Análisis Dinámico: Métodos Matricial, Energía y Superposición

T09. Métodos de análisis dinámico
Índice:




T09. Métodos de análisis dinámico
Comparación de métodos
Método matricial
Método de la energía: potencias virtuales
Principio de superposición
1
Comparación de métodos
Métodos de
análisis
Principio de
superposición
El efecto producido en un
mecanismo, por varias
fuerzas actuantes sobre el
mismo, es igual a la suma
de los efectos producidos
por cada una de las
fuerzas por separado
T09. Métodos de análisis dinámico
Matricial
Método de la energía:
Potencias virtuales
Se plantea aisladamente el
equilibrio (DCL) de cada uno
de los eslabones móviles que
componen el mecanismo,
considerando todas las fuerzas
que actúan sobre él, resultando
un sistema de 3(n–1)
ecuaciones lineales
En cualquier instante de
tiempo y despreciando las
pérdidas, la energía que
entra y sale de un sistema,
debe equilibrarse con la
energía cinética que se
almacena dentro del
sistema
2
Comparación de métodos
Métodos de
análisis
Principio de
superposición
Matricial
Potencias
virtuales
Ventajas
Desventajas
1. Se adapta mejor para la solución mediante
cálculos manuales o en forma gráfica.
2. Fácil de usar.
3. Proporciona información completa acerca de
todas las fuerzas internas en las juntas de
pasador, y de las fuerzas y pares de torsión
externos del sistema.
1. El mecanismo se debe analizar varias
veces, lo cual resulta tedioso.
2. Sólo puede ser utilizado en la solución de
sistemas lineales.
1. Se adapta mejor para la solución por
computadora.
2. Ídem al punto 3 del principio de superposición.
3. Ecuaciones válidas para todo el ciclo de
movimiento del mecanismo (excepto en
configuraciones singulares)
1. Relativa complejidad de su aplicación que
requiere la resolución simultánea de
grandes sistemas de ecuaciones lineales.
2. Solo puede ser utilizado en la solución de
sistemas lineales
1. Es más fácil de aplicar que los métodos
anteriores.
2. Es rápido
1. Sólo sirve para mecanismo de 1 GDL
2. El cálculo de reacciones implica añadir
más ecuaciones de compatibilidad (una
por cada reacción a calcular)
T09. Métodos de análisis dinámico
“aquellos en que los efectos son proporcionales
a la causa, ej.: resortes”. Sistemas no lineales
son aquellos donde existen fricción, juegos u
holguras, o cuentan con resortes donde F≠ –kx.
3
T09. Métodos de análisis dinámico
Índice:




T09. Métodos de análisis dinámico
Comparación de métodos
Método matricial
Método de la energía: potencias virtuales
Principio de superposición
4
Método matricial
Pasos para aplicar el método matricial:
1. Determinar la aceleración lineal del CDG y la aceleración de rotación de cada eslabón
móvil del mecanismo (este puede ser un dato del problema).
2. Determinar los efectos de inercia (fuerza y par de inercia) de cada eslabón móvil.
3. Realizar los diagramas de cuerpo libre (DCL) de cada eslabón móvil. Si se va a usar el
principio de D’Alembert, incluir también los efectos de inercia. Tened en cuenta la 3ª Ley
de Newton en todos los pares cinemáticos.
4. Escribir las ecuaciones de la 2ª Ley de Newton para cuerpos rígidos:
i
F
  Fext  mi  aGi
y
T
F
  Fext  Finercia =0
y
T
reac
reac
G  Freac
G  Freac
 TG Fext  Treac  Text  I i  i
 TG Fext  Treac  Text  Tinercia  0
Si se aplica el principio de D’Alembert
5. Plantear el sistema con todas las ecuaciones y ver de que tipo es (lineal, no lineal).
6. Escoger un método de resolución adecuado y resolver el sistema de ecuaciones.
T09. Métodos de análisis dinámico
5
Método matricial
Ejemplo: En la figura se muestra un mecanismo de paralelogramo del que se conocen los
siguientes datos:
1. Los centros de gravedad de los eslabones 2 y 4 están, respectivamente, en los puntos A
y D. Sus masas son despreciables.
2. El momento de inercia de los eslabones 2 y 4 respecto a su CDG será I2=I4 kg·m2
3. El eslabón 3 tiene el CDG a LBC/3 del punto B y una masa de m3 kg
4. La gravedad es de 9,81 m/s2
y tiene la dirección y sentido
del eje y negativo.
3
2
B
y
T2
A
T09. Métodos de análisis dinámico
C
2 , 2 ,  2
x
T4
4
D
6
Método matricial
Ejemplo: En la figura se muestra un mecanismo de paralelogramo del que se conocen los
siguientes datos:
5. Además, se sabe que:
3
2
B
y
T2
C
2 , 2 ,  2
x
A
T4
4
D
Se pide calcular el par a aplicar en el eslabón 2 así
como todas las fuerzas que aparecen en los pares
cinemáticos.
T09. Métodos de análisis dinámico
LAB  LCD  m
0,2
LBC  m
0,6
m3  kg 
5
I 2  I 4 kg  m2 
1
2  rad 

