EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO ody, Arthurr J. (1997)), “Matemá ática inform mal: el passo intermedio esencial”, Baroo “Técn nicas para contar” c y “D Desarrollo del número””, en El pensamiento matemático m de los niñ ños. Un ma arco evolutiivo para ma aestros de preescolar, ciclo inicia al y educacción especcial, Genís Sánchez Barberán B (ttrad.), 3ª.ed d., Madrid, Visor (Aprrendizaje, 42), 4 pp. 33 3-47, 87-10 06 y 107-14 48. 1 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Matemá ática info ormal: El pa aso inte ermedio esencia al ¿Llegan los niños a la escue ela con unos u cono ocimientos matemáticcos Qué papel ha desemp peñado la experiencia e e signifiicativos? ¿Q concreta, especialme nte el con ntar, en el desarrollo o histórico del conocimiento ma atemático? ¿ Cuál ess la natura aleza y el alcance de d la mate emática na atural de lo os niños? ¿Por qué es imporrtante que lo os niños do ominen la matemática m formal y cu uál es la me ejor manera a de abord dar la instru ucción inicia al? ¿Cuále es son las consecuenc c cias de passar por alto o la matem mática de lo os niños? A) EL CONOCIIMIENTO MATEMATI M CO DE LO OS PREESCOL LARES Toda compre ensión teórica de un na materia a debe basarse en la realidad d y verificcarse en la práctica. Para P que teo oría y prácttica estén sólidamente s e enlazadass, a lo larg go de este libro se pressentarán diversos estu udios de casos concre etos. Por tan nto, el exa amen de los conocimientos de lo os preescollares se inicia con una a mirada a un caso real. El caso de Alison Alisson, que co ontaba con tres años y medio de edad, se hallaba h cele ebrando el segun ndo anivers sario de su hermana. PADRE: P A ALISON: P PADRE: A ALISON: P PADRE: A ALISON: Alison, ¿cuántos años hace e hoy Ariann ne? [Levan nta dos ded dos.] ¿Cuán ntos años tiiene Alison? [Levan nta tres ded dos.] ¿Cuán ntos años tiiene papá? ? [Tras unos u instan ntes, levantta cuatro de edos.] 2 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Variass semanas más tarde se produjo o la siguientte conversa ación [Levan ntando tres dedos.] ¿C Cuántos de edos hay? [Va se eñalando co on un dedo mientras cuenta.] c 1, 2, 2 3. [Levan ntando dos dedos.] ¿C Cuántos dedos hay? Es com mo Eanne [la [ edad de e Arianne ] ¿ Cuá ántos dedoss son? 2. [Saca tres moned das.] ¿Me puedes p decir con los de edos cuánttas moned das tengo aquí? a A ALISON: [Levan nta tres ded dos y se po one a contar.] 1, 2, 3, 4. 4 Au unque sin perfecciona p r, las aptitu udes matem máticas de esta niña preescolar ya tienen n cierta imp portancia. Alisan A es mu uy experta en e contar co olecciones de uno, doss y, con frrecuencia, hasta h tres objetos. o Lo cie erto es que hasta pued de reconoccer automátticamente colecciones c s de uno o dos d objeto os como «uno» « y «d dos», respe ectivamente. Si se le e presenta a un peque eño conjunto de obje etos como, por ejemplo o, tres mon nedas, es ca apaz de cre ear un mod delo con sus s dedos. En realidad, para Alison A los dedos d son un medio o natural para expre esar ideas matemática as (los usa aba, por ejjemplo, pa ara represe entar edade es). Adem más, parecía a escoger deliberadam mente cuattro dedos para p repressentar la ed dad de su u padre, en n una repre esentación distinta de e la emplea ada para la a edad de su herma ana y la suya propia a. Aunque de manera a inexacta, pudo haber elegido un núme ero mayor para p indica ar una com mparación entre e edade es: papá es mayor. ¿Es ¿ Alison n una niña preescolar típica? ¿Lllegan a la escuela e la mayoría m de los niños con c técniccas matem máticas bássicas como o contar, reconocer, r emparejarr y compa arar conjuntos? PADRE: P A ALISON: P PADRE: A ALISON: P PADRE: A ALISON: P PADRE: La matemátic ca de Aliso on se basa a en experriencias co oncretas, co omo contar y emple ear los ded dos. ¿Qué importancia a tienen esstas experie encias conccretas para a el desarrrollo mate emático de e los niños? La ma atemática de Alison tiene claras limitacciones. Po or ejemplo, contaba con exactitud y recconocía co onjuntos muy m peque eños, pero o no conju untos mayyores. ¿Cu uáles son las limitacciones de la matem mática conc creta de los niños? La matemáttica de Alison es muyy práctica. Por P ejemp plo, conecta a las repre esentacione es con los dedos con acontecim mientos imp portantess en su vida a (usaba do os dedos para p representar la edad de su hermana) y los emple ea para co omunicar sus s ideas y necesid dades. ¿Qu ué importa ancia tiene la necessidad práctiica para el desarrollo matemático m o? 3 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Do os puntos de d vista so obre el niño o preescollar La teoría de la absorción n parte del supuesto de d que los niños n llegan n a la escuela como pizarras en blanco o sobre la as que pueden escrribirse dire ectamente las matem máticas esc colares. Ap parte, quizá, de alguna as técnicas de contar aprendidas a de memo oria, se con nsidera que e los preescolares carrecen de té écnicas mattemáticas. De hecho o, el famos so teórico asociacionis a sta E. L. Thorndike T (1 1922) conssideraba a los niños pequeños tan inepto os, matemá áticamente hablando, que afirmaba: «Pare ece poco probable qu ue los niñoss aprendan n aritmética antes de se egundo currso por muccho tiempo que se de edique a elllo, aunque hay mucho os datos arritméticos que se pued den apren nder durante e el primer curso» (p. 198). Adem más, la teorría de la absorción ind dica que la a técnica pa ara contar que q tienen los niños cu uando se in ncorporan a la escuela a es esenccialmente irrrelevante o constituyye un obstá áculo para llegar al dominio d de e la matem mática form mal. Con la l instrucción formal, la adquissición del conocimiento matem mático real vuelve a partir básica amente desde cero. La teoría cogn nitiva sostie ene que loss niños no llegan a la escuela e com mo pizarras en blanco o. La recie ente investiigación cog gnitiva dem muestra que, antes de empezarr la escola arización formal, f la mayoría de d los niñ ños adquie ere unos conocimien c tos consid derables so obre contarr, el númerro y la aritm mética. Ade emás, este conocimiento adquirido de manera inform mal actúa co omo fundam mento para a la compre ensión y el dod minio de las mattemáticas im mpartidas en e la escuella. En poca as palabras, las raíces de las aptitudes matemáticas m s llegan hasta la ép poca preesscolar y el éxito de la enseñ ñanza esco olar se fund da en este conocimiento aprend dido de man nera inform mal. Para apreciar a me ejor la impo ortancia de este eleme ento básico, examinare emos cómo ha evoluccionado el conocimien nto matemá ático en el transcurso t de la historria humana. B) BREVE HIISTORIA DE D LA MAT TEMÁTICA Inicios concrretos Se entido numé érico básico o. El ser hu umano, com mo algunass otras esp pecies, pare ece estar dotado de e un sentid do numéricco primitivo o. Podemo os percibir fácilmente e la difere encia entre un u conjunto o de un elem mento y una a colección de muchoss elementoss, o inclusso entre una colección n pequeña y otra gran nde. Podem mos ver si se s añade o se quita algo de una u coleccción. Esta percepción n directa puede serr muy útil en determ minadas circunstancia as pero no en otras, como en el e caso de distinguir una u banda ada de ocho aves de otra o de nue eve. Mé étodos con ncretos de contar. Para P llevar la cuenta a del tiempo y de sus s perten nencias, nu uestros anttepasados prehistórico os idearon métodos basados b en n la 4 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO equiva alencia y la correspo ondencia biunívoca. b La equivallencia podía ofrecer un registro de los días transcu urridos, por ejemplo, desde d el último plenilunio: añadir un guijarrro cada noc che hasta que q la luna llena l volviera a apareccer. De la misma m mane era, para llevar l la cu uenta de un na colección de pieless animales,, un cazado or podía ta allar una muesca m en un u palo o un n hueso porr cada piel añadida a al montón. Esste proceso o de equiva alencia crea una corre espondencia biunívoca a: ni más ni menos que e un elemento del co onjunto de muescas por p cada ele emento del conjunto de d pieles. Más M adelan nte, para comprobarr si todavíía estaban todas lass pieles (ssi seguía habiendo h u una corresspondencia a biunívoca), éstas pod dían emparrejarse una a a una con ·las muesccas del pa alo para con ntar. Re estos del pasado. p Nu uestras len nguas toda avía tienen n restos de e las époccas prenu uméricas. Por P ejemplo, en castella ano hay varias formass de expresar «dos»: par, p pareja a, dúo, dob ble, día da, etc. En ép pocas máss primitivas, estos térm minos pued den haberrse usado para desig gnar una pluralidad de objetos o categoría as de obje etos especcíficos: un par p de ojos, una pareja a de personas, un dúo musical, un na bifurcación. De la misma ma anera, los diversos d térrminos para a expresar «muchos» (por ejemp plo, multitud, masa, banda, ma anada) desscribían en su día colecciones específicas e de más de d dos o tre es elemento os (por ejem mplo, un ca ardumen de e peces, una bandada de aves). Inicialmen nte, el número no era más que una u cualidad d o una carracterística de un ob bjeto determ minado (Chu urchill, 1961). Má ás allá de lo o puramen nte concretto A medida m que e las sociedades cazad doras-recolectoras dab ban paso a comunidad des seden ntarias basa adas en la agricultura y el comerrcio, llevar la l cuenta del tiempo (por ejemp plo, las esta aciones) y las posesio ones fue hacciéndose cada vez má ás importan nte. En co onsecuencia a, también fue en aum mento la ne ecesidad de e métodos más precissos de numeración y medición basados b en n contar. Co ontar es la base b sobre la que hem mos edifica ado los sis stemas num mérico y aritmético, a de papel tan t esencia al en nuesstra civiliza ación avan nzada. A su u vez, el de esarrollo de e contar esstá íntimam mente ligado oa nuestros diez de edos. Dantzzig (1954, p. p 7) afirma: A sus s diez ded dos articulad dos debe e! hombre h su éxito é en e! cálculo. c Esto os dedos le han h enseñ ñado a conta ar y, en conssecuencia, a extender infinitamente e! alcance de! d número. Sin este in nstrumento, la aptitud numérica n dell hombre no o podría hab ber ido much ho más allá del sentido rudimenta ario del núm mero. y es razonable aventurar a qu ue, sin nuesstros dedos, el mero y, en consecuenc c ia, el de lass ciencias exxactas a lass que debem mos desarrrollo del núm nuestrro progreso material e in ntelectual, se e hubiera vissto irremedia ablemente menguado. m 5 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Co ontar con lo os dedos es e el tramp polín que permite p sup perar las lim mitaciones de nuesttro sentido numérico natural. Donde D los antropólog gos no han encontra ado señales del emp pleo de loss dedos pa ara contar, la percepcción del nú úmero es muy m da (Dantzig g, 1954). Por ejemplo, en unos estudios e realizados co on aborígen nes limitad de Au ustralia que e no había an alcanzad do la etapa a de contarr con los dedos d sólo se encon ntraron uno os pocos que pudieran identificar el e 4 y ningu uno que pud diera disting guir el 7. En E este esttado natura al, los aboríígenes no desarrollan d conceptos básicos de e la cantid dad y la me edida (Dase en, 1972; De Lemos, 1969). 1 Nú úmero abstrracto. Es probable p qu ue contar fuera f el medio por el que nuesstra civilización desa arrolló un concepto c a abstracto de el número: un concepto que ha ace posible la matem mática (Dan ntzig, 1954). El matemá ático Bertra and Russelll afirmaba que q do eras antes de que e se recon nociera que e las distintas pudieron haber transcurrid dades (por ejemplo, un par de ojjos, una pa areja de pe ersonas, un na bifurcació ón) dualid eran casos c del número n 2. Nuestros N de edos constituyen la ba ase común para designar distinttas dualida ades concre etas como casos del número n 2. Los dedos proporcion nan mode elos fácilme ente asequ uibles de colecciones c s de uno a diez objetos. Pued den levanttarse dos dedos, d porr ejemplo, para indica ar un par de d ojos o una yunta de caballos. Con el e tiempo, el nombre e de esta colección modelo (< <<dos») pu udo aplica arse a cualq quier coleccción concre eta que se correspond c iera con do os dedos. Du urante un largo l perío odo de la historia, lo os términoss para «do os», «tres» » y «mucchos» sirvie eron adecua adamente (Smith, ( 192 23). A mediida' que fue e creciendo o la necessidad de un na precisión n mayor, co ontar se co onvirtió en un instrume ento esenccial. Conta ar coloca lo os nombress de las co olecciones modelo en n un orden y ofrece una u altern nativa conve eniente a la equivalencia para asignar a nom mbres num méricos. Podía hacerrse una pettición directtamente co on la palabrra siete y cumplirse c p posteriorme nte contando siete objetos. o Con nectar los dos d aspecto os del núme ero. El núm mero tiene dos d funciones: nombra ar y orden nar. El aspe ecto nomin nal, o cardiinal, trata de d los elem mentos que e contiene un conjunto dado. Nombrar un u conjunto o no requie ere contar necesariamente. Como amos de ve er, un conju unto puede clasificarse e como «cin nco», por ejemplo, e si sus s acaba eleme entos se corresponde c en exactam mente (es decir, pueden formar una corrresponde encia biunív voca) con los elementtos de una colección modelo m (po or ejemplo, los dedoss de una mano) den nominada «cinco». Por P tanto, nombrar conjuntos sólo s requie era coleccio ones modelo como loss ojos para representa ar dos, una hoja de tré ébol para representar r r tres, las patas p de un caballo pa ara el cuatro o, etc. El aspecto de e orden, u ordinal, de el número, está relaccionado con contar y se refiere e a colocar coleccione es en sucesión por orde en de magn nitud. Conta ar proporcio ona 6 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO una secuencia s ordenada o d palabrass (la serie numérica) que puede de e asignarse e a coleccciones cad da vez mayyores. Para a contar una colecció ón, una pe ersona asig gna sucessivamente términos t de e la serie nu umérica a cada c elemento de la co olección ha asta que ha h asignado o un nombrre a cada uno de los elementos. e El número asignado a la coleccción especifica la mag gnitud relativa del conjunto. Por ejemplo, e si se s ha conta ado una colección c y se le ha a asignado la palabra a «cinco», será mayyor que ottras designadas con uno, dos, tres o cuatro o y menos que q las dessignadas co on seis o más. ontar con lo os dedos pu uede enlazar los aspe ectos cardin nal y ordina al del núme ero. Co Para representa ar una cole ección com mo, por eje emplo, el número n ca ardinal 4, una u ona sólo tie ene que le evantar cua atro dedos simultáne eamente. Para P contarr la perso misma colección n, la person na levanta cuatro ded dos en suce esión. Los resultados de conta ar son idé énticos a los de le evantar sim multáneame ente cuatrro dedos (la repressentación cardinal). c P tanto, nuestros Por n de edos son un u medio para p pasar sin esfue erzo de un aspecto a dell número al otro (Dantzig, 1930-1954). El de esarrollo de e un sistem ma de num meración co on órdenes s de unida ades de bas se diez A medida qu ue las socciedades y las econ nomías se e fueron haciendo h m más .comp plejas, aumentó la pressión encam minada a con ncebir siste emas de rep presentació ón y de cá álculo que e pudieran aplicarse con efica acia a gra andes canttidades. Pa ara repressentar un rebaño de 124 ove ejas, el empleo de un sistem ma de con ntar estableciendo corresponde c encias es muy incóm modo. Las tareas co on cantidad des grand des inspiraro on la idea de d hacer ag grupamiento os, y nuestrros diez ded dos ofrecieron una base b natura al para ello (Churchill, ( 1961). Por ejemplo, cuando una oveja pasa aba junto al pastor, éste la co ontaba con n los dedo os. Cuando o llegaba a diez, podía a cantidad con un gu uijarro. Con n las mano os libres ottra vez, podía repressentar esta prose eguir el recu uento. A me edida que se s iban acu umulando lo os guijarross, podía haber simpliificado aún n más el proceso susstituyendo diez guijarros por un na piedra. Por P tanto, la piedra a pasaría a represen ntar 10 de ecenas, o sea 100. Como esstos agrup pamientos se s basan en el 10 y en múltiploss de 10, el sistema s em mpleado por el pastor se denom mina sistem ma de base diez. Si tu uviéramos doce d dedoss, es proba able h hechos esstas agrupa aciones de doce en do oce y hoy tendríamos un que hubiéramos sistem ma de base doce. Nuesstro sistema de base diez d es, sim mplemente, un «accidente fisioló ógico» (Dan ntzig, 1930--1954). El primer sisttema numé érico conoccido apareció hacia el e año 350 00 a. de C. C e incorp poraba un concepto de d base die ez (Bunt, Jones J y Bedient, 1976 6). El sistema cuneifforme de lo os sumerioss y el siste ema jeroglíffico de los egipcios e em mpleaban una u coleccción de traz zos para re epresentar los números del 1 al 9 (véase la fig. 2.1.A). Un 7 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO agrup pamiento de e decenas se s representaba con un u símbolo o especial. Más M adelan nte, los grriegos y los s romanos desarrollaro d on sistemas diferentess. Sin embargo, ningu uno de esttos sistema as numérico os antiguoss se prestab ba con facilidad al cálculo aritmético, como demostrarrá rápidame ente el inten nto de realizar la suma a de la figura 2.1.B. Aunque los símbolos s esscritos se han usado o para reprresentar nú úmeros dessde tiempos prehistó óricos, el de esarrollo de e unos procedimientoss de cálculo o eficaces tu uvo que esperar hastta la invencción de un sistema s de numeración n n posicional. En un sistema posiciional o de órdenes de d unidades, el lugar de una ciifra define su valor. Por P ejemp plo, en el nú úmero 37 el 3 ocupa el e lugar de la as decenass y de ahí que represente tres decenas, d y no n tres unid dades. Esto o elimina la a necesidad d de símbollos especia ales para representar r r 10 y múltiplos de 10, como ocu urre con loss jeroglíficoss egipcios. En un sisstema con órdenes de e unidadess, pueden usarse u diezz cifras (de el 0 al 9) pa ara repressentar cualquier núme ero, aun loss números grandes, g de e una mane era compaccta. ¡Piénssese, por ejemplo, en e lo que haría falta a para rep presentar 9.999.999 9 c con jeroglíficos! Fig gura 2.1 Co omparación de distinto os sistemass numéricoss * El sisteema babilonio se adoptó a paartir del anterior sistema sum merio. Obsérveese que la num meración babilo onia empezó ó como un sistema de base diez d pero juego o cambió a agru upamientos baasados en 60 y múltiplos de 60. 6 Nótese que los símbo olos para 1 y 60 0 son idénticoss (Bunt et al., 1976). 1 La posiciión se usaba paara indicar el 8 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO valor (p por ejemplo, 63 3 se escribía Ῡ Ῡ Ῡ Ῡ). Al igual que el sistem ma babilonio, la l numeración romana no era un sisteema puro de baase diez. Con todo, t la numeración posicional p es una ide ea relativam mente abstracta y no se impro ovisó con ra apidez. Es probable p qu ue el impulsso para un sistema po osicional fuera produ ucido por la necesidad d de anotar por escrito o las operacciones realizadas con un ábaco o. El ábaco ilustrado en e la figura 2.2 utiliza un u modelo de d base die ez: la colum mna de la derecha re epresenta la as unidade es, la siguie ente representa grupo os de diez y la siguie ente grupos s de cien. De D acuerdo con esto, la a figura 2.2 2.A represe enta el número cuatro ocientos tre einta y dos (432) Y la figura f 2.2.B B el cuatroccientos dos (402). Loss usuarios de ábacoss no debiero on tener difficultades con c las colu umnas vaccías hasta que tuviero on que haccer un regisstro perman nente de su us cuentas. El registro de la figu ura 2.2.C, por p ejemplo o, ¿represe enta 42,402 2 ó 4.002? Parece se er que el 0 se inventtó para sim mbolizar un na columna a vacía y evitar e esta confusión (por ejemp plo, Engle ehardt, Ashllock y Webe e, 1984). Parece que, al principio o, el O significaba algo vav cío o en blanco, no la nad da (ningún objeto). Co on la inven nción del O fue posible e la conce epción de un sistema numérico n po osicional (ccon órdeness de unidad des). Esto hizo h posible la elaborración de algoritmos aritméticos a q podían que n ser aprend didos por casi c todo el mundo. La invencción del O es e uno de los mayorres logros de la histo oria huma ana, y fue un u hito cruccial que hizzo posible la ciencia y el comerrcio modern nos (Dantzig, 1954). En realidad, los procedimientos de cálculo escrito e sólo o se han ve enido usan ndo duran nte los últim mos trescien ntos años de d la historia a de la hum manidad. Ha ace sólo un nos centenares de añ ños, lo norm mal en Euro opa Occiden ntal era con ntar con los dedos. En los libros y las unive ersidades se s enseñab ba a hacer cálculos arritméticos con c los dedos. plear los de edos para contar y re ealizar las operacione es aritméticcas «El arte de emp e la persona cultivad da» sencilllas era, en aquellos tiempos, uno de loss logros de (Dantzig, 1954, p. p 11). . 9 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Fig gura 2.2 Re epresentaciones concrretas y escrritas de núm meros en un ábaco. o de la matemática fo ormalizada El desarrollo omo la histo oria del número, la historia de la a matemátiica en gene eral (véase e la Co tabla 2.1) indica a que los métodos m y las formula aciones de cariz inform mal o intuittivo eden a la matemática m e exacta y fo ormalizada y actúan co omo base para p la misma prece (Kline e, 1974). Lo o normal es e que las pruebas deductivas d rigurosas (el ( empleo de principios generales para demostrar d p proposicion nes de una a manera ló ógica) sigan na ideas inductivas s (descubrimiento de relacioness mediante e el exame en de caso os). Básicamente, los s matemáticcos utilizan pruebas pa ara compro obar sus ide eas intuitiva as o inform males. Las pruebas p pu ueden deterrminar si un na idea es lógicamentte coherente o no. También pueden demo ostrar si un na idea se aplica a un u caso aisslado o a una u amplia a gama de casos. La perspectiv va histórica indica que e la matem mática se en ncuentra en n permanente evolucción. Nues stros siste emas numérico y aritmético son s la culminación de 10 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO literalmente mile es de año os de inve entiva y pe erfeccionam miento. El conocimiento mático se ha construido lentamente, idea tras idea. El conocim miento que e el matem adulto o medio de nuestra culltura da porr sentado no o estaba dissponible ha ace unos miiles de añ ños y ni siquiera ciento os de añoss atrás. Con frecuenciia se inven ntaban nuevvos métod dos a partir de necesid dades prácticas y se ad doptaban a causa de su s utilidad. Por P ejemp plo, los egipcios se vieron v forza ados a invventar la arritmética y la geomettría eleme entales parra poder vo olver a colo ocar las hita as que marrcaban los límites de los campos que el Nilo N inundab ba cada priimavera (Bunt et al., 1976). 1 La verdad es que, como se muestra en la ta abla 2.1, no o era frecu uente que los nuevoss métodos se adopttaran de in nmediato ya a que no «caían « bien n», es deccir, no enca ajaban en las pauta as de pensa amiento pro opias de la época. é Ta abla 2.1 Bre eve historia a del desarrrollo de la matemática m 0-300 a. de C. 3.000 Egipcios y bab bilonios con nciben los principios p e esenciales d de la matemática m a: rudimenttos de ARITMETICA (NUMERO OS ENT TEROS PO OSITIVOS Y FRACC CIONES), ALGEBRA A Y GEOMETRIA. Los resultados se acceptan pura amente sob bre una a BASE EM MPIRICA. Lo os númeross negativoss y el 0 no se con nocen. 600-3 300 a. de C. La Grecia G clássica es la prrimera civilización en la que florece la matemática m a. Los grieg gos clásico os son los primeros en e con ncebir la MATEMATIC M CA DEDUC CTIVA. Los Elementtos (pru uebas geométricas) de d Euclide es son el producto de d tresscientos años de ensa ayo intuitivo o y error. Loss griegos de Alejandría, los hindúes y los árabes con nciben y emplean e N NUMEROS IRRACIONALES (p por ejem mplo, √2 ) que q son acceptados grradualmente a causa de d su utilidad u (porr ejemplo, √2 √ = la diag gonal de un cuadrado de d lado os = 1). 600 d. de C. Loss hindúes in ntroducen los NUMER ROS NEGA ATIVOS, qu ue no son acepta ados durantte mil añoss a causa de d su falta de d sop porte intuitivo. Por ejemplo, loss grandes matemáticos Desscartes y Fermat re echazaron trabajar con c númerros neg gativos. 11 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO 700 d. de C. aprox. Loss hindúes in nventan, o adoptan, un u símbolo o para el «0 0» para indicar una u column na vacía o en blanco. Los árabes optan la num meración hindú h y, desspués de ce entenares de d ado año os, las cifrass arábigas llegan a se er de uso co omún. 1540 d. de C. ap prox. Apa arecen los NUMEROS S COMPLE EJOS (por ejemplo, e √--1) pero o no son acceptados ha asta cerca de d doscienttos años más tard de. 1650--1725 d. de e C. New wton y Leib bniz crean el e CALCULO O. Cada un na de las trres edicciones de The Matthematical Principiess of Naturral Phililosophy de e Newton ofrece o una explicación n distinta del d con ncepto bássico (las derivadas). d El primerr artículo de d Leib bniz recibió el nom mbre de «enigma» « en vez de d «exxplicación».. A pesar de e sus funda amentos vagos e incluso inco orrectos, el e cálculo encontró muchas m ap plicaciones a travvés de enfo oques intuitiivos. Finale es del s. XIX X Se establecen n los funda amentos ló ógicos del sistema nun mérrico, el álgebra á y el análisis (el cállculo y sus amp pliaciones). Véase en Burn et all (1976, pp 22 26-230) una explicación e más detallada. C) DE ESARROLL LO MATEM MÁTICO DE E LOS NIÑO OS En muchos aspectos, a e desarrollo matemáttico de loss niños corrre paralelo el o al desarrrollo histórrico de la matemáticca: el cono ocimiento matemático m o impreciso o y concrreto de los niños n se va a haciendo cada vez más m preciso o y abstractto. Parece ser que, al a igual que e los seres humanos primitivos, los niños poseen p algú ún sentido del núme ero. Con el tiempo, loss preescola ares elaborran una am mplia gama de técnicas a partir de su mate emática intu uitiva. Reca apitulando la historia, la l matemáttica no esco olar o mattemática infformal de lo os niños se e desarrolla a partir de necesidades práctica as y experriencias con ncretas. Co omo ocurrió ó en el desa arrollo histó órico, conta ar desempe eña un pa apel esenc cial en el desarrollo d d este co de onocimiento o informal. A su vez,, el conoccimiento infformal de lo os niños pre epara el terrreno para la matemátiica formal que q se imparte en la escuela. Además, A y re eproducien ndo la historria cultural, el dominio de la num meración posicional p y de los algoritmos de cálculo ba asados en este e concepto constituye un pa aso gigante esco para lo os niños. En E realidad, los niños no aceptan y 12 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO apren nden de inm mediato la matemática m formal que se imparte e en la escuela ya que, en generral, choca con c sus pau utas actuale es de pensa amiento. Cono ocimiento intuitivo Se entido naturral del núm mero. Duran nte mucho tiempo se ha creído que los niñ ños peque eños carec cen esencia almente de e pensamie ento matem mático. En una ocasión, Willia am J ames caracterizó c el mundo infantil com mo una confusión resp plandecientte y rumorosa. Sin embargo, e in nvestigacion nes recientes (por eje emplo, Starkkey y Coop per, 1980; Starkey, Spelke S y Gelman, G en prensa) ind dican que incluso i los niños de seis s es de edad pueden distinguir enttre conjunto os de uno, dos y tress elementoss, y mese entre conjuntos de tres y cu uatro eleme entos. ¿C Cómo pueden determiinar los psicólogos qu ue los niñoss pequeñoss poseen este e sentid do numéric co básico? Para ver si un niño pequeño puede disccriminar en ntre conju untos de can ntidades disstintas, el psicólogo p le e presenta, por ejemplo o, una imag gen con trres objetos s (por ejemp plo, Starkey y Cooperr, 1980). Interesado por este nue evo estím mulo, e beb bé fija su mirada en n la image en. Sin em mbargo, tra as varias prep senta aciones seg guidas de trres, la nove edad desap parece y la a atención disminuye. d En este momento, el psicólogo introduce e un conjun nto de cuattro (o dos) objetos. Si el niño no n se percata de la diferencia, d s seguirá sin prestar ate ención. Sin embargo, los niñoss tienden a prestar atención a otra vez, ind dicando qu ue se dan cuenta de e la difere encia. ¿R Realmente presta aten nción el niñ ño a los ca ambios de cantidad? c E el ejemplo En anterior, los niño os se van aburriendo a paulatinam mente con el e «tres» aun cuando se introd duzcan obje etos distinttos o se modifique m la a posición de los tre es objetos. La distrib bución de los objetos no influye en la aten nción. En re ealidad, y tras ver varrios ejemp plos de tres s objetos, lo os niños se interesan menos m en oír o una secu uencia de tres t sonid dos que una a secuencia a de dos o cuatro. c Pare ece que es la cualidad d de tres lo que q dejan n de enconttrar interesa ante. Al parecer, los niños n peque eños posee en un proce eso de enumeración n o corresspondencia que les permite disstinguir entre pequeñ ños conju untos de objjetos. El alcance y la l precisión n del sentido numérico o de un niño o pequeño son limitados. Los niños n peque eños no pu ueden distin nguir entre conjuntos mayores como c cuatro oy cinco. Además, el hecho de que pa arezcan ca apaces de tratar, porr ejemplo, los untos de tres t y cua atro elementos de una u manerra distinta, no signiffica conju necessariamente e que sepa an que 4 es e más qu ue 3. Es decir, d aunq que los niñ ños peque eños disting guen entre números pequeños, p q quizá no pu uedan orde enarlos por orden de d magnitud d. 13 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO No ociones intu uitivas de magnitud y equivalen ncia. A pesar de tod do, el sentido numé érico básico o de los niños constittuye la basse del dessarrollo mattemático. Los L preesscolares pa arten de este e sentido del núm mero y desarrollan conocimient c tos intuitivvos más so ofisticados. Es a partir de la exp periencia co oncreta de la percepción directa que los niños n empie ezan a com mprender nociones co omo la mag gnitud relativva. Concrretamente, se da una diferencia evidente entre e el uno o y coleccio ones mayorres (Von Glasersfeld d, 1982). Un U niño, po or ejemplo,, puede tom mar un blo oque con una u mano o. Tomar do os bloques requiere la as dos man nos o dos in ntentos succesivos con n la misma a mano. Tres T bloque es no se pueden p tom mar simultá áneamente con las dos d mano os. Aunque estas diferrencias pue eden pareccer trivialess para un adulto, a son de imporrtancia fund damental para p el niñ ño pequeño que juega, y ofrece otra ba ase concrreta para distinguir y ordenar o el 1, el 2 y mucchos. Cu uando emp piezan a an ndar, los niños n no só ólo distingu uen entre conjuntos de tamañ ño diferente e sino que pueden p haccer comparraciones gru uesas entre e magnitudes. A loss dos años s de edad aproximad damente, lo os niños aprenden a p palabras pa ara expre esar relacion nes matemáticas (Wagner y Waltters, 1982) que puede en asociarse ea sus exxperiencias s concretass. Pueden comprender c r «igual», «diferente» « y «más». Por P ejemp plo, Alfred Binet (196 69), el padrre de las modernas m p pruebas de e inteligenccia, pregu untó a su hijja de cuatro años de edad, e Made eleine, que e comparara a los tamañ ños de co onjuntos pa arecidos a los dos que q se mu uestran en n la figura 2.3. Aunq que Made eleine sólo podía con ntar hasta tres, pudo señalar co on mucha exactitud los conjuntos que te enían más elementos. e Po osteriores prruebas dem mostraron que los juicio os intuitivo s de Madeleine sobre los conjuntos que te enían más elementoss se basaba an en indiccios percep ptivos como o la zona abarcada por p cada co onjunto (Gin nsburg, 198 82). De manera intuitivva, Madeleine escog gía como «más» « el conjunto que q abarca aba más exxtensión. Otros O indiccios perce eptivos, como la lon ngitud, tam mbién pued den ofrece er una ba ase para las evaluaciones inttuitivas. En muchos ca asos, la má ás larga de e dos hilera as suele ten ner o más objetos. Invvestigacione es reciente es confirman los resulttados de Binet. Cuand do se les pide que determinen d cuál de doss conjuntoss tiene «má ás», los niño os de tres años a de edad, los preescolares s atrasado os y los niños peque eños de cu ulturas no alfabetizad das en hacerlo rápidamente y sin contar (Baroo ody y Ginsb burg, 1982b b). Casi tod dos puede los niiños que se s incorporran a la esscuela deb berían ser capaces de distinguir y nomb brar como «más» « el mayor m de do os conjunto os manifiesstamente diistintos. (Usar correcctamente «menos» ess mucho má ás difícil y pu uede que no n se aprend da antes de e la escue ela). El niño o que no pue eda usar «m más» de essta manera intuitiva puede presen ntar consid derables prroblemas educativos. 