Capítulo 1
Notas de lase
Fran is o Lozano
La teoría mi roe onómi a no sólo analiza el
omportamiento individual de los agentes
e onómi os. Una parte de ella intenta mostrar la existen ia de
ondi iones bajo las
las de isiones tomadas de manera independiente por un grupo de individuos son
uales
om-
patibles y, además, óptimas. Con el n de determinar si es posible la existen ia de tal
ompatibilidad, analizaremos las e onomías Arrow Debreu de
ompeten ia perfe ta. La
ara terísti a prin ipal de este tipo de e onomías radi a en que ningún individuo por
sí solo puede inuir sobre los pre ios de las mer an ías; es de ir, los agentes toman los
pre ios
de
omo dados para llevar a
abo sus ele
iones. Cabe señalar que esta deni ión
ompeten ia perfe ta no depende del número de agentes que haya en la e onomía. De
a uerdo
on esto, si hay un pequeño número de agentes y ellos
onsideran que no pueden
afe tar los pre ios de las mer an ías existentes, estamos en presen ia de una e onomía
perfe tamente
es razonable
no basta sólo
ompetitiva. Sin embargo, si sólo hay unos po os agentes en el mer ado
reer que ellos tienen el poder de manipular los pre ios. Según lo anterior,
on denir
ompeten ia perfe ta
tán dados sino que hay que determinar las
que este
omo una situa ión donde los pre ios es-
ondi iones bajo las
uales es más probable
omportamiento o urra. Por ejemplo, si hay un gran número de agentes,
ada
uno de ellos podría asumir que es una parte muy pequeña del mer ado y que no tiene la
apa idad de alterar los pre ios. Observemos que la arma ión hay un gran número de
agentes no es pre isa y, además, lo que se requiere es que ningún agente tenga el poder
individual de inuir sobre los pre ios; es de ir, se requiere que
insigni ante de la e onomía. Es importante anotar que en
ada agente sea una parte
ompeten ia perfe ta ningún
individuo puede afe tar los pre ios pero tal vez sí lo puede ha er un grupo sustan ial de
ellos. Esto nos sugiere que para expresar matemáti amente la no ión de
ompeten ia per-
fe ta hay que a udir a la teoría de la medida pues, intuitivamente, deberíamos exigir que
la medida de
ada
onjunto formado por un individuo sea
ero y que la medida de
iertos
grupos poderosos (en parti ular, el grupo formado por todos los agentes de la e onomía)
1
2
Universidad Na ional de Colombia
1
sea positiva .
Por simpli idad, en las primeras se
Arrow-Debreu de
apítulo
onsideraremos e onomías
ompeten ia perfe ta en las que se toman de isiones de
hay de isiones de produ
onsumo y no
ión, y en las que, además, el número tanto de agentes e onómi os
omo de mer an ías es nito. En la se
primero, las
iones de este
ión 1, el análisis se
on entrará en dos problemas:
ondi iones sobre los fundamentales de la e onomía (preferen ias y dota iones
ini iales de los
onsumidores) bajo las
uales existe al menos un equilibrio walrasiano; y
segundo, las propiedades de optimalidad de estos equilibrios. Una vez determinadas las
asigna iones óptimas, en la se
ión 2 abordaremos el problema de sele
ión entre estas
asigna iones.
E onomías Arrow-Debreu de inter ambio puro
Re ordemos que la a tividad e onómi a se desarrolla en un período de tiempo
laramente
estable ido que se divide en fe has y que el espa io en el que esta se desarrolla se divide
en lugares. Re ordemos también que una mer an ía Arrow-Debreu es un bien o servi io
que está
ara terizado por sus propiedades físi as y por la fe ha y el lugar en la que se
en uentra disponible y que su pre io es un número real aso iado
onsumidores es igual a dos y serán denotados
que el
onjunto de
onsumo de todo
A
y
onsumidor es
on ella. El número de
B . Supondremos,
R2+ , y que ada
por simpli idad,
onsumidor tiene
una fun ión de utilidad que representa a una rela ión `es al menos tan buena omo'.
i
Cada onsumidor i está dotado on una antidad wl ≥ 0 de la mer an ía l . Por tanto, el
i
i
i
ve tor de dota iones ini iales del onsumidor i es w = ( wx , wy ). La antidad total de la
A
B
mer an ía l en la e onomía es denotada por wl = wl + wl . Asumiremos que wl > 0 para
i
i
todo l = X, Y . El objetivo de ada onsumidor es elegir un plan de onsumo ( x , y ) en
i
i i
2
i
i
i
i
su onjunto de presupuesto B ( px , py ) ≡ { ( x , y ) ∈ R+ / px x + py y ≤ px wx + py wy }
i
i
tal que ( x , y ) maximi e la utilidad del onsumidor i. Por simpli idad, asumiremos que
las ele
iones ra ionales del i-ésimo
onsumidor se pueden representar por medio de una
i
i
fun ión de demanda que será denotada por ( x ( px , py ), y ( px , py ) ).
Una e onomía Arrow-Debreu de inter ambio puro está denida por
Así, esta e onomía está
R2+ , uA (·), uB (·), w A , w B
ara terizada por los
onjuntos de
onsumo
ompletamente preor-
denados por una rela ión de preferen ia y por las dota iones ini iales de los
Una e onomía Arrow-Debreu es de
ompeten ia perfe ta si todos los
onsumidores.
onsumidores toman
omo dados los pre ios para determinar la ele ión de sus planes de onsumo. Una asig
xA , y A , xB , y B
es una espe i a ión de un plan de onsumo para ada
A
B
A
B
onsumidor. Diremos que la asigna ión x es fa tible si x + x = wx y y + y = wy .
na ión
1 Para un análisis formal de la no ión de ompeten ia perfe ta, onsultar Kirman ( 1982 ).
Notas de
3
lase, Fran is o Lozano
Deni ión 1 (Equilibrio walrasiano)
Una asigna ión
xA∗ , y A∗ , xB ∗ , y B∗
y un ve tor de pre ios
p∗ = ( p∗x , p∗y )
forman
un equilibrio walrasiano si
a)
( xi∗ , y i∗ ) = ( xi ( p∗x , p∗y ), y i ( p∗x , p∗y ) )
i = A, B .
y A∗ + y B∗ = wy .
