See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/277558002 Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria Thesis · July 2011 CITATIONS READS 0 1,163 1 author: Ignacio A. Calle Universidad Técnica Federico Santa María 15 PUBLICATIONS 28 CITATIONS SEE PROFILE Some of the authors of this publication are also working on these related projects: "Development of a tool for permanent tuning of the CDEC-SING AGC. Proposals for parameterization and evaluation of operational definitions." View project All content following this page was uploaded by Ignacio A. Calle on 01 June 2015. The user has requested enhancement of the downloaded file. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR MÁSTER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA TESIS DE MÁSTER Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria AUTOR: Ignacio Antonio Calle DIRECTOR: Edgardo Daniel Castronuovo Leganés, 7 de Julio de 2011 Agradecimientos Ante todo, y como no deseo olvidarme de nadie, vaya mi agradecimiento a todos aquellos que día tras me han dado su apoyo y han contribuido a generar un ambiente de trabajo ameno en esta Universidad que, poco a poco, se ha ido convirtiendo en mi segunda casa. En particular quiero dar las gracias: A Edgardo, por darme la posibilidad de realizar los estudios de Máster que concluyen con este trabajo. A Álvaro, Mónica y Miriam, esa pequeña familia sustituta que he encontrado de este lado del Atlántico. A Victoria, por entregarme su amor y soportar mi locura y, por sobre todo, por enseñarme que a la vida hay que darle pelea con una sonrisa en la cara. En especial quiero agradecer a mi familia, Papo, Viejita y Mary que, a la distancia, me han dado su apoyo incondicional. Este logro es de ellos. “O somos capaces de destruir con argumentos las ideas contrarias, o debemos dejar que se expresen. No es posible destruir ideas por la fuerza, porque esto bloquea cualquier desarrollo libre de la inteligencia.” Frase atribuida a Ernesto “Che” Guevara. Índice Índice ......................................................................................................................... vii Lista de figuras ............................................................................................................ ix Lista de tablas ............................................................................................................. xi Lista de símbolos ....................................................................................................... xiii Introducción ................................................................................................................. 1 1.1 Motivación .............................................................................................................. 1 1.2 Objetivos de la tesis................................................................................................. 2 1.3 Organización de la tesis ........................................................................................... 2 Estabilidad en sistemas de potencia.............................................................................. 5 2.1 Revisión bibliográfica y definiciones ......................................................................... 6 2.1.1 Estabilidad del ángulo del rotor................................................................................................. 7 2.1.1.1 Estabilidad angular de pequeña señal ............................................................................. 8 2.1.1.2 Estabilidad angular de gran señal .................................................................................... 9 2.1.2 Estabilidad de tensión ............................................................................................................. 10 2.1.2.1 Estabilidad de tensión de pequeña señal....................................................................... 11 2.1.2.2 Estabilidad de tensión de gran señal.............................................................................. 11 2.1.3 Estabilidad de frecuencia ......................................................................................................... 12 2.2 Análisis de estabilidad transitoria .......................................................................... 12 2.2.1 Teoría básica de estabilidad transitoria ................................................................................... 12 2.2.1.1 Dinámica del rotor y la ecuación de oscilación .............................................................. 13 2.2.1.2 La ecuación potencia ángulo .......................................................................................... 15 2.2.1.3 Una visión elemental de la estabilidad transitoria: el criterio de áreas iguales............. 17 2.2.1.4 Fundamento matemático del criterio de áreas iguales ................................................. 20 2.2.2 Estudios de estabilidad transitoria en sistemas eléctricos ...................................................... 21 2.2.2.1 Modelo del sistema de potencia .................................................................................... 22 2.2.2.2 Métodos de integración numérica ................................................................................. 25 2.2.2.3 Interpretación de las curvas de oscilación ..................................................................... 27 Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria .......................... 29 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1 3.2.2 Revisión bibliográfica............................................................................................. 29 Flujo de potencia óptimo......................................................................................................... 29 Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria ................................... 30 Descripción del problema del FPO-RET propuesto en este trabajo ........................... 35 Formulación matemática ......................................................................................................... 35 Procedimiento para la solución del FPO-RET........................................................................... 38 vii viii INDICE Casos de estudio ......................................................................................................... 41 4.1 Sistema eléctrico de estudio .................................................................................. 41 4.2 Desarrollo de las restricciones del problema .......................................................... 42 4.3 Descripción de los casos de estudio ....................................................................... 46 4.3.1 4.3.2 Caso de estudio I: Despacho económico con relajación del límite de estabilidad angular ..... 46 Caso de estudio II: Determinación de la mínima inercia necesaria para garantizar la estabilidad angular del sistema de estudio, ante una falta de larga duración ....................... 47 4.3.3 Caso de estudio III: Determinación de la carga máxima admisible del sistema y soluciones correctivas frente a la inestabilidad........................................................................................ 49 4.3.3.1 Parte 1: Determinación de la carga máxima admisible del sistema .............................. 50 4.3.3.2 Parte 2: Determinación de la inercia mínima requerida por el sistema para garantizar su estabilidad ante aumentos de carga por encima de la carga máxima admisible ..... 50 Resultados .................................................................................................................. 53 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 Caso de estudio I ................................................................................................... 53 Solución óptima del problema ante una falta de 100 ms de duración ................................... 53 Solución óptima del problema ante una falta de 200 ms de duración ................................... 58 Solución óptima del problema ante una falta de 320 ms de duración ................................... 62 Evolución de las variables del sistema con el aumento del tiempo de falta ........................... 63 Caso de estudio II .................................................................................................. 67 Solución óptima del problema ante una falta de 100 ms de duración ................................... 67 Solución óptima del problema ante una falta de 320 ms de duración ................................... 68 Evolución de las variables del sistema con el aumento del tiempo de falta ........................... 71 Caso de estudio III ................................................................................................. 73 Determinación de la carga máxima admisible en el sistema para un tiempo de duración de la falta de 200 ms ....................................................................................................................... 74 Solución óptima del problema ante una falta de 200 ms de duración y 50 % de incremento de carga................................................................................................................................... 76 Evolución de las variables del sistema con el incremento de la carga .................................... 79 Conclusiones y trabajos futuros ................................................................................... 83 6.1 Conclusiones y principales contribuciones.............................................................. 83 6.2 Trabajos futuros .................................................................................................... 84 Referencias ................................................................................................................. 85 Anexo ......................................................................................................................... 89 A.1 Modelo de líneas de transmisión ........................................................................... 89 A.2 Modelo del transformador .................................................................................... 90 Lista de figuras Fig. 1. Clasificación de estabilidad en sistemas de potencia. ............................................................................ 7 Fig. 2. Curvas de oscilación del ángulo del rotor durante un transitorio. ........................................................ 13 Fig. 3. Esquema de un sistema de potencia. .................................................................................................... 16 Fig. 4. Sistema de un generador y barra infinita. ............................................................................................ 18 Fig. 5. Circuito equivalente. ............................................................................................................................. 18 Fig. 6. Curvas potencia ángulo......................................................................................................................... 19 Fig. 7. Representación de un sistema de múltiples máquinas. ........................................................................ 23 Fig. 8. Modelo clásico del generador sincrónico. ............................................................................................. 24 Fig. 9. Modelos de cargas: (a) potencia constante; (b) admitancia constante................................................ 25 Fig. 10. Sistema estable. .................................................................................................................................. 27 Fig. 11. Sistema inestable. ............................................................................................................................... 28 Fig. 12. Sistema eléctrico de estudio. .............................................................................................................. 41 Fig. 13. Sistema eléctrico de estudio con compensación en la barra 3............................................................ 49 Fig. 14. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc = 100 ms ............... 54 Fig. 15. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para un tiempo de falta tcc = 100 ms . .................................................................................................................................... 54 Fig. 16. Verificación de la evolución del ángulo del rotor, por el método de Runge-Kutta.............................. 56 Fig. 17. Verificación de la evolución de la desviación de velocidad del rotor por el método de Runge-Kutta. 56 Fig. 18. Evolución de la función objetivo. ........................................................................................................ 57 Fig. 19. Evolución de la optimalidad de primer orden. .................................................................................... 57 Fig. 20. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc = 200 ms . ............. 58 Fig. 21. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para un tiempo de falta tcc = 200 ms . ................................................................................................................................... 59 Fig. 22. Verificación de la evolución del ángulo del rotor, por el método de Runge-Kutta.............................. 59 Fig. 23. Verificación de la evolución de la desviación de velocidad del rotor por el método de Runge-Kutta. 60 Fig. 24. Evolución de la función objetivo. ........................................................................................................ 61 Fig. 25. Evolución de la optimalidad de primer orden. .................................................................................... 61 Fig. 26. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc = 320 ms . ............. 62 Fig. 27. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para tcc = 320 ms . ............... 63 Fig. 28. Evolución de las potencias despachadas. ........................................................................................... 64 Fig. 29. Evolución de los límites de estabilidad angular y del máximo ángulo alcanzado por el rotor, respecto del tiempo de duración de la falta. .................................................................................................................. 64 Fig. 30. Evolución de las potencias reactivas. .................................................................................................. 65 Fig. 31. Evolución de las tensiones en las barras del sistema .......................................................................... 65 Fig. 32. Evolución del valor final de la función objetivo respecto del tiempo de duración de la falta. ............ 66 Fig. 33. Costo de despacho de generación. ..................................................................................................... 66 Fig. 34. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc = 100 ms ............... 67 Fig. 35. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para un tiempo de falta tcc = 100 ms . .................................................................................................................................... 68 ix x LISTA DE FIGURAS = 320 ms . ............. 69 Fig. 37. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para tcc = 320 ms . ............... 69 Fig. 36. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc Fig. 38. Evolución de la función objetivo. ........................................................................................................ 70 Fig. 39. Evolución de la optimalidad de primer orden. .................................................................................... 70 Fig. 40. Evolución de las potencias despachadas. ........................................................................................... 71 Fig. 41. Evolución de la inercia de los generadores con el tiempo de duración de la falta. ............................ 71 Fig. 42. Evolución de las potencias reactivas. ................................................................................................. 72 Fig. 43. Evolución de las tensiones en las barras del sistema.......................................................................... 72 Fig. 44. Evolución del valor final de la función objetivo respecto del tiempo de duración de la falta. ............ 73 Fig. 45. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para la falta de tcc = 200 ms y 21,7 % de aumento de carga. ............................................................................................................................ 74 Fig. 46. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores, para la falta de tcc = 200 ms y 21,7 % de aumento de carga........................................................................................................................... 75 Fig. 47. Evolución de la función objetivo. ........................................................................................................ 75 Fig. 48. Evolución de la optimalidad de primer orden. .................................................................................... 76 Fig. 49. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para la falta de tcc = 200 ms y 50 % de aumento de carga. ........................................................................................................................................... 77 Fig. 50. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores, para la falta de tcc = 200 ms y 50 % de aumento de carga. .............................................................................................................. 77 Fig. 51. Evolución de la función objetivo. ........................................................................................................ 78 Fig. 52. Evolución de la optimalidad de primer orden. .................................................................................... 78 Fig. 53. Evolución de las potencias despachadas. ........................................................................................... 79 Fig. 54. Evolución de la inercia de los generadores con el incremento de la carga para una falta de 200 ms de duración. ........................................................................................................................................... 80 Fig. 55. Evolución de las potencias reactivas. ................................................................................................. 80 Fig. 56. Evolución de las tensiones en las barras del sistema.......................................................................... 81 Fig. 57. Evolución del valor final de la función objetivo respecto del incremento de carga para una falta de 200 ms de duración. .......................................................................................................................... 81 Fig. 58. Costo de despacho de generación. ..................................................................................................... 82 Fig. 59. Modelo de línea de transmisión. ........................................................................................................ 89 Fig. 60. Modelo del transformador. ................................................................................................................ 90 Lista de tablas Tabla 1. Límites de desviación angular del rotor. ............................................................................................ 10 Tabla 2. Datos de generadores sobre la base de 100 MVA y para su tensión nominal. .................................. 42 Tabla 3. Datos de las cargas en pu sobre la base de 100 MVA. ...................................................................... 42 Tabla 4. Datos de líneas y transformadores en pu, sobre la base de 230 kV y 100 MVA. ............................... 