SIMPLIFICACION DE DIAGRAMAS DE BLOQUES Un diagrama a bloques es una representación matemática gráfica del modelo matemático de un sistema. Estos diagramas nos permiten entender el comportamiento y conexión del sistema y a su vez, esta descripción puede ser programada en simuladores que tienen un ambiente gráfico como lo es el Simulink de Matlab. Cualquier sistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama de bloques formado por puntos suma, bloques y puntos de ramificación. Cuando un diagrama de bloques es muy complicado porque contiene muchos lazos de realimentación, este se puede simplificar mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques (que se explica en este documento) o utilizando el método gráficos de flujo de señal. REGLAS DEL ALGEBRA DE BLOQUES Cualquier diagrama de bloques puede ser manipulado algebraicamente siguiendo unas reglas básicas para simplificar el diagrama hasta una sola función de transferencia. Estas reglas permiten mover los puntos de bifurcación y los puntos suma, intercambiar los puntos suma y después reducir las mallas internas de realimentación sin alterar las señales involucradas en el movimiento, compensando con las funciones que sean necesarias. Las reglas del álgebra de bloques se obtienen escribiendo la misma ecuación en formas distintas. Por ejemplo, en la siguiente figura se muestran dos bloques en serie y su equivalencia. Note que cada bloque de la serie representa una ecuación diferente con salidas Y(s) y Y1(s). Ahora, si reemplazamos Y1(s) (segunda ecuación) en la primera ecuación, se obtiene la tercera ecuación que a su vez representa un diagrama con un solo bloque. De manera similar se pueden demostrar las siguientes equivalencias: Algunas de las reglas del álgebra de bloques se resumen en la siguiente tabla. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Ejemplo: Simplificar el siguiente diagrama de bloques Solución: El diagrama representa un sistema de control retroalimentado multilazo. Utilizando la tabla de reglas del álgebra de bloques se ve que la regla 8 elimina lazos de retroalimentación; por lo tanto el procedimiento consistirá en realizar transformaciones de modo que conduzcan a lazos de retroalimentación fáciles de eliminar (generalmente son los mas internos). Primero, si se usan las reglas 4 y 1 para mover el punto de suma del lazo de realimentación negativa que contiene H2 hacia fuera del lazo de realimentación positiva que contiene H1, obtenemos el siguiente diagrama: Si se elimina el lazo de realimentación positiva, utilizando las reglas 1 y 8 obtenemos la siguiente figura: La eliminación del lazo que contiene H2 / G1, mediante las reglas 1 y 8 produce la figura: Observe que el numerador de la función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) es el producto de las funciones de transferencia de la trayectoria directa. El denominador de C(s)/R(s) es igual a: 1 - Σ(producto de las funciones de transferencia alrededor de cada lazo) = 1 - (G1G2H1 – G2G3H2 – G1G2G3) = 1 - G1G2H1 + G2G3H2 + G1G2G3 (El lazo de realimentación positiva produce un término negativo en el denominador.) Otros ejemplos: Simplificar los siguientes diagramas de bloques Ejemplo 2. (Ejercicio: Determine las reglas utilizadas en cada diagrama) Ejemplo 3. (Ejercicio: Determine las reglas utilizadas en cada diagrama) Ejemplo practico: Para el siguiente sistema hidráulico obtenga la función de transferencia utilizando diagrama a bloques (considere qin entrada y q3 salida). Suponga que: C1 , C2 , C3 , R1 , R2 , R3 =2 Para dibujar un diagrama de bloques del sistema se deben seguir los siguientes pasos: 1. Es necesario conocer las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico del sistema a analizar y la salida y entrada consideradas. 2. Se obtiene la transformada de Laplace de estas ecuaciones. En este caso como el diagrama a bloques son representaciones de funciones de transferencia, las condiciones iniciales se consideran cero. 3. De las ecuaciones transformadas se despeja aquella donde esté involucrada la salida del sistema. 4. De la ecuación obtenida se ubican las variables que están como entrada y que deben de ser salidas de otros bloques. Se despejan esas variables de otras ecuaciones. Recuerde nunca utilizar una ecuación que ya se utilizó previamente. 5. Regresar al paso 4 hasta que la entrada sea considerada y todas las variables del sistema sean consideradas. 6. Después de obtener las ecuaciones se generan los diagramas a bloques de cada una. Debido al procedimiento utilizado los bloques quedan prácticamente para ser conectados a partir del bloque de salida. 7. Se conectan los diagramas de bloques para todo el sistema 8. Se simplifica si es necesario el diagrama de bloques obtenido Ejercicios de álgebra de diagramas de bloques N.S. Nise. “Control Systems Engineering”. 2nd Ed. Benjamin/Cummings, 1995. SOLUCIONES DIAGRAMAS DE BLOQUES Diagramas de bloques de Nise. Se recomienda dejar para el final P5.1 y P5.6, más difíciles. P5.1 T= ((G2 + G3 ) + G5 (G4 + G3 ))G6 ((G2 + G3 ) + G5 (G4 + G3 ))G6G7 + (1 + G1 (G2 + G3 ))(1 + G6 ) P5.2 1 2s 2 + 6s + 1 T ( s) = s + 1 (s + 1) s 3 + 5s 2 + 6s + 1 + 2s 2 + 6s + 1 ( ) P5.3 s3 + 1 T (s) = 2s 3 + s + 2 s ( ) P5.4 T ( s) = 50(s − 2 ) s 2 (s + 1) + 100s + 50(s − 2 ) T ( s) = 4 4s + 2s 2 + s + 1 P5.5 4 P5.6 T= LPH G1G7 (G3 + G4 ) (1 + G1G2 )(1 + G6G7 ) + (G3 + G4 )(G1G5 − G7G8 ) ICAI - Comillas 2004 - 11