14 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Fig gura 2.3 Ele ementos de e una prueb ba para la noción n «má ás» n embargo o, como lo os niños basan suss juicios en e las apa ariencias, las Sin comparaciones que hacen n entre mag gnitudes pueden ser incorrectass. Aunque es frecue ente que el aspecto re efleje fielme ente la canttidad, los in ndicios percceptivos como el área y la longittud no siem mpre son ind dicadores precisos p de la cantidad. Por ejemp plo, dos bandejas b de d caramelos pueden n ocupar la l misma superficie pero pued den contener cantida ades difere entes porqu ue los cara amelos está án agrupad dos más de ena que en ottra. Por otrra parte, po odemos ten ner dos bandejas con n el samente en una elos pero que ocupan una superficie distinta porque los mismo número de carame caram melos están n más juntos en una qu ue en otra. La tarea de co onservación n de la canttidad (por ejjemplo, Pia aget, 1965) demuestra de a concluyen nte las limita aciones dell conocimie ento intuitivo o de los niñ ños. En prim mer forma lugar, se estable ece la igua aldad de do os conjunto os por equivalencia. El E examinad dor forma a una hilera a de, digam mos, siete bloques b bla ancos y pide e al niño que coloque e la misma cantidad de bloque es azules. Se S insta al niño a que e haga corrresponder un bloque azul a cada c bloqu ue blanco. Una vez establecida a esta corrresponden ncia biunívvoca (véase e la fig. 2.4.A) se pide al niño que e confirme si s las dos hileras tienen n el 15 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO mismo número de d objetos. Puesto que e la longitud d proporcion na una base e precisa pa ara ntidades re elativas, aun los niñoss de tres años a de ed dad están de aprecciar las can acuerrdo en que ambas hile eras tienen la misma cantidad. c A continuació c ón se modifica el aspecto de uno de los conjjuntos para a ver si el niño contin núa creyendo o no qu ue los dos conjuntos son coordinables (tienen la misma cantid dad). Mienttras el niño o observa, se s alarga o se acorta a una de la as hileras. Por P ejemp plo, en la fiigura 2.4.B se observva que se ha h alargado o la hilera azul. a Una vez v modifficada la lon ngitud se vu uelve a preg guntar al niñ ño si las do os hileras tie enen la misma cantid dad. Como la longitud ya y no refleja fielmente e la cantidad d, los niños que se bassan en el aspecto pa ara juzgada a se equivoccan. ¡En re ealidad, los niños pequ ueños insistten en qu ue la hilera más larga a tiene máss! Parecen estar convvencidos de e que los dos d conjuntos de lon ngitudes disstintas no son s equivale entes. Piag get (1965) denominó d « «no conse ervación» a este fenóm meno porque el niño no o mantiene (conserva)) la relación de equivalencia iniicial tras una transfformación del aspeccto (irreleva ante para la dad). Es ev vidente que la comp prensión inttuitiva que tienen loss niños de e la cantid magn nitud y de la a equivalenccia es Imprrecisa. No ociones intu uitivas de la a adición y la sustraccción. El sen ntido del número tamb bién permiite a los niños reconoccer si una co olección ha a sido altera ada. Los niñ ños reconoccen muy pronto p que añadir a un objeto a una a colección hace h que se ea «más» y que quitarr un objeto o hace que e sea «me enos». En un estudio o (Brush, 1978) se mostraban m d dos recipientes a unos preesco olares. Se colocaban c p pantallas delante de lo os recipien ntes para que el niño examinado no los pudiera ver. Me ediante un proceso de corresspondencia a, se coloca aba el mism mo número o de objeto os en cada recipiente: al tiempo que se colocaba c un n objeto en uno de loss recipiente es se coloca aba otro en n el otro recipiente. r Cuando C el niño había a manifesta ado que loss dos recipientes oculltos contenían la mis sma cantida ad de objetos, se le ha acía observvar cómo se añadía o se ba un objetto de uno de d los recip pientes. Lo os niños no tenían difiicultades para quitab recon nocer que la a adición o la sustraccción de ob bjetos modificaba la ca antidad de un recipiente y, com mo resultad do, modificcaba la rela ación de eq quivalencia a entre amb bos e los niños iden ntificaban fá ácilmente como c «máss» el recipiente recipientes. Por ejemplo, e se había añadido a un objeto. Parrece que lo os preescola ares ya posseen una ba ase al que intuitivva para com mprender la a adición y la sustraccción. Sin n embargo,, la aritméttica intuitiva a se limita a modifica aciones evid dentes. Si los recipientes conttienen inicialmente cantidades c desigualess, la aritmética intuittiva emplo, si al principio o se coloccan cinco objetos en n uno de los fracassa. Por eje recipientes y nueve en el otro, o los niños identifiicarán corrrectamente a este último como «más». Pe ero si a con ntinuación se añaden dos objeto os al recipie ente que tie ene e y cuatro al a que tiene e cinco, los niños pien nsan que ah hora es éstte el que tie ene nueve 16 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO más. Para los niiños peque eños, 5 + 4 es «más que» q 9 + 2 porque han n visto que se bjetos al priimer recipie ente. Evide entemente, la aritméticca intuitiva es añadíían más ob impre ecisa. Cono ocimiento informal na prolonga ación práctiica. Los niñ ños encuen ntran que el e conocimiiento intuitivvo, Un simple e y llaname ente, no es suficiente para p aborda ar tareas cu uantitativas. Por tanto, se apoya an cada vez z más en in nstrumentoss más preccisos y fiable es: numera ar y contar. En realidad, poco después d de e empezar a hablar, los niños empiezan a aprender los nomb bres de los números. Hacia los dos d años de edad, em mplean la palabra p «do os» para designar d to odas las plu uralidades: dos o más objetos (W Wagner y Walters, W 198 82). Hacia a los dos años y med dio, los niño os empieza an a utilizar la palabra a «tres» pa ara designar «mucho os» (más de dos objettos). Al igua al que Alliso on, muchoss niños de trres años usan «uno o», «dos» y «tres» corrrectamente e y emplea an un términ no mayor que q tres (por ejemplo, «cuatro» ») para ind dicar «much hos». Al ettiquetar collecciones con c 17 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO núme eros, los niñ ños poseen un medio preciso p parra determinar «igual», «diferente» »o «máss». Los pree escolares incluso i lleg gan a descubrir que contar c pued de servir pa ara determ minar exacttamente loss efectos de e añadir o sustraer s can ntidades, al menos si son s peque eñas, de un na colección. Po or tanto, con ntar se bassa en el con nocimiento intuitivo y lo complem menta en grran parte.. Por ejemp plo, contar proporcion na una etiqueta común «<tres») a tripletas de objeto os distintos s y distribucciones diferrentes que los niños ven v como equivalentes e sa una edad e tan corta como los seis meses. m Med diante el empleo de la percepción directta juntamen nte con contar, los niños descu ubren que las etiquetas numériccas como o «tres» no están e ligada as a la aparriencia de conjuntos c u objetos y son s útiles pa ara especcificar conju untos equivvalentes. Co on el tiempo, esta com mprensión proporciona p a la base para el em mpleo de etiquetas e numéricas como c «siete e» o «dieccinueve» pa ara identifficar como equivalenttes conjunttos que no pueden ve erse como tales. Con ntar ofrece e a los niño os el vínculo o entre la percepción p directa con ncreta, si biien limitada a, y las id deas mate emáticas abstractas, pero gene erales. Contar coloca el núme ero abstra acto y la aritmética ele emental al alcance a dell niño pequeño. Lim mitaciones. Aunque la matemática inforrmal representa una a elaboración funda amentalmen nte importa ante de la l matemá ática intuittiva, también presen nta limitacciones prác cticas. El contar y la aritmética a informal se hacen cad da vez men nos útiles a medida que q los núm meros se hacen mayo ores. El tiem mpo y el esfuerzo men ntal reque eridos par~ contar o ca alcular de un na manera informal se e hacen eno ormes y lleg gan a ser prohibitivos s. A medida a que los números aumentan, loss métodos informales se van haciendo ca ada vez máss propenso os al error. En E realidad, los niños pueden lleg gar a ser completam mente incapaces de usar u proced dimientos informales i con númerros grand des. Más aún: a aunqu ue los méttodos inforrmales proporcionan una solución inmed diata, no pu ueden propo orcionar reg gistros a largo plazo. Co onocimientto formal La matemátic ca escrita y simbólica a que se im mparte en las escuela as supera las limitacciones de la matemática informal. La mate emática forrmal puede e liberar a los niños de los co onfines de su matem mática relattivamente concreta. Los L símbo olos escritos ofrecen un medio para anota ar númeross grandes y trabajar con c ellos. Los L proce edimientos escritos proporciona p an medioss eficaces para reallizar cálculos aritmé éticos con números n grrandes. Más aún, los símbolos s y las expresiiones escri-- 18 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO tas pu ueden ofrec cer registro os claros y permanente p es que pueden amplia ar enorm memente la a capacidad d de la mem moria. Es esencial que los niños aprendan n los conceptos de los órdenes de e unidades de base diez. Para tratar con cantidades mayores es importantte pensar en c e términos de unidades,' decen nas, centen nas, etc. (Payne y Ratthmell, 1975). Pensar en decena as y múltip plos de diez z ofrece a los niños flexibilidad y facilidad para p abordar una amp plia gama a de tareas matemáticcas, incluye endo orden nar (compa arar) númerros grandes y realizar aritmétic ca mental con c número os de varia as cifras. Lo os órdeness de unidad des propo orcionan el razonamien nto subyacente a mucchas técnica as básicas como escrribir núme eros de varias cifras y sumar o restar co on acarreo o («llevando») (Resniick, 1982--1983). En pocas palabras, la ma atemática fo ormal perm mite a los niñ ños pensarr de una manera m más s abstracta y poderosa a, y aborda ar con efica acia los prob blemas en los que in ntervienen números n grrandes. Au unque la ma atemática fo ormal pued de potencia ar mucho la a capacidad d de los niños, comporta apren nder nueva as técnicass y concep ptos que, al a principio o, les pued den pareccer extraños y difícile es. Los niños llegan a acostum mbrarse a pensar p en los núme eros y en la l aritméticca en térm minos de co ontar. Un número co omo el 14 se contempla como o 14 unidad des o como o 13 unidades y una más. m Los niñ ños pequeñ ños no ca aptan de in nmediato la notación n posiciona al. Como ocurrió o en la historia, la comprensión de e la notació ón posicion nal en los niños n es ell resultado de una lenta evolución. Así, lo os niños pu ueden tarda ar bastante tiempo en ver, por eje emplo, que 14 es una decena a y cuatro o unidadess. La idea a del 0 como c cifra a significattiva (repre esentante de d una columna vacía)) puede tard dar mucho tiempo en desarrollarrse. De he echo, much hos niños pueden conttinuar aferrrándose a lo os métodoss informales o concrretos bastante despué és de habérseles pressentado loss órdenes de d unidades y los alg goritmos pa ara realizarr operacione es con acarreo. D) IM MPLICACIO ONES EDU UCATIVAS:: LOS CON NOCIMIENT TOS IN NFORMALE ES COMO BASE La teoría cognitiva indica a que los niños n que acaban de in ncorporarse e a la escuela r vacíos que e deben llen narse de conocimiento os. La mayo oría no son simples recipientes de loss niños, inclluyendo loss procedenttes de famillias de bajo o nivel económico, llega a la esccuela con una gran can ntidad de co onocimiento os matemá áticos inform males (Russsell y Gin nsburg, 198 84). En rea alidad, mucchos niñoss de educa ación especcial tienen,, al meno os, algunos conocimie entos inform males (Baro oody, 1983 3a; Baroodyy y Ginsbu urg, 1984; Baroody y Snyder, 1983). Loss preescola ares apren nden mucha a matemáttica mal de la fam milia, los co ompañeros, la TV y loss juegos anttes de llega ar a la escue ela. inform 19 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO . La a matemátic ca informa al de los niños es el paso intermedio cru ucial entre su conoccimiento inttuitivo, limittado e imprreciso y bassado en su u percepción directa, y la matem mática pode erosa y pre ecisa basad da en símbo olos abstracctos que se e imparte en n la escue ela. Como ocurrió o en la a historia, la a experienccia práctica y relativam mente concre eta de contar ofrece a los niñoss una base para adquirrir técnicas numéricas y aritméticas. Puestto que el aprendizaje tos e implica una constrrucción a partir de conocimien c anteriiores, el co onocimiento o informal desempeña d a un papel crucial c en el e aprendizaje signifiicativo de la a matemática formal. Como el aprendizaje es un procceso activo de asimillar nueva in nformación a lo que ya y se conocce, el conoccimiento infformal es una u base fundamental para com mprender y aprender la as matemáticas que se imparten en nvestigación cognitiva indica que e, independ dientemente e de cómo se la esccuela. La in introd duzcan las técnicas, t símbolos y co onceptos matemáticos m s en la escu uela, los niñ ños tiende en a interprretar y a ab bordar la ma atemática formal f en fu unción de su s matemáttica inform mal (Hieberrt, 1984). Por tanto, la a matemáticca informall es fundam mental para a el domin nio de las técnicas t bá ásicas y parra enfrenta arse con éxxito a la ma atemática más m avanzzada. A con ntinuación se s describe en dos implicaciones educativas e de este punto de vissta que tien nen una imp portancia clave. 1. La enseñ ñanza form mal debe basarse en e el con nocimiento matemáttico inform mal de los s niños. Es E esencia al que la planificació p ón educatiiva tenga en cuentta el conoc cimiento matemático m o informal de d los niño os. Los mae estros deb ben explo otar las po otencialida ades inform males para a que la enseñanza e a formal sea s signifficativa e interesante. Además de aum mentar la probabilida p ad de que e el apren ndizaje esc colar tenga a éxito, la explotación e n de los pu untos fuerte es informales puede tener importantes consecuen ncias afecttivas. El prrincipio de relacionarr la instru ucción form mal con el conocimie ento inform ma es aplica able a toda a la gama de temas s de nivel primario, desde el dominio de d las com mbinacione es numéric cas básic cas hasta el e aprendiz zaje de con nceptos y procedimie entos relac cionados con c los órrdenes de unidades como el cálculo c con n acarreo. También veremos v q que este principio p se e aplica a niños con una gran variedad v de aptitudes s, incluyen ndo los qu ue tienen problemas p s de aprend dizaje y los s que pres sentan retrraso menta al. 2. En generral, las lag gunas exisstentes enttre el cono ocimiento informal y la instru ucción form mal pueden n explicar las dificulttades de aprendizaje a e. Cuando la enseñ ñanza form mal se intrroduce con n demasiada rapidezz y no se e basa en el conoccimiento infformal que e ya posee en los niño os, el resulltado es un aprendizzaje memo orístico y la aparición de pro oblemas de d aprendiizaje y/o de creenccias destru uctivas. Inc capaces de e conectar la matemá ática forma al con algo o significatiivo, muchos niños se e limitan a memorizar m y utilizar mecánicame ente las mattemáticas que q se im mparten en la escuela. Muchos niños n inclusso llegan a no poder memorizarr ni 20 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO datos ni técnicas s. Otros pie erden interé és en la materia, desarrollan un sentimiento s de azo hacia la a misma e in ncluso llega an a temerlla. recha So obre todo es s muy proba able que lass lagunas existentes e e entre la instrrucción form mal y el co onocimiento informal de d los niñoss provoque en dificultad des de apre endizaje de las técniccas y los co onceptos, re elativamentte abstracto os, relacionados con lo os órdenes de unidades de bas se diez. Co omo conseccuencia, mu uchos niños tienen prroblemas pa ara ón posiciona al y experim mentan dificultades con n las técnica as de acarrreo. captar la notació Otros tienen problemas con n la represe entación en n base diezz y no pueden desarro ollar técniccas eficace es para ma anejar números grand des. Sobre todo, son los niños de educa ación especial los qu ue pueden tener gran ndes dificultades para a franquearr la transición entre la l aritmética a informal basada b en contar c y la aritmética formal f basa ada osicional. en la notación po 21 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO T Técnicas s para contar Co ontar oralmente, ¿imp plica aptitud des numériicas? ¿Qué é técnicas de contar se suelen desarrolla ar durante los l años preescolaress? ¿Podemo os suponerr que los niñ ños de ed ducación especial e ad dquirirán té écnicas bássicas para contar de una mane era inform mal? ¿Qué técnicas suelen s requ uerir instrucción durante los primeros curssos escola ares? A) EL L DESARROLLO DE TECNICAS T S PARA CO ONTAR El cas so de Alex xi Ha acia los vein ntiséis messes de edad d, Alexi podía contar de palabra a del 1 al 10 y había a empezado o a experim mentar con los númerros hasta el 20. Cuando se le pidió que contara c los tres puntoss de una fo ormación trriangular, Alexi A señaló ó los puntos y soltó a toda prisa: «1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8 9, 10.» Cuando C se le pidió que e contara tres punto os en fila, señaló al azzar y variass veces e conjunto c mie entras decíía: «8, 9, 10.» Aun después d de e poder con ntar con exa actitud conjjuntos de hasta h cinco objetos, Allexi se de esconcertaba cuando o se le prreguntaba cuántos ha abía conta ado. Si se le enseñ ñaban dos conjuntos (por ejemp plo, una tarjeta con nueve n puntos y otra con c ocho)) también le sorprend día que se le pidiera que señallara la tarje eta que tenía «más». e Alexi para a contar orralmente no garantiza aba una ca apacidad pa ara La técnica de contar con exac ctitud conju untos de objetos o o para p el em mpleo de otras o técniccas 1 éricas. Sin embargo, e h hacia los cin nco años de edad , lo os niños no o sólo pued den numé contar de palabrra casi hasta 29, sino que inmed diatamente determinan que ••• y ••• « Además, para un niño típ pico de cincco años es evidente cómo c se de ebe son «tres». resolvver el prob blema de determinar d cuál de do os conjunto os (por ejemplo, uno de nueve e y otro de ocho) tien ne más elem mentos: só ólo hay que e contar cada conjunto oy comparar las can ntidades resultantes. Después D de e contar cad da conjunto o de puntoss, la soluciión del prob blema tamb bién es fácilmente visib ble para los niños de cinco años: «El conjunto con 9 es e más.» Por P tanto, en cuestión de pocos años a los niños aprend den una variedad de técnicas pa ara contar y muchas maneras m de e aplicarlas (Fuson y Hall, H 1983)). Lo complicado que pueda p ser este e desarro ollo, o en qué medida llegan a da arlo por se entado los adultos, qu ueda revela ado por un n examen detallado d de e las técniccas menccionadas en n el párrafo anterior. 1 Las conductas s que se desscriben más adelante se basan en lass normas de la prueba Early E ematical Ability y (Ginsburg y Baroody, 1983) y represe entan la capaccidad -media» » de un niño de d 4 Mathe años y 11 meses de e edad. 22 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Una jerarquía j de d técnicas s En su mayor parte, la ca apacidad de e contar se desarrolla jerárquicam j mente (Klah hr y ace, 1973). Con la prráctica, las técnicas para p contar se van haciendo h m más Walla autom máticas y su u ejecución n requiere menos m atención. Cuando una técn nica ya pue ede ejecutarse con eficiencia, e p puede proce esarse simu ultáneamen nte o integra arse con otras m de trabajo (a corto plazo o) para form mar una téccnica aun más m técniccas en la memoria comp pleja (por ejjemplo, Sch haeffer, Eggleston y Scott, S 1974 4). Considerremos qué se necessita para re ealizar la tarea aparen ntemente se encilla de determinar d s un conjunto si de nu ueve puntos s es «más" o «menos"" que otro de d ocho. Re ealizar esta a comparación entre magnitude es numérica as requiere la integracción de cuattro técnicass. En primer lugar, la técnicca más bássica es gen nerar sistem máticamente e los nombres en adecuad do. A los dos d años de d edad, Alexi A ya había de loss números en el orde empe ezado a dom minar la serrie numérica a oral y, a veces, v podía contar ha asta 10 de uno u en uno. Sin embargo, cuand do se le ped día que con ntara objeto os, aún no podía p decir los núme eros en el orden o corre ecto de forrma cohere ente. Por ejjemplo, a veces v no eme pezab ba a contar desde «uno o". Hacia lo os tres añoss de edad, lo os niños su uelen empezzar a con ntar un con njunto a partir de «uno» y al em mpezar párvvulos ya pu ueden usarr la secue encia correcta para co ontar conju untos de 10 0 elemento os como míínimo (Fuson, Richa ards y Briars s, 1982). En segundo lugar, las palabras (etiquetas) ( de la seccuencia num mérica deb ben aplica arse una po or una a cad da objeto de d un conjunto. La accción de con ntar objetos se denom mina enum meración. Aunque A Alexxi podía ge enerar la serie s numé érica hasta 10 correcctamente, no n podía en numerar un conjunto de nueve ele ementos, y ni siquiera de tres, porque p toda avía no hab bía aprendid do que debe e aplicarse una, y sólo o una, etiqueta a cada elemento o de un conjjunto. La en numeración n es una téccnica comp plicada porq que el niño debe coo ordinar la ve erbalización n de la serie numérica a con el señ ñalamiento de d una coleccción para crear una corresponde c encia biunívvoca entre las cada elemento de etas y los ob bjetos. Com mo los niñoss de cinco años a puede en generar correctame c etique nte la serrie numéric ca y señalar una vez cada c uno de d los elem mentos de una u colecció ón, puede en coordina ar con efica acia las doss técnicas para p ejecuta ar el acto complejo c de e la enumeración (al menos con n conjuntoss de hasta 10 1 elementos). En tercer lug gar, para hacer h una comparació ón, un niño necesita una mane era conve eniente de representa ar los elem mentos que e contiene cada conju unto. Esto se consig gue median nte la regla del valor cardinal: c la última ú etiqu ueta numériica expresa ada duran nte el proce eso de enum meración re epresenta el e número total de ele ementos en n el conjunto. En otra as palabrass, un niño de cinco año os puede re esumir la se erie «1,2, 3, ... , 9", con c «nueve e» y la seriie «1, 2, 3,, ... , 8" con «ocho». Como Alexxi no podía a ni enumerar conjun ntos, no ha abía descubierto que la última etiqueta e de este proce eso 23 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO tiene un significa ado especia al. A sus do os años de edad, Alexxi todavía no n asociaba a la c la definición de la cantidad de e un conjun nto. serie numérica con En cuarto lugar, las tres técnicas acabadas de e describir son indispe ensables pa ara e la posición n en la seccuencia deffine la magnitud. A loss dos años de comprender que nían tamaño os relativoss para Alexii. Sin emba argo, los niñ ños edad, los númerros no defin peque eños llegan n a aprende er, tarde o temprano, que la serrie numérica se asocia aa una magnitud m relativa. Aun los niños muy m pequeñ ños pueden n realizar co omparacion nes gruessas entre ma agnitudes como c «10 es e más gran nde que 1», quizá porq que saben que q el 10 viene v much ho más tard de en la seccuencia de enumeració ón. Hacia lo os cinco años, los niños n pued den llegar a hacer con rapide ez comparraciones precisas en ntre magnitudes de números n se eguidos com mo el 8 y el 9, porque están e muy familiarizad dos con la as relacione es de suce esión numé érica («cuan ndo me pongo a conttar, el 9 vie ene despu ués del 8, así a que el 9 es más gra ande»). Po or tanto, con ntar para de eterminar qu ue un conju unto de nueve puntos es e más que e un conjunto de och ho no es, cognoscitiva c amente hablando, un acto trivia al. Aunque los adulto os pueden dar por sentadas las cuatro técn nicas impliccadas, ésta as constituyyen un retto intelectua al imponente para los niños de dos años de e edad. Cua ando lleguen a los cinco años, la l mayoría de los niño os habrán dominado estas e técnicas básica as y estará án listos pa ara enfrenta arse a nuevvos desafíoss. Alg gunos de ellos -sobre todo t los que e proceden n de entorna as con care encias, los que q tienen n lesiones cerebrales c o los menta almente atrrasados- pu ueden no ha aber llegado a domin nar estas té écnicas bássicas y nece esitarán una a atención especial. En E lo que re esta de ca apítulo se de escribirán con c mayor detalle d las cuatro c técn nicas básica as para con ntar y otra as técnicas más elaboradas que se desarrollan durante e las prime eras etapas de la esccolarización n. Co ontar oralm mente Se erie numériica. A una edad tan corta com mo los diecciocho messes, los niñ ños empie ezan a conttar oralmen nte de uno en e uno («1, 2, 3 ... »). La mayoría a de los niñ ños de do os años pue eden contarr «1, 2» pero luego em mpiezan a omitir o términos (Fuson n et al., 19 982). Al prin ncipio, los niños n puede en aprende er partes de e la serie nu umérica ha asta 10 pa ara unirlas más m adelan nte. Por eje emplo, Alexxi (hacia loss veinte me eses de eda ad) empe ezó a usar, de una man nera regula ar, la serie «8, « 9, 10». Más adelan nte añadió «2, 3, 4» para hacerr «2, 3, 4, 8, 9, la». De espués añad dió el 5 y el 6 y, finalm mente, el 1 y el 7 para a completar la serie ha asta 10. A los l veintiséis meses, Alexi A añadió ó los números de do os cifras 19 y 20 r' muy poco despu ués, inserta aba la ristra a «11, 12, 13» entre el 10 y el 9. 24 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Co ontar oralme ente suele equipararse e e con «contar de mem moria». Como o ilustra el caso c de Ale exi, contar de memoria es una buena b desccripción de las prime eras técnica as orales qu ue emplean n los niños para conta ar. Su man nera de con ntar era, simplemente s e, una canttinela verba al sin sentid do. La serie numérica inicial de Allexi pareccía no ser más que una u cadena a de asocia aciones ap prendidas de d memoria a y enlaza adas gradu ualmente en ntre sí. Sin embargo, contar de memoria m ess una descrripción menos adecuada de e los poste eriores inte entos de contar. c Co on demasia ada encia, este término se emplea pa ara indicar que q los niño os aprenden n toda la se erie frecue numé érica por memorizac m ión. Aunqu ue la mem morización desempeña un pa apel determ minado, sob bre todo du urante las ettapas inicia ales, el apre endizaje reg gido por reg glas tiene una importa ancia funda amental para ampliar esta e serie. Aunque ess probable que q 2 los té érminos has sta el 15 se aprend dan de me emoria, la mayor partte de la se erie numé érica poste erior puede e generarsse mediante reglas (Ginsburg, 1982). Los L restan ntes númerros hasta el e 20 pued den genera arse continu uando con la secuen ncia original (6, 7, 8, 9) Y anteponiendo «la a y>; (por ejemplo, e «d dieciséis, diiecisiete ... »). Los números de la segunda a decena (2 21,22, 23, .... , 29) se pueden p generar mediante la regla de antep poner «20,> > a cada un na de las un nidades (de el 1 al 9) un na por una. En realidad, para co ontar de un no en uno hasta h 99 ell niño sólo tiene que aprender a e esta regla y el orden de las dece enas (10, 20, 30..., 90). Los errores e que e cometen los l niños al a contar so on una buena señal de que existen reglass que suby yacen a su cuenta oral, sobre tod do de 20 pa ara arriba. Muchos niñ ños -incluyendo los s que presentan rettraso men ntal- se in nventan términos como «dieccicinco» por 15, «dieccidiez» por 20, o «veintidiez, ve eintionce», para 30 y 31 (Baro oody y Gins sburg, 1984 4; Baroody y Snyder, 1983; 1 Ginsb burg, 1982b b). Estos errrores in ndican clara amente que e los niños no se limittan a imitar a los adu ultos, sino que q tratan n de construir sus propios sistem mas de reglas (Barood dy y Ginsbu urg, 1982). Se trata de d errores razonables r porque son n ampliacio ones lógicass, aunque in ncorrectas, de las pautas p de la serie nu umérica qu ue el niño ha abstraído. Así, aun a los niñ ños menta almente atrrasados pa arecen ser capaces de d ver, emp plear y, a veces, v aplicar malla as pautas de e la serie numérica. 2 En el original se hace refencia al núme ero 13. Debid do a las características qu ue presentan los n 11 a 19 en ing glés, se ha optado por adaptar la traducción a las nombrres de los números caracte erísticas de lo os nombres de e estos núme eros en castellano. Véase también t la notta número 12 (N. del T.). 25 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Au unque la mayoría de los l niños que q se acaban de inccorporar a la escuela ya hacen n progresos s con la parrte de la se erie numéricca regida por p reglas, muchos m no se dan cuenta de qu ue las dece enas (<<10,, 20, 30,... , 90») sigue en una pauta a paralela a la secue encia de las s unidades (Fuson et al., 1982). Aún no se sabe con certeza cóm mo llegan n los niños a resolver el e «problem ma de las de ecenas», ess decir, su orden o correcto para contar c hastta 100 de uno u en uno. Una hipóttesis es que e los niños aprenden las decen nas de mem moria en fo orma de exxtremos fina ales de cad da serie (po or ejemplo,, el niño forma la asociación a entre «29 9-30» o «3 39-40»). Hay H alguno os datos que q respa aldan esta conjetura. c A Algunos niño os no puede en contar por p decenass pero pued den contar hasta 30 ó 39 porqu ue parecen n haber aprrendido que 30 va de espués de 29, 2 ués de 39 (Baroody y Ginsburg g, 1984). Otra O pero no han aprendido qué va despu esis es que los niños aprenden a lass decenas (contar ( de diez d en diezz) de memo oria hipóte y emp plean este conocimien nto para re ellenar la se ecuencia de e contar de e uno en un no. Otra hipótesis, h co ompletame ente distinta a, es que loss niños apre enden las decenas d como una versión mod dificada de la secuencia del 1 al 9 y emplean esta pauta a (repetir la ses cuenccia de las unidades u y añadir -entta) para relllenar la cu uenta de un no en uno. Un ejemp plo de esta última hipótesis es el caso c de Terri, una niña levemente e atrasada que q cuand do llegaba al a final de una u decena a (por ejemplo, «..., 58 8, 59») se ponía p a con ntar para sí para ave eriguar la siguiente s decena (porr ejemplo, «1,2, « 3, 4, 5, 6 -ah, ... . , sesen nta») (Baro oody y Ginsburg, 198 84). Luego iba repitie endo este procedimien p nto hasta llegar a 10 00. En n realidad, la mayoría a de los niños n puede en aprende er de mem moria algun nas decen nas (hipótes sis 1 y 2) Y emplear reglas r para generar el resto (hipó ótesis 3). Esto tiene sentido po orque la ma ayoría de las decenass sigue una pauta y sería ineficcaz apren nderlas todas de mem moria. Sin embargo, se puede tener que aprender de memo oria la prime era parte, in ncluyendo quizá q algun nos casos regulares co omo 40, antes de de escubrirse la pauta. Por tanto, aprender lass decenas (contar de diez en die ez) puede e ser algo parecido p a aprender a contar de e uno en un no: al princiipio, los niñ ños adquieren una parte p por memorizació ón y luego emplean e un na pauta pa ara ampliarr la secue encia. Ela aboraciones s de la serrie numéricca. Con la experiencia a, los niñoss aprenden n a usar su represe entación mental m de la serie numérica n c con más elaboración e n y flexibiilidad (Fuso on et al., 19 982). A med dida que se e van familiarizando más m y más con c la serie numéric ca correcta a, los niño os pueden citar autom máticamentte el núme ero ente a un nú úmero dado o. A los veiintiséis messes, Alison ya podía hacerlo h si se e le siguie «daba a el pie». 