∗
∗
∗
Es de ir, la asigna ión
xA∗ , y A∗ , xB ∗ , y B∗
y el ve tor de pre ios p = ( px , py )
i∗
i∗
forman un equilibrio walrasiano si para ada i = A, B , ( x , y ) es la ele ión ra ional del
A∗
A∗
∗
∗
onsumidor i a los pre ios ( px , py ) y la asigna ión
x ,y
, xB ∗ , y B∗
es fa tible.
b)
xA∗ + xB ∗ = wx
para todo
y
Deni ión 2 (Fun ión de ex eso de demanda agregada)
La fun ión de ex eso de demanda de la e onomía, denotada por
denida
z : R2++ −→ R2 ,
está
omo
z( px , py ) = ( zx ( px , py ), zy ( px , py ) )
= ( xA ( px , py ) + xB ( px , py ) − wx , y A ( px , py ) + y B ( px , py ) − wy )
∗
∗
∗
∗
∗
Por tanto, p = ( px , py ) ≫ 0 es un ve tor de pre ios de equilibrio si y sólo si zx ( px , py ) = 0
∗
∗
y zy ( px , py ) = 0. Así, un ve tor de pre ios de equilibrio es una solu ión de un sistema
de dos e ua iones. Como es ono ido, la existen ia de un número igual de ine ua iones y
de in ógnitas no garantiza que exista un onjunto no-va ío de solu iones. Por ejemplo, la
2
e ua ión x = −1 no tiene solu ión en el onjunto de los números reales. En onse uen ia,
Walras ( 1874 ) estaba equivo ado al sugerir que la solu ión del problema de existen ia de
un ve tor de pre ios de equilibrio dependía esen ialmente del simple onteo de ine ua iones
y de in ógnitas.
Hemos visto a lo largo del
urso que, para todo tipo de fun iones de utilidad, las fun iones
de demanda individual son homogéneas de grado
ero en los pre ios. Por tanto,
z( λpx , λpy ) = ( zx ( λpx , λpy ), zy ( λpx , λpy ) )
= ( xA ( λpx , λpy ) + xB ( λpx , λpy ) − wx , y A ( λpx , λpy ) + y B ( λpx , λpy ) − wy )
= ( xA ( px , py ) + xB ( px , py ) − wx , y A ( px , py ) + y B ( px , py ) − wy )
= z( px , py )
es de ir, la fun ión de ex eso de demanda de la e onomía también es homogénea de
∗
∗
grado ero en los pre ios. Esta propiedad impli a que ( px , py ) es un ve tor de pre ios de
∗
∗
equilibrio si y sólo si para todo λ > 0, ( λpx , λpy ) también es un ve tor de pre ios de
equilibrio.
4
Universidad Na ional de Colombia
De otra parte, los mer ados de las diferentes mer an ías no son independientes entre sí.
El siguiente teorema,
ono ido
omo la ley de Walras, pre isa este he ho.
Teorema 1 (Ley de Walras)
Si
uA (·)
y
uB (·)
son fun iones de utilidad
re ientes, enton es
px zx ( px , py ) + py zy ( px , py ) = 0
para todo
( px , py ) ≫ 0 .
Prueba
Sea
son
( px , py )
un ve tor de pre ios estri tamente positivo. Como las fun iones de utilidad
re ientes, la solu ión del problema de maximiza ión de la utilidad de
ada
onsumidor
agota el presupuesto; es de ir,
px xA ( px , py ) + py y A ( px , py ) = px wxA + py wyA
y
px xB ( px , py ) + py y B ( px , py ) = px wxB + py wyB
Sumando estas dos igualdades se tiene que
px xA ( px , py ) + xB ( px , py ) + py y A ( px , py ) + y B ( px , py ) = px wx + py wy
o, equivalentemente,
px zx ( px , py ) + py zy ( px , py ) = 0 ♣
La ley de Walras arma que, para todo ve tor de pre ios, el valor de la demanda agregada
es igual al valor de las dota iones ini iales agregadas. De a uerdo
Walras no es más que una identidad
ontable: si las ele
on esto, la ley de
iones de todos los
onsumidores
satisfa en una restri
ión de presupuesto, enton es la e onomía también satisfa e una
∗
∗
, ∗
restri ión de presupuesto. Sea ( px , py ) ≫ 0 tal que zx ( px py ) = 0. De la ley de Walras se
, ∗
dedu e que zy ( px py ) = 0; es de ir, si uno de los ex esos de demanda agregada es igual a
ero a
ierto ve tor de pre ios estri tamente positivo, enton es el otro ex eso de demanda
también será igual a
ero a esos pre ios.
Analizaremos, a lo largo de este
los
apítulo, el me anismo de pre ios que
onsiste en que
onsumidores observan una señal públi a que es el ve tor de pre ios de las mer an ías
Arrow-Debreu de la e onomía y luego,
iales,
ada
on base en estos pre ios y en sus dota iones ini-
onsumidor elige de manera independiente un plan de
pro eso maximizador de la utilidad. Así, en este me anismo, los
sus ele
onsumo utilizando un
onsumidores determinan
iones basándose solamente en un señal públi a (los pre ios de las mer an ías).
