Analisis matematico II Eduardo Espinoza

ANALISIS
MATEMÁTICO II
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA
(TERCERA EDICION)
♦
INTEGRAL INDEFINIDA
♦
INTEGRAL DEFINIDA
♦
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
♦
INTEGRALES IMPROPIAS
♦
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA
♦
INTEGRACION NUMERICA
♦
FUNCIONES ESPECIALES
♦
ECUACIONES PARAMETRICAS
♦
COORDENADAS POLARES
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIM A-PERÚ
IMPRESO EN EL PERÚ
03 - 03 - 2002
3 * E D IC IÓ N
DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método
gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia,
registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso
consentimiento del autor y Editor.
RUC
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Escritura Publica
Ne 10070440607
Ne 13714
Ne 10716
Ne 4484
PROLOGO
En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático II para Estudiantes de
Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos
comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la
capital, al igual que la 2da. Edición se expone en forma teórica y práctica, los métodos de
integración, integral definida, integración impropia, integración numérica. Ecuaciones
Paramétricas, Coordenadas Polares y sus aplicaciones, las funciones Beta y Gamma, los
polinomios de Taylor, asi mismo se ha incluido en las integrales indefinida las ecuaciones
diferenciales sencillas y sus aplicaciones, se ha hecho la demostración de las propiedades de la
integral definida, se ha incluido también mas ejercicios desarrollados y propuestos de las
practicas y exámenes de las diversas Universidades de la capital.
La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado,
tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo
que confunde al lector.
La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo
de las funciones reales de variable real, los limites y continuidad de una función, así como la
derivación de las funciones en una variable.
La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas,
física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus
conocimientos matemáticos del análisis real.
Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas
por sus valiosos comentarios y sugerencias.
DOCTOR PEDRO CONTRER4S CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Rio de Janeiro—Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de
la Universidad Nacional del Callao.
Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad
Ricardo Palma.
LIC. SERGIO LEYVA HARO
ExJefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la
Universidad Nacional del Callao.
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Intituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
de la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERMO SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
LIC. JOSE KIKE BRONCANO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos RONALD, JORGE
y DIANA, que Dios ilumine sus caminos para que
puedan ser guías de su prójimo
PRESENTACION
En la presente obra, Eduardo Espinoza Ramos, demuestra que sigue
avanzando, no solo en el aspecto técnico formal de la matemática, si no que, su avance se
manifiesta en la selección cuidadosa y esmero en la impresión de esta obra.
Su formación de matemático, como su experiencia en la docencia
universitaria, se amalgaman y dan como fruto una obra que marca un camino en su madurez
profesional, obra, que seguramente llenará un vacío para quienes no solo desean “resolver
problemas” sino también conocer el lenguaje formal y las ideas de esa hermosa ciencia que es
la matemática
DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA PURA DE LA UNMSM
ASESOR DEL “CONCYTEC”
INDICE
C A P IT U L O I
1.
INTEGRAL INDEFINIDA
1.1
Introducción
La Antiderivada de una función
1.2
1.3
1.4
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
1.5.8
1.5.9
1.5.10
1.5.11
1.5.12
1.5.13
La Antiderivada General
La Integral Indefinida
Fórmulas Básicas de Integración
Primeras Fórmulas Básicas de Integración
Segundas Fórmulas Básicas de Integración
Terceras Fórmulas Básicas de Integración
Cuartas Fórmulas Básicas de Integración
Integración por Sustitución o Cambio de Variable
Integrales de funciones que contienen un Trinomio cuadrado
Ejercicios Propuestos de las Fórmulas Básicas
Ecuaciones Diferenciales sencillas
Movimiento Rectilíneo
Aceleración Constante
Movimiento Vertical con Aceleración Gravitacional Constante
Ejercicios Desarrollados
Ejercicios y Problemas Propuestos
1.6
Métodos de Integración
1 .6.1
Integración de las Funciones Trigonométricas
Ejercicios Propuestos
Otras Integrales Trigonométricas
Ejercicios Propuestos
Integración por partes
Casos Especiales de Integración por Partes
Ejercicios Propuestos
1 .6 .2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1 .6 . 6
1.6.7
1
2
2
3
5
6
13
18
21
23
27
32
52
54
56
58
60
69
73
73
87
94
97
102
117
122
Integración por Sustitución Trigonométricas
130
Ejercicios Propuestos
Integración de Funciones Racionales
Ejercicios Propuestos
Métodos de HERMITE - OSTROGRADSKI
143
150
169
181
Ejercicios Propuestos
Integrales de Funciones Racionales de Senos y Cosenos
Ejercicios Propuestos
186
190
196
Integrales de Algunas Funciones Irracionales
Fórmulas de Reducción
Ejercicios Propuestos
Ejercicios Desarrollados Diversos
201
215
218
229
Ejercicios Propuestos
253
c a p i t u l o ii
INTEGRAL D EFINIDA ]
Sumatorias
Propiedades de las Sumatorias
Fórmulas de las Sumatorias
Ejercicios Propuestos
Calculo del Area de Una Región Plana por Sumatorias
Partición de un Intervalo Cerrado
Aproximación del Area de una Región por Areas de Rectángulos
Sumas Superiores y Sumas Superiores
Propiedades de las Sumas Superiores e Inferiores
Integral Definida
Propiedades de las Integrales Superiores e Inferiores
Integral de RIEMANN
La integral como limíte de Sumas
Calculo de la Integral Definida usando Intervalos de igual longitud
268
269
270
276
280
280
282
296
300
302
302
303
307
308
C A P IT U L O IV
4.
INTEGRALES IMPROPIAS
4.1
4.2
4.3
4.4
4.4.1
4.4.2
Introducción
Integrales Impropias con Limites Infinitos
Integrales Impropias con Limites Finitos
Criterios para la Convergencia de Integrales Impropias
Criterio de Comparación
Criterio de Convergencia para Funciones Discontinuas
450
451
454
457
457
457
4.4.3
4.4.4
4.5
4.5.1
Criterio de Convergencia Cuando un Limite de Integración es Infinito
Ejercicios Propuestos
Aplicaciones de la Integral Impropia
Areas de Regiones y Volumen de Sólidos de Revolución
457
461
473
473
4.5.2
4.6
4.6.1
4.6.1.1
4.6.1.2
4.6.2
4.6.2.1
4.6.2.2
4.6.3
4.7
4.7.1
4.8
4.8.1
4.8.2
Problemas Propuestos
Funciones Especiales
Definición de la Función GAMMA
Propiedades de la Función GAMMA
Ejercicios Desarrollados
Definición de la Función BETA
Propiedades de la Función Beta
Ejemplos Aplicativos
Ejercicios Propuestos
Integrales Dependientes de un parámetro
Ejercicios Propuestos
El Polinomio de Taylor
Aproximación de Funciones por Polinomios
Polinomios de Taylor Engendrado por una Función
480
483
483
483
489
491
491
493
497
502
509
511
511
513
4.8.3
4.8.4
4.8.5
4.9
4.10
Fórmula de Taylor con Resto
Teorema del Valor Medio para Integrales
Teorema del Valor Medio Ponderado por Integrales
Ejercicios Desarrollados
Ejercicios Propuestos
518
522
522
524
529
7.3.1
Area Bajo una Curva dada en forma Paramcu ica
7.3.2
7.3.3
Longitud de Arco cuando la Curva es dada por EcuacionesParametricas
Area de una Superficie de Revolución cuando la Curva es dada en
forma Parametrica
^
583
584
585
7.4
Problemas Desarrollados
586
7.5
Ejercicios Propuestos
593
C A P IT U L O V III
8.
8 .1
COORDENADAS POLARES
Introducción
Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares
La Recta y la Circunferencia en Coordenadas Polares
Ejercicios Propuestos
600
601
603
605
Trazado de Curvas en Coordenadas Polares
Ejemplos
Ejercicios Propuestos
606
607
624
8.9
8.10
8 .11
Distancia entre Dos Puntos en Coordenadas Polares
Intersección de Curvas en Coordenadas Polares
Derivadas y Rectas Tangentes en Coordenadas Polares
Aplicaciones de las Integrales en Coordenadas Polares
625
626
629
632
8.12
8.13
Ejercicios Desarrollados
Ejercicios Propuestos
637
644
8.2
8.3
8.4
8.5
8 .6
8.7
8 .8
APENDICE
652
BIBLIOGRAFIA
660
1
Integral Indefinida
CAPITULO I
I.
INTEGRAL INDEFINIDA
1.1
INTRODUCCION.El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil, calcular
su velocidad o también, dada una curva, calcular su pendiente.
El problema básico de la integración, es el caso inverso: dado la velocidad de un
punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria o también dado la pendiente de una
curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva.
En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función
hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con
el problema inverso, es decir:
Dada la derivada de una función, hallar tal función por ejemplo: / ' (jc) = 4 .
g'(x) = 5jc4 . Ahora el problema es hallar fíx) y g(x), pero con un poco de astucia
se puede hallar dichas funciones, esto es:
~
puesto que /'(*)== ¿
R{x> = 0 jjüestó^ué
Esta operación de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa
de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.
2
1.2
Eduardo Espinoza Ramos
LA ANTlPERlYAflA RE LNA FUNCION.DEFINICION.- La función F: I
f: I
>R,
>R. se llama la antiderivada o primitiva de
sí F'{x) = f ( x ) , V x e I. (I = [a, b])
Ejemplo.- Sea f ( x ) = 5jc4 y g(x) = 3ei x , V x
G(x) = e3x para x g R
respectivamente puesto que:
\F{x) = x 5
^
[G(x) = e3x
g
R, las funciones F(x) = x 5 y
son las antiderivadas de f(x) y g(x)
| F'{x) = 5x4 = f { x )
[ c (x) = 3eix = g(x)
Sin embargo las funciones
F1 (jc) = jc5 + 7
y
Gl (x) = eix + 5
también son
antiderivadas de las funciones f ( x ) = 5jc4 y g(jc) = 3eix respectivamente, puesto que:
ÍF1 (jc) = jc5 + 7
íF¡ (x) = 5jc4 = f ( x )
|G, (jc) = e3' + 5
[G[ (x) = 3eix = g{x)
análogamente, otras antiderivadas de f(x) y g(x) son por ejemplo:
F2{x) = jc5 - 4 ,
F3 (jc) = x 5 + An, F4(x) = x 5 + a , G2(x) = e3x- 7 , G3(x) = e3x - e ” , G4 =e3x +b
donde a y b son constantes cualquiera, puesto que sus derivadas son iguales a f(x) y
g(x) respectivamente.
En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) es decir que F'(x) = / ( jc), por lo tanto
F(x) + c, también es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su
derivada es igual a la función ftx), es decir: (F(x) + c)’= F' (x) = / (x)
1.3
.LA.AfNX lD lR itA D A G fcN EH Á L^
DEFINICION.- Si la antiderivada de ftx) es F(x) sobre I. Entonces la función
G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de ftx).
El significado geométrico de la antiderivada F(x) de ftx), es que cualquier otra
antiderivada de ftx) es una curva paralela al gráfico de y = Ftx).
3
Integral Indefinida
OBSERVACION.- Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no
determina una única función, si no una familia de funciones, que
difieren entre sí en una constante.
El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integración y
se denota por el símbolo J , llamado signo de integración, el símbolo
J f(x ) d x
se
llama integral indefinida de ffx).
m
l a INTEGRAL INDEEfNIDADEFINICIÓN 1.-
Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I.
osea F'(x) = f ( x ) , entonces a su antiderivada general
G(x) = F(x) + c se denota por:
ü f x i « j'/íx .k ír = F I.XJ+... v x e I
Al cual le llamaremos la integral indefinida de ffx).
NOTA.-
De la definición de la integral indefinida se tiene: G'(x) =F'(x) = f{x)
es decir:
¿
Eduardo Espinoza Ramos
4
PROPIEDADES.-
De la definición de integral indefinida se tiene las propiedades:
1)
— ( f f(x)dx) = ( í f(x)dx)'- (F(x) + c)'~ F'(x) = f(x ) ósea que “La derivada
dx J
J'
de la integral indefinida es igual al integrando” es decir:
2)
d (J f(x)dx) = ( J / (x)dx)'dx = f(x )d x ósea que “La diferencial de la integral
indefinida es igual a la función integrado por la diferencial de x, es decir:
d{ f(x )d x)-f(x)d x
3)
Si f es una función derivable en I, entonces una antiderivada de / ' es f y
ff'ix )d x =f(x )+ c
4)
Se conoce que d (f(x )) = f ’(x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene:
w'
m
OBSERVACION.-
De las propiedades (2 y (3), a la integral indefinida también
podemos interpretarla como una operación inversa de la
diferenciación, puesto que la integral indefinida al actuar en la diferencial d(ffx))
reproduce la función ffx) más la constante de integración.
Ejemplo.-
Con las propiedades de la integral indefinida, se tiene, que por simple
inspección:
5
Integral Indefinida
3)
J(cos3jc-sen4jc)í£t = j d (
J
DEFINICIÓN 2.-
// + 1
sen 3.v cos4x
+
3
4
sen3x
cos4jc
+ ---------+ c
n +1
En toda integral indefinida j /(jc)rfx, a la función f(x) le
llamamos función integrando y a la variable x le llamaremos
variable de
integración, la constante c
es llamada constante de integración, a
J/(jc)rfx también se lee “integral indefinida de f(x) diferencial de x”
NOTA.- Sugerimos al lector el dominio de las fórmulas básicas de integración, de tal
manera que, en el estudio de las técnicas de integración sea amena y ágil,
para tal efecto hemos agrupado en cuatro partes las fórmulas básicas.
1.5
FORMULAS BASICAS O E INTEGRACION.
I.S.1
PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION.
Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces:
Sea u = f(x), una función diferenciable en x
Eduardo Espinoza Ramos
6
j e udu = eu +c
®
®
j a ud u = Y — + c ,a> 0 , a ^ l
r du
1
,u v
J —---- r = - a r c t g ( - ) + c
1 u +a
o
/7 \
e
ClP
a
I—
du
1 , ,u - a.
r = — l n | —— |+c
J u -a
2a
t
du
1 . .u+ a,
I —— T = ^ ~ ln i— l +c
J a 2 -u~
2a
u-a
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Calcular las siguientes integrales.
0
J x ( a - b x 2 )dx
Solución
Como x ( a - b x 2 ) —a x - b x 3 entonces:
j x ( a —b x 2 )dxc =
m
©
í
)ax =
í xxd
a x -- b
nJ
i xx 3dx
ci x
Ji [( a xx ——b x2~ )dx
= aa J
dx
=
ax
2
^
l
bx
4
+°
n\2
■sJX
Solución
A la función, se expresa en la forma:
( m _ X n). 2
>/jc
_ X
2m _ ')r.m
+n y-2"
¿ .X
_
2f» 1 /2
-) m + n -1 /2
2jt—1/ 2
= x 2 m ' l , 2 - 2 x m+n~ l , 2 + x
-\/x
= JC( 4 m - l ) / 2 _ 2
entonces
m n v2
f (*
J
J
Vx
jc( 2 ' " + 2 » - 1 ) / 2
= í (x(4m l ) / 2 - 2 x (2m+2n
J
(4 w + l)/2
(4w + l)/2
,)/2
+
jc( 4 « - 1 ) / 2
+ x (4n l,' 2)í/x
2 ^ < 2m+2n+ó ' 2
(2»t + 2n + l) /2
^ ( 4 » 1)/2
- + --------------------- + C
(4n + l)/2
u +a
7
Integral Indefinida
=
@
l4 x * m+x W x 2m+2n+1
4/n + l 2m + 2/i + l
1
2 -v/x4n+1
4/j+l
1-£.'
|(x -^ /x + l)(V x + l)d x
Solución
Efectuando la multiplicación de (x - -<fx + l)(-Jx +1). es decir:
( x ~ 4 x + \)(-Jx + 1) = x 3 / 2 + 1 . entonces:
2
5. 2
J ( x —Jx + l)(-Jx + \)dx = J ( x V 2 + 1)í¿c =—^ — +x +c
0
e g ( x ) , r ( x ) - g ' ( x ) . f ( x ) dx
g 2(x)
Solución
c usabe que la
i diferencial
j-r
• i de
j un cociente
■ . es:--- j , f ( XK g ( x ) . f 'W - f ( x ) . g ' ( x ) J
Se
d(------) = -----------------dx
*(*>
[gU ) ] 2
Ahora reemplazando en la integral se tiene:
f g(x) f ' ( x ) - f(x ) .g '( x ) d^ = f ^ / W j = /( * ) | ^
pYjc)
[g ( * ) ] 2
JJ
£(*)
©
3 + lnjc ,
dx
Solución
A la integral escribiremos en la forma:
Í 3 + lnjc ,
,fí¿T
f,
dx
...
. ln 2 x
dx = 3 — + lnjr. — =3 ln | jc | +
x
J
jc
J
jc
2
+c
8
Eduardo Espinoza Ramos
® í.
dx
x 2 - 4. x. +. 13
.
Solución
Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en éste caso, se
completa cuadrados.
jt 2 - 4 x + 13 = (x 2 - 4 x + 4) + 9 = ( x - 2 ) 2 +9
dx
r
dx
1
rx - 2
—r --------- = ---------,---- = - arctg(— —)
J x~ —4jc + 13 ■» ( x - 2 ) “ +9 3
3
r
X+ l
©
í
+c
,
-dx
x +2x
Solución
Cuando se observa que el diferencial del denominador se encuentra en el numerador
o su diferencia esté en un factor de proporcionalidad, en éste caso se aplica la fórmula
(7) es decir:
Sea u = x~ +2x => du = 2(x+l)dx, de donde, ahora reemplazando en la integral:
f * + ^ dx= f — = —ln|u|+c- = —l n |x 2 + 2 x |+ r
J x2 +2x
JJ 22U
2
u 22
Solución
En forma similar al ejercicio (7) se tiene:
Sea u = 1+ x
=> du = 4x dx
3,
du
=> x dx =
Ahora reemplazando en la integral:
r x dx
r du 1 . . .
1, ,,
4.
- = — = —ln i# +r = —ln 1 + x +<'
J 1 + v4 J 4u
4
4
9
Integral Indefinida
J(ox + fe),/2 íic
Solución
En éste ejercicio se aplicará la fórmula (6 ) es decir:
Sea u = ax + b =>du = adx
=> dx = —
Ahora reemplazando en la integral:
Í
10)
r
. i» 3 /2 j
(ax+b)
a x = f\ u
J
3/2
1 2 5/ 2 .
- ,
i.vS /2 ,
— =—.—u
+c = —
(ax +, b)
+c
a
a 5
5a
J x" l^ a + bx"dx
Solución
A la integral dada lo escribiremos en la forma:
j*x"
]a + b x " d x - j ( a + bx")l' 2x n ldx
•••(!)
Ahora aplicando la fórmula (6 ), es decir:
Sea u = a + bx"
=>
du = bnx" ]dx de donde x" ldx = —
bn
Luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
f| x " 1yIa +. bx
u " dx=
i
fI u1■2 —
du = 2 u) 2 +c =-2(a + h x " f 2-+c
J
bn 3hn
3bn
J
(ñ )
[Í2 2 H Í*
j jclnjt
Solución
En ésta integral aplicamos la fórmula (6 ), es decir:
- .( 2 )
10
Eduardo Espinoza Ramos
Sea u = ln(ln x) => du —
dx
A'lnjr
, ahora reemplazando en la integral se tiene:
fln(lnx)
f
dx
f
,
u2
ln2(InW)
I ----------dx = I ln(lnx)------- = I udu = — + c =----- --------- 1-c
J x ln x
J
x ln x J
2
ñ )
f
I
,
i
1 /i
* * ">, 3 / 1
J -y/l + A' + (1 + A” )
'
Solución
A la expresión, agrupemos en la forma:
-Jl+x1 +(1 + a 2 ) 3' 2
=-J(1 + a 2) + (1 + a 2) a/ i + a 2"
= -J(1 + a 2)(1 + -\/i + a 2=) = ^¡l + x 2 ■Jl+'Jl+x2^
xdx
f
xdx
_ 1[
= = í i + a / i + a 2 ) 12
+ ( 1 + X2 ) 3 / 2
J -\/l+A2 -\/l+-\/l+A 2
J
f
f
\j
xdx
. .. (1)
■
ahora aplicamos la fórmula (6 ), es decir:
Sea u =l +^fl + x 2
du =
=>
xdx
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
f .
xdx
-Jl + A 2 + (1 + A 2 ) 3' 2
©
= f u u2du = 2 w’ ' 2 +c = 2-¡\+-Jl+x2 + C
J
S
^ &r
J 1 +AVA
Solución
En el presente ejercicio aplicaremos la fórmula (7); es decir:
...(2 )
11
Integral Indefinida
Sea u = l + x J x , de donde du = - - J x dx entonces -Jx dx = —du
2
3
Ahora reemplazamos en la integral dada, se tiene:
r -Jxdx 2 cdu 2 , . .
2 .
7= = - — = - l n m +c- = - l n 1 + xVJt -K3 l+ xjx
3J u 3
3
14)
1 + JC 2
Solución
En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir:
rí?aragJ: + xln(x 2 + 1) + 1 ^
3
l +X
_
f e aictg* ^ f , , i
xd
m xr _ f dx
«x
= Ií -e -<*c+I
inCx- +1)------+ I - -----r
3 l+X~
3
1+X'
3 \+x~
Ahora aplicamos las fórmulas (6 ), (8 ) y (10), es decir:
r t?*rctgi + xln(x 2 + 1) + 1
ln 2 (x 2 +l)
--------------- ^-------— dx= e"** +---- -------- -+arctgx + c
3
1+ x"
4
15J
f
dx
3 x (x +9)
Solución
En los ejemplos anteriores, para el cálculo de las integrales, lo que sé hacia era
expresar en una forma de tal manera que, se pueda utilizar las propiedades básicas de
integración en forma directa, pero ciertas funciones no es tan fáciles de expresar en
forma directa, esto depende de la práctica que se tenga y de la habilidad de la que está
calculando; tal es el caso del presente ejercicio, es decir, en el cálculo de la integral,
se hace de la siguiente manera.
+3 = x 2 + - ( x 2 + 9 - x 2) = - x 2 + - ( x 2 +9)
3
3
3
ahora reemplazando en la integral dada se tiene:
12
Eduardo Espinoza Ramos
x
1 ( 2 x 2 + ( x 2 +9)
2 +3
-
—— ------ dx = — I —
x~(x" +9)
33
x '( x
1 fr
2x2
x 2 +9
dx = —I [——-------------+—— ------
+9)
33 x ~ ( x + 9 )
x~( x~ +9)
Solución
En forma similar al caso anterior, el numerador expresamos en la forma:
1
f
= (x1 + l ) - x 7, ahora reemplazamos en la integral dada:
dx
= f { x l + l ) ~ x l dx = f x U l dx- f * ldx
x(x? + 1) J x(x 7 + l)
x(x? + 1)
J A-(x7 + l)
= f — - f —----J
X
(aplicando la fórmula 7)
J X 1 +1
= l n | x | - y l n | x 7 + 1 | +c
r
eos x dx
3 sen 2 x - ósenx + 5
Solución
Í
c o sa dx
cosx
sen 2 a - ó se n x + 5
_ r
cosx
c o sa dx
3 (sen2 x - ó s e n x + 9 ) - 4
_ r
cosa dx
3 (senx —3)' —4
sea z = s e n x —3 => d z = co sx d x
r
cosa dx
r dz
I. , : - 2 .
1. .s e n .v -5 .
r------------------ = \ —-------= —ln| ------ -| +c ——ln | ------------|+t’
J sen“ x - ósenx + 5 J - - _ 4
4
- +2
4
se n x -1
13
Integral Indefinida
1.5.2..
SECUNDAS FORMELAS BASICAS PE INTEGRACION.En éstas fórmulas básicas van a considerarse los casos en que él integrando es una raíz
cuadrada de una expresión cuadrática.
Sea u = f(x) una función diferenciable en x, entonces:
I
~Z)
f■
f
4)
du
du
,u ,
~ arcsen(—) +c
- " l n |« + 4 u 2 ■f a 2f+ c
11 — = ln | w +t/í? - a1 |+ c
f *jaz ~ u l du - z - 4 a z ~ u 2
J
;::í;
arcsenf—í+ c
,
""W""
j \ h 2--'a2du - ~ *Ju2-o 2~^-\r,\t4 +^u2- a7 1+c
\ 4 u 2 + a2du = '|-4u2 * a 2 ^™ln|^<•t••\/f^,
I
|+ c
- i-ares e c ~ +c , a> 0
# i l i
Nota.- Las integrales de este tipo se calculan completando cuadrados.
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Calcular las siguientes integrales.
Solución
14
Eduardo Espinoza Ramos
En laexpresión completamos cuadrados: - x 2 - 6 x - 6 = 3 - ( x 2 + 6+9) = 3 - ( x + 3):
ahora reemplazando en la integral y aplicando la fórmula ( 1 )
r
dx
r
dx
,* + 3 ,
- 7= = = = = = =
■
= arcsen(—j=~)+c
1 f r '- t v - t
1 fi-(x + 3 )2
S
dx
■^5-2x + x 2
Solución
Completando cuadrados en la expresión 5 - 2x + x 2 se tiene:
5 - 2 x + x 2 = x 2 - 2 x + l + 4 = ( x - l ) 2 + 4 , ahora reemplazando en la integral y
aplicando la fórmula (2 )
f . ■ ^x ~. .■ ■= f--p-=j£=--=-z-r- l n | x — 1 + ~\/5—2x + x 2 | +c
-y5-2x + x 2 i ^ j ( x - l ) 2 +4
®
t
e
Solución
dx
í- A = x ^ l l- ln 2 x
I --vH
=
1-ln ‘ x
Sea u = lnx
=>
d u-—
...(2 )
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
—,
x -^ h ^
= f
,
-m
= arcsen(«) + c = arcsen(lnx) + c
15
Integral Indefinida
Solución
A la integral dada escribiremos así:
r sen x eos x
_ 1\ r 2„ sen x. eos x
^ 2 -sen4 x
2
-f
dx
...( 1)
-J'.2 -(s e n 2 x)2
J?
Sea u = sen 2 x
■* <j
c
1
=> du = 2 sen .veos x dx
*-
* **
- .( 2 )
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
r sen.rcos.v .
1 r du
1
, u .
1
,sen2 *
,
= dx = — \ ,
= —arcsenH =)+ L = —arcsen(— ¡ ^ )
3 x¡2-sen4 x
23 J l^ ü 1 2
^2
2
^2
J-\/.Y2 - 2 x - l <íy
Solución
Completando cuadrados:
x 2 —2jc—1 = ( x - l ) 2 - 2 , reemplazando y aplicando la
fórmula (5) se tiene:
J ^Jx2 - 2 x —l dx = J - ^ ( x - 1 ) 2
-2
ííy
=—
——"Vx2 - 2 x - l - l n |x - l + - \ / x 2 - 2 x - l |+c
©
J
dx
-¡2ax-x2
Solución
Completando cuadrados: 2a x - x 2 = a 2 - ( x - a ) 2.
Ahora reemplazando y aplicando la fórmula (1).
Í
dx
r
dx
,x ~ a .
r = - p = = = = arcsen(------ )+ c
V2 a x - x 2 3 -y/o2 - ( x - a ) 2
a
16
Eduardo Espinoza Ramos
J V12x - 4 x2 - 5
Solución
Cuando se tiene ésie tipo de integrales, en el numerador se pone el diferencial de la
cantidad subradical, luego se resta ó suma una cantidad de tal manera que, resulte la
misma expresión, es decir: d( 12x - 4 x 2 - 5) = (12 - 8 x )dx
r
(8 x -3 )dx
_
■* - J \2 x - 4 x 2 - 5
r (12-8.v-9)<¿v _
* a/i2jc-4,v2 - 5
(12-8x)dx
Qr
dx
-J l2 x -4 x2 -5
■* a /i2 x -4 x 2 - 5
dx
= -2-x/l2a - 4jc2 - 5 + - f
= -2 ^J l2 x -4 x 2 -5 + —arcsen(— ——) + c
2
2
G)
\/2 —jc 2
-dx
¡•^2 + x 2 —x4
Solución
A la expresión, separamos y simplificamos
-j2 + x 2 —- ^ 2 - x 2
V 4 -x 4
V2 + x 2 - V 2 - x
-n/ ( 2
2
+ x 2 )(2 - x 2)
V2 + x 2 4 2 - x 2
4 2 ^- x 2
V2 + x 2
V2 + X2 -\/2 - x
-^2 + x 2 —\ ¡ 2 - x 2
2
^¡2 +x 2 4 % - x 2
V2 -X 2" V2 + X2
Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:
f
J
V 4 -x 4
=r
i
J V2 -X 2
¿
,
V2 +X2
= r. *
- f _ *
J V2 -X 2 J V2 +X 2
Integral Indefinida
17
= arcsen(-^=) - ln | x + V2 + x 2 | +c
t i
(x 2
-1
)dx
(x2+1)VxT+T
Solución
Al integrando divide, numerador y denominador entre x 2
■ 2 -1 )dx
C /(x
_ f
2 + lh /x 4 + l
—x — t e ------------f f1 -----T^te
x
^ (x 2 + l)V x 4 + l
(X + 1 )
X2
X2
Ahora hacemos la sustitución: u = x + — =>
X
u = x + — =>
X
IV2 = x 2 + - Í - + 2
X2
du = (1 — ^-)dx
X2
=> x 2 + -^ - = « 2 - 2
X2
enseguida reemplazamos en la integral
f
(x 2 -l)rfx
-!= - - -■= — ,
J (x 2 + l h / 7 7 í
10)
t
du
1
fu |
1
. x2 +l
= —¡= are sec-—= +c - —¡=are sec(—==--- )+<_■
ti
ti
ti
t i Ix |
1Í ^ L d x
+9
Solución
\ 4 ^ t e =
' "n/jc2 + 9
f {X] + 9) + *dx= [ ^ ± * - d x + S Í . A
^ -n/jc2 + 9
-\/x2 + 9
^ t i 2 +9
= [Vx 2 +9rfx + 8 f - r -
J
JV?T9
18
Eduardo Espinoza Ramos
1,5.3
TERCERAS FÓRMULAS BASICAS I>E INTEGRACIÓN.En éstas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas, para
esto tenemos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:
Q
í s e r t u / í u vosíi+ c
0
|íeos«.tífw:-senu t c
©
ftglíjftl
t!l}.1 ft!í|K
0
©
C
sccu.du
J
ln|secu + ígt. j fe
©
JQosecu.du = In | casecu - c lg it | +c = In | tg-~ |+ t
0
j
)
j e t g u.du = lu |se n u | te
tí
ln| lg(—+ -—>| +c
2: 4
. I jilm
J t;mec1ux¡u
0
J sec«. \guJu -secii +¿*
(ío )
-;ctgw + c
( eosecu¿ igit.du - cmecu -t c
Ejemplos de aplicaciones de estas fórmulas
Calcular las siguiente integrales.
Jsen(x 2 -4 x + 5).(x-2)ríx
Solución
Sea « = jc 2 - 4 x + 5 => du = 2 ( x - 2 ) d x , de donde
(x —2) =
reemplazando en la integral dada
r
. i . „ ,
,
f
du
eos u
cos(x 2 - 4 x + 5)
J sen(jc_ - 4x + 5).(jc- 2)dx = J senu.— = ---- -— ve =
+c
f cos(sen x + x 2 ).(2x+eosx)dx
19
Integral Indefinida
Solución
Sea u = sen jc+jc2 => du = (2x + eos x)dx , reemplazando en la integral dada
J cos(sen x + x 2 )(2x + eos x)dx = J eos u.du = sen u+c
lg(^¡x2 +4)x
= sen(sen x + x 2) + c
dx
^ x 2 +4
Solución
Sea « = 4 x 2 + 4 => du =
. reemplazando en la integral dada:
Vx 2 +4
f tg(V* 2 +4)
— = f tg u.du = ln |se c u \ +c = ln | sec(V* 2 + 4) | +c
J
tJx 2 + í
J
(4 )
Jetg(ln.r) —
Solución
dx
Sea u = ln r => du = — , ahora reemplazando en la integral dada:
.V
Jc tg (ln x )— = jctg u .d u = ln |s e n « |+ c = ln|sen(lnx)|+ c
J sec(3x + 5)dx
Solución
Sea u = 3x + 5 => du = 3d\ => dx = ^ - , ahora reemplazando en la integral dada.
J sec(3x + 5)í¿y = Jsec u.^~- = -j ln | sec u + tg u \ +c = ^ ln | sec(3x + 5) + tg(3jc + 5) | +c
20
(ó )
Eduardo Espinoza Ramos
J sec 2 (sen -Jx + ,v).(
^ )dx
Solución
c
r
j
+ cas-Jx
Sea u = sen -Jx + x => d u = --------- -¡=
dx
2-Jx
Ahora reemplazando en la integral dada:
Jsec(sen-Jx +x) ( ) ^ - v = Jsec2u.du -lgu+c - tg(sen-Jx +jc
x)) + c
^7)
J seca sen jc) tg(-%/sen jc)-JclgxJcosxdx
Solución
í— —
,
eos xdx
J c tg W c o s x
Sea n = Vsenx => d u - — t. - — = —----------------- dx
ijscnx
2
De donde, ahora reemplazando en la integral se tiene:
J seca sen jc) tg(-v/sen jc)^/c tgjc^/cos jc<£c
= 2 J sec u. tg u.du = 2 sec u + c = 2 secasen jc ) + 1
®
JVT + eos Kxdx
Solución
Se conoce que: eos2 4x -
j ñ => l + cos8.c = 2cos2 4jc, ahora reemplazando
en la integral dada:
-J2 sen 4jc
J -Jl + eos üxdx = J*V2 eos 2 Axdx = J J \ eos Ax.dx = -
-+c
21
Integral Indefinida
En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones hiperbólicas, para esto
consideramos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:
(l)
J senh
Jcosh u.jdu “ scnhw + c
= cosha +c
J tghu.du = )n (cosh u\ +c
(4 )
J c vgfiuM - ln j senhw | +<:
(s)
| sec fruxtu
(i)
Jeos eck2ü.dtí = -ctgh w-t c
(? )
Jsec/j«.tghu.du ~ - sec/tw-t c
($ )
jcoseditt.,ctghaj/w =
- tghu+r
cosechu+c
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas básicas.
©
J sec hx.dx
Solución
n
.
Como sec hx =
1
2
2ex
coshx
ex + e x
e2x + 1
Hacer: u - e x => du = exdx, reemplazando en la integral dada:
íse c hxxlx = 2 í —^
d x - l [ cf u = 2 arctgfw) + c = 2 arctg(e*) + c
1
J e~x + 1
J «' +1
J (3 senh 7* -
8
cosh 7x)r£t
Solución
J (3 senh 7 x -8 cosh 7x)dx = 3 j senh7x.rfr-8j cosh lx.dx
®
í
5íghf:.scch2x.dx
=
3cosh7x
8sen7x
-+ c
22
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Sea u = tgh x => du = sec/?2x dx, reemplazando en la integral dada, y por la
fórmula 9) de la primera parte se tiene:
r
r
S"
<;tehjr
í 5 Ighr.sec/rx dx= 5"du =
+c =
+r
i
J
ln5
ln5
©
I cosh2 x.dx
Solución
"y
^ X , ^ X "y l "y
cosh- x.dx = (--------- )■ = —(e~x +e ~x +2), reemplazando en la integral dada
i
1
i
2-»
-2 x
Jcosh2 x.dx = —j ( e 2x +e~2x +2)dx
= —(senh2x + 2x)+c
4
+ 2x] + c
= —senh2x+—+c
4
2
J senh4 x.cosh x.dx
Solución
J senh 4 x cosh x.dx = J í senh x ) 4 cosh x.dx = sen^ * + C
J e 1, coshíe') senh(e1 )dx
Solución
J e ' cosh(er)senh(e ' )dx = J senh(ejr).cosh(er
du
(7 )
J senh(-\/x)
dx
=
senh2 ex
2
+c
Integral Indefinida
23
Solución
senh(-v/ír) ~ = = 2 í senh(-/v )d(-Jx) = 2 cosh(-v/jc) + c
^8)
j\vscc l r x 2dx
Solución
OBSERVACION.-
En ciertos casos es preferible elegir un cambio de variable en la
forma mas adecuada a fin que la integración sea fácil de
resolver y este caso veremos con el nombre de integración por sustitución o cambio
de variable.
1.5.5.
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VAR1ABLE.TEOREMA.-
Si x = <J>(t) es una función diferenciable entonces:
J axydx = J m
m 'm t
Demostración
Sea F(x) = j" / ( x)dx y definimos G(t) = F(<j)(l))
Probaremos que G(t) es la integral indefinida de la función f (<j>(t))4'{t) , esto es que
se cumple:
... ( 2 )
Lo que es equivalente
En efecto se tiene:
G (/)=
1 (4>(t))4>'(t)dt
^Gü) _ d_ p ^ ¡ ^ _
/, (T^ x = ^
dt
di
dt
... (3)
24
Eduardo Espinoza Ramos
dx
— (regla de la cadena)
dt
'■f(x)tj>'(t)
pues —j - ^ = f(x)
dx
=
(lo cual demuestra 2 )
Se concluye que:
Sí x = <}>(t) entonces
Jx l j ^ 2
(x)dx = F(x) = F(<j>(t)) = G(t) = J* f (<¡>(t))4>'(t)dt
Calcular las siguientes integrales.
Ejemplos.-
©
J/
dx
Solución
Sea t = x —2
=> x = t + 2
=> dx = dt, reemplazando en la integral
j x 1 ^ 2 dx = f ( t + 2$Ji dl = j ( t A,3+2í1/3)dt
= 2,7/3 + 3 4/3 +c = 1 (x _ 2 ) 7 / 3 + 2 (x —2) 4 ' 3 +C
7
2
7
2
®
©
Solución
f x 3dx _ ¡ x 2jc d x
J^ T = J ^
sea t = 1 - x
2
=> x 2 = 1 - /
^
'
=> xdx = - ^ - , reemplazando en ( 1 )
" • < )
Integral Indefinida
25
1
=- t
3
3,7
-t
i i
i 7 t
r
t- .! —x ~ —3
- +c = t -(— l) + c = — ----- - + í = V 1 -x ‘ C
J+ c
3
3
3
.
-)
7
X" + f
J Y5 *s/1— .Y2 rfv
Solución
J*x5- J \ - x 2dx = j"(x2)2 - J \ - x 2 x
Sea / = 1—x 2 => x 2 = 1- t
J x 5 V i - x 2 dx = J ( x 2 )2t] i -
dx
-•(!)
=> x dx = ——, reemplazando en (1)
x 2x
dx = j ( l - t ) 2-Jt(-^ -)
J O - 2 / + / 2 ) V 7 ( - 4 ) = ^ J ( 2 / j -2 - /
2
-f
5
.
1 32 I 7
— r
— /
3
7
5 2
’
2- / s
2
W/
+c
2 >3 2
1
Solución
...m
r_*
¡
‘ , \ Í 7 ^T
Sea r 2 = v J - l =?• x 3 = l + í 2 => x 2dx=
^
. reemplazando en (1)
26
Eduardo Espinoza Ramos
dx
Ix* - i
_ f
x 2dx
21
_ f
dt
3 (i+ ry J¡
■*x3VxI ^T
22 C
I 3 ~
r Cü
di
22
22
= - ----- 7 = —arctgt + c = —arctg(vx - l ) + c
3 J 1 + /"
3
3
®
&
Solución
Sea i = r +1 => x adx = ~ , reemplazando en la integral dada:
f ^ L = f4
=I
J ^77l J 5^
sJ
©
30
+C= ^ ( r
30
5
+ 1 ) 6' 7 +C-
J ^ 2 + ^ 2 + ^ 2 + 2 cos( 52 x +4) j c ' h 2dx
Solución
r,
, -j
j
2 JC
Por la identidad eos —=
2
1 + COSX
2
,
,
,
2 *
de donde 1 + eos x = 2 eos —
2
-j2 + 2cos(5%/x+4) = 1/ 2 .-^1 + cos(5-Jx + 4) = 2 2 ^ 2 eos
^ 2 + ^ 2 + T c o s (5 ^ + 4 )^ = -^2 + 2 eos
=^
+ ^ = 2 cos( ^ * + ^ )
^ = -v/2 ^jl + cos
5^/ic +4
2 c o s ^ Í ± Í = 2 coS- ^ ± Í
^ 2 + - ^ 2 - t - j 2 + 2 c o s ( S l x + 4 ) = J 2 + 2 eos
^ = V 2 -J l + cos
5^/ic +4
27
Integral Indefinida
rr rr
5rjx + 4
5~Jx + 4
= V2.v2.cos
= 2eos---------8
8
ahora reemplazamos en la integral dada
J -J2 + -Jl + -J2 + 2 cos(5t/* + 4)..v 1' 2rfx = 2 J eos
5^fx+ 4
8 ,
rf,v
---------- => —dz = — ¡= => jr
8
5
-i/?
16,
‘dr = —
2-Jx
J-J 2 +^ 2 + -J l +2 cos(5-Jx +4^
je 1rfx
5
jc
16 .
32
U1dx = 2 j eos — dz = — sen z + c
5
5
32
5 ^ +4
-sen■+c
1.5.6. INTEGRALES DE, FUNCIONES QUE CONTIENEN
* CUADRADO.*
UN TRINOMIO
Se trata de las integrales de la forma siguiente:
dx
©
J ax +bx+c
Q
J
• h>
ex" +dx±e
dx
I ’ja x 2 + bx+t
dx
©
J
(ax-^fydx
•s/cx2 I dx-i e
Las integrales de la forma (1) y (2) se calculan completando cuadrado en el trinomio y
aplicando 11 y 12 de la Ira. fórmulas básicas 1 1, 2 y 3 de la 2da. fórmulas básicas es
decir:
28
Eduardo Espinoza Ramos
=I f
^ ax2 +bx +c o ■»
dx
b 7 4ac-b2
{x +— )- +2o
4o'
dx
4 a x 2 +bx + c
"'/o
L
b
4ac—fc2
2o 7
4o 2
-i (*+— )" +---- ;—
T
Luego aplicar las fórmulas indicadas para las integrales de la forma (3) y (4),
primeramente se calcula la derivada del trinomio cuadrado 2 ax + b.
Luego se acomoda en la expresión ax + b en la siguiente forma:
ax+b = — [2cx + d ] ~ — + b , como se observa que la expresión 2 cx + d es la
2c
2c
derivada del trinomio cuadrado, luego reemplazamos en cada una de las integrales.
r (ax + b)dx
a r (2cx + d) ,
,, ad r
dx
—7
= — — 7---------- dx+(b------ ) — ----------^ cx~ +dx+e 2t 'J c x '+ d x + e
2c * cx~ +dx+e
aquí se aplica la propiedad (7) de las Ira fórmulas básicas y la integral de la forma (l).
En forma similar para la otra integral
r (ax + b)dx
4 ex2 +dx + e
_ _ 2_ r
2 cx + d
+
0^ )f
-\jcx2 +dx + e
4 ex2 +dx +e
aquí se aplica la propiedad 6 de la Ira fórmula básicas y la integral de la forma (2 ).
Ejemplo.-
Calcular la integral
dx
C
ctx
—-------J x~ +2x +3
Solución
Completando cuadrado .t 2 +2.v+3 = (x + l ) 2 + 2
29
Integral Indefinida
Ejemplo.-
dx
Calcular la integral I
*
XY ~-
-7x + 1 0
—
Solución
-_Z_2
r- |
-)
,
49
49
Completando cuadrado x -7.v + 10 = (x - I x + — ) + 10-------=(.v
4
4
dx
r
dx
1 , A ? -> ,
1, . -v- 5
—
= ----------------= —l n
=— ~ -Lc - —l n
+<^ v -7.V + K,
3
r _Z + 2
3 <"2
2
4
2 2
f
Ejemplo.-
Calcular la integral
dx
—=
J V4.■j c —3 — jc
Solución
Completando cuadrados 4 .v -3 -.v “ = 1-(a~ - 4 v + 4) = 1—( j c — 2)"
[ .
~^4x - 3 —x'~
Ejemplo.-
^X = = arcsen(v- 2 ) + f
i ^-(x-2)2
Calcular la integral
f ... (!X
J Vv2 + 6v + 13
Solución
Completando cuadrados .v + bx +13 = (.v + 3)2 +4
f
f/v — = f
dx=
= ln\x +3+^Jx2 +fe.v"13
-V*2 +6.t + 13
-J(v + 3)2 + 4
Ejemplo.-
i* ( y —2 v
C aleuiar la integral I —---------■* a " -7-v-; 12
Solución
30
Eduardo Espinoza Ramos
^
^
A ~
1
2a - 7 + 3
2 x 2 - l x +\2
1
2
2a-7
a2
-7
a
3
2{x2 - l x + \2)
+ 12
se observa que 2x —7 es la derivada del trinomio x 2 —I x +12
r (a - 2 )dx
Ir
2x-l
dx
J A'2 - 7 a + 12
2 J x 2 - 7 a + 12 X+ 2J x 2 - 7 x + \ 2
f
- l n |. v 2 -7.V + 121 + — f ----- —---2
2J
7 t 1
(A'— )‘
2
4
a-
= —l n | A 2 - 7
2
a
+ 1 2 | + —.—
l n|
2
1.
- - f|+ c
7 1 1
x — +—
2 (—)
2
2 2
= - l n | j r -7 .v + 1 2 1 -i- —ln| ———| +c
2
2
x-3
Ejemplo.-
3a - 1
Calcular la integral [ — ~ -
J 44aV- _- 4 a + 12
dx
Solución
3
4
3
1
3 a - 1 = —[8a - 4 + —] = —(8a - 4) + —
8
3
8
2
dx = l í
f
j
4a 2 - 4
a
+ 17
8 J 4a
;8* - 4
—4 a + 17
2J4
= —l n | 4 A 2 —4 a + 1 7 | + — f
8
8V
a2
-4
a
+ 17
^ -------
i ) 2+4
2
l
3
,
= —l n | 4 A 2 - 4
8
l
X~7
a + 17I + — arctg ---- —+ e
16
2
Integral Indefinida
31
■j
i
O* I
= —l n| 4A' 2 - 4 x + 17|+ — arctg(— — ) + c
8
16
4
Calcular la integral [
^)dx _
J -Jx2 +2.V + 2
Ejemplo.-
Solución
3x -1 = —[2x + 2
1= —(2.v + 2) - 4
2
se observa que
3
2x
r (3x-l)rfv
t] x
+ 2 es la derivada del trinomio
3 |[
2
2 +2x + 2
2
2* + 2
^
-Jx2 +2x + 2
dx
„|f
J f(x + l)2 +l
= 3 ^ x 2 +2x + 2 - 4 l n \ x + \ + ^ x 2 +2x + 2 \+c
(4-lx)dx
Calcular la mtegral [
* =
J -Jx2 + 2 x - í
Ejemplo.-
Solución
4 - 1 x = ——[2v + 2 —~ 1 =
2
se observa que
r
7
2x
( 4 - l ix)dx
x)dx _
( 4 -
-Jx1 +2.V-8
(2a +2) + 11
2
+ 2 es la derivada del trinomio
7/ r r
¿x++2¿
2x
2J -Jx 2 +2 x -%
rr
dx
^ -J(x-hl)2 - 9
= - l 4 x 2 + 2x- 8 +11 ln| x +1 + -Jx2 +2.V-8 | +c
Eduardo Espinoza Ramos
32
1.5,7.
EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS FÓRMULAS BÁSICAS.Calcular las siguientes integrales indefinidas inmediatas:
f 3ox2 - 2 bx ,
,
dx
ax 3 - bx 2
©
x eos x.dx
f
©
Rpta. 2-yjax3 —bx2 + c
Rpta.
J (x sen x + eosx —l)m
dx
f
©
(xsenx + c o s x - 1 ) 1
l- » j
Rpta. Z-Jlnfx +'Jl + x 2 ) +í-
-J(l + x 2 )ln(x+-\/l + x 2)
ln(cosx).tg x.dx
©
©
r^/l + lnx
-----------dx
J
X
r x ” ’rfx
©
1
Rpta.
K
2
nb v
ln(l + 4x2)
8
dx
(aresenx) 3 V i—x 2
f
Rpta.
l * 4r
r
©
©
Rpta. —(1 + lnx ) 4 ' 3 +c
4
4o + bx"
f x -arctg ( 2 x) A
©
ln 2 (cosx)
Rpta. ---------------+ c
2
dx
Rpta.
1
Rpta. arctg(e*) + c
Rpta. arctg(o*)+í-
J l +o 1
©
r ^ O + xlnx) .
----------------dx
J
X
-y t-
2 (arcsenx)'
x +ex
r a x ln a ,
arctg 2 (2x]
4
Rpta. e x ln x+ c
33
Integral Indefinida
2.v
„
X
Rpta. —— + r
x 2' (lnx + l)dx
r~ - x i e «■+ x 2
■fx
dx
Rpta.
3xVx
—e ' + ln | v| +c
sen 2x-J\ + 2 eos 2x dx
Rpta. ~ 0 + 2cos2x ) 3
■Jx(x3,2 - 4 )'dx
Rpta.
xdx
7
2
+e
_ 4) 4 + c
Rpta. — ln | a +bx~ | +r
a + bx2
„
ax b p - a q , ,
q,
Rpta. — + ——^-2-ln|x + — l+c
P
p~
P
ax + b
dx
px + q
x dx
Rpta. (x 2 + l) 2 + r
-Jx2 +1
J x +ln v
„
i— ln* v
Rpta. 2-fx +—- — i-c
dx
xdx
Rpta. (x 2 + 8 ) 2 +t
-\¡x2 +8
xdx
1
.3x
Rpta. —arcsen(— ) + c
3
4
V1 6 -9 v 2
ln(x + -\/¡ + x 2 )
dx
Rpta. y[ln(x + -\/l+-t2 )]]
1 + x"
e'dx
a + be'
Rpta. —ln | a + be' |+ r
34
Eduardo Espinoza Ramos
dx
S>
í
©
í
©
i? -COSA'
1
x-2
Rpta. —arctg(—^—) + c
4 + (x -2 )
xdx
6+(3 + 2x 2 ) 2
sen x rfx
2)
Rpta. ln ]1 —eos x | + c
1
V
Rpta. — ln | —----- |+ r
16
x -8
\ - ^ -8)
~
J
sec" xdx
+ b tgx
Rpta. —ln |o + ¿ tg x |+ f
b
sec xdx
I
@
1
tg*
Rpta. — j= arctg(— + c
2V3
V3
+ 2 tg 2 x
J ei2xi)dx
Rpta. y í*(2j 5) + c
dx
Í 7ÜSx ln - x
R p ta .
2^3
CX*2
@
©
6
_ ,
1
t ,3 + 2x 2
Rpta. — arctg(— = —) + c
4v6
-y/6
r
lnx
+c
Rpta. ^ r ( V (
\
)+ c
25 5 In 6 -ln 5
18dx
_
2 1 . . x+3.
R p ta .
ln | ------ 1+c
x 3
x -3
J 9x 2 - x 4
e +senx
cosx
dx
Rpta. 2-Je* - c o s x + c
Integral Indefinida
35
(x 2 - 2 x + 1 ) 5
dx
1-x
©
senh xdx
(1
Rpta. - —(x -1 ) 5 + c
1
Rpta. —
+ coshx)
2 (1
-+ í
+ cosh v)
(ln.v+ l)ex]nxdx
Rpta. x v + í
dx
a 7x"7 - hl 2
_
1 , , ax-b ,
Rpta. —— ln | ------ - | + c
lab ax + b
asmx eos x dx
Rpta.
1 + sen x
dx
x -c o s x
Rpta. ln | x —eos x | + c
j
e hx dx
x2dx
Rpta. -
(a + bx 3 ) 2
x 4 - 4x +1
-+ c
Rpta. - ^ l n |l - e bx \+c
l - e hx
x3- l
lno
dx
dx
1
- +c
3b(a + bx )
Rpta. ^ -ln |x 4 - 4 x + l|+ c
1
x- 2
Rpta. - arctg( — ■) + c
x —4v+8
18rfx
x 2 + 4 x -5
sec 2 x i ,
---------- y dx
1 + tg 2 x
Rpta. 3 ln f ——- |+ c
x +5
Rpta. -
I
-+ c
2 (l + tg 2 x)
Eduardo Espinoza Ramos
36
_
_
,2x + 5
Rpta. 2arcsen(—- — ) + c
4 dx
@
J-J-4x2 - 2 0 x - 9
arctg^/x dx
Rpta. arctg 2 V* +c
■Jx+2x2 +JC3
dx
»i —
me
COS" X-Jl + tg X
2 x-V arcsenx
a/ T
dx
Rpta. -2->Jl-x2 - y (aresen x ) 2 + r
V
lnxdx
i
Rpta. 2^]\ + tg x + c
Rpta. —ln 11+ ln" x | +c
dx
x(l + ln 2 x)
f£Lzi dx
Rpta. ln \e x + e~x | +c
J e 2x+l
Í ln x - 1
ln 2 x
Rpta.
dx
J g 'M
■dx
(g(x)y
R p ta .
x l n x - ( l + x 2) arctg x
dx
x(l + x 2 )ln 2 x
1 -x ln x
x r (xln" x + x l n x - 1)
dx
ln 2 x
aresenx-x
r -\/1 - a 2 ares
-\/l-x 2 íaresenx ) 2
+c
g(x)
+c
„
arctg x
Rpta. ---- — + c
lnx
lnx
Rpta. ----- + c
ex
dx
xe
í
lnx
dx
Rpta. ----- + c
lnx
Rpta.
-+c
aresenx
Integral Indefinida
g(x).g'(x)
37
Rpta. -Jl + g 2(x) +<
dx
V¡
©
e x^ ' d x
Rpta. ee +c
ln(2jc)
dx
ln(4x)x
Rpta. ln x —ln 2. Ln | x ln x
2 + x + 3 arctg x
1
dx
+x
sen-Jx eos £
dx
ln(2 x) + ln 2 x
dx
3x
ln
Rpta. - e o s 2
+c
Rpta. —ln 2 |2 x |+ —ln 3 |x |+ —ln2.1n|x|+ c
6
9
3
—
-dx
ee ee ' Xdx
xdx
(1
1
3
Rpta. —ln(l + x2) + 2 arctgx + —arctg4 x + c
2
4
+ x 4) arctg 3 x 2
sen 2 x dx
Rpta. - e * +c
Rpta. ee
+c
Rpta. -
+c
4 arctg 2 x 2
Rpta. - ln | eos x + 4\+c
cos~ x + 4
e x sen(4e' + 2 )dx
(x + 2) dx
Vx 3 + 6 x 2 +12x + 4
Rpta. ——c o s í^ ' +2 )+c
Rpta. —-\/x3 + 6x ° +12x + 4 + <
38
Eduardo Espinoza Ramos
x +x + 5
dx
Rpta. — + 5arctgx+ r
x 2 +1
®
4 +j l - x 2
dx
Rpta. -^ -(x + 4arcsenx) + c
a /3 -3 x 2
(x + l)(x- +l)ln(x +\) + 2x~ , .
’
e dx
x +1
_
4l „
-y
Rpta. xe \n(i + x 2) + c
V3jc4 +4.v3 + 6 x 2 + 12x + 9(x 3 + x 2 + x + l)rfx
^ -(3 * 4 + 4x 3 +6x2 + 12x + 9 )5 + c
Rpta.
dx
x(ln(ln (lnx))).(ln(lnx))lnx
3 + x ln (l+ x 2)
1 ^
->
Rpta. 3arctgx + —ln~(l+x~) + c
4
dx
l + .v-
@
Rpta. y l n |l n |l n 3 |ln x |||+ c
xdx
Rpta. V-arcsen(x2 ) + c
V i-* 4
(x - 2 )dx
Rpta. Vx2 - 4 x + 13 +c
4 x 2 - 4 x + 13
x~ - a
®
je" —b~
s e n x -x ln x . cosx
xsen* x
lnxdx
(1
—ln 2 x)x
dx
„
1. . x2- a 2 ,
Rpta. —ln | — -----—| +c
2
x -h~
_
lnx
Rpta. — — + c
senx
Rpta. - y l n | l - l n 2 x\+c
39
Integral Indefinida
x 3dx
Rpta.
arcsen(x4 )+ c
VTv
1
<?* - 3
Rpta. —arctg(—-— ) + c
e 'dx
e 2x- 6 e ' +13
sec 2 x dx
Rpta. ln | tgx + 2 + ijtg 2 x + 4 tg x + 1 1+c
-Jtg 2 A' + 4 tg A + 1
(2x + 3)
a/ i
dx
Rpta. 2+/1 +- x 2 - 3 ln | x +4x2 +1 |+i
+ .v ’
dx
Rpta. - arcsen(í? *) + c
e x4 \ ~ e 2v
_
,x + 2
Rpta. arcsen(—-—) + c
dx
4s-4x-x2
„
,x-l,
Rpta. arcsen(— ) + c
dx
■\/l5 + 2 x - j
dx
Rpta. —arcserv(l n x 2 ) + c
k4 4 -9 1 n 2
í?'1 d i
, 2t>r3 x)+tRpta. aresenf—
= —
VT7
- J l—e 1
sen x dx
„
■\/2—eos2 x
dx
4 5 - 6x - 9x2
dx
4\2x - 9
x
: -2
,C O S X ,
Rpta. -arcsen(—?=-) + c
42
_
1
,3v-t 1
Rpt i. —arcscn(—-==-)+c
3
V6
1
,3-v —2
Rpta. -arcsen(— =^-) + t
3
V2
40
Eduardo Espinoza Ramos
eos x dx
Rpta. aresen (2 sen x —3) + c
s ¡ - 2 - s e r r x+3senjr
dx
Rpta. —ln |3 x —I+V ^ jc^ - ójcT ^ I + í -
->]9x 2 - 6 x + 2
3 dx
Rpta. —ln|21nx+-\/41n2 v+9 |+c
k-^41v^~x +9
3jc dx
Rpta. —l n |x 2 +3 + sjx4 + 6 .c2 +5 |+e
x + 6 .vi +5
dx
Rpta. ln|jc + y + -y/x2 + px + q \ +c
+ px + íj
e xdx
Rpta. l n |e 1 + —+^J\+e' + e2x |+c-
VT
dx
■J -2 6 - 1 6 x -2 x 2
lnxdx
c-\/l + 41n.c-ln2 .
eos xdx
_
1
,* + 4.
Rpta. - 7=arcsen(- -._ )+<:•
4i
VJ
2 + ln v.
Rpta. ~ -\/l-41nx-ln~ x -2arcsen(~ '
' )+ e
-J5
Rpta. ln 12 sen jc +1 + 2-\/sen2 .v + senx + 11 + 0
^ e ñ ^ T ^ se ñ jc+ T
sec 2 xdx
Rpta. ln|2tgjc + l + 2-^tg1 x + l + 2^/tg2.c + tgx + l |+c
^/tg 2 x + tgx + 1
3x + l
xlx
+1
Rpta. -|= ln | w/5 + ^ 5 x 2 + 1 1+ —V5jc2 +1 +c
V5
5
41
Integral Indefinida
f ,
(6 - x ) d x
J 4 4 -v 2 - 1 2 y + 7
Rpta.
—l n | 2 . v - 3
+ - \ / 4 t 2 -1 2 .Y
4dx
Rpta. 41n|(tg2 Y-1) + -Jtg 2 x - 2 lgx + 3 |+c
eos YVi - sen 2.v +
eos 2 -Y'(tg2
X + l)
+ 7 | —-aM a 2 -12x + 7 + c
2
eos2
y
R p t a . ----------- + t
i+m v
í/ y
( s e n y + c o s .y ) '
s e c .y — t g A'
Rpta. ln | sec x + tg x | - ln |sec x | + c
dx
SCC A + t g X
( 8 a - 3) d x
Rpta. -
2 a /i2 y -4 a 2 - 5
+ —arcsen(—^ —•) + c
4 12 a - - 4 y 2 - 5
©
rfv
Rpta.
In | b x + 4 a 1 + b ~ x 1 |+ t
Vo2
eos ax d x
Rpta. —ln | sen a x
4a
+ 4 a 2
+ sen '
a x | +c
+ sen_ <3 Y
2 +s
4 x 2 + 2 a -t 5 d x
4
l —x - x 2 dx
Rpta.
^ V _ V a 2 + 2 x + 5 + 2 ln | a + 1 + 4 x 2 + 2 x + 5 |
Rpta.
V
4 v2 + v í/a
Vv2 - 2 ya 2
Rpta.
l y+ 1
i
t
------------V 2 - A - Y "
4
A-+4 4 x2 + \
y
-A- + j
8
3
+ — a r e s e n í ------------ ) + <
—ln | 2 x + 1 +2-\/ y +
Rpta. —— - V v 2 —2 v + 2 + — 1n |
+<
y —1 +
V*
-2
y+
y
| +e
2 | +r
42
©
©
©
©
©
©
Eduardo Espinoza Ramos
2x - 3 dx
Rpta. ——- 4 x 2 - 2 a - 3 - 2 1 n | x —l + ^ v ' —2 x - 3 | + r
Rpta.
f
ídx
J 'sjx —X+ -Jx + 1
Rpta. —((x + 1)2 —( v —1)2 ) + c
dx
Rpta. 2(a/2x+ 1 + 4 x ) - 2 ( ,¿Ltclg-']2x + \ + arctg-Jx) + c
j -s/2-V+ l ~ 4 x
j* v “ scn 1 1(sen x + x eos x. ln x )dx
■ ln3.v
dx
x ln 5x
Rpta. ——In| l + 4e * |+ r
e x +4
dx
©
©
©
©
©
.
Rpta. —x ¿sen.v +c
Rpta. ln —,ln |ln 5 x | + ln x + c
■ dx
©
x - 3 fZ
T 9
,x - 3
V6 x - x “ + arcscn(
)+ c
2
3
J 4 6 x - x 2- dx
Rpta. - h / J + 1) 2 - 4 ^ /x + l ) 2 + c
3
4 ^x + 1
dx
Rpta. —(x — — 1n(2' + 3)) + c
3
ln2
2 V+ 3
dx
^ln(2
' x sdx
x3
Rpta. ^/lnx+Vlnx + ... + -50
td
^
^
r 3
8
Rpta. — + —l n |x 3 -
8
|+c
-8
' 2e +£»
-dx
3t, t - 4 <? T
Rpta,,. ln\\¡3e2x - 4 % - 4 e 2x |+c
Integral Indefinida
43
dx
Rpta.
Jf —-Jex
rr-1
e x^ e x +2
n
Rpta. ~ ( í’Jr ~1)3 2 _ 2(er +1)‘ 2 + r
+ e'
1
Rpta. - —
-+ c
2x" (ln x-l)
lnxdx
x 3 ( ln x -l) 3
133 j
+e
I
-Jex + 9
Rpta. 2VeT + 2 - 4 arctg(---------- ) + c
dx
e 2xdx
r
arctg ^ / f r -1
+6
t
/l
2
x + ln((l+ x 2
f
** ) +
^
■\¡l + x 2 4 e x + x 2e x - x 2 - 1
Rpta.
134y
136y
0
)
f
aictg.T , 1 i „ 2 , , , „ 2 ,
gT+ —ln‘ (l + jc í + arctcv + í 1
4
J sen(o + bx)d\
„
cos(a + ¿>x)
R p ta .
------- - + c
j sen(ln
sen(l x) dx
Rpta. -cos(Inx) + c
J x cos( 2 - x 2 )dx
Rpta. - —sen(2 - v") + e
J sen 3 4x eos 4x dx
^ sen 4x
Rpta.
+e
24
J t g 3 (^)sec2(^Wx
Rpta.
(■ sen
sen:x eos x d \
J ■y/ eos"~* jr-sen~ x
Rpta. - ^ Veos 2x + c
3 4 x
-tg
(-) +f
4
3
44
Eduardo Espinoza Ramos
cos(sen x + 2 x)(cos x + 2)dx
Rpta. sen(sen x + 2x) + c
tg(sen x + 5) eos x dx
Rpta. ln|sec(senx + 5 ) | + c
2,
,,
sen(lnx)
sec (cos(lnx))--------- -dx
Rpta. - tg(cos ln x) + c
cos(sen x) eos x dx
Rpta. scn(scn x) + c
sen ■fx
dx_
Rpta. - 2 eos-Jx + c
rx
tgV3x + l
c tg(lnx)
tg-Jlnx -
dx
V3x +T
dx
x
dx
:-Jlnx
dx
Rpta. —ln | sec -Jix + l | +c
Rpta. lnjsen(lnx) |+c
Rpta. 2 ln | sec-Jlñx | +r
cos"(l-4x)
Rpta. — tc(l - 4x) + c
4
eos 3 xdx
1 -se n x
„ .
eos"x
Rpta. sen x ----------- he
dx
1 + eos 1 Ox
Rpta. — tg5x + r
10
dx
4+ 5 eos- x
dx
4 + 5sen_ x
„
1
,2 tg x
l
1 tl2 X
Rpta. —arctg(—y —) + c
Rpta. —arctg(^-^—) + c
45
Integral Indefinida
V1 + senx dx
1 + tgx
sen 2x
dx
Rpta. - 2Vi - sen x + c
1
t2 JC
Rpta. y ln |c o s e c 2 x -c tg 2 x |+ —— + c
-n/] + eos 2x dx
Rpta. VV sen x + c
Vi - c o s 2 x dx
Rpta. ~VV cosx + c
Vi + eos 8 x dx
„
-s/2
„
Rpta.
sen 4x +
4
Vi - eos 8 x dx
R p ta .
sen Veos jc _Vtg x. sen x dx
Rpta. 2 eos Veosx + c
eos 6 x + 6 eos 4x +15 eos x + 10
dx
eos 5x + 5 eos 3x +10 eos x
Rpta. 2 sen x + c
x 2 cosh(x3 +3)dx
Rpta.
dx
1
^2
„
eos 4x + c
4
senh(x + 3)
- +c
senh x. cosh 2 x
Rpta. ln | tgh —1+ — -— +c
2
cosh x
o2' cosh x dx
€ 3a € x
Rpta. ----- + — + c
e x senh xdx
R p ta.
senh 3 x.cosh 2 xdx
__ ,
cosh 5 x cosh 3 x
Rpta. — --------------------+ c
6
€~
4
2
X
—+ c
2
46
Eduardo Espinoza Ramos
- (ln e + ln.v. ln ex )dx
x 2,3 + x 4esen3x cos3x + x 3
(1 -x)2
dx
Rpta. e* lnx + t'
■i
dx
sen3*
Rpta. — x 1,3 + —
7
3
R p ta .
+ ln x + c
1 r +1^ ------+
1
c
3x
x2 *
x ^ 4 + x 2 dx
Rpta. -^(4 + x 2 ) 3
- J l a x - x 2 dx
T
„ . a
x - a x - a ÍZ
Rpta. —arcsen
—+ ------ V2 o x -x " + c
2
a
2a
(x ' + 2x)dx
2
+c
Rpta. ~ ( x 3 +3x 2 +1) 2 / 3 +c
\¡x3 +3x 2 +1
x dx
6 x.e
1 arcsen(-^-) + c
Rpta. —
J dx
2e2x- e x - 3
e2x - 2 e x —3
(6
- 2x)dx
V B -4 x -4 x 2
x +3x
dx
Rpta. - 3 e x +c
dx
Rpta. x + ln(er —3) + c
„ 4 a /8 - 4 x - 4 x 2 7
2x + l
Rpta. ----------------- + —arcsen—----2
2
6
Rpta. *
+ln(x 2 + l) + c
x2+l
(2x + 5)dx
x 2 +2x + 5
, 2
r.
^
X+ l
Rpta. ln | x + 2x + 5 1+ —arctg——-+ c
47
Integral Indefinida
r ( v + 3)rfv
179)
ícn veos v dx
{se:
dx
f e5 a-
©
- 2 0 v + 23
rfv
f e
J -2v-r-4
f/A
V — 5 — 1 2 a —3 a 2
Rpta. V-í 2 + 2 \
+ 2 1 n | v->-
1+ V í 2 +
_
sen6 x
Rpta. -------- + c
1
, V5( v- 2)
Rpta.,— íircltz
= -------- + r
VÍ5
~
1
v-1
Rpta. -= a rc tg (—7 =-) + *'
v3
v3
I
f— 1‘T 2
Rpta. —= aresen v3(—^ - ) + í ■>/3
V7
Rpta. 2arcsen(^~) + e
1
Rpta. — = a rc tu —?= + e
2^5
- ^5
r v rfx
J 5 + v4
r _ r iv _
J 2a 2 + v +1
dx
2
R p ta .
6 \ -12 - 4 v
r/\
í
■ \ / « : — />
dx
f—
v In
J
2
V
4 \ +1
Rpta. —¡= arele— p=~ + c
' V7
, , a
3-a/39,
? = ln |
7= | +c
2v39
V-3 + V39
1
1
/uRnte. —aresen— +c
/j
a
Rpta.
2e' 2 + e
Rpta. In(ln\) + (
V
2a -|
+í
48
Eduardo Espinoza Ramos
r ln \ ,
„
J ------dx
r vln(l+.v2 )f/t
J
^
ln \
Rpta. —-— + c
l r, „
■>
Rpta. —[ln(l+ V )]“ + r
4
l + r-
f
J V.v(l+Ví)
Rpta. 21n(l+-/v) + r
f <21n« + l)¿ ,
a [1 i t v + ln.v]
Rpta. li,(ln' i + l d t l + c
f
-v dx
J ( 2 - 7 x)
2 4-7x
Rpta. — ( - = = ) + £
49 - j2 - 7 x
J
194/
^
—
■\l2x-3 dx
í
( 2 . V - 3 ) 1 2 +1
Rpta.
i.
h[z
r6/V2.v-3 + arctgA/2A'-3] + c
( 2 v -3 ) 7 6 (2.v —3 ) 5 6 V 2 r-3
2[------------------------------ +
7
5
3
2
7
©
J W x + 1 dx
Rpta. —( y + 1)2 ' —y t x + l)'1 2 + c
©
J x - J l - 5 x dx
Rpta. —
©
(2-5.v)5 2
( 2- 5A- ) ’ ' 2
125
f
dx
i - s l x + l - -s/ jc
©
J x 2^Il + x
©
Jx-\/4 + x dx
dx
Rpta.
|[ (
i
7
Rpta. —( 1 + a )
a
2
7
Rpta. |
75
+ 1)2 2 + . r , 2 ] + t
—
4
(1+
5, 2
u
2
xY'~ + —(1 +
5
+ 4)5 ,2 -
í
)
j, 2
3
j
(.v + 4)3/2+ c
+£•
49
Integral Indefinida
Bpla.
201)
dx
+ i> (9 + , y > ] «
Rpta. y ( i + ^ / r r x ) ,/ 2 (Vr¡:7 -2 )+ 6 -
O + V í + I ) 1'2
Jx2(x + 3)" dx
204)
J
2(er + 2)ye2x - 4
’ jc "
-5 x + 9
rfv
(x + 3 ) 14 6 (x + 3) 13 3(x + 3) 12
R p t a .--------------------------+ ------------- + í
14
13
4
Rpta. —ln(t’r + 2 )-^ je lx - 4 + c
Rpta. x + 31n——- + c
x2 -5 x + 6
■x 2 - 3 x - 8
jc - 2
Í¿C
x2 - 2x + l
fJ(xL+J2)^ rdx
(4x + 5)rfx
©
U 09J
Rpta. x h——— l n |x - l |+ c
x —1
Rpta. x - 4 1 n |x + 2 ] ---------+ c
x+2
Rpta. 2 ln | x" + 2. + 2 1+ arctg(x + 1) + c
x 2 + 2x + 2
f t e - 5* *
J x 2 - 8 x + 42
5x + 3
-dx
+ 4x + 4
(x" + 1 )dx
(x 3 + 3 x - 7 ) 2
Rpta. —ln | y 2 - 8x + 4 2 1 +
2
Z _ a rc tg (^ = 0
-Jlt)
Rpta. 51n|x + 2 |+ -------+ c
x +2
Rpta.
1_
-+ £■
3(x 3 + 3x - 7)
-J26
+c
Eduardo Espinoza Ramos
50
f ( a 2 + l)ln(A 2 +\) + 2xe* arctg.v ^ ln(A2 + l ) ^ ,
®
J
Rpta.
©
x2+ 1
a 2 +1
’V
e x ln(jr2 + l)arctgA+c
r r ( l + v 2 ) c o s a + (1 + a + a 2 )senA
[-
___
J
,
e ]dx
, í.
^
7
Rpta. e Vi + v - sen x + 1
Vl + -v2
f (a + 1)(a2 + l) ln ( v 2 + 1) + 2 a 2 ,
,
J
2ll
Rpta. .ve ln(l + A ) + c
e í/a
.v +1
f r 2(A2 + a + 1) + (2a3 + 6 a 2 +5.v + 2 ) l n A , ,
[—-----------. . .= _•
e xdx
J
r
7 ,.
Rpta. aVI + .í + a-íV lnx + <-
„
2V a' 2 + A + l
(216^
dada:
Suponga que f(x) es una función “suficientemente derivable” simplifique la expresión
a)
-í- Í ( a 3 +-^- Í a 3 f{x)dx+ f"(x))dx
dxJ
dxJ
Rpta. a ’ (1+ f(x))+ f ' ( x )
b)
J"(a / ( a))’í/ v
Rpta. x f(x)
c)
J"(4/"(a) + 5 / ’(a))í/a
Rpta. 4 / ’(x) + 5f (x)
d)
J((jc/-(A))"+x/,(x) + /(A)W r
Rpta. A a ) + a ( / ( a ) + / ’( v))
e)
J"( x f ' ( x ) + f(x))dx
Rpta. x f(x)
Rpta. I
j
eos3 A
f 4arctg 2 a + 2 a 2 +1 + 5 a + 2 .
I ----------------------
J
e » - +C
2
1+ a ‘
dx
_
4
3
Rpta. 2a + — arctg
3
5, . i
a + —l n | A " + l | + e
2
51
Integral Indefinida
\( v" +1 )-Ja Z\ - - y4 dx
4 ( t 4 ) dx
(\
Rpta. - - ( 4 - 2 v : - y 4 ) 2 + e
16
Rpta.
, I d.\
'+.W
i - 2 ) 3 +c
Rpta. -2(1 +
í 2 +t3a
V + 2\
Rpta. —V73 + 3 a 2 +1 +(
</x
3
r 1 + 3 x 2 +1
son v.sen(cos x)dx
Rpta. eos (eos x) + c
scc a. t ti \ . cos(sec x )(lx
Rpta. sen (sec x) + c
"\/l + \
+ Vi - A'7
dx
Rpta. arcscn.T + ln | x + Vi + x 2 | +c
Vi - V4
VV! +1 -Vr2 - 1 í/v
Vv'-l
V ' 4 + V 4 + 1
( x + 4)dx
( a"
-dx
Rpta. ln | v + ^ 'Y - ~ | +(
a+V-v 2 + 1
Rpta. ln | x |
4a
r- + í'
Rpta.
-+ c
5( a 2 + 8 a ) 4
+ 8 a' ) 4
v+ 3
í /a
Rpta. Va2 +2a + 21 n | a + 1+ ^[x^ + 2x | +c
Vv 2 + 2 v
2 a- + 5
f/v
x- + 2 y + 5
_
1 1 ° - *
r l
^
X + 1
Rpta. ln|jc- + 2 x + 5 | + yarctg —— +c
Eduardo Espinoza Ramos
52
f
J
2 x)dx
(6
Rpta. -^--\/y-4v-4v:
-e —j
,2»
>.» —j->dx
e - le
r i 1+ 3v
J y’ +I
Rpta. x + ln | e ' - 3 1+c
Rpta. —
d\
t ^ l x 1 +1 —x + 1
J
1.5.8.
COS } X + X
7*
-i-
ln | y '
i - 1 1+ f
Rpta. x —- V - t 7 +1 + 4^1n|V ?x + V ^r^+ T | +<
2
42
v
f Y’ o.
+Ye
J
arcsciK *^+ S + t
4 v- 4.v:
Rpta. lnv + -
dx
- 2 t - T +,
ECUACIONES DIFERENCIALES MUY SENCILLAS.Una ecuación que contiene una función y sus derivadas, o solo sus derivadas, se llama
“Ecuación Diferencial” usaremos la técnica de antiderivada para resolver una
ecuación diferencial de la forma:
£ = /w
dx
-(I)
donde la variable dependiente "y” no aparece en el lado derecho
La solución de la ecuación diferencial (1) consiste simplemente en encontrar una
función y(x) que satisfaga la ecuación (1), luego la solución general de la ecuación
(1) es la integral indefinida.
\ ix ) ~
f{x)dx +c
Ejemplo.- Encontrar la solución general de la ecuación diferencial — =2x
d\
Solución
... (2)
53
Integral Indefinida
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
>■(*) = 2xdx + c = x 2 + c
NOTA.- Una ecuación diferencial de la forma de la ecuación (1) puede aparecer
junto con una condición inicial de la forma y(x0) = y 0 y con estas
condiciones conociendo la solución general (2) se obtiene la solución particular de la
ecuación (1), por lo tanto la combinación.
(3)
de una ecuación diferencial con una condición inicial es llamado un “Problema con
condición inicial”.
(¡y
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial — = 2x + 1, y(0) = 3
dx
Solución
La solución general es: y(jr) = J (2jr + 1)dx + c = x 2 + x + c como y(0) = 3 es decir:
cuando x = 0, y = 3. que al reemplazar en la solución general se tiene: 3 = 0 + 0 + c
entonces c = 3, por lo tanto la solución particular es y = jr2 + jr + 3
OBSERVACION.-
El método indicado para resolver una ecuación diferencial
puede escribirse como integrar ambos lados de una ecuación
diferencial con respecto a x.
También las ecuaciones diferenciales sencillas aparecen en la forma:
dy
g{x)
m
La ecuación diferencial (4) se ouede expresar con diferenciales en la forma:
... (4)
54
Eduardo Espinoza Ramos
h(y)dy = g(x)dx
asi las variables están separadas, por lo que se dice que estas ecuaciones son
“Ecuaciones Diferenciales Separables” y la solución general se obtiene por
integración directa.
_____________________
[ h (y )d y ~
Jg(jc)¿v+c
Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial. — = *
dx
y -
Solución
La ecuación diferencial — = —— ^ — —, se escribe con diferenciales
dx
yy 2dy = x 2-Jx2 - 3 d x , quedando las variables separadas
ahora integrando ambos miembros para obtener la solución
3
J y 2dy = J x 2v/x3 - 3 dx + c =>
?
—
—(jr3 - 3 ) 2 + £■
i
3_v2 = 2(jr3 - 3)2 + 9c que es la solución general.
OBSERVACION.-
Las ecuaciones diferenciales tienen muchas aplicaciones en
diversos campos, asi por ejemplo se aplica al movimiento
rectilíneo en Física, en Química. Biologia, psicología. Sociología, Administración,
Economía, etc., en esta sección trataremos solamente del movimiento rectilíneo,
aceleración constante y movimiento vertical con aceleración gravitacional constante.
I.S.9.
MOVIMIENTO R E C m ^ m ~
Las antiderivadas nos permite, en muchos casos importantes, analizar el movimiento
de una partícula (o masa puntual) en términos de las fuerzas que actúan sobre esta. Si
la partícula se mueve con movimiento rectilíneo, a lo largo de una línea recta (eje X).
bajo la influencia de una fuerza dada, entonces el movimiento de la partícula queda
descrito por su "función de posición” x(t) que da su coordenada x en el tiempo t.
55
Integral Indefinida
X
O
p o s ic ió n e n el
in s ta n te x
x(t)
La función de posición X(t) de una partícula que se mueve a lo largo del eje X.
La “velocidad” de la partícula v(t) es la derivada, con respecto al tiempo de su función
de posición.
dx
i--------------------------- X
0
x(0) = xf
t =o
velocidad x'(0) = v0
Su aceleración a(t) es la derivada de su velocidad con respecto del tiempo.
, , dv d 2x
a(/) = — =
dt d r
En una situación típica, se tiene la siguiente información:
a(t): la aceleración de la partícula
jc(0) = x(l
Su posición inicial.
v(0) = v0
Su velocidad inicial.
Para determinar la función de posición de la partícula x(t).
Primeramente resolveremos el problema con condición inicial.
dv
di
correspondiente a la función velocidad v(t).
... (a)
56
Eduardo Espinoza Ramos
Conociendo v(t) se puede resolver el problema con condición inicial.
dx
di
... (P)
para la función de posición x(l) de la partícula.
1.5.10. ACELERAD CION CONSTANTE.
La solución de los problemas con condiciones iniciales en la s ecuaciones (a) y (P) es
más sencillo cuando la aceleración “a” es constante y se parte de:
dv
= a (a es una constante)
~dt
de donde v(í) = j a d t + c¡ =at + cx =>
~af+c
(1)
(2 )
para calcular cx se tiene v(0) = vo obteniendo v(t) = a 1 + v0
como x'(í) = v(t) una segunda antiderivada se tiene:
x(t) = j*v(t)dt + c2 = J(or + v0)dt + c2
at
x(t) = — vaf + c2
(3)
para jr(0) = jr0 entonces c2 =x0
Luego
NOTA.-
at2
ÍX()
(4)
Las ecuaciones (3) y (4) solamente son validas en los casos en que la
aceleración “a” es constante no se aplica cuando la aceleración varia.
Ejemplo.- Las marcas de derrape de unos neumáticos indican que se han aplicado
los frenos durante una distancia de 160 pies antes de detenerse él
automóvil. Supongamos que el automóvil en cuestión tiene una desaceleración
constante de 20pies/seg2 bajo las condiciones del derrape. ¿A que velocidad viajaba
el auto cuando se comenzó a frenar?
57
Integral Indefinida
Solución
Consideremos al eje X orientado positivamente en la dirección del movimiento del
auto, elegimos el orden de modo que
a ,,
= 0 cuando t = 0.
X
desaceleración constante: a = -20
inicio
t =0
x=0
v = vn
x = 160
v=0
En este sistema coordenado, la velocidad del auto v(t) es una función decreciente del
tiempo t (en segundos), de modo que su aceleración es a = —20 pies / seg2 y no
a = + 20, por lo tanto comenzamos con la ecuación de aceleración constante.
dv
c
— = -2 0 , integrando se tiene v(/) = J - 20 dt + cx = -20/ + c¡
aunque la velocidad inicial no se conoce, los datos iniciales t = 0, v = v0 implican
que c¡ = v0, luego la velocidad del automóvil es: v(/) = -20/ + v0
como jr(/) = J v(t)dt + c2 = J (-20/ + v())dt + c2
= - l0 f 2 -rv0/-fc 2
al sustituir los datos iniciales t = 0, x = 0 obtenemos c2 = 0 por lo tanto, la función
del automóvil es: x(t) - -10/ 4v„/
El hecho de que las marcas del derrape tenga una longitud de 160 pies nos dice que
x = 160 cuando el auto se detiene, es decir: x = 160 si v = 0 al sustituir estos valores
en la ecuación de la velocidad y de posición se tiene:
j —20/ + v0 = 0
1—10/” +v0/ = 160
de la ecuación (1) v0 = 20/ sustituyendo en (2)
- 1 0/2 + 20/_ = 160 => /■ = 16 => t = 4
».(2 )
Eduardo Espinoza Ramos
58
v0 = 20(4) = 80 pies / seg
Luego cuando t = 4 seg. el auto se detiene, quiere decir que a velocidad del auto era
v() = 20/ = 20(4) = 80 pies!seg
1.5.11, MOVIMIENTO
CONSTANTE.»
VERTICAL CON ACELERACION GRAV1 IAC1ÜNAL
■
-A
:■■- . .
.
... - . ,
Una de las aplicaciones de las ecuaciones de la velocidad y la aceleración esta
seleccionada con el movimiento vertical cerca de la superficie de la tierra una
partícula con este movimiento esta sujeta a una aceleración “a” hacia abajo, que casi
es constante si solo sé utilizar distancias verticales pequeñas. La magnitud de esta
7
7
constante se denota con g, aproximadamente igual a 32 pies! seg' o 9.8 m i s e g ' .
Si se desprecia la resistencia del aire, podemos suponer que esta aceleración debida a
la gravedad es la única influencia extema sobre la partícula en movimiento, como aquí
trabajamos con el movimiento vertical, es natural elegir el eje Y como el sistema de
coordenadas para la posición de la partícula. Si elegimos la dirección hacia arriba
como la dirección positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre la partícula
consiste en disminuir su altura, y también disminuye su velocidad v = ^ , entonces la
aceleración de la partícula es:
a = ^ - = -32 pies/ seg2
v(t) = j a d t + c = j - 3 2 d t + c = -32/ + c = -32/ + v„
... (1)
>'(/) = J v(t)dí + k - 1 (-32/ + v0)dt + k = -16/2 + v0/ + k . para t = 0, y(0) = ,y0
y() = 0 + k => k = yn por lo tanto >’(/) = - 1 6/2 + v„/ + y0
... (2)
Aqui y„ es la altura inicial de la partícula en pies, v0 es la velocidad inicial en
pies/seg. y t el tiempo en segundos.
Integral Indefinida
59
Ejemplo.-
Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una
poderosa ballesta, desde el piso, y que vuelve a tocar el suelo 48
segundos después. Si podemos despreciar la resistencia del aire. Determinar la
velocidad inicial de la flecha y la altura máxima que alcanza.
Solución
Ubiquemos el sistema de coordenadas en el presente figura donde el nivel del suelo
correspondiente a y = 0, la flecha se lanza en el instante t = 0 (en segundos) y con la
dirección positiva hacia arriba. Las unidades en el eje Y están en pies.
Y
Se tiene que cuando t = 48 seg., y = 0 y no
valores positivos
> hacia arriba
tenemos la información sobre la velocidad inicial
v0 pero se puede usar las ecuaciones (1) y (2) que
a(t) = -g
t =0
y(0) = y„ = °
v(0)
0=
fv(/)-32/ + vn
son f
7
,
[>■(/) = -16/" v0/ + >’0 = -1 6 r + v,,/
suelo
Cuando t = 48 seg. se tiene y = 0 de donde
= v0
—16(48) ^ + 48v„ =>
v„
16(48) = 768 pies!seg
para determinar la altura máxima de la flecha, maximemos y(t) calculando el valor de
t para lo cual la derivada se anula, es decir, la flecha alcanza su altura máxima cuando
su velocidad se anula -3 2 /+ v„ = 0 de donde / = — = 24 en este instante, la flecha
32
ha alcanzado su altura máxima de y,„„, = y(24) = -16(24)2 + 768(24) = 9216 p ie s .
Ejemplo.-
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el techo de una
casa de 65 pies de altura y la velocidad inicial es 48 pies / seg. ¿Cuánto
tiempo lardara la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad llegará?
Solución
60
Eduardo Espinoza Ramos
VA =48 pies/seg
B
Ia
c
='?
t
0
y(t)
64
V
48
a =—32 pies /seg2
se sabe que v(/) = ja di = J- 32dt + c
v(t) = -32t + c como para t = 0, v(0) = 48
48 = 0 + c entonces c = 48
Luego
v(t) = -32t + 48
Además y(t) = ^v(t)dt + k
-
( 1)
=> y(t) = J ( 32r + 48)¿fr + k
y(t) = - 1 6 r + 48/ + A- como t = 0, y(0) = 64
64 = 0 + 0 + k entonces k = 64
(2 )
Luego >(/) = —16rz f 48i + 64
Calculando el tiempo transcurrido tAC que demora en llegar la pelota al suelo y esto
ocurre cuando y = 0 dedonde —16/2 + 48/ + 64 = 0 => I 2 - 3 l - 4 = 0
(t —4)(t +1) = 0 => t = 4, t = -1 por lo tanto el tiempo que tomara en llegar al suelo
es tAC= 4 se g
1.5.12. EJERCICIOS DES kRRC LI
‘
.
Resuelva la ecuación diferencial — = ( jc - 2)3 donde y(2) = 1.
dx
Solución
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
61
Integral Indefinida
y(x) = f (x —2)* dx + A = —
— i-k como y(2) = 1
J
4
2)2
^2 2)2
+ A- de donde k = 1 por lo tanto la solución es y
y(2) = 1 =
©
Hallar la solución general de la ecuación diferencial x.^Jl + y2 +
y.V1 + x 2
+1
-
0
Solución
A la ecuación diferencial expresamos con diferenciales
x.-Jl + y 2dx + y.Vi + x 2dy = 0 separando las variables
xdx
■,
V T ^7
+
vdv
n ■.
, f
*
. ' . = 0 , integrando -
.
f
-dx +
V T 77
,
=k
J^ 7 -
de donde ->/l + x2 + -Jl + >2 = A
©
Hallar la solución general de la ecuación diferencial (4x + xv2)dx + (y + x 2y)dy = 0
Solución
A la ecuación diferencial expresamos en la forma:
x.(4 + y 2)d<c + v (1 + x2)dy = 0 , separando las variables
xdx
vdv
.
+ ——
= 0 , integrando
1 -f x
4 + >■'
f x ^x + f y ^ y _ |n£
J 1-f x
J 4 +y
jg
(jon(je -Lln(] + x 1) + —In(4 + y 1) —InA
2
2
ln-\/l + x 1 .^4 + y 2 = InA de donde Vi + x 2-Jl + y 2 = A
( l + x 2) ( 4 + y 2) = c
62
( 4)
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la solución general de la ecuación diferencial xdy + -Jl + y 1dx = 0
Solución
x dy + -Jl + y 2dx = 0 , separando las variables
,^
f
+ — = 0 , integrando ambos miembros
x
dy
+
f—=k
de donde ln | v +
Jl + v2 I + ln x = ln r
lnx.(>' + -J] + y 2) = lnc por lo tanto x.(y + -Jl + y 2) = c
Q
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial sen 2x dx + eos 3 y dy = 0,
t
71
=y
Solución
sen 2x dx + eos 3 y dy = 0 , integrando ambos miembros
J sen 2x dx + J eos 3y dy = k
como
de donde
eos2x
sen3y
2
,n , n
n
n
v(—) = —es decir para x - — , y = —
2
3
2
'
3
eos n sen n
+
-k
2
3
1 „ ,
,, 1
=> —+ 0 = A- => k = —
2
2
cos2.r sen 3 y 1
-------- v ---------= — de donde 2 sen 3y—3 eos 2x = 3
2
3
2
©
La pendiente de al recta tangente en cualquier punto (x,y) de esta curva es 2>-Jx , si el
punto (9,4) esta en la curva, encontrar una ecuación de la curva.
Integral Indefinida
63
Solución
dy
i—
Por la condición del problema: mL, = — ~ 3~Jx de donde
dx
dy = 2>4x dx integrando
= J3-Jx dx+c
3
y = 2 x 2 +c como la curva pasa por (9,4) entonces
3
4 = 292 +e => 4 = 54+ c => c = -50
©
.\
y-2 x^-5 0
La pendiente de una curva en cualquier punto (x,y) de ella es igual a eos x. Encontrar
una ecuación de la curva sí esta pasa por el punto ( y ,2)
Solución
,
dy
De la condición del problema se tiene: mL, = — = eos x
dx
De donde d y = co sx d x , integrando j" dv = J* eos x d x +k
y = sen x + k, como la curva pasa por el punto ( y ,2) entonces
2 = sen— + k
2
=> 2 = l + k dedonde k = l
En cada punto de una curva cuya ecuación es y = f(x);
y = senx+ l
3
D \y =6x - 2 . y en el punto
(1,2) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la curva.
Solución
Dxy = J D l y d x +k = J(6x-2)dx + k = 3x2 - 2 x +k
mL, - Dxy |(12) = 8 entonces 3 —2 + 4 = 8 => k = 7
64
Eduardo Espinoza Ramos
>=
Jz)ry dx +c■= J"(3v2 - 2 x + 7)dx +c
y = v3 - x 2 + 7x + c , como la curva pasa por el pumo (1,2) se tiene:
y =x 2- x 2 + 7x-6
1 = 1 —1 + 7 + 6 => c = -6
©
Una partícula se mueve en línea recta, x(t) es la distancia dirigida por la partícula
desde el origen en t seg. V(t) es la velocidad de la partícula en t segundos, a(t) es la
aceleración de la partícula en t segundos.
a)
a(t) = 5 —2t, V(2) y x = 0 cuando t = 0 expresar V(t). x(t) en términos de t.
Solución
dv
a(t) = - = 5 - 2 t => dv = (5 —2t) dt, integrando
dt
V(t) = 5 l - t 2 +c para V = 2 cuando t = 0 => c = 2
por lo tanto
dx
V{t) = — = 5 í - t 2 + 2 de donde dx = ( 5 t - t 2 +2)dt
dt
dx = j (5/- í 2 + 2)dt + k => x(t)=
0 = 0 —0 + 0 + k entonces k = 0
b)
+ 2t +k comox = 0 cuando t = 0
5/: t 3
x{t)
-----~—+2t
r • 2
3 ■
9
7
a ( t) = 3 t- t~ , V = — y X = 1 cuando t= 1 expresar X y V en términos de t.
6
Solución
a(t) = ^ - = 3 / - / 2 dedonde dV = ( 3 t - í 2)dt
dt
65
Integral Indefinida
p
- + <_•
3
3 2
J"í/l' = J*(3/ —l 2)dl +c => v(t)= —
2
„ =—
7 se tiene
■
1=3
como t = i1. K
—
6
6 2
1 1- c = > c = 0
3
V(t) = * L l l
2
3
„
3/ 2
dr
í3 .
.
,
3/ 2
,
r’ .
HO = — = -------------de donde dx =(----------- )dt
dt
1
3
2
3
J
d r=
J
(
l
3
)d/ + A =>-a(0 = -----------i-A
?
como X(1) = 1 entonces 1 =
1
p
1
7
+ A => A = —
2 12
12
. --------/ / + —7
v,(/)=
2 12
10)
12
La velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante es
v(t) = t^jl + t 2 . Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante
= -V8 hasta el instante t 2 =-j24
Solución
Sea X(t) la posición de la panícula en el instante t entonces X'(t) = v(t) = t.-\¡l + t 2
La distancia recorrida desde el instante /, hasta el instante t-, es:
X (t2) —X (/]) = A (-Jl4) —A (-\/8)
como X '(t)= v (t) => X ( t ) - Jv(/)d/ + c
3
A'(/) = J/-Vl+7rd/ = -(l+ /2)2 +c
... (1)
Eduardo Espinoza Ramos
125
A <^24) = —(1 + 24)2 +c = — + r
3
3
:
I
27
A'CÍ8) = - ( l + 8)2 +c= — +e
3
3
i—
i— 125
27
98
como A'(-n/24)-A '(V 8) = i— + í ) - ( — + t) = —
3
3
3
©
Si el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 20 mi/h a 50 mi/h
mientras corre una distancia de 528 pies ¿Cuál es la aceleración constante que debe
mantener?
Solución
mi 528 88 .
=2U — .-------= — pies/ sen
h 3600 3
mi 528 220 .
Vn =50 — .------ = ------ pies / see
h 3600
3
528 pies
se conoce que 1 milla = 5280 pies
además V ( i ) = j a d t + c de donde V(t) = at + c
„ =—
88 => —
88 = n0 + c => c = —
88
cuando t = n0, V
3
3
3
V(i)=at+-
..( 1 )
C
C
^
Q f ■■
88/
además x(t) = j V(t)dt + k , reemplazando x(/) = J (at + — )dt + k =----- + ----- hk
cuando t = 0, x = 0 => 0 = 0 + 0 + k =>k = 0 entonces
ahora encontramos la aceleración cuando V =
220
3
x = 528, reemplazando estos valores en (1) y (2)
. t = '!
, ,
a t2 88/
- (2)
r* 3
67
Integral Indefinida
220
88
= a t+ —
3
3
132
=>--t = ---3a
528 = - ( — ) + — (— ) => 9a(528) = 20328
2 3a 3 3 a
20328
a = --------9(528)
B)
77
=> a - — pies / seg'
18
Si se aplica los frenos de un carro viajando a 50 mi/h y si los frenos pueden dar al
carro una aceleración negativa constante de 20pies!seg1. ¿Cuánto tardará el coche
en detenerse? ¿Qué distancia recorrerá antes de parar?
Solución
VA
h
VB
3
seg
a = -20 pies / seg 2
además V(t) = j - 2 0 d t i-c = -20/ + c
cuando t = 0. F =
220
3
220
I
-
además x(/) - J V\t)dt+k = j (-2Qt +
,v(/) = -10r2 ■—
220
de donde — = 0 + c => c = —
3
3
, cuando t=
...d )
3
)dt■+k
- =0
- 120t
0 = -0 + 0 + k Je donde k - 0 entonce.; x(t) - -10/ +
...(2)
68
Eduardo Espinoza Rumos
para hallar el tiempo que necesita para detenerse el carro es cuando V(t) = 0. t = ? en
220
11
la ecuación (1 )0 = -20/ + —— entonces t = — sen
Luego la distancia recorrida es cuando 1 =
seg en (2):
.11
,.1 1 , 22011
1210 .
x(_ ) = _10( ) - +
( )= - — pies
J
13}
J
S
J
J
Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad
inicial de 20 pies/scg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad
llegará? ¿Durante cuanto tiempo está subiendo la piedra y que tan alto llegará?
C
/
'
/
/
/ ~ \
Solución
VA = 20 pies I seg
'
\
T ib = ?
l
a = -32 pies/ seg.
\
i
—*--------------------- 5
A
TAC =?
VF = ? porque se opone el movimiento
B
dV
como a = ^ - = - 32 => F(/) = J-3 í//+ c
~dt
V(t) = -32t + c para V = 20 pies/seg. cuando t = 0. x = 0
20 = -0 + c => c - 20 luego V(t) = -32t + 20
V(t) = — = -32/ + 20 => dx = (-32t + 20)dt integrando
dz
J<£r= J(-3 2 / + 20)í// + A
x(/) = -1 6 /2 + 20/+A
x = 0 cuando t = 0 => 0 = -0 + 0 + k => k = 0
Luego se tiene *(/) = -1 6 /2 + 20/
Integra! Indefinida
69
Tab es el
=> t = 0,
tiempo que demoraen llegar alsuelo, paraesto x=0=>-1 6 /2 + 20/ = 0
4
/
= —,
el
tiempo quedemora en caer es—seg y lavelocidad con
4
5
pies
al suelo es V = —32(—) + 20 = -20 —— , por lo tanto V = 20pies/seg es la velocidad
4
seg
con que llega al suelo; el tiempo que demora en subir es — es decir —seg
2
8
11.5.13. EJERCICIOS V PROBLEMAS PROPUESTOS.®
Hallar la solución general de la ecuación diferencial.
a)
dv
x
-r =
dx v(l + .v )
Rpta. 3y2 -21n(l + x 1) = c
b)
Vl + x3 — = x 2v + x 2
dx
Rpta. 2s]\ + x i =31n(v + l) + <
,
c)
dy ,
2
?
— = 1 r + v + xy
dx
Rpta. arctg y - x — — =o
d)
dy _
dx
Rpta. y~ - x ~ + 2(ey - e ~ l ) = c
e)
( x —y~x)dx +( y —x~yid - 0
Rpta. (x2 - l ) ( y 2 -1) =k
f)
(x + x^jy ¡dy + y- íyax ~ !■
Rpta. — ^= + lnxy = c
4y
g)
e y(l + x )ó
Rpta. l + e y = c (i+ x 2)
h)
(«•*’ +1)
e x +x
v + e-
'x{\ + c")dx = 0
« r e- u,s n x + l)d y -P
Rpta. (stnx + l) ( ty +1) = k
70
( 2)
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales.
.
a)
dy ■, 3 2
,
~~ = 3x + —r , y ( l ) = l
dx
x-
b)
J
Vjc + 2
dx
_
3v4 2 9
Rpta. y = — -------- + —
4
v 4
Rpta. >- = 2 4 7 + 2 - 5
y(2) = -1
c)
v2 — - x 2 = 0. y(-2) = -2
rfx
Rpta. y = x
d)
(Ax+xy1)dx-^(y + x 2y)dy = 0 , y(l)=2
e)
^ = x y y %y(3 ) = 1
dx
v+ 1
Rpta. x 3 - 3 x - 3 > —3 1 n |> -|= 2 1
í)
"
3Y ~ 63X J' . y(3> = 1
dx
y-x y
Rpta. (x3 - l ) 4 = 2 6 4(2v2 - l )
g)
— -2yrt gj c =0 , >(—) = 2
dx
'
'2
Rpta. y = 2 sen2 x
h)
x(y6 +1)í/x+>-2(x4 +l)í/y = 0, y (0 )= l Rpta. 3 arctg2+ 2 arctg y 3 = y
Rpta. (1 + x 2)(1 + y2) = 16
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad
inicial de 128 pie/seg. Si la única fuerza que se considera es la atribuida a la
aceleración de la gravedad, determinar:
a)
Cuanto tiempo tardara la piedra en chocar contra el suelo.
b)
La velocidad con la cual chocara contra el suelo.
c)
A que altura se elevara la piedra en su ascenso.
Rpta.
a)
8 seg.
b)
128píes/seg.
c)
256 pies
Integral Indefinida
71
Una pelota se deja caer desde la cúspide del monumento a Washington, el cual tiene
555 pies de altura
a)
¿Cuánto tiempo tomara a la pelota llegar al suelo?
b)
¿A que velocidad chocara la pelota con el suelo?
Rpta.
—-J555 seg
4
a)
8^/555 pies/seg
b)
En un movimiento rectilíneo, la función aceleración de un punto es a(t) = -32 en el
instante t > 0. Si la velocidad del punto es -20 cuando t = 0, y la posición del
mismo punto en 10 unidades en la dirección positiva cuando t = 0, encuentre la
función velocidad V(t) y la función de posición x(t).
Rpta.
V(t) = -32t - 20
,
.v(/) = - l 6 / 2 -2 0 / + 10
Una mujer que se encuentra en un globo deja caer sus binoculares cuando el globo
esta a 150 pies de altura sobre el suelo y se eleva a razón de 10 pie/seg.
a)
¿Cuánto tiempo tardaran los binoculares en llegar al suelo?
b)
¿Cuál es la velocidad de los binoculares al momento del impacto?
Rpta.
©
3.4 seg
b)
99 pie / seg.
Usted arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97
pie/seg. ¿A que altura sube la pelota, y por cuanto tiempo permanece en el aire?
Rpta.
(F )
a)
144 pies
,
6 seg.
Laura suelta una piedra a un pozo, esta llega al fondo 3 seg. después ¿Cuál es la
profundidad del pozo?
©
Rpta. 144 pies.
Efraín arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 48 pies/seg. desde la
parte superior de un edificio de altura 160 pies. La pelota cae al suelo en 1 base del
edificio ¿Cuánto permanece la pelota en el aire, y con que velocidad golpea al suelo?
Rpta.
5 seg.
,
112 pies/seg.
Eduardo Espinoza Ramos
72
10)
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40
pies/seg. desde un punto situado a 20 pies sobre el nivel del suelo.
a)
Si v pies/seg. es la velocidad de la pelota cuando está a x pies del punto inicial,
exprese v en términos de x
b)
¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando ésta se encuentra a 36 pies del suelo y
sigue ascendiendo?
Rpta.
a)
v2 = -64x +1600
b)
24 pies/seg.
Una partícula se desplaza en linea recta en forma tal que sí v cm/seg. es la velocidad
de la partícula a los t segundos, entonces V(t) = sen xt, donde el sentido positivo es a
la derecha del origen. Si la partícula está en el origen al inicio del movimiento,
determine su posición y segundos más tarde.
Rpta.
— cm a la derecha del origen.
2n
(í^
Juanito arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo. La piedra alcanza una altura
máxima de 225 pies. ¿Cuál era su velocidad inicial?
Rpta. 120 pies/seg.
^ 3)
Gálvez arroja una pelota de tenis hacia arriba, desde la parte superior de un edificio de
400 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con que
velocidad golpea al suelo?.
Rpta. 5 seg. y -160 pies/seg.
©
Se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 160
pies/seg. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
Rpta. 400 pies
(li)
Si el conductor de un automóvil desea aumentar la velocidad de 40 km./hr a 100
km./hr al recorrer una distancia de 200 m ¿Cuál es la aceleración constante que debe
mantenerse?
Rpta. 1.62
m
■seg2
Integral Indefinida
16)
El punto (3,2) esta en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva, la recta
tangente tiene una pendiente igual a 2x —3. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta.
17)
73
y - x 1 —3jc + 2
En cualquier punto (x,y) de una curva
D 2y = 1 - x 2, y una ecuación de la recta
tangente a la curva en el punto (1,1) es y = 2 —x. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta.
18J
12 y = 6x 2 - x 4 - 20 jc + 27
Los puntos (-1,3) y (0,2) están en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva
D 2y = 2 - 4 * . Encontrar una ecuación de la curva.
