LA ESTRUCTURA DEL ATOMO
NIVELES DE ENERGIA Y ORBITALES
CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA
PROPIEDADES A PARTIR DEL ENLACE QUIMICO
Ejemplo de 5 niveles diferentes:
AMORFOS: EJEMPLO (AGUA)
NIVELES DE ORDEN (GAS – LIQUIDO – SOLIDO)
DISTRIBUCION ATOMICA: ARREGLOS
REDES CRISTALINAS DE BRAVAIS
REDES CRISTALINAS DE BRAVAIS
Chapter 3: The Structure of Crystalline Solids
• How do atoms assemble into solid structures?
• How does the density of a material depend on
its structure?
• When do material properties vary with the
sample (i.e., part) orientation?
41
Energy and Packing
• Non dense, random packing
Energy
typical neighbor
bond length
typical neighbor
bond energy
• Dense, ordered packing
r
Energy
typical neighbor
bond length
typical neighbor
bond energy
r
Dense, ordered packed structures tend to have
lower energies.
42
Materials and Packing
Crystalline materials...
• atoms pack in periodic, 3D arrays
• typical of: -metals
-many ceramics
-some polymers
crystalline SiO2
Adapted from Fig. 3.23(a),
Callister & Rethwisch 8e.
Noncrystalline materials...
• atoms have no periodic packing
• occurs for: -complex structures
-rapid cooling
"Amorphous" = Noncrystalline
Si
Oxygen
noncrystalline SiO2
Adapted from Fig. 3.23(b),
Callister & Rethwisch 8e.
43
Metallic Crystal Structures
• How can we stack metal atoms to minimize empty
space?
2-dimensions
vs.
Now stack these 2-D layers to make 3-D structures
44
Metallic Crystal Structures
• Tend to be densely packed.
• Reasons for dense packing:
- Typically, only one element is present, so all atomic
radii are the same.
- Metallic bonding is not directional.
- Nearest neighbor distances tend to be small in
order to lower bond energy.
- Electron cloud shields cores from each other
• Have the simplest crystal structures.
We will examine three such structures...
45
COMPARTICION DE ATOMOS
Parámetros de Red
RELACION
PARAMETRO DE RED – RADIO ATOMICO
EJEMPLO
1. Calcular el parámetro de red cristalina de los siguientes átomos:
a. Pb
b. Mg
c. Co
d. W
Factor de Empaquetamiento
F.E.=
(Á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒄𝒆𝒍𝒅𝒂)(𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑨𝒕ó𝒎𝒊𝒄𝒐)
(𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒆𝒍𝒅𝒂)
Simple Cubic Structure (SC)
• Rare due to low packing density (only Po has this structure)
• Close-packed directions are cube edges.
• Coordination # = 6
(# nearest neighbors)
Click once on image to start animation
(Courtesy P.M. Anderson)
54
Atomic Packing Factor (APF)
Volume of atoms in unit cell*
APF =
Volume of unit cell
*assume hard spheres
• APF for a simple cubic structure = 0.52
atoms
unit cell
a
R=0.5a
APF =
volume
atom
4
p (0.5a) 3
1
3
a3
close-packed directions
contains 8 x 1/8 =
1 atom/unit cell
Adapted from Fig. 3.24,
Callister & Rethwisch 8e.
volume
unit cell
55
Body Centered Cubic Structure (BCC)
• Atoms touch each other along cube diagonals.
--Note: All atoms are identical; the center atom is shaded
differently only for ease of viewing.
ex: Cr, W, Fe (), Tantalum, Molybdenum
• Coordination # = 8
Click once on image to start animation
(Courtesy P.M. Anderson)
Adapted from Fig. 3.2,
Callister & Rethwisch 8e.
2 atoms/unit cell: 1 center + 8 corners x 1/8
56
Atomic
Packing
Factor:
BCC
• APF for a body-centered cubic structure = 0.68
3a
a
2a
Adapted from
Fig. 3.2(a), Callister &
Rethwisch 8e.
atoms
R
a
4
Close-packed directions:
length = 4R = 3 a
volume
atom
p ( 3a/4) 3
2
unit cell
3
APF =
volume
3
a
unit cell
57
Face Centered Cubic Structure (FCC)
• Atoms touch each other along face diagonals.
--Note: All atoms are identical; the face-centered atoms are shaded
differently only for ease of viewing.
ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag
• Coordination # = 12
Adapted from Fig. 3.1, Callister & Rethwisch 8e.
Click once on image to start animation
(Courtesy P.M. Anderson)
4 atoms/unit cell: 6 face x 1/2 + 8 corners x 1/8
58
Atomic
Packing
Factor:
FCC
• APF for a face-centered cubic structure = 0.74
maximum achievable APF
Close-packed directions:
length = 4R = 2 a
2a
a
Adapted from
Fig. 3.1(a),
Callister &
Rethwisch 8e.
Unit cell contains:
6 x 1/2 + 8 x 1/8
= 4 atoms/unit cell
atoms
volume
4
3
p ( 2a/4)
4
unit cell
atom
3
APF =
volume
3
a
unit cell
59
FCC Stacking Sequence
• ABCABC... Stacking Sequence
• 2D Projection
B
B
C
A
B
B
B
A sites
C
C
B sites
B
B
C sites
• FCC Unit Cell
A
B
C
60
Hexagonal Close-Packed Structure
(HCP)
• ABAB... Stacking Sequence
• 3D Projection
c
a
• 2D Projection
A sites
Top layer
B sites
Middle layer
A sites
Bottom layer
Adapted from Fig. 3.3(a),
Callister & Rethwisch 8e.
• Coordination # = 12
• APF = 0.74
• c/a = 1.633
6 atoms/unit cell
ex: Cd, Mg, Ti, Zn
61
Theoretical Density, r
Density = r =
r =
where
Mass of Atoms in Unit Cell
Total Volume of Unit Cell
nA
VC NA
n = number of atoms/unit cell
A = atomic weight
VC = Volume of unit cell = a3 for cubic
NA = Avogadro’s number
= 6.022 x 1023 atoms/mol
62
Theoretical Density, r
• Ex: Cr (BCC)
A = 52.00 g/mol
R = 0.125 nm
n = 2 atoms/unit cell
Adapted from
Fig. 3.2(a), Callister &
Rethwisch 8e.
atoms
unit cell
r=
volume
unit cell
R
a
2 52.00
a3 6.022 x 1023
a = 4R/ 3 = 0.2887 nm
g
mol
rtheoretical = 7.18 g/cm3
ractual
atoms
mol
= 7.19 g/cm3
63
Densities
of
Material
Classes
In general
rmetals > rceramics > rpolymers
30
Why?
Metals have...
Ceramics have...
• less dense packing
• often lighter elements
Polymers have...
r (g/cm3 )
• close-packing
(metallic bonding)
• often large atomic masses
• low packing density
(often amorphous)
• lighter elements (C,H,O)
Composites have...
• intermediate values
Metals/
Alloys
20
Platinum
Gold, W
Tantalum
10
Silver, Mo
Cu,Ni
Steels
Tin, Zinc
5
4
3
2
1
0.5
0.4
0.3
Titanium
Aluminum
Magnesium
Graphite/
Ceramics/
Semicond
Polymers
Composites/
fibers
Based on data in Table B1, Callister
*GFRE, CFRE, & AFRE are Glass,
Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced
Epoxy composites (values based on
60% volume fraction of aligned fibers
in an epoxy matrix).
Zirconia
Al oxide
Diamond
Si nitride
Glass -soda
Concrete
Silicon
Graphite
PTFE
Silicone
PVC
PET
PC
HDPE, PS
PP, LDPE
Glass fibers
GFRE*
Carbon fibers
CFRE*
Aramid fibers
AFRE*
Wood
Data from Table B.1, Callister & Rethwisch, 8e.
64
Crystals as Building Blocks
• Some engineering applications require single crystals:
-- diamond single
crystals for abrasives
(Courtesy Martin Deakins,
GE Superabrasives,
Worthington, OH. Used with
permission.)
-- turbine blades
Fig. 8.33(c), Callister &
Rethwisch 8e. (Fig. 8.33(c)
courtesy of Pratt and
Whitney).
• Properties of crystalline materials
often related to crystal structure.
-- Ex: Quartz fractures more easily
along some crystal planes than
others.
(Courtesy P.M. Anderson)
65
Polycrystals
• Most engineering materials are polycrystals.
Anisotropic
Adapted from Fig. K,
color inset pages of
Callister 5e.
(Fig. K is courtesy of
Paul E. Danielson,
Teledyne Wah Chang
Albany)
1 mm
• Nb-Hf-W plate with an electron beam weld.