4
2  rad / s 
-1
 2 rad / s 2 
0,2
T4  N  m
10
7
Método matricial
Resolución:
3
2
1. Dado que no se dan la aceleración lineal
de los CDG y la aceleración de rotación de
los eslabones, se deben calcular a partir
de los datos suministrados:
B
y
T2
C
2 , 2 ,  2
x
A
T4
4
D
a) Los eslabones 2 y 4 realizan una rotación pura respecto a sus CDG
(articulaciones A y D al bastidor)
vG 2  vG 4  0
aG 2  aG 4  0
b) El eslabón 3 realiza una traslación. La velocidad de su CDG y su
velocidad de rotación se calculan con las expresiones:
3  0
T09. Métodos de análisis dinámico
vG 3  vB 2  2  AB
siendo
2  4  0 0 2 
AB  LAB cos 2
sin 2
0
8
Método matricial
Resolución:
3
2
1. Dado que no se dan la aceleración lineal
de los CDG y la aceleración de rotación
de los eslabones, se deben calcular a
partir de los datos suministrados:
B
y
C
2 , 2 ,  2
x
T2
A
T4
D
4
c) El eslabón 3 realiza una traslación. La aceleración de su CDG y su
aceleración de rotación se calculan con las expresiones:
3  0
2  4  0 0 2 
aG 3  aB 2   2  AB  22  AB siendo
AB  LAB cos 2
sin 2
0
 2   4  0 0  2 
T09. Métodos de análisis dinámico
9
Método matricial
Resolución:
2. Después se calculan las fuerzas y pares de
inercia (efectos de inercia) de todos los
eslabones móviles para usar el principio de
D’Alembert (o en el método de las potencias
virtuales):
Efectos de inercia
Eslabón 2
3
2
B
y
T2
A
C
2 , 2 ,  2
x
T4
4
D
Efectos de inercia
Eslabón 3
Efectos de inercia
Eslabón 4
Fi 2  m2  aG 2  0
Fi 3  m3  aG 3
Fi 4  m4  aG 4  0
Ti 2   IG 2   2
Ti 3   IG 3  3  0
Ti 4   IG 4   4
T09. Métodos de análisis dinámico
10
Método matricial
F32 x
Resolución:
B
2
T2
32 y diagramas de
3. Después, se realizan Flos
cuerpo libreF12
(DCL)
deTcada
eslabón móvil,
x A
i2
y
F12 y y pares de inercia.
incluyendo las fuerzas
B T4
y
T2
A
y
F32 x
B
T2
T2
F12 x A
F32 y
F12 x A
yTi 2
F12 y
x
Tened en cuenta 3ª
Ley de Newton
T09. Métodos de análisis dinámico
x
F23x
B
T4
F43x C
F32 y
Fi 3 y
F12 y
x
x
y
F14Fx D
43 y
Par R en C
F23 x  F32 x
F34 x  F43 x
B
T4
F34 y
yTi 4
F14 x D
F14 y
F34 y
Ti 4
F14 y
x
x
Par R en B
F23y  F32my3  g
F34 x C
F34 x C
Fi 3 x
TF
i 223 y y
D
DCL – Eslabón 4
m3  g
B
T4
4
DCL – Eslabón 3
DCL – Eslabón 2
C
F142 ,x
D2 ,  2 Ti 4
F14 y
x
y
x
F32 x
F34 x C
3
F34 y
m g
F34 y 3 F43y
F
C
11
Método matricial
Resolución:
3
2
4. Luego, se escriben las ecuaciones de la 2ª
Ley de Newton relativas a cada eslabón:
B
y
T2
A
DCL – Eslabón 2
F32 x
B
T2
F32 y
y
F12 x A
x
T09. Métodos de análisis dinámico
Ti 2
F12 y
C
2 , 2 ,  2
x
T4
D
4
Ecuaciones de la dinámica según D’Alembert
Eslabón 2
F  F
F  F
T  T
 0  F12 x  F32 x F034 x
T4
iy  0  F12 y  F32 y  0
C
x
ix
y
F34 y
F32  T2  Ti 2  0
i 2  0  AB F
14 x D
Ti 4
y
(que sólo tiene componenteF14
eny Z)
A
LAB  cos2  F32 y  LAB xsin 2  F32 x  T2  Ti 2  0
12
Método matricial
F32 x
F34 x C
Resolución:
B
3
2
T4
B
F34 y
F324.
y Luego, se escriben las ecuaciones de la 2ª
Ti 2
ley de Newton relativas a cada eslabón:
F14 x
D
y
F12 y
Ti 4
F14 y
B
F43x C
Fi 3 x
F23 y y
Fi 3 y
T4
4
D
Ecuaciones de la dinámica según D’Alembert
Eslabón 3
m3  g
F23x
2 , 2 ,  2
x
A
x
DCL – Eslabón 3
y
T2
C
F43 y
F  F  0   F  F
F  F  0   F  F
T  T  0  G B  F
x
ix
32 x
43 x
 Fi 3 x  0
y
iy
32 y
43 y
 Fi 3 y  m3  g  0
G3
i3
3
32
 G3C  F43  0
(que sólo tiene componente en Z)
x
LBC
2  LBC
 F32 y 
 F43 y  0
3
3
Aplicación 3ª Ley de Newton
T09. Métodos de análisis dinámico
13
Método matricial
Resolución:
3
2
4. Luego, se escriben las ecuaciones de la 2ª
Ley de Newton relativas a cada eslabón:
B
y
T2
2 , 2 ,  2
x
A
DCL – Eslabón 4
F34 x C
T4
y
F14 x D
x
m3  g
T09. Métodos de análisis dinámico
F34 y
Ti 4
F14 y
C
T4
4
D
Ecuaciones de la dinámica según D’Alembert
Eslabón 4
F
F
T
x
 Fix  0  F14 x  F43 x  0
y
 Fiy  0  F14 y  F43 y  0
D
 Ti 4  0  DC  F43  T4  Ti 4  0
(que sólo tiene componente en Z)
 LCD  cos2  F43 y  LCD  sin 2  F43 x  T4  Ti 4  0
Aplicación 3ª Ley de Newton
14
Método matricial
Resolución:
6. El sistema formado por las 9 ecuaciones de la 2ª Ley de Newton (3 de cada eslabón) es de
tipo lineal:
F12 x  F32 x