19)
Encontrar la curva que pasa por el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto
(excepto en x = 0) se biseca por el eje X.
20)
Rpta. y 2 +2x2 = 6
La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) en una curva es 10 —4x y
el punto (l.-l) esta en la curva. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta.
1.6
Rpta. 3y = 3x2 - 2 x 3 +2x + c
y = 1 0 jc - 2
jc 2
-9
METODO S DE INTEGRACION
Entre los métodos de integración que se va ha estudiar se tiene: Integración de las
funciones trigonométricas, integración por partes y casos especiales, integración por
sustitución trigonométrica, integración de funciones racionales por descomposición en
fracciones parciales, el Método de Ortrograski, integración de funciones racionales de
seno y coseno, integración de algunas funciones irracionales entre ellas las binomiales
con la combinación de CHEBICHEV.
1 6.1
IN'r £GRACTO*v ’M LAS MINTIONES TkIGONOMFTRK AS.Se trata de las integrales que tiene la forma siguiente:
74
Eduardo Espinoza Ramos
| sen"xdx * Jcos'1xdx , J tg" x d x , J c tg" x d x ,
Jsei.mx eos" xdx
Jtg®‘ xsec" * dx , Jctg" xxosec 'xdx
Para calcular estas integrales, aplicaremos los criterios siguientes:
a)
Para el cálculo de las integrales de la forma:
fsen,,xrf«. eos1 xdx
J
J
Se presentan dos casos:
ler. Caso.-
Cuando n es un número entero positivo par, se usan las identidades
siguientes:
'
g>en
- .■■ » co¿ x - - 1-* COS2X
¿
1^C<5$Z* : ^ j
2do. Caso.- Cuando n es un número entero positivo impar, a las integrales de
este caso expresaremos en la forma:
1sen x dx - Jsen* 1x se n x dx
Jcus" xdx = |t u s ' 1 xcOsx d i
Luego se usa la identidad sen 2 x + eos2 x = 1
Ejemplos de aplicación de este criterio.
Calcular las integrales siguientes:
©
J s e n 2 3xdx
Solución
Observamos que el exponente es par, entonces usamos la identidad
75
Integral Indefinida
sen2 3x = -— 005 *** , luego al reemplazar en la integral dada se tiene:
f
i
.
1
^ ,
i ,
sen 6x ,
x sen 6x
sen' 3xdx = — (1 - eos 6x)dx = —( x
) + r = ------------- + c
i
2i
2
6
2
12
Observación:
En forma práctica se puede calcular las siguientes integrales:
+c
Js e n (« x )t& -=
Ejemplo:
J sen(20x)í£c = -
co s( 2
0 jc )
20
+c
sen( m }
+£T
r
J cos(l &x)dx =
Ejemplo:
sen(l 8jc)
+r
18
En forma similar ocurre en las integrales de las demás funciones trigonométricas.
( 2)
J eos 2 x d x
Solución
Observamos que el exponente de la función es par, entonces usaremos la identidad:
2 „
1+ eos 4x
eos 2jc = ------------ , por lo tanto:
Jcos4 2,vdx - J ( *+ C°S
1 r ,,
_
)2dx = -i j" (1 + 2 eos 4x + eos2 4x)dx
„
1+
co s8x
- —J (1 + 2 eos 4 x + -----
,
)dx
1 f,3 „
„ eos 8 * ,.
1 ,3>x sen4x sen 8jc ,
(—+ 2 co s4 jc +
)dx = - ( — + ----------+ ---------) + c
4 J 2
2
4 2
2
16
=-
Eduardo Espinoza Ramos
76
Js e n 3 4xí£c
Solución
Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral
escribiremos asi:
j" sen3 4xdx = J s e n 2 4x.sen4jt dr = J" (1 - eos2 4x)sen4jcí£c
A J I
2A
A J
eos 4x eos 4x
= J ssen4x
e n 4 xddxx-- J eos 4jc.sen4jtdr = ---------- ++c
4
12
Observación.-
En forma práctica se puede integrar las siguientes funciones.
f sen (kx ) cosffrr V./*
J
Ejemplo:
I
sen
Í Q } +C
.v
19
f«+lM
_
_ , sen 20 2x
2x. eos 2xdx =----------- + c
40
...
I &i$n(kx)$cn(kx)dx............
T B l f i l W
l i
Ejemplo:
:
J eos 29 3jc. sen 3xdx = -
l .'." Q'
cos30 3jc
-+c
90
En forma similar ocurre en las integrales de las demás expresiones trigonométricas.
©
Je o s 5 3xdx
Solución
Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral
expresamos asi:
Je o s5 3x d x = j eos4 3x.eos3xdx = J (1 - s e n 2 3x)2 eos3jc dx
77
Integral Indefinida
= J ( l - 2 s e n 2 3x+sen4 3x)cos3xdx
= J eos 3x dx - 2J sen 2 3x. eos 3x dx+ J sen4 3x. eos 3x dx
sen3x
= ------3
b)
2 sen3 3x sen5 3x
+
+c
9
15
Para el cálculo de las integrales de la forma
J tg" xdx f§¡ j c t g ”xdx
Se presentan los siguientes casos:
ler. Caso.-
Si n es un número entero par positivo, a las integrales dadas se
expresan así:
; | tg* xdx ==J1tg*"2 * tg2 x 4>
Luego se usan las identidades siguientes.
l + fg2x = sec2x ; 1-fctg2x - m % e c \
2do. Caso.- Sí n es un número entero positivo impar, a las integrales dadas se
expresan en la forma:
J tg ” \ d x —^ tg n 1x.igxdx = J[tg2 a] 2 Igxdx
f
{
-i
f t i f * r/
=
i-;:' .-'a’ : , Vftr~1' ■'\ :
* ]* c ir i- h
Luego se usan las identidades siguientes.
É- t g ^ ^ s e c 2* ',; l+ r*g3 x acostar*
Eduardo Espinoza Ramos
78
Ejemplos de aplicación de este criterio
Calcular las siguientes integrales.
J tg2 Axdx
Solución
Observamos que el exponente de la función es par, entonces de acuerdo al criterio
establecido expresamos:
|
tg2 Axdx = J (sec2 Ax-1 )dx = ~ ~ ~ ~ x + c
Jctg4Axdx
Solución
En forma similar al ejemplo anterior, por tener el exponente par; a la integral
expresaremos asi:
J c t g 4 4xrfx = J c t g 2 Axx:tg2 Axdx = j c t g 2 4x(cosec2Ax-l)dx
= J"ctg2 Ax.cosec2A x d x - j c t g 2 Axdx
c tg 3 4jc r ,
2a
c tg 3 Ax c tg4x
= --------------- I (cosec A x -\)d x = ------------ + --------- + x +c
12
J
12
4
@
| tg6 5x dx
Solución
Observemos que el exponente de la función es par, entonces a la integral expresamos
así:
J tg6 5jcdx = J tg4 5jc.tg2 5xdx = J tg4 5x(sec2 5 x -l)d x
= J tg4 5x.sec2 5jc—J" tg4 5xdx =
-
J tg2 5x(sec2 5 x -l)d x
Integral Indefinida
79
tg5 5x
- J tg 2 5xsec2 5jc d x + j tg2 5xdx
25
igs 5x
25
@
tg3 5x _
tg5 5x
+ J(sec2 5x -l)d x =15
J
25
tg3 5jc < tg5jc ^ <g
15
J*tg3 5jcrfx
Solución
Observamos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral
expresamos asi:
J t g 3 5xdx = J t g 2 5jc.tg5xdx = ^ (sec2 5jc —1) tg 5xdx =
(§)
~ ^ ^ ^ ^ +c
J c t g 5 3xdx
Solución
Como el exponente de la función es impar, entonces a la integral escribiremos en la
forma:
Je tg53xdx = Jctg43xrtg3 xdx
= J (eos ec23jc - 1)2c tg3x dx
= J (eos ecA3 x - 2 eos ec23x + l)c tg 3x dx
= J eos ec33x. eos ec3x.c tg3x dx - 2Jc tg3x. eos ec23jc dx + J c tg3x dx
=
c)
eos ec43x c tg2 3x ln Isen 3x I
+—- ----- + — ------ + c
12
3
3
Para el cálculo de las integrales de la forma.
sen*' xcos
Se prest rtan los siguientes casos’
Jx
•
Eduardo Espinoza Ramos
80
le r Caso.
Si m ó n, es decir, cualquiera de los exponentes es un número
entero positivo impar y el otro es cualquier número, se procede de
la siguiente manera.
i)
Suponiendo que m es un número impar y n es cualquier número, entonces a
la integral expresamos asi:
J s e n '" jc .c o s " x d x = J s e n " ’' 1 x .c o s " x . s e n x d x
Luego se usa la identidad:
ii)
sen _ x + eos “ x = 1
Suponiendo que n es un número entero impar y m es cualquier número, se
procede de la siguiente manera.
senmx.cos"xdx= sen*" x. eos”"1x. eos x dx
Luego se usa la identidad:
2do. Caso.
sen 2 x + eos 2 x = 1
Si m y n los dos exponentes son números enteros positivos pares,
se usan las identidades siguientes:
2
sen*-ras
l~cos2x
■■■■ íj
2
2
x=
y con estas sustituciones la integral
integrales de la forma
J sen " x d x ,
anteriormente.
Ejemplos de aplicación de éste criterio.
Calcular las siguientes integrales.
1 + cos2x
r-----
Js e n m x.cos" x d x se transforma en
las cuales han sido estudiadas
81
Integral Indefinida
Solución
Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así:
J c o s3 x.sen4 xdx = J c o s2 x.sen4 x .eo sx dx = J ( l - s e n 2 x)sen 4 x eos xdx
- f sen4 x c o s x d x - f sen6 xcos xdx = —sen5 x ——sen7 x + c
J
J
5
7
©
f sen2 x eos2 xdx
Solución
r
7
2
r 1 -c o s 2 x 1+ eos
J sen xcos xdx = J
----- .-----
2x
Ir
2
dx = —J (1 —eos 2x)dx
1 r 1- eos 4x , 1 ,
- f ----------- d x = - ( x
= — f s e n 2 2xdx = —
4J
4 JJ
2
8
(i)
sen 4 x ,
4
) +c
Jsen 5 x. eos2 xdx
Solución
Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así:
J sen 5 x.cos2 xdx = J sen4 x.cos2 jc.senxdjt = J (1 - c o s 2 x ) 2 eos2 x.sen xdx
= J ( l - 2 c o s 2 x + cos4 x)cos2 xsen xd x
= J c o s2 x sen x d x - 2 ^ eos4 xsen x d x+ J eos6 x sen x dx
eos3 x
Js e n 4 x.eos2 xdx
2 eos5 x
eos7 x
+ --------------------- + c
82
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Como los dos exponentes son pares, entonces se usan las identidades:
2
sen x =
4
f
l-c o s 2 x
2
2
l + cos2x
eos x =------------
;
2
2
r 1 - eos 2x . 2,1 + eos 2x
,
J sen x. eos xdx = J (
) (-----
)dx
= —J (1 - eos2 2jc)(1 - eos 2x)dx = —J sen~ 2x(l - eos 2x)dx
1r f
2
. f
2 o
o jt
l r fl-c o s 4 x ,
sen3 2.x..
= —[ sen 2x dx - I sen 2x.cos2xdx] = —[ ----------- d x -------- -—] + c
8 ^
J
8 J
2
6
1 rx senx sen3 2x,
= —[------------------------ ]+ c
8 2
8
6
J e o s 7 x.sen3 x dx
Solución
Observamos que los exponentes son impares, entonces a la integral dada expresamos
así:
Jeos7x.sen3x d x = Jcos7x. sen2x. senx d x = Jcos7jc(1 + c o s 2 x)senxdx
=
r
8
8
Jsen 2 3x. eos 4 3x dx
Solución
Como los exponentes son pares, entonces usaremos las identidades:
7_
l-C O S Ó X
se n '3 x = ------------
10
7
f
9
,
eos x eos X
eos x .se n x o x - eos x.senxax = ----- -— +— —— +c
;
7
l + cosóx
eos~ 3x = ------------
10
83
Integral Indefinida
f
-
4
,
f ,l- c o s 6 j c .,l + c o s6 r 4-> .
J sen - 3x. eos 3x dx - J (------------ )(----- ------ )" dx
=—J (1 - eos2 6jc)(1 + eos 6x)dx = —J sen2 6jc(1 + eos 6x)dx
1 rf
-> , , f
i ,
, ,
l rr l- c o s l2 v , sen 36*.
= —[ I sen' 6x dx + I sen- 6 x eos 6xdx] = —[ I ------------- dx-+ ---------- ] + c
8 J
»
8 J
2
18
1 ,jc
8 '2
senl2jc
24
sen3 6x,
)+
18
= — ( — ------- ~ ---- + ----- —
d)
f =
x
16
sen2x sen3 6x
— + --------- :
144
192
+ C
Para el cálculo de las integrales de la forma
J tg" x.sec'” xdx ; J etg” xcosec™xdx
Se presentan dos casos:
1er. Caso.
Cuando n es un número positivo impar y m es cualquier número, a
las integrales escribiremos en la forma:
j"tg” a.sec”’ x d x - J tg ””1*.secm ‘ x.ígx.secxdx
Je tg" rcosf?em.'i:rfr = Jc tg""1x. eos ec*'"1x.c tgx.eos ecxdx
Luego se usa las identidades siguientes.
1
2do. Caso.
+ t g 2 .x = sec2x , l + c t g 2;x = $ec2.x
Cuando m es un número entero positivo par y n es cualquier
número, entonces a las integrales se escribe así:
|tg ".x .sec* xdx = Jtg"x.sec'" 2xsec2xdx
| clgn xcosecmxdx = f c tg" x. • . « e c ^ x . ut» ec~i dx
Luego se usa las identidades siguientes.
84
Eduardo Espinoza Ramos
l + tg ^ .v - s e ^ .r . l + e t g ’ j< =sec2jr
Observación:
1)
Cuando n es un número entero positivo impar y m es un número entero positivo
par, se puede aplicar cualquiera de los dos casos
2)
Si n es par y m es impar se aplica el 1er. caso.
Ejemplo de aplicación de éste criterio.
Calcular las siguientes integrales.
0
J sec 4 2x. tg2 2x dx
Solución
Observemos que el exponente de la sec 2x es par, entonces a la integral escribiremos
asi:
Js e c 4 2x.tg 2 2xdx = J s e c 2 2jc. tg2 2jc.sec2 2x d x = j"(l + tg2 2jc)tg2 2x.sec2 2xdx
= f tg2 2x.sec2 2xdx + f tg4 2x.sec2 2xdx - tg
J
J
6
©
+ tg ^x + c
10
tg x.sec6 xdx
Solución
Como el exponente de secx es par, entonces a la integral dada escribiremos así:
tg x.sec6 x d x - j tg1/2 jc.sec4 jc.sec2 xd x = J tg 1/2 x(l + tg2 x)2 sec2 xd x
= J tg 1' 2 x s e c 2 x d x + 2 j tg5/2 x.sec2 x d x + J tg 9/2 x.sec2 xdx
= 2 tg ^ x + 4 tg ^ x +A
3
7
11
2jf+ c
Integral Indefinida
©
85
J lg3 3x.sec3 3xdjc
Solución
Como el exponente de la tg 3x es impar, entonces a la integral dada escribiremos asi.
J tg3 3x. sec3 3x dx = J tg2 3x. sec 2 3x. tg 3x. sec 3x dx
= J (sec2 3x -1) sec2 3x. tg 3.v. sec 3x dx
- Jsec 4 3x.tg3x. sec 3x dx - Jsec 2 3x.tg3x. sec 3x dx
sec5 3x
15
sec3 3x
- +c
9
J c tg5 x. eos ec4x dx
Solución
Como el exponente de la cosec x es par, entonces a la integral escribiremos asi:
Jctg5x. eos ec4vrfx= Je tg5x. eos ec2x. eos ec2x dx
= Jctg5x(l +rtg2x)cosec2xdx
- Jctg5x. eoscc2xrfx+Jctg7x.cos ec2xdx
c tg6X ctg8x
= -------s--------—
---- +c
6
8
NOTA. Cuando caí las integrales se observa que no se adapta a los casos estudiados,
es conveniente transformarlo a estos casos, utilizando las identidades
trigonométricas.
86
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Calcular las siguientes integrales.
dx
©
í
sen2 jccos
>s4
4x
Solución
-
t
dx
r sen* x + cos' x
r. 1
1
5—x eos
dx =x I (— —
+ — x5--------------JI —sen 2-------—
jc . c o s
x = IJ —sen■
J eos
sen' x eos T ~
x )dx
Í
dx
r
dx
r
4 ■ r sen2 x + cos2 x ,
- 4- + ---- 2------- — = sec x d x + \
j-------- -— dx
eos x J sen xcos' x
J
J sen x.cos' x
= í (1 + tg2 jc ) sec2 xdx+ f ( — \ — + — í-—)dx
3
3 eos" x sen x
= J sec2 x d x + J tg2 x.sec2 x d x + J se c 2 x d x + jc o s e c 2x d x
t e ^ JC
X
= t g x + - ^ — + tg x - c tg x + c = 2 tg x + - ^ ----- c tg x + c
©
dx
JVsenx.cos3 x
Solución
(•
dx
_ rr
sec 2 x d x
„ I
J J•\/sen jc . c o s 33 jc_ J sec22 xVsen
x.eos33 jc__
--
r sec2 jcdx
3 vsen x.secx
'
jc
r sec2 x d x
r
<n
?
.
„-¡----= — = = — = tg
x.sec x d x = 2yjtgx + c
3 -Jlgx
eos x dx
©
r
sec2 xdx
J -\/sen x.sec’ jc . c o s
h Vsen7
z r ? 2jc. eos JC
Solución
3
Integral Indefinida
r
87
c o s jc d x
eos x dx
J 4V2 ^/sen7 x.cos" x
1
1
_ r
J t3//s c i i 77 2o x . eos x
r sec4 xdx _
1
sec x. eos x dx
r
4^/2 ■" sec5 x Vsen7 x.cos8
r (1 + tg2 x)sec2 xdx
3^77“
tg 7 '3 x
= - ^ = [ J t g 7,3 x.sec2 x d x + J tg 13 x.sec2 xdx]
1
r
3
4
1
3
7
' + 2 ,g '
1X2
1 .3
1 - ,
' 1+C =^
3
4/ 1
|- 4 í,g
7/ 1
X + 2 tg
' l+C
K JIW K IO S PHOMTSTOS.Calcular las siguientes integrales.
„
3x
sen 2x
sen 4x
R p t a .-------------- + --------- + c
v
8
4
32
©
sen x dx
©
eos5 xdx
©
eos 3xdx
©
sen6 2x dx
„
1 .5x
Rpta. —(
©
sen3 x / 2 dx
^
4
,,x . 2
5 /x .
Rpta. -2 c o s (—) + —eos (—) — eos (—) + c
©
(sen2 3x + eos 3x>2 dx
©
eos6 3xdx
2
3
1
,
Rpta. senx — sen x + —sen x + c
V
3
5
_
3x
senóx
senl2x
8
12
96
Rpta. — + ——— + — —— + c
8 2
.
3sen8x sen3 4x,
sen4x + ----------+ ---------- ) + c
16
2
„
7x
senl2x
3
2
12
5
2
_ sen3 3x
Rpta. — + --------- + 2 ----------- + c
v
8
96
9
„
5x senóx sen3 6x senl2x
Rpta. — + ——-------- — — + — —— + c
16
12
144
64
Eduardo Espinoza Ramos
88
©
jccos ( jr )dx
1
Rpta. —
sen* 2 —1 sen 3 x 2 +c
2
6
©
(sen2 x + cosx)2dx
„ ^ 7jc sen4x 2sen3jr
R p ta .
1---------- 1-------------- c
8
32
3
tg6 x dx
1 ,
1 3
Rpta. —tg x - y t g jc —tg jc + x + c
c tg'’ x dx
Rpta.
©
c tg 4 x + —c tg 2 jf + ln |se n x | +c
4
2
tg3 x dx
tg2 x
Rpta. —-— + ln | eos x \ +c
c tg A(3x)dx
1
3 ,
1
Rpta. - —ctg
3jc+ —
ctg3, jc+■x +c
c tg3 2xdx
R p ta .
c tg 2 2x
----
ln | sen 2x \
2
©
+C
tg2 (jc + \)dx
Rpta. tg(jc + 1) —jc + c
c tg 5 2xdx
Rpta. -
c\g*(-)dx
Rpta. - ^ c t g 2( y ) - 3 1 n |s e n y |+ c
tg 3jc dx
Rpta. ^ s e c 4 3 jr -y tg 2 3 jc + y ln |sec3 jf |+ c
c tg 4 2xdx
ctg2jr c t g 32jr
Rpta. x + —- --------- +c
tg5 x dx
Sec JC
7
R p ta . ----------- tg jf+ ln |sec x |+ c
eos ecA2x
c t g 2 2*
ln|sen2jc|
+c
Integral Indefinida
89
sen x eos x dx
2
, •>
Rpta. y sen " a + c
cosa sen xdx
D i
2
7f 1
2
31
Rpta. —eos ' a — eos ~ x + c
7
cosx sen xdx
3
Rpta. - —eos4 3 a + —eos10 3 a ——eos16,3 a + c
4
r
sen3 a dx
r, ,
- 4, 3
4
J s e n 7 5a . eos3 5a í /a
Rpta.
sen a.eos xdx
Rpta.
J s e n 5 ACOs2 Adx
3
Rpta. —eos
■* eos2 a \lCOSA
2j)
5
29)
3l)
a dx
sen8 5a
13
a+ c
sen10 5a
-+ c
40
50
2-v/senA(— ~ s e n 3 t + — sens a) + c
3
7
11
eos7 a 2
s
eos3 a
R p t a . -----------+ —eos a -----------+ c
_ x
5
3
„ ,
sen4 a sen6 a
Rp t a . -------------------- + c
J s c n 4(^ )c o s2(^)rfA
„ „
a
senA.cosA sen a
Rp t a . ----------- —----------- —— + c
16
16
24
J s e n 4 ja eos a dx
Rpta. ——(3A-sen4v + —sen8v)+c
128
8
J sen3(—) eos7 (~)dx
Rpta. - c o s ‘°(—) - —cos3(—) + c
5
32)
3
a + —eos
2
7
J sen3a eos
16
I sen3 3a eos' xxdx
1
f COS^ A
■* -Jsen a
dx
2
4
2
„ .
eos8 3 a eos6 3a
R p t a . -------------+c
24
18
Rpta. 2-\/scnA - —sen5 2 a + —sení/2 a + c
5
9
90
Eduardo Espinoza Ramos
J eos4 2x sen3 2x dx
Rpta. — —eos"" 2 x + — eos7 2x + c
©
J sen x eos x dx
sen3 x 2
5
sen7 x
Rpta. -------------- sen x +--------- + c
(36)
I sen5 2x.cos3 2xdx
1
6 2 x 1 sen 8 2x + c
Rpta. —sen
2
* 1 6
34)
V
f sen 3 .v
dx
(3 9 )
m
Rpta. ------
5
7
sec .v + c
J se c 4 x^Jc tg3 x dx
Rpta. - 2 ^ ¡ c t g x + ^ t g i x + c
J tg5 W co s3 x dx
2
.?
Rpta. —sec5' 2 x - 4 s e c 1,2 a - —eos3' 2 x + c
r« 5 _ £ &
Rpta. eos ecx - y eos ec 3x + c
J sen x
sen3 x
ü)
3
14
3 eos x
■’ eos4 x
38)
10
|
dx
5
3
2
Rpta. Msecx (—eos2 x + 3) + c:
eos x
dx
42)
Rpta. - f t g j r - j í - t g 3 x + c-
•* tg -v
W3j
f^ -^ /x
J COS 7DC
1 [—tg
rl 1 7EX+—tg
1 <¡ m], + c
Rpta. —
n 3
5
(44)
J -J ftg x c o s9 x dx
^ _ i
4
5,7
2
9/9
Rpta. 2-s/senx— sen
x + —sen ~ x + c
5
45)
J t g 3 4x.sec9' 2 4xdx
9
nRpta.
*
1
n /’
sec9 2 4x
— sec ~ 4 x --------------- + c
26
18
Integral Indefinida
91
tg5 3x.sec9/2 4xdx
_
sen5 3x
dx
cos3x
1, ,
c tg8 3x
8
_ ,
c tg11’ 3x
c tg12 3x
10
36
eos2 3x
eos4 3x
3
12
Rpta. —ln sec 3x1+------------------------- \-c
3
x 2 eos3 2 jc 3 í£ c
sec7 2x.lg2xdx
_ JV
sen
.I12x3 sen3
jv.ii 2x3
R pta. -------------------------- +c
6
18
sec7 2x
Rpta. ---------- +c
_ t
14
tg x-Jsec x dx
Rpta. 2-s/secjc+c
tg7 x.sec4 x d x
Rpta. —----- + ^-J L + c
t g 10
10
„ ^
(^)* d x
X
tg 8
8
ctg 3 x
R p ta .
tgX
©
c tg6 4x
Rpta. —
18
-
X
ctg x + c
c tg3 x . eos ec*xdx
Rpta. Ct^ X —- c t g 6 x + c
c tg 3 x.cos ec2xdx
1
s
1
i
Rpta. — ca&ec' x + —cosec' x + c
c tg3 x eos ec5xdx
coser7x eos ecsx
R p ta . --------------+ ------------ +c
t g 2 2 jc. c o s 2
sec4 x
dx
2xdx
4
6
5
1
3
sen 4x
Rpta. —(x ---------- ) + c
2
4
Rpta. - r t g x + t g x + c
tg' x
sen4 x
eos2 x
dx
_
sen 2x
3x
Rpta. tgx + --------------- +c
4
2
+c
Eduardo Espinoza Ramos
92
59)
J se c 4 2xdx
tg2x tg 2x
Rpta. —— + —------ ve
J sei
sec
2 , 1 ,
Rpta. tgx + y t g x + —tg x + c
x dx
6l)
J sec3x. tg3 v dx
62)
Jc tg5 .v.cosei*xdx
Rpta. —sec5 x — sec3 x + c
• X
„
í tg
X 1I
6
R p ta . ---------------- c te x + c
8
6
~
I tg4 x. sec3 x dx
Rpta. —tgx.sec'’ x —— tgx.sec3 x + — :Y:sccr + *n l sec-v + t8 A'I + c
24
dx
f
16
16
Rpta. - 2-Jc tg x +y tg x^jtg x +c
Vsen 3 x. eos5
J (l + cos3x)3 2dx
sen- x
JVeos
/
3
4
dx
x
sen(x + n / 4)
dx
sen x. eos x
©
Rpta. 2-y/2(-sen(— ) - —sen3(— ))+£•
3
Rpta. —eos5 3 x +
5
2
9
1
.------ + c
3Veos x
n
"v2 . ..
1+ senx ,
Rpta.
ln | tg x. -----------1+c
2
1- eos x
f - ° S * dx
J 1 -se n x
Rpta. senx + —sen" x + c
2
dx
Í eos3 xVsen 2x
Rpta. ^ y -(tg 2 x + 5)^/lgx +c
2
93
Integral Indefinida
. s e n -*
31eos ^ ~X dx
dx
Rpta. — -Jtg5 x(5 tg2 x + 11) + <
„
3
sen4 x.cos4 x
sen3 x
4 ,1 + 3 tg 4x v
) +c
Rpta. - - (
tg 4x
-dx
Rpta. ^ co? x (eos2 x - 5 ) + c
senh3 xdx
Rpta. —coshx(cosh" x - 3 ) + c
tgh6 x.sechAxdx
Rpta. y tgh 7 x - —tgh 9 x + c
ctg h 4 xdx
Rpta. x —c tgh x —y ctgh 3 x + c
(cosh2 ax + senh2 ax)dx
Rpta. — senh(2ax) + c
2a
v¡cosx
e dx
cosh x + senh x
Rpta. x + c
tgh4 xdx
Rpta. v - tgh x —y tgh3 x + c
c tgh5 xdx
Rpta. ln |s e n h x |- y c t g h 2 x - y ctg h 4 x + c
senh2 x.cosh3 xdx
dx
senh x. cosh" x
_
senh3 x
senh5 v
3
5
Rpta. ---------- + --------- + c
Rpta. ln | tgh — | + sec hx+c
94
(82)
83j
1.6.3
Eduardo Espinoza Ramos
coser x
J c Ig 3.v. eos ec 43x dx
_ ,
J tg3 3x. sec4 3.v dx
tg4 3x tg6 3jc
Rpta. —------+-—------+ r
J eos1 3x.sen3 3.v dx
_ ^
J(*2-6A')sen2( - -----3x 2)dx
Rpta. ^ ( — - 3 x 2)—- s e n ( ^ —- 6 x 2) + r
R p ta .
12
12
+r
18
eos8 3x eos6 3x
R p ta .----------------------- i-í
24
18
OTRAS INTEGRALES TRIGONOMETRICAS.Se trata de las integrales de la forma:
J sen(m')cos(»¡.v)rf.v, J sen(/n.v)scn(?/x)¿v, J cos(»ix)cos(Mx)¿fcc
Para el cálculo de éste tipo de integrales se usan las fórmulas siguientes:
sen(/«A)cos(njc) feiíseri(W -/i)jf h sen,w
: v j.
sen(wv)sen(/.n) = —(cosfm <-«)■<: -cos{m + n)x)
cos(m)cos(Hx} 4 —(costw - n)x + cos(w + «)jc>
Las fórmulas mencionadas se deducen de las identidades:
sen(w + n)x = sen mx eos nx+ sen nxcos mx
... (1)
sen(w - n ) x = sen mx eos nx - sen nx eos mx
... (2)
cos(m + n ) x - eos mx eos nx - sen nx sen mx
... (3)
cos( m —n)x = eos mx eos nx + sen nx sen mx
... (4)
Integral Indefinida
Ahora sumando (1) y (2) se tiene:
1
sen(«Mr)cos{«.r) = —(sen(w r h)x-i sen(w ~n)x)
ahora restando (4) y (3) se tiene:
sen(»/x)sen(«x;) = - (tos(w ~ n)x - eos(m+n)x)
ahora sumando (3) y (4) se tiene:
cos(m- >c o s ( j í x )
= ¿
(eos{ m -
«)x +
cos(« + tt)x)
NOTA: En la aplicación de las fórmulas mencionadas se debe tener en cuenta las
identidades siguientes.
sen(-x) = —sen a'
C O S Í-X ) -
V x eR
C O SA '
Ejemplos de aplicación.
Calcular las siguientes integrales
©
J sen 2x.scn9xr/.v
Solución
Como sen2x.scn9v = ^(cos7x -c o sí lx ) , reemplazando en la integral:
f
^ ,
1f
->
,,
1 ,sen7x senllxsen 2x. sen 9x nv = — (eos l x - eos 11 x)d\ = —(-------------------- ) + c
J
2J
2
7
11
©
Jeos 2x. eos l x dx
96
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Corno eos 2.v. eos 7a = ~ (eos 5a + eos 9a), reemplazando en la integral:
f
Ir
1 sen5r
J eos 2a. eos 7 a dx = - J (eos 5 a + eos 9x)dx = - (—
®
/ sen 4 a . e o s
5
sen 9 x
+- ^ p - ) + c
xdx
Solución
Como sen 4 v. eos 5.v =
(sent4 + 5 ) a + scn(4- 5).v)
= ^-(sen9a-sen a ) , reemplazando en la integral:
1r
1
eos 9x
Í sen 4 a . eos 5 a dx = —J (sen 9 v - sen x)dx = —(eos a ---- ^— ) +
J sen1 4
y.
1
eos2 7a dx
Solución
„
T
^
_
1- e o s 8a
1 + e o s 14 a
2
2
Como sen 4a.eos 7a = sen_ 4a.eos_ 7a.sen4 a = ----------—.------------- .sen4 a
= — (1 + e o s 1 4 a - e o s 8 a - e o s 8 a e o s 1 4 a ) s e n 4 a
4
= —(sen 4 y +sen 4a eos 14a - eos 8 a sen 4a - eos 8 a eos 14a sen 4 y)
4
sen14YCOS2 7a = —(sen4.Y+sen4ACosl4y- cos8.Yscn4Y-cos8.YCOsl4\sen4Y)
4
... (1)
Integral Indefinida
97
=
[sen 23x - sen 2 1a + sen l x - sen 5]
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
sen1 4 x eos2 l x = — (sen4x) + —(sen4a' —3 sen 1Ojc- s e n 12x + 2 sen 18 a -se n 2 6 a ))
4
4
= — (5 sen 4 a - 3 sen 10 - sen 12 a + 2 sen 8 a - sen 26a) , entonces:
16
J sen1 4a. eos2 7a í/ a = ~ J ( 5 sen 4a - 3 sen l Oa -sen 12 a + 2 sen 1K a - sen 26)dx+ 1
©
1 ,3 eos 10a
16
(
cosí 2 a
++—
eos 26 a
5 eos 4 a
26
4
-
=
10
12
eos 18a .
)+£
9
J sen(3A + 6).cos(5a +10 )dx
Solución
Como sen(3A + 6).cos(5A + 10) = -^-(sen(8x + 16) + sen((3v + 6 )- (5 x + 10)))
=
(sen(8A + 1 6 )- sen(2A + 4))
J sen(3x + 6). cos(5a + 10)dx = —J (sen(8A + 1 6 ) - sen(2A + 4))dx
c o s( 8 a
+ 16)
16
©
J
c o sa c o s2
5xdx
Solución
cos(2x + 4)
4
+C
entonces
98
Eduardo Espinoza Ramos
1
eos 9x +cosí l.v.
1
v
= —(eos x + -------------------- ) = —(2 cos+ eos 9x + eos 1be)
2
2
4
J eos .veos 2 5.v dx = —J (2 eos .v + eos 9.v + eos 11x)dx
1
sen9.v senll.v
=—(2senx + --------+ ----- — ) + e
4
( 7)
J sen(^ -
9
11
) sen(^ + .v)dx
Solución
r,
.*■
.
,
1.
-
^
cos2.r
Como sen(----- .v) sen (— v x) = —(eos 2x - eos—) = -------4
4
2
2
2
,n
n
Ir
sen2x
scn(— v x)dx = — eos 2x dx =
+c
Í sen(-----.v)
4
®
2J
4
4
J sen x. sen 2x. sen 3jcdx
Solución
Como sen 2x. sen 3jc = —(eos x + eos 5x) , entonces
2
sen .v. sen 2x. sen 3x = ^ sen j c ( eos x + eos 5x) =^- (sen .v eos jc + sen x eos 5.c)
=—(sen 2jc - sen 6x + sen 4,v) - —(sen 2.v + sen 6x - sen 4 v)
4
4
J sen x. sen 2.v. sen 3x dx = —J (sen 2x - sen 4x + sen 6x)dx
1 , eos 6x eos 4x eos 2x
eos 2x eos 4v cosóx
: —(----------+ --------------------) + e = ---------- + -------------------- + C
4
6
4
2
8
. 16
24
99
Integra! Indefinida
1.6.4
EJERCICIOS PROPUESTOS.Calcular las siguientes integrales.
©
sen 8 v. sen 3xdx
©
sen 3-v.sen 5xdx
©
sen1 x. eos 3a dx
©
eos 4 .v . eos 5 a dx
©
eo s2 a . se n 2 4 a dx
©
sen —. sen — dx
©
sen 5.v. eos x dx
©
eos v. eos 5 a dx
©
sen
v
3a .
2
2
4 a . eos
©
sen 5 v sen 11 v
„
R p ta .
„
10
22
sen 2 a
sen 8 a
4
16
+c
3 eos 2 a
3 co s4 y
eos 6 a
16
32
48
R p ta .-----------------------+
„
sen 8 y
32
a
sen 2 a
8
4
_
sen
sen 2 a
y
R p ta .------------------ + f
„
eos 6 a
eos 4 a
12
8
R p ta .--------------------- + c
„
sen 4 a
sen 6 a
8
12
eos 3 a
eos 1 1a
6
22
Rpta. -------- +-— ---- + c„
R p ta .-------------------- + e
K eos —
vdx
j
eos —.
3
2
Rpta. 3 sen — + —sen — + e
sen 2 a . sen 3 a dx
sen 6 a
48
sen 1 0 a
80
R p t a .-------------+ ------------ -------------------- + c
„
2
+t
„ ^ 1.
sen9A4
Rpta. —(scnA +
) +c
2
9
x
3v .
sen —.eos — dx
2
©
7 x dx
„
R p ta . --------------------- + c
eos
eos 2 a
y
R p ta .----------------- + £■
„
eos
y
y
3
5a
6
5
6
eos 5.y
Rpta. — --------------+ í2
10
100
Eduardo Espinoza Ramos
(-v/sen 2x - eos 2x)2dx
^ x sen4jc cos 2 a 2 ,
i,i
Rpta. —+ ------------------------ (sen 2 a ) ' + c
sen 5 a . sen x dx
„
sen 4 a sen 6x
R p t a .------------------- + c
eos 3a . eos 2x dx
„
sen jc sen 5.v
Rpta. ------ + ---------+ c*
sen 3x. eos 6a dx
„
eos 3jc eos 9.v
R p ta .
+ <6
18
eos 4x. eos 2x dx
„
sen 2 v sen 6.v
Rpta. -------- + --------- + r
4
12
eos 30 a . sen 20 a c/a
R p ta .
sen 3 a . eos 5x dx
„
eos 2x
Rpta. —
2
8
2
8
12
eos 10 Y eos 50.Y
20
100
eos 8a
4
sen 2a eos 4 a dx
sen(4.r + 7).cos(5jc + 8)í/a
/n
cos(9 a - 2
0 ) . cos(5 a + 20)c/x
sen x sen 3x sen 5. y dx
©
3
+c
+c
16
c o s 2jc eos 6 y
R p t a .------------------- + i
4
12
__
Rpta. — ( 9 cos( a + 1 ) - cos( 9 y + 15j ) -<.
18
.
1 ,sen(4v 40) senl4A\.
Rpta. —[----------------+
1+ r
4
2
7
„
1r
Rpta. —icos a +
4
eos 9a
eos?y
eos 7 a ,
9
3
7
eos x. eos 3x eos 5.y dx
„
1.
sen 3 a
Rpta. —[senA +
4
3
sen 10 a. sen 20 a , sen 3 O a íza
„ .. I rcos60\- co s 40 a
.
Rpta. —[----------------------- eos 20 a ] +
8
3
2
h
1+ c
sen 7 a sen 9 a ,
-+
]+ <
7
9
c
101
Integral Indefinida
eos 10a. eos 20 a. eos 30x dx
1 sen 20 v sen40,v sen 60 v..
Rpta. —[--------- + ---------- +
1+ c
4
20
20
60
sen x. eos 7a.sen 1 Ijc dx
„
1 rsen3x sen 19y sen5.r sen 17.v,
Rpta. - [ ------------------------------- + ---------- ]+ c
4
19
17
„
l r cos3x eos 5x cosl7.v eos 19x.
R pta.—[— -— + — --------- —--------- —— ] + o
Jeos x. sen 7 v. eos 1l.r dx
29)
3
4
3
17
19
J sen(2x + l).scn(3x + 2).sen(5x + 3)dx
„
1 r cos( 10.r + 6)
Rpta. - [
8
5
cos( 6x + 4)
cos( 4jc + 2),
1+ c
3
2
J cosí x + 3). cos(3 x + 5). cos( 5x + 7 )í/.y
l rsen(3x + 5)
4
3
sen(7x+9)
7
Rpta. —[--------------+ -------------- +
O
sen(9.v + 15)
+ sen(x + l)l + c
9
J sen 3 x. eos 3 x dx
Rpta. — eos 2.v — — eos 4x + — eos 6x + c
16
32
48
J eos2 x. sen 2 4xdx
„
x
R p ta .
J cosh x. cosh 3x dx
Rpta. —senh 4x + —senh 2x + c
J senh 4.v. senh x dx
Rpta. — cosh 5x + —cosh 3.r + c
J senh2 x. cosh 5.v dx
„
senh I x senh3.r senh5.r
Rpta. — — + — —---------- —— + c
28
12
10
4
8
10
sen8x sen 2x sen6x sen lile
—— + — ---------------------—— +c
32
48
80
4
6
102
1.6,5
Eduardo Espinoza Ramos
1NTECÍRACION POR PARTES.*
El método de integración por partes es de mucha utilidad en la práctica, cuyo
procedimiento es de la siguiente manera:
Consideremos u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciales en la variable x.
De la fórmula para la diferencial de un producto de dos funciones se tiene:
d(uv) = udv + vdu, lo que es equivalente
udv = d(uv) —vdu. integrando ambos miembros se tiene:
C
üc
La ecuación (*) se denomina “Fórmula para la integración por partes”.
Ejemplo de aplicación de este método
Calcular las siguientes integrales.
©
Jjr 1nvdx
Solución
Comentario:
Cuando se tiene un producto de una función logarítmica inclusive
afectada de un exponento por una expresión en x, en todos estos casos,
se loma asi:
Haciendo:
u = 1n x
du =
dx
-(I)
civ = x 2dx
Ahora (1) reemplazamos en la fórmula de integración por partes:
.v dx
x~ lnjcí/r = — ln.r
*J T 7
3
simplificando
Integral Indefinida
103
a1
I f i
a ’ InA
x'dx =
3‘
a3
+c
9
= — InA—
3
©
3J
J 1n(A + -J\ + x )dx
Solución
De acuerdo al comcniario del ejemplo anterior se tiene.
Í
Haciendo:
dx
da ■
m = ln ( A + -\/l + a 2 )
dv - dx
r =
a
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:
í ln ( A + -\/l
©
+ A 2 )dx
=
Aln(A + -\/l + a 2
)-
f—
VI + a 2
=
1
a n(A+^j\+x2 ) —J\ + a 2 + c
jAsen3Aí/.r
Solución
Comentario:
Haciendo:
Todas las funciones trigonométricas multiplicados por una expresión
en x se integran por partes donde las funciones u y dv se toman asi:
du = dx
eos 3a
v = ----------
u =x
dv = sen 3a dx
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:
r
J
, ,
a eos 3a
vscn3rrA = — ;
J(
3
a
2 + 2a + 3) eos 2a
r
J
eos 3 a ,
a eos 3a
sen 3a
------ dx = ----------------+
+c
3
dx
Solución
3
9
Eduardo Espinoza Ramos
104
De acuerdo al comentario del ejemplo (3) se tiene.
.
Haciendo:
du = 2(x + l)rfx
scn2v
lu = x 2 + 2x+3
i
\dv = cos2xdx
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:
J (.v2 + 2x + 3)cos2x = 1 + ~V+ ^ sen 2 a - J*(.r +1)sen 2 a dx
nuevamente a la integral J (v +1) sen 2a d x , lo calculamos por partes.
Haciendo:
\u = x +1
\
[dv = sen 2a dx
du = dx
eos 2a
=>
y aplicando la fórmula de integración por partes.
Í ír + l)sen 2A í/v-
\ + 1
2
r
cos2x-
COS-i
J
-dx
2
^-cos2x +
2
___ _
~+t
.(2)
4
ahora reemplazando (2) en (1) se tiene
•
t „
,
x '+ 2 x + 3
_
x+1
sen2x
(a - + 2x + 3 ) cos2 x í /x = -------------- sen 2 1 + ----- cos2v-----------+ o
2
2
4
2a 2 + 4 a + 6
_
A+ l
----------------sen 2a-+ ------ eos 2a + c
4
2
xe2'dx
Solución
Comentario:
Las funciones exponenciales multiplicadas por una expresión en x se
integran por parles y las funciones u y dv se toma asi.
105
Integral Indefinida
du = dx
Haciendo:
e 2.v
v —-----
dv = e2x dx
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
2v
xe
\xe2'dx =—
2
©
Jf e
2.vdx
*
2
xe 2jt e 2-t
e 2v
lv
= -------------- + c = ------(2.v-l) + f
2
4
4
J (jc2 +3.v-l)í?2'rfr
Solución
De acuerdo al comentario del ejemplo (5) se tiene:
Haciendo:
du = (2x +3)dx
Iir - x ~ + 3 v -l
e
\dv = e lxdx
2a
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
f .l 11 2r j
X ~ + 3x —
1 ijr f 2x +3 t r
J ( , v + 3 j r - l )e~ dx =------------- e~ - J —-— e ' dx
a ‘ + 3 jc -1
2
e
->x
I f ,,
—
2 J
„
,
(2jc + 3 )e dx
Nuevamente a la integral J (2x+3)e2' d x , lo integramos por partes:
Haciendo:
J"
= 2*+ 3
| dv = e 2rdx
du = 2dx
e 2x
v = ----
Ahora aplicamos la formula de integración por partes.
..(1 )
106
Eduardo Espinoza Ramos
Ahora reemplazamos (2) en (1).
j*
(jc2
©
x 2 + 3 a-1 ix
+ 3 x - \ ) e 2rdx = :
e~
Jt + 1 i
x ~ + 2 x - 2 7r
e~ + c = -------------- e~ +c
Jx arctgx dx
Solución
Comentario:
Todas las funciones trigonométricas inversas multiplicados por una
expresión en x, se integran por partes donde las funciones u y dv se
toman así.
du
ju = arctgA
\d v -x d x
Haciendo:
dx
1+ a 2
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
x arctgA dx =
x arctgA
2
x arctgA
2
a
1 f x 'd x _ x arctgA
I J
a 2 +1
1
r —arctgA+ c
2 2
"
a
=
x~ +1
arctgA
2
" 2
aresen a dx
Solución
De acuerdo al comentario del ejemplo (7) se tiene.
Haciendo:
,u = aresen a
dv = x dx
1
au = —
-)dx
+1
2 J
2
dx
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
a
i-r
107
Integral Indefinida
J xrc sen x dx = x~ arcsen
J
nuevamente la integral
jc
*
l1 r x~dx
^
. Calculamos por panes
u =x
Haciendo:
\du = dx
xdx
dv =
[ V = —\/1 —JC2
Luego aplicamos la fórmula de integración por partes:
j J
^
= - x x l l - x 1 —J*—y/l—jc2rfjc = - x ^ j l - x 2 + J i j l - x 2 dx
■- x x j l - x 1 +—- J l - x 2 +—arcsen x + c = —(arcsen x - x-J] - x 2) + c ... (2)
2
2
2
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
r
, x 2 arcsen.v 1 ,
r
7
J x arcsenx d x = ------------------- (arcsenx-xV l-*~ +c
2a : 2 — 1
x f
i
= --------- arcsen jc + —-y1 - x - + c
e ax sen bxdx
Solución
Comentario:
Las funciones exponenciales multiplicadas por la función seno o
coseno se integran por partes y las funciones u y dv se eligen de
cualquier forma, así: tenemos para nuestro caso:
108
Eduardo Espinoza Ramos
Haciendo:
u = sen bx
dv = eux dx
du = h eos bx dx
e ax
v=a
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes
f
le
J
, , e"x senbx b r a<
sen bx dx = --------------------- l e eos bx dx
a
aJ
nuevamente a la integral
Haciendo:
m=
J e m eos bx d x ,
..(1 )
lo calculamos por partes.
du = - b sen bx dx
eos bx
dv = eaxdx
Luego aplicamos la fórmula de integración por partes.
J e " ' sen bx dx -
e"’ cosbx
r b
e
J a
sen bx dx
eux eos bx b r uv
------------- i — l e sen bx dx
aJ
ahora reemplazamos (2) en (1) es decir:
(2)
109
Integrai Indefinida
Ejemplos diversos de integración por partes.
‘ jcarctgjc
v n í
dx
Solución
De acuerdo a los comentarios de los ejemplos anteriores.
u = arctgjc
xdx
dv =
•Jl + x"
Haciendo:
du — ^
l + xV= "v/l + JC'
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
r xarctgx dx = ^
&TCtj, x _ f
= Vl + Jc2 arctgjc-
©
r
1+ JC
}
J VI + jc2
f
X =t]i + x
Vl+jc2
arctgjc-ln|jc + -\/l + jc2 | +c
2
jr d x
(jccosjc-sen jc)2
Solución
A la integra] dada escribiremos asi:
r
x 2dx
r
(jccosjc-senjc)2
Haciendo:
jc'' sen
senxdx
jc
x dx
_r
jc
xjcsen x dx
sen jc(jc eos x - sen jc)2 ' senje (jccosjc-senjc)2
u =senje
x sen jc dx
dv = (x eos jc-sen jc)-
senjc-jccosjc .
du = --------dx
sen- jc
I
jccosjc-senjc
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.
Eduardo Espinoza Ramos
110
x 2dx
íJ (ACOSA
--- -sen a ) 2
sen x( x cosa - sen a)
©
j* (sen x —x oeos a )
-dx
J sen2 x(x eos x -sen a)
x
sen ac(a
(. eos x - sen x)
j"cosec2xdx
=
sen a ( a eos a - sen a )
C tg A + C
j*a + sen a ^
J 1+ COSA
Solución
Se conoce:
2 cos2(—) = 1+ c o s a ,
2
sen.v = 2sen(—).co s—
2
2
Entonces a la integral dada escribiremos asi:
Í
A + senA,
1 + co sa
f
X
X
a + 2 sen(—) cos(—)
dx = I -------------------------- dx
J
0
i.x.
2 eos ( - )
. „
l f
2,*,.
f.
- I a sec (-)dx + I tg(—)dx
2
J
2
J
2
Ahora calculamos la integral J a sec2(—)d x , por partes.
Haciendo:
u =A
du = dx
dv = sec2(~j¡)dx
v = 2 tg ( |)
Luego aplicando la fórmula de integración por partes.
J a sec 2 (^)dx = 2 a tg(y) - 2J tg(j)d x
Ahora reemplazando (2) en (1)
Í
+ senA , 1 r
,x - f ,a . _ f , a . ,
dx = - [ x tg (-) - 2 tg(-)dA] + I lg(-)dx + c
1+ COSA
2
2
j 2
J 2
A
= J tg(^) - j tg (|)¿ v + J ig(^)dx+ c = j- tg(-|) + c
... (2 )
111
Integral Indefinida
' eos jc +
jc
sen jc - 1
dx
(s e n x -x )2
Solución
Como sen - c + eos-
jc
= 1, entonces a la integral dada escribiremos asi:
r eos x + x sen v -1 .
r eos jc +
J
j
(se n e -v )"
— dx =
jc
sen x —sen2 x - eos2 x ,
dx
(sen v -x )
eos x(cos x - 1) - sen x(scn x - c)
-J-
dx
(se n x -x )2
r eos x(cos x - 1)
r sen x dx
J (senx - x )
J (sen .y -x )2
(1)
, ,
■
, r cosx(cosx-l) ,
Ahora calculamos la integral ----------------—d x , por partes
(s e n x -x )'
du = -sen xdx
1
v = —---- —■—
sen a —x
u = co sa­
Haciendo:
c o s x -1
dv =------------- dx
(senjc-jc)"
Luego aplicando la fórmula de integración por partes.
Í
c o sx (c o sjc -I)
cosa-
(se n a - x ) 2
sen a - a
r
senx
^
-..(2)
J ser a - a
Ahora reemplazando (2) en (1)
r
J
c o sa
+
a
sen a
- 1 ,
c o sa
f
senx
J
sen x -x
--------------- — d x = ----------- +
(seiiA -x )-
sen
a
-
a
,
dx —
J sec2 a dx
Solución
r
J
sen y
sen a -
a
eos A
dx + c = ----------- + c
dx
sen a - a
Eduardo Espino?,,a Ramos
112
A la integral dada escribiremos asi:
J*
J sec3 v dx = Jse c 2 x.scc x dx = (1 + tg2 v) sec x dx
= J secxrfx +j"tg2 x.scc xdx = ln |secx + t g x | +j"tg2 x.sec xdx
ahora calculamos la integral J tg2 x.sec x d x . por parte.,.
J m = tgx
Haciendo:
du = scc- x d i
|dv = tgx.sec xdx
Iv = sec i
Luego aplicamos la fórmula de integración por partes.
J tg2 x. sec x dx = see x. tg x - 3J scc3 x dx
- ( 2)
Luego reemplazamos (2) en (1) se tiene:
J scc3 x dx = 1n | sec x + tg x + sec x tg x -
J sec3 x dx
J s e c 3 x dx = (ln|secx + tgx | + secx tgx) +c
r
re3* * '
dx
' (1+x2)3 2
Solución
De acuerdo a los comentarios de los ejemplos anteriores.
u=
Haciendo:
x/i+ x2
e jrcte x
di
-dx
l+x2
du V- c
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:
dx
113
Integral Indefinida
arctg x
f xe&KX%X d x -™™** f g“"*~
■* ( 1 + x 2 ) 3/2
J (1 +
Í
a
-dx
(1)
2 ) 3'
^aictg*
_
dx, por partes
(i+ jt2) 3/2
1
II =
xdx
í/w = —
Haciendo:
(1 +
arctg a
r/v =
a
.2x3.2
z )
v = £,«tfg*
¿A
1+ A
arctg jr
arctg x
í£t =
-
f „ •« * *
(1 + x ) 3 , 2 + J ( 1 + a
(1 + a ' 2 ) 3/2
dx
-
... (2)
2 ) 3' 2
luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
0 arctg jt
Í (1xe+
”
dx =
(1 + A 2 ) 3 ' 2
A 2 ) 3' 2
arctg x
xem* x
r
A-g alcte r
-dx
J (1 + A 2 ) 3 '
(1 + A 2 ) 1' 2
arctg jt
f ”
J (1 + A 2 ) 3 / 2
' aresen-Ja
\l/2
(a -1 )
^
2(1 +
a
+c
2 ) 1/2
dx
(1-A)1
Solución
Sea z = 4 x
=>
a
= z 2 =>
dx = 2zdz
r aresen-Jx . 0j r :z aresen;
aresen z
dz
dx =
xl/2
“J ( 1 - z 2) 1' 2
J (1 -x )1
.(1)
Ahora aplicamos el criterio de integración por partes.
Haciendo:
u = aresen z
:dz
dv =
d - * 2)1/2
du = —
( l - z 2) 1' 2
v = - ( l - z 2) 1/2
114
Eduardo Espinoza Ramos
Luego aplicamos la fórmula de integración por partes
e z arcsen r
r
7~7 7 7 d: —“ v i —í
7
J ( 1 - z 2)1' 2
r
f
7
dz
arcsenz- I —VI —~ --------7 -7 7 7
3
(1 -- )
= - ( l - z 2)' 2 arcsenz + z
--(2)
ahora reemplazamos (2) en (1), es decir:
f arCSCnf
rfx = 2(—s/l —r 2 arcsen: + z) + c - -2-J\ - x arcsen-Jx + 2-Jx +c
3 (1 -x )1 2
^ 7)
J sen(lnjr)dx
Solución
Sea z = ln*
=> x = ez
=>
dx = ezdz
Jsen(lnjr)rfr = j e z sen zdz
. .. ( 1)
Aplicando el criterio de integración por partes.
Haciendo:
u-senx
Idu = eos z dz
dv = e xdz
\v = e z
Mediante la fórmula de integración por partes se tiene:
J ez sen zdz = ez s e n z - J e 2 eos zdz
nuevamente calculamos la integral j e x eos z d z , por partes.
Haciendo:
\u = cosz
ídu =-sen zdz
1dv = e zdz
|v = e 2
aplicando la fórmula de integración por partes.
... (2)
115
Integral Indefinida
j e z eos zdz = e z cos^ + j e z sen z dz
... (3)
ahora reemplazamos (3) en (2)
j e z sen zdz = ez sen z - e z c o s z - J e z sen zdz
Jf ez sen zdz
=
&Z (sen z - e o s z)
-.(4 )
—
Luego reemplazando (4) en (1) se tiene:
J sen(ln x)dx =
(sen z - eos z)+c
J sen(lnjr)í¿c = ^ (sen(lnjc) - cos(lnx)) + c
18)
je^dx
Solución
Sea x = z 2 => dx = 2zd z, entonces: je^ *d x = 2 j z e zdz, integrando por partes.
\u = z
Haciendo:
<
[dv = e zdz
=>
[du = dz
1
[v - e *
Aplicando la fórmula de integración por partes:
j e ^ d x = 2(zez - j e zdz)+c=2(zez - e z)+c =2ez (z —l) + c = 2e^* (-Jx —l) + c
19)
f í lü í S i. *
¡ 1+x2
Solución
Sea z = arctg x
dz =
dx
1+ jt2 , ahora reemplazando en la integral,
x = tg z
Eduardo Espinoza Ramos
116
Í x arctg jc (¡x= ( , tg 2 z(f: ^ apiican(i0 ei criterio de integración por partes.
1+ x
3
jdu = dz
Haciendo:
[v = t g z - z
z dz
Ií/v = t g 2
Mediante la fórmula de integración por partes se tiene:
j x ^ arctg
_ J _ tg 2 z ¿l. _ z ^tg z _
_ J ^tg z _ :)dz
*>i i
i z
i
i
/
. , i arctg jc
= z tg z - z ~ - ln | sec z | + — + c = x arctg a*- ln | sec(arctgjc) | -------^— +c
J (1 —x )
Solución
.
dz =
Sea z = arcsen*
dx
(1 - x y
, ahora reemplazamos en la integral’dada:
x = sen z
Í
arcsen x
.
(1—* )
arcsen x
,
r
TTJTdx =
r
T-zrjydx^
zdz
r
->
T~ = rseC zdz
J 1-s e n
3 (1- * ) ( ! - * )
z
J
Ahora aplicamos el criterio de integración por partes.
Haciendo:
r
z
,
=>
dv = sec zdz
Iv = tg z
Luego aplicamos la fórmula por partes:
r arcsen* ,
r
— — ¿* = z t g z - tg zdz + c = z t g z - l n | s e c z | + c
3
( l -
*
2 ) 3 ' 2
3
x arcsen*
(1 -* 2)1/2
1, _
2„
- l n ( l - * _)+ c
2
117
Integral Indefinida
1.6.6 ' CASOS ESPECIALES DE INTEGRACION POR PARTES^
En esta parte consideremos el cálculo de las integrales, mediante ciertas técnicas,
llamadas el método de los coeficientes indeterminados y se considera las siguientes
integrales.
1ro. Las integrales de la forma:
Donde P„ ( a )
expresa así:
PJx)eaxdk
es un polinomio de grado n, para él cálculo de estas integrales se
...d)
'A * ?
donde Q„ (a) es un polinomio de grado n de coeficientes por calcular, es decir:
P„(x) = a„xn + a„_1x n~1 +...+fliA + a 0,
Q„(x) = bnx n +b„_lx n~1 +...+blx + b0
y se trata de calcular los coeficientes de Q„ ( x ) , los que se obtienen derivando la
ecuación (1) y después se aplica la identidad de polinomios.
Ejemplo:
Calcular la integral:
J (a 3 + 5 a 2 - 2)e 2xdx
Solución
De acuerdo al criterio establecido, a la integral dada escribiremos en la forma:
J ( a 3 + 5 a 2 - 2 ) e lxdx = (Ax3 +Bx2 +Cx+D)e2x +c
... (1)
Para calcular A,B,C y D derivamos la ecuación (1)
( a 3 + 5 a 2 - 2 ) e lx = 2(Ax3 +Bx2 +Cx + D)e2x +(3Ax2 +2Bx+C)e2x
( a 3 + 5 a 2 —2)e2x = (2Ax3 +(2B + 3A)x' +(2C+2B)x + (2D + C)e
a 3 + 5a2 - 2 = 2 Ax3 + (3 A + 2B)x2 + (2 B + 2C)x + C + 2D
2-v
118
Eduardo Espinoza Ramos
Ahora por identidad de polinomios se tiene:
A =—
2
2/4 = 1
B = 74,
c = -I
4
3/4 + 25 = 5
25 + 2C = 0
C + 2D = -2
-(2 )
D=- I
8
Luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
J ( jc 3
+ 5x 2 - 2 ) e 2jrí¿c = -^(4x 3 + 14x2 - \A x + \)elx +c
Observación:
En general se puede probar que:
nx)
í
a
n m
a2
n ’M
Comprobemos con el ejemplo anterior.
r
J
(x
3
■, „ 2x ,
e 2x _ 3
i
3a2 + 10*
6 .x + 1 0
6n
+ Sx~ - 2 )e dx =
[x + 5x - 2 ---------------- + ----------------- ] + c
2
2
4
8
¿X
= - — [4x3 + 14x2 - 1 4 x - íl + c
8
2do. Para las integrales de la forma:
j
tac. : ' E\x)cas{axi(h
Donde P(x) es un polinomio.
Él calculo de estas integrales se obtienen mediante las expresiones siguientes:
Integral Indefinida
119
- cos(ox)
J P(x) sen (ax)dx = ——
P ( \ )
Z—
+
. P(4)W
J—
+
sen(ax) F(x )
L
a
a
F"( x) Pv(x)
i +
<
cos(ax) F (x )
1
P"'(x) Pv(x)
i +
s
JP(x) cos(ax)dx = sen(ax)
Ej emplo:
Calcular la integral J (2x4 + 2x -1) eos 2x dx
Solución
De acuerdo al criterio se tiene:
P(x) = 2 x
4 + 2
x
- 1
=> P'(x) = 8x3 +2
P”(x)=24x
P"'(x)=48x
P'v(x) = 48
J (2x4 + 2 x- l )co s2 xd x =
sen 2x
F ' ( a ) P‘v(x) eos 2x F (x) P '''(x )
[P(jc)----- — + ----- — 1+--------- [— — ------— ]+c
2
4
16
2
2
8
sen2x r. 4 .
24jc
48.. eos2xr8* +2 48x,
[2x + 2 x - l ----------+ — 1+ -------- [----------------- 1+c
2
4
16
2
2
8
= (2x4 - 6x2 +2x + 2 ) ^ ^ + ( 2 ; t 3 - 3 a + - ) c o s 2 x + c
" ’J
Eduardo Espinoza Ramos
120
OBSERVACION.-
Los casos especiales de integración por partes analizados
y que son de la forma
JP(x) = eaxd x , J P(x)senaxdx,
J P(x) eos axdx, donde P(x) es una función polinomica que se puede derivar varias
hasta anularse y eax, sen ax, eos ax, puede integrarse varias veces sin dificultades, en
estos casos, existe una forma de organizar los cálculos que simplificar el trabajo, este
criterio ilustraremos mediante los siguientes ejemplo:
Ejemplo.-
Calcular la integral
Jx 5e*dx
Solución
j x 5exd x - ^ f { x ) . g { x ) d x donde f ( x ) - x 5 y g(x) = ex
Ejemplo.-
Calcular la integral
J(x3 + x + 5)e2xdx
Solución
121
Integral Indefinida
j V + x + 5)e2xdx = J f(x).g(x) dx
donde /( x ) = x3 + x + 5 , g(x) = e2x
Calcular la integral j x2 cosx dx
Ejemplo.-
Solución
Jx 2 eos x
dx = j f (x).g(x) dx donde /( x ) = x2 y g(x) = eos x
/( x ) = x2
g(x) = eos x
2x
2
0
'
^
+
~
^
SCn X
‘'► -co sx
' ........... - sen x
J x 2 cosx dx = x 2 senx - (2x)(-cosx) + 2(-senx) + c
= x 2 senx + 2xcosx - 2senx + c
122
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.-
Calcula laintegral
J (x3-
x + 7) sen 2x dx
Solución
JfW -g (x)
dx = J(x3- x + 7)sen 2x d x , donde f ( x ) = x3- x + 7 y
g(x) = sen 2x
g(x) = sen 2x
f(x )= x i - x +7
__.
cos2x
' » ■ ---------2
3x - 1
sen 2x
6x
4
c o s 2jc
8
sen2x
16
r, 3
, 3
„ cos2x
|(x - x + 7)senx dx = - (x - x + 1) —
2
sen2x
(3x -1 )(----- -— ) +
, ,co s2 r
+ 6x(------- )
8
6 sen2x
, 3
cos2jc
2 ,, sen 2x
3x eos 2x
= - i x - x + 7 ) -------- + (3x - 1 ) -------- +
WM
16
3 sen 2x
EJERCICIOS PROPUESTOS.
Calcular las siguientes integrales:
©
©
J x"lnxí£c, n * - l
Rpta. ——- ( l n x ---- ~ ’) + c
Tí + 1
1
J x
n+ 1
3
7
Rpta. — (ln x + 31n x + 61nx + 6) + c
x
+c
+c
123
Integral Indefinida
ln x
®
-5,3
8
9
—— l n2 x+31nx + 2)+ c
28x
4
R p ta .
dx
©
ln(cosx)
©
(x2 -2 x + 3 )ln jcdx
Rpta. (
©
x3 ln2 xd x
Rpta. — ln2 x - — ln x + — +c
4
8
32
©
ln xdx
Rpta. x(ln x -2 1 n x + 2) + c
eos - x
dx
Rpta. tgxln(cosx) + t g x - x + c
r 3
3
x 2 + 3 x )ln x
4
x ln x
©
©
2 vi/ 2
xln(— )dx
1+ x
+
r 2
2
3x + c
4
Rpta. s j l - x 2 ( l- ln x ) + ln(1‘~~^1 — )+ c
„
Rpta.
R p ta .
dx
In(lnx)
ln(2+s[x)
. 1 -x .
ln | ------ 1- x + c
1+x
X -1 .
2
l + 21nx
;— + c
4x
Rpta. lnx(ln(lnx)-l) + c
dx
ln(-v/x + sil +x )dx
©
4
9
Q - x ¿)
lnx
©
dx
r 3
dx
( 7 + x - 3 x 2)e~xdx
Rpta. (x + ^) ln (4x + -yjx + l ) - ^ s j x 2 +x + c
Rpta.
——l n |sjx +2 \
Rpta. (3x2 + 5 x - 2 ) e x + c
+^/x +c
Eduardo Espinoza Ramos
124
xe
-dx
R p ta .
(1+*V
_1¡X
-dx
©
X€
+ex +c
\ +x
Rpta. ——- e 1/Jr +c
(2 x-3)(x¿ - 3 j c - 1 ) 4 ln(x2 - 3 x - 1 ) í£ c
3x 1} (ln(jc2 - 3 jc- 1 ) ~ —)+ c
Rpta.
@
x 2e Xdx
Rpta. —e x (x~ +2x + 2) +c
x 3e~x,3dx
Rpta. —3c
(x - 2 x + 5)e Xdx
Rpta. - ( jc " + 5 )e x + c
(x 3 -3 x)e6xdx
Rpta. — (36 jc3 - 1 8 x 2 - 1 0 2 jc + 1 7 ) + c
a/3 ( jc3
+9x2 + 54jc + 1 6 2 )+ c
216
3x + 2 x - l
4e
-3*
R p ta .
dx
12
j
(3jc2 + 4 jc + —) + c
3
(8 jc3 + 6 x 2 +2x + 5)e*xdx
Rpta. e4x(2x3 + —+ —) + c
aretg 4 x dx
Rpta. x arctg4 x —*Jx + arctg'Jx +c
x arctg
jc dx
arctg x
7v
JC (1 +JC” )
dx
2
8
Rpta. —((jc2 +1) arctg2 x - 2 x arctgjc + l n |x 2 +1 |)+ c
.i
x
.1
Rpta. ln | — — | — arctg jc
(1+x )
x
-
©
3x
arctg"
+c
2
jc
125
Integral Indefinida
arctg x
n
.
x
, arctgx
Rpta. ln | r
~|
t — +c
X2
4l +x 2
dx
1
(x + 1)2
„
2xe*
x
R p ta .
e +c
x+1
~ln(
)dx
■Jl-x2
x *
Rpta. 4 i - x 2 ln| —— |+2arcsenx + (
x+1
arctgí-v/x+1)dx
Rpta. (x + 2) arctg-v/x+1 - 4 x + l +c
xarctg4 x 2 -1 dx
Rpta. -^-arctg-Jx2 -1 ~ - ^ 4 x 2 -1 +c
arctg4 4 x - l d x
Rpta. (w +1) a rc tg w -y ÍH ' + 3) + c
x 2 +1
©
r¿
r J
ln 11+9x 2 | +c
Rpta. — arctg3x------ +
3
18 160
x arctg 3xdx
e xdx
7
7
W
i
donde w = 4 4 x - l
x arctg x
„
arctgx
arctgx
x
Rpta. — -----------~ ~ +---------— + c
4
2(1 +x ) 4(1+ x 2)
dx
(1 + x 2) 2
©
x - x arctg x
(1 + x 2) 2
arctg-s/x
dx
dx
Rpta. x + 2(1+ x )
— arc.tgx+c
4(1+ x )
Rpta. 2-s/xarctg-\/x+ln|l + x |+ c
44
©
xsec2 xd x
Rpta. x tg x + ln |c o s x |+ c
x tg 2 xd x
Rpta. x t g x — — + ln |e o s x | +c
Eduardo Espinoza Ramos
126
sen ijx dx
Rpta. 3((2-V x2~)cosV x+2A/xsenV x)+c
xsen x co sx íit
Rpta. S C n cos 2x+c
8
4
x 3 sen x dx
Rpta. - x 3 senx+ 3x2 senx + 6 x c o sx -6 se n x + c
( x 2 + 5 x + 6 ) cos 2 x í £c
Rpta.
xsec2 3xdx
Rpta. y t g 3 x - —ln |sec3x|+ e
x eos ec2 (-)dx
2
Rpta. - 2xc tg(-^) + 4 ln | sen(^) | +c
x sen x dx
Rpta. - x
©
9xtg2 3xdx
9x
Rpta. 3xtg3x— — + ln|cos 3x|+c
©
-dx
sen- x
Rpta. -x c tg x + ln | sen x | +c
sen -J2x dx
Rpta. --\/2xcos-\/2x + senV2x + c
xcosx
sen2 x
dx
2x + 10x+ ll
_ 2x + 5
_
sen2x + -------- cos2x+c
4
4
X
R p ta .
1
cosx + 2xsenx + 2 co sx + c
— + l n |t g A |+ c
senx
2
x eos 3x dx
_ 4 x
,
cos2x
Rpta. —sen3x+-------- +c
3
9
xsen2 xdx
„ ^ x 2 xsen2x cos2x
R p ta .---------------------------- +c
4
4
8
Integral Indefinida
©
127
„
3*(senx + ln3.cosx)
Rpta. — ------------- +c
l + (ln3)
3* eos xdx
_ ^ se cx tg x ,_
2
•>. 3 . .
Rpta. ------- — (2sec x + 3 )+ —ln |secx + tg x |+ c
8
8
sec5 xdx
arcsenx
Rpta. 2-Jx +1 arcsenx + 4-Jl- x + c
dx
-Jx + \
©
(arcsen x) 2 dx
Rpta. x(arcsenx)2 + 2 arcsenx .- J l - x 2 - 2 x + t
árceos xdx
Rpta. xárceosx —\/l—jc2 +<
arcsenx
_ ^
arcsen x . .
x
R p ta .-------------+In|-----------TT7t \ +c
x
l + ( l - x 2) 1/2
dx
xarcsen(x2 )dx
X
1 /
Rpta. — arcsen(x2) + —V i - * 4 +c
6x2 arcsen2xdx
Rpta. 2x3 arcsen 2x +
arcsen 2xdx
_ V l- 4 x 2
Rpta. x arcsen 2 x + ------------+c
x arcsenx
_ 4
V l- 4 x 2
( l - 4 x 2) 3' 2
12
O - * 2) 3' 2
arcsenx
1. . 1 -x
R P t a - 7,
f
l
7
T
+7
(1 -x 2)1 2 2 ln h1+ x l + c
(árceos x-Inx)í£t
Rpta. x a rc c o s x -V l-x 2 - x ( l n x - l ) + c
4x3 arcsen(—)dx
Rpta. x 4 arcsen(—) + * + -\¡x2 -1 + 1
x
3
arcsen
dx
dx
Rpta. 2-s/x arcsen 4 x + 2-Jl-x + c
+c
128
Eduardo Espinoza Ramos
J x 2 arcsen xdx
£§)
J x e o s 3 xdx
67J
í
e
eos 3xdx
' sen2 jc
X
1
1
Rpta. — arcsenx— (1—jc2 )3/2 + _ ( i _ x 2)I/2 +c
3
9
3
„ .
x
i
2
eos3 x
Rpta. x se n x — sen x + —cosx +
+r
3
3
9
Rpta. ----- (3 sen 3x-cos 3x)+ r
10
„
e x ,co s2 x -se n 2 x v
Rpta. ----- (
)+c
dx
2
5
¡ e~ sen x sen 3x dx
„
e x ,2sen2x + cos2x 4 sen 4x + eos 4x
Rpta. — (-------------------------------------------- )+ c
4
5
17
@
J e “ cosftxrfx
_
„r (bsenbx+acosbx)
+c
Rpta. e --------- a~ +b~
(71)
j e 2x cos(ex )dx
Rpta. e sene +cose +c
(7 2 )
J sec 2(ln x)dx
&
73)
1
Rpta. - —e
J j c V ' 2dx
J x an secx
Rpta. x sen2(ln x) -
dx
(x sen(21n x) - 2x cos(2 ln x)) +c
(x + l)+ c
r»
* —
x 2 are sec x -----------Vx2 -1 +c
Rpta.
2
2
J (ore sec x)~dx
„ .
2
2
2 1
x -1 .
Rpta. x oer sec x — ------------—ln | ----- 1+c
x -x
J
Rpta. — arctgx
j c2
arctg.v dx
J-s/x ln x dx
X2
X2
2
6
1
+ —ln(l + x 2)+ c
6
Rpta. —x3 2 l n x - —x 3/2+c
3
9
129
Integral Indefinida
(78)
J sen x. ln(l + sen x)dx
(79)
Si / " ( x ) = - a f(x) y g"(x) = ¿>g(x), donde a y b son constantes encontrar la
integral
ff (x) .g ''( x)d x.
J
í cos(lnx)rfx
Rpta. - eos x.lnO + sen x) + x + eos x + c
í—
Rpta. — [f(x).g'(x)-f'(x).g(x)]+c
a +b
X
Rpta. —[sen(lnx) + cos(lnx)]+c
■j 2
f (3x +1) arctg 2x dx
Rpta.
v
1
^
1
+ x + —) arctg2x— x — ln(4x2
2
8
4
8
[ (x2 +x+l)senxrfx
Rpta. (2x + l)s e n x -( x 2 + x - l) c o s x + c
©
f(3x2 +7x + l )exdx
Rpta. xe*(3x + l) + c
©
f (x 2 - S x + \)e~xdx
Rpta. - e “r (x2 - 3 x - 2 ) + c
r x 2 + 3x+ 4 ,
--------------dx
J
ex
Rpta. - e ~ x (x2 +5x+9) + c
©
f (x 2 + 2x + 5)(2 sen x +3 eos x)dx
©
Rpta. e* (x 2 + 3x - 4) + c
©
(§ )
f (x 2 +5x + 1)exdx
Rpta. (3x2 + 10x + 1 3 )sen x -(x 2 - 2 * - 2 ) eos x + c
®
J x 2 ln(x6 -1)í£c
Rpta. l [ ( x 3 - l ) l n |x 3 - l | - ( x 3 - l) ]
+Y[(*3+1) l n |* 3 + l |- ( x 3 + l)]+ c
130
© )
Eduardo Espinoza Ramos
J lr r ( jr + -\/l + * 2 )dx
Rpta. x ln2( j c + xj\+x2 ) - 2 - J l - x 2 ln(x + xj\+x2 ) + 2 x +c
J (2 x 4 +2jr-l)sen2jrí¿c
Rpta.
©
(2
jc3
- 3x+
sen 2x - (x 4 - 3 x 2 + j c + 1 ) c o s 2 x
j x 3e2xdx
©
J lnfjc2 + 2)dx
©
+
c
x 2(x2 + 1) 2 lnx dx
( jc 2
+ I x - 5) eos 2x dx
© J
f
©
1
| (ln(x)xf d x
©
®
©
(D
©
1.6.8
j e 2x sen x eos x dx
é~x cos3x dx
rsen x ,
| --------dx
J ex
©
x 1 are sen* dx
Jeix sen 4x dx
©
x 2ex sen* dx
©1
©J
(arcsenx) í£c
dx
(x2 - l ) 2
INTEGRACION POR S ü S l JTUGlON TRIGONQMETRICA.Sea u =f(x) una función de x. En muchos casos es posible calcular una integral
efectuando una sustitución trigonométrica, y estas integrales son de la forma:
j R ( u d u 2 +a2 )du , | Riu^u* - r . * fdu , j R \ u , d u
Donde R es una función racional.
Ahora daremos un criterio para calcular estas integrales, para esto consideremos los
siguientes casos:
131
Integral Indefinida
ler. Caso. Para la integral de la forma:
,V«2 + a' idu V a > 0
Construimos un triángulo rectángulo.
Se toma la función:
U
_ u
lg6= a
u = alg6
6 = arctgf—)
a
du = a sec2 6 d6
Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga.
2do. Caso: Para la integral de la forma:
Construimos un triángulo rectángulo.
Se toma la función:
u
sen 6a = —
a
u = a sen 6
6 = aresenf—)
a
du - a eos 6 d6
Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga.
3er. Caso: Para la integral de la forma.
,Vm' - c 2 jdu, a> fl
Construimos un triángulo rectángulo.
Se toma la función.
u
sec 6a = —
a
u = a sec 6
6 = are sec(—)
a
du = a sec 6 t g 6 d 6
Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga.
Eduardo Espinoza Ramos
132
Observación:
Se trata de
la sustitución trigonométrica del tercer
caso
J R( u, 4 u 2 - a 2 )du , se procede del siguiente modo:
a)
Se calcula la integral para u > a.
b) Se calcula la integral para u < -a, luego se hace la sustitución v = -u,de donde él
calculo de la integral se reduce a la parte (a).
c)
Por lo tanto la integral resultante se componede dos integrales, una para el
intervalo u > a y la otra para el intervalo u < a (ejem. 3).
Sin embargo estas integrales pueden resultar iguales y dar una sola expresión para la
integral dada (ejem. 4).
Ejemplo de aplicación de éste criterio.-
Calcular las siguientes integrales:
Solución
Aplicando la sustitución del 1er. caso:
Se toma la función:
X
3
Además sec 0 =
tg 0 = —
3
x = 3tg0
3
=>
0 = arctg(^)
í£c = 3sec2 0 d6
=>
( jc 2
+ 9)1' 2 = 3sec0
= 9 j(se c 2 0-\) ssc O d0 = 9 j(se c 3 0 -se c0 )d 0
= 9[^- (tg 6. sec 6 + ln | tg 6 + sec 0 1) - ln | tg 6 + sec 0 1]+ c
Integral Indefinida
133
= —(tg 6. sen 6 - ln | tg 6 + sec 6 1) + c
= £ [£ _
X
X
9
x2
-[
2 3 ^ 9 ^
ln|
+9
-J x
- l n | —+
3
x ¿ +9
3
x + ^ 9 +x 2
|]+c
l]+c
3
dx
©
í-
V l6+ 9*2
Solución
A la integral dada escribiremos así: f
.
= f ----- = ¿ L =
J x 2Vl6 + 9x2 J x 2^ 4 2 +.(3x ) 2
Aplicando la sustitución del 1er. caso se tiene:
tomando la función:
3x
tg0 =
3x
.
,3x,
6 = arctg(— )
4
4
dx = —sec~ 6 d6
3
4tg e
x = — E—
3
sec 6 =
-\Zl6 + 9x2
V l6+ 9x2 =4sec0
Ahora hacemos las sustituciones
f
dx
* x 2-\jl6+ 9x2
4
2
3 SCC ^ ^
_ f
J l Í tg 2 e. 4sece
9
_ 3 f sec 0 d6
16
6
= — f C0S^ d0 = — \clg6.cosec8d6
16 J sen 0
16 J
134
Eduardo Espinoza Ramos
3
.
3 Vl6 + 9jc2
coser© + c = --------------------+ c = 16
16
3x
=
+ 9 jc¿
+c
16jc
dx
4 x ^ ‘
Solución
De acuerdo al tercer caso se considera dos partes.
Ira. Parte.- Si x > 2, se tiene la sustitución.
sec © = —
2
jc = 2 sec ©
© = errcsec(—)
dx = 2 sec ©. tg ©d6
, 0» = ---- ----tg
tJ x
2 —4 = 2 tg©
Ahora haciendo la sustitución en la integral
2 sec ©. tg ©
í -x 2~Jx2
r ¡ § -=4 r 4^S sec3©.2tg©
eos ©
</© =
^
= — í (1 + e o s 2 © )r f© = — ( © + —
16 J
16
1 ,
,jc.
2^x2-4
2
x2
= — (erre sec(—) + -----16
rf©
8
)+c
2
— ) + c = — (© + s e n ©. e o s © ) +1
16
si x > 2
2da. Parte.- Si x < -2, se tiene la sustitución x < -2
=> -x > 2, ahora hacemos el
cambio de variable y = -x aquí se cumple y > 2. f
[•
dx
x 2-\/x2 - 4
f
-dy
^ - y 3- J y 2 - 4
f
dy
^ y 3^ v 2 - 4
1
y
2-v/y" —4
= — (arcsec(—) + — —^-----) + c
16
2
y
7
de la (Ira. parte)
Integral Indefinida
135
1 .
, - x . 2^Jx2 - 4
= — (aresec(— ) +
)+c,
16
2
jc2
©
Demostrar la formula
.
si x < -2
= ln | x + 4 x 2 - a 2 | +c
.
tjx1 -
a2
Solución
De acuerdo al tercer caso se considera dos partes.
Ira. Parte.- Si x > a => se hace la sustitución.
x
sec 6 = —
x = a sec 6
tg 6 =
6 = are sec(-)
a
dx = asec6Ag6d6
-Jx^a1
4 x 2 - a 1 = a tg 6
Ahora sustituimos en la integral dada.
^[x2~-a
tg e
de =
sec e de
ii
/i + tgfll+C!
. /i i
* + -------------|+c,
vJf2 - a 2 .
^ lnlsecfl
= iln i| —
a
a
= ln \ x + - J x 2 - a 2 |+Cj - l n a = l n | x + -J x 2 - a 2 |+ c ,
s ix > a
2da. Parte.- Si x < -a => -x > a, luego hacemos la sustitución y = -x aquí se
cumple y > a.
dy
f
dx
-1 r . ~ dy
-if
U x 2 - a 2 J ly2 - a 2 J1 T¡ty2 —a 2
= —ln | y+^Jy2 - a 2 |+c,
de la (Ira. parte)
Eduardo Espinoza Ramos
136
= - l n |- j r + -'/*2 - a 1 |+ c 2 = l n |-
,
-x + (x 2 - a 2 )
I +Cl
= ln\x+-Jx2 - a 2 |+ c , si x < -a
resumiendo se tiene:
I" .
- = ln | x +-Jx2 - a 2 \ +c
■Jx2 - a 2
dx
-Jx2 +:
Solución
De acuerdo al criterio del 1er. caso se tiene:
Tomando la función:
sec 6 - ^ X
■Js
6 = arctg(-¡=)
íse- H
=, i
■J5
x = -j5lg&
dx = -Js sec 2 BdB
=> ■J x 2+5 = -j5sec6
ahora hacemos las sustituciones en la integral
r
dx
fr -VJj S¡ s ^ B d B
x 2-Jx2 +5
5 tg2 B.-J5 sec 8
1 r cosí?
dB
5 J sen2 6
1f
i
„
eos ecB
= —J clgB.cosecBdB - ------------ + c
dx
©
Jt( j cü' t— 2
jc +
5 ) 3/2
Solución
A la integral escribiremos así:
r
dx
_ r
dx
J (x2 - 2jc + 5)3 2 ~ J [(jc - 1)2 + 4][(jc - 1) 2 + 4 ]1'
■Jx2 +:
+c
5x
137
Integral Indefinida
Aplicando el criterio del primer caso se tiene:
Tomando la función:
X- 1
« .- id
,X~
1.
0r. = arctg(—
^—)
^
jc = l + 2tg 0
sec 0 = ^ (X
+ 4 =>
dx = 2 sec2 0 <70
-J( x-l )2 + 4 = 2sec0
ahora hacemos la sustitución en la integral
f
dx
^ ( jc 2 - 2 x
+ l)3/2
r 2 sec 2 6 d 6
_]
J 4sec2 0.2sec0
4 41
sen 6
-+c
4
©
J
eos 0 d6
x-l
+c
4-Jx2 - 2 x + 5
x idx
4 x 2 +2,v + 5
Solución
A la integral dada escribiremos así:
r
x 2dx
a/ x 2 +2 jc + 5
_ r
x 2dx
, aplicando el criterio del primer caso se tiene:
-y/(x + l)2 +4
JC + 1
Tomando la función:
X+
tg0 = :
z
x = -1 + 2 tg 0
1
4 x 2 +2x + 5
sec 0 :----------------
=>
ahora hacemos las sustituciones en la integral dada.
,* ^—)
+ 1.
0^ = arctgf—
í/ r = 2 s e c 2 0 <70
i -> , _ 7 _
_
+2 jc+ 5 = 2 sec 0
a/ jc'
138
Eduardo Espinoza Ramos
x'dx
x dx
Í Vjc2 +2x + 5
_ f ( - .l + 2 tg 0) 32 sec2 e </0
= J ( - l + 2 tg 0 )3 secfl d6
2sec0
J
= J ( 8 tg3 0 - 12tg2 0 + 6 tg 0 - l ) s e c 0 rf0
g
= —sec3 6 - 6 tg 6.sec 6 + 5 ln | sec 6 + tg 6 1-2 sec 6 + c
= - i ( x 2 + 2 r + 5 ) 3,2
= J x 2 +2x + 5(—
+ 2 x + 5 + 5 1 n | x + 1 W * 2 + 2 x + 5 1 — \ / jc 2 + 2 v + 5 +c
^ ^ ) +5ln \x + l + 4 x r + 2 ^7 5 \ +c
6
(9e~2* +1)3 2
Solución
f %
— ——=f--------—
A la integral dada escribiremos así:
—
J ( 9 e 2* + 1)3/2
Aplicando el criterio del primer caso.
Tomando la función:
3e
tg 0 = 3é~x
6 = arctg(3e *)
e-= £Z
e~xdx =
3
sec9 - ^9e 2x +1
=>
e Xdx
^ (9e 2x+l)312
_
1 r sec2 Gd6 _
1r
3 J s e c 2 0.sec0
3j
sec
e dG
sec2 6 =9e 2x +1
ahora hacemos las sustituciones en la integral dada.
r
=
J ((3e-*)2 +lhJ(3e *)2 +l
eos 6 d6
Integral Indefinida
139
sen 6
( 2 jc - 5 )
e x
+c = —
+c
-J9e~2x +1
dx
Solución
A la integral dada escribiremos así:
’ j2 * - 5*
^4x-x2
f . (2-
5)
d x , aplicando el criterio del 2do. caso se tiene:
J ^4-(x-2)2
Tomando la función:
X- 2
x-2
sen 6 =-----2
x = 2 + 2sen0
=>
V4 x - x 2
eos 6 = -
6 -arcsen(* ^ )
dx = 2 eos 6 d6
^ 4 x - x 2 = 2 eos 6
ahora hacemos las sustituciones en la integral dada.
f j2* 5) r f r = f 4sen0 1.2cos6r/6= f(4senfl-l)t/fl = ^ c o s G - 0 + c
]4 ^ 2
J 2cose
J
= - 2 ^ 4 x ~ x 2 - arcsen(* ^ ) + c = - 2 ^ 4 x - x 2 - arcsen(*
f x~dx
Solución
Aplicando el criterio del 2do. caso se tiene:
+c
Eduardo Espinoza Ramos
140
sen 6 = x
Tomando la función:
i » =- .arcsen jc
[dx = eos 8 dG
jt = sen0
eos 8 = ^ ahora hacemos la sustitución en la integral dada.
2dx _ r sen2
O.cosOdO
r xx~dx
¡
=Js e n 2 8 d 8 = —j"(l-cos2ó)í/ó
eos 6
1
sen2í?
1 ...
.
_v
1.
n
V
--—( 6 ---------- ) + c =—(6-sen6.cos6)+c = —(arcsenx - x y l - x ~) + c
2
2
(2x-3)
©
J ( jc,2 +. 2jc-3)
T- T.3/2
2
2
dx
Solución
A la integral dada escribiremos así: í — (2* 3)dx
_ r
(2.x 3)dx
(jc2 +2JC-3)3' 2 J ((x + 1)2 -4)-J(x + l)2 —4
Aplicando el criterio del 3er. caso se tiene:
Tomando la función:
sec 8 -
jt + 1
6 = are sec(—— )
dx = 2sec8. tg 8 d 8
Jt = - l + 2sec0
tg 8
(x 2 + 2
x
- 3 )u1
--------------------
=>
r r — ~—
~
ahora hacemos la sustitución en la integral.
(2x~3)dx
r (¿x
—i)dx _ nr (4sec6 - 5)2sec8. tg8 dO
J(jc 2 +2jc-3)
J
-
.
-4x~ +2jc-3 = 2 tg (
4 tg 2 6.2tg0
141
Integral Indefinida
' 4sec2 0 - 5 sec0
de
J (eos ec26 - —cig0.cosec6)d6
4 tg 2 ©
5
.
_
5r
x +l
2
= —cosec© -ctg© + c = —[ ,—
. 1— ,
—+c
4
4 ^ jf2 +2 x - 3
4 x 2 + 2jc-3
■ sec1 6 dO
( 4 -tg 2 0 )3/2
Solución
A la integral dada escribiremos así:
sec2 ©d©
r
sec2 6 d 6
.
---------- =
t aplicando el criterio del 2do caso.
J ( 4 - t g 2 é?)3 2 J ( 4 - t g 2 e)-N/4 - t g 2 e
r
Tomando la función:
sena =
V 4 - t g 20
cosa:
T¡4-ig2 e
tg©
tg 6 = 2 sen a
a = ¿7/rsec(—— )
sec 2 0 d6 = 2 eos a da
-J4 - t g 2 e = 2 eos a => 4 - t g 2 0 = 4cos2 a
ahora hacemos la sustitución en la integral.
Í
sec2 6 de
r Icosada
Ir
,
1
—— =
= — sec ' a d a = —tg a + c ( 4 - t g “ © ) '- J 4cos" a.2 co sa 4 J
4
/i
i 4 \//i
4 vi/2 - X 2 vi/2
(1 + x )((! + * )
)
Solución
Aplicando el criterio del 1er. caso se tiene:
tg©
,
= +c
4 -tg 2 ©
Eduardo Espinoza Ramos
142
Tomando la función:
J tg 0 = j r
l* = ^ /tg e
sec0 = ^Jl + x 4
=>
6 = arctg j r
. sec2 0 d8
dx = ------,---ifige
sec2 0 = l + jt4
ahora hacemos la sustitución en la integral dada:
í
sec2 6 d 6
_ r
dx
(l + S y J j o + x 4) ^ *2
J 22^/t¡F0sec2
jtg 0 sec2 10^/sec0 ~ tg 0
I1 rr
</0
4 ^í^ -J tg 0 s e c 0 -tg 2 0
cost/rft/
cos0rf0
^ J -v/se n 0 -s e n 2 0
_ l1 r
eos 6 dO
2 J ^ 7 (sen 0 —1 .)2
4
2
.
se n 0 -—
.
1
2
1
= —arcsen(----- — —) + c = —arcsen(2 sen 0 -1) + c
1
. 2jc
—arcsen(—p
2
v ü v
J
-l)+ c
jr+ 1
Solución
Completando cuadrados al subradical.
-Jx2 +2x~3 = -J(x + l)2 - 4 , entonces la integral dada escribiremos así:
f -Jx2 +2 x—3dx f-J(x + l)2 - 4
------------------- = —-------------- d x , aplicando el tercer criterio se tiene.
J
jc+ 1
J
JC+ 1
Integral Indefinida
143
Tomando la función:
_
,x + 1
© = arcsenf
)
x+1
sec 6 =-----jc
dx = 2sec©.tg©</©
= - 1 + 2sec ©
sen© ■
^ x 2 + 2x —3
jc
+ 1
ahora hacemos la sustitución en la integral dada:
j -Jjr + 2x ^ dx = Jsene 2 sec 0. tg ©</©= 2j tg2 ©rf©
f
2
:2j(sec2 © - 1)¿© = 2(tg© -© ) + c = 2(~—
9
«7
= V*’ + 2 * - 3 - 2 « « W Í - ) «
1.6.9
EJERCICIOS l'KOl'LESTOS.
Calcular las siguientes integrales.
(D
/< r \
(2 )
f
XC{X
f -j4 + x 2
J - — -— dx
Rpta.
* -------arcsen(—
-J(4 + x
Rpta. -
2 ) ‘ (jc
—6)
+c
120jc 5
(3 )
( 4)
f ^ 25 * - dx
J
JC
Rpta. 5 ln| 5 ^ 25 — | W 2 5 -jc 2 +c
f (1 6 -9 jc2) 3 2 j
Rpta. _ 1 (1 6 -9 jc2)3/2
-s
o80
u
JC
JC
i
* ■——- 0 /c s e c ( ^ - ) ) + r
JC
144
Eduardo Espinoza Ramos
©
x 1' J l 6 - x 2 dx
Rpta. 32 arcsen—
4
©
]+V *2 + l
dx
(x2 +1)3 2
Rpta.
©
©
®
í —( 8 x -x 3) + c
+ arctgx + c
V*2 +1
-Jlx2 +7 i
Rpta. ------------ (x + 7)+ c
x 2dx
'^2x 2 + 7
x 2^¡4 —x 2 dx
x 2dx
n
T"
Rpta. 2 arcsen-—-(x3 + 2x) + c
2
4
33
,* - 2 ,
/r¡ z
7 ,x + 6
Rpta. — arcsen(- - -) —v21 + 4 x - x (— —) + c
■s¡2\ + Ax—x 2
x
©
4
2^ 9 -
Rpta. — arcsen—- —( 9 - 2 x 2)-\/9-x2 + c
8
3 8
2 d x
x
sec2 jc.tg2 x
dx
Rpta. ^ ^ - ^ 2 + sec2 x —^-lnj tgx+-\/2 + sec2 x |+c
+ sec * x
-J?
+1
dx
dx
2 , c \ 3 ’2
(x¿ +5)
•\/x“ —16
dx
(x +1)dx
Rpta. -Jx2 + 1 + l n |
Rpta.
1
r+ C
Rpta. -Vjc2 -1 6 -4arcsec(—) + c
4
Rpta. - s ¡ 9 - x 2 + arcsen(y) + c
dx
|+ c
5-Jx2 + 5
9 —x 2
-Jx2 - 8
+1
Rpta.
-J(x2 - 8 ) 1
24x
+c
Integral Indefinida
©
4 x 2 + 2x
145
Rpta. xjx2 +2x + ln | x +1 + x¡x2 + 2x \ +c
dx
x 2dx
„
Rpta.
(a2 - x 2)3,2
dx
x,
-arcsen(—)+ c
4a2- x 2
a
jc
1
4 x 2 + 2x
Rpta. —arcsen(x +1) + —------- t
2
2(x + l)
(x + \)34 x 2 +2x
dx
+
c
Rpta. _ ^ ± Z + C
xr~- \ili + x~
dx
1
42x
Rpta. —z=arctg( ,
) +c
42
4 i ^
(x2 + 1 ) ^ V
n
x 3dx
2~
Rpta. -
(8 + x 2 ) + c
-j4-x2
- dx
Rpta.
dx
+c
44 e 2x - 2ex +5
4( e 2' - 2 e x +5)
(25 +x 2)3' 2
ex - i
Rpta.
(25 + x 2)5,2
~+ c
125x5
x~dx
> - * 2) 7
x 4dx
( 4 - x 2)7' 2
.v2 dx
_
X
X
-+ c
RPta- “3 (9 -x ) 7T +-------405(9- x 2 ). 5/ 2
Rpta.
+c
20(4—x 2) 5,2
(l--^ 2) 3/2 + c
R p t a . ---------3x
Eduardo Espinoza Ramos
146
(4x
(4J + 5)dx
f
J
2 . 1/ 2
dx
'
Rpta.
(2x-3)dx
¡ 7(x1
7 + 2 x -3 )3/2
( jc 2
(x1 -2.v + 2) 1/2
(x- -2.V + 2)1 2
(í v
x 2
¿ - 2 x + 2)
¡ ^
9 (* -l)
Rpta.
( 9 - x 2 )1, 2
-arcsen(—)+ c
5 x -3
Rpta.
4(x2 +2.V-3)1 2
+c
+3x)dx
j (jf-l)O f2 -2JC + 10)1' 2
Rpta. Vx2 -2 .r + 10 + 51n|Vx2 - 2 x + 1 0 + x + l | + - l n | ^ - ^ 2x + 10~ 3 | +c
( jc
©
- 3)dx
Rpta. —[ln| jc 2 + (jc2 - 4 ) 1/2 | - —aresec(— )] + c
J x(x4 —4)1' 2
(4x +1)dx
( x —3)(6.v —x° - 8 ) 1/2
1
í(\
^
o * l /2
Rpta. -24arcsen(x-3)+ 371n|------ —--| + 4 (6 x -x 2 —8)1' 2 +c
jc—3
r
8
sen 2x. sen jc dx
(2 0 -4 se n 2 x -1 9 se n 2 x)5,2
128
Rpta.
3(tg2 x - 8 tg x + 2 0 ) 3 2
xdx
/i„2 +5)
, c.l/2
¡77*7
(x~ -2 )(x 4 -4x~
©
W
í
dx
r— -
J (2x2 + i y J 7 7 i
4 tg x —16
3(tg2 x - 8 tg x + 20)1/2 tg2 x - 8 tg x + 20
_ .
1, J x * - 4 x 2 + 5 - l ,
Rpta. —ln | --------|+c
2
x~ - 2
Rpta. arctg(=-)+c
Vl + x
147
Integral Indefinida
dx
Rpta.
+c
(l + x 2)(.v2 + l)' 2
dx
( l - x 2) 4 + x 2
dx
1 , (1 + jt2)1,2 + (2x)1/2
Rpta. — 7= ln |
2V2
(l + x 2) l/2 -(2x) I7Tl+1
a/jt2 - 1 .
Rpta. —[¿//r sec x + ---------- ] + c
2
x
x '-Jx2 -1
©
+1
(jc“ +2x)
x +l
-dx
dx
Rpta. (x2 +2x)lí2 - a r e sec(x4 l) + c
Rpta.
x A(x2 +3)1'2
(a2 - x 2r -
dx
(jc+ 3)2(jc2 + 6.v + 8)1'2 íív
dx
(4jc-
jc2)3
(x2 +3)1/2 (jc2 +3)3/2
---- ^ --------—í--+ c
9x
21 x
/ 2-x r
„
a/o
,x
R p t a . ---------------- arcsen(—) + c
x
3
Rpta. —(x + 3)-J(x2 + 6x + 8)3 + c
x —2
Rpta.
4(4.v-x2)1/2
2
x 2dx
Rpta.
( 4 -j f 2)5' 2
+ c-
12(4—jc2 )3/2
2dx
Rpta. j l n | ( x 4 +25)i;2 - 5 | - | l n j t + c
x(x + 25)
(I6~e lx )1/2
+c
dx
(4x - 5)dx
{x2 - 2 x + 2)v l
í\ £6. -e 2-V.1/2
_
(1
)
,e x
Rpta. ------------------ arcsen(— ) + c
ex
4
Rpta. — -
9U -1 )
(jc - - 2 x + 2 ) 1/2
■+ c
( j c 2 — 2 jc + 2 ) i / 2
148
Eduardo Espinoza Ramos
,
. 2>l/2
(x 2 +a
)
i 2
2*1/2
2 vi 2
a
(x +a ) - a
Rpta. (x~ + £/“ ) ’ “ + —ln |
——
l+í2 (a~ +x~ y ~ + a
dx
3
x+3
Rpta. —arcsen(A -l)-:
jr d x
(2a
- a 2)1' 2 + c
( 2 x - x 2)1,2
dx
(4a ~ - 2 4 a + 27)
( jc 2 - 4
a
) 1' 2
3/ 2
A —3
R p ta .
9(4a
5---------------—
1/2 + f
—2 4 a + 2 7 )
(a 2 - 4 a ) - ' 2
Rpta. —--------
dx
+c
6a ’
( j r - 2 5 ) 3' 2
Rpta.
dx
125a '
dx
Rpta.
A —1
— +c
4(a - 2 a + 5)
(a 2 - 2 a + 5 ) 3' 2
/ 2
Rpta. arctg(—----------- ) + c
dx
(x2 - l) (x 2 - 2 ) ,/2
( 4 - a 2 ) 1' 2
©
x
dx
3 / 2
2
i 2x1/2 j
(a x - h
)
dx
a
a
2
e’dt
r» ^ —r(a
1 / 1 2
. 1x 1 —b, 2 ,)3 / ' ’ +r
Rpta.
x - bi j .)l / ’ + —b~—(a
e'
Rpta.
(e2‘ + %e' + 7 ) 3
3x aresen x
( 4 - a 2 ) 1, 2
R p t a . ------------------ arcsen(—) + c
+ 4
- +
c
4 ( é>2' + 8 e ' + 7 ) 1' 2
dx
Rpta.
aresen a
1 ,
A + l
a
( I - A ')
i a - x 2)]2
2x2 - 4 x + 4
(3 + 2a
- a
2)1/2
dx
x —1
Rpta. arcsen( ^ ) -
(a
- 1)(3 + 2a -
a
2 ) 1' 2
+c
149
Integral Indefinida
Rpta. - ( o 1 - v2) ’ 2(3.v2 + 2 o 2) ^ - + f
x U a 1 —x~ dx
dx
A' 1
-\!x 2
Rpta.
\ 2dx
a/ i
^ +c
4a
—4
Rpta.
—
arcsen a
——
a/ i
—a 2 + c
- a
X- - 3
Rpta. —[ln | a 2 + a/ a 2 - 4 | - —o r e sec “^“] + í'
A a/ a 4
1 ,
a
2
( a 2 - 2 ) a/ a 4 - 4 a 2 + 5
a
a/
, a/ a 4 - 4 a 2 + 5 - 1
Rpta. —ln 1--------------
2dx
a
Rpta. —[llarcsen V+ ^
8
- 4 a 2 -1 2 a - 5
2
"
,
H+c
-2
+ a/ - 4 a 2 - 1 2 a - 5 ( 3 - 2 a ) ] + c
x'dx
@
í—
©
í—
(A" + 8 )2
©J
dx
J (a +
T7T—
D a/ a " + 2
a
©
j
©
J
- í /a
v
( a - 1)(a 2 - 3 a + 2 ) 2
a/ ( 1
6 - 9 a 2 )3
dx
dx
©
a/
j(4a 2 - 2 4 a + 2 7 ) 2
©
a xsla4x - 2 a 2' -1 5
2
¿a
@
J a3a/ i 6
-
a
2
¿a
9 - 4 a2
dx
150
Eduardo Espinoza Ramos
1.6.JO INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALESConsideremos dos funciones polinómicas:
P(x) = hmx m + b,„ ]X"' 1
+bxx + bt),
y
Q(x) = a„x" +a„ ,x" 1 +...+ a]x + at)
una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. es decir:
R(x} =
W )
Q(x)
cuando el grado de la función polinómica P(x) es menor que el grado de Q(x), a la
función racional
P(x)
Oix)
se denomina función racional propia, en caso contrario se
denomina impropia. Si la función racional es impropia, al dividir el numerador entre
el denominador, a la función racional se representa como la suma de una función
polinómica y de una función racional propia, es decir:
Q(x)
Qix)
donde el grado R(x) es menor que el grado de Q(x); nuestro interés es la integración
de las funciones racionales propias, es decir:
Pjx)
í Q í x fdx
para el cálculo de estas integrales consideraremos los siguientes casos:
1er. caso: Cuando se tiene integrales de la forma:
A x +B
-dx . donde a.b,c son constantes.
f ctx~ + bx + c
Para calcular la presente integral se procede del siguiente modo:
151
Integral Indefinida
a)
i
b
b
Se completa cuadrados en el denominador: ax~ + hx + e = a{x + — )2 + (c
)
2a
4a
b)
Se hace la sustitución r = v + —. con la cual la integral se convierte en:
a
zdz
¡ir
r Ax+B
,
r mz + n ,
ni r züz
// r dz
I — — — -dx = I - —
- d z = — I — - + - J —----J ax~ +hx +c
J a(z~ +n)
a J r" +;/ « J z~ +n
el cálculo de estas dos integrales se real i/a mediante las primeras fórmulas
básicas de integración.
2dn. Caso: Cuando en la integral
r P[x)
J 0(.v)
dx,
la función polinómica Q(x) se
descompone en factores todas lineales y distintos es decir:
Q( v) = a„ ( x - a , ) ( x - a 2 )...(x-a„ )
a la función racional
P(x)
Qix)
A, + ----A-,á _ + + ----3—}(lx
A. 4 ,
i x - a , x —arz
x —ah
i Q{\)
donde A¡, A2
3er. caso:
'
se expresa como una suma de fracciones simples:
A„ son constantes que se va ha determinar.