• Each "grain" is a single crystal.
• If grains are randomly oriented,
Isotropic
overall component properties are not directional.
• Grain sizes typically range from 1 nm to 2 cm
(i.e., from a few to millions of atomic layers).
66
PROPIEDADES MECANICAS =f (PLANOS Y DIRECCIONES)
Estructura BCC de Fe
H: Intensidad del campo magnético
B: Inducción magnética
EN CONCLUSION…
CUANDO LAS PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA SON
INDEPENDIENTES DE LA DIRECCION, SE DICE QUE EL MATERIAL ES
ISOTROPICO. DE ESTA MANERA, EN UN MATERIAL ISOTROPICO
IDEAL, SE DEBE ESPERAR ENCONTRAR QUE TIENE LA MISMA
RESISTENCIA EN TODAS LAS DIRECCIONES. O, SI SE FUESE A MEDIR
LA RESISTIVIDAD ELECTRICA, SE OBTENDRIA EL MISMO VALOR DE
ESTA PROPIEDAD INDEPENDIENTEMENTE DE COMO SE HALLA
CORTADO EL MATERIAL.
SIN EMBARGO, EN LA REALIDAD NO EXISTE LA ISOTROPIA IDEAL, ES
MAYORMENTE COMUN LA ANISOTROPIA, DONDE LAS PROPIEDADES
DEL MATERIAL VARIAN CONSIDERABLEMENTE DE LA DIRECCION.
•
Single
vs
Polycrystals
E (diagonal) = 273 GPa
Single Crystals
Data from Table 3.3,
Callister & Rethwisch
8e. (Source of data is
R.W. Hertzberg,
Deformation and
Fracture Mechanics of
Engineering Materials,
3rd ed., John Wiley and
Sons, 1989.)
-Properties vary with
direction: anisotropic.
-Example: the modulus
of elasticity (E) in BCC iron:
• Polycrystals
-Properties may/may not
vary with direction.
-If grains are randomly
oriented: isotropic.
(Epoly iron = 210 GPa)
-If grains are textured,
anisotropic.
E (edge) = 125 GPa
200 mm
Adapted from Fig.
4.14(b), Callister &
Rethwisch 8e.
(Fig. 4.14(b) is courtesy
of L.C. Smith and C.
Brady, the National
Bureau of Standards,
Washington, DC [now
the National Institute of
Standards and
Technology,
Gaithersburg, MD].)
70
Polymorphism
• Two or more distinct crystal structures for the same
material (allotropy/polymorphism)
iron system
titanium
liquid
, -Ti
1538ºC
-Fe
BCC
carbon
1394ºC
diamond, graphite
-Fe
FCC
912ºC
BCC
-Fe
71
Crystal Systems
Unit cell: smallest repetitive volume which
contains the complete lattice pattern of a crystal.
7 crystal systems
14 crystal lattices
a, b, and c are the lattice constants
Fig. 3.4, Callister & Rethwisch 8e.
72
DIRECCIONES Y PLANOS CRISTALOGRAFICOS
TEORIA: PAG. 41 Y 43
EJES Y CELDAS UNITARIAS
•
Se utilizan los tres ejes
conocidos normalmente, el
eje X positivo se usa saliendo
del papel, el eje Y positivo
hacia la derecha y finalmente
el eje Z positivo hacia la parte
superior; en sentidos opuestos
se encuentran sus respectivas
zonas y cuadrantes negativos.
•
Se utilizan celdas unitarias
para situar tanto puntos,
como planos. Dichas celdas
unitarias son cubos los cuales
se encuentran situados sobre
el sistema de coordenadas X,
Y, Z. Generalmente se asume
un origen, el cual está ubicado
en la arista inferior izquierda
posterior.
INDICES DE MILLER
• Se utilizan para identificar los planos cristalinos por
donde es susceptible de deslizar unos átomos sobre
otros átomos en la celda cristalina.
• Para poder identificar un sistema de planos
cristalográficos se les asigna un juego de tres números
que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices
de un sistema de planos se indican genéricamente con
las letras (h k l).
• Los índices de Miller son números enteros, que pueden
ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo
negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre
dicho número.
DIRECCIONES (VECTORES) DE LA CELDA UNITARIA
Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran interés, dichas direcciones
son los denominados Índices De Miller y son particularmente las posiciones o lugares por
donde es más susceptible un elemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su interior
cristalino.
