Método de Vogel y Asignación: Investigación de Operaciones

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIZIMÍN
NOMBRE DEL TRABAJO:
 INVESTIGACIÓN DEL TEMA 3.3. MÉTODO DE
APROXIMACIÓN DE VOGEL Y 3.4 MÉTODO DE
ASIGNACIÓN
ASIGNATURA:
 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
CARRERA: I. G. E.
GRUPO: 4° “B”
PROFESOR:
 VICTORIA GRANIEL CARLOS ARTURO
INTEGRANTES:




CÁMARA LEÓN ALEXIS BERNARDO
COUOH CIAU LORENA YAMILI
DZIB MORA ÁNGEL RAÚL
DZIB MORA REINA RAQUEL
TIZIMÍN, YUCATÁN A 18 DE FEBRERO DEL 2020
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MÉTODO DE APROXIMACION DE VOGEL
En este documento abarcaremos sobre la historia del método de Vogel, el cual es
un método de aplicación de la investigación de operaciones, que nos permite
analizar los problemas y llegar a un resultado veraz para la obtención de las
máximas ganancias. También es un método de resolución de problemas de
transporte capaz de obtener una solución básica no artificial de inicio, este modelo
requiere de la realización de un número grande de iteraciones que los demás
métodos heurísticos que hay, de ese modo producir mejores resultados iniciales
que los mismos.
Este procedimiento trata de eliminar casi toda la tabla simplex además de los datos
de entrada, para llegar a la verdadera información necesaria que es la solución
básica factible actual, los valores actuales y los valores resultantes de las variables
no básicas. Es posible observar de manera global la gran diferencia en eficiencia y
conveniencia entre los métodos simplex de transporte y simplex si ambos se aplican
al mismo problema pequeño.
Primeramente hablemos de su mayor exponente quien fue William R. Vogel. Vogel
nace el 15 de noviembre de 1941 en Sac City, Lowa, lugar donde se graduó con
honores en 1959, Asistió a la AIB, al igual que sirvió a la Reserva del Ejército durante
seis años, Trabajo en un bando en Storm Lake por un año, Se casó con Karaan el
13 de septiembre de 1964, Trabajo en Northwestern Bell /Qwest por 25 años, trabajo
12 años como financiero principal, posteriormente se retiró a los 62 años. Durante
este tiempo hizo grandes aportaciones en la rama de Optimización. Finalmente
murió el 26 de agosto del 2010, en el Mercy Hospice, Johnston, Iowa tras haber
sufrido de cáncer.
Por todo lo antes mencionado realizado por Vogel. Es una versión mejorada del
Método del Costo Mínimo y el Método de la Esquina Noroeste que en general
produce mejores soluciones básicas factibles de inicio, entendiendo por ello a
soluciones básicas factibles que reportan un menor valor en la función objetivo (de
minimización) de un Problema de Transporte balanceado (suma de la oferta = suma
de la demanda) esto se plantea en 3 pasos los cuales son:
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Paso 1: Determinar para cada fila (columna) una medida de penalización restando
el elemento de costo unitario mínimo en la fila (columna) del elemento con costo
unitario siguiente al mínimo de la misma fila (columna).
Paso 2: Identificar la fila o columna con la mayor penalización. Romper los empates
(de existir) de forma arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que tenga el
mínimo costo unitario de la fila o columna seleccionada. Ajusta la oferta y la
demanda y tachar la fila o la columna ya satisfecha. Si se satisfacen una fila y una
columna en forma simultánea, sólo se tacha uno de los dos y al que queda se le
asigna oferta o demanda cero.
Paso 3: Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o
demanda, detenerse. Si queda sin tachar una fila (columna) con oferta (demanda)
positiva, determinar las variables básicas en la fila (columna) con el Método del
Costo Mínimo. Detenerse. Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen
cero oferta y demanda (restante), determinar las variables básicas cero por el
Método del Costo Mínimo. Detenerse.
Ejemplo de Método de aproximación de Vogel
Una empresa energética se dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer
la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y
Barranquilla. Las plantas 1, 2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de
KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá,
Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día
respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada
millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente
tabla.
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Solución pasó a paso
El primer paso es determinar las medidas de penalización y consignarlas en el
tabulado de costos, tal como se muestra a continuación.
El paso siguiente es escoger la mayor penalización, de esta manera:
En este paso escogemos la mayor penalización “4”, y procedemos a seleccionar la
columna o fila a la cual corresponde.
El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla paralela
se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el
menor costo es “2” y que a esa celda se le pueden asignar como máximo 60
unidades “que es la capacidad de la planta 3”.
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Dado que la fila de la Planta 3 ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades) esta
debe desaparecer.
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Se ha llegado al final del ciclo, por ende, se repite el proceso
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Iniciamos una nueva iteración
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Continuamos con las iteraciones…
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Iniciamos otra iteración
Al finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sin
tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y hemos
concluido el método.
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Los costos asociados a la distribución son:
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Ejemplo 2:
Dada la siguiente matriz oferta-demanda, úsese MAV para la asignación inicial y, si
es necesario, el método de stepping-stone para la solución final.
Demanda
W
Oferta
A
X
6
B
10
C
2
20
10
Y
Z
8
2
7
12
9
9
6
35
4
12
12
23
18
22
70
Primera iteración del MAV
a) Las diferencias se muestran como Δ 's
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b) La mayor diferencia de costo está en la columna Y. Asígnense 12 unidades
(máximo disponible) a la casilla AY.
c) Elimínese el renglón A formando una nueva matriz. (Nota: Los requerimientos
de la columna Y son ahora 18-12=6)
Demanda
W
A
X
Y
2
7
12
4
9
9
6
35
3
4
12
12
23
8
6
Δ Renglón
Z
Oferta
12
B
10
C
2
2
20
10
18
22
70
70
Δ Columna
4
4
7
1
Segunda iteración del MAV
a) Se muestran las diferencias
b) La mayor diferencia de costo está en W. Asígnense 20 unidades (máximo
posible) a la casilla CW
c) Elimínese la columna W y fórmese una nueva matriz.
Demanda
Oferta
W
B
C
X
Y
10
20
20
Δ columna 8
2
10
5
Δ Renglón
Z
9
29
6
4
35
4
12
12
23
3
2
6
22
3
6
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Tercera iteración MAV
a) Se presentan las diferencias
b) La diferencia más grande costo está en el renglón C. Asígnense tres
unidades (máximo posible) a la casilla CX
c) Elimínese el renglón C y fórmese una nueva matriz.
Demanda
Oferta
X
Y
Δ Renglón
Z
B
9
9
2
6
4
35
C
4
12
12
23
6
4
35
3
10
6
Δ columna 5
3
8
22
3
6
Demanda
Oferta
X
B
Y
Z
9
9
7
6
22
7
6
22
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Cuarta iteración MAV
Los valores restantes son determinados por los requerimientos de demanda. La
asignación resultante de MAV es como sigue y se muestra en la figura:
Demanda
W
A
X
Y
8
6
Z
2
7
12
9
6
35
12
23
Oferta
12
B
10
9
7
C
6
12
4
2
20
3
20
10
22
18
22
70
AW: +6-2+9-9+4-2 =6
BW: +10-9+4-2 =3
AX: +8-2+9-9 =6
CY: +12-4+9-9 =8
AZ: +7-6+9-2 =8
CZ: +12-4+9-6 =11
Todas las evaluaciones son positivas, por tanto la solución que aparece en la figura
es óptima.
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De esta manera se ha determinado una solución. Al igual que todo este método de
Vogel tiene ventajas y desventajas las cuales veremos a continuación.
Ventajas

