Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 1 Tarea 4 - Geometría Analítica, Sumatoria y Productoria Einer Daniel Pallares Amaya Universidad Nacional Abierta y a Distancia Mayo 7 de 2019 Notas del autor Einer Daniel Pallares Amaya, Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería, Universidad Nacional Abierta y a Distancia La correspondencia relacionada con este trabajo debe ser dirigida a Einer Daniel Pallares Amaya, Universidad Nacional Abierta y a Distancia, Calle 24 # 2-172 Urbanización García Herreros, Cúcuta, Colombia Email: [email protected] Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 2 Tarea 4 - Geometría Analítica, Sumatoria y Productoria En el presente trabajo se llevara a cabo la solución a una serie de ejercicios desarrollados en base a los siguientes temas: Geometría Analítica Sumatoria Productoria. La presente tarea consta de cinco ejercicios; Se tratara de interpretar algunos problemas contextualizados, aplicando los conceptos propios de la geometría analítica, sumatoria y productoria, en la comprensión de problemas, teniendo en cuenta las propiedades, leyes y teoremas. Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 3 Tarea 2: Ecuaciones, Inecuaciones, Valor Absoluto, Funciones, Trigonometría e Hipernometría Ejercicio 1: La Recta Ejercicios propuestos: 3. La torre de control de un aeropuerto registra la posición de una aeronave comercial de pasajeros en el punto A (-2,5) y calcula que manteniendo su trayectoria pasará por B (6, -3), avanzando a 750km/h. Inmediatamente después, el aeropuerto detecta otra aeronave en C (-5,-6) y estima que, en 10 minutos, a la misma altitud, encontrará en ángulo recto la trayectoria de la primera aeronave. a) Calcula la pendiente de ambas trayectorias 𝑚= 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑚= −3 − 5 6 − (−2) Pendiente de aeronave 1: 𝑚= −8 8 𝑚 = −1 Pendiente de aeronave 2: Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA La trayectoria de la nave 2 es perpendicular a la trayectoria de la nave 1 por lo tanto al multiplicar sus pendientes el resultado tiene que ser -1 por tanto −1 ∗ 𝑚 = −1 𝑚= −1 −1 𝑚=1 b) Encuentra las coordenadas del punto de intersección Ecuación 1: A (-2,5) , B (6, -3) y m=-1 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦 = −𝑥 + 𝑏 𝑦+𝑥 =𝑏 5 + (−2) = 𝑏 3=𝑏 Reemplazamos: 𝑦 = −𝑥 + 3 Ecuación 2: C(-5,-6) y m=1 𝑦 =𝑥+𝑏 4 Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 𝑦+𝑥 =𝑏 −6 + (−5) = 𝑏 −11 = 𝑏 Reemplazamos: 𝑦 = 𝑥 + (−11) 𝑦 = 𝑥 − 11 Reemplazamos ecuación 1 en 2: −𝑥 + 3 = 𝑥 − 11 14 = 2𝑥 14 =𝑥 2 7=𝑥 Reemplazamos x en ecuación 1: 𝑦 = −𝑥 + 3 𝑦 = −(7) + 3 𝑦 = −7 + 3 𝑦 = −4 Punto de intersección = (7,-4) c) Determina en cuántos minutos alcanzará la primear aeronave dicho punto d) ¿Existe riesgo de que ocurra un accidente? Ejercicio 2: Circunferencia y Elipse Ejercicios propuestos: 5 Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 8. Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 40𝑥 + 30𝑦 = 975 Dibuje la curva de transformación de productos de esta empresa. Ejercicio 3: Hipérbola y Parábola Ejercicios propuestos: 6 Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 7 13. El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua? Ejercicio 4: Sumatoria Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar uno de los ejercicios referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1.: Ejercicios propuestos: 18. En una institución educativa hay 6 cursos, denominados del 1 al 6. Para cada uno de los cuales hay 5 secciones de estudiantes. Curso (i) /sección (j) 1 2 3 4 5 1 30 25 22 42 31 2 31 23 36 20 37 3 34 30 34 31 27 4 25 34 28 20 31 5 23 20 35 36 26 6 23 25 29 39 33 a) Usando la notación de sumatorias, el número total de estudiantes del curso 2 es: 5 n j 1 2j = 31+23+36+20+37 = 147 Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 8 Encuentre el número total de estudiantes para este curso, aplicando la definición de sumatoria. b) Identifique la notación de sumatorias que representa al número total de estudiantes que pertenecen a la sección 4. 5 ∑ 𝑛2𝑖 = 42 + 20 + 31 + 20 + 36 + 39 = 188 𝑖=1 Ejercicio 5: Productoria Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar uno de los ejercicios referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1. Para el desarrollo de esta tarea, es necesario que el estudiante revise en el Entorno de Conocimiento (Unidad 3), las siguientes referencias: Martínez, B. C. (2011). Estadística básica aplicada (4a.ed.). Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Páginas 36 – 38. Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 9 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 360 -365. Ejercicios propuestos: 23. Una aplicación de la productoria en la estadística indica que, para eventos con ciertas características, la probabilidad de que se presenten algunos resultados simultáneamente se puede calcular multiplicando las probabilidades de que se presenten dichos resultados por separado. En notación de productorias esto se representa así: n P i P (Ocurra A1 y A2 y A3,….. y An) = i 1 donde Pi = P (Ai) Una gran casa de apuestas ha sacado al mercado un nuevo producto, en el cual el cliente puede tener entre 1 y 8 premios simultáneamente. Los cuales entre si no afectan sus probabilidades. Además para cada posible premio determinó las siguientes probabilidades de obtención. Premio 1 2 3 4 5 6 7 8 Pi = P(Ai) 0,004 0,003 0,001 0,002 0,003 0,009 0,006 0,001 Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 10 a) De acuerdo a la información anterior la probabilidad de que un cliente obtenga simultáneamente los premios del 3 al 6 se representa usando productorias por: 6 P i i 3 Encuentre dicha probabilidad de acuerdo a la definicion de productorias. b) Represente usando productorias la probabilidad de que un cliente gane simultáneamente todos los premios. Además encuentre dicha probabilidad. Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 11 Conclusiones El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo de los cinco ejercicios la interpretación acertada de los problemas contextualizados aplicando los conceptos propios del lenguaje matemático, analizando y planteando la solución de los mismos, usando la geometría analítica, sumatoria y productoria, en la comprensión de problemas, teniendo en cuenta las propiedades, leyes y teoremas. El resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y sirve como base sólida para la evaluación final. Referencias Bibliográficas Encabezado: ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 12 Mesa, O. J., & González, P. L. (2009). Propiedades de las sumatorias. Córdoba, AR: El Cid Editor | apuntes. Páginas 1 – 9 Martínez, B. C. (2011). Estadística básica aplicada (4a.ed.). Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Páginas 33 – 36. Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 348 – 354.
