presentacion distribuciones 2020

Distribuciones habituales
Tema 5
1
Descripción breve del tema
1. Distribuciones discretas




Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
2. Distribuciones continuas



Uniforme
Exponencial
Normal


Teorema Central del Límite
Distribuciones derivadas de la normal
2
Objetivos




Adquirir soltura con el manejo de funciones
de distribución, probabilidad y densidad.
Reconocer los modelos básicos de
distribución: Binomial, Geométrica, etc.
Reconocer el papel central que juega la
distribución Normal.
Aplicar con soltura el Teorema Central del
Límite.
3
Descripción breve del tema
1. Distribuciones discretas




Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
2. Distribuciones continuas



Uniforme
Exponencial
Normal


Teorema Central del Límite
Distribuciones derivadas de la normal
4
Distribución de Bernoulli
Una variable aleatoria que describe el número de
éxitos en 1 realización de un experimento, en el
que la probabilidad de éxito es p decimos que
sigue distribución de Bernoulli de parámetro p.
X ~ B(1, p)
X“número de éxitos en 1 realización”
5
Distribución de Bernoulli

Función de probabilidad:
P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1-p

Función de distribución:
si
x0
 0

F ( x)  1 - p si 0  x  1
 1
si
x 1


Parámetros:
E[X] = p ; Var[X] = p(1-p)
6
Distribución de Bernoulli
Bernoulli(0'8)
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
1.0
0.8
Bernoulli(0'8)
0
1
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
7
Descripción breve del tema
1. Distribuciones discretas




Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
2. Distribuciones continuas



Uniforme
Exponencial
Normal


Teorema Central del Límite
Distribuciones derivadas de la normal
8
Distribución Binomial
Una variable aleatoria que describe el número de
éxitos en n realizaciones independientes de un
experimento, en el que la probabilidad de éxito
en cada realización es p decimos que sigue
distribución binomial de parámetros n y p.
X ~ B(n, p)
X“número de éxitos en los n intentos indep.”
9
Distribución Binomial

Función de probabilidad:
 n k
n-k
P( X  k )    p (1 - p) , k {0,1,, n}.
k 
Podemos escribir X=X1+…+Xn donde las Xi son variables
de Bernoulli e independientes.
 Parámetros:
E[X] = np ; Var[X] = np(1-p)
Si X~B(n1, p) e Y~B(n2, p) son independientes, entonces
X+Y~B(n1+n2, p)
10
Distribución Binomial
B(50,0'7)
0.00
0.00
0.05
0.02
0.10
0.04
0.15
0.06
0.20
0.08
0.25
0.10
0.30
0.35
0.12
B(5,0'7)
0
1
2
3
4
5
0
3 6
9
13
17 21 25 29 33
37 41 45 49
11
Descripción breve del tema
1. Distribuciones discretas




Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
2. Distribuciones continuas



Uniforme
Exponencial
Normal


Teorema Central del Límite
Distribuciones derivadas de la normal
12
Distribución Geométrica
Una variable aleatoria que describe el número de
realizaciones independientes de un experimento para el
que la probabilidad de obtener éxito en cada realización
es p hasta obtener el primer éxito, sigue distribución
Geométrica o de Pascal de parámetro p.
X ~ G(p)
X“número de veces que hay que repetir el
experimento hasta conseguir el primer éxito”
13
Distribución Geométrica

Función de probabilidad:
P( X  k )  (1 - p)

k -1
p, k {1,2,3,}.
Parámetros: E[X] = 1/p ; Var[X] = (1-p)/p2
14
Distribución Geométrica
G(0'3)
0.0
0.00
0.05
0.1
0.10
0.2
0.15
0.3
0.20
0.4
0.25
0.5
0.30
G(0'5)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
12
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
12
14
15
Descripción breve del tema
1. Distribuciones discretas




Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
2. Distribuciones continuas



Uniforme
Exponencial
Normal


Teorema Central del Límite
Distribuciones derivadas de la normal
16
Distribución de Poisson
Una variable aleatoria que describe el número de
sucesos ocurridos en una región, de tal modo que
dichos sucesos ocurren independientemente y
con una tasa constante decimos que sigue
distribución de Poisson de parámetro l.
X ~ (l)
X“número de sucesos ocurridos en una región”
17
Distribución de Poisson