Conduce rápidamente a una mejor solución.

Tiene en cuenta en el análisis la diferencia entre los menores costos de
transporte.

Es un método preciso y totalmente imparcial.

Se escogerá aquel sitio que produzca los menores costos de transporte, tanto
de la materia prima como del producto terminado.
Desventajas

No aporta ningún criterio que permita determinar si la solución obtenida por
este método es la mejor (óptima) o no.

Las cantidades de oferta y demanda no varían con el tiempo.

No considera más efectos para la localización que los costos de transporte.
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MÉTODO DE ASIGNACIÓN
Los problemas de asignación aparecen en varios contextos de la ingeniería
económica en donde se requiere asignar de manera óptima objetos o personas
“indivisibles” a ciertas tareas, por ejemplo:



En los astilleros es indispensable contar con soldadores especializados en
cada tipo de soldadura existentes (mig, tig, bajo el agua, eléctrica,
oxiacetilénica, etc.). si no se cuenta con personal especializado representa
un costo extra en gasto de material. Por lo tanto, se debe asignar a la persona
óptima en cada puesto de trabajo para minimizar costos.
En una empresa textil se asigna a las personas con más habilidad en cada
máquina (recta, zigzag, ojales, etc.) para minimizar tiempos de producción.
En las universidades se desea asignar un salón para cada materia, grupo,
pensando en optimizar los espacios disponibles.
El problema clásico de asignación consiste en asignar n objetos o personas
indivisibles a m tareas de una manera óptima.
Las propiedades que debe cumplir un conflicto para formularse como un problema
de asignación son las siguientes:





El número de objetos o personas es igual al número de tareas.
A cada persona se le asigna solo una tarea.
Cada tarea debe ser realizada por una sola persona.
Existe un costo Cij de asignación de la persona i a la tarea j.
El objetivo es buscar la combinación que minimice los costos totales.
Este método es conocido como la técnica de Flood o método Húngaro de
asignación.
El método de asignación es computacionalmente más eficiente que el método
simplex para una clase especial de problemas. Su objetivo es asignar personas para
realizar ciertas tareas, minimizando costos. Sin embargo, no necesariamente deben
ser personas, también pueden ser maquinas, vehículos, fabricas, etc.
Además de un problema de transporte balanceado en el cual todas las ofertas y
demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de
asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La matriz de costos
del problema de asignación se llama: matriz de costos.
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Conceptos básicos
Oferta: cantidad que representa la disponibilidad del artículo en la fuente/fábrica de
donde proviene.
Demanda: cantidad de artículos que necesita recibir el destino para cumplir sus
necesidades.
Historia
El problema de asignación tuvo su origen en la revolución industrial, ya que el
surgimiento de las máquinas hizo que fuera necesario asignar una tarea a un
trabajador.
Thomas Jefferson en 1792 lo sugirió para asignar un representante a cada estado,
pero formalmente aparece este problema en 1941, cuando F.L. Hitchcook publica
una solución analítica del problema. Pero no es hasta 1955 cuando Harold W.
Kuhn plantea el método húngaro, que fue posteriormente revisado por James
Munkres en 1957. Dicho método está basado fundamentalmente en los primeros
trabajos de otros dos matemáticos húngaros: Dénes Köning y Jenö Egervary.
Hoy en día en pleno apogeo de la globalización surge cada vez con mayor
frecuencia el uso de este problema en la rama de la investigación de operaciones.
Podemos decir que es la aplicación del método científico para asignar los recursos
o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos.
Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones.
El método de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal en
el que los asignados son recursos que se destinan a la realización de tareas. Por
ejemplo, los asignados pueden ser empleados a quienes se tiene que dar trabajo.
La asignación de personas a trabajos es una aplicación común del problema de
asignación. Sin embargo, los asignados no tienen que ser personas. También
pueden ser máquinas, vehículos o plantas, o incluso periodos a los que se asignan
tareas.
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“La mejor persona para el puesto” es una buena descripción del modelo de
asignación.
El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima (de costo mínimo) de
trabajadores a puestos.
El modelo general de asignación con n trabajadores y n puestos se representa
en la tabla siguiente:
Para que se ajuste a la definición de un problema de asignación, es necesario
que este tipo de aplicaciones se formule de manera tal que se cumplan los
siguientes supuestos:
1. El número de asignados es igual al número de tareas. (Este número se denota
por n.)
2. A cada asignado se le asigna sólo una tarea.
3. Cada tarea debe realizarla sólo un asignado.
4. Existe un costo cij asociado con el asignado i (i 5 1, 2, . . . , n) que realiza la tarea
j ( j 1, 2, . . . , n).
5. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las n asignaciones para minimizar
los costos totales.
Se puede resolver el modelo de asignación en forma directa como modelo normal
de transporte. Sin embargo, el hecho de que todas las ofertas y las demandas son
iguales a 1, condujo al desarrollo de un algoritmo sencillo de solución
llamado método húngaro.
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Construcción del modelo de asignación
Las variables que se utilizan en el modelo de asignación son variables binarias, es
decir, variables que solo pueden tomar los valores 0 o 1.
Matemáticamente se escribe:
El costo total de la asignación es igual a la suma de los productos de cada variable
Xij por el costo asignado Cij
En las restricciones se asigna una persona a cada una de las tareas y cada tarea
debe ser realizada por una persona. Esto lo representamos como:
El modelo completo de asignación de obtiene al añadir la restricción de negatividad
y la de variable binarias:
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Vemos que el modelo de asignación es muy parecido al modelo de transporte, la
diferencia radica en que las variables del modelo de asignación son binarias,
mientras que en el modelo de transporte las variables so enteras. Entonces
podemos tomar el modelo de asignación como un problema de transporte donde
cada una de las personas es el origen y cada una de las tareas son los distintos. La
oferta y demanda son igual a uno, es decir, cada origen tiene una sola persona y
cada destino necesita solo una persona. Los costos de capacitación representan el
coto de transportar una unidad del origen i al destino j. por lo tanto, el objetivo es
encontrar la combinación que minimice los costos de asignación y cumpliendo las
restricciones de oferta y demanda.
Ejemplo 1
Una empresa contrata a cuatro personas para cubrir los siguientes puestos:
supervisor de acabado, supervisor de empaque, supervisor de producción,
supervisor de materia prima.
A cada uno se aplica un examen de aptitudes para determinar sus habilidades. A
partir del resultado de los exámenes se determina el costo que tiene su capacitación
para cada uno de los puestos. Los costos se presentan en la siguiente tabla:
Si se desea conocer la asignación de menor costo para la empresa, obtener la
tabla inicial asociada al problema.
La tabla inicial asociada al problema es:
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Ejemplo 2
Una empresa dedicada a la compra y venta de equipo de cómputo adquirió seis
máquinas para ser vendidas, sin embargo, el cliente pide una prórroga de un mes
para que le entreguen las máquinas. La empresa tiene que almacenar las seis
máquinas durante este tiempo, se cotizan los precios de seis bodegas que pueden