26 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO MADR RE: ALISO ON: MADR RE: ALISO ON: Alison, ¿qué núme ero va desp pués del 9? ? [No responde.] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y ... 10. De no o ser así, Alison no lo podía hace er sólo lo ha acía a vece es. MADR RE: ALISO ON: MADR RE: ALISO ON: MADR RE: ALISO ON: MADR RE: ALISO ON: MADR RE: ALISO ON: ¿Qué número n va después d de el ocho? El ocho. El ocho o. ¿Y desp pués del do os? El nuevve ¿Y desp pués del se eis? [No responde.] (Un pocco más tard de): ¿Qué va v después del ocho? Nueve, diez ¿Y desp pués del do os? El cuatrro. Ha acia los cua atro o cinco años de ed dad, los niñ ños ya no necesitan em mpezar dessde el 1 para respo onder de manera m co oherente y automática a pregunta as relativass a núme eros seguid dos, al men nos hasta cerca c del 28 2 (Fuson et al., 1982 2; Ginsburg g y Baroo ody, 1983). Uno de loss desarrolloss que pueden producirrse un poco o más tarde e es la cap pacidad de e citar el nú úmero ante erior. Cuando los niño os captan las l relacion nes entre un númerro dado y el anteriorr, ya está preparado el terreno o para con ntar regressivamente. Además, los niños de edad escolar e aprenden gra adualmente e a conta ar por grupo os. Entre la as más preccoces de estas e nueva as pautas se s encuentrran conta ar por pareja as, de cinco o en cinco y de diez en diez. umeración Nu Enumeración.. Los niños deben apre ender que contar c objetos implica algo más que q nto o deslizzado por encima e de otro mientras agitarr un dedo señalando un conjun pronu uncian con rapidez r la serie s numérrica. Aunque los niños pequeños aprenden con c rapide ez al meno os la parte memorísticca de la se erie numériica (véase, por ejemp plo, Fuson n y Hall, 19 983) Y no tienen problemas para a señalar los objetos de d uno en uno u (Beckkwith y Restle, 1966), coordinar estas e dos té écnicas parra enumera ar un conjunto no es una tarea fácil. f En rea alidad, la enumeración n -sobre tod do de conju untos con más m uatro eleme entos- sólo o llega a hacerse h au utomática de d una ma anera gradual de cu (Beckkwith y Res stle, 1966; Gelman G y Gallistel, G 19 978, y Schaeffer et all., 1974). Con C 27 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO coleccciones gran ndes y, sobre todo, desordenad d das, los niñ ños tienen que aprend der estrattegias para a llevar la cuenta c de lo os elementtos que han contado y los que no. Cuand do los elem mentos se ponen p en fila, hace fallta poco essfuerzo para a no perderr la cuentta si se empieza desde uno de lo os extremo os. Si la colección está á colocada en círculo, el niño sólo necesitta recordar el elemento o por el que e ha empezzado a conttar. Con distribucion d nes desord denadas, el niño debe recordarr qué elem mentos ha etie queta ado y cuále es quedan por p etiquetar. Esto se e ve facilita ado por el empleo e de un métod do sistemáttico (por eje emplo, conttar de izquierda a dere echa y de arriba a abajo o) o separrando los elementos e etiquetados de los no n etiquetad dos. Fuson n (en prenssa) encon ntró que muchos de sus s sujetoss de párvullos no emp pleaban la estrategia de crear un montón n aparte con n los eleme entos ya con ntados. Regla a del valor cardinal. Al A principio, los niños pueden p no darse cue enta de que e la enumeración sirv ve para numerar. Cua ando se less pide que cuenten c un n conjunto, los niños se limitan a enumera arlo y esperan que essto, en sí mismo, m satissfará al adu ulto c ob bjetos acab ban de conttar, (cosa que ocurre a veces)). Si se les pregunta cuántos vuelve en a enume erar todos los elementtos del conjjunto. Por ejemplo, e Ida a, una niña de tres años a de eda ad, enumerró cuatro esstrellas (« 1, 1 2, 3, 4») sin hacer ningún n intento serio de emplearr o recordar la informa ación. Cuan ndo se le prreguntó cuá ántas estrelllas había a acabado de d contar, alzó a los hom mbros y volvvió a enume erarlas otra a vez. Como o la enumeración se contempla como un fiin en sí missma y no co omo un med dio para lleg gar a un fin, los niñ ños muy pe equeños pu ueden no llegar a co omprender el sentido de pregu untas como « ¿Cuánto os hay?» nii preocuparrse de reco ordar los ressultados de e lo que han contado o. Cu uando tiene en cerca de dos años, muchos niños dessarrollan un na concien ncia primittiva de que e contar ess un proce edimiento empleado e p para asigna ar númeross a coleccciones (para respond der a pregu untas del tipo t « ¿Cuántos hay? ?»). Ahora ya realizan el intento de recorrdar lo que e han conta ado. Sin em mbargo, com mo no se dan d cuentta de que el e proceso de d enumera ación se pu uede resum mir, respond den a este tipo t de pre eguntas rep pitiendo la serie s numé érica. Despu ués de «solltar» varioss términos («7, 8, 9»)) o de repettir el mismo o («9, 9, 9» ») ante un conjunto c de e tres objeto os, un niño de dos años a puede designar este e conjun nto volviend do a contar (por ejemp plo, «7, 8,9» o «9, 9,, 9») (Wagn ner y Walte ers, 1982). Aun A despué és de habe er aprendido o .a enume erar correcctamente, los niños pu ueden no darse cuenta de que ess innecesario recitar otra o vez to oda la sec cuencia cuando se le es pregunta por una cantidad. Por ejemp plo, despu ués de enum merar cuatrro estrellas que había en una tarjjeta, George (sin volve er a mirar la tarjeta) respondió r a la pregun nta ¿«Cuántas estrella as hay»? co on: «Pues hay h 1, 2, 3 y 4 estrellas.» Sin em mbargo, a una u edad ta an corta com mo los dos años y me edio de edad, algunos s niños desscubren el «atajo» « con nsistente en n recitar la última ú etiqueta del prroceso de enumeració e ón para indicar la canttidad. En ell fondo, la regla r del va alor 28 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO cardin nal traduce el término aplicado a un elemento determinado de un conjunto (el último o) al término o cardinal que q represe enta el conjjunto entero o. Re egla de la cu uenta cardin nal. La regla a inversa a la del valorr cardinal ess la regla de e la cuentta cardinal.. Esta regla específicca que un término ca ardinal com mo «5» ess la etique eta asignad da al último elemento o cuando se s enumerra un conju unto de cin nco objeto os (Fuson y Hall, 198 83). Parece e que los niños n tiene en que apre ender que un términ no como cin nco es al mismo m tiemp po el nombrre de un co onjunto (núm mero cardin nal) y un número n parra contar. Considerem C os el caso de un niño al que se da d un conjunto de cin nco canicas s junto con la consigna a: «Aquí ha ay cinco can nicas; pon cinco c ca!1iccas en la taza.» El niiño que no aprecia la regla r de la cuenta c card dinal tiene que q ponerse a conta ar las canica as a medida a que las va soltando en la taza. Este niño no n puede prep ver qu ue la etique eta cinco empleada e p para design nar el conju unto es la misma m que se debe aplicar al resultado de contar el conjunto o. En cambio, el niño o que da por senta ada la regla de la cuen nta cardinal se limita a colocar todo el conju unto en la ta aza sin co ontar. Se eparación. Contar C (sep parar) un nú úmero conccreto de ob bjetos es un na técnica que q emple eamos a diario (por ejemplo, e «D Dame tres lápices», «Me « queda aré con cua atro camissas», «Tom ma cinco clavos»). Sin embargo, e n se trata de no d una tarea a cognoscittiva sencillla porque implica: a) observar o y recordar el número de e elementoss solicitado (el objetivo); b) etiq quetar cada a elemento o separado o con una etiqueta numérica, y c) contro olar y dete ener el pro oceso de separación. s En otras pa- labrass, se requie ere almaccenar el ob bjetivo en la a memoria de trabajo, un processo de enum meración y, al mismo tiempo, ir compara ando los números de el proceso de enume eración con n el núme ero almacen nado y dete ener este proceso p cua ando se llegan a igualar (Resnicck y Ford, 1981). La regla de la cuenta carrdinal ofrece e al niño un na razón pa ara tomar nota del ob bjetivo en la a memoria de d trabajo y constituye e la base pa ara detenerr el proceso o de enum meración (Ba aroody y Mason, 1984 4). Por ejem mplo, si se pide p a un niñ ño que sepa are tres lápices tien ne que darrse cuenta de que pa ara realizarr la tarea es e importante record dar «tres» y que deb be parar de e contar lá ápices cuan ndo llegue a la etiqueta «tres» ». Comp paración de d magnitu udes Cu uando tienen unos tress años de ed dad, los niños descubrren que los términos para contar más altos s se asocian n a magnitu udes superiiores (Wagner y Walte ers, 1982). Así A se dan cuenta de e que «dos» no sólo sigue a «uno o» sino que e también re epresenta una u cantid dad mayor. Hacia los 3 años y medio, m los niños n suelen apreciar que «tres» es mayor que «dos» » (Shaefferr et al., 1974 4). Partiend do de estos datos, los niños n de cerca 29 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO de cu uatro años de d edad pa arecen desscubrir una regla gene eral: el térm mino numérrico que viene v despu ués en la secuencia s s significa «m más» que el e término de d un núme ero anteriior. Aun anttes de entra ar en la escuela, los niñ ños parece en usar su re epresentacción menta al de la serrie numérica a para hace er compara aciones toscas, pero eficaces, e en ntre magn nitudes, es decir, d para comparar con c rapidezz y exactitu ud dos núm meros bastante separrados entre e sí dentro de la secu uencia (por ejemplo, el e 3 y el 9, o el 2 y ell 8) (Resn nick, 1983)). A medid da que la relación «el « siguientte de» se va hacien ndo autom mática, los niños pued den llegar a ser capacces de haccer comparraciones en ntre magn nitudes más s próximas (entre ( núme eros seguid dos). En rea alidad, cuan ndo la mayo oría de los niños em mpiezan a asistir al parvulario ya pueden realizar con bastante araciones en ntre números adyacen ntes hasta el e 5 e inclusso hasta el 10. precissión compa B) IM MPLICACIO ONES EDUCATIVAS: DIFICULT TADES PAR RA CONTA AR Y SO OLUCIONE ES Conta ar oralmen nte Se erie numériica. La ma ayoría de los l niños, incluyendo o los que pertenecen n a minorrías y a cla ases sociales desfavo orecidas, re eciben una exposición n intensa a la prime era parte -la a memorístiica- de la serie numérrica por parrte de familiiares, amigos, perso onal de guardería, la te elevisión, ettc., antes de llegar a la a escuela. Si S un niño que q acaba a de incorp porarse al ja ardín de inffancia man nifiesta inca apacidad pa ara generarr la secue encia memo orística hassta un mín nimo de 10, puede da ar señal de e un problema grave e y de la necesidad de una in ntervención n de apoyo o inmediata a e intenssiva (Baroody y Gins sburg, 1982 2b). Aunque se dan grandes g differencias in ndividuales, el domin nio de la pa arte memorrística de la a serie numérica no de ebería darse por senta ado en niñ ños atrasad dos del ciclo o medio (Ba aroody y Gin nsburg, 198 84). La mayyoría de los niños de cuatro y medio m a seiis años de edad e puede en llegar a contar c hastta 29 ó 39. Sin S emba argo, y dado o que todavvía no han resuelto el problema de las dece enas, much hos de ello os son inca apaces de ampliar a la parte p regida a por reglas más allá de estas cifrras. Muchos niños pe equeños co on retraso mental m nece esitarán ayu uda para lle egar a dominar inclusso la primerra parte de la l secuencia regida po or reglas (de el 16 al 19 y del 20 al 29). 2 A partir p del 15 5, aproxima adamente, la enseñan nza de la se erie numéricca no debe ería insistiir en la me emorización n. En camb bio, se debe ería animar a los niño os a busca ar y discuttir las pauta as subyace entes a la serie s numérica. En alg gunos caso os, el maesstro puede e tener que dar «pistass» o ayudarr a que las pautas p se hagan explíccitas (véase e el ejemp plo 6.1). Ad demás, es positivo qu ue los niñoss cometan errores al aplicar reglas como sustituir 30 0 por «veintidiez». Se trata de un na señal pro ometedora porque indica auta numérrica y consttituye un inttento activo o, por parte del el reconocimientto de una pa niño, de tratar co on lo desco onocido en función f de las reglas o de la com mprensión que q 30 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO ya tie ene. Cuando un niño comete un error al ap plicar una regla, el maestro m pue ede aprovvechar el co onocimiento o que ya tiene diciéndo ole, por ejem mplo: «Otro o nombre pa ara veintid diez es 30» ». Se trata de d una man nera constrructiva de corregir c al niño n porque e el maestro aprecia a su capaccidad para a pensar sin dejar de e ofrecerle e el feedba ack necessario para su s desarrolllo posteriorr. plo 6.1 Emp pleo de pau utas para enseñar las decenas Ejemp Aun los niños s algo retrasados pued den beneficciarse de la a instrucción que explo ota las pa autas subya acentes a la a serie num mérica. Tom memos el caso c de Mikke, un homb bre de veinte años de edad con n un el de 40 0. Mike trattaba de aprender cómo o decir la ho ora ajustá ándola a los s cinco min nutos más próximos, pero p como no conocía a las decen nas superriores a 30 0, no podía pasar de e 35. Después de 35 3 se limita aba a repetir expre esiones usa adas previamente (porr ejemplo, 5, 5 10, 15, 20, 25, 30, 35, 3 30»). Pa ara establecer una conexión entre e la se ecuencia de las unidades y lass decenas, la educa adora de Mike M escribió ó los núme eros del 1 al a 6 en una tarjeta. De ebajo de ca ada cifra escribió e la decena co orrespondie ente y le exxplicó que podía usarr los primeros núme eros que em mpleaba pa ara contar para averiguar las de ecenas. «¿Ves? El 1 es como el 10, e! 2 como el 20 0, e! 3 como el 30, el 4 como el 40, 4 el 5 com mo el 50 y el e 6 como el 60». Mik ke usó la lissta numéricca de esta ta arjeta para contar de cinco c en cin nco y al ver v que con n ella podía a expresar todas t las horas del re eloj se puso o tan contento que pidió p más copias c de la a tarjeta para usarlas en clase y en casa. Los L siguientes pasoss se encam minaron a hacer h que Mike M determ minara la siguiente s de ecena usan ndo menta almente la secuencia s p para contarr y a que prracticara co ontando de diez en die ez y de cin nco en cinc co hasta qu ue estas té écnicas se hicieran h au utomáticas. Al final, Mike M decía en seguida a la hora sin necesitarr la tarjeta. La edu ucación de Mike y la recopilación del ca aso se deben a Cathy A. Mason M . Loss obstáculo os más frecuentes para a los niños,, sea cual sea s su capa acidad mental, son lo os nombres s irregularess de los núm meros 14 y 15 Y de lass decenas 3 (por ejemp plo, Baroo ody y Snyde er, 1983, y Fuson et all., 1982). Co omo 14 y 15 son una excepción e a la pauta a de elabora ación, es frrecuente qu ue sean loss últimos nú úmeros que e se aprend den hasta 19. Alguno os niños sim mplemente se los salta an («…,13, 16,...) o loss cambian por p 3 Se ha hecho o una adapta ación al cas stellano de las l dificultad des que, en el original, se en al nombre e de ciertos números en n inglés. Véa ase también la nota núm mero 12. (N. del refiere T.) 31 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO otro («…,13, 16,, 16, 16,…)) Un diagn nóstico exp peditivo, el empleo de modelos y la da como un n hábito an ntes de que se práctica pueden establecerr la secuenccia adecuad instau ure una sec cuencia inco ompleta o incorrecta. Elabo oraciones de d la serie e numérica a. Cuando están en párvulos, los niños no deberían tener problemas para citarr el número o siguiente e a otro, y ni siquiera a el nos hasta ella e (Fuson n et al., 19822; Ginsburg g y Barood dy, 1983). Los L anterrior, al men niñoss de bajo re endimiento y con retrasso mental puede p que no n sean capaces de citar c el núm mero siguie ente y quizá á deban em mpezar a contar desde ello hacer conjeturas. c Es proba able que citar c el núm mero anterior sea rela ativamente difícil porq que los niñ ños deben operar so obre la serie numérica a en dirección opuesta a a la seguida durante e su apren ndizaje. Ad demás, pu uede que el conceptto de anteerior sea más m difícil de comp prender que e el de siguuiente. Por tanto, al prrincipio lo mejor m sería concentrar la enseñ ñanza de apoyo a en el número sig guiente. Esta enseñan nza debería a empezar con c la parrte más fam miliar de la secuencia s numérica (d del 1 al 4 o al 5). Adem más, si el niño n puede leer las cifras c se pu uede empezzar con acttividades en n las que in ntervenga una u repre esentación concreta c de e la serie numérica n (u una lista numérica). Un na vez el niño n ha co omprendido o la cuestión relativa a al número o siguiente e (anterior) y puede dar respu uestas con facilidad mediante m el empleo de e una lista numérica, n p puede pasa ar a actividades sin lista numérica que le exijan e deterrminar men ntalmente la a respuesta a. Co ontar regres sivamente desde 10 depende del d conocim miento de las relacion nes existe entes entre un número o y su anterrior, y es un na técnica oral relativa amente difíícil. Con todo, suele ser domina ada por los niños cuan ndo llegan a primer cu urso (Fuson n et al., 1982; Ginsb burg y Baro oody, 1983 3). Contar regresivam mente desd de 20 es una u técnicca especialm mente difíccil y no suele e dominarsse hasta pocco antes de e tercer cursso. Los maestros m de e educación n especial deben d espe erar muchass dificultade es con las dos d técniccas. La enseñanza de apoyo pue ede empeza ar haciendo o que el niño o lea una lissta numé érica hacia atrás (de derecha d a izquierda). i Con los niños que do ominan o han h domin nado el núm mero siguiente, se pue ede tapar la a lista numé érica dejand do a la vista a el núme ero de partiida. Entoncces, a med dida que el niño va contando ha acia atrás, se puede en ir desta apando succesivamente e los núme eros menores. Este procedimien p nto confirrma las resp puestas corrrectas y offrece un feeedback corre ector para la as respuesttas incorrrectas. Para contar a intervalos de d cinco co omo mínimo o, puede an nimarse a lo os niños a que q een la sec cuencia fam miliar de contar c de uno u en uno, pero su usurrando los emple núme eros intermedios y de estacando los que forman la pa auta. Por ejemplo, e pa ara apren nder a conta ar de dos en n dos, pued de decirse al a niño que cuenta así:: «uno [en voz v baja], dos [en voz alta], tre es [en voz baja], cuattro [en vozz alta]... ». Si hace fallta, puede e empezars se con una a lista numé érica para aligerar el esfuerzo de expresarr el términ no correcto o y permitir que q el niño se concenttre en la pauta. En el ejemplo e 6.2 se 32 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO muesstra otro mé étodo para contar a intervalos a partir de la a secuencia a familiar pa ara conta ar de uno en n uno. Eje emplo 6.2 Enseñanza E de contar a intervaloss Se puede ha acer que contar a intervalos i tenga sign nificado pa ara los niñ ños relacionándolo con c el proce edimiento fa amiliar de contar objeto os reales de uno en un no. Josh, un adolesc cente con retraso r mod derado, esttaba aprend diendo a co ontar de cin nco en cin nco. Su edu ucadora le había h dicho o que coloca ara unos disscos de plá ástico de co olor que le e gustaban mucho en pilas de a cinco c y desspués le ayu udó a conta arlos de cin nco en cin nco. Luego,, hizo que Josh J los desparramara a y los conttara de uno en uno. Jo osh se qu uedó muy so orprendido al ver que obtenía el mismo resultado. Lue ego compro obó la vallidez generral de este e descubrim miento con distintos números n de e pilas. En la sesión siguiente, Josh insisstía en repe etir el experrimento porr su cuenta. Duran nte la tercera sesión, Josh J pidió tarjetas t con n números (5, 10, 15,2 20, 25, etc.) y las em mparejó con n sus pilas. A continua ación añadió una nuevva etapa a su s proceso de comprobación: le eer los núm meros de lass tarjetas a medida que e iba contan ndo los disccos de uno en uno. Comprobó C e resultado el o de contar la primera pila p de uno en uno con n el ero de la primera tarjetta y encontró que, en ambos cassos, el resultado era «5 5». núme Al continuar con ntando de uno en uno o la segun nda pila, en ncontró que e el resulta ado coinciidía con el número de e la segund da tarjeta (10), y así sucesivame s ente. Mientras Josh iba contand do de uno en uno, la educadora recalcaba el número final de ca ada grupo o (5, 10, 15,, etc.) dicién ndolo en vo oz alta con él. Luego, Josh J se invventó un jue ego de ad divinar en el e que se tapaba los ojos, la educadora e t tomaba un na tarjeta (p por ejemp plo, la del 15) 1 y Josh tenía que adivinar de e qué núm mero se trattaba. Hacia a la cuarta a sesión ya a podía con ntar hasta 30 de cincco en cinco o y sin ayud da. El uso de objeto os reales y la secuen ncia para contar c de uno u en uno o hicieron que contar a intervalos fuera, para Josh, algo comp prensible e interesante e. La edu ucación de Josh y la recopilación del ca aso se deben a Cathy A. Mason M Nume eración En numeración. Cuando lo os niños lle egan al jard dín de infan ncia suelen n ser bastante comp petentes para contar co onjuntos de e uno a cincco objetos, y la mayoríía de los niñ ños de cin nco años en numera con n exactitud hasta h 20 ob bjetos (Fuso on, en prensa). Por tan nto, si un niño que empieza e el curso c de pá árvulos pre esenta dificu ultades con n conjuntos de uno a cinco elem mentos, es que q necesitta de inmed diato una attención individual. El niño n que no n haga nin ngún intento de etique etar cada objeto o de un conjunto,, por peque eño 33 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO que éste é sea, co on una palabra para contar (soltando al azzar palabra as para con ntar mienttras desliza a el dedo por p encima de los objjetos) ni de e llevar la cuenta de los objeto os contados y sin con ntar (etiquettando los objetos o del conjunto de e una manera totalm mente asiste emática) prresenta gra aves problemas (Baroo ody y Ginsb burg, 1982b b). Co omo la en numeración n requiere la coordiinación de e dos sub btécnicas, los errore es pueden deberse a tres causa as: a) gene erar una se erie numérica incorrecta (errorres de secu uencia); b)) llevar un control c inex xacto de los elemento os contado os y no co ontados (errores de partición), p y c) no co oordinar la elaboració ón de la se erie numé érica y el proceso de control de los ele ementos co ontados y no contad dos (errorres de co oordinación n) (Gelman n y Gallis stel, 1978)). En la figura f 6.1 se mues stran algun nos ejemplo os de cada a tipo de error. En oc casiones, lo os niños pu ueden tener t un desliz d al generar g un na serie numérica, n pero si los errores de secue encia son sistemático os (por eje emplo, etiquetar siste emáticamen nte conjuntos de 13 3 y 14 elem mentos con n «13») es s señal de que hace falta f una enseñanza e de apoyo o orientada a a reforza ar la técnic ca necesarria para co ontar oralm mente. El niño que comete c con n regularida ad errores de partició ón como pa asar algún elemento por p alto o contarlo más de una u vez, debe d apre ender estra ategias de control más m eficac ces. En n la figura 6.1 6 se pued de observa ar que hay tipos de errrores muy y distintos que q pueden produc cir las mis smas resp puestas. Por ejemplo o, el doble etiqueta ado (seña al igual que contar un alar un objjeto una vez y asign narle dos etiquetas), e mism mo objeto más m de una a vez, aume enta en un na unidad el e número de d elementos de un n conjunto.. Sin emba argo, el dob ble etiqueta ado es un error de co oordinación y no de e partición. En realid dad, se pue eden comb binar vario os errores para p produ ucir una respuesta r correcta. c C Como las re espuestas incorrectas s pueden producirse p de varias s maneras s y como,, matemátticamente, dos errorres no equivalen a un aciertto, es impo ortante que e los maes stros observen la acttividad de enumerac ción de los s alumnos que tenga an alguna dificultad. d Si un n niño tie ene proble emas para a ejecutar con efica acia algun na de esttas subté écnicas, es s probable que se de en errores de coordin nación. Po or ejemplo, un niño que q tiene que detenerrse y pensa ar qué viene después del 3 cuan ndo cuenta un conjunto de cinc co elementtos, puede olvidar po or dónde ib ba: «1 [señ ñala el prim mer eleme ento], 2 [se eñala el segundo], 3 [señala [ el tercero], a ver, a ver, 4 [señala a el quinto o elemento]]». Igualme ente, si un niño n tiene que dedicar mucha atención para no perde erse, puede equivoccarse (por ejemplo, saltarse un número). Fuson y Mierkkiewicz (198 80) encontrraron que lo os niños pe equeños tendían a cometer errorres de coordinación a medio co ontar. 34 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Los errores de d coordinación tamb bién puede en darse al principio o al final del eso de en numeración n (Gelman y Gallistel, 1978). Algunos niños tien nen proce dificultades para a empezar las dos sub b técnicas al a mismo tie empo. En consecuenc c cia, er elemento o, pero no lo o etiquetan o empieza an a etiquettar demasia ado señalan el prime o (por ejem mplo, dicen «1» sin se eñalar el prrimer eleme ento, que a continuación pronto recibe e la etiqueta a «2»). A ve eces, los niñ ños tienen dificultades d s para acabar con las dos d técniccas coordin nadas y señ ñalan, pero o no etiquettan, el últim mo elemento o continú úan etique etando después de ha aber señala ado el último o elemento. Los niñoss mentalmente retrassados parecen ser pro opensos a cometer errores e de coordinació c ón (Baroodyy y Ginsb burg, 1984)). El «frenesí» y «pasar de largo» so on dos gravves erroress de enume eración. En n el prime ero, el niño empieza con c una corrresponden ncia biunívo oca, pero no la mantie ene hasta a el final, y en e el segundo no inten nta estableccer la corresspondencia a al empeza ar o acaba ar el proce eso de enumeración (Fuson ( y Hall, H 1983). El frenesí puede darse como o resultado de d no contrrolar los ele ementos etiq quetados y no etiqueta ados (error de particción), no coordinar la cuenta c oral y la acción de señalarr (error de coordinació c ón), o amb bos a la vez z (véase la fig. 6.1). Pa asar por altto comporta a no hacer ningún n intento de co ontrolar o co oordinar la serie numé érica con la acción de señalar cad da elementto. Co on los niño os que «pasan por alto» algún n elemento o, la enseñanza de la· enum meración de ebe destaccar: a) contar despaccio y con atención; a b aplicar una b) u etique eta a cada elemento; c) señalar cada elemento una ve ez r sólo un na, y d) con ntar organ nizadamentte para ahorrar esfuerzzo en el con ntrol. Con elementos e f fijos, el conttrol de lo os objetos contados y los que e quedan por p contar se puede e facilitar con c estrattegias de aprendizaje a e como em mpezar por un lugar bien b definido y continu uar sistem máticamentte en una dirección (por ejemp plo, de izqu uierda a derecha). d U Una estrattegia adecuada para contar ele ementos móviles m es separar cllaramente los eleme entos conta ados de los que queda an por conta ar. Regla a del valor cardinal. c Cu uando llega an a párvulo os, los niño os aplican rutinariame r nte , Lyons y Hall, la regla del valorr cardinal a conjuntos aún a mayore es (Fuson, Pergament P H ño de esta edad no lo o puede ha acer es señal de que e tiene gravves 1985)). Si un niñ proble emas. Aun nque much hos niños mentalme ente retrasados pued den aprend der espon ntáneamente la regla del valor cardinal, otros necesitan una enseñanza explícita a. Si un niño o simpleme ente adivina a el valor ca ardinal de un conjunto que acaba de conta ar o vuelve a enumerrar el conju unto, se le e puede exxplicar la re egla del va alor cardin nal de la manera m siguiente: «Cua ando cuenttes, recuerd da el último o número que q dices porque asíí sabrás cuántas cosa as has conta ado.» Si un n niño repite e toda la se erie érica empleada en el proceso p de enumeración, se le puede decir que existe un numé atajo: «Deja que e te enseñe una manera más fáciil. Después de contar, me vuelve es a 35 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO decir el último nú úmero que hayas dich ho y así sab bré cuántass cosas has contado.» »A e el maestrro demuestrre el processo mientrass «piensa en e voz alta» »: « vecess es útil que ¿Cuán ntos dedos s tengo leva antados? Voy V a conta arlos, a verr. Uno, doss, tres, cuattro. Vaya,, el último número que q he diccho es cua atro, así que q tengo cuatro ded dos levantados.» ” Ind dica la acción de señalar. • Ind dica una combinación de errores e de seccuencia y parrtición. •• In ndica una com mbinación de errores de pa artición y coorrdinación. 36 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Re egla de la cuenta c card dinal. Los niños n que empiezan e la a escuela suelen s dar por sentada esta no oción más avanzada a d valor ca del ardinal; mucchos niños de educacción especcial no lo hacen h así (Baroody ( y Mason, 1984). Esta regla pued de enseñarse media ante un pro ocedimiento o de dos etapas e con ncebido por Secada, Fuson y Hall H (1983 3) (Véase la a fig. 6.2). La primera etapa e consiste en pressentar un co onjunto al niño n e indiicar (verbalmente y mediante m un n número escrito) e la designació d n cardinal del conjunto. El mae estro pide al a niño que cuente el conjunto c y observe o qu ue el resulta ado cide con la designació ón cardinal. Para la se egunda etap pa, el maesstro de contarlo coinc prese enta otro conjunto. Se le vuelve a dar al niño o la designa ación cardin nal y se le pide p que cuente los elementos e d conjunto del o. Sin emba argo, antes de que aca abe de conttar, de al niño que prediga el resultad do. el maestro le pid eparación. Los L niños suelen llegar a párvuloss pudiendo o separar co on precisión n al Se meno os conjuntos s de peque eño tamaño. Si un niño o es incapa az de separa ar hasta cin nco objeto os cuando se le pide e, es que necesita n un na enseñan nza de apo oyo intensiiva. Muchos niños co on deficienccias mentalles tienen dificultades d con esta ta area (Baroo ody y Ginsburg, 198 84; Baroodyy y Snyder,, 1983; Sprradlin, Cottter, Stevenss y Friedman, 1974)) Y necesita an una ense eñanza esp pecial. 37 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Un no de los errrores más comunes c cu uando se re etiran objeto os de un co onjunto es «no « pararsse», es dec cir, no deten ner el proce eso de conttar cuando se ha llega ado al objetiivo. A Mattt, un niño deficiente d m mental, se le e enseñaron ocho lápices y se le pidió: « Toma cinco para dárse elos al maesstro; recuerrda, saca sólo cinco.» Sin embarrgo, se limittó a contar los ocho lápices. l Cabe atribuir este tipo de e errores a un fallo de memoria (por ejemp plo, véase Resnick R y Ford, F 1981)). Según un na de las hipótesis qu ue atribuyen n el error a un fallo de d memoria, los niños no mantienen e! ob bjetivo en la a memoria de trabajjo, es decir, no toman nota de la cantidad solicitada. s O propue Otra esta es que e, al estar tan ocupad dos con e! proceso de e contar, se e olvidan de! objetivo.. Por ejemp plo, cuand do se le prreguntó a Matt M cuánto os lápices debía tomar, respond dió: «No sé.» Como o no recorda aba e! obje etivo o no lo o tenía en su memoria de trabajo, Matt se lim mitó a contar todos lo os lápices que q tenía de elante. Al igual i que muchos m otro os niños (vé éase Flavell, 1970), es posible que e Matt supie era que hace h falta un u esfuerzo o especial para memo orizar inforrmación, ess decir, que e a vecess necesitam mos ensayar o repetir una u informa ación para facilitar f e! re ecuerdo. Pa ara este niño, la en nseñanza de d apoyo debe recallcar la imp portancia de recordarr el objetivvo de la tarrea y, de ser necesario Se o, debe también enseñ ñarle cómo recordarlo. r debe estimular al niño a ensayar (rrepetir) e! objetivo pa ara que qu uede graba ado firmem mente en su u memoria de trabajo antes de co ontar los ob bjetos. Si ha ace falta, se e le puede e instar a que anote ell número an ntes de em mpezar a contar. Los niños n que tienen t la edad e de em mpezar a andar a (Wag gner y Walters, 1982 2) y algunos niños deficientes mentales m (Baroody y Ginsburg, 1984) tienen problem mas con esta e tarea aun a cuando o parecen recordar el objetivo. Por ejempllo, cuando se pidió a un niño, Fred, que quitara tre es objetos de d un monttón de cincco, se limitó óa contarlos todos: «1,3,4,6, 111 [y despué és, volviend do a señala ar e! último elemento] 3», ordado e! objetivo. Este E niño deficiente d había vuelto o a parecciendo que había reco etique etar el últim mo elemento con la pa alabra «tress». Cuando o se le pidió que retira ara cinco elementos de un totall de nueve volvió v a com meter el errror de no de etenerse, pe ero acabó ó la cuenta a con la etiq queta corre ecta: «1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 5.» Aunque A no se detuvvo cuando se s encontró ó por prime era vez con n la etiqueta a buscada, Fred pare ecía record darla e hizo o que el último elemen nto tuviera la l etiqueta apropiada. Este error de «finalizar con c el objettivo» puede e explicarse e mediante otra hipóte esis referid da a la memoria. Au unque algu unos niños guardan el e objetivo y lo pued den record dar más tarrde, el procceso de con ntar objetoss absorbe tanto t su ate ención que no puede en compara ar la serie numérica de el proceso de d separación con el objetivo. o Como la memoria de tra abajo de Frred estaba tan t copada a por el procceso de sep paración qu uizá e capaz de atender simultáneam mente a los procesos de d contar y de comparrar. no fue Una vez v liberada a su atenció ón del proce eso de conttar, Fred pu udo recorda ar el objetivvo y enme endar su conducta. 