42 xi Lista de símbolos Funciones f (·) G(·) H (·) x (·) y (·) z Función objetivo. Restricciones de igualdad. Restricciones de desigualdad. Vector de variables de estado. Vector de variables algebraicas. Variables de control. Variables E ′j Magnitud de la fuerza electromotriz del generador j. Pa j Potencia acelerante del generador j. PG j Potencia eléctrica activa del generador j. PLmn Potencia activa por la línea conectada entre las barras m y n. PTmn Potencia activa por el transformador conectado entre las barras m y n. QG j Potencia eléctrica reactiva del generador j. QLmn Potencia reactiva por la línea conectada entre las barras m y n. QTmn Potencia reactiva por el transformador conectado entre las barras m y n. t Ta Te Variable independiente tiempo. Par de aceleración. Par electromagnético. VDn Magnitud de la tensión de estado estable en la barra n. Vn Magnitud de la tensión en la barra n. δ Posición angular inicial del rotor del generador j. 0 j δ tj Posición angular del rotor del generador j en el instante t. ∆H j max ∆δ est . Inercia adicional requerida en la barra o región en la que se encuentra conectado el generador j. Variación del límite superior de estabilidad del ángulo del rotor. min ∆δ est . Variación del límite inferior de estabilidad del ángulo del rotor. xiii xiv LISTA DE SÍMBOLOS ∆ωr0j Variación inicial de la velocidad angular eléctrica del rotor del generador j. ∆ωrtj Variación de la velocidad angular eléctrica del rotor del generador j en el ϕn ωm ωr instante t. Ángulo de la tensión en la barra n. Velocidad angular mecánica del rotor. Velocidad angular eléctrica del rotor. Constantes bk Susceptancia serie del elemento k. bpk Susceptancia derivación del elemento k. cj Costo de despacho del generador j. E max j Magnitud de la fuerza electromotriz máxima del generador j. E min j Magnitud de la fuerza electromotriz mínima del generador j. gk Hj Conductancia del elemento k. Constante de inercia del generador j. J k pf Momento de inercia total (turbina más generador). Parámetro que indica el k-esimo evento de perturbación. Número de pares de polos de campo. PDi Potencia eléctrica activa de la carga i. PGmax j Potencia eléctrica activa máxima del generador j. min Gj P Potencia eléctrica activa mínima del generador j. PLmax mn Límite de potencia activa por la línea conectada entre las barras m y n. Pm j Potencia mecánica del generador j. QDi Potencia eléctrica reactiva de la carga i. QGmax j Potencia eléctrica reactiva máxima del generador j. QGmin j Potencia eléctrica reactiva mínima del generador j. rk Resistencia serie del elemento k. S maq Potencia aparente nominal de la máquina. tcc tcci Tiempo de duración de la falta. Tiempo de inicio de la perturbación. k tccf Tiempo de despeje de la k-esima perturbación. tsi m. Tm Tiempo total de simulación. Par mecánico. Vnmax Tensión máxima permitida en la barra n. min n Tensión mínima permitida en la barra n. V LISTA DE SÍMBOLOS xd′ j Reactancia transitoria del generador j. xk xl xtr Ybarra Reactancia serie del elemento k. Reactancia serie de la línea de transmisión. Reactancia de dispersión del transformador. Matriz de admitancias de barra del sistema. YDn Carga de admitancia constante conectada a la barra n. Yk Admitancia serie del elemento k. Ymn Zk α δ estmax. Admitancia conectada entre las barras m y n. Impedancia serie del elemento k. Parámetro de crecimiento de carga. Límite superior de estabilidad del ángulo del rotor. δ estmin. δ max δ min δ ref Límite inferior de estabilidad del ángulo del rotor. Límite superior del ángulo del rotor. Límite inferior del ángulo del rotor. Ángulo de referencia. ∆ωrmax Límite superior de la variación de la velocidad angular del rotor. ∆ω ∆t Límite inferior de la variación de la velocidad angular del rotor. Paso de integración. Ángulo de la admitancia . min r θ mn ϕ nmax ϕ nmin ω0 ω0m Ángulo de la tensión máximo permito en la barra n. Ángulo de la tensión mínimo permito en la barra n. Velocidad angular eléctrica nominal del rotor. Velocidad angular nominal del rotor. Conjuntos G Gn N R RL Conjunto de cargas localizadas en la barra n. Conjunto de generadores. Conjunto de generadores localizados en la barra n. Conjunto de barras. Conjunto de ramas de la red. Conjunto de líneas de transmisión ( RL ⊂ R ). RT T θn Conjunto de transformadores ( RT ⊂ R ). Número de puntos de discretización. Conjunto de barras conectadas a la barra n a través de una rama. Dn xv Resumen de la tesis. En esta tesis se aborda el problema del Flujo de Potencia Óptimo con Restricciones de Estabilidad Transitoria, herramienta necesaria para la determinación del punto de operación óptimo de un sistema de potencia cuando es sometido a grandes perturbaciones. El objetivo central de la tesis es implementar un programa de optimización que incluya: las ecuaciones que representan un flujo de potencia convencional, las restricciones técnicas de operación, las limitaciones técnicas de los equipos de un sistema de potencia y el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el modelo del sistema para análisis de estabilidad transitoria. Dichas ecuaciones diferenciales, para poder ser incluidas en el problema de optimización, son escritas en forma algebraica y discretizadas por medio de la regla trapezoidal. El problema propuesto presenta una formulación matemática compleja y no lineal, con funciones multiobjetivo adaptadas a los casos estudiados. El problema de optimización genérico es implementado para un sistema eléctrico de estudio de 5 barras y dos generadores, sobre el que se analizan tres casos de optimización: 1. Despacho económico con relajación del límite de estabilidad angular. 2. Determinación de la mínima inercia necesaria para garantizar la estabilidad angular del sistema para una falta de larga duración. 3. Análisis de máxima carga del sistema considerando restricciones dinámicas y estáticas, y determinación de las medidas correctivas necesarias en caso de inestabilidad. Los resultados obtenidos muestran la eficacia de la formulación propuesta y las perspectivas de aplicación para este tipo de algoritmos. Summary. This thesis analyses the problem of the Optimal Power Flow with Transient Stability Constraints, a necessary tool for calculating the optimal operational point of a power system subjected to large disturbances. The main objective of this thesis is the implementation and use of an optimization algorithm, including: the equations of the conventional power flow, the operational restrictions of the system, the technical limitations of the equipments and the set of differential equations describing the system behavior in transient stability analyses. These differential equations, to be included in the optimization problem, are expressed in algebraic form and discretized by using the trapezoidal rule. The proposed optimization problem presents a complex and nonlinear formulation, with multiobjective functions related to the case to be analyzed. The optimization problem is applied to a test power system of five buses and two generators, performing three cases of study: 1. The economic dispatch, with relaxation of the maximum angle for stability of the system. 2. Calculation of the minimum of inertia required to maintain the angular stability of the system, facing a fault of long duration. 3. Analyses of the maximum load ability of the system considering static and dynamic constraints, and identification of corrective actions in the case of instability. The obtained results show the effectiveness of the proposed formulation and the perspectives for this kind of algorithms. Capítulo 1 Introducción En este capítulo se presentan las finalidades que motivan el estudio y desarrollo del presente trabajo, como así también se especifican los objetivos que se persiguen durante el mismo. Por último, se presenta la estructura organizativa de la tesis. 1.1 Motivación Los mercados de electricidad actuales ofrecen soluciones para el despacho de los generadores basándose en modelos de despacho económico que, en general, no consideran explícitamente las restricciones de estabilidad transitoria. Sin embargo, el operador del sistema debe garantizar la seguridad del mismo durante la operación en tiempo real, por lo que debe estudiar la factibilidad de la operación siguiendo también criterios dinámicos. Los posibles problemas de estabilidad pueden implicar alteraciones de las soluciones de mercado, a través de modificaciones realizadas a la potencia entregada por los generadores (redespacho de generación), ajuste de los dispositivos de control de tensión y de flujo de potencia y ajuste del consumo de carga (control de demanda o corte de carga). Se espera en general que el control de seguridad modifique lo menos posible la solución del despacho económico original. A fin de garantizar que los ajustes de seguridad impacten mínimamente en la solución del mercado inicial sería conveniente modelar en forma conjunta el comportamiento del sistema y las restricciones de seguridad, resolviendo estos problemas en un solo paso. Esta tesis propone un algoritmo para dicha resolución, basado en la bibliografía existente y con algunos aspectos innovadores. Hasta hace poco tiempo, la única forma de analizar el comportamiento dinámico del sistema ante una perturbación consistía en la simulación de la evolución del sistema en el tiempo y observar, a través de las correspondientes salidas gráficas o índices, la respuesta del sistema. Actualmente, el avance sostenido de los recursos computacionales y la consolidación de los métodos de optimización para la resolución de problemas de gran porte, permiten considerar la posibilidad de representar estrictamente las ecuaciones dinámicas del sistema para análisis de estabilidad transitoria dentro de un problema de optimización. El Flujo de Potencia Óptimo (FPO, u OPF por sus siglas en inglés) es una herramienta apropiada y bien probada, que podrá ser también utilizada para identificar las acciones de control necesarias para garantizar un nivel de seguridad adecuado, antes de la operación en tiempo real. 1 2 1. Introducción La principal ventaja relativa a la inclusión del modelo dinámico del sistema dentro de un FPO consiste en la posibilidad de dar una dirección preferente a la resolución de las ecuaciones dinámicas, cuando el número de variables supera al número de ecuaciones. Así, es posible minimizar o maximizar índices de desempeño, a fin de que el comportamiento del sistema sea lo más estable o económico posible. La principal desventaja asociada a dicha representación es el elevado número de ecuaciones que componen el problema de optimización, aún para sistemas de potencia simples, lo que resulta en elevados tiempos de cálculo para los ordenadores actuales. Sin embargo, el análisis dinámico utilizando algoritmos de optimización permite obtener una herramienta necesaria para el estudio de los sistemas de potencia actuales, operando bajo reglas de mercado y, en muchos casos, en condiciones técnicas límite. 1.2 Objetivos de la tesis El objetivo central de esta tesis es implementar un programa de optimización que incluya las ecuaciones que representan un FPO convencional, las restricciones técnicas de un sistema de potencia y el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el modelo del sistema para análisis de estabilidad transitoria. Los objetivos específicos son: 1. Identificar aquellas variables del sistema de potencia que afectan el estado de estabilidad transitoria del mismo. 2. Implementar una herramienta basada en algoritmos convencionales de resolución, que permita incluir en un mismo problema las restricciones técnicas y, en forma explícita, las restricciones de estabilidad transitoria del sistema de potencia. 3. Probar la herramienta implementada con un sistema de potencia reducido, optimizando distintas funciones objetivo que permitan: a. determinar condiciones de operación seguras del sistema expuesto a perturbaciones; b. obtener medidas correctivas en situaciones de inestabilidad; c. realizar análisis preliminares de planificación de la expansión del sistema, para garantizar la estabilidad del mismo en el largo plazo. 1.3 Organización de la tesis Los capítulos siguientes de esta tesis están organizados como sigue: El Capítulo 2 contiene una revisión de los conceptos y definiciones referidos a la estabilidad en sistemas de potencia, desarrollando la teoría sobre la estabilidad transitoria por medio de un ejemplo simple. También se detallan las etapas en el modelado del sistema de potencia para preparar un estudio de estabilidad, se mencionan los métodos utilizados en la resolución del modelo y se hace una breve interpretación de las curvas de oscilación que se pueden obtener de un estudio de este tipo. En el Capítulo 3 se incluye la revisión bibliográfica sobre el problema del flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria, se desarrolla la formulación 1.3 Organización de la tesis 3 matemática del mismo y se plantea el procedimiento de resolución del problema adoptado en esta tesis. En el Capítulo 4 se presenta el sistema eléctrico de estudio y se desarrollan las ecuaciones representativas de las restricciones del sistema. Se describen también los casos a estudiar sobre dicho sistema, presentándose la función objetivo a ser utilizada en cada caso. El Capítulo 5 contiene los resultados de los casos de optimización planteados en el Capítulo 4 y el análisis de los mismos, presentando soluciones particulares de algunos resultados óptimos obtenidos y la evolución de las variables del sistema para cada caso de optimización. El Capítulo 6 proporciona las conclusiones más relevantes de este trabajo, así como las posibles líneas de investigación futuras. Capítulo 2 Estabilidad en sistemas de potencia La estabilidad de sistemas de potencia se reconoció como un problema a partir de (aproximadamente) 1920, cuando la estructura característica de los sistemas consistía en plantas generadoras ubicadas a grandes distancias de los centros de carga. Estos tempranos problemas de estabilidad, frecuentemente como resultado de un insuficiente par de sincronización, resultaron en los primeros casos de inestabilidad transitoria. La estabilidad es una propiedad de un sistema que depende del punto de funcionamiento y la perturbación a la que es sometido. Una red eléctrica sometida a la misma perturbación puede ser estable en un punto de funcionamiento (por ejemplo, en hora valle) e inestable en otro (por ejemplo, en hora punta). Del mismo modo, una red en un punto de funcionamiento puede ser estable ante una perturbación e inestable ante otra. En consecuencia, los estudios de estabilidad suelen precisar el análisis de un número de casos elevado, para así poder abarcar las distintas perturbaciones de interés y los principales puntos de funcionamiento del sistema [1]. A pesar de las diferentes categorías de estabilidad que han surgido en el sistema de potencia, y que se han convertido en un problema en los últimos años, la estabilidad transitoria sigue siendo una consideración básica e importante en el diseño del sistema de potencia y en su operación. Si bien es cierto que el funcionamiento de muchos sistemas de potencia está limitado por fenómenos tales como la estabilidad de tensión o la estabilidad angular de pequeña señal, la mayoría de los sistemas son propensos a la inestabilidad transitoria en determinadas condiciones o contingencias y, por lo tanto, la comprensión y análisis de la estabilidad transitoria de un sistema siguen siendo fundamentales [2]. Esta sección contiene una revisión de la literatura técnica y del estado del arte de tópicos relacionados con la estabilidad de sistemas de potencia, incluyendo conceptos físicos, clasificación y definición de términos relacionados. También se desarrollan los conceptos teóricos relacionados con la estabilidad transitoria de los sistemas de potencia, los que serán utilizados en el presente trabajo. 5 6 2. Estabilidad en sistemas de potencia 2.1 Revisión bibliográfica y definiciones Para iniciar el análisis de estabilidad transitoria, es necesario definir el concepto de estabilidad de un sistema de potencia: “La estabilidad del sistema de potencia es la capacidad de éste para, ante una dada condición de operación inicial, recuperar un estado de equilibrio operativo después de ser sometido a una perturbación física, con la mayoría de las variables del sistema acotadas por lo que prácticamente todo el sistema permanece intacto [3].” Un sistema de potencia moderno se puede representar como un proceso multivariable con ecuaciones de orden superior, cuya respuesta dinámica está influenciada por una amplia gama de dispositivos con diferentes características y respuestas. Dependiendo de la topología de la red, de la condición de operación del sistema y de la forma de la perturbación a que es sometido, el sistema puede experimentar un desequilibrio constante que conduce a diferentes formas de inestabilidad. Esencialmente, la estabilidad del sistema de potencia es un único problema. Sin embargo, las diversas formas de inestabilidad que un sistema puede sufrir no pueden ser correctamente entendidas y eficazmente tratadas si se las considera como tal. Surge así la necesidad de realizar una clasificación de los problemas de estabilidad que, debido a la alta dimensión y complejidad de los mismos, ayude a crear hipótesis de simplificación para analizar los tipos específicos de problemas con un grado de detalle de la representación del sistema y técnicas analíticas apropiadas [4]. Dicha clasificación ha sido establecida basándose en las siguientes consideraciones [3], [4]: • La naturaleza física del modo de oscilación como resultado de la inestabilidad, según lo indicado por la principal variable del sistema en la que la inestabilidad se puede observar; • El tamaño de la perturbación considerado, lo que influye en el método de cálculo y la predicción de la estabilidad; • Los dispositivos, procesos, y el intervalo de tiempo que hay que tener en cuenta para evaluar la estabilidad. La Fig. 1 presenta un panorama general del problema de estabilidad de sistemas de potencia, la identificación de sus categorías y subcategorías [3]. Con el fin de simplificar los cálculos, se hacen generalmente las siguientes suposiciones para todos los estudios de estabilidad: 1. Solamente se considerarán corrientes y tensiones de frecuencia sincrónica en los devanados del estátor y en el sistema de potencia. En consecuencia, no se consideran componentes de corriente continua ni armónicos. 2. Se usan componentes simétricas para la representación de faltas desbalanceadas. 2.1. Revisión bibliográfica y definiciones 7 3. Se considera que la tensión generada no se ve afectada por las variaciones en la velocidad de la máquina. Estas suposiciones permiten el uso del álgebra fasorial para las redes de transmisión y la solución a través de las técnicas de flujos de potencia mediante el uso de parámetros calculados a la frecuencia de red [5]. Fig. 1. Clasificación de estabilidad en sistemas de potencia. Las siguientes son descripciones breves de las distintas formas del fenómeno de estabilidad: 2.1.1 Estabilidad del ángulo del rotor La estabilidad angular del rotor se refiere a la habilidad de las máquinas sincrónicas de un sistema de potencia interconectado de permanecer en sincronismo después de ser sometido a una perturbación. La estabilidad entonces depende de la habilidad para mantener o restablecer el equilibrio entre el par electromagnético y el par mecánico de cada máquina sincrónica del sistema. La inestabilidad que puede resultar se produce en forma de oscilaciones angulares crecientes de unos generadores, que conduce a la pérdida de sincronismo con otros generadores del sistema. El problema de la estabilidad angular del rotor implica el estudio de las oscilaciones electromecánicas inherentes a los sistemas de potencia. Un factor fundamental en este problema es la manera en que la salida de potencia eléctrica de la máquina sincrónica varía según el cambio del ángulo de su rotor. Bajo condiciones de estado estable, hay equilibrio entre el par mecánico de entrada y el par electromagnético de salida, y la velocidad se mantiene constante. Si el sistema es perturbado, este equilibrio se altera, lo que resulta en la aceleración o desaceleración de los rotores de las máquinas de acuerdo a las leyes del movimiento de un cuerpo en rotación. Si un generador temporalmente gira más rápido que otro, la posición angular de su rotor avanzará en forma relativa al de la máquina más lenta. La diferencia angular resultante transfiere parte de la carga de la máquina lenta a la 8 2. Estabilidad en sistemas de potencia máquina rápida, dependiendo de la relación potencia ángulo. Esto tiende a reducir la diferencia de velocidad y por lo tanto la separación angular. La relación de potencia ángulo es altamente no lineal, por lo que más allá de un cierto límite, un aumento de la separación angular es acompañado por una disminución en la transferencia de potencia, de tal manera que la separación angular se incrementa aún más. Para cualquier situación dada, la estabilidad del sistema depende de si las desviaciones en las posiciones angulares de los rotores resultan en pares de restauración suficientes. La pérdida de sincronismo puede ocurrir entre una máquina y el resto del sistema, o entre grupos de máquinas, que mantienen el sincronismo dentro de cada grupo después de separarse el uno del otro [3], [4], [5]. El cambio en el par electromagnético de una máquina sincrónica después de una perturbación puede resolverse en dos componentes: • Componente sincronizante del par, en fase con la desviación angular del rotor. • Componente de amortiguación del par, en fase con la desviación de la velocidad. La estabilidad del sistema depende de la existencia de los dos componentes del par para cada una de las máquinas sincrónicas. La falta de suficiente par sincronizante resulta en inestabilidad aperiódica o no oscilatoria, mientras que la falta de par de amortiguación resulta en inestabilidad oscilatoria [4]. Para mayor comodidad en el análisis y para obtener información válida sobre la naturaleza de los problemas de estabilidad, es útil separar la estabilidad angular del rotor en términos de las dos siguientes subcategorías: 2.1.1.1 Estabilidad angular de pequeña señal Se refiere a la capacidad del sistema de potencia de mantener el sincronismo ante pequeñas perturbaciones, que se consideran lo suficientemente pequeñas como para permitir la linealización de las ecuaciones del sistema durante el análisis. La estabilidad de pequeña señal depende del estado de funcionamiento inicial del sistema. La inestabilidad se puede manifestar de dos formas: • Aumento en el ángulo del rotor, a través de un modo no oscilatorio o aperiódico, debido a la falta de par de sincronizante. • Oscilaciones del rotor de amplitud creciente debido a la falta de suficiente par de amortiguación. En los sistemas de alimentación actuales, el problema de la estabilidad angular de pequeña señal se asocia generalmente con oscilaciones de amortiguación insuficiente. El problema de la inestabilidad aperiódica se ha eliminado en gran parte por el uso de los reguladores de tensión del generador actuando continuamente, sin embargo, este problema todavía se puede producir cuando los generadores operan con excitación constante por la acción de los limitadores de excitación (limitadores de corriente de campo). 2.1. Revisión bibliográfica y definiciones 9 Se distinguen dos modos de oscilación que surgen a partir de pequeñas perturbaciones del sistema: • Modos locales o modos máquina-sistema, que están asociados con oscilaciones de unidades individuales de una planta generadora, con respecto al resto del sistema de potencia. • Modos inter-área, que están asociados con la oscilación de muchas máquinas en una parte del sistema contra máquinas en otra parte del mismo. Ellas son causadas por dos o más grupos de máquinas estrechamente unidos, que están interconectados por vínculos débiles entre sí. El marco de tiempo de interés en los estudios de estabilidad de pequeña señal es del orden de 10 a 20 segundos, después de la perturbación [3], [4]. 