Capítulo 1 Notas de lase Fran is o Lozano La teoría mi roe onómi a no sólo analiza el omportamiento individual de los agentes e onómi os. Una parte de ella intenta mostrar la existen ia de ondi iones bajo las las de isiones tomadas de manera independiente por un grupo de individuos son uales om- patibles y, además, óptimas. Con el n de determinar si es posible la existen ia de tal ompatibilidad, analizaremos las e onomías Arrow Debreu de ompeten ia perfe ta. La ara terísti a prin ipal de este tipo de e onomías radi a en que ningún individuo por sí solo puede inuir sobre los pre ios de las mer an ías; es de ir, los agentes toman los pre ios de omo dados para llevar a abo sus ele iones. Cabe señalar que esta deni ión ompeten ia perfe ta no depende del número de agentes que haya en la e onomía. De a uerdo on esto, si hay un pequeño número de agentes y ellos onsideran que no pueden afe tar los pre ios de las mer an ías existentes, estamos en presen ia de una e onomía perfe tamente es razonable no basta sólo ompetitiva. Sin embargo, si sólo hay unos po os agentes en el mer ado reer que ellos tienen el poder de manipular los pre ios. Según lo anterior, on denir ompeten ia perfe ta tán dados sino que hay que determinar las que este omo una situa ión donde los pre ios es- ondi iones bajo las uales es más probable omportamiento o urra. Por ejemplo, si hay un gran número de agentes, ada uno de ellos podría asumir que es una parte muy pequeña del mer ado y que no tiene la apa idad de alterar los pre ios. Observemos que la arma ión hay un gran número de agentes no es pre isa y, además, lo que se requiere es que ningún agente tenga el poder individual de inuir sobre los pre ios; es de ir, se requiere que insigni ante de la e onomía. Es importante anotar que en ada agente sea una parte ompeten ia perfe ta ningún individuo puede afe tar los pre ios pero tal vez sí lo puede ha er un grupo sustan ial de ellos. Esto nos sugiere que para expresar matemáti amente la no ión de ompeten ia per- fe ta hay que a udir a la teoría de la medida pues, intuitivamente, deberíamos exigir que la medida de ada onjunto formado por un individuo sea ero y que la medida de iertos grupos poderosos (en parti ular, el grupo formado por todos los agentes de la e onomía) 1 2 Universidad Na ional de Colombia 1 sea positiva . Por simpli idad, en las primeras se Arrow-Debreu de apítulo onsideraremos e onomías ompeten ia perfe ta en las que se toman de isiones de hay de isiones de produ onsumo y no ión, y en las que, además, el número tanto de agentes e onómi os omo de mer an ías es nito. En la se primero, las iones de este ión 1, el análisis se on entrará en dos problemas: ondi iones sobre los fundamentales de la e onomía (preferen ias y dota iones ini iales de los onsumidores) bajo las uales existe al menos un equilibrio walrasiano; y segundo, las propiedades de optimalidad de estos equilibrios. Una vez determinadas las asigna iones óptimas, en la se ión 2 abordaremos el problema de sele ión entre estas asigna iones. E onomías Arrow-Debreu de inter ambio puro Re ordemos que la a tividad e onómi a se desarrolla en un período de tiempo laramente estable ido que se divide en fe has y que el espa io en el que esta se desarrolla se divide en lugares. Re ordemos también que una mer an ía Arrow-Debreu es un bien o servi io que está ara terizado por sus propiedades físi as y por la fe ha y el lugar en la que se en uentra disponible y que su pre io es un número real aso iado onsumidores es igual a dos y serán denotados que el onjunto de onsumo de todo A y onsumidor es on ella. El número de B . Supondremos, R2+ , y que ada por simpli idad, onsumidor tiene una fun ión de utilidad que representa a una rela ión `es al menos tan buena omo'. i Cada onsumidor i está dotado on una antidad wl ≥ 0 de la mer an ía l . Por tanto, el i i i ve tor de dota iones ini iales del onsumidor i es w = ( wx , wy ). La antidad total de la A B mer an ía l en la e onomía es denotada por wl = wl + wl . Asumiremos que wl > 0 para i i todo l = X, Y . El objetivo de ada onsumidor es elegir un plan de onsumo ( x , y ) en i i i 2 i i i i su onjunto de presupuesto B ( px , py ) ≡ { ( x , y ) ∈ R+ / px x + py y ≤ px wx + py wy } i i tal que ( x , y ) maximi e la utilidad del onsumidor i. Por simpli idad, asumiremos que las ele iones ra ionales del i-ésimo onsumidor se pueden representar por medio de una i i fun ión de demanda que será denotada por ( x ( px , py ), y ( px , py ) ). Una e onomía Arrow-Debreu de inter ambio puro está denida por Así, esta e onomía está R2+ , uA (·), uB (·), w A , w B ara terizada por los onjuntos de onsumo ompletamente preor- denados por una rela ión de preferen ia y por las dota iones ini iales de los Una e onomía Arrow-Debreu es de ompeten ia perfe ta si todos los onsumidores. onsumidores toman omo dados los pre ios para determinar la ele ión de sus planes de onsumo. Una asig xA , y A , xB , y B es una espe i a ión de un plan de onsumo para ada A B A B onsumidor. Diremos que la asigna ión x es fa tible si x + x = wx y y + y = wy . na ión 1 Para un análisis formal de la no ión de ompeten ia perfe ta, onsultar Kirman ( 1982 ). Notas de 3 lase, Fran is o Lozano Deni ión 1 (Equilibrio walrasiano) Una asigna ión xA∗ , y A∗ , xB ∗ , y B∗ y un ve tor de pre ios p∗ = ( p∗x , p∗y ) forman un equilibrio walrasiano si a) ( xi∗ , y i∗ ) = ( xi ( p∗x , p∗y ), y i ( p∗x , p∗y ) ) i = A, B . y A∗ + y B∗ = wy . ∗ ∗ ∗ Es de ir, la asigna ión xA∗ , y A∗ , xB ∗ , y B∗ y el ve tor de pre ios p = ( px , py ) i∗ i∗ forman un equilibrio walrasiano si para ada i = A, B , ( x , y ) es la ele ión ra ional del A∗ A∗ ∗ ∗ onsumidor i a los pre ios ( px , py ) y la asigna ión x ,y , xB ∗ , y B∗ es fa tible. b) xA∗ + xB ∗ = wx para todo y Deni ión 2 (Fun ión de ex eso de demanda agregada) La fun ión de ex eso de demanda de la e onomía, denotada por denida z : R2++ −→ R2 , está omo z( px , py ) = ( zx ( px , py ), zy ( px , py ) ) = ( xA ( px , py ) + xB ( px , py ) − wx , y A ( px , py ) + y B ( px , py ) − wy ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Por tanto, p = ( px , py ) ≫ 0 es un ve tor de pre ios de equilibrio si y sólo si zx ( px , py ) = 0 ∗ ∗ y zy ( px , py ) = 0. Así, un ve tor de pre ios de equilibrio es una solu ión de un sistema de dos e ua iones. Como es ono ido, la existen ia de un número igual de ine ua iones y de in ógnitas no garantiza que exista un onjunto no-va ío de solu iones. Por ejemplo, la 2 e ua ión x = −1 no tiene solu ión en el onjunto de los números reales. En onse uen ia, Walras ( 1874 ) estaba equivo ado al sugerir que la solu ión del problema de existen ia de un ve tor de pre ios de equilibrio dependía esen ialmente del simple onteo de ine ua iones y de in ógnitas. Hemos visto a lo largo del urso que, para todo tipo de fun iones de utilidad, las fun iones de demanda individual son homogéneas de grado ero en los pre ios. Por tanto, z( λpx , λpy ) = ( zx ( λpx , λpy ), zy ( λpx , λpy ) ) = ( xA ( λpx , λpy ) + xB ( λpx , λpy ) − wx , y A ( λpx , λpy ) + y B ( λpx , λpy ) − wy ) = ( xA ( px , py ) + xB ( px , py ) − wx , y A ( px , py ) + y B ( px , py ) − wy ) = z( px , py ) es de ir, la fun ión de ex eso de demanda de la e onomía también es homogénea de ∗ ∗ grado ero en los pre ios. Esta propiedad impli a que ( px , py ) es un ve tor de pre ios de ∗ ∗ equilibrio si y sólo si para todo λ > 0, ( λpx , λpy ) también es un ve tor de pre ios de equilibrio. 4 Universidad Na ional de Colombia De otra parte, los mer ados de las diferentes mer an ías no son independientes entre sí. El siguiente teorema, ono ido omo la ley de Walras, pre isa este he ho. Teorema 1 (Ley de Walras) Si uA (·) y uB (·) son fun iones de utilidad re ientes, enton es px zx ( px , py ) + py zy ( px , py ) = 0 para todo ( px , py ) ≫ 0 . Prueba Sea son ( px , py ) un ve tor de pre ios estri tamente positivo. Como las fun iones de utilidad re ientes, la solu ión del problema de maximiza ión de la utilidad de ada onsumidor agota el presupuesto; es de ir, px xA ( px , py ) + py y A ( px , py ) = px wxA + py wyA y px xB ( px , py ) + py y B ( px , py ) = px wxB + py wyB Sumando estas dos igualdades se tiene que px xA ( px , py ) + xB ( px , py ) + py y A ( px , py ) + y B ( px , py ) = px wx + py wy o, equivalentemente, px zx ( px , py ) + py zy ( px , py ) = 0 ♣ La ley de Walras arma que, para todo ve tor de pre ios, el valor de la demanda agregada es igual al valor de las dota iones ini iales agregadas. De a uerdo Walras no es más que una identidad ontable: si las ele on esto, la ley de iones de todos los onsumidores satisfa en una restri ión de presupuesto, enton es la e onomía también satisfa e una ∗ ∗ , ∗ restri ión de presupuesto. Sea ( px , py ) ≫ 0 tal que zx ( px py ) = 0. De la ley de Walras se , ∗ dedu e que zy ( px py ) = 0; es de ir, si uno de los ex esos de demanda agregada es igual a ero a ierto ve tor de pre ios estri tamente positivo, enton es el otro ex eso de demanda también será igual a ero a esos pre ios. Analizaremos, a lo largo de este los apítulo, el me anismo de pre ios que onsiste en que onsumidores observan una señal públi a que es el ve tor de pre ios de las mer