Función de probabilidad:
P( X  k )  e

Parámetros:
-l
lk
k!
, k {0,1,2,}.
E[X] = l ; Var[X] = l
Si X~(l1) e Y~(l2) son independientes,
entonces X+Y~(l1+l2)
18
Distribución de Poisson
P(3)
0.00
0.00
0.05
0.05
0.10
0.15
0.10
0.20
0.15
0.25
0.30
0.20
0.35
P(1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
19
Descripción breve del tema
1. Distribuciones discretas




Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
2. Distribuciones continuas



Uniforme
Exponencial
Normal


Teorema Central del Límite
Distribuciones derivadas de la normal
20
Distribución Uniforme (continua)
Una variable aleatoria X con distribución
uniforme entre a y b (a<b) representa un número
elegido al azar entre los valores a y b,
de tal modo que la probabilidad de que dicho
número esté en cualquier subconjunto del
intervalo (a,b) depende exclusivamente del
tamaño de dicho conjunto,
X~U(a,b)
21
Distribución Uniforme (continua)


Función de densidad:
 b-1 a si
f ( x)  
 0 si
x  ( a, b )
Función de distribución:
0
 x-a
F ( x)   b - a
1


x  ( a, b )
Parámetros:
si
xa
si a  x  b
si
xb
E[X] = (a+b)/2 ; Var[X] = (b-a)2/12
22
Distribución Uniforme (continua)
Uniform Distribution
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Lower limit,Upper limit
1,3
0
0,4 0,8 1,2 1,6
2
x
2,4 2,8 3,2 3,6
4
cumulative probability
density
Uniform Distribution
Lower limit,Upper limit
1
1,3
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
x
23
Descripción breve del tema
1. Distribuciones discretas




Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
2. Distribuciones continuas



Uniforme
Exponencial
Normal


Teorema Central del Límite
Distribuciones derivadas de la normal
24
Distribución Exponencial
Si el número de sucesos que ocurren en un
tiempo t sigue distribución de Poisson
proporcional a dicho tiempo (lt), entonces la
variable aleatoria
X“tiempo entre sucesos”
sigue distribución exponencial de parámetro l.
X ~ Exp(l)
25
Distribución Exponencial

Función de densidad:
le - lx si x  0
f ( x)  
 0

x0
si
x0
si
x0
Función de distribución:
1 - e -lx
F ( x)  
 0

si
Parámetros:
E[X] = l-1 ; Var[X] = l-2
26
Distribución Exponencial
Exponential Distribution
0,1
Mean
10
density
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
10
20
30
x
40
50
60
cumulative probability
Exponential Distribution
1
Mean
10
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
x
27
Distribución Exponencial
La distribución exponencial no tiene memoria.
Dados t1,t2>0 y una variable aleatoria T con
distribución exponencial
P(T > t1+t2 | T > t1) = P(T > t2)
28
Descripción breve del tema
1. Distribuciones discretas




Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
2. Distribuciones continuas



Uniforme
Exponencial
Normal


Teorema Central del Límite
Distribuciones derivadas de la normal
29
Distribución Normal
La distribución Normal o de Gauss es el modelo
probabilístico más importante. Se utiliza para
modelar gran número de fenómenos aleatorios,
entre ellos el ruido y los errores en la medida.
Aparece además como distribución límite en el
Teorema Central del Límite. Sus parámetros son
la media m y la desviación típica s ,
X ~ N(m,s)
30
Distribución Normal

Función de densidad normal estándar N(0,1):

 x2 
1
f ( x) 
exp - 
2
 2
Función de densidad N(m,s):
2

1
(x - m) 
f ( x) 
exp 
2
2s 
s 2


Parámetros:
E[X] = m; Var[X] = s2
31
Distribución Normal
Normal Distribution
0,4
Mean,Std. dev.1
0,1
0,8
0,3
density
cumulative probability
Normal Distribution
0,2
0,1
0
-5
-3
-1
1
x
3
5
Mean,Std. dev.
0,1
0,6
0,4
0,2
0
-5
-3
-1
1
3
5
x
32
Distribución Normal
N(0,1) negro, N(2,1) rojo
0.2
0.1
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.3
0.8
0.4
N(0,0'5) rojo, N(0,1) negro, N(0,2) azul
-6
-4
-2
0
r
2
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
r
33
Distribución Normal

1.
2.