2.1.1.2 Estabilidad angular de gran señal Más comúnmente conocida como estabilidad transitoria, se refiere a la capacidad del sistema de potencia para mantener el sincronismo cuando se lo somete a una gran perturbación, como por ejemplo un cortocircuito en una línea de transmisión. La respuesta del sistema implica grandes excursiones del ángulo del rotor de los generadores y, al estar influenciada por la relación no lineal potencia ángulo, no permite la linealización del sistema de ecuaciones. La estabilidad transitoria depende tanto del estado de funcionamiento inicial del sistema como de la severidad de la perturbación. La inestabilidad se manifiesta usualmente en forma de separación angular aperiódica, debido al par sincronizante insuficiente, y se hace visible en la primera oscilación. Sin embargo, en grandes sistemas de potencia, la inestabilidad transitoria no siempre ocurre como una inestabilidad de la primera oscilación asociada a un modo único, sino que podría ser el resultado de la superposición de un modo de oscilación inter-área lento y un modo local, causando una gran excursión del ángulo del rotor más allá de la primera oscilación [3]. Los estudios de estabilidad de primera oscilación usan un modelo de generador detrás de una reactancia razonablemente simple, que consiste en una tensión interna transitoria . En estos estudios generalmente no se representan los sistemas de excitación ni los sistemas de control del gobernador de la turbina de las unidades generadoras, aunque esto depende del sistema en estudio y del objetivo que se persiga con el mismo [5]. Normalmente, el análisis de estabilidad transitoria es realizado usando una de las siguientes técnicas, siendo la primera de ellas la utilizada en el presente trabajo: • Simulación en el dominio del tiempo: consiste en la resolución, mediante métodos numéricos, de las ecuaciones algebraico-diferenciales que modelan el sistema. • Método directo: como pueden ser los basados en funciones de Lyapunov, o el criterio de áreas iguales. 10 2. Estabilidad en sistemas de potencia • Método híbrido: el problema modelado puede ser resuelto mediante la inclusión del cálculo de las funciones de Lyapunov en las simulaciones en el dominio del tiempo. Las simulaciones en el dominio del tiempo proporcionan la evolución de las variables del sistema con respecto al tiempo. Una práctica común para detectar la pérdida de sincronismo es verificar si la desviación del ángulo del rotor entre máquinas permanece dentro de un rango específico durante la simulación. Desafortunadamente, este rango es normalmente establecido usando métodos heurísticos y pueden depender del tamaño del sistema. En la Tabla 1 se listan algunos de los valores que han sido propuestos en la literatura [6]. Tabla 1. Límites de desviación angular del rotor. Referencia Límite de la desviación del ángulo del rotor [7], [8], [9] 5π/9 [10] 2π/3 [11] 4π/5 [12], [13] π El marco de tiempo de interés en los estudios de estabilidad transitoria es, generalmente, de 3 a 5 segundos después de la perturbación. Se puede extender de 10 a 20 segundos para sistemas muy grandes con oscilaciones inter-áreas dominantes, en cuyo caso se deben considerar los efectos de los sistemas de control de las unidades generadoras, ya que pueden afectar el comportamiento dinámico de las mismas [3], [4], [5]. 2.1.2 Estabilidad de tensión Se refiere a la capacidad de un sistema de energía para mantener la tensión constante en todas las barras del mismo, después de ser sometido a una perturbación partiendo de una condición de operación inicial conocida. Esta capacidad está relacionada con la habilidad del sistema de mantener o restablecer el equilibrio entre la demanda y la generación. La inestabilidad que pueda resultar se manifiesta en forma de un descenso o aumento progresivo de las tensiones de algunas barras. Un posible resultado de la inestabilidad de tensión es la pérdida de carga en un área, el disparo de las protecciones de las líneas de transmisión o de otros elementos de protección que pueden llevar a interrupciones en cascada. Estas interrupciones pueden producir la pérdida de sincronismo de algunos generadores o la operación en condiciones que violan el límite de la corriente de campo de los mismos. El principal factor causante de la inestabilidad por caída de tensión suele ser la carga que, en respuesta a una perturbación, tiende a restaurar la potencia consumida por la acción de ajuste del deslizamiento del motor, por los reguladores de tensión a nivel de la red de distribución, etc. Este intento por parte de la carga de restaurar la potencia consumida aumenta el consumo de potencia reactiva, provocando una reducción adicional de la 2.1. Revisión bibliográfica y definiciones 11 tensión y, si se fuerza el sistema más allá de la capacidad de la red de transporte y de la generación conectada, puede desencadenar en un colapso de tensión. La forma más común de la inestabilidad de tensión es la caída progresiva de las tensiones de barra. Sin embargo, el riesgo de inestabilidad por sobretensión también existe. Éste es causado por un comportamiento capacitivo de la red (líneas de transmisión operando por debajo de su potencia natural), así como por generadores y/o compensadores sincrónicos subexcitados para absorber el exceso de energía reactiva. En este caso, la inestabilidad se asocia con la incapacidad del sistema de transmisión y generación de operar por debajo de cierto nivel de carga. En su intento de restaurar la potencia demandada por la carga, las tomas de los reguladores automáticos de tensión de los transformadores cambian, produciendo inestabilidad de tensión de largo plazo. Otra forma del problema de estabilidad de tensión, que se traduce en sobretensiones no controladas, es la autoexcitación de las máquinas sincrónicas, lo que puede ocurrir si la carga capacitiva de una máquina sincrónica es demasiado grande. Entre los ejemplos de exceso de cargas capacitivas que pueden iniciar auto-excitación están las líneas de alta tensión abiertas, los condensadores en derivación y bancos de filtros de las estaciones de HVDC [3], [4], [14]. Al igual que en el caso de la estabilidad angular del rotor, es usual clasificar la estabilidad de tensión en dos subcategorías: 2.1.2.1 Estabilidad de tensión de pequeña señal Se refiere a la capacidad del sistema para mantener la tensión constante cuando se lo somete a pequeñas perturbaciones, como pueden ser cambios incrementales en la carga del sistema. Esta forma de la estabilidad se ve influenciada por las características de las cargas y los controles continuos y discretos en un instante de tiempo dado. Este análisis es útil para determinar, en cualquier instante, como las tensiones del sistema responderán a los pequeños cambios del mismo. Con hipótesis adecuadas, las ecuaciones del sistema se pueden linealizar para el análisis, extrayendo información de la sensibilidad, útil en la identificación de factores que influyen en la estabilidad. Esta linealización, sin embargo, no puede dar cuenta de los efectos no lineales, tales como los controles del cambiador de tomas. Por lo tanto, en general se utiliza una combinación de análisis lineal y no lineal de manera complementaria [15], [16]. 2.1.2.2 Estabilidad de tensión de gran señal Se refiere a la capacidad del sistema para mantener la tensión constante tras ser sometido a grandes perturbaciones, como faltas en el sistema, pérdida de generación, etc. Esta capacidad es determinada por el sistema, las características de la carga, las interacciones de los sistemas de control continuos y discretos y, también, por las protecciones. La determinación de la estabilidad de tensión de gran señal requiere del análisis de la respuesta no lineal del sistema de potencia durante un período de tiempo suficiente para capturar el comportamiento y las interacciones de los dispositivos tales como motores, variadores de tomas bajo carga de los transformadores, y limitadores de corriente de campo de los generadores. El período de estudio de interés se puede extender desde unos pocos segundos a decenas de minutos [3], [14]. 12 2.1.3 2. Estabilidad en sistemas de potencia Estabilidad de frecuencia Se refiere a la capacidad de un sistema de potencia para mantener la frecuencia constante después de una perturbación severa, producida por un desequilibrio importante entre generación y carga, con la mínima pérdida involuntaria de esta última. La inestabilidad (si existe) se manifiesta en la forma de oscilaciones de frecuencia sostenidas, que llevan a la desconexión de unidades generadoras y/o cargas. Generalmente, grandes perturbaciones en el sistema dan lugar a grandes excursiones de la frecuencia, de los flujos de potencia, de la tensión y otras variables del sistema, de tal forma que se provocan acciones de los procesos, controles y protecciones que no son modelados en estudios convencionales de estabilidad transitoria o de estabilidad de tensión. Estos procesos pueden ser muy lentos, como la dinámica de las calderas, o sólo ser activados para las condiciones extremas del sistema, tal como la protección tensión/frecuencia para el disparo de generadores. En los grandes sistemas de potencia interconectados, este tipo de situaciones está comúnmente asociado con las condiciones que siguen a la división del sistema en islas. Durante las excursiones de frecuencia, los tiempos característicos de los procesos y dispositivos que se activan van desde la fracción de segundo (lo que corresponde a la respuesta de dispositivos de acción rápida, tales como protecciones y controles de subfrecuencia de la carga y del generador) a varios minutos (relacionados a la respuesta de dispositivos tales como los sistemas de suministro de energía de la máquina primaria y los reguladores de tensión en carga). Por lo tanto, la estabilidad de frecuencia puede ser un fenómeno a corto plazo o largo plazo [3]. 2.2 Análisis de estabilidad transitoria De los modelos de estabilidad anteriormente enunciados, la estabilidad transitoria es la más estrechamente relacionada con los estudios realizados en el presente trabajo. Por consiguiente, en esta sección se presentará con mayor detalle este tipo de análisis de estabilidad. La estabilidad transitoria, como se describió anteriormente, es la capacidad del sistema eléctrico para mantener el sincronismo cuando es sometido a una perturbación fuerte, por ejemplo una falta en la red de transporte, pérdida de generación o pérdida de una cantidad importante de carga. El sistema eléctrico responde a una perturbación de estas características mediante grandes variaciones del ángulo de los generadores sincrónicos y grandes oscilaciones de los flujos de potencia, de las tensiones y de otras variables del sistema. Si la separación angular entre generadores sincrónicos permanece acotada, entonces el sistema mantiene el sincronismo, en caso contrario pierde el sincronismo, lo cual suele hacerse evidente transcurridos 2 ó 3 segundos desde la perturbación [4], [5]. 2.2.1 Teoría básica de estabilidad transitoria En la Fig. 2 se representan las gráficas de evolución temporal (curvas de oscilación) del ángulo del rotor de un generador en dos situaciones diferentes. 2.2. Análisis de estabilidad transitoria 13 Las curvas de oscilación muestran si el ángulo del rotor del generador se recupera y oscila en torno a un nuevo punto de equilibrio después de la perturbación,, como se muestra en la Fig. 2 (a), o si aumenta y se produce inestabilidad, como se indica en la Fig. 2 (b). Dos conceptos son esenciales en la comprensión de la estabilidad transitoria: la ecuación de oscilación y la relación potencia ángulo. ángulo. Estos pueden ser usados juntos para describir el criterio de áreas iguales, un enfoque gráfico para evaluar la estabilidad transitoria en sistemas sencillos [4], [5]. Fig. 2. Curvas de oscilación del ángulo del rotor durante un transitorio. 2.2.1.1 Dinámica del rotor y la l ecuación de oscilación La ecuación que gobierna el movimiento del rotor de una máquina sincrónica se basa en un principio elemental de la dinámica, di que establece que el par de aceleración es igual al producto del momento de inercia del rotor por su aceleración angular [4], [4] [5]. J dωm = Ta = Tm − Te dt [N.m] (2.1) donde: J ωm t Ta Tm Te es el momento de inercia total (turbina mas generador) en [kg·m [kg·m2]; es la velocidad angular mecánica del rotor en [rad/s]; es el tiempo en [s]; [ es el par de aceleración en [N·m]; [ es el par mecánico en [N·m]; [ es el par electromagnético en [N·m]. [ Se considera que el par mecánico y el electromagnético son siempre positivos para un generador sincrónico.. Bajo operación en estado estable del generador, los citados pares son iguales, por lo que el par de aceleración es nulo. En este caso no hay aceleración ni desaceleración del rotor y la velocidad de rotación es constante constante e igual a la sincrónica. Definiendo la constante de inercia H como el cociente entre la energía cinética almacenada en MJ a velocidad sincrónica, sincrónica sobre la capacidad de la máquina en MVA 14 2. Estabilidad en sistemas de potencia 1 J ω02m 2 H= Smáq donde: [MW·s/MVA] (2.2) ω0m es la velocidad angular nominal del rotor en [rad/s]; Smaq es la potencia aparente nominal de la máquina en [MVA]. Despejando de (2.2) el momento de inercia en términos de H y reemplazándolo en (2.1), se obtiene: 2H d ωm dt ω0 m Taω0 m ( Tm − Te ) ω0 m = = S máq S máq (2.3) Recordando, de la dinámica elemental, que la potencia es igual al par por la velocidad angular ω0m, y usando cantidades en por unidad (pu), se reescribe (2.3) como 2H d ωm = Pa = Pm − Pe dt [pu] (2.4) donde: es la potencia acelerante en [pu]; es la potencia mecánica en [pu]; es la potencia eléctrica en [pu]. En la ecuación anterior ωm = donde: ωm ωr / p f ωr = = ω0 m ω0 / p f ω0 (2.5) ωr es la velocidad angular eléctrica del rotor en [rad/s]; ω0 es la velocidad angular eléctrica nominal del rotor en [rad/s]; pf es el número de pares de polos de campo. Si δ es la posición angular del rotor en radianes eléctricos con respecto a una referencia rotando sincrónicamente, y δ0 es su valor en = 0, se tiene: δ = ωr t − ω0t + δ 0 [rad] Derivando la ecuación anterior respecto del tiempo, se obtiene: (2.6) 2.2. Análisis de estabilidad transitoria dδ = ωr − ω0 = ∆ωr dt donde: 15 [rad/s] (2.7) ∆ωr es la variación de la velocidad angular eléctrica del rotor en [rad/s]. Combinando convenientemente las ecuaciones (2.5) y (2.7), y derivando nuevamente respecto del tiempo, se obtiene: d ωm d 2δ d ωr d ω = = ω0 r = ω 0 2 dt dt dt ω0 dt [rad/s 2 ] (2.8) y reemplazando (2.8) en (2.4), se puede escribir 2 H d 2δ = Pa = Pm − Pe ω0 dt 2 [pu] (2.9) Por lo general se desprecian las pérdidas rotacionales y las pérdidas por efecto Joule de la armadura, se considera que Pm es la potencia suministrada por la fuente de energía mecánica y Pe es la salida de potencia eléctrica. La ecuación (2.9), llamada ecuación de oscilación de la máquina, es la expresión fundamental que gobierna la dinámica rotacional de la máquina sincrónica en los estudios de estabilidad. En los capítulos siguientes, cuando se use la ecuación anterior, se prescindirá del uso de la superbarra para indicar las cantidades en por unidad, por cuestiones de simplicidad en la notación. 2.2.1.2 La ecuación potencia ángulo En la ecuación de oscilación de un generador, la entrada de potencia mecánica que proviene de la fuente de energía mecánica, Pm, es considerada constante para los tiempos de simulación utilizados en el presente trabajo. Ésta es una suposición razonable, ya que las condiciones en la red eléctrica pueden cambiar antes de que el control gobernador de la turbina cause la reacción de ésta. Como en (2.9) Pm es constante, la salida de potencia eléctrica Pe determinará si el rotor se acelera, desacelera o permanece a la velocidad sincrónica. Cuando Pe es igual a Pm, la máquina opera a velocidad sincrónica de estado estable, pero, por el contrario, cuando Pe cambia de valor, el rotor se desvía de la velocidad sincrónica. Los cambios en Pe se determinan por las condiciones en las redes de transmisión y distribución, así como por las cargas del sistema. Las perturbaciones en las redes eléctricas, que resultan de cambios severos en las cargas, faltas en la red u operaciones de los interruptores, pueden causar que la salida de potencia eléctrica Pe de alguno de los generadores del sistema cambie rápidamente, produciendo transitorios electromecánicos [5]. La suposición fundamental para la determinación de la ecuación potencia ángulo es que el efecto que tienen las variaciones de velocidad de la máquina sobre la tensión generada es 16 2. Estabilidad en sistemas de potencia despreciable. Por lo tanto, la manera en la que Pe cambia está determinada por las ecuaciones del flujo de potencia y por el modelo que se seleccione para representar el comportamiento eléctrico de la máquina [5]. La Fig. 3 representa esquemáticamente un generador que suministra potencia, a través de un sistema de transmisión, al extremo receptor de un sistema en la barra 1. El rectángulo representa al sistema de transmisión de componentes pasivos lineales e incluye la reactancia transitoria del generador. La tensión representa la tensión interna del generador en la barra 1, y es la tensión en el extremo receptor de la red, si se considera que éste es una barra infinita o la tensión interna de un motor sincrónico. Fig. 3. Esquema de un sistema de potencia. La matriz de admitancias de barra para la red reducida de dos nodos, es [5], [17]: Y Y Ybarra = 11 12 Y21 Y22 (2.10) donde: Ybarra es la matriz de admitancias de barra del sistema. La potencia inyectada en la barra 1, expresada como potencia compleja, se define como S1 = P1 + jQ1 = E1′·I1∗ (2.11) donde: es la potencia eléctrica aparente del generador; es la potencia activa de salida del generador; es la potencia reactiva de salida del generador. La corriente inyectada en la barra 1 se puede expresar como I1∗ = Y11∗·E1′∗ (2.12) Si se define E1′ = E1′ δ1 y E2′ = E2′ δ 2 (2.13) 2.2. Análisis de estabilidad transitoria Y11 = Y11 θ11 17 Y12 = Y12 θ12 (2.14) Combinando (2.12), (2.13) y (2.14), reemplazando en (2.11) y separando esta en partes real e imaginaria, se obtiene: P1 = E1′ · Y11 cos ( −θ11 ) + E1′ · E2′ · Y12 cos ( δ1 − δ 2 − θ12 ) (2.15) Q1 = E1′ · Y11 sen ( −θ11 ) + E1′ · E2′ · Y12 sen (δ1 − δ 2 − θ12 ) (2.16) 2 2 La ecuación (2.15) se puede escribir de forma más simplificada como Pe = Pc + Pmax cos (δ1 − δ 2 − θ12 ) (2.17) Esta ecuación, donde se ha reemplazado por , usualmente se llama ecuación potencia ángulo. Su gráfica, en función de δ, se denomina curva potencia ángulo. Los parámetros 2 Pc = E1′ · Y11 cos ( −θ11 ) , Pmax = E1′ · E2′ · Y12 y el ángulo son constantes para una configuración de red dada y magnitudes de tensión y constantes. 2.2.1.3 Una visión elemental de la estabilidad transitoria: el criterio de áreas iguales En las secciones anteriores se desarrollaron las ecuaciones de oscilación y de potencia ángulo, respectivamente. Estas ecuaciones son de naturaleza no lineal y, salvo en situaciones simples y/o bajo aproximaciones particulares, son muy difíciles de resolver en forma explícita para sistemas reales. Con el fin de examinar la estabilidad transitoria de un sistema de dos máquinas sin resolver la ecuación de oscilación, se puede usar un enfoque directo, como se analiza a continuación por medio de un ejemplo [1], [5], [18]: El sistema representado en la Fig. 4, cuyo circuito equivalente se muestra en la Fig. 5, contiene un generador sincrónico, representado por una fuente de tensión interna E1′ δ1 detrás de una reactancia sincrónica , unido a través de un transformador de reactancia de dispersión y de dos líneas en paralelo, de reactancias y respectivamente, a una barra de la red de transporte de frecuencia constante y tensión fija E2′ 0 . Esta barra se denomina barra de potencia infinita, y representa una red muy fuerte. En general, cuanto mayor es la potencia de cortocircuito de una barra y cuanto mayor es la inercia de los generadores de la red a la que está conectado, más se acerca al ideal de barra de potencia infinita. Todas las pérdidas del sistema son despreciadas en este análisis. El comportamiento dinámico del generador sincrónico se representa mediante el modelo clásico, de modo que la tensión interna E1′ queda fija y el ángulo δ 1 varía siguiendo las oscilaciones mecánicas del rotor. Los valores E1′ y corresponden al periodo transitorio, ya que es el periodo que más influye sobre las primeras oscilaciones del generador, las más críticas desde el punto de vista de la estabilidad del sistema. Por otro lado, se desprecia el efecto del regulador de velocidad. 18 2. Estabilidad en sistemas de potencia Fig. 4. 