ECUACIONES DIFERENCIALES Capítulo III ECUACIONES DE PRIMER ORDEN GRADO SUPERIOR Introducción: Se denomina así aquellas ecuaciones que presentan solamente derivadas de primer orden las mismas que están elevadas a un exponente y también entran dentro de esta clasificación las ecuaciones en las cuales no se puede determinar el grado debido a la presencia de funciones trascendentes donde el argumento es la derivada. La ecuación general de primer orden de grado n se puede escribir en la forma: 𝑷𝒐 (𝒙, 𝒚)(𝒚′ )𝒏 + 𝑷𝟏 (𝒙, 𝒚)(𝒚′ )𝒏−𝟏 + 𝑷𝟐 (𝒙, 𝒚)(𝒚′ )𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝑷𝒏−𝟏 (𝒙, 𝒚)𝒚′ + 𝑷𝒏 = 𝟎 Si se efectúa un renombre a la derivada 𝒑 = 𝒚′ se tendrá una ecuación del tipo algebraico de variable p grado n de la forma: 𝑷𝒐 (𝒙, 𝒚)𝒑𝒏 + 𝑷𝟏 (𝒙, 𝒚)𝒑𝒏−𝟏 + 𝑷𝟐 (𝒙, 𝒚)𝒑𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝑷𝒏−𝟏 (𝒙, 𝒚)𝒑 + 𝑷𝒏 = 𝟎 Para resolver este tipo de ecuaciones se disponen de varios métodos entre estos tenemos los siguientes: Solución Respecto de p Solución Respecto de y Solución Respecto de x Solución por Claireaut Solución por Lagrange Solución Respecto de p: Este método se puede aplicar cuando la ecuación en términos de p se puede factorizar para esta variable y además en lo posible los factores son lineales, de no ser así el factor no lineal se puede resolver por otro método de los ya listados. Si todos los factores son lineales para p se tiene el siguiente proceso: 𝑷𝒐 (𝒙, 𝒚)𝒑𝒏 + 𝑷𝟏 (𝒙, 𝒚)𝒑𝒏−𝟏 + 𝑷𝟐 (𝒙, 𝒚)𝒑𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝑷𝒏−𝟏 (𝒙, 𝒚)𝒑 + 𝑷𝒏 = 𝟎 (𝒑 − 𝒇𝟏 )(𝒑 − 𝒇𝟐 )(𝒑 − 𝒇𝟑 ) ∙ … ∙ (𝒑 − 𝒇𝒏−𝟏 )(𝒑 − 𝒇𝒏 ) = 𝟎 Donde 𝒇𝒊 son funciones de x e y, entonces igualando cada factor a cero y resolviendo las n ecuaciones de primer grado primer orden se tendrá la solución (n soluciones) que se podrá escribir en forma individual o combinada en producto. Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza Página 1 ECUACIONES DIFERENCIALES 𝒑 − 𝒇𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒑 = 𝒇𝟏 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝟏 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝟏 𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 = 𝑭𝟏 + 𝑪 𝒅𝒙 𝒑 − 𝒇𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝒑 = 𝒇𝟐 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝟐 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝟐 𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 = 𝑭𝟐 + 𝑪 𝒅𝒙 𝒑 − 𝒇𝟑 = 𝟎 ⇒ 𝒑 = 𝒇𝟑 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝟑 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝟑 𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 = 𝑭𝟑 + 𝑪 𝒅𝒙 . ⋮ . 𝒑 − 𝒇𝒏 = 𝟎 ⇒ 𝒑 = 𝒇𝒏 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝒏 ⇒ 𝒅𝒚 = 𝒇𝒏 𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 = 𝑭𝒏 + 𝑪 𝒅𝒙 (𝒚 − 𝑭𝟏 − 𝑪)(𝒚 − 𝑭𝟐 − 𝑪)(𝒚 − 𝑭𝟑 − 𝑪) ∙ … ∙ (𝒚 − 𝑭𝒏 − 𝑪) = 𝟎 Ejem. 1 Resolver respecto de p las siguientes ecuaciones: Solución Respecto de y: Este método se puede aplicar cuando de la ecuación en términos de p se puede despejar la variable dependiente “y” una vez hecho esto, se deriva respecto de la 𝒅𝒚 𝒅𝒙 otra variable (x), se renombra nuevamente a la derivada ( = 𝒑) y la ecuación resultante será de primer grado primero orden para las variables p y x, resuelta la misma se debe retornar a las variables originales despejando p, para luego resolver la ecuación diferencial formada para las variables originales. En caso de no poder despejar p se presentará la solución en forma paramétrica siendo p el parámetro. 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒑) ⇒ 𝒅𝒚 𝝏𝒇 𝒅𝒙 𝝏𝒇 𝝏𝒑 = ∙ + ∙ 𝒅𝒙 𝝏𝒙 𝒅𝒙 𝝏𝒑 𝝏𝒙 ⇒ 𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝒅𝒑 + ∙ 𝝏𝒙 𝝏𝒑 𝒅𝒙 𝒑= Ejem. 2 Resolver las siguientes ecuaciones respecto de y Solución Respecto de x: Este método se puede aplicar cuando de la ecuación en términos de p se puede despejar la variable independiente “x” una vez hecho esto se deriva respecto de la 𝒅𝒚 𝒅𝒙 otra variable (y), se renombra nuevamente a la derivada ( =𝒑 ⇒ 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝟏 𝒑 = ) y la ecuación resultante será de primer grado primero orden para las variables p e y, resuelta la misma se debe retornar a las variables originales despejando p y Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza Página 2 ECUACIONES DIFERENCIALES resolviendo la ecuación diferencial formada para las variables originales. En caso de no poder despejar p se presentará la solución en forma paramétrica siendo p el parámetro. 