Propiedades de la Normal.
Si X ~ N(m,s) , para cualesquiera a y b,
aX+b ~ N(am+b , |a|s)
Si X ~ N(m1,s1) e Y ~ N(m2,s2) indep, para a, b
aX+bY ~ N(am1+bm2, (a2s12+b2s22)1/2)
Tipificación. Dada X~N(m,s), la variable
aleatoria (X-m)/s sigue distribución N(0,1).
A esta transformación se le llama tipificación
34
Tabla de la normal
35
Teorema Central de Límite
Dada X1,X2,…,Xn n variables aleatorias independientes,
con medias y varianzas finitas E[Xi]=mi y Var[Xi]=si2,
su suma sigue aproximadamente distribución normal
X1+X2+…+XnN(Si=1,nmi , (Si=1,nsi2)1/2)
Buena aproximación si n > 30.
Si las variables son discretas, para aproximar su suma
por una continua, realizamos corrección por continuidad.
36
Aproximaciones con la Normal

Aproximación Binomial-Normal. Una binomial
B(n,p) puede construirse como suma de n variables de
Bernoulli independientes. Aplicando el TCL, si n > 30
y np(1-p) > 5, aproximamos una B(n,p) por una

N np, np(1 - p)

0.00 0.04 0.08 0.12
B(50,0'7) y N(35,3'24)
0
3
6
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
37
Aproximaciones con la Normal

Aproximación Poisson-Normal.
Una Poisson (l) con l> 5 puede aproximarse por
una normal
N(l, l1/2)
0.00 0.02 0.04
P(49) y N(49,7)
0
6
13
21
29
37
45
53
61
69
77
85
93
38
Descripción breve del tema
1. Distribuciones discretas




Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
2. Distribuciones continuas



Uniforme
Exponencial
Normal


Teorema Central del Límite
Distribuciones derivadas de la normal
39
Chi cuadrado
Si X1,X2,…,Xn son n variables aleatorias
independientes con distribución N(0,1), entonces
Y=X12+X22+…+ Xn2 es una variable aleatoria con
distribución chi cuadrado con n grados de
libertad,
Y ~ cn2
E[Y] = n ; Var[Y] = 2n
40
Chi cuadrado
Chi-Square Distribution
density
0,1
cumulative probability
Chi-Square Distribution
0,08
Deg. of freedom
1
10
0,8
0,06
0,6
0,04
0,02
0
0
10
20
x
30
40
Deg. of freedom
10
0,4
0,2
0
0
10
20
30
40
x
41
t de Student
Si X es una variable aleatoria normal estándar e
Y es independiente de ella con distribución chi
cuadrado con n grados de libertad, entonces
X/(Y/n)1/2 sigue distribución t con n grados de
libertad
X
Z
Y /n
~ tn
E[Z] = 0 si n 2 ; Var[Z] = n/(n-2) si n 3
42
t de Student
Student's t Distribution
cumulative probability
Student's t Distribution
0,4
Deg. of freedom
1
10
0,8
density
0,3
0,2
0,1
0
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
Deg. of freedom
10
0,6
0,4
0,2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
43
F de Fisher
Si X es una variable aleatoria chi cuadrado con n1
grados de libertad e Y es independiente de ella
con distribución chi cuadrado con n2 grados de
libertad, entonces (X/n1)/(Y/n2) sigue
distribución F con n1 y n2 grados de libertad
X / n1
Z
~ Fn1 ,n2
Y / n2
44
F de Fisher
0,8
Numerator d.f,Denominator d.f.
10,10
0,6
density
cumulative probability
F (variance ratio) Distribution
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
1
Numerator d.f,Denominator d.f.
10,10
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
x
45