38 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Cu uando un niño no tiene problema as para reccordar el ob bjetivo, la enseñanza e de apoyo o debe centtrarse en ell proceso de comparacción. Prime ero, se debe e hacer que e el niño anote a el objetivo. A continuació ón, sacamo os nosotross el primerr elemento (o dejam mos que lo haga h el niño). Luego le e preguntamos (señalando el número anota ado si es necesario): n « ¿Es la ca antidad corrrecta? ¿Ha ay que para arse aquí?» Continuam mos así ha asta llegar a la cantida ad solicitada a. Debemoss explicar claramente c por qué se ha detenido el proce eso de contar: «Nos hemos h para ado en N [de ecir el número desead do)] ue N [seña alar el obje etivo] es la a cantidad que necessitamos.» Sobre S todo o a porqu principio, se deb be ayudar al niño a enccontrar la manera m máss fácil posib ble de ejecu utar oceso de co ontar. Por ejemplo, e se e puede sim mplificar el proceso de e controlar los el pro eleme entos que se s han conttado y los que q no, apartando loss primeros es un montón claram mente sepa arado. Ha ay otra expliicación para este tipo de errores y es que lo os niños mu uy pequeño os y algunos escolare es con defficiencias mentales m no o poseen la base con nceptual pa ara comprender la tarea. Quizá los niñoss que no comprenden n la noción de la cuenta cardin nal no se da an cuenta de d que debe en compara ar lo que cue entan con el e objetivo. Así A pues, cuando un n maestro desea d subssanar las dificultades que tiene un u niño con n la separración, prim mero deberrá comprob bar que po osea la téccnica nece esaria para a la cuenta cardinal (Baroody ( y Mason, 19 984). omparación n entre ma agnitudes Co Cu uando llega an al curso de párvvulos, casi todos loss niños pueden realizar comparaciones entre e núme eros separados y entre e números seguidos s pe equeños (de el 1 al 5), y la gran mayoría ya habrá h llegad do a domina ar estas últimas con los números del 1 al 10. 1 Los niño os de educcación espe ecial durante la prime era enseñan nza y much hos niños deficientes de nivel intermedio o pueden llegar a te ener proble emas con las comparaciones entre e núme eros separa ados y entrre númeross seguidos pequeños. La educa ación de ap poyo deberrá empezarr con objettos concrettos y núme eros familiares que sean s manifie estamente diferentes en cuanto a magnitud d (compara ar 1, 2 ó 3 con c núme eros mayore es como 9 ó 10; comp parar númerros seguido os como 1 y 2, o 2 y 3). Pueden cons seguirse va arios juegoss en los que q intervie enen mode elos concre etos (véase el ejempllo 6.3). En el juego Invasores de e la luna, po or ejemplo, los jugadores comparan la long gitud o la altura de doss conjuntoss de cubos que encaja an entre sí. De esta manera, m la comparació c ón de núme eros se conecta con in ndicios percceptivos claros y queda reforzad da por elloss: «Tú tiene es ocho navves espacia ales en la lu una y yo ten ngo dos. Mira M qué la arga es la fila de nave es que tienes. Ocho naves n es más m que do os.» Gradu ualmente, el e niño irá aprendiendo a o la idea de e que los nú úmeros se asocian a con n la magn nitud y que los l número os que viene en despuéss en la serie e numérica son mayorres. Una vez v hayan arraigado estas idea as básicass, el niño deberá d serr apartado de 39 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO activid dades con objetos concretos c y se le pe edirá que resuelva lo os problem mas menta almente. plo 6.3. Jue egos de com mparación entre núme eros concre etos Ejemp INVASOR RES DE LA A LUNA bjetivo: Ob Comparacione es entre nú úmeros del 1 al 10 sep parados o seguidos. s Ma aterial: 1. Varias luna as (círculoss de papel) de distinto color. 2. Dos conjun ntos de cub bos encajab bles de distiinto color. 3.U Una peonza a con los nú úmeros del 1 al 10 (pa ara compara aciones enttre números separrados) o un conjunto de d tarjetas en e las que se s listen comparacione es específiccas para cada c objetiv vo. Instrucciones s: Esp parcir los círculos c por la mesa. Dar D un conjjunto de cubos a cada a uno de los dos ju ugadores. Explicar qu ue los círcu ulos son lu unas y que e los cuboss son naves espacciales. El ju ugador que haga «alun nizar» más naves en una u luna se e queda con ella y el que conq quiste más lunas gana a la partida. Usar la peo onza o las tarjetas t para a determ minar la can ntidad de naves que puede hacerr alunizar ca ada jugado or. Pregunta ar a uno o de los niñ ños qué jug gador ha he echo alunizzar más, po or ejemplo:: «Tú tienes cinco naves y Billy tiene tre es. ¿Cuántto es más, cinco o tre es?» De ser necesario o, señalar las disttintas long gitudes (o alturas) de los dos conjuntoss de cubos encajables. DOMINO D MA AS (MENO OS) UNO Ob bjetivo: omparar núm meros segu uidos (más o menos uno) de! 1 al a 10. Materrial: Co Ficchas de dom minó. Instru ucciones: Estte juego, ba asado en uno u propuessto en e! cu urrículo de Wynroth (1 1969-1980)), se jue ega como e! e dominó normal n perro con una excepción.. En vez de e empareja ar conjuntos numérricamente equivalente e es para ir añ ñadiendo ficchas, las ficchas que se e añade en deben tener t un co onjunto de puntos ma ayor (o menor) en una unidad al a conjunto de la fic cha de! extrremo de la hilera. La fiigura que sigue s ilustra a un caso de e «Dom minó menos s uno». Un jugador va a a añadir una u ficha co on «8» al extremo e que e tiene «9». 40 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO on los niños s de educacción especiial puede se er muy útil indicar la estrategia pa ara Co conta ar que pued de usarse para comp parar núme eros seguid dos y cómo o se relacio ona esta estrategia e con c las técn nicas básica as para sab ber el número «que vie ene despuéss». Expliccar, por ejemplo: «Pa ara saber qué númerro es mayo or, contemos a ver qué q núme ero viene de espués. Pa ara los núm meros 3 y 4 contamos "1, 2, J" Y como c despu ués del 3 viene el 4, e14 es ma ayor.» Tamb bién puede ser útil dem mostrar el procedimien p nto para el niño y em mplear una lista numérrica o bloqu ues encajab bles para co ontar. Llega ado el mo omento, el procedimien p nto de conta ar se puede e interrump pir para preg guntar al niñ ño: «¿Qu ué es más, 4 ó 3? ¿Qué ¿ núme ero viene después d cu uando conttamos?» Otra O mane era de hace er explícita la conexión n entre la co omparación n y la técnicca del núme ero «que viene des spués» es continuar las pregun ntas sobre el número o «que vie ene el tipo «cuá ál es mayor» ». Por ejem mplo, se pue ede pregunttar: después» con preguntas de ué viene jus sto despuéss del 3 cuan ndo contam mos? Decim mos 3, ¿y lu uego... ?» Una U «¿Qu vez haya h respondido el niñ ño, pregunttarle: « ¿Y cuál es más, 3 ó 4?» » (nótese que q para forzar al niño n a penssar realmente en la comparació c ón, el núme ero mayor se mencciona en prrimer lugarr o «sin seguir el orden usual» la mitad de las veces, aproxximadamen nte). C) IM MPLICACIONES EDU UCATIVAS S: LA ENSE EÑANZA DE TECNICA AS PARA C CONTAR A continuació ón se resum men alguna as directrice es generale es para la enseñanza. e 1. Lo os niños de eben domiinar cada técnica t para contar hasta h que llegue a se er 41 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO automática. Es sto es esen ncial porqu ue las técn nicas para contar se basan la una u a otra y sirv ven de bas se para téc cnicas más s compleja as como ha acer sumas so en la devo olver camb bios. Si las técnicas básicas b no o son eficaces, no pu ueden integ grarse bien n con otras s técnicas para la eje ecución de e funciones s más comp plejas. 2. La enseña anza de apo oyo debe ba asarse en experiencia e as concretass. Para que e la enseñanza de una u técnica a básica para contar sea significa ativa, deberrá basarse en activiidades con ncretas. Ad demás, y sobre todo o con pob blaciones de d educación especial, puede e ser importtante enlaza ar explícitamente activvidades con ncretas con n la técnicca que se enseña. e 3. La enseña anza de apo oyo debe offrecer, dura ante un larg go período de tiempo, un ejercicio regularr con activiidades de interés te, el dominio i para a el niño. Normalmen N incom mpleto de las técnica as básicas para conta ar suele atribuirse a una falta de experiencia o in nterés. Si los ejercicio os no son interesante es, algunoss niños no se sentirrán compro ometidos co on ellos y no n alcanzarrán la experriencia necesaria para a el dominio de la técnica. Por ejemplo, e los niños se cansan c en seguida de e los ejerciccios de re epetición orral para aprrender a co ontar. Los niños se sienten más dispuestoss a gene erar la serie numérica en e el contexxto de enum merar objeto os porque se s trata de una u activiidad que tie ene más se entido para a ellos (Fuson et al., 1982). La fo orma concre eta que deberá d tene er el ejerciccio depend derá del niñ ño. Muchoss niños resp ponderán con c entussiasmo a dis stintos tiposs de juegoss que se bassan en conttar; otros prreferirán jug gar con un u títere de «Barrio séssamo» y otrros podrán disfrutar co on el contaccto de un tuttor, sea niño o adu ulto, interessado y enttusiasta. Lo o esencial es que el ejercicio no necesita -es má ás, no debe- carecer de interés pa ara el niño.. A continuació ón se prese entan otros juegos y acctividades para p enseña ar a contar de palab bra, a nume erar y a com mparar mag gnitudes. Juego os y actividades ESTRELLA AS ESCON NDIDAS Ob bjetivos: 1. Enumerar. 2.R Regla del va alor cardina al. Ma ateriales: Tarjetas con estrellas e u otros o objeto os dibujado os (de 1 a 5 para princcipiantes ). Insstrucciones s: Explicar: <<Vamos a jugar al juego de las estre ellas escon ndidas. Te voy v a enseñ ñar 42 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO una carta c con es strellas y cuentas cuá ántas hay. Cuando C hayas acabad do de conta ar, escon nderé las estrellas y, si s me dicess cuántas estoy e escon ndiendo, ha abrás ganad do un pu unto.» Leva antar la priimera tarjeta y hacerr que el niñ ño cuente las estrella as. Taparrlas con la mano o un n trozo de cartulina y preguntarle: « ¿Cuán ntas estrellas estoy escondiendo?» El niñ ño deberá re esponder citando c úniccamente el valor v cardin nal del co onjunto. Si el niño em mpieza a co ontar desde e 1, pregun ntarle si hayy alguna ottra mane era más fác cil para indicar las esttrellas que se han co ontado. Si es e necesarrio, enseñ ñar al niño directame ente la regla del valorr cardinal demostrand d do la tarea a y «penssando en vo oz alta» (de escribiendo el procedim miento y el razonamien nto en que se basa)). CIR LA CAN NTIDAD PREDEC Ob bjetivos: Co oncepto de cuenta card dinal. M Materiales: Ob bjetos pequeños que se s puedan contar c como bloques o fichas. Insstrucciones: Da ar al niño un n conjunto de bloquess (por ejem mplo, cinco)) y decirle: «Toma cinco bloques. ¿Cuánttos habría si los conta aras?» Desspués, hace er que el niño cuente el conjunto para qu ue comprue ebe su resp puesta. Tam mbién puede hacerse con un dad do. Despu ués de una a tirada, no permitir que el niño cu uente inmediatamente e los puntoss y seguir, en cambiio, el proce edimiento de escrito ante eriormente. CARRE ERA DE CO OCHES bjetivos: Ob 1. Enumerar. Separar. 2.S Ma ateriales: 1. Un tablero con pista de d carreras (una hilera a de casillass en espiral). 2. Un U dado (co on O a 5 puntos al prin ncipio; 5 a 10 1 para niño os más ava anzados). 3. Coches en miniatura. Insstrucciones: Ha acer que los s niños escojan los coches que más m les gussten. Coloca ar los coches al prin ncipio de la pista. Tirarr el dado por turnos y hacer h avanzzar los coch hes el núme ero corresspondiente de casillass. Hacer qu ue los jugad dores cuenten los pun ntos del dad do (enum meración) y las casilllas cuando o avanzan n los coche es (separa ación). Estas técniccas también n pueden practicarse p con otros juegos de e tablero bá ásicos de tet mática diversa, de d acuerdo o con los inttereses de los niños. 43 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO R RELLENAR R Ob bjetivos: 1. Enumerar. 2. Separar. Ma ateriales: 1. Tableros de d juego o pistas de carreras c ind dividuales. 2. Fichas. 3. Baraja de e cartas con n puntos (1 a 5 para prrincipiantess; 6 a 10 pa ara niños más avanzzados). 4. Bandejas pequeñas p (p por ejemplo o, tapas de plástico). Insstrucciones: Da ar a cada niño n un tabllero o una pista de ca arreras. De ecir: «Vamo os a ver qu uién rellena primero su tablero (pista de carreras).» c Hacer que e cada niño, por turn nos, levantte una cartta de la baraja y cuen nte los puntos para de eterminar cuántas c fich has debe tomar. Dec cirle al niño o que tome e esta cantidad. Hace er que el niño separe las fichass que le han n tocado en n una band deja pequeñ ña (este procedimientto hace que e la correccción de los s errores de e separació ón sea men nos confusa a). Si se com mete un errror, vaciarr la bandeja a. Hacer que el niño lo vuelva a in ntentar o, si es necesarrio, ayudarle a extrae er el númerro correcto.. Una vez extraído e el número correcto, hacer que el niño n coloque las ficha as en su tab blero. Gana a el niño qu ue llena antes su table ero. EL NUM MERO TAP PADO Ob bjetivos: De eterminar ell número an nterior o po osterior a un n número dado d (del 1 al 9). Ma ateriales: Tarjetas nume eradas del 1 al 9. Insstrucciones: La versión bá ásica de estte juego se describe co on más dettalle en Bleyy y Thompsson (1981) junto con n otros juegos como Walk W On [«S Sigue andando»] y Peeek [«Echa una u ojeada,,] que so on útiles pa ara enseña ar númeross posteriore es a otro dado. d Para a la versió ón básica de El númerro tapado, extender e las tarjetas numeradas, n , boca arrib ba y por orrden, encim ma de la me esa. Decir al niño que cierre c los ojos, poner una u carta bo oca abajo y decir al niño que ya y puede mirar m para averiguar a qu ué carta ess la que se ha ajo. Señalarr la carta an nterior (possterior) a la carta tapad da y decir, por puestto boca aba ejemp plo: « ¿Qué é carta es ésta? é ¿Qué viene justo o después [antes] [ del 6?» 6 Continuar hasta que se hay ya tapado cada c númerro una vez. La versión básica es especialme e nte ara los niño os que no pueden p ressponder a esta e pregun nta empeza ando a con ntar útil pa desde e el 1 y para a los que co onfunden el e número anterior con el posterior. Una verssión más avanzada a comporta c eliminar los indicios visibles de la serie s numérrica y requiere 44 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO que el e niño resu uelva el pro oblema men ntalmente. Para ello, no hay má ás que colocar todas las tarjetas boca aba ajo y levanttar una de ellas, e pidién ndosele al niño que diga d qué número n va antes a o desspués del le evantado. CARRE ERA DE NUMEROS Ob bjetivos: Co omparaciones entre nú úmeros sep parados del 1 al 10. Ma ateriales: 1. Una hilera de d casillas (de 15 x 75 5 cm, aproximadamentte) con los números n de el 1 al 10 (véase la fiig. 6.3). 2. Coches en miniatura Insstrucciones:: Ha acer que cad da jugador escoja el coche que guste. g Coloccar los coch hes en la lín nea de sa alida (unos 15 cm a la izquierda de d la casilla a con e! nú úmero « 1» ») . Decir a los niños que sus co oches van a echar una a carrera y que ganará á e! coche que q vaya más m rápido o. Hacer qu ue los niñoss den un em mpujón a su us coches a lo largo de la pista. Los L coche es que se salgan po or el otro extremo e o por los lad dos de la pista qued dan desca alificados. Si S un coche e se detiene e sobre una a línea de separación s entre casillas, se colocará en la a casilla en n la que de escanse la mayor m parte e de! coche e. Cuando los dos ju ugadores ha an empujad do sus coch hes, pregun ntar a uno de d ellos: «Tu coche se ha ido a1 15 y e! de Jane J se ha a ido al 3. ¿Qué ¿ es má ás, 5 ó 3? ¿Quién ¿ gan na?» Variarr e! orden n en que se mencionan n los númerros para que e e! mayor se s encuenttre unas vecces al prin ncipio y otra as al final. Si S es necesa ario, correg gir al niño ensenándole e sobre la lista de nú úmeros que un número o mayor implica recorrrer más cassillas. D PERSE ECUCIÓN JUEGO DE bjetivos: Obj Co omparacione es entre nú úmeros seg guidos. Ma ateriales: 1. Tablero co on casillas en e espiral. 2. Dos fichas s. 45 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO 3.T Tarjetas con n diferentess comparacciones (del 1 al 5 para principiante es; número os mayores para niños más ad delantados). Insstrucciones:: De ecirle al niño o que nuesstra ficha va a a persegu uir a la suya a por el tab blero de juego. Sacarr una tarjeta a y leer los dos d número os escritos en ella. Deccirle al niño o que escoja a el núme ero mayor. La L elección del niño indica cuánta as casillas debe d avanzzar su ficha a; el otro número n indica la cantid dad de casiillas que de ebe avanzar la nuestra a. Después de cada turno, com mentar las posiciones p d las ficha de as diciendo o, por ejemplo: «Pues sí, éste es e el que tiene más. Tu T ficha tod davía va po or delante», o «No, ésse no es más. Mira, mi ficha ya está pillando a la tuya a». Si e! niñ ño tiene dificultades, pueden p usarse sta de números para ilustrar la co omparación n. bloques o una lis N D) RESUMEN enerar de pa alabra la se erie numérica sólo es un primer paso p hacia e! dominio de Ge un complejo de técnicas t im mportantes que q los adu ultos emple ean de manera rutinariia y autom mática. Cua ando llegan a la escue ela, los niño os suelen se er capaces de generar la parte memorístic ca de la serrie numérica a y un poco o de la parte e basada en n la aplicacción de reg glas, adem más de pode er enumera ar y separa ar conjuntos de objeto os, emplear la regla de valor ca ardinal para a resumir una u enumerración e inccluso emple ear relacion nes de orden numérrico (númerros anterior y posterio or a otro dado) d para determinarr la mayor de dos cantidades c . Algunos niños, sob bre todo lo os deficienttes mentalles, puede en necesita ar una educcación de apoyo a para dominar estas e técniccas informa ales básica as. Durante e los primeros años de e escuela, los niños re esuelven el e problema de las de ecenas y am mplían su ca apacidad de e contar de e palabra ha asta 100 y más. m A med dida que se s van famiiliarizando con la serie numérica a, aprenden n a contar por interva alos (por ejemplo, e po or parejas) y a contar regresivam mente. La enseñanza e especial o de apoyo o debe asegurar que se s llegue al dominio de d cada com mponente sucesivo s de e la jerarq quía de téc cnicas para a contar. La a enseñanzza deberá ser concre eta, intensa a e intere esante. 46 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO De esarrolllo del número n o La capacidad para co omprender y emplear el núm mero, ¿ se s desarro olla directtamente a partir de la a experienccia de con ntar que tie enen los niiños? ¿ O el desarrrollo de una manera significativa s a de contar necesita un na adquisicción previa de d conce eptos y ac ctitudes neccesarias? ¿Qué puede aprender un niño o acerca del d núme ero a partir de su experiencia a de conttar? ¿Qué papel de esempeña el recon nocimiento de d pautas en e el desarrrollo matem mático? El enfoque ca ardinal (teorría de co onjuntos) de e la Matem mática Mode erna o la fo ormación ló ógica de lo os programas piagetianos, ¿so on útiles co on los niñoss pequeñoss? ¿Qué pa apel deben desempeñ ñar las exxperiencias s de conta ar en la en nseñanza de d concep ptos numérricos a niños peque eños? A) DOS D PUNTO OS DE VISTA SOBRE E EL DESA ARROLLO DEL NUME ERO Probllemas de conservaci c ión: el caso o de Peterr Pe eter, un niño o de edad preescolar, colocó c siete e fichas azu ules en fila frente f a sí. Yo Y coloqué otra fila a de siete fichas bla ancas en corresponde c encia biunívoca con la anteriior y, mienttras Peter miraba, m aña adí otra fich ha blanca. Entonces E ju unté las ocho fichass blancas pa ara que la hilera h fuera más corta y pedí a Pe eter que con ntara para ver v si hab bía el mism mo número de fichas en cada hilera o si ha abía alguna a que tuvie era más. Peter respo ondió: «Mi hilera tiene e [contando las fichas azules] 1, 2, 2 3, 4, 5,6, 7. La tuyya tiene [co ontando lass fichas blan ncas] 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 7 8. ¿Ves? ¡La tuya sólo tiene ocho: la míía tiene má ás!» A pesar de haber con ntado los dos conju untos, Pete er seguía respondien ndo incorrrectamente a la pregunta de consservación de d la no equivalencia. Al parecerr, la capaccidad para contar de e palabra y enumera ar no implica necesa ariamente una u comprensión de número bie en desarrolllada. ¿Por qué contarr no ayudó a Peter, y qué q tipo de enseñanz za podría mejorar m su comprensió c ón del núme ero? El punto de vista v de los s requisito os lógicos Loss psicólogos ofrecen n dos explicaciones distintas de d la comprensión del d signifiicado de los s nombres de los números y del acto a de con ntar. Desde uno de estos punto os de vista, los niños, antes de lllegar a tene er «uso de razón» (ha acia los sie ete años de edad), son incap paces de comprende c er el núme ero y la arritmética (p por ejemp plo, Piaget, 1965). La curiosa c resp puesta de Peter P se atribuye a una a incapacida ad de pe ensar lógica amente. Es decir, se supone s que e Peter care ece de razo onamientoss y 47 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO los co onceptos ló ógicos neccesarios pa ara un con ncepto del número y para conttar signifiicativamentte. Como contar c no im mplica tener éxito en tareas· t de conservació c ón de la desigualda ad o la dessigualdad, algunos pssicólogos (por ejemplo, Wohlwilll y n llegado a la conclusió ón de que la l experiencia de conttar tiene poco Lowe, 1962) han da que ver con el dessarrollo de un concep pto numéricco. Por eje emplo, Piag get o nad (1965 5) afirmaba a que los niños apre enden a re ecitar la serie s numé érica y dattos aritmé éticos a mu uy corta eda ad y que se e trata de actos completamente verbales v y sin s signifiicado. Ni siquiera s la numeració ón garantizza una com mprensión del númerro. Desde e este pun nto de vista a, el desarrrollo de un n concepto o del núme ero y de una mane era significa ativa de con ntar depend de de la evo olución del pensamien nto lógico. El modelo ca ardinal. Seg gún uno de e los modelos que esstablecen la a lógica como requissito previo o, los niño os deben entender la clasificcación ante es de pod der comp prender el significado s esencial de el número. Esto implica aprende er a definir un conjunto, es dec cir, a clasifficar objetos para pod der asignar cada uno de ellos a un conjunto correctto. Por ejem mplo, un co onjunto de formas f curvvas puede incluir c, C, u, U, s, S y O, pero o no L, v, V, F Y #. Co omprender la lógica de d clases también t requiere com mprender la a clasificacción jerárq quica o «inc clusión de clases»: c una a clase es la a suma de sus partes (subclases) y, por ta anto, es may yor que cua alquier subcclase. Por ejemplo, e si a un niño se e le presentan tres ro osas y cinc co violetas y se le preg gunta «¿Ha ay más viole etas o hay más flores?», deberría respond der que la clase (flores) es má ás que la subclase (violetas). ( S Sin emba argo, los niñ ños pequeñ ños tienen dificultadess con estoss problemas de inclussión de cllases (por ejemplo, Piaget, 19 965). Estoss resultado os se han considera ado evidencias de que q los niñ ños pequeñ ños no cap ptan la lógica de classes y que, en conse ecuencia, son s incapacces de comprender verdaderame ente el núme ero. Ad demás, la lógica de clases co omporta comprenderr la idea de conjuntos equivvalentes. La L equivalencia de dos conjjuntos se define mediante m u una corresspondencia a biunívoca a: Dos conju untos pertenecen a la misma classe si se pue ede estab blecer una correspond dencia biunívoca enttre sus ele ementos re espectivos. La equivvalencia y la corresp pondencia biunívoca, que son n el funda amento de la matem mática form mal, se conssideran el fundamento f o psicológicco del aprendizaje de las matem máticas. El modelo de Piaget. Seg gún Piaget (por ejemp plo, 1965), los niños de eben entender gica de las relacione es (seriación) y la clasificación c n para comprender las la lóg relaciones de equivalencia a y, a conssecuencia de ello, el significado o del núme ero. Piage et estaba de e acuerdo en e que la equivalencia e a (la corresspondencia biunívoca)) es el fun ndamento psicológico p de la comprensión de el número. Sin embarrgo, creía que q 48 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO implicaba comprend comp prender la correspo ondencia biunívoca b der tanto la clasificación com mo la seria ación. Por ejemplo, igualar imp plica obserrvar el prim mer eleme ento de cad da conjunto o, y luego el e segundo, el tercero o, el cuarto,, etc. En ottras palab bras, para establecer e u igualda una ad, los niño os tienen qu ue llevar la cuenta de los eleme entos que han h empare ejado media ante la imposición de un orden. De e la misma manera, m Pia aget consid deraba que el número es la unión de concep ptos de se eriación y de d clasifica ación. Por ejemplo, e en numerar un n conjunto implica tra atar todoss sus elem mentos com mo miembrros de la misma cla ase y al mismo m tiem mpo difere enciar dentro del conjjunto el primer eleme ento, el seg gundo, etc. Además, los núme eros forman n un orden y constituye en una jerarrquía de cla ases. Por ejemplo, tress es una clase c que contiene com mo subclasses uno y dos d (y, a su vez es una a subclase de los números ma ayores). En resumen n, Piaget afirmaba a qu ue el núme ero no pue ede enten nderse ~n té érminos de un único co oncepto lóg gico sino qu ue constituyye una sínte esis única a de concep ptos lógicoss (Sinclair y Sinclair, en prensa). Para Piaget (1965), el de esarrollo de e la compre ensión del número n y de una manera signifiicativa de contar c está á ligada a la l aparición n de un estadio más avanzado del pensa amiento. Los L requissitos lógico os del nú úmero (co onceptos de d seriación, clasifiicación y corresponde c encia biunívvoca) aparrecen con el e «estadio o operacion nal» del de esarrollo me ental. Los niños n que no o han llegad do al estadiio operacional no pued den comp prender el número n ni contar c signifficativamen nte, mientra as que los niños n que han h llegad do a él sí pueden p haccerlo. Por tanto, el número es un u conceptto de «todo o o nada» ». Pia aget (1965)) afirmaba que q la consservación de la cantida ad tenía un na importan ncia extrao ordinaria porque p señ ñalaba la llegada al estadio op peracional, es decir: la to lógico; la adquisición del pensamien p a comprenssión de lass clases, lass relacione es y orrespondencias biunívvocas; un verdadero v c concepto de el número; y una manera las co signifiicativa de contar. Má ás concreta amente, se egún Piage et la conse ervación de e la cantid dad indicab ba la comprensión de que una vez v estable ecida la equ uivalencia (no equivalencia) de e dos conjun ntos, los ca ambios en la configura ación de loss conjuntos no modiffica la relac ción de equ uivalencia (no equivalencia). Es decir, las relaciones de equivalencia (n no equiva alencia) se e conservvan a tra avés de cualesquiera transfformaciones no releva antes en la apariencia a física de un u conjunto o. El niño que q conse erva se da cuenta de e que el nú úmero de elementos e d un conjunto no va de aría cuand do varía su aspecto físsico. El punto de vista v basad do en conttar Un n punto de vista v alternativo considera que la a dificultad de Peter co on la tarea de conse ervación es el resultado de un con nocimiento incompleto o de cómo se s debe con ntar 49 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO y no de d una com mpleta inca apacidad pa ara pensar lógicamente. Algunoss psicológiccos (por ejemplo, e Gelman, G 197 72; Zimiless, 1963), ha an llegado a la concllusión de que q conta ar es esenc cial para el desarrollo de la com mprensión del d número por parte del niño. El número o no se con nsidera un concepto tipo t «todo o nada» que es posible gracia as a un cam mbio genera al en la manera de pensar de loss niños (una a nueva eta apa de de esarrollo me ental). En cambio, c el modelo m que e basa su explicación e en la mane era de co ontar aduce que la comprensió c ón del núm mero evoluciona lenta amente como resulttado directo o de las exp periencias de d contar. De esde este punto p de vissta, los con nceptos num méricos y contar c significativamente se de esarrollan de d manera a gradual, paso a pa aso, y son el resultad do de aplicar técniccas para co ontar y concceptos de una u sofisticcación cada a vez mayor. Al princip pio, los prreescolares s suelen ap prender a em mplear los números de d una man nera mecán nica para descubrir o construir gradualme ente significcados cada a vez más profundos del núme ero y de co ontar (por ejemplo, e Ba aroody y Ginsburg, G en prensa; Fuson y Hall, H 1983;; von Glase ersfeld, 198 82; Wagnerr y Walters, 1982). A medida que e aumenta su comp prensión de el número o y de co ontar, los niños aplican el número y los proce edimientos para p contarr de una ma anera cada vez más so ofisticada. A su vez, esta crecie ente sofistic cación dese emboca en n una comp prensión ma ayor, etc. En E el fondo, el desarrrollo de téc cnicas y con nceptos esttá entrelaza ado y, de he echo, duran nte los últim mos años algunos piagetianos p s (por ejem mplo, Elkind, 1964; Piaget, P 197 77; Sinclair y Sincla air, en pren nsa) han lleg gado a la conclusión c d que un análisis de a del desarrollo del núme ero sería psicológicamente incom mpleto si no se tuviera en e cuenta la a contribucción de lass actividade es de conta ar. Conc ceptos rela acionados con c contarr Al principio, los niños se limitan n a recitar nombres de númerros. En esstos entos, conttar no pare ece ser nad da más que e un sonso onete caren nte de senttido mome (Ginsburg, 1982). Por ejem mplo, Ariann ne, a los 22 meses, canturrea «do os, cinco, dos, d cinco» » mientras baja saltan ndo cuatro escalones.. Ha oído a sus herma anos geme elos de 3 años de edad e recitar nombres de números mientra as bajan lass escalerass o juegan a algo. Al A parecer,, Arianne ha h aprendid do que ciertas activid dades pued den verse acompaña adas por la recitación r d nombress de número de os. Imita el procedimie p nto p sus hermanos. «L Los (y sóllo una partte de la serie numéricca correcta) seguido por nomb bres de los números so on palabrass y, como ocurre o con otras palab bras, los niñ ños puede en aprende er a decirla as mucho antes a de fo ormar [imág genes men ntales], por no hablar ya de con nceptos absstractos qu ue asociar a las misma as ….» (von Glasersfe eld, 1982, p. 196). 