Introducción a los conjuntos

INTRODUCIÓN A LOS CONJUNTOS.
Conjunto: Es la agrupación arbitraria de elementos.
Subconjunto: es el conjunto formado por uno o mas de uno o todos los elementos de un primero
conjunto, o por ningún elemento, este se presenta por el símbolo.
Notación: Generalmente para nombrar un conjunto se utilizan letras mayúsculas o nombres
específicos y los elementos se escriben o describen encerrados entre llaves.
Los conjuntos pueden representarse de la siguiente manera:
Extensión: un conjunto se considera por extensión, cuando los elementos del mismo son listados o
enumerados.
Comprensión: un conjunto se denomina por comprensión, cuando sus elementos son descritos
mediante características específicas.
Ejemplos:
1.- Sea A el conjunto de las vocales:
A = {a, e, i, o, u}
Sean los subconjuntos B de las vocales débiles y C de las vocales fuertes.
B = {i, u}
B
A
Se lee: “B subconjunto de A”
C = {a, e, o}
C
A
Se lee: “C subconjunto de A”
D = {a, e, i, o, u}
D
A
Se lee: “D subconjunto de A”
En este último ejemplo se muestra la propiedad de los subconjuntos, que indica que todo
conjunto puede considerarse como un subconjunto de sí mismo.
2.- Sea B el conjunto de los días de la semana.
Extensión:
B = { Domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado }
Comprensión:
B = { x | x es un día de la semana }
Que se lee: “x tal que x es un día de la semana”
Características de los conjuntos:
1.- todo conjunto debe de estar bien definido.
2.- los elementos que se repiten, no se cuentan más de una vez.
3.- no importa el orden en que aparezcan los elementos.
Existen algunos conjuntos específicos que por sus características particulares no pueden
representarse por extensión, tales como:




Las estrellas del firmamento.
El número de hormigas de un hormiguero.
Los granos de un kilo de azúcar
Y muchos mas.
Operaciones con conjuntos.
Con los conjuntos se pueden realizar algunas operaciones tales como la unión,
intersección, la diferencia y el complemento.
Unión: la unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen
a A, ó a B, o a ambos. Se representa por el símbolo
.
Intersección: la intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A y a B. se representa por el símbolo
..
Diferencia: la diferencia entre dos conjuntos se puede establecer de dos formas:
1.- el conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B, escrita como A-B
o se representa como A/B.
2.- el conjunto que consiste en todos los elementos de B que no pertenecen a A, escrita como B-A
o se representa como B/A.
Complemento: sea el conjunto A; el complemento de A es el conjunto de todos aquellos
elementos que le faltan a A para ser el conjunto universal U. se representa como Ac, que se lee “A
complemento” ó “complemento de A”.
De lo anterior se tiene que Ac
A = U.
Ejemplo:
Sean U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, a, e, i, o, u }
Donde:
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10 }
C = a, e, i, o, u }
Obtener:
a) A B, A C, C
B
b) A
B, A
c) A/B, B/A
d) Cc, Ac, Bc
C, C
B
Solución:
a) A
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } = A
A
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, a, e, i, o, u } = U
C
B = { 2, 4, 6, 8, 10, a, e, i, o, u }
b) A
B = { 2, 4, 6, 8, 10 }
A
C={ø}
C
B={ø}
c) A/B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
B/A = { ø }
d) Cc = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } = A
Ac = { a, e, i, o, u } = C
Bc = { 1, 3, 5, 7, 9, a, e, i, o, u }
Obsérvese que:
A
Ac = U; B
Bc = U; C
Cc = U
Nota: Cabe hacer notar que en algunos casos se puede presentar el hecho de que el nuevo
conjunto carezca de elementos, por lo que surge la necesidad de utilizar el conjunto vacío.
Conjunto vacío: es el conjunto que carece de elementos y se representa por la letra Ø.
Conjunto universal: es el conjunto de todos los elementos que se involucran en un caso específico
y se denota por la letra U.
Conjunto unitario: es el conjunto que contiene un solo elemento y se representa por la letra u.
PRODUCTO CARTESIANO.