Cuando en la integral
f P( r)
dx,
J Q(x)
la función polinómica Qfx) se
descompone en factores lineales algunas repetidas, suponiendo que
x —a, es el factor lineal que se repite p veces, es decir:
Q(x) - a „ ( x - a ) ( x - a ) . . . { x - a ) ( x - a p^ )...(x—a„ )
a la función racional
P(í)
Q(x)
se expresa como una suma de funciones simples.
152
Eduardo Espinoza Ramos
r P(x) ,
r. A¡
I -1 -2 .rfx— ( —
J Q(x)
J x- a
donde Ax, A2
4to. Caso:
As
(x-aV
4¿
4¿¡$
f ----^-2—
( x - a ) t> x - a ^
K
( ---- n— )dx
x - a„
A„ son constantes que se van ha determinar.
Cuandoen la integral
J f^ P(x)d x ,
la función
polinómica Q(x) se
descompone en factores lineales y cuadráticas irreducibles y ninguno se
repite, es decir:
Q{x) = a„(x2 +bxx +c x)(x2 +b2x+c2)(x2 +b2x +c2) ( x - a 4)...(x-a„ ), a la función
racional — se expresa como una suma de funciones simples
Q(x)
J Q(x)
J x ' + b tx + ó
x~ +bsX+c2
X +^A + í-3 x - a „
x~av
donde A}. A 2,...,A„ , Bl%B2,B2, son constantes que se va ha determinar.
5to. Caso:
Cuando en la integral
r P(x)
J ^
dx,
la función polinomica Q(x) se
descompone en factores lineales y cuadráticos repetidos en donde los
factores cuadraticos irreducible se repite es decir:
Q(x) = a„(x2 +bx + c)2{ x - a 2)...{x-an) ala función racional se expresa como una
suma de fracciones simples.
f
J
^
Q(x)
donde A, , A2
= r (_ á £ ± A _ ; .
J x
C' {ít- + bx'+cY
-í
-áj
pms
x-a„
A„ , BX.B2 son constantes que se van ha determinar.
Ejemplos de aplicación de éste criterio.
Calcular las siguientes integrales.
153
Integral Indefinida
.
dx
4xz + 9 x - l
O
xJ + 2xz - x - 2
Solución
Factorizando la función polinomica del denominador:
Q(x) - x 3 + 2x2 - x - 2 = (x + l)(x -l)(x + 2)a la integral dada expresaremos asi:
r 4x2 +9x + l ,
—-----------¿ x +2x~-x-2
r. A
B
C ,
dx = (— - + —— +
x +1 x -\ x+2
...
...(1 )
-)dx
Calculando las constantes A, B y C.
A B C
-+
+x + 1 x -1 x + 2
4x2 + 9 x -l
x 3 +2x2 - x - 2
_ A(x -l)(x + 2) + B(x + l)(x + 2) + C(x + l)(x -1)
(x + l)(x -l)(x + 2)
igualando los numeradores
4x2 + 9 x - l = A(x2 +3x + 2) + B(x2 - x +2) + C(x2 - 1 ) , ordenando
4.v2 + 9 x - l = (A + B + C)x2 + (3A + B)x + ( 2 A - 2 B - C ) por identidad de polinomios
se tiene:
A+B+C= 4
3A + B - 9
2 A - 2 B - C = -1
^
J ,
ahora resolviendo el sistema se tiene:
A
B
Luego reemplazando estos valores en (1).
r
4x2 + 9 x - l
x 3 + 2x2 - x - 2
dx = J (— t + ^ t ------ ~)dx
J x + 1 x -1 x + 2
= 2 ln | x + 11+3 ln | x - 1 1- ln | x + 2 1+c = l n |(* + 1) (*
x +2
\+c
Eduardo Espinoza Ramos
154
Observación:
Para calcular las constantes de la descomposición de la función
racional se ha hecho mediante el método de los coeficientes,
también se puede calcular dando valores particulares a la variable x, en este
caso se dan valores apropiados a x, y se evalúan ambos miembros, los valores que se
asignan a x es conveniente tomar x = a¡, donde at son raíces de Q(x), o también
asignar valores pequeños, tales como: 0. ±1, ±2
Ejemplo:
etc.
Ax +9x —1
x3 + 2x2 - x - 2
En el caso:
A B C
-+
+x + 1 x —1 x + 2
Los valores de x se sustituyen en la ecuación.
4x2 + 9 x - l = A(x - l)(x + 2) + B(x + l)(x + 2) + C(x + l)(x -1) para:
12 = 6A
x = -l
=>
- 6 = -2 B
II
<o
1
1
x = -2
X =
=>
A =2
B =3
C=- 1
(5x - l ) d x
x -3 )(x - x - 2 )
Solución
Como Q(x) = ( x - 3 ) ( x 2 - x - 2 ) = ( x - 3 ) (x - 2 ) (x - l)
entonces a la integral dada
expresamos asi:
r
( 5 x - l )d x
,
J ((xr -3
- W)íxr 2“ - xr -- 2 )t
r A
B
,,
+ ------- 1------- )dx
J x -—
3: x - 2 x + 1
ahora calculamos las constantes A, B y C.
(5x + 7)
A
B
C
-+ -------+ (x -3 )(x 2 - x - 2 ) x - 3 x - 2 x + 1
(5x + 7)
(x -3 )(x 2 - x - 2 )
A(x —2)(x +1) + Z?(x-3)(x +1) + C(x-3)(x - 2 )
(x -3 )(x -2 )(x + l)
-(I)
Integral Indefinida
155
igualando los numeradores se tiene:
5 x - 7 = A(x2 - x - 2 ) + B{x2 - 2 x - 3 ) + C(x2 —5x + 6); ordenando:
5 x - 7 = (A + B + C)x2 + ( - A - 2 B —5 C ) x - 2 A - 3 B + 6C por identidad de polinomios
se tiene que:
A +B +C = 0
Resolviendo el sistema se tiene:
„ „
, „
A =2, B = - l , C = - 1
- A - 2 B —5C = 5
- 2 A - 3 B + 6C = -7
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1):
f—
(5x-7)dx
x
) x
J ( jc — 3 ) ( j c 2
r 2
1
1
= (-------------------- — )dx
-x-2)
f X -3
j
x-2
x+
1
v2
= 2 1 n |x - 3 |- l n |. r - 2 |- l n |x + l|-tc = ln |
©
|
(x- 2 ) (x + l)
|+c
dx
6x 3 - 7 .v 2 —3jc
Solución
Como
£?(*) = 6* 3 - 7 x 2 —3jc = jc(2jc —3J(3jc + 1)
entonces
a la
integral
dada
expresamos asi:
r
dx
—
;
J 6x3 - 7 x ~ - 3 x
r .A
B
C x
= l— + --------+ ------- )dx
J x 2 x - 3 3x + l
„v
--(l)
ahora calculamos las constantes A, B y C.
1
6x3 - 7 x 2 - 3 x
_A+ B
x
2 x -3
+ C
3x + l
_ A(2x -3)(3.v +1) + Bx(3x +1) + Cx(2x -3 )
x(2jr-3)(3jr + l)
igualando los numeradores se tiene:
l = A(6x2 - 7 x - 3 ) + B(3x2 +x) + C(2x2 - 3 x ) ; ordenando:
156
Eduardo Espinoza Ramos
1 = (6A + 3B + 2C)x2 + (-7 A + B - 3 C ) x - 3 A por identidad de polinomios se tiene:
6A+3B + 2C = 0
• - 7 A +B - 3 C = 0
Resolviendo el sistema se tiene:
1
4
9
A = - ~ , B =— , C = —
- 3 /4 = 1
3
33
11
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1):
r 3dx
rrfx + 2 |
r 2dx , 3 1
í
*
- 1 1
J 6x3 -7 x 2 -3x
3 J 1 x 33 J' 2 x - 3 11J13 x + l
= — ln|3x + l | + — ln 12 jc - 3 1 ln | jc | -t-c
11
33
3
xdx
©
f
W
J x 4 - 3 x 2 +2
Solución
Como:
Q(x) = x A - 3 x 2 +2 = ( x 2 - 2 )(x z -1) = (x + -J2)(x- -J2)(x + l)(x-1)
Entonces a la integral dada escribiremos así:
r
x dx
r
A
—I (
pI —¿------ ñ
x -3x~ +2 J (x + a/2)
B
C
O
P - ---------- 1---------)dx
( x - 4 i ) (-K+ 1) (x-1)
ahora calculamos las constantes A, B y C.
x
A
x A - 3 x 2 + 2 ~ ( x-^ 2. )
B
C
D
(x + ^/2)
(x + 1)
(x —1)
x
A(x+4 2 )(x2 -1)+B(x-J2)(x2 -1)+C(xz -2)(x+l)+D(x2 -2)(x -l)
x A-3 x 2 +2
(x+V2)(x-V2)(x+l)(x-l)
igualando los numeradores se tiene:
x = A(x + a/2)(x2 - l ) + B (x --j 2) (x 2 -1 ) + C(xz -2 )(x + l) + D (xz - 2 ) ( x - l)
Integral Indefinida
1S7
.v = --l(jf1 + - J l x 2 - x - - J l ) + B { x * —J 2 \ 2 — x + s ¡ 2 )+ (”(* ’ + x 2 - 2 v - 2 ) +
+ D( v —a
a = (.4i fl + C -fD )v1 +( J > A - j 2 B - i - C - D ) x 2
2\ +2)
-B -2C -2D ):-4 lA -4 lB
2C +2D
Por identidad de polinomios se tiene:
A + B t C + D = ()
ahora resolviendo el sistema ->e tiene que
J l A - J l B + C - D = {)
- A - B - 2 C - I D =1
c=n=~-
A = B = -.
2
2
-^[ÍA + -JlB - 2C + 2D = 0
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1):
xdx
_1
-3,v2 +2
|r ~dx
2 J' ( r + V?)
11 r
~dx
J1 (-v-s/2)
dx , i[• dx
J'(V- + 1) j' (x -1)
11r
(2.v2 + l)r/v
©
J (jc + l)'(jr —3)
Solución
A la integral dada expresemos en la forma:
r (2.v2 -t-1)í/.v
r A
B
C ..
llx
;
= (--- - + — — t +
(jr + l)'( jr - 3 ) ■* Jt + 1 (.v + 1)' x - 3
•••(, )
ahora calculando las constantes A, B y C.
(2-v3 + 1 )
(,v + 1)2(jc-3)
A
B
C
-+
- +x + ] (* + l)2 jc —3
j4 U + 1 ) ( j c - 3 ) + £ ( v - 3 ) + C ( a + 1 ) 2
( v +1)2( v —3)
158
Eduardo Espinoza Ramos
igualando los numeradores se líenc:
2.v‘ +1 = A(x2 - 2 x —3) + Zf(r-3) + C(x2 + 2x + I) ordenando
2 r ? +1 = (.4J-C)x2 +i-2A-rB+2C)x—3A-3B-1-C
polinomios se tiene:
A +C = 2
resolviendo
\ - 2 A ^ B + 2C = 0
13
A— ,
-3 4 -3 fl+ C = - l
16
ahora
por
identidad
elsistema ^e tiene que:
3
13
d—
, C—
4
16
Luego reemplazando los valores de A. B y C en (1):
r (2.v" +I)<£r _ 13 f dx 3 r dx
13 r dx
■» t.r + l)I (.r-3 ) 16
x-*-l 4 ( t T l)2 ^ 16 r - 3
J
J
J
13.í n .l r + l. l. - r
3
, 3 .ln I. r - 3i . t r ­
-—
1-—
ió
4{_r-t-2) 16
i r —3x + 4)
ax
( t —1J |T + I)
Solución
A la integral dada expresemos en la turma:
r Lr ’ —3 r+ 4 )
I
i
^
- (r -1 ) (r + lj
r A
B
C
D
11---- - + -------- 7 +
r " ----- ¡ w .
J r - l U - l r (r -1 )
r+
añora calealando «as constantes A. B. C' y D.
( i ' 3» - 4)
4
B
C
D
-------------------- —------- fí--------- —-11----------- fr-----I c - D V + U x - l i x - ' .) 2 lx-115 J + I
A t X- t r
I_r+ ! )
+
fi|.r-l]K r + 1)+ C(.r + 1 )
U - I ) 7t-r+l)
+ ÍJ(x - 1)1
de
159
Integral Indefinida
igualando los numeradores se tiene:
v1 -3 x + 4 = zl(x3 —x 2 - x + l) + i?(x2 —1) + C'(x + 1)+ D(x3 - 3 x 2 + 3 x - l)
x 1 —3x +4 = (A + D)xi +(-A + B - 3 D ) x 2 +(-A + C +3D)x + A - B + C - D
por la identidad de polinomios se tiene:
A + D= 1
_ „_ .
-A+ B-3D =0
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
N
- A + C +3D = -3
A-B + C -D ^A
A = - , B =- - ,
4
2
C = 1. D = - ~
4
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1):
f (x3 -3 x + 4)dx
'
(x
+ 1)2(x -3 )
7 if dx
4 J'x - 1
1 j
\
2 J' u
d x
ill
- l )2
r
dx
J' (x -1 )3
3 ir dx
4J ' x + 1
7
1
1
3
= —1n | x —11+ ---------------------- -----ln |x + l|+ c
4
2 (x -l)
2 (x -l)
4
©
^
\ x U x \ ~ 2 x ~ l dx
J (x + l)1) (x --2
2 )Solución
A la integral dada expresaremos asi:
f x 3 +x2 -2 x -3
r A
B
C
D
.
—
~Tdx= (
T+
~ +-----^ + ---------T )dx
j (x +\\-(r-')\j X + 1 r r + ll- X -2
ahora calculando las constantes A, B, C y D.
x3 + x 2 —2x —3
(x + l)2(x —2 ) 2
A
X
B
C
D
-+
- +
- ++ 1 (x + 1)2 x - 2 ( X - 2 ) 2
A(x + \ ) ( x - 2 ) 2 + B{x - 2 ) 2 + C(x - 2 ) ( r + i)2 + D(x + l)2
(x + 1)2( x - 2)2
160
Eduardo Espinoza Ramos
ahora igualando los numeradores se tiene:
x3 + x 2 —2x —3 = A(x+)(x- 2)2 + ¿?(x-2)2 + C (x-2)(x + l)2 + Z)(x +1)2
x3 +x2 -2x-3=(y4 + Q x 3 +(-2A+B+D)x2 +(-^A-3C+2D)x+4A+4B-2C+D
por la identidad de polinomios se tiene:
A +C = 1
„, „ „ ,
-3A+ B + D = 1
- 4 B - 3 C + 2D = -2
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
M
5
1
32
5
A=~— , B =— , C = — . D = 27
9
27
9
4/í + 4 fi-2 C + D = -3
Luego reemplazando los valore» de A, B, C y D en (1):
r x3+x2 -2 x -3
J (x + 1)2 (x - 2 ) 2
5 r dx
Ir
V __ 27 x + T _ 9 ^ J
dx
(x + 1)2
+ 32 r dx + 5 r
+ 27 J ^ 2 + 9 J
dx
(x - 2 ) 2
= - — ln |x + l | + ---- — + — l n |x - 2 | + ------27
9(x + l) 27
9 (x -2 )
+c
(x" + 2)dr
®
í - ^ (x -2 )
J (x + 1)
1)3
Solución
A la integral dada expresemos así:
x2 +
)dx
r ((x~
+2¿)dx
I
i
J (x + 1) (x -2 )
r
C
D
B
jy
r+
7+
r + ---- r ) ^
J x + 1 (x+1)2 (x+1)3 x - 2
(
A
ahora calculando las constantes A, B, C y D.
A
(x2 +2)
(x + 1 ) 3(x - 2 )
x
+1
B
C
D
+ --------- + -------- r + (x + 1)2
( x + 1)3
x
- 2
A(x +1)2 (x - 2) + B(x +1 )(x - 2) + C(x - 2) + D(x + 1)3
(x + l)3(x -2 )
— (1)
Integral Indefinida
161
igualando los numeradores se tiene:
x 2 + 2 = A(x2 - 3 x - 2 ) + B(x2 - x - 2 ) + C (x -2 ) + D(v3 +3x2 + 3x + l)
x 2 +2 = (A + D)x2 + (B +3D)x2 + ( - 2 A - B +3 D ) x - 2 A - 2 B - 2 C + D
A +D = 0
„ ,_ ,
B + 3D = \
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
- 3 A - B + 3D = 0
-2A-2B -2C + D -2
A = - ~ . B = ~ . C = - 1. D = 9
3
9
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1):
r (x2 +2)dx
' ( x + 1) 3 ( x - 2 ) ~
2 ir dx
x+1
1i
r dx
dx
1
3 J (x + 1)2 J1 (x + 1)1
r
2 |f dx
9J ' x - 2
2
1
1
2
= — ln | x +11----------- +---------- —+ —ln |x -2 1 +r
9
3(x +1) 2(x + 2)
9
2
x - 2 (2x' + 5 x -5 )
= —ln | ------1
9
x+1 6(x + l)(x + 2)
+c
4x +6 .
dx
Solución
Como Q(x) = x 5 + 3x = x(x2 + 3) entonces a la integral dada expresemos en la forma:
r4 x 2 +6
r.A Bx+C.,
—:-------dx = ] ( — + —
)dx
J x j +3x
J
x +3
ahora calculamos las constantes A, B y C.
4v2 + 6 _ A Bx+C _ A(x2 + 3) + Bx2 +Cx
v1 +3x
x
x 2 +3
x(x2 +3)
...(1 )
162
Eduardo Espinoza Ramos
igualando numeradores se tiene:
4x2 + 6 = (A + B)x2 + Cx+3A
Por identidad de polinomios se tiene:
A +B =4
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
A =2, B = 2. C = 0
C=0
3A-6
Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1):
_ C ^ (jx+ f ~A (¡x = 21 n|jc|h- 1n| v2 + 3 |+ c - ln x 2(x2 -r3) + c
r 4y
i
,«)
+ 3 a'
v
J
x
+3
f v’ t 3 v : - 2 , t l rfj
J v + 5x 4 4
Solución
Como
0(y) = x 4 +5x2 +4 = (x2 +4)(x2 +1)
entonces
a
la
integral
dada
expresaremos en la forma:
r x J +3.v2 -2.v + l ,
r Ax+B Cx-i-D ,
J—
r f r = f t - — +- ^ — )dx
J
v -i 5 v ” h 4
j
+1
r + 4
...d )
ahora calculamos las constantes A. B, C y D.
v’ + 3x~ - 2 \ +1 _ A\ + B
x 4 +5x2 + 4
r '+ l
C'x + D _ (Ax+B)(x~ + 4) + (Cx + D)(r +1)
x~ +4
( x~ + 1)( v‘ +4)
igualando numeradores se tiene:
v1 + 3x2 -2 y + 1= A (x’ + 4x) + B(x2 + 4) + C'(x3 +x) + D{x2 +1)
v3 + 3x2 -2 v + l = (4 + C)x3 +(B+D)x1 +(44 + C)v + 4B + D
por identidad de polinomios se tiene:
Integral Indefinida
163
A +C = 1
„ ^ .
B +D =3
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
4A + C —-2
4B + D = \
A = —1. B = ~ - , C = 2, D= —
3
3
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1).
f v + 3 r' -2 x + l .
f xdx
J
J
x + 5x" + 4
2 cf dx
x ' +1 3 J .v +1
f 22xx dx
dx
11 f
J x ~ +4
3 ■>
dx
t
+4
1 , , i ,, 2
. . ■>
II
x
= — ln |x " + 1 |— arctgx+ l n |x _ + 4 | + — arctg—+ c
^
1
(JC -U ÍJC ! + 2 * + 2 )
Solución
A la integral dada expresaremos en la forma:
B
Cx+D
r (* —2 x -+ 3 x —4) d x = C(^ _
i
■ ---------x""i— ;----------- )dx
2 x + 2)
J x -1
- \ ( x -1 )' x '+ 2 x + 2
J ((xx -l)~
- l ) - (x
( x~2++2x
( 1)
ahora calculamos las constantes A, B. C y D.
x 3 - 2 x 2 + 3 x -4
( x - l ) 2(x2 +2x + 2)
A
B
Cx + D
- + --------- + x -1 (x -1 )2 x 2 + 2x+2
_ A ( x - l)(x2 +2x + 2) + B(x2 + 2x + 2) + (C x + D )(x -l)2
(x —1)2(x 2 +2x + 2)
igualando numeradores se tiene:
x3 -2 x 2 + 3 x -4 = z)(x3 + x2 -2 ) + tf(x2 + 2x+2) + C(x3 - 2 r 2 +x) + D(x2 —2x+l)
= (A + C)x3 +(A + B - 2 C + D ) t 2 + (2B + C - 2 D ) x - 2 A + 2 B + D
por identidad de polinomios se tiene:
164
Eduardo Espinoza Ramos
A +C = 1
A + B - 2 C + D = —2
2B + C - 2 D =3
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
A=*.
25
- 2A + 2B + D = -4
B = - -2 , C = ^ D
5
25
=- ^
25
Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1).
18 r xdx _ 2 r
r (x3 - 2 x 2 + 3 x -4 )
J ( x - l ) 2(x2 +2x + 2)
X
25 J x -1
dx
+ 1 r
7 x -4 4
(x
-1 )2 + 25 J x 2 +2x + 2 *
íx-1)-
2x-t+ 2
, 54 r
dx
18iln i r - 1i. + --------2 + 7 r 2x
=—
d x - — — ----------- + c
25
5(x -1) 50 J x 2 +2.
2x+2
25 J x 2 +2x + 2
= — ln | x - 1 1+ — - — + — ln | x 2 + 2x + 2 1
arctgfx +1) + c
25
5 (x -l) 50
25
x 2 +3x + 5
dx
x +8
Solución
Como
Q(x) = x 3 +8 = (x+2)(x2 - 2 x + 4) entonces a la integral dada escribiremos
en la forma:
Í x 2 +3x + 5 ,
f, A
Bx + C _
H ; ---)dX
^ Ü T d x ^ —: + 2i x* -2 x + 4
ahora calculamos las constantes A, B, C.
x ' +3x + 5
A
Bx + C
x 3 +8
x+2
x2 -2 x +4
_ A(x' - 2 x + 4) + (Bx + C)(x + 2)
(x + 2 )(x 2 - 2 x + 4)
igualando los numeradores se tiene:
x 2 + 3x + 5 - A ( x 2 - 2 x + 4 ) + fi(x2 + 2x) + C(x + 2)
= (A + B)x2 +(-2A + 2B + C)x + 4A + 2C
Integral Indefinida
165
por identidad de polinomios se tiene:
A +B =1
- 2 A + 2B + C = 3
4A + 2C —5
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
i
3
A
=
C=2
4
4
Luego reemplazando, los valores de A, B y C en (1).
Í ’xx~2 +
+3x
3x + 5 ^, _ 1 r dx + I1 rr 3x + 8
—dx
x 3 +8
x + 2 + 4 J x2 —
2x+ 4
]+c
=-[[—
+-[ ,2X 2 dx-hllf■* ( x -1*) ' -4 J x + 2 2 J x -2 x + 4
+3
= ^ [ l n |x + 2 |+ y l n |x 2 - 2 x + 4 |+ -^ a r c tg ( :^ J -)]+ c
13)
r x + x —l
|4 ± í = i *
J (x 2 + 2 ) 2
Solución
a la integral dada expresaremos en la forma:
rx ’ + x - l .
, ■> + 2)'
^
J] (x-
rrAx + B
Cx + D , ,
= JJ [~x"^ +T2 + 7(x-? +' T2) ^ dx
- (1)
ahora calculamos las constantes A, B, C y D.
x 2 + x - l _ Ax+B
(x2 +
2 ) 2
~ x2+ 2
Cx+D _ (Ax+ B)(9x2 +2) +Cx + D
(x 2 + 2 ) 2 _
(x 2 + 2 ) 2
igualando los numeradores se tiene:
x 3 + x - l =(Ax+B)(x2 +2 ) + Cx + D = A(x2 +2 x) + B(x2 +2 ) + Cx+D
por identidad de polinomios se tiene:
Eduardo Espinoza Ramos
166
A =1
B =O
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
A = l. B = 0. C = —1, D = - 1
2A+C = 1
2B + D = - l
Luego reemplazando los valores de A, B. C y D en (1).
Í x3
x + x - l ., r r xax
xdx r r x+I
x+1
~ ■>
_ J T r —I “ 9 _ ■>í / x
(x~+2)~
J x ‘ +2 J (x + 2 )'
1
1
= —ln | x" + 2 |+ 2
2(x'
(x2 +2)
Calculando la integral
=
x = V2 tg0
íír
• '( x 2 + 2 ) 2
dx
... (2)
í—
—J (x + 2 )'
0 = arctg(-^=)
V2
dx = ^J2 sec2 6 d 6
-\/x2 +2
sec 0 = V2
r
r
JJ ((x
x 2-+
+2
2 )) 2
-v/2
sec© =-\/x2 +2
_ r-\/2sec2 0í/0 _ ^ 2 r
J
4sec4 0
4
=>
eos2 o d e
J
2scc2 0 = x 2 +2
V2 r 1+ eos2O
=—f——
" de
4 j
2
-v/2
sen 0
= 2^- f ( l + c o s 2 0 ) í / 0 = 2^-(0 + -S
C
o
Z
8o »
V2
reemplazando (3) en (2).
-v/2
n
o
+ sen 6 eos6)
...(3 )
167
Integral Indefinida
f
dx
■» -í(.í2 +1)2
Solución
A la integral dada expresaremos en la forma:
dx
~ f r ^A
J v(a2 + 1)2
f
Bx+C
Dx + E
Bx
— +—
t¥ x
+1
(x
-(I)
+ 1)
Ahora calculamos las constantes A.B,C.D y E
A Bx+C
- = — +x(.v2 + l)2 x x 1 +1
Dx+E
A(x +1 y+(Bx+C)x(x +\) + (Dx+E)x
(x2 +1)2
x(x +1)
igualando los numeradores se tiene:
1 =A(x4 +2x2 +1 ) + B(x* + x 2) + C(x2 +x) + Dx2 +Ex
1 =(A + B)x4 +Cx2 + (2A + B + D)x2 +(C+E)x + A
Luego por identidad de polinomios se tiene:
A +B =0
C =0
2A + B h D = 0
C +E = 0
A =1
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
A=l, B = - 1, C = 0, D = —1, E = 0
Por lo tanto reemplazamos los valores de A, B, C, D y E en (1).
168
©
Eduardo Espinoza Ramos
¿-.-v +r 3x~ +• A
2x
x —i1
.
ñ------------T dx
J ---------(x + \)(x~ + 2x + 2)~
Solución
A la integral dada escribiremos en la forma:
r
2x3 + 3 x 2 + x - 1
fr ^
Bx + C
Dx+E
---------- i
T dx= U---- r + - ^ ---------- + — ------------ T^dx
(x + l)(x '+ 2 x + 2)~
^ * + 1 x + 2x+2 (x“ +2x + 2 )'
—*
ahora calculamos las constantes A, B, C, D y E.
2x'1+3x2 + x - l
(x + l)(x2 +2x + 2)2
_ A
*+1
Bx + C
x
2 + 2
x
Dx+E
+ 2
( r 2 +2x + 2)2
_ A(x2 +2x + 2)2 + (fix + C)(x + l)(x2 +2x+2) + (Dx + E)(x + \)
(x + l)(x_ +2x + 2)‘
igualando los numeradores se tiene:
2x3 + 3x2 + x - l = A(x2 +2x + 2)2 + (fix+C)(x + l)(x2 +2x + 2) + (Dx+£)(x + l)
= A(x4 +4x3 +8x2 +8x + 4) + ¿?(x4 +3x3 + 4 x 2 +2x) +
+ C(x +3x +4x-r2) + D(x +x) + E(x + l)
2x3 +3x2 + x - l = (A + B)x4 + (4A + 3B + C)x3 + (8A +4B +3C + D)x2 +
+(8/4 + 2B + 4C + D +E)x+ 4A + 2C + E
por identidad de polinomios se tiene:
A+ B =0
4A + 3B + C = 2
KA + 4B + 3C+D=3
KA + 2B+4C ^ D + E = 1
4A + 2C + E = —]
ahora resolviendo el sistema se tiene que:
A = —1, fl = l, C - 3, D = - 2, E = - 3
Integra! Indefinida
I
Luego reemplazando los valores de A, B, C, D y E en (1).
r
2x3 +3x2 + x - l
,
r r -1
x+3
2x+3
---------- ^------------T dx = [----7 + —— ------------ í-------------T^dx
J ( a + 1 )(a- + 2 a + 2 ) -
r dx
lx + 1
--1
,
j
jt-1
1f (x + l)dx
Jl . J + Zx + 2
a - + 2 a + 2
[
1
J
( a 2 + 2 a + 2 ) 2
r (2x + 2)dx
1
+2x + 2 J' ( a 2 + 2 a + 2 ) 2
f
rfx
^
a
2
i i | a + 1 | + ~—1n | x 2 + 2x + 2|+2arctg(x
2
J' ( a 2 + 2 a + 2 ) 2
+ l) + —— -----x +2x + 2
— arctuíx + l)
—
+c
2
2(x +2x + 2)
= - l n |x + l | + —l n |x 2 + 2x + 2 |+ —arcte(x + l)
— —+ c
2
2
2(x +2x+2)
1.6.11
E.JERCK kOb PROPUESTOS. Calcular las siguientes integrales indefinidas.
©
f ^^lx-91
w
J (v —I)íx + 3)íx —41
®
f (2v2 - 5 )dx
—
Rpta. — = l n
J a 4 - 5 x 2 +6
/TN
r (2x + l)rfx
—---------J x -7 v + 6
©
f 4* + 4x - 18x + 6 ^
J A -JA - X~ +3a
mi^ -1)4^ - 4)5|4c
1
x-y¡2
j=\+— 7=ln
2 Í 3 x + ^/2
Rpta.
1 ,
2^3
1
(x -2 )2
—-ln | —--------4
(v-1) (x + 3)
x--j3 ,
=■ \+c
x + ^3
|+t
Rpta> 2 ln | a | -3 ln | a + 11-t- ln | a - 1 1+4 ln | a - 3 1-t-c
Eduardo Espinoza Ramos
170
2 y2 -1
©
a
©
dx
Rpta. l n ( | A | ^ ) + í-
3 - a
32a
dx
-dx
(2a -1)(4 a -1 6 a + 15)
(5a
©
+ 2
)dx
a
3 - 5 y2 + 4 a
a
4 - 3 a 2 +2
Rpta.
-v
( a - 2 ) 3' " 1
jc
1
4
16
Rpta. —+ — ln |
4a 3 - a
4
Rpta.
- dx
(3a - 2 ) < íy
(2A + i r ( 2 A - l )
1
A+ l
2
A -l
Rpta. —— ln | a +
2
1+
3
( a + 2 ) ( a + 1)(a - 1 )
( 2 a 2 + 3 a -1)<íy
T I+í;
-+— ln | ------ 1 +í-
A -l
A3 - A 2 - A + l
©
l+í-
(a + 3)
a
dx
(3a + 5)
-2
Rpta. l n |—-7 -
+ a 2 —6 a
A3 - l
©
I+c
7. 3
Rpta. I n J —
+c
A —1
( a + 1)<Za
y3
-\/ a ( a — 4 ) 161,<
5 a + 1i i |
(A -l)
xdx
©
Rpta. ln |2 A -l|-6 1 n |2 A -3 |+ 5 1 n |2 A -5 |+ r
Rpta. 2 ln | a
+ 3
—
2
ln | a
1— j ln | a
+
+
11+
2 1+
—
6
ln | a - 11+c-
-j | a -
11+c
(a + 3)(a + 2)(a - 1 )
(a 2
a
- x + \)dx
4 - 5 a 3 + 5 a 2 + 5a - 6
Rpta. —1n| a — 1 1 - — ln| a + 11+ —ln|
4
8
8
f ■A6
A - /2 Aa 4 + 3J A
a "3 - 9 a 2 + 4
J
A5 - 5 a 3 + 4 a
A
di
D
.
y
- 3
A2
| - ln| a
-
- 2
|+c
a ( a - 2 ) ^ / ( A - 1) ( Y + 1)
Rpta. — + ln | ---------- *---------------- |+c
2
a
+ 2
Integra! Indefinida
171
v4 + 3 y 3 - 5 y 2 -4.V + 17
3
JJ
,8)
f
<£y
‘Y +Y " - -------------,
-55 v + 3
^ r’ -lb t + S
—
y2 _
3
Rpta. — + 2 y ---------- ln
2
y
i
,
+ 2 y - 3 +i-
y -1
J x
—4 v + 5.V - 2
Rpta. ln(.v-l)2(Y -2 )3 ---- — + r
Y—1
f
x 2dx
Y'flY
_ ^
ClX
2y* - 22y +1
3
¿y
1
(3y + 2)dx
„ t
1
y+3
4y + 3
. . y
■>
Rpta. --------- - + ln(----- ) +c
2(y + 1)
y íy + 1)3
f (y " +x —\)dx
R p ta .
■A+l dx
x +1
í-----+ —ln| y - 1 | - —ln| Y + l |+ c‘
2( y - 1 )
J Y3 —Y2 - Y + l
4
4
Rpta. ^ l n |—^— l - ^ a r c t g A + r
o
y 3 +4v
1y 3 + 4 y +1
1
-\+c
Rpta. —ln | ------ \ - — + c
9
x
3y
J y 3 +3y2
4
Y+ l ,
y —1
3y
dx
f
1
6
y+2
Rpta. — —+ ln | 2 y - 1 | +c
2y 5 - y '1
J
1 . . -V -2
Rpta. —ln | ---- - | + —l n |
-<¿Y
+4
i
y"
+4
2
2
dx
Y + V +1
Rpta. -^-ln|Y 2 + y + 1 1—\¡3 arctg ( ^ ^ 1) + - j = arctg ( ^ _ S + +
■ 2y ~
Y4 + Y 2 +1
_
R p ,a -
1.
,y 2 - Y + l.
1
,2 y + 1
1
2 y -1
i ' " l7 ^ T T l+^ arc,e<" x H 7 r a'c,8(" 7 r )+‘:
Eduardo Espinoza Ramos
172
'
- 2 4 a 3 + 3 0 a2 + 5 2 a +17
dx
9 a 4 -6 a :3 - 1 1a2 + 4 a + 4
1
Rpta. - l n |( a + 2)2' 3U - 1 ) 2 |-
-+ c
a —1
3(3a + 2)
r (jc 2
-3x-7)dx
+ ln | x + 11— ln | 2a + 3 1+ c
A+ l
( 2 a + 3)(a + 1)2
2
A+ l -
dX
f
3
Rpta.
A
J A 2 (A + l ) 2
x~
- 3 a + 2
t^ a + 2 ^ 2 dx
A-1
Rpta.
J X
- Y
1 1
a 3 - 6a 2
„
,
A+ l
a
+
a
- 2
4 ,
5 a + 12
Rpta. 21n -------4) 2
+ 9a + 7
.
---------- r---------- dx
( a 1 - 2 x + 3)dx
(a - 1 ) ( a 3 - 4 a 2 + 3 a )
5a - + 6a + 9
(a - 3 ) 2 (a + 1)2
■dx
3
Rpta.
+ 6
a
a
- +r
+ 8
— + ln | a —5 1+t-
2(a - 2 )
( a - 2 ) (a —5)
■
t-c
A —1
2
a
x~ dx
J
c —1
Rpta. — i— ln | ----- l+c
2
(a + 2 ) 2 (a +
f
41ii|a |-3 1 ii| a - 1 |
a+2
dx
I "1
A +1
Rpta. -------+ ln | a + 1 1+c
i , - . ; , - + 8a + 4
f
A
A
xdx
©
1
Rpta. ln| —— 1+ tí +(A +l
A +l
dx
a ( a 2 + 2a + 1)
j
1
Rpta. 2 ln |----- 1-------------- i-r
1
Rpta.
a
J (
a
—1
|a |
9
Rpta. - - (
2
-1 )(a - 2 )
+ ln | —----- — --------- |+ f
a
1
1 1
-3
2
y
-) + f
+1
173
Integral Indefinida
(x2 - 8x + 7)
dx
Rpta.
(x 2 - 3 x - 1 0 ) 2
4
3
x - x -x -1
49(a—5)
27
30
. -v- 5
-+
ln | -------1+c
49(x + 2) 343
x +2
,
dx
Rpta.
x -x~
(x -3 )dx
_
1. , x +1 ,
Rpta. —ln | — — |
-+
9
x -2
3( v —1)
(x + 1) 2( x - 2 )
c
1 x -1 .
5
Rpta. —ln -------+c
9
x+2
3 (x -l)
(2x + 3)<íy
(x + 2 )(x -l)'
x 3 -3 x + 4
---- - + 21n| — \+c
2 x
x -1
dx
(x + l ) ( x - l ) ’
1
Rpta. — ln | x + 11+— ln | x —11+
4
4
2(x + l)
©
x3 -6 x 2 + llx -5
dx
(x-2)*
2(x + 1)
2(x - 2)2
, +c
3(x - 2)~
+ ln(x - 2) + c
1
v
Rpta. — hln | ------ 1+c
x
x +1
X~ + X —1
dx
X 1 +x~
x ' - 2 x L +4
Rpta.
1
dx
x 3( x - 2)2
x +1
dx
x 3 - 2 x 2 +3x
I
-+c
Rpta. —ln| Y- | —-(1 + — )4
x -2
x
2x 2 (x -2 )
_
ln| v| l n |x 2 - 2 x + 3| 2
jc — 1
Rpta. — — ----- + —arctg(------) +c
H
3
6
3
2
dx
(x2 - 4x + 3)(x 2 + 4x + 5)
1
1
1
7
Rpta. — 1n | x —3 1------ ln | jc —11+ — ln(x2 +4x + 5)+ -----arctg(x + 2) + c
v
52
20
65
130
174
Eduardo Espinoza Ramos _
■ x~ + .v-2
dx
x 4 +5x2 +4
„
1 , „ x 2 +1 ,
-V
Rpta. —Ln | —^-----1- arclgx + arctg—+ c
6
x ~ +4
2
-
• (2x~ - 3 x - 3 ) d x
3 , , ■>
1
,x-l,
Rpta. —ln(jr —2jr + 5) —ln(jc —1) h— arctg(---------------- ) + <•
(jc-l)(jr“ - 2 * + 5)
2
2 ^ 2
x sdx
(JT + 4 )‘
4x +6
í
Rpta. —------2 x 2 +4
dx
x'+3x
dx
©
(x 2 +2.V + 5)3
41n|jr2 + 4 |+ c
Rpta. ln(jc2(.v2 +3)) + r
2(jc + 1)
3(*
+ l) 3 . ,x + l y
) +c
Rpta. — ------------- + ----- -------------+ -arctg(
(jr~+2jr + 5)‘ 4(jc~+2* + 5) 8
2
dx
, 4
2
* ( .V
+ .V
+1)
Rpta. ln | je | ——ln | jc 4 + x 2 + 11+ -^^-arctg(^-(2.v2 +1)) + ----- —-------- + c
4
18
3
6 ( j c 4 + jc +1)
' 6x dx
(JT2 +1)2
• a 3 + 2*2 + 5* + 8
x(x2 +4) 2
X
Rpta. 3 1 n |* 2 + l | ---- ^
+c
X 2 +1
Rpta. - j l n l - í — |+ -^ arctg ^ - + ----- 2-----+ c
4
a +4
16
2 8(.v +4)
175
Integral Indefinida
58)
f 3»4 - 4 , ’ + 7 , ’ - f a +H dx
■* (a " + a + 1)(a - a " - x - 2 )
n
oi i i 1
ii
4a + 5
Rpta. ln | x - 2 1+ ln | x~ + x +11----- —
3 ( a '+ y +
f 1 + X +x+ dx
x +3.V+2
^
[
X ^'Y---------------J v6
a 6_
- 1i n
0 ví
a 3+
+Q
9
f
a 4 + 8a 3 - a 2 +
(a " +
a
)(a
2a+ 1
w
' ln(.v2 + 2) + c
2
Rpta.
— ln|^- —- | + c
H 24
r3
24
a 3- -l 1
,
--------------------dx
J
arctg.Y +
38
2a + 1
=■ arctg(— = - ) + c
3V3
V3
„
a3- a 2+a.
.
3
2
,2 a -1
Rpta. ln | ---------- — | ------- -+ -= arctg(—
-
(tío)
Rpta.
1)
+1)
(a
+ 1)-
X + I -J3
+c
-J3
( a 7 + a 3 )</a
f—
J A12
-2a 4 +1
Rpta. —ln|A4 - 1 | —-lnlA* + a 4 - 1 | ---- ^=ln| ~'V
—-^= 1 + ^
2
4
2^/5
2a4 +1+-s/5
[ \ dX
J
64)
a
Rpta. - ^ ( a 3 - l n | a 3 -1 |) + c’
-1
3
+A2
f rC3 +
* - - 5 8 + 15
* (( aV“2 .+ 5 ) ( a " + 2 a + 3)
Rpta. ln-^A2 +2a + 3 + ~^= arctg('V* S ~~v/5 arctg(-^) + í
V2
V2
V5
65j
'
f X -+ * -y rfr
■* (a +2)
p
( 4 a 2 - 8a )
r— ----- -d x
J ( a - 1 ) 2( a 2 + 1 )2
Rpta.—~ t ~ -----1nVa~ + 2
4(v +2)
^=arctg(-^=) +r
4V2
-y/2
3 a 2 -1
(a —1) 2
(a —1)(a +1)
A'+l
Rpta.----------- ------+In(— -------) + arctgv + i-
Eduardo Espinoza Ramos ,
176
67)
f
—1
,
d x
— -------- ^--------- T
} ( x 2 - x ) ( x 2 - x + l) 2
68)
^
10
2. v - l
2 jc — 1
3v3
V3
3 ( - r - * + l)
Rpta. ln(-) - —r arctg(—
X
f X + ~*'v + ~* (]x
J U + l)(.v2 +l)
--------------------- +c
Rpta. —ln | x + 11+ —ln | x 2 + 11+—arctgx + c
2
4
2
69)
J
.v +5.v +4
Rpta. ln |.í 2 + 4 | + - ^ - a rc tg y -y ln |x " -rl|-yarcig;Y + c
s>
^
i - f - - * -:- 3- * '
J (-V -l)-U -+4)
R pta.
4
, ,
,,
lnhf-1
2
25
71)
5 (jf-I)
2
+ — ln
y"
i
19
+4 + — arctg.v + c
25
50
fü - ^ - d x
J
.y -2 7
_
14
Rpta. — ln
27
f
.y
-3
( 2 j y 2 —3 j t — 3 )
I
J (,y -1 )(.y 2
-2 .y
r ( x U l j _
x ~X
13 . i
ln y "
54
+ —
+5)
í/ y
,
..
+ 3.y + 9
7
2v +3
p=arctg( — ¡ = ^ )
3V27
-V27
+ —
-\ /(-y2 - 2 . Y + 3 ) 3
+ c
l
—l .
Rpta. ln-------------------- + —arctg(------) + r
\x-l\
2
2
i £ l i 2 l + ln J ^ Z Í L _ arctg Y+ £.
+ .Y -1
2
/^ T T
_
1 , . 1+* . 1
Rpta. —ln | ------ 1— arctgjr + í4
1 - ,y
2
177
Integral Indefinida
r
dx
J (i rj r2 +-l-U/V
l)(x 2
“
„
,
1
JC
) — arctg x +c
(jc + 1 ) ~ ( j c 2 + 1 )
4
+ jc )
22x2
jc~ —
—xx ++ 22
f
1,
Rpta. —ln(-
2
1
dx
Rpta. ln(—---- ) — arctg jc +
A- + 1
2
-v 5 + 2 x 3 + jc
¡ ^ 4 d x
Rpta. lnc/jr 2 + 1 — —arctg j c
2
J (x-+ir
c
^ -------- +c
2 (jc ~ + 1)
dx
jc( 4
+ jc " ) ( 1 + jc ‘ )
1 1
7
1
Rpta. —
lnjc-----ln(x
2 + l) + ----- ln(x 2 + 4 )--------+c
U
IO
'
'
TO O
'
a
/ 1 .
16
18
288
2 4 ( jc + 4 )
■
(5 jc 2 - 1 2 )
dx
Rpta.
( j c 2 — 6 jc + 1 3 ) 2
(x+iy
dx
3
í
dx
jc 4 + 1
■dx
í --------- -(.x + l)(jr + 8 )
5 jc 3 + 1 5 j c 2 + 1 8 j c + 8
Rpta. —arctg(.c + l ) ---- — — ----- — — + c
( j c 2 + 2 jc + 2 ) 3
©
13 jc - 15 9
53
jc — 3
r-------------- + — arctg(------ ) + c
8 (r - 6 jc + 13)
16
2
8 (jc
“
1
jc 2 + x ^ 2 + 1
Rpta. — = l n | ^
4^/2
x 2
~ x^¡2+1
-^2
+ 2 jc + 2 )~
. t/2j
|+ — arctg(----- - ) + c
4
1 + jc2
Rpta. ^-[81n|jc3 + 8 |- l n |j c 3 + l|] + c
Eduardo Espinoza Ramos -
178
2x dx
—1n|A' + 11+ —ln |l + .r 2 |+c
Rpta. —
2(x +1) 2
4
-
(1
+ *)(1 + * 2 ) 2
(x-l)3
Rpta. ln----- — (* + l) + c
f x 2 +2x + 3 ,
JI
xi -x
f
l +2 x - x 2
J
(1
dx
^
l
1
Rpta.
ln| .1 + * = |+
-----+ arctgx + c
-\/l + ;v2
^+x
r.
+ a ) 2 (1 + jc2)
f dx
JI X i +x 9
_
. .*+1 . 1
Rpta. ln | ------ 1— + c
x
x
f f ..+
J — dx
J x 3( x 3 +8)
Rpta. — ^ + — ln | x + 2 1——ln | x 2 + 2x + 4 1+ ^ ~ arctg *
+c
32
16
-x/3
8"jc ~
16
(2x3 - 4 )dx
Rpta.
Jí —
(r2
O r + 1)(* + 1 )
4 x 2 + 2*+ 8
©
H
J X
+4* +4*
dx
x +1
+ ln | x 2 + 1 1 -arctg* + c
-J2x
V2 r
Rpta. ln(—— -) + — [arctg^= + —— - ] + c
x~ + 2
8
-v/ 2
* “ + 2
dx
*(*¿ + l ) - ( * 4 + 1 ) 2
Rpta. 1n| jc |
16
ln| jc +1| — ln| j c ~ -h 11— arctg*- +8 (*
l-
* 2
-+ c
+!)(* + 1 )
3 dx
J
*(*8
+2 * 4 +2 ) 2
3*4
Rpta. —1n | jc | ——ln | .v8 + 2* 4 + 2 1-~arctg ( * 4 +1)-+
4
32
8
16(*8 + 2*4 +2)
r
Integral Indefinida
96J
179
Rpta. i l n |, v 4 - l | - l n U | + C
4
f
f
J x(x4 -1)
dx
v(* - 1)(.Í +4)
Rpta. — ln | jc6 + 11—ln | | + —ln | jc1 - 1 1
12
6
6
arctg(v3 ) + c
e~x dx
+4t' v - 5
Rpta. —ln |
7
99J
r.v
' ,v4 -4.V"
—4,v -14.V
|
'-dx
J -v2 -2>
2 jf - 8
Rpta.
;iooj
- 1 | ——l n | e 21 +e* + 5 1+ - ^ ^ - a r c t g ( ^ ^ - ( 2 é ’A+l)) + t14
133
19
+ ,v2 + 8 -í +
ln | x - 4 1- - ln | v + 2 1+c
f 2jrfY dx
J x +x ~ + 1
1 , , r - i + l ,
1
2 .v+ l
1
2 .V- 1
+c
Rpta. —ln —-------- + - 7= arctg— p - + - —arctg
2
.v + .r + 1
-n/3
-s/3
-v/3
-73
Rpta. —lnl.v 2 +.v + l I —J3 arctg ~ ^
2
- ^3
'"'N
,02)
•—S
r dx
—z------r
J r +v
^3
arctg( 2~Y S + c
-73
^
1
1
1
RPta- -------r + — ;-------- arctg jr + r
5jts
3x*
x
180
Eduardo Espinoza Ramos
f
* ----------J (.v2 -x )(x 2 - x + 1 ) 2
v —1 ,
10
2 x -l
2 x -l
Rpta. ln ----- -------arctg— = ------------ ------- —+ c
x
3^3
43
3(x - x + 1)
f tg x dx
-------(sen x + 1)
f—
r
x (x
(106)
V J
_
, .
. 1, ,
7
1
Rpta. ln |se n x | — ln|sen x + l | + ------- --------7
7(sen x + 1)
9
f ~~rr~r.----x (x + 1 )
f
3X -6
11
,
dx
—
M l + x )-
f 5*~ -+12* + 1 ¿x
J v 4- l v - 4
f
9 ( x 9 +1)
Rpta. — ln |x n + 11
I —------dx
J x + 4 x '+ 4 v
f
¡ -----r + c
RPta- l n | x | ~ l n | x 9 + l | + -----j
+1)
„
Rpta. 2 ln
X -2
1
x
x -2
18( x
+1)
í— - l n |x |+ c
l l x 11
vc
x
1.
. (x + 1)2
2
2x -l
Rpta. -------- -—i— ln 1—-------- + —= a rc tg — ¡ ^ + t
3(1+ . v )
9
x- _ x + ]
R pta. ln [(x -l)2(x + 2)3]
3^/3
'— + c
x+2
(x-2)dx
J x(x 2 - 4 x + 5 ) 2
„ .
x —4
1
x ~ -4 x + 5 . 3
_
Rpta. ------------------ + — l n |-------- ;------1—— arctg(x-2) + t10(x~-4x+5) 25
x~
50
f- -^ X- ■— ^ —-dx
J (x- -lK x - - 4 )
Rpta. 21n|x 2 - l | + l n | x 2 - 4 |+ í-
r
1
x-1
1
2x + 1
1
RPta- T l n l - 7 = T = = l + - 7 T arclg—7T' + - + Í
3
4 x 2 +x + l
V3
V3
x
dx
—
r
1 x -x-
181
Integral Indefinida
x~+x- 1 0
-------------r------ dx
(2x - 3)(x + 4)
1 ,
jc + 4 .
x
Rpta. —ln ------- + arcttj—
2
2x - 3
“2
f
x dx
Í T w n
l „ 5)
ff ^^ í—
l z -dx
i*
J x’ -1
1 , , 2x 2 —1 —\/5 .
" > * • 2 l n |i 7 r r ^ l+<:
T Í))
(Ílió
f 'V
\ +
dx
J jc —3x + x + 5
(íw)
■* {x - l) * ( x ' + 4)
©
1.6.12
(1 1 7 )
ff < / + 5> A
J jrO r+ 8)
@
J x" + 4x + 4x
C
. ^
f iliíü
J
; ^
©
x -x
j 4 ^
■viE.OiH) M HERMITE^OSTROGRAPSKI- 1
Cálculo de la integral de la forma:
B -■t:■■■efe,
j, * ■f-.... A x +......
n - 1,2,3...
J (x 2 +bx+c\n
donde x 2 + fcx+c es una expresión cuadrática irreducible.
Para el cálculo de estas integrales se debe escribir en la forma:
e
I - * f C’x-t-D ,
i "
■■:■■■■...: dx - - .......
I
dx
l \ x +b:r+ é)
(x + é x fc ) ••• J x » bx+c
donde P(x) es un polinomio de grado < 2(n - 1) = grado de (x 2 +bx+c)"
1
y los
coeficientes de P(x) así como C y D se hallan derivando ambos miembros y se aplica
el método de los casos de 2.9. Además la integral del segundo miembro se calcula de
acuerdo al caso 1ro. De 2.9.
Ahora veremos el método de Hermite-Ostrogradski si en la función racional
P ( Jt)
QM
función polinómica Q(x) se descompone en factores de multiplicidad, es decir:
, la
182
Eduardo Espinoza Ramos
QU) ~ ( x - a xf ' ( x - a 2 f * (x - arf> (x2 +bix+c i f - <x2 + bfx
entonces a la integral
J
se expresa en la forma siguiente:
... (a)
donde £?¡(x) es el máximo común divisor de los polinomios Q(x) y de su derivada
Q'(x) y Q2(x) = - ^ —^ - , además f(x) y g(x) son polinomios con coeficientes
i
indeterminados, cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Qx(x) y
Q2(x ) respectivamente.
Los coeficientes indeterminados de los polinomios ffx) y g(x) .se calculan derivando la
ecuación (a).
Ejemplo.
Calcular las integrales siguientes:
©
Solución
Como Q(x) = ( x + l) 2 (x 2 + l ) 2
=> £>’(x) = 2(x + l)(x 2 + l)(3x 2 + 2x + l)
además: Qx(x) = máximo común divisor de Q(x) y Q'(x) es: Qx(x) = (x + l)(x 2 +1)
además £?-,(*) =
Como:
í
Q(x) _ (x + l) 2 (x 2 + l ) 2
= (x + l)(x 2 +l)
Qi(x)
(x + l)(x 2 +l)
dx
_ f ( x ) | r g(x)
O, (x)
Qi(x) J QAx)
(x + l) 2 (x 2 + l ) 2
... (a)
183
Integral Indefinida
derivando y agrupando la ecuación (a) se tiene:
-------- = [Dx5 +(-A + D + E)xi + (-2B + D + E + F ) x 3 +
(x + l)(x 2 +l)
+ ( A - B - 3 C + D + E + F ) x 2 + ( 2 A - 2 C + E + F ) x + B - C + F M ( x + l ) 2(x2 +1)2]
por identidad de polinomios se tiene:
D =0
—A + D + E = 0
^
«
- 2 B +D + E + F = 0
A - B - 3 C + D + E +F = 0
2 A —2C+E + F - 0
resolviendo el sistema se tiene:
A = - ~ , B = - , C = 0, D = 0, £ =
4
4
4
F =4
B-C + F =1
ahora reemplazando estos valores en (a):
o - í +i
+0
f
■* (x + l)~(x" + 1) '
4
1
(x + l)(x~+l)
+ í
V
- *
(x + l)(x + 1)
\ ,
x ' -x
, 1f
x -3
,
= ~T<-------------5----------------i------ dx
4 (x + l)(x 2 +l)
4 J (x+lK x 2 + 1 )
1
,
x2 -x
,
l rf -
2
rfx
r2xdx
r dx ,
Jx
J x2 +1
- ( -------- 5---- ) - t U ---- T + 1 ----- ~2----- ]
4 (x + l)(x 2 +l)
4 J x+1
2—
1
— ^---------- [ - 2 ln | x +
4(x+ l)(x +1)
x —x
2 +1
1 1 + ln(x 2
+ 1) - arctg x] + c
4
l , .
. ..
1 , . .2
1
+ —ln |x + l | — ln |x + 1 | + —arctgx+c
4(x+l)(x2 +1) 2
4
4
/
Eduardo Espinoz# Ramos
184
Solución
Sea Q(x) = (x2 - l ) 2
=>
Q'(x) = 6 x 2 ( jc 3
-1 )
Luego el máximo común divisor de Q(x) y Q'(x) es Q1( x) , es decir:
Qi (x) = m£.d. (Q(x),Q‘(x))=x2 - 1
además:
£?2 0 0
=
Q(x) _ (x 3 - l ) 2
Qi(x)
]
x3 - l
... (a )
derivando la ecuación se tiene:
1
(x*-l)(2Ax + B ) - ( A x 2 +Bx+C)3x2
(* 3 - l ) 2 ~
(x 3 - l ) 2
Dx2 +Ex+F
+
x3- l
eliminando denominadores se tiene:
1 = (x 3 - l ) ( 2 A x + B ) - 3 x 2(Ax2 +Bx+C) + (Dx2 + Ex+F)(x2 -1)
1 = Dx5 + (—A + E)x4 + (-2B + F ) x 3 + (-3C - D)x2 + (2 A - E)x - B - F
por identidad de polinomios se tiene:
D =0
-A + E =0
„
- 2 B + F =0
-3 C -D =0
2A -E =0
B-F= 1
resolviendo el sistema se tiene:
A = 0, B = - - , C = 0. D = 0, E = 0, F = - 3
3
Integral Indefinida
185
Ahora reemplazando estos valores en la ecuación (a)
íJ (i*
- r —l)
^ 2— 3(jc —I) r í - r -
J
3j
x 3 -1
x -1
3j
■••«>
x 2 +X +1
= ~ l n |x - l |- ^ - l n |x 2 + x + l | — ^ a r c t g í ^ ^ - )
3
6
V3
...( 2 )
V3
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
dx
-x
1 , ,x 2 +x + l x
2
,2x + l x
—r----- - = ----- ----- + —ln(——— —) + ——arctg(—;— ) + c
j (x 3 - l ) 2 3(x -1) 9
(x -1 ) 2
3V3
s
f
dx
®
k(x. .+.
2
1)4
Solución
Sea 0(x) = (x 2 + l ) 4
=>
0*(x) = 8 x(x 2 +1) 3
Calculamos Qx(x) que es el máximo común divisor de Q(x) y Q'(x) es decir.
Qi (x) = nucd. (Q(x),Q’(x)) = (x2 + 1) 3 ademásQ2(x) =
f lto
como
t
= ^x + ^ = x 2 + 1
(x 2 + l ) 3
r dx
/(x) r g(x) .
—i----- T =
+
dx
J (x +1) Qi(x) J Qi(x)
dx
Ax5 +Bxi +Cx 3 +Dx2 + Ex+F
(x 2 + l ) 4
(x 2 + l ) 3
rHx+E
+ —r
dx
J x +1
-..(a )
ahora derivamos la ecuación (a) y luego agrupamos término a término para poder
aplicar la identidad de polinomios.
186
Eduardo Espinoza Ramos
\ = Hx1 + {-A + G)x6 + (-2 5 + 3H)x5 +(5A-3C +3G)x4 + ( 4 B - 4 D +3H)x3 +
+ (3C - 5 E + 3G)x2 + (2D - 6F + H) x + E + G
H =0
-A+ G =0
- 2 B + 3H = 0
resolviendo el sistema se tiene:
5y4-3C+3G = 0
‘ 4 B - 4 D + 3H = 0
A = — , £ = 0, C = —, D = 0
16
6
3 C -5 £ + 3 G = 0
2D-6F+H =0
E = — , F = 0, G = — , H = 0
16
16
E +G = 0
Ahora reemplazamos estos valores en (a),
s
1 ,6 .1 3
f
dx
—;--r =
J (x 2 +1)4
5 j n
1 6 * + 6 X + 16X
5 f dx
15x5 +40x3 +33x 5
----------^ — ,
+ — --------- = ----------- ;----- ;-----+ — arctgjc + c
(x2 + l)3
16 J x +1
48(x +1)
16
j l j B
S
B
l W
B
m
i
Calcular las siguientes integrales indefinidas:
/r\
W
r (x7 +2)dx
J ( x 2 + x + l) 2
„ .
x
2
,2 x + l
2
2x3 jc2
Rpta. —--------- + —f= arctg(—= ^)-2 1 n (x + x + l) + ------------ + — +2x + c
x + x + l V3
V3
4
3
2
r ( 4 x 2 —%x)dx
^
J ( x - l ) 2( x 2 + l )
r» *
3x 2 - x
(x —l ) 2
Rpta. ---------+ ln— ------+ arctgx + c
(x -l)( x 2 + l)
x+1
Integral Indefinida
187
dx
©
©
3
x
3 . . x -1
Rpta. —arctg x ------- — Ln |
~\+c
8
4(x -1) 16
x +1
(x 4 - l ) 2
x4 - 2x2 + 2
dx
(x 2 - 2 x + 2 ) 2
x —3
Rpta. x ----- — ------- v2 ln(x 2 - 2x + 2) + arctg(x-1) + c
x - 2x +2
dx
©
©
x 4 (x 3 + l ) 2
™ .. —
l /(2
i iln |i —
-C —
+ 1 |1 ----1
Rpta.
3
x
x
+1
dx
x5 - 2x 4 + x3
_
.. . x - 1 . 12x - 5 x - l
Rpta. —61n 1----- 1---------;------— + c
*
2 (x - x )
X +X
x 6 + x 4 - 4 x 2 —2
©
x 3 (x 2 + l ) 2
(x 2 - 1) 2 Íix
©
ío)
(x + l)(l+ x 2 ) 3
dx
x 4 (x 3 + l ) 2
dx
1
x+1
I x- 2 1
Rpta. - ( ------ — ) + T “l — +T arctgx + c
2 (1+x 2 ) 2
4 x —1 4
2 .x + 1 .
1
Rpta. - | — — | ----- r
3 ' x3
3x 3
-+ c
3(x 3 +1)
(x 2 + 2 x + 1 0 ) 3
Rpta.
). + c
Rpta. ——^------+ ln +/jc2 +1 +c
x (x 2 + 1 )
dx
©
1
x+1
1 r
/x +1
3(x + l)
18(x +1)
.
[arctg(
) + —------------+ —
-] + f
648
3
x +2x + 10 (x +2x + 10)
(x + 2 )dx
(x- + 2 x + 2 )
„
3
,
3
x +1
x
Rpta. —arctg(x + 1) + —.—-------------h---- r------------ - + c
8
8 x + 2x + 2 4(x + 2x + 2)
Eduardo Espinoza Ramos
188
\
f x 5 - x 4 - 26x2 -2 4 x -2 5
3 (x~ + 4x + 5)-(x~ +4)2x + 5
1
x
—---------------- arctg—-arctg(Y + 2 )—c
jc
R p ta .
8(x ~ + 4 )
3x 4 + 4
I——
■>, ■> . , 3
x (x + 1)
J x '( x ‘ + 1)
2 (x
+ 4 x + 5)
.
dx
dx
16
2
„
57x 4 +
+103x2
103x +32 57
R p ta .
----------RPtac , i n -1-----z-arctgx +c
8 x(x + 1 )“
)
o8
f
5 -3 x + 6 x 2 +5x 3 - x 4 , _
—----dx Rpta.
J x - x - 2x +2x + x -l
3 -7 x -2 x 2
2 (x
-x
, |jc—11
+ ln - ------ '- + c
- x + 1)
(x + l)~
r x 4 5x 2 3.
1
1 . .\¡3 + x42
Rpta. [------+ ---------- ].----------í~ t + — ln I—f=
I+c
2
4
5 x(3—2x“)
8^6
-j3-x^Í2
(n )
W
fiL llJ *
J (x +2)
r (4x 2 - 8 x)rfx
;— ^-----r
J ( x - l ) 2 (x 2 + l ) 2
19j
f ——T— r —dx
J (x 2 - l ) 3
20)
f 3*
+1 d x
( x + 1)
x2dx
-------(x + 2) (x + 4)
f (3x 2 +x + 3)dx
i— ;----3 ( x - l ) 3 (x 2 + l)
Rpta.
2 X +lnV x2 + 2 - l —^=arctg(-^) + c
4(x + 2)
4^2
^¡2
„
RPta-
3x 2 -1
. . (x -1 ) 2 .
í----- + ln — ------ | + arctgx + c
( x -l)( x 2 + l)
x +1
Rpta. —l n |—*—1~—(1+— ) -----+c
4
x —2 x
2x 2 (x -2 )
R p ta .------- --- 2 +c
(x 2 - l ) 2
x +4
5x + 12
Rpta. 2 ln-- | -----1---------------x+2
x + 6 c+ 8
1
4 x 2 +1
7
Rpta. —[ln— — + arctg x ---------- r ] + t
4
|x - 1 1
( x - 1)2
189
Integral Indefinida
x-2
Rpta.
x(x 2 - 4 x + 5) 2
®
r
xdx
I 7-5
7T
+ 1)
25
21
64
arc .tg x + c
„
1 r
x—2
, 1 r 2x -l ,
2
2x - l
RPta- 7*7-2------7 7 ] + 76 Íx-2-------r
7 arctg —>/3
ñ T +c
6 (x 2 —x + 1 ) 2
—x + 1] + w
3y¡3
■* l(x
r ' -—
ix
|
x 2 —4x + 5
_ .
7x - l l x
21 , x - 1
Rpta. ----- + ----- ln
32(x - l ) 2 128 x + 1
í (x* - l ) 3
x 6 + 13x4 - x 3 +14x2 - x + 6
©
- + — ln
10(jí —4x + 5)
dx
S)
x —4
dx
( l - x ) 3 ( l+ x 2 ) 2
Rpta.
+ ln |l- x |+ 2 a r c tg x + c
( l - x ) 2(l + x 2)
(5x2
f_ l±
L -12)rfx
f r 2 -- 6 x + 13)
13x-159
53 /X -3
Rpta. ---- --------------+ — arctg(
)+c
8 (x -6x+ 13)
16
* 2 '
J(x
(2x + 24)ítc
©
_
3x-10
5
,Jt- 2.
Rpta* “ 5— :----- + - a r c tg ( - — )+ e
x "-4 x + 8 2
2
íB
(xzz- 4 x + 8 ) ¿
x(9cdx
.4 i \2
(x - i r
f
^
n * l r2x 6 - 3 x 2 3 . . i 2 -1 n
Rpta. - [ ------ - + —ln | — -|] + c
4 x -1
2
x +1
3x4 + llx 3 +10x2 + 2 x -1 6
J (x 3 + 6
Rpta.
x
2 + 10
x
+ 8)(x 2 + 2
x
-dx
+ 2)
— + ln[(x+ 4) 2 a/ x 2 + 2 x + 2 ] - 5 arctg(x + 1) + c
x- + 2x + 2
Eduardfr'Espino7,a Ramos
190
1.6.14
INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO V COSENO -
Las integrales racionales de seno y coseno son de la forma:
/?(seiu,cosji)rfA
... (a)
donde R es una función racional.
Para el calculo de este tipo de integrales, se debe de transformar en integrales de
funciones racionales de una sola variable z, mediante la sustitución siguiente:
x
7
2
‘~
m ,x
2
1 2
... ( 1)
ahora mediante un triángulo rectángulo, obtenemos las relaciones.
Tomando la función seno y coseno.
x
sen —=
Como:
Ahora reemplazando (2) en (3):
además como:
eos# = eos 2
sen x = 2 sen —. eos —
2
2
..(3 )
(4)
-s e n 2 Á
Luego reemplazando (2) en (5):
2
(2)
sen#?
2
Como tg—= r
1
(5)
2
C O S #2»:
1+
... ( 6)
zA
x = 2 arctg z , de donde:
,
m
2 dz
:■■■'.'4 '
1 +z-
(7)
por lo tanto al sustituir (4), (6 ), (7) en (a) se obtiene una integral de una función
racional en z.
191
Integral Indefinida
Observación.-
En el cálculo de las integrales de las funciones de seno y coseno, que
x
se realiza mediante la sustitución z = tgf—) , en muchos casos se
presentan cálculo complicados, por lo tanto en dichos casos se puede hacer otra
sustitución
de manera
que
se
simplifique
el
desarrollo
de
la
integral
J Rfsenx, eos x)í£r, para esto consideremos los siguientes casos:
ler. Caso: Si la función Rfsenx. cosx) es una función impar respecto a senx. es decir:
si
Rf-senx, cosx) - -Rfsenx, eos*;
en este caso se hace la sustitución
t = cosx.
2do. Caso: Si la función Rfsenx, cosx) es una función impar respecto a cosx, es decir:
si RfsctiA, -vOsx)-—Rfsenx, cosx)
en este caso se hace la sustitución t = senx.
3er. Caso: Si la función Rfsenx, cosx) es una función par respecto a senx y cosx, es
decir:
si R' senx cosx) =ífusenx. ccsx>
en este caso se hace la sustitución t = tgx.
Ejemplos de aplicación de éste criterio.
Calcular las siguientes integrales.
©
dx
I 5 -4 se n x + 3 c o sx
Solución
Del criterio que se ha establecido se tiene: sen x ahora reemplazando en la integral dada se tiene:
\+ = 2
, eos x = -—^-r-, dx = — ^-rr
l +: 2
l+: 2
192
Eduardo Espinoza Ramos
2 dz
1i + -- 2
_ f d z _____ 1 _
+c
8 8-r
3-3=~ 3 ((z-2)~
3-3=2
z~ 2 ) 2
z - \2
dx
=f
5-4sen.v+3cosjc J _
5 ~ T ^ +~ Ü ?
1 -se n x
©
+ cosx
-dx
ÍT + sen x —cosx
Solución
Al integrando expresamos en la forma:
+ cosjc
1 + sen x - eos x
1 + --------------------,
1 + sen x - eos x
r 1 -sen x + co sx ,
------- t/jc = I ( —1 +
3 1 + senx-cosjr
como sen x =
r, ,
3
2=
1+r 2
2
1 + senx-cosx
1 —z
.
cosx = ----- —, dx
’
1+ r 2 '
2
r
dx
J 1 + sen x -co sjr
ahora reemplazamos en la integral dada
r
J
)í£t= -jc + 2
r
dx
3 1 + senx-cosx
2 dz
1+ z 2
dz
1 + -2
2z
l- ^ 2
1 + -==
^r
i1 +zr2r - ^^l—=
+ z~1
r dz
3 z2+ -
x
r i
i
z
tgT
= [(-------- ~)dz = ln | ------ 1= ln| ----- ¿ - I
3 z z+ 1
z +l
. x ,
t g 2 +]
luego reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
x
tg —
r l - s e n x + cosx ,
,
2
------------dx = - x + 2 ln | ------------— |+ f
J 1 + se n x -c o sx
x x ,
tg —+ 1
©
dx
J (2 -sen x )(3 -sen x )
-
1 -senjc
...( 2)
- ..( 1
193
Integral Indefinida
Solución
Sea z = senx, entonces hacemos la descomposición
=
1
(2 - sen x)(3 - sen x)
1
(2-z)(3-z)
1________
(2 - sen x)(3 - sen x)
A | B
2-z 3-z
A (3 -z) + B(2 + z)
(2-z)(3-z)
igualando los numeradores se tiene: 1 = (-A—B)z + 3A + 2B, por identidad se tiene:
\ - A - B =0
\
[3/4 + 25 = 1
=> \
\A=
1
[B=
-l
ahora reemplazando (2 ) en (1 ) se tiene:
________1___________
1_____ l _
( 2 -sen x )(3 -sen x )
2 -s e n x
3 -se n x
í
^
J (2 - sen x)(3 - sen x)
r dx
J' 2 -se n x
-1
|r dx
J\ 3 -se n x
ahora calculamos cada una de las integrales:
••• (2 )
19'
Eduardo Espinoza Ramos
1
=^
--1 /3
1
3 --1
1
3
tE(2)
“ c,g,T ^ )=!v ? “Me<^ F ) = V2 arc,8 (” l ^
3
1
_)
" (5 )
reemplazando (4) y (5) en (3) se tiene:
.
0
2 tg(—) - 1
.
r
dx
2
,
?
* 1
------------- = —¡=arctg(------------------ ---) — ¡=- arctg(
J (2 -sen x )( 3 -se n x ) -JJ
~J3
-Jl
3 te(—) —l
,
2
— )+c
2-Jl
® Jv .-* r -
J 3sen" x + 5cos~ x
Solución
Multiplicando numerador y denominador por sec 2 jc
dx
_ r
3sen 2 x + 5cos 2 x
3
sec 2 xdx
sec 2 x(3sen 2 x + 5cos 2 x)
Í sec 2 xdx _
1
f
a/3 sec 2 xdx
_
1
3 tg 2 x + 5 = ^ 3 J (V 3tgx) 2 +(V5 ) 2 =^
,-v/Jtgx
IClg{- J T ) + C
dx
®
JL4 -3,co s" *x +,5sen
5sen"2■x
Solución
dx
4 -3 c o s 2 x + 5senr2 xr
r
dx
r
dx
dt GPn2" x + cos2 x )-3 c o s 2 x + 5sen 2 v
3^ 4(sen
r sec2 xdx
1 r 3sec 2 xdx
1
— =
3
=3 -----= -arctg(3tgx) + c
J 9sen" x + cos" x J 9 tg " x + 1 3 J ( 3 i g x ) '+ l 3
3
©
JJ 1r+ ^sen"
Vx
Integral Indefinida
195
Solución
f
dx
dx
_ r
■M+ sen2 *
J sen 2 a
1
=
©
J—
sen-
J cpn~ a
r s¡2
-x/ 2 J
+
co s2
A
+ sen 2 x
sec 2 x d x
tg.r ) 2
2sen 2 a
,
1
i -------=
(^/2
dx
_ r
-v/ 2
+1
+
c o s2
x
rr
a r c le w 2
tg JC ) + c
dx
+ 3 sen x eos x - eos ~ x
Solución
Multiplicando numerador y denominador por sec 2 x
r
rf
sec2 x d x
sec 2 x(sen 2 x+3sen a c o s a -
c o s2
sec2
se x d x
J tg 2 x + 3 tg jc -l
x)
_r
sec 2 a.ví£r
a*
J .tg 2 x + 3 tg x + —
9 13
—
r
sec2
sec~ x d x
J(tgJC+£ ) , _ ( JVÍ i i ,
3
3
2
)2
síñ
1 , , gX+2
2 ,
1 , .2 tg x + 3 -^ /Í3 .
=- = r l n | -------- í
p = | + c = - = l n | — ------------ -r=r-1 +c
■sin
3 sin
-Jn
2tgA+3+->/3
tg JCH + ----3
2
©
2
J! —
sen - x -■
5? sen x. eos jc
Solución
Multiplicando numerador y denominador por sec 2 .v
r
dx
J sen 2 x - 5 s e n x c o s x
_ pr
sec2 xa d x
sec1
J sec2
ec2 ,v(sen2
.v(sen2 av-5senACOSA)
- 5 se:
_ r
sec2
sec* x d x
tgr - 5 tI cg .v
v
■'tg
Ig 2 x
X -5Jtg
A
r
J
sec2 x d x
tt g„ 2-“>X
—5 t g
A+
25 25
----------
4
4
196
Eduardo Espinoza Ramos
-\
sec 2 xdx
1, , tg x - 5 ,
--- — = —ln -------------------- 1 +c
2
1,6,15
4
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Calcular las integrales indefinidas siguientes:
^
C
® J
dx
2 s e n .r -3 c o s .v -5
(5 )
í ------J 4senx+ 3cosx
3 + 5 eos x
^
Í4 )
©
- 1
,+C
. |,----3 le 7 - 9
R p t a . ------2 ln
- -----1+c
5
*
3 tg—+ 1
4
dx
--------------J senx + cosx
i ,
1+^
Rpta. - ¡ = l n |------------------ |+ c
r 2 —senx ,
----------- ax
J 2 + cosx
_
,
, 4
1
,x ,
Rpta. ln 12 + eos x | + -¡= arctg(-¡= tg(—)) + c
V3
V3
2
r
f
© J
t ó
1
‘ V Í " C'8<i r ~
Hr
7-------------
N“^
J ucosx + fcsenx
©
-------Jf ,1 + se n x -c
o sx
f
de
tg(iL) _ 1_^/2
V2
1
x + arctg(—)
n ---- - ln|tg(-----— ^ )|+ c
J „2
+ ¿2
tg(f }
RPta--ln l-----. . . V l+ c
2
197
Integral Indefinida
2
5 tg (-)+ 4
Rpta. ja r c lg í
1------) + c
®
^
Jí—
S + 4 sen x
©
sen xdx
Jf=
2 -se n x
©
^
í —co sx X 3+ cosx)
J (2+
©
Jf —
c o s x + 2- se—
nx+3
4
2 tg (y )-l
Rpta. -x+-j=rarctg(------ p — ) + c
V3
V3
2
dx
<>
Rpta. arctg(l+ lg(y)) + c
x.
©
^
g)
^
©
f
----
- l n | 1+scnx |+ c
tg ty )+ l
<¿r
J 4 s e n x -3 c o s x
8
* S íf)-3
Rpta.
<¿r
^ 3co s2 x + l
COSX (¿X
l+ 2 c o s x
©
ln | — 2 ------ 1 +c
J 8 -4 se n x + 7 c o sx
J 1+senx
,
t g (-)-s
<¿r
J 2senx + 2cosx+3
!
3 tg (f)-l
|+ c
Rpta. —ln | ------í
5
t*(§)+ 3
Rpta. ^ 21n | -e- - ^ |+ c
tg x -V 2
x ^3
^ _tg(I )
Rpta. - + — l n |----------- é- I + c
2
6
J í+ W f)
Rpta. 2 arctg(2 + tgC—) ) + c
198
Eduardo Espinoza Ramos
dx
1 + sen x + eos x
Rpta. ln 11+ tg(—) | +c
dx
3cos x+senx+1
j
tg ( |) + l
Rpta. —ln | — ------1+c
3
.
_
2
ra+b
x ,
Rpta. — ------ arctgf—— tg(-)] + c
a -b~
2 ~b
l
dx
a 2 +b2 - labeosx
dx
Rpta. —ln |l- 5 c tg x |+ c
sen 2 x - 5 sen x. eos x
eos x dx
n ,
1. . s e n x -5 .
Rpta. —ln | ----------- |+c
4
senx+1
sen 2 x - 6 senx + 5
dx
Rpta. arctg(senx + l) + c
eos2 x + 2 senx eos x + 2 sen 2 x
„
1
2 tg x + 3 —JÍ3
Rpta. —= l n | - --------¡=r | +e
-JÍ3
2 tgx + 3 + Vl3
dx
sen x + 3senxcosx —eos" x
sen 2 x dx
Rpta. arctg(2 sen 2 x - 1)+c
sen 4 x + cos 4 x
dx
Rpta. —^ [c tg x + -^ a r c tg (^ í)]+ t
tg ' x + sen' x
1+
tgx
-dx
1 - tg x
dx
sen x sen 2 x
dx
(senx + cosx)'
Rpta. —ln | c o s x -s e n x | +c
Rpta. ^-ln| tgx +secx | ~ ^ cosecx+c
Rpta.
1
■+c
1+ tgx
199
Integral Indefinida
dx
(tgx + 1)sen 2 x
Rpta. ln11+ c tgx | - c t g x + c
dx
1 -se n
Rpta. ^ ^ + -^ = arctg (-v /2 tgx) + c
x
dx
4 + tg x + 4c tg x
Rpta.
4x
—
25
3
ln I tg jc +
25
dx
tgx. eos 2 x
senx dx
2 1+
2
5(tgx + 2)
3
ln |c o sx |+ c
25
c. senx
Rpta. ln | .
= |+ c
Veos 2 x
Rpta. y l n |l + sec 2 x | +c
eos x(l + eos' x)
dx
(senx+ 2 sec x ) 2
dx
a 2 sen 2 x + b 2 eos2 x
dx
4senx+ 3cosx + 5
2
secx dx
tgx + s e c x -l
dx
3 + 5 sen x + 3 eos x
dx
a 2 sen2 x —b2 eos2 x
_
cos2x-15
4
, 4sen2x
==arcsen(-------------) + c
Rpta. -----------------+
15(4+sen2x) 15V15
4+sen2x
_
1
,a tgx
Rpta. — arctg(— — ) + c
ab
b
Rpta.
1
-+ c
tg(f) + 2
1
Rpta. —ln | ----------- |+c
2
tg (f) + 2
Rpta. y ln |5 tg ( ^ ) + 3 |+ c
_
1 , .a s e n x - k o s x ,
Rpta. — ln |-------------------- |+c
ab a sen x + b eos x
200
Eduardo Espinoza Ramos
dx
eos *(cos2 x +4 sen x - 5)
Rpta. ln |( l- s e n * ) '‘2(l + sen*) 1 / 8 (2 -se n jt ) - 4 ' 9 | +c
Í
®
ctg*.cos* + e tg * + l + cos*
.
2 -------------- 2 ------------------- dx
r tg * + c tg *. eos x + eos ecx + r tg *
f sen x. eos 2 x dx
----- ----J
1 + fl
COS
*
_
, , - >r
x
Rpta. ln | tg” (—) | +* - tg —+ c
2
2
„
eos jc 1
R p ta .
------- arctg(c eos *) + c
fl3
o3
®
r (l-ac osx )d x
— ------------- t
J l - 2 acos* + c r
®
r (2 + 3 eos x)dx
_
...
, Í5. . i/5 +-^3 tg(jc/2) .
--------------------------------- Rpta. 21n sec* + tg* - J —ln
- = — ¡=-^- +c
J eos * ( 1 + 4 eos*)
P
V3 -\/5--^3 tg (* / 2 )
Í
s e n * -c o s*
,
------------ -— dx
3 sen * + 4cos~*
2
„
x
,\ + a *
RPta- —+ arctg(----- tg —) + c
2
1-a
2
„
2
,cos*
1 . . 2 + sen*,
Rpta. — = arctg(—= -) — ln | ------------ |+c
t¡3
- ^3
4
2 -s e n *
(sen * + eos x)dx
2sen 2 * -4 se n * c o s * + 5cos 2 *
_ ^ 3 . ,
_
.
1 . . -JE + 2sen* + c o s * .
Rpta. —arctg(sen* - 2 eos *)+— -==ln | - = -------------------- 1+c
5
10V6
v 6 -2 se n * -c o s*
201
integral Indefinida
+ cosx)rfv
Í (2senx
3senx + 4cos x - 2
2
j
4
- J 7 + & 2 t g ( |) - l )
|+c
Rpta. —x — ln |3 sen x + 4 c o s x -2 | + —¡= ln |-----------------
5
5
V 7 - V 4 ( 2 .* i- .)
sen- xtiv
Í T Í tgx
í
dx
Í (tg
(tgxjc + l)sen
l)sen" x
® J, i
dx
íJ —
sen 2x.eos 2x
sen*
Í 8) |
cos 2 x dx
1.616
©
J 3sen x + 5cos
2
®
3senx + 2cosx
dx
2senx + 3cosx
- ? x + eos x
Jj sen
§ >
H
eos x + senx
dx
cos27r - sen 2x
eos j c - senx
dx
í “ ; 2 senx
sen 5x + sen x
dx
2 eos 2x
secx - tgx
dx
secx + tgx
dx
13 -5 c o s x
©
eos ecxdx
4 tgx
INTEGRALES DF ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES.Las integrales de las funciones elementales que no son racionales, representa gran
dificultad en calcularlas, incluso cuando una función elemental que es la integral de
una función dada, realmente existe. En esta sección trataremos de ver criterios para
algunas integrales Irracionales.
ler. Integrales de la forma.
El calculo de estas integrales se realiza completando cuadrados en el trinomio
ex 2 + ¿x + c , es decir:
,
? b
c
•> b
b2
h2
b ■> 4 a c - b 2
ax' + bx +c = a(x~ + —x + —) =a(x~ +—x +— - ) + c ------=a(x + — ) ' + -----------a
a
a
4a~
4a
2a
4a
(Ax + B)dx
f (Ax+B)dx _ f
lt ~J
i ax~ +bx +c
i . L .i
0
b a 4 a c -b
,,t + 2 Í , + - Í T
202
Eduardo Espinoza Ramos
Luego se hace la sustitución
z =x + —
la
y se aplica las formulas básicas de
integración.
Ejemplo.
(x +2)dx
Calcular la integral í —¡=
J V4 2 x - x 2
Solución
Completando cuadrados se tiene: 4 - 2 x - x 2 = 5 - ( x 2 + 2jc +1) = 5 - ( v + 1) 2
p (x +2 )dx
2
-\j4-2x-x2
sea z= x + 1
(x+2)dx
.. .d )
■* ^¡5-(x + l)2
=> x = z —1 =>
dx = dz
ahora sustituyendo en la ecuación ( 1 )
f
(x + 2 )dx
' V 4 -2 x -x 2
i¡ ( z - \ + 2)dz
|r ( - + i) ít
4s-z2
JU s - = 2
21
zdz , 1r dz
J]4 s - = 2 J1 4 s - = 2
1r
,x + l.
- --j5-z2 +a r c s e n ( - ^ = ) + c = —^/4 —2 jc—jc 2 + a r c s e n ( "
+ c
4s
s
2do. Integrales de la forma.
ax+b
1 cx+d
donde a,b.c.d son constantes y n es un número natural y además ad —be * 0 .
Para calcular estas integrales se debe transformar en integrales de funciones racionales
en /., mediante la sustitución.
fax +b
. . .
b-dzn
z = vi
; despejando x se tiene x =--------- ae donde
cx +d
cz —a
Ejemplo.
Calcular la siguiente integral
*
m
í
,
nzn l (ad-hc)
dx =------- —-----;— dz
(cz-aY
Integral Indefinida
203
Solución
De acuerdo al criterio establecido:
z 3 = -—— de donde al despejar x se tiene:
1 + JC
x =—
Ahor a reemplazando en la integral dada:
=> dx - —
l+z 3
(1 + z )
f j l - x dx _
r
JV l + x 'x
J " l - _ - 3 (1 + --3 ) 2J
1+ - 3
- b z 2dz
r
z 3dz
r
■* (1 —- 3 )(1 + r 3 )
z 3dz
■* ( r 3 —l ) ( r 3 + 1 )
,t. A
B
Cz + D
Ez + F
= 6 [----- + ------ +-—-------- + —-------- 1 dz
J L . - 1 z + 1 z 2 +z + l z —r + l
_
6 r
6
J r
1
-1
z+ 2
1
z 2 +z + l
+ z+1
z-2
z 2- z
+ 1
= t l n |r - l |+ l n |z + l | - y l n U 2 + r + l | - | l n | z 2 - z + l | -
—a/3 arctgC^ W 1-) + -J3 arctgf2" ^ 1) + c
V3
= ln | r 2 -
1 1-
1
- l n | (=2 + : + l)(r 2 - r + 1) |
2
3ro. Integrales de la forma:
.J
cx+ d -*í? cx+ d
V3
Í3
a rc tg (-^ -) +c
2z~+l
y cx + d
donde a, b, c, d son constantes y además ad —be * 0 ; p x, p 2,...,pk, qx,q 2,...,qk
son números enteros, siendo R una función racional.
Para calcular estas integrales, se debe de transformar en una integral de una función
. . .
„ ax + b
. . .
racional en z, mediante la sustitución z = -------- , donde n es el mínimo común
cx+d
múltiplo de los números qx, q2,—,qk ■
Eduardo Espinosa Ramos
204
Ejemplo.
Calcular la integral indefinida, f X ^ . ^ t ^ - d x
J %/l+jc
Solución
[_2 =
Sea r 6 = l+ jc
[ x2+^
j
=>
d x =
W +X
-T
,___
\=3= I \ + x
entonces
jc
= r 6 -1
=> dx = 6z5dz
f ( ~ 6 _ 1 ) 2 + ~ 3 6 z * d z = ó f z 3 ( r 12 - 2 z 6 + 1 + = 3 ) d =
J
z2
J
.1 6
_10
7
4
= 6 í (z 15 - I z 9 + z b + z 3)dz = 6 [ - ---------- + i - + £ - ] + £•
J
16 5
7
4
-
, 4 r ; 12 z b z 3 1
3r
-T .(.v + 1)2 l + .v > /l+ I 1
= 6 r [— ------ + — + —] +c =6y(x + l)~ (------------------- + -------+ —) + c
10
5
7
4to. Integrales de la forma:
4J
1
16
5
7
4
+ bx+c
donde P„ ( jc) es un polinomio de grado n. Para calcular estas integrales, a la integral
expresaremos en la forma:
f
— = Qn l (xyJax2 +bx +c +
-va* 2 +bx + c
.
*** =
-Jax2 +bx +t
- .(I )
donde
( j c ) es un polinomio de grado n —1 , con coeficientes indeterminados y X
es un número real.
Los coeficientes de Q„ , (x) y el número X se encuentran derivando la ecuación (1).
Ejemplo.
Calcular la integral indefinida
x 2dx
í . * -------
nV
Solución
A la integral dada expresaremos en la forma:
jc2
— jc + 1
Integral Indefinida
205
f . X ^X— = (Ax + ByJ x2 —jc + 1+2.Í
■yx2 —x + 1
=
Vx 2 - x + l
ahora derivando la ecuación ( 1 ) se tiene:
x2
f~3
: = /4yX ~
~ {Ax+B)(2x-\)
-x +1 + -+
v x 2 —x + 1
2V
x
2 -
x
+1
multiplicando a esta ecuación por -Jx 2 - x
A
V
x
2 -
----x
+ 1
+1
2x 2 =2A(x2 - x + l) + (Ax+B)(2x-l) + 2A , agrupando
2x 2 = 4 Ax2 + (2B-3A)x + 2A +2 A - B
luego por identidad de polinomios se tiene:
4/4 = 2
22? - 3/4 = 0
resolviendo el sistema se tiene; A = — , B= —, A =
2
4
2A + 2 A - B = 0
reemplazando estos valores en ( 1 ) se tiene:
r
x 2dx
. 3 .r r ~ ::
*]x2 - / + 1
2
8
2x+3 nr r
r
Vx - x + 1
=
i r
4
+ ^ -Jx2 - x
4
5to. Integrales de la forma:
+
*
^jx 2 —jc +1
dx
- 7—
8J £
T7
( x—
+2
4
i r
l n | 2 x - l + 2 -\/x2 - x + 1 |+c
1
8
Ü i
J
Para calcular estas integrales se debe de transformar en integrales de la forma del 4to.
1
1
Caso valiéndose de la sustitución t = x -a
x-u
Eduardo Espinoza Ramos
206
Ejemplo.- Calcular la integral indefinida:-- í ------------------------ = = = = =
1 ( x 3 + 3 j c 2 + 3 j c + 1 )V jc2 + 2 j c - 3
Solución
A la integral dada expresaremos así:
dx
r
V
c
+ 3jc2 + 3x + l)-\/x2 + 2 x - 3
sea / = — í— =>
JC + 1
JC +
dx
• (* + d 3 V( ^ +
i)2
-4
dt
1 = - => dx =
reemplazando en la
t
t2
dt
dx
f
W
+ 3 jc 2 + 3x
+l ) ^ x 2 +
calculamos la integral í ,
-1 r
2a - 3
t~dt
J
’ t 2dt.
í
j V l- 4 / 2
-
,2
|-y —4
t3 y
... ( 2 )
aplicando el caso anterior
f r d x =(At + B y J l - 4 t 2 + A Í
J J í^ t2
J V l- 4 / 2
J
J 1la ecuación
■' /IV
•
derivando
(3) se tiene:
r
V l- 4 r
...(3 )
X
= AA ^/iI \ - 4A*^
t ~ 4t(At.+...tí) + .-----—
V l-4 r
V l- 4 / 2
multiplicando a esta ecuación por -v/l —4t 2
t 2 = A ( \ - l 2)- 4t (A t + B) + X , agrupando t 2 = - 8 A t 2 - 4 B / + A + X , poridentidad
-8/4 = 1
- 4 5 = 0 resolviendo el sistema se tiene:
A +X = 0
A = — , B = 0, A = —
8
8
Integral Indefinida
207
reemplazando estos valores en (3) se tiene:
1 2 + —í — —— = ——a/i—4 11 + — arcsen(2í)
í ———— =
8
8
... Í4)
16
ahora reemplazando (4) en (2) se tiene:
f ----------------- —— . - —V i—4í 2 — —arcsen(2 /) + c
J (x3 +3x2 +3x + lyJx2 + 2 x - 3 8
16
s]x2 +2.V-3
= ----------8 (jc + 1)
6 to.
1
, 2
arcseni----- ) + c
16
Jf+ 1
Integrales de la forma.
—(o)
donde m, n y p son números racionales.
Para calcular estas integrales se aplica las condiciones de “CHEBICHEV” y mediante
este criterio a la integral de la ecuación (a) se puede expresar como una combinación
finita de funciones elementales solamente en los tres casos siguientes:
i)
Cuando P es un número entero.
ii)
Cuando m + ^ , es un número entero, en este caso se hace la sustitución
n
z s = a + bx" , donde s es el divisor de la fracción P.
....
ni)
m +]
,
,
,
+ P , es un numero entero, en este caso se hace la sustitución
n
: s = ax" + b , donde s es el divisor de la fracción P.
„
,
Cuando
Ejemplo:
Calcular la integral indefinida: J V ( l + 2 x 2)~v 2 dx
Solución
Aplicando el criterio de CHEBICHEV.
208
Eduardo Espinoza Ramos
m +1
n
3+ 1
= 2 es un numero entero, entonces
2
o
7 i -i 7
7 Z“ —1
,
Z dz
Sea z - = 1+ 2jt“ => x~ =--------, xdx-= ------
2
Jjc 3 (1 + 2 jc2)
2
—1 , _ 2 v - 3 / 2 '
x 2 (1 + 2 jc2 ) il2xdx =
3 2
1
- 2 + l,
= í ‘—
1
.
)+ c= 2 t
1 +x2
— ( - 2)
.
o
)+ c
Í—
dx
■-
Solución
A la integral dada escribiremos así:
,;3dx
f
^ _ =
fjc ^ ^ ( l + JC3' 4)
ahora aplicando el criterio de CHEBICHEV
3
w+1
-
2
3
+
2
,
• = — no es numero entero
3
m+ 1
2 1
+ P = -------- = -1 es un numero entero
n
3 3
Luego z 3 =.v 3/4+ l => x i/A = —-í—
Z 3 -1
...( 1)
209
Integral Indefinida
x=
í£ c
= - 4 j c 2 ( z 3 —\)~l n dz
...( 2 )
( r 3 - l ) 4' 3
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
f
J
^ L -—
= f [ ( ^ 3 - 1 ) 4 / 3 ] - 3 / 2 ( l + — 1— r 1 / 3 ( - 4 r 2 ) ( z 3 - l ) - 7 / 3 <fc
J
- 1
= ^ | r í / r = - 2 z 2 +c =-2%](x~3' 4 +1)2 +c
7mo. Integrales de la forma.
donde a, b, c son números reales
La función R(x,4ax2 + bx+c) se denomina irracionalidad cuadrática.
Cuando
el
ax1 +bx+c
trinomio
ax2 +bx +c = a(x -
jc,
) ( jc -
j c,
tiene
raíces
jc,
,
j c2
entonces
) en este caso se hace la sustitución.
4 ax 2 +bx+c =t( j c -
jcj)
^ a ( x - x 1) ( x - x 2) =t( x - x ¡ )
ahora elevando al cuadrado se tiene:
cr(jc-jc2) = / 2 ( j c -
jcj)
de donde
_ ax¡ ~ t x¡
liíi:
Al momento de hacer las sustituciones se tiene la integral de una función racional.
Cuando el trinomio ax2 +bx+c no tiene raíces reales y a > 0 la integral se
transforma de una función racional haciendo la sustitución de Euler.
i ~ 4 a x 2 + hx* e -'t xda de donde: ax2 +bx+c = t 2 - 2 t4 a x + ax2
210
Eduardo Espinoza Ramos
Luego se tiene:
J a x 2 +bx +c = 1 - x-Ja = t ---- 1 C— -Ja
2H a +b
por lo tanto se tiene una función racional de t
J R(x,sjax2 +bx +c)dx = J
Observación.-
S i a < 0 y c > 0 (ax2 + fo r+ t> 0 ) se puede hacer la sustitución.
+/>x+c "= v + -Jr
;
Ejemplo.
(í)dí
Calcular la integral indefinida: í
^
J l + x-Jl + x 2
Solución
Sea -Jl + x 2 = t +x , de donde al elevar al cuadrado se tiene
-) T ».
■>
\ + x - =t~ +2tx + x~ =>
x=
, i , - f2
/i,
Luego Vl+JC
= /+ -
(•
dx
l+ x V u I7 ”
21
-2 +1
2/
1- r
Como x = —- —
1 —/ '
2/
.
/ 2 +l
=> dx =
— d t , Ahora reemplazando en la integral dada:
f
-(r
+ 1 )dt
i +l z í l
2/
1
2,2
2/
Factorizando el denominador se tiene:
_ -,f (t2 +l)dt _ 0 |- (t2 +\)dt
”
4t 2 +1 -
/ 4
" J / 4 -4 /2 - l
Integral Indefinida
211
„ fr
At + B
Cl + D
2i l7
^
+7 ^ T v ‘
Ahora calculamos los valores de A,B.C y D.
t 2 +1
_
tA - 4 t 2 -1
At+B
r -2 -S
Ct + D _ ( A t +B)(t2 -2+sl5) + (Ct+D)(t2- 2 - f i )
i 2 - 2 + ^5
(t2 - 2 —y/5)(r - 2 + S )
t 2 +1 = A(t3 - 2 t + -fit) + B(t2 - 2 + S ) + C(/3 - 2 t - f i t ) + D ( r - 2 - f i )
t 2 +1 = (A + C)t2 +Dt2 +((-2 +S ) A - ( 2 + S ) C ) t + ( S - 2 ) B - ( 2 + S ) D
A =0
A +C - 0
B +D = 1
B=
3+-J5
2^5
C =0
(-2 + ^ 5 M - ( 2 + -v/5)C = 0
(S -2 )b -(2 + j5 )D =l
D=
..( 2 )
sÍ5- 3
2j 5
dx
í
= 2[
l+ W l+ x 2
3+sÍ5
dt
f
^-\/5 J
+ sÍ5-3
—
f 1-
-
2
-
•75
r
a± ___
2^5 j t 2 - 2 + S
3 + -J5
1
.
2 - ^ 5 . -JS-3
1
t .
)]+ c
~ 2[ _• rr~ •
ln | ---- :---- 7r l + - rr • / ^
arctg(~
2s¡5 V2 +V 5
t+2+sÍ5
2-J5 t¡4 s - 2
-J4 s - 2
. . -Jl+ x 2 - x - ^ 2 + -j5
-<¡5-3
-Jl+x^-x
rln | (
,■ ■
.. - | + — p = = arctg(— ,
)+c
V5V2 + V5
-x/l + x 2 -X + V2 + V5 - B - Í S - 2
V V 5-2
3+-J5
Ejemplo:
- a/x 2 +3 x + 2
Calcular la integral indefinida: f —
—
+- —
x + ^j x2 +3x +
Solución
Como el trinomio x 1 +3x + 2 = (x + l)(x + 2) entonces se hace la sustitución:
212
Eduardo Espinoza Ramos
■Jx2 +3x + 2 = -J(x + l)0c + 2) —/ ( jc + 1 )
■J(x + l)(x + 2 ) = í(x + 1) => x + 2 = r 2 (jc + 1) de donde
2 -r 2
r2- l
-2r
(r2- l ) 2
x = —----- => dx = —--, ahora reemplazando en la integral dada.
2-t2
J x + J x 2 + 3x + 2
t_
J iz £ l +_ L _
r2- l
W - 1)
r2- l
donde -Jx2 +3x + 2 = t( ^_ 1 +1) = —^—
r2- l
r2- l
= - 2 r l z £ z í l - <<ft- . = - 2 r <2+<- 2 .
J 2 + r-r2 (f2- l ) 2
'
A
J r2 —r—2 ( r - 1 ) 2
t(t + 2)dt
r
(t2 +2t)dt
—~2 \ ------ +
1 , = - 2 Í -----
(r-2)(r-)(r + l)-
■»(r-2)(r-l)(r + 1)
J <—2 r-1 r+1 (r +^ 1)2, + (r +£1)3, )dt
—~2J ( ~ ~ + ~~7 + ~ 7 +
— (I)
ahora calculamos las constantes A, B, C, D y E.
t 2 +2t
A
-+
B
(r-2)(r-l)(r+l)3 t~2 t-\
+
C
r+l
+
D
-+ -
E
(r+i)2 (r+1)3
r2 + 2r = /i(r - l)(r+1)3 + 5(r - 2)(r+1)3 + C(r - 2)(r - i)(r +1)2 +
+D(t - 2)(r - l)(r+1) + £(r + 2)(r -1)
r2 +2r =A(t4 +2r3 -2r-l) + 5(r4 +r3 -3r2 -5r-2)+C(r4 -r3 -3r2 +r + 2) +
+ Z )(r3 - 2 r 2 - r + 2 ) + £ ( r 2 - 3 r + 2 )
Integral Indefinida
213
r +2t = (A + B + C)t4 +(2 A + B - C + D)* + ( - 3 B - 3 C - 3 D + E ) r +
+ ( A - 5 B + C ~ D - 3 E ) t - A - 2 B + 2C + 2D + 2E
27
A + B + C =O
2 A + B —C + D = 0
8
17
C=
216
- 2 A - 3 B - 3 C —2D + E = 1
A —5B + C —D —3E = 2
...( 2 )
z > = -A
36
- A - 2 B + 2C + 2D + 2E = 1
* =- i
6
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
+ 3x + 2 ,
Jttto
+Vx +3x + 2
rd .X
2
f r 16
- Jí ‘-27( '~ 2)
16
27
- — ln
donde t =
8 vo.
/ - 2
34
10
+8 Í ' - 1)
46Í/ + 1) 36(/+ l)2
6
-]dt+c
6 (/ +
l)
3
17
5
1
ln / - I +
ln í + 1 + ----------+ -------- r + c
4
108
18(r + l) 6(r + l)
4 x 2 +3x + 2
x+1
Integrales de la forma:
J R(xdux+b., vcx+rfj</.r
Para calcular estas integrales se debe de transformar en integrales de la forma del
7mo. Caso, mediante la sustitución / 2 = a x + b .
Ejemplo.- Calcular la integral indefinida:
Solución
r
dx
--------— ¡ =
■, 1 +VT+VÍ+
214
Eduardo Espinoza Ramos
Sea z 2 =x => dx = 2zdz
íi^ =
Jf l+ V *r+VV l + * “ J;f1—
+ + tJi + z 2
-O )
z
aplicando el criterio del 7mo. caso se tiene: -Jl+z1 = z+l => l + z 2 = z 2 + 2zt + t 2
t
7
7
J .
1- / “
de donde z 21
II
i
.
r +1 ,
dz = ------ — dt
2t 2
=>
I - í"
21
+1
21
V i + Z ~ - z + í - --------- + / = --------
ahora reemplazando en (1 ) se tiene:
_íl±l 1-/2
1~<4
í
r~dX i
= 2 \ -----— T — d t = - l \
M +V x+V l+Jt
J t | l - / 2 | t 2 +1
J
2/
2t
,1 fJlzL*=i
2J/
(/ +1)
2J
2 / + 1 —/
,2
+f
dt = -
2t
=I fílzíLtízl*
2J
= - f ( / - l + - - - U * = - [ — - í + ln/ + -] + c
2 J
t f
2 2
/
/2
...( 2)
z=-Jx
Como r 2 = x
■yjl + z 2 =z + t
\
dt
j / 2 (2 / + 2 )
+1
=>
t=-Jl —z 2 —z = 'Jl + x —^[x
que al reemplazar en ( 2 ) se tiene:
h + s f c +T f ü ü
2
2
=2 x* l-í¡M ^ñ
4
-fi+ x-Jx
^
l
2
215
Integral Indefinida
m í7
FORMULAS DE REDUCCION.*
Cuando en una integral /„ que depende de un número entero n, es posible hallar una
fórmula en términos de otra integral de la misma forma en donde el número entero
aparece aumentado o disminuido, a dichas expresiones se denominan formulas de
reducción o de recurrencia o recursivas.
Deducir las formulas de reducción de las siguientes integrales.
Ejemplo.-
©
r
r
dx
1 .
x
2 « -3
l n = — ;---- ;— = —(--------------;--- ;— r ) + ------------r V i - n *
J (x~ +a ~)n
o ( 2n- 2)(x~ + a~)"
(2 n - 2 ) a ~
1
Solución
r
dx______ 1 f x 2 + a 2 - x 1 .
f
rfr_______ 1_ f
” a 2 J (x 2 + a 2 ) n“ 1
calculando la integral J — * ***
u =x
dv = (x - + a - ) n
r
x 2dx
1 , 2 , 2')"
J (X
+ a
)
a 2 J ( x 2 + a 2)"
r
x~dx
x 2dx
.
J ( x 2 + a 2)"
(1 )
por partes
du = dx
xdx
haciendo
.