Para hallar los Índices De Miller de las direcciones se procede de la siguiente manera:
1.
2.
3.
4.
Usar un sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas positivas y
zonas negativas).
Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (punto principal menos punto
final), generando de esta manera el vector dirección y la cantidad de parámetros de
red recorridos.
Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mínima expresión.
Encerrar los números resultantes entre corchetes, sin comas, si el resultado es
negativo en cualquier eje [X, Y, Z] debe situarse una barra o raya encima de dicho
numero, o números.
EJEMPLO:
INDICES DE MILLER DE DIRECCIONES
DE LA CELDA UNITARIA
Aspectos importantes en el análisis y creación
de las direcciones en los Índices De Miller:
1. Las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede ser
positivo o negativo, y con ello poseer la misma línea de acción
pero diferente sentido.
2. Una dirección y sus múltiplos son idénticos solo que estos aun
no han sido reducidos.
3. Ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en un
sistema cubico es ocasionado por el orden y el sentido de los
vectores, ya que es posible redefinir el sistema coordenado para
una misma combinación de coordenadas. Estos grupos reciben
el nombre de direcciones de una forma o familia, y se denota
entre paréntesis especiales <>. Es importante resaltar que un
material posee las mismas propiedades en todas y cada una de
las diferentes direcciones de una familia.
DIRECCIONES DE LOS PLANOS DE UNA CELDA UNITARIA
1. Los planos cristalinos son con mayor precisión los lugares por donde un material facilita
su deslizamiento y transformación física; dichos lugares o planos son en donde existe la
mayor posibilidad de que el elemento sufra una dislocación.
2. Como se mencionó anteriormente, los metales se deforman con mayor facilidad a lo
largo de los planos en los cuales los átomos están compactados de manera más
estrecha o cercana en la celda unitaria. Es importante resaltar la orientación y forma en
la que puede crecer el cristal, para ello es necesario analizar las tensiones superficiales
producidas en los principales planos de una celda unitaria.
3. Igualmente para una mejor orientación en los planos de un material podrá existir un
mejor rendimiento y aprovechamiento en las propiedades y usos mecánicos.
4. Los Índices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistema
cartesiano
(X, Y, Z) = (h, k, l) respectivamente.
INDICES DE MILLER PARA PLANOS DE LA CELDA UNITARIA
Para identificar los planos de importancia se procede de la siguiente manera:
1. Identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z o también (h,k,l ) en
función de los parámetros de red (si el plano pasa por el origen se debe trasladar el
origen del sistema de coordenadas).
2. Los Índices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos de un plano
cartesiano. Se calculan los recíprocos o inversos de los puntos o intersecciones. Si el
reciproco es N/∞, donde N es cualquier numero entero real, esto significara en el plano
que para este eje el plano quedara paralelo a él sin tocarlo.
3. Se multiplican o dividen estos números por un factor común (Eliminar fracciones).
4. La cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no ocurre en el estudio de
las direcciones de los Índices de Miller.
EJEMPLO 1: INDICES DE MILLER EN PLANOS
EJEMPLO 2: INDICES DE MILLER EN PLANOS
EJEMPLO 3: INDICES DE MILLER EN PLANOS
Point Coordinates
z
Point coordinates for unit cell
center are
111
c
a/2, b/2, c/2
y
000
a
x
½½½
b
Point coordinates for unit cell
corner are 111
z
2c
b
y
Translation: integer multiple of
lattice constants identical
position in another unit cell
b
91
Crystallographic Directions
z
pt. 2
head
Example 2:
pt. 1 x1 = a, y1 = b/2, z1 = 0
pt. 2 x2 = -a, y2 = b, z2 = c
y
x
pt. 1:
tail
=> -2, 1/2, 1
Multiplying by 2 to eliminate the fraction
-4, 1, 2 => [ 412 ]
where the overbar represents a
negative index
families of directions <uvw>
92
Crystallographic Directions
z
Algorithm
1. Vector repositioned (if necessary) to pass
through origin.
2. Read off projections in terms of
unit cell dimensions a, b, and c
y 3. Adjust to smallest integer values
4. Enclose in square brackets, no commas
[uvw]
x
ex: 1, 0, ½ => 2, 0, 1 => [ 201 ]
-1, 1, 1 => [ 111 ]
where overbar represents a
negative index
families of directions <uvw>
93
Linear Density
• Linear Density of Atoms LD =
Number of atoms
Unit length of direction vector
[110]
ex: linear density of Al in [110]
direction
a = 0.405 nm
# atoms
a
Adapted from
Fig. 3.1(a),
Callister &
Rethwisch 8e.