4 Sistema de un generador y barra infinita. La ecuación potencia ángulo (2.17), ( adaptada a este sistema, adquiere la siguiente forma: Pe = E1′· E2′ senδ1 = Pmax senδ1 Xt (2.18) donde: es la reactancia equivalente del circuito. Fig. 5. Circuito equivalente. La representación gráfica de (22.18) se muestra en la Fig. 6, donde en abscisas se representa el ángulo δ y en ordenadas la potencia. Inicialmente el generador está operando a velocidad sincrónica con un ángulo inicial de rotor δ , y la potencia mecánica de entrada es igual a la potencia eléctrica de salida , como se muestra en el punto a de la Fig. 6 (a),, cuando ocurre una falta trifásica a tierra en la barra 2 (ver Fig. 4). En ese instante, = 0,, la potencia eléctrica de salida repentinamente es cero, mientras la l potencia mecánica de entrada no se altera, como se muestra en la Fig. 6 (b). (b) La diferencia de potencia debe considerarse la razón del cambio de energía cinética cinética almacenada en la masa del rotor, y esto sólo se puede llevar a cabo si hay incremento de la velocidad como resultado de tener una potencia de aceleración constante. Durante el tiempo necesario para librar la falta , el incremento de velocidad relativa r del rotor respecto de la sincrónica hace que el ángulo del rotor avance de δ hasta δ ; esto es, el ángulo va desde b hasta c en la Fig. 6 (b). Cuando la falta se libera, la potencia eléctrica de salida se incrementa abruptamente hasta un valor que corresponde al punto d en la curva potencia ángulo. En este punto, la potencia eléctrica de salida excede a la potencia mecánica de entrada y, y como consecuencia, cia, el rotor se va deteniendo conforme va desde d a e,, ya que si bien la derivada del ángulo (velocidad angular) es positiva, la derivada segunda (aceleración angular) es negativa. En el punto e la velocidad del rotor es nuevamente la sincrónica (la derivada del ángulo se anula), aunque el ángulo de éste ha avanzado hasta δ . Este ángulo está determinado por el hecho de que las áreas A1 y A2 2.2. Análisis de estabilidad transitoria 19 sean iguales, como se explicará en la próxima sección. sección. La potencia de aceleración en el punto e es negativa y así, el rotor no puede permanecer a la velocidad sincrónica y comienza a frenarse. La velocidad relativa es negativa y el ángulo del rotor se mueve hacia atrás desde δ en el punto e, a lo largo de la curva potencia ángulo, hasta alcanzar el sincronismo en el punto f,, donde las áreas A3 y A4 son iguales, ver Fig. 6 (c). En ausencia de amortiguamiento, to, el rotor continuará oscilando, alcanzando la velocidad sincrónica en los punto e y f. Fig. 6. Curvas potencia ángulo. En un sistema donde una máquina está oscilando con respecto a una barra infinita, se debe usar este principio para determinar la estabilidad del sistema bajo condiciones transitorias, sin que se tenga que resolver la ecuación de oscilación. Éste es un método gráfico grá de evaluación de la estabilidad transitoria aplicable a sistemas sencillos. Su mayor interés inter no reside en su uso práctico, ya que su aplicación es difícil en los sistemas eléctricos reales, sino en su carácter gráfico fico e intuitivo, porque facilita la comprensión de los conceptos fundamentales involucrados en las oscilaciones electromecánicas en sistemas s eléctricos [1], [5]. 20 2. Estabilidad en sistemas de potencia 2.2.1.4 Fundamento matemático del criterio de áreas iguales Como se indicó en la sección anterior, el ángulo δ está determinado por el hecho de que las áreas A1 y A2 sean iguales. Para demostrar esto es necesario recordar la ecuación de oscilación de la máquina, que se reescribe a continuación para mayor comodidad [1], [18]: 2 H d 2δ = Pm0 − Pe ω0 dt 2 Reorganizando y multiplicando por 2" /" , se obtiene: dδ d 2δ ω0 dδ = Pm0 − Pe 2 dt dt H dt (2.19) d dδ ω0 dδ = Pm0 − Pe dt dt H dt (2.20) 2 ( ) o bien 2 ( ) Integrando entre dos puntos cualesquiera A y B, se obtiene: ω0 dδ dδ dt − dt = ∫ H Pm0 − Pe d δ B A A 2 2 B ( ) (2.21) Se necesitan dos puntos A y B en los que la derivada de la desviación angular δ sea nula, para que el miembro de la izquierda también sea nulo. Uno de ellos puede ser el punto de funcionamiento inicial δ0, puesto que al estar en régimen permanente la desviación angular permanece constante. El segundo punto, observando la Fig. 6 (b), puede ser el punto correspondiente a la máxima desviación angular δ . Como se ha señalado, en dicho punto la desviación angular ha alcanzado su valor máximo y comienza a decrecer, por lo que su derivada es nula. Por tanto, se puede escribir δ max ∫ δ 0 ω0 (P m0 H ) − Pe d δ = 0 (2.22) o bien, separando la integral en dos partes y reordenando δc ω0 ∫ (P δ H m0 0 ) − Pe d δ = δ max ∫ δ c ω0 H ( P − P ) dδ e m0 (2.23) El primer sumando es el área rayada A1 de la Fig. 6 (b) y se aplica al periodo de falta, mientras que el segundo sumando es el área rayada A2, y corresponde al periodo inmediato 2.2. Análisis de estabilidad transitoria 21 posterior a la falta hasta el punto de máxima oscilación. Por tanto, la (2.23) indica que ambas áreas son iguales. Esta conclusión se conoce como el criterio de áreas iguales, y permite, conociendo el punto de funcionamiento inicial y la perturbación aplicada, determinar gráficamente la oscilación máxima δmax y ayudar a evaluar la estabilidad del sistema sin recurrir a métodos de integración numérica [1]. 2.2.2 Estudios de estabilidad transitoria en sistemas eléctricos El criterio de áreas iguales puede ser útil en casos sencillos como el descrito en la sección anterior, pero su aplicación resulta muy complicada en sistemas reales. Aunque esencialmente el fenómeno físico que se observa en los problemas sencillos (dos máquinas con modelos simplificados) es el mismo que en el caso de sistemas reales (múltiples máquinas con modelos detallados), la complejidad de los cálculos numéricos se incrementa notablemente para los estudios de estabilidad transitoria de estos últimos. En la práctica, el método más común para analizar la estabilidad transitoria de los sistemas eléctricos, consiste en representar el conjunto de ecuaciones algebraico-diferenciales que rigen el comportamiento dinámico de los distintos elementos del sistema, e integrarlas numéricamente con la ayuda de una herramienta informática. Con el fin de simplificar la complejidad del modelado del sistema y, por tanto, la carga computacional, se hacen comúnmente las siguientes suposiciones en los estudios de estabilidad transitoria [5], [18]: 1. La potencia mecánica de entrada en cada máquina permanece constante durante todo el periodo de cálculo de la curva de oscilación. 2. La potencia de amortiguamiento es despreciable. 3. Se puede representar cada máquina por una reactancia transitoria constante en serie con una tensión interna constante. 4. El ángulo mecánico del rotor de cada una de las máquinas coincide con , que es el ángulo de fase eléctrico de la tensión interna de la máquina. 5. Todas las cargas se pueden considerar como impedancias en derivación a tierra con valores que se determinan por las condiciones que prevalecen inmediatamente antes de las condiciones transitorias. El modelo de estabilidad del sistema que se basa en las suposiciones anteriores se llama modelo clásico de estabilidad. Este modelo es muy usado para análisis de estabilidad, pero está limitado al estudio de transitorios de primera oscilación. Como se mencionó previamente, el sistema es representado por un conjunto de ecuaciones algebraico-diferenciales que pueden ser escritas en la forma xɺ (t ) F ( x (t ), y (t ), z ) 0 = G ( x (t ), y (t ), z ) (2.24) 22 2. Estabilidad en sistemas de potencia donde: $ es el vector que contiene las variables de estado (ej., el ángulo del rotor de los generadores, velocidad del rotor, etc.), x (t ) ∈ℜnx ; % es el vector que incluye variables algebraicas (ej., las magnitudes de tensión n en las barras de carga, potencia de salida de los generadores, etc.), y(t ) ∈ℜ y ; z es el vector de variables de control (ej., posición del tap de los transformadores, condensadores y reactores en derivación, etc.), z ∈ℜnz ; F ( x(t ), y(t ), z ) es una función no lineal asociada con las variables de estado $ que usualmente representa ecuaciones diferenciales, tales como aquellas asociadas a la dinámica de los generadores sincrónicos y de las cargas así como sus controles, n +n +n F : ℜ x y z → ℜnx ; G ( x(t ), y(t ), z ) representa el sistema de ecuaciones algebraicas, tales como las ecuaciones de balance de potencia de la red de transmisión y el comportamiento estático interno de los dispositivos pasivos (condensadores en derivación y cargas n +n +n n estáticas), G : ℜ x y z → ℜ y . 2.2.2.1 Modelo del sistema de potencia Para poder representar el conjunto de ecuaciones (2.24) en un sistema real, es necesario previamente definir los modelos de red, generador y carga a ser utilizados en los estudios clásicos de estabilidad. Teniendo en cuenta que el tamaño de las redes de transporte simuladas alcanza con frecuencia a los miles de barras, es normal que los modelos utilizados intenten representar sólo aquellos fenómenos trascendentes para la estabilidad del sistema y que se desprecien los que producen un efecto reducido sobre la misma [1]. Modelo de la red Los transitorios asociados con la red de transmisión decaen muy rápidamente y se extinguen para el tiempo de solución de la ecuación de oscilación [4]. Es por ello que es suficiente tratar la red, durante todo el período de análisis, como si se estuviese siempre en un estado estacionario. Para realizar un estudio de estabilidad transitoria hay que distinguir cuatro etapas, respecto de la topología de la red: Etapa 1: condición de estado estable previa a la perturbación, donde se resuelve un flujo de potencia convencional o un flujo de potencia óptimo para obtener las condiciones iniciales del sistema. En esta etapa se desprecia la reactancia transitoria y la tensión interna de los generadores, calculándose las potencias generadas y su tensión en bornes, la tensión en todas las barras internas de la red (barras de carga y barras de paso) tomando como referencia la barra de compensación, y los flujos de potencia por las líneas. Para la realización de estos cálculos se puede usar la matriz de admitancias, cuya dimensión se corresponde con el número de barras del sistema ( N ), definida por 2.2. Análisis de estabilidad transitoria Ybarra Y11 ⋮ = Ym1 ⋮ Yn1 … Y1m ⋱ ⋮ ⋯ Ymm ⋮ ⋯ Ynm 23 … Y1n ⋮ ⋯ Ymn , ⋱ ⋮ ⋯ Ynn ∀ ( m, n ) ∈ N (2.25) donde n Ymm = ∑ ymi i =1 Y = − y mn mn ∀ ( m, n ) ∈ N (2.26) Etapa 2: es la etapa inmediatamente previa a la perturbación, donde se determina la tensión interna de los generadores y se modifica la matriz de admitancias de barra. Para esto se incorporan las reactancias transitorias de cada uno de los generadores y la admitancia en derivación de cada carga, a la red de transmisión original (ver Fig. 7). Como sólo las barras internas de los generadores tienen inyecciones de corriente asociadas, se pueden eliminar todas las otras barras a través de la reducción de Kron [5], obteniendo así una matriz de admitancias reducida cuya dimensión se corresponde con el número de generadores ( G ). Sus elementos tendrán la forma yii = yii q ii yij = yij q ij ∀ ( i, j ) ∈ G (2.27) Fig. 7. Representación de un sistema de múltiples máquinas. Etapa 3: etapa durante la cual se aplica la perturbación, en la que se debe modificar la matriz de admitancias reducida para que represente el estado de la red durante la misma. 24 2. Estabilidad en sistemas de potencia Etapa 4: representa ell periodo post perturbación, requiriendo la modificación ción de la matriz de admitancias reducida para que represente el estado de la red cuando la perturbación haya sido despejada. Los modelos de líneas de transmisión y de transformadores, transformadores, para definir las admitancias de la red de transmisión, son desarrollados en el Anexo. Modelo de los generadores sincrónicos sincrónico Como fue indicado en las suposiciones realizadas para los estudios de estabilidad transitoria de primera oscilación, oscilación, los generadores serán representados por medio de su modelo clásico.. Este modelo consiste de una reactancia transitoria constante, en serie con una tensión interna constante durante todo el análisis (ver Fig. 8). Fig. 8. 8 Modelo clásico del generador sincrónico. La ecuación que representa la parte electromecánica del generador es la ecuación de oscilación (2.9), presentada en secciones previas. La misma es una ecuación diferencial de segundo orden, que se puede escribir como dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Para ello, dividiendo (2.7) por ω0, se obtiene: 1 dδ ωr − ω0 ∆ωr = = = ∆ωr ω0 dt ω0 ω0 (2.28) que, al ser derivada respecto del tiempo da 1 d 2δ d = ∆ω ω0 dt 2 dt r (2.29) Reemplazando (2.29) en (2.99) y reescribiendo (2.28) para un generador cualquiera j, se obtiene: d ∆ω r j 1 = · Pm j − Pe j 2H j dt , dδ j dt = ω0 ·∆ωrj ( ) ∀ j ∈G Las ecuaciones que representan la parte eléctrica de los generadores del sistema, son: (2.30) 2.2. Análisis de estabilidad transitoria Pe j − Qe j − 25 E ′jVn sen (δ j − ϕ n ) xd′ j = 0, E ′jVn cos (δ j − ϕ n ) − Vn2 xd′ j = 0, ∀ j ∈G, ∀ n ∈ N ∀ j ∈ G, ∀ n ∈ N (2.31) (2.32) donde: & ' es la potencia eléctrica activa del generador j; es la potencia eléctrica reactiva del generador j; es la tensión en bornes del generador conectado a la barra n;; es el ángulo la tensión & . Modelo de las cargas ados en la Fig. 9. Uno de los Las cargass son representadas por dos modelos estáticos mostrados modelos es el de potencia constante () * + () , válido durante la condición de estado estable previa a la perturbación. perturbación El otro es el de admitancia constante,, válido a partir de la etapa 2. La conversión de un modelo a otro se realiza por medio de la siguiente ecuación: YDn = PDn + jQDn VD2n ∀n ∈ N (2.33) donde: VDn es la tensión en la barra n anterior a la perturbación. Fig. 9. Modeloss de cargas: (a) potencia constante; (b) admitancia constante. constante 2.2.2.2 Métodos de integración numérica Las ecuaciones diferenciales del sistema de ecuaciones (2.24),, formado por las ecuaciones que representan los modelos descritos en la sección anterior, son ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales con valor inicial conocido. conocido Así, se pueden escribir como: como 26 2. Estabilidad en sistemas de potencia dx = f ( x, t ) dt con x = x0 en t = t0 (2.34) donde: $ es el vector de las variables de estado; es la variable independiente (tiempo). Las condiciones iniciales $, y son conocidas y corresponden al régimen permanente previo a la perturbación (calculado mediante flujo de potencias o flujo de potencias óptimo) o al estado final de una simulación anterior [4]. La solución de (2.34), para $ en como: = = * ∆ , puede ser expresada en forma integral t1 x1 = x0 + ∫ f ( x ,τ ) dτ (2.35) t0 Los métodos empleados para resolver (2.34) son variados y bien conocidos, pudiéndose encontrar extensa literatura que aborde su explicación en detalle. En general, pueden agruparse en dos categorías: métodos explícitos y métodos implícitos. Los métodos explícitos permiten calcular el vector de variables de estado en cada instante en función del valor de las variables en instantes anteriores. El método más sencillo es el de Euler, que presenta sin embargo propiedades algo insatisfactorias, tanto respecto a exactitud como a estabilidad numérica. En la práctica se usan otros métodos explícitos más avanzados, como los de tipo Runge-Kutta de segundo, tercer o cuarto orden, que aproximan la solución de (2.34) a través de la expansión en serie de Taylor de las ecuaciones originales. En general estos algoritmos no requieren la evaluación explícita de derivadas mayores que las de primer orden. Los métodos explícitos son fáciles de implementar, pero debe considerarse como una limitación significativa el hecho de que no son numéricamente estables [19], [20]. La estabilidad numérica está relacionada con la rigidez del conjunto de ecuaciones diferenciales que representan el sistema y está asociada con el rango de constantes de tiempo del mismo. Así, a la hora de representar simultáneamente fenómenos rápidos y lentos, las constantes de tiempo pequeñas obligan a emplear pasos de integración pequeños para preservar la estabilidad de la integración numérica, mientras la presencia de constantes de tiempo grandes obliga a simular periodos de tiempo largos para observar la respuesta del sistema. La presencia simultánea de constantes de tiempo pequeñas y grandes conduce a sistemas matemáticamente rígidos, que consumen grandes recursos computacionales [1], [4], [21]. Los métodos implícitos surgen como respuesta al problema de la representación de sistemas matemáticamente rígidos. Éstos métodos usan funciones de interpolación para la resolución de (2.34), requiriendo que las mismas sean evaluadas en puntos desconocidos de un paso de tiempo futuro. 2.2. Análisis de estabilidad transitoria 27 Uno de los métodos de integración implícita más simple y efectivo es la regla trapezoidal, que consiste en el planteamiento de (2.34) en la forma de (2.35) y la posterior resolución de ésta mediante su aproximación por trapecios de ancho ∆t. Así, el valor de $. será: x 1 = x0 + ∆t f ( x0 , t0 ) + f ( x1 , t1 ) 2 (2.36) En este tipo de métodos la incógnita no está despejada,, como puede verse en (2.36), requiriendo de un proceso iterativo para obtener la solución solución.. La rigidez del sistema a representar no afecta la estabilidad de estos m métodos de integración [1],, [4], [21]. 2.2.2.3 Interpretación de las curvas de oscilación Como fue mencionado anteriormente, las curvas de oscilación del ángulo del rotor de los generadores del sistema, graficadas para una perturbación particular o serie de perturbaciones,, son utilizadas para determinar la estabilidad transitoria del sistema de potencia. En particular, el factor más importante es la diferencia angular entre máquinas, donde el ángulo del rotor es medido con respecto a una referencia sincrónica rotante [18]. Esto es ilustrado en las Fig. 10 y Fig. 11, donde se grafica el ángulo eléctrico de cada uno de los generadores durante el transitorio de un hipotético sistema de tres máquinas. Fig. 10. Sistema estable. En la Fig. 10, los ángulos muestran un comportamiento oscilatorio sostenido alrededor de un nuevo punto de equilibrio, manteniendo una diferencia angular entre máquinas acotada que permite concluir que el sistema es estable. 28 2. Estabilidad en sistemas de potencia Fig. 11. Sistema inestable. Por otra parte, la Fig. 11 muestra claramente que el ángulo se separa indefinidamente de los ángulos y / , que mantienen una diferencia angular acotada entre sí, lo que permite concluir que el sistema en su conjunto es inestable. En el capítulo siguiente se presentará el problema del Flujo de Potencia otencia Óptimo con Restricciones de Estabilidad Transitoria T (FPO-RET, o TSC-OPF por sus siglas en inglés) con su formulación correspondiente. Capítulo 3 Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria En este capítulo se presenta una revisión bibliográfica sobre el problema del Flujo de Potencia Óptimo y del Flujo de Potencia Óptimo con Restricciones de Estabilidad Transitoria. Este último (FPO-RET) puede ser utilizado en la operación del sistema para determinar un punto de operación que garantice la estabilidad del mismo ante una perturbación dada y en la planificación a largo plazo para, por ejemplo, determinar la mejor forma de garantizar la estabilidad ante un incremento de la demanda o calcular los límites de estabilidad del sistema ante perturbaciones. El problema FPO-RET propuesto en este trabajo incluye, entre otras, ecuaciones del flujo de potencia previo a la perturbación; límites técnicos de los generadores, líneas y barras; ecuaciones de oscilación de tiempo discreto para todos los generadores del sistema; y el límite de estabilidad dado por la diferencia angular entre cada generador y la referencia. 3.1 Revisión bibliográfica En esta sección se presenta una revisión de la evolución del FPO-RET, haciendo especial hincapié en las técnicas utilizadas hasta el momento para la representación de las restricciones. 3.1.1 Flujo de potencia óptimo El problema del FPO fue introducido en la década de 1960 [22], y en la actualidad es considerado una de las herramientas más útiles para planificación y operación de sistemas eléctricos de potencia. En operación, un FPO permite determinar acciones de control óptimas considerando todas las restricciones operativas. En planificación, el FPO es utilizado para determinar escenarios óptimos en la evolución futura del sistema de potencia [23]. En general, el FPO es un problema de programación no lineal que determina la solución óptima del sistema, minimizando una función objetivo deseada sujeta a restricciones de igualdad y desigualdad [24]. El problema del FPO puede ser formulado en forma estándar como 29 30 donde 3. Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria min f (ω ) (3.1) sujeto a G(ω ) = 0 (3.2) H (ω ) ≤ 0 (3.3) ω es el vector que contiene las variables de estado, variables algebraicas, y las variables de control; f (·) es la función objetivo; G(·) son las restricciones de igualdad; H (·) son las restricciones de desigualdad. Las funciones objetivo más comunes incluyen minimizar el costo de generación, minimizar las pérdidas de potencia activa, minimizar las emisiones de generación, maximizar la seguridad del sistema, etc. [25], [26]. Las restricciones que se incorporan en un problema de FPO pueden ser divididas en restricciones de igualdad y de desigualdad, como se muestra en (3.2) y (3.3). Habitualmente, el conjunto de restricciones de igualdad está formado por las ecuaciones de balance del flujo de potencia activa y reactiva en cada una de las barras de la red, mientras que las restricciones de desigualdad representan límites técnicos y operacionales del sistema. Esta formulación básica del FPO fue extendida en los años ’70 para incluir criterios de seguridad [27]. El problema de optimización resultante, conocido como Flujo de Potencia Óptimo con Restricciones de Seguridad (FPO-RS, o SC-OPF, por sus siglas en inglés), incluye restricciones adicionales relacionadas con las condiciones de operación del sistema en caso que éste sufra una perturbación. El objetivo del problema del FPO-RS es garantizar que el sistema opera adecuadamente bajo las condiciones previas y post perturbación [23]. En el año 1995 se realiza la reunión “Challenges to OPF” (Desafíos del Flujo de Potencia Óptimo, organizada por IEEE), cuyas conclusiones se publican en [28]. En ese documento se plantea, entre otras cosas, el desafío de incluir restricciones de estabilidad en el problema del FPO como uno de los objetivos necesarios para la futura operación óptima del sistema. 