50 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Al principio, los niños pueden hacer h enumeracioness sin inten ntar nume erar A pa arece disfrrutar, a su us dos años de eda ad, conjuntos. Por ejemplo, Arianne etique etando obje etos mientras busca entre e sus ju uguetes; no o hace ning gún intento de emple ear una etiqueta para a cada elem mento o de e resumir la a cuenta. Cuando C se e le hacen n preguntas s del tipo «¿Cuántoss hay?», sa abe que el procedimiento correccto implicca responde er con un número, perro todavía no n parece apreciar a que e los númerros se em mplean parra designarr el valor cardinal c de un conjuntto y para diferenciar d un conjunto de otrros conjun ntos con distintos d va alores card dinales. Co onsidérese la siguie ente converrsación entrre Arianne y su padre: PADR RE: ARIAN NNE: PADR RE: ARIAN NNE: PADR RE: ARIAN NNE: [Señalando [ un dibujo con c dos gatos.] ¿Cuán ntos gatos hay en este e dibujo? d Dos. D [Señalando [ un dibujo con c tres perrros.] ¿ Cuá ántos perros hay en esste dibujo: d Dos. D [Señalando [ un dibujo con c un gato o.] ¿Cuánto os hay? Dos. D arece que «dos» es la respuessta «como odín» para Arianne a la hora de Pa respo onder a preg guntas del tipo t «¿Cuá ántos hay?» ». En estos momentos, contar es un acto enterament e te verbal y sin significa ado. Obsérrvese, no obstante, qu ue ya trata los núme eros como una u clase especial e de palabras. Sólo S emplea números cuando se e le pregu unta cuánto os hay o cua ando se le pide que cuente. Los niños pare ecen disting guir muy pronto p entre e las palabrras que son n para conta ar y las que e no (Fuson n et al., 198 82). Los preescolares s sólo emplean letras muy rara vez v cuando se les pide e que cuentten (por ejemplo, e Ge elman y Ga allistel, 1978 8). Incluso los niños le evemente deficientes d d del ciclo medio m reco onocen siem mpre los nú úmeros com mo una cla ase especia al de palabrras aplica ables a activ vidades de contar (Ba aroody y Gin nsburg, 198 84). Priincipio del orden esta able. Con el e tiempo, a medida que q los niñ ños usan sus s es técniccas para co ontar y refle exionan sob bre ellas, aprenden a descubrir regularidad r imporrtantes en sus accion nes de contar y en los númerros. Los niiños parecen apren nder los prim meros térmiinos de la serie s numérrica de mem moria. Al principio, puede que no n empleen n los mismo os términoss o el mismo orden cuando recita an númeross o 51 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO cuenttan objetos. Por ejem mplo, cuand do Alexi ten nía tres año os de edad d no siemp pre empe ezaba desde e el uno pa ara contar conjuntos. c T Tarde o tem mprano, los niños se dan cuentta implícitam mente, o hasta h explíccitamente, de que con ntar requie ere repetir los nomb bres de los números n en n el mismo orden cada a vez. El priincipio del orden o estab ble estipu ula que parra contar ess indispensable el esta ablecimientto de una secuencia s c coheren nte. Los niños cuyas acciones a esstán guiada as por este principio pu ueden utilizzar la seccuencia nu umérica con nvencional o una seccuencia' propia (no co onvenciona al), pero siempre s de e manera coherente c (Gelman y Gallistel, G 19 978). Por ejemplo, e Be eth siemp pre usa la secuencia co orrecta del uno al diezz en tanto que Carol ussa siempre su propia a versión (« «1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 1 18») para contar diez objetos. Prin ncipio de co orrespondenccia. Como resultado r de e la imitació ón, al princcipio los niños puede en recitar números n -co omo Ariann ne- mientra as señalan objetos y hasta h pueden llegarr a desarrollar una cie erta eficacia a en la enu umeración de d conjunto os pequeño os. Más adelante, a pu ueden darsse cuenta de la necesidad de etiq quetar cada a elemento de un conjunto una vez y sólo una. u El prin ncipio de co orresponden ncia subyacce a cualquier intentto genuino de d enumera ar conjuntos y guía loss esfuerzoss de constru uir estrategias de co ontrol de los s elemento os contadoss y por con ntar, como separar loss unos de los otros.. A una ed dad tan corrta como lo os tres año os, los niño os parecen n emplear un principio como éste é para detectar erro ores de enumeración como conttar dos vecces un mismo objeto o o saltarse alguno (Ge elman y Me eck, en prensa). Prin ncipio de un nicidad. Com mo una funcción de con ntar es asignar valoress cardinaless a conjuntos para diferenciarl d os o comp pararlos, ess importante e que los niños n no só ólo generren una sec cuencia estable y asign nen una etiqueta, y só ólo una, a ca ada elemen nto de un n conjunto, sino también que em mpleen una secuencia de etiqueta as distintass o únicas. Por ejem mplo, un niño n puede usar la se ecuencia «1, « 2, 3, 3» » de mane era sistem mática y em mplear esttas etiqueta as en una correspon ndencia biu unívoca, pe ero como o no todos sus s elemen ntos están diferenciado d os, etiqueta ará de la misma m mane era conjuntos de tres y cuatro elementos (con la dessignación cardinal c «3» ») (Baroodyy y Price,, 1983). Inc cluso cuand do un niño tiene que recurrir al empleo de e términos no conve encionales, la apreciacción del principio de unicidad u (co omprender la función diferencciadora de contar) le impediría escoger térm minos empleados prevviamente. Por P ejemp plo, el empleo sistemá ático de la se ecuencia no convencional «1, 2, 3, diecionce» etique etaría erróneamente conjuntos de cuatro o elemento os pero al menos los difere enciaría de e conjuntoss con men nos elementos. Por tanto, ade emás de los principios de ord den estable y de corresspondencia a, es importante que lo os niños sigan ncipio de un nicidad. el prin 52 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Prin ncipio de abstracción. a Los niñoss también deben aprrender cóm mo definir un conjunto para po oder contarrlo. El principio de absstracción se e refiere a la a cuestión de lo que e puede ag gruparse pa ara formar un conjuntto (Gelman n y Gallistel, 1978). A la hora de d contar, un u conjunto o puede esta ar formado por objetoss similares (por ejemp plo, bolas: ● ● ●) o distintos (p por ejemplo o, bolas, esstrellas y palos: ● ⃰ --)). Para incluir eleme entos distinttos en un co onjunto, el niño debe pasar p por alto las difere encias físiccas de loss elementos s y clasifica arlos como «cosas» « (por ejemplo,, una bola, una estrella ay un blo oque se pueden considerar como una, dos y tres cosa as). En el fo ondo, cuando cream mos un conjjunto de ele ementos disstintos enco ontramos (a abstraemoss) algo común a todo os los elem mentos. Prin ncipio del valor v cardin nal. Median nte la imita ación, los niños pued den aprend der fácilm mente la técnica de con ntar denomiinada regla del valor ca ardinal, es decir, d basarse en el último núm mero contad do en respu uesta a una a pregunta sobre una cantidad. Sin S emba argo, el em mpleo de la a regla del valor card dinal no ga arantiza una apreciacción adecu uada del va alor cardina al en sí (Fu uson y Hall, 1983; Von Glasersfe eld, 1982). Es decir, no significa necesaria amente que e el niño se e dé cuenta de que el último ú térm mino designa la cantid dad del con njunto y qu ue un conju unto tendrá la misma cantidad c si se vuelve e a contar después d de e modificar la distribucción espacia al de sus elementos. Por P ejemp plo, un niño o deficiente e empleaba a correctam mente la corresponden ncia biunívo oca para enumerar e quince q obje etos, pero empleaba e la a siguiente secuencia numérica: «1, ...5, 19, 1 14, 12, 10, 9, 20 ,49, 1,2,3» » (Baroodyy y Ginsburrg, 1984). Cuando se e le pregu untó la cantidad de elementos respondió r s satisfecho: «¡Tres!» Al A parecer, ¡la noción de «tres» » no excluía a conjuntoss cinco vece es más grandes! Loss niños pue eden constrruir el princcipio del vallor cardinal reflexionan ndo sobre sus s activid dades de contar. c Cua ando, por ejemplo, e un niño cuenta una cole ección de tres t juguetes, los des sparrama y los vuelve e a contar, puede descubrir que una coleccción conse erva la mism ma designa ación (cardinal) a pesa ar de su asp pecto («tress»). Priincipio de la irrelevancia a del orden. Parece P que e al reflexio onar sobre la actividad de contar también se s descubrre el princip pio de la irrrelevancia del d orden «<El « orden en n los eleme entos de un conjunto no afecta a su s designacción cardina al») que se enumeran (Baroody, 1984d d). Considé érese el ca aso descrito por Piag get (1964). Un niño ---de cuatro o o cinco añ ños- contab ba una hilera de diez fichas. f Com mo no se da aba cuenta de que el e resultado o sería el mismo, m volvvió a contarr las fichas en direcció ón contraria y volvió ó a encontrrar que eran diez. Inte eresado po or este resu ultado, el niiño colocó las fichass en círculo o, las volvió ó a contar y volvió a encontrarsse con diezz. Finalmen nte, contó el círculo de d fichas en n dirección opuesta pa ara acabar obteniendo o el mismo resultad do. Al conttar los ele ementos de e varias maneras, m esste niño descubrió d u una 53 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO intere esante propiedad de la as acciones de contar: la distribucción de los elementos e y el orden n de su enumeración n no tenía an importa ancia a la hora de determinarr la designación card dinal del co onjunto. Co onceptos de e equivalenc cia, no equiivalencia y magnitud Un na vez el niñ ño ha llegad do a dominar estos co onceptos bá ásicos para contar que e se refiere en a un so olo conjunto o, la acción n de contarr puede ap plicarse a contextos c m más complicados com mo la comp paración de e dos conju untos. Tamb bién puede e emplearse e la acción n de contarr para descu ubrir que la a apariencia a no es pertinente para a determina ar si dos conjuntos c son s iguales o no. Si un u niño cuenta dos conjuntos c y los números resulttantes son idénticos, puede p llegarr a la conclu usión de qu ue los conju untos tienen n el mismo número de objetoss a pesar de d sus dife erencias en n cuanto a aspecto. Es proba able que los s niños desscubran essta noción numérica n fu undamenta al jugando con c conjuntos peque eños de un no a cuatro o elemento os. Por eje emplo, los niños pued den etique etar con la palabra p «do os» varios pares p de co osas (por ejemplo, bloq ques o dedos) incluyyendo pares s naturales de cosas (por ( ejempllo, ojos, bra azos, geme elos). Como o el niño puede p ver en e seguida a que estoss conjuntos compuesto os de cosa as distintas se corressponden entre e sí, pueden p lleg gar a la conclusión c de que los l conjuntos etique etados con la palabra «dos» son equivalenttes a pesarr de las dife erencias de e su aspeccto físico (por ( ejemp plo, Schaefffer et al., 1974). Essta compre ensión pue ede aplica arse posteriiormente a conjuntos mayores m qu ue el niño no puede co omparar vissual o men ntalmente con c facilidad d. Antes de llegar a la esccuela, los niños tambié én aprende en que el número n pue ede especcificar diferencias en ntre conjuntos (no equivalenccia) y emplearse pa ara especcificar «más s» o «meno os» (ordena ar conjuntoss según su magnitud). m También esto es pro obable que provenga de d jugar con conjuntoss de pocos elementos. Por ejemp plo, un niñ ño puede encontrarse ante la opcción de esccoger entre tres cestoss con uno, dos d o tress caramelos s. El niño puede p ver fá ácilmente que q 3 es má ás que 1 ó 2, y que 2 es más que 1. Al contar cada conjuntto, se asoccian etique etas numéricas a estas difere encias perce eptibles en cuanto a magnitud. m O niño, po Otro or ejemplo, podría con ntar dos bloques («un no, dos-doss bloques»)), luego aña adir uno má ás y llegar a la conclusión ue hay «má ás». Luego puede vollver a conta ar los bloques «uno, dos tres-¡tres de qu bloques!») y enc contrar que ahora, la etiqueta e numérica es «tres». A partir p de cassos os de expe eriencias co oncretas, un niño pue ede llegar a la repetiidos de esttos dos tipo conclu usión de que: a) se asocian a disstintos núm meros a ma agnitudes distintas; d b)) el mayor de dos nú úmeros siem mpre viene después en e la secuencia de con ntar, y c) ca ada términ no para con ntar es máss que el térm mino que le e precede en e la serie numérica. n 54 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Co ontar con lo os dedos pu uede desem mpeñar un papel clavve en este desarrollo del núme ero. Cuando o los niños cuentan con c los ded dos (extend diéndolos mientras m diccen «uno, dos, tres...) pueden ver v que el número n de dedos d es ca ada vez ma ayor a medida v contand do. De esta manera, lo os niños pueden recon nocer que la a magnitud va que van asocia ada a la po osición denttro de la se erie numéricca. Al conta ar con los dedos, d inclu uso puede en llegar a darse cuen nta de que 2 es 1 (un n dedo) má ás que 1, que 3 es 1 (un ( dedo)) más que 2, etc. En resumen, como c resulttado de suss experienccias contan ndo conjuntos peque eños con loss dedos, loss niños pueden aprend der reglas de d numeracción para determinar d «cantidade es iguales», «cantidad des distintass» y «más» ». Co onservación n de la canttidad. Con el e tiempo, la as reglas numéricas para p evaluar la equivalencia, la no equivale encia y la magnitud m pe ermiten a los niños pod der conservvar. Estoss criterios numéricos n precisos lib beran a loss niños de tener que depender de indicio os perceptiivos como la longitud d cuando hacen comp paraciones cuantitativas. Como o resultado o, los niñoss dejan de despistarsse cuando una hilera de fichas se alarga a o se acorrta durante e una tarea de conserrvación de la cantidad d. Quizá Pa aul, que llegó a la co onclusión de d que su hilera h larga (con siete fichas) ten nía más fich has que otra, o más corta, con ocho ficha as, no hab bía tenido experiencias de con ntar suficie entes para comparar con exactittud dos núm meros segu uidos. En otras palabrras, puede e que este preescolar p no hubiera aprendido métodos o técnicas nu uméricos pa ara calibrar la magnitud relativa a de dos co onjuntos relativamente e grandes. Aun después de haber aprendido re eglas numéricas para determinar d equivalenccias o no equivalenci as y hacer comparacio e ones entre magnitudess, los niñoss pueden de ejar de em mplear esta as reglas en e una tare ea de conservación de la cantidad por varrias razon nes. En prim mer lugar, pueden p no pensar en n contar y, por tanto, carecen c de e la base para empllear reglas numéricass. Cuando una hilera a se ha transformado físicam mente (por ejemplo, alargándola a a) los niñoss pueden no estar seguros s de e la relación inicial de los conju untos (quizá á las dos hileras h no eran e igualess de entrad da). Ante esta incertidumbre, pueden versse abrumad dos por loss indicios viisuales de las hileras de longitu ud desigual, pueden ecchar mano del criterio perceptivo de la longittud y llega ar a la conc clusión de que q la hilera a más larga a tiene más (Acredolo, 1982). Pue ede ser, pues, p que lo os niños qu ue no conse ervan crean n en realida ad que alarg gar una hile era añade e algo a la misma. m Ade emás, la no conservacción sólo es una contra adicción lógica si se cree que las l dos hile eras son ig guales al principio, p co osa que sin n contar y sin núme eros específicos es un na proposicción dudosa a para los niños n pequeños. La fa alta de co onservación no implica necesa ariamente que un niño n no pu ueda razon nar lógica amente sob bre las rela aciones de e equivalen ncia si cue enta y emp plea números (Gelm man y Gallis stel, 1978). 55 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO En segundo lu ugar, y aun n si piensan n en contar, puede que los niñoss pequeños no an suficiente confianza a en sus reglas r numéricas para a basarse en un crite erio tenga numé érico en vez de perceptivo (p por ejempllo, Gelman n, 1982). La tarea de conse ervación de la cantidad d provoca un conflicto entre la reg gla que tiene e un niño pa ara comparar cantida ades («Si una u hilera ess más larga a que la otra a es que tie ene "más") y el desarrrollo de un na regla ba asada en contar («Si se cuentan n dos hilera as y tienen n la misma a etiqueta numérica, es que tie enen cantid dades iguales»). Un niño n peque eño puede e resolver el conflicto o simpleme ente recurriendo al crriterio perce eptivo familiar para él. Un niño o con algo más de exxperiencia puede p versse dividido entre los dos d nder de ma anera incoherente. criterios y respon do una regla a nueva y más m Tarde o temprano, los niños resuelvven el conflicto ideand sofistiicada que in ntegra la re egla numéricca y la basa ada en la pe ercepción. En E el fondo o, la nueva a regla esp pecifica: «S Si una hile era es máss larga que e otra, pue ede tener una u cantid dad mayor a menos que q al conta ar se obten nga la mism ma etiqueta numérica, en cuyo caso se trrata de hileras con la misma cantidad.» c Básicamen nte, los niñ ños pareccen resolve er el confliccto cognosccitivo reorg ganizando la informacción existente para darle d una fo orma más sistemática s a. De esta manera, m loss niños pue eden continu uar emple eando indic cios perceptivos cuand do las diferrencias son n evidentes (por ejemp plo, disting guir entre un u conjunto de seis velas y otro de dos) (Zim miles, 1963)). En casos en que la as diferenciias no son claras (por ejemplo, dos d colas pa ara el cine en donde una u de ellas es larga a pero con los integran ntes separa ados y la otra es corta a pero con los integrrantes much ho más agrrupados), la a regla indicca la necessidad de co ontar y realizar un juiccio numéric co. Otrros niños ni n siquiera tienen que e contar pa ara conservvar. Dan por sentada a la conse ervación de e la cantida ad. En reallidad llegan n a pensar que es exxtraño que un adulto o plantee una preguntta cuya resspuesta es tan obvia. A partir de e experienccias repetidas de con ntar, saben n que si no o se añade e ni se quitta nada a dos d conjuntos equiva alentes, es sta equivalencia perm manece co onstante po or mucho que varíe la distrib bución espa acial (Lawson, Baron y Siegel, 19 974). Es de ecir, tarde o temprano los niños infieren una regla de equivalencia relativvamente ab bstracta ba asada en una u a biunívoca a que com mplementa sus reglass de equivvalencia, más m corresspondencia concrretas, basad das en núm meros especcíficos (Gelman y Gallistel, 1978). En realidad, hay mucchos datoss que indican que la regla abstracta de equiva alencia/no equivalenccia se desa arrolla en lo os niños a partir de su s experien ncia concrreta de contar. Los niñ ños pequeñ ños suelen ponerse a contar com mo base pa ara realiza ar sus juic cios sobre la conservvación de la cantidad d (por ejem mplo, Gelman, 1972)). Además, la enseñanza o el de esarrollo de e técnicas de numera ación precissas facilita a la adquisición de la conservación de la ca antidad (Be earison, 196 69; LaPointte y O'Don nnell, 1974 4; Starkey y Cooper,, 1977). Ciertamente, parece que q los niñ ños 56 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO peque eños suelen n pasar porr una etapa a en la que se basan en e contar para conserrvar (conservación con c «verificcación emp pírica») antes de conservar por comprenssión (conservación con «certezza lógica» (Apostel, Mays, M Morf y Piaget, 1957; Gre eco, Grize, Papert y Piaget, P 1960; Green y Laxon, 197 70). Así pues, seg gún el punto o de vista ce entrado en la manera de contar, la experien ncia de co ontar es la clave parra hacer exxplícitas y ampliar lass nocioness intuitivas de equivalencia, no o equivalenccia y orden n de magnittud (Barood dy y White, 1983). Como apítulo n, in ncluso los niños de seis mese es pueden inspeccion nar vimoss en el ca visualmente y determinar d de manera a intuitiva si s unos con njuntos peq queños (hasta cuatro o elementos) son equivalentes o no. Contar proporcion na etiquetass verbales que q puede en adjuntarrse a estos conjuntos pequeños. Es la expe eriencia de contar lo que q propo orciona la base b para formular re eglas numé éricas explícitas y, po osteriormen nte, reglass más absttractas (ba asadas en la equivale encia) para a razonar en e torno a las relaciones numé éricas existe entes entre cantidadess mayores. Por tanto, al a principio los niños suelen dep pender de contar c para a averiguar relaciones de equivale encia como o la repressentada po or la tarea de d conserva ación de la cantidad, y sólo despu ués depend den de reg glas relativ vamente abstractas. En pocas pa alabras, parece que contar es, más m que ig gualar, la vía v natural de d los niño os para lleg gar a comprender las relaciones de equivalencia, no o equivalenccia y orden con númerros no intuitivos. Conc ceptos aritm méticos bá ásicos Me ediante las experiencias de con ntar, los niños tambié én descubrren qué ha ace cambiar un núm mero. Si los cambios de orden o distribucción no altteran el va alor cardin nal de un co onjunto, ciertos tipos de transform mación sí qu ue lo hacen (por ejemp plo, añadir o quitar objetos). Cuando los niños llegan a ser s compe etentes en la 1 p cap ptar directa amente pa autas numé éricas, está án preparad dos enumeración o pueden d cuenta de relaciones aritm méticas impo ortantes. Un niño pued de determin nar para darse o ver con rapidez z que añadir un bloque e a otro es «dos» y qu ue añadir ottro más haccen «tres» », etc. (Barroody y White, 1983; Ginsburg G y Baroody, 1983, 1 y Van n Glasersfe eld, 1982)). De manerra similar, un u niño pue ede determinar o ver en seguida que q si se qu uita una galleta de un n conjunto de d tres, que edan dos. No N hay máss que una fina línea en ntre nuir en una unidad. contar y aumentar o dismin escubrir los efectos de e añadir o quitar q una unidad depe ende de una as técnicass De numé éricas eficac ces. 1 Subitize S en el origina!. Se e trata de un neologismo que podría a traducirse literalmente por «subitiizar»/ «subitización» (de erivado de súbito) s y que, en ocasiones, se ha a traducido por «repen ntizar»/ «repe entización». Dado D que sign nifica captar directamente el e número de puntos que tiene un esstímulo visual no estru ucturado sin n tenerlos que q contar, se traducirrá por «captar [directa amente]»/«ca aptación [directa]». (N. del T.) 57 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO A partir p de sus s experienccias informa ales de con ntar, los niño os construyyen concep ptos aritmé éticos básicos, pero generales. g Más concrretamente, como resu ultado de sus s experriencias informales los l niños consideran la adicción como un proce eso aume entativo (añadir algo a una cantidad dada) y la sustraccción como un u proceso de disminución (quitar algo de una cantida ad dada). Por P ejemplo o, cuando Aaron A empezaba a asistir al ja ardín de inffancia se le e preguntó cuánto pen nsaba que eran cuatro oy cinco (4 + 5). Re eplicó: «Si lo tuviera que q adivina ar, diría que e cuatro o cinco. c Espe era, éstos son los números. Seis o siete e.» como consideraba c a que la adición era un proce eso aumenttativo, Aaron sabía que e dar uno de d los suma andos como o resultado no estab ba bien. A cau usa de su co oncepto infformal de la a adición, Aa aron reajustó su cálcullo mental pa ara que, al menos, fuera f algo mayor m que cinco. Co onsideremo os también la reacción de unos prreescolaress a la tarea de la «sessión de ma agia» desa arrollada po or Gelman (Gelman, 1972; 1 Gelm man y Gallisstel, 1978). La prime era etapa de la tarea establece e la importancia de un número n detterminado. Se enseñ ñan a un niño dos ban ndejas con distintas d ca antidades de figuras de e plástico (p por ejemp plo, una ba andeja con tres ratone es y otra con cuatro).. A continuación, el exxaminad dor señala una de lass bandejass (por ejemplo, la que e tiene tres ratones) y la designa como «la « ganado ora». Aunqu ue no se les indica que q lo hag gan, los niñ ños suele en contar o darse cuenta de la a cantidad de ratoness en las bandejas. b L Las bande ejas se colocan detrá ás de una pantalla, se s tapan, se s mezclan n y vuelven n a mostrrarse al niño. Entonce es, el niño trata de esccoger la ganadora. Si destapa la no ganad dora (por ejjemplo, la bandeja b con n cuatro rato ones) se da a al niño otrra oportunid dad y, natturalmente,, encuentra a la ganado ora. Este proceso p se repite hastta que el niño esperra encontra ar a la ganad dora, si no en e el primer intento, se eguro que en e el segundo. La a segunda etapa de la tarea mide m la rea acción del niño a va arios tipos de transfformacione es. A vecess el examinador realizza transform maciones trras la panta alla que no n afectan a la cantida ad: cambia la posición de las figu uras (por eje emplo, colo oca en forrmación tria angular tress ratones qu ue estaban en fila), alttera el colorr de un obje eto, o susstituye un ratón por un u objeto diferente. d A veces, re ealiza en secreto s transforma aciones perrtinentes pa ara la canttidad: añadir o sustrae er figuras de d la bandeja ganad dora (por ejemplo, e añadir otro ra atón de juguete a la bandeja b de tres para que q ningu una bandeja a sea la gan nadora). Lu uego se registraba la re eacción de los niños a estas transsformacione es pertinentes y no pertinente es para la cantidad. Los niñoss ignoraban la transformación no pertin nente para la cantidad: la gana adora (por ejemplo, «tres») « seguía siendo o la ganad dora. Sin embargo, e lo os niños se e sorprendíían mucho cuando de estapaban las dos bandejas b y no podían encontrar la ganadora. Cuando o se les pre eguntaba qué q había a ocurrido, los niños de ecían que se s había añ ñadido (o qu uitado) algo o a la bandeja 58 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO cómo podrría arreglarrse la situacción, los niñ ganad dora. Cuan ndo se les preguntaba p ños indica aban que de ebía quitarsse la figura sobrante (reponerse ( la figura qu ue faltaba). Pu uede que es stas pautass de respue esta no pare ezcan un lo ogro extraorrdinario a ojos o de un n adulto, pe ero indican la existenccia de unas aptitudes importantess en los niñ ños de pre eescolar. A pesar 'de que q un niño o puede no conservar la cantidad d, el éxito en n la tarea «mágica» implica un na compren nsión de la as transform maciones que q son o no a variar la cantidad c (po or ejemplo, la adición y la sustraccción varían n la imporrtantes para cantid dad y una nueva disttribución no o lo hace) al menos con númerros familiarres. Adem más, parece en compre ender que la adición y la sustra acción son n operacion nes inverssas: la una a deshace e la otra. Por P tanto, aun los niños n pequeños que no conse ervan tienen alguna comprensión n de la aritmética y pu ueden, den ntro de cierrtos límite es, razonar lógicamentte sobre lass relacioness numéricass. El papel del reconocim miento de pautas p d imp plica el reco onocimiento automático de pauttas numériccas La «ccaptación directa» • • (por ejemplo, identificar i sin contarr que • • ó • • son n «tres»). El lugar del d recon nocimiento automático a o de pautas numéricass en el desa arrollo del número es una u cuesttión que tod davía queda a abierta. Algunos A teóricos (por ejemplo, e Kla ahr y Wallacce, 1973;; Von Glas sersfeld, 19 982) indican n que los niños pued den captar directamen nte peque eñas cantid dades antess de poder contar. Desde el puntto de vista de Piaget, los • niñoss muy pequeños recon nocen simp plemente un na pauta co ompleta. Po or ejemplo, • • se co onsidera una a configura ación globall que se aso ocia a «tress»; • • • se considera c u una config guración glo obal distinta que simp plemente ta ambién se asocia a a «trres». Ningu una de esstas «totaliidades» se e reconoce como una a colección n de eleme entos que se puede en contar, es decir,, una cole ección com mpuesta de e unidadess (elementtos individ duales). Desde D este punto de vista, la captación directa no o implica una u comp prensión de el número. Los niñoss no reconocen simu ultáneamente una pau uta numé érica como una totalid dad (una unidad en sí s misma) y un conjun nto de parttes (unida ades individuales) hasta que lle egan al esta adio del pe ensamiento o operacion nal. Con este e logro intelectual, un niño puede conte emplar el número n y la as pautas nun mériccas como una unidad compuesta de unidades (po or ejemplo,, Steffe, Von V Glase ersfeld, Richards y Cobb, 1983). Se egún otro punto p de vista, contarr precede a la captacción directa a (Beckmann, nte 1924)). En otras palabras, p lo os niños aprrenden a en numerar co olecciones correctame c antes de poderr reconocerr conjuntoss con preccisión y rapidez. En realidad, hay h algunas evidenc cias (por ejjemplo, Baroody y Giinsburg, 19 984; Gelma an, 1977) que q indica an que ell reconocim miento au utomático de d las pa autas num méricas suele desarrrollarse después de una intensa experiencia a de contarr objetos. Esto E puede ser 59 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO especcialmente cierto c para niños n deficie entes (Baro oody y Ginssburg, 1984 4). Desde este punto o de vista, incluso loss preescola ares puede en reconoccer que el número y las pauta as numérica as son, a la a vez, una colección c c completa y un compue esto de parrtes individ duales, es decir, d una unidad u com mpuesta de unidades. En cualquier caso, los dos mode elos indican n que la ca aptación directa es una u técnicca fundame ental en el desarrollo de la comprensión del número por parte del niño. Cuando lo os niños pueden reco onocer auttomáticame ente una pauta, p pued den ubrir aspec ctos importa antes del número. n Po or ejemplo,, un niño que q tome tres descu • objeto os con una distribución n triangularr y los coloq que en fila, y reconozca a que tanto o• • como • • • son casos c de «tres», pued de formularr de manerra explícita o implícita a el ente princip pio: «La disstribución de las caniccas no varía a la cantida ad de caniccas siguie que te engo.» La captación c diirecta también puede desempeña d ar un papel esencial en n el apren ndizaje de reglas num méricas parra apreciar equivalenccias. Si a un niño se e le muestran grupos s de tres elementos e c con una distribución triangular t y en hilera,, y. puede e reconocerr inmediata amente que ambos con njuntos son «tres», pue ede inferir que q dos co onjuntos pu ueden tenerr la misma cantidad c au un cuando tengan aspe ectos distintos (Von Glasersfeld d, 1982). B) IM MPLICACIO ONES EDUCATIVAS: DIFICULT TADES CON N LOS NUM MEROS y SOLUCION NES Cua ando tienen n la edad de d entrar en e la escuela, los niño os son muyy expertos en contar (Gelman y Gallistel, 1978; Gelman G y Meck, M 1983 3). Práctica amente tod dos pareccen dar porr sentados los diverso os principio os que subyyacen a co ontar o que lo rigen: los principios de orden o estab ble, de corresponden ncia, de unicidad y de abstra acción. La mayoría m ha asta parece apreciar el principio relativamen r nte sofistica ado de la irrelevanciia del 'orde en. Esto no o ocurre co on los niño os muy peq queños o ded n por ejemplo, e pue eden no de ecir los núm meros siguie endo un orden ficienttes. Estos niños, coherrente. Un error mucho o más comú ún es decirr los primerros números en el orden correccto y luego «soltar» ottros término os sin orden n ni concierrto. Por ejemplo, un niño podría a empezar sistemática amente con n «1, 2, 3» y luego seguir con «6, 8, 12, 9» una vez y con «12, 3, 6, 6», la a siguiente e. Nótese que q en el segundo s ca aso apareccen términ nos repetid dos. «Tres» » ya se hab bía emplea ado en la primera partte correcta, y «seis» » se emple ea dos vecces seguida as para terrminar la cuenta. c Esta manera de contar no sólo viola clara amente el principio de orden estable, sino también el principio de unic cidad. (Aunque decir términos sin n sentido y repetir otro os no cump ple los prrincipios de e orden esstable y de e unicidad, estos erro ores no siempre indiccan necessariamente que estos principios p n se conozzcan. Por ejemplo, los niños pueden no conoccer estos principios, pero olvidarse de que ya han h usado o un término 60 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO previa amente). Si los niños no n han tenido la oporrtunidad de e descubrirr estos prin ncipios, se les deben n brindar abundantes a s experienccias de con ntar, sobre todo en el e contexto de juegos o activida ades de inte erés. En rea alidad, pued de ser útil presentar p esstos princip pios explíccitamente (por ejemplo: «Cuando contamos cosas, debemos co omprobar que q decim mos los núm meros de la a misma ma anera cada a vez» o «ccuando con ntamos cosas, debem mos comp probar que e usamos un núme ero nuevo para cad da cosa que q señala amos»). Ta ambién podría ser útil discutir d histtorias como o las del ejemplo 7.1 o las que aparecen a re egularmente e en los pro ogramas in nfantiles de televisión como «Barrrio sésam mo». Ejemp plo 7.1. His storias para contar Una vez v y sólo una u Cu uentamal es staba muy contento. c C Corría y dab ba saltos po or todo el ca astillo. ¡Pronto era su u cumpleañ ños y quería a organizarr una gran fiesta! El cocinero vino o a pregunta arle cuánttas persona as iba a in nvitar para poder haccer comida a y pasteles para todos. Cuentamal sacó ó su lista de e invitados y empezó a contar los nombres que había en ella. Aunque A hab bía perdido la cuenta de d los nomb bres que ha abía contad do, Cuentam mal siguió ó contando o. Le salierron 27. Enttonces volvvió a conta ar para asegurarse y le salierron 22. Esttaba muy confundido. c El cocinerro le dijo que no podía prepararr la fiesta hasta que e no supiera a cuánta ge ente iba a venir. ¡Pob bre Cuentam mal! Se sentó con la a cabeza entre e las ma anos. Justo o en aquel momento, su herman no Cuentab bién acaba aba de lleg gar de visita a. «¡Eh! ¿Q Qué te pasa a? ¿No esttás contento o por la fie esta que vas v a dar?», le preguntó. Cuentam mal le respondió: «Pues sí que lo o estaba, pe ero no pu uedo saber cuánta gen nte va a ve enir. Cada vez v que cuento me sa ale un número difere ente.» Cuen ntabién tom mó la lista y dijo a su hermano h qu ue podrían contar junttos. Sacó un rotulado or mágico y empezaro on a contar la lista desde el princiipio. Cada vez v que contaban le ponía un c un n nombre, Cuentabién C na marca. De D esta man nera, contaron cada nombre de la lista sólo una vez. v ¡Había a 25 nomb bres! Cuen ntamal se fue corrie endo a decíírselo al coccinero. El ord den no impo orta Cu uentamal ha abía planificcado un día a muy diverrtido, pero no n se atrevía a salir de e la cama a y bajar las escaleras. La mañana a anterior había h contado los esca alones cuan ndo había a bajado a desayunar y le había an salido 10 0. Pero cua ando volvió ó a subir pa ara dormiir, había contado 11. Si S había me enos escalo ones al baja ar que al sub bir, ¡a lo me ejor hoy se iba a dar un tortazo! Así que se e quedó sen ntado miran ndo cómo sa alía el sol. Era E un día a muy herm moso. El co ocinero se acercó al pie p de la esscalera y le e gritó que su 61 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO desayyuno se estaba enfriando. Sus amigos a también se ace ercaron para decirle que q se iba an de excursión. Pero o Cuentama al no quería a bajar y todos se fueron. Entoncces llegó Cuentabién n y subió corriendo c e escaleras arriba para preguntar a su herma ano uentamal te enía miedo de caerse por Cuentamal si le pasaba algo. Cuando oyó que Cu C exclamó: ¡N No puede ser! s ¡Las esscaleras tie enen el mismo las esscaleras, Cuentabién núme ero de esca alones tanto o si subes como c si bajas!» Arrasttró a Cuenttamal fuera,de la cama y lo lle evó hasta las escalerras. Cuentamal estab ba asustad do, pero da aba as a su he ermano porr arriesgarsse a caer. Cuentabién n bajó por las escaleras gracia conta ando cada escalón: e «¡1 10!» Luego volvió a subir contand do otra vez los l escalones, y tam mbién le saliieron 10. «E Es la misma escalera,, así que tie ene el mism mo número de escalones», dijo Cuentabién. Cuentam mal se puso o a dar salto os de alegría a, dio miless de gracia as a su herrmano, y ba ajó corriend do las escaleras para salir del ca astillo y pilla ar a sus amigos para a ir con ellos de excurssión. Estas historias h fuero on escritas en n colaboració ón con Cathy A. A Mason. Equiv valencia, no n equivale encia y «más que» Los niños aprenden a basarse en contarr o en ca aptar directtamente pa ara determ minar «cantidades iguales» (e equivalenciia) y «can ntidades distintas» d (no equiva valencia) ba astante pro onto, al menos con nú úmeros pequeños. Sii los niños no emple ean espontá áneamente e el número o para definir equivalen ncias y no equivalenci e as, suelen tener bas stantes dificcultades con estas tare eas. Despu ués de comprobar que un niño posee p técniicas numérricas precisas, puede ser útil indicar explícittamente cómo puede e usarse el contar para a determina ar «igual que», «distintto de» y «m más que». Esto E puede e hacerse en e el contexxto de juego os como loss descritos en el ejemplo 7.2. Se ha emple eado con éx xito juegos como la Lo otería con niños n deficie entes (Carisson y Wern ner, 1943; Descoeud dres, 1928).. plo 7.2 Juegos para en nseñar los conceptos de equivale encia, no equivalencia e ay Ejemp ord den L LOTERIA Objettivo: Equivvalencia y no n equivalen ncia. Materrial: 1. Ta ableros para a cada juga ador. 2. Cu uadrados co on distintass cantidadess de puntoss. 