almacenar las máquinas, los costos se muestran en la siguiente tabla.
Nuevamente podemos ver este problema como un modelo de transporte, donde los
orígenes son las máquinas, los destinos son las bodegas y el costo Cij es el costo
de almacenaje. La oferta de cada uno de los orígenes es uno, mientras que la
demanda de cada uno de los destinos también es uno. Nuevamente, las variables
sólo pueden tomar el valor cero o uno. La tabla inicial de este problema es:
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Método húngaro
El algoritmo desarrollado por Kuhn está basado fundamentalmente en los primeros
trabajos de otros dos matemáticos húngaros: Dénes König y Jenő Egerváry
Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más
eficaz que el empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de
degeneración que pueden presentar los problemas de asignación.
El problema de asignación tiene que ver con la asignación de tareas a empleados,
de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas. Al
aplicar el método de transporte y el método de asignación la gerencia está buscando
una ruta de distribución o una asignación que optimizará algún objetivo; éste puede
ser la minimización del costo total, la maximización de las utilidades o la
minimización del tiempo total involucrado.
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual
todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver
eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método húngaro:
Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de la
matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo
mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada
columna. Construya una nueva matriz (la matriz de costos reducidos) al restar de
cada costo el costo mínimo de su columna.
Paso 2.- Dibuje el mínimo número de líneas (horizontales o verticales) que se
necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se
requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.
Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de
costos reducidos, que no está cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora
reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sume k a
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cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas. Regrese
al paso 2.
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que
todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento
del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La
matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos.
Ejemplo Método Húngaro
Un equipo de 3 ingenieros debe ser asignado para la realización de 3 tareas, donde
cada ingeniero debe hacer una tarea. Se requiere encontrar la asignación de costo
mínimo para lo cual se dispone de los costos asociados a que el ingeniero i realice
la tarea j. Por ejemplo,
representa el costo correspondiente a que el
ingeniero 1 asuma la tarea 1.
Aplicar el Método Húngaro para encontrar una asignación óptima de los ingenieros
a las tareas.
El Paso 1 del Método Húngaro requiere identificar el valor mínimo de cada fila. En
el caso de la fila 1 dicho valor es $9 siendo el costo de que el ingeniero realice la
tarea 3. En particular si se dispone de un problema de mayor tamaño, hacer uso de
Excel facilita los cálculos tal como se muestra en la siguiente imagen:
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A continuación se resta el mínimo de cada fila a cada uno de los valores de la fila
respectiva, para obtener la matriz reducida:
La aplicación del Paso 2 produce los mínimos de cada columna según se observa
en la tabla anterior. Al restar esos valores de las columnas respectivas se obtiene
la siguiente matriz reducida:
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Las celdas con valor cero y color azul son la solución óptima. En consecuencia, el
ingeniero 1 realiza la tarea 2, el ingeniero 2 asuma la tarea 1 y el ingeniero 3 la tarea
3. Cada ingeniero realiza exactamente una tarea y el costo total de dicha asignación
(valor óptimo) es de $9+$10+$8=$27. Los pasos presentados del Método Húngaro
para el ejemplo anterior funcionaron bien debido a que los elementos cero de la
matriz anterior permiten una asignación factible de ingenieros a tareas (en el sentido
que las tareas se asignan de forma única a los ingenieros). No siempre esto es
posible lograr una solución factible en la aplicación caso en el cual se requiere pasos
adicionales para la aplicación del método.
EJEMPLO #2
Un equipo de 3 mecánicos debe ser asignado para la realización de 3 tareas, donde
cada mecánico debe hacer una tarea. Se requiere encontrar la asignación de costo
mínimo para lo cual se dispone de los costos asociados a que el mecánico i realice
la tarea j.
SOLUCIÓN
PASO 1: En la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada renglón y
restarlo de todos los elementos del renglón.
PASO 2: En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada columna,
y restarlo de todos los elementos de la columna.
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PASO 3: Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los
elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2.
Las celdas con valor cero y color cafés son la solución óptima. En consecuencia, el
mecánico 1 realiza la tarea 2, el mecánico 2 asuma la tarea 1 y el mecánico 3 la
tarea 3. Cada mecánico realiza exactamente una tarea y el costo total de dicha
asignación (valor óptimo) es de Q9+Q10+Q8=Q27.
EJEMPLO #3
Jo Shop debe asignar 4 tareas a 4 trabajadores. El costo de realizar un trabajo es
función de los conocimientos de los trabajadores. La siguiente tabla resume el costo
de las asignaciones. El trabajador 1 no puede hacer el trabajo 3, y el trabajador 3
no puede hacer el trabajo 4. Determine la asignación óptima con el método húngaro.
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SOLUCIÓN
PASO 1:
En la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada renglón y
restarlo de todos los elementos del renglón.
PASO 2:
En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada
columna, y restarlo de todos los elementos de la columna.
PASO 2.1: Si no se puede asegurar una asignación factible (con todos los
elementos cero) con los pasos 1 y 2