an ías Arrow-Debreu de la e onomía y luego, iales, ada on base en estos pre ios y en sus dota iones ini- onsumidor elige de manera independiente un plan de pro eso maximizador de la utilidad. Así, en este me anismo, los sus ele onsumo utilizando un onsumidores determinan iones basándose solamente en un señal públi a (los pre ios de las mer an ías). Dado que las de isiones de los onsumidores son tomadas independientemente, no es evi- dente que exista un ve tor de pre ios tal que todos los mer ados se va íen. De he ho, omo Notas de 5 lase, Fran is o Lozano lo ilustraremos más adelante, existen e onomías Arrow-Debreu que no poseen equilibrios walrasianos. El problema de existen ia de un equilibrio walrasiano se puede ilustrar de manera relativamente simple para el aso de dos mer an ías. Re ordemos que el ve tor ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ de pre ios ( px , py ) es de equilibrio si zx ( px , py ) = 0 y zy ( px , py ) = 0. La ley de Walras impli a que, a pre ios positivos, si el ex eso de demanda de una mer an ía es igual a ero, también lo será el ex eso de demanda de la otra mer an ía. Por tanto, para determinar si un ve tor de pre ios es de equilibrio basta on igualar a ero el ex eso de demanda agregada de una mer an ía. Además, la homogeneidad de grado ero en los pre ios de la fun ión de ex eso de demanda agregada impli a que esta depende ∗ ∗ iente de pre ios. De a uerdo on esto, el ve tor de pre ios ( px , py ) ∗ zx ppx∗ , 1 = 0; es de ir, si el grá o de esta fun ión orta al eje X en y solamente del o- es de equilibrio si p∗x . Esto se ilustra p∗y en la gura 1. zx px py p∗x p∗y Figura 1 Así, el problema de existen ia de un equilibrio walrasiano en el se redu e a la existen ia de un de alguna de las dos mer an ías aso de dos mer an ías orte del grá o de la fun ión del ex eso de demanda on el eje X. de demanda agregada de la gura 1 no fuera pre ios de equilibrio. El siguiente teorema da Observemos que si la fun ión de ex eso p∗ ontinua en x , no existiría un ve tor de p∗y ondi iones su ientes para la existen ia de un equilibrio del me anismo de pre ios en una e onomía de inter ambio puro. Teorema 2 R2+ , uA (·), uB (·), w A , w B una e onomía Arrow-Debreu de inter ambio puro tal que i para todo i = A, B , u (·) es una fun ión de utilidad ontinua, re iente estri ta y uasi∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ón ava estri ta. Enton es existe ( px , py ) ≫ 0 tal que zx ( px , py ) = 0 y zy ( px , py ) = 0. Sea Una prueba de este teorema puede ser onsultada en Mas-Colell, Whinston y Green ( 1995 ). Es importante señalar que el teorema 2 muestra bajo qué ondi iones una e o- nomía Arrow-Debreu tiene un equilibrio pero no muestra si se al anza tal equilibrio. 6 Universidad Na ional de Colombia Ejemplo 1 (No existen ia del equilibrio walrasiano) Consideremos una e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías donde las fun iones de utilidad de los onsumidores A B y uA ( xA , y A ) = xA Las dota iones ini iales son las restri son uB ( xB , y B ) = xB + y w A = ( 1, 0 ) iones de presupuesto de ambos y w B = ( 0, 1 ). 1 yB + 1 Las urvas de indiferen ia y onsumidores se representan en las siguientes guras: yA yB 1 px py Ya que la utilidad que obtiene el que aumenta el onsumo de presupuesto (que es igual a que puede A omprar es py px xA 1 X px ) onsumidor depende solamente de aumenta la utilidad, este al X, y a medida onsumidor destinará todo su onsumo de esa mer an ía. La máxima antidad de X on su presupuesto es igual a 1. Por tanto, la fun ión de demanda de xA ( px , py ), y A ( px , py ) = ( 1, 0 ) Observemos que la fun ión de utilidad del Y . Por tanto, este A xB onsumidor B es re iente en X y de re iente en onsumidor destinará todo su presupuesto (que es igual a de esa mer an ía. La máxima antidad de X que puede py igual a . Por tanto, la fun ión de demanda de B es px B B x ( px , py ), y ( px , py ) = omprar py ,0 px py , −1 px La fun ión de ex eso de demanda agregada es ( zx ( px , py ), zy ( px , py )) = py ) al onsumo on su presupuesto es Notas de 7 lase, Fran is o Lozano Esta fun ión de ex eso de demanda agregada es homogénea de grado ero en los pre ios y ( px , py ) ≫ 0 satisfa e la ley de Walras. Observemos que para ningún ve tor de pre ios fun ión de ex eso de demanda agregada es igual a la ero. Por tanto, no existe un equilibrio walrasiano para esta e onomía. A manera de ilustra ión, en los siguientes dos ejemplos que las ele iones de algún demanda sino de onsideraremos e onomías en las onsumidor no se pueden representar a través de fun iones de orresponden