estructura cristalina

Estructura de los sólidos
Preguntas a contestar …
• ¿Cómo se ensamblan los átomos en estructuras
sólidas?
• ¿Cómo depende la densidad de la estructura cristalina?
• ¿Cómo varían las propiedades de un material con
la orientación cristalina?
Energía y empaquetamiento
• Denso, empaquetamiento regular
Energy
typical neighbor
bond length
r
typical neighbor
bond energy
• No denso, empaquetamiento al azar
Energy
typical neighbor
bond length
typical neighbor
bond energy
r
Las estructuras densas, empaquetadas reguralmente tienen
menor energía
Cristal
+
RED
Conjunto de puntos
en el espacio
Describe la simetria
Red
=
BASE
Posición de los átomos
Relativos a la red
+
base
=
CRISTAL
cristal
a2
• SHOWN LEFT ARE EXAMPLES OF TRANSLATION VECTORS FOR
A TWO-DIMENSIONAL SQUARE LATTICE
a1
b2
b1
c2
c1
• THE TRANSLATION VECTORS (a1, a2) & (b1, b2) ARE PRIMITIVE
TRANSLATION VECTORS SINCE THEY MAP ANY LATTICE POINT
TO ALL OTHER LATTICE POINTS
• THE TRANSLATION VECTORS (c1, c2) ARE NOT PRIMITIVE
HOWEVER SINCE THEY WILL ONLY MAP FROM ONE LATTICE POINT
ONTO HALF OF THE OTHER LATTICE POINTS
• Celda unitaria: unidad
básica que se repite en el
espacio para crear un
material cristalino,
usualmente es un
paralelepidedo
Cristales metálicos
• tienden a ser densamente empacados.
• existen varias razones para ese empaquetamiento:
-Típicamente, elementos pesados.
-El enlace metálico no es direccional; por lo tanto, no
hay restricciones en la posición de los átomos
-Las distancias a primeros vecinos son pequeñas
para disminuir su energía de enlace
• tienen las estructuras cristalinas mas simples
Estructura cúbica simple (SC)
• La celda unitaria es un cubo que se repite en 3D
• Solamente el Polonio tiene esta estructura
• Las direcciones de máximo empaquetamiento
(direcciones a lo largo de las cuales los átomos
• # de Coordinació
Coordinación = 6
se tocan unos con otros) son en los vertices
(# de átomos más
del cubo.
cercanos)
(Courtesy P.M. Anderson)
Factor de empaquetamiento atómoco (FEA)
Volumen de los átomos en la celda unitaria*
FEA =
Volumen de la celda unitaria
*Se asumen esferas duras en la CU
a
R=0.5a
atoms
unit cell
APF =
Dirección de max. empaquetamiento
contains 8 x 1/8 =
1 atom/unit cell
Adapted from Fig. 3.19,
volume
atom
4
π (0.5a)3
1
3
a3
volume
unit cell
Callister 6e.
Constante de red
• FEA para la cúbica simple es = 0.52
Estructura cúbica centrada en el cuerpo
(base centred cubic)
• # de coordinación = 8
• Las direcciones de máximo empaquetamiento
son las diagonales del cubo.
--Nota: todos los átomos son identicos, el del
Centro está sombreado para una mejor vista
FEA: bcc
Close-packed directions:
length = 4R
= 3a
R
Adapted from
Fig. 3.2,
Callister 6e.
Unit cell contains:
1 + 8 x 1/8
= 2 atoms/unit cell
a
atoms
4
π ( 3a/4)3
2
unit cell
3
APF =
a3
volume
atom
volume
unit cell
• FEA para la estructura bcc es = π√3/8 = 0.68
Estructura cúbica centrada en las caras
(face centred cubic)
• # de coordinación = 12
Adapted from Fig. 3.1(a),
(Courtesy P.M. Anderson)
Callister 6e.