Dado que las de isiones de los
onsumidores son tomadas independientemente, no es evi-
dente que exista un ve tor de pre ios tal que todos los mer ados se va íen. De he ho,
omo
Notas de
5
lase, Fran is o Lozano
lo ilustraremos más adelante, existen e onomías Arrow-Debreu que no poseen equilibrios
walrasianos. El problema de existen ia de un equilibrio walrasiano se puede ilustrar de
manera relativamente simple para el aso de dos mer an ías. Re ordemos que el ve tor
∗
∗
∗
∗
∗
∗
de pre ios ( px , py ) es de equilibrio si zx ( px , py ) = 0 y zy ( px , py ) = 0. La ley de Walras
impli a que, a pre ios positivos, si el ex eso de demanda de una mer an ía es igual a ero,
también lo será el ex eso de demanda de la otra mer an ía. Por tanto, para determinar
si un ve tor de pre ios es de equilibrio basta
on igualar a
ero el ex eso de demanda
agregada de una mer an ía. Además, la homogeneidad de grado
ero en los pre ios de
la fun ión de ex eso de demanda agregada impli a que esta depende
∗
∗
iente de pre ios. De a uerdo on esto, el ve tor de pre ios ( px , py )
∗ zx ppx∗ , 1 = 0; es de ir, si el grá o de esta fun ión orta al eje X en
y
solamente del
o-
es de equilibrio si
p∗x
. Esto se ilustra
p∗y
en la gura 1.
zx
px
py
p∗x
p∗y
Figura 1
Así, el problema de existen ia de un equilibrio walrasiano en el
se redu e a la existen ia de un
de alguna de las dos mer an ías
aso de dos mer an ías
orte del grá o de la fun ión del ex eso de demanda
on el eje
X.
de demanda agregada de la gura 1 no fuera
pre ios de equilibrio. El siguiente teorema da
Observemos que si la fun ión de ex eso
p∗
ontinua en x
, no existiría un ve tor de
p∗y
ondi iones su ientes para la existen ia de
un equilibrio del me anismo de pre ios en una e onomía de inter ambio puro.
Teorema 2
R2+ , uA (·), uB (·), w A , w B una e onomía Arrow-Debreu de inter ambio puro tal que
i
para todo i = A, B , u (·) es una fun ión de utilidad ontinua, re iente estri ta y uasi∗
∗
∗
∗
∗
∗
ón ava estri ta. Enton es existe ( px , py ) ≫ 0 tal que zx ( px , py ) = 0 y zy ( px , py ) = 0.
Sea
Una prueba de este teorema puede ser
onsultada en Mas-Colell, Whinston y Green
( 1995 ). Es importante señalar que el teorema 2 muestra bajo qué
ondi iones una e o-
nomía Arrow-Debreu tiene un equilibrio pero no muestra si se al anza tal equilibrio.
6
Universidad Na ional de Colombia
Ejemplo 1 (No existen ia del equilibrio walrasiano)
Consideremos una e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías donde las fun iones
de utilidad de los
onsumidores
A
B
y
uA ( xA , y A ) = xA
Las dota iones ini iales son
las restri
son
uB ( xB , y B ) = xB +
y
w A = ( 1, 0 )
iones de presupuesto de ambos
y
w B = ( 0, 1 ).
1
yB + 1
Las
urvas de indiferen ia y
onsumidores se representan en las siguientes
guras:
yA
yB
1
px
py
Ya que la utilidad que obtiene el
que aumenta el
onsumo de
presupuesto (que es igual a
que puede
A
omprar
es
py
px
xA
1
X
px )
onsumidor
depende solamente de
aumenta la utilidad, este
al
X,
y a medida
onsumidor destinará todo su
onsumo de esa mer an ía. La máxima
antidad de
X
on su presupuesto es igual a 1. Por tanto, la fun ión de demanda de
xA ( px , py ), y A ( px , py ) = ( 1, 0 )
Observemos que la fun ión de utilidad del
Y . Por tanto, este
A
xB
onsumidor
B es
re iente en
X
y de re iente en
onsumidor destinará todo su presupuesto (que es igual a
de esa mer an ía. La máxima antidad de X que puede
py
igual a
. Por tanto, la fun ión de demanda de B es
px
B
B
x ( px , py ), y ( px , py ) =
omprar
py
,0
px
py
, −1
px
La fun ión de ex eso de demanda agregada es
( zx ( px , py ), zy ( px , py )) =
py ) al
onsumo
on su presupuesto es
Notas de
7
lase, Fran is o Lozano
Esta fun ión de ex eso de demanda agregada es homogénea de grado
ero en los pre ios y
( px , py ) ≫ 0
satisfa e la ley de Walras. Observemos que para ningún ve tor de pre ios
fun ión de ex eso de demanda agregada es igual a
la
ero. Por tanto, no existe un equilibrio
walrasiano para esta e onomía.
A manera de ilustra ión, en los siguientes dos ejemplos
que las ele
iones de algún
demanda sino de
onsideraremos e onomías en las
onsumidor no se pueden representar a través de fun iones de
orresponden ias de demanda, y determinaremos si existe o no algún
equilibrio walrasiano para estas e onomías.
Ejemplo 2
Consideremos una e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías donde las fun iones
de utilidad de los
onsumidores
A
uA ( xA , y A ) = y A ex
Las dota iones ini iales son
La fun ión de demanda de
B
y
A
son
uB ( xB , y B ) = máx{ 3xB , 2y B }
y
w A = ( 1, 0 )
A
y
w B = ( 0, 1 ).
es
A
A
x ( px , py ), y ( px , py ) =
La
La
orresponden ia de demanda de
B
px
0,
py
es
{ ( 0, 1 ) }
n
o
py
xB ( px , py ), y B ( px , py ) =
,
0
px
( 0, 1 ) , 2 , 0 3
si
px
py
>
3
2
si
px
py
<
3
2
si
px
py
=
3
2
orresponden ia de ex eso demanda agregada es
o
n px
−1,
py
n o
py
px
( zx ( px , py ), zy ( px , py )) =
−
1,
−
1
px
py
−1, 3 , − 1 , 1 2
3 2
El úni o equilibrio walrasiano de esta e onomía es:
∗
∗
xB = 1, y B = 0.