ias de demanda, y determinaremos si existe o no algún equilibrio walrasiano para estas e onomías. Ejemplo 2 Consideremos una e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías donde las fun iones de utilidad de los onsumidores A uA ( xA , y A ) = y A ex Las dota iones ini iales son La fun ión de demanda de B y A son uB ( xB , y B ) = máx{ 3xB , 2y B } y w A = ( 1, 0 ) A y w B = ( 0, 1 ). es A A x ( px , py ), y ( px , py ) = La La orresponden ia de demanda de B px 0, py es { ( 0, 1 ) } n o py xB ( px , py ), y B ( px , py ) = , 0 px ( 0, 1 ) , 2 , 0 3 si px py > 3 2 si px py < 3 2 si px py = 3 2 orresponden ia de ex eso demanda agregada es o n px −1, py n o py px ( zx ( px , py ), zy ( px , py )) = − 1, − 1 px py −1, 3 , − 1 , 1 2 3 2 El úni o equilibrio walrasiano de esta e onomía es: ∗ ∗ xB = 1, y B = 0. si px py > 3 2 si px py < 3 2 si px py = 3 2 px = 1, py = 1, xA = 0, y A = 1, ∗ ∗ 8 Universidad Na ional de Colombia Ejemplo 3 (No existen ia del equilibrio walrasiano) Consideremos una e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías donde las fun iones de utilidad de los onsumidores A B y uA ( xA , y A ) = xA y A Las dota iones ini iales son La fun ión de demanda de son w A = ( 1, 0 ) A uB ( xB , y B ) = máx{ xB , 3y B } y y w B = ( 0, 1 ). es A A x ( px , py ), y ( px , py ) = La La orresponden ia de demanda de B 1 1 px , 2 2 py es { ( 0, 1 ) } n o py xB ( px , py ), y B ( px , py ) = ,0 px { ( 0, 1 ) , ( 3, 0 ) } si px py > 1 3 si px py < 1 3 si px py = 1 3 si px py > 1 3 si px py < 1 3 si px py = 1 3 orresponden ia de ex eso de demanda agregada es o n 1 1 px , − 2 2 py n o py 1 1 px ( zx ( px , py ), zy ( px , py )) = , − − 1 px 2 2 py − 12 , 16 , 52 , − 65 Observemos que la orresponden ia de ex eso de demanda agregada depende úni amente de los pre ios relativos pues si todos los pre ios se multipli an por un es alar positivo, los ex esos de demanda agregada no se modi an. Además, la demanda satisfa e la ley de Walras; es de ir, para ( px , py ) , orresponden ia de ex eso de ualquier ve tor de pre ios no-negativos se tiene que px zx ( px , py ) + py zy ( px , py ) = 0 Por tanto, es su iente onsiderar sólo un mer ado para determinar los pre ios relativos de equilibrio. El le tor puede veri ar que no existe un equilibrio walrasiano para esta e onomía. Deni ión 3 (Óptimo de Pareto) xA , y A , xB , y B es óptima de Pareto fuerte si ′A ′A ′B ′B asigna ión fa tible ( ( x , y ), ( x , y ) ) tal que uA x′A , y ′A ≥ uA xA , y A y uB x′B , y ′B ≥ uB xB , y B Una asigna ión fa tible otra no existe Notas de 9 lase, Fran is o Lozano on al menos una desigualdad estri ta; es de ir, una asigna ión fa tible es óptima de Pareto si no existe otra asigna ión fa tible en la que un sin que disminuya la utilidad del otro onsumidor aumente su utilidad onsumidor. Una asigna ión fa tible es óptima de Pareto débil si no existe otra xA , y A , xB , y B ′A ′A ′B ′B asigna ión fa tible ( ( x , y ), ( x , y ) ) tal que uA x′A , y ′A > uA xA , y A uB x′B , y ′B > uB xB , y B y es de ir, una asigna ión fa tible es óptima de Pareto débil si no existe otra asigna ión fa tible en la que todo onsumidor mejore. Una forma equivalente de denir un óptimo de Pareto es a través de la rela ión binaria `domina en el sentido de Pareto a' denida sobre el onjunto de todas las asigna iones fa ′A ′A ′B ′B tibles. Diremos que una asigna ión fa tible ( ( x , y ), ( x , y ) ) domina en el sentido A A B B i ′i ′i i i i x ,y , x ,y de Pareto a la asigna ión fa tible si u ( x , y ) ≥ u ( x , y ) para todo i = A, B , on desigualdad estri ta para algún i. Por tanto, una asigna ión fa tible es óptima de Pareto si no es dominada en el sentido de Pareto por ninguna otra asigna ión. Al onjunto de todas las asigna iones óptimas de Pareto se lo denomina el A∗ A∗ Pareto. A partir de la deni ión 3 se dedu e que la asigna ión x ,y onjunto de , xB ∗ , y B ∗ es óptima de Pareto si y sólo si resuelve los siguientes dos problemas de optimiza ión: máx ( xA ,y A ) uA xA , y A xA + xB = wx s.a. y A + y B = wy uB xB , y B = uB xB ∗ , y B∗ y máx ( xB ,y B ) s.a. uB xB , y B xA + xB = wx y A + y B = wy uA xA , y A = uA xA∗ , y A∗ El siguiente teorema muestra ierta ómo ara terizar el lase de fun iones de utilidad utilizando el onjunto de óptimos de Pareto para ál ulo diferen ial. 10 Universidad Na ional de Colombia Teorema 3 (Cara teriza ión de los óptimos de Pareto) Sean on uA (·) y uB (·) fun iones de utilidad re ientes estri tas, A∗ ontinuidad. Enton es una asigna ión fa tible de Pareto interior si y sólo si satisfa e las siguientes ∂uA ( xA∗ ,y A∗ ) ∂xA ∂uA ( xA∗ ,y A∗ ) ∂y A = ∂uB ( xB ∗ ,y B ∗ ) ∂xB ∂uB ( xB ∗ ,y B ∗ ) ∂y B ; uasi ón avas y diferen iables x , y A∗ , xB ∗ , y B∗ es óptima ondi iones: xA + xB = wx y y A + y B = wy Así, una asigna ión óptima de Pareto interior es una asigna ión fa tible que está rizada por una ara te- ondi ión de tangen ia: la igualdad de las tasas marginales de sustitu ión. Prueba La fun ión de Lagrange del problema del onsumidor A es L = uA xA , y A +λ1 uB xB , y B − uB xB ∗ , y B ∗ +λ2 [ wx −xA −xB ]+λ2 [ wy −y A −y B ] Las ondi iones de primer orden para una solu ión interior son ∂uA xA∗ , y A∗ ∂L = − λ2 = 0 ∂xA ∂xA ∂uA xA∗ , y A∗ ∂L = − λ3 = 0 ∂y A ∂y A ∂uB xB ∗ , y B ∗ ∂L = − λ2 = 0 ∂xB ∂xB ∂uB xB ∗ , y B ∗ ∂L = − λ3 = 0 ∂y B ∂y B ∂L = uB xB , y B − uB xB ∗ , y B ∗ = 0 ∂λ1 ∂L = wx − xA − xB = 0 ∂λ2 ∂L = wy − y A − y B = 0 ∂λ3 De las dos primeras ondi iones se dedu e que ∂uA ( xA∗ ,y A∗ ) ∂xA ∂uA ( xA∗ ,y A∗ ) ∂y A λ2 = = λ3 ∂uB ( xB ∗ ,y B ∗ ) ∂xB ∂uB ( xB ∗ ,y B ∗ ) ∂y B ♣ Notas de 11 lase, Fran is o Lozano Ejemplo 4 Consideremos una e onomía de inter ambio puro Y, y dos A onsumidores, y B, onformada por dos mer an ías, X y uyas preferen ias están representadas por las siguientes fun iones de utilidad: uA ( xA , y A ) = xA + 1 ln y A 2 y Las dota iones agregadas de la e onomía son utilidad son Cobb-Douglas, el está uB ( xB , y B ) = ln xB + ln y B w1 = 1 y w2 = 1. Ya que las fun iones de onjunto de óptimos de Pareto interiores de esta e onomía ara terizado por 2y A = yB , xB xA + xB = 1, A partir de estas tres expresiones se tiene que el yA + yB = 1 onjunto de óptimos de Pareto de esta e onomía es para xA ∈ ( 0, 1 ). Edgeworth. Esta B, pero rotando Este aja se 180◦ el 1 x , 3 − 2xA A A A 2 − 2x , 1−x , 3 − 2xA onjunto se representa en la gura 2 onstruye superponiendo los onjunto de onsumo del ono ida onjuntos de onsumidor B. omo la onsumo de aja de A y de Las dimensiones de la aja están determinadas por las dota iones ini iales agregadas de las mer an ías 1 y 2: la base representa la representa la antidad de la mer an ía 1 que existe en la e onomía, y la altura antidad de la mer an ía 2. El origen del el extremo inferior izquierdo de la extremo superior dere ho de la aja y el origen del onjunto de onjunto de aja. Observemos que un punto de la onsumo de onsumo de B A es es el aja de Edgeworth representa una asigna ión fa tible de la e onomía, ya que visto desde el extremo inferior izquierdo representa el plan de representa el plan de onsumo de onsumo de B. A y visto desde el extremo superior dere ho 12 Universidad Na ional de Colombia B 1 uB b 1 3 uA A 1 Figura 2 Ejemplo 5 Consideremos una e onomía de inter ambio puro Y, y dos onsumidores, A y B, onformada por dos mer an ías, X y uyas preferen ias están representadas por las siguientes fun iones de utilidad: uA ( xA , y A ) = xA + ln y A donde y A , y B > 0. y uB ( xB , y B ) = xB + ln y B Las dota iones agregadas de la e onomía son que las fun iones de utilidad satisfa en todas las utilizar las w1 = 1 y w2 = 1. Ya ondi iones del teorema 3, podemos ondi iones de primer orden de Lagrange para hallar los óptimos de Pareto. Los óptimos de Pareto interiores de esta e onomía están yA = yB , xA + xB = 1, ara terizados por yA + yB = 1 1 . El onjunto de óptimos de Pareto 2 interiores de esta e onomía se representa en la siguiente gura: De estas ondi iones se dedu e que yA = yB = Notas de 13 lase, Fran is o Lozano B 1 uB 1 2 b uA A 1 Figura 3 Ahora mostraremos la rela ión que existe entre las no iones de equilibrio walrasiano y óptimo de Pareto. En parti ular, nos preguntaremos si las asigna iones de equilibrio que arroja el me anismo de pre ios son óptimas de Pareto y si ualquier asigna ión óptima de Pareto de una e onomía de inter ambio puro puede ser vista omo una asigna ión de equilibrio del me anismo de pre ios. Como veremos, la respuesta a preguntas es, en general, no. En ada una de estas onse uen ia, introdu iremos dos teoremas, omo los teoremas del bienestar e onómi o, que nos permitirán estable er ono idos ondi iones sobre los fundamentales de la e onomía (las preferen ias y las dota iones ini iales de los onsumidores) de tal forma que la respuesta a las preguntas formuladas sea armativa. Teorema 4 (Primer teorema de la e onomía del bienestar) Sean uA (·) y uB (·) fun iones de utilidad re ientes. Si forman un equilibrio walrasiano, enton es xA∗ , y A∗ óptima de Pareto. De a uerdo ∗ ∗ xA∗ , y A∗ , xB ∗ , y B ∗ y ( px , py ) es una asigna ión , xB ∗ , y B∗ on este teorema, si las preferen ias de todos los onsumidores son monótonas, las asigna iones de equilibrio del me anismo de pre ios son óptimas de Pareto. Ejemplo 6 Consideremos una e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías donde las fun iones de utilidad de los onsumidores A y B son uA ( xA , y A ) = 2xA + y A Las dota iones ini iales de los y uB ( xB , y B ) = xB + y B onsumidores son w A = ( 0, 2 ) y w B = ( 2, 1 ). 