LD =
length
2
= 3.5 nm-1
2a
94
Crystallographic Planes
Adapted from Fig. 3.10,
Callister & Rethwisch 8e.
95
Crystallographic Planes
• Miller Indices: Reciprocals of the (three) axial
intercepts for a plane, cleared of fractions &
common multiples. All parallel planes have same
Miller indices.
• Algorithm
1. Read off intercepts of plane with axes in
terms of a, b, c
2. Take reciprocals of intercepts
3. Reduce to smallest integer values
4. Enclose in parentheses, no
commas i.e., (hkl)
96
Crystallographic Planes
z
example
1. Intercepts
2. Reciprocals
3.
Reduction
a
1
1/1
1
1
4.
Miller Indices
(110)
example
1. Intercepts
2. Reciprocals
3.
Reduction
a
1/2
1/½
2
2
4.
Miller Indices
(100)
b
1
1/1
1
1
c
1/
0
0
c
y
b
a
x
b
1/
0
0
c
1/
0
0
z
c
y
a
b
x
97
Crystallographic Planes
z
example
1. Intercepts
2. Reciprocals
3.
Reduction
4.
Miller Indices
a
1/2
1/½
2
6
b
1
1/1
1
3
(634)
c
c
3/4
1/¾
4/3
4 a
x
y
b
Family of Planes {hkl}
Ex: {100} = (100), (010), (001), (100), (010), (001)
98
Importancia de las direcciones cristalográficas:
Es necesario conocer las direcciones cristalográficas para así
asegurar la orientación de un solo cristal o de un material poli
cristalino. En muchas ocasiones es necesario describir dichas
orientaciones; en los metales por ejemplo es más fácil deformarlos
en la dirección a lo largo de la cual los átomos están en mayor
contacto. En la industria esto es de vital importancia para el uso,
deformación y construcción de nuevos elementos y materiales. Caso
ejemplar es el de los elementos magnéticos los cuales funcionan
como medios de grabación con mejor y mayor eficiencia si se
encuentran alineados en cierta dirección cristalográfica, para así
almacenar de manera segura y duradera la información. En general
es necesario encontrar o tener en cuenta la posición y dirección
cristalográfica de los elementos ya que así podrá aprovecharse al
máximo sus propiedades mecánicas.
Crystallographic Planes
•
•
We want to examine the atomic packing of
crystallographic planes
Iron foil can be used as a catalyst. The atomic
packing of the exposed planes is important.
a) Draw (100) and (111) crystallographic planes
for Fe.
b) Calculate the planar density for each of these planes.
100
X-Ray Diffraction
• Diffraction gratings must have spacings comparable to the
wavelength of diffracted radiation.
• Can’t resolve spacings
• Spacing is the distance between parallel planes of atoms.
101
LEY DE BRAGG: APLICACION
DEDUCCION DE LA LEY DE BRAGG
INTERFERENCIA
CONSTRUCTIVA
INTERFERENCIA
DESTRUCTIVA
INTERPRETACION DE LOS PATRONES DRX
DIRECCIONES CRISTALOGRAFICAS
INTENSIDAD (ARREGLO ATOMICO)
APLICACIÓN: PATRONES DRX
• Cada pico del difractograma corresponde a un patrón diferente
en el cristal.
• Muchos planos están presentes en un cristal determinado y se
determinan por sus correspondientes índices de Miller (h k l).
Por lo que la forma correcta de reescribir la ecuación de Bragg
es:
• El espacio interplanar de cualquier plano para un sistema
cúbico se puede relacionar
X-Rays to Determine Crystal Structure
• Incoming X-rays diffract from crystal planes.
extra
distance
travelled
by wave “2”
q
q
d
Measurement of
critical angle, qc,
allows computation of
planar spacing, d.
reflections must
be in phase for
a detectable signal
Adapted from Fig. 3.20,
Callister & Rethwisch 8e.
spacing
between
planes
X-ray
intensity
(from
detector)
n
d=
2 sin qc
q
qc
110
X-Ray
Diffraction
Pattern
z
z
z
Intensity (relative)
c
a
x
c
b
y (110)
a
x
c
b
y
a
x (211)
b
y
(200)
Diffraction angle 2q
Diffraction pattern for polycrystalline -iron (BCC)
Adapted from Fig. 3.22, Callister 8e.