62 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Insstrucciones:: Cada jugadorr toma un ta ablero con, por ejemplo, tres pau utas numérricas (véase e la figura a). Por turno os, los niño os tratan de encontrar un cuadra ado que te enga la misma cantid dad de punttos que una a de las pa autas numéricas de su tablero. Sii se encuen ntra un cu uadrado, se e coloca en ncima de la a pauta nu umérica correspondien nte. El prim mer jugador que com mplete su tablero (ta apando todas las pau utas numérricas) gana a la partid da. Cada ve ez que empieza un turn no, todos lo os jugadore es pueden Jugar J a la vez. v Con esto e se elim mina la ven ntaja de serr el primero o en jugar, y se permite que pue eda haberr más de un n ganador. DOMINO DE EL MISMO NÚMERO Obj bjetivo: Equ uivalencia y no equiva alencia. Ma aterial: Fichas de dom minó. Insstrucciones:: Estte juego es una adapta ación del ju uego de dom minó descriito por Carrrison y Werner (1943 3) y Wynro oth (1969-1980). Se colocan las fichas boca abajo. Todos los 63 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO jugadores toman n la misma cantidad c de e fichas. Sale el jugado or que tenga a el dos dob ble. ue antes to odas sus ficchas. El juego con fich has de dominó Gana el jugador que coloqu norma ales se ilus stra más ab bajo. Para estimular una u mayor dependenccia de conttar, Wynro oth (1969-1 1980) usa fichas f cuyo os puntos presentan p u distribu una ución irregu ular para que q el reconocimiento o de las pau utas sea me enos fácil. LA ESCALERA A Obj bjetivo: 1. La L serie nu umérica co omo representante de d cantidades cada vez v mayorres (intro oducción al concepto o de orden n). 2. El E siguiente e término de e la secuen ncia numérica es una unidad u (o uno), u más gra ande (conce epto más avvanzado). Ma aterial: Blo oques encajjables. Insstrucciones:: Ayu udar al niño o a construir una esca alera con cu ubos encaja ables. Emp plear cubos de colore es diferente es para desstacar los in ncrementoss en unidade es. A medid da que el niño n va construyendo o la escalera a, indicar que el prime er escalón sólo s tiene un u bloque y no uy grande, que el sigu uiente tiene dos bloque es y es un poco (un bloque) b mayyor, es mu que el siguiente tiene t tres bloques y ess aún mayo or (un bloque más que dos), etc. Una U a escalera (hasta cincco e inclusso 10 escallones) hace er que el niño n vez construida la a» por la es scalera con n sus dedoss y que vayya contando o cada esca alón a med dida «suba que lo o toca. La escalera e tam mbién pued de construirrse con una a lista numé érica. Tamb bién se debe indicar que, q a medida que el niño n avanza a por la listta numérica a, los números (escalones) son n mayores (cada núm mero o esccalón sucesivo es un n bloque más m grand de). 64 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Co onceptos aritméticos a s básicos No o es probab ble que se desarrolle d u compre una ensión fund damental de e la aritméttica sin un nas técnica as eficaces y unas exp periencias suficientes s de contar. Si un niño no los ha tenido experriencias de numeració ón abundantes y preccisas, no aprenderá a os de añadir un eleme ento a un co onjunto: loss incrementtos en una unidad varíían efecto sistem máticamentte la designación carrdinal de un u conjunto o para con nvertirla en el siguie ente númerro de la serrie numéricca. Por tantto, la enseñanza de apoyo a para a la aritmé ética no de ebe realizarrse hasta que q el niño o no tenga soltura con n las técniccas básica as para co ontar como la enumerración, la re egla del va alor cardina al e incluso o la separración. Parra los niños de educa ación espe ecial puede e ser especialmente útil desta acar los efe ectos de añ ñadir o quittar una unid dad en situ uaciones co otidianas. Por P ejemp plo, a la ho ora de desa ayunar, el maestro pu uede dar dos d galletass a un niño o y pregu untarle cuántas tendríía si se añ ñadiera una más a la as dos que e ya tiene, o pregu untarle cuán ntas le qued dan cuando o se ha com mido una de e las tres qu ue tenía. En n el ejemp plo 7.3 se presentan p va arios juego os que implican llevar la a cuenta de e incrementtos y dism minuciones en una uniidad. Ejemp plo 7.3 Juegos que im mplican añad dir o sustra aer una unid dad LANZAMIE ENTO DE FICHAS F Ob bjetivo: Sumar de 1 a 5. M Material: 1. Fichas, mo onedas u ottros objetoss pequeñoss que se puedan conta ar. 2. Bandejas (de colores distintos). Insstrucciones:: El objetivo de el juego es lanzar un número n detterminado de d fichas a una bande eja. Cada a jugador ellige una ba andeja de color c distintto. Para principiantes, hacer que e e! núme ero de fichas s a colocar en la bande eja sea 5. Por P turnos, los l jugadorres lanzan una u sola ficha. f Si un n niño tiene e éxito, cua ando le toca el turno, se le dice:: «Tenías tres fichass en la band deja y ahora a tienes una a más. ¿ Cu uánto es tres y una máss?» Si un niño es inccapaz de encontrar e una respuessta, añadir: «Para verr cuántas son s tres y una u más, cuenta las s fichas de tu bandeja a.» Gana e!! primer jug gador que coloque c cin nco ndeja. La difficultad de! juego pued de modifica arse variand do la distancia fichass en su ban entre el jugadorr y la bande eja o aume entando la cantidad c de e fichas necesarias pa ara ganarr. 65 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO EL JUEGO O DEL MON NSTRUO DE D LAS GAL LLETAS Ob bjetivo: Re estar una un nidad. Ma aterial: 1. Montón de tarjetas co on 1 a 5 galletas (punto os, círculoss o dibujos de d galletas ). 2. Objetos O red dondos que e se puedan n contar. Insstrucciones: El objetivo de e! juego es reunir 10 ga alletas (objetos que se e puedan contar). c urnos, los jugadores levantan un na tarjeta y pueden pillar tantas galletas g como Por tu indica a la tarjeta menos una. Explicarr: «Las tarje etas nos dicen cuánta as galletas se puede en pillar ca ada vez. Sin n embargo,, el monstru uo de las galletas siem mpre se come una cuando c las tiene t que se ervir." Cuan ndo un niño o, por ejemp plo, ha elegido una tarjeta con trres puntos, se le dice: «Ahora ten ndrías que to omar tres galletas, g perro e! monstruo se co ome una. ¿C Cuántas qu uedan para ti?» Si e! niño n da la respuesta r c correcta, se e le dice: «Pues tom ma dos galle etas.» Si no o puede ressponder, ha acer que ta ape uno de los punto os con un de edo y que cuente c e! re esto. Para algunos a niño os, puede hacer h falta una u demo ostración más m concreta: cuando un niño ha sacado tre es galletas y e! monstruo se ha a comido un na, hacer que cuente las l que le quedan. q Re esumir e! he echo diciendo: «Hab bía tres galle etas, se ha an llevado una, u y han quedado q do os.» Pauttas numéricas y digitales Cuando lleg C gan a la ed dad de en ntrar en la escuela, los l niños suelen s cap ptar direcctamente conjuntos c d hasta cuatro de c elem mentos (Bjjonerud, 19 960; Gelman, 1977 7). Algunos s niños de esfavorecid dos y mucchos niños deficientes todavía no dominan esta técnica básica (Baroo ody y Ginssburg, 1984). Captar directamente conju untos de cinco o seis elementos, o incluso de tres o cuatro, c en re ealidad pue ede depe ender de un nas técnica as de nume eración preccisas y unas experienccias de con ntar abun ndantes. Po or tanto, lass deficiencia as en estass áreas deb ben subsan narse antes de prete ender que el niño dom mine el recconocimientto de pauta as. El recon nocimiento de pautas regulare es puede cu ultivarse me ediante juegos con da ados. ara los núm meros del 1 al 5 al menos, muchoss niños apre enden espo ontáneamente Pa pautas digitale es automátticas antess de incorrporarse a la escue ela (Sieglerr y Robiinson, 1982 2; Siegler y Shrager, 19 984). Esta técnica t no puede p darsse por senta ada en poblaciones p s especiale es. En el ejemplo 7.4 7 se deta allan varias actividad des adeccuadas para a fomentar el aprendizzaje de pau utas digitale es. 66 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Ejjemplo 7.4 Actividadess para apre ender pauta as digitales HAC CER TITER RES CON LOS L DEDOS Ob bjetivo: Re epresentac ción automá ática con loss dedos de e los númerros 1 ala. Material: M 1. Títeres hec chos con ca anutillos de e papel para a deslizar lo os dedos de entro de ellos, o peg gatinas con n el dibujo de d una cara a para pega arlas en la yema y de lo os dedos. Instrucciones s: Mostrar al niñ ño los dedo os correctoss a levantarr colocándo ole los títere es de canuttillo o lass pegatinas. HACE ER CONTO ORNOS DE LAS MANO OS Ob bjetivo: Re epresentac ción automá ática con loss dedos de e los númerros 1 a 10. M Material: 1. Pizarra. 2. Tiza. Insstrucciones s: Ayyudar al niñ ño a levanta ar los dedo os correctoss para vario os númeross y a trazar su conto orno en la pizarra. p Ped dirle a continuación qu ue nos mue estre varioss números con c dedo os. El niño puede com mprobar su us respuesttas comparrándolas co on las form mas traza adas o conffrontándolas con las nuestras, qu ue deberán tener la forma correctta. C) IMPLICACIONES EDUC CATIVAS: LA NATUR RALEZA DE E LA INSTR RUCCION ASICA BA Distin ntos punto os de vista: distintas implicacio ones Lo os puntos de vista que estable ecen como requisitos previos la a lógica y las técniicas para co ontar prese entan impliccaciones ed ducativas sustancialmente distinttas. Segú ún la prime era, es inú útil dedicarr directame ente los esfuerzos in niciales de la ense eñanza al número y a técnicass para con ntar. Van Engen y Grows G (197 75) obse ervan: «La noción de que conta ar es la ide ea básica de d la aritm mética ha sido acep ptada y favo orecida dura ante mucho o tiempo po or muchas personas in nteresadas en la ma atemática escolar e elem mental. ¡Co ontar no es la idea máss básica de e la aritmética! Ideass como la a correspo ondencia biunívoca y "más que" q son mucho más m funda amentales y, de hech ho, son requ uisitos prevvios para un desarrollo significattivo 67 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO de co ontar» (pp. 252-253). Sin los req quisitos psiicológicos generales, g la enseñan nza de contar c y de el número está cond denada a carecer de e sentido. Por tanto, la ense eñanza de la matemá ática debe fomentar, en primerr lugar, el desarrollo de concceptos lógic cos y del ra azonamiento. Según el e otro punto de vista, la instruccción inicia al debe ce entrarse dirrectamente e en el de esarrollo de e técnicas y conceptos espe ecíficos para a contar y estimular e su u aplicación n. En pocass palabras, la cuestión es si la enseñanza e de las matemáticas elementaless debe impa artirse forma almente sob bre la ba ase de unos s conceptoss lógicos má ás básicos o informalm mente media ante el conttar. La matemátic ca modern na. Durante e el siglo XIX y la mayor m partte del XX, la ñanza de las matem máticas a los niños pequeños empezab ba por con ntar enseñ (Brain nerd, 1973)). Según Dewey D (189 98) y Thorrndike (192 22), por eje emplo, con ntar deberría abarcar la formación matemá ática inicial del niño. Russell (19 917) denun nció este enfoque e info ormal. Afirm maba que primero p deb bía enseñarrse el conce epto lógico de las cla ases y que el número debía ense eñarse desp pués como colofón a estas e ideas. El «enfo oque cardin nal a la ensseñanza de e la matemática eleme ental» de Russell R aca abó toman ndo cuerpo con «La Matemática M Moderna» (Brainerd, 1973). El enfoque e ca ardinal, o Ma atemática Moderna, M destaca la enseñanza e d la teoría de a de conjuntos. En la a figura 7.1 se muestra la prime era lección de este en nfoque. ¿Q Qué conce eptos se pretenden cultivar c con n los ejercicios de la página 5? ? ¿Cuál ess el objetivvo de los ejercicios e de e la página 6? ¿Y cuál es el de lo os de la pág gina 7? Como muestra la figura a 7.1, la insttrucción iniccial se centrra en cultiva ar los conce eptos de cla ase (clasifficación e in nclusión de e clases) y equivalenci e ia (correspo ondencia biunívoca). Sin n embargo, y como se e afirma en el capítulo 11, este tip po de enfoq ques forma ales son ajjenos a los niños pequ ueños. Conssidérese el caso de Aa aron, un niñ ño inteligentte y vivaz que acababa de empe ezar el prim mer curso. El E año anterior, yo hab bía seguido o su o desarrollo o de la adic ción inform mal. En cue eses ya ha abía llegado oa rápido stión de m domin nar la adic ción de blo oques con sus dedoss. Luego continuó invventando prop cedim mientos de cálculo c men ntal. Intrigad do por sus avances, le e pregunté si le gustab ban s hombros entusiasmo las ma atemáticas de este currso. Alzó lo sin mucho o. Le pregunté qué cosas estab ba aprendiendo con lass matemáticas. AARO ON: INTER RLOCUTOR: AARO ON: [Sin in nterés.] Pue es no estoy muy segurro. Tenemo os que traza ar líneas y cosas assí. Oh, co omparáis co onjuntos pa ara ver si so on iguales. Supon ngo que sí. s [Entoncces, todo su s comportamiento se transfo ormó en un na explosió ón de entussiasmo.] ¿S Sabes cuán nto son 1.000 más 1.000? ¡Pue es 2.000! 68 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO INTER RLOCUTOR: AARO ON: ¡ Anda a! ¿Y eso lo o has apren ndido en la clase de matemáticas m s? No, ¡p pero es que soy muy listo! Como o Aaron no parecía en ntender el objetivo o de los ejercicios de corre espondenciias, presta aba poco in nterés a este enfoque formal. f Sin embargo, era e capaz de comprend der la arittmética bás sica y ampliar una relación que había apre endido con sumandos de una sola cifra a sumand dos de cu uatro cifrass. Esta ob bservación informal era signiffivativa y es stimulante para p Aaron. La enseñanza a piagetiana a. Algunos educadoress piagetiano os afirman que, como las eras etapas s del desa arrollo inte electual lim mitan la ca apacidad del d niño pa ara prime comprender el número, la enseñan nza inicial de las matemáticas m s debe esstar conce ebida para fomentar el e desarrollo del penssamiento op peracional (por ejemp plo, Copeland, 1979)). Se han diseñado d va arios currícculo s (por ejemplo, e Fu urth y Wacchs, 1974; Maffel y Buckley, B 19 980; Sharp, 1969) con n el objetivo o general de d fomentarr la capaccidad para el e pensamiento generral (lógico). De esde el pun nto de vistta piagetian no, es inúttil enseñar el número o (contar y la aritmé ética) direc ctamente. Primero P se deben dessarrollar loss requisitoss psicológiccos: comp prender las clases, c las relaciones y la corresp pondencia biunívoca. Este punto o de vista queda refllejado por Gibb y Ca astañeda (1975) en un anuario o del Natio onal Council of Teach hers of Matthematics: «Clasificar [establece er correspon ndencias] yory denarr son tres procesos que q subyaccen al conccepto de número.... n D ahí que De e la experriencia de clasificar, c co omparar y ordenar pro oporcione el e fundame ento necesa ario para el nivel má ás elevado o de abstra acción nece esario para a el número o» (p. 98). El desarrrollo de contar y del significado s y los nombrres de los números n só ólo debe darse despu ués de muc chas experiiencias de clasificació ón, ordenacción y estab blecimiento de corresspondencia as (Gibb y Castañeda, C 1975). Figura a 7.1. Primeras página as de un cu uaderno de matemáticca elementa al. 69 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Sin n embargo, hay poco os datos que justifiqu uen este enfoque pia agetiano a los inicioss de la ens señanza ellemental. En E realidad, hay datos (Almy, 1971; Dodw well, 1960, 192; Gonc char, 1975; Hood, 196 62) que pa arecen apoyyar la idea (Macnama ara, ón formal o de 1975)) de que el número no depende del desarrrollo de la clasificació técniccas de seria ación como describe Piaget. P Adem más, la capacidad de comparar c conjuntoss contando o no depen nde del do ominio de la l correspo ondencia biunívoca b (por ejemp plo, Wang, Resnick y Boozer, B 197 71). Los niñ ños pueden n aprender mucho m acerca de co ontar, del número n y de d la aritm mética antes de pode er conserva ar (Mpiangu u y Gentile, 1970). En realidad d, la necessidad de postular esttadios para a el desarro ollo lógico o ha sido pu uesta en du uda muy seriamente (vvéase, por ejemplo, e Groen y Kierran, 1982)). En resum men, no se ha demosttrado empííricamente que sea ne ecesario tener 70 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO éxito en tareas «operacio onales» co omo la inclusión de clases, la seriación, el pondencias biunívocass y la consservación de d la cantid dad establecimiento de corresp para alcanzar a un na compren nsión básica a del núme ero, de conttar y de la aritmética. a Co on todo, es de d destacar que la posstura de Pia aget presen nta muchas implicacion nes educa ativas de im mportancia.. Por ejemp plo, hace fa alta una no oción eleme ental de «m más que» para el desarrollo del d concep pto de núm mero y de una mane era de con ntar signifiicativa. Ade emás, el número prese enta a la vezz significad dos de ordenamiento y de clasifiicación, y contar im mplica realm mente una a correspondencia biunívoca. Sin emba argo, es pos sible que lo os niños lleguen a alca anzar estoss conceptos en su forrma básica a antes de lo que pensaba Piage et y que el número n y contar c sólo requieran una u comprensión infformal de estos con nceptos. Ciertamente C e, el desarrrollo de una u m elabora rada y forrmal de la a clasificacción, la se eriación y la comprensión más a biunívoca puede dep pender, en el e fondo, de el desarrollo o del númerro y corresspondencia de contar. c es Implicaciones curriculare Es indudable e la importa ancia del objetivo o de la Matemática Mode erna y de los a ayudar a los niños a pensar ló ógicamente e. Razonar en currícculos piagettianos para torno a clases y relaciones debe ser un n aspecto de d los currícculos de lass matemáticcas eleme entales. Sin n embargo, la enseñan nza inicial de d las matem máticas debería tenerr en cuentta qué tiene e significado o para los niños peque eños. Siguen a continuación algun nas recom mendacione es: 1. Introducir las matem máticas de e una man nera inform mal en vezz de hace erlo forma almente me ediante la teoría de conjuntos.. Las defin niciones fo ormales de la equivalencia nu umérica, ettc., pueden n ser demasiado absstractas pa ara los niñ ños eños. Conta ar ofrece una u base co oncreta y significativa s a para comprender ide eas peque esencciales como equivale encia, no equivalencia e a y conservación de e la cantidad, especcialmente con c conjun ntos no intuitivos. De e hecho, contar c pued de tener más m signifiicado que establecerr correspon ndencias para determ minar la eq quivalencia de conjuntos, sobre e todo si tienen más de e cinco obje etos. 2. No aplazarr las experiencias y la enseñanza a de contarr. Hasta loss preescolares pareccen estar ps sicológicam mente equip pados para a empezar a aprenderr el número o. A excep pción de la as nocioness básicas de «más»,, no hay necesidad n d retrasarr la de enseñ ñanza de contar c resp pecto a téccnicas gen nerales com mo clasifica ar, ordenar o establecer correspondencia as. Es impo ortante ensseñar estas técnicas por p sí mism mas, pero hay h pocas razones pa ara creer qu ue sean necesarias pa ara la ense eñanza del número y de conta ar. Tampoco o hay nece esidad de aplazar a la enseñanza e de contar, del ero y de la aritmética a a los niños que q no conservan. núme 71 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO 3. Fomentar el desarro ollo del recconocimiento automáttico de pautas y de las pauta as digitales.. A veces se s ha dese estimado la captación directa por considera ada una técnica t aprendida de e memoria que se obtiene o con más faccilidad que la enum meración o un conceptto numérico o (por ejem mplo, Strauss y Lehtin nen, 1950).. El recon nocimiento de rautass numérica as desemp peña un papel p impo ortante en el desarrrollo de nú úmero y de la aritméticca. Se debe instar a los l niños a que domin nen pauta as numérica as regularess como las de d los dado os. Ademáss, necesitan n experimen ntar con distribucione es irregulare es de uno a cinco elem mentos. Me ediante el re econocimiento autom mático de varias v pauta as numériccas como casos c del mismo m número, los niñ ños puede en aprende er que el nú úmero y loss conjuntoss equivalenttes no se definen d porr su aspeccto. Las pa autas digitales también n desempe eñan un pa apel importa ante en el desarrolllo del núm mero y, com mo veremo os en el ca apítulo VIII, en el desarrollo de e la aritmé ética. Por ta anto, se de ebe instar a los niños pequeños a contar co on los dedo os y emple ear pautas digitales. D) RESUMEN N La experienc cia de co ontar es esencial para p que los niñoss desarrollen paulatinamente la compre ensión del número y lleguen a dominarr aplicacion nes numé éricas. Salvo en el casso de corre egir el apre endizaje de nociones básicas como «más», no hay ninguna n razzón para ap plazar la en nseñanza de e contar y del d número o. A partir de experie encias conccretas de co ontar y de reconocimie r ento de pau utas, los niñ ños apren nden que lo os cambios de aspecto o y del orde en de conta ar no afecta an al valor carc dinal, y que aña adir o quitarr elementoss sí que lo hace. La experiencia e a de contarr es imporrtante para ampliar las nocioness intuitivas de equivale encia, no equivalencia e ay orden n. La enseñ ñanza formal y lógica de la teoríía de conju untos es útiil por dereccho propio o, pero la enseñanza a del núm mero basad da en conttar es iniciialmente más m signifiicativa para a los niños. 72 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO A Aritmét tica info ormal An ntes de dom minar las combinacion c nes numéricas básica as, ¿qué prrocedimientos emple ean los niños para calcular suma as, diferenccias y prod ductos en problemas p c con núme eros de una sola cifra? ¿Cómo o se explica el desarrrollo de procedimientos aritmé éticos informales? ¿Por qué a lo os niños less cuestan más m unos problemas p q que otros? ? ¿Cómo trratan los niños de min nimizar, de manera na atural, las dificultades del cálcullo? ¿Qué problemas suelen en ncontrar lo os niños co on el cálcu ulo aritméttico inform mal? ¿Cómo o se puede en subsanar estas dificcultades? A) BASES B PAR RA LA ADICION y LA A SUSTRAC CCION INF FORMALES S Cu uando emp pezaba a asistir al jardín de e infancia, Aaron podía calcu ular rápida amente las sumas de problemas tipo N + 1 como 3 + 1 = - y 5 + 1 = - . Para ottros proble emas, incluyendo los de d tipo 1 + N como 1 + 3 =___ y 1 + 5 = ___, Aa aron tenía que q emple ear objetos s concretoss para calccular la su uma. Tome emos, por ejemplo, sus s respu uestas durante nuestra a cuarta enttrevista, rea alizada en noviembre: n EXAM MINADOR: AARO ON: EXAM MINADOR: AARO ON: EXAM MINADOR: AARO ON: EXAM MINADOR: AARO ON: 1 + 7. [Pausa.. Luego cue enta para sí: «1, 2, 3, 4, 4 5, 6, 7»]. Tengo que e hacerla con los blo oques. [Prim mero coloca a un bloque e, luego sie ete más, cu uenta todoss los bloque es y expre esa la suma a correcta]. 2 + 3. a rápidamen nte] 1, 2, 3 [pausa]. Casi lo tengo o, pero ya no n [Cuenta puedo pensar p máss. [Primero coloca doss bloques, lu uego tres más, y cuenta todo os los bloqu ues para de eterminar la a suma]. 2 + 4. 1 Pues no o sé... [vuellve a usar los bloquess 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10. para ca alcular la su uma]. 1 + 3. 1, 2, 3, 4, 5 [en voz baja]. [Exxaminador: Venga, aca aba.] Cuatrro. 73 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO La capacidad d de Aaron para sum mar mentalm mente fue aumentand a do de mane era gradu ual. Con pro oblemas de e tipo 1 + N, N al principio empezab ba a contarr a partir de el 1 (por ejemplo, e 1 + 3: «1, 2, 3, 4»). Haccia la prima avera, ya re esolvía auto omáticamente proble ema de tipo o 1 + N dicciendo el nú úmero siguiente a N en e la serie numérica n (p por ejemp plo, 1 + 3 = «4»). A fina ales de cursso, Aaron había refinado el proce edimiento pa ara calcullar los resu ultados de sumas s con sumandos distintos de d uno: emp pezaba con n el cardin nal del sumando mayo or y contaba a progresiva amente a partir de él (p por ejemplo o, 2 + 6 = t6; 7, 8»). Aa aron casi no o recibió nin nguna ense eñanza arittmética form mal. ¿Qué explica, pues, su capacidad aritmética infformal y sus progresos durante el e curso? ¿Por qué tenía que calcular el e resultado o de prob blemas 1 + N cua ando podía determin nar inmed diatamente el resultado de proble emas N + 1? 