• La dirección de máximo empaquetamiento son las
diagonales de las caras
--Nota: todos los átomos son identicos
FEA: fcc
Close-packed directions:
length = 4R
= 2a
Unit cell contains:
6 x 1/2 + 8 x 1/8
= 4 atoms/unit cell
a
Adapted from
Fig. 3.1(a),
Callister 6e.
atoms
4
volume
atom
π ( 2a/4)3
4
unit cell
3
APF =
volume
a3
unit cell
• FEA para la estructura fcc = π/(3√2) = 0.74
(el mejor empaquetamiento posible de esferas identicas)
Secuencia de empaquetamiento fcc
A
B
C
• celda unitaria fcc
• ABCABC... Secuencia de empaquetamiento
• Proyección 2D
A sites
B sites
C sites
A
A
B
B
C
B
C
B
B
C
B
B
Estructura hexagonal compacta
hexagonal close-packed structure (hcp)
Idealmente, c/a = 1.633
Sin embargo, en la mayoria de los metales, la razón c/a
se desvía de ese valor
Estructura hcp
• ABAB... Secuencia de enpaquetamiento
• Proyección 3D
• Proyección 2D
A sites
Top layer
B sites
Middle layer
A sites
Bottom layer
Adapted from Fig. 3.3,
Callister 6e.
• # de coordinación = 12
• FEA = 0.74, para la razón ideal c/a de 1.633
Empaquetamiento en cristales
A plane
B plane
C plane
A plane
…ABCABCABC… packing
[Face Centered Cubic (FCC)]
…ABABAB… packing
[Hexagonal Close Packing (HCP)]
Comparación de estructuras
cristalinas
Crystal structure coordination #
FEA
close packed directions
•
Simple Cubic (SC)
6
0.52
cube edges
•
Body Centered Cubic (BCC) 8
0.68
body diagonal
•
Face Centered Cubic (FCC)
12
0.74
face diagonal
•
Hexagonal Close Pack (HCP) 12
0.74
hexagonal side
Materiales con mayor densidad : fcc hcp
Densidad teórica, ρ
Densidad = masa/volumen
masa = # de átoms por celda unitaria * masa de cada átomo
Masa de cada átomo = peso átomico/ # de avogadro
# atoms/unit cell
ρ= nA
VcNA
Volume/unit cell
(cm3/unit cell)
Atomic weight (g/mol)
Avogadro's number
(6.023 x 10 23 atoms/mol)
Características de ciertos elementos a 20 oC
At. Weight
Symbol (amu)
Element
Aluminum Al
26.98
Argon
Ar
39.95
Barium
Ba
137.33
Beryllium
Be
9.012
Boron
B
10.81
Bromine
Br
79.90
Cadmium
Cd
112.41
Calcium
Ca
40.08
Carbon
C
12.011
Cesium
Cs
132.91
Chlorine
Cl
35.45
Chromium Cr
52.00
Cobalt
Co
58.93
Copper
Cu
63.55
Flourine
F
19.00
Gallium
Ga
69.72
Germanium Ge
72.59
Gold
Au
196.97
Helium
He
4.003
Hydrogen
H
1.008
Density
(g/cm3)
2.71
-----3.5
1.85
2.34
-----8.65
1.55
2.25
1.87
-----7.19
8.9
8.94
-----5.90
5.32
19.32
-----------
Crystal
Structure
FCC
-----BCC
HCP
Rhomb
-----HCP
FCC
Hex
BCC
-----BCC
HCP
FCC
-----Ortho.
Dia. cubic
FCC
-----------
Atomic radius
(nm)
0.143
-----0.217
0.114
Adapted from
-----Table, "Charac-----teristics of
0.149 Selected
Elements",
0.197 inside front
0.071 cover,
0.265 Callister 6e.
-----0.125
0.125
0.128
-----0.122
0.122
0.144
-----------
Densidad teórica, ρ
# atoms/unit cell
ρ= nA
VcNA
Volume/unit cell
(cm3/unit cell)
Atomic weight (g/mol)
Avogadro's number
(6.023 x 10 23 atoms/mol)
Ejemplo: Cobre
Data from Table inside front cover of Callister (see previous slide):
• crystal structure = FCC: 4 atoms/unit cell
• atomic weight = 63.55 g/mol (1 amu = 1 g/mol)
• atomic radius R = 0.128 nm (1 nm = 10 -7cm)
Vc = a3 ; For FCC, a = 4R/ 2 ; Vc = 4.75 x 10-23cm3
Result: theoretical ρCu = 8.89 g/cm3
Compare to actual: ρCu = 8.94 g/cm3
Densidades para diferentes clases de materiales
ρmetales> ρceramicas> ρpolimeros
s
30
¿Porqué?
Ceramicos tienen...
• empaquetamiento menos
denso
(enlace covalente)
• elementos ligeros
Polimeros tienen...
ρ (g/cm3)
Metales tienen...
• empaquetamiento fuerte
(enlace metálico)
• masas atómicas grandes
20
Platinum
Gold, W
Tantalum
10
Silver, Mo
Cu,Ni
Steels
Tin, Zinc
5
4
3
2
1
• casi sin empaquetamiento
(algunos amorfos)
0.5
• elementos más ligeros (C,H,O) 0.4
Compositos tienen...