si
px
py
>
3
2
si
px
py
<
3
2
si
px
py
=
3
2
px = 1, py = 1, xA = 0, y A = 1,
∗
∗
8
Universidad Na ional de Colombia
Ejemplo 3 (No existen ia del equilibrio walrasiano)
Consideremos una e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías donde las fun iones
de utilidad de los
onsumidores
A
B
y
uA ( xA , y A ) = xA y A
Las dota iones ini iales son
La fun ión de demanda de
son
w A = ( 1, 0 )
A
uB ( xB , y B ) = máx{ xB , 3y B }
y
y
w B = ( 0, 1 ).
es
A
A
x ( px , py ), y ( px , py ) =
La
La
orresponden ia de demanda de
B
1 1 px
,
2 2 py
es
{ ( 0, 1 ) }
n
o
py
xB ( px , py ), y B ( px , py ) =
,0
px
{ ( 0, 1 ) , ( 3, 0 ) }
si
px
py
>
1
3
si
px
py
<
1
3
si
px
py
=
1
3
si
px
py
>
1
3
si
px
py
<
1
3
si
px
py
=
1
3
orresponden ia de ex eso de demanda agregada es
o
n 1 1 px
,
−
2 2 py
n o
py
1 1 px
( zx ( px , py ), zy ( px , py )) =
,
−
−
1
px
2 2 py
− 12 , 16 , 52 , − 65
Observemos que la
orresponden ia de ex eso de demanda agregada depende úni amente
de los pre ios relativos pues si todos los pre ios se multipli an por un es alar positivo, los
ex esos de demanda agregada no se modi an. Además, la
demanda satisfa e la ley de Walras; es de ir, para
( px , py ) ,
orresponden ia de ex eso de
ualquier ve tor de pre ios no-negativos
se tiene que
px zx ( px , py ) + py zy ( px , py ) = 0
Por tanto, es su iente
onsiderar sólo un mer ado para determinar los pre ios relativos
de equilibrio. El le tor puede veri ar que no existe un equilibrio walrasiano para esta
e onomía.
Deni ión 3 (Óptimo de Pareto)
xA , y A , xB , y B
es óptima de Pareto fuerte si
′A
′A
′B
′B
asigna ión fa tible ( ( x , y ), ( x , y
) ) tal que
uA x′A , y ′A ≥ uA xA , y A
y
uB x′B , y ′B ≥ uB xB , y B
Una asigna ión fa tible
otra
no existe
Notas de
9
lase, Fran is o Lozano
on al menos una desigualdad estri ta; es de ir, una asigna ión fa tible es óptima de
Pareto si no existe otra asigna ión fa tible en la que un
sin que disminuya la utilidad del otro
onsumidor aumente su utilidad
onsumidor.
Una asigna ión fa tible
es óptima de Pareto débil si no existe otra
xA , y A , xB , y B
′A
′A
′B
′B
asigna ión fa tible ( ( x , y ), ( x , y
) ) tal que
uA x′A , y ′A > uA xA , y A
uB x′B , y ′B > uB xB , y B
y
es de ir, una asigna ión fa tible es óptima de Pareto débil si no existe otra asigna ión
fa tible en la que todo
onsumidor mejore.
Una forma equivalente de denir un óptimo de Pareto es a través de la rela ión binaria
`domina en el sentido de Pareto a' denida sobre el onjunto de todas las asigna iones fa ′A ′A
′B
′B
tibles. Diremos que una asigna ión fa tible ( ( x , y ), ( x , y
) ) domina en el sentido
A
A
B
B
i
′i
′i
i
i
i
x ,y , x ,y
de Pareto a la asigna ión fa tible
si u ( x , y ) ≥ u ( x , y ) para
todo
i = A, B ,
on desigualdad estri ta para algún i. Por tanto, una asigna ión fa tible es
óptima de Pareto si no es dominada en el sentido de Pareto por ninguna otra asigna ión.
Al
onjunto de todas las asigna iones óptimas de Pareto se lo denomina el
A∗
A∗
Pareto. A partir de la deni ión 3 se dedu e que la asigna ión
x ,y
onjunto de
, xB ∗ , y B ∗
es óptima de Pareto si y sólo si resuelve los siguientes dos problemas de optimiza ión:
máx
( xA ,y A )
uA xA , y A
xA + xB = wx
s.a.
y A + y B = wy
uB xB , y B = uB xB ∗ , y B∗
y
máx
( xB ,y B )
s.a.
uB xB , y B
xA + xB = wx
y A + y B = wy
uA xA , y A = uA xA∗ , y A∗
El siguiente teorema muestra
ierta
ómo
ara terizar el
lase de fun iones de utilidad utilizando el
onjunto de óptimos de Pareto para
ál ulo diferen ial.
10
Universidad Na ional de Colombia
Teorema 3 (Cara teriza ión de los óptimos de Pareto)
Sean
on
uA (·) y uB (·) fun
iones de utilidad re ientes estri tas,
A∗
ontinuidad. Enton es una asigna ión fa tible
de Pareto interior si y sólo si satisfa e las siguientes
∂uA ( xA∗ ,y A∗ )
∂xA
∂uA ( xA∗ ,y A∗ )
∂y A
=
∂uB ( xB ∗ ,y B ∗ )
∂xB
∂uB ( xB ∗ ,y B ∗ )
∂y B
;
uasi ón avas y diferen iables
x , y A∗ , xB ∗ , y B∗
es óptima
ondi iones:
xA + xB = wx
y
y A + y B = wy
Así, una asigna ión óptima de Pareto interior es una asigna ión fa tible que está
rizada por una
ara te-
ondi ión de tangen ia: la igualdad de las tasas marginales de sustitu ión.