~ a2 ^ ( x 2 + a 2)n
" _ J ( x 2 + a 2)" ~ a 2 J (x2 +a 2)”
1
1 . r x ~+a~
-1
v=
2 (n -l)(x 2
1
2 ,+ a~)"
2,n-l
(2n-2)(x~
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
r
+ a 2 ) " -1
dx
2 n^- 2 33 (x
(x ~+a~)
2 + a2r l
(2)
Eduardo Espinoza Ramos
216
_______x______ r_l_____ 1 ,f
dx
(2n-2)(x2+a2)"-1 a2 a2{2n-2) ^ (x2+a2)” 1
_________x
|
2w —3
a2(2n-2)(x2 +a2)n~1 a2(2n-2)
©
, =-------------sen"-1xcosx+---n-1 f sen„-■>
,
1„ = fIsen„xdx
~xdx
J
n
n J
Solución
I„ = Jsen" xdx = Jsen"'1xsenxrfx
n = sen"-1x
dv = senx dx
|
¡du = (n-l)sen"2x eosxdx
[v= -cosx
/„ = Jsen" xdx = -sen"1xcosx +(n-l)Jsen" 2j ic o s 2xdx
= - senn l x eos x +(n-1)J sen"'2x(l - sen2x)dx
= - sen x eosx +(n-1)J sen"2xdx-(n-1)J sen" x dx
=(1+(n-l))Jsen" xdx =—sen"1xcosx +(n-1)Jsen"'2xdx
, =---------------+---sen"'1x eos x n-1 f sen„_•>'xdx,
/ = r sennxdx
i
n
n J
I n = J x "e ~ xdx = - x ”e~x + n l „^
Solución
Integral Indefinida
217
/ „ = j * x"e Xdx integrando por partes haciendo:
« = A
\du =nx" ]dx
d v = e ' dx
\v = —e
{
I„
( 4)
=
Jjc"t* Xdx = - x" e x + n j j c " xe Xdx = —x"e x + nl„
sen " " 1 a c o s a " ‘ a m - 1 r
J sen "' x eos " jc dx
d.\ = -----------------------+ ------- I sen
m + 11 J
m +n
donde m y n son números enteros tales que m + n *
,
reos
„
,
“ xdx
0
Solución
tí = eos"
du = -(h - 1 ) eos"
1X
r
eos
„
a
. s e n " ' 1 a :cos"
eos" 1 aa n - 1 f
dx = ---------- -----------+ ------- sen
m+1
to + IJ
sen
Jsen” aco ^ 1 xdx-
x senx dx
sen " 1" 1 a
v = ----------nj + 1
dv = senm x eos r dx
r
I sen
J
2
m-
11-1
acos
n
2
.
xdx
1
acos a n - 1
— —+ —— fsen " 1 a( 1 - c o s 2 a)cos”
m+1
m+ lJ
seifH a cosí" a + ——
n- 1
ni+I
2
nj+ 1
JS
1 sen"'
2
xdx
n- 1
acos” 2 xdx- "
I sen"' acos" xdx
m+l í s
„ , sen jw+l acos n 1 a n - 1« r
„ ■>
+ — — 1 [sen"' acos"
sen acos xdx = —
----- ~ xdx
n/ + l J
m +l
m +l J
I r
1sen
m
„ , sen " 1" 1 acos" 1 a n - 1 f
m
„-■> ,
acos xdx = --------------------- + ------- I sen acos ~ xdx
m +n
m +n I
218
1.6.18
Eduardo Espinoza Ramos
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Calcular las siguientes integrales.
dx
©
Rpta. 2arcig-v/í + JC +£■
(2 + x )->/l + x
J \ + JC +1
©
-\/l +x -1
dx
Rpta. x + 4y¡]+x +41n(Vl + x - l ) + c
Jxdx
©
Rpta. ln |
x(Jx + J x )
(JC
©
rt£ + i)'
+ l)rfv
■l+f
Rpta. 2-Jx- 2 + J 2 arctg( *
+c
xJx— 2
*
Jx dx
©
5/6
Rpta. v +~ ~ —
o
1
3
— + 2 j x +3 j x +(A¡x + 61n|^/jc - 1 1+c
Jx-Jx
dx
©
Rpta. 3 j x +31n|^/jc—l |+ t
'jcW jc- 1)
dx
©
Rpta. 2 j x - 4 j x +41n|\ + J x \ +c
■Jx +Jx
Jx dx
Rpta. ^ [ J x ^ + 2lJ x* + 2 l n |lJx* —l|+ c
©
dx
©
j3 x-2 -j3 x-2
Rpta. ^ ( 3 v - 2 ) t
f
dx
> J J +J~x
2
+ -(3 x -2 )‘
3
4
+ —InJ(3ji—4 ) " 4 - l|+ c
3
Rpta. 2 j x - 3 j x +(&fx - 6 l n ( J x +l) + c
219
Integral Indefinida
e 2xdx
©
Rpta. — (3ex -4)^J(ex +l)i +c
%iex + 1
1-V3T+2
dx
Rpta. - x + —(V3x+2 -ln (l +^]3x+2))+c
\+ - ^ 3 x + 2
dx
Rpta. 2 ^ + í - 4 S j 7 + Í + 4lD\l + iJl + ^ \+ c
•Jx + 1 +$]x+i
Rpta. — ( 2
@
1 -V I+ T
+
t¡ x
) ( 3 x + 2 t¡
x
-8 )+ c
dx
1 +Vjc+T
Rpta. 6 / - 3 / 2 - 2 / 3 + y / 4 + j / 5 —y / 7 +31n(l + / 2)-6 a r c tg /+ c donde t = t f x +T
(2 + x)dx
©
t¡
@
©
x
-
x
2
Rpta. arcsen(^=í-)- ' j 4 - 2 x - x 2 +c
-\P
8+ 4 x 2 - 3 x 4
Rpta. “ '
— J l - x ~ +c
x 5dx
©
©
4 - 2
15
(x 2 +1 )dx
Rpta.
x 2 +arcsen(^y^)+c
-j3 + 2 x -x 2
x 2dx
Rpta. - - ~~-j8 + 2 x - x 2 + ~~arcsen(—^—) + c
-J&+ 2X-1
x
2 - 2
x
+ 5
dx
-j9 -x 2
x
6x +1 lx —6
Vx 2 +4 x + 13
19 aresen—
x x ^ 9 - x 2-+2-V9—
, 2^ 9^ - 2
Rpta. —
j r +c
2
2
2
220
Eduardo Espinoza Ramos
Rpta. (x
3^ X+37y j x 1 + 4x+3 -6 6 1 n |x + 24 x 2 + 4x+3 |+c
f (2x
3x)dx
'Jx2 - 2 x + 5
@
Rpta. x - J x ^ - 2 x ^ - 5 l n ^ x - l + ^[x^--2x + 5 \+c
J- 3x3dX
J x 1 + 4x + 5
Rpta.
(x2-5x + 20)^[x^+4x+ 5-l5ln\x + 2+^íx^^4x + 5\+c
f ^3x
Rpta.
5x)dx^
^3-2x-x2
24)
U
©
í
—- ^ 3 - 2 x - x 2 + 1 4 a rc se n (^ ii)+ c
2
2
( jc 3 - x + l ) d r
-s/jc 2 + 2 x + 2
Rpta. (4;— ^ - + ^ y j x 2 +2x+2 + ^ l n \ x + l + ^ x 2 + 2x + 2 \+c
3
6 6
„
26)
.
3x - 8 x + 5 .
| ,
dx
í - Vx 2 - 4 * - 7
Rpta. (x 2 + 5 x + 2 0 y jx 2 —4x—7 +1121n| x - 2 + ^ x 2 - 4 x - 7 | +c
(27)
í—
^X
.=
Rpta.
-arcsen(-——)+c
J x^3x2 + 2 x-\
dx
=====
J (x _1)Vx 2 - 2 x - 3
@
r
dx
,-------x^/x2 + 4
2x
1
2
2
*"1
Rpta. — arcsení-----) + c
_ .
1 . . Vx 2 + 4 + 2
V* 2 +4
Rpta. — ln|
— =---- 1 ----- — — + c
^2
Vx + 4 - 2
8x
Integral Indefinida
©
W
í—
J x^4x2 -9
221
Rpt a. —are sec(— ) + c
2
Rpta. ——
x 4J í ó ^ 2
32)
í
p1 x4 -¿ r^ T
(X
3
x~ +16+c
96 x 3
Rpta. ^ - p - j x 2 - \ + c
3*
- l) W x 2 +3x + l
3 x -5
r ~2 I
" H i (x + l)^+ -\/x^"+ 3x+ T
Rpta. -----------r Vx 2 +3x +l ------prln ------ —----- -------------- +c
2 0 ( x - l)
4s/5
x-1
f . .J p .
r
dx
-p = =
^ jü x 3
Rpta. - 2 tJ(x ~3' 4 + 1 ) 2 +c
n . 1 . ,u2 +u + 1 .
1
. / 2 m+ 1 .
Rpta. —ln(
—) — parctg(— = —)+ c
6
(M- i ) 2
^3
>/3
A A
%jx3 + 1
donde u = --------JC
®
©
V- '
©
e
dx
p ta '
J
J
tfl + x 4 +x
1
^ /l+ x 4
4 l n |^ ^ ' - i arctg[- T - ]+ t-
1
Rpta. l l „ | ^ H ^ ± l | _ l V ¡ ^ I + c
á
á
4
x
x- 5
Y- 2
x
Rpta.
7
+
V- 4
+c
222
Eduardo Espinoza Ramos
_
Rpta. ----
U
1,
ln
r - J x 2 +9
43)
f
J
+J^*_dx
x
tt +
l
.
1
,2«-l
----- ¡=arctg(— j=-)+c
1
1
r~-, ~
-Jx2 +9
Rpta. —ln x — ln|V * + 9 + 3 | ---------------- i-c
-
— dx
x
,
Rpta. — L ( 6 5 * ~ )5l6+c
325
x6
5(65-.v )
J
.
6
Rpta.
2x
6
6 n + 21n|
. U * r|-2 arctg (^“ * S + c
-Ju2 +u +1
V3
donde u = ( l + J x ) 1 3
(44,
V l+ x
1
,2 -^ 1 + x
+
x
1,
.
( l + x 3) 1 ,3 + x
R p t a . ------------ +~ 7 =arctg(------ ¡=----- )——ln --------——----------- ——-----r +<'
x
Jí
Jix
3
(l+ x 3 ) 1/ 3 +x(l + x 3 )1/ 3 +Jt 2
45)
^
^ i
(lJl + x UAdx
J
ií13' 3 3» 10' 3 iií 7 ' 3 ií4 / 3
Rpta.--12[-------- —----- + —-------- ---- ]+ c
F
13
10
7
4
donde m= 1 + x 1<4
Integral Indefinida
®
f
223
dx
— 7=
1,
/-I
-J3
1 + 21
5
’^ T T í
5
Va
Rpta. —ln--- ,---------- + — arctg—t ^ + c
Jx C 7
donde / =^jl + x5
i
xdx
(x2 - l y j x 2 - x - i
„ ^
1
,
Rpta. —are se n
2
r
®
x -3
dx
I --------- í— T
J (2 x-3 )y4 x-x
©
f
1 , ,3 x + l - 2 V x ^ - 7 ^ - í ,
¡= — ln ------------------------- +c
( x - lh /5
2
x+ l
/ ***
n .
f ^ 3 x + 5 <¿c
J
x
í—
d*
j ( x - 1 ) 2 VX-1
-xdx
i+ x x
f-T
fiT
Vl5
Rpt*- T l n l ^ ^ ^ - ^ - l - j a r c t g V Ñ V + c
J x f a + x 4)3
(o )
w
1 . . x + 6 + -v 6 0 x -1 5 x 2 .
1 -------- 1 — i --------- l+c
2 x -3
Rpto*
£
J lj(x+l)2(
ll(x+ n 2í rx - nl )44
4
a/x + 1+1
2
Rpta. 2 y j 3 x + 5 \ + c + y Í 5 l n \ ^ X + 5 ^ , \ + c
V3X+5+V5
Rpta. - - O l ^ ) 4 +c
^
8 lx -r
_
, -Jl+x -- \/ l—x .
Il —x
Rpta. ln| .--------— = = |+2arctgJ ----- +c
Rpta.
4
M
Í ■+ c
2 Vx-1
x dx
í
-Jx + l+Mx + 1
R p ta .f (x + 1) 3 ' 2 - 7 ( x + l ) 4/3 + | ( x + 1 ) 7' 6 - ( x + 1 ) + | ( x + 1 ) 5' 6 - f ( x + 1 ) 2' 3 + c
3
4
7
5
2
224
Eduardo Espinoza Ramos
dx
í
(2jc + 1)3/2 —(2jc + 1)1/2
| (2x + l ) 1' 3 + 3(2* + 1) 1' 6 + 3 ln | ^ 2 x + l - 1 1+c
Rpta.
58)
2 7 -^ 2 ^
J
©
Rpta. - y f Í ^ - 2 ^ 2 ^ - 2 l n l ^ 2 ^ - l ¡ + c
f - = = í ^ T=
^
J
R
p
t
a
^ t f x ^ - 2 - J x + 6nfx-5arctg^/jr +c
.
d x
jc(l + 2 -s/jc +l¡x)
_
3, .
.
2
4 ^ /x -l
, | ------- = arctg(— = —) + c
Rpta.--------—ln | ----- - = —----- ——
4
(l+%fx) (l-§[x +2%Jx)
2-Jl
-Jl
©
W
t - , ______ £ _______
J ¡V(x^a),’+,( x - ¿ ) ,’ +1
®
Rpta. _ Ü _ J E * «
b-aM x-a
Rpta* I * " * ~ 4X1' 2 + 1 8 X ‘ / 6 + ] ^ "
@
xyi+x
21
arctg ^ +c
Rpta- 7 ln i / 2 1 - l+ T ~ arcfg(^ i r ) +c
5
vt +/ + 1
5
V3
donde í =\¡l + x 5
(S)
w
f^ /W í/x
J
Rpta.
—^---- -^-ln( +^
2 (z
+ 1)
donde
t
4
í2- , +1
% x-j
*
arctg(^fr S + c
2
V3
Integral Indefinida
65)
225
j-Jx (l+ * J x )Adjc
2x r 24
36x2 f , r 8 a 2 r
6 •> ¿ Í T
— -\/a + — x-yjx' +
%Jx+------ -Jx + — a" Va +c
3
11
13
5
17
„
Rpta.
dx
f
x-^Jx2- a + 1
R pta.----------------^ - t -------- —ln |2 x -l-2 -\/jr 2 - a + 11 + 2 1ln jc —-\/jr2 - a + 1 |+ r
2 ( 2 x - \ - 2 ^ x 2 - x
67)
+ l)
------------— y-.• ------| ---------j
2
Rpia.
iv ^ iia .
( x + 2) - *J x 2 + 2 x
68J
- i ---------
\ x +2
4 x 2+a + 1
J (a + 1) — dx
|
„
-va2 +a-i-1 . .
1
r^¡
r . 1 . . 1 - a + 2 V a2 + a + 1 .
R p t a . -----------------+ ln |x + —+xjx~ +A + 11+—l n |------------------------ |+c
x+1
22
x+1
r
x dx
J ( x - 1 ) 2 t /i + 2 a - JC?"
-\/l + 2 x - A 2
1
.
-</2+-\/l+ 2 x - v 2
Rpta. - ----------------- = In —-------------------- -- +c
2 (1 - x )
-J2
1-a
dx
-----------,------J (a 2 + lh /x 2 - 1
D *
1 1 , -J2x + ^lx2 + 1 .
Rpta. — p rln |
l+c
-JÍ x - tI x 2 - 1
f
Rpta.
r
J
72)
+
^ dx
1 + A -
f^
J
|-a rc tg
* ~ + ^
+ c
A
efe
V1+A
ln |x + -\/A 2 + 2
Rpta. — (l + x)lü + —(1 + a ) 7 - 8 (l+ x ) 4 +c
5
7
Eduardo Espinoza Ramos
226
i m —
—
—
Rpta. 2x 2 ——x 1 0 +10xl ü -lO arctg x 10+ c
-Jxdx
©
4
X + X 5
X1 + x 2
8
©
dx
15
J x +1
I
J_
J_
Rpta. 7x 7 -1 4 x 14 + 281n(x14 + l) + c
4 A 4
Rpta. —x 4 “ J
dx
3
* 4
I
I
+ 2 x 2 + 4 x 4 -21n(l + >/3)-4arctg^- + c
Jí+ i
3 3
Rpta. —x 3 - 6 x 3 + —j
Jxdx
( J J + 1)2
2
a /i+ x 3
dx
dx
+ 9 1 n |x 3 + l|+ c
*3+1
Rpta. 2(i+Jx)2 +c
Rpta. 3 arctg(Vx) +<•
(J¿+1)2
dx
dx
Rpta.
6
1
~ (* 3
1
+ 1)2 ~ 2 (x 3 + 1)2 +c
2(4+3jx)(2-Jx)2 .
R p ta .--------------------------- hf
J~x
2
(x -
2)3
dx
(x-2)3+ 3
tJ(\+J x )~
Rpta.
.1/
2
(x-2)-9jx-2+9j3 arctgí— 1=—) + c
J3
Rpta. - ^ ( l j x - 4 ) ( l + j x ) 4 + c
Integral Indefinida
©
227
v—1
Rpta. arcsen(— ¿=)+c
xV 2
dx
x^Jx2 + 2 x - l
1
3 + 3x + 2-j3(x2 + x + l)
Rpta. — = l n | ----------- -------- ------------------- \ +
V3
x-1
rfx
(x-l)-Jx2 + X +
]
dx
c
n
1 . 11
2 +^ 2 + x - x 2
Rpta. — ¡=ln —+ -----------¡=----- +r
V2
4
x4 i
X-J2 + X - X 2
dx
1
, 2 - jt
Rpta. —arccos(— -¡=) + c
2
v-\/2
* 4 7 + 4x - 4
x 3 + 2x 2 + 3x + 4
dx
4 7 + 2x + 2
Rpta. (^-+-g-+-^)-y/x 2 + 2x + 2 + -^-ln|x+l + -\/x2 + 2x + 2 |+c
©
®
(90)
5x+3
rdx
Rpta. -5y¡5 + 4 x - x 2 +13arcsen(^y^) + c
dx
Rpta. - ( y + 5h / - x z +4.v +13arcsen(X^ ■) + c
-Js + 4 x - x 2
x 2 +2.V + 3
4 ~ x 2 + 4x
76/
Rpta. —x® —4x 2 +1 8 x 6 + ---------- 21 arctg%fx +c
5
\ + Mx
4 x dx
( 1 +4 ^ ) 2
dx
.------(2x + 5 h /2 x -3 + 8 x -1 2
dx
x - 2 ) 4 x 2
-44x
.i + 1
Rpta. —arctg(l + —-v/2x - 3) + c
2
2
Rpta. — j=arcsen( — -) + r
v3
.V—2
228
Eduardo Espinoza Ramos
í
T
RPta*
= =
~ - +
1 x S x 2-\
^ x 2 - \ - ~ [ n \ x + -Jx2 - l | +c
2 2
z
dx
J (jc —1)3^1/ 5jc 2 - 8 x + 4
„
Rpta.
-n/ S jc 2 - 8 x + 4 ( 4 - 3 x )
lílíM *
2 -8 x + 4 + x .
Rp"‘- - ln|jr+9|- í arc,8(Í 7 Í l )+t'
r l - V l + J f + J f2
,
©
I— .
^ dx
x*J\ + x +x 2
®
C
dx
-----------.. . . ■
U x 2 -l ) s lx 2 +x - 6
98)
a/ 5 x
--------------- ■;------- + ln| —--------------------- |+c
2(x-l y
x-l
„
,
. X + 2 - 2 - J I + X + X 1 ,
Rpta. Ln|-----------—----------- \+c
x~
^ ^
1
ll-3 x v
1
,11“ *»
Rpta. — arcsen(-------- ) + — ¡=arcsen(------- )+ c
4
5 x -5
2^6
5x + 5
f * - 3 x ~ l dx+ U .v2 + 4 dx
^ x —x —2x
J
Rpta. ln [^
{X+ 2)~ ] + - 4 x 2 + 4 + 21n | x + V* 2 + 4 | +c
x+1
2
f4 ± i i z i * + f i í ! ± í i *
- 2x + 8
J
x
S)
^ \ W
¡ ‘b‘
f ctgh(lnx) ^
-Jx2 - x + 1
[ -_ £
x 4
@
j.4 jj
Í T ‘i”e+1M-lne'] *
r
senxcos5x d r
3
(eos2 x + eos3x + sen x )1
229
Integral Indefinida
(D (D
©
J u ig v i- x c o s e c 'x ) -
—x
J a 2(2 +^ T)1\ / a
^
f
“I___
■>a7(1
+ ra77)1,7
(1 +
)1 7
ÍU )
©
^
( v + 1)-v v2 + x + 1
}V,
f
Jb a ’a
dx
Í^
^ a - senx)"
T -fJ Arcos«-j: dx
JJ sen.v(veos
■j)
s—'
/T7 ^ \
£
f—
f
* -------------- .
- í
’*
"
5
— íív
J 2eos A
"+ senaeosx +sen“a J (a ~ 1)(a“ - 2v + 5)
í7i\
f
I Y a
f
(2 + \[x)dx
íu)
r—
^— r S ,
J scn2A.ln(tgA) J v
1.6.19 EJERCICIOS DESARROLLADOS DIVERSOS.Calcular las siguientes integrales:
dx
©
í
-J*Jx + 1
Solución
Sea
r = -Jx
=>
A= r 2
=> dx = 2 / d/, reemplazando en la integral
| 7 = = = = j4 =
- // v + 1
V- + 1
Sea
n =-\/r + l
-O )
r = n 2 -l
=>
d/ = 2^dw. reemplazando en ( 1)
Eduardo Espinoza Ramos
230
f
dx
= 2 f ( » - - l ) ^ = 4 f (H.2 _ lk/l1
J V -^ + i
vv
= 4(—— vt) + 1■= — iv2 -3 ) + i = —slz + \(z + \ - 3 ) +c = --Jsfx +\{s[x - 2) + c
3
3
3
3
/I - V a-
©
■rfr
'l + V*
Solución
Sea z" = v
=> dx = 2z dz, reemplazando en la integral dada:
(1 - D
z
Sea
sen 0 = z
,
| z = sen tí
ít
jtí = aresen z
|< f c = C O S 0 r f 0
eos 0 = s j \ - Z 2
r zet
r sen: 0 cos 0 dO r
1 ,,
...
I ,
. =-I --------------------= I sen" tídü = —(0 - s e n 0 cos 0 )
J ^/iTT7 J
eos tí
i
2
= ^■1a re senz
z-J\-z2 )
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
...(2 )
Integral Indefinida
231
í-—^= dx = —2 a/1
\\+4^c
- 2
- arcsen r + ~a/i —- 2 + c
■( —2 + -)a/i —- 2 —arcsen - + c = (a/x - 2 )^ Jl - x - arcsen a/jc + c
1 —x
dx
Solución
^ 1 —A
.
1 —_
Sea r = ------ , despejando x =------ — =>
1+x
I x r
f ll^ -d x = f r .^
J V 1 + A-
J
1+ ; J
1 , _3
^ J
4
,
dx =
6
_ rf-
(1 + r 3 .)2
-( ~ 6~ , )<fc = - ó f ------^ ^
1 —r
(1 + r 3 ) 2
J (I- -
=
)C1 + - )
6
Í - - -Z
~ — -----
J (-
-1)(-
+1)
,Cr A
B
Cz + D
Ez+F
= 6 [----- + ------ + —-------- + —
1dz
J r - 1 r +1 - +r +l z 2- z +1
Calculando los valores de A.B,C,D.E.F se tiene:
_fr 1
1
=+ 2
J : —1 + : + 1 r 2 + r + l
=~2 ij_
r 2- r +l
= ln| r - 1 1+ ln | r + 11 ——ln | r 2 + r + l | T- l n | r 2 - r + l | -
—n/5"arctg(2 ~'fí 1 )+V3 arclg(~~ *) + c
a/3
V3
=l n | r 2 -
donde
1 1—
2
l n |( r 2 + r + l ) ( r 2 + rr +-1 ) | —v/3^Carctg —a=— arctg~
r = 3 -——
Vl+x
a/3
a/3
)+ c
Eduardo Espinoza Ramos
232
dx
©
h € i 7t i 7
Solución
J ^ ^X = J jc°(1+jc4 ) 1,4dx. ahora aplicamos la condición de CHEBICHEV
m+1 0 +1 1
=
= — no es un numero entero.
n
4
4
m+ I
1
1 „
+p =
= 0 es un numero entero.
n
4 4
Sea r 4 = x
4
+1
=>
x 4 = (c 4 - i r ‘ =- 1
r«-l
x = (r4 -l)
1/ 4
J 4/l + r 4
f(l+ - ^ - )
J
- 4-l
=* dx = - z \ z i - \ ) 5/4d=
- 1' 4 ( - , 3 ( - - 4
- l ) *l4)d=
= - J r _I ( r 4 - l ) 1/4r 3( r 4 - l ) “5/4dr
r
C= + D yt
u
= - \f — dj z = - f [—
+ —B + —-—
J - 4-l
j r - 1 r + 1 =2 +l
..( 1)
r 2 _ A +_ B _ + C=+ D _ A { : + \)(z2 +\) + B ( z - \ ) ( z 2 +\) + {C: + D){zl - \ )
-4- 1
r2
r —1
r+1
: 2 +\
( r —l ) ( r + l ) ( r 2 +1)
=A(z2 + r 2 + r + l) + 2?(r3 —r 2 + r —1) + C ( r 3 —r ) + d ( r 2 —1)
r 2 =(A + B + C)z3 + ( A - B + D)z2 +{A + B - C ) z + A - B - D
por identidad de polinomios se tiene:
233
Integral Indefinida
A + B + C —O
„ „ „ ,
A-B+D =\
A + B —C =0
A —B —D = 0
resolviendo el sistema se tiene:
A = - , B = - ~ , C = 0, £> = 4
4
2
...(2)
ahora reemplazando estos valores de (2 ) en ( 1 )
f dx = - [ [ -1 ------ 1---- +
i
]rfr
J t/lH V
J 4(r_1) 4(r + 1) 2 (r + 1 )
1
1
1
1
_+1
1
— 1n | —1 1 h— ln | r + 1 1 — arete - + c = — ln | ------ 1 — arete - + c
4
4
2
4
r-1
2
j - l n |^ v
4
^ -
©
4
4
+ 1 + 1 |- la r c tg ( V 7 T TT ) + c
+ i-r 2
J
Solución
Sea v = —
- => dx = —
'(-i —a:3 )1 3í/y
r r
, reemplazando
-3
r
rfc,
id/3
= - J - (=_
| ( .-2
O
©
J -Y
--\/a'
o5 - 1
f 2/ -
—l .t / 3
,
« f e - J - V - I ) " 3 <fc
-1)4.3 + t. =
3 (J _ _ i) 4 .3 +£.
O JC“
Eduardo Espinoza Ramos
234
Solución
Sea z 2 = x 2 -1
r
dx
=>
2z d: = 5x*dx, reemplazando en la integral dada:
_ 1f
5a- dx
_ 1r
2 zdz
^
x 5-Jxs - 1
^
( r ' + 1 )-
2 f dz
2
2
, ,
. ,
=— —---- = —arctgr + e = —arctg(x' - 1 ) ~+c
5 J r - +1 5
~
5
sen 2x dx
©
í ,sen 4 x + cos
.......
4 v
Solución
f
sen 2 x dx
a
a
J sen jc + cos x
_ r
J
=
f
sen 2 x dx
l
"y “}
")
")
J (sen
(sen'- x + coscos~ x)
x)“ - 2 sen' x c o s' x
sen 2 x dx
r 2 sen 2xdx
^r
sen 2 2 x
■'2 -s e n 2 2 x
M + ( l- s e n 2 2 x)
1-
2
r sen 2 x 2 rfx
= - arctgfcos 2 x )+ c
J l + (cos 2 x )'
(¡)
f __________ dx
J x(x
x(x*2 -l)
-l)(ln
(ln x 2 —ln(x 2 - 1 ))
Solución
sen 2 x dx
sen 2 x
•* 1 + cos 2
IntegraI Indefinida
®
í
235
(x -a )p(x-P)
- d x , p > O, a * p
(x-a)(x-P)
Solución
r (x-a)U x-P ) p
(x-a){x-P)
f ( x - a ) ' ,~X
hx-pY ^ '
J
x —a
Sea r = ------x-p
=>
dz
a-p
f A- a „
J í-/T
dx
(x - p Y
dx
(x - p Y
p Yr ’(
p )) "p d x _ 1 f . /
f (I xt - P
i xx-- P
dx— - I
J ( x :--aa))((xx--P )
a - p 3i '
= _ ! _ (I z V
p (a ~ p )
p(a~P) x ~ p
dx
soiucion
Sea z 2 =x
2
- jr
=> dx = 2z dz, reemplazando en la integral dada
J V 2^7r
Sea
sen 0 = ~^=
Jl
Z = V2 sen 0
C O S0 =
VT?
Vi
’ z 2dz
Y l- z 2
_ f 2 sen 2 O-Jl eos 0 d6
-JlcosQ
"
= J 2 s e n 2 OdO
0
= arcsen(-^=)
V2
dz = -j2cosOdO
ifa-z2
=-\/2
cos 0
+ t.
236
Eduardo Espinoza Ramos
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
dx = arcsen(-^=)- z 4 l - z 2 = 2 aresen
J
0
j
- - J x - j 2 - x +«;
(\+e2x) 1 2exdx
(l + e2x)(^¡4 + 4e2x -1)
Solución
r
ti
ax
(1 +e~
+ e 2'))' 2e xdx
_ r
(l + e2x)(^4 + 4e2x -1)
Sea z 2 —l +e 2x
exdx
•* ,j(l+e2x)(2-J\+e2x -1)
e 2' = r 2 -
=>
1
=> ex - 4 ~2 ~ 1
=>
e'dx =
zdz
-i
r
(l + e 2* ) 1 2exd\
■' (1 + e 2' )(sj4 + 4e2x -1)
_
1
Sea I = — -—
2r - l
=>
zdz
_r
* z ^ z 2 -l(2 r-l)
. 1
2 r-l= I
^
* ( 2 z - \ y j z 2 -1
.
di
=> dz = —~—2/
1 +/
r = ------2t
=>
dz
_ r
Ahora reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
f
U+e2x)1 2e xx
dz
r
U l + e 2x)(^¡4+4¿2 ^ - l )
' ( 2 z - \ )( z 2 - i / '
di
2r
r
1
J (l y
_
f
i
di
2 12
-Jl + 2 l - 3 t 2
2t2
-
di
1 r
di
f
1 f
J Vl + 2 / - 3 / 2
V3 J ri®._// _ I )2iW2
27
1
.3^3r -V 3 .
= — y=arcsen[----- ¡= — 1 +c
V3
VIO
como i
1
1
--------= — ,
—
2=~l 2 ^ V 7 -1
entonces
3
237
Integral Indefinida
(l + e 2' ) ‘ 2e xdx
1
= — j? arcsen[
J (1 + «?2JIXV4 +4t?2A - 1)
V3
r 2V3(2-VT+V 7 ) 1
. .------------------]+c
■J\0(2sjl+e2x - 1 )
-
f
5)
í<
Solución
Sea / = aresen x =>
dz =
dx
dx
dx
Vi -X 2
V i-se n 2 r
cos -
/ = aresen x => x = sen /
Como dz - —
cosr
=> dx = eos / dz
J e aR~ nvdA- = jV c o s r íf c
Integrando por partes:
...( 1)
u =ez
dv = cos zdz
\ d u - e z dz
»■= sen -
J e: c o s z d z - e : sen r - J e' senzdz
u=e 2
dv = sen r dz
i = e'dz
\du
|v = - c o s r
e z cos zdz = e ! sen z +e z cos z - J e 1 cos r dz
r .
e'(sen
e~ (senzr +cosr)
+ cosr)
l e cos zdz =---------
...( 2)
reempla/ando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
Je
a resen »
*
j, (sen z + cos -) .
dx = e ----------------- + t=
arcser.i (V+Vl--V
■ ■ n— 2 r)
e ------------------- R
^areser. \
Eduardo Espinoza Ramos
dx
©
J(
y
- 1 ) ( a + 1)^/(y - 2 ) ( a + 3 )
Solución
A(x + 1) + B(x - 1)
fí
1
( a — 1 ) ( a + 1)
a
-1
+ 1
a
( a — 1)(a + 1 )
1
1 , 1
( A — 1 )(A + 1 )
= - (
2
A -1
1
r+
r)
J (a - 1 ) ( a + 1)t/ ( a - 2 ) ( a + 3 )
=Irf
2J
a
,
- 1
1 |
x +\
f
___
JÍX-
dx
^
a
- 2 ) ( a + 3)
dx
f
( a - 1 ) ^ / ( a - 2 ) ( a + 3)
Calculando la intettral
B = ---?
A+ 1
dx
1 C. 1
—--------------- = — f (—
í
A=-
íA +B = 0
\A -B =\
1 = (A + B)x + A —B. por identidad se tiene:
]
J (a + 1 ) ^ / ( a - 2 ) ( a + 3)
í /a
( a - 1 ) - v/ ( a - 2 ) ( a + 3 )
Sea r
a-1
a
1
—1i = —
w —----dz
dx
=>
dz
f
dx
( a - 1 ) - n/ ( a - 2 ) ( a + 3 )
r
- !
J
dz
~ --2
Ci' ( - - ! ) ( -
-
--2
1 V ( l- -)(l + 4 r)
+4)
dz
-í
i [
+3z-4z2
completando cuadrados
. ( 1)
239
Integral Indefinida
= - y arcsen[
ahora calculando la integral
1
Sea i =----x+1
=>
]+ c, = - y arcsenfyj—yy] + q
... ( 2 )
dx
í
¡=
x
J (x + W t - 2 ) ( x + 3)
=> dx = —dtr
, =1x +1
t
dx
= rf
Í _J
(x + l ) J ( x - 2 )U + 3) J i1 í(I
t \ t
ÉL
ÉL
/^ 2_ _ _ _ _ = _ f f_ _ _ _ _ /r 2 — = _ ff.
dt
j T+2)
J J aa --30(1+
3 o ( i +2/)
J .V l - / - 6 f 2
3)(I
2 /)
t
t2
1
- |= f ,
Jó J 125
144_
= - -j=r arcsen[
/ +—
dl = = = — ^arcsenf—-?-]+ c 2
1 ,
Jó
5
T?
y - ^-] + <r2 = ~ ^ r arcsen[ ^ + ^ ^ ] + c 2
...(3 )
Luego reemplazando (2), (3) en (1)
r
dx
1
ljl-3 x v
1
1 x + 13
-------------, ■
~ = = — arcsen—(---------)+— ¡^ arcsen—(------- )
J ( a - 1 ) ( x + 1)J(x-2)(x+ 3)
4
5 x-1
2Jó
5 x+1
g)
}
x2rfA'
(x cosx -sen x )"
Solución
A la integral dada lo expresaremos en la forma:
r
x 2 dx
r x
xsenxí/x
----------------- = -----------------------------
* (r
r n s v — cf*n
r\~
J S e n X i r r n s r — s e n y\~
, integrando por partes
240
Eduardo Espinoza Ramos
u=
,
senor-orcosor .
du
=--------dx
-
señor
(señor)"
x sen x dx
dv =-
1
v=x eos or-señor
( jc eos or- señor)"
x2dx
(senor-orcosor)í/or
(orcosor-senor)2
sen x(x eos x - sen x ) J sen2 or(orcosor-señor)
sen x(x eos x - sen or)
sen x(x eos x - sen or)
f
l x 2 -1
- J c o se c 2xdx
-ctgor+c
dx
J Vl+JC2 x
Solución
. .
f
. . .
x 2 -1
. la integral dada expresaremos asi: I ,f—
dx = —
1 fI
J Vor +1 x
z =x 2
Sea
r
¡x2 -1
j U
2
2 J Vor +1
dx 1 r Jz-1 dz
or
... (1)
... (2)
+ i T _ 2 J 'V 7 T T T
x 2 -1
2xdx
-
=> dz = 2x dx, reemplazando
w
C
“ —1
Sea
w 1 = ----j +1
f
x 2 -1
dx _ 1 f
+1
dz =
w2 - l
w2 -1
J V jr+ lT ’ l J ^ ^ + l
4 wdw
(h -2
- !) 2
r
4wdw
Ov2 - l ) 2
w2dw
“ J(M-2 +l)(W2 -
241
IntegraI Indefinida
»v
A
(w2 - 1 )(w2 +1)
W-1
B
+
Cw+D
+-
w+1
k-2 +1
A(w+l)(w2 + l) + i?(w -l)(w 2 +1)
(Cw+D)(w 2 -1 )
(w -l)(w + l)(w +1)
(w —l)(w +l)(w z +1)
w2 = A(w2 + w) + A(w2 + l) + 2?(w2 + w)-Z?(w2 + 1) + C(w3 —w) + D(w2 —1)
w2 =(A + B + C)w2 + ( A - B - D ) w 2 + (A +B - C ) w + A - B - D
A + B + C =O
A -B + D = 1
A + B - C =O
A - B - D =0
resolviendo el sistema se tiene:
A= B
= - ~ , C = 0, D = 4
2
4
ahora reemplazando los valores de A.B.C y D.
r lx2 -1 dx
1 r dw
1 r rfw
r dw
1. . w + 1 .
Í V 7 T T T * - lJ ^ T +l J ^ T - J ^ 7 í =¥ In,^ T | - arcte*v+c
z —1
-|-arctg
TInl
r+ l
1
-1
■ylx2 —1 +-Jx2 +1
^ I n l-y
^
+1
7
-
V* 2 - i - V * 2 + i
iz
+ 1
1, , - J z - l +^lz + 1
+ c = —ln t t = — - = = -arctg l E í + c
\z +1
2
V ^ l-v /^ + l
1 - arctg
EEI +c
v + i
eos xdx
J sen3 or-cos3 x
Solución
eos x d x
r sec2 x d x
(1)
Eduardo Espinoza Ramos
242
Sea z = tgx =>
dz = sec" xdx
r sec 2 xdx r dz
r
dz
rr A
---------2---------- = f
“
i
=
H
—
=
J tg J C - 1
z —1 J (z -l)(z + Z + 1 ) 3 - - í
1
z3
-1
z-1
Bz + C
Z
Bz + C
A(z + z + l) + (2?z + C)(z —1)
z 2 +z +l
(z -l)(z - + z + l)
1 =/4(z2 + z + l) + 5 (z 2 +z) + C (z -l)
+Z +1
...
" (2)
=> l=(v4 + 5 )z 2 + M - 5 + C)z + z - C
/!= -
A+B = 0
Por identidad polinómica se tiene:
v4-£ + C = 0
A —C —1
5 =—
c=-l3
reemplazando (2) en (3) se tiene
r sec 2 xdx I r
1
z +2
1
l r 2z + l+3
I — ---- - = - | t —
]dz = —[ l n | z - l | ——I —-------- -dz]
3 te r - 1
3 J z 1 z +z+
3
2 J z‘ +z +l
J—
TTTat
(z + —
) +2
4
= ^ [ln | z - 1 1 - | l n | z 2 + z +
= i [ l n | z - l | —^ l n |z 2 + z +
1 1
1 1 ~^/3
.-J=r arctgf—^ - ] ]
arctg(2^ 1)]
= | [ln | tg x - 1 1- y ln | tg 2 x + tg x + 1 1- J 3 arctg(-^j^)]
x e x sen x d x
..(3 )
Integral Indefinida
243
Solución
dv
J xe '
sen x dx = -xe ' eos jc -
Jd u
u = x e'
Integrando por partes se tiene:
= sen x d x
v
= (x + l ) f ' d x
= - eos x
J (a + 1)ex ( - eos x)dx
= - xe ' cosa + J (x-tl)e' eos xdx
jw = (a+
\dv = eos xdx
haciendo
Ju +l)e'
... (1)
¡du = (a + 2)e' dx
]v = sen v
eos x dx =(a +1)t' s e n x - J (x + 2)e sen a dx
= (A + l)eJ sen a - J v e ' sen a dx - i j e ' sen a dx
... (2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
J xe ' sen a dx = - xe ' eos a + (a + \)e* sen a - J x e ' sen x d x - i j e ' sen a dx
r
J
aí?
.
.
—xe' cosa
s e n A < / v = ---------------
(A + l)é,A senA
r
+ ------ ----------------- j e
sen x d x
ahora calculamos la integral J e ' sen a dx por partes.
-.(3 )
244
Eduardo Espinoza Ramos
senxdx = e* s e n jc -e '
ex sen xdx
cosjc -
.
, e* sen j c - e 1 cosjc
Í e senxdx =----------
...(4)
reemplazando (4) en (3) se tiene:
,
,
- x e x eosx (x + l)e' senx e x scn.v-e* cos.v
xe senjcí£v = --------------+ ------------:--------------------------------+c
e ,(jesen jc=—
18J
jc 3
V1 +
JI Vl. +vJC4
jc 4
jccosjc-
eos .v)i + c
dx
+1
Solución
Sea ; = jc4
fW
T
=>
^
dz = 4x3dx
f y r¡7
J Vi+a-4 + i
¿ _ lfV Ñ 7 ¿ :
J vm + i
sea u " = 1 + r
=>
=> x i dx = —
4
2
J
M+ l
4 J v í+ i+ i
dz = 2u du
_ r u 2du
—— -— = -------Í y¡l, + z —dz = ru{2u)du
■JÍ+ 7 + 1
(1)
J M+ l
„ r,
,
1
.
2
-,
.
11
(m- 1 + ------ )du=u - 2 « + 2 1 n M+ l
=2
J
M+ l
r -x/l+Tdr =M2 _ 2|< + 2in|M + 1[ =1 + _ _ 2^ T + 21n| ^ 7 T + 1|
J -Jl + z + 1
reemplazando (2) en (1) se tiene:
(2)
Integral Indefinida
f x 3 Vl+,r 4 ,
,
245
r + 1 Vl + r
1
, . p,
— d x = -------- -— - + - l n V1 + - +1 +<•
] ^ 7 + l
4
2
2
= £ ^ l _ Ü Z + I l n |^ 7 7 + 1 |+ f
4
2
2
19)
J ln(-\/l + jc —s/l —_<)dx
Solución
Calculando la integral por partes
d » = ií£ E ¿ ,
u = ln(Vl + -v ~ J l - x )
2 x\l-x2
d v = dx
v =x
J ln(-\/l + jc —\j\ —x)dx = x \n(-J\ + x - s / l - x ) - J
=
ln(->/l -t- jc
— \¡ l - - v ) - y
í [
^ dx
.
^
7 + l]r¿ v
"vi —x~
= \ n ( - Jl +x — J \ —x ) —— &TCScnx —— + c
?
20)
?
J <Jtg2 x + 2 dx
Solución
A la integral dada escribiremos asi:
(tg2 v + 2)
rtg 2 .Y+ l + l
dx
Í ssec2
e c 'xx + l1 ,
f sec
sec 2 xax
jcí¿v cr
rfr
c
'■sjtg2
O - x= +T2 * = J t-Jtg2
7 Tx =+T
2 + J ^' t0g 2 x + 2
246
Eduardo Espinoza Ramos
i x + -ytg
I 2 a- + ^2 i| +jf — ^cos x dx =
= ,ln |tg
Vsen2 x + 2 cos 2 x
, .
I ’
7. f eos xdx
= ln |tg x + -^/tg- x + 2 | + | - = = = = =
V2 - s e n 2 x
, .
I ■> 7.
senx
= ln |tg x + -y/tg' x + 2 | + arcsen(— — ) + c
-v/ 2
dx
x ~ -l
§>
J *f i' + 1
V l+ x 4
Solución
Dividiendo numerador y denominador por x 2
r
(x2 - l )dx
U 2 -l)
x2
f
(x 2+ 1 rJ l +x '
.
i.
(1 )
2
i
(X+7 T V
2
Sea r = x + — =>
x
dz = X ^ dx
í¿: = (1—
x~
= x 2 + -i- + 2->
=>
X'
1
x2 +-—
-= 22
ahora reemplazamos en la ecuación ( 1 )
1
Sea I = — =>
r
r =/
1
=>
^
di
dz = — /2
->
-2
Integral Indefinida
247
_dt_
f
t
f
d:
e
=f
f
t2
1 f
dt
e
=w
i p - 2
"
J
1
W
=' w
•Ji
-Ji
= - ^ - a rc s e n ( — )
,
“ M I ’6 )
...(3 )
reemplazando (3) en (2 ) se tiene:
(*2 - l ) ¿ r
a/2
->/2,
4Í
, -s/2 ,
-----------.------- = -------- arcsenf— )+ c = ------ arcsenf------ ) + c
V tlh /T ^
2
=
2
'i +l '
A'
r
4Í
2
,V 2 x .
arcsen(—
)+c
,v + 1
í/,V
J Vi+í?A+ e 2v
Solución
Sea z = e r
f
=>
=>
ífc = e*í/jr = r dx
f/.V
í
-J\ + e * + e 2x
1
í/.l =
- ( 1)
ÚZ
z 4 z 2 + r+ l
1
Sea í = — => z = i
r
dz
dt
=> d z = -
t2
dt
f
d=
z4=2 + = + 1
_
í
-
f
V/ 2 + / + 1
1
<\ t 2
dt
/
, ,
i
n -------r.
, . i i
11
i
-ln |/+ —+ -V/ 2 +/ + 1 | = —ln| —+ —+ J —y- + - + 11
248
Eduardo Espinoza Ramos
i i z +2 + 2-y]:2 + ; + l ,
= “ lnl
—
1
—(2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
f
23)
,
dx
z +2 + 2 a / - 2 + r + l
= —ln ----------------------- +q = - l n
2:
e 1 + 2 + 2 a / e 2'" + e r + 1
2c'
+c
^ sen4 x + sen2 x
Solución
A la integral dada escribiremos asi:
r eos3 x(l + cos2 x) .
r eos2 *(1 + eos2 a) c o s x ,
r (1-sen2 x)(2—sen2 a) c o s a ,
dx=I --------dx
I
S
— dx= I --------- -------------• upn r-*-Qpn_ v
*
«ípn r 4-cpn' v
*
tipn v-í-cpit y
Sea z = senx => dz = cosx dx
f eos 3 x(l + cos 2 x) .
f ( l - r 2 )(2 - z 2)dz
I
4----------í-d
X
=
\
J sen x + sen~x
J---------í----z +z 2------
•í"
2
2
= z - 6 arctg r — + c = sen x - 6 arctg(senx)
rc
z
sen x
x —1 .
dx
J x + 1 a / x í x 2 + x + l)
Solución
Sea z 1 =
x
+ 1h —
=>
2 - zfc =
X
(1— \-)dx
x~
=>
ahora a la integral dada escribiremos así:
f ,xx —
- 11 .
*+'
dx
dx
_ ff , x -- 1l ____ ________
£ ¡ ? 7 7 T T *) + '
2 zdz
=X
1
x~
dx
Integral Indefinida
249
_ r jc —1 1
dx
_ r .v
x -—1
r _ j x2
v+ i x i
x + 1+ —
^
X
.vT y 2 + 22 . V + 1
,
1
X + 1+ -
-1
dx
1
Ía + 1 + I
1
dx =
A'"
(a + 1+ -+ 1)J a +1 + 1
V
Y
25)
^
1
-1
dx
V
A
= 2 arctg 2 + c = 2 arctg J a +1 + — + 1
f — -1-------= 2 í —
J (r-+ l) r
y2
• ' r + 1
“ V
A
f a r c s e n ( ~ ^ * )r¿ r
J
1+A
Solución
Integrando por partes se tiene:
u = arcsenf
Haciendo:
1 +A'
\du =
)
dv - dx
(l- x )d x
~Jx ( a
+ 1 ) | v —1 |
V= A
dx
[a -1 , si x > 1
| a —1 1= <
como
1 —A ,
SÍ 0 < A < 1
~J~x ( a + 1)
entonces du =
dx
~Jx{x + 1)
,
si
X > 1
si 0 < A <
1
Luego consideremos los casos:
i)
Cuando x > 1 se tiene:
r
J
r^x.,
arcsen(
Sea
1+a
r 2 = a
=>
2-Jx
f -- xx d x
’- J x , fMt/a
x ddx
x
) - —¡=
= varcscnC ---) + -------- ... ( 1 )
v
J V-YU + O
‘+v
J ( v + 1)
2 V a.
)dx = yarcsen(
1+
dx = 2 /d /
Eduardo Espinoza Ramos
250
C-Jx dx _ |r =2=d=_ ,\ = 2d= _ , f
J A+ 1
JI , 2 +1
“ JL
-2 + l
= 2-Jx -
2
~ — ) = 2 ( r-a rc tg r)
r ' +1
j
... (2)
arctg-\/jf
reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:
J
ii)
2-Jx
arcsen( ~ ' )dx - x arcsen(— —) + 2-Jx - 2 arctg 4 x
l + .Y
1 +.Y
.. (a)
Cuando 0 < x < 1, se tiene:
f
2 ^ . ,
¿ t / a . f xdx
arcsen(
)ax = x arcscn(-— ) - —¡=
J
1+ A
1+A
J V a (a +
r a/a dx _
J jc + 1
1)
ifr
f 4xdx
x aresen(
) - ------- - .( 3 )
1-t- jc J A + 1
_ 2 arctg -Jx
..(4 )
reemplazando (4) en (3) se tiene:
~>-Jx
~>-Jx
arcsen(r — )dx = x arcsen(~- - - ) - 2-Jx + 2 arctg-Jx
J
l + .Y
..(P)
1+ X
Luego de la parte (a) y (P) se tiene:
[ arcsen(———)dx = x arcsen(J
26)
1+A'
) ± 2-Jx + + 2 arctg -Jx + c
1+ A
f ACQSA-senA ^
ya/a 4 +sen 4 y
Solución
Dividiendo numerador y denominador por
a
2
y eos a - sen v ,
a eos y - sen v
-dx
-J,
\V.\
-">011
Va -Nen
>
sen
-dx
..( 1)
Integral Indefinida
Sea
251
senx
- = -----x
, x c o sx —senx ,
d: =-------- -------- dx
x-
=>
...(2 )
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
r_ ±
r ic o s * - * - »
^
‘ -fsen4 *
= l , n | Í ^ ± l | - l a r a g(*Vv7T> + c
4
í/T T T -l
2
este es el resultado del ejercicio 4.
dx
r
x-Jx"
-1
Solución
Sea x n ——
Ir- => x = t ~2ln . entonces dx = ——t ^lln* 1dt
tn
f
2 1
2 ir t ldt
”J
¿2 cr
—
«J
28j
t a "') ldt
r
dx
XAj'x" - 1
1
,
dt
ctt
V i- / 2
/
„
2¿
-1
= — arcsen t + r = -2w arcsen, |— + c
»
f(
—
- x cos ecx)rfx
■* sen x(x cos x - sen v) ~
Solución
A la integral dada escribiremos así;
Í
(
,
r x 3 - x eos ecx. sen x( v cos x - sen x ) 2
-xcosecx)rfx =
---------- dx
sen x(x cos x —sen x) “
J
sen x(x cos x - sen x) ~
x3
r x 3 —x(x 2 eos2 x - 2 xsenxcosx + sen 2 x)-dx
sen x(x cos x - sen x )1
Eduardo Espinoza Ramos
252
a3
- jc 3
eos2 x + 2 a 2 sen a c o s a
-í
- a
sen 2 x
dx
sen a ( a eos a - sen a ) 2
■a
3(1
/i -c o s 2 a )*+ ->
2
2
2 a senA C osA -A sen a
,
---------------------------------------r------------- dx
sen a ( a eos a - sen a )
•a 3
sen2 a
+ 2a 2
senACosA —Asen2 a "
dx
sen a ( a eos a - sen a ) 2
a
3 sen a + 2 a 2 co sA -A sen A
eos a -sen
(a
a
3
sen a
+ 2a 2
a)
eos a
dx
‘
- 2a
sen a + a sen a
,
---------------------------------- r-------- ------ dx
(a
eos a -se n a )
f a 3 senA
sen a + 2 aA '2 eos
2x sen a . rr
c o s aa —
— 2AsenA
a sen a dx
:*
2
dX
+
(r
v
—
«
e
n
«J
( a c o s a — sen a ) z
J ( a eos a -sen a )
= J\d( ------------- ) + f
x eos x —
sen x
-sen
J
„
a
a
a
A2
a
r
2
A senA rfA
(a
eos a -sen
1
a)
2
A2 -1
- + C —---——
h C'
x eos x —sen a* x eos x - s e n x
x eos x - s e n x
r sec xsjsec 2 a dx
J arcsen(tgA)
Solución
_
,
sec2 a dx
sec x d x
Sea z = arcsen (tgx) => dz =
r => dz =
1 —tg 2 a
Veos2 a - sen 2 a
dz - sec x.sjsec 2 a dx
r sec x.si sec 2 a dx r dz , , ,
---------------------= I — = ln | z | +c = ln I arcsen(tgA) | +c
J arcsen(tgA)
J z
sec x d x
Veos 2 a
Integral Indefinida
253
xd x
í
V i+ x ^ i+ a + A - 2)1 2
Solución
Sea z = 1+-Jl+x2
xdx
r
dz =
diferenciando se tiene:
Vl+ V2 -Jl+ ( 1 + v 2 ) 1
r
2
xdx
1
^/l + O + x 2 ) 1
-
2
Vl + JC2
= f
= 2 ^/r + c = 2-\/l + -Jl + x 2 + c
J -v1.6.20 £.: R O C IO S PROPUESTOS.diLülar las siguientes Intégrale?
'—-C
j =dx
v J - s /v
Q
©
.*
j
G
( a - b x 2)d\
=_
-(a-bx
" — rfv
r
dv
,
3 ev.1' i \ 2 + sen a
-p -d v
©
w
f
~T^rdX 3 r 2
J slxl¡x(l + l jx ) 2
2 ‘a ^ J a - x —^fx-^Ja-
Rpta. o.arcsen
V+c
Vfi
,
a -/i
Rpta. arccos(— .
)+ c
x^Ja~4ab
Rpta. 3 arccos(——') -r3^fx2~-2x + %+ <
„ . , u-----------Rpta. ln-v/l+sen.v
1. . V3+V2-? sen a
l+ f
= l n |—¡=— . 2-\/3
■y3+\ 2 + senx
Rpta. aresen-Jx—Jx-J] —x +c
Rpta- 3 a r e t g ^ + - ^ ^ + c ■
1 + s/x
254
Eduardo Espinoza Ramos
©
ln(2+^ó dx
Rpta.
©
xcosx-senx+1 dx
(jc+eos jc)
n
* ----------senx +c
Rpta.
I
i*"*
_ „
Rpta.
X
i x + 1
©
©
©
x 24 x
dx
dx
x +eos x
,1
^x2 - 1
arcsen(—
)+--------+c
x
x
Rpta. —2 , n—- *
3Vx
2
3
r r +c
arcsenVx
-v/l +lnjcdx
xlnx
Rpta.
2-7l +lnx-ln|lnx|x+21n|-y/l +lnx - l|+c
x2exsenxdx
Rpta.
—[(x -l)senx-(x-l) cosx]e*+c
Rpta.
— (8x3+27)5'3
(8x3+27)2/3 +c
320
128
x 5dx
V8x3+27
©
—ln(2+^/x)(^/x —4 ) - —fijx2 -4njx)+c
2
4
2o +x lo —
—x dx
o+x \a +
dx
sen xcosx
1 ^
x3 arcsen—
ox
dx
i]5—x + V 5 -x
1
,
,
Rpta.
/ 2
Va
- x2"
Rpta.
c tg x
ln| tg x | -c tg x--------- + c
^
2a-Ja—x
Va +x
■+c
Rpta.
— arcsen(—)+X + 4x2-1 +<
4
x
12
Rpta.
-2(^/5-x-l)2-41n(l+^/5-x)+c
sen(5x + 2) sen(4x+2) cos(3x+ 4)dx
255
Integral Indefinida
„
1r
sen(4x + 4) sen 6 x sen(2x + 8 )..
Rpta. —[sen(2x + 4) +
+ --------+ -------------- ] + c
f
t,,
J cos-(lnx)í/x
A x xcos( 2 lnx) + 2 xsen( 2 lnx)
Rpta. —+ ------^ -------+ c
-
19)
r
-Jseñx dx
J ieos x(cos x + sen x)-Jcosx + 2 senx
1
Rpta. —ln|
2
21)
J c tg x + 2 + 1
—
^Jc tgx + 2 - 1
1
J c tgx + 2 —J í
,■
—H
-Jc tgx + 2 +J2
| + —7= ln I
2jl
+í'
l fIee 3-v
xx' 2sen x dx
xJ
1
Rpta. yy^[25x _(3 sen x - eos x) - 1 0x(4 sen x - 3 eos x) + 9 sen x - 1 3 eos v] + c
24)
r
(3x 2 +4)rfx
------/
. ■
J 2^/x(4-3x 2 W3x2 +x —4
, -J3x 2 + x - 4 + -\/x
Rpta. ln | —----- .
| +r
V3x2 - 4
f
=
J J2 + J ^ ]
Rpta. —^ 2 + 4 x - í ( J x - l - 4 ) + c
3
J -Jtg x rfx
Rpta. — ln | tgX
| + — arctg(V2 tg x -1) + — arctg(-j2 tgx +1) + c
4
tgx + ^/2tgx + l
2
2
25)
f
26)
j ^ 2 + -j2 + ^ 2 + 2cos(3-Jx +2) x l,2dx
— —
J x(xw%
r í , w + ln) 22
Rpta. ln— — ln |v ggg+ l |+ ------- ^ ------ + c
999
'
999
■
■ 999( í ‘w +1)
32
,3-v/x 1 1
Rpta. ~ s e n (
+- ) +c
8
4
Eduardo Espinoza Ramos
256
tg xdx
(eos99 x + 1 ) 2
Rpta. ln x — —ln lc o s " x + l |- l n c o s x ---------- ^ --------+c
99 1
99(cos x + 1)
f ----- ^ ——
J x ( x 7 +1 ) 2
Rpta. ln x —- l n |x 7 + l|+ e
7 '
'
r ( 2 + tg x )s e c 'x ,
-----------dx
J
ij- to 3 r
_
, .
, . 2
2 tg x - 1
Rpta. ln| tgx + 1 |+ - 7 ^arctg(-----¡=— ) + c
M
30)
f
Rpta. ->/ln x + -\/ln x + -Jlñx +... +c
3^
J(x + (x + (x + (x + ...+°o)3)3)3) 3 dx
dx
elD2xJ l n x +"v/ln x +... —x
Rpta. —[(x + (x + (x + (x + ...+ co)3)3)3) 3]4
4
■TN
32)
[(x + (x + (x + ...+ *>)3)3)3]6 + c
r senx + sen 2 x + ...+sennx
_
2 , ,
,« + 1 ,
dx R p ta .
ln | cos(
)x | +c
J cosx + cos2x + ...+cosnx
«+ 1
n
Í
34J
2
(x 2 - s e n 2 xWx
„
------------------------ ------------- Rpta. x(cos ec - c tg x) + c
x - sen x eos x + x eos x —sen x
f x ln x d x
—------ ——
J ( x 2 - 1 ) 3/2
' arcsen rr~
X dx
■Jl - 2x
„
R p ta .
lnx
x
+ are sec x + c
-1
Rpta. V2x - Vi —2x arcsen-Jlx + c
Integral Indefinida
257
f e x eos3 xd x
J
Rpta. - — (3sen3x40
3
A) +—e r (senx-cosx) + í
8
r l l - x dx
J vT +^^r
e 4 4 + x 2 dx
5+^4+x 2
' l t f i 7 S + x , 25
^ - J ítg f ia r e .g lí) )
Rpta. x - 5 1 n |---------------1— ^ = l n |--------------- =------------- |+c
2
^ 2 1 -v/7-V 3tg(-arctg(^))
2
Rpta. -(^l+-JV+e ^
3
e rfY ,
l+ e v
Vi+Vi-%¡x--2
Rpta.
®
—ln |(x —2)
4
r
1 3
)3
-4-JÍ+ V l + e ' + c
.
dx
+1| + - l n |( x - 2 ) 2
dx-----------------i—
J ¿ J í+ J
3
-(v -2 )‘
8
o .
1
3
+ 2 |---- ^ a r c t e ¿ ^ 3 — !-) + c
4V7
V7
,Rpta.
i í z—- ln
! >2 i
. r2 z +j=-)
1> + c
— 1+— arctg(—
-
f
2
10
z 2+ z+ i
5
-Js
donde Z = x/l + x 5
(43)
f
,(J[Í~ I|‘'JÍ
r-\/l +3x 2 + x 4
Rpta. l n |f 2 + U ^ - r 3C ± i | +t.
Sugerencia:
44)
f arcsenxj/x
J (1 x ) 3
Z = x+—
x
Rpta. arcsenx tg(arcsen v) + ln |cos(arcsenx)| +c
258
45J
^
Eduardo Espinoza Ramos
f
i
,
----- -— aresen xdx
V4
_
arcsenx(l-x ) “
R p ta .--------------t3x
v 33
1
Av
6 x 22
lnx
+c
3
dx
í
( x - 2 ) 3^ 3 x 2 - 8 x + 5
R p tt.
g)
^
50J
_ É í d ^ V 3 ^ ^ - i l n | ^ 1 2 Í Z Z 5 H | +í.
2 <jr- 2 >’
' ’
2 V ÍÍ? -
J í( 1U+ vx 3h) 3'
3’ 2
2
33
3^1
2
+e
+x 3
r dx
I t
r
x +x
„
1 1
Rpta. arctg x + -------- - + c
* 3x
r3 x 2 - l
,
I
¡=^ arctg x dx
J 7rJv
„
(v 2 + l)
„ r
Rpta. — ==— arctg x - 2Vx + c
Jv
2
J xx ++ -\/l-x
¥^ _
rir
Xt/ 1 - X 2
1
*/j
2
Rpta. — ln 11—x-s/l - x 2 | +-\/3 arctg(—
*)"
* ) - aresen x + c
V 3d - x - 2 )
Oí
51)
f x + Vi + X + X 2
> ■
¿x
1 + x + Vl + x + x 2
r
T 1. . l + 2x + 2-\/l + x + x 2
Rpta. Vl + x + x" + —ln |..................
— |+c
( 2 + x + 2 Vl + x + x 2 ) 2
[ > ( x + l) _ rfv
Rpta>
J VX +Vx + 1
2
3
[(y + 1 ) 3 / 2 + v322]_ 2 [(v + 1)5(2_ j[5/2] + í.
5
Integral Indefinida
259
Rpta.
2 l n \ x - ^ x 2 - x + 11 — l n \ 2 x - l - 2 ’J x 1 - x + 1 | ----------------- ■
+c
^
2 ( 2 x - l - 2 y x 2 - x +\
3>
&
Rpta. In\x+-j2 + x 2 | - arctg( ^ + — ) + c
x dx
f (x
e 2 -3 x + 2Y ^ x ^ - A x V i
Rpta. -2arcsen(,
1
x- 2
VX2 - 4x + 3 c
)»-------------------+
x-1
(3x + 2)dx
§>
í
(x + l)-%/x2 +3x + 3
„ ^
,
3 f~i :
T. . . 1
1 Vx 2 + 3x+3
Rpta. 3 ln |x + —+-yx~ +3x + 3 | + l n |
+ —+ --------------- 1 +c
x+1 2
x+1
h
^2 x2- 2x + l
Rpta. ----------------- + c
(x - 1 )dx
x ' f r + 2x +l
59 J
fc o s4 x + sen4 x ,
I
3
— dx
J eos- x - sen ~ x
1
1 + tg x
1
Rpta. —ln -------- + —senxcosx + c
4
1 -tg x 2
fsen x + sen3x ,
--------dx
J
eos 2 x
„
eos x
3 , ,V 2 c o s x - 1 ,
Rpta. —j=------- 7= ln | — ----------- 1+c
V2
2V2
-v/2cosx + l
Rpta.
dx
í
(sen x 2 + eos v 2 )(4 + sen 2x2) + c
Rpta. 2^/tg x + c
senx.eos- x
dx
í 3 ( l - x 2 ) - ( 5 + 4x)Vl-A-2
Rpta. — r
2-s/l + A
3-s/T k x - V T ^
260
©
Eduardo Espinoza Ramos
í eos ec
R p ta .
64)
x dx
cosec3*
. 3
,
J sec6 x dx
Rpta. ^ * + ~ t g 3 JC+ tg x + e
rse n 3 * ríe
I
—
„
5,
3
^ s/ T~
Rpta. — (eos .e - 6 )Vcos x + c
Veos3 x
^
dx
, ■.
J $¡{x- 1)3( x + 2 ) 5
_ ^ 4 x-1
Rpta. —4 ------ +c
I 3f : r ~ . ,
R pta. 2 arctg p í ± l + c
f
68)
. 3
c tg x ——eos ecx£ tg x + —ln | eos ecx - c tg x | +c
í i 2x + 3
dX— —
3x2 + lb r+ 1 0
3 \
x
+2
v x +2
dx
®
Ittt
Rpta. arCtgX + — ln | * + ^ * + 1 1 + i arctg(2x + a/3) + -arctg (2 x - j 3 ) + c
3
12
x
—V3x+1 6
6
rc o s x -s e n x ,
—------- -— dx
J 5+sen2x
_
1
senx + cosx.
Rpta. —arctg(
_ _ ) +6-
r V i—je2
„
J (1 - x 2 ) 3 arcsenx
Rpta. — 5------------3x
J
,
— arcsen x dx
x4
í f*
2
Rpta. —arcsen(*
2
)+c
t
6x
ínx
3
+c
Integral Indefinida
f
I
261
(cos2x-3)í¿t
.
eos4 XTj4-ctg2 x
l-c o s *
co sa
Rpta. —(x + l ) 3/:2 + —[x-Jx2 +1 + ln(x +^ \ + x 2 )] + c
3
2
.
..
^
-d x , 0 < a < x < j r
- cosa
J .v 2
a rc tg (.v . a ) d x
r—-i sen —i dx
,
J v3
^
_
Rpta. - 2 arcsen(
’
^
2 y
r
3
f — —--- X^ X
J ^ f c + í - ^ x 2 +\
sV
•>
1
tgx(2 + tg“ x t y 4 - c t g ‘ x + c
Rpta.
Jf
^3
Rpta. — a r c t g ( x
/ a) —
Rpta. —eos
X X
X
co s(j;/2)
cos(a
/2 )
2
fl3
+ —
)+r
ln (< 7 2 + jc 2 ) + c
sen —+ e
dx
^ (x + \)\¡\+3x + 3x2
1 , ,x+Ml+3x + 3x2 ,
1
2*Jl + 3x + 3x2 - l
Rpta. - 1n | ----------------------1— j= arctg(3
x
S
-J3-X
1 , , (1 + 3a + 3jc3)3/2
- 76 l n |
xH
V l+3x + 3*2
dx
j" (eosírns" jt + 4 se n .v -5 )c o sx
Rpta. ln |( l- s e n jc ) 3/2(l+ senjt) i m (2 -se n jr) 4/4 | + ------?
6 -3 se n x
(80)
íI
•y/O+ í 2 ) 5
v
6
r
r
Rpta. ln(.r + Vl + - f )
„
---------------xr ~ ~ + 1|+c
-J(l + x~ )s ~J(l + x~ ) 3 -Jl + ~x~
— -------------------------------- + L
+c
Eduardo Espinoza Ramos
262
81)
f
e
-----(1 + e r)ye* -1
f ,
RDta. - J l + J l + x 3 +c
X - d- X
J V i+ * 3 W o +
j*^
Rpta. -J2 a rc ig J----- - +c
' ^
* 3 >3
+ ^*-dx
3
Rpta. -J3x2 —7.r-6 +
84)
f^ ^ - d x
Rpta.
- J -4 x 2 -12jc + 8
8
l n ¡ x - ^ + J x 2 - y x - 2 | +c
(2jc-3)-\/4x2 -1 2 x + 8 ——ln1 2 x - 3 + ^ 4 x 2 -1 2 x + 8 | +c
8
J"e ' (c tg x + ln(senx))í/x
Rpta. e ' ln(senx) + c
fe
Rpta. —ln |e 4j -1 | - x + c
+€
dx
dx
Hx 5 + 1
„ 4 a/5 , . 2.v2 —(1 —v/5)v + 2 ^10-2-75
,4 t -(1 + ^ 5 )
Rpta. — ln | — -—-—
------ 1+ - -------— arctg(—
)+
20
2 x - - ( \ + 4 5 )x + 2
10
V lO -2 V 5
, ^10
+ 2^5
, 4 j t — (1 — \ / 5 )
+ ------------ arctt¡(—
10
p
-N/ Í 0
^
8 sen 2x. sen x rfr
(2 0 -4 s e n 2 v -1 9 s e n 2 x )5' 2
4 tu x -1 6
, 5 (tg x -4 )128
Rpta. —
(—
+ 12) + 3/2
3-Jtg2 x - 8 tg x + 2 0 tg2 x - 8 tg x + 20
3 (tg x -8 tg x + 20)
) + f-
Integral Indefinida
263
r3xarcsenx ,
I.
dx
J s ¡ ( \ - x 2f
_
arcsenjr
R p ta .
( l- .v 2 ) 3 -
1
2
, . x + 1 ,,
- +ln -= = = ]+ t
\-x~
r x
f e ' ^ e 1’ - 4 - 2 e 2*(e' + 2 )
1
,
[~TX ~
I ------------- ,
--------- or Rpta. —ln Ie + 2 1-Ve - 4 + e
J
O/
*
,
TiJ..-'
/I
2
2(í?" +2h/t'2' - 4
( x 2 + 3 x )í/x
^ ( x - l ) V x 2 - 2 v +10
Rpta.
V v 2 -2 .\ +
10+51n|V y2 - 2
x + 10 +
x +11 +- ln | —
~ 2*
+ 1°
~ 3
.v —1
| +t
r x 4-\/sen v + i/sen jc+ cos x ^
■*
(x4 +l)cosx
„
Rpta.
1. . Vsenx + 1 .
,1------ 4
, . A'2 +V Ix + l .
1+
—ln |
— | - arctgwsen y ) +
ln | --------==
2
V senx-1
8
y2 - V I x + 1
+
93)
53)
f ^/—
—SCn V cos v ¿v
J V3 + sen x
f ; ° SJ; *
V i +1
ViH 1 t 4 ' .
rV
;
dx
í/ y
J
e
| Vsen’
y+ sen
2 -se n x
Rpta. V3+senxV 2-sen y +5 aresen ■
----------- + c
4
f árceos. |—— r/v
96)
arctg(V2 x + 1 l-^ ^ a rc tg íV V y - 1) + r
4
Rpta. I | n | ^
■’ Vi + sen4 X
J
4
^
-
” ”
a/i + sen J x + s e n x
Rpta. x árceos .. —
V1+ v
| + l m i e ( . p g 5 ) +c
2
V
sen x
-/v - arctg V+ + c
Vi +é’4'
1l .
Vi + e4' —c . 1
,V í +, e +<
„
VI
+ é>
RR
p ta
p ta
.-------------------.
;
- l Ir
i j,
=------1+ —arctg(-------— )-t-t
4
f] -re ^' _+e
L >'
2
e
-^
VI
v rfv
Rpta. - Vsen2 y+ sen x + aresen V i-eo s x + c
264
Eduardo Espinoza Ramos
Rpta,i. Veos2 J.v+ eos x + aresen ^ 1 -e o s y + c
| Veos2 x + eos .v dx
Jí?senr
xcos x —sen.y
dx
Rpta. í?senv(v -sec r) + e
eos - x
1-V * dx
Rpta. 3[ln | V* | - ln 11+ Vi ~Vx | - aresen \¡x]+c
1+ V* x
dx
j" ln[(.v + c?)Jr,“ (.Y+ 6 ) '’fc]
(a " + 1
)dx
iw
1 I , vV2 +Vjc4
Rp“ - " v ? " "
^ -1
(A" —1)V1+ A4
InOn’ jf)
+e
ln(l. ln.<) +
2
dx
e lnx ln 3 a + e _ln{1/8,)
dx
2x(x + 3)‘
2
,,
l4 f
+1
. „
I
lnv + 1
Rpta. ln(lnx + 2 )— ^arctg(— -¡=—) +c
V3
V3
„
Rpta. -4 a r c t « ^ 7 3 - 2 Í Í I
+ C-
-(4 y + 12) 3 , 2
r senxtgA
sen
dx
J sen
cpn 3a - eos a
• eos v(senA)7 í¿c
(1
Rpta. ln(v + a).ln(jc + 6) + e
+ sen 4 a ) 3
Rpta. V in |tg 3 jc—1|+c
Rpta. Vi + sen —y +
2
1
Ví + sen
= +c
a
9 /
T
2
Rpta. —V l + A
,
+e
3
3VÍ+A1
COS
í
J
sen
„^i , A+ ¿7
( ----------)
2_ *
.x-a
(—---- )
1
R p ta .
—— (cos(X+ ° ))" (scn(———)) " +c
«cosa
2
2
Integral Indefinida
f
—,
J xa / x 4
H o)
dx
-2 x ~
265
„
1
.Y2 +1
R pta. —arccos(——= ) + c
2
—
-1
J ln (x 2 - x - 6 )dx
f
Rpta. ln(—)(2jc +1) + (2 x - 1)ln(2^
2
[111)
J árceos ec^^-^-dv +j"—
—
Rpta. x árceosec.
-)
” x ~ 6 ) —51n|
2* ~ 6
|- ( 2 x -1 ) + r
5
2Vjc2- x - 6
— dx
—Jx + arctg4 x ——
- 1) 6
+c
r -\/sen- jc ^
J eos .v
Rpta. -^ -ijtg 5 x (5 tg 2 x + ll) + <
55
f
Rpta. ^ L ( { g 2 x + 5)^J\gx +c
dX.~ -
J eos xa/sen 2x
f
5x + 2
,— ,—^ = d x
-s fT x -s íT d ti
j
5
17
i—
Rpta. — aresen a/3x
9
5
18
r ser v-Jl +
JJ
3 eos 2 v .
i
~ dx
eosX
Rpta. _ ^/l + 3 eos \ +^ ln |^ [ +3cos 2 x +a/3 eos v| +c
eos x
r
i—
sen (2 aresen a/3x) + c
(2x + 3)r/x
(x 2 + 2x + 2>)4x1 + 2 x + 4
-\/x2 +2x + 4 - l
1
J2(x~ + 2x + 4)
R pta. ln | —7= = = ^ = — | — j=arctg(------------ — — )+<■
a/ x 2 + 2 x + 4+1
“v2
•* + !
266
117J
Eduardo Espinoza Ramos
Rpta. arctg(ex - e ~ x ) +c
J^77~ T T ~
dx
^ l + e ' +J l - e x
Rpta.
2
119)
fr/l+g* - ^ l - e x ) +- \ n \ ^ l +e
>[+c
4
Nl+e* + l)(l + ^J l-e x )
Deducir la fórmula de recurrencia de la siguiente integral:
n
üx
r
f n ax j
X €
H.
!„ = ] x e dx = — ------- - í n l
a
a
120)
Deducir la fórmula de recurrencia de la siguiente integral:
.
f x"dx
jc "
'1
£
7
n- 1 ,
n~¿
n
Deducir la fórmula de recurrencia de la integral:
/„ = | x" sen* dx = -x" cosx +nx” 1 se n x- n ( n -\ )I „ _2
122J
Deducir la fórmula de recurrencia de la integral:
I n = í x m(x+a)nd x =
— -[x"(x + a)n' x - m a l m l ]
■>
m +n +1
123)
Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:
r „
I „ = cos x dx
J
[124J
e o s " 'x s e n n - 1 f
»i
.
----------------1------- cos
x dx
n
n J
Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:
r
„
sec" 2 x tg x n - 2 f
„
I sec x dx = -----------------k
I sec
J
w -l
w -lJ
x dx
Integral Indefinida
125)
267
Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:
Ijl
*
r
„ ,
eos ec “x
"x r ta
tu .v
_r n// - 22 r
eos « x dx —----------------------- r ------ eosec" 2x dx
J
/i —1
//-l J
[126)
Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:
_i w
*
/ „ni = f x n iln
x dx
=
J
1271
r
_w
[v «+ 1 iln
x
rse n x
J
senx
dx =
1
+ -----
íii-lljr"”1
x"
f x n iln n:
1
»
x dx
\ , n * .1
rco sx .
dx
n -lJ jr " -1
Use la integración por partes para deducir la siguiente fórmula.
f tg" x dx = —----—- í tg"
n-1 J
2
J
129)
^
n+1 J
Verificar la formula de recurrencia de la integral:
/„ =
128)
^
n +1
x dx, n > 2
Hallar una fórmula de recurrencia para
/ ,,=
fi
.2
^
x"e x dx , n > 0 y aplicar dicha fórmula para calcular I e * x dx
Jo
Jo
13ü)
Deducir una fórmula de recurrencia para
13l)
Verificar:
a)
I n = J ln " x dx = x\n" x - n l nX
c)
/,, = JfiT - x 2)"dx=-
d)
/. =
r x"dx
h
=
=
J V xÑ o
x"
1
=
J v4 ln"
b)
2
\ n
x(a2
- x 22)"
2n + l
/"I
¿na
2na2 .
+ 2n + T " 1
n -l .
V - f + O -------------/„ _ 2
”
v dx y calcular
»
x 4 ln 3 x dx
/„ = j xne xd \ = x nex —nl„ ¡
Eduardo Espinoza Ramos
268
C A P I T U L O
2.
IV
IN T E G R A L D E F IM P A .En este capitulo expondremos la teoría de las sumatorias, que es necesario para el
estudio de la integral definida y que en el siguiente capítulo será utilizado en diversas
aplicaciones.
2.1
S I M A T O R 1 A S .-
A la suma de los n números rq ,a2
por la notación:
donde el simbolo ^
a„ es decir; a, +a2 + ...+a„ , representaremos
se llama signo de sumación y es la letra sigma mayúscula del
alfabeto griego.
Generalizando: Consideremos m y n dos números enteros de tal manera que m < n, y
n
f una función definida para cada i e Z donde in < i < n, luego la notación ^ /'(/)
/m
nos representa la suma de los términos f(m), f(m + 1 ), f(m + 2 ),..., f(n), es decir:
= Jim) t f ( m
1 1)
t /(» , i 2 ;):+.,.+ f in)
donde i es el índice o variable, m es el límite inferior y n es el límite superior.
Ejemplo.- Si
/
— y
^ 3 4 5 6
= —+ —+ —+ —+ —
/(/) = ----- , entonces Y / (i) = N
i+l
r-f
“ i+l 3 4 5 6 7
l-l
269
Integral Definida
Ejemplo.- Si fíi) = eos ix, entonces
n
n
^
/ (/) = ^
1=1
Observación.-
2.1.1
eos ix = eos v + eos 2x + eos 3x + ..+ eos nx
1=1
n
^~' / ( / ) . existen (n - m +1) términos los cuales
i=#n
son f(m). f(m+l), f(m+3)
f(m + (n —m)), en particular, si m = 1
n
y n > 1: entonces en ^ /(/) exiten n términos: es decir:
i=i
En la sumatoria
PROPIEDADES DE EA SUMATÓkJA.Sean f, g funciones definidas V i e Z. k constante.
n
^1^
^
n
= { n - m + \)k
k = kn
i i
n
ri
@
£ * / ( i ) = * £ _ /( /)
.=i
i=i
©
t
@
^(/■(i)±Kti))=X/(,
')±S1^1* (,)
1-1
1=1
b
© Z/(/)= Z/(/+c)
/•(/)=■ X / H - O
i tí
f=o-r
n
(7 )
®
^ ] ( / ( 0 - / 0 '- l ) ) = A (» )-/(0 )
í 1
>1
Z (/■(/')—/ ( / —1)) = f ( t i ) - f { k
(Ira. Regla Telescópica)
1)
(Ira. Regla Telescópica Generalizada)
II
( 9)
( /( / + ! ) - AO'-l)) = /■(» + >)+ / ( n ) - / d ) - / ( 0 )
1
1
(2da. Regla Telescópica)
270
Eduardo Espinoza Ramos
£ ( /( / + ! ) - /(#-1)) = / ( h + 1)+ f ( n ) - j { k ) - j ( k - \ )
10)
i k
(2da. Regla Telescópica Generalizada)
Ejemplo.
40
Q
Hallar el valor de
£ ( ^ 2 / 7 7 —v/2/ —1)
i l
Solución
Mediante la regla Telescópica se tiene:
/ ’(/) = a/ÍTTT
=>
/ ( /—1) = -Jli -1
40
^ ( V 2 / +1 - ^ 2 / - 1 ) = ./( 4 0 ) - /(O) = ^ 8 7 - 1 = 9 - 1 = 8
i i
®
K10 .
.
Calcular el valor ^
(----------)
*-í
/-i i i + 1
Solución
Mediante la regla Telescópica se tiene:
/(/) = ——
i +1
=>
/( /) = i
40 1 1 .
1 1
, 1 .. 100
£ (_
)=- £ (
_ - ) = -( /-(100)- /(O)) = -<— -1) =
101
r—' i í + 1
rr* 7+ 1 i
101
2.1.2
FORMULAS DE LA SLMATOR» A,-
= -Ííliil
^2)
^
^
^
- »(m+1)(2« + 1)
2
^
_ ?72(77+ l);
Í-I
^
i!
.4
_ 77(77 + 1X6// +9U* A» ~ 1)
^
Integral Definida
271
Demostraremos las dos primeras fórmulas, las otras dos dejamos para el lector.
n
^ ¿ =1 +
2
+ 3 + ...+ (n -3 ) + (//-2 ) + ( n - l ) + «
1=1
n
= n + ( » - l) + (//-2 ) + ...+ 4 + 3 + 2 + 1
i-i
___________________________________________________ sumando
>1
2 ^~* i ~ (/? + 1) + (// +1) + (// +1) + ...+ (n +1) + (// +1) + (// +1)
n
en el segundo miembro se tiene n términos (n + 1) por lo tanto 2 ^ / = n(n + 1)
i 1
//(n + 1)
2
otra forma de hacer la demostración es aplicando la regla telescópica.
n
y > + » 2 - i 2 >=
0)
donde
/ 0 )
= (/ + l ) 2
i 1
^ [ ( f + 1)2 - / 2] = (/i + l)2 -1 , Simplificando la expresión dentro del corchete se tiene:
i=i
n
^
íi
2 +2/ + l - i 2) = n 2 + 2n
n
n
2 ^ i + ^ l = / r +2/ / , de donde 2 ^ / +;/ = n 2 + 2n
i
i=i
v i.
2/
i i
-¡
i - i r + n . entonces
í-i
•ir'.
n(n +1)
> i = ----------
i=i
2
Eduardo Espinoza Ramos
272
©
j
V"1•-> w(« + l)(2n +1)
, , .
Para demostrar
1~ =
aplicamos la regla telescópica.
i=i
£ [ ( i + l)3 - « , ] = / ( n ) - / ( 0 ) . donde / ( i ) = (/ + l)3
í-1
TI
^ [(/ + 1 ) 3 - i 3 ] = (/? + 1 ) 3 - 1 , simplificando la expresión del corchete se tiene:
i=i
n
^ ( i 3 + 3/ 2 + 3/ +1 - / 3) - (n + 1) 3 - 1 , por propiedad de sumatoria se tiene:
í=i
ti
n
n
/ + y > ( , i + l ) 3 - 1 , reemplazando por su equivalencia
í=i
i=i
3
i=i
3^
i=i
/2
+ —n(n + l) + « = (// + l)3 - 1 , transponiendo término
2
,^ • 1
/
3 .
n(n + l)(2n + l)
32^»* = (« + !) —(n + 1)——-«(n-t-1) = —
j
í-1
t, ,
Por lo tanto:
V "1 -3
n(«+l)(2n + l)
-
¿=i
©
Para demostrar
= ——
í=i
■ ■■, use la regla telescópica. Sugerencia.
4
ti
£ [ ( / + l ) 4 - i 4] = / ( « ) - / ( 0 ) donde /■(/) = (/ + 1 ) 4
1=1
De igual manera para demostrar.
v - 1 .4 h(w + 1)(6« 3 +9n 2 + n - l )
. .
> i = -------------------------------- , usar la regla telescópica, sugerencia.
í=i
Integral Definida
273
J ' JQ' + I)5 - i 3] = ./(» )~./(fí). donde /(/) = ( /+ l) ’
i i
Ejemplo.O
#1
y —
Hallar una formule para la sutnatona
1
'0 + 1)0-D!
Solución
Muluplicando numerador > denominador por i, es decir:
N
«
(i +1)(; -
M
D! "
M
M
(7+ 1)/(/ - 1)! ~ £ - (/ +1)!
.
,
H
,
0 + 1)!’ ~ ^ V + l ) !
.
(/ + 0 !)
=¿f - f(-——>
= j¿- f í——
^ =-c——
1)=iíll2!=l
i'. 0+1)!
0 + 1)! /!
(» + D!
(// +1)!
I
--- X -(/ +1)(/ —1)!
©
(;/ + !)!-!
(//-*-!)!
n
Hallar una formula para la sumatoria X 'n O )
ii
Solución
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
n
^
1ni/) = lníl) + ln(2) + ln(3) + ...+ ln(w) = ln(l .2.3...//) = ln(/i!)
n
y^ln(/) =ln(//!)
i- 1
(T)
Hallar una formula para la sumatona
n
^ sen(tx)
Eduardo Espinoza Ramos
274
Solución
Usando la identidad:
A +B
A- B
eos A - eos B = -2 sen(—-— )scn(—-— )
...(1 )
de donde haciendo la sustitución se tiene:
A +B
■=
2
A-B
IX
= X
A + B = 2/jrl
\
A - B = 2x]
resolviendo el sistema se tiene:
A = (i + 1)x ; B = (i —1) x
... (2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
cos(/ + l).v - cos(/ - l).r = -2 sen ixsen x , aplicando sumatoria a ambos miembros:
n
n
sen ix
^ [cos(; + l)x - cos(i -1 )x] = -2 sen
i I
y mediante la segunda regla Telescópica se tiene:
n
eos(/i +1) + cos(h) - eos x -1 = -2 sen
n
sen(/jc), despejando ^ sen(/.v) se tiene:
i=i
Z
i i
l+cos.v-cos(;ix)-cos(// + l)x
sen(/x) = -------zsen.v
ii
Hallar una fórmula para la sumatoria
r-l
Solución
Aplicando la Regla Telescópica se tiene:
II
^ [(/ +1)!-/!] = / ( ; / ) - / ( 0 ) , donde f(i) = ( i+ l)!
*i
i i
275
Integral Definida
Simplificando mediante propiedad del factorial la expresión dentro del corchete.
n
n
^ (/! (/ + !)—/!) = (n +1)!—1, de donde ^ (/./!+/!-/!) = (i; +1)!—1
1=1
í= t
ri
por lo tanto
^ /./! = (// +1)!—1
i= i
( 5)
n
Hallar una fórmula para la sumatoria ^ 5'
¿=i
Solución
Mediante la Regla Telescópica se tiene:
ti
^ ( 5 ,+1 - 5 ') = f ( n ) ~ f ( 0 )
I1
] T ( 5 .5 ' - 5 ' ) = 5"*' - 5
1=1
^(T)
=?
donde /(/) = 5'
^ 4 . 5 '= 5 ( 5 " - 1 )
^ 5
1=1
n
Hallar una formula para la sumatoria y scnh(9»Q
/-i
Solución
Mediante la segunda regla Telescópica se tiene:
*1
y jc o s h 9(i + l)x -cosh 9(i - 1)jc] = cosh 9(// + \)x + cosh(9/u) - cosh(9x) -1
i i
2 senh(9x)^~' senh(9wi) = cosh 9(;/ + 1)a + cosh(9w.v) - cosh(9x) -1
í=i
> senh(9í.r)
cosh 9(// +1 )x + cosh(9/ix) - cosh(9x) -1
------------------------------------------------2 senh(9x)
5(5” -1)
276
Eduardo Espinoza Ramos
2.1.3
EtE R Í ICIO S PROPUESTO?*
1.
Hallar el valor de las siguientes sumatorias.
99
©
Z ln2‘
1=1
Rpta. 4950 ln2
100
Rpta. ln(— )
102
©
©
20
| >
i1
2 + 2)
Rpta. 133.560
25
£ 2/ ( / - i)
i=i
Rpta. 10.400
©
11)0
]T s e n 2,'(2x)
í=i
Rpta. tg2(2.r)(l-
©
í >
í=-2
©
25 ~
y¿—á ~ki-6
i=0 z
©
©
©
©
y
Rpta.
360
Rpta. 2?(2- ^ r
y ( - l ) í+1
¿
'■
7,560
Rpta.
(VÍO)2" 32
,4-x/ÍO 2^ 2
50
£ ( 2 / 2 + /-1 )
1=14
63
4
Rpta. 85359
Rpta.
7
12
Integral Definida
II.
277
Hallar la fórmula para cada una de las siguientes sumatorias.
Rpta. 2 - -
¿=i z2
2+n
2"
Rpta. («-1)2" +1
©
1=1
©
n
2 >
+ l)
Rpta. ln(n + 1)!
1= 1
w
©
]T h /2 ; + l —-x/2i —1)
Rpta. -J2n + 1 - 1
1=1
©
f f (4;-3)(4/ + l)
Rpta.
4«
4« + l
Rpta.
a (l-r" )
1 -r
n
©
I» " -'
1= 1
©
©
->//+i —\/7
,=i
y 2‘ +/(/ + !)
¿ 2 í*1(/2 +/)
y
©
Hi ~
V/ +i
2/ + 1
Rpta.
V h +T-1
-v/n + 1
1
Rpta. 1—
2« + 2
Rpta.
t f / 2ó + l)2
1
2”_1
«(« + 2)
(« + 1)2
3 2n + l
R p ta .-------------4 «(« +1)
©
In0 + 1//)'(1 + /)
^ ln ( / ') [ ln ( l + / ) w ]
Rpta.
1
21n2
1
(w + l)ln(« + l)
Eduardo Espinoza Ramos
278
n)
3)
X (V 3 7 7 )'
í=1
Rpta.
Z
Rpta.
-v/3+x -1
7 Í 2 | :2+6/ + 4
14)
t
is )
Z
/=i
!í>
I
®
-2 1 - -
--------(2/ -l)(2 / + l)
^
n
2
Rpta.
Rpta.
Rpta.
4(/; + 2)
2« + l
h(2«-1)(2/ í + 1)
a(n + a)
,
y —
!—
f j'( 3 / + l)(3/-2)
n
« /3 + I[(3 + jr)"/ 2 - l ]
Rpta.
.2
n(n +1)
i8)
y —
©
I
Rpta.
r r i o g fl(22í).iogfl(22' +2)
Rpta. ----- -— —(—
------)
(logfl 2)- 2 2(« + l)
] T s e n 2'(2x)
Rpta. tg 2 x(l - sen 2” (2x))
2Í)
-
3w + l
Rpta.
“ f (' + !)(' +5i + 6)
2(2« + 1)
n 1 +3/1 + 3
2(« + 2)(« + 3)
i=i
22)
^ cos(3/x)
1=1
Rpta.
sen(3(n + l)x) + sen(3/zx) - sen 3x
2 senx
Integral Definida
®
^
^
25)
279
y-> tgh(l 9ix)
“
senh(19z'jc)
“
e -(3 sen acosa)1
3'
¿ e o s 1' 2x
1=1
R ta
cosh 19(/i +1) + cosh \9nx -c o s h 19-1
^
2senh(19x)
R ta
**
^ e ^ ) n ~^\
e -3
Rpta. SCn
sen(— — x)
^ eos zx
Rpta.
- --
'=i
©
2 sen(^-)
£ * £ L
1= 1
(2x)
2”+1 senx
n
26)
sen2a[(sena.cosa)” -1]
sen(2a)-2
Rpta. , 1 . 3 - - 2 - ,
¿
6
v
^
fT(i + IX*
V- :— r
+ 5/ + 6)
RP*3-
n
“Z (i
u+x)(i+x+\)(i+x+:
—
+ x)(i + x +-----------1)(/ + x + 2)
Rpta.
/i2 + 3n + 3
2(n + 2)(/i + 3)
n(2x + n +3)
2 (n + x +1)(/i +x + 2)(x + 2)(x +1)
\
10
“
24 + 10/ - 25/ -
§> Z'-2
'
i=i
—
@
1
1
5
Rpta. ------- + -----------5n + 4
5 «-l
4
Rpta. ( « - l).2 n M + 2
n
J ]
Í=1
cos 2 , 3jc
Rpta. c tg 2 3x(l - eos 2n (3jc))
Eduardo Espinoza Ramos
280
III.
©
Hallar el valor de n para que:
£ ( 2 + i 2) = £ ( 1 + « 2)
í-1
í-1
/
^2)
^
Si x = — — , demostrar que:
_n
_n
_n
^ (x¡ - x ) 2 = ^ x f - x ^ x ,-
1=1
1=1
1=1
,rot.
„
sen(— )
_j
+
—
—
x)
^ cos(x0 + (k - l)x) = ------— sen(x0
' u
*=1
sen(—)
2
@
Demostrar que:
^4 )
^
Demostrar que
©
^
Demostrar que: V "-------------------------“ costx + (^-l)^]cos(x + ¿y)
arctg[
tr
] = arctg(n(n +1))
1-fc +n
_ tg(x+
sen y
ny)—tgx^
2.2
CALCtLO DEL AREA DE UNA REGION PLANA POR
SLMATORIAS.
________________________________ 1
2.2.1
FARTICIÓIS. P E UN INTERV ALO CERRAI>Q.DEFINICION.- Consideremos un intervalo cerrado [a,b] con a < b, una partición
del
intervalo
[a,b]
es
toda
colección
de
puntos
P = {x0, Xj ,...,x„ } c [a, ó] de tal manera que:
11 ~
** .X:'
x-¿
xn.—ó1
281
Integral Definida
OBSERVACION.©
Toda
partición
P de
[*/-i >*.-]• i = 1.2,...n.
[a,b]
divide al intervalo [a.b] en subintervalos
©
A la longitud de cada subintervalo [ x , p a r a i = 1,2,...,n denotaremos
n
Aix = x ¿ - x i l donde i = 1,2,..,n ysecumple
A(x = b - a
i -i
©
Cuando las longitudes de cada subintervalo tiene la misma medida, se expresa en
la forma Ax = ———, y en este caso se dice que la partición es regular donde los
n
extremos de cada sub-intervalo es:
x0 = a , x1 =a + Ax , x2 = a + 2Ax,..., x ¡ = a + iAx, V i = 0,1,2,.,.,n
©
Al número | P |= max\x¡ - x M //' = 1,2,...,//} le llamaremos norma o diámetro de
la partición P y que es la mayor de las longitudes A ,x.
1 3
9
Ejemplo.- Dado el intervalo [0,3] y la partición P = {0,—,1,—,23,—,5}
4 2
2
Calculando las longitudes A ,x, es decir:
1 „ 1
AlX= 4 ~ 0 = 4
’
a 2* =
3
1
A,x = ---11 = —
,
A
A4x
= 29 —3
A5x = 3 - 2 =1
9
3
,--------- A 6x = ---- 3 = —
2
2
, 1 3
1 --= -
4
2
2
1
2
2
A7x
7 = 5 - —=
2 —
2
3
Luego se encuentra que la norma de la partición P es \P\= —
Eduardo Espinoza Ramos
282
Ejemplo.-
Dado el intervalo [a.b] con a < b, y la partición regular
P = {xq = a,xx, x 1
x„=b\ donde x¡ = a+ ^ ° i , i = 0,1
n
n
,
.
b-a
=> x 0 = a , x „ ~ b entonces A,x = x¡ -jcm = -----n
b -a
n
1--------------
a = X„
•
X1
I I
- •■
1------------------------ t T —
x 2
n
l r*¡
x ¡
Xn -
O
b ~ ü
y la norma de la partición P es | P |= -----n
2.4
APROXIMACION DEL ÁREA DE UNA REGIÓN POR ÁREAS
DE REC1ÁNGULOS.Sea f: [a,b]-----> R, una función continua y positiva (f(x) > 0) en [a,b], sea R la
región plana limitada por la gráfica de la curva y = f(x), por el eje X y las rectas x = a,
x = b.
(llamada región bajo la gráfica f de a hasta b)
Una aproximación por defecto, se puede hallar el área usando una serie de rectángulo
inscritos, es decir:
Integral Definida
283
Como f es una función continua en [a,b] podemos elegir una colección de puntos
/íj , n 2
Pn en los n rectángulos de la partición P = {x0 ,x x
} tales que:
es el valor mínimo de f en [x0,jcx]
f ( / j 2) es el valor mínimo de f en [jcj ,x 2 ]
/ ( / i3) es el valor minimo de f en [jc2, jc3]
/(A i.) es el valor mínimo de f en [jcn_j, jc„ ]
Luego los n rectángulos construidos cuyas bases son los sub-intervalos de la partición
)>—>f(pn) respectivamente.
P y cuyas alturas son /(¿ i,
Las áreas de estos rectángulos son:
f(/ul )Ajjc, f ( / j 2)A2x,...,f(iu„)Anx , respectivamente aproximamos por defecto el
valor del área A sumando las área de los n rectángulos inscritos.
A > A l +A2 +...+ A„ = / ( ^ 1)Alx + ...+f(/un)A„x
_n ;
■■•
az
■ t e ......
Eduardo Espinoza Ramos
284
a la suma que nos dio la aproximación por defecto el valor del área A se denomina
suma inferior de la función f correspondiente a la partición P del intervalo [a,b], ahora
calcularemos el área de la región R en forma exacta, mediante un proceso de límite, es
decir:
n
A > ^ /(/i,- )Afx aproximación por defecto
n
A = lim y / ( ^ , )A,-jc, valor exacto
n —>00 “
'
i=l
En forma similar se puede aproximar el área por exceso, usando también una serie de
rectángulos circunscritos.
Como f es una función continua en [a,b], podemos elegir una colección de puntos
V j,v 2 ,...,v „
en los n rectángulos de la partición P ~{x0,x l , x 1,...,xn) tal que:
/(v j) es el valor máximo de f en [x0, jq ]
f ( v 2) es el valor máximo de f en [jq ,x 2 ]
f ( v „ ) es el valor máximo de f en [xn l , x n ]
Luego en los n rectángulos construidos cuyas bases son los sub-intervalos de la
partición P y cuyas alturas son / ( v 1) ,/ ( v 2),...,/(v„) respectivamente y las áreas de
estos
rectángulos
son
/ ( v 1)A 1j c , / ( v 2)A 2x , . . . , / ( v lí)A nx
respectivamente
aproximaremos por exceso el valor del área A, sumando las áreas de los rectángulos
circunscritos.
285
Integral Definida
A < Aj + A 2 +...+ An
A< f ( v l )Alx + f ( v 2)A2x + ...+f(v„)A„x
, aproximación por exceso
A = lim Y /( v ,) A ,x , valor exacto
1= 1
a la suma que nos dio la aproximación por exceso el valor del área A se denomina,
sumas superiores de f correspondiente a la partición P = {jc0, jcj
} del intervalo
[a.b],
A la sumas inferiores de f denotaremos por:
»
l ( P , J ) - / fíii¡)A¡x
n
y a las sumas superiores de f denotaremos por:
i'í
Luego L(P,f) < A < U(P,í), por lo tanto para el cálculo de las áreas mediante
rectángulos inscritos y circunscritos se tiene:
n
A(m « um y ' / ( ¿ y ) A r
m
donde Ax = ——— y c¡ =a + iAx
n
Ejemplos de Aplicación.-
©
Hallar el área de la región acotada por y = 2x2, el eje X, y la recta x = 2.
Solución
286
Eduardo Espinoza Ramos
y
= 2x 2 ,
= /(jc)
2-0
x g [0 ,2 ]
2
4
2
Ax = ------ = — => Ax = —
ti
n
n
además c¡ = o + /'Ax
2/ = —
2i
c¡ = 0n + —
ti ti
Como f ( x ) = 2x2 => / ( c , ) = / ( —) = - 8'
n
n
"
o.-
2
Luego /Í(R) = lim V '/(c ,)A x = lim
1=1
= í s « „ - L ¿ / ’ = í s t e _L . * L ± 2 ig 5 i2 i
16 2
A(R)=— u 2
=|3/ "-*»
/ w (1 +n-X 2 + n-) =s y
©
Hallar el área de la región R acotada por la gráfica de y = x + 1 al eje X y las rectas
x = O, x = 3.
Solución
y=f(x) = x + 1, x
g
[0,3]
287
Integral Definida
n
n
n
q. ~
Luego A(R) = lint Y f{t\ )At = lim Y \ (— + 1) — = lim Y (—l- + —)
» »»“1=1 h
// "-»» ~1=1 r¡- n
I1
.. 9(« +1) „
.. r 9 „ 1. „ 9 , 15 i
= *"»[— -----+ 3] = /iw [-(l + - ) + 3 ] = - + 3 = — M*
n
2n
n-+a 2
11
2
2
A(R)=— u 2
2
Hallar el área de la región R limitada por la gráfica de la curva y = x 3 + x + 3, el eje
X y las rectas verticales x = -1, x = 2.
Solución
y - f ( x ) = x z +x + 3 , x e [-1,2]
.
3
.
3
Ax
= 2 —(—I) = —
=> Ax
=—
n
n
n
-+■ c¡ =a + i A x - - l + —
X
n
Como f(x) = x i + x +3 . entonces f(c¡) = ( - l +
— )3
n
+ (—1+—) + 3
n
, , x 27 .3 27 , 2 12 . ,
/(c# )= -= -! — - C + — 1+1
ir
ir
n
/!(/?) = lim Y f ( c , ) & x = lim V
3 r 2 7 / r ( n + l) 2
= lim - [ — ■
»-►“ rt w
4
—^ - i 2 + — i + 1 ] 3
27 n(n+l)(2n + l)
r .- i
J
¿
n
6
12 ;i(n + l)
.
^
+ n]
«
2
288
Eduardo Espinoza Ramos
,
Um
. < Í L ^ _ £ . ( ! L t i ) e i l ± l ! +6(„ + ll + ,,J
»-»“ n n
4
2
n
: Um 3[^ Z (i+ i ) 2 _ | (1+I )(2 + I ) + 6(1+ I ) + 1]
"
4
W
2
II
II
II
~ 3[— (1 + 0 ;2
(1+ 0)(2 + 0) + 6(1 + 0) +1] = 3[— - 9 + 6 + 1] = ^ ^ = — u 2
4
2
4
4
4
A(R)= — u 2
4
( 4)
Dado la región R acotada por las curvas 2 y = (x -2 )2, 2y = (x + 2)2 , 2y = - ( x - 2 ) 2,
2 y = -(x + 2)2 . calcular su área.
Solución
Graficaremos la región R.
2y = (x 2)2
*a 8r^ lca se observa que existe simetría con
respecto a los ejes, y al origen de coordenadas,
entonces es suficiente encontrar el área de la
x" región R¡ y multiplicarlo por cuatro es decir:
2y=-(x-2)2
2y = -( x + 2)2
A(R) = 4A(R, ) = 4 Um V '/ ( t , )Ax, donde
n~*r-f
i=l
..
(x-2)*
2 -0 2
v = f(x) =
, xe[0,2] y Ax= ------- = —, ademas
2
ti
ti
2'
c ¡ = a + i■a
A x = n0 + —
11
ft , ( x - 2 )
f(x) =
2
=>
2i
n
c, = —
_
ri s r,2i\ 1 ,2 1 ^ 2
=> /( c , ) = / ( —)=-(■ ----- 2)
n
2 11
289
Integral Definida
2
/4(/?) = 4 lim y
8-í- + 4] = 2 [ - i l - 2 - + l]
n
,r
n
"
«2 2/ ..2
f(c ¡)Ax = 4 lim y 2 [ ^ ----- -+ 1 ]—
r 1 //(// + l)(2n + l) 2 /;(/? +1) //,
= 16 /íw [— .-------- -------------- — -— + - ]
«
/j
6
n
= 16 lim [—(1 + —)(2+ —) —(1+—) +1]
n-*a 6
n
n
n
- 16[-j (1 + 0)(2 + 0) - (1 + 0) +1] =16 ¿ =
6
3
3
Dada la región R acotada por la recta y = mx, eje X y las rectas x = a, x = b,
b > a > 0, Hallar su area de R.
Solución
Ubiquemos la región R.
Como f(x) = mx, x e [a,b]
Entonces Ax = ———
b-a .
c¡ =a +------ /
n
,, .
, m( b-a) .
f(c¡ ) = ma+
/
A(R) = lim y f(c¡ )Ax, ahora reemplazamos por sus valores correspondientes.
n— ¿
1=1
%., b - a
.. m { b - a ) t
b - a n(n + l),
A(R) = lim ) [ma+— (b-a)t]
= lim ------------ [an+------.— -— ]
n-» ar ^
II
fj
B -)«
fj
Yl
2
290
Eduardo Espinoza Ramos
- lim m(b-a)[a + ———(!+ —)] = m(b —a)[a + ———] = w(fc-fl)[° + ^ ]
2
n
2
a 2 - b1.2
■m-
®
2
A(R) = j ( b 2 - a 2)
x~ , x < 3
Dada la región R acotada por la curva. f ( x ) = -I
[6x-x~ , x > 3
el eje X y las rectas x = 1, x = 7. calcular su área.