14 Universidad Na ional de Colombia A es { ( 0, 2 ) } o n 2py xA ( px , py ), y A( px , py ) = , 0 px { ( xA , y A ) / 2xA + y A = 2 } La orresponden ia de demanda de B es o n 2px 0, 1 + py n o py xB ( px , py ), y B ( px , py ) = 2 + px , 0 { ( xB , y B ) / xB + y B = 3 } La si px py >2 si px py <2 si px py =2 si px py >1 si px py <1 si px py =1 orresponden ia de demanda de La orresponden ia de ex eso de demanda agregada es o n 2px −2, py o n 2px A A A − 2x ) / x ∈ [ 0, 1 ] ( x − 2, py n o 2py 2px ( zx ( px , py ), zy ( px , py )) = − 2, − 2 py n px o 2p y B B B ( x + − 2, −x ) / x ∈ [ 0, 3 ] px o n 3py , −3 px El úni o equilibrio walrasiano de esta e onomía es: p∗x p∗y si px py >2 si px py =2 si px py ∈ ( 1, 2 ) si px py =1 si px py <1 = 1, xA = 2, y A = 0, xB = 0, ∗ ∗ ∗ y B = 3. ∗ En ontremos ahora el de utilidad para el onjunto de Pareto de esta e onomía. Para ello, jemos un nivel onsumidor gura 4 se muestran dos altas que puede al anzar utilidad de B se puede B y maximi emos la utilidad del urvas de indiferen ia de A. B y las dos onsumidor A. En la urvas de indiferen ia más Si realizáramos este mismo pro edimiento para todo nivel de on luir que el onjunto de Pareto está formado por los puntos que se en uentran en los bordes inferior y dere ho de la aja de Edgeworth; es de ir, el onjunto de Pareto es Este xA , 0 , 2 − xA , 3 / xA ∈ [ 0, 2 ] ∪ onjunto se representa en la siguiente gura: 2, y A , 0, 3 − y A / y A ∈ [ 0, 3 ] Notas de 15 lase, Fran is o Lozano B 3 u B′ u A′ uA uB A 2 Figura 4 xA = 2, y A = 0, xB = 0, y B = 3 ∗ Observemos que la asigna ión walrasiana: al onjunto de Pareto. Esto ∗ ∗ ∗ pertene e onrma que esta e onomía satisfa e el primer teorema de la e onomía del bienestar. Ejemplo 7 Consideremos la siguiente e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías. Las fun iones de utilidad de los onsumidores A y B uA ( xA , y A ) = xA y A son uB ( xB , y B ) = mı́n xB , y B y w B = ( 0, 1 ). La fun ión 1 px A A , x ( px , py ), y ( px , py ) = 2 2py Las dota iones ini iales son La fun ión de demanda de B w A = ( 1, 0 ) B y de demanda de es B x ( px , py ), y ( px , py ) = py py , px + py px + py La fun ión de ex eso de demanda agregada es ( zx ( px , py ), zy ( px , py )) = 1 px 2py py − , + −1 px + py 2 2py px + py A es 16 Universidad Na ional de Colombia p∗x p∗y La úni a rela ión de pre ios de equilibrio es A∗ x ,y El A∗ B∗ , x ,y B∗ = = 1. La úni a asigna ión walrasiana es 1 1 , 2 2 1 1 , , 2 2 onjunto de Pareto se ilustra en la siguiente gura a través de la línea roja: B 1 A 1 Figura 5 Observemos que la asigna ión walrasiana ha e parte de este onjunto de Pareto. La gura 6 muestra una asigna ión walrasiana que no es óptima de Pareto en una e onomía donde las preferen ias del onsumidor A no son monótonas. En esta gura observamos que x∗ es walrasiana, ya que ambos onsumidores están maximizando su utilidad ∗ en esa asigna ión a los pre ios dados. Sin embargo, x no es óptima de Pareto porque la la asigna ión utilidad que el onsumidor B obtiene en la asigna ión x b es mayor que la que obtiene en x∗ mientras que la utilidad del onsumidor A es la misma en estas dos asigna iones. 1 B uA b x∗ b x b uB A 1 Figura 6 Notas de 17 lase, Fran is o Lozano Ejemplo 8 (Una e onomía Arrow-Debreu on externalidades) Cuando la fun ión de utilidad de un otro onsumidor depende del plan de onsumidor se di e que existen externalidades en el dad en el onsumo es el efe to indire to que tiene el onsumo elegido por onsumo ; es de ir, una externali- onsumo de ierto individuo sobre la fun ión de utilidad de otro. En este ejemplo veremos qué puede o urrir en una e onomía Arrow-Debreu en la que hay externalidades. Consideremos una e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías donde las fun iones de utilidad de los uA ( xA , y A , xB ) = ln xA + ln y A + ln xB Las dota iones de los onsumidores son Observemos que la utilidad del mer an ías X y Y, del onsumidor A onsumo que ha e el A y B son uB ( xB , y B ) = ln xB + y B y w A = ( 2, 2 ) onsumidores y w B = ( 1, 1 ). depende, además de sus onsumidor B onsumos de las de la mer an ía X. Veamos que un equilibrio walrasiano puede no ser un óptimo de Pareto si existen externalidades y, por tanto, no se tiene el primer teorema del bienestar en este