Prueba
La fun ión de Lagrange del problema del
onsumidor
A
es
L = uA xA , y A +λ1 uB xB , y B − uB xB ∗ , y B ∗ +λ2 [ wx −xA −xB ]+λ2 [ wy −y A −y B ]
Las
ondi iones de primer orden para una solu ión interior son
∂uA xA∗ , y A∗
∂L
=
− λ2 = 0
∂xA
∂xA
∂uA xA∗ , y A∗
∂L
=
− λ3 = 0
∂y A
∂y A
∂uB xB ∗ , y B ∗
∂L
=
− λ2 = 0
∂xB
∂xB
∂uB xB ∗ , y B ∗
∂L
=
− λ3 = 0
∂y B
∂y B
∂L
= uB xB , y B − uB xB ∗ , y B ∗ = 0
∂λ1
∂L
= wx − xA − xB = 0
∂λ2
∂L
= wy − y A − y B = 0
∂λ3
De las dos primeras
ondi iones se dedu e que
∂uA ( xA∗ ,y A∗ )
∂xA
∂uA ( xA∗ ,y A∗ )
∂y A
λ2
=
=
λ3
∂uB ( xB ∗ ,y B ∗ )
∂xB
∂uB ( xB ∗ ,y B ∗ )
∂y B
♣
Notas de
11
lase, Fran is o Lozano
Ejemplo 4
Consideremos una e onomía de inter ambio puro
Y,
y dos
A
onsumidores,
y
B,
onformada por dos mer an ías,
X
y
uyas preferen ias están representadas por las siguientes
fun iones de utilidad:
uA ( xA , y A ) = xA +
1
ln y A
2
y
Las dota iones agregadas de la e onomía son
utilidad son Cobb-Douglas, el
está
uB ( xB , y B ) = ln xB + ln y B
w1 = 1
y
w2 = 1.
Ya que las fun iones de
onjunto de óptimos de Pareto interiores de esta e onomía
ara terizado por
2y A =
yB
,
xB
xA + xB = 1,
A partir de estas tres expresiones se tiene que el
yA + yB = 1
onjunto de óptimos de Pareto de esta
e onomía es
para
xA ∈ ( 0, 1 ).
Edgeworth. Esta
B,
pero rotando
Este
aja se
180◦
el
1
x ,
3 − 2xA
A
A
A 2 − 2x
, 1−x ,
3 − 2xA
onjunto se representa en la gura 2
onstruye superponiendo los
onjunto de
onsumo del
ono ida
onjuntos de
onsumidor
B.
omo la
onsumo de
aja de
A
y de
Las dimensiones de la
aja están determinadas por las dota iones ini iales agregadas de las mer an ías 1 y 2:
la base representa la
representa la
antidad de la mer an ía 1 que existe en la e onomía, y la altura
antidad de la mer an ía 2. El origen del
el extremo inferior izquierdo de la
extremo superior dere ho de la
aja y el origen del
onjunto de
onjunto de
aja. Observemos que un punto de la
onsumo de
onsumo de
B
A
es
es el
aja de Edgeworth
representa una asigna ión fa tible de la e onomía, ya que visto desde el extremo inferior
izquierdo representa el plan de
representa el plan de
onsumo de
onsumo de
B.
A
y visto desde el extremo superior dere ho
12
Universidad Na ional de Colombia
B
1
uB
b
1
3
uA
A
1
Figura 2
Ejemplo 5
Consideremos una e onomía de inter ambio puro
Y,
y dos
onsumidores,
A
y
B,
onformada por dos mer an ías,
X
y
uyas preferen ias están representadas por las siguientes
fun iones de utilidad:
uA ( xA , y A ) = xA + ln y A
donde
y A , y B > 0.
y
uB ( xB , y B ) = xB + ln y B
Las dota iones agregadas de la e onomía son
que las fun iones de utilidad satisfa en todas las
utilizar las
w1 = 1
y
w2 = 1.
Ya
ondi iones del teorema 3, podemos
ondi iones de primer orden de Lagrange para hallar los óptimos de Pareto.
Los óptimos de Pareto interiores de esta e onomía están
yA = yB ,
xA + xB = 1,
ara terizados por
yA + yB = 1
1
. El onjunto de óptimos de Pareto
2
interiores de esta e onomía se representa en la siguiente gura:
De estas
ondi iones se dedu e que
yA = yB =
Notas de
13
lase, Fran is o Lozano
B
1
uB
1
2
b
uA
A
1
Figura 3
Ahora mostraremos la rela ión que existe entre las no iones de equilibrio walrasiano y
óptimo de Pareto. En parti ular, nos preguntaremos si las asigna iones de equilibrio que
arroja el me anismo de pre ios son óptimas de Pareto y si
ualquier asigna ión óptima
de Pareto de una e onomía de inter ambio puro puede ser vista
omo una asigna ión
de equilibrio del me anismo de pre ios. Como veremos, la respuesta a
preguntas es, en general, no. En
ada una de estas
onse uen ia, introdu iremos dos teoremas,
omo los teoremas del bienestar e onómi o, que nos permitirán estable er
ono idos
ondi iones
sobre los fundamentales de la e onomía (las preferen ias y las dota iones ini iales de los
onsumidores) de tal forma que la respuesta a las preguntas formuladas sea armativa.
Teorema 4 (Primer teorema de la e onomía del bienestar)
Sean
uA (·) y uB (·) fun
iones de utilidad re ientes. Si
forman un equilibrio walrasiano, enton es
xA∗ , y A∗
óptima de Pareto.
De a uerdo
∗
∗
xA∗ , y A∗ , xB ∗ , y B ∗
y ( px , py )
es una asigna ión
, xB ∗ , y B∗
on este teorema, si las preferen ias de todos los
onsumidores son monótonas,
las asigna iones de equilibrio del me anismo de pre ios son óptimas de Pareto.
Ejemplo 6
Consideremos una e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías donde las fun iones
de utilidad de los
onsumidores
A
y
B
son
uA ( xA , y A ) = 2xA + y A
Las dota iones ini iales de los
y
uB ( xB , y B ) = xB + y B
onsumidores son
w A = ( 0, 2 )
y
w B = ( 2, 1 ).