Solución
Haremos la gráfica de la curva fíx)
= 6 x - x 2 Sí x < 3 => y = x 2
Si x > 3 => y = 6 x —x 2
► El área de la región acotada lo calcularemos en
tres partes.
Calculamos el área de la región Rl .
n
A(Rl)= lim ^ / ( c e)Áx, donde f ( x ) = x 2. x e [1.3]
n—ktr
í=i
A
A
2 Í
ax
= ----------- , c, = a + ¡ax
= ,1+—
n
n
n
3 ~
l
2
f { c , ) = /( I + —) = (1 + —)2 - 1 + - / + ^ i 2
n
n
n
n * * , ) = lim ' ¿ (i + í i +A r i 2¿
n —tnr •
á
>=i
n
"
ft
»
= /IW3[ ¿ i + ¿ 4 / + ¿ 4 ^ ]
w—*no * ^ »1
1=1
* ^
1=1
r2« 8 «(« + 1) 8 m(m+ 1)(2« + 1)
- hm[— + — .— -— + — .-------J
n_>a: n n~
2
n
o
^
1=1
Integral Definida
291
= //w [2 + 4 ( 1 + 1 ) + 1 (1 + —)(2 + —)] = 2 + 4 + | = ^
n
n->oc
3
n
n
3
3
¿(J?,) = y U2
Calculando el área de la región R2
ti
A(R2)= lim ^ /(c , )Ax , donde f ( x ) = 6 x - x 2, x
g
[3,6]
3
A
3'
A
Ax
= ------ = —
, c¡ = a + íAx
= 3? + —
M U
M
6 ~
3
/ ( t 'f ) = 6(3 + —) - (3+—) 2 = 9 —
n
n
n2
i 2 , entonces se tiene:
A(R2) = lim T ( 9 - 4 0 - = 27 t a [ ¿ ( I - i l ) l > 2 7 f im [ ¿ l- Y - - V 1'2]
1=1
"
1=1
"
i=i "
1=1
r, 1 U(U+ 1)(2U + 1),
r, 1 , 1
1.,
= 27 lim[1— - . - i ----- £
q =27 /;»i[1 - —(1 + —)(2 + —)]
n-w
w->
n->oo 6
«
«
= 2 7 ( l- j( 2 ) ) = 2 7 ( l - j ) = ^ = 18
o
3
3
zl(/?2)= 18M2
Para calcular el área de la región Ri se observa que la región se encuentra debajo del
eje X, en este caso se toma el valor absoluto.
A(R2)= lim Y / ( c ,) A x , donde /( x ) = 6 x - x 2, x
n >rr * ^
g
[6,7]
*
7 - 6 = —,
1 c, = a + /Ax
-A
i
Ax
= -----= 6* + —
n
n
n
f( c ¡ ) = 6(6+—) —(6 + —) 2 = - — - 1 - , reemplazando se tiene:
n
n
n n
292
Eduardo Espinoza Ramos
6/L +x^rT -L
\ /2]
lim ^ T ( - — - - L - ji- i = //r o ^hT -^
n^ J T í
n
n
n~
T in
6 «(« + 1) I n(n + l)(2n + l)
1
1
1
1
= hm[— .— ; — + - r - --------^
J
= /iw [3(1 + —)+ —(1+—)(2+ —)]
i ->* n~
L
n
o
n-*'s
n o n
^ , ) = 3(l + 0) + i ( l + 0)(2 + 0) = 3 + i = ^
r
6
3
n
i4(/í3) = y K 2
3
Como A(R) = A(R, ) + A(R2) + ,4(R3) = 18 + y + y = 18 + 12 =30
A(R) = 30u2
©
Calcular el área de la región R limitada por las gráficas de y = e x , x = 0, x = l y el
eje X.
Solución
Graficando la región R, sea f ( x ) =ex, x
e
[0,1]
1-0
1
n
n
Donde Ar = -
c¡ =a + /Ax = 0 + —= —
n n
f(c¡) = e ,n , entonces el área de la región R es:
n
y
y
n
'r jl n . - = l i m - Y ei,n
,=i
i=i
11
—* » Ti
n
Calculando la suma ^ T e '"
í=i
aplicando la regla Telescópica.
¿ [ ( e 1' " - (e1'" ),_I ] = /( n ) - /(O)
1=1
.. .O )
293
Integra/ Definida
£ [« ? ' n - e ' n^ - 1/n] = (eI " ) n - l
B
1n i
n
1/
y e » - (£ _ J . ) = e _ 1. dedonde Y e " " = £ _ Í £ l Ü
tr
ft
^ ' ” -1
-( 2)
Veemplazando (2) en (1) se tiene:
1 el" ( e - l )
l e',1/ n
A(R)= lim — —
= ( e - l ) lim —
— )
»-»«■ n e
-1
B_>cc n e —1
Sea r = —, de donde n
n
1
A(R) = ( e - 1) lim —
n->*c n
- (e
(D
>ao. z
1/n
-£
>0
) = lim-z - — = (e - 1) lim ez. lim —^ —
—1
r- » 0 g z - 1
z -> 0
z -* 0 -
—1
1) lim — = (e —1)«2
z —>0 e 2
Calcular el área de la región R acotada per las gráficas de y = 2-Jx , eje X y x = O,
x = 9.
Solución
En este caso, per comodidad tenemos como variable independiente a la variable y, es
decir:
»
Eduardo Espinoza Ramos
294
v2
V2
f ( y) = -— pero la región está limitada entre las curvas f (>■) = -— , g(y) = 9 y las
' 4
4
rectas y = 0. y = 6
El área del i-esimo rectángulo esta dado por [g(r,-) - f{z¡ )]Ay, por lo tanto el área de
la región R esta dado por:
A(R) = lim AyV [(g (r,) - / (z¡)] donde Ay = — - = — y z¡ = 0 + /Ay = —
n
n
n
Como g ( z , ) - f ( z ¡ ) = 9 — i 2 se tiene
//
,•
6 V ' m
9
-2,
,
6 r
9 w ( » + l)(2/i + l)
A ( R ) = h m - y ( 9 — - r ) = hm ~[9n— r .
-------- ]
n->K. n "
»->«• n
n¿
6
a , o *
= lim 6[9 —^ (1+—)(2 + —)] = 6 [ 9 - |( 2 ) ] = 36 u 2
oo
2
n
n
2
©
Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = sen x, en x e [0, y ] .
Solución
IntegraI Definida
295
n
nn
, + 1)—
n
1, + eos-----eos--------eos
(n
= l i m — (-------------------------2 n ------------------- l n _ )
n^,j, 2n
_
7T
2 sen —
2n
,
n
n
„ 1, n
1+ cos------ eos-----cos(l+—) — . , - „ _
= / ¡m
sí!_____ 2 — L _ ¿ i = i ± i ^ M = a , ,
2(1)
~ —
n
2T sen
2n
n
2ñ
A(R) = lu 2
Calcular el área de la región bajo la curva f(x) = senh x, en [0,1]
Solución
Ax =
1-0
1
1/
f(x) = senh x, entonces
A(R) - lim V '/ ( c í )Ax= lim V"senh(—).—
'
n—*v>
n
n
1=1
1=1
cosh(« + l)—+cosh(/i.—)-c o s h —-1
= lim[--------------3------------ü---------- 3 _ ] I
«-»*■
» , 1
n
2 senh—
n
cosh(l+—) + cosh 1 - cosh - — 1
n
n
= l i m ---------------------»->«
.
1
senh—
2 ------ 3.
J_
n
2 c o s h l- 2
— = -----= (coshl
2
1)u 2
296
2.5
Eduardo Espinoza Ramos
SUMAS SUPERIORES Y S V M M , m ERIORES-P\ = {x, I i = 0,1
DEFINICION.-Si
n\
y
P2 = {xj I i = 0,1
«} son dos
particiones de [a.b] tal que P, <z P2, ósea que cada punto de división
.V, de P, es también un punto de
P2
entonces a la partición P1 se le llama un
refinamiento de la partición P, entonces || P2 || < || Pl ||.
Ejemplo.- En el intervalo [1,7] la partición:
P2 = {1,1.5,2.2^.3.5,3.8.4.2,4.7,5.5.5,5.9,6,6.5,71
es un refinamiento de Px ={1,2,3,4,5,6,71 puesto que Px czP2 además
||P, ||= 1.2,
II P2 II =0.8
DEFINICION.- Si f: [a.b]------> R, es una función acotada sobre el intervalo [a.b], es
decir, que existen números m y M tales que m < f (x) < M,
V x g [a.b] entonces dada una partición P = {jc0 ,.x,
Se define el número
x „ } de [a.b].
/w ,/= inf{/(x)/jr g [*,_,,*,-], i = 1.2,...,n}
denominando
Ínfimo (o mayor cota inferior) de los valores de la función f para el intervalo
[x, j , x, ] y M, f
-
sup{/(x) / . í g [xM , x, ] 1 se denomina el supremo (o menor cota
superior) de los valores de la función sobre el intervalo [*,-_, ,*,•].
297
integral Definida
3
5
Ejemplo.- Dada la función f ( x ) = x 3 - 1, x e [1,3] y la partición P = {1,—,2,—,3}
entonces:
Mj ( / ) = sup{/(x) / x e [x0 ,JCX]} = sup{x3 -1 / x e [1,^]} = s u p [ 0 , ^
2
o
nh ( / ) = inf{/(x / x e [x(j ,x, ]} = inf{x3 - l / . r e [1, —]} = inf[0. — ] = 0
2
M 2 ( / ) = sup{x3 - l / x e ¿ , 2 ] } = sup [-^ .7] = 7
2
o
m 2( / ) = inf{x3 - l / r e ¿ , 2 ] } = i n f [ ^ ,7] =
2
O
O
M 3 ( / ) = sup{x3 -1 ¡x G[2,|] } = s u p [ 7 ,^ ] = ^
C9
117
w3( / ) = inf{x3 -1 / Xg [2. — ]} = inf[7,——-] = 7
O
8
o
298
Eduardo Espinoza Ramos
DEFINICION.- Dada la función f acotada sobre [a,b], entonces existen M , ( / ) y
m¡ ( / ) para cada i = 1,2
correspondiente a la partición
n tales que m < m¡ ( / ) < M¡ ( / ) < M ,
P = {x¡¡i = 0,1,2
n\ d^ [a,b], se define la suma
superior de f correspondiente a la partición P del intervalo [a,b] al número.
n
w-'-
./)A,x
J')(X; :~X¡. ,) =
í-1
y a la suma inferior de f correspondiente a la partición P de [a,b] al numero.
M.
= ^ w ¡ í (/)A í.t
¡•1
,n:
H
a ambas sumas se les denomina “Suma de RIEMANN”.
Ejemplo.- Sea f(x) = 4x, x e [0,3] y A = 9 intervalo. Calcular la suma superior y
la suma inferior.
Solución
b -a 3 -0 1 . .
. . .
.
,,
= — la longitud de cada subintervalo
Ax =------ =
9
9
3
, , m 1-, r l 2
2
4
4 5 .5 . r_ 7. r7 8. r8 „
[0,3] = [0, - ] u [ - , - ] u [ - ,1] u [1, j ] u [ y , - ] u [ - ,2] u [2, - ] u
u [ - 3]
La función f(x) = 4x es creciente en [0,3]
Integra! Definida
299
Calculando la suma superior de f en [0,3]
Mi( f ) =f { x i )
1
3
4
3
2
3
8
3
1
4
4
3
16
3
2
5
3
20
3
8
7
3
28
3
8
3
32
3
3
12
1=1
= [M(1( /) + M, ( / ) + M2( /) + M3( /) +M 4( /) + M5( /) + A/6( / ) + M 7( / ) + M8( / )]Ai
r4
8 . 16 20 _ 28 32
i ,1C 108 1 45 + 108
153 C1
= [ - + - + 4 + — + — + 8 + — + — + 1 2 ]- =(15 +
) - = -----------= ------= 51
3
3 3
3
3
3
3
3 3
3
3
Calculando la suma inferior de f en [0,3]
*,-i
0
M,-( / ) = /(*,-)
0
£(/< P)
1
3
4
3
2
3
8
3
1
4
o
w
=X
(/X*»- _ x - i ) = X
/=0
/=()
4
3
16
3
5
3
20
3
2
8
7
3
28
3
8
3
32
3
m¡ ^ Ax-
=[w0 ( / ) + w, ( / ) + m2( / ) + w3( / ) + w4 ( / ) + W5 ( / ) + w6 ( / ) + m7 ( / ) + w8 (/)]A r
m 4 8 , 16 20 . 28 32.1 48
-[0+---- 1---- (-4 + — + — + 8 + — + — ] - = — = 16
3 3
3 3
3 3
3 3
INTERPRETACION GEOMETRICA.Si f(x) es una función positiva (f(x) > 0), las sumas de Riemann tienen una
interpretación muy sencilla consideremos el siguiente gráfico.
300
Eduardo Espinoza Ramos
A
Y
Sabemos que la suma superior:
U( / , P) = ^ M ¡ ( f )(x¡ - x¡ ,) =
M¡ ( /)Ax
i=0
1=1
nos representa la suma de las áreas de los rectángulos por exceso sobre cada subintervalo
y de altura M ¡(/) y la suma inferior.
n
£ (/, P )
=
X
n
)=X
m¡
i 1
m<
I =1
representa las áreas de los rectángulos por defecto sobre el sub-intervalo
[*,-i, x¡ ] y la altura m, ( / ) .
Cuando la función f es creciente, los valores mínimos m¡ ( / )
se toma el extremo izquierdo jc ,- ¡ y los valores máximos
M j ( f ) se toma en el extremo derecho x¡ del subintervalo [ jcm , x , ] .
OBSERVACION.-
26
PROPIEDADES
Di
LAS
INFERIORES^_________
SUtVIAS
SLPEklORES
.
Si f es una función acotada sobre [a,b], entonces existen m y M tales que:
m = mf {f(x)/x g fa,bll
|
M = sup jf(x) /x c. ; a,b]}
fe
Integral Definida
Io
301
Si f es una función acotada sobre [a,b] y P = {jc(), jc,
es una partición de
[a,b] entonces se tiene:
m (b -a )H LifiF) s 1 JjfiPl £ M (b -a)
Demostración
Para los números m, m¡ ( / ) , M, ( / ) y M se tiene la desigualdad.
m < m¡( / ) < M , ( / ) < M
...(1 )
a la desigualdad (1) multiplicamos por A,.y , es decir:
mAjjr < m¡ ( / ) A,-jc < M¡ (/)A fx < MA¡x
ahora tomamos la suma para i = 1,2
n
n
n
n
n
]T mA,-* < ]T m, (/)A ,y < ]T A/,-(/)A¡x < ^Tm A,*
1-1
1=1
1=1
1=1
n
n
A,jt < £ ( / . P) < £ /(/, p ) < M ' Y J A,jt
1=1
1=1
W
m(b —a) < L(f,P) <U(f,P) < M (b -a),
A¡x = b - a
donde
i=i
2o
Si f es una función acotada en [a,b] y P j, P2 son dos particiones de [a,b] tal
que P2 es un refinamiento de Pt (Pj c= P2) entonces se tiene:
U f , P x) C D f , P : ) >
3°
Sea f es una función acotada en [a,b], Px, P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]
entonces se tiene:
L{/
¿ C/{/,P2)
302
Eduardo Espinoza Ramos
2.7
INTEGRAL DEFINIDA.Sea D el conjunto de todas las particiones posibles P del intervalo [a.b]. Si f es una
función acotada sobre [a.b] entonces existen números m y M tal que:
m < f(x) < M. V x
e
[a.b]
Se sabe que la siguiente desigualdad se cumple
in (b -a ) < L(f,P) < U(f,P) < M (b -a)
para toda partición P en D, esto asegura que el conjunto numérico {L(f,P) / P e D[ es
acotado superiormente y el conjunto (U(f,P) / P e D ¡ es acotado inferiormente, luego
el conjunto {L(f,P) / P e D [ tiene un supremo (la mayor cota inferior) y {U(f,P)/PE D}
tiene un ínfimo (mínima cota superior) con estos valores supremo e ínfimo daremos la
definición siguiente:
DEFINICION.-
Si f es una función acotada en [a,b], al número sup (L(f.P) / P e D}
se llama integral inferior de f en [a,b] y se índica.
rh
f(x)dx = s u p { L ( / . P ) / P s D } - integral inferior de f desde a hasta b.
Al número inferior (U(f.P) / P
indica.
e
D[ se llama integral superior de f en [a,b] y se
rh
\ f ( x ) d x = i n í { U ( f , P ) / P s D } = integral superior de f desde a hasta b.
2,7.1
PROPIEDADES D X c a s INTEGRA I ¡S S IP E k IOKES E INFERIORES.-
®
Si f es una función acotada en [a,b], entonces:
Integral Definida
©
303
Si f es una función acotada en [a,b] entonces:
m(b - a ) ú L(f,P) ¿ U(f,P) ¿ Mfb - ¿ T
donde m = inf {f(x) / x e [a.b] [ y M = sup {f(x) / x e [a.b]}
©
Si f es una función acotada en [a.b] existen puntos
f f(x) dx - Me j )(h- a)
Ju
©
y
c\
, c2 e [o,/>] tales que:
f f ix ) d x = f{c-, ){b - a)
Jo
Si f es una función acotada en [a,b] ye e <a,b> entonces:
2.7.2 ' INTEGRAL DI P IE M A ^N DEFINICION.- Una función f se dice que es integrable en [a.b]. Si f es una función
acotada en [a,b] y si f f(x)dx = f / (x)dx, a este valor común se
Ja
Ja
le llama “La integral definida” (De Riemann) y se denota así:
I f i é k ñ fjtix y tc * , \ \ m d x
Ja
Ja
Ja
por simplicidad se llama integral definida de f sobre [a.b] ó integral definida de f sobre
[a,b] ó integral de f de “a” hasta “b”.
OBSERVACION.(? )
El número í í (x)dx se llama integral definida de fix) desde “a” hasta “b”.
©
El símbolo
Ja
J
por Lebnitz).
es llamado símbolo de integración (éste símbolo fue introducido
304
Eduardo Espinoza Ramos
©
La función f(x) se llama integrante.
©
“a” se llama el limite superior de integración.
©
“b” se llama el límite superior de integración.
(ó )
La variable x que aparece en f f ( x ) d x , no tiene significado especial es:
( f(x)dx= f f(y)dy= \ f(=)d:= \ f(u)du
Ja
Ja
Ja
Ja
EXISTENCIA DE FUNCIONES INTEGRABLES.
Se conoce que las funciones decrecientes y crecientes son integrables, ahora veremos
que las funciones continuas sobre un intervalo cerrado [a,b] son también integrables
en [a,b],
i)
Si f es una función continua sobre [a,b] entonces f es integrable sobre [a,b],
ii)
Si f es continua sobre [a,b], entonces para cada e > 0, existe S > 0 talque:
x,U ) < £
para toda partición P con |P| < S y para toda elección de x¡ e [jc,-. r, jc,- ]
¡ii) Si f es continua en [a,b], entonces:
donde jc, es un punto arbitrario en [jc, j,jc,] para toda partición P de [a,b] y
puede elegirse los x¡ e[jc,_!,jc,]
e [jc
del modo siguiente jc, = ■
*' + X' 1 que es el
punto medio de [jc.^.jc,-] .
Integral Definida
305
Ejemplo.- Expresar el limite de la suma dada como una integral definida
n
lim Y (—— ^ - ) 2(x, - x, ,) donde P: partición de [1.9].
2
Solución
Como [a,b] = [1,9] se tiene: Ax, = x, -x,_]
Ahora identificamos f]x) donde x, =
f X‘ 1 punto medio
f(x¿) = (x‘ + X‘~ ■)3 = x,-3 de donde / (x) = x3
Luego se tiene: lim y (X‘ +X' 1)2(x. - x . )= f x' dx
2
Ji
1-1
TEOREMA.-
Una función acotada f es integrable en [a.b] si y solo si para
cada £ > 0, siempre es posible hallar una partición P tal que
U(f,P) —L(fJP) < £.
Ejemplo de aplicación.
Sea f una función acotada en [a,b] y continua en [a,b] excepto en el punto c e [a,b],
pruebe que f es integrable en [a,b].
Solución
F es continua en [a,b] excepto en x = c.
Una función es acotada si está acotada.
f: [a,b]----->R <=> V e > 0 , 3 8 > 0 , 3A partición
de [a.b] tal que U(f,A) - L(f,A) < c por probar
^
para que f se integrable en [a,b].
Luego tenemos:
Eduardo Espinoza Ramos
306
f es continua en [a,c]
£
V —> 0 ,
=>
3 A'
partición de [a.c] tal que
U ( / ,A " ) - L ( ./ .A " ) < |
Sea c > 0, cualquiera, entonces definimos A = A 'u A 'V t/f/.A j-L f/.A ) < c , puesto
que U ( f , A ) = U ( f , A ' ) + U { f . A " )
y
L (/,A ) = ¿ (/,A ') + ¿ (/,A " ) de donde
U ( f . A ) - L ( f , A ) = L ( f , A ' ) - L ( f , A ' ) +U( f , A ” ) - L ( f , A ”)<_J + y = £
U(f,A) —L(f.A) < c
Ejemplo.- Sean c e [a.b] y a
Ía
si x =c
e R,
definimos
f:
[a.b] -> R
por
rb
pruebe que f es integrable y que I f(x)dx = 0
Solución
Aplicando la definición siguiente:
Una función f acotada sobre [a.b] es integrable sobre [a,b] si sup{L(f,p)> = inf
{U(f,p)[ donde p es una partición de [a,b].
Y
Aplicamos esta definición.
■f
Como f[x) es acotada pues |f(x)| < a, V x e Df = R
Sea P = {x(),x¡
sub-intervalo
x „ } una partición,
n
L( f , p ) = Z m-(xi
1=1
_X-l)
,x,-]
0
c
>
X
Integral Definida
307
, =inf{f(x)/x,-_| < x < x ,} = ' J ' m ¡ — —= 0 pues m, =0
Ti
”
Luego L(f,p) = 0
n
V ( / , P) = ^ M¡ (x¡ - x¡ , ) ; M¡ - sup{J (x) / x¡ , < x < x ¡ 1
1=1
Y M,- ———= 0 + 0 + ...+ a
^i=i
n
¿ -o
n
b-a
n
i u(rf , p )x= b ~ a a
U
n
Luego Sup {L(f,p)| = 0
0 , a <0
Ahora inf{í/( f , p ) } = inf{———a} = 0 , a > 0
n
0 , a=0
inf{U(f,p)} = 0
sup {L(u,p)| = inf {U(f,p)} = 0
y por definición
f*f(x)dx = sup{¿(/, p ) } = inf{L(/, p)\ = 0
Ja
| 2.7.3
LA INTEGRAL COMO LÍMITE PE SUMAS.-
a)
DEFINICION.-
Diremos que una función f es integrable en el intervalo [a,b],
si existe un número L, que cumple la condición que, para
n
cada c > 0, existe 5>0, tal que | y f ( a ¡)Ayx - L |< e , para toda partición P
i=i
del intervalo [a,b], donde |P| < S, a esta definición lo representaremos por:
L ”• Itm y
f (<x, )A{X
"V
Eduardo Espinoza Ramos
308
b)
DEFINICION.-
Consideremos una función f definida en el intervalo cerrado
[a,b], entonces a la integral definida de f de “a” hasta “b” .
Denotaremos por
rh
f ( x ) d x y es definida por:
si existe el límite
2.7.4
CALCULO DF. LA INTEGRAL DEFINIDA OSANDO INTERVALOS DE
IGUAL LONGITUD. . . . . .
. .
........
Ln el cálculo de las integrales definidas, cuando se usan intervalos de igual longitud se
tiene que:
Ax= ———,
n
jc ,
=a + iAx , de donde x, =a +———i, i = 0 ,l,2
11
n
Luego la integral definida se calcula mediante la expresión.
£f(x)d> = lim i-i/ /'(jc, )At
Ejemplo.- M ediante la definición de integral definida. Calcular la integral
J 3(4jc3 - 3 jc 2 +l)dx
Solución
[" (4jc3 —3jc2 + 1 )í£ c= //m ^
Ji
o->“=
f ( x ¡ ) A x . donde
‘
Ax = ——- = — .
n
n
jc ,= 1 + —i
n
/ ( jc) = 4 jc3 - 3 jc2 +1 => /(■*,-) = 4(1+—i) 3 -3(1 + —i) 2 +1 = —t -i 3 + -^t -»2 + — í + 2
ir
ahora reemplazando en la integral.
n
Integral Definida
309
r64^
7 2 ^ ., 2 4 ^ .
- r l ' 3 + - t Z ' - + - r Z ' + r Z 1l
i=i
" í-i
n í- i
^
« IMTIJ
/z, m/f
r 6 4 n2(n
+1)2 _ 72
n(n -r
+ l)(2n t+ l )
= //«/[— .— -— —
“4
d
6
_ 24
h2
nu/T
+ il
1)
4
+- . «]
2
n
m( w
= /w j [1 6 (1 + - ) 2 + 1 2 ( 1 + - ) ( 2 + - ) + 1 2 ( 1 + - ) + 4 ]
«
11
= 16 + 24+ 12
n
+ 4 =
n
ti
56
Ejemplo.- Mediante la definición de integral definida, calcular la integral
J
( jc 2 + 4 jc + 5 ) í /jc
Solución
Por definición de la integral definida se tiene:
f
Jl
4 —i
(jc2 +4jc+ 5)<£c= /im
H- » 00
i=i
'
T•
f ( jc )
= J C 2 + 4JC
+5
=>
3
f(x¡ )Ax, donde Ax = ——- = — ,
u
fl
/ ( jc, )
= (1 + —
T■
) 2 + 4 (1 + — )
n
ahora reemplazando en la definición de la integral.
n
Q
jc ,
,A
,
3i
= a +iAx = 1+ —
1g
+ 5 = — i2 + — i + 1 0
ti'
»
310
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Representar el limite de las siguientes sumas como una integral definida.
CO
n
lim T i»2 +i 2) 1 2 . P' partición [0,^/3]
ii—
íi
Solución
Ax =
b-a
S -0
//
^3
//
Ax
Si
x¡ =-
x¡ = a+iAx = 0 + S i
lim y (n 2 +i2) 1,2 = lim V ’-^ = = L = = lim y
rr
rr
+r— rr
,
«
V
Jim - L y
,
V
1
©
'
n
1
n
3
p/3
lim £ ( —
) HII 4+- íI //
H
^
Solución
Si Ax = —. entonces el intervalo se tiene [0,1]
n
i => x¡ = —
*
x, = r0>+ —
n
n
lim Y (—
*—?
i1
n+ i
) - = lim Y
n
»->■' ^/
1
1
./.I
f1 dx
r - - = lim V / (—)-—= f
n
« ''
n
n
1+x
i=l
, i
1 ln--
Integral Definida
311
además / ( —) = —^-r
"
1+ i
=> /(* )
l +x
1, n
ln
,nn
lim —(tg——+ tg— +...+tg(— ))
n ->=c f i
4h
4)1
4)1
Solución
.. i
n
¿n
> nn.
ni 1
lim - ( t g — + tg— +...+ tg— )= lim > tg—
’ -»» //
4;/
4/i
4/j
"
4/j n
= „ray /(i , . I =f , giL í*
n —>oo
<
))
J()
))
donde / ( —) = tg —— => f ( x ) = tg(——> => Ax = ----n
4»
4
n
4
n
lim —[ln(cr + —) + ln(cr+—) + ...+ln(cr + —)]
n
n
n
"-*» /?
Solución
1 1
O
lim —[ln(<7 + —)+ ln(cr+ —) + ...+ln(<7 + —)] =
n
n
n
n
n
= lim
donde
(? )
Ax = -—n
n
|
j
ln(¿/ + —) = lim y f{ —)-— = \\*Aa + x)dx
n
«-»<«■“
1=1
1=1 ■ ti n Jo
= —, x, =— => f(x) = ln (a + x)
n
n
lim V — 2/7+ 4/— - , P: participación [2,6]
» ^ x ~i-if 2 n - + 4 /;/+ 4 /2
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
312
e
Sea
6 - 2 4
a
4
Ax =------ = — => Ax = —
n
n
n
4í => x ,= 2T + —
4/
x =a+/AAx = 2T + —
n
n
lim ¿
12n+4‘— = fi» ¿
» « t r 2#I - + 4 / n + 4 / -
2+ » , 4
n
- - ,-1 4 ( 2 , 4 / | 4 / - )
11
ti
21 H—4'
ahora a la expresión ----- — -------- pondremosen términos de 2 + — es decir:
2 + Ü + 4 < i,!
//
11
..
2+—
2+—
2+4 ( — )
/ ( 2 + — ) = ---------- , "
,
= --------” 4 (2 + 4 (— ) + 4 ( - ) 2 ) 4 (2 + 4 — ) + (— )2
n
1
ii
n
f (x) = —
x
x" + 4
entonces se tiene:
„
É
(2 + — )2 + 4
n
, 2/>+4/ 2 =
»-»*-“ 2n-+4//i + 4i2
2 + 4-'
Z—
" ^ “ ^ ( 2 + —)2 ”
2 * '+ 4
Utilizando integral definida hallar él limite lim -—
n—
*or.
Solución
ti
^ . " +/?—, P > 0
Integral Definida
313
lint T (-)■— = f-vPdx = / =—
b-»« 1 1,1 n n Ju
P + l / «) P +
=
lim
H~*S
p+i
P+l
2.7.5.
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
1.
Encontrar el área exacta de la región indicada, expresar el área como él limite de una
suma de Riemann con particiones iguales.
Q
Hallar el área de la región R acotada por y = x 2 + 2x +1, el eje X y las rectas x = -1,
*
x = 3.
(7)
Hallar el área de la región R acotada por
D
*
64 u 2
Rpta.
—
y = 3* 4, el eje X y las rectas x = 0, x = 1.
Rpta. y / / 2
®
Hallar el área de la región R acotada por y = 2-Jx , eje X y las rectas x = 0, x = 4.
uRpta. —
32 u 2
©
Hallar el área de la región R acotada por
x = 6.
©
Rpta. 30 u 2
Hallar el área de la región R acotada pory = 1 2 - x 2 - x . el eje X y las rectas x = -3,
x = 2.
(ó )
y = ( j e - 3 ) 2 + 2 , el eje X y las rectas x = 0.
305 o
Rpta.------- « '
6
Hallar el área de la región R acotada por y = 2x3, el eje X y las rectas x = -1, x = 1.
Rpta. 1 u 2
314
(T )
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el área de la región R acotada por y = 4 - x 2 , el eje X y las rectas x = 1, x = 2.
5 7
R pta. —M*
(IT)
Hallar el área de la región R acotada por y = 2 - 1x |, el eje X y las rectas x= -2, x = 2.
R pta. 4 i r
(9)
Hallar el área de la región R acotada por y = (x +3)2, el eje X y las rectas x= -3, x= 0.
R pta. 9 i r
^ 0)
Hallar el área de la región R acotada por y = x 2 - 2 x - 1, el eje X y las rectas x = 1,
x = 4.
©
Hallar el área de la región R acotada por y = 3x - 3.r2
x = 0, x = 1.
12)
x 3. el eje X y las rectas
R pta. —M2
6
2
Hallar el área de la región R acotada por y = — + 1 , el eje X y las rectas x = 0.
x = 3.
^3)
" 4)m 2
Rpta.
21 ,
Rpta. — m”
4
Hallar el área de la región comprendida por y = x 2, y = 4 - 3 x 2
D *
1 6 m2
Rpta.
—
(h )
Hallar el área de la región comprendida por y = 3x2, y = 1- 3x2, x = 0, x = 3
Rpta. 57 u 1
Integral Definida
15)
Hallar el área de la región R limitada por y = 2x2 + y +1, el eje Y, el eje X y la recta
23 u~i
Rpta. —
x = l.
16)
315
12
Hallar el área de la región R limitada por y = x - x 1, el eje X.
Rpta. —u 2
6
17)
Hallar el area de la región R limitada por la curva v = .v2 -.v 4, 0 < x < 1 y el eje X.
2
Rpta. — u~
15
18)
Encontrar el área de la región R limitada por y = 1+ .v2 + 2a4, en el eje Y. el eje X y
la recta x = l .
26 7
Rpta. — u~
15
19)
Hallar el área de la región limitada por las líneas dados por la ecuación 4 y = ( x - 4)2 ,
T
T
*1
64 ■>
4j' = (_v+ 4 ) ', Ay - (y - 4 ) " , 4j- = -(4 + .r)" . Rpta. — u ~
(20)
Encontrar el área de la región acotada por la curva y = 6x + x 2 - x 3. el eje X y las
rectas x = -1 y x = 3.
II.
(?)
®
109 ,
Rpta. —
Usando la definición de la integral definida calcular las integrales siguientes:
| (.y2 + 4x + 5)dx
Rpta. 66 i r
£ (-Y' -\)cix
oRpta.
. —
605 u 2
r A
7
(a "
Jii
+x -b )d x
Rpta.
7
1 6
—
3
u
Eduardo Espinoza Ramos
316
JV
+\)dx
Rpta. 4 u 1
©
f ( 4 v 3 - 3 . V ' + l)t¿r
Rpta. 56m2
©
J i
f
Rpta. 222u 2
©
(3 jc 3 + 3 jc 2 - 2 j c - 6 ) í / j c
©
£ ( 2 jc 3
©
Jo
1)dx
Rpta.
©
I (jc3 +jc2 - 4 x - 2 ) d x
Rpta.
J
21 ,
R p ta .----- m"
4
©
Rpta. 596 i r
—2 x —3)dx
f2
(3 a 2 —
(x3 +2.v)dr
6 M2
8
->
u~
J (jc2 —\)~dx
812 ,
Rpta. -----u~
15
f
Rpta. 1 —cos a u 2
©
sen x dx
Jo
©
Aplicando
/W
=
sumas
de
Riemann,
f2jc + 2, jc e [0,2]
,
[ jc - -4.C + 10, ,ce<2.4]
evaluar
la
R i» .
integral
f f(x)dx
Jo
donde
4
-
j
III.
Vj_^
c
■ ■
1limite
- ■
r -A lim
r ------------------------^ +^íe^ +... +’4 e^
Expresar eli siguiente
como una integrali definida
Rpta.
f exdx
Jl)
Integral Definida
©
317
Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim
ir +2p +3p +...+np
nP+1
Rpta. f x pdx
Jo
©
Expresar el siguiente límite como una integral definida.
n500
Um ^
~~-~~501~ +
«-*“ (11 + 1 )" "
®
n500
n500
501 + - +
(rr + 2 f m
„ „ ,
" . ,5 0 1 }
(n+n)
^
r1
,
dx
J o ^ .^ 5 0 ,
^ (1 + x )
n
- f V - f 2)
Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim 'S'
5
n —*rx, ¿ J
1=1
Rpta. í (jc2 - x A)dx
Jo
(5 )
i n
Expresar el siguiente limite como una integral definida, lim — Y ln(a+ —)
»-»“ n
n
Rpta. [\n{a + x)dx
Jo
Expresar el siguiente limite como una integral definida, lim
« —«¡o »■^
(n2 + k 2)~x
Rpta’ í T T ==
io4 7 T \
C l)
n sen(—)
Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim Y
n+i
_ 4 r1sen* ,
Rpta.
dx
Jo 1 + x
318
©
Eduardo Espinoza Ramos
Expresar el siguiente límite como una integral definida.
71
—
,1.
,2.
arctg(—) arctg(—)
lim (------- — +
„-»oo i + n
2 +n
(5 )
.
Rpta. [
Jo
n +n
dx
Expresar el siguiente limite como una integral definida l i m j ' ( - 4 - + —)
n
n
Rpta. J(7 x 2 +9) í/ jc
(jo)
Expresar el siguiente limite como una integral definida.
.. ,
lim{
©
n
n
n
r-+ -------------- - + ...+—---------------- - )
l + 2n + 2n
4+4n+2n
n 2 +2n(n)+2n2
Expresar el siguiente limite como una integral definida.
r1
Rpta. f 1 dx
Jo14 ^
1
1
[im(~ ~ 1^ j = + ---= + ...+ ,
)
-Jn2 + 2 2
4 n 2 +n2
(l2)
Expresar el siguiente límite como una integral definida.
lim V ^ Í + ^
w->oo
(o)
^ f1
dx
Rpta.
—-----------Jox l +2x + 2
Aplicando
+
ti
sumas
2
Rpt a. l'V
Rpta.
f - Jli­+ xdr
jo
de
Riemann,
Í2 x + 2 , x e [ 0 ,2 ]
!
evaluar
la
integral
dx
donde
4
R p ta .------
L e2 - 4 x + 1 0 , x e < 2 , 4 ]
2.8
J f(x)
3
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA»Consideremos dos funciones f y g integrables en [a,b] y K una constante
arbitrariamente, entonces:
integral Definida
319
f{x)dx=
(T )
f{x)dx
(T)
jlf{x)±g{x)]dx = ^ f ( x ) d x ± Jg(x)rfx
J/(x )rfx = j" f ( x ) d x + ^ f ( x ) d x , donde f es integrable en [a,c],[c,b],[a,b] y a<c<b
(í)
^ f ( x ) d x - = -j^ f(x)dx. b > a
(ó )
f J(x)dx = P
da
@
J / (x)dx = 0
f ( x - k ) d x (invariancia frente a una traslación)
Jf7*Á
Si f(x) > 0, V x e [a,b] entonces f f{x)dx > 0
Ja
Si f(x) > g(x), V X e [a.b], entonces: J f(x)dx> J^g(x)dx
Si m y M son los valores mínimos y máximos absolutos de f en [a.b] respectivamente
tal que m < f(x )< M , V x e [a,b] entonces:
m(b - a ) < J / (x)dx< M ( b - a )
(lü)
Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces: |
í / (x)dx |< fj f ( x ) | dx
(H )
Si fes una función continua en el intervalo [0.a], entonces:
f(x)d x = j f ( a - x ) d x
( 12)
Si f es una función par y continua en [-a,a], entonces: r . f ( x ) d x - 2 ^ f { x ) d x
^ 3)
Si f es una función impar y continua en [-a,a]. entonces:
( 14)
Si f es una función par y continua, entonces:
^5)
Si fes una función continua,entonces: jjx /(s e n t)d r = yj\/(scn jr)rfx
^
J
Ja
Ja
f(x)dx = 0
f x / (cosx)dx - —f / (eosx)dx
Jo
2 J11
Eduardo Espinoza Ramos
320
16)
Si f es integrable en [a.b], entonces para cualquier c * 0 se tiene que:
a)
17)
f f ( x ) d x = - \ f ( —)dx
Ja
\f(x)dx =c \
b)
£
f(cx)dx
Jaic
Si f es una función continua en un intervalo 1, entonces, para cada i e I.
a) J
@
£ Juc
Sea
b)
1 ( x ) d x - ^ f(-x)d x
J
f(x)dx = 2^ f ( x ) d x , si fes par.
f una función impar (par) continua sobre [-a,a], si se define la función
g(x) = f f(t)dt para x e [-a,a], entonces g es una función par (impar).
Jo'
^9)
Si f es continua en I, entonces para c e I:
J
f{x)dx -
^ f(-x)dx
Demostración
(l)
Por demostrar j k f ( x ) d x = k j f(x)dx
Sea P = (jc,,,x,
x „} una partición del intervalo [a,b].
La suma de Riemann de la función k f(x) asociado a esta partición es:
n
n
S{p, f) = y k / ( « , )A,.v = A -y f{a¡ )A,.y ,
i-i
.-i
de modo que podemos expresar en la forma:
n
.
f k f(x)dx=
L
n
lim^ k /(a )A .v = lim k'S' / (a )A¡x
in >0 fIr 1
I1
= k lim ) / (a )A x = A' / (x)dx
I
J„/=]
Por demostrar
f (/
Ja
(jc )
± g(x))dx =
fJaf ( x ) d x ± fJag(x)dx .
321
Integral Definida
Sea P = {jt„. Vj
x„\ una partición del intervalo [a.b] la suma de Riemann de la
función f(x) ± g(x) asociada a esta partición es:
»
s( p . D
n
w
=Xt
/(“,) ±g(a ,-)iv=X
f (a‘ )A'x + Z * (a‘ )A
'x
<
*.
<1
de modo que podemos expresar en la forma:
u
f (f(x) ± g(x))d\ = lim X
J.;
[/'| -»0 ^
I 1
n
h
^
lim Y f(a¡)A,x± lim Y g(a¡)A¡x = f f(x)dx± f g(x)dx
}‘\
|/*| >0 ^-má
Jn
Jo
i/'.
,
^3^
Por demostrar
f / (x)dx = f f(x)dx+ f f(x)dx donde a < c < b
"ti
"ti
"t
Supongamos que f(x) es integrable en [a.b], entonces si c > 0. existe una partición
P - { a = r(„.v,.... .v„ = b\ de [a.b] tal que U(f.P) - L(f.P) < c
Sea
P,= {jr„,x1.... x¡\
partición
U(/.P)
del
una partición del intervalo [a,c] y P"= {x¡.....x„\ una
intervalo
[c.b],
entonces
L{ f,P ) = L( f , F ) + L{ f , P " )
y
f , P ’) + U( f . P " ) entonces:
[Í7( / . F ) + U( f, P" )] - [L( f . F ) + L{ f . P" )] = U( f , P) - L( f . P) < e
como cada
termino del paréntesis no es negativo, cada uno es menor que c, esto muestra que f es
integrable en [a.c] y [c.b] y se tiene que:
U f .P )< f f ( x ) d x < U ( ( . F )
"ti
L ( f , P " ) í j 1(\)dx< U( f , P " ) por lo tanto:
322
Eduardo Espinoza Ramos
L(f, P) < f f (\)dx + f / (x)dx < l!( j , P) lo que demuestra que:
Ja
Ji
f I (x)dx = f / (.v)dx + f Hx)dx
Ja
©
Ja
demostración J f (x)dx = - ^ f (x)dx, b > aes
La
Jíl
Jt
inmediato
aplicando
f(x)dx= f( c ) ( b - a ) donde a < c < b
La demostración f / (x)dx = 0 ejercicio es inmediato.
Ja
(ó )
Por demostrar que f f(x)dx = f
Ja'
/ (x-k)dx
Ja- k
Sea z = x - k donde dx = dz, además
Para x = a + k ; z = a + k —k = a y x = b + k ; z = b + k —k = b
f
Ja-k
f ( v —k )dx ~ f f ( z ) d : = f f ( x ) d x
Ja
f f(x)dx = f
Ja
Ja
Ja~k
f\x-k)dx
©
La demostración de [ f(x)dx > 0, V x e [a,b], f(x)>0 dejamos comoejercicio.
©
Pordemostrar que J f ( x ) d x > j g{x)dx donde f(x)
Ja
> g(x), x e [a,b]
para esto
aplicamos la propiedad de linealidad y la propiedad (7).
Como f(x) y g(x) son integrables, entonces la función h(x) = f(x) - g(x)
integrable y como por hipótesis se tiene que
h(x) = f(x) —g(x) > 0 . V x e [a,b]
entonces
()< f
Ja
h (x
)dx =
f ( f ( x ) - g ( x ) ) d x = f f{x)dx —f g(x)dx
Ja
Ja
Ja
es decir [ f ( x ) d x - f g(x)dx> 0, de donde f f(x)dx> [ g(x)dx
Ja
Ja
es
Ja
Ja
323
Integral D efinida
®
m(b - a) < J f(x)dx < M(b - a)
Por demostrar que
como f es continua en [a.b],
entonces f[x) es integrable en [a,b] y como m y M son los valores mínimo y máximo
absoluta de f(x) es decir m < f(x) < M, V x e [a.b]. Aplicando la propiedad (8) se
tiene:
f mdx< f
y,
y,
ni(b - a) <
f( x ) d x < [ M dx
y,
rh
=> m x / < f
>«
/ (x)dx < M x f
1«
f(x)dx < M ( b - a )
Ja
©
Por demostrar que:f(x) dx \< J | f(x)\d x
como f(x)
entonces | f(x) | también es continua en [a,b] y
además por la propiedad, V u
e
R,
-|u| <u
es
continua en [a.b]
por lotanto esintegrable,
<|u| de modo que:Vx e [a,b]se tiene
- |f(x)| < f(x) < |f(x)| por la propiedad (8) se tiene:
f
- f I í(x)\dx <
Ja
f(x)dx < f | f(x)\dx
Ja
Ja
y aplicando la propiedad: |a |< b <=? - b < a < b se tiene: | f f(x)dx\< f | f(x )\d x
Ja
©
Ja
f'(x)dx = J /( a - x)dx
Por demostrar que
En la inteeral f l (a - x)dx , hacemos z = a —x, donde x = ü. /. = a y para x = a,
Jo‘
7. =
0 ,
además dx =
-
dz
f f (a- x)dx= (' J(z)(-d:) = - ( }f(=)d:= f"f(z)dz
Jll
Ja
por la propiedad (4) por lo tanto:
Ja
Jll
f f ( a - x ) d x = Jo'
f f(z)dz = Jof f(x)dx
Jo
324
12)
Eduardo Espinoza Ramos
Por demostrar que:
Ja'
t(x)dx - f
Ja
en la integral
J
f{x)dx = 2^ / (x)dx, aplicando la propiedad (3):
f(x)dx+ f f(x)dx
~ (1 )
J()'
r“ f(x)dx
J a
reemplazando x = -y entonces para x = -a, y = a y x = 0,
y = 0, dx = -dy
f f{x)dx = f'’/(-v )(-í/v ) = -fV (-v )rfv = [“/ ( - y)dy
J
a
Ja
Jft
Ja
= | / (x)dx, por que f es par
ñü
al reemplazar (2) en (1) se tiene:
J a
... (2)
ña
f ( x ) d x = \ f{x)dx+ I f(x)dx = 2 1 f(x)dx
'
Jo
Jo'
Jo
f f (x)dx = 2 f f{x)dx
J
a
NOTA.-
Jo'
Las demás propiedades su demostración dejamos como ejercicio.
OBSERVACION-
Si se tiene una función f continua en el intervalo [a.b] y
además f(a) * f(b), entonces para cualquier número z entre
lía) y f(b) existe un número c entre a y b de tal manera que f(c) = z.
Integral Definida
2.8.1
325
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES.Consideremos una función f continua en [a.b]. Entonces existe un número c e [a.b] tal
que.
Demostración
Como f es continua en [a.b] => 3 a. |3 en [a.b] tal que fia) = m y f([5) = M son los
valores mínimos y máximos absolutos respectivamente de fen [a.b].
Luego m < f(x) < M, V x e [a.b]. Entonces.
m( h- a)<
f / (x)dx< M ( b - a ) (por la propiedad 9).
Ja
\í(x)dx
Por lo tanto:
m < —----------< M , de donde
h-a
Cf(x)dx
/ ( a ) < —---------- < /(/i)
b-a
Ahora mediante la observación, existe c e [a.b] tal que :
\ Kx)dx
= —T
h-a
2^.2
=>
„
i f(x)dx= 1(c){b-a)
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.(Derivadas de Integrales)
Sea f una función continua en el intervalo [a.b]. Entonces la función F definida por:
F(x) = f f U ) d x . a < x < b es derivable en [a,b] y
Ja
D, /(.v) = Dx f / (t)dt = J \ x ) . V x e [a.b]
Ja
Demostración
326
Eduardo Espinoza Ramos
Como F(x) = f i(í)dí es una función definida en [a,b]. Entonces:
f (x, = hlim*0
}\
= //-»()
Um
\\
\.f (l)dl + [ 7 U)dt- [ 7 (Ddl
[ 7 (/)dt
= Um —
5----------- ----------= Um-—-------- (por la propiedad 3)
h >0
//
h-*0
/1
Por el teorema del valor medio para integrales se tiene, para cada número
p.v • h
no nulo x + h e [a,b] existe a e [x. x + h] tal que
p.t~h
I fuydt
f ( a ) = —---------, luego
f]
/ ( / )dt = h f i a ) de donde.
mx-h
I fU)dí
F ' i x ) - l i m ~ -------= Um f i a ) = f ix)
h-+0 //
/»—
><)
F(x)=J(.x)
Ejemplo.- Calcular F'ix) siendo F(x) = f e 'ln 1 di
Jo
Solución
F(x)=
f e'lx ud t
Jo
=> F ’(x) = e x lnx
r en-<
di
---------------1+ arcsen í
Solución
Para calcular F'ix) en este ejemplo se debe aplicar la regla de la cadena en el primer
teorema fundamental del cálculo, es decir:
J■?(•>)
o
/ (/) = 7/(tf(.v)) derivando mediante la reída de la cadena se tiene:
327
Integral Definida
F'(x) =/I'(g(x)).g'(x) = f(g{x)).g'(x) donde f ( t ) - ~
?-----1+ arcsen i
y g(x) = senx
F’(x) = / (g(x))g'(x) = /(se n x).(sen ,v)'= •
1+ arcsen(senx)
.
....
.
-■ C(.V) =
COS
X
1+ X
Ejemplo.- Calcular F'(x) siendo F(x) =
f
-Jt + e'
( jc 2
)'
Jo
Solución
Aplicando el criterio del ejemplo anterior:
F(x)= f -Jt + e'dt => F'(.x) = tJx2 +e'
Jn
2.8.3.
F'(x) = 2x^jx2 +e
GENERALIZACION DEL PRIMER TEOREMA FLNDAMFNTAL DEL
CALCULO.©
Si f es continua en R y g es diferenciable en R, entonces:
£>,[[
Ja
./ (/)rf/] = ./ (ír(-v)).¿f,Cv), x e R
En efecto: Sea u = g(x) y aplicamos la regla de la cadena
/•«(a)
d «.?(■»)
h
pM
du
o .[f
K t)d t} = ^ - [ [
fO )d t] = ~ [ \ r u m ^ ax
du J‘i
dx
= f ( u ) ^ - = J\g(x)).g'(x)
dx
©
Con la hipótesis de (1) y con la suposición que h e diferenciable en R, entonces:
£ \[f
i
f(t)dt]= f( g ( x ) ) g ' ( x ) - / ( / i ( x
))Ji'(x )
32X
Eduardo Espinoza Ramos
En efecto: Aplicando la propiedad (3) de la integral definida
r s (')
f"
fírl1)
f{t)dt)=\
Jh(\)
£ \[f
J/l( l )
1 (t)di + \
r í(')
f(i)di = \
J //1 O
fv)di-\
Ji/
/(f)r//]= D ,[f
Ja
/< í)r//]-/) ,[ [
Ju
r*< >'
fU)dt. derivando
Jm
/(/)r//] por la parte (1)
= / (.Sí(X)).%(X)~ / ( / l ( Y) ) . / / ' ( v )
©
Si f es continua en R, g diferenciable en R y
continua en R. entonces:
[ '/( « ( / ) ) « ’(/)<//= f*l °/(i/)rfM . x e R
En efecto: Sea F/(.r) =
C?(v)
J(u)du entonces H(a) = 0 y
Jeta)
II'{x)= f(g(x)).g(x) => f f (g(x)).g'(x)dl = f H'(t)dt = H ( \ ) - H { a )
Ja
Ja
de donde / / ( r) = f / (g(t)).g'(t)dt = f
Ju
2.8.4.
Jüiu)
f (u)du
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTA 1. DEL CALCULO.Considcremos una función f continua en [a.b] y sea F una función tal que:
F'(x) = J(x) V x e [a.b] entonces:
f f(x)dx = F ( x ) / =F( h)- F( a)
Demostración
Como /•"( r) = / ( v). V x e [a,b]
calculo se tiene:
entonces por el primer teorema fundamental del
F(x)= \ f(t)di +c
Ja
...(1)
Integral Definida
329
Si x = a entonces F(a) = f f(t)dt + c = 0 + c
Ja
=> c = F(a) esto es aplicando la
propiedad (5) de la integral definida que reemplazando en (1) se tiene:
F ( x ) = \ f ( t ) d t + F(a)
...(2)
Ja
Si x = b, reemplazamos en (2) obteniendo:
rh
F(b)=\ f(t)dt + F(a)
Ja
rh
de donde se tiene: I 1 (t)dt = F{h)- F(a)
Ja
como la variable de integración t es independiente se concluye:
f f(x)dx = F ( h ) - F ( a )
Ja
OBSERVACION..b
©
En la evaluación de las integrales definidas la notación F(x) J
F(b) —F(a) es decir:
©
La formula
rh
Ja
J
indica
/ (x)dx = J F'(x)dx = F(x) j ^ = (b) - F(a)
/ (x)dx = F(b) - F(a) se conoce con el nombre de “Formula de
NEWTON — LEIBN1TZ”, debido a que estos dos ilustres matemáticos
independientemente establecieron la relación entre los conceptos de la derivada y
la integral.
©
La diferencia F(b) —F(a) no depende de la elección de la antiderivada F, puesto
que todas las antiderivadas se diferencian en una constante, la que se desaparece
al efectuar la diferencia, por lo que no es necesario considerar la constante al
hallar la antiderivada.
Ejemplo.- Calcular la integral
J
|.v- 3 | í/ v
330
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Aplicando definición de valor absoluto: | x- - 33 1| = j * J " X >
[j-ac si x<
Luego se tiene: [-2.5] = [-2.3] U [3,5]
J" | . v - 3 | r f r = J " | . í - 3 | í /jí + J |
jc-
3 |
íéc
= J" ^ - ( j c - 3 ) r f v + J ( * - 3 ) r f v
jc 2
/ 3
jc 2
/ 5
9
">5
9
= (3 ,v -4 -) /
+ (-—-3.í) / = [ ( 9 - - ) - ( - 6 - 2 ) ] + [ ( ~ 1 5 ) - ( - - 9 ) ]
2 / 2 2
/3
2
2
2
9 25 9
7 29
= 17— + -----------6 = 11 + —= —
2
2.8.5,
2
2
2
fs
29
Jjjr-3|rfr = y
2
CAMBIO DE Va j Ha b LE e n UNA i NTEORAL DEFImuA.E1 calculo en la integral definida se puede simplificar mediante un cambio de variable,
este criterio indicaremos en el siguiente teorema.
TEOREMA.-
Si f es continua en el intervalo [a.b] y si se reemplaza la variable de
la integral x = g(t) donde
g: [ a .p ] -----> [a,b] tiene derivada
continua en [a,p], con g(a) = a y g(P) = b, entonces:
í f ( x ) d x - f f(g(t)).g'(t)dt
Ja
Ja
Demostración
Aplicando el primer y segundo teorema del calculo
Sea
F{y)= í f(x)dx entonces
Ja
F'(y)- f(y),
V y e [a.b] por la regla de la
cadena o derivada de la función compuesta.
[^(^(0)]'= F’(gU)).g'U) = f(g(t)).g’U) por lo tanto F(g(t)) es la antiderivada de
/ (gV))g'(0 entonces por el segundo teorema del calculo se tiene:
Integral Definida
331
£ . f ( g m g ' ( t ) d t = ¡ j F [ g m ' d ( g ( t ) ) = F(g ( t) )/P
a
= F(g(P)) - F(g(a)) = F(b) - F(a) = f / W d x
/.
¡hf(x )d x= C f(g(t))g'(t)dt
Ja
Ja
Ejemplo.- Calcular la integral
f'V
2» Z!{X
%J(x —
- 2Z)i 2dx
—— .
i3 3 + V(jc- 2)2
Solución
Sea z 3 = x - 2 de donde dx = 3z 2d z , además para x= 3; z= 1 y para x = 29, z = 3
r"
"
^¡(x-i)
_ { z ~.3z dz
3 + t/( x - 2)2
=
3 + z2
zdz
" 3 + z2
+9,/3 arclg-7 -) / ’ = 9-73(1) + 8 -9 -/3 (í-) =K + ¿ i L
\3
*i
3
6
2
OBSERVACION.- En la practica no es necesario tomar la función g(t) en forma
explícita, puesto que ya esta habilitado a cambiar de variable en
la integral indefinida, solamente se debe agregar para cambiar los limites de
integración solamente se debe reemplazar la variable original x por los limites de
integración correspondiente, obteniéndose los nuevos limites de integración.
Ejemplo.-
Calcular la integral definida J
2 xdx
(1 + x 2)2
Solución
332
Eduardo Espinoza Ramos
Sea z = 1 + x2 => dz = 2x dx, ademas para x = 1; z = 2 y para x = 2; z = 5
r2 x dx _ 1 r 2 2x dx _ 1 r5ífc _
Ji (1 + x 2)2 ~ 2 i i (1 + x 2)2
—
l / 5 _ 1^1
” ~2 5 ~ 2
3
20
Ejemplo.- Calcular la integral í
x
j4 v* -1
Solución
Cuando se hace un cambio de variable o una sustitución adecuada también es
recomendable cambiar los límites de integración para facilitar los cálculos.
Ahora hacemos el cálculo de ta integral, sea x = z 2 => dx = 2z dz cambiando los
límites de integración para: x = 4, se tiene z = 2; y para x = 9. se tiene z = 3
f 9 ~ [x d X
|
•>4 J x -1
7
fí
1
T2
/2
— 2zdz = 2 \ (z + l + — )d= =2[— + z + l n | z - l | ] /
« --1
*
z —1
2
/
2
= 2 [ (|+ 3 + In 2 > - ( | + 28-MI)] =?.7 ¥ 2 ln2
2.8.6
UN LIMITE ESPECIAL*- [
Sea f una función continua sobre el intervalo [a,b], c e [a.b] ahora calcularemos el
límite siguiente:
para esto, definimos la función:
G(x)
=J"f ( t ) d t , para cada x e [a,b],
donde G<f))
Luego el valor de E lo expresamos como:
=0,
G'(x)
=f ( x ) ,
G'(c)
=/( c )
Integral Definida
333
E = lim—[G(x + h) —G{c)]
/, *()/;
y como E resulta diferenciable por el primer teorema
fundamental entonces:
E = lim ^
h >11
por lo tanto:
F. = l i m ~ \ fit)dt= f ( c )
f e - h *f;
+ ^ —^ííiA _ C ( t-) = / (( )
//
il rr4 * dt
Ejemplo.- Calcular el limite lim —
//--»() A-»
h JA
l+r
Solución
Sea / (/) = ------ — entonces aplicando el caso especial
0+r)
1 f 4* 7'
lim
»>- 1
h<M)
fl J4
2.8.7
©
dt
1 _ 1
— T= m = t
1 + /“
1 +Tó ~V7
EJEMPLO DEL ler. V 2do. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCELO.Hallar f(x) sabiendo que f es continua V x e R y í :f(t)dt = x 6 + Xa +3x2
Solución
Derivando ambos miembros de la ecuación dada se tiene:
2 jc
f (x~ —1) =
+ 4.V1 + 6x , simplificando tenemos
J ( x 2 - l ) = 3x4 + 2*2 +3 = 3(.v2 - l ) 2 +8(x2 - l ) + 8
.-. f ( x ) = 3.v2 + 8x + 8
®
r* 1- t + t 2
Hallar la derivada de la función y = l ---------- d t p a ra x = l
1+ / + / 2
334
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Nos piden calcular
dy
v'(l) = — /
dx i/ t i
primeramente calculamos su derivada con
respecto a x.
)■'( x) = — = D , í ^ >-+■■■ dt - -—A+ * , ahora evaluamos en
dx
\ +( +( 1+ X + .V
dy/
= I- m = l
d x / < i 1+1 + 1 3
®
= 1.
1
3
Hallar la derivada respecto a x de la función “y” dada en forma implícita.
í e'dl+ f cos i di = 0
Jo
Jo
Solución
Derivando con respecto a x, a la ecuación
f e' di = f cos idt = 0
Jo
Jo
dr
_
4
dy
eos*
e — + cos x - V entonces — = -------dx
dx
ev
( 4)
w
x
Hallar F 'U ) siendo:
F(x) = f ( f
— — )dy
J2 Ja 1+ / 2 +sen t
Solución
335
Integral Definida
(5)
Hallar F' (x) si F(x) = f —----- ——
J' 3 11 + 9sen/ + 15
Solución
F(x) = [ —----- —---------= - [
/~ + 9 sen / + 15
F ’(x) = -
————-------, derivando
/~ + 9 sen / + 15
3x
x 6 + 9 senxí +15
(ó )
Hallar F'(x) si F (x )=
f
Ja
di
aresen t
Solución
F(x) =
(? )
fsen' dt
cosx
cosx
=> F ( x ) = ----------------- = -----Ja aresen/
aresen/sen xl
x
arcsen(senx)
Hallar la derivada £), (J -J\ +t 4dt + ^
-<Jl + t Adt)
Solución
DJ,(J*Vl +/4rf/+j|t Vi +/4f//) =DJ(-|Vl +/V/ +|' -Jl+tAdt)
= -V l + x 4 + 2x-Jl + x 8
8)
Si /■’(x) = | ' i ^/l + .vVv,hallar F'(x)
Solución
F(x) -
i j l + y ' d y = £ ’ t j l +y ' d y + £ tfl + y 3dy
F (x) =
cosx
X
Eduardo Espinoza Ramos
336
F(x) =
-jj
%j\ + y 3d y + J
F ' U ) = -3 .(2' J u X
®
%jl+y3dy. derivando tenemos:
+ 2 ! - / ] + .i *
Calcular lim —[jj sen t d t - j ^ sen t dt]
Solución
1 r -i
«
fsení rf/-fs e n /rfí
lim —[ sen t dt - sen / dt] = lint
---= D ( sen t dt = sen a
h *o h Ji
Ji
a *»
h
Ji
lim —[ í sen t d t - [ sen / dt] = sen x
h ->0}, Jl
Jl
©
eos 2 1 dt - xl
Calcular lim —[ í sen2 1dt - f
a-»o h Ji
Ji
Solución
1 rx
2
t*+h i
lim—[ sen t d t - \
eos" fr//- x l =
/i->o hh Ji
Ji
*-.0
Ji
Ji
, 1rrxsen'i
x
*-»<>h Jo
= ! im -[
= lim -J-[ f (sen2
;,~>o h Jo
1 e'
r'
= H m -[ \dt+ f
Jl
h->o h Jo
px+h
1
f' '* 2
■lim —[x +
eos t d t - x ]
h-xl) h
Ji
Integral Definida
(Tí)
337
Hallar f(2) si £ / ( / ) dt = x 2(1 + x)
Solución
Jtíf(t)dt = x 2(\ +x)
derivando con respecto a x
f ( x ) =2x+3x2 => f(2) = 4 + 12 = 16
12)
Si |
f(2)= 16
t 2dt = x 2(\ + x ) . Hallarf(2)
Solución
<•/■(*)
*)
I
t~dt = x-(l +x) derivando con respecto a x.
Jo
/ 2(* )/'(* ) = 2x + 3x2 integrando
^—~ ^ = x 2 + x 2 => f ( x ) = ljl(x2 + x 3) , evaluando en x = 2
/(2 ) = 3/3(4+ 8) =3/36
1^
/( 2 ) = V36
Si f(t) es una función continua en [a,b] y g(x) es una función diferenciable con valores
d fg(*)
d
en [a,b]. Demostrar que: —
f(t)dt = /(g (x ))— (g(x))
a
x
a
x
Solución
/■/?(-*)
Sea F(w) = í f ( t ) d t entonces F(g(x)) = [
f{t)dt
Ja
Luego derivando
Ja
fg(x)
f(t)dt = F{g(x)) con respecto a x
Ja
•J-T
dx Ja
fO)dt =
dx
(F(g(x)) = F' (g(x)).-^- (g(x))
dx
...(1 )
Eduardo Espinoza Ramos
338
como F(u) = [ j(t)dt
=> F ' { u ) - f ( u )
Ja
F'{g(x))= f(g(x)) donde u = g(x)
...(2 )
ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
©
d
—
dx Ja
d
/ (t)dt = f(g(x)) — (g(x))
dx
Calcularla integral | (2x2 + 4x + l )dx
Solución
Aplicando el segundo teorema fundamental del calculo.
f' (2a2 +4x + l)dx = (—
Jo
^5)
3
+ 2x2 + x ) /
/ o
= (—+2 + l)-(0 ) = —
3
3
Calcular la integral | x 2Vx3 -1 dx
Solución
5
x 24 x - l í i r
=^-Jj (x3 + l)1/23x2rfx = ^(a'3+1)3/2 j
= | ( 8 + l)3/2- | = |( 2 7 + 2-V2)
(ló )
w
1
dx
Calcular la integral í —---------Jox 2 +4x + 5
Solución
í - - - —------= í ------ -------- = arctg(x + 2) / = arctg 3 - arctg 2
J ° x " + 4 x + 5 Jo (x + 2 ) " +1
/ o
. fT/2
senxeosx dx
Calcular la integral
—----- -------------- -—
J'» a eos x + b sen* x
Integral Definida
339
Solución
Sea == a~ eos2 x + b2 sen2 x , diferenciando tenemos:
d: = (—2a2 sen x cos x + 2b2 sen x cos x)dx = 2 (b2 - a 2) sen jc cos x dx
ahora a la integral dada escribiremos asi:
fT sen jc cos x dx
_
1
f-T 2 2(b~ - a ) sen x cos .v dx
Ifi ü~
7 cos_7 x + b~1 sen_7 x _ -i2 y{1h°~ - a \~ ) Jl)
L
H sen"^ x "
a~7 eos-*»x +h~
¡ni 2
— ------—ln | a 2 eos2 x + b2 sen2 x I /
2(b
/o
- a 2)
'
[lnb2 _ i ní72] = _ L _ ln(A}
2(b - a )
b~ - a '
o
x
:— d x
Solución
En esta integral hacemos una sustitución y también cambiaremos los limites para
facilitar los cálculos. (Por sustitución trigonométrica).
Ítg0 = .v
Sea ^
|x = tg 0
cos ecO =
-Jl + x 2
x = l B= —
además tg 0 = x. para
4
x = -v/3, 0 = 3
ÍB = arctgx
dx = sec2 BdB
340
Eduardo Espinoza Ramos
r
-v/i + v"
r*
:— de =
X
3
cos ec6. sec - 6 dO =
*7t'A
j
(cos ecO + tg 0. sec 6 )d()
Jn'4
V ir/3
2
1
= (ln | -7 = —
*4
¡= l+ 2 )
V3 V3
= (ln | V2 - 1 1+V2) = 2 - ^ - l n ( V 6 —v/3)
®
sen* dx
J>
Solución
Haciendo
u=x
dv = sen xdx
í du = dx
v = —cos *
f x sen * dx = - x cos x f + feos vdr = —x cos * / ” + sen * / ”
Jo
'o Ju
'o
lo
= —(—n —0) + (0 —0) = ir
@
Calcular la integral
J
|*2+* -
61dv
Solución
En el cálculo de integrales con un valor absoluto se debe determinar el signo de la
expresión dentro de las barras, mediante el criterio del punto critico, (en caso que el
integrando tenga más de un valor absoluto se define los valores absolutos) es decir:
x 2 + x - 6 = (x+3)(x-2)
J
"O
T
L-
Luego el criterio sobre el cual se realiza la integración se expresa en dos o más
subintervalos, es decir:
a
-3
[-4,4] = [-4,-3] u [-3,2] kj [2,4]
«3
a4
J |x2+x-6|dv =J |x 2 + x - t \ d x + J |x2+*-6|dv +J |*2+*-6|dv
341
Integral Definida
= J (.v2 +x - 6 ) d x - J
(x2 + x - 6 ) d x + J (x2 + x -6 ) d x
= [ ( - 9 + | + 1 8 ) - ( - y + 8 + 2 4 ) ]- [( | + 2 - 1 2 ) - ( - 9 + | + 18)] +
+ [ ( y + 8 - 2 4 ) - l ( | + 2-12)]
= [ ( 9 + | ) - ( - y + 3 2 ) ] - [ ( |- 1 0 ) - ( 9 + |) ] + [ ( ^ - 1 6 ) - ( | - 1 0 ) ]
2í)
Calcular la integral
f | A+^| dx
J-22 Xx ++66
Solución
De acuerdo al comentario del problema (20) determinaremos el signo de la expresión
X + ^ mediante el criterio de los puntos críticos.
x +6
-
I------- =--------- 1------- i —
-6
-1
Luego [-2,4] = [-2,-1 ] u [-1,4]
f4| 2 2 i | ^ = f '|£ 2 i |* +f i i t i , * „ f '£ 2 i * +f l l i *
J-2 A'+ 6
J 2 x +6
= - f• 20
J-l X+6
• 2 X +6
x +~Z)
6 d x+j\ 1í1 x +~6¿ )dx
= -{ x -5 1 n |x + 6 |)I ^ + (x -5 1 n |x + 6 |)/*
J-lX + 6
342
Eduardo Espinoza Ramos
= -[(-1 - 51n5) - (-2 - 51n4)] + [(4 - 51nl 0) - (-1 - 51n5)]
=-[] + 5In—] + 5 + 51n— = 4 -5 1 n (-)
5
10
8
Calcular la integral J [\2x\]dx
Solución
Sea z = 2 x => dx = ^ - además para x = - l ; z = -2 ; x = 2 ; z = 4
f2[|2*| }dx = ] - \ \ \ z \ ] d z =
2
J -l
= ^ [ J '[I - I]dz + £ [ | - 1]d= + £ [ | z I]d= + £ z \]dz + £ [ | z I]¿z +
= 2 - [ - 2 - l + 0 + l+ 2 + 3] = - |
(23)
Calcular la integral J ([| x |] + [| x + —|])dx
2
Solución
[U |] = - l
-l< x< 0
x e [-1,0>
1
1 1
— < x + —< —
2
x e [0,1>
2
2
0<x <1
1
1 3
—< * + —< —
2
2
2
[|x + i | ] = 0
j¿| z \]dz]
343
Integral Definida
x e [1,2>
x e [2,3>
1 < jc < 2
[|*l] = l
3 ^< x + —
1 <5—
—
2
2 2
[U + | | ] = 2
2<x<3
5
1 7
—<x+ — <—
[\x\] = 2
2
J ^ [ 1 x |] + [ |
jc
2
[U + jl] = 3
2
+ ^\])dx = J (-1 + 0)í£c+J(0 + l)rfv + j \ l + 2)dx + J (2 + 3)í£c
j - d x +j d x + j 3 d x + ^5 d x
= -(0 + l) + ( 1 - 0 ) + ( 6 - 3 ) + (15 -1 0 ) = - 1 + 1 + 3 + 5 = 8
Calcular la integral J
> x 1 - 3 x 5 +7xi - x
dx
eos2 X
Solución
Cuando la integración se realiza sobre un intervalo de la forma [-a,a] se debe ver si la
función es par o impar es decir:
f(x)
x 1 - 3 x 5 + 7x3 - x
CO S' X
x 1 - 3 x 5 + 7x3 - x
f ( - x ) = --------------r---------- = -f(x)
eos2 X
Luego como f(—x) = —f(x) la función es impar entonces por la propiedad (13) se tiene:
1 x 1 - 3 x 5 +7jt3 - x
i,
25)
eos2 X
Calcular la integral
-dx = 0
Vtg Xi
-~ = — J*l6T]\gX + -y/<c tg x
Solución
344
Eduardo Espinoza Ramos
n
x =
dx = -dz para
Sea r = :
7,
n
7
K
3
X= —
yftgxdx
jff/3
f .j _ 4 ¿ ¡¡¡d z_
Jic,6 I
•’« '6 ,/tg 7 + J c l g z
-JtgX
yll&x ad xx
[ *•'3
In p ao
^ ' 6 y j Ig X +
_ rf ' í 3’
y]dgX
^jc
tg X
y /tg x + ^ j c
dx
\gX
Sumando ambos miembros de la ecuación (1) la integral
-yjxgxdx
7 pru
_ [ nt}
tgX + y ] c t g x
yfigxd:
yjigxax
'n/6 ^ J t g X + y j c t g X
n/iJtgX
= r'->vt¡
J*.6 yJtj
jtgX
+ Jclg X
3
J tg X dx
— = = es decir:
J’cI6^XgX+^¡CtgX
yy j c l g x d x
rn! 3
K
K
11
d x = \d x
= ------------ =
3
6
6
■ Jlgxdx
y[tgx+y]ctgx
* '6,/t¡
Calcular la integral J
f*'3
J>'/6 - v/ t g X + - v/ c t g X
+y¡C{gX
J »*r/3
(2ó)
reemplazando se tiene:
12
e senxd x
Solución
Sea r =
2
x
dx = —dz, para
, reemplazando se tiene:
345
Integral Definida
r* 2
esen'dx
_
f°e
2
L
l
J*n/ z
^
Jo
o
sen(— z )
sen(iL z)
* 2
Jo
Calcular la integral
e
, (Z = x )
+e
, ahora sumando a ambos
esenx+ e cosx
rn 2 e ^ 'dx
es decir:
Jo psen* + í>cosx
fn - e
dx
Jo
ese[1-' + ecosv
1 esenx + e COST
^senx + ^cosx '
r
27)
^
^.senz . eosz
z
e
dx _ f
e
dx
esenx + í>cosv Joesenr+ ecosx
2 f* 2 esen'dx
t*
JO esenz +£,cosz J0
Jo
cos(- z)
= I
esen* + ecosx Jo
miembros de la ecuación la inteeral
jC*
Jo
pcoszd-
r ir/2
dz
f ^ 2= *
Jf) 2
ese"V v
«
f xse n x ^x
Jo 1+ cos x
Solución
Aplicando la propiedad
f f(x)dx = f f ( a - x ) d x
Jo
Jo
f* x senx dx
r71( n - x ) s e n ( n - x ) ,rn ( n - x ) s e n x ,
2— =--------------5---------- dx= \
^
dx
J° 1+ cos~ x
Jo l + cos"(rt-jr) Jo 1+ cos~ x
r* xsenx dxrn senjr dx rn x sen x dx
,
I --------- — = n -------- ------------------ -— . transponiendo termir
J° 1+ cos" x Jo 1+ cos x J° 1+ COS' x
_ f * x senx dx
2
—
Jo 1+cos2 x
.
, / ’1
,
= - n arctg(cosjc) /
/ o
, n tt
n
= -^(arctg(-l) - arctgO)) = - n ( - — —- ) = —
4 4
2
346
Eduardo Espinoza Ramos
f* xsenx dx _ n 2
■'*' l + cos2 x
(28)
Si f ( A * ) + /'" ( * ) ) cos*
Jo
4
= 9 y / " ( 0 ) = 7 Hallar / ' ( - )
2
Solución
f ( f'{x)+
Jo'
'' ( a ) )
cos jc ííxt =
f f'(x)cosxdx+ f
Jo'
Jo'
/ " ' ( x ) cosj ídx
... (1)
i ni 1
J
f'(x) cosx dx por partes:
o
u - / '( * )
d v - eos* dx
jdu = f " (x ) d x
|v = senx
*nt 2
n¡2 en ti
J /'( * ) cos x d x - s e n x f Cjc) / q - J /"(x )sen x rfx
J»n/2
/ ' *' (x) cos x dx
...(2 )
por partes:
o
w = cos x
{:d v = f ' " ( x ) d x
jdu = -sen xdx
^
[v = /" ( * )
rn.2
f7t/¿
«72 C
n‘ JT " (x) eos x dx = cos x f ' ' (x) J o + j / " (x) sen x dx
f ^ " ,(x) cosxí£v = - /'" (0 ) + f/" '(x ) s e n x í£ c
Jo
■••(3)
Jo'
reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:
/ '( £
- )) -- f /"
/" ( (*)
x ) ssen
e n xxdr fxí--f/ '"((00))++ f /"(
/"(xjsenxrfx = 9
2 Jo
Jo
Jo'
7T _ _
f i - ) - 7=9
.
/ ' ( - ) = 16
347
Integral Definida
(2 9 )
| jc | dx
Calcular la integral J
i 2 [ | jc | ] jc + 2 0
Solución
r3
\x\d^_
J i 2[| x |]x + 20 ”
\x\ dx
f 1_ _ |x |d v _
Ji 2[| x |]x + 20 + '« 2[| x |]x + 20 +
r 2 Ix | dx
r3 | x | dv
Ji 2 [|x |]x + 20 + J 2 2 [| x |]x + 20
f° -v dx
|p lxdx
J-t - 2 x + 20 ' Jlo 20
|P2 x d x
j'i 2x + 20
f°
i[3
x dv
J'2 4x + 20
f2(l
(1 h— ——)dv + í — dx + 2J i
x -1 0
Jo 20
2 Ji
f3(l----x —
)dx
+5
— )d x + x -1 0
4 J2
l
¿
t
= - ( x + 1 0 1 n |x -1 0 |)/“i + ^ / o+ i-(x -1 0 1 n |x + 1 0 |) /i2 +
+ —(x —51n|x + 5 |) / 32
-
10 + —+
1 h—+
1 51n—
1
11 —ln—
1 5,= —
7 +
5151n—
= 51n—
+ —+
11 2 40 2
12 4 4
8 40
30)
Sean f y g dos funciones
integrablessobre [a,b], pruebe
5+ -5 iln —
7
6 4 8
la desigualdad de
CAUCHY — SCHWARZ.: ( (f{x).g(x)dx)2 < f* f{ x) 2d x . ( g(x)2dx
Ja
Ja
Ja
Solución
Para todo real X se tiene
r h
Ja
-y
( / (x) + Ag(x)) dx > 0
f f ( x ) 2dx + l?Xf(x)g{x)dx + ? ? \ g{x)2dx>$
Ja
Ja
Ja
Sea Á 2 = t f { x ) 2d x , B 2 = f g(x)2dx,
Ja
Ja
C = f/(x).g(x)dx
Ja
...(1 )
... (2)
348
Eduardo Espinoza Ramos
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
a la ecuación (3) se expresa asi:
A 2 + 2A¿- + A2B 2 > 0
i
2C
...(3 )
A2
A~+-— Ah-------> 0 . completando cuadrados
B2
B2
2C
C 2 A 2 C*
A h— x-A + ——+ — ------ r - 0
B2
B4 B2 B
(A + -^ -)2 + ^ - - £ - 2 0
B2
B 2 Ba
A2
ahora (4) es cierto si y solo si —
B2
...(4 )
C2
>0
B4
A 2B 2 - C 2 >0 de donde C 2 < A 2B 2
por lo tanto:
( \ f (x).g(x)dx)2 < f f ( x ) 2dx. f g(x)2dx
Ja
Ja
Ja
2.9
EJERCIC IOS PROPUESTOS
I.
Calcular F'(x) siendo:
©
F(x) = f e ln/ dt
Rpta. F'(x) = e x lnx
©
r x*
F(x) = J senh t dt
Rpta. F ' (4x) = 4x3 senh(x4)
©
F(x) = ^ l + t 4dt
R pta. F ’(x) = —y]l + x 4
©
F(x) =
R pta. F ’(x) = 2xtJi + x*
©
F (x )= fZ - ^ 7
J-xl +, 2
Jo
Vi + t 4dt
2
R pta. F'(x) = ------ \ + x~
Integral Definida
349
(ó )
F(x) = J
cosh(2/2 +1 )dt
©
f* df
F(x)= r 177—
Ju
Rpta. F' ( j c ) = 2 cosh(8:c2+1)
Rpt a. F’(x)=-
1 + /-
(l + jc2)[l + ( f - ^ ) 2]
Ju l + / z
F(.v)=sen(j* se n (| sen3 t dt)dy)
/ '(.c) = cos( f sen(f sen 3 / dl)d\ acn( í sen 3 / di))
Rpta.
Jo
©
2
- '■■■■
1 +sen- /
F(jc)= fJ"
■">
Rpta. F' (x) = ------------------ ----------------------7 3
dt
■>
(1 + sen ,v )[l + (
-------- —)"]
■”> 1 + sen t
F(x) = f . (— -—j + 4 í + t T)dt
3t + t~
F'(x)=
Rpta.
X ~ 3x~ 6 +Vl + x 4 - 3 x 2 t] i + x 12
x(x + 3)(x~ +3)
©
Rpta. f W = ^
J'eX—ln t dt
t
2
F(x)= f , ln/ dt
Jx2
14)
Jo
dt
r>3
©
Jo
ln2 1 dt
F (.v )= J
F(x) =
f
x
Rpta. / "(*)= —
ex
Rpta. F'{x) = - 4 x \ n x
Rpta. F'(x) = 2xln 2 x 2 - l n 2 x
(eos t + t 2)dt
Jse n Jt
Rpta.
F'(x) = 2x(cosx2 + ,c4)-(cos(senjir) + sen2 a')eos jc
350
16)
Eduardo Espinoza Ramos
F(x) = \ * x \ f ( t ) d t
f v!
FU ) = |
Rpta. F'(x) = 2x [ f( t) d t + x 2 f{x)
Jo'
dt
Rpta. F 'U ) = -
Ja 1+ sen ~ t
dt
F W ’ fJ.v r1—
- /r/-—s
s ~e n /
©
—
FU) =
FU ) =
f
dt
Ch
x dt
Rpta. /■" (x) ■
2
fW = í3
'*8 '
FU) = I
+/ 3 -c tg 2 /
dt
l + sen6 / + / 2
dt
§>
rhh
Rpta. F' (x) = I
Ja 2
dt
+ / 3 -c tg 2 /
2x
Rpta. F 'U ) =
1+ sen6 x 2 + x 4
Rpta. F 'U ) = SCC * =1
1 + tg2 /
dt
—
1-tg 2/
Rpta. F 'U ) =
I sec3 x íh
FU ) =
1
senx+.Y-1
l +t ¿
-SCC; *
l - tg '( tg jf )
Rpta. F ' U) = 2jtf ‘
+—
~ tg /
tg x
F U )= r ~
tg /-
'i
1+ sen~1 x_3
w-. .
.
-COSJT
Rpta. F U) = -------- ^-------l + cos"(sen x)
J ssenj 1+ cos2 /
Ja
3jc
\j
üv
2
dx
J ' [Jj’** 4 \ ~ u 2du\dt
dt
r
(h ,
sec-
Rpta. F 'U ) — =7 - | J#[, Ü2
xdx dx
r
1-jc 3
■f
Rpta. F ’'(x) = 4 x [^ \-( 2 + x 2)2 - \ / l - x 4 ]
Rpta. F ’U ) =
2
tgx
sen 2x
2 xsen(l
+ x 2)
1+ x2
Integral Definida
@
351
F(x) = J ' 3jl + y3dy
Rpta. F'(x)=x[3xl¡\+x') -2^jl + x 6 ]
II.
©
Sea f una función continua V x que cumple la relación:
f /'(t)rf/ = - —+ x sen 2 x + —cos2x+x2, calcular f ( - ) y f ' ( —)
j
2
2
4
4
©
71
f S ( ')
2
Jx
Calcular F ’{—) si F(x) - I
f
tx
jr
Jo
x arcsen(—)dt y g(x)=
(se n /+ /eos/W /
Rpta. 0
(i)
Si
fes continua y x A=
(¿ )
Si
f
J3
(?)
Si
Jo‘
(ó )
(7 )
( / (DY'dt + M x . Hallar f(3)
Rpta.
/(3 ) = ^¡9\
f{t)dt = g(x) y f { x ) ~ ------l— . Hallar g(x)
1+ x
Rpta.
g(x) = -x + c
f{t)dt = 2jr+3
Rpta. f(\2) = -
Hallar f(12)
fCIgjr/'(/)rfr = —ln|sec2x + tg 2 x |.
-
Si
2
f/ (7)rf/ - -2-J] - sen x ,
Hallar / ( —)
2
Hallar f(x)
Rpta.
— —4 - ;r
Rpta.
/( * ) = .J—
a/ I - ji
Rpta.
ji —1
Rpta.
^
j3
J /(/)r f/= g(x) y f \ x ) ~ - ] \ - x 2 , Hallar g(7i)
(£ )
Si
®
Si1 / ( 0 * = * - - ^ . hallar
2
*
2
4
3
352
Eduardo Espinoza Ramos
10)
Una función g definida para todo número real positivo satisface las dos condiciones
siguientes:
g ( l) = l y g'(x2) = x 2, V x > 0, Calcular g(4)
Rpta.
(íí)
Si ^ f ( t ) d t = x 2{\ + x) Hallar f(2)
^ 2)
Sea / ( / ) = ^ 4 + t 2 + f
Rpta.
,-^U . si se define
2V 4+ m2
/ / ( jc)
= f
67
g(4) - —
2 + 3^2
J{t)dt.
Calcular D 2H(x) p a ra x = l.
Rpta.
_ 2_
■JE
f f ( t ) d t = J x + J } . Hallar f(17)
J-v3
14)
Rpta.
—
32
Sea f una función derivable tal que /(O) = /'(O ) = 0 se define las funciones.
r*
rír(*)
,
g ( x ) = \ f ( u ) u , H (jc) = I
f(t)dt. Hallar D //(jc) parax = 0
J £(*)
JO
Rpta.
(Í5)
Si
200
í 3r 1 f(t)dt =— + a x , Hallar el valor o valores de a para que f ( - ) = —
Jo
ax
4
3
Rpta.
Demuestre que:
^
a = -2 ó 1
rb 2 x d x r]+h2dt
—
I ------ —L i +x2 W t
entonces D 2H(x).
Demostrar que si f es continua, entonces: J f{ u)( x-u )d u =
considerar F(x) = f f(u)(x-u)du
Jo'
después derivar
Rpta. 0
sugerencia
F'(x) = f f(u)du
Jo
hallar un antiderivada y calcular la constante de integración calcular F(0).
enseguida
Integral Definida
19J
353
Aplicando el ejercicio (18), demostrar que:
j f(u)ix-u)du = 2 j (£~ ( £ ' /(')< * )rf“ i )du2
®
c-
„
f A1)
dt
H(x)=\
,---- —
JkM(W i-.t2) r
Si
,
,
en donde
I
rarcsen(cosx)
llsenx
f(sent)dt = J ---------V1+ sen *
f _ Jg(t)di = a/1 -cosjc . Hallar //'(x )
J>/I
Rpta.
y
H'(x) = —
*3
Sea f una función derivable tal que /(O) = /'(O ) = a , se define las siguientes
rírM
funciones: g(x) = I f ( u ) d u ; //( r ) = I
b f ( t ) d t donde “a”, “b” son constantes.
Jo'
Jo
Calcular H'(x) parax = 0.
22)
Rpta. H ’(0) = a 2b
Existe una función f definida y continua V x e R que satisface una ecuación de la
fM_/*C/>rf/ = Jf,1 t 2f(t)dt + -X^I*- X+ —^1*- + c , donde c es una constante. Encontrar
Jo
forma
una fórmula explícita para f(x) y hallar el valor de la constante c.
Rpta.
23)
^
Si 0 < a < x < — , Calcular D 2X{ \
2
xXi a t
F(x) = 2x15; c = - ^
+ í — —— ]dt\ en x = —
i, 1+ COS u
4
Rpta.
24)
Sea
f una función derivable
G(x) =
r/ (0
/(1) = /'(1 ) = /"(1 ) = 1
^ 1 _ 2 + V2
n~
se define la función:
x f(u)du . Hallar la segunda derivada de G en el punto x = 1.
Rpta.
G"(l) = 4
Eduardo Espinoza Ramos
354
Si F ( , ) = r 2 ' r' d í , calcular F'(x), F'( 1)
JjT+1
®
Rpta.
(2ó)
F'(x) = -x.2~*4*2x* +(l + 2jr)2“(jr*r )2; F '( 1) = - —
16
Sea F(x) = p
2
f ( t ) d t , donde f: 1 —> R es una función continua y <pl ,<p2: i —> 1
son funciones derivables. Probar que: F ' (jc ) = f \<p2 (x))(p\ (jc ) -f(<Pi (x))xp[ (jc )
2dí tx'
r "hA dtdi „
1
cx t t dt
Calcular el limite lim —( j c — | —— z—
~^r)
*-,<>/,
Jo i + ¡2 Jo 1+ /
®
_ A
Rpta.■
1
1+ j r
pfc/2 -8 *
®
Calcular lim — I
sen(/ )dt
A->0 /, JVÍ/2+7*
Rpta. — =•
-y¡2
®
1
rx+h
7
fx+A 7
Calcular lim —( jc —I sen t d t - \
eos t dt)
h-to h
Jo
Jo
Rpta. 1
®
1
J
15
•senx . -
-Jtgídt
caicuiar n m —
h-tQ f«8* ,------ ,
I Vsen / dt
Jo
Rpta.
^
h—>0 J 6/1
(m )
Calcular lim f sec t 2dt
4
) J6/1
2 f(t)dt
Si f(x) es continua en [0,31 calcular lim [ 2h
A -+ 0 JJ2
2
(3 3 )
Sea f una función continua. Se define las funciones siguientes:
6 2
)
H(t) = / 3 +
Jo'
1
Rpta.
Rpta.
f 2(u)du , G(x) = T x 2H(t)dt.
Jo
Hallar la segunda derivada de G en el punto x = 1 sí If ’ / ~7 (u)du = a
Jo
f(2)
-1
Integral Definida
(3 ^
355
Usando el criterio de la segunda derivada compruebe que la función definida por:
f(x) =
dt
C*2"1
—= = = = = , alcanza su valor mínimo en x = 0.
J- ' W / 4 + f2 +1
Calcular
i
D~F{y)
para
y = 2
donde:
g(jr) = ( - l + x)in + f
Rpta.
(-1 + m)
36)
Jl
4y
g(x)dx
y
D;.F(2)=~
3
Encontrar una función f(x) y un valor de la constante c, tal que:
r
x2
\ t f { t ) d t = s e n x -x c o s x
, Vx
Jc
2
( 3 ?)
f1+4X
F(y) = I
Rpta.
f(x) = senx—1, c = 0
Sea f una función continua sobre <-oo,qo>, tal que /(1) = /'(1 ) = 1, se define
H(x) = f (x2 - a ) f ( t ) d t sabiendo que f f(t)dt = %a . Calcular //"(1 ).
Jo
Jo
Rpta.
®
H ”(l) =27 + a
cx 1 + sen t
Dada la función ffx) definida para todo x por la fórmula f(x) = 3+ I
— dt,
Jo
2 +t 2
hallar las constantes “a”, “b” y “c” del polinomio cuadrático P(x) = a+ bx+cx1
sabiendo que:
P(0) = ff0), P'(0) = f ( 0 ) , P"(0) = f " ( 0 ) .
Rpta.
a = 3, b = —. c = —
2
4
Sea f una función continua en R, y F(x) = í f ( u ) ( x - u ) 2d u , x e R. Hallar
Jo ‘
F ”(x) en su forma mas simplificada.
Si f es periódica de período P continua en R se define G(x) = f f { t) d t . Demostrar
Jo'
que:
a)
Si f es impar G es una función par.
b)
G(x + p) = G(x) + G(p)
356
Eduardo Espinoza Ramos
(41)
Probar que si x > 1, lnjc =
(4 2 )
Pruebe quesi /
( jc )
= 2(4x - 1 ).
= J f ( t ) d t , V x entonces f(x) = 0, V x.
Demostrar que si H es continua F y G deiivables
J(x)=
JF(jt)
H(t)dt
entonces
J'(x) = H(G{x))G'(x)-H(F(x))F'{x).
Í0 si X < 1
r*
Dado F(x) = <
y si //(jc) = I F(x)dx. ¿En qué puntos es H' (x) = F(x) ?
[1 si x >1
Jo
45)
Sea
f
una función real, biyectiva, creciente y derivable, se define
(■/(*) ,
/ ( jc ) = I
/ (t)dt, V x e R. Demostrar que si a < b, entonces 3 c e [a,b] tal que
Ja
I(b)-I{a)
f(b)-f(a)
(4ó)
Sea f una función continua en [l,+*>>, con f(x) > 0, V x > 1 sí:
F(x) = J / (t)dt < (/(jc))2, x > 1.
( 4 7 ) Sea f una función continua en [0,+°o>, con f(x) ^ 0, V x > 0, Demostrar que sí
[/(* )]2 = 2 f f (t)dt, V x > 0 entonces f(x) = x, V x > 0.
Jo
Pruebe que si f(x) es derivable y f'(x) = c f ( x ) , V x entonces existe un número K tal
que /
( jc )
= kecx, V x.
Demostrar la siguiente igualdad:
I
t
-d t+
Jl/e l + t 1
frt£-r
I
)\!e
1
— dí = l
/(1 + / 2)
Integral Definida
50)
357
Sea f|x) una función positiva continua. Demostrar que la función <p(x) =
[m dt
Jo
es creciente para x > 1.
(s i)
52)
Hallar todos los valores de x > 0 para los que 11 [| 1 1]2dt = 2(x -1)
Sea f una función derivable en <-oo,oo>, tal que /(1) = / '( l ) = 1 se defínelas
siguientes funciones H(x) = ^¡7 + x 3 + [f
f(t)dt
y G(x) = í H(u)du . Hallar
J /< * )
J7
D 2H( x ) , para x = 1.
53)
a)
Probar que
1
m3
1+ M
= 1- u +u 2 -------- (la división puede continuar)
1+ M
J 'x d t
— , hacer la sustitución t = 1+ u, dt = du y hacer el
i t
J *x—\
o
c)
f-I-l
,
Combinar los resultados de a) y b) para obtener lnx = I Q - u + u
Jo
ó l n x = ( x - l ) —- ( x - 1 ) 2 + —(x -1 )3 - R
2
d)
Probar que s i x > l
3
donde R = f
y 0 < u < x — 1, entonces
Jo 1 + M
^
.
1+ m
y3
)du
1+ y
du.
—— < m3 , deducir que
1+ M
r-i ,
(x -1 )4
R < V u3du =Jo
III.
©
Aplicando el teorema fundamental del cálculo, calcular las siguientes integrales
definidas:
r , (x + 1)3í£c
Rpta.
4
Eduardo Espinoza Ramos
358
©
1V!*
Rpta.
18
©
^(5* 4-4x 3)dx
Rpta.
2
©
f1 xdx
I
"5
1
Jo(x2+l)3
Rpta.
3
16
©
J (3xz-4x +2)dx
Rpta.
11
©
J 3 x ^ 4 - x 2dx
Rpta.
-8
Rpta.
13
6
Rpta.
—-81n3
3
©
f2 x3+ 2x2 +x+4
■»
2
(x +1)2
f1 x*dx
,
dX
©
J-ix +2
©
f1 (x2+2x)dx
03/x3+3x2+4
Rpta.
2-3/2
©
fljf + l dx
Jo x +1
Rpta.
5
6
Rpta.
6215
12
Rpta.
¿4-1
Rpta.
62
27
©
r3 xexdx
©
Jo (1+x)2
©
jj(x-l)(3x-l)|dx
359
Integral Definida
©
29
Rpta. —
j" | x - 3 1dx
'" i0
\dx
(2 -x )(x +1)
Rpta. 1.33685
©
fl
©
J |c o s x \dx
Rpta. 2
©
J \x-2\dx
Rpta. 20
©
J 3-s/3+ | jt|rfx
Rpta. 8-v/6 -4 V 3
©
Jp /jxl-xdx
Rpta.
f1 xdx
©
2-J2
Rpta. 0
J-i l + | x |
( V +>
j 2 X+6
Rpta. 5 + 5 ln(~0
J * | x 3 —4 x |í £ c
Rpta. 116
@
J j x - 2 | 3 dx
Rpta. ^
©
J x \ x —3\dx
Rpta.
©
f 3 | xI2 -'146 |
J-
Rpta. 6 + 3 ln 7
@
@
*
16
- y
360
Eduardo Espinoza Ramos
©
J (| sen x | +x)dx
Rpta. 4 + 27T2
©
rn/2
J | sen x - eos x \ dx
Rpta. 2-\¡2-2
Rpta. 2
©
©
j V
+ i|] d x
Rpta. 4
©
Rpta. -3
©
Rpta. 2
©
©
£ [|jr |]se n ^ d x
30
Rpta. —
7T
j \ | 4 - . r 2 |+ [|4 -jc 2 |])dx
Rpta.
Rpta. 13
©
©
j'* \ x 2 - 4 x - \ 2 \ d x
©
r2
J4
dx
r2
Rpta. 104
Rpta.
É
(2-v/2+V 3)
4
©
£ J\x-l\*{\x-2\]dx
Rpta. 3
j^\2x-l\-[\x\]dx
Rpta. 2-^3
Integral Definida
361
Rpta. j
J 52 (19-jc 2 I-jc2)dx
4^
J ( x + iyJx + 3 dx
Rpta. - j j
§>
£ sen 2 mecos2 me dx
Rpta.
f1
3 ,me .
| sen (— )dx
Jo
2
rnl2
I sen 3xcos
Jo
_
4
Rpta. —
H
3n
3
Rpta. —i
v 12
xdx
r* '4
I tg x dx
Jo
[46)
r-N
47)
J (senx-eosx)dx
J
n
Rpta. —+ 1
_
n
1
R p t a . -------4 2
Oe
f ’r/4,x s e n x l .
48)-------------(----—)dx
^
Jo
eos x
J
§>
£ xsig{cosx)dx
s i g ( x - x i )dx
J
*J2
J-^/2
(3 )
: 2r 3^
ll[|xr “2 ++ l|]
1II
1 sec
i ’ ''™2 " * X
1
2
Rpta. 0
1
(—+ cosx)dx
49)
1
2
R p t a .------- ln2
Rpta. -1
Rpta. - -
dx
d*
Rpta. - l [ 8 + ( l + 2V2)3' 2 +(2-y/2-l)3/2]
‘ 6o
Rpka. 2-V 3
362
©
...
54)
55)
‘ J
Eduardo Espinoza Ramos
,n/6
„
í sen 2x eos 4x dx
.
2+3^3
Rpta.
24
r2nn
d6
I
Jo
5 + 4cos0
n
Rpta. —
9
f 'r' 3
I
Jo
r
Jo
57)
^
^
>¡
*
105
’— * —
3 + eos 2x
R p la
8
r,t/3 c o s 2 x -l ,
------------ dx
Jo eos 2x +1
_
n
R p ta .
4
p w xA
J«/4 eos x —eosx+ 4
^
I
r*12 eos jt dx
—
Jo 1+ sen x
(60)
J 2 tsent 2 cosí2d/
®
f - ’t/4 cos3 x
c
„
7r
Rpta. —
4
Rpta.
sen2 7r2
3 4 ^ 2 -^ 4
7 ! --------4
R P ta -
Veos x —eos3 x dx
Rpta. - j
f2"1 1
1
|
-— sen— dx
J l/íT
[2
T
,
1
i ln |l ± 3 ^
3
7-3V 2
T r = dx
J-"'2 Msenx
©
856
sec x te x dx------------------------ Rpta.------
J]
8
Rpta. 1
*
r*n
dx
I ------------------—
Jo sen x + eos x + 2
Rpta. V2 arctgí-V^)
2V2
363
Integral Definida
tn/2
dx
sen x + cos x
Rpta.
©
I sen 5x cos 3x dx
Jo
Rpta.
©
1
Jo
®
©
Jo
©
©
©
@
Jo
fitn
(l + sen0) d6
Rpta.
20
35/r
3 +ló "
1
M. 3
c tgxln(senx)dx
J?r/ 4
Rpta. |[ 0 n ( | ) ) 2 - ( l n ( ^ ) ) 2]
f arctg(-v/x)dx
Rpta. 1-1
f 1 / 2 jc
arcsen x dx
2
Rpta.
^ 1 -x 2
f 71 7jr
I e _Jr senx dx
Jo
Rpta.
J x ln x dx
Rpta.
©
©
,
rrt/2
*
f12 x (l+ x 2)1/2dx
Jn
1
2
W3
12
e 2* +1
5
,
.
3
Rpta. 1-1
4
Rpta.
2 (2 ^ 2 -1 )
364
Eduardo Espinoza Ramos
©
fV ü - x W
Jll
r
@
fl x U l - x 2 ) V 2 d x
Jo
©
r^2
x 9d x
Jo
(1+.T5)3
p
dx
r
(X_1)
Rpta.
Rpta.
Rpta.
J1jc(l + ln 2 jc)
©
Rpta.
rfr
Rpta.
128
5967
2n
256
2
45
n
7
ln ( 3 + 2V2
4-^/Í5
4 x 2 —4jc + 3
©
r2
dx
JoJC2 +3.X- + 4
r 1' 2 3 aresen jc ,
Rpta.
Rpta.
i
©
©
p
xdx
Rpta.
f (jc2 +4jc)-\/jc3 + 6 jc 2 +1 tic
f 2
dx
©
©
p
(2jc3 + 18)íic
Jo(jc—3 )(jc2 + 9 )
p
dx
~2 -J&+ 2 X - X 2
1v ' “1Llte V '
tt3
~4~
n-2
8
Rpta. | ( 8 # - 1 )
Rpta.
4 - J - x 2 —6 jc —5
©
7
Jo(jc + 1)2 (jc2 +1)
Jo
^
n
y
, ->
a -----ln2
55
— 7 tt
Rpta. 6
18
Rpta.
n
~6
9
o
_
7
365
Integral Definida
Xn i dx
p/^2
Jo
Rpta.
4 a 1 - x 2”
r
e2xdx
71
6n
Rpta.
e— 2
2
*~24l-e2x
©
J Jx-j2-x dx
Rpta.
n
4
©
Jo
T V1—
P Jt*
Rpta. arcsen(—) + —
5 5
©
f 42
' P-x *
Rpta. 42-ln(l + 42)
io
J ln42-xdx
Rpta. l n 2 - —
2
©
Jf -iJ\3]~+ Xdx
x
Rpta. 71—2
®
f 4x
r +1
1
©
®
J-l/2 Vl-X
©
©
Rpta.
23
3
1x 154l+3x*dx
Jo
f
Rpta.
29
270
r p
Rpta.
r16
Jo
*
dx
4*+ 9-Jx
> "2
Rpta. 12
X2dx
p /3 /2
,5
7T
y
15
Rpta.
4
y
366
©
102)
Eduardo Espinoza Ramos
1 l+.r
—dx
Rp
1' l+x
Jjcarctgx dx
^03) J
x2sen3x d x
dx
'5/2
fW 16 .y
Jo
x
d x
arcsen4 x .
dx
Jo -yjx(\ —x)
f -Jl-e* dx
Jln(3/4)
j—5-5Ví
dx
I
--------- .
Jl5
(jr + 5)Vl0.r + .r2
,
7T ln2
4
2
Rpta.
2n
T "
Rpta.
7 r 2 --4
27
$
2
Rpta. —
H
3
R p ta .
41n(2 + ^/3)-2>/3
_
n2
Rpta. ---4
Rpta. In3 —1
n
R p ta .------60
367
Integral Definida
(m )
Rpta. In2 + —- 2
8
J|'ln (jí + l)íit
R p,a.
J^/sTT x^ ^1(,x22 -~>\5
-2)
(m )
Jo
£16)
J
l +x
8
cos-J2x dx
dx
í
j"
©
48
Rpta. — in 2
W
©
27
_
Rpta.
^ T T + x /íjc + d 3
e3jrsen4xdx
r arcsen
r
Rpta. -2
á
dx
J o 7 -7 !r = r
r1 -Je7 dx
i
h 4ex + e x
71
6
Rpta. - ^ ( l + e(3,r)/4)
Rpta. ~ - ^ ¡ 3
„ .
/r
T
e + ^ l +e 2
Rpta. ln(-------- p — )
1+ V2
f12
2
— ,---------■■
Jíl x -J (x -2 )2 - 4
.
2 ">^
Rpta. — j= Vó
f29 V^ ” 2) 2 ,
| — ,
= dx
j3 3 + ^ 2^
n .
p 3^
Rpta. 8 +
n
2
jV ^ d x
Rpta. ~ ( e n 2 -1)
Eduardo Espinoza Ramos
368
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
f 2 a/ 4 - . t2
I -----------dx
Jl
r4
dx
k-Jx
>/3
Rpta. —
4
„ * , ,7 + 2>/7\
Rpta.
In(---------- )
+ 5.r + l
f
™
J' - t i x W l
Rpta. H
3
,inse VgJ ~ l dx
Jo
Px + 3
Rpta. 4-rr
(1 + .TZ)dx
J-i .Í
J ía
-n/4T -Z. Z
t2
(4 —x 2)2
arctg-y/Vjr + ldx
|f7 ,
J i -n/^ 72
f7' 2
_ ,
23^
Rpta.
72
Rpta. Iy^-2-y/J
o Rpta.
* 652
-----
15
dx
■» 2 (5 + 4 x - x 2)5' 2
_ 4
2
P a "9^3
r1
x dx
I --------- ,
(2 -xyji-x2
Rpta.
fn'3
J senxln(l + senx)dx
7T 1
Rpta. y - —
r3 2x3 +18
| ----------dx
Jo (x+3)(x~+9)
f
J1/2
+
ln(4x2 l)dx
- 7 r
27r
------3
Rpta. 6
1.