• valores intermedios
Metals/
Alloys
Titanium
Aluminum
Magnesium
Graphite/
Ceramics/ Polymers
Semicond
Composites/
fibers
Based on data in Table B1, Callister
*GFRE, CFRE, & AFRE are Glass,
Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced
Epoxy composites (values based on
60% volume fraction of aligned fibers
in an epoxy matrix).
Zirconia
Al oxide
Diamond
Si nitride
Glass-soda
Concrete
Silicon
Graphite
PTFE
Silicone
PVC
PET
PC
HDPE, PS
PP, LDPE
Glass fibers
GFRE*
Carbon fibers
CFRE*
Aramid fibers
AFRE*
Wood
0.3
Data from Table B1, Callister 6e.
Sistemas cristalinos
• Basados en la forma de la celda unitaria
• Celda unitaria = unidad en 3D que se repite en el espacio
• La geometría de la CU está definida por a, b, c & α, β, γ
(parámetros de red o contantes de red)
• 7 posibles combinaciones de a, b, c & α, β, γ, resultan en
7 sistemas cristalinos
Sistemas cristalinos
Estructura de otros sistemas
• Structure of NaCl
(Courtesy P.M. Anderson)
• Structure of Carbon
Graphite
Diamond
CRYSTAL STRUCTURES
• Plenty of crystal structures available at:
http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/
Puntos, direcciones y planos
cristalográficos
• En materiales cristalinos es necesario especificar
puntos, direcciones y planos en la celda unitaria y en
la red cristalina
• Tres números (o indices) son usados para designar
puntos, direcciones y planos
• Los 3 índices están determinados poniendo en el origen
del plano una de las esquinas del cubo de la CU y las
coordenadas de los ejes a lo largo del cubo
Coordenadas de puntos
• Cualquier punto en la CU es especificado como
fracciones multiples de la longitud de la CU
• La posición del punto P es especificada como q r s:
coordinates not separated by commas or punctuation
marks
EXAMPLE: POINT COORDINATES
• Locate the point (1/4 1 ½)
• Specify point coordinates for all atom
positions for a BCC unit cell
– Answer: 0 0 0, 1 0 0, 1 1 0, 0 1 0, ½ ½ ½,
0 0 1, 1 0 1, 1 1 1, 0 1 1
Direcciones cristalográficas
• Definida como una línea entre 2 puntos: un vector
• Pasos para encontrar los 3 índices de una dirección
– Determinar las posiciones del punto inical (X1 Y1 Z1) y el punto
final (X2 Y2 Z2) para la dirección, en términos del parámetro de
red
– Calcular la diferencia entre el punto final e inicial
– Multiplicar la diferencia por una constante común para
convertirlos en los enteros más pequeños u, v, w
– Esos 3 índices son encerrados en parentésis cuadrados: [uvw]
– Si alguno de los índices es negativo, una barra es puesta arriba
de dicho índice
COMMON DIRECTIONS
Direcciones cristalográficas
• Direcciones comunes en
estructuras cristalinas
cúbicas
• Dibujar la dirección [1,-1,0]
direction en una estructura cúbica
• Determinar los índices
esta dirección
– Respuesta:
[120]
Planos cristalográficos
•
•
Los planos cristalográficos están especificados
por 3 Indices de Miller como (hkl)
Procedimiento:
– Si el plano pasa a travéz del origen, trasladar el
plano o escojer un nuevo origen
– Determinar las intersecciones del plano con cada
uno de los ejes en términos de la longitud de la
celda unitaria (parámetros de red). Nota: Si el
plano no intersecta un eje (por ejemplo, plano
paralelo a este eje), entonces la intersección es
en el infinito.