tipo de e onomías. El problema del onsumidor A es máx ln xA + ln y A + ln xB xA ,y A px xA + py y A = 2px + 2py sujeto a La fun ión de demanda de A es A A x ( px , py ), y ( px , py ) = El problema del onsumidor B px py 1 + ,1 + px py es máx ln xB + y B xB ,y B sujeto a La fun ión de demanda de B px xB + py y B = px + py es B B x ( px , py ), y ( px , py ) = py px , px py La fun ión de ex eso de demanda agregada es ( zx ( px , py ), zy ( px , py ) ) = 2px 2py − 2, −2 px py A partir de esta fun ión de ex eso de demanda agregada se dedu e que el úni o equilibrio ∗ ∗ ∗ ∗ p∗x = p∗y , xA = y A = 2, xB = y B = 1. walrasiano de esta e onomía es 18 Universidad Na ional de Colombia Hallemos el onjunto de Pareto de esta e onomía. De la deni ión de una asigna ión óptima de Pareto se desprende que tal asigna ión debe resolver el siguiente problema: máx xA ,y A ,xB ,y B ln xA + ln y A + ln xB ln xB + y B = ūB sujeto a xA + xB = 3 yA + yB = 3 La fun ión de Lagrange de este problema es L = ln xA + ln y A + ln xB + λ1 ( ln xB + y B − ūB ) + λ2 ( 3 − xA − xB ) + λ3 ( 3 − y A − y B ) Las ondi iones de primer orden ne esarias y su ientes para una solu ión interior son ∂L 1 = − λ2 = 0 ∂xA xA 1 λ1 ∂L = B + B − λ2 = 0 B ∂x x x 1 ∂L = A − λ3 = 0 A ∂y y ∂L = λ1 − λ3 = 0 ∂y B ∂L = ln xB + y B − ūB = 0 ∂λ1 ∂L = 3 − xA − xB = 0 ∂λ2 ∂L = 3 − yA − yB = 0 ∂λ3 A partir de estas ondi iones se dedu e que las asigna iones óptimas de Pareto interiores deben satisfa er la siguiente ondi ión: 1+ xB 1 = yA xA Observemos que la asigna ión walrasiana, no es óptima de Pareto. Así, una xA , y A ∗ ∗ , xB , y B ∗ ∗ = ( ( 2, 2 ), ( 1, 1 ) ), ondi ión que se en uentra implí ita en el primer teorema del bienestar es la ausen ia de externalidades. Notas de 19 lase, Fran is o Lozano Ejemplo 9 (Otra e onomía Arrow-Debreu on externalidades) Consideremos una e onomía de inter ambio puro onsumidores, A y B, onformada por dos mer an ías y dos uyas preferen ias están representadas por las siguientes fun iones de utilidad: uA ( xA , y A ) = 2 1 ln xA + ln y A , 3 3 Las dota iones de los uB ( xB , y B , xA ) = ln xB + ln y B + ln( 2 − xA ) onsumidores son w A = ( 1, 1 ) y w B = ( 1, 1 ). En ontremos los equilibrios walrasianos de esta e onomía. La fun ión de demanda de A es A A x ( px , py ), y ( px , py ) = La fun ión de demanda de B B px + py 2px + 2py , 3px 3py es B x ( px , py ), y ( px , py ) = px + py px + py , 2px 2py Como esta e onomía satisfa e la ley de Walras, es su iente para hallar el equilibrio. Igualemos a onsiderar uno de los mer ados ero el ex eso de demanda de la mer an ía X; es de ir, px + py px + py + =2 3px 2px De esta e ua ión se on luye que el úni o equilibrio walrasiano de esta e onomía está dado ∗ ∗ ∗ ∗ p∗ = 57 , xA = 54 , y A = 78 , xB = 56 , y B = 76 . por x p∗y Una asigna ión óptima de Pareto resuelve el siguiente problema: máx s.a. 1 2 ln xA + ln y A 3 3 B ln x + ln y B + ln( 2 − xA ) = ū xA + xB = 10 y A + y B = 20 La fun ión de Lagrange de este problema es L= 1 2 ln xA + ln y A +λ1 ln xB + ln y B + ln( 2 − xA ) − ū +λ2 [ 10−xA −xB ]+λ3 [ 20−y A −y B ] 3 3 20 Las Universidad Na ional de Colombia ondi iones de primer orden ne esarias y su ientes para una solu ión interior son junto on las 1 λ1 ∂L = A− − λ2 = 0 A ∂x 3x 2 − xA (1) ∂L 2 = A − λ3 = 0 A ∂y 3y (2) ∂L λ1 = B − λ2 = 0 B ∂x x (3) ∂L λ1 = B − λ3 = 0 B ∂y y (4) ondi iones de fa tibilidad. Reemplazando la (1) se tiene que 1 = λ1 3xA De las 1 1 + xB 2 − xA ondi ión (3) en la (5) ondi iones (2) y (4) se dedu e que λ1 = Finalmente, de las 2y B 3y A ondi iones (5) y (6) y de las (5) ondi iones de fa tibilidad se obtiene A 4x 2 + xA yA = Por tanto, el para ondi ión onjunto de óptimos de Pareto interiores de esta e onomía es xA ∈ ( 0, 2 ). Este 4xA x , 2 + xA A A A 4 − 2x , 2−x , 2 + xA onjunto se representa en la siguiente gura: B 2 8 7 b A 4 5 Figura 7 2 Notas de 21 lase, Fran is o Lozano Observemos que aunque en esta e onomía hay externalidades, la úni a asigna ión walrasiana de esta e onomía es óptima de Pareto. Esto ilustra que las ondi iones del primer teorema del bienestar son su ientes mas no ne esarias. Teorema 5 (Segundo teorema de la e onomía del bienestar) A B Supongamos que las fun iones de utilidad u (·) y u (·) son ontinuas, re ientes y uasi A∗ A∗ B∗ B∗ x ,y , x ,y ón avas. Sea una asigna ión óptima de Pareto en la que ada onsumidor tiene una ada mer an ía. Enton es existe un ve tor ero tal que y xA∗ , y A∗ , xB ∗ , y B∗ i i∗ i∗ onstituyen un equilibrio walrasiano para las dota iones w = ( x , y ) para ( px , py ) de pre ios ( px , py ) i = A, B . antidad positiva de