-v/3
ln(l +—y )
55
77r
ln 2 -----IR
9
Rpta. l n ( ~ )
-v/2
+arctg 2 -1-—
4
Integral Definida
369
137)
rní 4---------------- .---2
7
( x v cosx+^/tgx + sen x ecm * + eos x)dx
J-ir/4
138)
J
139)
©
jc 81
eos x d x
Rpta. 0
-------------------“
fleos x + 6 sen
f
J()
7T+ 2
Rpta. -----4
Rpta*
x
'Jab
f1/2
1+x
[cos(sen x) ln(
) + 3x + 41dx
J-i/2
1—x
Rpta. 4
f 2[(x5 + x3 +x)-J\+xA + 3]dx
Rpta. 12
r1 / 2
1+ X
cosxln(-----)dx
J-1/2
1—x
f*28
I x in sen ox
J-jt/8
Rpta. 0
dx
Rpta. 0
r ^ V l+ x 2 .
— dx
*
x2
145)
Vfl
„
/-
2
, ,2 + >/v
Rpta. v 2 — j=+ln(-------n/3
1+ ^2
f!
A
x 5-\/-X2 -1
R p... 2L + ^ _ 4
^
^
IV.
f 71 ¿
I Q b I UX
0
Mostrar que
©
Demostrar que:
-Jsen xdx
n
.
— .
=—
•’o Vsen x + v eo s x
4
Demostrar que:
^ \ t \ dt =- íií- í, V x e R
71
—-— —------— = —,
Jo a eos x+ b sen" x 2
cualquiera distinto de cero.
rnl 2
donde a y b son números reales
370
( 4)
©
(ó )
Eduardo Espinoza Ramos
Demostrar que: — \ { y ~ x ) f'{ y ) d y = /(O ) - f(x)
dx Jo
Demostrar que para todo x real
1: (t+\t\)2dt = ^ x 2(x+\x\)
Hallar el valor de c tal que f(x) = x 2 - 2x + 1, f(c ) =
Rpta.
f(x) dx
2
c = 1 + —j= g [1,3]
V3
Demostrar que:
©
r
dx
rnl¿ senx ,
—=
— — dx
Jo árceos x Jo
x
Hallar un polinomio cuadrático p(x) para el cual p(0) = p (l) = 0 y J p(x)dx = 1
Rpta.
p(x) = 6 x - 6 x 2
Demostrar que:J 2[| x \\dx = y
^ 0)
Probar que: j f (x) dx = j f ( a + b - x ) d x
Evaluar j x f " ( 2 x ) d x , sabiendo que f(0) = 1, f(2) = 3, / ' ( 2) = 5
®
Resolver la ecuación
fv
¿\
ji
_ —= = = —
Rpta.
x=2
„
Rpta.
n
—
12
Rpta.
2
‘2
13}
©
Calcular
rniy
-\/secx dx
—= = — .
J^/6 vsecx +-yjcosecx
Hallar un polinomio cubico p(x) para el cual p(0) = p(-2) = 0,
3J0 p(x)dx = 4
Rpta.
n
sug: z = ----- x
2
p(l) = 1 5
p(x) = 4x + 8x2 + 3*3
y
371
Integral Definida
15)
Demostrar que, si f es continua en [-3.4], entonces:
j~f{x)dx +j f(x)d x +J^f(x)dx +J^ / (x)dx = 0
^ó)
Demostrar que. si f es continua en [-3.4], entonces:
J^f(x )d x +J/ (x)dx + ^ f ( x ) d x + ^ f ( x ) d x = 0
17)
Demostrar que, si f(x) es continua en [a,b], entonces:
^ f { x ) d x = (f>-cr)J / (a + (b-a)x)dx
(Í Í )
Demostrar que 0 <
W
4
Jo
arCt^'t d x < — n 2
3+x2
36
^9)
Calcular la siguiente integral
J/ (x)dx
@
Hallar ^[^F{x)G(y)dyfix
(21)
Demostrar la siguiente igualdad
Calcular /'"(O), sabiendo que:
J
si f(x)
=|x—2| +|x —11
ln(sen2 6 + x 2 eos2 6)d6 = ln(^-^-)
J [ / ' ( x ) + /'" (* )] cosx dx = 3, así mismo
/'.
son funciones continuas en [0,y ] y f ' ( ~ ) = 0
Calcular 1 = í x 4F (4)(x)rfx, sabiendo que
Jo
F(6) = -10, F(0) = -20.
(24)
Calcular
x 2sig(cos x)dx
F ’"(6) = 1,
Rpta.
——
F ” (6) = - 4 , F ’(6) - 8 ,
372
25)
Eduardo Espinoza Ramos
J
Calcular
26)
Calcular
©
Calcular
16x2 - 5x + 1 1dx
—
54
J-,T' 2 sen 2x
Joo
Rpta.
el
valor
| jc| + j t
Rpta.
dx
/-----(sen jc )»4*3
de
,
jc<
la
integral
3
definida
f f(x) dx
siendo
0
/(-v) = <
t ( v |p + cos?r . x > 0
{28)
Sea f una función integrable en [a,b] y k^O, una constante real. Demostrar que:
*b
*b/ k
I f{x)dx = k I / (kx)dx
Ja
Jalh
©
Pruebe que í x dx> í x 2dx pero f jc dx< f x 2dx, no evaluar la integral.
Jo
Jo
Ji
Ji
©
Sea f acotada en [a,b] y continua en [a,b] excepto en un punto c e [a,b]. Pruebe que f
es integrable en [a,b].
I (X
Sea c g [a,b] y a e R. definimos f: [a.b] -> R por f{x) = \
0
si
V= c
si x * c
. Pruebe
que f es integrable y que [ f (x)dx = 0
Por definición una función f(x) es par sí f(-x) = f(x), V x. Pruebe que sí f(x) función
par entonces í f(x)dx = 2 í f ( x ) d x , a > 0.
J-u
Jo
33)
Dadas las funciones siguientes:
0 , x e [ 0 ,i]
-x ,
f{x)
2
-
,
x g
<
| , 2]
2. x e < 2 , 3 >
.v , x e [3,4]
,
g (jr) =
jc g [ 0 , 1 ]
l - x 2 , xe<l,2>
3 - x
, xe[2 ,4 ]
373
Integral Definida
Calcular J¿(x)g(x)dx
(34)
Rpta.
Si n e Z + , demostrar que:
dt
c)
(35)
f t l ^ l ]dt =
Jo
6
Evaluar las siguientes integrales.
a)
í sen 2jc dx
Rpta. 1
b)
J
Rpta. v3 + —
Jo
|—+ c o s / | í//
1
fir/3
c)
d)
e)
eos—d t
2
Jo
f0
Rpta. 1
dx
— ---------
n
n
Rpta. —
J- i 4 x 2 + 8 x + 8
16
í ';
x
(36)
n(n - 1)(4/; + 1)
'X
2-4
Rpta. —-ln 2
x
-5
6
senh7r
f)
J senh x. sen x dx
Rpta.
g)
J | sen x -
Rpta. 4^2
Sea
eos x \ dx
2
f: R -> R una función continua, sabiendo que
J/(2*-2)dx.
J" f(t)dt = 6 .
Calcular
Eduardo Espinoza Ramos
374
x
37)
Si
, x<2
f(x) = 2
Calcular ^ ( f{ x ) -x )d x
, 2<x<0,
x>0
\ +x 3
38)
Sean f y g dos funciones integrables sobre [a,b], pruebe la desigualdad de Cauchy
SCHWARTZ.
(
f/g)2< (Jaf f 2)(JaC
Ja
g 2)
39)
^
Hallar [f( x )d x sí f ( x ) = i * *
Jo
|2 —jc, l < x < 2
4ü)
Hallar ^ f(x) dx si f ( x ) =
x
t.
1 -x
para 0 < x < /
para i < x < l
1- /
4l)
^
Demostrar la igualdad.
í x 3 f ( x 2)dx = —
Jo
[ x f
2 Jo
(x)dx, a > 0
Demostrar que si f(x) es continua en [0,1], entonces:
Calcular la integral
f2
Jl '2
1 x+~
( 1 + x — )e
j"x /(sen x)d x = y
*dx, introduciendo la nueva variable
X
t = X+ —
X
i r ii
i
•
i
Hallar la integral
45)
f3
f'(x)dx
.
—------——si / (x) =
J- i l + f (W
x)2
(x + 1) ( x- 1)
------x 3(( x - 2 )
Calcular las siguientes integrales:
a)
J ' 2[|x|]r/x
/(sen x )d x
Rpta. 4
375
Integral Definida
b)
J(([| *|] + [|x + 2 |])dx
Rpta. 6
4ó)
Probar que:
J [| x \]dx + J"[| - x \]dx = a - b
47)
Demostrar que:
J"[| /2 \]dt = 5 - s¡2- -J3
,b
T
f b
,h
Si F(x + T) = F(x) Probarque: I xF(x)dx = I xF(x)dx + I F{x)dx
Ja T
Ju
J«
@
jj
( l- s e n ; r f . f r
^
Rpta.
(sen2 x —2 sen x + 4 )2
50)
^
f'^ ^ r /x
Joi + x 2
Rpta.
í ”—^——----Ji x —4x —5
Rpta.
e-2
ln2
6
o
( f(x) + /'"(x))senx dx = 5
Rpta. 3
f2
Jo
4X + 5
±
(jr2 - 2 x + 2)2
dx
Rpta.
9 sÍ2
6
Rpta. ^ ( 8,801
0 )’
24
54;
5?)
Calcular el valor de
J" g(x)dx
donde
g(x) = J" f ( t ) d t ,
x e R
y
Eduardo Espinoza Ramos
376
'T7\
56)
Demostrar que
^
t 'L xdx
r'au
J » l+ x 2
u
r=
—
57)
fA=(l' -O
Calcular f(2) si f es continua y J
f(t)dt = x
I
Rpta. —
58)
Si f(rt) = 2 y
59)
Si f 2 [/'"(*) + /•’"(*)]cosjlí/* = 90. /-"'(O) = 7 , calcular /•”(—)
Jo
2
[F(v) + F"(v)]senjr dx = 5 , calcular f(0)
ir
f'lnfl + .v)
n
r> arctg*
r—dx = —ln2 , calcular
dx
Sabiendo que
Jo 1 + V
8
Jo 1 + *
* F(x)dx = j" v F( \ )dx + tJ" F(x)dx
6^
Si F(x + T) = F(x), probar que: J
62)
Expresar el siguiente limite como una integral definida luego calcular el valor de la
. .. rn
n 2n
2n
nn
iin nl
integral lim[—sen— + — sen— +... + — scn(— )J—
n
63)
n
n
n
n
ii
n
Aplicando el primer teorema fundamental del calculo, hallar la derivada de la integral
definida.
i
a)
Dv(
f
->
(t + \ Y d l )
b)
Jl
c)
D,(
r
t 1d t
, -
-)
j2 V/ + 27
lg2i cosi dt)
d)
D, (J (3t*-\)dt)
Aplicación de la IntegraI Definida
377
C A P IT U L O
m
3.
APLICACIONES PE LA INTEGRAL PEFINIPA.-
3.1
ARFAS 1>C KÜGIPNFS PL lNA&En el cálculo de area de regiones planas se consideran dos casos:
ler. Caso.-
Consideremos una función y = f(x) continua en un intervalo cerrado
[a.b] y además f(x) > 0 , V x e [a.b]. El área de la región R limitada
por la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x = a y x = b, está
dado por la expresión:
OBSERVACION.-
Si la región R es limitada por la curva x = g(y) y las rectas
y = c, y = d, entonces el área de la región R es expresado por:
A{RY^gy)dy
378
Eduardo Espinoza Ramos
2do. Caso.- Consideremos dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado
[a.b] tal que f(x) > g(x), V x e [a,b], el área de la región R limitada por
las curvas y = f ( x) , y = g(x) y las rectas x = a y x = b, está dado por la
expresión.
OBSERVACION.-
Si la región R es limitada por las curvas x = g(y), x = h(y) tal
que g(y) > h(y), V y e[c,d] y las rectas y = c, y = d, entonces,
el área de la región R está dada por la expresión:
379
Aplicación de la Integral Definida
OBSERVACION.-
En él calculo del área de una región R limitada por la curva
y = f(x) el eje X y las rectas x =a. x = b la función f(x) > 0,
V x e[a.b] pero en el caso en que f(x) < 0. la región R esta
debajo del eje X en este caso el área es calculado por:
£ /< * * & !
1 3.1.1
PROBLEMAS DESARROLLADOS.-
Q
Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4v - v . v el eje de abscisas.
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
380
Como y - A x - x 2 => y - 4 = - ( x - 2 ) 2, es una
parábola de vértice en el punto V(2,4) cuyo gráfico
es:
A(R) = í ydx= f ( A x - x 2 )dx
Jn
©
Jo
2
, I a 32 2
= (2x - — )
=— u
i I 0 j
Hallar el
área de la figura comprendida entre la hipérbola xy = m 2, las rectas
verticales x = a. x = 3a (a > 0) y el eje OX.
Solución
JL
Y
1
■
xy = m~ => y = ----- , cuyo gráfico es:
r
Vi
IT r
i
<
CI
I
JKSydx=
o'
R jÉ ]—
0
~
|».W
a
3a
Ju
dx = m~ l n x /
A-
'
3^u
“
x '
/4(7?) = ni2 l n 3 u - n / 2 lno
©
i4(/?) = m 2 l n 3 u 2
Encontrar el área acotada por las curvas cuyas ecuaciones son y —e l , y = e * y la
recta x = 1.
Solución
<*
Aplicación de la Integral Definida
©
381
Hallar el área limiiada por las curvas
jc 2
- y2 = 3 ,
xy
= ± 2,
y
= ± 4.
Solución
Graficando la región se tiene:
* = V3+y2
Jy 2
i
yv
- y2 =3
'
=2
=>
2 2 2
j f - - í - ) ‘ =3
x
.y4 —3jc2 - 4 = 0
(y2 -4 )(y 2
para x = 2, y = 1 por simetría se tiene:
A(R) = ^ \
[-1/3 + y2
Jl
+1) = 0
=>
x
=±2
A { R ) = 4 A ( R X)
lrfy, por la tabla de integración.
y
A ( R ) = 4 {y ^ 3 + y 2 + 1 l n | y + -J l + y 2 | - 2 ln y]¡\
A(R)
= 4[(2VÍ9 + | l n 14^19 | - 2 1 n 4 ) - ( |( 2 ) + | l n 11+ 2 1-0 ]
A ( R ) =( 8 ^1 9—4 + 61n| 4 + ^
©
|-161n2)/v2
Calcular el área de la figura limitada por las lineas cuyas ecuaciones son
y2
= y + 1, x —
y — 1 = 0.
Solución
Calculando los puntos de intersección se tiene:
y2 —Y + 1
| V --1 - V-1 = o
Y - y - 1 =0
ly2 - > —2 = 0
( y - 2 ) ( y + 1) = 0 => y= - 1, y = 2
Eduardo Espinoza Ramos
382
A(R) = J [(.v + l) - ( v 2 -l)]rfv =
J*j C—v2 +y+2)dv = ( - ^ + - ^ - + 2v) j
A(R)= | « 2
©
Hallar el área de la figura comprendida entre la parábola
tangentes a ésta en los puntos (0,-3) y (3,0).
y =-
a -2
+ 4 .r-3 y las
Solución
y = - x 2 + 4.v-3 = 1- ( y - 2 ) 2
v—1 = - ( y - 2 ) 2 , V(l,2)
v = —x 1 + 4 y - 3
d\
dx A
3
Lx: y - 0 = -2(x - 3) de donde Lx : 2x + y = 6
dy
= (—2a' + 4)| r=0 = 4
dx a- o
L-, : y + 3 = 4(.v-0) de donde L1 : 4 _ v - y = 3
A(R) =
f
Jo
[ ( 4 y - 3 ) - ( - . y 2 + 4 y -3 )]í¿ y +
f
J3/2
[ ( 6 - 2 .v ) - ( - y 2 + 4 r-3 )]rfx
/ 4 ( / í ) = f .v2rfx+f (x2 —6x +9)dx
Jo
J? 2
3.2
A(R)=-
+ (-^ --3 jc2 + 9a )
3/2
©
9 9
4+8
9 9
4_ 4
Calculando el área de la figura limitada por las parábolas
y 2 -2 4 a = 48.
Solución
9 ,
4
A(R) = —(y
y 2 +
8a = 16 ,
y
383
Aplicación de la Integral Definida
y2 —48 = 48 —3 y7 =>
2t /6
8
y2 = 24 =>
24
y = ±2-\/6
3
(•2->/6
j-)dy = f
(4 -^ — )<*>■ = ( 4 > - - j - )
6
18
2^6
=^ /ó
2t/6
Calcular el área de la figura limitada por las parábolas y = jc 2 , y = :
Solución
^=
y =
r3
*3
^
,
x = 0, x = 3
TJ = x ‘
3
3
A(R) =
3
4
ÍU2
Jo
3
9
4
12
O
^(/?)
O' | "vT
27
4
A ( R ) = 9 - ^ - = ?-
3
Eduardo Espinoza Ramos
384
®
Calcular el área de la figura limitada por las lineas y = lnx
v = ln2 x
e
Solución
y - ln x
ln2 t = lnx
v = ln2 v
ln(x)(lnx — 1) = 0 => lnx = 0 V lnx —
= l n 2x
x = e°, x = e’ de donde x = 1, x = e
A(R) =
(ln v—ln2 x)rfx = ( 3 x l n x - x l n 2 J t - 3 v f
h
A(R) = 0 - e ) u 2
10)
ln jc
Calcular el área de la figura limitada por las lineas v = —
4x
y=xl nx
entonces
3-21n22-21n2
,
A(R) = ---------------------- u~
16
385
Aplicación de la Integral Definida
©
A un ingeniero civil se le encarga construir en un terreno que tiene la forma de la
siguiente región en el plano, el cual esta limitado por las curvas y = 3 - x 2
e y = -x + 1, medido en decámetros ¿Cuál será el área techada en el primer piso si se
quiere dejar un tercio del total del terreno para jardines?.
Solución
Para graficar la parábola, hallamos el vértice.
y - 3 = - x 2 => V(0,3)
ahora calculamos los puntos de intersección
íy = 3 - x 2
-x-2 =0
iv = - x +\
x =-l
x =2
de la región total se debe tomar los 2/3 por lo tanto el área techada es
A t = ^ J [(3-A'2) - (- jr + l)]<¿r = yJ ' (2 + x - x 2)dx
= —[(2.v + — - — ) / 2 ] = —[(4 + 2 ——) - ( - 2 + —+ —)] = 3
3
2
3 / i
3
3
2 3
AT = 3(10)2 = 300 m 2
Luego transformando en metros tenemos:
Y2)
La forma de una piscina es como la región del plano dado por las curvas x = y 2
x = y 3 ¿Qué área ocupa la piscina? (es dado en decámetros).
Solución
A=
r1( y - i—y )dv
i = (- v3 vA
/* i
i i
i
— ) / = ( -------) = — dm que en metros es:
Jo '
3 4
/ o
3
,
A =
4
100
12
12
ni
7
Eduardo Espinoza Ramos
386
3.1.2
©
' PROBLEM AS PROPUESTOS.Hallar el área de la figura limitada por la curva y3 = x , la recta y =1. la vertical x = 8.
D
* —
31 u 2
Rpta.
©
Hallar el área de la figura limitada por la curva y = jc3 , la recta y = 8 y el eje OY.
Rpta. 12k 2
©
Hallar el área comprendida entre las curvas y 2 = x 3, y 2 = x
Rpta. — u
15
©
Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y = 4 - x 2 , y = 4 —4x
D * —
32 u 1
Rpta.
©
Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y 2 =4x, 2x - y = 4.
Rpta. 9u2
©
Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x(x —1)(x —2) y el eje x.
Rpta.
(i}
Calcular el
área de la región limitada por la gráfica y = —
, el eje X y las
1+ JC~
rectas x = -2, x = l .
Rpta. (lnlO)w2
©
Calcular el área de la figura limitada por la parabola y = 2 x ~ x 2 , y la recta y = -x.
387
Aplicación de la Integral Definida
Calcular el área de la figura comprendida entre la línea y = —
y la parábola
1+ X~
2
X
y =— .
®
„ .
/7T
,
1. 2
Rpta. ( y - - ) w
Encontrar el área de la región acotada por la curva y =
w
^
jc
x = 4, x = 5.
©
—
3
el eje X y las rectas
Rpta. (21n2)«2
Determinar el área de la superficie limitada por los arcos de las tres parábolas
jc 2
= 9_v-81, x 2 = 4 y - 1 6 , x 2 = j - l
la región no se intercepta con el eje Y.
Rpta. 16 u 2
^ 2)
Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x 2 , y = x + 2, _y = - 3 x 2 + 8 .
Rpta. — u 2
6
13)
Encontrar el área de la figura plana que forman las curvas
I—
y = ±'\¡x .
14)
7
Rpta. — -=u^
W 51
Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = x 2 , y =
recta y = 2x.
15J
4
y = - J l - x —Jx ;
, y la
Rpta. 4u2
Hallar el área mayor encerrada por las curvas x 2 - 2 y 3 = 0 , x 2 - 8y = 0 , y = 3 .
Rpta. ( y + 5 v /3 )u2
16)
Hallar el área de la porción en el primer cuadrante limitada superiormente por y = 2x e
inferiormente por y = x^¡3x2 +1
Rpta. —w2
388
©
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola x 1 - y 2 = 9 , el eje X y el
diámetro que pasa porelpunto (5.4).
18)
Rpta. 4u2
Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y = 6 + 4 . v - r 2 y la cuerda que
une los puntos (-2. -6)y (4.6).
20)
Rpta. 36n2
Hallar el area de la figura comprendida entre las curvas yx 2 = 2 , x + y = 4, x = 1.
Rpta. —u
x = 2.
21)
i
Calcular el área del trapecio mixtilineo limitado por la linea y = (x2 + 2x)e * y el eje
de abscisas.
19)
45
Rpta. (— + 91n3)w
4
4
Hallar el área limitada por las siguientes curvas:
a)
..
b)
y 2 =2jr, y = - 4 + x
jc
2
a
= 4ay , y = —
Rpta. 18«2
802
T
x~+4a~
/ t ■> 4o2 i
Rpta. (2a~n
)u~
3
c)
}’ = x 2, y 3 = x , x + y = 2
Rpta.
d)
y = 4 x 2 - 3 , y = |x —11, y = O
Rpta.( |d n 3 - y ) « 2
e)
y —x 2 +x —4, y = x, y = 8 —x.
f)
y = 4 —l n ( x + l ) . y=l n(x + l), x= 0
Rpta. 2(e2 - 3 ) m2
g)
y = *2-2 |x |+ 2 ,
Rpta.
b)
v = jc3- 3 jc,
y=x
y = -|
y ~ w2
u2
Rpta. 8»^
Aplicación de la Integral Definida
(22)
¡)
y 2 = 4 x , jc = 12+2y - y 2
Rpta. 54.61 u2
j)
y( x2 + 4) = 4(2- x ) , y = 0, x = 0
Rpta. ( y - ln 4 ) ti 2
k)
x - e y , x = 0. y = 0 , y = ln 4
Rpta. 3u2
1)
y = 2 x + 2, jr = y 2 +1, x = 0, y = 0, x = 2
Rpta. (15 + y V2)I/2
11)
y - sec2 x , y = tg2 x , x = 0
Rpta. ( f - l ) « 2
m)
y = x 2, y = 8 - x 2 , 4x —y + 12 = 0
Rpta. 64«2
n)
y - 3jc5,4—x 4' 5, y = 0, x = -l.
Rpta. I V
7
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas y = senx, y = cosx con
xe[ —
4
(23)
389
4
Rpta. 2s¡2u2
)
Hallar el área de la región limitada por los gráficos y = arcsen x, y = árceos x, y = 0.
Rpta. (a/2 - l ) i / 2
(24)
Hallar el área de la figura limitada por la línea en donde y 2 = x 2 —x 4.
D
4 ■>
Rpta. —w
3
(25)
Hallar el área comprendida entre las curvas y = e r , y = lnx, x = -l, x = 2, y = 0
Rpta. 6.63a2
(26)
Hallar el área de la región limitada por el astroide x 2‘3 + y 2'3 = a2 3
_ .
3a2n i
Rpta.
u~
H
8
390
(27)
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el area de la región comprendida entre las curvas y = xe%2x2,
y = x.
Rpta. ^ - u 1
(28)
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas y ( x 2 + 4) =
Rpta. 2(tt+ 2 )« 2
3jc2 - 4y —8 = 0
(29)
Hallar el área de la figura comprendida entre las curvas y = \¡x +1 - V-v -1 , x = -1,
Rpta. 3^2 « 2
x=l
(30)
8,
Calcular el área de la figura comprendida entre las curvas y = x 2e*~x , y = 4x.
u * g 8 - 73 u 1
Rpta.
4
(31)
Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x. el eje X y la recta
x—
(55)
Rpta. (In2) u 2
Calcular el área de la figura comprendida entre la línea y = jc(jc—1)2 y el eje de las
Rpta. — u 2
abscisas.
^ 3)
Hallar
el
12
área
de
la
región
y = |jc3 -4jr2 + jc+6|, 3>' + .v2 = 0 ,
(34)
limitada
x
= 0,
x
= 4.
por
los siguientes gráficos de
Rpta. -^^m2
6
Hallar el área limitada por las curvas y = x i +3x2 + 2. y = x i +6x2 - 2 5 .
Rpta. IOS u 2
(35)
Hallar el área limitada por las lineas: y, = x 2 -5jc2 -Sjc+12 , y = x 2 - b x 2 +2 1.
2 ,
Rpta. 166 —u
Aplicación de la Integral Definida
(36)
391
Calcular el área de la figura limitada por las curvas siguientes:
a)
y = |x —11, y = x ~ - 2 x , x = 0, x = 2.
7
7 7
Rpta. —u~
b)
y = |x —2| —|x —6|, x —y = 4
Rpta. 8
c)
y = | x —2|, y + x 2 = 0 , x = 1, x = 3
Rpta. — u 2
d)
y = |x —5| —|x + 3|, x + y = 2
Rpta. 34u 2
e)
y = x - x ~ , y = -x
í)
y = x 2 + x , x = 0, y = 2, y = 0
g)
y = - — j-, y = 0, x = -1, x = 2
i)
y = x~, y = 2 x - l , y —4 = 0
■v
j)
2 cos x
x = 0, y = tgx, y =—
3
Rpta. (—-ln(-^=r))«2
3
\¡2
k)
y = arctg x, y = á r c e o s^ , y = 0
Rpta. ( y - ^ l n ( y ) ) u 2
1)
y = aresen x. y = árceos x, x = 1.
Rpta.
II)
j' = j r \ y = x 3, x = -l, x = 2
Rpta. “ W2
m)
v = | jc2 —11. y = 3
Rpta. 8 « '
7
1+ jc
7
6
4 2
Rpta. —u
5 7
Rpta. —u
4
Rpta. [1 + — - a r c t g 2 + —ln(-)]w 2
2
2
5
7 7
Rpta. — vu 2
12
- -Jl - 2)u2
392
Eduardo Espinoza Ramos
n)
(37)
y = 3 x - x 2, y = j c 2
-
Rpta. ^ u 2
jc
Calcular el área de la figura limitada por el eje de abscisas y la línea x = y 2 (y - 1)
D
1 2
Rpta. — u
12
(38)
Calcular el área del segmento de la parábola y = x 2 , que corta la recta y = 3 - 2 x .
» ♦ —
32 u 2
Rpta.
(39)
Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y = x(±Jx) y la recta x = 4.
u
. —
125- u 2
Rpta.
(40)
Hallar el área de la figura limitada por y = \ 2 0 x + x 2 - x 3 | , y = 0
u * 2301 u 2
Rpta.
12
©
Hallar el área de la región limitada por las curvas:
a)
b)
42)
x+> '- >' 3 = 0 ,
7
=0
37
Rpta. — 1/2
jc- > + _ v 2
8 x - 2 y 3 + y 2 - 2 y , 8x = y 3. y 2 + y - 2 = 0
Rpta.
Calcular el área de la superficie del primer cuadrante limitada por el arco de la curva
que va desde el eje de las Y hasta la primera intersección con el eje X.
a)
y = e A senje
e n +1 2
Rpta. — - — u~
b)
y=sen(x+l)
Rpta. 1.54 u 2
393
Aplicación de la Integral Definida
c)
x + y +y 2 = 2
Rpta. —u 2
d)
y = e*'2 cos2jc
/8 ^
Rpta. ----- —---- u 2
e)
y = x 2 —8jc2 +15jc
Rpta. ~ w 2
6
Hallar el área de la figura limitada por las curvas a2y 4 = x 4(a2 - x 2)
O * —
4fl2
Rpta.
— u2
(£4)
Hallar el área que encierra la curva 9 ay2 = x ( x - 3 a ) 2
_
8-^3 2 2
Rpta.
a u
5
^ 5)
Encontrar el área de un lazo de la curva a 2y 4 = x 4^ja2 - x 2 .
d
.
4a2
Rpta.
—
— u2
(4ó)
Encontrar el área de un lazo de la curva y 2(a2 + x 2) = x 2(a2 - x 2).
2
Rpta.
(47)
(n - 2 )u2
Encontrar el área de un lazo de la curva a 2y 2(a2 + x 2) = (a2 - x 2) 2
Rpta. a 2(3-\/2 ln(l+-j2)-2)n2
(4 8 )
Encontrar el área de un lazo de la curva 6 a 2y4 = b2x 2 (a2 - 2 a x ) .
394
49)
Eduardo Espinoza Ramos
Calcular
el
área
del
trapecio
mixtilineo
limitado
por
la
linea
y = e~x(x 2 +3x+l) + e 2, por el ejeX y por dos rectas paralelas al eje OY trazadas de
manera que pasan por los puntos extremos de la función Y.
Rpta. —(e2 - 4 )u2
e
(50)
Calcular las áreas de las figuras curvilíneas formadas por la intersección de la elipse
2
*
2
+ y 2 = 1 y la hipérbola ^ - - y 2 = l .
ti
[2
Rpta. s¡ =s-¡ = n — — l n 3 - 2 aresen J y ; .v2 =2(7T-.v1)
®
Calcular el área de la región limitada por:
í J|jc —11 ,
f(x) =\
x<5
, el eje X y las
[(x-3)2 - 2 , x > 5
rectas x = -3 y x = 7
(52)
Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = | x 2 - 1 1, - 2 < x < 2 y e l
eje X.
(fÜ)
76
Rpta. A = — u~
Rpta. 4 u2
Calcular el área de la región limitada por la curva y 2 = - ——, y su asíntota.
1+x
Rpta. A = 2 n
54)
Calcular el área del interior del ovalo de ecuación (1 + x 2) y 2 = 1- x 2
Hallar el área de la región acotada por la curva » = x 3 - 6 x 2 +8x y el ejeX
Rpta. 8 u 2
5ó)
Hallar una formula para encontrar el área de la región limitada por la hipérbola
x 2 - y 2 = a 2 , a > 0, el eje X y una recta trazada del origen a un punto.
Aplicación de la Integral Definida
395
Rpta.
,57)
Hallar el área de la
y =jc 3
- 3 j c 2 + 2 jc
A = ^ -
ln [ ^ ^ ]
región, en el primer cuadrante limitado
, y = - jc 3
+ 4 jc 2 - 3 jc
por las curvas
Rpta. -jj
Hallar elárea de la región limitada por las gráficas de
/ ( jc) = jc 3 - 2 jc 2 + j c - 1
(59)
y
g ( j c ) = - j c 2 + 3 jc - 1 .
Encontrar el área de la región R, ubicado en el segundo cuadrante y acotado por las
gráficas de y —jc 2
,
jc 2
= 4 y , x —y + 6 = 0.
Rpta.
Hallar el área de la región limitada por las curvas
(é l)
las funciones
jc
= - y 2 , y = x + 6.
Una parábola de eje vertical corta a la curva y = x + 2 en los puntos (-1,1) y (1,3),
sabiendo que la curva mencionada encierra una región de área 2 u 2. Halle la
ecuación de la curva.
(62)
Sostenemos que
J
jc "< £ c
+
J %]y dy = b n+1 - a" 1.
a)
Utilice la figura adjunta para justificar esto mediante un argumento geométrico.
b)
Pruebe el resultado utilizando el teorema fundamental del cálculo.
c)
Pruebe que A„ = nB„ .
y = x
Eduardo Espinoza Ramos
396
© )
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas x 2y + 4 y - & = 0 y x 2 =4y .
(S )
Calcular el área de la región comprendida por las curvas x 2 + y 2 =25, 3y 2 =16x,
3x2 = 1 8 y .
©
Calcular el área de la región acotada por las curvas de ecuación: 4y - ± ( x - 4 ) 2 y
4y = ±(x + 4)2 .
(óó)
El área comprendida entre y = 1 0 x - 5 y 2. el eje X es dividido en dos partes iguales
por una recta que pasa por el origen. Hallar la ecuación de la recta.
©
Calcular el área de la figura comprendida entre las curvas y = —
a1
o1
— ^----- y
. y
x~ +a~
}r + a~
(ós)
Hallar el área de la región limitada por las curvas x = - y 2 , y = x + 6.
(S )
Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones >■ -
+
jc - 1
,
g(x) = - x 2 + 3 x .
(70)
Hallar el área de la región acotada D por la gráfica / ( jc) = | c2 + 2 jc | . el eje X en el
intervalo [-2,2]
©
Dado la parábola y = 3 +2 x - x 2, Hallar el área de la región plana R, comprendida
entre la parábola y la recta que pasa por los puntos (2.3); (2.-5).
(72)
Hallar el área de la región R limitada por la curva y = (x - 3)(x - 2)(x + 1 tas rectas
x = 0. x = 4 y el e je X.
J3)
Calcular el area de la región en el primer cuadrante limitado por la- cur
x 2 —4y
"~t)
Calcular
y =x .
y la recta x + y = b.
el area de la región R limitada por las curvas
y -
jc2
- 2 | jc | +3,
Aplicación de la Integral Definida
397
Encuentre el área de la región limitada por la curva y = jr4 - 2 jc3 + 2 entre x= -1, x =2
4 jc -
Hallas el área de la región acotada por las curvas
jc2
y =
jc
> O
x<O
jc '
+ 8 jc
- 48
16
-3.V -1 6
,v > -4
. v < -4
Determine m de tal forma que la región sobre la recta y = mx y bajo la parábola
y = 2 jc - x 2, tenga un área de 36 unidades cuadradas.
Determine m de tal forma que la región sobre la curva y = mx 2, m > O, a la derecha
del eje Y, y bajo la recta y = m .tenga un área de k unidades cuadradas (k > 0).
Hallar el área de la región R limitada por
y=
2 1jc I
j . el eje X y las dos rectas
1+ JC
verticales correspondientes a las abscisas de los puntos máximos absolutos.
Una parábola del eje vertical corta a la curva y =
jc 3
+ 2 , en los puntos (-1,1) y (1,3).
Sabiendo que la curva mencionada encierra una región de área 2 u1. Halle la ecuación
de la curva.
3.2
VOLUMEN DE UN SOLI ■>€ DE RE VOIUCIONV
DEFINICION.- Un sólido de revolución es aquel que se obtiene al rotar una región
plana alrededor de una recta en el plano, llamado eje de revolución.
Ejemplo.- Si la región comprendida dentro de una semicircunferencia y su
diámetro, se hace girar alrededor de su diámetro se obtiene una esfera.
398
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Si a la región comprendida dentro de un triángulo al hacer girar alrededor
de uno de sus catetos se obtiene un cono recto.
Para calcular el volumen de un sólido de revolución consideraremos los siguientes
métodos.
3.2,1
METODO DEL PISCO C iR I UJLAR,Consideremos una función f continua en el intervalo [a.b] y que f(x) > 0 . V x e [a,b].
Sea R la región plana acotada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b.
Consideremos una partición del intervalo cerrado [a.b], P = {x0
ésimo sub-intervalo
c ¡
g [ jc ,
j.x ,]
[.r,
para i
, ,jc , ]
=
tiene
1 , 2 ......n,
longitud
A¡x=x¡-xi
[ , donde ix
y
tomemos
luego trazamos los rectángulos que tienen una
altura f (c ¡ ) unidades y ancho A¡x unidades.
Si se hace girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje X se obtiene un disco circular
de la forma de un cilindro circular recto donde el radio de la base es f{c , ) y sus
altura A¡x.
Aplicación de la Integral Definida
399
El volumen del i-ésimo disco circular es:
Como son n discos circulares, entonces el volumen de los n discos circulares es:
fí
n
E - £ n ( / { r , . ) ) 2A ,v
m
Esta expresión nos representa la suma de Riemann, y cuando | A, jr |-> 0 , se obtiene el
volumen del sólido generado al cual denotaremos por v, es decir que v se define como
el límite de la suma de Riemann cuando | A,-.v |—» 0.
a)
DEFINICION.-
Consideremos una función f continua en un intervalo cerrado
[a,b] y suponiendo que f(x) > 0, V x e [a.b] y sea S el sólido
de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X la región R acotada por
la curva y = f(x) el eje X y las rectas verticales x = a A x = b, y sea V el
volumen del sólido S al cual definiremos por:
n
V = lim y ri(./(£,-))- A, V=
n •*f
/ 1
^
nJttf ( / (x))2dx
* ' - n { m x))~dx
1Método del disco circular).
400
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar
alrededor del eje X la región limitada por la curva v = -Jx . el eje X y la
Solución
_W--- ^ F=nf' ,2rfv=nf'v dx =n— =in
¡
0
F = in
OBSERVACION.-
2
h’
Si la región R está limitada por la curva x = g(y). el eje Y y las
rectas y = c ,
y = d ( c < d) entonces el volumen del solido
generado al girar la región R sobre el eje Y, esta dado por la expresión.
F = n £ ( g O ;))2dv
Ejemplo.- Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por
y2 3 -i- v 2 1 = a 2' 3 alrededor del eje Y.
)dv
401
Aplicación de la Integral Definida
r,2in«' -—
5
3.2.2
7
3
= m —
3
~
35
105
METODO DEL ANILLO CIRCILAR.
Consideremos dos funciones f y g continuas en un intervalo cerrado[a,b]
manera que f(x) > g(x) > 0 , V x e [a,b] y R la región acolada por las curvas
de tal
y = f(x),
y = g(x) y las rectas verticales x = a A x = b.
Sea S el sólido obtenido al hacer girar la región R alrededor del eje X
i r
En el intervalo [a.b] consideremos el i-ésimo sub-intervalo
r.¡ e
[ .v , , ,
jc ,
]
[ jc ,
2, jc , ]
y sea
, cuando el i-ésimo rectángulo se hace girar alrededor del eje X, se
obtiene un anillo circular.
402
Eduardo Espinoza Ramos
La diferencia de las áreas de las dos regiones circulares es
n[
)-g~ (r-¡)] y el
espesor de estas regiones es A,.v, luego la medida del volumen del i-ésimo anillo
A,F = fl| f ?(£¡) - g 3
circular es:
)]A,x
Como son n anillo circulares, entonces:
Y & y = ^ I l [ / 2(c1) - g 2(í:1)]A,.v
Que es la suma de Riemann, entonces el volumen del sólido S se define como el limite
de la suma de Riemann cuando | A,.v |-> 0.
a)
DEFINICION.-
Consideremos f y g dos funciones continuas en el intervalo
cerrado [a,b] de tal manera que f(x) > g(x) > 0, V x e [a.b],
entonces el volumen V del sólido de revolución S generado al rotar alrededor del
eje X la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas verticales
x = a y x = b es dado por la fórmula.
n
V = lim V n [ / 2(£1- ) - g 2(í:1)]A1-jr
lA,'l
M
F = n £ [ / 2( x ) ~ g j (r)3¿v
OBSERVACION.-
Si la región R limitada por las curvas y = f(x). y = g(x) de tal
manera que f(x) > g(x), V x e [a.b] y las rectas verticales x= a.
x =b gira alrededor de la recta y = c donde (g(x) > c), entonces el volumen del solido
generado al rotar la región R alrededor de la recta y = c. es expresado por la fórmula.
V = TI f [ ( / ( x ) - r ) 2 - ( g { j t ) - c ) 'K r
Jit
Aplicación de la Integral Definida
OBSERVACION.-
403
Si la región R limitada por las curvas x = f(y), x = g(y) y por
las rectas horizontales y = c, y = d, gira alrededor de la recta
vertical x = k. entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es expresado por
la fórmula.
y -n J T 'r u o -j -
- (£(>•)-a-)2)<*>•
Ejemplo.- Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar alrededor del eje X,
la región limitada por las gráficas y = x 2 , y = -Jx , x = 2.
404
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
1Y
/
\y=*-
\ x 2 =4I-
I.v=47x
1 jc = 0 ,
.v = 1
y=x-y
" I
" 'I
y = ^ y = n [ £ t ( ^ ) 2 - (x2)2]rfv + [ ( v2 )2 - ( ^ 7 ) 2)rfx]
1
1
1
1
1
V
0
2
6«
7
X~
x V = n[Jf (.v-.v4 )dx +
<¡
X
y--m T -T >
+<T ' T )
11 +i 3y2 - 2 ) - ( j11
1=n[(---)-n
--)]
=n(i-2 +6)=5n
3.2.3
j" (.v4 -,r)rfi]
E = 5n«-’
METODO DE LA COR7 r.ZA CILINDRICA.Considercmos una función y = f ( x ) continua en [a.b], donde a > 0 ,
y
f(x) > 0.
V x e [a,b] y sea R la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas
verticales x =a, x = b.
El volumen del sólido de revolución S engendrado al hacer girar alrededor del eje Y
la región R esta dado por la formula:
Aplicación de la Integral Definida
405
V = i f t j *x f{x)dx
OBSERVACION.1)
El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje Y.
la región R acotada por las curvas y = f(x). y = g(x) tal que f(x) > g(x),
V x e [a.b], a > 0 es dado por la fórmula:
2)
El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor de la
recta x = c, la región R acotada por las curvas y = f(x). y = g(x) donde
f(x) > g(x). V x e [a.b] y las rectas verticales x = a, x = b. donde a > c es
expresado por la formula:
V - 2 n £ (.v ~ c ) [ /( .v } “ g(
406
Eduardo Espinoza Ramos
3)
Cuando la región R está a la izquierda del eje de revolución, el volumen del
sólido generado esta dado por la fórmula.
Ejemplo.- Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R
limitada por las curvas y = ln x, el eje X, x = e 1 alrededor del eje Y.
Solución
407
Aplicación de la Integral Definida
v = 2 n [e
3.2,4
4-—+-]
=n(3g2 +1)
4 4
METODO DE LAS SECCIONES PLANAS TARALE [¡AS CONOCJDAS-
i)
Si las secciones son perpendiculares al eje X, el volumen del sólido S es dado
por la fórmula.
V - j^ A W J x
donde A(x) es el ¿rea de la sección en x.
H)
Si las secciones son perpendiculares al eje Y, el volumen del sólido S es dado
por la fórmula.
donde A(y) es el ¿rea de la sección en Y.
Sección perpendicular al eje X.
Sección perpendicular al eje Y.
Eduardo Espinoza Ramos
408
Ejemplo.- Un sólido tiene una base circular de 4 unidades de radio. Encontrar el
volumen del sólido si cada sección plana perpendicular al diámetro ñjo es
un triángulo equilátero.
Solución
La ecuación del circulo es x L + y 2 =16 el lado de)
triángulo equilátero ABC que es la sección transversal
¿ B-£—
H
es de 2y, como su area
A(x)x = —
También se tiene
„ v
A(x)
= -------
..
,
para triangulo
equilátero, entonces:
A(x) =
— = -v/3y
2
= -n/3(16 -
x
2) ,
Luego por simetría se tiene.
V = 2J A(x)dx = 2^-73(16- x 2)dx = 2->¡3(l6x - ^ -)
©
256
•Ji « 3
Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura h unidades y
de radio de la base “a” unidades.
Solución
i i
Y
L
r".
n,a)
La ecuación de la recta
a
L: y =—x
h
409
Aplicación de la Integral Definida
©
Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del
eje X. la región limitada por el eje X y la curva y = - x 2 + 2x + 3 .
Solución
v = - x 2 + 2x + 3 . completando cuadrados.
y —4 =
—( jc
—l) 2 es una parábola de vértice V(l,4).
Para y = 0 => x 2 - 2 x + 3 = 0
=> x = -1, x = 3
V = 7rJ y 2dx = ^ J (~x2 + 2 x + 3)dx
V = U ^ { x A - 4 * 3 - l x 2 +\2x + 4)dx
Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación de la región entre las curvas
_y = jr2 + 4 e y = 2x2 alrededor del eje X.
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
410
©
Hallar el volumen del paraboloide de revolución si el radio de su base es R y su
altura H.
Solución
i
kY
La ecuación de la parábola es
x = R, y = H
R
i
i
\
/
i
I
\
11
—
0
X
©
’
R1
R 2v
=>x~ = — —
H
H
/
\
1
x1 =ky como
y* V„= n \
X
Jo
H
n
/?2 y
R
n/?2
y2
x~dv=r,r
n H
—2 vdv = —
.—
Jn / / ' '
II
ii ' 22 0
n tC-H
2
Encontrar el volumen cuando el área plana encerrada por y = —x 2 —3 x + 6, y,
x + y —3 = 0 gira alrededor de y = 0.
Solución
33
3 2
-.i
y - - x 2 - 3, x + 6, => y ——
= - ( x + —) parabola
V = n f [( - x 2 - 3 x + 6)2 - ( 3 - x 2 )]dx
i
V = n j ’3(x4 + 6 x 3 - 4 x 2 - 3 0 x + 27)rfx = - ^ p n « 3
Aplicación de la Integral Definida
©
411
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región
acotada por la curva v = r y las rectas y = 0, x = 2.
©
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región del ejercicio 6 alrededor
del eje Y.
V - 211 f x f(x)dx
Jo
r =2nJo[~x4dx
v=—nu3
5
©
Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje OX. la
superficie limitada por la curva 4 x + -/y = 4a , y la recta x = 0, y = 0.
Y'
a
Solución
+ 4 y =a
V = n [ v ’í¿v=7rf ( 4 a ~ 4 x ) 4dx
Jo
Jo
7r f (a-I-Jx'Ja + x)1 dx
Jo
412
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a. la parte
de la parábola • 2 = 4 o a , que se intercepta por la misma recta.
Solución
Aplicando el método de la corteza cilindrica se
tiene:
V = 2[2nJ(cr-A-)r dx]
V = 411 f (a - x)s¡4axdx
Jo
.1-2
V = ÜVl-Ja f (axl‘2 —a 3, 2 )dx =
Jo
3
5
3
T 52
~—
!
15
Calcular el volumen del sólido que genera la eircunrerencia x~ +t > - 3 ) ' = 1 al girar
alrededor del eje X.
Solución
De la ecuación de la circunferencia
( y - 3 ) 2 = 1- v2 , de donde tenemos:
a2
+ ( v - 3 ) 2 =1
despejamos y. es deen:
Aplicación de la Integral Definida
413
.y, - 3 +s ¡ \ - x 2 , >2 = 3 - - y / i - * 2
V = 2n P ( vf - v? )dx = 2n P [(3 + - J l - x 2 )2 - ( 3 —J l - x 2) 2dx
Jo
' "
Jo
V = 2nj^ 12-n/i - x 2 dx = 24FIJ - J l - x 2dx
©
V = 6n 2u 3
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, el lazo de la
curva
( jc
- 4a) y 2 = ax(x - 3 a ) , a >
0.
Solución
(x - 4a)y2 = ax(x - 3 a ) , a > 0, entonces:
2 _ ox(x—3er)
donde tenemos:
x-4a
r = f ' S * = n ( ,M‘a ( x - 3*>ac
Jo
Jo
x-4 a
„ 15 —161n2 a2n ,
V = -------------------- u
12)
Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución engendrado al girar la
hipérbola equilátera x 2 - y 2 = a 2, alrededor del eje X, intercepta al plano x = 2a y
es igual al volumen de la esfera de radio a.
414
Eduardo Espinoza Ramos
13)
Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje Y,
la región encerrada por las curvas v2 = 2 y e v = x , - 3 x + 4 y las rectas x = 0,
x = 2.
Solución
La ecuación
jc 2
= 2 y
es una parábola de vértice V(0,0) discutiendo la gráfica de
y = x 2 - 3x + 4 , para esto calculamos su derivada.
— = 3x 2 - 3 = 0
dx
d 2y
=> x = ± 1 los puntos críticos.
d~v
-6x
dx1
= - 6 < 0 => 3 máximo en x = -1 de donde y = 6, luego
dx 2 *=-i
(-1,6) punto máximo.
d 2v
: 6 > 0 = > 3 mínimo en x = 1 de donde y = 2
dx2
Luego (1,2) es el punto mínimo.
V = 213 f x( f(x)-g (x ))d x
Y
Jo
f1
X
V = 2U | x t(jrJ - 3 jc + 4 ) —— ]dx
y = x ~3x + 4
x2
=—
V = 2 n [ 2(xA
Jo
2
+ 3x2 +4x)dx
=2nfV.—
-3
Jo
.2
Sea R la región limitada por
jc =
jc2
+ 4 )dx
6 - 2 v 2 , x = 4 y 2 Hallar el volumen del sólido que
se obtiene de rotar la región R alrededor de la ri
2.
415
Aplicación de la Integral Definida
Solución
v = n [ £ [ ^ ^ - ( - 2)]2 - (- ^
1 -(_ 2))2]ííx+
+ f [ ( ^ - ( - 2 ) ) 2 - (_
Jo
2
F = n [f48—
d x + \ (' % ^ ^ d x ] = — n + — n
Jo 2
2
3
3
®
La base de un sólido es la región limitada por la elipse
2
- (_2 ))2 ]dx]
v = 3 2 n u3
jc 2
v 2
a~
b~
— +
= 1.
Hallar el
volumen del sólido, suponiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje
X son cuadrados.
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
416
x2
y
a'
b~
2
— +fr=i
=> y
■> b. 2
■>
i
=— ( a - - x )
a~
Calculando el área de la sección transversal.
7
7
4b ~ 7
7
A(x) = (2 v)2 = 4 y 2 = — —(<72 - x 2 ) . luego el volumen es:
a~
V = 2 f/l(.v)í/r = 2 í ^ - ( a 2 - x 2)dx = ^ r (a2x - — )
Jo
Jo a2
a2
3
8¿r
3 o*
a2
3
=— — ( a
16of)2 j
) = ------------- u
3
Una comunidad agrícola ha tenido una sobre producción de papas que desean
almacenar en un silo, le encargan el proyecto a un ingeniero civil: el se da cuenta de lo
que desean para el silo es que las paredes laterales estén limitadas por un cono que se
obtiene al girar la recta y = x alrededor del eje Y, y el techo del silo por una
semiesfera de radio a, que se obtiene al girar el arco de circunferencia de radio a y
centro en (0,a) alrededor del eje Y. Hallar el volumen que puede almacenar el silo.
Solución
Graficando
El problema se resuelve trabajando en dos
V = V¡ + V2 , donde
partes
Ja
(-\]a2 - ( y - a ) 2) 2dv
V¡ = tt f (2 a y - y 2)dy
Ja
i/Vx = n(ay
i 2 —v'3 \) /l_2u - —
2a*n
417
Aplicación de la Integral Definida
f
2.
V2 = n \ y d y 2
Jo' '
^7)
ny
i-
na
2a n
V
/ = -----3 /o
3
a n
*
------- + ------- = a n
Si el ingeniero que construyo la cisterna como una esfera de radio R = 1 desea hallar
el volumen pero por el método del disco ¿Cómo plantearía el problema?.
Solución
Para graficar solo necesitamos ubicar el centro de
la circunferencia.
ahora aplicamos el método del disco
V = nj f 2(x)dx = n j j l - ( x - l ) 2]dx = n ^ ( 2 x - x 2)dx
47T
^8)
m
3
Un depósito de gasolina tiene la forma de un sólido de revolución que se tiene al girar
la región en el plano limitado por las curvas y 2 - 3 y = 2x
alrededor del eje X. ¿Cuál es le volumen del depósito?
Solución
7
2
9
9
4
4
y~ - 3 y = 2 x , completando cuadrado y - 3 y + — ~2x+ —
3 2
9
9 3
( y — ) ' = 2( jc + —) de donde V(— .—)
2
*
\ '
y
x —y + 2 = 0
418
Eduardo Espinoza R am os
( > X*
Calculando los puntos de intersección:
*mV ^
[ x - y = -2
(x + 2)2 - 3 ( x + 2) = 2 x , simplificando tenemos:
x2 - x -
2 = 0 => ( x - 2 ) ( x + 1) - 0 =>
^X
[v = x + 2
x 2 + 4 x + 4 - 3 x - 6 = 2x
x = —1
x=2
>-2 - 3 v = 2x =» y = j ± J 2 x + ^
r = Klí L 6}¡2 x + 4 d* + [ ] ( f + Y
V
x +~
= tt[-( 2x + - ) 3'2 / 1 +[— + - ( 2 x + 2
4
/
V = n[— +— +— -J4Í]w2
16
32
32
4
4
2* - * 2M
) 3 /2 - x 2 - —
4
]/
3 '
Aplicación de la Integral Definida
19)
Para una campaña publicitaria se desea hacer la cisterna de un camión para transportar
yogurt de una forma muy especial. Un ingeniero civil acepta el reto de resolverles el
problema, el se da cuenta que las paredes de la cisterna, están generadas por un sólido
de revolución obtenido al girar un arco de y = sen \
alrededor del eje X ¿Qué
\olumen de yogurt puede transportar el camión?.
Solución
3.2.6
©
PROBLEMAS PROPUESTOS.-
Hallar
2y = 6 -
©
el volumen de tronco del
cono generado al girar el área limitada por
= 0. x = 0, x = 4 alrededor del eje X.
Rpta. -y^ n a 3
Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la región R limitada por la
n
curva v - e ' sen c ' . x = 0 . x = ln(— ) alrcdedoi del eje X.
©
^2
Rpta. (eos 1 — — )
Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región plana definida por
,»: -M < 2 0 ,
v2 <8.v , y > 0, alrcdedordel eje X.
Rpta. y ( 8O1/ 5 -6 4 )i/ 2
Eduardo Espino-a Ramos
420
©
Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta
y =-1 la región comprendida entre las curvas y = r2 y v = -Jx .
Rpta.
©
Rpta.
,
512
yy n u
Rpta.
— n //’
3
Calcular el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor del eje Y la figura
,
,
acotada por la curva (—) ' + ( —) ' = 1 .
a
©
u
Hallar el volumen del solido generado ai girar sobre el eje OX, la región limitada por
las curvas v=s]-.x2 + 1 , y=s]-.x2 + 4 .
©
30
Hallar el volumen que genera la superficie limitada por la curva v = 4 - x2 . v = 0. al
girar alrededor del eje X.
©
29 n
h
r.
Rpta.
4n a'b
5
-----------
Hallar el volumen del solido obtenido al rotar la región limitada por el primer la/o de
la curva v = e ' s]sen y , y el eje X positivo, alrededor de la recta y = (I.
Rpta. y ( l -
©
e
2n
)u2
Dada la regí n plana R en el primer cuadrante limitada por 3 y —4 \ = 6, 4 v - 3x = S.
v2 + ( v - 2)“ = "’ó . Hallar elvolumen generado, si se rota R alrededor del eje X
Rpta.
©
49tt t
— u
20
Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje OY. el arco
de la parábola y 2 = 2 px comprendido entre el origen y el punto (.\,, yt ).
421
Aplicación de la Integral Definida
©
Hallar el volumen que genera la superficie limitada por y 2 = x 2, y = 0, x = 0, y,
x = 4 al girar alrededor del eje X.
(l2 )
Rpta. 647:
u2
A la parábola y 2 = 12x, en el punto cuya abscisa es 6 se ha trazado una tangente.
Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X, la región limitada
por la tangente trazada, el eje X y la parábola. Rpta. 7211 u2
^ 3)
Calcular el volumen generado por la rotación de la superficie encerrada por y 2 = 4x,
x = y alrededor del eje X.
(l4 )
32
Rpta. — n u 2
Hallar el volumen engendrado por el área menor comprendida entre las curvas
x 2 + y 2 = 2 5 y 3x2 = \6 y al girar alrededor del eje X.
^ 5)
II u2
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la superficie
comprendida entre las parábolas y = x 2 , y = -Jx .
^ó)
Rpta.
Rpta. ^ - w 3
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las
curvas x + y 2 +3y = 6, x + y = 3 alrededor de la recta y = 3.
Rpta.
u2
Calcular el volumen generado al hacer rotar la región encerrada por las curvas
( y - 4 ) 2 = 4 - 4 * , y + 2x = 2, gira alrededor de la recta y = -1.
Rpta. 10 8n u 2
©
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por
■ino Py
y 2 = 4 (2 -jc) , x = 0 alrededor de la recta y = 4.
Rpta. — -— n u 2
(lí)
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por
y = árceos x, y = aresen x, x = 1 alrededor de la recta y = -1.
Rpta. (16 - n 2) — u 2
4
422
20)
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, la superficie
X
limitada por la catenaria y = a cosh(—), el eje X y las rectas x = ± a.
a
Rpta. -^y-(e 2 + 4 - e ~ 2)u3
21)
Hallar el volumen engendrado por el área comprendida entre las curvas
n
x~ = 9y al girar alrededor del eje X.
22)
Rpta.
3k 2
Rpta. —— u3
La región limitada por las curvas x 2y 2 = 1; y (x 2 + 3) = 4 gira alrededor de la recta
y + 1 = 0. Hallar el volumen del sólido que se genera.
(24)
n w3
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva
y = sen2 x en el intervalo x = 0 hasta x = n.
^3)
2187
1&y¡3
2
Rpta. (——— —- ln 9) w3
Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje X de la
región limitada por las curvas y =e*, x = 0, x = l , y =0 .
25)
y 2 =9 x ,
x2
*
Rpta. —- — n u 3
y2
Calcular el volumen que genera la elipse — + -y- = 1, al girar alrededor del eje X.
Rpta. 811 u3
26)
Un ingeniero civil piensa que para almacenar agua, una cisterna debe tener la forma de
una esfera y construye una en la azotea de su casa de radio R = lm, y desea encontrar
el volumen que puede almacenar pero planteándolo como un problema de integral
definida por el método del anillo.
TI)
4K i
Rpta. V = — u
Hallar el volumen, del sólido engendrado por la rotación de la región entre las curvas
y = tg x, x = y , y = 0, rota alrededor del eje X.
Rpta. (->/3 - y i ' 3
423
Aplicación de la Integral Definida
(28)
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre
y = senx, y = sen2 jc , el eje X , y 0 < x < ^
y rota alrededor del eje X.
Rpta. 4 ) V
4
(S )
Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación alrededor del eje OX, de la
superficie limitada por el eje X y la parábola y - a x - x 2, a > 0 .
(5o)
Rpta. ^
nu3
Determinar el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la Cisoide de
j
Diocles y ( a - x ) = x
\
O
alrededor del eje X entre x = 0 hasta x = — .
Rpta. a 3( l n 2 - | ) n u 3
(31)
Hallar el volumen del toro de revolución engendrado por la rotación del circulo
x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 , alrededor del eje OX, con
(32)
Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por y = x 2 , _y = 4jc - j r
alrededor de la recta y = 6.
(33)
b > a.Rpta. 2a2b n 2 u3
Rpta.
64
»
— 11 u
Encuentre el volumen del sólido que se genera si la región acotada por la curva
y = sen2 x y el eje X de x = 0 a x = 71 gira alrededor de la recta y = 1.
Rpta. ———u 3
8
(34)
Calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar la región limitada por la
gráfica y = arcsen x, y = 0, x = -1, alrededor del eje Y.
(3?)
7T^ 2)
Rpta. ----------- u 3
Hallar el volumen generado al hacer girar la curva y = x 2 +1 alrededor del eje Y
desde y = 1 a y = 5.
Rpta. 8n u3
424
Eduardo Espinoza Ramos
(36)
Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva
y = sen2 x y el eje X de x = 0 a x = 71 gira alrededor de la recta x = 4.
64 „
Rpta. — n u
(¿7)
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OY, la parte de la
parábola y 2 = 4 a x , que intercepta la recta x = a.
(3g)
3
Rpta. ^ r i o 3 « 3
Calcular el volumen engendrado por el área menor comprendida entre el círculo
x 1 + y 2 = 25 y la recta x = 4 al girar alrededor de la recta x = 6.
Rpta. 2(150 arcsen—-90)11 « 3
(39)
Encuentre el volumen del sólido generado al girar sobre el eje Y, la región limitada
2
por la curva y = ( j c —1) , el eje X y la recta x = 3.
(40)
Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje Y, el área comprendida
entre las curvas y = x 3, v2 = 2 - x , x = 0.
(41)
Rpta.
R pta.
34
15
n w3
I"I k3
Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor de
la recta x = l , la región limitada por los gráficos de
x —2 = 0, x —4 = 0 .
(43)
22J 2
Hallar el volumen del cono elíptico recto cuya base es una elipse de semi-ejes a y b y
cuya altura es igual a h.
(42)
7
-1
Rpta. —11 u
y = | jc 2 - 2 x —3 1, y + l = 0.
Rpta. Yin u3
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por
a 2y 2 - b 2x 2 = a 2b 2, lx| = a, alrededor del eje Y.
Rpta. 4g
——n
425
Aplicación de la Integral Definida
(44)
Hallar el volumen del conoide elíptico cuya base es una elipse x 2 + 2 y 2 = 12 y cuya
altura es 10.
(45)
Rpta. 20-JlTl u 3
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje Y, de la
/
gráfica acotada por la curva x 213 + y 2' 3 = a 2' 3 .
(4^)
Rpta.
32
—o3
n w3
Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación del eje Y, de la región
exterior a la curva y = x2, y entre las rectas y = 2x —1, y = x + 2.
(47)
Rpta. ^ l l u 3
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre
x 2 + y 2 = 9 y 4 x 2 +9y 2 = 3 6 (región en el primer cuadrante) alrededor del eje Y.
Rpta. 6 n u 3
(48)
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre las curvas
y = cosx, y = 0, x = 0, donde x es mayor igual a cero y menor igual a y , rota
alrededor del eje Y.
(49)
Rpta. 11(11 - 2 )«3
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor de la
recta x = -5 . la región acotada por la curva y = x 2 - 6 * + 13 y la rectax —y + 3 = 0.
1
Rpta. - ^ - n u 3
(50)
Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por y = - x 2 - 3x + 6 , y
la recta x + y —3 = 0 alrededor de la rectax = 3.
(51)
Rpta.
u3
El segmento de la recta que une el origen de coordenadas con el punto (a,b) gira
alrededor del eje OY. Hallar el volumen del cono obtenido.
a 2b
Rpta. y l l « 3
Eduardo Espinoza Ramos
426
(52)
Hallar el volumen
generado en la rotación del área limitada por x - 9 - y 2,
x —y —7 = 0 alrededor de la recta x = 4.
(53)
Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por x 2 - 4 = y , y = -3x
alrededor de la recta x = 1.
54)
153
Rpta. —^—11 w3
El área acotada por las curvas
R pta.
625
6
n u3
y = cos x, y = sen x entre x = 0 y
x =~
es rotada
71
alrededor del eje x = — , ¿Cuál es el volumen V del sólido generado?.
F)
Rpta. 27T—tt2(1— ^~)m3
(55)
Calcular el volumen del sólido
y=
generado por la región que quede debajo de
1 + sen x , sobre el eje X entre x = 0 y x = 2 ji rotado alrededor del eje Y .
Rpta. 4 n 2( n - l ) u 3
(só)
Calcular el volumen generado
x2
v2
9
4
por la región comprendida entre las curvas
— + — = 1, x 2 + y 2 = 4, al girar alrededor de la recta x = -3.
@
Calcular el volumen generado
al rotar la región encerrada por la curva
jc2/3 + y 2/3 = 1 alrededor de la recta x = 4.
( |§ )
Sea R la región plana limitada por
de curvatura constante
k
Rpta. 12n 2 u 3
Rpta. 3 n 2 u 3
Ll \ 3 x + 4 y = 8 , L2 : 4x + 3y = 6 , ylacurva
= -j con respecto a la intersección de Lx y L2 . Calcular el
volumen de sólido que se obtiene al rotar R alrededor de la recta x = 0
(considerex < 0).
Rpta. ( - ^ n + ^ n 2)» 3
ATI
Aplicación de la Integral Definida
(59)
Hallar el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas
y = x 3 + 2 , 2 v = jc 2 + 2 jc + 1 , alrededor de la recta x = 4.
(óü)
Rpta.
60
n u3
Encuentre el volumen del sólido de revolución que se forma al rotar alrededor de la
recta x = 4, la región acotada por y = x 3 - 6 x 2 + 8 x , y = x 2 - 4 x , donde en ambos
Rpta. 60.86 n u3
casos x e [0,4],
(ó l)
Calcular el volumen generado al rotar la curva y = x 2e~x* alrededor de su asíntota
^ _ ,5
3n^¡2n 3
Rpta. — ¡ = r ( - ) = — ---- «
_
4^2
(62)
Rpta. ~ ~ ui
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitado por
x 2 + ( y - 3)2 = 1 alrededor de la recta y = 0.
(S )
32
Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región acotada por y = x 2 , al eje X
y la recta x = l , alrededor de la recta y = 2 .
(tó )
2
Rpta. 6n2u3
Calcular el valor del sólido obtenido al hacer girar la región R limitada por
7
28 71
x 2 + y 2 =1, x 2 + y 2 - 4 alrededor de la recta x = 0. Rpta. —— u3
©
a)
el eje X
Rpta. a)
(óó)
X~
y2
a
b
Hallar el volumen obtenido al girar la elipse — +
b)
el eje Y
b)
-^n a 2b
c)
= 1 alrededor de:
la recta x = 0
c)
2 n 2a2b
d)
d)
la recta y = b
l n 2ab2
Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región R limitada por las
curvas x = y 2, x = 8 - y 2 alrededor de la recta x = 0.
256
Rpta. —^ - n u 3
428
(ó7)
Eduardo Espinoza Ramos
Calcular el volumen generado por el área comprendida entre las curvas
y = 2-v/jt, al girar alrededor del eje Y.
(ó8)
Rpta. ^ ^ - u 3
Calcular el volumen generado por el área comprendida entre
x 2y 2 + 16_y2 = 1 6 , x = 0, y = 0 , x = 0, al girar alrededor del eje X.
(5 )
J7=
las curvas
Rpta. n 2u3
Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las
curvas dadas alrededor de la recta dada:
a)
y 2 = x , y = x 2 alrededor d ex = -2.
Rpta. ^ l l u 1
b)
y = 4 - x 2 , y = 0 alrededor de x = -2.
Rpta. - ^ - T l u 3
c)
y = x 3 -5jc2 + 8 jc -4 , y = 0 alrededor de y = 0
■
*
7
Rpta. -^—u3
V 105
d)
y = 4 x — j= , x = 1, x = 4, y = 0 alrededor de y = 0.
-4x
e)
y = ^[x — ^ , x = l , x = 4, y = 0 alrededor de y = -2.
1Jx
128
1
3
Rpta. (In4 + —)FI u3
2
Rpta. ( I n 4 + ^ ) n u 3
2
0
y = e x~, y = 0, x = 0, x = 1 alrededor de x = 0.
g)
y = x + 2, y~ - 3 y = 2x alrededor de y = 0.
^
h)
y = ^ 4 - x 2 , y = 1, x = 0, x = J i
í)
x + y = l , -Jx + ^
Rpta. (e-l)7r u
1
Rpta. — n u
4
alrededor de y = 0
= 1 alrededor de x = 0.
45
1
Rpta. Irr^fí u 3
Rpta. ~ n u
3
429
Aplicación de la Integral Definida
J)
y = 3x2, y = 4 - 6 x 2 alrededor d ex = 0.
k)
x 2y 2 +16 y 2 = 1 6 , x = 0, y = 0, x = 4 alrededor de x = 4.
Rpta.
871
Rpta. 327T[l-V2+ln(-^L)]«3
V2
(70)
La base de un sólido es un circulo de radio a, si todas las secciones planas del sólido
perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados, hallar el volumen del
solido.
(71)
™.
! 6o 3 u 3
Rpta.
—-—
Un círculo deformable se mueve de manera que uno de los puntos de sus
x 2
y 2
circunferencias se encuentra en el eje X, el centro describe una elipse — + - = 1 y
a
b
el plano del círculo es perpendicular al eje X. Calcular el volumen del sólido.
_
8n a b 2 3
Rpta. — -— u
(72)
La base de un sólido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales del
sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados. Determine el
volumen del sólido.
(73)
Rpta. ^ r 3« 3
Hallar el volumen del sólido, cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas secciones
planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros. Rpta. 3&J3 k3
(74)
Un cilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por el diámetro
de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. Hallar el volumen de la parte
separada.
®
2r3
Rpta. (—— tg a )u 3
La base de un sólido es la región limitada por la elipse
X2
y 2
a~
b
— +
= 1, hallar el
volumen del sólido, sabiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje X,
son triángulos equiláteros.
4 ab2 3
Rpta. — j=-u
-v3
430
Eduardo Espinoza Ramos
(76)
La base de un cilindro es un círculo de radio 3. Todo plano perpendicular a un
diámetro dada intercepta al sólido en un cuadrado que tiene un lado en la base del
sólido. Calcular el volumen del sólido.
(77)
Rpta. 144 u 3
Un circulo móvil se encuentra en un plano perpendicular al plano XY de modo que
los
extremos
de
(x - 2 )2 = 2 ( y + l) ,
un
diámetro están
sobre
las
parábolas
de
ecuaciones
3 ( x - 2 ) 2 = 8 ( y - l ) , Hallar el volumen del sólido que genera
dicho círculo móvil si el diámetro en mención es paralelo al eje Y y se mueve en la
. . . . .
región encerrada por ellas.
©
„
647T 3
Rpta. -y^-u
Un sólido tiene por base un circulo de radio 1 y sus intersecciones con planos
perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos rectángulos isósceles
cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas de los circuios. Determinar el volumen
del solido.
(79)
4 3
Rpta. —u
La base de un sólido es un circulo limitado por
x 2 +y
2
= 25 y las secciones
transversales perpendiculares al eje Y son triángulos equiláteros. Calcular
su
volumen.
(80)
Dos cilindros de radio R se cortan perpendicularmente. Hallar el volumen de su
intersección.
(S i)
16 n3
Rpta. — /?
La base de un sólido es un circulo de radio 2, si las secciones transversales
perpendiculares a la base son triángulo isósceles con un cateto como base. Hallar el
volumen del sólido generado.
(82)
32
Rpta. — u1
La base de un sólido es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades; la intersección
de ese sólido con un plano perpendicular al eje mayor de la elipse es un cuadrado.
Calcular el volumen del sólido.
Rpta.
32000
w3
Aplicación de la Integral Definida
(S )
431
La base de un solido es la región entre las parábolas y = x 2, y = 3 - 2 x 2. Hallar el
volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al eje Y son
triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa sobre el plano
XY.
(S )
Rpta. | u 3
La base de un sólido es la región limitada por y = 1-.v 4 . Las secciones transversales
del sólido determinadas por planos perpendiculares al eje X son cuadrados. Encontrar
el volumen del sólido.
Rpta. - ^ -w 3
315
A una naranja de forma esférica y de radio a por medio de dos semiplanos, que pasan
por un mismo diámetro formando entre si un ángulo de 30° se le extrae una tajada.
Determine el volumen del resto de la naranja. Rpta. y O í i V
®
jr
v2
Encontrar el volumen del sólido encerrado por el paraboloide ~ + ~ = - y el plano
Rpta. lOOOfl w3
z = 10.
®
.~
plano x = a.
(88)
_2
Hallar el volumen del segmento parabólico elíptico -— +-=— = x interceptado por el
2p 2p
Rpta. a 2-Jpq n u 3
El sólido de revolución se forma por la rotación alrededor del eje Y. de la región por
la curva
y = l[x , el eje X y la recta x = c (c > 0). Considere los elementos
rectangulares de áreas paralelas al eje de revolución para determinar el valor de c que
dará un volumen de 1 2 n « 3.
( 89)
Rpta. c = v2744
Se hace un agujero de 2 cm. de radio através de un sólido de forma esférica con un
radio de 6 cm; siendo su eje un diámetro de la esfera. Encuentre el volumen de la parte
restante del sólido.
184
Rpta. -^-F I «'
432
Eduardo Espinoza Ramos
(90)
Se hace un hoyo de 2-v/J pulgadas de radio através del centro de un sólido de forma
esférica con un radio de 4 pulgadas. Encuentre el volumen de la porción del sólido que
224
Rpta. — II
fue cortada.
(91)
3
Hallar el volumen del obelisco cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A.B y
a,b respectivamente y la altura h.
($2)
m
^
h , , Ab+aB
, 1
Rpta. — (ah +----- — + ab)u
La base de un sólido de un círculo con un radio de 9 pulgadas y cada sección plana
perpendicular a un diámetro fijo de la base es un cuadrado que tiene una cuerda del
circulo como diagonal. Encontrar el volumen del sólido.
(93)
Rpta. 1944 pu lg 1
Encontrar el volumen del tetraedro que tiene tres caras mutuamente perpendiculares y
tres aristas mutuamente perpendiculares cuyas longitudes tienen medidas a.b y c.
„
Rpta.
(0 )
abe 3
u
6
Hallar el volumen del sólido de revolución formado al girar alrededor del eje X. la
región D acotada por las gráficas de las curvas
F(x) = 4 - —(jc -4 )2 ,
2
i
144
t
G(x ) = 1+ —( x - 4) y las rectas x = 2, x = 6. Rpta. /r[60- 64(^ ^ )]m
(95)
Hallar el volumen del sólido generado, al rotar alrededor del eje X la región limitada
por las curvas C: y = a x - x 2, a > 0 ,
(9ó)
Cx : y = 0 .
La región limitada por la circunferencia x 2 + y 2 + 2 x + 2 y - 2 = 0, girar alrededor de
la recta y = 3, calcular el volumen del sólido generado.
33
ARE4 DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION.-.
a)
DEFINICION.-
El área de una superficie S obtenida por la rotación alrededor
del eje X, del arco de la curva y = fix) entre los puntos x = a
y x = b es definida por medio de la fórmula.
Aplicación de la Integral Definida
433
A(Sx) - 2 n [ y | + ( & f1dx
i
dx
OBSERVACION.
1)
Si la curva y = f(x) se hace rotar alrededor de la recta y = c se obtiene una
superficie de revolución, cuya área es expresado por la fórmula.
2)
Si la ecuación del arco de una curva está dado por la ecuación y = g(y),
V y e [c.d] en donde g es una función con derivada continua en [c,d] entonces el
área de la superficie engendrada por la
rotación alrededor del eje OY del
arco de la curva x = g(y) entre los puntos y = c, y = d es expresado por la
fórmula.
434
Eduardo Espinoza Ramos
h
3)
A v .
dy
Si la curva x = g(y) se hace girar alrededor de la recta x = k, el área de la
superficie de revolución está expresada por la fórmula.
dy
Ejemplo.- Hallar el área de la superficie del “Huso", que resulta al girar una semionda de la senusoide y = sen x alrededor del eje OX.
Solución
y = sen x
Como
=>
dv
dx
— = cosx
y4(5r)= 2flfJa y Vj l+(—
)2=2IlfJo -J1+ cos2 x sen* dx
dx
= -2 n (^ j^ - \/c o s 2 jc + 1 + i l n |c o s x + V l + cosx 1)
/4(SX) = - k [ - 2 - ln(l + - J l ) + ln (-1+ J l ) ]
A ( S ,) = 2Yl[-j2 + ln(l + -Jí )]w2
435
Aplicación de la Integral D efinida
Ejemplo.- Hallar el área de la superficie engendrada al rotar alrededor del eje Y, la
hipocicloide x 2 3 + >’2,3 = a 2' 3
Solución
x“ ' +
.
dx
2 /3
„ 2 /3
\x
dy
2 /3
.
\ y
,ax.? x
a
-v
o
(“T")” = —rrr = -------^ ----- => (-r-)" =
dV
y 2/3
y 2n
dy
¿ ( S ,) - 2n jJ
Como
2 /3
-v
y 2,i
=2n£
+
1 /2
= 2 f°(a2/3- j 2/3)3/2
Jo
2 /3
'
v1/3
Z ..2 / 3
rfg=6nfl1/3[(fl
2 /3 \5 /2
5 /2
}
]/°
/o
^ 12fl2/T 2
--«
¿ ( S y ) =
3.3.1
©
PROBLEMAS PROPUESTOS.Hallar el área de la superficie generada haciendo girar la curva y = 2-^6 -x
alrededor del eje OX.
©
,x e
[3,6]
u2
Rpta.
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación, alrededor del eje OX. del
arco de la curva y = e * comprendida entre x = 0 y
x = +oo.
Rpta. h /2 + ln(l + ^ ) ] n u 1
©
Hallar el área de la superficie del tronco engendrado por la rotación del circulo
x 1 + ( y - b ) 2 = a 2 alrededor del eje OX (b > a).
(4^
Rpta. 4 ab n 2 u 2
Hallar el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer girar la elipse
7
7
x~ ir
-+ — = 1 alrededor de:
25
16
Eduardo Espinoza Ramos
436
©
^
Rpta. 2(16+-^- arcsen —)7r
b)
Su eje menor.
Rpta. (50 + — ln4)7T u 2
u
2
80
Calcular el área de la superficie formada por la rotación alrededor del eje X del arco
Rpta. 24 n u 1
Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al rotar, alrededor del eje
X, el lazo de la curva 9ay2 = x ( 3 a - x ) 2
©
2
Su eje mayor.
de la curva 4y = x 2 -2 1 n x entre x = l y x = 4.
©
100
a)
Rpta. 3a2n u 2
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de la tangentoide
de y = tg x, comprendida entre x = 0 y x =
alrededor del eje OX.
Rpta. [n(rJ5 - J L ) + n ln(2(^ + 2))fr2
V5 +1
©
En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la superficie
de este espejo.
©
Hallar el área de la superficie (denominada Catenoide), engendrada por la rotación de
x
la catenaria y = a. cosh(—) alrededor del eje OX, entre los límites x = 0 y x = a.
a
Rpta. ^ - ( e 2 —e 2 +4)11 u 2
437
Aplicación de la Integral Definida
(ío )
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación del eje OY, del arco de la
curva y = a cosh 1(—) desde x = a hasta x = a cosh 1.
a
a2
2
Rpta. — (2 + senh2)II u
©
Hallar el área de superficie de revolución de la curva
eje OX, comprendida entre y = 1, y = e.
^ 2)
Rpta.
Hallar el área de la superficie cuando la curva
y e [2.5], gira alrededor del eje OX.
xe 4-9
16
- ■ ^ ln y , alrededor del
IT u
2x =y-^jy2- 1
2
+ ln | y+^jy2- 1 1 ,
Rpta. 78 II u 2
Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje
OX, la curva dada por y 2 =4ax, desde x = 0 hasta x = 3a.
(l4)
Rpta. ^ - a 2n u 2
Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar el arco de
la curva y = 2 - e x , desde x = 0 hasta x = 2 alrededor de la recta y = 2.
Rpta. [e2v/l + e 4 - ^ 2 + ln (e - + ^ 1- ^ 4 - ) n u 2
1+ *v2
^ 5)
Hallar el área de la superficie de revolución formada cuando la curva indicada gira
alrededor del eje dado:
a)
y = x 3, x e [1,2] alrededor de y = -l.
b)
y = ln (x —1),
c)
y = 2x, x e [0,2] alrededor de x = 1.
d)
y = 4 + e ' , x e [0,1] alrededor de y = 4.
jc
e [2,e2 +1] alrededor de x =
1.
438
Eduardo Espinoza Ramos
^ó)
Hallar el área de la superficie generada por la rotación entorno al eje Y, de cada una
de las siguientes curvas:
a)
r = /,y e [ 0 ,3 ]
Rpta. -^ [(7 3 0 )3/2 -1]
b)
2y = x-Jx2 -1 +ln (x—\]x2 - 1 ) , x e [2,5]
Rpta. 7811 u 2
2
H 7)
Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse
h2
2
+ —r- = 1, (a > b)
a
b
alrededor de:
^8)
a)
El eje OX.
Rpta. lYlb2
b)
ElejeO Y.
Rpta. 2 m 2 + ^ -^ ln (* + ^ ) donde E = ^ °
*"
E
1- E
a
Rpta.
u2
Hallar el área de la superficie generada por la curva y 2 - 2 1 n y = 4 x , al girar
alrededor del eje X.
(¿o)
a
Hallar el área de la superficie generada cuando la curva y = ^ x i n ~ ^ x l/2, x e [0,4]
gira alrededor del eje X.
©
arcsen£ , donde E =
Rpta.
u2
Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva 6c 2xy = y 4 + 3c4
es de x = c hasta x = 3c, alrededor del eje X. Rpta. c 27r(20 + ln3)w2
(2 l)
Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X,
la región R limitada por las curvas y 1 + 4x = 21ny, y = 1, y = 2
Rpta. ^ n
439
Aplicación de la Integral Definida
(22)
Hallar el area de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X,
.
•
>•
j
,
la región R limitada por las curvas
3.4
L O N G l f t D DE
x3
1
r,
= — + — , x e [1,3]
„
208
Rpta.
a RCO.
Consideremos una función f con derivada continua en el intervalo [a,b] y una partición
P=
-V,,} del intervalo [a.b] que defina una poligonal
los segmentos
i= 1.2
rectilíneos desde
formada por
Pi_i (x¡.l , f ( x ¡^ )) hasta P¡(x,,f(x¡))
para
n.
por lo tanto la longitud de la poligonal definida por la partición P es:
• xt í f + ( / ( % } - f(x ¡- j » 2
(41
a)
DEFINICION.-
Sea f: [a,b] ----- » R una función con derivada continua en
[a,b]; si existe un número L de tal manera que:
L"
¿ V U i - Xt~\Y 1 0 (* > 1X1
440
Eduardo Espinoza Ramos
entonces diremos que el arco P(¡P„ de la curva y = f(x) es rectificable y al
número L se le llama la longitud del arco de la curva y = ffx) desde el punto
P0 (a, f(a )) hasta el punto P„ (b, f (b)).
b)
TEOREMA.- Sea f: [a,b]----- > R una función con derivada continua en [a,b],
entonces la longitud del arco de la curva y = f(x) desde el punto
cuya abscisa es a hasta el punto cuyo abscisa es b es expresado por la fórmula.
Demostración
Consideremos una partición P = {x0,x¿
x „} del intervalo [a,b], tal que:
a = x 0 < < . . . < x„ =b.
del triángulo rectángulo P ^ AP¡ de la figura se tiene:
| ^
donde
A,-* = x
’|=V(AIx )2 +(A iy ) 2
, y
podemos escribir asi:
...(1 )
Aiy = f ( x i ) - f ( x r i ). Luego a la ecuación (1)
441
Aplicación de la Integral Definida
Como f es continua en [x, ],x ,] y f'{x) existe en [x ,_ ,,x ,], entonces por el
teorema del valor medio 3
&[xiA ,x¡] tal que:
x¡ - x ,- i
Luego de (3) y (2) se tiene:
n
A,x
(3)
| P¡ XP¡ \=-Jl + (f'(c, ))2 A,x entonces
.. _____ ___
^_______________
L = lim Y V l + ( r ( c , ) ) 2A,-x=
f
Vi + ( f ' ( x) ) 2dx
1-1
L = Jf«\ V
l1+(^r}2(íx
dx
OBSERVACION.-
Si g: [c,d] ----- > R es una función continua en [c,d], entonces
la longitud del arco de la curva x = g(y) desde el punto
A(g(c),c) hasta el punto B(g(d),d) es expresado por la fórmula:
U i^ d y
3.4.1
©
PROBLEMAS DESARROLLADOR.Hallar la longitud del arco de la parábola 6 y = x 2 desde el origen de coordenadas al
punto (4, —).
Solución
442
Eduardo Espinoza Ramos
Como 6y = x 2 => — = —, de donde
dx 3
f4 ll + ( ^ - ) 2dx = f4J l + — dx = - f4 j 9 + x 2dx
dx
Jo v 9
3 Jo
Jo \
L = - { - 4 9 - x 2 + —ln |x + -\/;c2 + 9 | ] / 4
3 2
2
/o
= —[(10 + —ln 9 ) -(0 + —ln3)] = —[10 + —ln3]
©
¿ = - ( 1 0 + -ln3)M
3
2
Encontrar la longitud de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2
Solución
, = 2a[°
= 2 a aresen—j “a = 2a[arcsen(l) - arcsen(-l)] = 2a (~ +
JL°
a 4 a 2- x 2
L = 2 ñau
©
Calcular la longitud del arco de la parábola semicúbica y 2 = x 2 desde el origen del
coordenadas hasta el punto cuyas coordenadas son x = 4, y = 8.
Solución
443
Aplicación de Ia Integral Definida
L = [ 4J l+ ( — )2dx= ( \ l l + — dx = — (10y/W-l)u
J» V
dx
Jo M
4
27
©
Hallar la longitud total de la hipocicloide x 2n + y 2n = a 2,3
Solución
x 2‘3 + y 2 n = a 2‘3
=> y = (a 2/3 -J t2/3) 3' 2
rfy
2/3
dx
L = 41
> n fW '
dx
L = 4 f J l + x 2 n (a2 n - x 2l2)dx = 4 \ a4 x - 2 2a 2' 2dx
Jo
Jo
= 4 f " x 1/V ' 3rfv = 6x2' V / 3 / fl = 6a
Jo
to
^5)
Sea R la región del plano limitado superiormente por x 2 + y2 = 2 e inferiormente
por x 2 = - v 3. Halle la longitud del contorno de la región R.
Solución
Calcular los puntos de intersección.
y3- y 2+ 2 = 0
de donde y = -1
A (l.-l) y B (-l,-l)
del gráfico por simetría se tiene:
L = 2( L-^ +
)
444
Eduardo Espinoza Ramos
Calculando L-j¿ se tiene x = - J l - y 2 , x > 0
_
’& dy
Ji J T y
= ^¡2[arcsen 1 - arcsen(— J=)l
_ ^ arcsen(-^r)
V2
V2
= -y/2 [arcsen 1 + arcsen(— j=)] = -Jl [—+ —] =
•v/2
2 4
T
4
_ 3-Jln
L ÁC -
^
••• (1)
u
Calculando
se tiene x = j - y 3 , x > 0
■3>'2
1 + (— j = = ) 2dy= I J l - — úf> , integrando
- í
*
'” - C j
2^
Loa = ^ ( 1 3 ^ 1 3 - 8 )
(2)
reemplazando ( 1) y (2) en (a) se tiene:
, ^ 3-Jln 13-JÍ3-8
^
¿ = 2(--------+ ------------- ) dedonde
4
27
F ,3^ 2* . 26 V Í3 -1 6 ,
Z, = (------ + ---------------)w
4
27
Hallar la longitud del arco de la curva 8y = x 4 + -^ - desde x = l hastax = 2
x~
Solución
o
4
2
dy
1
X-
ÍW
2
3
1
8v = * +— => —- = -(* — -)
x
445
Aplicación de la Integral Definida
Como L s í i 1* ' * 1' * =f
= [ j * } u ‘ - 2+^ )dx
= í f <x5
1 . . . 1,
A 1.,
1 r31 1.
33
=—[(4— ) - ( ------ )] = —[— + —] = — u
2
8
4 2
2 8 4
16
[ 3.4.2
PROBLEMAS PROPUESTOS.
(7)
Hallar la longitud del arco de la curva
y 2 = 4 x - x 2, comprendido entre los dos
Rpta. L = 2n u.
puntos en que corta al eje X.
©
Hallar la longitud del arco de la curva y = ln x desde x = -j3 hasta x = -JÍ .
1
2
3
2
Rpta. (1+—ln —)u
©
Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 5>'3 = x 2 comprendida dentro
de la circunferencia
©
jc2 + v2
Rpta.
=6
27
Calcular la longitud del arco de la curva y - e x entre los puntos (0,1) y (l.e).
Rpta. V ¡ ^ + . n 6 5 H L ± í ^ l U - 2
e
©
Encontrar la longitud del arco de la parábola
extremo del lado recto.
©
Si
/ (
jc)
=
J
y 2 = 4 px desde el vértice hasta un
Rpta. [-v/2 + ln(l + -J2)]p
-v/cos7<//. encuentre la longitud del arco de la gráfica de f desde el
punto donde x = 0 hasta x = n.
Rpta. 2^2 u
446
(l)
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la longitud de la curva y = l n ( l - x 2) desde x = — a x = —.
4
4
Rpta. ( I n ( y ) - i ) u
©
Encuentre la longitud del arco de la curva 9 y 2 = 4x3 del origen al punto (3,2^/3).
14
Rpta. —
u
3
Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es y 3 = x 1, comprendida entre
O
Rpta. — (1 (hJlQ -1 )u
los puntos (0.0) y (8,4).
©
Hallar la longitud total del lazo de la curva 6_y2 = x(x - 2 ) 2 si x e [0,2].
g
Rpta. —-\/3 u
3
©
Calcular la longitud total de la curva 8>'2 = x 2( l - x 2) .
Rpta. 42 n u
^2)
Calcular la longitud total del arco de la parábola y = 2-Jx desde x = 0 hasta x = 1.
Rpta. [-\/2+ ln (l+ -j2)]«
^ 3)
Hallar la longitud del arco de la parábola ay2 = x 3 desde el origen hasta x = 5a.
Rpta.
2
( 14)
Hallar la longitud del arco de la curva x =
335
27
a
j
ln y desde y = 1 hasta y = e .
447
Aplicación de la Integral Definida
^5)
Hallar la longitud del arco de la curva
y =—^jx2-1 - —\n(x+slx2- 1 )
2
hasta x = 5.
©
Rpta.
Hallar la longitud de la catenaria y - a cosh(—)
Hallar
la
Rpta. osenh(—)
a
longitud
r~- - - - r
x = —\Jo~ - y
(10-JÍO - 8)u
desde el vértice A(0,a) hasta el
a
punto B(b,h).
1$)
desdex = 3
Calcule la longitud del arco de la parábola semicúbica y 2 = y ( x - 1 ) 3 comprendida
dentro de la parábola y 2 = y .
( 17)
2
Rpta. 8u.
del
arco de
la
rama derecha
de
la
tractriz
a+Ja2- y 2
+ a .ln |------------------ 1, desde y = a hasta y = b, ( 0 < b < a ) .
y
Rpta. oln(^)
M9)
Calcular la longitud delarco de la curva(—) 2/3+ (—) 2/3 = 1, en el primer cuadrante.
a
b
n
a 2 +ab + b2
Rpta. ----------------u
a+b
(20)
Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es y de abscisa x = 1 al punto de abscisa x = 3.
21)
desde el punto
14
Rpta. — u
Hallar la longitud del arco de la parábola y~ - 2px desde el vértice a un extremo del
448
Eduardo Espinoza Ramos
(22)
Calcular la longitud del arco de la curva x = ln(sec y) comprendido entre y = 0 e
y =y .
($3)
Rpta. ln(2 + -J3)u
Hallar la longitud de la curva y = ln(g y + | ) entre las abscisas x = 1 y x = 2.
Rpta. (ln(t?2 + 1 )-1 ) m
(24)
Hallar la longitud total de la curva (y -aresen x)2 = l - x 2 .
(25)
Calcular la longitud de la parábola semicúbica 2>-3 = x 2 comprendida dentro de la
Rpta. 8 u
g
circunferencia x 2 + y 2 = 2 0 .
(26)
Hallar la longitud del arco de la curva
(27)
Halle la longitud del arco de la curva
punto donde x = 2.
(28)
Rpta. —
y = - J x - x 1 + aresen-Jx . Rpta. 2 u
8y = jc4 + 2 x -2 desde el punto donde x = 1 al
33
Rpta. — u
Determinar la longitud de la curva y 2(2a - x ) = x 3 (Cisoide de Diocles) entre x = 0
y x = a.
Rpta. 2a(-j5 - 2 ) +-s/ 3al n| -—
|
7 -4 V 3
(29)
Hallar la longitud de la curva y = -Jsec1 x + 1 —ln | ^+ ^ sec~ JL t l |
sec x
hasta x = y .
(30)
x =—
4
Rpta. (-^3-1 )u
Hallar la longitud del arco de la parábola y = ln | c tgh(^) | desde x = a hasta x = b
(0 < a < b).
(m )
desde
elb - l
Rpta. a - b + ln(—
)
e~a -1
Calcular la longitud del arco de la curva 9ay2 = x ( x - 3 a ) 2 desde x = 0 hasta
x = 3a.
Rpta. 2-J3 a u
Aplicación de la Integral Definida
449
(32)
Hallar la longitud total de la curva 8a 2y 2 = x 2(a2 - 2 x 2).
(33)
Encuentre la longitud de la curva 6y 2 = x ( x - 2 ) 2 de (2,0) a (8,4^3).
Rpta. a n u.
16 IT
Rpta. — v3 u
^4)
Encuentre la longitud de la curva (—) 2/3 + (—) 2‘3 = 1, en el primer cuadrante, desde
a
^ ^
a .
. j
el punto donde x = — hasta donde x = a.
8
(35)
„
8fl3 - ( a 2 +3ft2) 3/2
Rpta. ----------F
u
g(a 2 -fe 2)
Halle la longitud de la curva 9>'2 = x ( x - 3 ) 2 , en el primer cuadrante, desde donde
x = 1, hasta donde x = 3.
(3ó)
b
Rpta.
—- «
Determinar la longitud del arco de curva descrito por y = -Je2x - 1 - arcsec(ex) - 1,
x e [0.4].
Rpta. -^-(c8 -1 )
Determinar la longitud del arco de la curva descrito por y = ln(l - x 2) desde x = 0
1
hasta x = —.
2
®
1 tln3
, ,
R p ta . -----v
2
x3
1
Determinar la longitud del arco de la curva descrito por y = — + — , x e [1,2]
59
Rpta. —
V
24
69)
w
Determinar la longitud de arco de la curva descrito por y = —arcsenx - —Vi - x 2 ,
2
4
rn V í .
2
x g [0,---- ]
®
u .
47T + -J2
Rpta. ----------16
Determinar la longitud de arco de la curva descrito por
x3
y -
—
6
« *
383
1
+ —
2x
, x
g
[2,5]
450
Eduardo Espinoza Ramos
C A P I T U L O
4.
IN T E G R A L E S IM PR O PIA S.-
4.1
IN T R O D U C C IO N .-
IV
Por el teorema fundamental del cálculo se tiene que: si f es una función continua en el
intervalo cerrado [a,b] y si F(x) es la integral indefinida de ffx) entonces:
Ahora nos haremos algunas interrogantes, por ejemplo:
Í
dx
— ? En donde la función es definida en el intervalo
2 x
[2,+oo>
f
¿A que es igual la integral |
íu
— ? En donde la función es definida en el intervalo
_tc x
<-00,1]
f dx
¿A que es igual la integral I ——? En donde la función esta definida en el intervalo
Jo
<0,4]
dx
— ? En donde la función esta definida en el
1x
intervalo [-2,0> U <0,2]
A todas las integrales de estos tipos mencionados se denominan integrales impropias
las cuales pueden existir o no existir.
Integrales Impropias
451
Analizaremos la integral
f+W
l dx
j — , para esto calcularemos el área bajo la curva
x
y - — , y el eje X desde x = 2 hasta x = b.
x
rfx
J2x4
Luego
1
/
1 , 1 1
3 f cb3
3
3.T1
~
entonces
8'
es igual a
JJ2z xv 4
24
1_
l/i3
3fc
, cuando b —> * lo cual expresaremos en la forma.
r A jc4
= » fe-»»
» . J(*4
—i - . * 2 4
2 jc4
J2
ch dx_ _ J
3¿3
24
Se tiene dos tipos de integrales impropias que son integrales impropias con límites
infinitos e integrales impropias con limites finitos.
4.2
INTEGRA LES IMPROPJ a S CON LIMITES INFINITOS.*
a)
DEFINICION.-
Si
f: [a,+oo>-----> R es una función continua en [a,+TO>,
entonces a la integral impropia
Ja
f(x)dx definiremos por:
í f(x)tíx - hm f /(*)«*
^
Jtí
Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso
contrario diremos que es divergente.
Eduardo Espinoza Ramos
452
b)
DEFINICION.-
Si f: <-*,b]
►R
es una función continua en <-*,b]
entonces a la integral impropia f
f
fíx b tx * m
f(x )d x definiremos por:
f wxw*
Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso
contrario diremos que es divergente.
c)
DEFINICION.-
Si f: <-oo,+od>----- ►R es una función continua V x e R,
entonces a la integral impropia
/ (x)dx definiremos por:
divergente.
(c es un número arbitrario en donde está definición no depende del número c que
se considera).
OBSERVACION.-
Si ffx) >0, entonces las integrales impropias convergentes
representan el área de la región plana que determina la
gráfica de la función f y el eje X.
Ejem plo.-
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales
impropias.
Solución
Integrales Impropias
#+cfi dx
I
-=
JO
453
dx
lim I ------ = lim arctgjc/ = lim (arctgb - arctg0)
1+ Jt
*> l+ J C
6-»+®
”
fc-»+oo
= arctg(+oo) - arctg 0 = y - 0 = y
f+ct dx
n
— = — es convergente.
Jo 1+JC2 2
©
c dx
Í'í
Solución
f
exdx= lim
J-co
e xdx= lim e ' / = lim (e—e a) = e —e “ = e —0 = <
f
0 -> —oC'Jci
ü
o —>—te
I e xdx = e , es convergente
©
f Ijc Ie - *2dx
J-oo
Solución
-4-^
2
|jc|cí dx=r
2
f+co
2
2
r+0°
2
| j c | e * d x + í |jc|e * dx = \ z - x e x dx+ | xe x dx
J —x
J-oo
Jo
J-oo
Jo
= lim f - x e xldx+ lim f xe~x dx = lim —r—/ ° - H™ ~— /„
a —»—e©Ja
#)-»+(» J o
2
b-*+u> 2
4 [ lim (l-< r ° 2) - /im (e fc2 -1)] = I [ ( l - 0 ) - ( 0 - l ) ] = l
2
Í
+GT-
o — >-«■
fc—>+00
2
| x | e "dx = l
es convergente.
2
454
Eduardo Espinoza Ramos
e
cos(fcjc), a > 0
Solución
f e~“' cos(bx)dx= lim f e~ax cos(bx)dx
fí->+:s JO
Calculando la integral
Je
r"
|
Jo
cos(bx)dx =
J e~ax eos{bx)dx
por partes:
e “ (b sen bx - a eos bx)
a 1 +b2
e
ax
vj
.• í° -ax
,, , j
e “x(b se n b x -a eos bx) ,e
/
cos(bx)dx = lim | e
cos(bx)dx = lim -----------0 -» + t» J o
0-»+EJO
oa +b
+h~
r -aB (fr sen 6 0 - o eos 60)
a
.---------+ —----- 0->+or
a +b~
a +b~
■ hm [e
=
0+
°
r+or _
a
. I e-----cos( bx)dx - — ---Jo
a ~ +b-
4.3
es convergente.
INTEGRALES IMPfrOfiAN L UN LIMITES F1NITOS.a)
DEFINICION.-
Si
f: [a.b>
> R es una función continua eil [a,b>.
entonces a la integral impropia I f(x ) d x definiremos por:
Ja
f f(x)itx~ lim í f(x)dx
Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso
contrario se dice que es divergente.
455
Integrales Impropias
b)
DEFINICION.-
Si
f: <a,b]
----- > R es una función continua en <a,b],
entonces a la integral impropia
í f
- lim r
r1’
f(x )d x definiremos por:
f(x)d:
Si existe el limite diremos que la integral impropia es convergente, en caso
contrario se dice que es divergente.
c)
DEFINICION.-
Si f: [a.b] -» R es una función continua en [a.b] excepto en
x=c
donde a < c < b, entonces a la integral impropia
definiremos por:
I"f(x)dx= \ f(x)dx+ f f[x)dx - lim f f (x)dx+ lim f
Jo
«r
Ja
e *0
S
y
la integral impropia
f(x)dx
«•—>0 J c + e
son convergentes, entonces
rh
Ja
f(x)dx es convergente, en caso contrario se dice que es
divergente.
Ejemplo.- Determinar si las siguientes integrales impropias es convergente o
divergente.
©
Solución
[’
=
lim f 1
¿L - = / m
. = 2 es convergente.
-/l-x
i - 2 ^
/
= -2
Iim (-jE —l) = - 2 ( 0 - 1 ) = 2
Eduardo Espinoza Ramos
456
* x sdx
Solución
\ 2^ É L = lim í 2 ^ £ L = l i m 2 - J x - í [——— + 3(jc-1)3' 2 + x ] / 2
Ji
jx - l
* - » o J i+ e V J C - l
=
e-»o 7
7
f? jc3dx
72
Ji 4
V
* -» °
7
' 1+£
3 e3/2 +17£]= —
7
es convergente
ln (2 + g )
©
i:
Vi
Solución
f i ü í i ^ l * = f ■=% £>*+
J-i
3/x
J-i
Vjc
>ü J - l
Jo
dx
Vjc
e- ^oJo+e
= f t m 3 ¿ l n ( 2 + ^ ) ( ^ r - 4 ) - i ^ r +3/J] r E
e—>o
2
4
/
1
+ lim 3 [|ln (2 + V ^ )(V ? - 4) - - M / ? + V ^ ] /
e->0 2
4
/ e
= 3 (|[ln 2 (0 - 4 ) - 0] - | [ l n ( l - 4 ) - 1 ( 1 - 4 ) ] ) + 3 (|[ln 3 (l - 4 ) 2
2
4
2
- t ( 1 - 4 ) ] - |[ ln 2 ( 0 - 4) - 1 ( 0 - 0)]) = - ^ - l n 3
4
2
4
2
r1 ln(2 + 3/x)
27
/. | ------7=-----dx = ------ ln3 es convergente.
J-i
</jc
2
Integrales Impropias
457
4 .4
CRITERIOS PARA L a CONVERGENCIA OE INTEGRALES
IMPROPIAS.-
4.4.1
CRITERIO DE ( OMP\kACIO'N.
Consideremos dos funciones f y g tales que
0 < g(x) < f(x)
V x e [ a,b > y
además integrable en [a,t>, V t e [a,b>, entonces:
4.4.2
i)
Si j" f(x )d x es convergente, entonces
J g(x)dx
ii)
Si j" g(x)dx es divergente, entonces
J /(x)rfx
es convergente
es divergente.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA P a k a f t *• IvN E S DISCONTINl AS.Sea f : [a,b]----- > R una función continua en [a,b] excepto en el punto x = c;
si f(x )> 0 y
lim f ( x ) \ x - c \ m= A
donde A * 0, +a> en este caso a la función
X — *c
f(x)
lo
aproximemos a f ( x )
í
\ Tn
cuando x
c,
entonces la integral
(X -C )
impropia f / ( x ) d x .
i)
4 .4 J
Es convergente cuando m < 1.
CRITERIO
DE
CONVERGENCIA
INTEGRACION: ES INIFINITO.
Sea
f: <a,+oo> -----> R
i)
Es divergente cuando m > 1.
CUANDO
UN
una función continua en a < x < +oo,
lim f ( x ) jc m = A , donde A * 0, +<»
aproximamos a f { x )
ii)
LIMITE
si f(x) > 0
y
en este caso a la función f(x) los
A
m cuando x —> entonces la integral impropia.
Es convergente si m > 1.
OE
ü)
Es divergente si m < 1.
Eduardo Espinoza Ramos
458
Ejemplos.- Determinar si las integrales impropias son convergentes o divergentes.
©
f - Xs f+ xr
Solución
f*-0*
—
dx
f
< |
dx
—- , V x e [l,+oo>, como la integral.
X
JC3 +JC2
J,+:CI dx
1
— = — es convergente, entonces el criterio de comparación se tiene a la integral
r3 4
1
»+0O
J
dx
1l x 3 + x 2
es convergente.
J e * sen x2dx
Solución
r
oo
^
^+00
e~x sen x~dx< I e xd x ,
Jo
V
x g
[0,+oo>, como la integral
»+oo
Jo
e~xdx = 1 es convergente, entonces por el criterio de comparación se tiene que la
e x sen x 2 dx es convergente.
-
©
1
dx
í :Vx2 + 3x
Solución
J
dx
c dx
—----- < I —=
" V r2 +3x
Jo ^
f dx
V x e <0,11, como la integral | —¡= = 2 es convergente, por
Jn V*
lo 'amo í r
es convergente por el criterio de comparación.
Joa/x2 +3x
Integrales Impropias
©
459
r —
¡ £ = 1 2x +%Jx2 + 1 + 4
Solución
A la función dada los expresaremos así:
1
2
1
./'(*) =
r3
2x + V-v2 +1 + 4
{
2x
1 7
+ (1 + - y )
x
4
+—
cuando x —>+oo, el denominador tiende a 1.
