14 Trasporto

Proprietà di trasporto della materia: alcuni cenni









Fenomeni di trasporto
Trasporto molecolare
Trasporto convettivo
Diffusione
Legge di Fick
Convezione
Fluidodinamica
Diffusione-reazione-convezione
Cinetica chimica e trasporto
1
Fenomeni di trasporto
– Un fenomeno di trasporto è lo spostamento di una
proprietà fisica da un punto a un altro dello spazio
– Quantità di moto
– Energia (calore)
– Materia
– Tradizionalmente si distingue
– Il trasporto molecolare (senza spostamento a
livello macroscopico)
– Il trasporto convettivo (con spostamento a livello
macroscopico)
2
Descrizione al continuo
– Un sistema può essere analizzato a diverse scale, ciascuna
caratterizzata da una propria dimensione caratteristica.
– Su scala macroscopica
– il volume di controllo comprende tutto il sistema
– la variazione del valore delle sue grandezze è ottenuta
scrivendo equazioni di bilancio che contengono le
quantità entranti e uscenti nell’unità di tempo
– Equazioni algebriche se il sistema è in condizioni
stazionarie,
– Equazioni differenziali ordinarie se il sistema è in
condizioni transitorie.
– La lunghezza caratteristica può variare dai centimetri ai
metri.
3
Descrizione molecolare
– Su scala molecolare si deve tenere conto dei meccanismi che
sovrintendono al trasporto sulla base delle proprietà delle
molecole stesse costituenti il mezzo in esame.
– In questo caso, la dimensione caratteristica s’identifica con
un ragionevole intorno delle dimensioni molecolari ed è quindi
contenuta nell’intervallo compreso tra il nanometro e il
micrometro
4
Flusso
Definiamo come flusso la quantità
di proprietà (momento, energia,
materia) che attraversa una
superficie per unità di area e unità
di tempo
5
Flusso molecolare in 1D
–
Empiricamente, un flusso si definisce come
Flusso   coefficiente di trasporto  gradiente della proprietà
– Calore – Legge di Fourier
q  k
–
dT
dx
Materia – I legge di Fick
J  D
–
dc
dx
Quantità di moto – Tensore di stress
  
du
dx
6
Trasporto di materia
–
–
Il flusso monodirezionale di materia è dovuto all’esistenza di un
gradiente di concentrazione (diffusione)
il coefficiente di proporzionalità è il coefficiente di diffusione o
conduttività di materia D
mol
J   2
ms
m2
 D 
s
7
Diffusione
–
Il coefficiente di diffusione di mette in relazione con la mobilità di una
particella (Einstein 1905, Smoluchowski 1906)
D  k BT 
–
Per una particella carica

–
q
q
D
k BT  q
q
Per una particella sferica in un fluido isotropo a bassi numeri di
Reynolds
k BT
  1/ 6 r  D 
6 r
Relazione di Stokes-Einstein
8
Interpretazione molecolare: moto browniano
9
Relazione fra trasporto e concentrazione
–
La seconda legge di Fick lega la variazione di concentrazione alla
diffusione di materia; in una dimensione
c
J
 D
t
x
–
Dalla prima e dalla seconda legge di Fick otteniamo l’ equazione di
diffusione
c
 2c
D 2
t
x
–
N.B. Campi
J  x, t  , c  x, t 
10
Trasporto convettivo
Trasporto da flusso
convettivo
c  x, t 
 2 c  x, t 
c  x, t 
D
 u  x, t 
2
t
x
x
Trasporto da flusso
diffusivo
–
Il trasporto convettivo è causato dallo spostamento macroscopico
della materia (soluto) «trascinato» dal flusso convettivo del mezzo.
11
Trasporto in 3D
c  r, t 
2
ˆ
ˆ c  r, t 
 D c  r, t   u  r, t  
t
  2 c  2 c  2 c   c
c
c 
 D  2  2  2    ux  u y
 uz 
y
z 
 x y z   x
Diffusione in 3D
Convezione in 3D
12
Equazioni del flusso convettivo
densità
velocità di
flusso
Approfrondimento
ui
D

0
Dt
ri
Conservazione della massa
tensore di stress
 ij
Dui

  gi 
Dt
rj
forza
Df f
f

 ui
Dt t
ri
II legge di Newton
  r,t 
u  r,t 
Derivata materiale: velocità
di variazione di f per un
elemento di fluido in moto
CFD - cenni
13
Fluidi newtoniani
Approfrondimento
pressione

2 ui
 ij    p  
3 ri

D
ˆ u  0
 
Dt
 ui u j 



  ij   

 rj ri 
viscosità
ˆ2

Dui
p
1  ˆ

    gi    ui 
u 
Dt
ri
3 ri



Equazioni di
Navier-Stokes

CFD - cenni
14
Approfrondimento
Fluidi incomprimibili
ˆ u  0

Du
2
ˆ
ˆ

 p   g   u
Dt
u  r, 0  r  uinit  r 
u  r, t  r  u bound  r, t 
CFD - cenni
15
Du
ˆ p  
ˆ 2 u, 
ˆ u  0
 
Dt
Dc ˆ
ˆ  K (1)  c  K (2) : cc
   D 
Dt

feeding on chemical A
A+BC
producing chemical C
feeding on chemical B
16
Implementation & test case
–
Bimolecular reaction A+BC in 3D ‘flat’ random generated geometries
l
DA  DB  DC  5.0 109 m2s-1
A
k  0.1 m6 Kgmol-2s-1
   /   1.0 106 m2s-1
vinlet A  vinlet B  1.0 104 ms-1
L  5 103 m, l  4.0 104 m
?
B
L
17
Flux
U
18
Time evolution - Reagents
A
B
19
Time evolution - Product
C
20
Stationary concentrations
21