1 En contrraste con su u soltura en n el cálcullo de suma as con el auxilio de objetos co oncretos, su us primero os intentos de cálcullo mental no tuviero on éxito. ¿Qué ¿ explica la difiicultad parra desarro ollar proce edimientos de cálculo menta parra problemas 1 + N y sumas con sumand dos distinttos de uno o? A lo larrgo del currso, Aaron inventó esspontáneam mente nuevvos proce edimientos de d cálculo. ¿Qué motivó este dessarrollo? El fundamen nto: contar Co omo vimos s en el capítulo c VII, los niños desarro ollan una comprenssión funda amental de la aritmética mucho antes de llegar l a la escuela a partir de sus s prime eras experie encias de contar. c Los conceptoss informaless de la adicción (en tanto que añadir a más)) y de la sustracción (e en tanto qu ue quitar alg go) guían lo os intentos de los niños para construir c prrocedimienttos aritméticos inform males. Por ejemplo, para sumar uno más s a tres, muchos niño os empieza an contando hasta tre es y luego se n a contar una unidad d más («1, 2, 3; 4»). En realidad d, hasta pu ueden llega ar a limitan tratar de aborda ar problema as más difíciles de la misma ma anera. Conssideremos los prime eros intentos s de Aaron para calcullar mentalm mente las su umas de pro oblemas 1 + N con suman y de problemas p ndos distinttos de uno (M + N). Como C consid deraba que e la adició ón es un pro oceso aumentativo, su us intentos iniciales, aunque a infru uctuosos, ib ban por bu uen camino o. Para 2 + 3, por ejem mplo, pareccía saber qu ue la suma tenía que ser mayor que dos. Por P tanto, en e seguida contó hasta a dos y lueg go contó un na unidad más m que no sabíía bien cóm mo continuar): «1,2,3, ... . Casi lo te engo, pero... ». (aunq La soltura con n las técniccas para co ontar permitte a los niño os resolverr mentalmente proble emas con «1» « muy prronto. Los niños n descu ubren con bastante b ra apidez que las relacio ones entre un número o y su sigu uiente se ap plican a pro oblemas N + 1 y que las relacio ones entre un número o y su anterior pueden aplicarse a problemass N - 1. De hecho, muchos preescolaress pueden usar su re epresentacción menta al de la se erie 74 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO numé érica para resolver r pro oblemas co on «1» sen ncillos (N + 1 y N - 1) 1 como «ttres pastelillos y uno más» o «ccinco muñe ecas menoss una que te t quedas» (por ejemp plo, Baroo ody, 1984a; Court, 1920; Fuson y Hall, 198 83; Gelman n, 1972, 19 977; Ginsbu urg, 1982; Groen y Resnick, R 19 977; Ilg y Ames, A 195 51; Resnickk, 1983; Re esnick y Fo ord, 1981; Starkey y Gelman, 1982). En el anterior problema p de e adición, un u niño pue ede entrarr en la serie numérica por el punto esp pecificado por p el prim mer término o o sumando (tres) y dar com mo respuestta el núme ero siguientte en la se erie numériica: ón, un niño puede entrrar en la se erie «Cuattro». En el anterior prroblema de sustracció numé érica por el punto espe ecificado po or el minue endo o canttidad mayor (cinco) y dar como respuesta el número anterior en n la serie nu umérica: «C Cuatro.» Co omo el emp pleo entación me ental de la a serie num mérica para a determina ar respuesstas de essta represe relacio onadas con el núme ero anteriorr o posterio or a otro dado d es tan automátiico, muchos preesco olares pued den dar mentalmente e, y con ra apidez, las respuestass a proble emas senciillos con «1». La difficultad relativa de problemas p 1+N ¿P Por qué Aarron podía resolver r pro oblemas N + 1, pero no problem mas 1 + N? ? El conce epto informa al que tiene en los niñoss de la adicción puede hacer que los problem mas N + 1 sean más fáciles de resolve er que loss problema as 1 + N. Como Aaron consid deraba que e la adición era un procceso aumen ntativo, inte erpretaba ell problema 3 + 1 = ___ como tres y uno máss, cosa que se puede resolver r fáccilmente contando («1, 2, 3; 4.,)) o emplean ndo las relacciones entre e un númerro dado y ell que le sigu ue («3, 4»). En cambio, interpre etaba que 1 + 3 = ___ era uno y tres más, cosa que no se pue ede resolvver fácilmen nte con esto os métodoss. En otras palabras, como c los niñ ños pequeñ ños consid deran que la adición es un processo aumenta ativo, puede en presenta ar la tenden ncia a con nsiderar que N + 1 = __ y 1 + N = __ so on problemas diferenttes y la suma consig guiente no o es equiva alente. Porr tanto, pue eden no darse d cuentta de que su métod do centrado o en la relacción existen nte entre un n número da ado y el que e le sigue, que q es tan eficaz pa ara respon nder en seg guida prob blemas de tipo N + 1, 1 también es aplica able a probllemas de tip po 1 + N. En un mome ento dado, los niños descubren d que las re elaciones entre e números ecutivos se aplican po or igual a prroblemas de tipo N + 1 y de tipo 1 + N. Jen nny, conse una niña n de jardín de infanccia, describ bió este imp portante de escubrimien nto (Barood dy y Ginsb burg, 1982a a). Mientrass jugaban a un juego matemático m o, la niña qu ue se senta aba al lad do de Jenn ny sacó una a tarjeta co on el probllema 1 + 6 = __. Ma anifiestamente perple eja y desorrientada ante este pro oblema, la niña n se que edó sin deccir nada. Tras T una pausa, p Jenny se le acercó a y le e dijo en vo oz baja: «¡Eh! ¡Que es muy fá ácil! ¡Siem mpre que ve eas un 1, es el número que viene después!» A dife erencia de su 75 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO compañera, Jenny había ab bstraído una regla gen neral de núm meros conssecutivos para emas con «1»: « «La sum ma de N + 1 ó 1 + N ess el número que sigue a N en la se erie proble numé érica." Con esta e regla general, g Jenny podía usar u su rep presentación n mental de e la serie numérica para respo onder con igual eficaccia a proble emas de tipo N + 1 y a proble emas de tip po 1 + N. El desarrollo de una reg gla general de número os consecuttivos para los l problem mas « puede ser s un primer paso mu uy importan nte hacia una capacid dad de cálcculo con «1" generra más flexible. Por ejemplo, Aarron aprendiió primero que q podía pasar por alto a sin prroblemas el orden de lo os sumandos en probllemas con «1». Unas semanas s m más tarde empezó a hacer lo mismo en n problemas con sum mandos disstintos de 1 y umas de tiipo M + N contando a partir del sumando mayor (por calcullaba las su ejemp plo, 2 + 6: «6; 7, 8»). Además, A loss niños sólo llegan a co onsiderar la a adición como la uniión o reunió ón de dos conjuntos de d una manera gradu ual. Desde este e punto de vista, el orden de d los núm meros carece de importancia: 3 + 2 = 2 + 3. En ottras palabras, la unió ón de un conjunto de tres objeto os con otro o de dos, tiene el mismo resulttado que la unión de dos objetos y tres objettos. Esta co oncepción «unionista» « de la adición es má ás abstracta a que la co oncepción aumentativ a va familiar para p los niñ ños peque eños. La co omprensión de que el orden o de loss sumandoss no altera la l suma en los proble emas con «1» pued de ser un n primer paso p muy importantte hacia una u comprensión má ás profunda a de la adición (Resnicck, 1983). B) ADICCION A INFORMAL I L Proce edimientos s concreto os Iniccialmente, los niños emplean e ob bjetos concrretos para calcular c sumas. A cau usa de su u inJj1ediatta disponibilidad, suellen usar los dedos pa ara sumas de hasta 10. Desde e el punto de d vista de! desarrollo, la estrateg gia más bássica es la cu uenta concrreta global (CC) que e se ilustra en la columna 1 de la figura 8.1. Los blo oques (u ottros objeto os 'que se puedan p contar, como lo os propios dedos) d se cuentan c uno o por uno para repressentar un sumando; e! proceso o se repite e con e! otro sumand do. Luego se cuentan todos lo os objetos para p determ minar la sum ma. Invvención de atajos. Los niños n inventtan espontá áneamente e atajos parra el laborio oso proce edimiento cc c. Uno de lo os favoritoss es la estra ategia de «pautas « digitales» que e se ilustra a en la colu umna 2 de la figura 8.1 (Baroodyy, en prenssa). Nótese e que, en esta e estrattegia, cada a sumando se repressenta con una pauta digital. Assí se evita a e! laborioso proces so de contar los dedoss uno por un no para rep presentar ca ada sumando. ante la estra ategia de la a pauta digital, e! niño sólo tiene que q contar una vez (para Media 76 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO determ minar la suma). s La estrategia de «recon nocimiento de pautas» (Siegler y Robin nson, 1982; Siegler y Shrager, S 19 984), que se e ilustra en la columna a 3 de la figura 8.1 ess aún más económica e . Esta estra ategia comp porta la creación de pa autas digita ales 77 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO para a cada suma ando para, a continuacción, recono ocer la sum ma inmediata amente, qu uizá de manera m visu ual (median nte una cap ptación dire ecta), quizá á cinestésicca. Para 4 + 5 =__ , por ejemp plo un niño o puede em mplear pauttas digitaless para reprresentar ca ada suma ando, sentir que se ha an extendid do todos loss dedos sallvo uno, y responder r « «9» sin te ener que co ontar. Hasta los niñ ños deficien ntes inventa an atajos CC C espontán neamente para p ahorrarse traba ajo. Durantte veintiuna a semanass se observvaron unoss niños con n deficienccias levess y modera adas que se s basaban n en un prrocedimientto CC porq que lo habían desccubierto o porque se le es había ensseñado. Sin n que se less dijera nad da, muchos de los participante p es en el esstudio emp pezaron a emplear e un na estrateg gia de pautas digita ales y unos s pocos emp plearon una a estrategia a de recono ocimiento de pautas pa ara problemas con sumandoss muy pequ ueños. Porr tanto, parrece que la a tendencia a a inven ntar atajos para el cálcculo es com mún a niñoss con una amplia a gama a de aptitud des menttales. Au utocontrol, inventiva y flexibilida ad. Mediantte el contro ol de sus tentativas, t los niñoss pueden adaptar a proccedimientos existente es a nuevass demandass y, por tan nto, pued den inventa ar nuevos procedimientos. Co onsidérese el caso de Mike, un much hacho de veinte v añoss de edad con un CII de 46. Mike se enccontró en una u situa ación norma al en los niñ ños: Su procedimiento concreto le e iba muy bien b siemprre y cuan ndo los núm meros fuera an pequeño os. Para pro oblemas co on sumandos de cinco oo meno os, Mike em mpleaba un n procedimie ento de pau utas digitale es (por ejem mplo, para 3 + 5 forrmaba las pautas p digitales para tres y cincco con cada a mano y luego conta aba todoss los dedo os). Sin em mbargo, esste procedimiento no o puede em mplearse con c facilid dad para problemas como c 2 + 8 y 6 + 3, en los que uno o de los sum mandos no o se pued de represen ntar fácilmente con una a mano. Pa areciendo darse cuen nta de las limitacione es de su procedimien p nto de pautas digita ales, Mike lo o modificó. Cuando se e le presenttaban proble emas como o 2 + 8 y 6 + 3, prime ero formaba a la pauta digital d de su umando má ás pequeño (por ejemp plo, dos ded dos para 2 + 8). Co on un mod delo cardina al del suma ando más pequeño ya y formado,, el siguiente paso que daba era e empeza ar desde 1 e ir contan ndo hasta llegar l a la ded signa ación cardin nal de sumando mayo or. Por ejem mplo, «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7 8» para 2 + 8. A continuació ón, Mike sim mplemente continuaba a contando mientras señalaba s ca ada mento del mo odelo cardinal creado en el paso anterior (po or ejemplo, para 2 + 8: «9 elem [seña alando uno o de los do os dedos le evantados],, 10 [señalando el otro dedo]». La maniiobra planiificada de antemano o por Mike e para representar únicamente ú el suma ando más pequeño p le permitía en nfrentarse a problemas con núme eros mayorres. Ell procedimiento concreto relativa amente sofiisticado de Mike toma a otras form mas ingen niosas. Algunos niñoss usan mod delos cardin nales ya prresentes en n el aula pa ara 78 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO conta ar. Otros usan u las pa autas de la as cifras 2,3,4 (por ejjemplo, 2 + 4: «1, 2; 3 [seña alando la punta p superrior izquierd da del cuattro], 4 [seña alando la punta p superrior derecha], 5 [señalando la punta del medio], 6 [señalando [ la punta de d abajo], 6»). 6 ntras hacen sus ejerciccios de aritm mética en clase, c algun nos niños miran m mucho o el Mien reloj (por razone es distintass a saber cu uánto falta para el recreo). El relo oj proporcio ona un modelo m para a contar (po or ejemplo,, 2 + 4: «1,, 2; 3 [mirando el 1 de e la esfera]], 4 [mira ando el 2 de e la esfera],, 5 [mirando o el 3 de la esfera], 6 [m mirando el 4 de la esfe era] - 6»)). Otros niñ ños hasta pueden llegar a crea ar un mode elo mental para llevarr la cuen nta. Por eje emplo, para a 2 + 4 un n niño pue ede imagina ar cuatro puntos p en las esqu uinas de una a caja y con ntarlas «3, 4, 5, 6» mie entras «señ ñala» o «miira" los puntos imag ginarios. Lo os procedim mientos ba asados en estos mod delos «que e se tienen n a mano o» pueden ser la base e para la invvención de procedimie entos eficacces de cálcculo menttal (Fuson, 1982). Ad demás, este control permite p a los l niños elegir e de manera m inte eligente en ntre proce edimientos informales de adición (Siegler y Robinson, R 1982). Kathyy, una niña de quincce años de edad con un u CI de 40 0, empleaba a una estra ategia de pa autas digita ales para problemas como 2 + 3, 4 + 2 y 5 + 4. Cua ando se encontraba con problem mas como o 2 + 8 ó 6 + 3, recono ocía inmediatamente los límites de d su estrategia digita al y, sin que se le dijera nada, pasaba a calcular la a respuesta a con bloqu ues (volvía a al emple eo de un procedimien p nto CC). Ad demás, cua ando se le presentaban problem mas como o 1 + 2 y 3 + 1 (combin naciones qu ue, según pruebas p rea alizadas de antemano, ya sabía amos que conocía), Ka athy no con ntinuaba em mpleando procedimien p ntos concre etos mecá ánicamente (persevera ación), sino o que resp pondía de manera au utomática. Así A pues,, parece ser que inclusso niños co on deficienccias mentale es importan ntes contro olan su eje ecución arittmética y muestran m fle exibilidad a la hora de elegir proce edimientos de cálculo. Prrocedimien ntos menta ales Co on el tiempo, los niños aband donan espo ontáneame ente los prrocedimientos concrretos e inv ventan pro ocedimiento os mentale es para ca alcular sum mas (Groen n y Resnick, 1977). El procedimiento má ás básico de d adición mental es contarlo to odo ezando por el primer sumando (C CTP) (por ejjemplo, 2 + 4: «1, 2; 3 [es uno má ás], empe 4 [son dos más s], 5 [son trres más], 6 [son cuattro más] - 6») 6 (Barood dy, 1984a, en prenssa; Baroody y Ganno on, 1984). La técnica a CTP es una invencción bastante sofistticada porque no reflejja directam mente el pro oceso conccreto y global de conta arlo todo y comporta a la enumerración del segundo sum mando a medida m que el e niño cuenta a parrtir del prim mero (un prroceso de control sim multáneo) (Baroody y Ginsburg, en prenssa; Carpentter y Moserr, 1983). 79 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Lle evar la cuen nta. Este proceso de llevar la cuenta hace que el cálcculo mental de proble emas con términos t disstintos de «1» « sea má ás difícil que e el de problemas en los que uno u de los términos t ess «l». Para calcular N + 1 ó 1 + N, N un niño sólo s tiene que q conta ar hasta N y decir el nú úmero que le sigue en la serie nu umérica (po or ejemplo, 1 + 4: «1, 2, 3, 4; [y y uno más son] 5»). Con C problem mas sin «l» », el niño debe continu uar conta ando más allá de N un número de eterminado de veces. Un U cálculo mental exacto de prroblemas sin «l» exige e métodos previamente p e planificad dos para lle evar la cuen nta. Esto es lo que im mpedía a Aaron A calcullar con éxito problema as sin «1» a principios de curso o. Con el tie empo, Aaron ideó espo ontáneame ente método os para llevvar la cuentta. So obre todo all rrincipio, lo os niños ussan objetos concretos para llevar la cuenta, y el emple eo de los dedos es un no de los métodos m favo oritos (por ejemplo, 2 + 4: <<1, 2; 2 3 [un dedo extend dido es uno o más], 4 [dos dedoss extendido os son dos más], 5 [tres dedoss extendido os son tres más], 6 [cu uatro dedoss extendido os son cuattro más] - 6»). 6 Si un niño puede e reconocerr automáticamente pau utas digitale es, el proce edimiento pa ara llevarr la cuenta requiere poca p atenció ón y puede e ejecutarse con gran n eficacia. Por P ejemp plo, para 2 + 4, en cua anto ha emp pezado el proceso p de contar el niño se limita a ir con ntando hasta que «sien nte» la exte ensión del cuarto dedo. Conocer la pauta dig gital para el cuatro diice el niño cuándo c tien ne que dete enerse. Co on el tiempo o, los niños pasan de contar c objettos a contarr cosas men nos concretas para llevar l la cue enta (Steffe e et al., 1983). En realidad, los niñ ños emplea an una varia ada gama a de medio os (por eje emplo, véasse Fuson, 1982). Alg gunos niño os van dan ndo golpecitos con lo os dedos o el lápiz cuando cuenttan. Hasta pueden lleg gar a explo otar pauta as como «ta ac-tac-tac-ta ac» es cuatro (por eje emplo, 2 + 4: 4 «1,2; 3, 4 [tactac]; 5, 5 6 [tac-ta ac] - 6»). Los niños ta ambién pue eden llevar la cuenta con c otra cu uenta verba al o subvo ocal: una do oble cuenta a (por ejemplo, 2 + 4: «1,2; « 3 es uno u más, 4 son dos más, 5 son tres más, 6 son cuatrro más»). Cuando C los niños están n muy familiarizados con c la serrie numérica a, este procceso de dob ble cuenta puede p llega ar a ser extrremadamente autom mático y rea alizarse mentalmente. Invvención de atajos. Contar C a pa artir del primer sumando (CCP P) abrevia el proce edimiento CTP C al empezar desde e el término o cardinal correspondie ente al prim mer sumando (por ejemplo, 2 + 4: «2; 3 [+ 1], 4 [+ 2], 5 [+ 3, 6 [+ + 4] - 6»), pe ero no redu uce el núm mero de pasos necesa arios para el e procedimiento de lle evar la cuen nta (Baroody y Ganon, 1984). Tanto T el pro ocedimiento CTP com mo el CPP implican un u proceso de o pasos pa ara llevar la a cuenta. Como C el pro ocedimiento o CPP no ahorra a muccho cuatro esfuerzo, es rarro que los niños lo inventen y lo emplee en (Baroodyy, en prensa; ody y Ginsb burg, en pre ensa). Baroo Lle evar la cuen nta es muy exigente e en n el plano co ognoscitivo o y se puede e aligerar si se empie eza por el término mayor. Una esstrategia qu ue permite hacerlo es contarlo to odo 80 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO empe ezando por el término mayor (CT TM) (Barood dy, 1984a).. El método o CTM implica contar hasta el cardinal de el número mayor a partir de 1 y luego seg guir contan ndo mienttras se enum mera el térm mino meno or (por ejem mplo, 2 + 4: «1, 2, 3, 4; 5 [+ 1],6 [+ + 2] - 6»). Nótese que, al empezzar por el té érmino mayyor, el proceso para lle evar la cuenta en 2 + 4 se redu uce de cuattro a dos pa asos. Obsé érvese tamb bién que el método CT TM requie ere un proc ceso extra in nnecesario con el CTP P: ver cuál de d los dos sumando s s es mayor. Los niños s adoptan el e CTM porrque ver cuá ál de los su umandos ess mayor ya se echo autom mático y exxige un essfuerzo ina apreciable en comparración con el ha he proce eso de lleva ar la cuenta. Co ontar a partir del términ no mayor (C CPM) abrevvia el proce edimiento CTM C ya que se empie eza a conta ar desde la designación cardinal del d término mayor y, por p tanto, ess el proce edimiento in nformal de adición a mental más ecconómico (por ejemplo o, 2 + 4: «4 4, 5 [+ 1], 6 [+ 2] - 6»)). Durante el e cálculo, lo os niños pu ueden darse e cuenta de e que contar el prime er sumando es innecessario y bastta con enun nciar el card dinal que le e correspon nde (Fuso on, 1982; Resnick R y N eches, 1984). Como resulta ado, adopta an el méto odo abrevviado de em mpezar con el e término cardinal c del sumando mayor m en ve ez de conta ar a partir de 1. Por tanto, t el pro ocedimiento o CTM se abandona a e favor del CPM porq en que aún ahorra a más trabajo. Au utocontrol, in nventiva y flexibilidad. fl Al igual que e con los prrocedimienttos concretos, el au utocontrol hace h que los niños inventen espontáne eamente prrocedimientos menta ales ayudándoles a se entir cuándo hace falta reajustarr los método os existentes. Consiidérese el ejemplo e de Casey, un n niño de pá árvulos (Ba aroody y Ga annon, 198 84). nto En nu uestra primera entrevista, Caseyy se basó exclusivame e ente en el procedimie p CTP. En la segu unda, se le presentó ell problema 3 + 6 en un na tarjeta. Empezó E como de costumbre, co ontando el primer sum mando a me edida que ib ba dando go olpecitos en n la a: «1, 2, 3» ». Esta vez, sin embarrgo, se detuvo y come entó: «Creo o que conta aré tarjeta hasta a 6. 1, 2, 3, 4, 4 5> 6 [pau usa] 7, 8, 9.» Al parece er, Casey había previssto la dificulttad de qu ue, para lle evar la cuen nta con su procedimie ento CTP, hacían faltta seis pasos. Para ahorrarse trabajo, t ada aptó su método. Empe ezó por con ntar el suma ando mayo or e 1 edimiento nuevo, n CTM M, de más fácil f ejecuciión . Al igu ual que ocu urre inventó un proce con lo os procedim mientos con ncretos de cálculo, c parrece que lo os niños esttán motivad dos por la a idea de minimizar su esfuerzo cognoscitivo c o. 1 Po odría parecerr que si los niños n inventan n procedimien ntos de adició ón que no da an importancia al orden de los suman ndos (CTM o CPM) es qu ue comprende en la propiedad conmutatiiva (por ejem mplo, mbargo, Case ey no parecía a darse cuentta de que 3 + 6 y 6 + 3 eran e Groen y Resnick, 1977). Sin em an el mismo resultado. r En posteriores entrevistas, e Casey indicó que q 6 + 4 y 4 + 6, equivalentes y daba emplo, darían resultados distintos (Baroo ody y Gannon n, 1984). Los niños pueden n sumar núme eros por eje en cua alquier orden porque p creen que obtendrá án una respue esta correcta (aunque ( no ne ecesariamentte la misma)). Parece que e ciertos facto ores no conce eptuales, como el impulso a ahorrar esfu uerzo mental,, así como algunos con nocimientos conceptualess, pueden explicar e el desarrollo de procedimien ntos ales de cálculo. informa 81 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO El auto contrrol también n permite a los niños escoger de d manera flexible en ntre dimientos mentales. m C Casey, al ig gual que muchos m otrros niños (por diverssos proced nto ejemp plo, Carpen nter y Mose er, 1984), no usaba sisstemáticam mente este procedimie p nuevo o y más ava anzado. Au unque usaba el CTM con c problem mas como 2 + 6 = -- , 2 + 8 =__ , y 3 + 6 = _, que co omportaban n un proceso exigente para llevvar la cuen nta, como 2 + 4 = _, qu contin nuaba emp pleando el CTP en problemas p ue exigen un proce edimiento para llevar la a cuenta menos comp plicado. C) SUSTRA ACCION INF FORMAL Pro ocedimien ntos concre etos Pa ara problem mas con sustraendoss (númeross menores) mayores que uno, al principio los niños emplea an modeloss concretoss que repre esentan directamente su conce epto informal de la su ustracción como c «quita ar algo» (p por ejemplo o, Carpente er y Mose er», 1982). Este pro ocedimiento o «extractivvo» compo orta: a) re epresentar el minue endo (el número mayo or); b) quitar un número de eleme entos igual al a sustraendo, y c) contar los ellementos re estantes pa ara determinar la respuesta. Por ejemplo, 5 - 2 impliccaría contarr cinco ded dos u otros objetos (ha acer cinco marcas), contar c y retirar dos de los eleme entos (tachar dos de la as marcas)) y, por últim mo, contar los elementos (las marcas) m restantes: «Trres.» (Véase la fig. 8.2 2.) Se em mplean 5 bloques, ded dos o marca as, se quita an dos y se cuenta el resto r 82 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Proce edimientos s mentales s Re etrocontar: una u ampliación natura al del conoccimiento exi xistente. Como o ocurre co on la adició ón, cuando o los niñoss están pre eparados abandonan los nto proce edimientos concretos c e favor de en e procedimientos men ntales. Un procedimie p menta al muy usua al es contarr regresivam mente o rettrocontar, que q también n parte de una u conce epción extrractiva de la sustraccción como o ocurría con los procedimien ntos concrretos menc cionados anteriormen a nte (Carpen nter y Moser, 1982)). Retrocon ntar implicca expresarr el minuen ndo, contarr hacia atrá ás tantas un nidades co omo indique e el sustra aendo y da ar el último o número contado c como respue esta (por ejjemplo, 5 - 2: empe ezar desde 5, 4 [quitan ndo una], 3 [quitando dos] d - la resspuesta es «3»). Aunq que retroccontar es una u amplIacción natura al del proce edimiento mental m que e emplean los niños para calcu ular diferencias N - 1, es más co omplicado en e el plano o cognoscitiivo. Para resolver r pro oblemas de el tipo N - 1, el niño sólo o tiene que e saber qué número vie ene antes de otro en la serie num mérica. Con n sustraend dos mayore es, el niño debe ser cap paz de co ontar hacia a atrás un n número determinad do de unid dades dessde un punto especcífico de la serie numé érica. Por ta anto, retroco ontar comp porta un mé étodo de llevar la cue enta que de ebe ejecuta arse mientrras el niño va contand do hacia atrás (véase e la fig.8.3 3). n procedimiiento exigen nte. El méto odo de retro ocontar parra la sustracción tamb bién Un es má ás difícil pa ara los niñ ños que loss métodos informaless para la adición a men ntal (Baroody, 1984c c). Con los procedimie entos de adición menta al, tanto la suma s como o el eso de lleva ar la cuenta a son progre esivos, es decir, d se dirigen hacia a adelante. En proce 83 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO cambio, retrocon ntar exige contar c regrresivamente e, que es más m difícil para p los niñ ños eños que contar c prog gresivamen nte (Fuson et al., 198 82; Ginsburrg y Baroo ody, peque 1983)). Además, esta cuentta regresiva a, ya difícil de d por sí, debe d ejecuttarse mienttras se eje ecuta una cuenta c progresiva, ess decir, ¡en n dirección contraria! La naturale eza abrum madora de este proccedimiento puede ayu udar a exp plicar la fra ase que, con c frecue encia tan alarmante, está e en bocca de much hos niños de d la primerra enseñan nza: «No me m gustan nada n las re estas; son mucho m más difíciles qu ue las suma as» (Starke ey y Gelma an, 1982). La dificultad del d procediimiento de retrocontarr está relaccionada con el problema del tamaño de lo os númeross. El tamaño o del sustra aendo es un n factor clavve. En el ca aso de 9 - 2, el proce eso de lleva ar la cuenta a es relativa amente manejable pue es sólo con nsta de do os pasos («9 9; 8 [- 1], 7 [- 2] - 7»). En el caso o de 9 - 7, sin s embarg go, el proce eso de lle evar la cuen nta es muy y difícil porq que consta a de siete pasos p («9; 8 [- 1], 7 [- 2], 6 [ - 3], 3 5 [- 4],4 [[ 5],3 [- 6],2 [- 7], - 2»). Para 19 - 17, el pro oceso de lle evar la cuenta llega a ser prá ácticamentte imposib ble a caus sa de los s diecisiete e pasos que q comp porta (« 19; 18 [- 1], 17 [- 2], 16 6 [- 3], ..., 3 [- 16],2 [[ 17] - 2»)). Además, el tamañ ño del min nuendo pue ede contrib buir a las dificultades d s de los niñ ños. Para los niños s del ciclo in nicial, conta ar hacia atrás desde 20 suele ser más difíícil que des sde 10 (F Fuson et al.., 1982; Giinsburg y Baroody, B 1983). Por tanto, cuan ndo los niñ ños se en ncuentran con c problem mas cuyos s minuendo os son may yores que 10, 1 los que se basan n en retroc contar se ven v forzado os a emple ear una se ecuencia in nversa men nos autom mática y fam miliar. El desarrollo de proce edimientos flexibles. A medida que en sus tareas de sustra acción intervienen números cad da vez mayyores, los niños n debe en aprender o descu ubrir por su u cuenta otros método os de sustrracción. En realidad, algunos a datos (Woods, Resnick k y Groen, 1975) indiccan que, al principio, p m muchos niño os emplean un edimiento de d retrocuen nta y que, más adela ante, inventtan un proccedimiento de proce cuentta progresiv va. Contar progresiva amente se parece al enfoque del d «suman ndo ausen nte", pero aplicado a a la a sustracció ón (Carpentter y Moserr, 1982). Implica partir del sustra aendo y contar hacia adelante a ha asta llegar al a minuendo, al tiempo o que se lle eva la cue enta del núm mero de pa asos dados (por ejemp plo 19 - 17: «17, 18 [ess uno], 19 [sson dos] -la - respues sta es dos,,,). Aunque e contar pro ogresivame ente no reffleja la nocción extracctiva inform mal que tiene un niño de la sustracción, en determinad das circun nstancias es e cognosciitivamente más fácil que q contar regresivam r mente. Cuan ndo el sustraendo es e relativam mente grande, como o en el ca aso de 19 - 17, con ntar esivamente e reduce enormemen e nte las exig gencias de e la cuenta a doble o de progre cualquier otro prrocedimiento para llevvar la cuenta (dos passos en contraste con los diecissiete que so on necesarrios si se cuenta c haciia atrás). Cuando C el minuendo m y el 84 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO sustra aendo está án relativam mente próximos, como o en 9 - 7, contar pro ogresivamente tambiién minimiza el processo de llevar la cuenta (d dos pasos en e contraste e con los siete necessarios si se s cuenta hacia atrás). Sin em mbargo; cu uando el sustraendo es peque eño y el minuendo m y el sustra aen do esstán relativa amente se eparados (p por ejemp plo, 9 - 2),, retroconta ar tiene ve entaja en cuanto c a fa acilidad de ejecución (el proce eso de lleva ar la cuenta a consta de e dos paso os, mientrass que si se e contara prop gresivvamente harían falta siete). Cu uando llega an a terce er curso, muchos m niñ ños descu ubren esta pauta y eligen e el procedimien nto más ecconómico en e cada ca aso (Woods et al., 19 975). D) MU ULTIPLICA ACION INFO ORMAL Cu uando a los s niños se les presen nta la multip plicación por primera vez, much hos La ya ha an adquirid do una bas se sólida para p comprenderla y calcular productos. p multip plicación puede p defin nirse como la adición repetida de d términos s iguales (p por ejemp plo, 5 x 3 = 5 + 5 + 5). 5 Como la a multiplica ación se basa en exp periencias de adició ón familiare es para los s niños, la asimilan con c rapidez z. Durante e los primeros curso os, los niño os se enfre entan much has veces a sumas de d dos o más m conjuntos iguale es como lo os siguiente es: Ya ha an aprendido varios pro ocedimiento os para detterminar, po or ejemplo, el total de tres t grupo os de cuatro o. Pueden contar c a inte ervalos («4,8,12»), hacer cálculos informale es + 4 son 4;5,6,7,8 y 8 +4 son 8;9,10,11,12 8 2»), emplea ar sumas co onocidas(po or ejemplo, «4 s 8 y 8 + 4 son 12 2»), o com mbinar esto os métodoss (por ejem mplo, conta ar a + 4 son intervalos y calcu ular: «4,8; 9,10,11,12» 9 »). Proce edimientos s mentales s Al principio, los l niños se s basan en e procedim mientos infformales de e contar pa ara emplo, Kou uba, 1986)). Como exxplicaba un na niña, pa ara calcullar producttos (por eje calcullar 3 X 3 ten nía que «co ontar tres, trres veces» (Allardice, 1978). La mayoría m de los niños que acaba an de empezzar a apren nder a multiplicar poseen las técnicas de con ntar y de llevar l las cuentas c neccesarias pa ara calcularr productoss mentalme ente. Consid deremoss la explica ación que daba d un niño para ca alcular 3 X 3: «Bueno o, pues digo o e 85 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO prime er número trres en voz alta, a luego digo los do os números siguientes en voz baja y luego o digo el sigu uiente en vo oz alta, así:: tres [susurrrando, 4, 5], 5 seis [susurrando, 7, 8], nto mental e informal de nueve e ... » (Allarrdice, 1978 8, p. 4). De hecho, el procedimie p los niñ ños para la a multiplicacción implica aba contar tres t veces, incluyendo o dos processos para llevar l la cuenta: a) ge enerar la se ecuencia nu umérica; b) llevar la cu uenta de ca ada tercerr número, y c) llevar la cuenta de d los grupo os de tres para determinar cuán ndo deten ner la gene eración de la serie numérica. Un U procedim miento mental aún más m básico o consiste en empeza ar a contarr desde 1 (en ( vez de empezar desde d el va alor cardin nal del primer términ no o multiplicando). Este proccedimiento básico y los proce esos compo onentes se detallan en n la tabla 8.1. Tabla a 8.1. Proce edimiento básico de cá álculo menta al para la multiplicació m n empleand do 4 x 3 como ejem mplo enerar núm meros sucessivos a partir de la a) Ge 1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12 se erie numéric ca: b) Lle evar la cuen nta de cada a cuarto número co ontado: c) Lle evar la cuen nta del núm mero de grupos de cu uatro: d) De etener la generació ón de la serie nu umérica des spués de co ompletar el tercer grrupo de cua atro y dar el último número co ontado corn no respuestta: 1234 12341 2 3 4 1 2 3 12 e el cálculo o mental se ea más ma anejable, los niños suelen crear un Para hacer que conju unto para re epresentar el multipliccando. Para a 4 X 3, por ejemplo, el niño pue ede emple ear una pauta digital para p repressentar el 4 y, y a continu uación, contar esta pauta tres veces. v Med diante el em mpleo de pa autas digitales, el niño o elimina la necesidad de llevarr la cuenta de cada cuarto c núm mero contad do. Su exp periencia in nformal pre evia puede e ayudarle de otras maneras. m En n concreto,, los niños pueden darse cuenta en seguiida de que contar c a inttervalos pue ede servir para p la multtiplicación (por ejemplo o, 5 X 3: «5, 10, 15 5»). Contar a intervalo os es un procedimien p nto común para calcu ular produ uctos. Los niños n también pueden recurrir a su s conocimiento formal para abordar 86 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO la mu ultiplicación n. Con frecu uencia, usa an su cono ocimiento de e las suma as dobles (por ejemp plo, «4 + 4 = 8») para a determina ar productoss en los que el multipllicador es dos d (por ejemplo, e 4 x 2) o para razonar la respuesta a problema as mayoress (por ejemp plo, 4 x 3: «4 + 4 son n 8, y cuatrro más son 9, 10, 11, 12», o 4 x 4: 4 «4 + 4 so on 8, es de ecir, dos cuatros, c 8 + 8 son 16, es decir, cu uatro cuatro os»). Invvención de atajos. Como ocurre con la adicción y la su ustracción in nformales, los niñoss hallan es spontáneam mente méto odos inform males para a abreviar el cálculo de produ uctos. Inclus so los niñoss con dificu ultades de aprendizaje a e pueden ve er maneras de emple ear los con nocimientoss que ya poseen p para ahorrar esfuerzo en e el cálcu ulo. Consideremos el e caso de Adam, A un niño n con dificultades de d aprendizzaje al que se enseñ ñó un procedimiento concreto c pa ara multipliicar (por ejemplo, 4 x 3: hacer tres t grupo os de cuatrro bloques y contar todos los bloques). b Casi de inm mediato, Adam empe ezó a abrev viar el proccedimiento concreto. Por ejemplo, para 6 x 3 sacó tres dedoss y, en vez de colocarr seis bloques junto a cada c dedo, sólo alineó ó seis bloqu ues frente e al primer dedo. Con ntó la hilera a de bloque es («1, 2, ... ,6») y luego contó los espaccios donde deberían haber h estad do las otras dos hilerass de bloque es (<<7, 8, ... , 12», «13, « 14, ... , 18»). Pro onto empezó a utilizar procedimie entos menta ales. Para 4 X 3, em mpleó una suma conoccida (4 + 4 = 8) Y se pu uso a conta ar a partir de e ella (8,9, 10, 11,12 2). Para 5 X N, se dio o cuenta en nseguida de e que podía a contar a intervalos (de cinco en cinco) para p genera ar la respue esta. E) IM MPLICACIO ONES EDU UCATIVAS: DIFICULT TADES Y SOLUCIONE S ES EN LA A ARITMETICA INFO ORMAL Más uno u y men nos uno Ca asi todos los niños que e llegan a la l escuela han tenido experiencias informales suficie entes para comprend der que la adición es un processo aumenta ativo y que e la sustra acción es un processo diminuttivo. De hecho, Starkey y Ge elman (198 82) encon ntraron que e casi todoss los niños de d cuatro años que esstudiaron po odían resolvver proble emas de tipo N + 1 (con N ha asta 5) si tenían t obje etos concre etos a man no. Adem más, muchos niños de cuatro años y la mayo oría de los de d cinco po odían resolvver proble emas de tip po 1 + N (ccon N hasta a 5). Más aún, cuando o empiezan n la escuela a la mayoría de los niños pose een una so oltura suficciente con las relacio ones entre un núme ero dado, el que le pre ecede y el que le sigu ue, para de eterminar mentalmente m ey con ra apidez las sumas s N + 1 (con N hasta 5) y la as diferencias N - 1 (con N hasta a 5) (Fuso on et al., 19 982). Cuand do llegan a segundo curso, la mayoría m de los niños son s capacces de gene erar automá áticamente las sumas N + 1 ó 1 + N y las diferencias d sN - 1 pa ara valore es de N ha asta 10. Siin embarg go, el apre endizaje fo ortuito de los l 87 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO conce eptos arittméticos informales i s básicos y de las s técnicas s de conttar necesarias no o pueden darse po or sentada as en pob blaciones especiale es, sobre e todo SI se s trata de e niños de eficientes. 