Se define como producto cartesiano a 2 conjuntos X, Y, como el conjunto de pares ordenados de la
forma (x, y) en donde el primer elemento pertenece a X y el segundo a Y.
Ejemplo:
1.- sean los conjuntos X, Y:
X = { a, b, c, d }
Y = { 1, 2, 3 }
El producto cartesiano se obtiene usando como una alternativa el diagrama de árbol ya que este
nos permite observar todas las distribuciones (o combinaciones) de los pares ordenados en
cuestión.
1
2
3
a
1
2
3
b
1
2
3
c
d
1
2
3
X x Y = { (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3) }
DIAGRAMA SAGITAL.
Un diagrama sagital es la representación gráfica de la relación existente entre los
elementos de 2 conjuntos por medio de óvalos o círculos y flechas.
Ejemplo:
Sean dos conjuntos A y B, donde A = { a, b, c, d }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Se encierran todos los elementos de ambos conjuntos en un óvalo o círculo cada uno, y se
relacionan mediante flechas que parten del primero hacia el segundo conjunto, como se ilustra en
el diagrama siguiente:
A
B
C
A
1
1
B
2
2
3
C
D
Dominio
4
4
5
5
Codominio
Dominio de Imágenes
Se define al dominio como los elementos del primer conjunto.
Se define al codominio, contradominio, o rango a los elementos del segundo conjunto.
El dominio de imágenes son los elementos del codominio asociados a un elemento del dominio,
es decir un subconjunto de B.
La imagen es todo elemento del codominio asociado a una o más elementos del dominio.
RELACIONES.
Se define una relación como la asociación entre al menos un elemento del primer conjunto
(dominio), con un elemento del segundo conjunto (codominio), representada mediante una flecha
en un diagrama sagital. O bien, otra definición es: una relación es un subconjunto no vacío del
producto cartesiano de dos conjuntos A y B, en donde los primeros elementos pertenecen al
dominio y los segundos al codominio.
Regla de correspondencia.
La regla de correspondencia es la forma o fórmula que sirve para encontrar los segundos
elementos “y” de las parejas ordenadas (x, y) en una relación entre los elementos de dos
conjuntos.
Ejemplo:
A es el conjunto de los números pares del 1 al 10, donde la regla de correspondencia sea
que a cada elemento del dominio le corresponde su cuadrado, los cuales formarán el codominio
que será el conjunto B.
Obtener:
a) Los elementos del codominio.
b) Diagrama sagital de la relación, con dominio de imágenes.
c) Producto cartesiano AxB.
Solución: Incisos a) y b)
R
A
B
C
2
4
4
4
16
16
6
36
36
8
64
64
10
100
100
Dominio
Codominio
Dominio de Imágenes
Solución de c): A x B = { (2,4), (2,16), (2,36), (2,64), (2,100),……
Si se escriben los pares ordenados de la relación del inciso a y b:
{ (2,4), (4,16), (6,36), (8,64), (10,100) } se observa que éstos forman un subconjunto del producto
cartesiano.
Funciones.
Sean dos conjuntos A y B, donde A es el dominio y B el codominio. Se dice que existe una
función de A en B si a todos y cada uno de los elementos de A le corresponde uno y sólo un
elemento de B.
De lo anterior se tiene que una función es una relación especial con condiciones específicas, por lo
que todas las funciones son relaciones.
Notación:
Las funciones se denotan de la siguiente manera:
1.- f : A → B que se lee: “función de A en B”
2.-
f
A → B que se lee: “función de A en B”
Ejemplo:
Sea el conjunto de A del dominio formado por los números enteros mayores que cero y menores
que 6; dada la siguiente regla de correspondencia: y = x + 1:
a) Determinar los elementos del dominio.
b) Construir su diagrama sagital.
c) Encontrar el producto cartesiano A x B.
d) Demostrar que la función es un subproducto de A x B, en donde el primer elemento
siempre aparece y no se repite.
R
A
B
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
Dominio
Codominio
Solución de c): A x B = { (1,2), (1,3), (1,4)…..
Solución de d): (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)
Se puede observar que éstos pares ordenados son un subconjunto de A x B, en donde
todos los primeros elementos (1, 2, 3, 4, 5) siempre aparecen y nunca se repiten, por lo tanto se
trata de una función.