica que
f( x1 ) < f( x2 ).
Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) <
f(x2).
 Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para
cualesquiera puntos del intervalo, x1 yx2, que cumplan x1  x2,
entonces f(x1 )  f(x2 ).
Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se
dice estrictamente decreciente.
Derivadas de orden superior
La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de
la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el
caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la
derivada se le llama segunda derivada:
Función explicita-implicita
Una fórmula explícita tienen la forma:
Por el contrario una función está en forma implícita si la variable dependiente no esta explicitada
respecto a la variable independiente, expresándose de la forma:
El valo r crítico se designa mediante z
α/2
P(Z>z
α/2]
α/2)
= α/2
P[-z
α/2
< z < z
.
= 1 - α
α es rl nivel de significación .
Un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores.
Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una
porción de recta entre dos valores dados.
Máximos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y
después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo
relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de
creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se
observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a
negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))
Mínimos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y
después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo
relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de
decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se
observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a
positiva. Mín en (b,f(b).
Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que
su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
Una función f es cóncava hacia arriba (o convexa) en un punto a si la gráfica de
la función se queda en un intervalo de centroa por encima de la recta tangente a
la gráfica en (a,f(a)), es decir, si
es la ecuación de la
recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia arriba en el
punto a si
.
Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si es cóncava hacia abajo en
todos los puntos de ese intervalo.
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un
tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda
de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de
ensilladura.