111
SUMMARY
• Atoms may assemble into crystalline or
amorphous structures.
• Common metallic crystal structures are FCC, BCC, and
HCP. Coordination number and atomic packing factor
are the same for both FCC and HCP crystal structures.
• We can predict the density of a material, provided we
know the atomic weight, atomic radius, and crystal
geometry (e.g., FCC, BCC, HCP).
• Crystallographic points, directions and planes are
specified in terms of indexing schemes.
Crystallographic directions and planes are related
to atomic linear densities and planar densities.
112
SUMMARY
• Materials can be single crystals or polycrystalline.
Material properties generally vary with single crystal
orientation (i.e., they are anisotropic), but are generally
non-directional (i.e., they are isotropic) in polycrystals
with randomly oriented grains.
• Some materials can have more than one crystal
structure. This is referred to as polymorphism (or
allotropy).
• X-ray diffraction is used for crystal structure and
interplanar spacing determinations.
113
TAREA
(INVESTIGAR):
COMO SE HACE EL CALCULO
PARA DETERMINAR LOS
INDICES DE MILLER EN
PLANOS
PARA
CELDAS
HEXAGONALES COMPACTAS
(HCP)
Aspectos importantes para los planos en los Índices de Miller:
1. Los planos positivos y negativos son idénticos.
2. Los planos y sus múltiplos no son idénticos. Esto se demuestra
por medio de la densidad planar y el factor de
empaquetamiento.
3. Los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Se
representan con llaves {}.
4. En los sistemas cúbicos, una dirección es perpendicular a un
plano si tiene los mismos Índices de Miller que dicho plano.
TAREA: INVESTIGAR EL CONCEPTO Y APLICACIÓN DE LA DENSIDAD
PLANAR Y EL FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO
RESUMEN
La distribución atómica en sólidos cristalinos puede describirse mediante una red espacial donde se
especifican las posiciones atómicas por medio de una celdilla unidad que se repite y que posee las
propiedades del metal correspondiente (CELDA UNITARIA).
Existen siete sistemas cristalinos basados en la geometría de las longitudes axiales y ángulos
interaxiales de la celda unitaria (PARAMETROS DE RED), con catorce subretículos basados en la
distribución interna de ésta (REDES DE BRAVAIS).
En los metales las estructuras cristalinas más comunes son: cúbica simple (CS), cúbica centrada en el
cuerpo (BCC), cúbica centrada en las caras (FCC) y hexagonal compacta (HCP) que es una variación
compacta de la estructura hexagonal simple.
En estos sistemas cristalinos, las direcciones se indican por los índices de Miller, enteros positivos o
negativos como [h k l]. Las familias de direcciones se indican por los índices ‹h k l›, los planos
cristalinos se indican por los inversos de las intersecciones axiales del plano, con la transformación de
las fracciones a los enteros proporcionales, (hkl), la familia de los planos se indican {hkl}.
En los cristales hexagonales los planos cristalográficos se indican como (h k i l), estos índices son los
recíprocos de las intersecciones del plano sobre los ejes a1, a2, a3 y c de la celda unitaria hexagonal de
la estructura cristalina; las direcciones cristalinas en los cristales hexagonales se indican como [h k i l].
Utilizando el modelo de la esfera rígida para los átomos, se pueden calcular las densidades atómicas
volumétricas, planar y lineal en las celdas unitarias. Los planos en los que los átomos están
empaquetados tan juntos como es posible se denominan planos compactos. Los factores de
empaquetamiento atómico para diferentes estructuras cristalinas pueden determinarse a partir del
modelo atómico de esferas rígidas.
Algunos metales tienen diferentes estructuras cristalinas a diferentes rangos de presión y temperatura,
este fenómeno se denomina alotropía.
Las estructuras cristalinas de sólidos cristalinos pueden determinarse mediante análisis de difracción de
rayos X utilizando difractómetros por el método de muestra en polvo. Los rayos X son difractados por
los cristales cuando se cumplen las condiciones de la ley de Bragg.
DRX: DIFRACTÓMETRO
COMO SE MIDEN LOS CRISTALES?
DRX
LAUE
CRISTAL
GIRATORIO
POWDER