3.1.2 Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria En el Capítulo 2, la ecuación (2.24) modela un sistema de potencia a ser analizado por medio de simulaciones en el dominio del tiempo, usando un conjunto de restricciones algebraicas y ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. En esta Sección, se incluirá un resumen de las principales propuestas encontradas en la literatura para la inclusión de las restricciones de estabilidad transitoria en el FPO. En [11] y [25], se propone reescribir dicha ecuación representando los límites del equipamiento del sistema por medio de restricciones de desigualdad, por lo que se obtiene: xɺ (t ) = F ( x(t ), y(t ), z ) (3.4) 3.1. Revisión bibliográfica 31 G ( x(t ), y(t ), z ) = 0 (3.5) H ( x(t ), y(t ), z ) ≤ 0 (3.6) donde: $ es el vector que contiene las variables de estado, x (t ) ∈ℜnx ; % es el vector que incluye variables algebraicas, y(t ) ∈ℜ y ; n z es el vector de variables de control, z ∈ℜnz ; F (·) es una función no lineal asociada con las variables de estado $ que usualmente representa ecuaciones diferenciales del modelo del sistema de potencia, n +n +n F : ℜ x y z → ℜnx ; G(·) representa el sistema de ecuaciones algebraicas que forman parte del modelo n +n +n del sistema de potencia, G : ℜ x y z → ℜ y ; H (·) representa las condiciones de operación, tales como los límites superior e n inferior de generadores y tensiones, H : ℜ nx + n y + nz → ℜn . En las ecuaciones (3.4)-(3.6) se asume que las derivadas parciales de primer orden de las funciones, respecto de las variables de estado y de control, existen y son continuas. Al realizar un estudio de estabilidad transitoria para una k-esima perturbación, el sistema de potencia, representado por (3.4) y (3.5) con el agregado de las restricciones de desigualdad (3.6), está sometido a cambios de configuración que pueden ser representados en tres etapas: • • Sistema pre-perturbación en = 0 F ( x, y , z ) = 0 (3.7) G ( x, y , z ) = 0 (3.8) H ( x, y , z ) ≤ 0 (3.9) Sistema durante la perturbación para ∈ 0, xɺ k (t ) = F1k ( x k (t ), y k (t ), z ) 3 2] con valor inicial x (3.10) G1k ( x k (t ), y k (t ), z ) = 0 (3.11) H1k ( x k (t ), y k (t ), z ) ≤ 0 (3.12) 32 3. Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria • 3 Sistema post perturbación para ∈ xɺ k (t ) = F2k ( x k (t ), y k (t ), z ) 2 , 56 . ] k con valor inicial x(tccf ) (3.13) G2k ( x k (t ), y k (t ), z ) = 0 (3.14) H 2k ( x k (t ), y k (t ), z ) ≤ 0 (3.15) donde: ( x , y , z ) se define como el punto de operación del sistema de potencia, siendo aquel punto que satisface (3.4) y (3.5), cumpliendo con las condiciones de operación (3.6); k es un parámetro que indica el k-esimo evento de perturbación; k tccf es el tiempo de despeje de la k-esima perturbación; tsim. es el periodo de estudio. Las ecuaciones (3.7)-(3.15), representan el modelo de estabilidad transitoria del sistema de potencia propuesto en [11]. A partir de aquí, se puede definir el FPO-RET como un problema de optimización no lineal en el espacio funcional, con restricciones algebraicas y diferenciales: min f ( x , y , z ) (3.16) sujeto a G 0 ( x , y , z ) = 0 (3.17) H 0 ( x, y, z ) ≤ 0 (3.18) xɺ k (t ) = F k ( x k (t ), y k (t ), z ) (3.19) x k (0) = x (3.20) G k ( x k (t ), y k (t ), z ) = 0 (3.21) H k ( x k (t ), y k (t ), z ) ≤ 0 (3.22) con x , y , z , x k (t ) y y k (t ) como variables, y para todo k = 1 ... m y t ∈ [0, t sim. ] . Donde: G 0 y H 0 son las ecuaciones del sistema para el estado pre perturbación; F k , G k y H k son las funciones correspondientes a las restricciones de igualdad y desigualdad durante el periodo transitorio (durante y post perturbación), para el kesimo estado de perturbación. El FPO-RET planteado no es fácil de resolver si se considera que el intervalo [0, tsim. ] puede ser discretizado en infinitos puntos, haciendo que haya variables de dimensiones infinitas ( x k (t ), y k (t ) ) e infinitas restricciones de igualdad y desigualdad, (3.21) y (3.22) 3.1. Revisión bibliográfica 33 respectivamente, para todo t ∈ [0, tsim. ] . En la práctica, el intervalo de simulación se discretiza en un número finito de puntos, facilitando así la resolución del problema. El problema (3.16)-(3.22) implica que, al menos, sea considerada una perturbación. Usualmente, las restricciones de estabilidad vienen dadas por el ángulo del rotor y la desviación de la velocidad angular de los generadores, aunque pueden considerarse otras restricciones tales como elevaciones y huecos de tensión, límites en el flujo de potencia por las líneas, oscilaciones de potencia, etc. En [10], [11] y [29], el FPO-RET propuesto es transformado desde el problema de optimización del espacio funcional a otro en el espacio Euclidiano, a través de una transcripción de las restricciones por medio de técnicas de transformación funcional que disminuyen la dimensión del problema. En [29], además, el criterio de estabilidad usado está basado en las funciones de Lyapunov. En [11] se justifica la realización de la transformación, dado que el propósito de la operación del sistema es encontrar un punto de operación óptimo ( x , y , z ) que tenga dimensiones finitas, satisfaciendo todas las limitaciones. Por lo tanto, los autores no representan en detalle las trayectorias de x k (t ) o y k (t ) para cada perturbación del FPORET. Al aplicar la técnica de transcripción de restricciones detallada en [11] a (3.16)-(3.22) se obtiene el problema de optimización en el espacio Euclidiano, expresado como: min f ( x, y, z ) (3.23) sujeto a G 0 ( x , y , z ) = 0 (3.24) H 0 ( x, y, z ) ≤ 0 (3.25) H k ( x, y , z ) ≤ 0 (3.26) con x , y y z como variables, y para todo k = 1 ... m . El problema de FPO-RET, reformulado en (3.23)-(3.26), tiene solamente a ( x , y , z ) como variables, que tienen dimensiones finitas. Las ecuaciones (3.23)-(3.26) pueden ser vistas como un problema de búsqueda del valor óptimo inicial ( x , y , z ) , para todas las perturbaciones especificadas, el cual puede ser resuelto por medio de técnicas de programación de optimización estándar. Así, en [10], se obtienen las matrices Jacobiana y Hessiana de las restricciones de estabilidad transitorias para la aplicación del método directo no lineal de punto interior primal-dual con grado de convergencia cuadrático. En [11] se obtienen las matrices Jacobianas de las restricciones de estabilidad transitoria y se dan dos algoritmos de cálculo, realizados ad-hoc y basados en el esquema de relajación, mediante la explotación de las propiedades intrínsecas del análisis de estabilidad transitoria de sistemas de potencia. Un enfoque sustancialmente distinto es usado por los autores de [7] y [30], en el cual los esfuerzos no están orientados a la reducción de la dimensión del problema de optimización, sino a la forma de representar e incorporar las ecuaciones de la dinámica del sistema al modelo del FPO-RET. Así, en el modelo de estabilidad transitoria del sistema de potencia 34 3. Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria representado por (3.7)-(3.15), se transforma el conjunto de ecuaciones algebraicodiferenciales en un conjunto de ecuaciones algebraicas numéricamente equivalentes, usando reglas apropiadas. Este conjunto de ecuaciones algebraicas es introducido en el FPO como restricciones de estabilidad transitoria, resultando en un problema de gran dimensión. Partiendo de este nuevo enfoque para la representación del sistema de potencia, los autores de [7] realizan una discretización para cada paso de integración de la simulación en el dominio del tiempo, usando la regla trapezoidal. Posteriormente, se realiza la linealización tanto de las restricciones del FPO como de las restricciones de estabilidad y de la función objetivo, para resolver un problema de programación lineal cuya solución debe satisfacer las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker. Por otra parte, los autores de [6], [8] y [9] aplican el mismo modelo de discretización anterior, sin requerir linealizaciones en las ecuaciones. En el caso de [6], se realiza una simplificación al reducir el modelo multi-máquina inicial a un modelo de dos máquinas, usando el concepto de “Máquina Única Equivalente” (MUE, o SIME por sus siglas en Inglés), logrando así reducir la dimensión del sistema a optimizar. En [8], el estudio se realiza teniendo en cuenta múltiples contingencias simultáneas en el sistema, lo que lleva a despachar generadores más caros para poder garantizar la estabilidad. En la solución, el costo del despacho económico que se desea minimizar aumenta respecto a la consideración de una simple contingencia. En su trabajo, los autores logran una importante reducción de las restricciones de igualdad, y por consiguiente del tiempo de cálculo, por medio del uso del concepto de matriz de admitancias reducida que sólo tiene en cuenta los nodos internos de los generadores durante el periodo transitorio (durante y post perturbación). Tanto [6] como [9] utilizan el mismo concepto para reducir la dimensión del problema a optimizar. En [8], una aplicación particular del Método de Puntos Interiores es implementada, a fin de obtener una solución eficiente del problema planteado. En [12], [13] y [31] se propone un enfoque basado en la sensibilidad de las trayectorias. Así, para cada contingencia se computan estas trayectorias junto con el estado de la dinámica del sistema. Para cada contingencia se identifican la o las máquinas que son vulnerables desde el punto de vista de la estabilidad, y se desplaza la generación hacia el generador menos vulnerable. Los estudios señalados presentan opciones en cuanto a dónde trasladar la generación, ya sea a una sola máquina o un grupo de ellas. La principal ventaja de esta aproximación es su compatibilidad con cualquier modelo dinámico del sistema y su relativamente baja carga computacional. Su principal desventaja es que no se garantiza la operación óptima del sistema. En el presente trabajo se siguen los lineamientos planteados en [8] en lo referente a la representación de las ecuaciones de estabilidad por medio de la regla trapezoidal y a la utilización del concepto de matriz de admitancias reducida, lo que ayuda a reducir significativamente la dimensión del problema a resolver y, consecuentemente, la carga computacional. Sin embargo, se busca extender la aplicación del problema a la solución de estados de inestabilidad en diversas circunstancias. El problema propuesto es formulado a través de un modelo de optimización no lineal, que pueda ser resuelto con herramientas (solvers) comunes y disponibles comercialmente. 3.2. Descripción del problema del FPO-RET propuesto en este trabajo 3.2 35 Descripción del problema del FPO-RET propuesto en este trabajo En esta sección se describe en detalle la función objetivo y las restricciones relacionadas con el problema del FPO-RET implementado en este trabajo. El problema propuesto incluye, entre otras, ecuaciones del flujo de potencia previas a la perturbación, límites técnicos de los generadores, barras y líneas, ecuaciones de oscilación discretizadas para todas las máquinas del sistema y los límites de estabilidad transitoria para el ángulo de rotor de los generadores. 3.2.1 Formulación matemática En forma similar a [8], la simulación en el dominio del tiempo del modelo de estabilidad transitoria del sistema es convertida en un conjunto de ecuaciones algebraicas que son incluidas en el FPO. La discretización de las ecuaciones diferenciales que forman parte del modelo del sistema es realizada usando la regla trapezoidal. La formulación del FPO-RET consta de la función objetivo y del conjunto de restricciones de igualdad y de desigualdad que surgen del modelado del sistema eléctrico y de los límites técnicos y de operación del mismo. Así, la formulación del problema utilizada en este trabajo es la siguiente: ( min f PG j , QG j , E ′j , δ tj , ∆ωrtj , Vn , ϕn , PLmn ) (3.27) sujeto a ∑P − ∑ PDi − ∑Q − ∑ QDi − j∈Gn j∈Gn Gj Gj i∈Dn ∑ V ·V · Y m∈θ n i∈Dn PLmn − m mn ·cos (ϕm − ϕn − θ mn ) = 0 (3.28) ·sen (ϕm − ϕn − θ mn ) = 0 (3.29) ∑ V ·V · Y m m∈θ n ∑ V ·V · Y m∈θn n m n mn n mn ·cos (ϕm − ϕn − θ mn ) = 0 (3.30) PG j xd′ j − E ′jVn sen (δ 0j − ϕ n ) = 0 (3.31) QG j xd′ j + Vn2 − E ′jVn cos (δ 0j − ϕ n ) = 0 (3.32) ∆ωr0j = 0 (3.33) δ tj +1 − δ tj − ∆ωrt j+1 − ∆ωrt j − ( ) ∆t ω0 ∆ωrtj+1 + ∆ωrtj = 0 2 ( (3.34) ) ∆t 1 2 Pm j − Petj+1 − Petj = 0 2 2H j Petj − E ′j ∑ Eℓ′ Y jℓ ·cos (δ tj − δ ℓt − θ jℓ ) = 0 ℓ∈G (3.35) (3.36) 36 3. Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria PGmin ≤ PG j ≤ PGmax j j (3.37) QGmin ≤ QG j ≤ QGmax j j (3.38) Vnmin ≤ Vn ≤ Vnmax (3.39) ϕ nmin ≤ ϕ n ≤ ϕ nmax (3.40) − PLmax ≤ PLmn ≤ PLmax mn mn (3.41) δ estmin. ≤ δ tj − δ ref ≤ δ estmax. (3.42) ∆ωrmin ≤ ∆ωrtj ≤ ∆ωrmax (3.43) E min ≤ E ′j ≤ E max j j (3.44) δ min ≤ δ tj ≤ δ max (3.45) con PG j , QG j , E ′j , δ tj , ∆ωrtj , Vn , ϕn y PLmn como variables, y para todo j ∈ G , n ∈ N y t ∈ T . Donde: δ tj es la posición angular del rotor del generador j en el instante t; ∆ωrtj es la variación de la velocidad angular eléctrica del rotor del generador j en PLmn el instante t; es la potencia activa por la línea conectada entre las barras m y n; cj es el costo de despacho del generador j; δ 0j es la posición angular inicial del rotor del generador j; ∆ωr0j es la variación inicial de la velocidad angular eléctrica del rotor del ∆t PDi generador j; es el paso de integración; es la potencia eléctrica activa de la carga i; PGmax j es la potencia eléctrica activa máxima del generador j; PGmin j es la potencia eléctrica activa mínima del generador j; QDi Potencia eléctrica reactiva de la carga i; max Gj es la potencia eléctrica reactiva máxima del generador j; min Gj Q es la potencia eléctrica reactiva mínima del generador j; Vnmax es la tensión máxima permitida en la barra n; min n es la tensión mínima permitida en la barra n; max Lmn P es el límite de potencia activa por la línea conectada entre las barras m y n; δ max est . es el límite superior de estabilidad del ángulo del rotor; Q V 3.2. Descripción del problema del FPO-RET propuesto en este trabajo δ estmin. δ ref 37 es el límite inferior de estabilidad del ángulo del rotor; es el ángulo de referencia; ∆ωrmax es el límite superior de la variación de la velocidad angular del rotor; ∆ωrmin es el límite inferior de la variación de la velocidad angular del rotor; E max j es la magnitud de la fuerza electromotriz máxima del generador j; E min j es la magnitud de la fuerza electromotriz mínima del generador j; δ δ min T es el límite superior del ángulo del rotor; es el límite inferior del ángulo del rotor; es el número de puntos de discretización. max La función objetivo (3.27) permite optimizar (minimizar o maximizar) ciertas variables o combinación de variables del sistema, con el objeto de obtener el mejor valor de las mismas que cumplan todas las restricciones del problema. Las ecuaciones (3.28) y (3.29) representan los flujos de potencia activa y reactiva previos a la perturbación, estableciendo la condición de operación del sistema por medio del balance de potencias en todas las barras. La potencia activa transmitida por las líneas se calcula según (3.30) y deben ser menores a sus límites térmicos respectivos, condición representada por medio de (3.41). Los valores iniciales del ángulo de rotor de los generadores, , y de la fuerza electromotriz de los mismos, , son obtenidos en la condición de estado estacionario previo a la perturbación del sistema, por medio de (3.31) y (3.32). En este estado de operación el sistema se encuentra en sincronismo, por lo que el desvío inicial de la velocidad angular del rotor de los generadores será nula, condición representada en (3.33). Las ecuaciones de oscilación de los generadores (2.30) son discretizadas usando la regla trapezoidal, requiriéndose de un proceso iterativo para su resolución que aquí será el mismo que el utilizado en la resolución del FPO. Así, el ángulo y la variación de velocidad del rotor de los generadores en un tiempo genérico * 1 , son definidos por medio de (3.34) y (3.35), donde = 9 . El número de ecuaciones (3.34) y (3.35) en el problema de optimización depende del número de pasos de integración requeridos para una simulación dinámica acertada y del número de generadores en el sistema. La potencia eléctrica que el generador j puede transmitir a otro generador de la red reducida está definida por (3.36). Aquí vale recordar que la matriz de admitancias reducida depende de la topología de la red, por lo tanto, en (3.36), los valores de ℓ son diferentes para el estado durante la perturbación y post perturbación. La matriz de admitancias reducidas es obtenida aplicando la Reducción de Kron al sistema. La producción de potencia de los generadores está limitada por su curva de capacidad, y esto se representa por medio de las ecuaciones (3.37) y (3.38). La magnitud de la tensión, en las barras del sistema, debe estar acotada entre ciertos límites operativos representados por (3.39). Con el propósito de reducir la región factible del problema se acotan los ángulos de las tensiones de barra por medio de (3.40), acción que en general produce una convergencia más rápida [6]. 38 3. Flujo de potencia óptimo con restricciones de estabilidad transitoria El criterio usado para definir el límite de estabilidad transitoria es que, en todos los pasos de integración, la diferencia angular entre el ángulo de rotor del generador j y la referencia sea menor que un dado ángulo máximo, condición representada en (3.42). También, se establecen límites para la desviación de velocidad de cada rotor de los generadores del sistema, condición representada por (3.43). Las ecuaciones (3.44) y (3.45) representan los límites en las tensiones internas (en módulo y ángulo) de los generadores. El tiempo total de simulación tsim. , debe ser lo más pequeño posible para reducir el tiempo de cálculo, pero lo suficientemente grande como para representar la primer oscilación del sistema perturbado. Al definir el tiempo de simulación y el paso de integración ∆t , queda definido el número de puntos de discretización T como: T = tsim. ∆t (3.46) Así, cada una de las ecuaciones (3.34) y (3.35) de discretización, será representada un número de puntos calculado por (3.46). Se observa que un paso de integración pequeño implica un incremento considerable en el número de ecuaciones del problema. 3.2.2 Procedimiento para la solución del FPO-RET Una vez formulado el problema de optimización, por medio de las ecuaciones (3.27)-(3.45) es necesario encontrar el procedimiento para resolverlo. En la bibliografía consultada se proponen diferentes estrategias para resolver el FPO-RET. Así, en [7] primero se resuelve un FPO convencional y se verifica si las restricciones de estabilidad son violadas. En caso de serlo, se resuelve un flujo de cargas para determinar las condiciones iniciales, se linealizan las restricciones del FPO y la función objetivo y se resuelve un problema de programación lineal para encontrar la solución. Por otra parte, en [32] primero se resuelve un FPO estándar, luego se verifica si la solución del FPO respeta las restricciones de estabilidad para todas las contingencias y, en caso de no cumplirlas, se resuelve un problema de FPO-RET para todas aquellas contingencias que hacen inestable el sistema, determinando un nuevo punto de operación. En [6] primero se resuelve un FPO estándar sin considerar las restricciones dinámicas, luego se realiza un análisis de contingencias con simulaciones en el dominio del tiempo y se define cuales producen inestabilidad. En el siguiente paso, y aplicando el concepto de MUE, se resuelve un problema de FPO-RET para las perturbaciones definidas en el paso previo, obteniendo un redespacho de los generadores equivalentes que permite, finalmente, verificar si la solución es estable. En [8], se implementa una aplicación particular del algoritmo de puntos interiores para obtener la solución del problema de optimización. Esta aplicación permite a los autores resolver el problema en su conjunto en forma simultánea, o sea, obtener solución para el despacho económico y las restricciones del sistema en un único paso. En el presente trabajo, el conjunto de ecuaciones propuesto, que representan las restricciones del problema de optimización a resolver, es resuelto en forma simultánea. De esta forma, la mejor solución encontrada para el problema cumple simultáneamente con todas las restricciones del sistema, las de estado estacionario y las del transitorio. 3.2. Descripción del problema del FPO-RET propuesto en este trabajo 39 Siendo que el problema a resolver tiene restricciones no lineales, se decidió utilizar como solver la función fmincon del programa Matlab, que permite incluir tanto restricciones lineales como no lineales. A su vez, dentro de los métodos de resolución que incorpora el solver, se adoptó el Método de Puntos Interiores, con el que se obtuvo los mejores resultados preliminares. Debe destacarse que la adopción de procedimientos estándar para la solución del problema de optimización conjunto busca extender la aplicación del FPORET a las empresas del sector eléctrico, sin la necesidad de que dispongan de una herramienta específica y puedan utilizar las diseñadas para el entorno académico. Capítulo 4 Casos de estudio En este capítulo se presenta el sistema eléctrico de estudio, incluyendo los datos de equipamientos y red. Luego, se desarrollan las ecuaciones de las restricciones que se muestran en forma genérica en (3.28)-(3.45). Por último, se presentan los tres casos de estudio analizados y las respectivas funciones objetivo que los caracterizan. Como se comentó en el capítulo anterior, la matriz de admitancias del sistema va cambiando conforme se modifica la topología de la red y al desarrollar las ecuaciones del problema hay que tener en cuenta dichas alteraciones, ya que cada ecuación o conjunto de ellas representa una etapa determinada en la evolución de la dinámica del sistema (previa, durante o posterior a la perturbación). 4.1 Sistema eléctrico de estudio Todos los casos de estudio están basados en el sistema eléctrico mostrado en la Fig. 12, el cual opera con una frecuencia nominal de 60 Hz y a una tensión de 230 kV en el nivel de transmisión. Los datos del sistema fueron extraídos de [5], siendo la única modificación el agregado de la carga L3. Este sistema está compuesto por dos generadores de inercia finita, conectados en las barras 1 y 2, y uno de inercia infinita conectado en la barra 3. Los datos de los generadores se muestran en la Tabla 2. Fig. 12. Sistema eléctrico de estudio. 