F12 y  F32 y


 LAB  cos  2  F32 y  LAB  sin  2  F32 x  T2  Ti 2 


 F32 x  F43 x  Fi 3 x




 F32 y  F43 y  Fi 3 y  m3  g
 q  
0
LBC
2  LBC


 F32 y 
 F43 y


3
3


F14 x  F43 x




F14 y  F43 y


  LCD  cos  2  F43 y  LCD  sin  2  F43 x  T4  Ti 4 
T09. Métodos de análisis dinámico
 F12 x 
F 
 12 y 
 F32 x 


 F32 y 
q   F43 x 


 F43 y 
F 
 14 x 
 F14 y 
T 
 2 
15
Método matricial
Resolución:
7. Para resolver el sistema, se
pueden utilizar varios métodos:
a) Algebraico (sólo para sistemas
lineales)
Para utilizar este método, es
necesario escribir el sistema
de la siguiente manera:
1
0

0

0
0

0


0
0

0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0  LAB  sin  2 LAB  cos  2
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
LBC
2  LBC
0
0
0
3
3
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
LCD  sin  2  LCD  cos  2
Se invierte la matriz de coeficientes A y
se premultiplica por el vector columna de
términos independientes b para obtener:
1
A q  b  q  A b
T09. Métodos de análisis dinámico
resolviendo el
ejemplo numérico
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 0
1 0
0 1
0 0
0
0

 F12 x  
0    

0
F12 y  



1





T
F
i2
 32 x
0   

F32 y    Fi 3 x


0   




F

m

g
F
 43 x
i3 y
3

  

0
0  F43 y  






0
 F
0   14 x  

0
F14 y  



0   
 T
T4  Ti 4 
0   2  
 F12 x   52.28 
 F   32.32 
 12 y  

 F32 x   52.28 

 

 F32 y   32.32 
q   F43 x    53.13

 