14
Universidad Na ional de Colombia
A es
{ ( 0, 2 ) }
o
n
2py
xA ( px , py ), y A( px , py ) =
,
0
px
{ ( xA , y A ) / 2xA + y A = 2 }
La
orresponden ia de demanda de
B es
o
n 2px
0,
1
+
py
n o
py
xB ( px , py ), y B ( px , py ) =
2 + px , 0
{ ( xB , y B ) / xB + y B = 3 }
La
si
px
py
>2
si
px
py
<2
si
px
py
=2
si
px
py
>1
si
px
py
<1
si
px
py
=1
orresponden ia de demanda de
La
orresponden ia de ex eso de demanda agregada es
o
n 2px
−2,
py
o
n
2px
A
A
A
−
2x
)
/
x
∈
[
0,
1
]
(
x
−
2,
py
n o
2py
2px
( zx ( px , py ), zy ( px , py )) =
−
2,
−
2
py
n px
o
2p
y
B
B
B
(
x
+
−
2,
−x
)
/
x
∈
[
0,
3
]
px
o
n
3py
,
−3
px
El úni o equilibrio walrasiano de esta e onomía es:
p∗x
p∗y
si
px
py
>2
si
px
py
=2
si
px
py
∈ ( 1, 2 )
si
px
py
=1
si
px
py
<1
= 1, xA = 2, y A = 0, xB = 0,
∗
∗
∗
y B = 3.
∗
En ontremos ahora el
de utilidad para el
onjunto de Pareto de esta e onomía. Para ello, jemos un nivel
onsumidor
gura 4 se muestran dos
altas que puede al anzar
utilidad de
B
se puede
B
y maximi emos la utilidad del
urvas de indiferen ia de
A.
B
y las dos
onsumidor
A.
En la
urvas de indiferen ia más
Si realizáramos este mismo pro edimiento para todo nivel de
on luir que el
onjunto de Pareto está formado por los puntos
que se en uentran en los bordes inferior y dere ho de la
aja de Edgeworth; es de ir, el
onjunto de Pareto es
Este
xA , 0 , 2 − xA , 3
/ xA ∈ [ 0, 2 ] ∪
onjunto se representa en la siguiente gura:
2, y A , 0, 3 − y A
/ y A ∈ [ 0, 3 ]
Notas de
15
lase, Fran is o Lozano
B
3
u
B′
u
A′
uA
uB
A
2
Figura 4
xA = 2, y A = 0, xB = 0, y B = 3
∗
Observemos que la asigna ión walrasiana:
al
onjunto de Pareto. Esto
∗
∗
∗
pertene e
onrma que esta e onomía satisfa e el primer teorema de la
e onomía del bienestar.
Ejemplo 7
Consideremos la siguiente e onomía de inter ambio puro de dos mer an ías. Las fun iones
de utilidad de los
onsumidores
A
y
B
uA ( xA , y A ) = xA y A
son
uB ( xB , y B ) = mı́n xB , y B
y
w B = ( 0, 1 ). La fun ión
1 px
A
A
,
x ( px , py ), y ( px , py ) =
2 2py
Las dota iones ini iales son
La fun ión de demanda de
B
w A = ( 1, 0 )
B
y
de demanda de
es
B
x ( px , py ), y ( px , py ) =
py
py
,
px + py px + py
La fun ión de ex eso de demanda agregada es
( zx ( px , py ), zy ( px , py )) =
1 px
2py
py
− ,
+
−1
px + py 2 2py px + py
A
es
16
Universidad Na ional de Colombia
p∗x
p∗y
La úni a rela ión de pre ios de equilibrio es
A∗
x ,y
El
A∗
B∗
, x ,y
B∗
=
= 1.
La úni a asigna ión walrasiana es
1 1
,
2 2
1 1
,
,
2 2
onjunto de Pareto se ilustra en la siguiente gura a través de la línea roja:
B
1
A
1
Figura 5
Observemos que la asigna ión walrasiana ha e parte de este
onjunto de Pareto.
La gura 6 muestra una asigna ión walrasiana que no es óptima de Pareto en una e onomía
donde las preferen ias del onsumidor A no son monótonas. En esta gura observamos que
x∗ es walrasiana, ya que ambos onsumidores están maximizando su utilidad
∗
en esa asigna ión a los pre ios dados. Sin embargo, x no es óptima de Pareto porque la
la asigna ión
utilidad que el onsumidor B obtiene en la asigna ión x
b es mayor que la que obtiene en
x∗ mientras que la utilidad del onsumidor A es la misma en estas dos asigna iones.
1
B
uA
b
x∗
b
x
b
uB
A
1
Figura 6
Notas de
17
lase, Fran is o Lozano
Ejemplo 8 (Una e onomía Arrow-Debreu on externalidades)
Cuando la fun ión de utilidad de un
otro
onsumidor depende del plan de
onsumidor se di e que existen externalidades en el
dad en el
onsumo es el efe to indire to que tiene el
onsumo elegido por
onsumo ; es de ir, una externali-
onsumo de
ierto individuo sobre la
fun ión de utilidad de otro. En este ejemplo veremos qué puede o urrir en una e onomía
Arrow-Debreu en la que hay externalidades. Consideremos una e onomía de inter ambio
puro de dos mer an ías donde las fun iones de utilidad de los
uA ( xA , y A , xB ) = ln xA + ln y A + ln xB
Las dota iones de los
onsumidores son
Observemos que la utilidad del
mer an ías
X
y
Y,
del
onsumidor
A
onsumo que ha e el
A
y
B
son
uB ( xB , y B ) = ln xB + y B
y
w A = ( 2, 2 )
onsumidores
y
w B = ( 1, 1 ).
depende, además de sus
onsumidor
B
onsumos de las
de la mer an ía
X.
Veamos
que un equilibrio walrasiano puede no ser un óptimo de Pareto si existen externalidades
y, por tanto, no se tiene el primer teorema del bienestar en este tipo de e onomías.