41 42 4. Casos de estudio Tabla 2. Datos de generadores sobre la base de 100 MVA y para su tensión nominal. Potencia Tensión Reactancia Inercia Costo [MW] [kV] [pu] [MJ/MVA] € G1 400 20 0,067 11,2 20 G2 300 18 0,10 8,0 40 Generador Además, en las barras 3, 4 y 5 están conectadas las cargas L3, L4 y L5 respectivamente, cuyos datos se muestran en la Tabla 3. Los datos de líneas y transformadores se muestran en la Tabla 4. Tabla 3. Datos de las cargas en pu sobre la base de 100 MVA. Carga Nombre P Q L3 2,50 0,30 L4 1,50 0,44 L5 0,80 0,25 Tabla 4. Datos de líneas y transformadores en pu, sobre la base de 230 kV y 100 MVA. Z serie Y paralelo R X B Potencia máxima Transformador 1–4 - 0,022 - - Transformador 2–5 - 0,040 - - Línea 3–4 0,007 0,040 0,082 4 Línea 3–5 0,004 0,0235 0,196 4 Línea 4–5 0,018 0,110 0,226 4 Barra a barra En todos los casos de estudio presentados en este trabajo, la perturbación que da paso al transitorio es una falta trifásica a tierra en la línea 4-5 (cercana a la barra 4), cuyo libramiento se lleva a cabo mediante la apertura simultánea de los interruptores en los extremos de la línea mencionada. Esta característica común hace que la formulación del problema representada por (3.27)-(3.45) sea la misma para todos los casos, a excepción de la función objetivo que será presentada para cada caso en particular. 4.2 Desarrollo de las restricciones del problema Una vez definido el sistema eléctrico de estudio y la perturbación a considerar, se desarrollan las ecuaciones de las restricciones (3.28)-(3.45) que, como ya fue mencionado, 4.2. Desarrollo de las restricciones del problema 43 serán similares para los tres casos de estudio planteados. Así, la formulación de las restricciones queda: 5 PG1 − ∑V1·Vn · Y1n ·cos (ϕ1 − ϕn − θ1n ) = 0 (4.1) n =1 5 PG2 − ∑V2 ·Vn · Y2 n ·cos (ϕ2 − ϕn − θ 2 n ) = 0 (4.2) n =1 5 − PD3 − ∑V3·Vn · Y3n ·cos (ϕ3 − ϕn − θ3n ) = 0 (4.3) n =1 5 − PD4 − ∑V4·Vn · Y4 n ·cos (ϕ4 − ϕn − θ 4 n ) = 0 (4.4) n =1 5 − PD5 − ∑V5·Vn · Y5n ·cos (ϕ5 − ϕn − θ5 n ) = 0 (4.5) n =1 5 QG1 − ∑V1·Vn · Y1n ·sen (ϕ1 − ϕn − θ1n ) = 0 (4.6) n =1 5 QG2 − ∑V2·Vn · Y2 n ·sen (ϕ2 − ϕn − θ 2 n ) = 0 (4.7) n =1 5 −QD3 − ∑V3·Vn · Y3n ·sen (ϕ3 − ϕn − θ3n ) = 0 (4.8) n =1 5 −QD4 − ∑V4·Vn · Y4 n ·sen (ϕ4 − ϕn − θ 4 n ) = 0 (4.9) n =1 5 −QD5 − ∑V5·Vn · Y5 n ·sen (ϕ5 − ϕn − θ5n ) = 0 (4.10) PL34 − V32· Y33 ·cos ( −θ33 ) − V3·V4· Y34 ·cos (ϕ3 − ϕ4 − θ34 ) = 0 (4.11) PL35 − V32· Y33 ·cos ( −θ33 ) − V3·V5· Y35 ·cos (ϕ3 − ϕ5 − θ35 ) = 0 (4.12) PL45 − V42 · Y44 ·cos ( −θ 44 ) − V4 ·V5· Y45 ·cos (ϕ4 − ϕ5 − θ 45 ) = 0 (4.13) PG1 xd′1 − E1′V1sen (δ10 − ϕ1 ) = 0 (4.14) PG2 xd′ 2 − E2′V2sen (δ 20 − ϕ 2 ) = 0 (4.15) QG1 xd′1 + V12 − E1′V1 cos (δ10 − ϕ1 ) = 0 (4.16) QG2 xd′ 2 + V22 − E2′V2 cos (δ 20 − ϕ 2 ) = 0 (4.17) n =1 44 4. Casos de estudio ∆ωr01 = 0 (4.18) ∆ωr02 = 0 (4.19) δ1t +1 − δ1t − ∆t ω0 ∆ωrt1+1 + ∆ωrt1 = 0 2 (4.20) δ 2t +1 − δ 2t − ∆t ω0 ∆ωrt2+1 + ∆ωrt2 = 0 2 (4.21) ∆ωrt1+1 − ∆ωrt1 − ∆t 1 2 PG1 − Pe1t +1 − Pe1t = 0 2 2 H1 (4.22) ∆ωrt2+1 − ∆ωrt2 − ∆t 1 2 PG2 − Pet2+1 − Pet2 = 0 2 2H 2 (4.23) ( ) ( ) ( ( ) ) 0 pu ≤ PG1 ≤ 4 pu (4.24) 0 pu ≤ PG2 ≤ 3 pu (4.25) −2 pu ≤ QG1 ≤ 2 pu (4.26) −2 pu ≤ QG2 ≤ 2 pu (4.27) 0,9 pu ≤ V1 ≤ 1,1 pu (4.28) 0,9 pu ≤ V2 ≤ 1,1 pu (4.29) 0,9 pu ≤ V4 ≤ 1,1 pu (4.30) 0,9 pu ≤ V5 ≤ 1,1 pu (4.31) −180º ≤ ϕ1 ≤ 180º (4.32) −180º ≤ ϕ2 ≤ 180º (4.33) −180º ≤ ϕ4 ≤ 180º (4.34) −180º ≤ ϕ5 ≤ 180º (4.35) −4 pu ≤ PL34 ≤ 4 pu (4.36) −4 pu ≤ PL35 ≤ 4 pu (4.37) −4 pu ≤ PL45 ≤ 4 pu (4.38) −100º ≤ δ1t − δ 3 ≤ 100º (4.39) −100º ≤ δ 2t − δ 3 ≤ 100º (4.40) −0,1 pu ≤ ∆ωrt1 ≤ 0,1 pu (4.41) 4.2. Desarrollo de las restricciones del problema 45 −0,1 pu ≤ ∆ωrt2 ≤ 0,1 pu (4.42) 0,8 pu ≤ E1′ ≤ 1, 2 pu (4.43) 0,8 pu ≤ E2′ ≤ 1, 2 pu (4.44) −180º ≤ δ1t ≤ 180º (4.45) −180º ≤ δ 2t ≤ 180º (4.46) para todo t ∈ T . La potencia eléctrica de salida de los generadores se rige por las siguientes expresiones: Pe1t = 0 si tcci ≤ t ≤ tccf 3 t t t ′ ′ P = E e1 1 ∑ Eℓ Y1ℓ ·cos ( δ1 − δ ℓ − θ1ℓ ) ℓ =1 Pet2 = E2′ ∑ Eℓ′ Y2 ℓ ·cos (δ 2t − δ ℓt − θ 2 ℓ ) 3 ℓ =1 si tccf < t ≤ tsim. si tcci ≤ t ≤ t sim. (4.47) (4.48) donde: tcci tccf es el tiempo de inicio de la perturbación; es el tiempo de despeje de la perturbación; tsi m. es el tiempo total de simulación. La barra 3 es una barra de potencia infinita, por lo que el valor de su tensión en módulo y ángulo es fijo y definido por: V3 = 1 pu (4.49) ϕ3 = 0º (4.50) La referencia angular para medir estabilidad es fijada en la barra 3, quedando definida por: δ ref = δ 3 = 0º (4.51) Cabe aclarar que el generador de inercia infinita, conectado en la barra 3, no participa del despacho de generación del sistema. Aquí, el concepto de barra infinita es sólo usado para fijar el valor de tensión (unitario) y la referencia angular (nula) en la barra 3 del sistema. Teniendo en cuenta que cada ecuación de desigualdad con límite superior e inferior equivale a dos restricciones y, como se mencionó previamente, cada ecuación discretizada equivale a T restricciones (una por cada punto de discretización), el total de restricciones de un problema de este tipo puede ser calculado con 6 N + 3R + ( 9 + 8T ) G . En todos los análisis de este trabajo se ha utilizado un paso de integración ∆t = 0, 01 s para un tiempo 46 4. Casos de estudio total de simulación tsi m . = 3 s , lo que hace que el número de puntos de discretización sea T = 300 . De esta forma, cada una de las ecuaciones discretas del problema será discretizada en 300 puntos. Así, para el caso de cinco barras de la Fig. 12 es necesaria la representación de 4857 restricciones, de las cuales 1219 son de igualdad y 3638 de desigualdad. Esto pone de manifiesto que se está frente a un problema de FPO no lineal con un gran número de ecuaciones que requiere gran cantidad de memoria y tiempo de cálculo del ordenador. 4.3 Descripción de los casos de estudio 4.3.1 Caso de estudio I: Despacho económico con relajación del límite de estabilidad angular El primer caso analiza el despacho económico, buscando minimizar el costo de generación del sistema con valores de despacho que garanticen la estabilidad ante la perturbación indicada. Para ello, la función objetivo (4.52) es constituida por la potencia generada en cada máquina, multiplicada por su respectivo costo de generación. Esta función objetivo corresponde a la tradicional en el FPO con restricciones de estabilidad transitoria, según formulado en [33]. Adicionalmente, en la formulación propuesta se introduce un término con dos nuevas min max variables, ∆δ est . y ∆ δ est . , que afectan directamente a los límites de estabilidad impuestos al sistema. De esta forma, cuando ya no es posible obtener un valor de potencias óptimas generadas que garanticen la estabilidad ante una perturbación de duración tcc , las mencionadas variables modifican los límites angulares de estabilidad en la cantidad mínima necesaria para conseguir que el sistema sea estable, o sea, se relaja el límite de min max estabilidad para obtener un sistema estable con nuevos valores para δ est . y δ est . . Los min max límites de estabilidad impuestos inicialmente al sistema son δ est . = −100º y δ est . = 100º que, como se comentó en el Capítulo 2 y se resumió en la Tabla 1, son arbitrarios y pueden cambiar según la experiencia del operador del sistema. La relajación de la amplitud angular máxima permite que el problema de optimización tenga solución en mayor número de casos y para un amplio rango de tiempos de falta. La función objetivo con la que se representa este problema es: max min max max min f ( PG j , ∆δ est )(∆δ est . , ∆δ est . )= ∑ PG j c j + (10c j . + ∆δ est . ) ; ∀ j ∈G (4.52) j donde: min max y ∆δ est representan la variación angular usada para relajar los límites ∆δ est . . superior e inferior de estabilidad dados por (3.42), cuando es necesario. Así, las ecuaciones (4.39) y (4.40) se reescriben como: min t max −100º −∆δ est . ≤ δ1 − δ 3 ≤ 100º +∆δ est . (4.53) 4.3. Descripción de los casos de estudio min t max −100º −∆δ est . ≤ δ 2 − δ 3 ≤ 100º +∆δ est . 47 (4.54) Además, es necesario definir los límites de estas dos nuevas variables, incorporando al problema dos nuevas restricciones de desigualdad: max 0º ≤ ∆δ est . ≤ 50º (4.55) min 0º ≤ ∆δ est . ≤ 50º (4.56) En operación estable, sólo el primer término de (4.52) determina la solución óptima del min max sistema. Como se mencionó, las nuevas variables ( ∆δ est . y ∆ δ est . ) comienzan a tener influencia en el proceso de optimización sólo cuando no es posible conseguir un sistema estable a partir de una adecuada combinación de las potencias generadas. Este control sobre el instante en el que las variables de variación angular comienzan a influir en la optimización, se realiza afectándolas del “factor de peso” (10cmax j ) , que es diez veces mayor que el máximo costo de generación de las máquinas que integran el sistema. Una vez definido el objetivo de la optimización y las modificaciones en las restricciones del sistema, la estrategia a seguir es simular la falta trifásica en la línea indicada utilizando distintos tiempos de duración para la misma o, lo que es lo mismo, distintas velocidades de apertura de los interruptores de la línea. De esta forma se han obtenido una serie de gráficas, descritas en el siguiente capítulo, que muestran, entre otros, los costos de generación, la evolución de las potencias generadas respecto del tiempo de duración de la falta, la variación del ángulo del rotor de los generadores para un tiempo de falta específico, etc. 4.3.2 Caso de estudio II: Determinación de la mínima inercia necesaria para garantizar la estabilidad angular del sistema de estudio, ante una falta de larga duración Para el sistema considerado, no existe combinación alguna de las potencias de despacho que hagan estable el mismo para tiempos de interrupción de la falta elevados (según lo obtenido en el Caso de estudio I y mostrado posteriormente en la Fig. 29 del Capítulo 5). El tratamiento de los análisis de estabilidad usando técnicas de optimización permite que cualquier parámetro o constante del sistema pueda ser modificado, a fin de calcular los requerimientos mínimos de éste en situaciones extremas de operación. Es ésta una ventaja importante frente a los estudios tradicionales de estabilidad usando métodos de simulación, que consideran a dichos parámetros como constantes inamovibles. La formulación de los problemas dinámicos por medio de problemas de optimización permite (entre otras ventajas) calcular las medidas correctivas mínimas que se deben adoptar en el sistema para solucionar en forma económica problemas de inestabilidad. Para solucionar el problema inestable aquí formulado, la estrategia seguida es la de calcular la mínima inercia adicional necesaria en cada barra de generación que garantice la estabilidad, partiendo de las inercias mínimas de los generadores H1 = 11, 2 s y H 2 = 8 s (ver Tabla 2) en ellas conectados. En problemas de operación, la inercia adicional podría ser obtenida mediante la conexión de unidades generadoras (adicionales a las requeridas 48 4. Casos de estudio por el despacho económico) por motivos de seguridad. Esta formulación también puede ser utilizada en problemas de planificación de la expansión, para calcular los requisitos mínimos de inercia que debe tener un sistema para el funcionamiento estable en situaciones críticas. La función objetivo con la que se representa este problema es: f ( PG j , ∆H j )= ∑ PG j c j + (10c max )∆H j ; j j ∀ j ∈G (4.57) donde: ∆H j es la inercia adicional requerida en la barra o región en la que se encuentra conectado el generador j. Así, las ecuaciones (4.22) y (4.23) se reescriben como: ∆ωrt1+1 − ∆ωrt1 − ∆t 1 2 PG1 − Pe1t +1 − Pet1 = 0 2 2( H1 + ∆H1 ) (4.58) ∆ωrt2+1 − ∆ωrt2 − ∆t 1 2 PG2 − Pet2+1 − Pet2 = 0 2 2( H 2 + ∆H 2 ) (4.59) ( ( ) ) Además, es necesario definir los límites de estas dos nuevas variables, incorporando al problema dos nuevas restricciones de desigualdad: 0 ≤ ∆H1 ≤ 30 (4.60) 0 ≤ ∆H 2 ≤ 30 (4.61) Si bien lo que se desea optimizar en este caso es la inercia adicional requerida por el sistema, en la formulación de la función objetivo se mantiene el término de costo de potencia de generación, a fin de considerar la operación económica del sistema en todas las situaciones. De forma similar al Caso de estudio I, el término adicional (función de la inercia adicional) al tener un precio elevado comienza a tener influencia en el proceso de optimización sólo cuando no es posible conseguir un sistema estable a partir de una adecuada combinación de las potencias generadas. Nuevamente el control sobre el instante en el que la inercia comienzan a influir en la optimización se realiza afectando ∆H j del max “factor de peso” (10c j ) , que es diez veces mayor que el máximo costo de generación de las máquinas que integran el sistema. Como se observa, el costo del incremento de inercia ha sido considerado igual para los dos generadores, en esta aproximación. Sin embargo, el problema admite costes de incremento de inercia diferentes, en función de los tipos de generadores, localización, potencia nominal de las máquinas, etc. Una vez formulado el objetivo de la optimización y las restricciones del sistema, se simulan faltas trifásicas de distintos tiempos de duración en el extremo de la línea 4-5 más 4.3. Descripción de los casos de estudio 49 cercano a la barra 4, para poder observar la evolución de la inercia de los generadores. g De esta forma se han obtenido una serie de gráficas, descritas descritas en el siguiente capítulo. capítulo 4.3.3 Caso de estudio III: III Determinación de la carga máxima admisible del sistema y soluciones correctivas frente a la inestabilidad Para la resolución de este caso se requieren dos cambios en el sistema eléctrico de estudio. El primero es compensar la potencia reactiva de la demanda en la barra 3 en todas las condiciones de carga, ya que el aumento de demanda produce problemas en los niveles n de tensión permitidos (ecuaciones (4.28)-(4.31) del problema roblema de optimización) en las barras del sistema. Por consiguiente se introduce un condensador fijo por valor de 100 Mvar en la barra 3 del sistema (ver Fig. 13), ), que permanece conectado para todos los estados de carga analizados. Fig. 13. Sistema eléctrico de estudio con compensación en la barra 3. El segundo cambio es aumentar el límite superior de potencia activa que puede entregar el generador G1 para poder atender los incrementos de demanda a ser estudiados. La elección de este generador no es arbitraria, y atiende a que la falta se realiza cerca de G1 y, dado que la estabilidad se ve afectada por el nivel de despacho de los generadores, dicha combinación desfavorable (cercanía de la falta y aumento de generación en G1) es deseable para observar el comportamiento de la máquina ante la perturbación y el aumento de carga. Entonces, se ha especificado un valor de generación máximo de 500 MW en el generador G1, en vez de los 400 MW indicados en la l Tabla 2. Con los cambios introducidos en el problema de optimización se procede a la resolución del último caso de estudio, el cual consta de dos partes: 50 4. Casos de estudio 4.3.3.1 Parte 1: Determinación de la carga máxima admisible del sistema En esta primera parte se realiza la determinación de la carga máxima admitida por el sistema cumpliendo las restricciones de estabilidad, para un tiempo de despeje de falta de 200 ms. El incremento de la demanda es modelado a través de la parametrización unidimensional de la misma, manteniendo la dirección de crecimiento de la carga [34] (o sea, con factor de potencia constante). Así, se afecta tanto la carga activa como la reactiva en todas las barras del sistema con el mismo factor de carga. El cálculo del parámetro α que definirá la carga máxima admisible del sistema se realiza utilizando la siguiente función objetivo: f ( PG j , α )= ∑ PG j c j − (10c max )α ; j ∀ j ∈G (4.62) j En esta función se minimiza el costo de generación mientras se maximiza el parámetro de crecimiento de carga. En este caso el “factor de peso” (10cmax j ) se utiliza para darle prioridad en la optimización al término relacionado con la parametrización de la carga. Esta parametrización de la carga modifica las ecuaciones del flujo de potencia (4.1)-(4.10), en las que el término de demanda se ve afectado por el parámetro de crecimiento de carga α . Las nuevas ecuaciones parametrizadas, escritas en forma compacta, resultan: PG j − α ·PD j − ∑V j ·Vn · Y jn ·cos (ϕ j − ϕn − θ jn ) = 0 (4.63) QG j − α·QD j − ∑V j ·Vn · Y jn ·sen (ϕ j − ϕn − θ jn ) = 0 (4.64) 5 n =1 5 n =1 con j = 1,..., 5 y α el factor de parametrización especificado. Además, es necesario definir los límites de la nueva variable, incorporando al problema una nueva restricción de desigualdad: 1≤α ≤ 2 (4.65) 4.3.3.2 Parte 2: Determinación de la inercia mínima requerida por el sistema para garantizar su estabilidad ante aumentos de carga por encima de la carga máxima admisible Para incrementos de carga más elevados que el máximo (resultantes en inestabilidad para la configuración actual del sistema), el algoritmo de optimización calcula automáticamente la inercia adicional mínima necesaria en la barra o región en la que los generadores están conectados, que vuelve al sistema a una situación estable. 4.3. Descripción de los casos de estudio 51 Así, una vez determinada la carga máxima, se procede a incrementar la demanda por encima del valor obtenido, y así poder determinar la inercia mínima requerida por el sistema para garantizar su estabilidad. La función objetivo que representa la segunda parte del problema, es la misma planteada para el Caso de estudio II y que se muestra en (4.57). La optimización se realizó manteniendo constante el tiempo de duración de la falta e incrementando la demanda hasta alcanzar una demanda 50 % mayor que la original. En el capítulo siguiente se muestran los resultados obtenidos con los casos de estudio. Capítulo 5 Resultados En este capítulo se presentan los resultados de las optimizaciones correspondientes a los casos de estudio presentados en el Capítulo 4. Estos resultados, presentados por medio de gráficas de variables tales como ángulo y desviación de velocidad de los rotores, potencias despachadas en los generadores, evolución de la función objetivo, etc., son analizados y comentados, como así también comparados entre sí en aquellos casos que lo permitan. 5.1 Caso de estudio I Como fue señalado en la sección 4.3.1 de este documento, el Caso de estudio I busca minimizar el costo de despacho del sistema, con valores de potencia que garanticen la estabilidad del mismo ante faltas de distinta duración. Adicionalmente, en la formulación propuesta se incorporan variables que permiten la relajación de los límites de estabilidad en aquellos casos en que el redespacho de los generadores no es suficiente para garantizar la estabilidad transitoria del sistema. Se simularán faltas de distinto tiempo de duración, cercanas a la barra 4 sobre la línea 4-5. El algoritmo de optimización utilizado permite definir la tolerancia de terminación en la función objetivo, en la violación de restricciones y en las variables calculadas. Para todos los casos de estudio las tolerancias son ajustadas en tol. = 1x10−5 . A continuación se muestran en detalle las soluciones óptimas obtenidas para los casos de faltas de 100 ms, 200 ms y 320 ms de duración, como así también un conjunto de gráficas en las que se presenta la evolución de distintas variables del sistema en función del tiempo de falta. 5.1.1 Solución óptima del problema ante una falta de 100 ms de duración Las Fig. 14 y Fig. 15 muestran la evolución del ángulo y de la desviación de velocidad del rotor de cada generador, obtenidos en la solución del problema de optimización ante una falta de 100 ms de duración en la línea 4-5 (cercana a la barra 4) (ver Fig. 12). El comportamiento observado en estas dos gráficas está relacionado con lo explicado en la sección 2.2.1.3, por medio del criterio de áreas iguales. Al producirse la falta, la potencia eléctrica de salida del generador G1 se anula inmediatamente, mientras la potencia mecánica de entrada se mantiene constante, produciendo un aumento en la velocidad del 53 54 5. Resultados rotor que conlleva un aumento del ángulo δ 1 que alcanza los 45,83º al momento del despeje de la falta. 80 δ1 δ2 70 60 Ángulo del rotor δ (º) 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 14. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc = 100 ms . 0.025 ∆ω1 Desviación de velocidad del rotor ∆ω (pu) 0.02 ∆ω2 0.015 0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 -0.025 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 15. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para un tiempo de falta tcc = 100 ms . En ese instante la falta es liberada y la potencia eléctrica de salida se incrementa abruptamente, por lo que el rotor comienza a desacelerarse. Este comportamiento corresponde al repentino cambio de pendiente que se observa en la Fig. 15. Debido a la energía cinética acumulada en las masas rotantes, el ángulo δ 1 continúa aumentando hasta 5.1. Caso de estudio I 55 alcanzar los 70º, punto donde la velocidad del rotor es nuevamente la sincrónica, correspondiéndose con un desvío de velocidad nulo. En este punto, la potencia acelerante es negativa, haciendo que el rotor no pueda permanecer a la velocidad sincrónica y comience a frenarse hasta alcanzar un nuevo punto de sincronismo que corresponde con δ1 = −18, 7º en la Fig. 14 y a un nuevo cruce por cero del desvío de velocidad en la Fig. 15. En ausencia de amortiguamiento el sistema evoluciona con una oscilación sostenida, como se observa en ambas figuras, y manteniendo una distancia angular acotada entre generadores que permite afirmar que el sistema es estable. Además, la máxima excursión angular en el sistema es de δ1 = 70º y en ningún momento supera el límite máximo de max estabilidad, fijado en δ est . = 100º . Para la duración de falta considerada se obtienen potencias de despacho P1 = 4, 00 pu y P2 = 0,83 pu , siendo el generador más económico despachado a su potencia máxima, lo que indica que se está en presencia de un despacho económico puro. Así, el costo de despacho es de 113,3 € y es el más económico que se puede obtener en el sistema para esta condición de carga. Como se mencionó en el capítulo anterior, fue necesario discretizar las ecuaciones diferenciales del modelo de estabilidad para incluirlas en el problema de optimización, lo que se realizó usando la regla trapezoidal. Para verificar que la solución del problema de optimización propuesto en este trabajo para las ecuaciones discretizadas es correcta, se resuelven las mismas nuevamente aplicando el método de Runge-Kutta, utilizando el solver ode23 de Matlab. Las Fig. 16 y Fig. 17 muestran tal verificación, mediante el método citado, de la evolución del ángulo y de la desviación de velocidad del rotor de cada generador ante una falta de 100 ms de duración. A fin de verificar la respuesta del algoritmo, hubo que suministrar a las simulaciones de Runge-Kutta (ode32) con los valores óptimos de generación en los instantes previos a la falta. Comparando la Fig. 14 con la Fig. 16 y la Fig. 15 con la Fig. 17, no se aprecian diferencias significativas entre la solución obtenida con el método de optimización propuesto y la brindada por el método de Runge-Kutta. Por lo tanto, se puede concluir que la solución para las ecuaciones dinámicas obtenida con el algoritmo de optimización planteado en este trabajo es igual a la que se obtiene con el método tradicional de simulación. Debe destacarse que el algoritmo de optimización propuesto permite, además, la resolución simultánea de las condiciones óptimas estáticas de operación (minimización de precio de generación) y de las condiciones dinámicas después de la falta en un mismo problema de optimización. 56 5. Resultados 80 δ1 Durante la falta δ1 Post falta δ2 Durante la falta δ2 Post falta 70 60 Ángulo del rotor δ (º) 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 16. Verificación de la evolución del ángulo del rotor, por el método de Runge-Kutta. 0.025 ∆ω1 Durante la falta ∆ω1 Post falta ∆ω2 Durante la falta ∆ω2 Post falta Desviación de velocidad del rotor ∆ω (pu) 0.02 0.015 0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 -0.025 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 17. Verificación de la evolución de la desviación de velocidad del rotor por el método de Runge-Kutta. Las Fig. 18 y Fig. 19 muestran, para el tiempo de falta considerado, la evolución de la función objetivo y de la optimalidad de primer orden con el transcurso de las iteraciones. En el caso de la evolución de la función objetivo se observa que con 4 iteraciones se llega a un valor próximo a lo que será el valor final alcanzado, pero el programa requiere de otras 14 iteraciones para determinar el valor óptimo que cumple con las tolerancias exigidas. La optimalidad de primer orden mostrada en la Fig. 19, es una medida de la cercanía entre el punto solución obtenido en cada iteración y el óptimo general buscado (especificado por 5.1. Caso de estudio I 57 el cumplimiento estricto de las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker). La optimalidad de primer orden (además de otros criterios) debe ser menor a la tolerancia máxima permitida (en este caso, 1x10-5) para que el algoritmo detenga el proceso iterativo en el punto solución. En la Fig. 19, se observa que la optimalidad de primer orden tiene una convergencia suave hacia la solución. Valor final alcanzado: 113.3019 140 130 Función Objetivo 120 110 100 90 80 70 60 0 2 4 6 8 10 Iteración 12 14 16 18 16 18 Fig. 18. Evolución de la función objetivo. Valor final alcanzado: 4.969e-005 Optimalidad de Primer Orden 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 Iteración 12 14 Fig. 19. Evolución de la optimalidad de primer orden. 58 5.1.2 5. Resultados Solución óptima del problema ante una falta de 200 ms de duración A fin de calcular el comportamiento óptimo del sistema ante perturbaciones de mayor duración, se presentan en este trabajo las respuestas óptimas del algoritmo propuesto para faltas prolongadas. Como ejemplo, las Fig. 20 y Fig. 21 muestran la evolución del ángulo y de la desviación de velocidad del rotor de cada generador, en la solución del problema de optimación ante una falta de 200 ms de duración. En ambas figuras se aprecia que el sistema evoluciona con una oscilación sostenida y manteniendo una distancia angular acotada entre generadores, lo que permite afirmar que el sistema es estable. En este caso, se puede observar que la máxima excursión angular en el sistema es de δ1 = 100º respetando el límite máximo de estabilidad especificado como max restricción en el algoritmo, δ est . = 100º . Para que el sistema sea estable y mantenga los límites especificados, ha sido necesario realizar un redespacho de generación, obteniéndose potencias óptimas de P1 = 2, 90 pu y P2 = 1, 93 pu . Se observa que el generador más económico no es despachado a su potencia máxima (lo que indica que ya no es un despacho económico puro) a fin de mantener las condiciones de estabilidad durante y después de la falta. Este resultado es pues un compromiso, que obtiene el mínimo coste de generación pero garantizando que la respuesta a la falta mantiene estable el sistema. Así, el costo actual de despacho es de 135,2 €, con un incremento en costo para esta falta de 21,9 €. Este despacho de generación, que no respeta el óptimo económico obtenido para una falta de 100 ms de duración, responde a la necesidad de cumplir con las restricciones de estabilidad impuestas al sistema. Respecto a la desviación de velocidad mostrada en la Fig. 21, se observa que dicha desviación está en torno al 4,5 % de la velocidad nominal. 120 δ1 100 δ2 80 Ángulo del rotor δ (º) 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 Fig. 20. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc = 200 ms . 3 5.1. Caso de estudio I 59 0.05 ∆ω1 ∆ω2 Desviación de velocidad del rotor ∆ω (pu) 0.04 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 21. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para un tiempo de falta tcc = 200 ms . Al igual que para la falta de 100 ms de duración, se ha verificado la solución de las ecuaciones discretizadas propuesta por el algoritmo de optimización planteado, resolviendo las mismas con el método de Runge-Kutta implementado en el solver ode23. Las Fig. 22 y Fig. 23 muestran esta verificación mediante las gráficas de la evolución del ángulo y de la desviación de velocidad del rotor de cada generador ante una falta de 200 ms de duración. Los valores iniciales utilizados en la verificación son los obtenidos de la solución del problema de optimización ( P1 = 2, 90 pu y P2 = 1, 93 pu ). 120 δ1 Durante la falta δ1 Post falta δ2 Durante la falta δ2 Post falta 100 80 Ángulo del rotor δ (º) 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 Fig. 22. Verificación de la evolución del ángulo del rotor, por el método de Runge-Kutta. 3 60 5. Resultados 0.05 ∆ω1 Durante la falta ∆ω1 Post falta ∆ω2 Durante la falta ∆ω2 Post falta Desviación de velocidad del rotor ∆ω (pu) 0.04 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 23. Verificación de la evolución de la desviación de velocidad del rotor por el método de Runge-Kutta. Comparando la Fig. 20 con la Fig. 22 y la Fig. 21 con la Fig. 23, no se aprecian diferencias significativas entre la solución obtenida con el método de optimización propuesto y la brindada por el método de Runge-Kutta. Por lo tanto, se puede concluir que la solución propuesta por el algoritmo de optimización propuesto es correcta. Debe destacarse aquí la dificultad para encontrar los valores óptimos de despacho del sistema que garantizasen las restricciones dinámicas para estabilidad del mismo, si no se contase con el algoritmo de optimización propuesto (si solo se tuviese un solver para simulación dinámica). Como la solución óptima y simple del sistema ( P1 = 4, 00 pu y P2 = 0,83 pu ) no proporciona respuesta estable para una falta de 200 ms., encontrar la potencia que debe ser transferida del generador G1 al G2 a fin de garantizar la estabilidad no es una tarea fácil. Soluciones a este problema podrían ser obtenidas por métodos de tentativa y error o algoritmos genéticos, con elevados tiempos de resolución. El método aquí implementado permite calcular en forma automática el despacho económico óptimo para el sistema, considerando también las restricciones dinámicas de operación. Las Fig. 24 y Fig. 25 muestran, para el tiempo de falta considerado, la evolución de la función objetivo y de la optimalidad de primer orden con el transcurso de las iteraciones. Se puede observar en la evolución de la función objetivo que alrededor de la iteración 15 se llega a un valor próximo a lo que será su valor final alcanzado, pero son necesarias otras 13 iteraciones para que la medida de la optimalidad de primer orden cumpla con el valor de tolerancia especificado. 5.1. Caso de estudio I 61 Valor final alcanzado: 135.1553 160 150 140 Función Objetivo 130 120 110 100 90 80 70 60 0 5 10 15 Iteración 20 25 30 25 30 Fig. 24. Evolución de la función objetivo. Valor final alcanzado: 0.0013584 30 Optimalidad de Primer Orden 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 Iteración 20 Fig. 25. Evolución de la optimalidad de primer orden. La Fig. 25 muestra las dificultades en la convergencia del algoritmo cuando las restricciones dinámicas condicionan el despacho óptimo de generación. Se observa en la figura que el algoritmo busca satisfacer los límites impuestos de amplitud angular (100º) sin incrementar en demasía el costo de generación (función objetivo del problema de optimización). Así, el algoritmo busca diferentes alternativas de solución hasta que, aproximadamente en la iteración 28, se encuentra el compromiso entre costo de generación y estabilidad del sistema. 62 5.1.3 5. Resultados Solución óptima del problema ante una falta de 320 ms de duración Ante faltas de duración muy prolongadas, el redespacho de generación no permite obtener solución de las condiciones dinámicas especificadas. Sin embargo, la operación estable del sistema podría ser también posible si se relajan las restricciones dinámicas impuestas en el algoritmo. Este procedimiento ha sido enunciado en la sección 4.3.1 de este documento. Las Fig. 26 y Fig. 27 muestran la evolución del ángulo y de la desviación de velocidad del rotor de cada generador, durante la solución del problema de optimación ante una falta de 320 ms de duración. En la Fig. 26 se aprecia como la máxima excursión angular alcanza los δ1 = 128, 4º , estando 28,4º por encima del valor inicial fijado para el límite de estabilidad. Esto es posible gracias a la relajación de los límites de estabilidad, como fue explicado en el capítulo anterior, lo que permite obtener un sistema estable que altera en la mínima medida la restricción de estabilidad que fue definida inicialmente en forma arbitraria. La solución del problema de optimización alcanza así simultáneamente tres objetivos: a) mantener estable el sistema después de una falta prolongada; b) minimizar el incremento de ángulo requerido para la operación estable del sistema, y c) operar al mínimo costo de generación posible, aún para condiciones críticas de operación. Para el sistema analizado, el despacho de generación obtenido es de P1 = 1,83 pu y P2 = 3, 00 pu , siendo el generador más costoso despachado a su potencia máxima, obteniéndose un costo de despacho de 156,6 €. Este aumento en costos de generación responde a la necesidad de cumplir con las restricciones críticas de estabilidad propuestas. 150 δ1 δ2 Ángulo del rotor δ (º) 100 50 0 -50 -100 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 Fig. 26. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc = 320 ms . 3 5.1. Caso de estudio I 63 0.06 Desviación de velocidad del rotor ∆ω (pu) ∆ω1 ∆ω2 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 27. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para tcc = 320 ms . Respecto a la desviación de velocidad mostrada en la Fig. 27, se observa que dicha desviación está en torno al 5,5% de la velocidad nominal. El número de iteraciones necesario para alcanzar la solución fue de 48, lo que podría reflejar una tendencia creciente en el número de iteraciones necesarias para alcanzar la solución, conforme aumenta la duración de la falta y la dificultad en encontrar soluciones óptimas. No se incluyen en este trabajo (para este caso y los siguientes) las verificaciones realizadas con Runge-Kutta de la evolución de las variables temporales, por resultar similares a los valores encontrados con el algoritmo de optimización. 5.1.4 Evolución de las variables del sistema con el aumento del tiempo de falta Las Fig. 28 y Fig. 29 muestran la evolución de las potencias activas despachadas, de los límites de estabilidad angular de cada generador y de la máxima excursión angular, en función del aumento del tiempo de falta. En la Fig. 28 se observa que por debajo de los 150 ms de duración de la falta, el generador más económico, G1, está despachado al máximo de su potencia, mientras que por encima de este tiempo ésta empieza a bajar a medida que el generador G2 aumenta la suya, obteniéndose distintas combinaciones de potencias despachas que cubren los requerimientos de la demanda del sistema. Este comportamiento responde a la necesidad de cumplir con las restricciones de estabilidad impuestas al sistema que, como se puede observar en la Fig. 29, alcanzan entre los 150 ms y 280 ms la máxima desviación angular permitida. Ya por encima de 280 ms, el generador G2 está despachado al máximo de su potencia, no siendo esto suficiente para mantener la estabilidad del sistema, por lo que se hace necesario aumentar el ángulo límite de estabilidad fijado inicialmente, como se muestra en la Fig. 29. 64 5. Resultados 4.5 P1 P2 4 Potencia Activa P (pu) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 0.3 0.35 Fig. 28. Evolución de las potencias despachadas. 150 Límites de estabilidad (º) Máximo ángulo del rotor δ (º) 100 50 δmax est. δmin est. 0 δmax 1 -50 -100 -150 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 0.3 0.35 Fig. 29. Evolución de los límites de estabilidad angular y del máximo ángulo alcanzado por el rotor, respecto del tiempo de duración de la falta. Los cambios forzados en las potencias generadas para cumplir con las restricciones de estabilidad implican modificaciones en las tensiones de las barras del sistema, para poder cumplir con las restricciones del flujo de potencia activa (4.1)-(4.5), y con las ecuaciones del valor inicial (4.14) y (4.15). Por su parte, los cambios en las tensiones implican cambios en las potencias reactivas inyectadas por los generadores, ya que estas variables se relacionan a través de las ecuaciones del flujo de potencia reactiva (4.6)-(4.10) y por las ecuaciones del valor inicial (4.16) y (4.17). 5.1. Caso de estudio I 65 Esta relación se aprecia en las Fig. 30 y Fig. 31, donde se muestra la evolución de las potencias reactivas de los generadores y de las tensiones en las barras del sistema respecto al aumento del tiempo de falta, pudiéndose observar la interacción entre ambas variables en la concordancia que muestran sus variaciones. 2 Q1 Q2 Potencia Reactiva Q (pu) 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 0.3 0.35 0.3 0.35 Fig. 30. Evolución de las potencias reactivas. 1.1 1.08 1.06 Tensión V (pu) 1.04 1.02 1 0.98 0.96 V1 V2 V3 V4 V5 0.94 0.92 0.9 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 Fig. 31. Evolución de las tensiones en las barras del sistema La Fig. 32 muestra la evolución del valor final de la función objetivo del problema con respecto al aumento del tiempo de falta. Hasta los 280 ms de duración de la falta, la gráfica representa el costo de despacho económico óptimo real, correspondiente a la combinación de los costos de generación de cada generador y las potencias de despacho respectivas. Por encima de este tiempo, la gráfica muestra un costo de despacho ficticio, reflejando el hecho 66 5. Resultados de que los factores de relajación de los límites de estabilidad han empezado a pesar en la optimización. 400 Valor final de la Función Objetivo 350 300 250 200 150 100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 0.3 0.35 Fig. 32. Evolución del valor final de la función objetivo respecto del tiempo de duración de la falta. La Fig. 33 muestra el costo de despacho real del sistema (descontado el costo por incremento de ángulo), cuyo comportamiento obedece a lo explicado anteriormente respecto del cambio de las potencias generadas a medida que aumenta el tiempo de falta. 160 155 150 Costo C (€) 145 140 135 130 125 120 115 110 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 Fig. 33. Costo de despacho de generación. 0.3 0.35 5.2. Caso de estudio II 5.2 67 Caso de estudio II Como se ha explicado en la sección 4.3.2 de este documento, el Caso de estudio II busca minimizar la inercia necesaria para garantizar la estabilidad del sistema de estudio para una falta de larga duración. Así, se simularán faltas de distinto tiempo de duración, cercanas a la barra 4, sobre la línea 4-5. A continuación se muestran en detalle las soluciones óptimas obtenidas para los casos de faltas de 100 ms y 320 ms de duración, como así también un conjunto de gráficas en las que se presenta la evolución de distintas variables del sistema en función del tiempo de falta. 5.2.1 Solución óptima del problema ante una falta de 100 ms de duración Las Fig. 34 y Fig. 35 muestran la evolución del ángulo y de la desviación de velocidad del rotor de cada generador, durante la solución del problema de optimación ante una falta de 100 ms de duración. Como se puede observar, estas figuras son exactamente iguales a las Fig. 14 y Fig. 15, comportamiento esperable ya que la función objetivo (4.57) es igual a la (4.52) para tiempos de falta menores o iguales a 280 ms. Así, las conclusiones respecto a la estabilidad y al costo de despacho del sistema son las mismas obtenidas para la solución óptima presentada en la sub sección 5.1.1. 80 δ1 δ2 70 60 Ángulo del rotor δ (º) 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 Fig. 34. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc = 100 ms . 3 68 5. Resultados 0.025 ∆ω1 ∆ω2 Desviación de velocidad del rotor ∆ω (pu) 0.02 0.015 0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 -0.025 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 35. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para un tiempo de falta tcc = 100 ms . 5.2.2 Solución óptima del problema ante una falta de 320 ms de duración El redespacho de generación no permite la operación estable del sistema para faltas de larga duración, considerando las restricciones especificadas en el modelo. En esta sección se mantiene el límite de excursión angular máxima de 100º, pero se permite incrementar la inercia del sistema mediante el despacho de unidades generadoras adicionales en las barras 1 y 2 del sistema de estudio. El algoritmo de optimización entonces encontrará el incremento de inercia mínimo en esas barras que permitan una operación segura del sistema. También, encontrará en cuál de las barras es más conveniente el incremento de inercia, en función de las características de la falta y del sistema. Las Fig. 36 y Fig. 37 muestran la evolución del ángulo y de la desviación de velocidad del rotor de cada generador, en la solución del problema de optimación y ante una falta de 320 ms de duración. En la Fig. 36 se aprecia como la máxima excursión angular no supera los δ1 = 100º , siendo esto posible gracias al incremento de inercia en ∆H1 = 3,14 s experimentado en la barra 1. Este incremento de inercia permite obtener un sistema estable cuando la combinación de potencias de despacho por si solas no garantizan la estabilidad. El aumento de inercia hace que el generador equivalente en barra 1 (con inercia igual a la inicial del generador G1 más el incremento de inercia requerido) tenga una constante de tiempo mayor que la que tenía para la misma condición de operación en el Caso de estudio I. Así, la misma potencia acelerante que en aquel caso incrementaba la velocidad del rotor un 5,5 % por encima de la nominal (Fig. 27), ahora sólo alcance a incrementarla un 4 %, como se observa en la Fig. 37. Esto también se traduce en una apertura angular menor que la mostrada en la Fig. 26. 5.2. Caso de estudio II 69 120 δ1 δ2 100 80 Ángulo del rotor δ (º) 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 36. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para un tiempo de falta tcc = 320 ms . 0.05 ∆ω1 Desviación de velocidad del rotor ∆ω (pu) 0.04 ∆ω2 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 37. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores para tcc = 320 ms . El despacho de generación obtenido es de P1 = 1,83 pu y P2 = 3, 00 pu , obteniéndose un costo de despacho de 156,6 €. Como se observa aquí, el generador más caro es despachado a la potencia máxima, lo que permite disminuir la inercia adicional que requiere el sistema para estabilidad en estas condiciones extremas. Las Fig. 38 y Fig. 39 muestran, para el tiempo de falta considerado, la evolución de la función objetivo y de la optimalidad de primer orden con el transcurso de las iteraciones. 70 5. Resultados Valor final alcanzado: 1411.2386 1500 Función Objetivo 1000 500 0 0 5 10 15 Iteración 20 25 30 25 30 Fig. 38. Evolución de la función objetivo. valor final alcanzado: 0.0064152 1000 900 Optimalidad de Primer Orden 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 5 10 15 Iteración 20 Fig. 39. Evolución de la optimalidad de primer orden. Se puede observar en la evolución de la función objetivo que inicialmente el programa de optimización intenta encontrar una solución óptima a partir de una recombinación adecuada de las potencias de despacho, pero al no hallar la combinación que garantice la estabilidad del sistema, comienza a aumentar inercia apartándose de la condición del despacho económico puro. La gráfica de la optimalidad de primer orden muestra también esta evolución, ejemplarizando la dificultad en encontrar la solución óptima. Debe destacarse que aún en estas condiciones críticas, el algoritmo de optimización propuesto llega a la solución en menos de 30 iteraciones. 