 F43 y   16.16 
 F   53.13
 14 x  

 F14 y   16.16 
 T   2.62 

 2  
[N ]
[ N  m]
16
Método matricial
Resolución:
7. Para resolver el sistema, se pueden utilizar varios métodos:
b) Método de Gauss (sólo para sistemas lineales)
Este es un método numérico (a aplicar con una calculadora programable u ordenador), que
convertir el sistema de ecuaciones en uno equivalente pero con la matriz de coeficientes
triangularizada para luego poder calcular todas las incógnitas por sustitución recurrente.
c) Método de Newton  también vale para sistemas no lineales (cuando se incluyen
resortes, amortiguadores o fricción)
Este es un método numérico iterativo (a aplicar con una calculadora programable u
ordenador), que permite resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Requiere una
aproximación inicial de la solución.
T09. Métodos de análisis dinámico
17
T09. Métodos de análisis dinámico
Índice:




T09. Métodos de análisis dinámico
Comparación de métodos
Método matricial
Método de la energía: potencias virtuales
Principio de superposición
18
Método de la energía: potencias virtuales
“Despreciando las pérdidas, la variación con el tiempo de la energía que
entra y sale de un mecanismo, es igual a la variación con el tiempo de la
energía cinética que se almacena en el mecanismo”
Variación con el tiempo
de la energía que entra y
sale del mecanismo
(para un tiempo y un
desplazamiento infinitesimal o
virtual)
k n
k n
dsk k n
d k k n
dE
 P   Fk 
  Tk 
  Fk  Vk   Tk  ωk
dt
dt
dt
k 2
k 2
k 2
k 2
(A)
Cambio de energía debido a todas las fuerzas y pares de fuerzas
(momentos) externos aplicados al mecanismo.
 k n  1
1