1. Asegurar A el e dominio de d la técnica a del númerro siguiente e (número anterior) a antes de la adición (su ustracción) mental m de una u unidad.. Si los niño os no puede en determin nar máticamente e las relaciones entre e un número dado y el e que le sig gue (el que e le autom prece ede) no pod drán determinar men ntalmente y con efica acia sumass de tipo N + 1(dife erencias N - 1). En esttos casos, la l educació ón de apoyo o deberá ce entrarse en n la técnicca de contar necesaria a, es decir, en e emplear mentalmen nte y con efficacia la se erie numé érica para determinar las relacion nes entre N y el númerro que le sig gue (el que e le prece ede) (Baroo ody, 1984b). La enseñanza de apoyo a deberá instar a los niñoss a emple ear la adic ción (sustrracción) co oncreta que se exam mina en la as siguienttes seccio ones. 2. Estimular el e descubrim miento de una u regla general g para a el número o siguiente. Si un niñ ño puede re esolver auttomáticame ente problemas N + 1,, pero no puede hacer lo mismo con problemas 1 + N,"' se deben d crea ar oportunidades parra que pue eda descu ubrir una re egla genera al para el número n sig guiente. Una estrategia consiste en darle una serie de d problema as de enuncciado verba al de manerra que a un problema N + 1 = ___ le siga su contrapartida 1 + N =__ = (o vicevversa). Por ejemplo, se e puede hacer que el e niño res suelva el problema A que se muestra más m adelante y que, a contin nuación, res suelva el prroblema B. Cuando el niño haya calculado el e problema a B, en alg gunos caso os puede se er adecuad do pregunta arle si ha visto alguna similitud o diferenccia entre los dos probllemas. A. Sol tiene tres t galleta as. Su madrre le da otra a más. ¿Cu uántas galle etas tiene en e total? ene una ga alleta. Su madre m le da tres más. ¿Cuántas ¿ g galletas tien ne B. Tammy tie en total? Pa ara practica ar aún máss, se puede en introduccir juegos en e los que se emplee en dadoss especiales: un «dado o de unos» (con un pu unto en cada a una de las seis carass) y un dado d con só ólo dos, tre es y cuatro puntos en cada c cara. El proceso aleatorio de d tirar lo os dados ha ará que los niños se encuentren con c combin naciones 2 + 1 y 1 + 2, 3 + 1 y 1 + 3 y 4 + 1 y 1 + 4, dándole es muchas oportunida ades rara ver v que cad da ema 1 + N tienen t el mismo m resulttado que el problema N + 1 corre espondiente e. proble 88 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Adic ción 1. Hacer que se adquierra soltura con c los proccedimientoss informaless de adición n. Aunque muchos s niños aprrenden un procedimie p nto concreto para callcular suma as a (por ejem mplo, Barood dy, en pren nsa; Carpen nter y Mose er, antess de llegar a la escuela 1984;; Lindvall e Ibarra, 1979), no puede da arse por sentado que todos lo os nto CC, so preesscolares ha ayan desarrrollado un procedimie p obre todo si s se trata de d niños desfavore ecidos (Ginssburg y Ru ussell, 1981) o deficie entes. Aunq que alguno os ostracioness para apre ender un prrocedimientto niños sólo requiieren una o dos demo CC, otros o tienen n dificultade es para dom minar estoss procedimientos aun después de d nume erosas demostracioness (Baroody,, en prensa a). La dificulltad en el do ominio de un u proce edimiento CC C parece estar e asocia ada a la de ebilidad de técnicas prrearitmética as como o la comparración de números seg guidos. Ade emás, las deficiencias d s en técnica as básicas de conta ar impedirán que los niños inventten procedimientos de e cálculo má ás eficacces. La inc capacidad de d comparrar automátticamente dos d númerros seguido os desem mbocará en n la dificulta ad de adopttar procedim mientos que no den im mportancia al orden n de los sum mandos (CT TM y CPM). Si los niño os no conoccen de man nera automá ática la as relaciones existenttes entre un u número y el que le e sigue, les será difíccil apren nder proced dimientos ba asados en contar a pa artir de uno de los sum mandos (CP PP y CPM M). En esto os casos, ha ace falta tener soltura con las téccnicas nece esarias. 2. Emplear un u modelo o aumenta ativo para introducirr la adición n de mane era signifficativa. La a enseñanz za de la ad dición se suele s presentar a los s niños com mo la unión de dos conjunto os. Se les enseña un u procedimiento CC C que refle eja más directamente la adic ción como o la unión de dos co onjuntos y no como un eso aumen ntativo. Para algunos s niños, so obre todo lo os de bajo rendimien nto, proce puede ser más s útil prese entar la ad dición con un modelo aumenta ativo, que es ológicamen nte más básico. Es decir, la enseñanza e a puede empezar e c con psico problemas en los que se s añaden n uno o do os elemen ntos a un conjunto ya existe ente. 3. Empezar con proble emas de números pe equeños; in ntroducir prroblemas con c núme eros mayore es poco a poco y con n cuidado. La enseña anza inicial de la adicción deberría basarse e en suma andos pequ ueños (del 1 al 5) que q se pue edan mane ejar fácilm mente con métodos m con ncretos. Essto permite a los niños dominar procedimientos CC e inventar atajos a para estos proccedimientoss y constru uir una basse sólida pa ara ores. Es mejor introdu ucir problem mas con nú úmeros ma ayores cuan ndo avancces posterio los niños ya pu ueden usa ar con solttura proced dimientos concretos c con números eños. Esto o puede offrecer un aliciente a pa ara desarrollar proce edimientos de peque cálcullo mental aún a más poderosos. p Sin emba argo, algun nos niños pueden p verse abrum mados ante problemass más difícile es. Por tantto, la introducción de problemas p c con 89 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO núme eros mayore es debe con ntrolarse co on atención n. 4. Prever P la necesidad de d un períod do largo pa ara el cálcullo y el desccubrimiento. Si a los niños se les da la opo ortunidad de e emplear objetos o para a calcular sumas, s sue elen inventtar procedimientos me entales a su s propio rittmo. Por ejjemplo, Gro oen y Resn nick (1977 7) enseñaro on a unos preescolare p es un proce edimiento concreto c pa ara la adición. Despu ués de un prolongado p período de e práctica y sin que se e les enseñara a conta ar a partir de uno de e los suman ndos, cerca a de la mita ad de los niños n empe ezó a usar un proce edimiento CPM. C Muchos niños co on problem mas de apre endizaje y algunos a niñ ños deficie entes aban ndonan loss procedim mientos con ncretos porr su cuentta e inventan proce edimientos mentales m de tipo CPM M. Sin n embargo, algunos niños, sobre todo los qu ue tienen problemas, pueden p seg guir basán ndose en prrocedimientos concrettos durante mucho tiem mpo. Es importante da ar a estos niños la oportunidad d de construir procedimientos más avanzzados por su cuenta porque lo os procedim mientos de invención propia tien nen más sig gnificado pa ara nto ellos. En alguno os casos, puede ser útil demostrar para loss niños un procedimie p CPM. Es probab ble que este e tipo de dem mostración sea más eficaz e despu ués de que los niños hayan ten nido una am mplia experriencia de cálculo c con n objetos. La L enseñan nza verba al directa es s el método o menos ad decuado po orque es diffícil describ bir un proce eso menta al como el CPM C y las explicacion nes sólo pu ueden servir para conffundir a los niños (R Resnick y N eches, 19 984). En cu ualquier casso, no acon nsejo enseñ ñar a conta ar a partir de uno de los sumand dos antes de d mediado os del prime er curso. ara facilitar el e aprendiza aje de proccedimientoss mentales, el maestro debería cre ear Pa muchas oportunidades para a que los niiños realiza aran descub brimientos por p su cuen nta. Una manera m interesante de d alcanzarr este objetivo es jug gar a juego os con dados. Cuand do los niños se van n familiariza ando con las pautass de los dados, d sue elen encon ntrar sus prropios méto odos abrevviados para determina ar la suma de d una tirada. • Por ejjemplo, un niño puede e sacar un cuatro (: :) y un dos ( • ). Si el niño n recono oce autom máticamente e la primera a pauta ((Vaya, un cua atro») no ne ecesita emp pezar desde 1 y conttar todos los puntos, y puede limitarse a con ntar a partir de 4: «4, 5 [señalando o el prime er punto del segundo dado], d 6 [se eñalando el otro punto]] -6». 5. La L enseñan nza de apoyyo puede te ener que de edicarse exp plícitamente e a impartirr un proce edimiento para p llevar la cuenta. En ocasion nes, los niñ ños -sobre todo los que q tienen n problemas y los niño os de educa ación especcial- se enccallan en el nivel concrreto y parrecen incap paces de adquirir proccedimientos mentaless (especialm mente de tipo t CPM)) (Baroody, Berent y Packman, 1982; Ble ey y Thornton, 1981; Cruicksha ank, 1948)). En casos extremos, puede ser necesario intervenir i directamente e para que los niños aprendan n procedim mientos me entales. Má ás concrettamente, algunos a niñ ños puede en necesita ar ayuda pa ara aprender un proce edimiento de d llevar la a cuenta. Para enseñ ñar uno de estos proce edimientos, es mejor empezar e co on problema as N + 2 ó 2 + 90 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO N y N + 3 ó 3 + N. Intro oducir la ide ea de lleva ar la cuentta enseñan ndo al niño o el proce edimiento detallado en n el caso de e Mike y que e se resum me a continu uación: A. Hacer que e el niño se centre en n el suman ndo menor y haga un conjunto con c dedos o bloques b (po or ejemplo, para 4 + 2, levantar do os dedos). er que el niño cuente hasta h el vallor cardinal del suman ndo B. A continuación, hace mayor («1 1, 2, 3, 4»). nte C. Continuarr entonces contando el e conjunto más peque eño hecho anteriorme a («5 es uno más; 6 so on dos máss - seis»). 6. Estimular el e aprendiza aje y el emp pleo de méttodos eficacces para lle evar la cuen nta. nto automá ático de pautas puede e facilitar llevar la cu uenta. Deberá El recconocimien estimularse a lo os niños a que emple een y compartan suss métodos para llevarr la ños que no o hayan dom minado téccnicas de re econocimiento de pau utas cuentta. A los niñ como o las pautas digitales hasta 10, se les deb berá estimular para que q lleguen n a domin narlas. La eficacia del d cálculo mental de e los niñoss suele ba ajar cuando o el segun ndo suma ando de los problemass es mayor que cinco. Como es difícil d llevar la cuenta con c precissión, los niñ ños suelen calcular mal m estos problemas. Si S recurren n a empleo de pauta as digitales, el cálculo puede p ser más m exacto pero es mu uy lento. Lo os niños deb ben dejar el lápiz, co ontar, volverr a tomar ell lápiz y ano otar la suma. Fuson (1 1985) propo one el em mpleo de las pautas digitales d Ch hisenbop pa ara que se puedan re epresentar los núme eros del 1 all 9 con la mano que no o se emplea a para escribir, dejando o la otra ma ano libre para p anotarr (véase la fig. 8.4). Esste método permite a los niños lle evar la cuenta de su umandos mayores de una u manera a natural, emparejand e do nombress sucesivos de núme eros con pautas digitales. Alg gunos niños s lentos tien nden a olvid dar el valorr del segund do sumand do y, por tan nto, pierde en la cuenta y no sabe en cuándo deben para ar de contar. En estos casos, Fusson (comu unicación personal, p 2 de julio de 1986) ha visto que 28 q es útil introducir un proce edimiento in ntermedio antes de pra acticar el pro ocedimiento descrito anteriormen a nte. Este procedimie ento interm medio implicca crear un n medio au uxiliar para a la memoria: s su umando con una pauta digital en e la mano o que escribe. repressentar el segundo Enton nces, el niño o emplea la a mano que no escribe e para añadir el segund do sumando o al prime ero como se s describiió antes. Cuando C lass pautas digitales d de e cada ma ano coinciden, el niño para de contar. c 91 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO oyo de proccedimientoss CPM deb berá centrarrse, en prim mer 7. La enseñanza de apo nicas básiccas necesarrias. Alguno os niños pe ersisten en contarlo todo, lugar,, en las técn tanto si lo hacen n mentalme ente como si lo hacen concretamente. El procedimie p nto CPM es una ampliación de la regla a para calcular problemas N + 1. Se de ebe comp probar que los l niños puedan realizar automá áticamente e cálculos N + 1 antes de prose eguir con inttentos de cultivar c el prrocedimientto CPM parra problema as N + M, con c M ma ayor de 1.. A diferen ncia de los s problemas N + 1, los proble emas N + M requieren lleva ar la cue enta. Si lo os niños lo cuenta an todo mentalmen m nte pleando los s procedim mientos CT TP o CTM), ya posee en este req quisito prev vio. (emp Si los s niños siiguen usando proce edimientos s concreto os, necesittan aprend der cómo o llevar la cuenta. c 8. La L enseñan nza de apoyyo de proce edimientos CPM deberá centrarse en ayuda ar al niño a darse cue enta del esffuerzo supe erfluo. Es prrobable que e la mayoríía de los niñ ños 92 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO no cu uenten espo ontáneamente a partirr de uno de e los suma andos, porq que no se dan d cuenta de que contar dessde uno hasta h el prrimer suma ando produ uce el mismo resultado que simplemente e enunciar la designacción cardina al del mism mo (Baroody y Ginsb burg, en pre ensa). En la a figura 8.5 se s muestra a un método o de enseña anza diseña ado por Secada, Fus son y Hall (1983) que suele tenerr éxito en ayudar a rápid damente a los niños a ver que e contar el primer sum mando dessde uno ess lo mismo que decir su designación card dinal. Su ustracción 1. Asegurar el e dominio de las técn nicas nece esarias para a retroconta ar. Si un niño tiene dificultades s para calccular difere encias con un sustrae endo de do os o más, es posible que teng ga problema as para dom minar la técnica de retrrocontar. En n estos cassos, .es im mportante comprobar c l técnicass necesaria las as para haccerlo. En primer lugarr, si los niñ ños carecen n de soltura a para calcu ular mentalm mente diferrencias de N - 1 (el prim mer paso en un proce edimiento de d retrocontar para pro oblemas N - M, siendo o M distinto de o serán capa aces de resstar mentalm mente cuan ndo el minuendo sea dos d o más. Por P 1), no tanto, antes de nada n 93 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO es ne ecesario que e los niños puedan ca alcular difere encias N - 1 con eficacia . En segundo lugar, si lo os niños no o saben có ómo contar hacia atrá ás, no pued den amplia ar su proce edimiento mental m para a restas N - 1 Y desarrrollar un mé étodo genu uino para retrocontarr. Además, retrocontar no sólo implica con ntar hacia atrás: a tamb bién hay que hacerlo con soltura a. De no serr así, la tare ea de ejecutar simultán neamente dos d proce esos en dire ecciones opuestas pu uede ser ab brumadora (Baroody, 1983a). Si la retroccuenta no es e un proce eso mínima amente auto omático, la atención se s divide en ntre ella y el proceso simultáneo o de llevar la a cuenta de el sustraend do. Esta ate ención divid dida puede e desemboc car en un error ~ en el proceso de e retroconta ar, en el pro oceso de llevar la cue enta o en ambos. a Asíí, cuando contar c hacia atrás con nstituye un esfuerzo, los niños suelen salttarse algún término (po or ejemplo, 19 - 5: «19 9, 18 [- 1], 17 7 [- 2], 16 [-- 3], 14 [- 4], 13 [- 5]] - 13»). Un niño de segundo curso que te enía dificultades con las máticas em mpezó a reso olver 19 - 5 contando hacia h atrás,, pero tuvo que q hacer una u matem pausa a para pen nsar qué venía v antes de 16. Corno resu ultado, se perdió en la retroccuenta: <<19, 18 [una menos], 17 7 [dos meno os], 16 [tress menos], esto... e , esto o ... , 15 [e esto ... tres s menos], 14 1 [cuatro menos], m 13 [cinco men nos] - 13». Corno con ntar hacia atrás le co ostaba basttante, Adam m, un niño de quinto curso c con dificultades d de apren ndizaje, se perdió p en la as dos cuen ntas cuando o intentaba calcular 19 9 - 5: <<19, 18, 17, 16 6, esto..., esto..., 17, 18, 19,20, 21». 2 Si un niño es s incapaz de d contar regresivam r on soltura, la ente o de hacerlo co enseñ ñanza de apoyo a debe e centrarse en esta té écnica informal para contar. c Corn no para los l niños de el ciclo inicial contar hacia h atrás desde 20 suele s ser más m difícil qu ue hacerrlo desde 10 0, los que emplean e esste tipo de estrategia e p pueden no experiment e tar dificulltades de aprendizaje a e inmediata as y empez zar a sufrirrlas cuando o sus tarea as de su ustracción incluyen minuendos m entre 10 y 20 (o má ás). En esttos casos, la enseñ ñanza de apoyo deberá d ce entrarse específicam e mente en contar rer gresiv vamente entre 20 y 10. Mie entras retrrocontar no o llegue a ser algo automático a o, se puede e instar a los niños s a practicar su proc cedimiento o informal con una liista numérrica. Algun nos niños s descubre en que el reloj r de la clase es un u instrum mento útil para p calcullar. Media ante el empleo de una lista num mérica, el niño se ve liberado de e la carga que q supon ne generarr la difícil se ecuencia in nversa y puede concentrar su atención a en n el proce eso de lleva ar la cuenta a (véase la a fig. 8.6). Cuando C los s niños está án llegando oa domin nar la técnica de retro ocontar, no o se les de ebe impedir el empleo o de modelos concrretos. Más s bien debería animá árseles a emplear e su estrategia extractiv va. Tamb bién se les s puede instar a que e continúen n ejercitán ndose en el e dominio de comb binaciones N-1. 2. Estimular procesos p e eficaces parra llevar la cuenta. Au unque la in ncapacidad de contar hacia atrá ás con efica acia puede socavar lo os procesoss simultáne eos requerid dos 94 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO para retrocontar, hay otro os factoress que pue eden impe edir o impo osibilitar este e edimiento ta an exigente e en el asp pecto cogno oscitivo. Pa ara retrocon ntar, los niñ ños proce deben n ser consc cientes de la l necesida ad de llevarr la cuenta del número o de unidad des que deben d conttar hacia atrás y plan nificar previiamente alg gún medio para hace erlo (Stefffe et al., 1983). Como algunos niños no pie ensan en lle evar la cuenta, no sab ben cuánd do deben de etenerse y, en consecuencia, o siguen conta ando hasta que agotan n la secue encia invers sa o tiende en a respon nder incorre ectamente (Fuson et al., 1982). En realidad, Carpen nter y Mose er (1982) en ncontraron que sólo la a mitad de la muestra de niños de prime er curso que q estudia aron podía a contar hacia h atráss un núme ero especcificado de unidades y, y como ressultado, no solía emplear un proccedimiento de retroccuenta. La enseñanza de apoyyo puede empezar haciendo h q que los niñ ños cuentten hacia attrás un núm mero especíífico de unid dades. Se puede p empe ezar contan ndo hacia atrás una o dos uniidades e irr aumentan ndo la dificcultad paula atinamente. A contin nuación se debe d señalar explícita amente la ne ecesidad de e llevar la cuenta c cuan ndo se calcula y la manera m de hacerlo. h (Pu uede hacerrse con mod delos concrretos como o se muestra en la fig g. 8.6). Au un después s de apren nder un prrocedimiento para lle evar la cue enta, algun nos niños s se ven obligados a despachar d nte el proce edimiento de d retrocon ntar rápidamen (con frecuencia a, para evittar el estig gma de con ntar). Esta a prisa pue ede dar com mo resulttado perde er la cuenta a de uno de e los proces sos de contar simultá áneos o de los dos. En E estos casos, c debe hacerse comprend der al niño que retroc contar es una u estrattegia inteligente y normal y que la prec cisión es ta an importa ante como o la veloc cidad. Otro error frecue ente consisste en emp pezar el pro oceso de lle evar la cuenta dema asiado prontto con la de esignación cardinal c del minuendo (por ejemp plo, 17 - 3: «17 « 95 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO [- 1],16 [- 2], 15 [[ 3] - 15»). Este error produce un na pauta qu ue se deteccta fácilmen nte: t una unidad u más que la resp puesta corre ecta. En esstos la respuesta del niño suele tener casoss, se puede e demostrarr al niño la estrategia e d retrocontar, recalcá de ándole que «el proce eso de conta ar» no emp pieza desde e el número o mayor (minuendo). 3. Estimularr el desa arrollo de contar y de esco oger con flexibilidad el proce edimiento de d cálculo más eficazz. Si los niños se ba asan exclusivamente en retroccontar, pued den ser pre ecisos con problemass pequeñoss pero no con c problem mas grand des. A medida que las tareas implican números mayore es, la cuenta a regresiva a se hace más larga y más procclive al erro or. Por tanto o, podría se er útil estim mular al niño a nder un procedimiento o de cuenta a progresiva a y emplearlo cuando sea más fá ácil apren de ussar que el procedimien p nto regresivvo. En el ejemplo e 8.1 se describ be un méto odo para introducir un u procedim miento para a contar pro ogresivame ente. A los niños que ya han descubierto d algún proccedimiento de este tip po se les puede p estim mular a que e lo discuttan y examinen las situ uaciones do onde lo enccuentran más útil. Los niños pued den benefficiarse de una enseñ ñanza explícita de la relación existente e en ntre la cuenta progre esiva y la regresiva. r S embargo Sin o, se debe tener en cuenta que algunos niñ ños puede en no capta ar este proccedimiento porque no o coincide con c su noción informa de «quita ar». En esto os casos, es mejor no insistir. Haccerlo sólo confundiría c al niño y ésste, a su debido d tiem mpo, ya descubrirá la estrategia e p su cuentta. por Ejem mplo: 8.1 En nseñar a contar c prog gresivamente: activid dad con un na balanza a 96 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Nivvel II: Usar una lista numérica como c soporte semiconcreto. Casi siempre es mejorr hacerlo cuando el niño ya ha domin nado el prrocedimiento de con ntar progre esivamente e mediante objetos co oncretos. Inicialmente e, el niño puede p colocar otro peso p en va arios puntoss a lo largo o del lado más liviano. Llegado o el momen nto, deberrá instarse al niño a co ontar simple emente de 3 a 9 en la lista numé érica. Nivel III: Usar nú úmeros con pesos distiintos para estimular e el procedimie ento de con ntar progre esivamente e. Cuando el niño ha colocado la l respuestta, hacer que cuelgue e el núme ero correspo ondiente a la respuestta en el lado o más livian no. Activid dad optativ va para proffundizar má ás: nótese que, para los tres nive eles, los niñ ños puede en practicar la realización de esttimaciones o cálculoss aproximad dos que lue ego puede en comprobar mediante el cálcculo. Pueden determ minar la pre ecisión de su previssión calcula ando la dife erencia enttre ella y la a respuesta a calculada. Si anotan n la precissión de sus s previsione es para un problema, p p pueden obsservar los cambios c de e su precissión con el tiempo. 97 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO Multip plicación 1. Exxponer exp plícitamente e la conexxión existen nte entre la l multiplicación y la adició ón repetida a. Las dificcultades co on la multiplicación básica b sue elen darse porqu ue los niños no ven n la conexión entre e esta nue eva operacción y su conoccimiento ex xistente. A veces, v la en nseñanza de d apoyo co onsiste, sim mplemente, en ayyudar al niñ ño a estable ecer esta conexión. c C Considérese e el caso de d Ken, un niño de d tercer curso asigna ado a la cla ase especia al de matemáticas po orque tenía dificultades de aprendizaje a e (Baroody, 1986). La maestra qu ue tenía Ke en en esta clase me pidió que q lo exam minara exp plicándome que no ten nía el conccepto de la multip plicación. Cuando C le presenté p va arios proble emas senciillos de multiplicación como o 6 X 2 = _ y 3 X 3 = _, Ken K no pare ecía tener ninguna n ide ea de lo que e tenía que hacerr. Según de ecía estaba a convencid do de que la multiplicación era demasiado d difícil para él. Entonces E le e demostré é un proced dimiento pa ara contar: 4 X 3 es conta ar cuatro de edos (sin vo olver a empezar) tres veces v (1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11 12 2). Ken exc clamó: «j Vaya, V así que la multiiplicación no n es más que eso!» Cuando la multip plicación se e presentó de una ma anera inform mal, tuvo se entido para Ken, que en seg guida apren ndió a calcu ular producttos. De heccho, pronto empezó a encon ntrar manerras de abre eviar el proccedimiento que se le había h enseñado. Más adela ante, por eje emplo, resp pondió inme ediatamente e a 7 X 2. Cuando C se le e preguntó cómo o lo había ca alculado, exxplicó que había h empleado la com mbinación conocida c 7 + 7 = 14. A veces, v las dificultades d con la multtiplicación tienen raíce es más profu undas y es necessario emple ear un enfoq que más co oncreto (Barroody, 1986 6). Adam, un u niño con verda aderas dificu ultades de aprendizaje e, planteab ba un reto mucho m más grave que Ken. A Adam se e le enseñó ó el mismo o procedimiento menta al informal que había o éxito con Ken. Sin embargo o, este pro ocedimiento o no hizo más que tenido confu undirlo. Ante e esto se in ntentó otra estrategia concreta que q represe entaba con mayo or claridad la adición repetida de d las unid dades. El problema p 4 x 3, por ejemp plo, se res solvió coloccando tres grupos de e cuatro blo oques y co ontándolos todoss. 2. Estimularr explícita amente co ontar a intervalos, i sobre to odo para binaciones grandes g y difíciles d de calcular. c No ormalmente e, los niños multiplican m comb núme eros peque eños (hasta a 5 X 5) con poca a dificultad, pero sue elen tener dificultades con problemass en los que q intervie enen los números 6 a 9. Para proble emas con números n pe equeños, pu ueden hace er una pauta a digital con n los dedos de un na mano pa ara represe entar el mu ultiplicando y emplear los dedos de la otra para llevar l la cue enta del núm mero de veces que se ha contado o el multipliccando (por ejemp plo, para 4 x 3, levanta ar cuatro de edos de la mano m izquie erda y llevar la cuenta 98 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO de lass tres veces s con los dedos de la mano dere echa). Para problemass mayores, como o 6 X 5 ó 5 X 6, no hay dedos suficcientes para este proccedimiento de d cálculo. Pa ara solventar esta difficultad, Wynroth W (19 969-1980) propone un u método verticcal para llev var la cuentta. Para 7 x 6, si un niño n elige co ontar grupo os de siete saca siete dedos s y los cuenta. Cuand do acaba, anota a un 7 en e una hoja a de papel pauta ado. Se vue elven a contar los siete e dedos (a partir de «ocho») y se e anota 14 en el papel pau utado. El proceso p co ontinúa hassta que el niño ha hecho h seis aciones, com mo se mue estra a continuación: anota ara algunos niños pued de ser útil etiquetar e el multiplican ndo y el mu ultiplicador. Pa Wynroth (1969-1 1980) propone que, para p empezzar, el niño o debe anottar r rodear con un u círculo el e multiplica ando (el nú úmero a contar). En e ejemplo anterior, a se hubie era colocado o un 7 rode eado por un n círculo en n la parte su uperior de la columna antess de que el e niño emp pezara a contar. c Ade emás, pued de ser útil tener una prime era columna a que especifique el multiplicado m or. En el eje emplo anterrior, podría haberrse colocad do una colum mna con loss números del 1 al 6 a la izquierda a de la otra colum mna. El emp pleo de una a sola colum mna en el prrocedimiento descrito e ilustrado en el párrafo anterior pued de producir menos con nfusión en algunos niños, sobre todo si s necesitan n educación n especial. Este método vertical para llevar l la cue enta tiene varias v virtudes. Si los niños pierd den enta al calc cular, simple emente pue eden contarr hacia arrib ba el númerro de entrad das la cue que hayan h hech ho (y seguir contando o a partir de e aquí). Ad demás, los niños pued den volve er a utilizar las anotacio ones. Para problemas con un multiplicando menor m como 7 X 4 = _, un niño sólo tiene que ir conttando hacia a atrás en la columna a de los sie etes hasta a la cuarta entrada y encontrar que q la resp puesta ya está e anotad da allí. Nóte ese que este e método o vertical pa ara llevar la a cuenta ess coherente e con la tend dencia natu ural de loss niños a co ontar a inte ervalos. Parra problema as con un multiplicado m or mayor como 7 X 7 = _, los niñ ños pueden n ir hacia ab bajo en la co olumna de los sietes hasta h la última entra ada (la sextta) y contarr siete máss a partir de e ahí (y ha acer una nu ueva entrad da). Eventualmente, los niñoss pueden tener un registro completo c d todas las de comb binaciones básicas de la multipliccación. 99 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO F) RESUMEN R An ntes de do ominar las combinaciiones numéricas bássicas, los niños n pued den apoya arse en prrocedimientos de cá álculo basa ados en co ontar que, al princip pio, requie eren objeto os concreto os como lo os dedos o bloques. Normalmen nte, los niñ ños tiende en de mane era natural a emplear procedimie p ntos de con ntar orales o mentaless en el cálculo. Tamb bién aprend den en seg guida a em mplear su conocimien c to de la se erie numé érica para re esponder con c eficacia a a problem mas de tipo N + 1 = _ y N - 1 = _. La comprensión info ormal que tienen los niños de la a aritmética a guía su construcción c no entales. Co omo los niñ ños invencción de prrocedimienttos de cálcculo concretos y me contemplan la ad dición como o añadir má ás a algo, lo os problema as conmuta ados como 5 + 1 y 1 + 5 ó 3 + 5 y 5 + 3, se ven como problemas p distintos. Como C resulttado, los niñ ños puede en sentirse obligados a calcular la a suma de 1 + 5 aun cuando c sepa an que 5 + 1 = 6. Loss niños des scubren pro onto que 1 + N y N + 1 producen la misma suma s y que e la eficazz regla del número n sig guiente a ottro dado se e aplica porr igual a 1 + N y a N + 1. Llegado el mom mento, los niños n apren nden que el e orden de e los suman ndos tampo oco altera a el resultad do de los problemas p N + M (porr ejemplo, .3 + 5 = 5+ 3). El cálcculo menta al es cogno oscitivamen nte exigente e porque loss niños deb ben tener presente p ha asta cuánd do deben co ontar cuand do cuentan. Por tanto,, cuanto ma ayores sean los términ nos que in ntervengan en un prob blema más complicado c o será el pro ocedimiento o para lleva ar la cuenta, y para lo os niños es un u verdade ero aliciente e inventar nu uevos procedimientoss de cálcullo que minim micen este trabajo me ental. Así pu ues, tanto lo os factores conceptua ales como los no conceptuales desempeña d an su papel en el desa arrollo de procedimien ntos inform males de cá álculo. Lass dificultade es con el cálculo c info ormal puede en producirse porqu ue las técnic cas para co ontar o para a llevar la cuenta c que intervienen n en el mismo no son adecuada as ni eficacces. 100 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza
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