– Si la intersección con los ejes es, por ejemplo, (½
¼ ½), se determinan los reciprocos de esos
numeros (242)
– Si es necesario, multiplicar esos 3 números por un
factor común para convertirlos en los recíprocos
más pequeños posibles (121)
– Los 3 números no se separan por comas y se
encierran en paréntesis curvos: (hkl) (121)
– Si alguno de los índices es negativo, una barra es
colocada arriba de dicho índice
Z
1/2
1/4
Y
1/2
X
(1 2 1)
Tres importantes planos
cristalinos
( 1 0 0)
(1 1 0)
(1 1 1)
Empaquetamiento triangular, planos (111)
Representan el 10 % del área total superficial de los materiales
Empaquetamiento cuadrado, planos (100)
Representan el 70 % del área total superficial de los materiales
Empaquetamiento rectangular, planos (110)
Representan el 20 % del área total superficial de los materiales
• Los planos paralelos son equivalentes
EXAMPLE: CRYSTAL PLANES
• Construct a (0,-1,1) plane
Planos cristalinos fcc y bcc
• Consider (110) plane
• Atomic packing different in the two cases
• Family of planes: all planes that are
crystallographically equivalent—that is having the
same atomic packing, indicated as {hkl}
– For example, {100} includes (100), (010), (001) planes
– {110} includes (110), (101), (011), etc.
LINEAR & PLANAR DENSITIES
• Linear density (LD) = number of
atoms centered on a direction
vector / length of direction vector
– LD (110) = 2 atoms/(4R) = 1/(2R)
• Planar density (PD) = number of
atoms centered on a plane / area
of plane
– PD (110) = 2 atoms /
[(4R)(2R√2)] = 2 atoms / (8R2√2)
= 1/(4R2√2)
• LD and PD are important
considerations during
deformation and “slip”; planes
tend to slip or slide along planes
with high PD along directions with
high LD
Monocristales (MC)
• Monocristal: cuando el cristal se repite
El arreglo de los átomos es perfecto y se extiende a
travez de todo el material
• Algunos aplicaciones en la ingeniería requieren MC:
--Diamante
cristales para abrasivos
--álabes de turbinas
(Courtesy Martin Deakins,
GE Superabrasives,
Worthington, OH. Used with
permission.)
Fig. 8.30(c), Callister 6e.
(Fig. 8.30(c) courtesy
of Pratt and Whitney).
Las propiedades del MC son
consecuencia de su estructura
atómica
--Ej: Ciertos planos cristalinos en el cuarzo
Se fracturan más facilmente que otros
(Courtesy P.M. Anderson)
Materiales policristalinos
• “Nuclei” form during solidification, each of which grows into crystals
Policristales
• La mayoria de los materiales en ing. son policristales.
Adapted from Fig. K,
color inset pages of
Callister 6e.
(Fig. K is courtesy of
Paul E. Danielson,
Teledyne Wah Chang
Albany)
1 mm
• Aleación de Nb-Hf-W.
• Cada "grano" es un MC.
• Si los cristales son orientados al azar,
las propiedades físicas no son direccionesles.
• Los tamaños de cristales típicos son de 1 nm a 2 cm
(i.e., de pocos átomos a millones de capas atómicas).
MC vs policristales
• MC
E (diagonal) = 273 GPa
Data from Table 3.3,
Callister 6e.
(Source of data is R.W.
Hertzberg, Deformation
and Fracture Mechanics
of Engineering
Materials, 3rd ed., John
Wiley and Sons, 1989.)
-Las propiedades varían
con la dirección: anisotropico.
-Ejemplo: el módulo de
elasticidad (E) en Fe bcc:
• Policristales
E (edge) = 125 GPa
-Las propiedades pueden o no
variar con la dirección.
-Si los granos son orientados
al azar: isotrópico.
(Epoli Fe = 210 GPa)
-Si los granos son texturizados,
anisotropicos.
200 mm
Adapted from Fig.
4.12(b), Callister 6e.
(Fig. 4.12(b) is courtesy
of L.C. Smith and C.
Brady, the National
Bureau of Standards,
Washington, DC [now
the National Institute of
Standards and
Technology,
Gaithersburg, MD].)
Materiales amorfos
Materiales Cristalinos ...
• arreglo periódico de átomos 3D
• típico de:
-metales
-ceramicos
-algunos polimeros
crystalline SiO2
Adapted from Fig. 3.18(a),
Callister 6e.
Si
Oxygen
Materiales no cristalinos …
• los átomos no tienen un arreglo
periódico
• ocurre para: -estructuras complejas
-rápido enfriamiento
“Amorfo" = No cristalino
noncrystalline SiO2
SCANNING TUNNELING
MICROSCOPY
• Atoms can be arranged and imaged!
Photos produced from
the work of C.P. Lutz,
Zeppenfeld, and D.M.
Eigler. Reprinted with
permission from
International Business
Machines Corporation,
copyright 1995.
Carbon monoxide
molecules arranged
on a platinum (111)
surface.
Iron atoms arranged
on a copper (111)
surface. These Kanji
characters represent
the word “atom”.