d    mkVGk2  I Gk k 2   k  n
k n
2

 k 2  2
  mk AGk  VGk   IGk k  ωk
dt
k 2
k 2
Variación con el tiempo
de la energía cinética
almacenada en el
mecanismo
(B)
Cambio de energía debido a todas las fuerzas y pares de inercia presentes
en el mecanismo.
Expresión matemática del
Método de potencias virtuales:
(A) = (B)
n: representa el número de eslabones en el sistema.
T09. Métodos de análisis dinámico
19
Método de la energía: potencias virtuales
Expresión matemática del Método
de potencias virtuales:
n
n
 F  V  T
k 2
k
k
n
Las velocidades y las
aceleraciones angulares y
lineales se deben calcular en un
análisis cinemático previo.
Igualmente, se deben conocer las
masas y los momentos de inercia
de todos los eslabones móviles.
k 2
k
n
n
k 2
k 2
 ωk   mk  AGk  VGk   IGk   k  ωk
n
n
 F  V  T  ω   m
k
k 2
k
n
k 2
k
k
k 2
n
n
k
 AGk  VGk   IGk   k  ωk  0
n
n
k 2
 F  V  T  ω   F
k 2
k
k
k 2
k
k
k 2
ik
 VGk   Tik  ωk  0
k 2
La única incógnita será el par de fuerzas o momento impulsor (o la fuerza impulsora) suministrada por el
actuador del mecanismo (motores, cilindros hidráulicos, etc.). Las fuerzas en los pares cinemáticos
(acciones mutuas) no están presentes en la ecuación porque no realizan ningún trabajo neto sobre el
sistema.
T09. Métodos de análisis dinámico
20
Método de la energía: potencias virtuales
Pasos para aplicar el método de las potencias virtuales:
1. Determinar la velocidad lineal de los puntos de aplicación de las fuerzas externas y la
velocidad de rotación de los eslabones sobre los que se aplican pares de fuerzas.
2. Determinar la velocidad lineal del CDG y la velocidad de rotación de cada eslabón móvil
del mecanismo (pueden coincidir con algunas de las ya calculadas).
3. Determinar la aceleración lineal del CDG y la aceleración de rotación de cada eslabón
móvil del mecanismo.
4. Determinar los efectos de inercia (fuerza y par de inercia) de cada eslabón móvil.
5. Calcular las potencias virtuales que realiza cada fuerza o par de fuerzas externos.
6. Calcular las potencias virtuales que realiza cada fuerza de inercia o par de inercia.
7. Sumar todas las potencias virtuales, igualar la suma a cero y despejar la incógnita.
T09. Métodos de análisis dinámico
21
Método de la energía: potencias virtuales
Ejemplo: Se utilizará el mecanismo y los datos del ejemplo realizado para el método matricial
3
2
Se pide calcular el par a aplicar en
eslabón 2.
B
y
T2
C
2 , 2 ,  2
x
T4
A
4
D
Resolución:
1. En primer lugar, hay que calcular la velocidad y la aceleración lineal
correspondientes a los CDG de los eslabones móviles, así como la velocidad y la
aceleración de rotación de estos eslabones:
Eslabón 2
vG 2  0
2
Eslabón 3
aG 2  0
2
vG 3
3  0
aG 3
3  0
Eslabón 4
vG 4  0
4
aG 4  0
4
(ya se han calculado en el ejemplo para el método matricial)
T09. Métodos de análisis dinámico
22
Método de la energía: potencias virtuales
Resolución:
2. Después, hay que calcular la velocidad lineal correspondiente a los puntos de
aplicación de las fuerzas externas:
Fuerza externa
Punto de aplicación
Peso del eslabón 3
G3
vG 3
3
2
B
y
T2
A
T09. Métodos de análisis dinámico
Velocidad del punto
de aplicación
C
2 , 2 ,  2
x
T4
4
D
23
Método de la energía: potencias virtuales
Resolución:
3. A continuación, se calculan las fuerzas y pares de inercia (efectos de inercia) de
todos los eslabones móviles:
Efectos de inercia
Eslabón 2
Efectos de inercia
Eslabón 3
Efectos de inercia
Eslabón 4
Fi 2  m2  aG 2  0
Fi 3  m3  aG 3
Fi 4  m4  aG 4  0
Ti 2   IG 2   2
Ti 3   IG 3  3  0
Ti 4   IG 4   4
(ya se han calculado en el ejemplo para el método matricial)
T09. Métodos de análisis dinámico
24
Método de la energía: potencias virtuales
Resolución:
4. Luego, se calculan las potencias virtuales debidas a las fuerzas y los pares externos:
Fuerza externa
Velocidad del punto
de aplicación
Potencia virtual
Peso del eslabón 3
vG 3
m3  g  vG 3
siendo
g m / s 2   0 9.81 0  9.81 j
Par externo
Velocidad de rotación
del eslabón
Potencia virtual
T2
2
T2  2
T4
4
T4  4
T09. Métodos de análisis dinámico
¡conocido!
¡Valor de T2 es
desconocido!
¡conocido!
25
Método de la energía: potencias virtuales
Resolución:
5. A continuación, se calculan las potencias virtuales debidas a las fuerzas y los pares
de inercia
Fuerza de inercia
Velocidad del CDG
Potencia virtual
Fi 3
vG 3
Fi 3  vG 3
Par de inercia
Velocidad de rotación
del eslabón
Potencia virtual
Ti 2
2
Ti 2  2
¡conocido!
Ti 4
4
Ti 4  4
¡conocido!
T09. Métodos de análisis dinámico
¡conocido!
26
Método de la energía: potencias virtuales
Resolución:
6. Después, se suman todas las potencias virtuales (son escalares) y se despeja la
incógnita:
m3  g  vG3  T2  2  T4  4  Fi 3  vG3  Ti 2  2  Ti 4  4  0
T2 
m3  g  vG 3  T4  4  Fi 3  vG 3  Ti 2  2  Ti 4  4
2
Evidentemente, debe salir lo mismo que con el método matricial
T2  2.62 [ N  m]
T09. Métodos de análisis dinámico
27
T09. Métodos de análisis dinámico
Índice:




T09. Métodos de análisis dinámico
Comparación de métodos
Método matricial
Método de la energía: potencias virtuales
Principio de superposición
28
Principio de superposición
El principio de superposición dice que los efectos de la aplicación de una fuerza o un par
externo sobre un mecanismo son aditivos.
Entonces, este principio tiene utilidad cuando:
1. Se desea analizar independientemente el efecto que cada fuerza o par externo tiene
sobre el mecanismo
2. Se nos ha olvidado incluir una fuerza o un par externo en el análisis dinámico
Sin embargo, este principio no es de aplicación cuando el sistema no es lineal, es decir,
cuando hay amortiguadores, fricción, holguras,…
Tampoco es de aplicación cuando se nos ha olvidado incluir una reacción (fuerzas en pares
cinemáticos).
T09. Métodos de análisis dinámico
29
Bibliografía
1. Robert L. Norton. Diseño de maquinaria. Segunda edición, McGraw-Hill, México, 2000.
pp. 554-559, 564-593.
2. David H. Myszka. Máquinas y Mecanismos. Cuarta edición, Editorial Pearson, 2012. pp.
353-363, problemas: 14-13 al 14-29.
3. J.C. García y otros. Problemas resueltos de Teoría de Máquinas y Mecanismos.
Editorial Thomson, 2007. pp. 108-111.
T09. Métodos de análisis dinámico
30