𝒙 = 𝒇(𝒚, 𝒑) ⇒ 𝒅𝒙 𝝏𝒇 𝒅𝒚 𝝏𝒇 𝝏𝒑 = ∙ + ∙ 𝒅𝒚 𝝏𝒚 𝒅𝒚 𝝏𝒑 𝝏𝒚 ⇒ 𝟏 𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝒅𝒑 = + ∙ 𝒑 𝝏𝒚 𝝏𝒑 𝒅𝒚 Ejem. 3 Resolver las siguientes ecuaciones respecto de x Solución por Claireaut: Este método se aplica cuando de la ecuación en términos de p se puede despejar la variable “y” y esta nueva ecuación queda en la forma general de Claireaut, si esto es así se reemplaza p por C (C = constante) y está será la solución general de la ecuación de primer orden grado superior original pero además de esto generalmente estas ecuaciones presentan también una solución denominada Solución singular la misma debe de ser encontrada mediante el proceso indicado. La forma general de Claireaut es la siguiente: 𝒚 = 𝒑𝒙 + 𝒇(𝒑) Su primitiva (Solución) está dada por: 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝒇(𝑪) Soluciones Singulares: Se denominan así aquellas soluciones que no son parte de la solución general como es el caso de la solución particular, estas normalmente aparecen en la ecuación de Claireaut, para determinar las mismas se procede como en la solución respecto de y la diferencia está en que en el proceso se considera que p’ debe ser siempre distinto de cero por lo que deberá ser cero el factor que se tenga para cumplir con la igualdad. Resumiendo, una solución singular de una ecuación diferencial satisface la ecuación, pero no es una solución particular. Las soluciones singulares de una ecuación diferencial se encuentran expresando las condiciones: 1. Que la ecuación diferencial (ecuación p) tenga raíces múltiples y 2. Que la primitiva (solución general en términos de C) tenga raíces múltiples. En general, una ecuación de primer orden no tiene soluciones singulares; si es de primer grado no puede tener soluciones singulares. Aún más, una ecuación 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒑) = 𝟎 no puede tener soluciones singulares si 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒑) puede resolverse Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza Página 3 ECUACIONES DIFERENCIALES según factores que sean lineales en p y racionales en x e y, es decir que si son resolubles respecto de p, x ó y; no presentan solución singular. Nota: Cuando alguna solución singular no satisface la ecuación diferencial se la denomina Lugar Geométrico Extraño, entre estos tenemos: Lugar de Choque Lugar de Puntos Dobles Lugar de Puntos de retroceso Ejem.4 Resolver las siguientes ecuaciones de Claireaut y encontrar sus soluciones singulares si es que existiesen las mismas. Solución por Lagrange: La ecuación de Lagrange es la forma mejorada de Claireaut, para resolver la misma una vez que se ha determinado que corresponde a la forma de Lagrange se procede de la misma forma que en la resolución respecto de y con la diferencia de que la ecuación resultante (de primer grado primer orden para las variables x y p) siempre será resoluble por la ecuación general (Bellman) para la variable x. 𝒚 = 𝒙𝝋(𝒑) + 𝜳(𝒑) 𝑑𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝑝 𝜕𝛹 𝜕𝑝 𝜕𝜑 𝑑𝑝 𝜕𝛹 𝑑𝑝 = 𝜑(𝑝) + 𝑥 ∙ + ∙ ⇒ 𝑝 = 𝜑(𝑝) + 𝑥 ∙ + ∙ 𝑑𝑥 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝜕𝑝 𝑑𝑥 𝜕𝑝 𝑑𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝛹 𝜕𝜑 𝜕𝛹 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑝 − 𝜑(𝑝) 𝑑𝑥 (𝑥 𝜕𝑝 + 𝜕𝑝 ) 𝑝 − 𝜑(𝑝) = (𝑥 + ) ⇒ = ⇒ = 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (𝑥 𝜕𝜑 + 𝜕𝛹 ) 𝑑𝑝 𝑝 − 𝜑(𝑝) 𝜕𝑝 𝜕𝑝 1 𝜕𝜑 1 𝜕𝛹 𝑥′ + 𝑥 ( ) = 𝜑(𝑝) − 𝑝 𝜕𝑝 𝑝 − 𝜑(𝑝) 𝜕𝑝 Ejem. 5 Resolver las siguientes ecuaciones por Lagrange Ejercicios: Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza Página 4