A). Trazar la cantidad mínima de líneas horizontales y verticales en la última
matriz reducida que cubran todos los elementos cero.

B). Seleccionar el elemento mínimo no cubierto (color amarillo), restarlo de todo
elemento no cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la
intersección de dos líneas.
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
C). Si no se puede encontrar una asignación factible entre los elementos cero
que resulten, repetir el paso 2.1. En caso contrario, seguir en el paso 3 para
determinar la asignación óptima.
PASO 3: Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los
elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2.
Las celdas con valor cero y color verde son la solución óptima. En consecuencia, el
trabajador 1 realizará el trabajo 4, el trabajador 2 asuma el trabajo 3, el trabajador 3
realizará el trabajo 2 y el trabajador 4 el trabajo 1. Cada trabajador realizará
exactamente un trabajo y el costo total de dicha asignación (valor óptimo) es
de Q20+Q20+Q30+70=Q140.
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EJEMPLO #4 Hallar la solución óptima del siguiente problema de asignación:
Una empresa compra 3 impresoras, una de inyección de tinta, una de punto matriz
y una impresora láser. Las impresoras se deben asignar a los siguientes
departamentos: recursos humanos, facturación y dirección. Debido a la frecuencia
de uso en cada departamento y al tipo de impresora se tiene un costo de
asignación, el cual se muestra en la siguiente tabla:
Paso 1. La tabla inicial del método húngaro es:
Paso 2. El costo menor de cada una de las filas es 5, 4 y 4 respectivamente. Al
restar 5 a los elementos de la primera fila, restar 4 a los de la segunda y 4 a los de
la tercera, obtenemos:
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Paso 3. El costo menor de cada una de las columnas es 0, 0 y 2 respectivamente.
Al restar en su columna respectiva obtenemos:
Paso 4. Buscamos los ceros de asignación. En este caso, la entrada (1, 1) tiene
asignado un cero, por lo tanto la impresora de inyección de tinta va al
departamento de recursos humanos. La celda (2, 2) tiene un cero de asignación,
por lo tanto, la impresora de punto matriz va al departamento de facturación. La
celda (3, 3) tiene un cero de asignación, por lo tanto, la impresora láser va a la
dirección. El costo total mínimo de esta asignación es: 5 + 4 + 6 = $ 15.
Una manera de identificar si se puede realizar una asignación óptima es: “si al
permutar las filas podemos hacer que la diagonal principal de la tabla tenga entradas
cero”.
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BIBLIOGRAFIA
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Operaciones Ed. Mc Graw Hill 2002 7ma Edición.
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