no-negativo y diferente de Las hipótesis bajo las uales se tiene este teorema son aún más restri tivas que las del primer teorema de la e onomía del bienestar. Además de que las preferen ias de los on- sumidores sean aso ontinuas, lo almente no-sa iables y onvexas, se requiere ex luir el en que el valor de las dota iones ini iales sea el mínimo del se supone que ada onsumidor posee una onjunto de onsumo. Por ello antidad estri tamente positiva de ada una de las mer an ías de la e onomía. El segundo teorema de la e onomía del bienestar arma que, bajo estas ondi iones, ualquier asigna ión óptima de Pareto puede ser soportada omo una asigna ión walrasiana por un ve tor de pre ios diferente de planeador entral desea implementar les dé a los onsumidores la asigna ión de Pareto omo dota ión ini ial y que les informe públi amente el ve tor de pre ios ade uado. Las demandas de pre ios serán los onsumos ero. Así, si un ierta asigna ión óptima de Pareto, es su iente que ada onsumidor a estos orrespondientes a la asigna ión de Pareto. Ejemplo 10 Consideremos una e onomía de inter ambio puro Y, y dos onsumidores, A y B, onformada por dos mer an ías, uA ( xA , y A ) = xA + α ln y A La fun ión de demanda de A y uB ( xB , y B ) = ( 1 − β ) ln xB + β ln y B onsumidores son w A = ( 1, 0 ) A x ( px , py ), y ( px , py ) = B B y w B = ( 0, 1 ). es A La fun ión de demanda de y uyas preferen ias están representadas por las siguientes fun iones de utilidad: Las dota iones ini iales de los X αpx 1 − α, py es B x ( px , py ), y ( px , py ) = py (1− β) ,β px 22 Universidad Na ional de Colombia La fun ión de ex eso de demanda agregada es ( zx ( px , py ), zy ( px , py )) = αpx py +β−1 ( 1 − β ) − α, px py Por tanto, el úni o equilibrio walrasiano de esta e onomía es: p∗x = 1, p∗y = α , 1−β xA = 1−α, ∗ y A = 1 − β , xB = α, y B = 1 − β . ∗ ∗ ∗ En ontremos ahora el Douglas, este onjunto de Pareto. Ya que las fun iones de utilidad son Cobb- onjunto en esta e onomía está yA ( 1 − β )y B = , α βxB ara terizado por xA + xB = 1, A partir de estas tres expresiones se tiene que el yA + yB = 1 onjunto de óptimos de Pareto de esta e onomía es para α( 1 − β ) x , β( 1 − xA ) + α( 1 − β ) A , 1 − xA , β( 1 − xA ) β( 1 − xA ) + α( 1 − β ) xA ∈ ( 0, 1 ). Los óptimos de Pareto interiores de esta e onomía están ara terizados por la igualdad onsumidores A y B . Ya que la ondi ión de A está dada por la igualdad entre su tasa marginal de de las tasas marginales de sustitu ión de los máxima utilidad para el onsumidor sustitu ión y la rela ión de pre ios, enton es en todo óptimo de Pareto la tasa marginal de sustitu ión del ini ial onsumidor B es igual a la rela ión de pre ios. Así, tomando omo dota ión ada óptimo de Pareto y reemplazando estas asigna iones en la tasa marginal de sustitu ión de alguno de los dos onsumidores, se obtiene que los pre ios que soportan a ada uno de los óptimos de Pareto omo asigna iones walrasianas son px 1−β = py β( 1 − xA ) + α( 1 − β ) on lo que se veri a el segundo teorema de la e onomía del bienestar. Dado un equilibrio orrespondiente a unas dota iones ini iales, el primer teorema del bienestar arma que este es un óptimo de Pareto y dado este óptimo de Pareto deben espe i arse las dota iones ini iales de los onsumidores para que, según el segundo teo- rema del bienestar, este óptimo de Pareto sea el equilibrio ini ial. Es que la no ión de óptimo de Pareto es independiente de la forma las dota iones ini iales entre los siano sí depende de la forma onveniente observar omo están distribuidas onsumidores. Mientras que la no ión de equilibrio walra- omo estén distribuidas las dota iones ini iales, la no ión de óptimo de Pareto sólo depende de las antidades agregadas de las mer an ías existentes Notas de 23 lase, Fran is o Lozano en la e onomía. Es por esto que podemos armar que un equilibrio es un óptimo de Pareto muy espe ial, pues todo equilibrio es un renamiento del on epto de óptimo de Pareto. La gura 8 muestra una asigna ión óptima de Pareto interior que no puede ser soportada omo un equilibrio walrasiano en una e onomía en la que las preferen ias del onsumidor A no son onvexas. Elijamos a x∗ omo la dota ión ini ial. No importa uál sea el ve tor ∗ de pre ios, el onsumidor B maximiza su utilidad en el punto x . Sin embargo, no existe ∗ ningún ve tor de pre ios tal que el onsumidor A maximi e en x , ya que los planes de onsumo maximizadores de A ontienen una antidad nula de alguna de las dos mer anx∗ sea ías. Así, no existe un ve tor de pre ios que permita que la asigna ión de Pareto walrasiana. B 1 uB b x∗ uA A 1 Figura 8