El problema del
onsumidor
A
es
máx ln xA + ln y A + ln xB
xA ,y A
px xA + py y A = 2px + 2py
sujeto a
La fun ión de demanda de
A
es
A
A
x ( px , py ), y ( px , py ) =
El problema del
onsumidor
B
px
py
1 + ,1 +
px
py
es
máx ln xB + y B
xB ,y B
sujeto a
La fun ión de demanda de
B
px xB + py y B = px + py
es
B
B
x ( px , py ), y ( px , py ) =
py px
,
px py
La fun ión de ex eso de demanda agregada es
( zx ( px , py ), zy ( px , py ) ) =
2px
2py
− 2,
−2
px
py
A partir de esta fun ión de ex eso de demanda agregada se dedu e que el úni o equilibrio
∗
∗
∗
∗
p∗x = p∗y , xA = y A = 2, xB = y B = 1.
walrasiano de esta e onomía es
18
Universidad Na ional de Colombia
Hallemos el
onjunto de Pareto de esta e onomía. De la deni ión de una asigna ión
óptima de Pareto se desprende que tal asigna ión debe resolver el siguiente problema:
máx
xA ,y A ,xB ,y B
ln xA + ln y A + ln xB
ln xB + y B = ūB
sujeto a
xA + xB = 3
yA + yB = 3
La fun ión de Lagrange de este problema es
L = ln xA + ln y A + ln xB + λ1 ( ln xB + y B − ūB ) + λ2 ( 3 − xA − xB ) + λ3 ( 3 − y A − y B )
Las
ondi iones de primer orden ne esarias y su ientes para una solu ión interior son
∂L
1
=
− λ2 = 0
∂xA
xA
1
λ1
∂L
= B + B − λ2 = 0
B
∂x
x
x
1
∂L
= A − λ3 = 0
A
∂y
y
∂L
= λ1 − λ3 = 0
∂y B
∂L
= ln xB + y B − ūB = 0
∂λ1
∂L
= 3 − xA − xB = 0
∂λ2
∂L
= 3 − yA − yB = 0
∂λ3
A partir de estas
ondi iones se dedu e que las asigna iones óptimas de Pareto interiores
deben satisfa er la siguiente
ondi ión:
1+
xB
1
=
yA
xA
Observemos que la asigna ión walrasiana,
no es óptima de Pareto. Así, una
xA , y A
∗
∗
, xB , y B
∗
∗
= ( ( 2, 2 ), ( 1, 1 ) ),
ondi ión que se en uentra implí ita en el primer teorema
del bienestar es la ausen ia de externalidades.
Notas de
19
lase, Fran is o Lozano
Ejemplo 9 (Otra e onomía Arrow-Debreu on externalidades)
Consideremos una e onomía de inter ambio puro
onsumidores,
A
y
B,
onformada por dos mer an ías y dos
uyas preferen ias están representadas por las siguientes fun iones
de utilidad:
uA ( xA , y A ) =
2
1
ln xA + ln y A ,
3
3
Las dota iones de los
uB ( xB , y B , xA ) = ln xB + ln y B + ln( 2 − xA )
onsumidores son
w A = ( 1, 1 )
y
w B = ( 1, 1 ).
En ontremos los
equilibrios walrasianos de esta e onomía.
La fun ión de demanda de
A
es
A
A
x ( px , py ), y ( px , py ) =
La fun ión de demanda de
B
B
px + py 2px + 2py
,
3px
3py
es
B
x ( px , py ), y ( px , py ) =
px + py px + py
,
2px
2py
Como esta e onomía satisfa e la ley de Walras, es su iente
para hallar el equilibrio. Igualemos a
onsiderar uno de los mer ados
ero el ex eso de demanda de la mer an ía
X;
es
de ir,
px + py px + py
+
=2
3px
2px
De esta e ua ión se on luye que el úni o equilibrio walrasiano de esta e onomía está dado
∗
∗
∗
∗
p∗
= 57 , xA = 54 , y A = 78 , xB = 56 , y B = 76 .
por x
p∗y
Una asigna ión óptima de Pareto resuelve el siguiente problema:
máx
s.a.
1
2
ln xA + ln y A
3
3
B
ln x + ln y B + ln( 2 − xA ) = ū
xA + xB = 10
y A + y B = 20
La fun ión de Lagrange de este problema es
L=
1
2
ln xA + ln y A +λ1 ln xB + ln y B + ln( 2 − xA ) − ū +λ2 [ 10−xA −xB ]+λ3 [ 20−y A −y B ]
3
3
20
Las
Universidad Na ional de Colombia
ondi iones de primer orden ne esarias y su ientes para una solu ión interior son
junto
on las
1
λ1
∂L
= A−
− λ2 = 0
A
∂x
3x
2 − xA
(1)
∂L
2
= A − λ3 = 0
A
∂y
3y
(2)
∂L
λ1
= B − λ2 = 0
B
∂x
x
(3)
∂L
λ1
= B − λ3 = 0
B
∂y
y
(4)
ondi iones de fa tibilidad. Reemplazando la
(1) se tiene que
1
= λ1
3xA
De las
1
1
+
xB 2 − xA
ondi ión (3) en la
(5)
ondi iones (2) y (4) se dedu e que
λ1 =
Finalmente, de las
2y B
3y A
ondi iones (5) y (6) y de las
(5)
ondi iones de fa tibilidad se obtiene
A
4x
2 + xA
yA =
Por tanto, el
para
ondi ión
onjunto de óptimos de Pareto interiores de esta e onomía es
xA ∈ ( 0, 2 ).
Este
4xA
x ,
2 + xA
A
A
A 4 − 2x
, 2−x ,
2 + xA
onjunto se representa en la siguiente gura:
B
2
8
7
b
A
4
5
Figura 7
2
Notas de
21
lase, Fran is o Lozano
Observemos que aunque en esta e onomía hay externalidades, la úni a asigna ión walrasiana de esta e onomía es óptima de Pareto. Esto ilustra que las
ondi iones del primer
teorema del bienestar son su ientes mas no ne esarias.