Luego
/(jc )—
1
r-r.2 /3
=
A
xm
2
de donde A = 1, m = —
3
Luego por el criterio c) de la convergencia resulta que
f+“
dx
I --------.
—— es
* 2x + l]x2 +l + 4
divergente.
©
W
<*
f
dx
*
Vj xx +2l 4t f/jc+
x + xx3
'
b >0
Solución
A la función lo expresaremos así:
/ ( * ) = ,_
—= —rrr(— — -— rrrr)
^ + 2 ^ + jc3 jc1/4 x
+2+x
x = 0 y cuando x
f(x)
2x
esta función es discontinua en
0 a la función f(x) lo aproximamos.
- de donde A= — , m = — < \.
2
4
xm
Luego por el criterio b) de la convergencia se tiene que la integral impropia
rb
dx
f e
-G c+x3
es convergente.
460
®
Eduardo Espinoza Ramos
r«
|
Hallar el valor de k para que la integral impropia J (— --------- — -)dx
convergente. Luego hallar el valor de la integral.
Solución
r<
*£-------- — ) * = lim
x+ 1
2x +1
[ * ( - £ --------- !— ) *
6-»+» Jo x + 1
2x +1
= lim ( - l n | x 2 + l | - - l n | 2 x + l|) /
/j-*+oo 2
2
u
: Um l l n ((* +1) ) / h = - ¡im[ln¿ b +1) ) - 0 ]
*-»+» 2
2x+l /o 2 *->+»
26 + 1
este limite existe cuando b->+<» sí fr=—
2
f * ( - ? --------- — Xfe = - ln[ lim
Jo r +1 2x + l
2 fc-»+oo
(7 )
^
2 , ,*1/2
+ — ] = ■- ln(—) = - - ln 2
26 + 1
2
2
2
Hallar el valor de a y b de tal manera que la integral f
Jo
+ ^ + a -l)rfr = l
jc(2x
jc(2 jc+ a)
Solución
A la integral dada lo expresaremos en la forma:
Ji
x(2 x + a)
Jt
x
2x + a
b-*+oo Jt x
2x + a
sea
461
Integrales Impropias
la integral impropia es convergente solo cuando dentro del argumento del logaritmo el
numerador y denominador sus exponentes son iguales, es decir: a —b + 2 = 2 de
donde a = b.
— lim ln(— - — - ) ] / =1 => lim (ln— - — —- l n ----í— - ) = 2
2 *-*+* (2 x + a)~
1
fc-,+=0 (2b + a)
(2 + a)
ln( lim — - — - ) - l n ( —í—) 2 = 2
fc-'^ (2 fc + a )2
2+a
ln —-ln (—í—) 2 = 2 => ln ^ + a ^ = 2 , aplicando logaritmo neperiano
4
2+a
4
( ^ + a ) 2 = e 2 => ^ + G =e => a = 2e —2 de donde b = 2e —2
2
2
4,4.4
EJERCICIOS PROPUESTO^.
I.
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.
dx
©
Rpta. Conv. 2
■» (x + 1)3' 2
1
xe Xdx
©
Jo
©
J ü:
©
J^lnx dx
f ' e xdx
Rpta. Conv. 1
Rpta. Conv. e
f+ac
r u
dx
©
Jl
©
J* xexdx
x(x + l)
Rpta. Div.
Rpta. Conv. Ln2
Rpta. Conv. —1
462
Eduardo Espinoza Ramos
r+" x dx
®
I
--------—
*
(l + x )3
©
^
-V dx
, i +xY2 .)4
(a
í
©
\ , y
^
í
w
Jo - J 7
ix
—?=
5)
I °°“7¡ir
s
r
2
Jo x 3 + l
15)
p
1
R P t a - C o n v - TT1
66(a
(a +1)
Rp** . Conv.
Rpta. Conv. 2
Rpta> Conv' 100
e “* sen bx dx
^
Rpta. Conv.
17)
a 2 +b 2
3^3
—
Rpta. Conv. —
r ^ d
J0
b
Rpta. Conv. *
x ln 2 *
©
W
1
Rpta. Conv. y - 1
®
14)
„
Rpta. Conv. —
x
l+x2
lna
n2
Rpta. C on v.----
F
8
f+:c ~Jx2 —1
| — ------rfr
Rpta. Conv. —
J
Rpta. Conv.
x 2e *xdx
1
_2_
27
463
Integrales Impropias
f+0°
@
Jo
xdx
( jc 2
1
Rpta. Conv.
18
+ 9 )2
@
f bex~é‘dx
J-oc
Rpta. Conv. I - e '
©
r+0°
dx
J° ( jc 2 + a 2)(x2 +b2)
Rpta. Conv.
©
f+0° x 5dx
Ji (l + jc3)5' 2
Rpta. Conv.
@
r+0°
dx
Ji (x 2 - 6 x ) 3/2
Rpta. Conv.
0
C + cc
*
0
r+0°
—2 jc — 1
3 ^ (x -l)2
dx
71
2ab(a + b)
W2
18
3 —Js
18
Rpta. Div.
*
Rpta. Conv. I n ^ ° * +I
a>
■'flI W l + JC2
1 71
Rpta. Conv. — + —
2 4
0
r ^ d ,
Ji l + x
©
f+0° 9
x e
J—
00
0
-+CO
1 xco sh x dx
3- oc
p ” x dx
@
0
J-” l + x4
fV ^ d x
3-00
dx
Rpta. Div.
Rpta. Div.
Rpta. Conv.
71
y
Rpta. Conv. 1
464
®
®
@
w
E
| x | e x dx
f+0° dx
F — ---J-co 4jc2 +1
f
^ ------J °°x + 2 x + 2
® E
(3 )
Eduardo Espinoza Ramos
r
e
wí¿c
, dx
V_y
i— x2 +4x+9
®
^
f* " 4 ^
J-°°(x +1)
Í+°°— d x
—
~ ( r ! + l)¡
(38)
w
r
2dt
Jo ex +e~*
II.
Rpta. Conv. 1
n
Rpta. Conv. -
2
Rpta. Conv. n
Rpta. Conv. 2
Rpta. Conv.
i
V5
Rpta. Div.
K
Rpta. Conv. —
2
Rpta. Conv. *
2
Determinar la convergencia o divergencias de las siguientes integrales impropias
©
i x~2ndx
Rpta. Conv. 9
©
tw T \
RpRI.Conv.-3
(? )
W
f1 , dx
W l + x - 2/3
Rpta. Conv. 2 (2 ^ 2 -1 )
( 4)
f
Rpta. Conv. n
0 V 4 x -x ^
465
Integrales Impropias
f ~
(Í)
w
j~2jc3
(ó )
f
.
f
®
Rpta. Div.
Rpta. Conv. -
—t t
( x - 1 ) 2' 3
f —j = =
Rpta. Conv. 6
Rpta. Div.
x^4 -x2
( 9)
^
f
Jo
^
Rpta. Conv. —
2
f5
Rpta. Conv.
1,3 Vjc2 - 9
(íl)
w
f —%=
W ln x
Rpta. Conv. 2
©
W
fJl
RPta- Div
( Í 3)
W
Jn 4.l a x - x 2
14)
^
f
x2 _ 4
x dx _
Rpta. Conv. Fia
í
J° x 3 - 5 jc2
Rpta. Div.
(í?)
f°
Rpta. Conv. —
(Í6)
W
í
***
Jo V -r -x 2
* ^
Rpta. Conv. IT
466
Eduardo Espinoza Ramos
®
^
i ' ( x - l ) ( x-----Jo
-3 )
®
^
Jo %¡3x-l
0
f3 ^
f»
, a<b
*
^ ] (x -a )(b -x )
©
©
r5
dx
dx
r5
@
©
Rpta. Div.
Jo (JC-l)Oc2 -8 x + 1 5 )
©
©
Rpta. Conv.
f x ln x dx
Jo
Rpta. Conv.
J(x-3 )(5 -x)
<*
,
x dx
Ja -J (x -a ) ( b -x )
r1
x~ dx
a<b
Rpta. Conv.
Rpta. Conv.
1 - x 2 + 2^/1—jc 2
r”' 2 ¿ x
Jo 1 -se n x
Rpta. Div.
Rpta. Div.
467
Integrales Impropias
• »
29)
f« 4 sec2 x dx
I
— ==—
_
Rpta. Conv. 2
Jo
<3<j)
í
Rpta. Div.
secx ¿x
J-n¡2
III.
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.
(7 )
í —¡=— —
J<> Vx(x + 1)
Rpta. Conv. n
(? )
í
— T= =
Rpta. Conv. 0
w
J
4 x-n/x + 4
( 3)
í 6
dx
Jo -v/x
( 4)
í
— ***
x4x2-4
Rpta. Div.
©
f
iv fr r
Rp,a- Conv- J
©
r
w
Jl
Rpta. Conv. 1
¡7
Rpta. Conv. 1
f
®
( 9)
x 2^ /7 ^ T
(Jc2
í
conv. I
Rpta. Conv. 0
^
-=■
Jí V 2x 2 - 4 x - 6
Rpta. Div.
Eduardo Espinoza Ramos
468
fíS )
(ll)
w
Rpta. Conv. —
f ----------------Ji (jc- 1 ) ( 2 - jc)
r+ot- r 3 +1
F — -— dx
Rpta. Div.
r+0°
dx
f -----—---■fe2 x ln(lnjr)
Rpta. Div.
r+K' dx
f --------- ¡e jc(lnjc)
Rpta. Conv. 1
Jo
IV.
Rpta. Conv. n
v4
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.
--------- ^
( l)
f
©
^
(" " -£ ± 1 *
A x 4 +1
í
X.
dx
Í2 4 x 2 -1
( 4)
w
f Sen(^ ’ dx
Jo J x
®
r
(ó )
f
*
e x dx
Rpta. Conv.
Rpta. Conv.
Rpta. Conv.
Rpta. Conv.
Rpta. Conv.
Rpta. Conv.
jr(lnjc)3' 2
Integrales Impropias
ln(jc ~ +1)
©
469
dx
1 dx
Rpta. Div.
Rpta. Conv.
®
dx
Rpta. Div.
-v5 +1
senx
dx
©
' x arctg x dx
Rpta. Conv.
Rpta. Div.
■
x 2dx
Rpta. Div.
V o - * 2>’
dx
e
—i1
-Jx dx
e*enx _ i
dx
Rpta. Conv.
Rpta. Conv.
Rpta. Div.
e -c o sx
In(secx)rfx
Rpta. Conv.
4~x
■> i )dx
,
rsen~(—
x
sen x dx
Rpta. Conv.
Rpta. Conv.
470
Eduardo Espinoza Ramos
Problemas Diversos.
dx
©
Mostrar que la integral
©
Demostrar que la integral impropia r >
impropia
(T )
J
es convergente para p > 1 y divergente para p < 1.
+x 2) 2dx es convergente y la integral
.v(l + x 2) 1dx es divergente.
Mostrar que la integral
impropia
í — ——- es convergente si 0 < p < 1 y
J" ( b - x ) 1'
divergente si p > 1.
(? )
w
Demostrar que:
—- - j = 71
1+ jc
2-v/2
í
^'v = [
Jn 1+.v
Demostrar que: j" e ' dx = 2^
(é)
Demostrar que:
©
Determinar
e ' dx =
^-j=rdx.
í — —— = [ S— X dx
■»>
x
J" árceos ,v
un
valor
para
n
de tal manera
que
la
integral impropia
que
la
integral impropia
r y , n.v2
1 ,.
(—--------------- )dx es convergente.
Ji
v ’ +l 3 r + 1
©
Determinar
r ' kx
Att
Ji ( f ’ + r
un
valor
1
^
para
k
de tal manera
)dx sea conver trente v calcule la integral.
1 1.n5—
Rpta. k, 1= — , —
2
(V )
Determinar el valor de n para que la integral impropia [
"
Ji
convergente.
Rpta.
11 = ^
4
4
(— -------- ^ — )dx sea
.v + 1 2.r ~+n
471
Integrales Impropias
®
Determinar el valor de k para que la integral impropia
C+cc
1
k
r---------)dx sea
4 i x 2 +\ * +1
1
3
Rpta. k = —¡= , — -¡=ln 2
V2
2V2
Jo
convergente y calcular la integral.
©
r+0D dx
r*a dx
Para que valores de k convergen las integrales | —7------y I ---------- 7* x ln x
Jz x(lnx)
Rpta. Para k > 1 converge y k < 1 Div.
®
Determinar el valor de k para la integral impropia
r rX
k
2x
Hallar el valor de la integral impropia:
+ 2c
x+l
Rpta. k = 1, ^-ln2
convergente y calcular la integral.
®
c
(— ---------------- )dx sea
r+oc
(
Jo
a
1
-------- )d x .
4 \ + ax2
* +1
Rpta. a = —j= , -^=ln2-Ja
■Ja -yja
®
C+CC
e
Sabiendo que: J
x2 ^rr"
d x - —^ - (integral de
Poisson) calcular las integrales
impropias siguientes:
a)
í e d x ,
Rpta. —J —
2 Va
a>0
Jo
b)
r"'- e *
I —= d x
Jo 4 x
I—
Rpta. -Jn
c)
J x 2e x dx
Rpta.
Sabiendo que:
impropias.
Jo
se n v
ti
x
2
----- —dx = — (integral de
Dirichlet) calcular las siguientes
472
Eduardo Espinoza Ramos
a)
f+tc sen 2x
Jo
f
Jo
n
Rpta. —
dx
2
jc
sen ax ¿fc
jc
Rpta. — Si a > O,
2
sen2 jc dx
d)
e)
Rptó-
r+rr sen j c dx
------------
„
n
Rpta. —
4
jc
-+ c o g e n 4 j c
------ -Jo
x
®
Rpta.
Pruebe que la integral
f00 sen x
2
4
dx es convergente.
JC
Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales:
■>
(l8 )
4
„ ^ n .
, n .
Rpta. — si a > b, — si a = b, o si a < b
jc
Ji
^7)
n
-
„
<£c
_
r+^senaxcosfer dx
n , n
I)--------- -------------------- , a > 0, b > 0
Jo
sí a < O o sí a = 0.
n
„
»
Jo
2
b> f p r * ”
Estudiar con detalle si la integral dada converge o diverge
í —=
cuícos 6 - e v) 2
Jl
conociendo que 0 = 7t y v = ln e *.
Hallar los valores de a y b de tal manera que la integral
f00 2jc ^ + b + a
(
jc(2 .v + a )
Ji
JJ x' W jc,
(20)
Hallar
(5 l)
Evaluar £ x i e xdx
( n e Z +)
l)<£c = l .
Integrales Impropias
473
22)
Calcular I x e
Jo
23)
Analizarla convergencia o divergencia de la integral í
4.5
APLICACIONES DE LA INTEGRAL IMPROPIA.»
4.5.1
AREAS DE REGIONES Y VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION.-
©
dx
(2v -l).v í¿v
—
o(1++j c r
Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de agnesi v = —^ — —, y el eje
x~ + x~
de abscisas.
Solución
La urálica de la curva es:
Como la gráfica es simétrica con respecto al eje Y
se tiene:
AIR) =2 \ y dx = 2
Jo
f , dx
Jo x2+a2
Y * A{R) = 2ay lirn í
= l a 1 lint arctu—/
X
h ~ ,v L x 2 + ai
~ a '"
■2 a //w(arctg—-arctg0) = 2ai arctg(x)
b
a
(2 )
A(R) = a^n u 2
Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y 2 = — —
’
( a > 0).
Solución
La gráfica de la cisoide es:
2a-x
y su asíntota x = 2a
Eduardo Espinoza Ramos
474
Como la gráfica de la cisoide es simétrica con
respecto al eje X se tiene
C-“
f 2"
Jo'
Jo
A(R) = 2 1 vdx = 2
Como la función
v
,v — :— dx
y 2a — Y
es
discontinua en x = 2a
entonces
A(R) = 2 lim [
*-*■ Jo
— d-x
Calculando la integral
Sea
x — z~
x\ p r ~ —
\2 a -x
=> dx = 2z dz
=Ad=
s jla -:2
-Jla -:1
6 = aresenf—^ r )
sen 6 = -
•Jla
z - -J2a sen 0
C
i
X
_
J V2o —y
7
r
d z = s jlc i
_ ? r 4q2 sen4 f í.jla eos 0
z 2d z
J -Jja -z2
eos 0 dü
d 6
' f i ü eos 6
r
O ■>
4 n ,,, •, ’ , 30
= 8fl"|sen 0 d Ü = 2 a ~ (
i
2
, _ sen 40
sen20 + ---------)
8
Cambiando los límites de integración se tiene:
A(R) = 2 lim í
y ,o Jo
x J ■X
V 2í7-y
dx = 2a2( ~ - s e n 2 f í + SCU4° ) / ”'
2
A( R) = 3 a ^ n u 1
8
'o
••• (1)
475
Integrales Impropias
(T )
Calcular el área de la región limitada por las curvas
y=
W
~ ^x \
,
y =
1+ x
—^ ' vj
'
1+ x 4
Solución
A(R)
dx
1+ x
1+ x
1+ x
f
6 1Jf I ,
f+oc 6 1x I ,
, f u 2 1x |
_C K 2 Ix I ,
rfx+I
--dx = 3
------ - d x + 3 \
dx
J - l + x4
1+x4
Uj 1+ x
1+ x 4
A{R)= I
= lim
2x dx
Jtí [ + (*“)“
-3 1
--------- r ^ r + 3
/iw
f
I
2x dx
—— = - 3
6—
n-coJo l+ (x 2) 2
t /j
lim
£/->-«;
a rc tg * - /
+3
' a
//w
■, />
'0
a rc tg A - /
b~H-CC
= -3 lim (0-arctga2)+3 lim (arctgh2 -0)=-3(-arctg(oo)) + 3arctg(=o) = — + —
tí—>-00
/>>: LO
2
2
A(R) —3n u'*
©
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas xy = 1, _y = — *— , a la
x" +1
derecha de la recta x = 1.
Solución
Ubiquemos la región entre las curvas
476
Eduardo Espinoza Ramos
/((R) = (¿ ln 2 lu !
i)
Calcular el área de la región R comprendida entre la curva y = xe x’' 2 y su asíntota.
Solución
Calculando la asíntota: y = xe ~x 2 = —- — , cuando x -> ±oo. y = 0
**.2
Luego y = 0 es la única asíntota. Ahora graficando la curva se tiene:
Se observa que la gráfica es simétrica con respecto al origen.
Integrales Impropias
477
A(R) = A, +.4, = 2 A-, = 2 Í j- dx = 2 lim í xe
Jo'
2d x - 2 lim - e " ’2 ¡
h -r-s Jt¡
'
h -t J
**
- lim (e h 2 - l ) = -2 (0 -1 ) = 2
h *-'/
A(R) = 2 u -
©
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por las lineas
)■= e ' , x = 0 e y = 0 alrededor del eje X.
V=nj
y 2dx = 71J e2xdx
V = n lim f e 2xdx
a +rJ
a
2x
C /H
V - n lim, ------/
i 'u
V = —« 3
->
©
3,v
y=— :
Determinar el volumen de revolución engendrado al girar la curva
‘
jc2
+ 3
alrededor del eje X.
Solución
'"I
—
t x
dx
P----p
(.V-+3)-
478
Eduardo Espinoza Ramos
I
+ —V arctg -^L) /
K = 18n lim (------2(.v 2 + 3 )
K =187r
lim ( ------- ^
—
2v 3
-v/ 3
+ — ^ = a rc lg -^ = )
h * - 2 (h + 3 )
2-n/3
= 1 8 7 r(0
V3
..
L =
WJ
7
+ — ^ = - ( — ))
2V3
2
, ,
7TU
Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide
y2 =
2a - x
alrededor de su asíntota x = 2a.
Solución
Aplicando el método de la corteza cilindrica se
tiene:
V
=2nf(2fl-jr)v
dx
Jn
t-a
x-Jx
V=2n\ ( 2 a - x ) - ^ ^ d x
-\¡2a-x
V=
2nJoí
( x 4 2 a x - x 2 )dx
V = 2 a ' n 2 w3
®
Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la curva x + x y 2 - y = 0 , alrededor de
su asíntota vertical.
Solución
Determinaremos
la
asíntota
vertical,
para
esto
despejamos
y
es
decir:
1± a/1 -4 . v
>' = -
2.x
Luego su asíntota vertical es x = 0 (eje Y) por lo tanto la curva gira alrededor del eje
y
Y entonces despejamos x: .v = ------ .
1+ V
479
Integrales Im propias
Aplicando la simetría se tiene:
= 2 U ¡ ' x~dy = 2 u [ '
Jo
y ~ü;V ,
Jo (1 + y )
f7'
V= 2U lim
y 2dv
. . (1)
0 + y 2 )2
u= y
Sean
dv
du = dy
V
=
-1
dy
-
2(1 + > ' )
O + .t-)-
r r
ydy
v
1
—1— r r = ------^ r + T-arctgv
•»<’ fl + v- ) (1 + v- ) 2
... ( 2 )
reemplazando (2) en (1) se tiene:
v
V = 2U lim
im (------ 1
b—
>+v++,/
(l + v )
1
2
arete y) / =2T1 lim (
— + —arctgó)
/n
i>>— 2(1 + b 2) 2
¿
i
V = 2fl( 0 + —arctg(oo)) =
Calcular el
volumen
u3
del
sólido
generado
por
la
rotación
de
la
curva
vv2 = 9a2( 3 a - x ) . a > 0 alrededor de su asíntota vertical.
Solución
En primer lugar determinaremos su asíntota vertical para esto despejamos y es decir
V
= ± 3 a.
\
3a-v
correspondiente.
. Luego su asíntota vertical es x = 0 (eje Y); ahora haremos la gráfica
480
Eduardo Espinoza Ramos
Como gira alrededor del eje Y aplicaremos el
método de la corte/a cilindrica y como es simétrica
con respecto al eje X, se tiene:
■ H
e
X Jü
ja - x
■dx]
La función es discontinua en x = 0, entonces
V = l2xaltm f ' j t ’^a ~ x d x . Calculando la integral y tomando él limite.
E >0 Jf
V =— a l n 2 u 3
4.5.2
©
PROBLEMAS PROPUESTOS..
Hallar el área de la figura comprendida enire la curva y = —
x = 1 (x > 1).
(T )
el eje OX y la recta
Rpta. 1 u ~
Calcular el área de la región limitada por la gráfica y = -
— y su asíntota.
x ~ +16
Rpta. 16/r u 2
©
Calcular el área de la región comprendida entre la curva y = e |v 11 y el eje X.
Rpta. 2 n 2
^4)
Calcular el área de la superficie limitada superiormente por xy = 1, inferiormente por
i:v2 + v -.v = 0 . y a la i/quierda por x = 1.
Rpta. (\n-Jl)u2
Integrales Impropias
©
481
Calcular el área de la figura limitada por la curva
sus ejes.
©
y 2 (x2 +
Rpta. 8
4) =
4 jc 2
. sus asíntotas y
m2
4
Calcular el área de la región limitada por la curva y2 = — —- , y = 0 y sus asíntotas
4-x~
Rpta. 211 a 2
verticales.
(j}
Calcular el área de la región limitada por la curva
asíntotas verticales.
^ 8)
y 2 = — -— , y = 0 y sus
Rpta. H u 1
Encontrar el área de la curva y2( a - x ) = x 2(fl +x) y su asíntota.
Rpta. ( y + 2 )a2 u 2
^9^
Determinar el
a'
10)
2 (>
-1 ) + >
- a
área de la región
Rpta. (^In2)w2
Hallar el área de la región, no acotada, limitada por la curva y 2 =
* 7 , por sus
l + .v"
Rpta. 2 u 2
Encontrar el área de la región limitada por curva y2 = £Í£—ÍLL_ y por su asíntota
2a - x
(a > 0).
12)
curvas x(y — 1) = 1,
= 1. ubicada a la derecha de la recta x = 1.
asíntotas y el eje Y.
(Í7)
limitada por las
^
n+4
i
i
Rpta.--------- a " u~
Hallar el área de la región limitada por la curva y2 = —*— y sus asíntotas.
JC " - 1
Rpta. 4 u 2
482
15}
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y = arctg x, 2y = n , x = 0.
Rpta. no existe
14)
Hallar el área de la región limitada por los gráficos y = sech x y su asíntota.
71 7
„
Rpta. — u~
15j
Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del
]
eje x. la región comprendida entre la curva y =
, x > 1. y = 0.
JC"
Rpta. 3n u3
16)
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la linea
y = e x , x = 0 e y = 0 alrededor del eje Y.
©
xy2 = 4a2( 2 a -x ) gira alrededor de su asíntota. ¿Cuál
La curva
es elvolumen
Rpta. 4a 3n 3 u 3
generado?.
(l8 )
Rpta. 2 n u 3
Calcular el volumen del sólido generado al hacer rotar la región comprendida entre la
curva
jc
+ x y 2 = y , y su asíntota vertical y gira alrededor de su asíntota vertical.
2
Rpta.
^ 9)
Calcular el volumen generado obtenido al hacer girar la región comprendida entre la
curva y = —-í— y su asíntota donde el eje de rotación es el eje X.
x" +2
_
Rpta.
1
71~ -1
Calcular el volumen del sólido generado al hacer rotar la región comprendida entre las
1
x
curvas y = —, y = —i¡— , y que se encuentre a la derecha de la recta x = 1 y rota
x
'
alrededor del eje X.
JC "+ 1
Rpta. ———TI u 3
Integrales Impropias
483
Hallar si existe el volumen del sólido de revolución obtenida al girar la región
comprendida entre la curva y =
x~ —1
, y su asíntota, alrededor de la recta y = 1.
x~ +1
Rpta. 2 n 2 ip
Hallar el volumen obtenido al girar alrededor del eje X, la región situada encima del
eje X y limitada por la curva
( jc -
4) y 2 = x(x - 3).
Rpta. — —
¡P
La región limitada por la gráfica de y = e * , x > 0 y por sus asíntota, rota alrededor
del eje de coordenadas, calcular el volumen del sólido.
[24)
Rpta. IT iP
Calcular el volumen del sólido generado al girar la región comprendida entre la curva
xy2 =9a2( 3 a - x ) , (a > 0) y su asíntota gira alrededor del eje Y.
Rpta. y a 3n 2
m3
4.6. .. FUNCIONES ESPECIALES.*
En esta sección estudiaremos las funciones conocidas como la función Gamma y Beta
que se denota por T(x) y B(m.n) y son definidas en términos que una integral
impropia.
4.6.1
DEFINICION.-
La función Gamma es una integral paramétrica definida por:
Jh Ux~ie''udu , V x > 0
Esta integral es convergente para x > 0.
4.6.1.1
/ R ( P LvADES DE LA FUNCION GAMMA,-
i°
r(x + i) = x r(x ), v x > - i
Demostración
484
Eduardo Espinoza Ramos
Por definición de función Gamma se tiene:
r(A + l)=
f
xe "du - P u xe " d u = lim f u xe “d u , integrando por partes
JO
Jo
Í w =u 1
dv = c “ du
/» -> + tr.J o
\dw = x u x l du
|v = - e -"
r(x + l)= lim [ -u xe " / / +jcf «' ’e “d«] = 0 + x lim
0
p —>-*-rX
Jo
f u x ie “ du
y?->+ur J()
= x f u I l e~udu = x r(x )
r(x + i) = x r(x)
Jo
2o
T(n + 1) = n!
V«eZ+
Demostración
Aplicando repetidas veces la propiedad 1.
T(n + 1) = n r(n) = n(n—1) T (n - 1)
= n (n - 1 ) (n - 2 ) T ( n - 2 ) = n (n - 1 ) (n - 2 ) . . .3 .2 .1 T ( 1) = n!
T(n + 1) = n!
OBSERVACION.-
V»eZ‘
T(l) = T u'~le~“du = \ e~"du = 1
Jo
Jn
ni)=i
j.
Jo
2
La demostración de esta propiedad está en el libro de Transformada de Laplace en
forma detallada.
Integrales Impropias
485
Ejemplos de aplicación.0
Demostrar que V(-^) = -Jñ
Solución
r ( j c ) = f u ' xe "du, de donde
Jo
Por definición de la función Gamma se tiene:
T ( — ) = f u 2 e "du = f u 1 2e "du
2 Jo
Jo
Sea u - -v2 => du = 2x dx
Para x = 0,
u = 0 y cuandox —> » , u —» so
T (I )= [ x V r' 2x dx = 2 f°° <? '*dx = 2 —
2
©
Jo
Calcular la integral
Jo
2
=4 ñ
e 'dx
Solución
r ^ e xdx = r x 1- V ' d r = P ^ V ' d * = r ¿ ) = n i + i ) = i r ¿ ) = ^
Jo
Jo
Jo
2
2
2 2
2
©
Calcular la integral
jc4e * dx
Solución
-cr
Por definición de la función Gamma. T(x) = I u x le "du
Jo
Sea u = x 2 => x = u 1,2 => r¿v = —« _1 2du
2
Para x = 0, u = 0, x —> » , u —> oo, entonces
Eduardo Espinoza Ramos
486
[ '
\
Jo
x
4
./
e
/
dx=\
2.2
) e
(a
Jo
=—
x'
,
dx=\
Jo
u
2
e
i< 1
1 2
—u
2
f u l'~e “d u ——2 Jof m2
du
é? “du
2 Jo
=I n - ) =i n i + - ) = - n - > = - r a +-) = - n - j =—
2 2 2
2 4 2 4
2
8 2
8
©
Calcular la integral J x 7" 2e ' )xdx
Solución
C
o
u
Sea u = 9x => x = —
9
, du
dx = —
9
Para x = 0, u —>0, x —» * , u —»oo
Jo
jc
m
e
y. v i
ox =
w
"I ■7
”
Jo 27
-K du
1
e — --------
f'
243 Jo
9
u
5
y -1
e
„ ,
du
=— n - ) = — . - n - j = — i r ( - ) = —
243 2 243 2 2
162 2 2 324
Calcular la integral
J
-%/jc e Hx dx
Solución
Sea u = 8x 3 => x =
M1'3
M 2'3
=> dx = -------- du
2
6
Para x = 0, u = 0 para
r
Jo
x
—> x . u —> »
. 1,6
-2/3
/~ -»«•’ j
r' u11
a u12 ~
i f
-t,2
Va e
rfv = —
------------ du = — ;= I u
e
Jo V 2
—
1
6
f
&Jl Jo
1/ 7“ 1 f
6V2 J"
dt
1v
«i#-= ----17=rI/ (—)
= ^ 7= =
&Jl
2
6a/2 61/ 2
487
Integrales Impropias
©
i
dx _
i r
a \x
Solución
f1
_ * f1
J" -\/—3 ln y
-73
-7—ln y
Sea u = -lnx =^> ln x = -u => v = e " => dx = - e 1 du
Para x = 0, u —» x . x = 1, u = 0
f1
dx
J= 7 ^ 7
,f7 -
-É
i r- i ■
I u~
-7J J»
©
1,2
_ 1 f° —e “du _ 1
Calcular la integral |
e
,(J
-f iJ ."
"
n{ ’
Tí
fí-
-x/3
-v/3
V3
du = — j ^ = —j= = J —
7 4' re­
solución
7 4,: = t ,n7J': = <,< 41n7>'; = — j l = e
Jo
u= 2slhñx
7 4l r/x = f e< 41n7)v"rÍY=— jL = T e " r / n = - ^ =
2Vln7 ■»<>
4-7ln 7
OBSERVACION.-
En la definición de la función Gamma f f r ) = f //' V
Jo
haremos las siguientes sustituciones tenemos:
1 ) Si se sustituye t=e~“ => - d t = e "du
t= e"
= > l n t = -u => M= - l n f = l n -
l
du
Eduardo Espinoza Ramos
488
para u = O, t = 1. u ->
le "du = f°[In(-)]" \ - d t ) = [' (ln(-))x 1dt — f‘ (ln(—) ) T 1du
r(.Y)= f V
Jo
es decir:
t —> 0.
Jl
r1
/
1
Jo
Jo
t
U
i
r(x) = [ln(—)]J d u , x > 0 .
Jo u
2o) Para a > 0 . u = i a => du = a
la
ldi
para u = 0, i = 0, u = 1, t = 1
r(.v)
= £ [ l n ( — ) ] * 1 í/m = £ [ l n ( ^ - ) ] v
= f a x
Jo
'(ln (-))v
/
la J a
ldí
xatu 1dt
=a '
Ejemplos de aplicación.
Calcular que:
[ ln~——]' 2 dt
Solución
r(.v)=oJ f‘[lnC-)]v 1
Jo t
= -s/2-v/tt
= ^2ñ
ldt
= jJ [ln (y ) T
f'[ln(-)]v
Jo
I
*/"
ld t ,
xa J a
x > 0
xdt
489
Integrales Impropias
©
Demostrar que
Solución
( [ — — ]l,2dt = f V í - ) ] -172/1' 2*// = f1[ln(—
>]2 l t 2 ldt
Jo1 t ' 1
Jo1 Y
Jo ln(l//)
como
r ( x ) = a ' £ [ln (|)]' 1t a l dt
=> JC= - , a = -
2
2
=> T (I) = ^ f j V ( y ) ] _1 2t 1,2dt
-Jn[ln(—)] 1 2t h2d t , de donde tenemos:
j W > r ‘'v !rf'
ln(—)
/
4.Ó.1.2 EJERCICIOS C LSARROLLA DOS. (7 )
^
Probarque f x pe x dx = —T(^ + S . p > - l
Jo
2
2
Solución
Sea : = x 2 => dz = 2 x d x = > dx = — =
2x
2= v l
Si x = 0, z = 0 y si x —> do, z —> do
f x pe X\ l x = [ z p Y 1 y ! Í 1 r/r = - í z ^ " c ^ / z = - f z ~ 1Y ¿z = I T ( ^ )
Jo
Jo
2
2 Jo
2 Jo
2
2
f * jrt;
p ¿
1 r ,/> + le
dx = — r(—----- )
Jo
2
2
®
Demostrar que:
f^
J x m( ln x ) " r fr = -
(—1) ” //!
« e Z , m > -l
490
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Sea ln x = -u => .v = e “ => dx = - e "du
Si x —> 0, => u —>00; si x —> 1 => u —> 0
jV
(ln.v)"rf.v
=f e
n"‘ ( - u)n (-e"du) = f ( - l ) Hu tte {m^ )u (-du)
Sea (m + 1)u = z => du=-^~
m+ 1
Cuando u = 0, z = 0. u —
z -»-*
£ x m(ln.v)” dx = f (-1)" u V (B" 1)"(-du) = (-1)" f u ne-lm' l)" (-du)
= ( - ! ) ” f ( - = - ) " e~z —
Jo m + 1
(-1)"
m+1
=
M ) " f z ”e Zdz
fm + n1)"',+1 Jo
(m
r _ (..-i)-ic -v _ J - O 'T t n + l)
- f z (H+1)1t
(m +1) "Tl Jo “
6
“
(m + 1)n+1
(-1)"»!
(m + 1) bt1
Calcular J| x"‘e ux dx, m, n, a > 0
Solución
11
Hacemos u - a x
n
ti
U
/ U , I /17
=> .v = — => .v = (—)
a
Si x = 0, u = 0; x —> to => u —>00
a
1
1 ,U
^dlt
n a
a
=> dx = — (—)
—
Integrales Impropias
491
m
v e
i/v" i
1
dx =
m -1H
^71 + 1
)
na
(7 )
Demostrar que:
r(;;) = 2^ x 2" le ' dx
Solución
Por definición n « ) =
2|" a 2" xe
Jo
1dx ~
f a" V
Jo
fx "
Jo
Sea 11 = v2=> du =
"du
e ' 2a dx = í (v )" 1e ' 2x rf.Y
Jo
2x d \
Si x = 0 => u —> 0; si x —> * , u —» x
2 f a"" ’c
Jo
' dx = f u" ]e "du=r(n)
Jo
por lo lanío T(//) = 2
4.6.2
DEFINICION.-
f
Jo
a 2" ’e
dx
A la función B:R xR ------ >R . definida por la integral
/?(»»,«)^Jf<>um1ü-ur'du
■
donde m > 0, n > 0 se denomina función Beta.
[ 4.6.2.1
PROPIEDADES P E LA FUNC ION BETA,-
©
B(m,n) = B(n.m)
Demostración
J*I
,
H .
U1,1 (1 —!/ )#l du
I)
492
Eduardo Espinoza Ramos
t/ = 0. r = 1
Sea / = 1 —u => d/ = -du, además cuando
// = 1, r = 0
B(m.n)= j V " '(!-//)" 'du = - f z K 1(1
V r = j%" '(1-r)"' 1dz = B(n , Oí)
Y(m)Y(n)
Y(m-m)
Demostración
La demostración en detalle de está propiedad se hace con transformada de Laplacc y
el teorema de Convolución y está desarrollado en mi libro de Transformada de
Laplace.
Y(m)Y(n)
2Y(m + n)
sen2'" 0 eos 2" ] O d 6 = ^ B ( n . m )
2 '
'
Demostración
B(m,n) = f
De la propiedad (2) se tiene:
t/" 1(1 -//)" 1du =
f)r(«)
Y(ni + n)
Jo
Sea r = eos2 0 => d : = - 2 eos 0 sen 0 dO => sen 0 eos 0 d ü = ~ ~
Cuando 0 = 0 . z = 1; ^ = y - z = ^
í
Jo
0
sen2"' 1 eos2'' 1 6 d6 =
=
=
0
0eos 0 dO
f
sen2"' 2 eos1” 2 0.sen
f
(1 —eos2 0)"' '(eos2 0)'' 1 s e n 0c os 0 dfí
Jn
Jo
1f
0 Ji
(
l
‘ r" ld= = — f (1 -;)"' l = "-ld=
1
. n m )r(n )
- —B(n, ni) = ------------2
2Y(m + n)
2 Jn
Integrales Impropias
493
4Á.2.2 EJEMPLOS APLÍCATIVOS.Calcular las siguientes integrales
J JC5 (1 —JC)8 í/x
Solución
j V ( l - x f d x =£
X 6" 1 (1 - X ) 9
T(6)r(9)
T(6+9)
1dx = 5(6,9)
T(6)r(9)
T(15)
1.2.3.4.5
9.10.11.12.13.14
rn/2
©
r
5! .8!
5! .8!
14!
81.9.10.11.12.13.14
1
9.11.13.14
1
18018
sen x dx
Solución
j ^ s e n 2” 1 e c o s 2”-1 6 d8 = JJ/2sen8 6 d 6 = - B ( m , n )
2 m—1 = 8 => m= —
2
2n —1 = 0 => n = —
2
r.n
Jo
,
1 9
1 1
r(l>r(í ) l f 1^
sen x dx = - B ( - , - ) = - .
\
} = - - 2 — 2-----2 2 2
2 r (9 1
2
T(5)
2 2
1 Z 1 2 I 'Jñ'Jñ _ 105
2 2 2 2 2
4!
“ 7 6 8*
494
©
Eduardo Espinoza Ramos
sen6 6 eos6 6 d6
r
Solución
sen2m 1 0 c o s 2n_1 0 d6 = —B(m,n)
Jn
2
_ 7
m ~2
2m -1 = 6
2»-l=6
„J_
~
2
i " ’ *»» W
Jo
*
2
2 2
2
rf2 + 7
= I , W - > 2< i ) ^
2 2
2
2+2
_ 225
7r
_
457T
_ 15?r _ 15?r
_ "32~’1.2.3.4.5 _ 32.1.2.3.4 ” 32^8 ~ 256
(4)
W
1 dx
Calcular la integral I = \ —¡=1
Jo2 l ^ x 3
Solución
Como B(m,n) = í u m ' ( l - w ) ” 1d u , entonces
Jo
_ -2 /3
V
=> x = r 1' 3 => dx = -
3
parax = O, z = 0; p a r a x = l , z = l
dz
2
6!
Integrales Impropias
495
1 * 1 1.
3 3' 2
,
f1
,
dx
>
3-
i+ i
3 2
3
f
¿
5
6
, V ñ -r(-)
3
_ 1
r (- )
6
(i)
Calcular la integral / = í
^
Jn^ V
Solución
Sea z = x A => x = z 1/4 => x = —z 3/4rfe
4
Para x = 0, z = 0; para x = 1, z = 1
I = ( - ^ =
Jo^jT^T
f \ l ~ x A)~v l dx = f o - z y i n ^-z -VAdz
Jo
Jo
7
4
1
,
, r ( - ) r ( - ) , 4 ñ r(- )
- f z _3/4( l- z ) " 1/2í/z = 1 . - 4
2 = 1 . ----------i
4Jo
(ó )
4
r (- + - )
4 2
4
rA
4
Calcular la integral / = f
Jo V M /*
Solución
Sea z=%fx => x = z 4 => dx = 4z3dz
Para x = 0, z = 0 y para x = 1, z = 1
/ =f
.
Jo V M / ^
= ['(1 - l l x y u 2 dx = í 1( 1 - z ) - 1'24 z 3í/z = 4 [ V i l - z) - 1/2rfz
Jo
Jo
Jü
Eduardo Espinoza Ramos
496
i r . ,
-■
r(4)ní ’
i
X,-- »-->2 * =48(4-i ,=4t(7^r ( 4 + - , = r ( - ) = - . - . - r ( - ) = — r,->
2
2 2 2 2 2 16 2
reemplazando (2) en (1)
dx
A r ^ r ( 2)
- 4------------=
64
-v /M /I
l^ r(i)
105
/ = I>
■ -£
2
64(2)
128
35
35
105
/•*/l
J*
•nl2 Z
^/sen5
x ,
— dx
Calcular la integral / = J
eos3 x
Solución
Sea e = sen2 x => dz = 2 sen x eos x dx
dz
1
para
X
II
o
N
II
O
©
16
R4) = 64(6)
2 V /2( l —2)1' 2
f71' 2 Vsen5 x j
tfcos3 x
J o ( l- z ) 3/1° 2
n
x = —, z = 1
2
<•«■/ 2 (sen2 x)5,6dx
dx = r
Jo (1 - sen2 x)3/1°
íl/(cos2 x )3/2
rn 2 ij(sen 2 x )5, 2
0
Z1 / 2 ( l - - ) 1 / 2
Jo
eos3x
2J"
1 r -■
1 4 1 1
r< X >
i rX >
= — f - 3( 1 - r ) 5 ífc = - £ ( - , - ) = - . — ---------— = — ------—
2
2 W
2
4+ l
2
23
Jo
3
5
15
- <1)
Integrales Impropias
^8)
497
/ =J
Calcular la integral
x 54 a 2 - x 2 dx
Solución
Sea x = a sen 0 => dx = a eos 0 d0
n
Para x = 0, 0 = 0, para x = a, 6 = —
/=
f j
=a1 \
f
a 5 sen5 8-Ja2 —a 2 sen2 0.a eos tí de
Jo
sen5 0.cos2 8 d6 = a 1 f
Jo
Jo
,
7
o
—x 2dx=
t
Jo
D ,~
3
7
a
n
3 )
n
| )
7
2
0
sen2(3)'* S.cos *2> 6
2
. Í . V
Í F
7
2
a
r
v ;r
2 2 2 2
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
V 2l dx = ^
Q
Mostrar que
( 2)
Mostrar que f x 2e lx dx = ^ =
Jo
8^2
Mostrar que
jc
e 3xx 3n dx =
(7 )
^
Calcular I" c _ dx
Jo V i
©
Calcular
J e ' dx
7
80
105
r&
2
4,6.3
de
-J3n
_ 36_
Rpta.
1 P,1
Rpta. —
TC-)
Eduardo Espinoza Ramos
498
e ^ dx
Rpta. 6
©
Calcular
(7 )
Calcular í x 6e~y'dx
^
©
Rpta.
Jo
Calcularj^ (v + l ) \ ’ " dx
( 9)
Verificar que Jj ——
©
C alcu lar^ ,-(! + ,)*</<
©
Calcular Jj
243
Rpta. —
) + F(—)
di = r(l + p ) r ( l - p ) , | p | < l
(ln jc ) 4 dx
Rp.a.
Rpta. 24
( Í 2)
CalcularJ (xlnjcj’ r/x
Rpta.
^3)
Calcular(lnx)n</r, n e Z ~
Rpta. (-1)"//!
f
‘ ,,1.1,2.
(ln(—))' 2dx
Jo
x
r,
Rpta. "^v/rr
2
14)
Calcular
^
15)
Calcular í [ln(—)]“1,2í¿v
Jo
x
Rpta. -Jñ
16)
Calcular
Rpta.
17)
Calcular f
Jo
1
A-ln(i)
3r¿
Jo ln.v
1dx
R p t a . ---------4
499
Integrales Impropias
18)
Calcular 2ll’ xV(p)V(p +^ ) = 4 ñ Y ( 2 p )
19)
^
Probarquc r(/> + —) -
20)
Demostrar que
21)
Demostrar que
2
nsZ
4 ”.n!
f Y
= n
J" l+.v4 2-Í2
.
\6s¡3
f jc(8-jx 3.1/3
) dx =
n
27
ri x 1’ ^dx
p
Calcular | ,
, q > 0 , 2 - > 0 y deducir el valor de
J" 4 \ - x q
v
23)
Calcular f X‘ ln r dx
Jo
1+JC
24)
Calcular
25)
Calcular las siguientes integrales:
a)
-yjlgx dx
d\
Rpta.
V¡sen 2.v dx
o
26)
Rpta.
Rpta.
J'TT 2 r
Calcular las siguientes integrales.
Vi —x
Rpta. - k cosec (pn). ctg(p7r)
í Vi -.v 4 dx
Jo
t
&J2k
4-Jn T(
Rpta.
oc |
Jo
500
Eduardo Espinoza Ramos
J
x
f1
X'
'j
n
Rpta. — ¡=
3V3
dx
“ l + .v 6
b)
í
71
Rpta. -
dx
‘" 4 7 7
c)
d)
*
f' - ¡ ¿ = d x
r'
x*
1+ V
Rpta. H
-^
12 ni4)
— dx
Rpta.
n
—
,14sen-—
A
5 ;r
7
27)
Calcular
[' dx
' Vi+jc6
Rpta. — 5 ( 1 , 1 ) =
K
12 6 6
^ ^
6
i2 r (—)
3
2H)
Calcular las siguientes integrales
a)
.
b)
c)
d)
e)
r
Jo
f. t . )
r1
jc e
dx+ I
x 3d x
Jo (in.v)
——
3
r J -V3 4d x
„
80
111. 12 !
243
24!
Rpta. ------ + ---------
2n
—— -
Rpta. — j=
Jo jc + jc4
3 ^2
C
dx
J0 |I +
v3
3
+ jc
r
e 2'
Rpta.
'
----------- d x , a > 0, b > 0
J ■ ac3' +b
Rpta.
C*
tg'e +iz-e do
[ ------ -— -—
„Rpta.
Jo
(l + tg0)
2 7t
3 -^ 3
2n
3-^3ct
b
i
5(3,1) = -
3
501
Integrales Impropias
O
r
e~ dx
Ln
— --------7
Rpta. — =
J ' í ^ ’ +l)2
9-v/J
29)
^
Evaluar f
^
+f *
J3 ^J(x-3)(7- x) Jo(lnjr)2' 3
Rpta. n +
30)
Evaluar r
R ptt. — í ---------- ?í _
_
^
_
( * - + i><*+ir
t a
31)
Demostrar que para todo m > 0y n > 0:
32)
Probar que:
i 5 » í
10
5
B(m + 1. n) + B(m, n + 1) = B(m,n)
=—, m> 0
m
63)
v-^
Probarque B(ni +\,n) = —— B(m.n ) , m > 0, 11 > 0.
©
Demostrar que:
i3 5)
Si m.n = 1,2.3,..., probarque:
ni + n
f jc"‘ 1(1 - x r )" 1dx = —B(— , n ) , m > 0 , n > 0, r > 0
Jo
r
r
v"-1
1( ^
1
/ . ( ~0
k
*-0
v. y w + Ar+ l
1
x
36)
Si ni >
37)
Si n > 0. Demostrar que:
, Demostrar que:
j
rf
clx
dx
|
2¿ ni
m
-J ñ
dx =
1I
----- = — —•
Si m >-1, n > - l y b > a. Demostrar que:
f ( x - a ) m( b -x ) "d x = (b- a)m+"*xB(m + \,n + \)
Ja
wii j f
( w + m+ 1)!
1
r( w+ —)
2 r(w + i>
//
» HF( -- ++-- )
11 2
38)
T(—)
V
Eduardo Espinoza Ramos
502
39)
a)
Probarque B ( p . l - p ) = — J
— ~T~p~'
b)
,
S i n > l , Probar que:
i"
dx
®< P < 1
n
n
Jo 1+ x"
40J
n
n
= — cosec—
r> x m 1 + y"-1
B(m,n)=\
S i m > 0 , n > 0 , probarque:
dx
Jo (l + x )m
4.7
INTEGRALES DEPENDIENTE DE UN PAkAMETRO.La expresión general de una integral dependiente de un parámetro es:
f*
/ ( x , t)dx que
Ja
sea naturalmente una función del parámetro t.
F ( 0 = f f(x,t)dx
Ja
Continuidad de F(t)
Si f(x,t) es continua en el dominio cerrado a < x < b , c < t < d .
La función F(t) es continua en el intervalo c < t < d
Derivación:
a)
Caso en que los límites de integración no sean función del parámetro.
r*<í(/u,i)i
-dx
- rJJoa
dt
dKD _
dt
b)
Caso en que los límites de integración sean función del parámetro a=cp(t), b= vj/(t)
dF(t)
— —
dt
fv d ) d f ( x , t )
xdy{t)
d(p( t )
= -------- — — — d x + f ( y / ( t ) , t) — -------- f ( q > { t ) , t ) — - —
Jvd)
dt
dt
dt
Si solamente fuera uno de los límites función del parámetro, será nulo el término
correspondiente a la derivada del otro límite.
Integrales Impropias
503
Los pasos necesarios para resolver algunas integrales por derivación respecto al
parámetro.
i)
Derivar respecto al parámetro y calcular el valor de la integral a la que da origen
dicha derivada.
ii)
Resolver la ecuación diferencial formada por la derivada respecto al parámetro y
el resultado de la parte (i) (calcular el valor de la constante).
iii) Dar al parámetro el valor adecuado para calcular el valor de la integral que nos
piden.
Ejemplo de Aplicación-
Derivando respecto al parámetro (a) y calculamos el valor de esta derivada.
d x , calculando la integral
Sea
a
x
z
Para x = 0, z —> oo; x —» oo, z = 0
puesto que es la misma integral que la que nos piden.
504
Eduardo Espinoza Ramos
dF{a)
_ _r
= —2F(a)
da
Luego tenemos
Ahora resolvemos esta ecuación diferencial
dF(a)
= -2 d a , integrando tenemos f dF(a) _ _2 f
Fía)
J
F(a)
J F(a)
I n íM .-Z c
=»
m
=e *
^
jn F(a) = -2a + ln c
=> F l a g e e '-"
... (I)
ahora calculamos el valor de la constante de integración c por la cual damos un valor
apropiado a a que nos facilite el cálculo de la integral que nos dan, para nuestro caso
identificamos el valor de a , es decir a = 0 y tenemos
Jo
e x‘ dx = ----- (ver función
2
Gamma)
■Jñ
F(0) =c= V e xl dx = —
=> c = ----Jo
2
2
ahora damos el valor adecuado para obtener la integral que nos piden, para nuestro
caso a = a.
F(a) = f — l—
Jo
e
*r 2
dx = —
2
e 2a
r. F(a )= —
2
Calcular por derivación paramétrica el valor de F(n) =
x" -i
Jo lnx
dx
Solución
Derivando respecto al parámetro (n) y calculando el valor de la integral.
e - 2a
Integrales Impropias
Luego
dn
505
= —— , resolviendo esta ecuación diferencial
n+1
f dF(n) = f
de donde F(n) = ln(n + 1) + c
J
I n+1
F(n) = ln(n + 1) + ln k = ln k(n + 1)
Haciendo n = 0 sacamos el valor de k, luego laintegral que nos danse hace cero para
este valor de n.
Luego F(0) = ln k = 0 => k = 1 por lo tanto
®
Partiendo de F(a) =
ra ..
Jo
e
sen a'
X
F(n) = ln(n + 1)
dx , calcularpor derivación respecto alparámetro
J " senx dx
x
o X
el valor de |
Solución
_
o
e ax
sen x
x
dx , derivando respecto al parámetro
dF(a) r°
-ax senje ,
r=° _ax
=
-xe
dx = - \ e
senx dx
Jo
X
Jo
da
calculando la integral por integración por partes.
u = e "A
dv = senx dx
d u = - a e axdx
v = -c o s x
j e ux senx dx = —e ax c o sx —a j e ax cosx dx
u = e~"
dv = cosx dx
\du = -ae~axdx
v = senx
J e “r sen x dx = - e ax eos x - a(e ax sen x + a j e “x sen x dx)
... (1)
Eduardo Espinoza Ramos
506
(1 + a 2) j e " senx dx = —e “ (eosx + asenx)
f -ax
.
(eos x + ¿7sen x)
e
sen x d x - ------- 1
J
1+ a
. .. (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
dF(a) e “ (cosx + asenx)
— — = --------------- --------- da
l +a 2
.
1
= 0 — -— , mtegrando
a 2 +l
/o
r
da
F(a) = — ----- = -arctgo + k
J
¿7+1
Para calcular el valor de k hacemos a = *>, la integral de partida es nula es decir:
F(0) = -arctg(ao) + ^ = - y + A: = 0
=> /: = ~
por lo tanto F(a) = - arctg(^o) +k = - ^ + k = 0 => ^ = y
haciendo a = 0, la integral de partida nos da la integral partida
®
Calcular
cn
cos~ x dx
I x{a,b)=\ — ----------- -— —,
J0 (a eos" x + b~ sen' x )‘
Jt7t
dx
— ----- 5------- 5----- T
0 a~ eos" x +b~ sen" x
f00 sen x
Jo
basándose
x
en
ti
dx = —
2
la
integral
Solución
Derivando / 2 respecto al parámetro a
dl2{a,b)
da
rn
Cn
-2crcos2
—¿a eos x ax
dx
, ..... -i
,— T = -2aI1(a)
Jo (0 - eos' x + b~ sen' x)~
—
ahora calculamos la integral I 2 (a, b)
. . . ( 1)
Integrales Impropias
507
, , ,
f"
dx
r sec2 x dx
rn sec2 x dx
M a ,¿ ) =
—----- ;------- ;----- — = \ --- ----- 5— j— = I — -------------7
Jo a~ eos" x + b~ sen" x
a ' +b~ tg x Jtl a~+(btex)~
(b tgx)'
1
,b
, ,ir n
, .
= — arctg(— tg x) / = — , derivando respecto a
nab
h
na
70
e l 2(o, b) _ n
da
..(2)
~ a 2b
reemplazando (2) en (1) se tiene:
—
= -2 o /, (o) => I , ( a , b ) = ~ ~ —
a b
©
Calcula, r n a g x *
W
J«
2a 3b
JC (1 + X 2 )
Solución
Introduciendo el parámetro X
J arcteí/Lr)
arctg(Ax)
— d x , derivando respecto al parámetro X
o x(l + x 2)
en ,
f
F(A)=\
dx
r “r =
J(> (1 + x
)(1
1
_Ax+B
(l+x~ )(1 + A~x~)
+A x )
f“ í Ax+B
Cx + D
(------T + ------- T T ^ dx
1
+x
1
+A x
Cx +D _{Ax+B)(\ +A2x 2 ) + (Cx+D)(\ + x 2)
1+ x ¿
1+ A~xz
(1 + x 2)(1 + A2x 2)
1 = A(A2x 3 +x) + B( A2x 2 +1) + C (x3 +x) + D (x 2 +1)
1 = (A2A + C)x3 + (BA2 +D) x 2 +(A + C) x + B + D
A =0
AJA + C = 0
BA2 + D = 0
A +C = 0
B +D = 1
C=0
B =-
1
1-A
D
A2
1-A 2
•• O )
Eduardo Espinoza Ramos
508
1
r
dx
A2
fK
dx
1
A
. " ( - i ______ ^ _ ) = £ ( l z l ) = _ J L _
2 1 - A2 1 - A 2
2 l-A 2
2(1 + 2)
F'{X) = - . - ^ — =>
2 1+A
integrando F ( A ) = £ l n ( l + A) + c2
2 1+ A
para calcular el valor de la constante hacemos A = 0
F(fí) = £ l n l + £■= 0 => c = 0
2
I
tt!
i\
r orcfgX x d x
71
Luego / (A) = I ----- 2— -— = —ln(l + A) para A = 1
Jo x(l + x")
2
F ( 1 ) = r _ « « ^ = JL,n2
Jo x(l + x )
2
(ó )
w
Calcular el valor de
f | n0
Jo 1+ x
Solución
Introduciendo el parámetro A:
r - ./n
r (A)=
f2
jc dx
+
Jo (1 + x )(1 +Ax)
A
ln(l + Ax)
+ ^d x . derivando respecto a A.
Jo 1+ x 2
F(X) = f
ln(l + A2)
— (por el teorema de Calculo)
1+ A2
+ Bx + C
A(\ + x - ) + (Bx + C)(\ + kx)
( l + x ’ )(l + Ax)
1+ Ax
x = y4(x2 +1) +
Av2 +x) + C(Ax + l)
1+ j c 2
(1 + Ax)(1 + x 2)
=> x = {A +?£)x2 +(B+ ?x:)x + A + C
Integrales Impropias
509
A =—
A+ 3B =0
B + kC = 1
B=
A +C = 0
C=
1+ AZ
I
1 + A2
A
1+ A2
r W = _ i T [ f 1z i * . r 1ü 4 * ] + Ü £ ± ^ )
1 + a2 J» 1 + Ax Jo 1 + x 2
1+ A
F'(A) = —
1+ A
F' (A) = —
1+ A'
[-1 n(l + Ay) + —ln(l + x 2) + A arctgx] /* +
2
J'«
ln(l + A2) + - ln(l + A2) + A arctg A]+ M ! ± A lI
2
1+ A“
I ( 2 ) = —.-------- — +
1 ln(l + A2)
A arctg A
f — , integrando
1+ A*
W )
+ A a ra !¿
2
1 + A-
r 1 h
1 2
+^ ^
\ +x 2
^
I+ A
entonces F(A) = -^ arctg A. ln(l + A2) + k
1+ A
para calcular k hacemos A = 0 entonces F(0) = 0 = 0 + k => k = 0
Luego la integral que ñas queda es:
f (1) = f ln^
Jo 1+x -
r'ln(l + x)
— dx =
Jo 1+ x 2
--"■l
©
ln2
_ J_ arctg 1. ln(2) =
2
.n
8
EJERCIOOS PROPUF.STOS.-
Calcular por derivación respecto al parámetro el valor de
<-i x m 1
Jo
---------------- dx
lnx
Rpta. ln(—)
//
7rln2
8
Eduardo Espinoza Ramos
510
©
Obtener por derivación respecto al paiámetro/= J xa (lnx)"rfx, para n entero y a > 1
Rpta. / = (—l)"«!(a + l)" ~ 1
©
Integrar por derivación respecto el parámetro
ío‘n(1+ tg t. tg x )dx
Rpta. -t ln eos t
©
Utilizando
el
método
de
derivación
f ln(10-6cosx)í£c
Jo
Sabiendo
D
al
parámetro,
calcular
Rpta. n l n 9
E(P) = j p scn(Px)dx ,
que
-j
respecto
i
(x~ sen 3x + x eos3x)dx
calcular
el
valor
de
Rpta. I = 0
n
©
Calcular el valor de u sen 6 arccos(
)d0
J* a
sen©
R p ta .
2
®
2
eos a + —
2
Calcular el valor de I{a) =
senhx dx
----------------------------- —, 0 < x < k
J(l (cosh x + eos a. senh x)
„
2
íl + cosa
tg a
VI-cosa
,, ,
1
r,
c'
n ,
Rpta. I{a) = -----— [1 + ---------------arctgJ----------- ]
sen" a
®
Calcular el valor de I ( a ) =
cn*^
Jo
?
ln(l + a sen “ x )
tga
dx
sen
—
x
Rpta. I(a) = 2-%/ÍTa arctg-JT+a + ln(—- —) ——
a +2
2
(? )
w
Calcular el valor de I(a) = f l n( l +a s en 2 x ) —^ —
Jo
sen2 x
Rpta. I(a) = n^jan - 1
511
Integrales Impropias
j"ln(l + eos x)dx
@
Calcular el valor de la integral
(ll)
Calcular el valor de la integral j*
Rpta.
4,8
EL POLINOMIO DE TAS LOR.- |
4.8.1
\P R O X l\i ACION DJE FUNCIONES POR POLINOMIOS.Los polinomios son las funciones mas sencillas que se estudian en análisis, debido a
que son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos, pues sus valores se pueden
obtener efectuando un numero finito de multiplicación y adiciones.
Las funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométrica se pueden aproximar por
polinomios.
Existen muchas maneras de aproximar una función dada f por polinomios, esto
significa que se comporta casi igual que la función en un punto.
Si el error cometido en la aproximación es pequeña entonces podemos calcular con el
polinomio en lugar de hacer con la función original.
Nuestro interés es de obtener un polinomio que coincide con f y algunas de sus
derivadas en un punto dado.
Ilustraremos todo esto mediante el siguiente ejemplo.
Supongamos que la función exponencial f ( x ) =ex en el punto x = 0, la función f y
todas sus derivadas valen 1 y el polinomio de primer grado g(x) = 1 + x, también
tiene g(0) = 1.
También tiene g(0) = 1
y g'(0) = 1, de manera que coincidan con f y su primera
derivadas en cero, geométricamente quiere decir que la gráfica de g es la recta
tangente a f en el punto (0,1).
512
Eduardo Espinoza Ramos
Si se aproxima f por un polinomio de segundo grado Q que coincide con f y sus dos
primeras derivadas en cero se obtiene una mejor aproximación de f que con la función
g por lo menos en las proximidades de (0,1).
•>
El polinomio Q(x)~ \ + x+ —
/"(O) = 1,
la gráfica de Q aproxima a la curva
/(jc) = ex mejor que la recta q(x) = 1 + x;
se puede mejorar la aproximación
Tiene Q( 0) = (7(0) = 1 y Q"(Q) =
utilizando polinomios que coincidan con f y sus derivadas terceras y de orden
superior.
Es fácilcomprobar que el polinomio.
n x^
x~
xn
P(x) = ^ — •= 1+ x + — +. .. +—
LO
^
n‘
coincide con la función exponencial y sus primeras derivadasen el punto x = 0.
513
Integrales Impropias
48.2
POLINOMIOS PE TAY10R ENGENDRADO POR UÑA FUNCION.*:
TEOREMA.- Sea f una función con derivada de orden n (n > 1) en el punto x = 0,
existe un polinomio P y uno solo de grado < n que satisface las n + 1
condiciones.
P(0) = / ( 0 ) , P ,(0) = / ' ( 0 )
Tal polinomio viene dado por la fórmula.
P (n)0 = / (n)(0)
” , f í k)(§)xk
P{x) =-------------------
...(1)
... (2)
Demostración
Sea P(x) = c0 + c¡x + c2x 2 + ...+c„x" , el polinomio que se desea obtener en el que
los coeficientes cv, c\ ,...,c„ deben determinarse usando las condiciones (2).
P(0) = cn = / ( 0 )
=> c0 = /(O)
F ( x ) = cx + 2 c 2x + 3c3x 2 + ...+nc„xn~1
P'(0) =Cj = / ' ( 0 ) => Ct = / ' ( 0 )
P”(:x) = 2c2 + 2.3c3x +...+ ri(ri-l)cnx n~2
P"(0) = 2c2 = /" ( 0 )
P"'(x) = 2.3c3... + n( n- l) (/ / —2 ) cx "~3
P”'(0) = 2.3c3 = /'" ( 0 )
c3 = ^ P
P(i)(x) = 1.2.3../i(n-l)...(n-k)cnx " 1
514
Eduardo Espinoza Ramos
n /•(*)
OBSERVACION.1)
El grado de P es n
/ (n) (x) * 0 .
2)
P coincide con f y, sus n primeras derivadas en x = 0.
3)
En la misma forma se puede demostrar que existe un polinomio y uno solo de
grado < n que coincide con f y sus n primeras derivadas en el punto x = a.
Se escribe el polinomio P en forma ordenadas según las potencias de x —a y se
procede como antes. Calcular las derivadas en x = a y se llega al polinomio.
... (3)
que es el único de grado < n que satisface las condiciones
P(a) = fía).
P' (a )=f'( a) ,..., Pw {a) = f {n)(a).
El polinomio (3) se llama polinomio de Taylor de grado n generado por f en el
punto a.
4)
La notación P = T„ f ó T„ (í) indica la dependencia del polinomio de Taylor
respecto de f y n.
5)
El símbolo Tn se denomina operador de Taylor de grado n,
cuando este
operador se aplica a una función f, produce una nueva función T„f que es el
polinomio de Taylor de grado n.
6)
Tnf { x , a ) , indica la dependencia respecto de a.
Integrales Impropias
515
Cálculo con polinomio de Taylor.
Si la función tiene derivadas de orden n en un punto a, entonces siempre se puede
formar su polinomio de Taylor Tnf por medio de la fórmula.
Ejemplo.- El polinomio de Taylor de grado n generado por la función exponencial
f ( x ) = e x en x = 0 es dado por la fórmula.
T„/(jc) = ¿ / ( ) ( 0 ) jr* . donde f (k\ x ) = e x => / (4)(0) = 1
*=o "■
n k
2
n
Tn(ex ) = 'S' — = \ + x + — +...+ —
Ü «
21
”!
y el polinomio de Taylor de la función f { x ) = e x en el punto x = 1 es dado por:
Tn{ex) = Y . ^ p - {x~ l)k ’ donde / (4>W = « ' => / (4)0 ) = «
i._«
*=o
*=o
algunas veces el cálculo de las derivadas / (4) (o) es muy laborioso, por tal motivo
veremos otros métodos para determinar polinomios de Taylor.
TEOREMA 2.- El operador de Tajdor T„ , tiene las siguientes propiedades.
i)
Linealidad.-
Si cx y c2 son constantes.
Tn ( q / + c2g) = c, T„ ( / ) + c2T„ ( / )
516
Eduardo Espinoza Ramos
ii)
Derivación.-
La derivada de un polinomio de Taylor de f es un polinomio de
Taylor de / ' es decir se tiene:
<TufY=Tn_ ¿ n
iii) Integración.-
Una integral indefinida de un polinomio de Taylor de f es un
polinomio de Taylor de una integral indefinida de f, es decir si:
g(x) = \ f U ) d t , se tiene entonces: T„_xg(x) = f Tnf(t)dt
Ju
Ja
TEOREMA 3.- (Propiedad de Sustitución)
Sea g(x) = f(cx), siendo c una constante, se tiene entonces T„g(x , a) = T„f(cx.ca)
En particular, cuando a = 0, tenemos Tng{x) = T„f(cx)
Demostración
Como
g(x) = ficx), por la regla de la cadena se tiene:
g'(x) = cf'(cx)
g " ( x ) = c 2f"(c x)
g'"(x) = c \ r ' ( c x )
g (k)( x) = c kf {k)(cx)
*-0
*
-
517
Integrales Impropias
Ejemplo.- En el polinomio de Taylor correspondiente a la función f ( x ) = ex es
x'í
x*1 * , ^
T„(ex) - l + x + — + ...+ — = 7 — , al sustituir x por -x
decir:
z
n
2
encontramos que:
n
n^
k
Tn(e~x) = l - x + — + ...+(-1)" — = y (-1)* —
2!
»!
kl
Ejemplo.- El polinomio de Taylor correspondiente a la función f(x) = cosh x se
obtiene utilizando la propiedad de Linealidad.
Como cosh x = —(er + e ') se tiene:
2
J
1
2
1
4
2n
Tln {coshx) = — Tln(ex ) +—Tla{e~*) =1 +^ - +^ - + ...+ X
2
2
2!
4!
(2«)!
TEOREMA 4.-
x3
x 2"-1
3!
(2 n - l)!
Tln- \ (senhx) = x + — +...+-
Derivando se tiene:
Sea Pn un polinomio de grado n > 1, sean f y g dos funciones
con derivadas de orden n en 0, y supongamos que:
f ( x ) = P„(x) + x ng(x)
...(a)
en donde g(x) —> 0. cuando x —> 0. El polinomio P„ es el polinomio de Taylor
generado por f en 0.
Demostración
Sea h(x) = f ( x ) - P n (x) = x " g (x ) , derivando repetidamente el producto x " g ( x ) , se
observa que h y sus n primeras derivadas son 0 en x = 0.
Por consiguiente, f coincide con P„ y sus n primeras derivadas en 0, de tal manera
que P„ = T„f
518
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- De la identidad algebraica.
i
1-x
"U
- = l + x + x 2 +... + x" + -------, V x * l
. . . ( 1)
\-x
f{x)= — — ,
La ecuación (a) se satisface con
1-X
P„(x) = 1+ x + ...+x"
y
x
g(x) = ------ , puesto que g(x)—>0, cuando x-> 0 y el teorema 4 nos dice que
1— JC
Tní” —) = l + x + x 2 + ...+ /
1- x
Otro polinomio de Taylor se consigue integrando
x2 x3
x n+1
7’n il( - ln ( l- x ) ) = x + Y + y + - + ^ Y
Si en la ecuación (1) reemplazamos x por - x 2 se tiene:
1
i
—= 1 ~ x
1+ X “
4
6 .
. /
i\«
2n
/
1
+ X ' - X o + ...+ (-1)" x zn -(-1 )"
a
v2n+l
1 + X“
aplicando el teorema (4) encontramos que:
1
"
Tln h — r) = 2 > U v x~
i+ *
2* + I
n
integrando esta relación llegamos a la fórmula.
4^ .3
Tln^x(arctgx) = /
“
(-1 )* -------
2k + \
FORMULA DE TA*LQH CON R E S lO -
DEFINICION.-El error se define
E„(x) = J ( x ) - T „ f ( x ) . Luego si f tiene
derivadas de orden n en a, se puede escribir:
m
=Y
*-0
(*-<*) +E* m
- w
Integrales Impropias
519
la ecuación (I) se denomina Fórmula de Taylor con resto en E„ (x)
La fórmula de Taylor es útil cuando podemos estimar la magnitud de E„ (x ) .
TEOREMA 5.- Supongamos que f tiene derivadas segunda / ' ' continua en cierto
entorno de a. Entonces, para todo x en ese entorno se tiene:
f ( x ) = f (a ) + / ' (a)(x - a ) + El (x)
en donde E1(x) = í (x - t ) f ' (t)dt
Ja
Demostración
De la definición del error podemos escribir
El (x) = f ( x ) - f ( a ) ~ r ( a ) ( x - a ) = j f ' ( t ) d t - f ' ( a ) j d t = j j f (t) - f (a)]dt
la última integral puede ponerse en la forma
fw d\ , donde u -
Ja
) y
v = t —x, asi mismo — = / " ( /) y — = 1, de donde la fórmula de integración por
dt
dt
partes nos da.
E1(x)= \ u dv = u v í - \ \ t - x ) f " ( t ) d t = \ ( x - t ) f ' ' { t ) d t
Ja
1a Ja
Ja
puesto que u = 0, cuando t = a y v = 0, cuando t = x con lo cual queda demostrado el
teorema.
TEOREMA 6.- Supongamos que f tenga derivada continua de orden n + 1 en un
cierto intervalo que contenga a. Entonces, para todo x en este
intervalo, tenemos la fórmula de Taylor.
/W = X ^ —
A=0
Siendo E„ (x) =
ni
í (x - /) ” / (n+1){t)dt
+£, w
Eduardo Espinoza Ramos
520
Demostración
La demostración se hace por inducción respecto a n. ya se ha hecho para n = 1,
supongamos que se cumple para un cierto n, luego se debe demostrar para n + 1,
escribiendo la fórmula de Taylor para n + 1 y n y luego restando.
W+l Z'í*)/ \
/ w =
~ a)k+ E
*=o
n r (A) /
w
.
/ W = X — TT~^x ~ a^ +E”<X)
k=Q
f(n+l)(n\
E n+l (x) = En (x)
(w + l)!
Como E„ (jc) = — f ( x - t ) n f ln+1*(t)dt
ni Ja
y
observando que ———— = f (t - a ) n dt
n +1
Ja
se tiene:
E „ M = - \ xi x - t ) ”f ^ H t ) d t - l
n\ Ja
foc-o"
ni
Ja
= - f r( x - 1)‘*[ / (B+1)( 0 - f (n+l)(a)¥t
ni Ja
La
última
integral
puede
escribirse
en
la
forma
f u dv.
donde
Ja
(x —tivM+1
v = ------------------ de donde integrando por partes y
n+1
teniendo encuerna que u = 0, cuando t = a y que v = 0 cuando t = x encontramos que:
u = f (n+l)( t ) - f ín+l)(a)
y
^ i W = - 7 í w dv =
f v d u = . 1... f i x - t ) n' 1f ^ 2)(t)dt
(n+l)!Jo
n! Ja
ni Ja
esto completa el paso inductivo de n a n + 1, con lo cual queda demostrado el teorema.
521
Integrales Impropias
TEOREMA.-
Si la derivada de f de orden n + 1 satisface las desigualdades
m < f ^ l\ t ) < M
. .. (p)
para todo t en un cierto intervalo que contenga a, entonces para todo x en este
intervalo tenemos la siguiente estimación
m(x~a)n*x
--------------- <E,Ax)<
(n+1)!
M (x-a)'"1
—
(n + 1)!
(n + 1)!
si x > a
si x < a
(n + 1)!
Demostración
Supongamos que x > a, entonces la integral para En (x) se extiende al intervalo
[a,x], V t e [a,x], tenemos ( x - t ) n > 0 entonces a la desigualdad (P) se expresa:
m(x t r _ < (:x - t ) n /(M+])(/) < M(x-Q"
n!
n!
n!
integrando de a hasta x, encontramos que:
( x - t ) nf l”^ U ) ,
ni
n\
M
_.a»
m Ja
sea u = x —t =? du = = -dt, de donde
f (x-/)"<fc = f “« ”& = —
Je
Jo
—
n+1
. . . ( 2)
m ( x - a ) n+l ^
^ (x -o )" +1
reemplazando (2) en (1) se t i e n e : ---------------- < E„ (x) <
n!
n +1
n+1
Eduardo Espinoza Ramos
522
Si x < a, la integración se efectúa en [x,a], V t e [x,a].
Tenemos t > x , con lo que {-\)n( x - t ) n = ( t - x ) n >0
A al desigualdad (P) lo multiplicamos
m(t -x) "
ni
(—1)” (x ~t) n
ni
( t - x ) tt r tn+ \ ) , . , ^ M ( t - x ) n
(t)< --------------. que es lo mismo
n\
ni
-------------< ------- — f
m(-l)n( x - t ) n
ni
(-1 )n( x - t ) n
(n+1)
¿ M ( - \ ) n( x - t ) n
ni
ni
ahora integramos de x hasta a.
p c - i r ( * - ir di£ f - ( - i ) - ( x - o “
Jx
ni
Jx
.
di
ni
m (a -x ) —
J<>
E „{x ) < M ^a ~ X^—
(n + 1)!
[4.8.4
ni
(n + 1)!
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES^
Si f es una función continua en [a,b] para cierto c e [a,b], se tiene la integral de
^f(x)dx =f(c )(b -a ).
4,8.5
TE< M M A t ȣt *ALOR MEDIO PONDERADO PARA INTEGRALES.Suponer que f y g son continuas en [a,b]. Si g no cambia nunca de signo en
[a,b], con c e [a,b], se tiene:
j j ’(x)g(x)dx = f( c ) jg ( x ) d x
otras formas de la fórmula de Taylor con resto, explicando el T.V.M.P. para integrales
tenemos:
523
Integrales Impropias
JX( x - 0 " / ("+1)( 0 * = f (n+i)(c)¡X\ x - t ) ndt = f
Luego el error se expresa: E„ (x) = ---------- ^-<n+D (c) ( x - a ) n*1
«!(« + !)
/ ("+1)( c ) ( x - a ) n+1
(« + !)!
. Forma de Lagrange del resto.
OBSERVACIONES
f (n+i)(x) esta calculada en c desconocida y no en a. el punto c depende de x y
de n.
Suponer que / (M+1), existe en (h,k) intervalo abierto que contiene al punto a y
que / (M) es continua en [h,k]. Elegimos cualquier x * a en [h,k].
Admitir que x > a. con fines de simplificación.
Mantener x fijo y definimos una nueva función F en [a,x] del siguiente modo:
Observar que F(x) = fix), F(a) = T„f(x,a)
Luego F ( x )- F ( a ) = E„(x), F es continua en [a.x] porque / (n) lo que, luego f es
continua, f (k) es continua ( x - t ) k continua F es derivable en (a^c).
Al calcular F'(t ) , tener encuenta que cada término de la suma es un producto, al
desarrollar la sumatoria se simplifica todos los términos excepto uno (el de la mayor
derivada) y nos queda.
F'(t) = ——*— / (M+1)(f)
ni
Eduardo Espinoza Ramos
524
Tomar G cualquier función continua en [a,x] y derivable en <a,x>.
Si GVO
F'{c)
G'{c)
<a, x>, entonces se tiene: E „( x )~ -------- [G(x)-G(a)]
en
Se puede expresar el error de varias maneras, mediante elecciones distintas de la
función G, por ejemplo. G(t) = ( x - t )n+1, entonces
( x - c ) n f ín+l)(c)[(x-x)n+l ~ ( x - a ) n+1]
E„ (X) = n\
G'(c)
/■(n+1) (c)(x -o )"+1
E„ (x) = - --------- -------- -— . a < c < x
(n + 1)!
4.9.
I.
Fórmula de Lagrange.
EJERCICIO^ ->ESAR i>*
Encontrar el polinomio de Tajdor de grado n para cada función f alrededor del valor
dado de a.
ffx) = ln (1 + x ) , a = 0
Solución
P(x) = T„f (x,0) = V ——
- el polinomio de Taylor.
kl
f ( x ) = ln(l + x)
r/(0)=0
1
/'(* ) =
1+ x
/(0 )= 1
/" (0 )= -l
1
/" (* ) = -
a+*r
/ M,(0)=1.2
1.2
/ ,Mw =-
o+*r
/ ^ ( O ) = ( - l) ”+1( « - !) !
/ w (x) = (-l) "
(1 + x )"
525
Integrales impropias
w - m + n »
)x+/
21
^
3!
+r w s
ni
-
n, i
x
1.2 3
. líB+1 ( « —1)! „
P(x) = x ------- + — x +...+(-1)
-x
2!
3!
ni
P(x) = x
©
x2
2
x3 x 4
(- ír v
+ ----------- +...+3
4
n
f(x) = ln (1 + x), a = 1
Solución
/ ( x ) =ln(l + x)
/ ( l ) = ln2
1
/ '( * ) =
1+ x
/'(1 ) = |
f" (x ) =-
1
/" (1 ) = -
(1 + X )2
1.2
f"'(x) =
/" '(1 ) =
(1+x)3
/ {’)(x) = ( - l)
„
(/i—1)!
/ (B)(l) =
(1 + x)"
22
L2
23
(—1)
(n-l)!
2"
— / (B)( l ) ( x - 1)"
p (x )= 7 ’„ ( / ( x , i ) ) = y ^ — ^
*!
/>(x)= r n + / ' (Dí x _ i ) + z
m
2!
^
+r ^ í z i ) l +
3!
, / iv( l ) ( x - l ) 4 ^
4!
P(x) = ln 2 +
2
, / (B)(l)(x-l)"
ni
- - i - (x - D2 + - ^ - ( x - l ) 3 +...+ (-1)"+1
(x -1)"
2 .2!
2 .3!
2".n!
Eduardo Espinoza Ramos
526
P(x) = ln2 +
2 2.2!
@
2 n .n
2 \3
f(x )= e x, a = l
Solución
f(x) =ex
f " ( x ) =e x
m =e
/ ' ( \) = e
.ra )= e
f"'(x ) =ex
/ ' " ( l) = e
.f'(x) = ex
f (n\ \ ) = e
f n\ x ) = ex
n - /•(») n \
P(x) = T„{e M ) = ^ i - ± ¿ ( x - l ) n
*=o
n
P(x) = Y , J i ( x ~ 1)" = <fl + ( x- l> +
*=0
f(x) = eos x , a =
/;!
2!
n
Solución
f
( jc )
K
= eos x = sen(x +—)
/(-)= 3
2
/■ (-) = - ^
3
2
f (x) = -s e n x - sen(x + n)
J
f ”(x) = - eos x = sen(x+ ^ - )
/ " ( —) = - 3
2
/ ' "(x) = sen x = sen(x + 2 n)
/■*11/ k .
'
3
j\/3
2
nn.
/ (n,(x) = s e n ( x + ^ )
/ (n)4 ) = sen(
2rt + 3«7r
)
527
Integrales Impropias
- / (n)( - )
,, 3 ( x ~ T )n
P(x) = T„( e o s x ,f ) = X
3
U
kl
3
/>(*, =J-+ y - i , + - — i - (Jc - ^ ) 2 + - —
2
3
3
2
3
/
2
11.
2
3
^\2
2
/
2!
2
i - (x - i , -
d
3
^3
3!
Determinar los primeros términos del desarrollo de Taylor alrededor del valor de a,
efectuando el proceso, hasta incluir el término ( x - a ) n para el entero dado n.
(7)
f ( x ) = e x\ a = 0, n = 4
Solución
2
3
n
Como g(x) = e x = l + x + — + — + ...+—
2!
3!
ni
P(x) = T„(f(x)) = l - x 2 + 2 l 1 - £ + „.+ (-1)" £ l
2!
3!
ni
P(x)
= T4/ (
x .O) = 1 - x 2 + ^
+ í l
/ ( x ) = xe*, a = 0, n = 4
Solución
„
Como
jr ,
X2 X3
X"
e = l + x + — + — +. .. +—
2!
3!
ni
Jr
T
v3
X
X
4
X
xe = x + x + — + — +...+2!
3!
n+1
n!
P(x) = TAf(x,0) = x + x 2 + 4 ~ + ^ + ^ r
2
6
24
Eduardo Espinoza Ramos
528
©
/ ( *) =—
1+ x
a = O, n = 4
Solución
Como
1
7
= l + x + x +...+X
1 —X
sí |x|< 1
1 = l - x 2 + x 4 - x 6 + . . . + ( - l ) Bx 2n
1+ x 2
P(x) = TAf ( x , 0) = l - x 2 + x 4 - x 6 + x 8
( 4)
f(x) = arctg x, a = 0, n = 5
Solución
Como — í-rr = l - x 2 + x 4 - x 6 + . . . + ( - l ) " x 2"
1+x2
f*——"r~= f ( l - t 1 + / 4 - t 6 +... +(-1 ) " t 2n)dt
Jo 1-I- /
*o
arctgx = x
x3
x5 x 7
( - l ) Bx 2n+1
+ ----------- + ...+-— --------3 5
7
2/n-l
x3
3
x5
5
x7
7
x9
9
x 11
11
P(x) = Tsf ( x , 0) = x - — + - — — + - -----—
5
III.
Calcular las expresiones dadas con aproximación del número indicado de cifras
decimales, comprobar dicha expresión utilizando el Teorema de Taylor con residuo.
e~°2 , 5 decimales.
Solución
„
x |
x2 X3 X4
x"
Como e = 1 + x + — + — +
K..+ —
2
6 24
ni
Sustituyendo x por-x, tenemos:
e
x2 x3 x4
„ x”
= l - x + ----------- + ------ ...+ (-1) —
2
6
24
ni
Integrales Impropias
529
Como x = 0.2, tenemos:
e
- 0.2
. (0.2)2 (0 .2)3 , (0 .2 )4 . , , lv„ (0 .2)"
= 1 - 0 . 2 + —1----------— -+ —:-h ...+(-l)"—para 5 decimales es:
2
6
24
u!
, - = 1 _ o.2 + B ^ 1 - ^ ) 1
2
6
conerror 0 ^ ( 0 2 ) ^
3
4!
entonces e 02 =0.81867 conerror 0 < /?3(x) <0.00006
e~°A , con 4 decimales.
Solución
2
3
n
4
e x = 1- x +—— — +—— ...+(-l)B— , Como x = 0.4 tenemos:
2
6
= 1 _o.4 + M
24
n!
Í . M
2
6
l + l M l + ...+ H ) . M I .
24
n!
para4 decimales es:
e » < = , - 0 . 4 + M l - i M ¿ , con error 0 S |* ,( 0 .4 ) | < ! M J l
2
6
3
4!
entonces e~°A = 0.6694 con error 0 < 17f3(0.4) | < 0.001060
4.10
EJERCICIOS PROPUESTOS.»
1.
Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para cada función f alrededor del valor
dado de a.
(í)
ffx) = cosx, a = 0
(7)
W
^
/(* )= -y = = , a = 0
H x) = 4 x , a = 4
f(x) =— í—-, a = 0
(l-*)2
@
f(x) = lnx, a = 3
(ó )
f(x) = senx, a = —
530
©
II.
Eduardo Espinoza Ramos
/(jc) = i n ( l ± í ) . a = 0
©
A * ) = * l n ( * 2 +1), a = 0
Determinar los primeros términos del desarrollo de Taylor alrededor del valor de a,
efectuando el proceso hasta incluir el término (x - a ) n para el entero dado n.
©
/ ( x ) = -j= L = r , a = 0. n = 4
V I-*2
©
f(x) = tg x, a = j , n = 5
^3^
f(x) = aresen x . a = 0, n = 5
^ 4)
f(x) = ln (sec x), a = 0, n = 6
f ( x ) = e x cos * , a = 0, n = 4
f(x) = sec x, a = 0, n = 4
III.
Calcular las expresiones dadas con aproximación del número indicado de cifras
decimales, comprobar dicha expresión utilizando el Teorema de Taylor con residuo.
ln(1.2), 4 decimales
©
tg(0.1), 3 decimales
©
cos(0.5), 5 decimales
©
(1.08)1/4, 5 decimales
©
(0.92)1/4, 5 decimales
©
(0.91)1/3, 5 decimales
©
(3.0)1/5, 5 decimales
©
(0.8)1/5, 5 decimales
©
(1.5)1/4, 5 decimales
©
ln(0.6), 3 decimales
ln(0.8), 5 decimales
531
Aplicación de la Integral Definida a la Física
CAPITULO V
5.
A P L IC A C IÓ N DE L A IN T E G R A L DEFIN IDA ' A LA
FISICA
5.1
MASA, MOMENTOS ESTATICOS Y DE ENERGIA Y CENTRO
DE MASA»"" :í::
ler. Caso: Sistema de puntos Materiales.
Consideremos un sistema de n puntos materiales de masas
en un plano de la recta L, llamado eje, entonces definimos.
a)
Masa Total del Sistema.
M
r= » j , t
mz - f
s=
i= í
b)
£1 momento estático respecto al eje L.
, ubicados
532
Eduardo Espinoza Ramos
c)
£1 momento de inercia respecto del eje L.
n
Ji ~ m¡d? -* m-tdj
d)
£1 centro de masa respecto del eje L.
OBSERVACION.-
d¡ = ± distancia del i-ésimo punto al eje L, donde el signo + se
elige para aquellos puntos que se encuentran en un lado del eje
L, y el signo -, para los puntos que se encuentran en el otro lado del eje L.
e)
Radio de giro respecto del eje L.
Sí
, R>0
M
R = radio de giro respecto del eje L.
2do. Caso.- Curvas Planas.
Supongamos que la curva C representa a un alambre (o hilo) contenido en un plano de
una recta fija L y admitamos que en cada punto de la curva se tiene una densidad 5 de
masa por unidad de longitud.
La masa de un arco elemental ds es dM = 5 ds.
Aplicación de la Integral Definida a la Física
533
OBSERVACION
1)
Sea x = ± distancia de dM al eje L.
2) El signo + se elige de acuerdo a donde se encuentre dM a un lado del eje L.
3)
El signo —se elige cuando dM se encuentra al otro lado.
Ahora para la curva C que representa a un alambre damos la siguiente definición.
a)
Masa Total:
M — 'dM
b) Momento estático respecto al eje L.
M i = J a dM
c)
Momento de inercia respecto del eje L.
*L
d)
Radio de giro respecto del eje L.
•
i J l
M
R = radio de giro, R > 0.
e)
Cuando C = alambre se encuentra en el plano XY el centro de masa se
denota por (x,y) y es definido por:
Eduardo Espinoza Ramos
534
OBSERVACION.1)
Los límites de integración de las partes a), b) y c) se determinan de tal manera
que el elemento de masa dM recorre toda la curva C.
2)
Cuando la masa es constante diremos que la masa es homogénea, en este caso el
centro de masa
3)
( jc ,
y) se denomina centroide.
Cuando se trata de figuras geométricas se toma 5 = 1 en este caso la masa del
alambre es numéricamente igual a la longitud.
4)
Cuando la curva es simétrica al eje L, entonces el centro de masa se encuentra en
el eje L.
3er. Caso.- Figuras Planas.Supongamos que una “lámina fina” tiene la forma de una región s contenida en un
plano, y que la masa de la lamina es homogénea, es decir que la densidad 5 de masa
por unidad de área es constante. Sea L una recta fija en dicho plano; la masa de un
rectángulo elemental con dos lados paralelos al eje L (franjas paralelas al eje L) es dM
= 5h dx, donde h la altura y dx la base de dicho rectángulo.
O
x = ± distancia de R al eje L, el signo se determina de acuerdo a los casos anteriores.
Ahora daremos las siguientes definiciones para la lámina.
a)
Masa Total.
M é I dM
4
535
Aplicación de Ia Integral Definida a la Física
b)
Momento estático respecto al eje L.
c)
Momento de inercia respecto al eje L.
d)
Radio de giro respecto al eje L.
x 2dM
R1 J - í.
e)
Si la lámina esta en el plano cartesiano XY el centroide de s es (x ,y ), donde
v
Mx
*
m
0
M
••
'
'
M "i
El momento de inercia relativa al origen (o momento polar).
/ 0 - |<Jr + y %)dM = / r. + / ,
g)
Cuando la región S del plano es acotada por las rectas x = a, x = b y las
curvas 0 < y , ( x ) < y 2(x), a ^ x ^ b, entonces se tiene:
4to. Caso: Superficie de Revolución.
Suponiendo que D sea la superficie obtenida por rotación alrededor del eje X de
la curva y = f(x) > 0 para a < x < b, entonces definimos.
a)
Area de
536
Eduardo Espinoza Ramos
b)
Momento estático de D respecto al eje X.
c)
Momento de inercia de D respecto al eje X
I , =2nfV<fc
Jo
m
, -^2rtfV <fc
-M
donde ds = J l + ( ^ ) 2dx
V
dx
5to. Caso: Sólidos.
Supongamos que S es el sólido de densidad constante 8 de masa por unidad de
volumen en el espacio XYZ, limitada por los planos x = a y x = b s i A(x) es el área
de sección de S paralela al plano YZ en el punto x, a < x < b, entonces la masa del
cilindro elemental de base A(x) y altura dx es dM = 5A(x) dx entonces definimos.
m ..
dM
*
a)
La masa de S:
b)
Momento estático de S respecto al plano YZ.
c)
Centroide de S es (x,y,z) donde
1
*
M
'
_
}
m .
M
M p
My¿ ~
x dM
537
Aplicación de la Integral Definida a la Física
5.2
TEOREMAS PE PAPPIS (Gu»din>.a)
TEOREMA 1.-
El área de la superficie engendrada por la rotación del arco
de una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo
plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la
longitud de dicho arcos por la longitud de la circunferencia que describe el
centro de gravedad del mismo.
Sea C: y = f(x). x e[a,b], una curva definida por la función continua f (no negativa
sobre [a.b]). La coordenada y es dado por:
ds
f y
Ja
longitud de C
f y
Ja
ds
de donde f y ds = y L
(1)
Ju
además sabemos que: el área de la superficie de revolución de la curva alrededor del
eje X es:
A(s) = 2n
rh
—
—
y ds - l n y L , Luego A(s) - l n y L
Ejemplo.- Determinar el área S de la superficie de revolución generada por la
rotación del primer arco de la cicloide x = t —sen t,
4
1 e [0,2n] alrededor de la recta L : y = „v+ —.
Solución
y = 1 - eos t,
Eduardo Espinoza Ramos
538
Hallando las coordenadas del centroide
t e[0,2n], x'(0 = l - c o s / , y'(t) = sen t , longitud de C = 8.
f x(t)Jx'(f)2 + V(t)2 d i =2¡ ( / - s e n / ) s e n —rft = 87r
Jo
Jo
2
f v(/ )sjx'(t)2 + v'O)2 dt = 4 í sen3 —dt = —
Jo '
Jo
2
3
-87T
x =— = n
,
<>
-
-
,
y = —— = — , luego (x,y) = ( n , - )
\y-* ~ i
d(c,L) =—
32
3 4
o
3
4
3
„
—j= , luego por el teorema de Pappus
V2
V2
-=
A(s) = 2 n d (longitud C) = 27r(-^L)8 = %^¡ln2
42
b)
TEOREMA 2.-
El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una
figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano
que la figura, pero no se corta con ella, es igual al producto del área de dicha
figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de
la misma.
539
Aplicación de la Integral Definida a la Física
v = m yA
donde: A = área de la región
y = distancia del centro de masa de la región al eje dado.
V = Volumen del sólido generado por la región.
Demostración
Sean f y g dos funciones continuas, donde f(x) > g(x) > 0 , V x e [a,b]. Si R es la
región encerrada entre las curvas y = f(x), y = g(x) sobre el intervalo [a,b].
~
y=
Sabemos que:
) Ju
( f 2( x ) - g 2(x))dx
Area (R)
ósea que | ( f 2( x ) - g 2(x))dx = 2 y A
Ju
además V = n\ ( f 1( x ) - g 1(x))dx = 2n y A
Ju
Ejemplo.- Sea R la región limitada por la semicircunferencia y = ^ a 2 - x 2 , y
el eje X, utilizar el teorema de Pappus para calcular el volumen V del
sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor de la recta
L: y = x —a.
Solución
540
Eduardo Espinoza Hamos
Las coordenadas del centro de gravedad son:
n
x = 0 ,
4a
y =—
~
3n
Sabemos que:
d{p,L)
V= 1r dA
| y —x + a |
0+,
I—
2n
^2
m
a(2n + 4)
~
3n-j2
área de la semicircunferencia, luego por el teorema de Pappus.
,,, , 2na(3n +4) n a 1 , a 3^(3^ + 4)
V (.*) = --------- t=-----(—— ) = ------- j=----3/rV2
2
3-72
Ejemplo.- Calcular el volumen del sólido S generado por la rotación de la región R
limitada por la parábola y = x 2 . y la recta y = x + 2 entorno a ésta
última.
Solución
Por el teorema de Pappus se tiene que:
V(s) = 2 t: d A . donde
d = es la distancia del
centro de gravedad a la recta en el cual rota y A es
el área de la región R.
Calculando el área de la región R
>4frt)=
f2
7
9
xix + 2 - x - ) d x = Ji
2
Calculando el centro de gravedad de la región R. P( jc, >•)
541
Aplicación a la Integra! Definida a la Física
-
Mv
i
A
2
v=
Ahora calculando la distancia del punto P a la recta L
■x/lTT
V(s) = 2 n d A =2n(
5.3
. luego por el teorema de Pappus
20
9^¡2
9
20
2
8lV2/r 3
— u
20
CAMINO RECORRIDO POR UN PUNTO
La longitud del camino o trayectoria recorrido por un punto P que se mueve a lo largo
de una curva en el intervalo de tiempo [/j , / 2] es definido por:
donde V(t) = Velocidad.
5.4
TRABAJO.Si la fuerza f es constante durante el desplazamiento, el trabajo W realizado por ésta
fuerza es definida por W = f.d. donde f es la fuerza constante y d la distancia
recorrida por el cuerpo.
Si la fuerza no es constante durante el desplazamiento, el trabajo no se puede expresar
en forma tan simple.
Consideremos P una partícula que se desplaza sobre la linea coordenada desde a hasta
b. por medio de una fuerza f = F(x), V x e [a,b] donde F(x) es la fuerza aplicada a la
partícula P cuando se encuentra en el punto cuya coordenada es x.
T:
P
T,
a
X
^ n -2
^n-1
b
542
Eduardo Espinoza Hamos
Cuando la partícula se mueve de x¡ ¡ a x ¡ , el trabajo realizado es aproximadamente
igual al producto F(t,-)A¡x quiere decir que mientras más pequeña es la longitud
A,.v en
[ jc , , .
jc ,
]
mejor será la aproximación ahora, formando la suma de Riemann
del trabajo.
el trabajo total realizado por la fuerza F denotaremos por W y es definido por:
OBSERVACION.1)
Un ejemplo de trabajo realizado por una fuerza no constante, es el alargamiento
o comprensión de un resorte helicoidal.
Según la ley de Hooke, se tiene que la fuerza necesaria para estirar un resorte
helicoidal, varia directamente con la elongación del resorte.
La fuerza F(x) para producir una elongación de x unidades que puede ser dada o
se calcula a partir de los datos.
Ejemplo.- Una fuerza de 25 kg. alarga un resorte de 3 cm„ encontrar el trabajo
requerido para alargar el resorte de 2 cm. mas.
Solución
Se tiene F(x) = kx, como x = 3 cm. = 0.03 m.
F(0.03) = 0.03 k = 25
k = =-^
543
Aplicación a la Integral Definida a ¡a Física
i w
la
r ^ * = ^ r ' * = — ■ - r = — v 002^ 0.00^
Jn.oj
3 Jura
3
2 / ""1
3
1250
= —- — (0.0016)
2
.'. W =—k g/ ms
La integral también se aplica para determinar el trabajo realizado al bombear agua (u
otro liquido) de un tanque:
El principio físico que se usa es:
“Si un objeto se eleva una distancia vertical h, el trabajo realizado es el producto del
peso del objeto por la distancia h.
Consideremos un tanque que contiene agua hasta una profundidad de km.
Sea W el trabajo realizado al bombear el agua a la parte superior del tanque, el área de
la base del i-ésimo sólido elemental es A, su volumen será A¡ . A d , , como el agua
pesa 1000 kg. por m 3, entonces el peso del i-ésimo sólido elemental es 1000/4,- A d ¡.
La cantidad de trabajo realizado para elevar este sólido lleno de agua, hasta la parte
superior del tanque es aproximadamente.
A¡W = (l 000/4, Ad¡ )d¡
544
Eduardo Espinoza Ramos
tomando limites se tiene:
entonces W es el trabajo realizado al bombear el agua hasta la parte superior del
tanque.
Para hallar una integral definida cuyo valor es W dependerá de hallar una función F
donde el dominio contiene un intervalo S de longitud k tal que:
Ejemplo.- Un tanque en forma cilindrica circular de radio 8m. y altura 20m. se llena
con agua. Encuentre el trabajo necesario para bombear el agua hasta
llenar el tanque.
Solución
i
El trabajo requerido para elevar el i-csimo sólido hasta
kX
la parte superior del tanque es aproximadamente
1000( A¡ Ad¡ )d, ,
y
''s
donde
A¡=nrf ,
de
donde
^(1000/1,-.Ad,)d¡ es la suma aproximada para el
i I)
trabajo W necesario para bombear el agua hasta la parte
superior del tanque, para expresar el i-ésimo termino de
la suma de aproximadamente en la forma F(t¡ )Ax¡. se
y
------------- ► considera una línea coordenada sobre el cual se puede
graficar el dominio, el intervalo es [ 0,20]
t¡ = x,
=
d¡
para i =
Luego la suma apioximada se puede escribir:
1 ,2,..
,,n,
A
d,
=
x, - x ,
y se hace
, =
Ax,.
Aplicación a la Integral Definida a la Física
ti
545
H
^ (1000 A¿A d t )d¡ ~
1000/r/y2x¡ A x .
#0
i 1)
o
5.5
luego F(x) = 64x entonces se tiene:
#20
1000^.64jr dx = 64000* jr dx
W = 12 800 000 n
Jo
ENERGIA CINETICA.- 1
Se da el nombre de energía cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a
la siguiente expresión:
mv2
2
5.6
PRESION DE LOS LIQUIDOS .
Para calcular la fuerza con q ue presionan lo s líquidos se emplea la ley de Pascal,
según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área A sumergida a un
profundidad x. es igual a:
p ~ rfy * dx
donde y es el peso especifico del liquido.
SUPERFICIE DEL LIQUIDO
►
Eduardo Espinoza Ramos
546
I S.7
PROBLEMAS DESARROl LADOS.-
©
Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes coordenados, del segmento de la
X
i*
a
b
linea recta —+ — = 1. comprendidos entre dichos ejes coordenados.
Solución
Los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados es:
M , = f
Jo
V
dx
.
dx
M ,, = f x J l + ( ^ - ) 2 d x
J» V
dx
„
x v
h,
Como —+ — = 1 => ) = —( a - x )
a
b
M . - f i (« -
Jo a
' a
2
r ^ J a 2 +b2
-Ja2 +b2
/U
\
x dx-= ------------ x- /
Jo
2a
a
A/..
( 2)
b
a
< £ ^ i¿ f
\
i*
/ d) \ 2 .
W,
= f" x,l/, + (—
) dx=
Jo V
dv
dx
=> — = —
0
a^Ja2 + ó 2
Encontrar el centroide de un arco de la catenaria y = 4 cosh(—) desde x = -4
4
hasta x = 4.
Solución
Aplicación a Ia Integral Definida a la Física
547
4 f cosh(—). cosh(—)dx = 2 f (1 + cosh —)dx
J4
4
4
J4
2
'4'
M , =8senh2 + 16
A7, = f xJl + (— )2dx= í x cosh —dx = 0
j 4 y
dx
J4
4
Corno
_ A 7 - Mx
- 2 + senh2
-v = ----- , v = — — entonces x = 0 . y = ------------L
L
senhl
(x, y) = (0,
NOTA
( 3)
2 + senh 2
senhl
L=\
l + (— )2d x = [ cosh—d x = 4 senh—/ 4 =4 (se nhl -s cnh(-l ))
dx
J 44
4
4¿1/
' 44
J 4V
Hallar el centroide del área acotada por las curvas
y
=x 2 , y =
a/ x
Solución
Graficando la región se tiene:
A = f (sfx - x 2)dx = —
Jo
3
.
Eduardo Espinoza Ramo.,
54X
©
Hallar el centro de gravedad de la superficie limitada por las curvas »■' = 2p x . x = h
Solución
Graficando la región
A = l [ f dx = l [ J l p \ x l dx
Jii
Jii
A =—^2phy¡h
Ahora hallaremos los momentos con respecto a los ejes
J."
f* -1i( 2 p x - 2 p x ) d x = 0
(» 2
M
ds = «V i VÍ-cos7</z = 2a sen (-)dt
2
J'inds = 2a r2"f sen —t «di = -4 a eos —«dt I t
11
Jo
2
2
,
,2n
'0
r2x
1
J-2n
v ds = \ a( 1- eos t)2a sen —dt
o'
Jo
2
M r = £ x 2 ^ 2 p x h2dx = ^ j 2 p x y i /* = ^ j 2 p h 24h
_ M x T ^ P p I'2^
3
Luego x =----- = ----------------- = — h
A
4 f— , rr
5
—J2ptisjn
_ M
, v = ——= 0
A
(*,V) = (y .O )
L : 8a
549
Aplicación a la Integral Definida a la Física
©
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer arco de la cicloide
x = (t —a sen t), y = a( 1 - cos 1).
Solución
A' = a(l -se n /)
¡dx = a(\-cos t)dt
y = a( 1- cos t)
1d y - a sen t dt
(dx)' = a 2 (1 -co*-1)2 {dt
(dy)2 = a 2 sen2 t(dt)2
ds = ^j(dx)2 +(dy)2 = a-J(l - e o s / ) ! + sen2 ldt
. ,
= 4a"
Jo
se
, / , 32 ,
=
a
2
j
En forma similar para Ai
- _ M V _ 8a 2n _
7 ~ ~ % a ~ ~ an
= 8a2n luego el centro de gravedad es:
32
- _ M x _ 3 a 2 _ 4o
' y ~ ~ L ~ 8a ~ T
,
r-r 4fl
(a, y) = (« n ,—
(7 )
r l largo natural de un resorte es de 10 cm. Una fuerza de 90 kgrs lo alarga hasta a
1 1 cm.
Encontrar el trabajo requerido para alargarlo de 12 a 14 cm.
Solución
11 cm. = 0.11 m => f(0 .1 1 )-a .ll k => k
9000
11
r " 14
/U
Ju 12 *
r" , J
9000 r014 ,
kx dx =------x dx
Jo. 12
11
Jo. 12
4500
/° 14 = 45001(0.0196-0.0144)= —
45 (0.52)
£ _ 22 /,,14
n
/ o.iz
n
Tí
Eduardo Espinoza Ramos
550
©
Encontrar el trabajo efectuado al alargar un resorte 6cms. sabiendo que se necesita una
fuerza de 15 kg. para alargarlo I cm.