5.2. Caso de estudio II 5.2.3 71 Evolución de las variables del sistema con el aumento del tiempo de falta Las Fig. 40 y Fig. 41 muestran la evolución de las potencias activas despachadas y de la inercia de los generadores, respecto al aumento del tiempo de falta. 4.5 P1 P2 4 Potencia Activa P (pu) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 0.3 0.35 Fig. 40. Evolución de las potencias despachadas. 18 H1 H2 17 16 15 Inercia H (s) 14 13 12 11 10 9 8 7 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 0.3 0.35 Fig. 41. Evolución de la inercia de los generadores con el tiempo de duración de la falta. En la Fig. 40 se muestra la evolución de las potencias activas despachadas de los generadores que, como puede observarse, tienen el mismo comportamiento que las potencias activas del Caso de estudio I (mostradas en la Fig. 28). Esto es debido a que la función objetivo tiene el mismo término de despacho económico en ambos casos de estudio, aunque aplicado a factores operacionales distintos (aumento de amplitud angular o 72 5. Resultados de inercia despachada). El algoritmo cumple con las restricciones de estabilidad impuestas al sistema con distintas combinaciones de potencias generadas, hasta llegar a 280 ms de duración de la falta. Por encima de este tiempo, el generador G2 está despachado al máximo de su potencia, no siendo esto suficiente para mantener la estabilidad del sistema, por lo que se hace necesario incrementar la inercia del generador más inestable (G1 en este caso), como se muestra en la Fig. 41. Al ser la evolución de las potencias activas despachadas similar a la del Caso de estudio I, el costo de despacho de generación resulta ser el mismo que el mostrado en la Fig. 33. 2 Q1 Q2 Potencia Reactiva Q (pu) 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 0.3 0.35 0.3 0.35 Fig. 42. Evolución de las potencias reactivas. 1.1 1.08 1.06 Tensión V (pu) 1.04 1.02 1 0.98 0.96 V1 V2 V3 V4 V5 0.94 0.92 0.9 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 Fig. 43. Evolución de las tensiones en las barras del sistema 5.2. Caso de estudio II 73 Como se explicó anteriormente, los cambios de potencia activa producen cambios en las tensiones de las barras del sistema, lo que implica cambios en las potencias reactivas de los generadores. Esta interacción entre potencias reactivas y tensiones se aprecia en la concordancia que muestran sus variaciones en las Fig. 42 y Fig. 43, donde se observa la evolución de las variables mencionadas respecto al aumento del tiempo de falta. Es significativo señalar que, en el sistema considerado, las evoluciones de potencia reactiva y tensiones son similares para los dos casos simulados (variación en el ángulo máximo e incremento en la inercia del sistema). La Fig. 44 muestra la evolución del valor final de la función objetivo del problema con respecto al aumento del tiempo de falta. Hasta los 280 ms de duración de la falta, la gráfica representa el costo de despacho económico óptimo correspondiente a la combinación de los costos de generación de cada generador y las potencias de despacho respectivas. Por encima de este tiempo, la gráfica muestra un costo de despacho ficticio, reflejando el hecho de que el factor de inercia adicional de la función objetivo ha empezado a pesar en la optimización. 3000 Valor final de la Función Objetivo 2500 2000 1500 1000 500 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo tcc (s) 0.25 0.3 0.35 Fig. 44. Evolución del valor final de la función objetivo respecto del tiempo de duración de la falta. Los resultados precedentes muestran la eficacia del algoritmo propuesto para calcular la mínima inercia que necesita el sistema para ser estable en condiciones extremas. También, el algoritmo encuentra la disposición óptima de los despachos adicionales de inercia requeridos, entre las barras del sistema en las que se permite su modificación. 5.3 Caso de estudio III Como fue señalado en la sección 4.3.3 de este documento, el Caso de estudio III busca calcular la carga máxima admisible del sistema y determinar soluciones correctivas frente a la inestabilidad cuando la demanda crece por encima de la carga máxima admisible. A continuación se muestran en detalle las soluciones óptimas obtenidas para el caso de determinación de la carga máxima admisible y para incrementos de la carga hasta el 50 % 74 5. Resultados de los valores iniciales, como así también un conjunto de gráficas en las que se presenta la evolución de distintas variables del sistema en función de la demanda. 5.3.1 Determinación de la carga máxima admisible en el sistema para un tiempo de duración de la falta de 200 ms Como se ha visto en la sección 5.1.2, el sistema analizado es estable para una falta de 200 ms. (Fig. 20 y Fig. 21) y carga nominal, con un redespacho de la generación. En la presente sección se busca calcular el máximo incremento de demanda admisible por el sistema, sin perder la estabilidad. Como se ha explicado, en el problema de optimización todas las cargas del sistema son multiplicadas por el mismo índice de incremento α, lo que permite aumentar la demanda del sistema en forma uniforme y manteniendo el factor de potencia en las cargas. En la presente sección, el algoritmo de optimización busca maximizar el índice α, respetando todas las restricciones estáticas y dinámicas de operación. En la solución de este problema no se permite inercia adicional ni relajación de los límites en los ángulos. La solución óptima de este caso de estudio resulta en un valor del parámetro de crecimiento de carga de α = 1, 217 , lo que representa un incremento de carga del 21,7 % respecto a los valores iniciales. Las Fig. 45 y Fig. 46 muestran las gráficas de la evolución del ángulo y de la desviación de velocidad del rotor de cada generador para la solución de optimización encontrada (condición de máxima carga en el sistema), con una falta de 200 ms de duración. 120 100 80 Ángulo del rotor δ (º) 60 40 20 0 -20 -40 δ1 δ2 -60 -80 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 Fig. 45. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para la falta de tcc = 200 ms y 21,7 % de aumento de carga. 3 4.3. Caso de estudio III 75 0.05 ∆ω1 ∆ω2 Desviación de velocidad del rotor ∆ω (pu) 0.04 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 46. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores, para la falta de tcc = 200 ms y 21,7 % de aumento de carga. Se aprecia como la máxima excursión angular respeta el límite máximo especificado de δ1 = 100º , siendo esto posible gracias al redespacho experimentado por el sistema, que ubica las potencia en valores de P1 = 2,89 pu y P2 = 3, 00 pu . En esta solución óptima, el generador más costoso es despachado a mayor potencia que el más económico, garantizando la estabilidad del sistema que evoluciona con una oscilación sostenida. El costo de despacho obtenido es de 177,8 €, para las condiciones de carga máxima. Valor final alcanzado: -309.1606 -280 -300 -320 Función Objetivo -340 -360 -380 -400 -420 -440 -460 0 2 4 6 8 10 Iteración 12 14 Fig. 47. Evolución de la función objetivo. 16 18 76 5. Resultados Valor final alcanzado: 0.00003904 90 80 Optimalidad de Primer Orden 70 60 50 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 Iteración 12 14 16 18 Fig. 48. Evolución de la optimalidad de primer orden. Las Fig. 47 y Fig. 48 muestran, para el tiempo de falta considerado, la evolución de la función objetivo y de la optimalidad de primer orden con el transcurso de las iteraciones. Se puede observar en la evolución de la función objetivo que alrededor de la iteración 12 se estabiliza en un valor próximo a lo que será su valor final alcanzado, pero son necesarias otras 5 iteraciones para que la medida de la optimalidad de primer orden cumpla con el valor de tolerancia especificado. Al ser ésta una situación crítica para el sistema, la convergencia del proceso de optimización presenta cierta dificultad, tal como se observa en la Fig. 48. 5.3.2 Solución óptima del problema ante una falta de 200 ms de duración y 50 % de incremento de carga En el presente caso se mantiene la parametrización de la carga, pero ahora especificada por el usuario. Se simulan incrementos de la demanda en pasos del 10 %, desde el valor nominal hasta alcanzar un 50 % de incremento de la misma. Cuando el sistema no consigue abastecer la carga en condiciones estables (por encima de α = 1, 217 ), el algoritmo calcula automáticamente el incremento mínimo de inercia en las barras de generación del sistema que permite abastecer el total de la carga garantizando la estabilidad. El tiempo de falta se mantiene en 200 ms. Las Fig. 49 y Fig. 50 muestran la evolución del ángulo y de la desviación de velocidad del rotor de cada generador, en la solución del problema de optimización para un estado de carga con un 50 % de aumento respecto del nominal. 4.3. Caso de estudio III 77 Ángulo del rotor δ (º) 100 50 0 δ1 δ2 -50 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 49. Evolución del ángulo del rotor de los generadores, para la falta de tcc = 200 ms y 50 % de aumento de carga. 0.03 ∆ω1 Desviación de velocidad del rotor ∆ω (pu) ∆ω2 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 0 0.5 1 1.5 Tiempo t (s) 2 2.5 3 Fig. 50. Evolución de la desviación de velocidad del rotor de los generadores, para la falta de tcc = 200 ms y 50 % de aumento de carga. En la Fig. 49 se aprecia como la máxima excursión angular mantiene el límite de 100º, pero a costa de un considerable incremento de la inercia en la barra 1, que pasó de H1 = 11, 2 s a H1 = 22, 2 s . En ambas figuras se aprecia una disminución de la frecuencia de oscilación (tanto del ángulo como de la variación de la velocidad) respecto de las mostradas en las Fig. 45 y Fig. 46, debido a la inercia adicional requerida por el sistema. 78 5. Resultados Las potencias de generación para este caso se ubican en P1 = 4, 25 pu y P2 = 3, 00 pu , resultando en un costo de despacho de 205 €. Las Fig. 51 y Fig. 52 muestran, para el tiempo de falta considerado, la evolución de la función objetivo y de la optimalidad de primer orden con el transcurso de las iteraciones. Valor final alcanzado: 4617.0528 5000 4500 4000 Función Objetivo 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 5 10 15 20 25 Iteración 30 35 40 45 40 45 Fig. 51. Evolución de la función objetivo. Valor final alcanzado: 4.0023e-005 14000 Optimalidad de Primer Orden 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 5 10 15 20 25 Iteración 30 35 Fig. 52. Evolución de la optimalidad de primer orden. Con el incremento de carga, el programa de optimización necesita más iteraciones para encontrar una solución óptima que cumpla con las restricciones del problema, como se observa en la evolución de ambas curvas. 4.3. Caso de estudio III 5.3.3 79 Evolución de las variables del sistema con el incremento de la carga Las Fig. 53 y Fig. 54 muestran la evolución de las potencias activas despachadas y de la inercia de los generadores, respecto al aumento de la demanda en el sistema. En la Fig. 53 se muestra la evolución de las potencias activas despachadas que permiten obtener un sistema estable, sin modificaciones en la inercia, hasta valores de 21,7% de incremento de la carga. Para un aumento por encima de este valor, el redespacho del sistema no alcanza para conseguir la estabilidad del mismo, haciéndose necesario un incremento en la inercia, tal como se observa en la Fig. 54. También se observa en la evolución de las potencias de los generadores que, inicialmente (hasta el 21,7 % de aumento de la carga), el generador G2 es forzado a aumentar su potencia para atender los requerimientos de la demanda y garantizar la estabilidad del sistema. Así, 21,7 % de incremento de la carga es el límite de carga del sistema, considerando criterios dinámicos. Para 30 % de aumento en la demanda, el generador G2 está despachado a su potencia máxima, obligando a G1 a aumentar la suya para no cortar carga. Sin embargo, garantizar el balance de potencias no garantiza la estabilidad del sistema, resultando necesario modificar las inercias, tal como se explicó anteriormente. 4.5 P1 P2 Potencia Activa P (pu) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Demanda (pu) 1.35 1.4 Fig. 53. Evolución de las potencias despachadas. 1.45 1.5 80 5. Resultados 25 H1 H2 Inercia H (s) 20 15 10 5 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Demanda (pu) 1.35 1.4 1.45 1.5 Fig. 54. Evolución de la inercia de los generadores con el incremento de la carga para una falta de 200 ms de duración. Los cambios de potencia activa producen cambios en las tensiones de las barras del sistema, lo que implica cambios en las potencias reactivas de los generadores, Fig. 55 y Fig. 56. Se observa en las figuras un comportamiento cambiante en las potencias reactivas de las barras de generación. Para pequeños incrementos de carga en el sistema, la potencia reactiva demandada es superior a la inicial. Sin embargo, aumentos significativos en las cargas del sistema disminuyen ligeramente la potencia reactiva requerida para la operación. 2 Potencia Reactiva Q (pu) 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 Q1 Q2 -1.5 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Demanda (pu) 1.35 1.4 Fig. 55. Evolución de las potencias reactivas. 1.45 1.5 4.3. Caso de estudio III 81 1.1 1.08 1.06 Tensión V (pu) 1.04 1.02 1 0.98 0.96 V1 V2 V3 V4 V5 0.94 0.92 0.9 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Demanda (pu) 1.35 1.4 1.45 1.5 Fig. 56. Evolución de las tensiones en las barras del sistema La Fig. 57 muestra la evolución del valor final de la función objetivo del problema en función del incremento de la demanda, para una falta de 200 ms de duración. Hasta el 20 % de incremento de carga la gráfica representa el costo de despacho económico óptimo, correspondiente a la combinación de los costos de generación de cada generador y las potencias de despacho respectivas. Por encima de este valor de carga, la gráfica muestra un costo de despacho ficticio, reflejando el hecho de que el incremento de inercia del sistema ha empezado a pesar en la optimización. 5000 4500 Valor final de la Función Objetivo 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Demanda (pu) 1.35 1.4 1.45 1.5 Fig. 57. Evolución del valor final de la función objetivo respecto del incremento de carga para una falta de 200 ms de duración. 82 5. Resultados La Fig. 58 muestra el costo de despacho real del sistema, cuyo comportamiento obedece a lo explicado anteriormente respecto del cambio de las potencias generadas a medida que se incrementa la carga del sistema. 210 200 190 Costo C (€) 180 170 160 150 140 130 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 Demanda (pu) 1.35 1.4 1.45 1.5 Fig. 58. Costo de despacho de generación. En el Capítulo siguiente se presentarán las principales conclusiones extraídas del trabajo y se formularán líneas de investigación a ser desarrolladas posteriormente. Capítulo 6 Conclusiones y trabajos futuros En este capítulo se presentan las conclusiones obtenidas del desarrollo del presente trabajo. También se indican cuales serán los posibles trabajos futuros a realizar para profundizar y mejorar la línea de estudio aquí presentada. 6.1 Conclusiones y principales contribuciones I. En esta tesis fue formulado un modelo de optimización para determinar el punto de operación óptimo de un sistema de potencia sometido a una perturbación, considerando tanto las restricciones técnicas de operación del sistema como las restricciones de estabilidad transitoria del mismo. Para llegar a la formulación citada, primero se realizó una revisión teórica de las restricciones relevantes en la representación del sistema para el análisis de estabilidad transitoria, y luego se estudió la forma de representación matemática conveniente para su inclusión en el problema de optimización, habiéndose escogido la regla trapezoidal para realizar tal representación. II. En el desarrollo teórico e implementación del problema de optimización, se demostró la complejidad del mismo desde el punto de vista computacional, ya que el número de restricciones a resolver para un sistema de potencia pequeño como el presentado en este trabajo asciende a 4857 (1219 de igualdad y 3638 de desigualdad), a pesar de haberse utilizado el criterio de la matriz de admitancias reducida para disminuir el número de ecuaciones en la representación de la restricciones de estabilidad. III. Se ha implementado un algoritmo de optimización que, a partir del uso de herramientas comunes de solución, permite la resolución de un programa complejo como el Flujo de Potencia Óptimo con Restricciones de Estabilidad Transitorias. IV. El resultado de las distintas estrategias de optimización seguidas, presentadas como casos de estudio, es el siguiente: a. En el Despacho económico con relajación del límite de estabilidad angular se ha demostrado la capacidad del algoritmo para obtener un 83 84 5. Conclusiones y trabajos futuros punto de operación óptimo para cada uno de los tiempos de duración de la perturbación analizados. También, se demuestra que el límite de estabilidad angular puede ser determinado por el algoritmo para cada caso de operación en particular, sin tener que caer en una determinación heurística previa que puede llegar a limitar las capacidades operativas del sistema de potencia. b. En la Determinación de la mínima inercia necesaria para garantizar la estabilidad angular del sistema de estudio para una falta de larga duración, se muestra la capacidad del algoritmo para determinar la mínima inercia adicional necesaria y la ubicación de la misma en las regiones más convenientes del sistema, garantizando la estabilidad del mismo ante una perturbación crítica. c. En la Determinación de la carga máxima admisible del sistema y soluciones correctivas frente a la inestabilidad, se demuestra la posibilidad de utilizar el algoritmo para calcular los límites de carga del sistema, considerando restricciones estáticas y dinámicas de operación. El algoritmo es también capaz de calcular los requisitos mínimos adicionales de potencia, de inercia y la localización óptima de los equipos que proporcionen el total de la demanda, cuando la demanda es superior a la permitida para la estabilidad del sistema en una determinada configuración. 6.2 Trabajos futuros Se pretende: I. II. Cambiar de software de optimización, migrando a uno con mayores potencialidades. Ampliar el sistema de estudio y estudiar configuraciones aisladas. III. Investigar el uso de modelos dinámicos más detallados para los generadores y restricciones de estabilidad adicionales en el problema del FPO-RET. IV. Explorar el efecto de funciones objetivo alternativas en el problema de optimización. V. Realizar análisis de casos de estudio reales en colaboración con el operador del sistema. VI. Analizar la implementación de otros métodos implícitos de integración. Referencias [1] P. Ledesma Larrea, “Estabilidad transitoria.” Universidad Carlos III de Madrid, 22-Sep-2008. [2] L. L. Grigsby, Power system stability and control. CRC Press, 2007. [3] P. Kundur et al., “Definition and classification of power system stability IEEE/CIGRE joint task force on stability terms and definitions,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 19, no. 3, pp. 1387-1401, 2004. [4] P. Kundur, Power System Stability and Control. McGraw-Hill Professional, 1994. [5] J. J. Grainger and W. D. Stevenson Jr., Analisis de Sistemas de Potencia. MC Graw Hill, 1996. [6] R. Zarate-Minano, T. Van Cutsem, F. Milano, and A. J. Conejo, “Securing Transient Stability Using Time-Domain Simulations Within an Optimal Power Flow,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 25, no. 1, pp. 243-253, 2010. [7] D. Gan, R. J. 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Anexo Modelos de componentes Este anexo describe los modelos de líneas de transmisión y transformadores, usados para definir las admitancias de la red de transmisión. transmisión A.1 Modelo de líneas de transmisión Las líneas de transmisión son modeladas por el circuito π equivalente mostrado en la Fig. 59. Fig. 59. Modelo de línea de transmisión. donde: ;3 es la resistencia serie del elemento k; 3 es al reactancia serie del elemento k; <=3 es la susceptancia derivación del elemento k. La admitancia serie de la línea es: Yk = 1 1 = = g k + jbk Z k rk + jxk 89 (A.1) 90 ANEXO donde: >3 es la conductancia del elemento k; <3 es al susceptancia serie del elemento k. y la conductancia y susceptancia resultante son: gk = rk r + xk2 (A.2) bk = − xk r + xk2 (A.3) 2 k 2 k Los flujos de potencia activa y reactiva desde la barra m a la barra n,, serán: PLmn = Vm2 g k − VmVn ( g k cos(ϕm − ϕn ) + bk sen(ϕm − ϕ n )); ∀ k = (m, n) ∈ RL 1 QLmn = −Vm2 (bk + bpk ) − VmVn ( g k sen(ϕm − ϕn ) 2 − bk cos( co ϕm − ϕn )); ∀ k = (m, n) ∈ RL (A.4) (A.5) A.2 Modelo del transformador El modelo simplificado del transformador utilizado en este trabajo, es mostrado en la Fig. 60. Fig. 60. Modelo del transformador. La admitancia de transferencia nodal para este modelo es: 1 T2 I mn k = ( g + jb ) k k 1 I nm −T k V e jϕm m Vn e jϕn 1 1 − Tk Donde g k y bk vienen dados por (A.2) y (A.3) respectivamente. (A.6) ANEXO 91 En el presente trabajo se usó la relación del cambiador de tomas Tk en su valor nominal, Tk = 1 , y se desprecio la resistencia serie rk con lo que g k = 0 . Con estas simplificaciones, los flujos de potencia activa y reactiva desde la barra m a la n, serán: PTmn = −VmVnbk sen(ϕm − ϕn ); ∀ k = (m, n) ∈ RT QTmn = −Vm2bk + VmVn (bk cos(ϕm − ϕn )); View publication stats ∀ k = (m, n) ∈ RT (A.7) (A.8)