Teorema 5 (Segundo teorema de la e onomía del bienestar)
A
B
Supongamos que las fun iones de utilidad u (·) y u (·) son ontinuas, re ientes y uasi
A∗
A∗
B∗
B∗
x ,y
, x ,y
ón avas. Sea
una asigna ión óptima de Pareto en la que ada
onsumidor tiene una
ada mer an ía. Enton es existe un ve tor
ero tal que
y
xA∗ , y A∗ , xB ∗ , y B∗
i
i∗
i∗
onstituyen un equilibrio walrasiano para las dota iones w = ( x , y ) para
( px , py )
de pre ios
( px , py )
i = A, B .
antidad positiva de
no-negativo y diferente de
Las hipótesis bajo las
uales se tiene este teorema son aún más restri tivas que las del
primer teorema de la e onomía del bienestar. Además de que las preferen ias de los
on-
sumidores sean
aso
ontinuas, lo almente no-sa iables y
onvexas, se requiere ex luir el
en que el valor de las dota iones ini iales sea el mínimo del
se supone que
ada
onsumidor posee una
onjunto de
onsumo. Por ello
antidad estri tamente positiva de
ada una de
las mer an ías de la e onomía. El segundo teorema de la e onomía del bienestar arma
que, bajo estas
ondi iones,
ualquier asigna ión óptima de Pareto puede ser soportada
omo una asigna ión walrasiana por un ve tor de pre ios diferente de
planeador
entral desea implementar
les dé a los
onsumidores la asigna ión de Pareto
omo dota ión ini ial y que les informe
públi amente el ve tor de pre ios ade uado. Las demandas de
pre ios serán los
onsumos
ero. Así, si un
ierta asigna ión óptima de Pareto, es su iente que
ada
onsumidor a estos
orrespondientes a la asigna ión de Pareto.
Ejemplo 10
Consideremos una e onomía de inter ambio puro
Y,
y dos
onsumidores,
A
y
B,
onformada por dos mer an ías,
uA ( xA , y A ) = xA + α ln y A
La fun ión de demanda de
A
y
uB ( xB , y B ) = ( 1 − β ) ln xB + β ln y B
onsumidores son
w A = ( 1, 0 )
A
x ( px , py ), y ( px , py ) =
B
B
y
w B = ( 0, 1 ).
es
A
La fun ión de demanda de
y
uyas preferen ias están representadas por las siguientes
fun iones de utilidad:
Las dota iones ini iales de los
X
αpx
1 − α,
py
es
B
x ( px , py ), y ( px , py ) =
py
(1− β) ,β
px
22
Universidad Na ional de Colombia
La fun ión de ex eso de demanda agregada es
( zx ( px , py ), zy ( px , py )) =
αpx
py
+β−1
( 1 − β ) − α,
px
py
Por tanto, el úni o equilibrio walrasiano de esta e onomía es:
p∗x = 1, p∗y =
α
,
1−β
xA = 1−α,
∗
y A = 1 − β , xB = α, y B = 1 − β .
∗
∗
∗
En ontremos ahora el
Douglas, este
onjunto de Pareto. Ya que las fun iones de utilidad son Cobb-
onjunto en esta e onomía está
yA
( 1 − β )y B
=
,
α
βxB
ara terizado por
xA + xB = 1,
A partir de estas tres expresiones se tiene que el
yA + yB = 1
onjunto de óptimos de Pareto de esta
e onomía es
para
α( 1 − β )
x ,
β( 1 − xA ) + α( 1 − β )
A
, 1 − xA ,
β( 1 − xA )
β( 1 − xA ) + α( 1 − β )
xA ∈ ( 0, 1 ).
Los óptimos de Pareto interiores de esta e onomía están
ara terizados por la igualdad
onsumidores A y B . Ya que la ondi ión de
A está dada por la igualdad entre su tasa marginal de
de las tasas marginales de sustitu ión de los
máxima utilidad para el
onsumidor
sustitu ión y la rela ión de pre ios, enton es en todo óptimo de Pareto la tasa marginal de
sustitu ión del
ini ial
onsumidor
B es igual a la rela
ión de pre ios. Así, tomando
omo dota ión
ada óptimo de Pareto y reemplazando estas asigna iones en la tasa marginal de
sustitu ión de alguno de los dos
onsumidores, se obtiene que los pre ios que soportan a
ada uno de los óptimos de Pareto
omo asigna iones walrasianas son
px
1−β
=
py
β( 1 − xA ) + α( 1 − β )
on lo que se veri a el segundo teorema de la e onomía del bienestar.
Dado un equilibrio
orrespondiente a unas dota iones ini iales, el primer teorema del
bienestar arma que este es un óptimo de Pareto y dado este óptimo de Pareto deben
espe i arse las dota iones ini iales de los
onsumidores para que, según el segundo teo-
rema del bienestar, este óptimo de Pareto sea el equilibrio ini ial. Es
que la no ión de óptimo de Pareto es independiente de la forma
las dota iones ini iales entre los
siano sí depende de la forma
onveniente observar
omo están distribuidas
onsumidores. Mientras que la no ión de equilibrio walra-
omo estén distribuidas las dota iones ini iales, la no ión de
óptimo de Pareto sólo depende de las
antidades agregadas de las mer an ías existentes
Notas de
23
lase, Fran is o Lozano
en la e onomía. Es por esto que podemos armar que un equilibrio es un óptimo de Pareto
muy espe ial, pues todo equilibrio es un renamiento del
on epto de óptimo de Pareto.
La gura 8 muestra una asigna ión óptima de Pareto interior que no puede ser soportada
omo un equilibrio walrasiano en una e onomía en la que las preferen ias del onsumidor
A no son onvexas. Elijamos a x∗ omo la dota ión ini ial. No importa uál sea el ve tor
∗
de pre ios, el onsumidor B maximiza su utilidad en el punto x . Sin embargo, no existe
∗
ningún ve tor de pre ios tal que el onsumidor A maximi e en x , ya que los planes de
onsumo maximizadores de
A
ontienen una
antidad nula de alguna de las dos mer anx∗ sea
ías. Así, no existe un ve tor de pre ios que permita que la asigna ión de Pareto
walrasiana.
B
1
uB
b
x∗
uA
A
1
Figura 8