Solución
Como f(x) = kx además 1 cm. = 0.01 m.
f(0.01)= 0.01 k= 15 => k= 1500
p l 06
fllílf.
W=
©
Jo.m
/ (x)dx =
Jo.oi
1500x dx = 2.62 kgr.
Encontrar el trabajo requerido para bombear el agua que llena un recipiente
hemisférico de radio R. por encima del recipiente.
Solución
El peso del disco circular de espesor dx y base
paralela a la base del recipiente es:
/ = p( Ur 1 )dx
Donde p = peso de una unidad de volumen de
agua y r 2 = R 2 - x 2 entonces
W=
©
- -V2)dx =
pYYR "
Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabatica del aire hasta ocupar el
volumen inicial es K„ = I m2 y la presión p {) =1 kj f I cm2
Solución
De acuerdo a la ley de Poisson se tiene pvk = p t)V¿ donde k ~ 1.4. de donde
W = f ^ d v = W ± [ \ - { ^ ) k ']
JtÍ2 V
kk -1- 1 VV¡,
R eem plazando valores se tiene:
W = 15,000 kg-Ptn
Aplicación de la Integral Definida a la Física
10}
551
Un reservorio vertical tiene forma de trapecio calcular la presión total del agua
sobre dicha presa, sabiendo que la base superior tiene 70 cm., la base 50cm. y su
altura 20 cm.
Solución
p = rh
Empleando semejan/a de triángulo se tiene:
y
a
y +h
h
725 725-/;
= -—-— 70
1
f2"
70
p = r\ (7 2 5 -/;)
h dh
Jo
725
©
f
50
v + 20
. de donde y = 50
70
=> 1 = (725-/;)
70
725
=> p = 113.60 cm.
Una lamina tiene la forma de un rectángulo y es sumergido vcrticalmente en un tanque
con agua y su base superior en la superficie del liquido: si el ancho de la lamina es de
1Op y el largo es de 8p encontrar la fuerza debida a la presión del liquido sobre un
lado de la lamina.
Solución
fX
F = 2w l ,v / (x)dx donde
Jo
F(x) = 5
rx
F = 2w\ 5.v dx = 320 w
Jo
12}
Se lanza una pelota vcrticalmente hacia arriba desde el techo de una casa de 64p. de
altura y la velocidad inicial es 48p/reg. ¿Cuánto tiempo tardara la pelota en llegar al
suelo y con qué velocidad llegara?
Solución
Eduardo Espinoza Ramos
552
Va =48 p t reo, tAC = >
a = -32 p ! reg~
T
0
s
64
V
48
Se sabe que v = ^ a di => v = at + k es decir
V = -32t + k y cuando 1 = 0, v = 48 => k = 48.
Luego v = -32t + 48
además .* = J vdi = J (-32/ + 48)di = -1 6 /2 + 48/ + A
cuando t = 0, s = 64 => k = 64, luego x = -1 6 /2 +48/ + 64
encontrando iAC y ocurre cuando s = 0
=> —16/2 +48/ + 64 = 0 => (t —4)(t + 1) = 0
=> t = 4, t = -1 por lo tanto el tiempo que le tomara llegar al suelo estAC = 4 seg.
La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con unavelocidad
inicial v0, contando la resistencia del aire, se expresa por la formula:
I
Vri
V =c. tg(-g —+ arctg— )
c
c
donde t es el tiempo transcurrido, g es la aceleración de al gravedad y c es una
constante. Hallar la altura a que se eleva el cuerpo.
Solución
Aplicación de la Integral Definida a la Física
553
v = c. tg(-g - + arctg(— ))
c
c
t = tiempo
c = constante
Datos:
g = gravedad
„ dh
t
Vt)
V - ——= c. tg(-g —+ arctg(— ))
dt
r
c
Jthdh = Imif .lg ( -g —f + arcte(— ))dt
I)
h=
J(l
c
c
C~
t
r
f
ln | sen(- g - + arctg— ) | /
g
c
c
"
V
rr—
h - - — ln | sen(-g —+ arctg(— )) | +c2 ln (1 + —
g
c
e
c~
5.8
©
P R O B LE M A S P R O P U ESTO S .
y = ax:oh(—)
a
0 ( 2 + senh 21
Rpta. (.í, y) = (0,— ---- —— )
2 senh 1
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria
comprendida entre x = -a y x = a
(T )
v2
de donde h = — ln(l + —
2g
c-
Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes OX, OY, y las coordenadas del
centro de gravedad del triángulo limitado por las rectas x + y = a. x = O, y = 0.
Rpta. M x = M = Í L , (A, y) = ( 1 . 1 )
O
J J
Encontrar las coordenadas de centro de masa de la región acotada por la elipse
->
7
,
-V
V
—- + ^— = 1 v los ejes coordenadas (x > 0 , v> 0).
a~ h~
4a 4b
Rpta. (,v,i) = (— ,---- )
3Í1 3 fl
554
©
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX, OY las coordenadas del centro
de gravedad del arco de la astroide
cuadrante.
* 2‘3 +>,2' 3 =fir2' 3 situado en el primer
„
3a 2
3a2
,---- , ,2a 2o
Rpta. M , =------, M , = ------- , (*, y) = (— , — )
5
3
5
5 5
Probar que si R es la región del plano acotado por las rectas x = a, x = b y las curvas
O < g(x) < ffx). a < x < b entonces
Mx
©
f ( f 2( x ) - g 2(x))dx,
M v = f x ( f ( x ) - g(x))dx
Hallar el centro de gravedad del arco de la circunferencia de radio a. que subtiene el
ángulo 2a.
©
Hallar el centro de gravedad de la región limitada por las curvas
x 2
©
+16y = 24 .
jr2 - 8 y =
0.
Rpta. ( j c , y) = ( 0 , y )
Hallar el centroide de la región acotada por las curvas y = x 3, y = 4x en el primer
cuadrante.
©
a sen ct
Rpta. ( jc , v) = (—------- ,0)
a
16 64
Rpta. (— , — )
15 21
Encontrar el centroide de la región limitada por las curvas x = 2y
- y 2
,x = 0.
Rpta. (*.>•) = (y .1)
^ü)
Hallar el centro de gravedad de la región finita, en el primer cuadrante, comprendida
entre la curvay = xe x y el eje OX.
Rpta. (2,—)
8
©
Encontrar el centro de gravedad de cada una de las regiones limitadas por las
siguientes curvas:
Aplicación de la Integral Definida a la Física
555
a)
y =x 2 - 4 , y = 2 x - x 2
Rpta. (^-
b)
i
i
y =x - , y =x - x -
11
Rpta. ( - , - )
4 8
c)
y= ln x, y= 4, y = 4 - 4 x 2 en el primer cuadrante
d)
-\[x + -Jy = 3, y = O, x = 0
e)
y = sen x, y = eos x, y = 0 desde x = 0, hasta x = y .
Rpta. (14.61,3.15)
Rpta. ( y j )
(£ ,< £ z M í V3>,
4
16
^ 2)
f)
y = x 2 - 2 x - 3 . >’= 6 x - jr 2 - 3
Rpta. (2,1)
g)
x = 4 y - y 2 , y= x.
12 3
Rpta. ( y , - )
Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por x = 0,
x = — , y = 0, y = sen x.
2
^3)
8
Determinar el centroide de la región plana limitada por la curvay = f(x),
ÍI-jc , x < 0
x = -l, x = 2 donde f(x) = \
[jc2 + l, jc> 0
©
Rpta. (x,y) = (1.—)
y =- x 2 ,
1 0 7 142
Rpta.-(----- , ----- )
106 265
Encontrar el centro de gravedad de cada una de las regiones limitadas porlas curvas
siguientes:
a)
y 2 = 20x , x2 -- 20 y
Rpta. (9,9)
556
Eduardo Espinoza Ramos
b)
15j
X
v = x - 3 x , y = x sobre el lado derecho del eje Y
Rpta.
c)
x2 y 2
.
— +
= 1 en el primer cuadrante
a~ b~
„
,4a 46.
Rpta. (— ,— )
37r 3n
d)
y = s e n x ( 0 < x < jt), y = 0
Rpta. (—
2 8
16 24
(— ,----- )
15 35
)
El centro de gravedad de la región acotada por las curvas x 2 =4 y , y = mx es un
punto de abscisa igual a 2. Determinar el valor de m. Rpta. m = 1
©
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a, con el centro en el origen de
coordenadas, sobre el plano XOY.
©
Rpta. (0,0, y )
Hallar el centro de masa de un cono homogéneo circular recto de altura h y radio de la
Rpta. (x. y, -) = (0,—.0)
4
base r.
Calcular el momento estático y de inercia de la semicircunferencia y = -Jr1 —x 2 ,
i
7V 3
Rpta. M x = 2 r ~, / , = —
-r < x < r, respecto al eje X.
19^
Calcular el momento de inercia del área de una elipse x = a cos t. y = a sen l
T
Rpta. M x = M V=
respecto al eje OY.
20)
Calcular
el
momento
y = y (e ''" + e ' )
estático
y
de
inercia
del
donde 0 < x < a, respecto al eje Y.
2
5
arco
T
, ¡x = I y =
de
la
3
8
catenaria
Aplicación de la Integral Definida a la Física
21)
557
Calcular el momento estático y de inercia de una triángulo de base a y de altura h
..
ah2
,
Rpta. M B =------ . I a
respecto a su base.
22)
Rpta. I x =
1628
105
Hallar el momento de inercia de la circunferencia de radio a, respecto a su propio
Rpta. I = a3n
diámetro.
^4)
12
Calcular el momento de inercia de un segmento parabólico limitado por la parábola
y = 4 - j r , y la recta y = 3, respecto al eje OX.
23)
ah 3
Probar que el momento de inercia respecto al eje X de una región R acotada por las
rectas x = a, x = b, y las curvas continuas b > a, g(x) < f(x) es:
7
[ (
Ja
/ 3 (x)
- g 3 (x))dx
Sea R el sólido generado por rotación alrededor del eje X de la región acotada por
x = a, x = b, la curva f(x) > 0 y el eje X, probar que los momentos estáticos y de
inercia de R respecto del eje de revolución son dadas por:
2n &
M , = - f rf / 3W &
i
¿6)
Ja
y Ix =^r\ f \ x ) d x
J Ja
Calcular el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su
eje, si la base del radio es R y la altura es h.
Rpta. I y =
- -, M = 6 ^ - h
Hallar el momento de inercia respecto del eje X de la superficie generada por
rotación, alrededor del eje X, de un arco completo de la cicloide x = a(t —sen t),
2048
Rpta. 7V= -------Tía
y = a ( l —cost).
k28J
4
Calcular el momento de inercia con respecto al eje de revolución del sólido generado
po r rotación de la elipse
= 1 alrededor del eje X .
a~
¿r
Rpta. I x =
15
558
Eduardo Espinoza Ramos
^9)
Encontrar el centroide del sector hiperbólico acotado por la hipérbola equilátera
*=
tg 0 y los radios vectores 0 = 0 y 0e = y*
sec 0 ,
2
Rpta. x =
-
1
ln (V 2 + l)’
(3 0 )
-1
ln(V2 -t-1)
Encontrar el centroide de área acotada por las curvas y = (x +1)2, x + y = 5, y = 0.
1 0
7 8
« P - C*.y> = (w w ¡ >
« - 2.
31)
V2
Calcular el momento del volumen comprendido en un octante y la elipsoide
2
2
2
x
y
=
,
. , 1
— + — + — = 1, respecto al plano xy.
a~ b~ c~
.
2n
n .
obe n
Rpta. --------16
(3 2 )
Un resorte tiene una longitud natural de 14 cm si se requiere una fuerza de 50 dinas
para mantener el resorte estirado 2 cm cuanto trabajo se realiza al estirar el resorte
desde su longitud natural hasta una longitud de 18 cm.
Rpta. 200 ergs.
(3 3 )
Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas, si una fuerza de 20 libras estira
el resorte ^ pulg. Determinar el trabajo efectuando al alargar el resorte de 8 a 11
pulgadas.
(3 4 )
Rpta. 108 libr/pulg.
Hallar la longitud de un muelle metálico pesado, si el trabajo efectuado al alargarlo
desde una longitud de 2 pies hasta una longitud de 3 pies es la mitad del trabajo
efectuado al alargarlo desde una longitud de 3 pies hasta una longitud de 4 pies.
3
Rpta. —pies
(3 5 )
Una fuerza de 8 newton estira un resorte de 4m de longitud natural a 50m más.
Encuentre el trabajo realizado al alargar el resorte desde su longitud natural hasta 5m.
Rpta. 8 Joules
Aplicación de la Integral Definida a la Física
(3ó)
559
Un resorte tiene una longitud natural de 6 pulg. Una fuerza de 12,000 libras comprime
el resorte de 5 'A pulg. Encontrar el trabajo realizado al comprimirlo de 6 pulg a 5 pulg
la ley de hooke se cumple para comprimir como para extensión.
Rpta. w = 12.000 libr-pulg.
( 37 )
Un tanque de agua en forma de un cono circular recto invertido, mide 20 pies de
diámetro en su parte superior y 15 pies de profundidad, sí la superficie del agua esta 5
pies por debajo de la tapa del tanque. Encuentre el trabajo realizado al bombear el
•
,,
agua hasta la parte superior del tanque.
(3 8 )
10000 „
Rpta. —- — n w pies - libra
Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paralelepípedo rectangular de 5 pies de
profundidad, 15 pies de ancho y 25 pies de largo. Encuentre el trabajo necesario para
bombear el agua del tanque hasta un nivel de lpie arriba de la superficie del tanque.
Rpta. 5,362.5 w pies-libras
(3 9 )
Un depósito cilindrico vertical de radio 2 metros y altura 6 metros se encuentra lleno
de agua. Hallar el trabajo al bombear el agua.
a)
Hasta el nivel más alto del depósito.
b)
Hasta el nivel de 5 metros por encima de dicho depósito (suponer que el peso del
agua es de 1000 kilos por metros cúbicos).
Rpta.
(4 0 )
a)
72,000 n kilográmetro
b)
312,000 n kilográmetro
Un tanque semiesferico con un radio de 6 pies se llena de agua a una profundidad de 4
pies. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua la parte superior del tanque.
Rpta. 256 n w pies —libras
(4 1 )
Que trabajo hay que realizar con una grúa para sacar un bloque de hormigón armado
del fondo de un rio de 15m de profundidad, si el bloque tiene forma de tetraedro
equilátero de lm de lado, siendo al densidad del hormigón 2,500 k g / m 1.
560
Eduardo Espinoza Ramos
(4 2 )
Encontrar el trabajo que debe hacerse para extraer el agua contenida en un recipiente
cónico recto invertido de radio r en la base y la altura h.
(4 3 )
a 2h 2 2
Rpta. w = — ^ — n p
Un tanque rectangular lleno de agua tiene 2 pies de ancho y 8 pies deprofundidad,
encontrar al fuerza debida a la presión del líquido sobre un extremo del tanque.
Rpta. f = 2.25 w libras
(4 4 )
Una superficie tiene la forma de un elipse de semi ejes a y b se sumerge verticalmente
en un liquido con su eje mayor paralelo a la superficie del líquido hasta que el centro
de la elipse se encuentre a una profundidad h. ¿Cuál es la presión del líquido sobre la
superficie?.
(4 5 )
Rpta. f = TTabhp
Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con
una velocidad que viene dada por la fórmula V - V0 eos w t , donde t es el tiempo y
V() y w constantes. Hallar la ley de la vibración del punto, si t = o. tenia una abscisa
x = o. ¿A que será igual el valor medio de la magnitud absoluta de la velocidad del
punto durante el período de la vibración?.
46)
Rpta. x = — sen wt
w
Una piedra se lanza verticalmenle hacia arriba desde el suelo, con una velocidad
inicial de 20p/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con que velocidad
llegará? ¿Durante qué tiempo esta subiendo la piedra y qué alto llegará?.
Rpta. t =
£7)
45)
seg. , v = 20p/seg, t =
seg .
Un hombre en un globo suelta sus binoculares cuando se encuentra a 150p. de altura y
esta subiendo a razón de lOp/seg, ¿Cuánto tiempo tai dará los binoculares en llegar al
suelo y cual es su velocidad de impacto?.
La región limitada por las gráficas y" = 20v ,
= 2 Q y , gira alrededor de la recta
3x + ¿y + 12 = 0. calcular el volumen del sólido generado.
Rpta. 4000/rt/3
Aplicación de la Integral Definida a la Física
(4 9 )
561
La región limitada por las gráficas de y = x 2, y = 5 gira alrededor de una recta
oblicua que pasa por el punto A(1,0). Hallar la ecuación de dicha recta, si el volumen
del sólido generado es igual a 40^5n u 3 .
(5 0 )
Rpta. 3x —4y—3 = 0
Sea R la región del plano limitado por la parábola y = x 2 -1 y la recta y = x — 1.
Determinar el volumen del sólido obtenido por la rotación de la región R alrededor de
la recta y = x —1.
(5 ^
Rpta.
n-J2
u3
60
La región limitada por las gráficas de y = x 2, y = 5 gira alrededor de una recta
oblicua que pasa por el punto (-1,0). Hallar la ecuación de la recta si el volumen del
sólido generado es igual a AfhJEnu3
(5 2 )
Rpta. 3x + 4y + 3 = 0
Los vértices de un triángulo son A(0,0), B(a,0), y C(0,~) , a > 0 calcular el volumen
del sólido obtenido por la rotación entorno de la recta y = x —a, de la región limitado
por el triángulo ABC.
s fy
Rpta. —
3
u3
Eduardo Espinoza Ramos
562
C A P IT U L O
V I
6 ._____ I N T E G R A C I O N N U M f e R Í C A . -
6.1
IN T R O D U C C IO N .-
Para calcular la integral definida
r*>
f ( x ) d x , por el teorema fundamental del cálculo,
primero se encuentra una integral indefinida o antiderivada F(x), es decir:
j j ( x ) d x = F(x) / [ = F(b) - F(a)
J*i i
e dx,
0
/»37r/ 2 sgfi x
------ d x ,
X
r2 senh x
Jl
dx,
no
X
existe un método conocido para encontrar primero su integral indefinida o
antider
integral definida fh
I / (x)dx existe y es un número único. Para estos casos en que
no se
puede encontrar la integral indefinida o antiderivada, veremos los siguientes métodos
para calcular un valor aproximado de una integral definida y que puede ser utilizados
para calcular una integral definida por medio de computadoras electrónicas.
6 m£
R E G L A P E I T R A P E C IO .-
Si f(x) es una función continua en [a,b] la integral definida es dado por:
Integración Numérica
563
n
geométricamente la suma de Rienmann
^ / ( c , )A-.v es igual a la suma de las
i i
medidas de las áreas de los rectángulos que están arriba del eje X, más el negativo de
los rectángulos que están abajo del eje X.
Para aproximar la medida del área de una región, usaremos trapecios en ves de
rectángulos, para este caso también usaremos particiones regulares y evaluaremos la
función en los puntos cuyas distancias sean la misma.
En la integral definida
J f ( x ) d x , al intervalo [a,b] dividiremos en n sub-intervalos
cada uno de longitud Ax =
x 2 =a + 2Ax
Luego a la integral
b-a
dando n + 1 puntos
x0 = a ,
x¡ - a + íAx , ..., xn_¡ = a + (n -l)A c , x„ = b .
Í / (x)dx
expresaremos como la suma de n integrales definidas.
t f ( x ) d x = f ‘ f(x)dx+ í 2 f(x)dx+...+ í ' f(x)dx+...+ í " f(x)dx
Ja
Ja
jq = a + A x ,
Jx,
Jx,_,
Jxr t
564
Eduardo Espinoza Ramos
La integral f ' f (x)dx, da la medida del área de la región acotada por el eje X,
Ja
n
las rectas x = a, x = j í ! y la porción de la curva P0P1 . Luego a la integral definida
J,j:i
f(x)dx
se puede aproximar por la medida del trapecio formado por las rectas
a
x = a,
jc
= JC].
P0P,
y el eje X, donde la medida de este trapecio es
“ [/(*() ) + /(-vi )]A*' en forma similar para las otras integrales, pueden ser
aproximadas por la medida del área de un trapecio, mediante el simbolo ». entonces
para la i-ésima integral definida se tiene:
por lo tanto para la integral definida.
I f(x)d x se tiene:
Ja
f / (x)dx ~ ^ -[/(x 0)+ f (*! )]Ax+ ] -[ /(xx) + f ( x 2)]Ac + ...+]-[f(xn l ) + J(x„ )]A_c
Ja
¿
L
L
f f ( x ) d x ~ í^ - [ f ( x u ) + 2 f ( x l ) + 2(x2) + ...+2f(x„ \) + .f(xn)]
Ja
... (*)
2.
La fórmula (*) se denomina la Regla del Trapecio.
OBSERVACION.-
La exactitud de una integral definida por la Regla del Trapecio,
se obtiene cuando Ax se aproxima a cero (Ax—>0) y n crece sin
límite.
El límite de la aproximación por la regla del trapecio es el valor exacto de la integral
definida; es decir:
Integración Numérica
565
T = [/(* , ) + /( jr 2) + ....+ A Jc„)]A x+ y[/(.v„)-/(.rn)]Ax
1
T = ]T f(x, )Ax + ~ [fi a) - /(A)]Ax
i i
i
lim T = lim 'S' f ( x ¡ )Ax + lim —[ f (a) - f (b)]Ax
Ax ►
<
(>
) Ar-»0
Ar-»0^“|-14*
'
A
&r-»0
.v->0 2
lim T = f /(.v)dx + 0
Ax ->0
Jo
OBSERVACION.-
j/" (jc)í/jc = lim T
Ja
Ar->0
Al aplicar la ley de los trapecios es posible que se cométan
errores que denotaremos por eT y que se puedan hallar
mediante el teorema siguiente.
TEOREMA.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y que / ’, / "
existen en [a,b].
Si cT = J f ( x ) d x - T , donde T es el valor aproximado de
J f(x)cbc que se encontró
mediante la Regla Trapecial, entonces existe un número q en [a.b] tal que:
6.3
R E G L A D E S IM P S O N .-
También se conoce con el nombre de la regla parabólica, al calcular la integral
rh
definida f (x ) d x por la regla de los trapecios, los puntos sucesivos en la gráfica
Ja
y = fix) eran conectados por segmentos de la línea recta, mientras que en la Regla de
Simpson, los puntos son conectados por segmentos parabólicos.
La Regla de Simpson da una mejor aproximación que la regla de los trapecios, pero sí,
con un mayor esfuerzo.
Eduardo Espinoza Ramos
566
Para establecer la Regla de Simpson veremos primero el teorema siguiente.
P()(x„, y0),
TEOREMA 1. Si
Px(x,, y,) y P2 (x 2 , y 2) son tres puntos no
colineales en la parábola de ecuación y = Ax 2 + Bx + C , donde
y„ > 0 , >i > 0 , y 2 > 0,
jc ,
= x0 + h , x 2 = x0 + 2 h , entonces la medida del área de
la región acotada por la parábola, el eje X y las rectas x = jc0 , x = x 2 está dado por:
yO 'o + 4>i + v2)EJE VERTICAL Demostración
La parábola de ecuación y = Ax 2 + Bx + C , tiene
^ Pi
.3
¿
su eje vertical.
p 0, p y y p 2 son de la
Como los puntos
parábola, entonces se tiene:
y, = Ax[ + Bxx + C = A(x 0 + h ) 2 + B(x 0 +h) + C
y 2 = Ax\ + B x 2 + C = A(x 0 + 2h ) 2 + B(x 0 + 2h) + C ,
de donde setiene:
>’o + 4>’i + }'i = 4(6xq +12 hxn + 8h) 2 y + B( 6x 0 + 6h) + 6 C
Sea A r el área de la región acotada por la parábola, el eje X
y lasrectas jc = jc0,
x = x{) + 2h , entonces.
Ar
— [— ( x 0
+ 2 A)3
+ —
(x 0 + 2 h ) 2 + C ( x 0 + 2 /i) ] —[ — x^
+ —
x¿ + C x0]
Integración Numérica
A r = —[A(6jc„
567
+ 1 2 /ijc 0 + 8 / /
) + fí(6.v„ +6//) + 6C]
= —{><) +4>i +>'2)
Consideremos una función f continua en el intervalo cerrado [a,b] tal que f(x) > 0 y
tomemos una partición regular en el intervalo [a,b] de 2n sub-intervalos (2n se usa en
vez de n) donde la longitud de cada subintervalo esta dado por Ax =
Aproximemos el segmento de la curva
b-a
2 11
y = f(x) de P0 a P2 por el segmento
parabólico con su eje atravez de P(], Pl y P2 y de acuerdo al teorema se tiene:
La medida del área de la región acotada por esta parábola, el eje X y las rectas
At
A t
x = x fí, x = x 2 enAx = hes: — (>■„ +4>', + y 2) o — ( /( x n) + 4 /( x ,) + / ( x 2) ) .
En forma análoga para el segmento de la curva y = f(x) de P2 a P4 se tiene:
A
t
A
t
— (v2 + 4>'.1 + y 4) o — ( /( x 2) + 4/ ( x 3) + / ( x 4))
y p ara la últim a región se tiene:
Eduardo Espinoza Ramos
568
la suma de la medida de las áreas de estas regiones aproxima la medida del área de la
región acotada por la curva de ecuación y = f(x). el eje X y las rectas x = a, x = b y
f(x)dx da la medida de la región, entonces una aproximación para esta
como
Jo
integral es:
r f(x)dx ~ ^ (/(:r„) + 4 f { x ,) + f ( x 2)) + ^ ( / ( . v 2) + 4/(.v3) + f ( x A)) + ...+
Jo
3
3
+ ^ ( / ( x 2n 2) + 4f ( x2n l) + f ( x 2))
J>
)dx *
A
—
y
( / ( %
} + 4 /(x ,) +
2 flx 2r+ 4
f ( x y )
+ 2 / 0 * 4 - ) + . . . + 4 / ^% « - • > + / & % » ) >
-(* )
A la ecuación (*) se le denomina La Regla de Simpson.
OBSERVACION.- Asi como en la regla de los trapecios se comete un error
E t , también en la regla de Simpson se comete un error Es y
es calculado mediante el teorema siguiente.
TEOREMA 2. Si y = f[x) una función continua en el intervalo [a.b] y si / ' , / " ,
y i"
/ '"
existen en [a,b], si Ef = \ f ( x ) d x - S . donde S es el
Jo
valor aproximado de f* f( x ) d x , entonces 3 k e [a,b] tal que:
Jo
OBSERVACION.- Si
f(x)
es un polinomio de grado 3 o menor entonces
/ ,v(jc)=0 => Es = 0 entonces la regla de Simpson da un valor
exacto para la integral
f
Jo
f(x )d x.
Integración Numérica
569
Al aplicar la regla de Simpson a la integral f f(x)dx donde f(x) es un polinomio de
Ja
tercer grado y tomemos 2n = 2, x0 = a , x, = a +^ , x 2 =b, Ax = - ——, el valor
exacto de la integral f / (x)dx:
Jo
jfí
f{x)dx
——
2
f{a) 1 4 / (í——} t / (6)J
2
la ecuación (*) se denomina la fórmula Prismoidal.
6.4
O
P R O B 1 E M A S D E S A R R O L L A D O S .-
Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para el valor
J ^¡l + x 2d x , n = 6.
de n indicado
Solución
3 -2
1
Hallaremos Ax = ------ = —= 0.16 ; x„ = 2 , x¡ =x()+iAx para i = 1,2......6
6
6
J2 V l+ x 2d x ~ ^ ~ (/(x „ ) + 2 / (x,) + 2
i
k
/(x 2
)+2
/(x 3
) + 2/ ( x 4) + 2 /(x 5) + f ( x 6))
0
2
Ax
2
1 0.08
1
2.16
2 0.08
2.38025
0.38004
2
2.32
2 0.08
2.52634
0.404214
3
2.48
2 0.08
2.67402
0.42784
4
2.64
2 0.08
2.82304
0.45168
5
2.80
2 0.08
2.977321
0.47571
6
2.96
1 0.08
3.12435
0.49989
/( * ,)
A f(x ,)x
2.236067
0.17888
2.81825
Eduardo Espinoza Ramos
570
£ -/l+ x * í¿r* 2 .8 1 8 2 5 , /( x ) = -Jl+ x 2
©
Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla del trapecio para el
valor indicado de n.
f ^ l + x 4d x , n = 6
Jo
Solución
Hallaremos Ax = - —- = —
6
3
x0 = 0, x¡ - x0 + /Ax para i = 1,2,...,6 además f (x ¡ ) = ^l+x¡
[ -J\ + x * d x ^ ^
/ ^
Jo
K
f { x l ) + f ( x 2) + f ( x 3) + / ( x 4) + f ( x s )]
2
0
1
1/3 1.0061539
2
2/3
1.0943175
3
1
1.4142136
4
4/3 2.0397289
5
5/3 2.9522956
6
2
£ v/l + x 4dx * Ax(— —
X
0
+
*¡
li
i
1.0000000
4.1231056
*6--+ / ( x j ) + /"(x2) + / ( x 3) + / ( x 4 ) + / ( x 5))
f2-Jl + x i dx * -(2.5615528+8.5067095)
Jo
3
f2v/l + x4d!x« 3.6894208 aprox.
Jo
Integración Numérica
®
571
Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para el valor
f1
r
indicado de
Jo
Vi
dx
+ X
. n= 5
2
Solución
Ax =
b-a
a
Ax
=
* - °
5
1 = m
=—
0.2.
5
Hallaremos los valores de x¡
x0
= x 0 + c a . x2 = x 0 + 2 A r, x3 = x 0 +3Ax, x4 = x0 + 4Ax, xs = x0 + 5Ax
Los valores encontrados mostraremos en el siguiente cuadro
K Ax
fÍY
2 J V*1)
i
1
0.1
1 0.2 2 0.1
0.9805806
0.1961161
2
0.4 2 0.1
0.9284767
0.1856953
3
0.6 2 0.1
0.8574429
0.1714985
4
0.8 2 0.1
0.7808688
0.1561737
0.7071068
0.0707106
0
0
5
1
1 0.1
Jtj)
^ 1----Vi + * i
1 0.1
Suma total.
0.8801942
1 dx
r a 0.880
j: Vi +x~
Calculando la integral por el método usual.
r1 dx
f .
- = ln|x + Vl + x2 | / =ln(l+V2) —lnl = lntl + 1.414213 | = 0.88137358
JüV l + x 2
/ü
Eduardo Espinoza Ramos
572
Calculando el error por la regla de trapecio:
m
1
E, =
(b - a ) f ” (k)(¿Sx)
= - 7 = 4 = => / '( * ) = ---------------=> f " { x ) = 3 x 2 (1 + X 2 y
J l +x 2
(1 + x 2 ) *
7
Si2
Luego el intervalo [0,1]: /" ( 0 ) = 0, / " ( l ) = — -— , reemplazando tenemos:
5.6568
- ^ ( l - 0 ) / " ( l ) ( A x ) 2 <E, < - i ( l- 0 ) / " ( 0 ) ( A x ) 2
1 (3)(0.2)2
12 (5.6568)
3(0)(0.2)2
(12)(5.6568)
- 1.76778x10’3 <E, < 0
©
Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado de 2n.
f 2- p = . 2n = 8
Jo -\/l + x
Solución
1
/ (x ) =
,
x 0 = 0 ,
,
x¡ = x 0
f
J o
.
b-a
2 -0 2 1
Ar = ------------ = --------------= —= —
2n
2n 8 4
+iAx = -^-
(/(O) 4/(*i
+
V
l
+
^
) + 2 / ( x 2 ) + 4 / ( x 3
)+
2 / ( x 4
)+
3
+ 4 /(* s ) + 2/ (
x6)
+ 4 / ( x 7 ) + / ( r R)
Integración Numérica
573
1
*¡
k
0
0
1 1
1
0.25
4 0.9922 3.9688
2
0.50
2 0.9428 1.8856
3
0.75
4 0.8386 2.5544
4
1.00
2 0.7071 1.4142
5
1.25
4 0.5819 2.3276
6
1.50
2 0.4780 0.9560
7
1.75
4 0.3965 1.5860
8
2.00
1 0.3333 0.3333
/ ( * ¡)
k /(x ¡)
1
16.1259
r
©
^
« — (16.1259) w 1.3438
Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado de 2n.
1 dx
L x +x + l
2n = 4
Solución
x*+x + l
Ar = * - “ = 1 = 0.25
2n 4
x0 = 0, x¡ = x 0 + iAx = —
4
rl
¿ r
Ar
[ -i
* — ( /( * o) + 4 / ( x ,) + 2f ( x 2) + 4 /( x 3) + / ( x 4))
J“ r + r + l
3
Eduardo Espinoza Ramos
574
i
dx
11
k
0
*¡
0
1
0.25
4 0.7619 3.0476
2
0.50
2 0.5714 1.1428
3
0.75
4 0.4324 1.7296
4
1.00
1 0.333
0.333
Suma
7.253
/(* ¡)
1 1
k.f(x¡)
1
Ax
(7.253) = 0.6044
£ jc2' ++ xjc+ li « —3 (1+3.0476+1.1428 +1.7296 + 0.333) * —
12
®
Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado 2n.
r¡ dx
Í T ^ T ’ 2n = 4
Jov/l + x2
Solución
»
JoV l ^ r 2
d*
A 1“ 0 1 m e
&x=— ~ * = 025
* ^ ( / ( * o ) + 4 /( x ,) + 2 /(x 2) + 4 /(x 3) + / ( x 4))
3
i
k
0
*¡
0
/ ( * ¡)
1 1
k.f(x¡)
1
1
0.25
4 0.9701425
3.88057
2
0.50
2 0.8944272
1.7888544
3
0.75
4 0.8
3.2
4
1.00
1 0.7071068
0.7071068
Suma
10.576531
Integración Numérica
r '_ *
575
^
576531) a (0.0833X10.576531)« 0.8813776
3
1
i
Calcular el error para la regla de Simpson: Es = ------- (b —a ) f " ‘(k)(Ar)"
180
dx
f iv{x) = 105jc4(1+x2y 9n- , como [0,1]
/( * ) = -Jl +x 2
/ ív(0) = 0 , / ' ( ! ) =
105
22.627416
para k = 0, Es = — — (1)(0)(-)2 = 0
180
4
k= 1, E = — — (1)(--- — ----- ) ( - ) 2 = -1.61124*10't
180w 22.627416 4
©
.-. -1 .61124< £í <0
Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla de Simpson para el
f sen x d x , 2n = 6
valor indicado 2n.
Jo
Solución
f(x) = sen x, Ax= — , x0 = 0 ,
6
i
= jc0 + iAx
*¡
k
0
0
1
Ax
3
tc/18
1
n/6
4
71/18 0.500
0.34906585
2
71/3
2
71/18 0.866025
0.302299753
3
n/2
4
71/18
4
2ti/3
2
71/18 0.866025
0.302299753
5
5ti/6
4
71/18 0.50000
0.34906585
6
n
1
71/18
/( * ;)
0.000
1.0000
0.0000
¡)
0.174532925
0.6981317
0.000000
2.175395831
Eduardo Espinoza Ramos
576
J'nosenx d x « —Ax3 (2.175395831) = (0.174532925)(2.175395831)
fsc
senx d!x« 0.379678197
Ju
0 .5
E J E R C I C IO S P R O P L K S r O S .-
I.
Usando los métodos de los trapecios y de Simpson. estimar el valor de cada integral,
redondear las soluciones de cuatro cifras decimales.
©
f '^ ,
x'
n= 4
©
j"1—~~y , n = 4
Jol + j r
Rpta. T : 0.7828 . S : 0.7854
®
1 x 3d x , n = 4
Rpta. T : 4.2500 . S : 4.0000
©
r x 3dx, n = 8
Rpta. T : 4.0625 , S : 4.0000
II.
Aproxime las integrales usando.
a)
El método de los trapecios.
©
í eos x d x , n = 4
x 3d x , n = 2
Rpta. T : 2.7500 , S : 2.6667
b)
El método de Simpson.
Rpta.
a) 0.957
b) 0.978
Rpta.
a) 3.41
b) 3.22
©
i -Jx ^ jl- x dx . n = 4
Rpta.
a)
0.342
b) 0.372
©
i s e n x2dx, n = 2
R p ta .
a)
0 .334
b ) 0.305
Integración Numérica
©
©
111.
577
ñn>4
I x tCJC dx, n = 4
Jo
Rpta.
a)
0.194
fl x2
J e dx , n = 4
Rpta.
a)
— a 0.212
64
Por la regla del trapecio aproximar la integral:
©
x dx
i
Jl VlO + .v5
©
rH x dx
■
2^¡4 + x 2
©
[2x 2t¡\6 - x4d x , n = 4
Jo
©
r4 i
r4
IV.
dx
n=6
n=6
n=4
Rpta. 1.13
Rpta. 9.47
Rpta. 6.156
Rpta. 1.227
^ 4 + jr3
Por la regla de Simpson, aproximar la integral.
J ■ j6 4 -x 1d r . 2n = 6
*
Rpta. 0.561
©
| 5> /l2 6 -x 3d r . 2n = 4
Rpta. 35.306
©
J l¡x3 - x d x , 2n = 4
Rpta. 11.140
©
f -\/l + x 2d x , 2n = 6
Jo
Rpta. 3.24
©
b)
0.186
b)
13t?
*0.035
1024
578
Eduardo Espinoza Ramos
CAPITULO VII
7.
ECUACIONES PARAMETR1C \S .-
7.1
R E P R E S E N T A C IO N
DE
CURVAS
EN
F O R A iA
P A R A M E T R K A . _____________________________________________________ 1
Las coordenadas (x,y) del punto P de una curva pueden estar dadas en función de una
tercera variable, llamado parámetro es decir:
A la expresión dada en (1) se denomina ecuaciones paramétricas, en donde cada valor
de t le corresponde un punto p(f(t). g(t)) del plano XY.
El lugar geométrico que describe el punto P se denomina curva parametri/ada de la
ecuación paramétrica, para obtener la ecuación cartesiana se elimina el parámetro t y
de esa manera se obtiene una ecuación en forma cartesiana.
y ~ F(x) ó E(x,y) = Ó
Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas.
x = 2 t, y = -5l
Solución
Para trazar la gráfica primeramente hacemos una tabulación
Ecuaciones aramétricas
1
0
X
0
y
0
1
2
-5
2
4
-10
-1
-2
5
-2 -4
©
x —t
579
10
1, y = íSolución
Para trazar la gráfica hacemos una tabulación.
t
0
X
-1
T
0
1
0
1
-1 -2
1
2
1
4
-2 -3
4
Ejemplos.- Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas pasando a coordenadas
cartesianas.
x = -1 + cos 0 , y = 2 + 2 sen 0
Solución
x = —1+ cos 0
v = 2 + 2 sen 0
JC + 1 = C O S 0
y -2
„ . elevando al cuadrado para elim inar el parám etro.
= sen0
Eduardo Espinoza Ramos
580
(jc+ 1)2 + ——— = cos20 + sen 2ff =1
i (y —2)
(jc+ 1)2 + '
=1 , que es una elipse
©
Solución
Para obtener la ecuación cartesiana, eliminaremos el parámetro t.
x =í
1
=> xy = 1 ecuación cartesiana.
y=-
7.2
D E R IV A C IO N P E L A S E C U A C IO N E S P A R a M E T R )C A S .-
Consideremos dos íunciones f y g derivables en un intervalo [a,b] tal que:
!x ~ g í()
(a)
son las ecuaciones paramétricas.
La derivada — cuando x e y están dados en forma paramétrica se obtiene aplicando
dx
la regla d e la cadena, es decir:
Ecuaciones aramétricas
581
dy
fíf. ~ j Il ~ 0 1
dx dx
f'(t)
dt
para obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir:
— í-^ )
d dy dt _ dt dx
dt dx dx
dx
dt
d 2r _ d dy
dx2 dx dx
g -(o
d
r u ) g " U ) -
d 2y _ dt f ’(t)
dx2
f'U )
d :y
dx2
Generalizando se tiene:
r u ) g ' U )
(f'U))2___
f'U)
f ' U ) g ’U ) ~ r U ) g ’U)
( f' U ) ?
- ni
d y . di ' dx
>
dy
OBSERVACION.1)
La primera derivada
dx
p*(/)
— = ----- nos permite determinar los intervalos de
dy f'U)
crecimiento y decrecimiento de acuerdo al signo de la derivada.
2)
=f
La segunda derivada
dx-
^
(f'U))
^
nos permite determinar la
dirección de la concavidad en cada punto de la curva.
Ejemplo.- Calcular la derivada — de las íunciones dadas en forma paramétrica.
dx
Eduardo Espinoza Ramos
582
©
Solución
1
x'(í) = -
(/ + 1)2
2/
/ +1
V= ( - ^ ) 2
7+1
u+ \r
27
2/
7+ 1
dy _ .v'(Q_ (/ + !)
1
£¿r x'(7)
©
<ít
27
7+1
x = £7(7-se n 7)
^
para 7 =—
y = a (l-c o s í)
2
Solución
x = a(i -sen7)
y = £7(1 -eo s/)
dy
dx
y'(t)
x'(t)
£7sen 7
£/(l-eos 7)
x'(7) = £7(1-eo s 7)
>■'(7) = £7sen 7
sen 7
1-cos/
dy
= — = 1 =>
dx ,=!L 1 - 0
dx
dy
dx
sen 7
1- eos 7
= 1
Ejemplos.- Encontrar la ecuación de la tangente y normal de la curva especifica en el
punto correspondiente al valor dado del parámetro.
©
x = / 2 + l , y=73+27, l = -2
Solución
El p unto para t = -2 es P(5,-12)
Ecuaciones aramétricas
583
dy _ >'(/) _ 3 r +2
dx x'(<)
2/
dy
dt
niL,
L,\ y + 12 = - - ( x - 5 )
ni¡
©
=
~>
por lo tanto
1
1
m¡
= —
/„ :
v + 12
' 7
= —
(x -5 )
x = 4 co st. v = 2sen~/, t= —
3
Solución
El punto para t = y
es P(2,^-)
dy _ y'U) _ 4 sent cosí
= -co s/
-4sen/
dx x'(t)
m, =
dv
n
1
= —eos — = —
dx f —
3
2
3
L,-- y ~ =~(x~2),
/„ :
y - l =2(x-2)
7.3
A P L IC A C IO N E S D E L A S E C U A C IO N E S P A R A M E T R IC A S .-
7.3.1
AREA BAJO UNA CURVA DADA F.1M FORMA PARAMETR1CA.Consideremos una curva C definida mediante las ecuaciones paramétricas.
C
¡x -M
jy
te
'
Entonces el área de la región acotada por está curva, el eje X y las rectas verticales
x = a, x = b se expresa mediante la integral
Eduardo Espinoza Ramos
584
donde a y p se determinan de las ecuaciones a = f(a): b = f(P) y g(t) > 0 en [«.(i]
Ejemplo.- Hallar el área contenida en el interior de la astroide
v = bscv? t .
x = a eos /.
Solución
Aplicando la simetría, el área de la región es dado por:
4
Jry
gU).f'U)dl
ahora calculamos los límites de integración.
x - f(t) = a eos3I => f(o) = 0 => crcos1a = 0 => a = —
i
f(P) = a
=>
acos p = a => p = 0
/ {/) = e?eos3/ => /'( /) = -3er eos2 l sen/
A- 4
rP
g[t)f'U)dt = 4
Jt 2
Ja
12ab .1
8
r°
2
sen4/
r
■>
tn -
ósen /(-3acos~isenDdi = \2ah\
Jo
sen' 2i ,n,2
3ab , n
.
,
i
■>
sen icos'/ di
3aó7r
8
. 3abn i
A=
u~
73.2
LONGITUD DÉ ARCC CUANDO LA CURVA ES DADA POR ECUACIONES
PARAMETRJCAS.- H. .
■w
Si la ecuación de la curva C es dada en forma p iramétrica mediante un par de
funciones con derivadas continuas, es decir:
Ecuaciones aramétricas
'* = / ( / ) *
C: >
[>' ='gU)
:
,
entonces la longitud de la curva C es:
Ejemplo.- Hallar la longitud del arco de la curva
x = t2,
y = t 2 desde t = 0
hasta t = 4.
Solución
\x = r
— = 3r
cit
1 v = /2
—
dt
=
2/
L = ¡ \ ¡ ( — )2 + ( ^ ) 2d t = ( ' ^ 9 t 4 + 4 r d t = f t ^ 9 r + 4 dt = — (9t2 + 4)3,2 f
Jo V dt
di
Jo
Jo
27
' ()
= ^ -(3 7 ^ 3 7 -1 )»
27
7.3.3
.
L = — (37-v/37-1)m
27
AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION CUANDO LA CURVA ES
DADA EN FORMA PARAMETRTCA.
•• *
Si la curva es dada por las ecuaciones paramétricas: C : j
donde — . —
[>' = y(t)
dt
dt
son continuas en a < t < p, entonces el área de la superficie obtenido por rotación
alrededor del eje X, del arco de la curva desde t = a hasta t = p es expresado por la
fórmula:
____________________
ifR P *»
OBSERVACION.-
Cuando se rota alrededor del eje Y y el área de la superficie es
dado por:
Eduardo Espinoza Ramos
586
Ejemplo.- Hallar el área de la superficie de la esfera engendrada al rotar un circulo
de radio 4 alrededor de un diámetro.
Solución
Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación del círculo de radio
4 es:
x 2 + y2 = 16, cuyas ecuaciones paramétricas sonx = 4 eos t , y = 4 sen t entonces:
— = -4 sen l , — = 4 eos í , donde el área de la superficie es dado por:
di
di
A = 2 n [ P v(t Mí— )2 + (— )2 dt = 2TI f * 4 sen/a/i6cos2/ + 16sen 2 1 di
Ja
]¡ dt
dt
Jo
= 2 n fl6 s e n r dt = -3 2 n e o s l F = MYlu2
Jo
/o
NOTA.- Cuando t varia desde t = 0 hasta t = ir se obtiene el semicírculo de
diámetro sobre el eje X.
I 7.4
P R O B L E M A S D E S A R R O L L A D O S .-
©
Hallar el área de la región bajo un arco de la curva x = at, y = a( 1—eos t).
(i)
Hallar el área limitada por la cicloide dada por: x(t) = a(t - sen t), y(t) = a( 1 - eos t),
y por el eje X entre dos puntos sucesivos de intersección con el eje X.
Ecuaciones aramétricas
587
Solución
A=
A=
f
Jo'
v(l)x'(t) dt
C2n
cr(l-cosr)a(l-cos/)í//
Jo
( l- 2 c o s / + cos‘ t)dt
j4 = £7- J
j
1
t
sen2í ,2n
n 7rT i
A=a~(---- 2 s e n t+ - - ) / = o (311 —0) = 3 n a “
-)
A lO
©
Hallar el área de la región limitada por la cardioide
^ = 3 n o 2M2.
x = o(2 cos /- e o s 2t)
>• = £7(2 sen t -se n 2t)
Solución
Como la cardioide es simétrica su área es:
A =2
rP
y{t)x'(t) dt de donde jt'(7)=2£7(seri2/-sen/)
Ja
V**
X
{x = £7(2 COSt -c o s 2t)
r1»
,
=* A =21 y(t)x’(t)dt
[>• = £7(2 sen t -sen 2t)
Jn
= 2 f" £7(2 sen / - sen 2t )2£7(sen 2t - sen t)dt
J71
A=8a~7 f° (sen/-cos/.sen/)(2sení cosí-sent)£//
J/T
7 f0
/l = -8£7‘
Jn
7
7
sen~ r(l —3 cost + 2 cos~ t)dt
_ i 37
A = —8a (
4
sen i cos t
■, sen 2/ cos 2/ s .o
sen J-t ------------------ ) /
2
8
A = —8£72( 0 - — ) = Ó£72n
4
^ = 6£72n
Eduardo Espinoza Ramos
588
©
x = a(t-sen i)
Hallar la longitud de un arco completo de la cicloide j*
= fl( l -C O S í )
Solución
dx
£7(1 -COS/)
~dt
dy
=£7sen t
dt
x =a(t -se n t)
V= £7(1 —COS 7)
= as[2 j j * -v/2 s e n L dt =2a
s e n l- d t = 2a[2 e o s j ] / ^ = - M ~ l - 1 ] = 8 a
L = 8a
©
Hallar el área de la figura limitada por el lazo del Folium de Descartes
3at
1 + /3
3 a t2
'
1+73
Solución
•P
A = f y(t)x'{t)dl donde
Ja
.
3at
3a(\-2t )
*(/) = ----- =* x (t)=
,
1+ / 3
(1 + í 3) 2
para a = 0, p = +x
Luego el área de la región es:
Ecuaciones aramétñcas
A=
589
r ^“ 3"
iat' 2 3 « t * i dl =9 a2 r i L = * U
J0 (1 + í
Jo 1+/
(1 + « )
= 9a2[ f “ 3t\ - l C
+
dt]
Jo (1
Jo ((/3
(1 +
+ /3)3
r)
Jo
r ++1l)3
)
o ’r
1
= **-[- —
2
—
2(1 + / 2) 2
©
Encontrar
la
+7—
,+«
H /o
3(1+ r ’ )
longitud
total
3a
= -^
de la curva dada por: x = a(2 eos t —eos 2t),
y = a(2 sen t - sen 2t).
Solución
Como la curva es simétrica con respecto al eje X, y además se tiene que cuando t varia
de t = 0 hasta t = 7t el punto P(x,y) recorre la parte superior de la curva, entonces.
Jo V dt
dt
dx
, _
— = a(-2 sen t + 2 sen 2t)
dt
dv
— = a (2 c o s /-2 c o s i 2t)
di
x = a(2 co sí-co s2 t)
y = a (2 se n t-se n 2 /)
L = 2 í J a 2( - 2 sen t + 2sen2f)2 + cr2(2 cosí - 2 cosí 21)2 dt
Jo
„ f" ll- c o s t . _ f*
t ,
,,
t ,n
= 8 (7 J
dt = sa\ sen—dt = -1 6 a eos — / = 16a
Jo \
2
Jo
2
2 '0
L = 16a.
©
C alcula el area de la superficie generada por la rotación alrededor del eje X , del arco
Eduardo Espinoza Ramos
590
Solución
dx
,,
— = e (sen/ + eos/)
dt
dy
¡i
v
— = e (co s/-sen /)
dt
\x = e sent
Iy = e' eos /
A=2n\
Jo
v{t)J(— )2 +(— )2dt = 2 n \
'
V dt
dt
Jo
A = 2-j2n^
e 2' cosí dt = ^ ^ - ( e 2' (sent + 2 c o s /) )/^ "
AA = ■ ■
©
e cost.^j2e'dt
,2
(e n - 2- ,)u
í
Hallar el área de la superficie generada por la rotación alrededor del eje Y, del arco de
la curva y = —(v2 -2 1 n x j, x e [1,4].
4
Solución
Parametri/ando la curva se tiene:
x =t
1
,
v = —(/ -2 1 n /)
4
, t e [1,4],
calculando sus derivadas,
— = 1; — = - ( / - - ) , de donde el área de la supei .icie es:
dt
dt 2
t
A = 2rrfx(t) I A 2 + ( % 2df = 2 i r f J l + j O - I-)2dt = 2 n f t j ( t + - ) 2df
Ji
V di
dt
Ji V 4
J< V4
/
2
n
^ ( t + - ) d t - ;rjj (t2 + \)dt = n ( ^
Y +
A - 24/r u2
l)
- 24/r
Ecuaciones aramétricas
(5 )
591
Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse
a)
Del eje OX
b)
a-
b~
= 1 , alrededor:
Del eje OY (a > b)
Solución
x~ v~
—7 + ^ - = 1 parametrizando ésta curva:
a~ b~
x = a eos t , y = b s e n t
Por ser simétrica con respecto al eje X se tiene:
Para
x = 0 => / = — ;
2
x = a => t = 0
dx
— = - a sen t
^
, que al reemplazar tenemos:
dy ,
— - b eos /
di
x = a eos t
t
y = bsent
A = 4n jn b sen isla2 sen2 t + b 2 eos2 t di = 47rbjn sen I - J a 2 + (b2 - a 2) eos2 i di
A = 4bn L sent J a 2 - ( a 2 - b 2) eos2 1 di = 4n4 a2 - b 2 L J —^-— y - eos2 r sen/
Jy
Va~ - b~
. r^> TT.eos/ I o 2
~
a2
V a2 - b 2
, ,0
A = 4nya~ - b~ [ -----.. .. . -cos~ t + ----- r-----— arcsen-------------e o s/]/ ,
2 Va —b
2(o —b )
a
J/
evaluando y simplificando se tiene:
A = 2nb2 +
E
arcsen E donde E =
V a2 ~ b 2
a
Eduardo Espinoza Ramos
592
en forma similar para la parte b).
A = 2na 2 +
10)
E
ln(*+-—) donde E =
1- E
a
Calcular el área de la superficie obtenida al rotar un arco comprendido de la cicloide.
x —o{t —sen ()
v = o (l-c o s t)
, alrededor de la tangente a la cicloide en su punto más alto.
Solución
Un arco completo de la cicloide se obtiene cuando t varia desde 0 hasta 2 ti, en donde
el punto mas alto en este intervalo es cuando
dy
dy At
asen/
. . . . .
dx
t = jt y como — =—.L =----------- entonces la pendiente de la tangente es —
=0.
dx dx u(l-cos0
dt t=n
dt
Luego la ecuación de la tangente es y = 2a. Como la distancia del punto (x,y) de la
cicloide a la recta tangente es (2a—y) por lo tanto el área pedida es:
A = 2 n ¡ 2\ 2 a - y ) A 2 + A 2dt
Jo
V dt
dt
x = a(t—sent)
v = a(l - eos /)
í
A-
dx
— = a (l-c o s /)
dt
dy
— = a sen t
dt
2nf (2a-y)J(—)2+
Jo
V dt
( — ) 2d t , reemplazando se tiene:
dt
Ecuaciones aramétricas
593
, f2it
T/
f
, r2n
, 2í
t
A - 2 m ~ \ 2cos_ —.2sen —dt = 8cr_tt I eos- — .sen —dt
Jo
2
16a~n
31 ,2*
.eos— / =
i
? /o
2
1
Jo
2
2
27r j._j j-j _ 32na2
.
=
ttna2 ,
u~
7.5
E J E R C IC IO S » ^ k Q P U E S T Q S .-
I.
Construir las gráficas de las siguientes ecuaciones dadas en forma paramétrica:
\x = 2' + 2 “'
©
I v = 2'
v=
-
2~ '
^¡i^2
ai
©
©
x = 10cos t
jx =t-t ~
l> = r2 - / 3
íx = / 2 -2 r
©
\ y = t 2 +2t
Íxy ==ee~
t -1
/+ i
i
y=t
X =
■Jü7
©
cos / - eos t)
{xy == a(2
o(2 sen /- s e n 2t)
©
{
y = lOsen3 t
lx = ^ l - í 2
I y = arcsen t
\ x = e 2' -1
\y =\ - e -
x = 3 sen t
x = t - tgh t
y = 4 tg / sec /
y = sec ht
Eduardo Espinoza Ramos
594
1
jc = t
y = l n |/ |
íx = 3 ^ í3 2
w
II.
\ y = 2-j4-t
dy d y
en donde:
En cada una de las ecuaciones, encontrar — ,
dx dx2
©
Ix = arctg/
©
{.y = ln(l + / 2)
x = a cos /
y = a sen /
©
{x = a (s e n /-/c o s /)
y = o(cos/ + /sen/)
©
Ix = aresen/
©
/
Ixy ==e'e' cos
sen /
®
Íxy =- aa-6a-caosen6
s6
/
Iyx == e'e -s+ cos
en/
©
{x = l —sen /
\x = e2' +1
III.
©
©
x = ln/
©
y =^ - r
©
y =i -1/
x = ln/
_v = /n
b = l-e "
y =(t-n)2
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto correspondiente
al valor del parámetro que se indica:
x = 1+ 3 sen /
n
^
r
•
/
=
V
v = 2 -5 c o s /
6
jr = o (l-s e n /)
©
w
íx = ln/
v = o (l-e o s/) ’
©
n
4
I * ' 256" ' ,
]> = 5 a js í
JX
©
=
2 COS
/
|>- = 2 sen3 / ’
3
K
4
Ecuaciones aramétricas
x-
©
2í
/3 +l
3r
©
595
®
y=r3 + l
í.v = 3 s e n /-8
\x = ae cosí
5n
~4~
|y = 5 + 2 sen t
n
íx = 4cos/
, t=O
©
, t=0
Iy = ae' sen t
IV.
©
©
©
Hallar el área de la región limitada por el astroide x ~ a eos3 / , y = a sen3 í .
t»
4. —
3fl-—
7T u 1
Rpta.
8
Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide,
x = a(t - sen t), y = a(l —eos t).
Hallar el área de la figura limitada por una rama de la Trocoide, x = at —b sen t.
y = a - b c o s t , (0 < b < a ).
©
(?)
^
Rpta. 3a 2n u 2
Rpta. (b2 +2ab)nu2
Hallar el area de la región encerrada por los lazos de las curvas.
a)
x = 3t2, >• = 3/ —/ 3
Rpta. ^ ^ - u 2
b)
x = t - í 2, y - í 2 - 3t
81 2
Rpta. — u
c)
x = cos /,
y = e o s'/.se n /
20
3/r
Rpta. —
r»
8
Hallar el area de la región encerrada por las curvas: x = — , ,
1+ r
t e [0,+oo>, y el eje Y.
na(n-2)
Rpta. ----------- - u
2
y=-^ -,
1+ /
Eduardo Espinoza Ramos
596
(ó )
Hallar el área de la región limitada por la curva x = a eos5 / , y = b sen
„ t
15eT7r 2
Rpta.
u
128
(j)
Calcular el area de la región limitada por la curva cerrada x =
1+ r
■, y -
a 2( 4 - n ) n
Rpta. --------------- u
4
©
2
x =t2 - 2 1,
Determinar el área encerrada por el lazo de la curva descrita por:
y = t 3 - 12/.
1+ / '
Rpta. 129.6 u 2
Hallar el área encerrada por el lazo de la curva dada por: x = t 2 —t , y = t 3 - 3 / .
81 u~’
Rpta. —
K
20
©
Hallar el área encerrada por: x = / 3 - / , y ~ t 2 + /. Rpta. ^ w 2
V.
Hallar la longitud del arco de la envolvente del circulo:
x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t) desde t = 0 hasta t = T.
Rpta.
Hallar la longitud de la envolvente de la elipse
x-
c 2 eos3 í
y
c 2 sen3 1
~~~b
’
3 _ t3
(c2 = a 2 - b 2) .
( 3)
Hallar la longitud de un arco de
y = a( 1 - eos t).
Rpta. 4(---------- )
ab
la
cicloide
dada
Rpta. 8a
por:
x : a(t —sen t).
Eluaciones aramétricas
(4)
597
Hallar la longitud de la curva dada por: x = a(2 eos t - eos 2t), y = a(2 sen t - sen 2t).
Rpta. 16a
(T )
Calcular la longitud de la curva cuyas ecuaciones son .v = — + 1 ,
Determinar la
- — - / de
4i
r
Rpta. 1+ ——ln(l + V2)
t = 0 h a s ta t= l.
©
1
longitud
dela curva v■= e ' sen / ,
hasta l=7r.
y = e ' eos t , desde t = 0
n)
Rpta.
2
(7 )
1 < t < 2.
("s)
Rpta. -(4 V r7 -V 2 ) + ln(4-+ ^ ? )
4
1+ V2
Encontrar la longitud del arco de la curva dada por: x = t - a tgh(—), y = a sec //(—)
a
a
desde t = -a hasta t = 2a.
(*))
Rpta. [ln(cosh2)-ln(cosh(-l))]
Hallar la longitud de la curva dada en coordenadas parainétricas x = e 2' sen 3 /.
v = e2' eos3/. desde el origen hasta el punto en que t = ln 2.
10)
4
Hallar la longitud del arco de la curva cuyas ecuaciones son: x = — , y = — ,
2
4
Las ecuaciones paramétricas de una curva son:
x = 50(l-cos/) + 5()(2-/)sen/
y = 50 sen / + 50(2 - / ) sen I
Determinar la longitud de la curva entre los puntos
Determinar
las
ecuaciones
paramétricas
Rpta. y ^J\3
1=
0 y
1=
2.
Rpta.
100
de una curva .ysen / + y eos t = t 2,
x eos l —y sen t = 2t, en donde t es el parámetro, se pide hallar la longitud de la curva
7T
7T" + 74
comprendida entre los puntos t = 0 y 1 = — . Rpta. — —— tí
Eduardo Espinoza Ramos
59S
12)
Calcular la longitud de arco de la curva paramctrizada.
x = (t1 -2)sc n/ + 2/e os /, v = ( 2 - / ' i )c o s / + 2 /s c n / , desde t = 0 hasta t = tt.
n2
Rpta. - y
13)
Hallar la longitud de arco de cada un de las curvas siguientes:
a)
b)
c)
©
x = e' sen /. v =
eos/, t e [O.ir]
Rpta. V2(e
x = ,¡ ¡ . )•= — + — .desde t= 1 hasta t = 3 .
8
4/
Rpta.
x = e'(cosi + /se n /). _v = e, (se n /-/c o s/) t e [0.2n:]
Rpta. 2(c2n
1)
6
1)
Calcular la distancia recorrida por una partícula que viaja a lo largo de la curva dada
en forma paramétrica v = / 2 - 3 , y = 3t durante el tiempo t e [0,2],
Rpta. 5 —ln 3
VI.
©
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX. de la
1
cicloide x = a(2 cos t
©
cos2l), y= a(2 sen t — sen 2t)
-|
1
Rpta. - y - a 'n a '
Hallar el area de lasuperficie engendrada al giur uno de los arcos de la cicloide:
x —a(t —sen l), y =a( 1 - cos t) alrededor:
a)
del eje OX
64a
3
Rpta. —-— n u
b)
del eje OY
Rpta. 16a n u~
c)
de la lamiente a la cicloide en su punto supe. íor
Rpta.
32a
n ti
Ecuaciones aramétricas
599
Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje
OX, las curvas dadas por:
12
a)
x —a eos 2 t , >- = osen3 /
Rpta. — a 2n u 2
b)
y=e ' , x> 0
Rpta.
(e” ~ 2)n u 2
Encontrar el arco de la superficie generada al girar alrededor del eje X la curva
x = e' sen/, y = e' c o s t , /e[0,-^-]-
Rpta.
—2)
Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje Y la curva x = t + 1,
600
Eduardo Espinoza Ramos
CAPITULO VIH
8.
COORDENADAS FOLAKES.-
8J
IN T R O D U C C IO N .-
El sistema de coordenadas polares consiste de una distancia y la medida de un ángulo
respecto de un punto fijo y una semirecta fija. El punto fijo se llama el polo (u origen)
y se denota por “o”, la semirecta fija se llama eje polar que denotaremos por OA y se
gráfica horizontalmente y a la derecha.
el p o l o
eje polar
o------------------------------------►A
Sea P un punto distinto del polo “O” y 0 e ángulo en radianes cuyo lado inicial es
OA y su lado terminal O P . Entonces: si r es la distancia dirigida desde “O” a “P”
(r = | OP |) un conjunto de coordenadas del punto P está dado por r y 0 y denotaremos
por: P(r.0) (ver gráfico).
Ejemplo.- Graficar los puntos P, (4,—). P-,(4~ —),
4
Solución
‘
4
4
), P A - 4 - —)
4
Coordenadas Polares
8.2
R E L A C IO N
601
EN TR E
COORDENADAS
POLARES
Y
R EC TA N G U LA R ES.
Suponiendo que el polo de un sistema de coordenadas polares coincide con el origen
del sistema cartesiano y el eje polar coincide con el eje X en sentido positivo.
Luego, cualquier punto P del plano tiene por representación en coordenadas polares
P(r,0) y cartesianas P(x,y).
P(r,0)
En el AOAP se tiene: t g 0 = J
1
1
7
r“ =x + v
C O S 0
=
—
r
s e n 0
=
—
.
r
h >
I jc —
r
C O S t í
jj>
r
s e n il
:
=
0 = arctg(—)
x
602
Eduardo Espinoza Ramos
Que es la relación entre coordenadas polares y cartesianas.
Ejemplo.- Trazar el punto (-6 ,-^ -) y encontrar sus coordenadas cartesianas.
Solución
Como x = r cos 0 , y = r sen 0 entonces:
x = - 6 cos —— = —3-72
4
y = - 6 sen— =3-72
4
Luego
(a -, y )
= (-3-72.3-72)
Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es
dada por
a 2 + r 2 = a 2
Solución
Se conoce que:
ÍA =
rc o s 0
<
=>
| v = r sen O
J a ' = / ' eos" O
| ^
,
) • ' = / • ' se n ' 0
—-----------------a ' + )■ ' = r
Como v2 + v2 = a 2 => r 2 = a 7 = > r = a
Por lo tanto la ecuación polar es
r=a
Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es
y 2
= 4 ( a + 1 ).
Solución
Se conoce que:
y 2 =4( v + l)
x = r cos 0, y = r sen ü.
entonces
Luego reemplazando en la ecuación
r 2 sen2 0 = 4 (re o s0 + l)
de
donde
Coordenadas Polares
603
2(cos©±l) J J J
2
r = -------, de donde r = ----------sen2 ©
1-cos©
Entonces
o
2
r =—
1+ cos©
Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación polar es:
r 2 = 2 sen 6 .
Solución
Se sabe que r 2 = x 2 + y 2, y= r sen 0 => sen© = —
r
■j
7
7
Como r~ = 2 sen© => x~ +y~ =
2V
(x2 + y 2h¡x2 + y 2 =2 y
Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación es: r 2 = 6 .
Solución
Conocemos que:
y
V
tg © = — => © = arctg(—)
x
x
r 2 = x 2 + y 2 como r 2 =© => x 2 + y 2 = arctg(—)
8.3
LA R EC TV
POLARES.
Y
L4
C IR C L N F L L E N C IA
«
EN
'•
COORDENADAS
.. - ' ^
Consideremos la recta L que pasa por el punto A(a,o) y que es perpendicular al eje
polar ó a su prolongación, su ecuación cartesiana es dada por x = a. como x = r eos 0
entonces su ecuación polar es: r eos 0 = a.
Cuando a > 0, la recta L se encuentra a la derecha del polo; cuando a < 0 la recta L se
encuentra a la izquierda del polo.
Eduardo Espinoza Ramos
604
L
A(a,0)
0
*
a < 0
Consideremos una recta L que pasa por el punto A(a, y ) que es paralelo al eje polar.
Su ecuación cartesiana es y = a. como y = r sen 0,
entonces su ecuación polar es: r sen 0 = a.
Cuando a > 0, la recta se encuentra arriba del eje
L
0
Tí ^
polar; Cuando a < 0, la recta se encuentra por
debajo del eje polar; cualquier recta que pase por el
2
polo, su ecuación es 0 = k, donde k es la medida
del ángulo que forma la recta con el eje polar.
La ecuación de la circunferencia con centro en el p e 3 y radio k es r = ± k es decir, el
punto P(r,0) pertenece a la circunferencia sí y solo sí | OP |= k .
Coordenadas Polares
605
Luego si la distancia | OP |= k , entonces r = + k es la ecuación de la circunferencia
de centro en el polo y radio igual a k.
P(r,0) pertenece a la circunferencia y como AOPA es recto por ser inscrito en una
circunferencia. Luego eos 6 = — de donde r = 2a eos 0.
2a
8,4
E J E R C IC IO S P R O P U E S T O & -
1.
Encontrar una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación cartesiana que se
indica.
®
@
©
x 2 + y 2 +4x + 4y = 0
x 2 =6y - y 2
©
x 3 = 4y2
(x2 + y 2) 2 = 4(x2 —y 2)
©
x 3 + y 3 -3axy = 0
H ,N+
(N
K
©
x 2 + y 2 +4x = 0
II
©
©
©
©
3x2 + 4 y 2 - 6 x - 9 = 0
©
y 2-4 x -4 = 0
9
X 3
©
y = 2i a - x
©
(x2 + y 2) 3 =16jc2y 2(x
(jc2 + y2) 3 = 4 x 2y 2
©
x 2 + y 2 - 4 x + 2y = 0
2x2 - y2 = 0
©
jc 4
+ x 2y 2 ~(x+ y ) 2 - 0
i
9 .2
2
( jr +y~) =2a xy
Eduardo Espinoza Ramos
606
II.
Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar dada:
©
r 2 = 2sen0
r 2 eos 26 = 10
©
r 2 = cos0
©
r 2 = 4 eos 20
©
©
r = 2 sen 30
©
©
r=a0
©
3
2 + 3 sen 6
r 2 = 4 sen 26
©
r = 1 + 2 sen 0
©
9
r = ------------4 -5 c o s 0
©
r 2 eos 26 =3
©
r = 2 eos 20
©
r sen 20 = 3
©
/■sen2 6 = 4cos0
@
r = 2(1 +sen 0)
©
6
2 -3 se n 0
©
©
©
©
8 .5
r = a sen 0 + b eos 0
©
II
(N
r = 3 sen 0 + 5 eos 0
©
r 6 = r 2 eos2 6
4
3 -2 c o s 0
r = a(l —eos 0)
T R A Z A D O D E C U R V A S E N C O O R D E N ID A S P O L A R E S .-
La gráfica ó lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es:
G =
{(r.O)
r R x R / r
fiO)\
DISCUSION DE UNA ECUACION POLARPara facilitar el trazado de la gráfica de una ecuac ón en coordenadas polares es
conveniente establecer el siguiente análisis.
Coordenadas Polares
607
ler. Las Intersecciones:
a)
Con el eje polar: se hace 0 = mr, n e Z
b)
Con el eje a 90°: se hace 6 = ^ + n n , n e Z
2do. Simetrías:
a)
Con respecto al eje polar: se reemplaza (r,-0) por (r,0) si no cambia la ecuación,
la curva presenta simetría.
b)
Con respecto a eje a 90°: se reemplaza (r,0) por (r,n — 0) y por (-r,-0) si la
ecuación no cambia la curva es simétrica.
c)
Con respecto al polo: se sustituye (r,0) por (-r,0) si la ecuación no cambia la
curva es simétrica.
3er. Tabulación:
Se determinan los valores de r correspondiente a los valores asignados a 0 en el
dominio y se ordenan los pares.
4to. Trazado de la Gráfica:
En el sistema coordenado se localizan los puntos hallados y se traza la curva.
8.6
E JE M P LO S .-
Discutir y graficar las ecuaciones.
r = a(l + cos 0) (La Cardioide)
Solución
a)
Intersecciones:
i)
Con el eje polar: 0 = njt. n e Z
r = a(l + cos nír)
Eduardo Espinoza Ramos
608
Sí n = 0 => r = 2a, (2a,0)
Sí n = 1 => r = 0, (0.7i)
si n = -1 => r= 0, (0,-7i)
Si n = 2 => r = 2a, (2a.2n) = (2a.O)
Con el eje a —: 6 = —+ n n . n e Z
ii)
2
2
si n = 0 , 0 = — , r = a, (a,—)
2
2
3/r
3/r
si n = 1, 6 = — , r = a, (a,— )
2
2
Con el polo: r = 0 => cosG = -l => 0 = 7i, 3 tt
iii)
b)
Simetrías:
Con respecto al eje polar: (r.-0) por (r .0).
i)
r = a(l + eos 0) = a(l + cos(-0)) =?• 3 simetría.
71
Con respecto al eje 0 = — : (r.0) por (r.7i —0)
ii)
r = a(l + eos 0) * a(l + cos(7i - 0)) => 3 simetría
iii) Con respecto al polo: (r, 0) por (-r, 0) ó (r, 0 + 7i)
r = a(l + eos 0) ^a(l+cos(7t - 0)) => 3 rímetría
Tabulaciones:
0
r
0
2;
15°
1.97a
W
O0
c)
1.87a
45°
1.70a
60rj
1.5a
7
’ 26a
90°
a
Coordenadas Polares
609
"Y
©
r 2 =5 eos IB (lemniscata)
Solución
a)
Intersecciones:
i)
Con el eje polar: 0 = n7t, n e Z
r 1 =5 eos 2nn
Sí n = 0, 0 = 0 , r = ±-y¡5 => (-\/5,0) y (—\/5,0)
si n= 1, 0=7t,
si n = - l , 0 = -7i,
r =
±^j5
(-^5,71) y (-T¡5,n)
r = ±^j5 => (^¡5-n) y (—JS -n )
610
Eduardo Espinoza Ramos
Con el eje a —: 0 = - + M , n e Z
2
2
ii)
r~ =5cos2(— ynn)
2
Si n = 0, r 2 = - 5 , 2 r e R
si n= 1, r 2 = - 5 ,
2 re R
si n= -1, r 2 = - 5 ,
2 re R
iü) Con el polo r = 0.
Si r = 0 => eos20 = 0 => 6 = — ,— .—
4 2 4
b)
Simetría:
Con respecto al eje polar:
i)
(r,0) por (r,-0)
r 2 =5 eos 20 = 5 cos(—20) = 5 eos 26 => B simetría
Con respecto al eje y : (r,0) por (r,7r - 0)
ii)
r~ = 5 eos2 ( n - 6 ) = 5 eos20 => 3 simetría
Con respecto al polo: (r.0) por (-r,0) ó (r,n + 0)
iii)
/•2 = 5 eos 26 = ( - r )2 = r 2 = > 3 simetría,
i
-ilación.
0
R
0
i+
c)
71
71
71
7t
4
6
± 1.58 0
3
2
2
2
611
Coordenadas Polares
Q
r = 2 sen 36 (Rosa de tres pétalos)
Solución
a)
Intersecciones:
i)
ii)
Con respecto al eje polar: 6 = mr
si n = 0,
6
= 0, r = 2 sen 6 = 0, (0 ,0 )
si n= 1,
0
= 7t, r = 2 sen 371=0, (0 ,7r)
si n = 2,
6
= 27t, r = 2 sen 671 = 0, (0,27i)
si n = 3,
6
= 3 7 t, r = 2 sen 9 7 : = 0, (0,3tt)
Con respecto al eje a y : 6 = ^ + n n
612
Eduardo Espinoza Ramos
_ „ 5n
15^
5n
si n = 2, 6 = — , r = 2 sen------= - 2 . (-2 .— )
2
3
2
si
n
^ ^ ln
_
2\n
= 3 , O= — , r = 2 s e n
2
2
_
= 2,
7 tt ,
(2 ,— )
2
¡ii) Con respecto al polo: r = 0
si r = 2 sen 36 = 0 => 36 = n => 0 = —
3
b)
Simetría:
Con respecto al eje polar: (r,6) por (r,-6)
i)
si r = 2 sen 3 6 * 2 sen (-36) => 3 simetría
Con respecto al eje a y : (r,6) por (r,7i - 6)
ii)
si r = 2 sen 36 = 2 sen 3(n - 6) = 3 sen 36 => 3 simetría
¡ii) Con respecto al polo: (r,6) por (-r,6)
si r = 2 sen 36 = -2 sen 36 => 3 simetría.
c)
Tabulación:
6
R
6
R
6
R
n
12
1.414
2n
3
0
n
6
2
n
4
1.414
3n
4
1.414
5n
6
2
4n
5n
4
3
-1.414 0
n
3
0
5n
n
2
12
-1.414 -2
Un
12
1.414
lln
12
1.414
3n
2
2
71
0
105°
-1.414
13ir
2
-1.414
285°
1.414
ln
6
-2
5n
3
0
ln
4
-1.414
613
Coordenadas Polares
6
r
l ia
~6~
-2
2n
23 n
12
-1.414 0
tv
©
r = a( 1 —2 eos 6)
Solución
a)
Intersecciones:
i)
Con respecto al eje polar: 6 = na, n e Z
n = 0, 6 = 0, r = -a, (-a,0)
n = 1,6 = n, r = 3a, (3a,n)
n = - l, 0 = 7t, r = 3a, (3a,-a)
614
Eduardo Espinoza Ramos
Con respecto al eje y :
ii)
0 = y + « 7 r, n e Z
si n = 0, 6 = — , r = a, (a,—)
2
2
-
3^
3tt
si n = 1. e = - ^ - . r = a - ( a , — )
si n= -1, 0 =
r = a, ( a - —)
2
Con respecto al polo: r = 0
¡ii)
b)
2
Sim etría:
Con respecto al eje polar: (r,0) por (r,-0)
i)
r = a(l - 2 cos 0) = a(l —2 cos(-0)) => 3 simetría
ü)
Con respecto al eje y : (r,0) por (r,7i - 0)
r = a(l —2 cos 0) * a(l-2cos(7r-0)> => 3 simetría
Con respeto al polo: (r,0) por (-r,0) ó (r,7r + 0).
iii)
r = a(l —2 cos 0) * a(l —2 cos (n + 0) => 3 simetría,
c)
Tabulación:
0
0
R
-a
0
ln
12
1.51a
r
37T
12
-0.95a
2n
3
2a
n
n
4
6
-0.73a -0.41a
3n
4
2.41a
n
3
0
57T
6
2.73a
Sn
n
12
2
0.485a a
11n
12
2.95a
Los demás puntos es decir de 7r a 2n se hace por simet ía.
27T
3a
615
Coordenadas Polares
5ir/12
©
1-C O S0
Solución
a)
Intersecciones:
i)
Con respecto al eje polar: 6 = nn, n e Z
si n = 0, 6 = 0 , r = —, 3 r e R
0
si n = 1, 6 = ti, r = 1, (l,n)
si n = 2, 6 = 27t, r = —, 3 r e R
si n = - l ,0 = -n , r= 1, (1,-n)
Eduardo Espinoza Ramos
616
0 =y+«?r, n e Z
Con respecto al eje y :
ii)
si n = 0, 0 = y , r = 2, (2,y )
si n = 1, 0 = — , r= 2, (2,— )
2
si n = -1, 0 =
2
, r = 2, ( 2 , - - ) = ( 2 ,- )
2
2
Con respecto al polo: r = 0
iii)
2
r = ---------1-COS0
b)
2
=>2
6 que verifique:
Sim etría:
Con respecto al eje polar: (r,0) por (r,-0)
i)
2
2
1-COS0
l-c o s(-0 )
3 simetría
Con respecto al eje y : (r,0) por (r,7t - 0)
ii)
2
2
2
1-C O S0
1-C O S(7T -0)
1-C O S0
.
.
/• = ---------- = -----------------* ----------- => 2 simetría
Con respecto al polo: (r,0) por (-r,0) o (r,7r + 0).
iii)
c)
Tabulación:
0
r
105°
1.6
15°
57.14
120°
1.33
4.92
135°
1.17
45°
6.82
150°
1.07
60° 75°
4
2.66
165°
1.01
O
O
cc
0
■X
0
O
ro
0
r
1
90°
2
Coordenadas Polares
(ó )
617
r = 3 eos 20 (Rosa de tres pétalos)
Solución
a)
Intersecciones:
i)
Con el eje polar: 0 = nn, n e Z
si n = 0, 0 = 0, r = 3, (3.0)
si n = 1, 0 = 7t, r = 3, (3,re)
si n = 2. 0 = 27:, r = 3, (3,27i) = (3,0)
si n= -1, 0 —-7t, r = 3, (3,-ti) = (3,7t)
ii)
71
71
Con respecto al eje a — : 6 = — + n n , n e Z
618
Eduardo Espinoza Ramos
si n= O, 6 = - . r = -3. ( - 3 .- )
2
2
si
i n 3tt
> . —3tt
n= 1,0 = — , r = -3, (-3,— )
2
2
_ _
si n = 2,
5n
si n = -1.
6 = — ,r =
2
_ 5tt .
_ 3ti
-3,(-3 ,— ) = (-3,— )
0 =r = -3. ( - 3 ,- —) = (-3 ,—)
2
2
Con respecto al polo: r = 0
iii)
como r = 3 eos 20 = 0 => 0 = —
4 4
b)
Simetría:
i)
Con respecto al eje polar: (r,0) por (r.-0)
si r = 3 eos 20 = 3 eos (-20) => 3 simetría
ii) Con respecto al eje a y : (r,0) por (r.7i - 0)
si r = 3 eos 20 = 3 eos 2(7r - 0) = 3 eos 0 => 3 simetría
Con respecto al polo: (r,0) por (-r,0) o (r.n + 0)
¡ii)
r = 3 eos 2(7: + 0) = 3 eos 20 = > 3 simetría.
c)
Tabulación:
0
0
r
3
n—
—
12
3^3
2
n—
6
3.5
■
n
——
4
0
n
—
3
-3.5
75°
3^3
2
90"
-3
619
Coordenadas Polares
e
r
e
r
0
r
105
3^3
2
180°
3
120'
-1.5
n
4
0
135°
150'
0
1.5
165
2
195°
3^/3
2
270° 285°
-3
3^3
2
210° 225° 240‘ 255°
0
1.5
-1.5
2
300° 315° 330° 345°
-1.5 0
1.5
W3
2
360°
3
620
Eduardo Espinoza Ramos
r = 2 —2 sen 0
Solución
a)
Intersecciones:
i)
Con respecto al eje polar: 0 =nrc, n e Z
si n = 0, 0 = 0. r = 2, (2,0)
si n= 1, 0 = tt, r = 2, (2,tt)
ii)
si n = - l , ü = -7r, r =
2, (2,-7r)=(2,7r)
Con respecto al eje y :
0 = y + /i7r, n e Z
si n = 0, 0 = —, r = 0, (0,—)
2
2
1
n
^7r
n
3 /r
si n = l . 0 = — , r = 4, (4.— ) = (4,---- )
2
2
2
si n = -l. 0 = - - , r = 4 , (4 ,-—)
2
2
iii) Con respecto al polo: r = 0
r = 2 —2 sen 0 = 0 => sen 0 = l => 0 =
b)
?
Simetría:
¡1
Con respecto al eje polar: (r,0) por (r.-0)
r = 2 —2 sen 0 * 2 —2 sen (-0) => 2 simetría
ii)
Con respecto al eje a y : (r.0) por (r.7r - 0)
r= 2
2 sen 0 = 2 —2 sen (;r - 0) => 3 simetría
621
Coordenadas Polares
c)
Tabulación:
e
0
n
n
n
R
2
12
1.48
6
1
4
0.58
e
ln
2n
12
3
1.51a 2a
3n
5n
4
6
2.41a 2.73a
7 tt 5n
4
6
3
3.41
4 tt 17n
12
3
3.73 3.92
R
0
R
0
r
ln
X
3.41
llTT
16
3
23 n
12
2.51
n
n
5n
12
3
0.26 0.66
271
2
n
2
0
Un
12
3a
3n
2
4
n
2
I3n
12
2.51
19n
12
3.93
5n
3
3.73
622
©
Eduardo Espinoza Ramos
r = 20, 0 e [0,2jt]
(espiral de Arquimedes)
Solución
a)
Intersecciones:
i)
Con respecto al eje polar: 0 = nrc, n e Z
si n= 0,0 = 0, r = 0. (0.0)
si n = 1,0 = ir, r = 2 t t . (6.28,tt)
si n = 2, 0 = 2 tt, r = 47r, (12.57,2tl)
ii)
Con respecto al eje a 90°:
0 =^- + nn , n e Z
si n= 0, 0 = —, r= rc, (3.14,—)
2
2
si n= 1, 0 = — , r = 3 jt, (9.42, — )
2
2
si n = - l , 0 = ——, r = -7i, (3.14,——)
2
2
iii) Con respecto al polo: r = 0
r = 20 = 0 , 0 = 0 , (0,0)
b)
Simetría:
i)
Con respecto al eje polar:
(r,0) por (r,-0)
r = 20 * 2(-0) => 3 simetría
ii)
Con respecto al eje a y : (r,0) por (r,7i - 0)
r = 2 0 * 2( tt- 0) => 3 simetría
623
Coordenadas Polares
üi) Con respecto al polo: (r,0) por (-r,0) o (r,7i + 0)
r = 20 * 2(71 + 0) => 2 simetría
c)
Tabulación:
15°
0.52
30° 45°
1.05 1.57
0
O
SO
r
0o
0
0
r
105° 120° 135°
3.67 4.19 4.71
150° 165°
5.24 5.76
180°
6.28
0
r
225° 240° 255°
7.85 8.38 8.9
270° 300°
9.42 10.5
315° 330°
11
11.5
0
75°
2.09 2.62
90°
3.14
195° 210°
6.81 7.33
360°
12.6
624
S.7
Eduardo Espinoza Ramos
E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S ,-
Discutir y graficar las siguientes curvas
r = 4 eos 30 (Rosa de tres petalos)
©
r = —-—
senO
r = 2 - 4 eos 0 (Caracol)
©
r = ee (espiral logarítmica)
©
r 2 = a 2 eos 20
©
6
r = — (Espiral de Arquímedes)
©
r = a sen 20 (Rosa de cuatro pétalos)
©
r( 1 - 2 eos 0) = 4
©
r = 4 —4 eos 0
©
r = |2a eos 0|
©
r = 6 eos 40
©
r = 3 —3 sen 0
©
r = 7 sen 50
©
r = 1+ 2 eos 0
©
r = 2 —2 sen 0
®
r = 2 eos 20
©
r = b + a eos 0 (b > a > 0) (Limzon)
©
r = 2a tg 0 - sen 0 (Cisoide)
@
r = a(2 + eos 0) (Caracol de Pascal)
©
r = 4 eos 0
©
r = a( 1 —2 eos 0) (Caracol de Pascal)
@
r = 3 eos 20
©
r = 4 sen 20
@
r = 3 + 3 cos0
©
r = 2(1 + sen 0)
©
2
1 -2 eos©
©
(La lemniscota)
(La recta)
©
2
1-2 s e n 0
@
r —4 senO.cos2 6
©
r 2 = 9sen 20
©
r = - 4 sen 26
©
r 2 = -2 5 eos 20
©
r-e
0
(hipérbola)
625
Coordenadas Polares
©
8 .8
r = |cos 20|
©
r = |sen 30|
r = 2 cos 4G
®
r = 6 cos 50
D IS T A N C IA
POLARES.
EN TR E
tío s
P L N 'i O S
EN
COORDENADAS
■ '»
Consideremos dos puntos en coordenadas polares P, (rx, 0 ,) y P2 (r2,0 ,)
y cuyos
componentes en el sistema de coordenadas cartesianas son Pl (jt,,y\) y P2(x2, y 2)
y como la distancia entre dos puntos es dado por:
d(Pi ,P2)=sj(x2 - x , ) 2 +(y2 - y j ) 2
W . P 2) = H + y i +x2 +y \ ~ 2(xix 2 +y iyi)
d(P\,P2) —^ rl2 + r2 ~ 2r\ r2 cos(0j —62)
Solución
d(P¡ , P2) = V9+25 - 2(-3)(5) cos(75° - 45°) =V34+30cos30° =^34+15 = ^ 4 9 =7
■■■ d(P„P2) = 7
626
Eduardo Espinoza Ramos
8.9
I N T E R S E C C I O N F>E C I E R V A S E N C O O R D E N A D A S P O E A R E S ;
Las intersecciones de dos curvas dadas en coordenadas polares, se determina
resolviendo la ecuación r y 0.
Ejemplo.- Hallar los puntos de la intersección de las curvas
r = a(l + 2cos G), r = a eos G
Solución
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
a(l + 2 eos 0) = a eos 0
=> eos 0 = -1 => 0 = 71
sustituyendo el valor en cualquiera de las ecuaciones se tiene r = -a, luego el punto de
intersección es (-a,n) (si r = 0, ambas ecuaciones tienen solución).
OBSERVACION.- Consideremos la ecuación de una curva en coordenadas polares.
...O )
la misma curva esta dada por:
( - l ) V = / { # + ttn), tt e Z
-.(2)
En efecto: n = 0. r = f(0)
n = l , -r = f(0 + 27r) => P(-r, 0 + jt)
P(-r. 0 + 2 t i )
n = 2. r = f(G + 2ir) => P(r, 0 + 2jt)
por lo tanto (1) y (2) son equivalentes.
Luego para hallai los puntos de intersección de las curvas r = f(0) y r = g(0) se
sigue los siguicmes pasos:
627
Coordenadas Polares
1)
Se obtiene todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (2) en cada
una de ellas.
2)
r =MB)
ir = / ,( 0 )
r= glm '
V = g 2( o y
ir
= A(6)
V = g ,m
Se resuelven las ecuaciones simultaneas.
fr
í r = f ( 6 ) \r
ir = j l (6)
. ,
Vr =
= g(6)
g ( 0 ) ’ [r = g 1(6)
3)
-O )
— (4)
Se verifica si el polo es un punto de la intersección haciendo r = 0, en cada
ecuación para determinar si existe solución para G (no necesariamente la misma)
Ejemplo.- Hallar los puntos de intersección de las curvas, r = 2 eos 0 y r = 2 sen 0
Solución
Calculando las ecuaciones distintas de las dos curvas para el cual aplicamos.
( - l ) " r = / ( 0 + /w ), n e Z
setiene:
í - r = 2 cos ( 0 + tt)
para n = 1, <
=>
| - r = 2sen(0 + 7r)
í r -= 2 eos 6
<
[r = 2 sen 6
Como se obtiene las mismas ecuaciones entonces es suficiente resolver el sistema de
ecuaciones iniciales.
Í
n
=> sen 0 = eos 0 => tg 0 = 1 => 6 = —
r = 2 sen 6
4
r = 2cos0
7 = 2 eos — = -jl
4
=> r = -jl
luego el punto de intersección de las curvas es P(^¡2,—)
4
Eduardo Espinoza Ramos
628
Ejemplo.- Hallar los puntos de intersección de las curvas r = 4(1 + sen 0) y
r ( l - s e n 0) = 3
Solución
Calculemos las distintas ecuaciones de las curvas dadas, para lo cual aplicamos.
(-1 ) nr = f ( 6 + nn), n e z se tiene
-r = 4(1 + sen(0 + 7r))
para n= 1.
para n = 2,
-r - -
—r = 4 (l-sen 0 )
3
l-sen (0 + 7r)
3
—r = ---------1+ sen 0
r = 4(1 + sen(0 + 2n))
3
r = -----------------l-se n (0 + 27r)
r = 4(1 + sen 0)
r
3
---------1—sen0
El sistema (2) va repitiendo, luego para hallar los puntos de intersección resolveremos
los sistemas de ecuaciones dada.
r = 4(1-se n 0)
3
r = ---------1+ sen 0
'y
4(1-se n 0) =
1+ sen 0
1 -se n 2 0 = —
j
eos ' 0 = — => eos 0 = ±
- r = 4(sen —- l ) = -2
r =2
como r = 4 (se n 0 -l)
-/• = 4(sen— - l ) = -2 , r = -í
6
629
Coordenadas Polares
8.10
D E R IV A D A S
POLARES.
Y
R ECTA ?
TA N G EN TES
EN
COORDENADAS
Consideremos la ecuación de una curva dada por
C: r = f(0)
Sabemos que las coordenadas cartesianas y polares están relacionados por:
r cob 0' .
y - rse i'0
- (2)
Luego al reemplazar (1) en (2) en la ecuación de la curva lo escribiremos en la forma.
C:
Í x - /( 0 ) .c o s 0
|v -
:n6
que son las ecuaciones paramétricas de la curva con parámetro 0.
Ahora calculamos la derivada de cada ecuación paramétrica con respecto al
parámetro G.
pc = /(0 ).c o s0
[y = / (0). sen 0
—— = / ' (0) cos 0 - / ( 0 ) sen0
d6
dy_
de
= / '( 0 ) sen0 + /(0 )c o s 0
luego calculamos — es decir
dx
dy
dy _ d0 _ / ' (0) sen 0 + / ( 0 ) cos 0 _ / ' (0) tg 0 + /( 0 )
dx dx_ / '( 0 ) c o s 0 - / ( 0 ) s e n 0 / '( 0 ) - / ( 0 ) tg 0
d6
dy _ / '( 0 ) tg 0 + / ( 0 )
dx / '( 0 ) - / ( 0 ) tg0
dr
xg d e +r
dr■
g
d6
B
630
Eduardo Espinoza Ramos
dy
dX
. ü dr
tgO.— f r
B dO
dr
dO l
Como la — representa la pendiente de la recta tangente a la curva, se tiene que:
dx
Si a es el ángulo formado por la recta tangente y el eje polar, entonces:
Si P(r,0) es el punto de tangencia y 8 es el ángulo que forma el radio vector
—y
OP y la
tangente, veremos los siguientes casos:
0
0
—►
A
Se deduce que a = 0 + 5 = > 8 = a - 0, aplicando tangente se tiene: tg 8 = tg (a - 0)
ü)
631
Coordenadas Polares
S = a + 7 r - 0 => 8 = rc + (a - 0) de donde
tg 8 = tg(7r + (a - 0) = tg(a - 0) por lo tanto en ambos casos significa que:
_ dr
-t 6
r +lg6.---tg 8 = tg(a - 0) de donde tg S = ^ **— - — como tg a = dr
1+ tg a. tg0
~de
-rige
r+ lg6 .— - t g 0
d6
dr
-rlgO
_ r + r tg" 0
~d6
tg «5 =
r +í g e . ^
~É L + tfe .^ U
‘« ’ .lgfl de
M
dr
de
tg<5 =
„
rige
r(l + tg” 0) _ r _ f ( 6 )
dr
dr
/ '( 0 )
— (1 + tg 6)
J
'
de
B
fm
r m
de
Ejemplo.- Hallar el ángulo a y 8, el valor de la pendiente de la tangente en el punto
dado.
Q
r = 4(1 + sen 0), P(4,0°)
Solución
r = 4(1 + sen 0) => — = 4 eos 6 => —
de
r +tge . *
tg a =
de
dr
de
rige
K
tg a = 1 => a = —
4
d e e=o
4+0 ,
t ga = -------= 1
4-0
=4
Eduardo Espinoza Ramos
632
ls, s = i m = i =l ^
/'(© ) 4
r = a(l- cos 0)
s , £
4
0 = -^, a > 0
Solución
dr
,,
dr
— = a sen 6 => —
de
dO e --71
r = a(l —eos 0)
a
2
6
r = a ( l —cos0) para 0 = — => r = — {2-^¡3)
6
2
_ dr
r + \g6.—
tg a =
de
dr
d6
tg a =
=
1
r tg©
como tg a = 1 => a = —
6
4
_
n n
n
5 = a —6 = ----------=> —
4 6
12
9M
?
APLICACIONFS DE LAS IN i F,ORALES EN COORDENADAS
POLARES,**, »
»)
AREA PL tlNA REGION EN C0PÍRPEN4PAS POLAjrtI *»
Consideremos una función continua y positiva en el intervalo [a,p], suponiendo
—►
—►
que la curva C tenga por ecuación r = f(0) y dos radios vectores OPx y OP2
que pasan por las rectas 0 = a y 0 = p
Coordenadas Polares
633
r = f<9)
O
A
El area de un sector circular es igual al semiproducto del radio por el arco.
Luego el área del i-ésimo sector circular es:
1
Ai - w
2 ri-ri'&Q
i i * — 2~"í-
Luego el área de los n sectores circulares es:
Teniendo en cuenta que la integral definida, expresa geométricamente el área bajo una
curva, por lo tanto el área buscada es el limite de los n sectores circulares, es decir:
Luego el área determinada por el radio vector de la curva al desplazarse de la posición
—>
—y
OPx a la posición OP2 es expresada por la fórmula.
A = ~ f r 2d e
2 Ja
Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = a(l + eos 0).
Solución
634
Eduardo Espinoza Ramos
1I rfi
rr i
o —— 1I r-dO
lia
r = f(0) = a(l + eos 0)
a = 2[— f ct(1 + cos0)2í/0]
2 Jn
’ f"/. T
n
T,30
sen 20
=e r
(l + 2cos0 + cos~ 6)d6 = a~{— + 2sen0 +
)/
Jo
2
4
'
0
. 3a~n i
A —~— ~u~
OBSERVACION.-
Consideremos dos función f.g : [a,p] => R
0 < g(0) < f(0), V 0 e [a,p]
tales que
y sea R el sector limitado
por los gráficos r = g(0), r = f(0) y las rectas 0 = a y 0 = p entonces el área de la
región R es expresado por la fórmula.
i Ja
Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a sen 30 que está
fuera del círculo r = a.
Solución
il
Y
__^
X
J
Í r, = l a sen 30
r, = a
Sean
n
n
12
X
¿ = 6[f
— rr
- ( r ,2 - ;f ) í / 0 ]
Jit/i2 2
A = 3Í
(4a2sen2 30 - a1)d6
in i 12
.
A=
,0 ~ 7 l
i
+ a )u
i
635
Coordenadas Polares
VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCION EN COORDENADAS
.POLARES.- ** ^ ®
El volumen V del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la
región R limitada por la curva r = f(0) y las rectas 0 = a y
0 = p es dado por
la fórmula.
v L ~ f /*{$) sen#
; 3
Ejemplo.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva r = o eos2 6
alrededor del eje polar.
Solución
n
La variación de al integral es desde 0 = 0 hasta — .
2
2n r
= [— f
3 Jo
V=
c)
3
4n fn/2 i
r sen# dO] = ^ - J o a e o s
6.sen 6 dO
4a n 3
u
21
LONGIT UD DE ARCO DE COORDENADAS POLARES
Consideremos una función r = f(0) continua en el intervalo [a,p]; como
x = r eos 0, y = r sen 0, por diferenciación se tiene:
dx - eos e.dr - r sen 9.d6
dy = sen O.dr + r eos 0.d0
Si en coordenadas cartesianas se tiene ds como la hipotenusa de un triángulo de
catetos dx, dy. Entonces.
í/ív l ~ [ d x f *{d})2
... (2)
Eduardo Espinoza Ramos
636
Ahora reemplazando (1) en (2) se tiene:
(ds)2 = (cos6.dr - r sen 6.d O)2 + (sen B.dr + r cos 6.d0)2
(ds)2 = cos2 6(dr)2 + r 2 sen2 6(d6)2 —2 sen6 cos0.dr.d6 + sen2 6(dr)2 +
+ r 2 eos2 6(d6)2 + 2r sen 6 cos 6 xir dO
(ds)2 = (sen2 0 + cos2 Q)(dr)2 + r 2(sen2 6 + cos2 6)(d6)2
(ds)2 =(dr)2 +r2(dO) 2 extrayendo la raíz cuadrada
ds = ^¡(dr)2 + r 2(d6)2 = J r 2 + ( ^ ) 2 de
Integrando ambos miembros de a hasta p.
que la longitud del arco de la curva desde A hasta B.
TEOREMA.-
Si f es una íunción continua en el intervalo cerrado [a,P]. entonces
la longitud de la curva r = f(G), desde, Pl (r¡,a) hasta P2(r2,P)
está expresado por:
637
Coordenadas Polares
Ejemplo.- Hallar la longitud total de la cardioide r = a(l + cos 0)
Solución
r = a(l + cos0) => — = - a sen 6
d6
= f J r 2 +(r')2dB
Ja
L = 2 j -Jo2(l + cos0)2 +a 2 sen2 BdB
L = l \ -J2a + 2a cos BdB = 2-Jla f Vi + eos BdB
Jo
8.12
©
Jo
L = 2-y¡2a^ V2 cosy^G =8o sen y
= 8u
E J E R C I C I O S P E R V R :M » I .'
-A D O S . -
Calcular el área de la región limitada por la lemniscata r 2 = 9 cos 20 .
L = 8a
638
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 46
©
Solución
Del gráfico se tiene:
11 «
(4 71
f*'4
ffit/A
* ' 4 ■)
/ 1 = 4 [ - J 0 / • 2 ¿ e ] = 2 j ü a sen 4 0 d6
/I, =
2
A
'
O eos 46 /'r‘4 = ------ [-1-11
r , ll = 0 '">
9
/O
9 L
J
A = a 2u 2
Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquimedes r = a0.
Solución
1 C2* (r,~i - r f•>
Del gráfico se tiene: A = —J
donde, rx =a6 y r2 - a ( 6 + 2n)
A = - [ 2,l[a2(6 + 2 n ) - a 2e 2]d6
2 Jo
[46n + 4 n 2)d6 =¡&a2n 3
A = %a2n 3u
Hallar el área de la región encerrada por la Lemniscata r 2 = 4 sen 26
©
Solución
i‘ Y
La gráfica es simétrica con respecto al polo,
entonces
6 = n ¡ 2
/
9
„
0 =
= 0
0=71
0
l”1' 2
.1I Cf 7112
* '2 77
i4 = 2[— I 1- d d ] = f 4sen 26x16
2 Jo
Jo
X
A = —2 eos 20 / ' ' ' = —2[—1-1] = 4
¿
y
7
/. A = 4u
639
Coordenadas Polares
Hallar el área de la región encerrada por la curva r = a sen 20
Solución
Como la gráfica es simétrica con respecto a los dos
ejes entonces.
1 cnl- ^
rnJJ t
i
A=4Aj =4[—
r 2d6 ]= 2 ^ a 2 sen2 2e j e
i r”' 2
sen40. ,jt/2 a~n
eos40)d6 = a ( 6 > /r= 1=0 i " ,
A=
©
QTC ->
u“
Encontrar el área común de las dos circunferencias r = 2 sen 0 y r = 2 eos 0.
Solución
Ubiquemos la región común
Calculando las intersecciones
CO S0
sen 0 = eos 0
l - 2 sen©
n
tg 0 = 1 => 6 = —
4
también se intercepta en el polo (origen) es decir
para r = 0 se satisface las ecuaciones
1 fi.l
A=—\
2 Jo
,
( 2 s e n 0 )'í/ ©
1 r nl -
+ —[
2
4
i
(2cos6)~d6
TK '
=2[
J()
4
t
sen
rn ‘ 1
.
Q.d6+\
eos 6.d6]
J71/ 4
,(=Jof(ilo»2ewe+r'o+raíflwfl
.(e^ ^2 ,/' -'‘
+(e+ü^)/"2
Jjtt 4
0
2
640
©
Eduardo Espinoza Ramos
Encontrar el área de la región acotada por la curva r = 2a cos 0 y que se encuentra
fuera del circulo r = a.
Solución
Calculando la intersección
\r = 2a cos O
\r = a
1
=> eos 0 = —
2
de donde 6 = — , 6 = —
3
3
Como se tiene simetría respecto al eje polar.
1 r*'3
i
1 r*'3 i
,f* '3 ,
,f* '3
A = 2[— i (2acos6) d 6 —- I a 2dO]=4a2 \
eos2 0.d0 - a 2 1dO
2 Jo
2 Jo
Jo
Jo
2 f/,/5
/,t/3 ->
sen2 O ^ . m s a2n
A = 2a J (l + co s2 6)d6-a 0 / fí = 2 a (6 + -)
--------------
2,n -v/3, i
A = a (—+ — )«'
3
2
©
Calcular el volumen de un sólido obtenido por rotación de la región acotada por la
curva /• = a cos2 O alrededor del eje polar.
Solución
Por simetría se tiene:
2n t n¡ - i
V = 2[— j a
f.
a eos 6 sen 6 A 6]
4aln , cos7 0. ,n,i
V = —-— (—
4a i n
21
641
Coordenadas Polares
©
Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la cardioide r = a(l + eos 0),
a > 0 alrededor del eje X.
Solución
------------Y
Ubicando la región se tiene:
Del gráfico se observa que el sólido de revolución
se obtiene de hacer girar alrededor del eje X la
región de la parte superior de la cardioide.
2n cn
_ ,_
2n (l + cosfl) a ,n
V =—
cr (1 + cosG) senG.<íG = ------ .------------------ /
3 Jo
3
4 / 0
vV = 8fl3;r u 3
3
Hallar el
volumen del sólido generado
por
la
rotación
de
la
región
R: a < r < a^j2 sen 20 , a > 0. alrededor del eje polar..
Solución
Ubicando la región de las curvas polares que encierran como R: a < r < a^j 2 sen 26 ,
a > 0, entonces r = a circunferencia.
r 2 =cr2sen20 ,
6 e[0,-^]U [rr,” ]
corresponde a la gráfica de la Lemnicata.
donde la ecuación
r 2 = 2 a 2 sen26
642
Eduardo Espinoza Ramos
Por simetría se tiene V = 2VX
2
| ----------------------- ,
jt
2 it
^
i
V = 2[—— í
[(av2sen2G) ]senG.rfG — - [
cr3 senG-rfG]
3 Jff/12
3 «ff/12
V =— [[5*'n a y2-j2(sen20)'12 senG.rfG-a3 fsenG^G]
3 Jir/!2
^ _ ^ na
V=
#*5/r / 12
J;r/12
j-jo 32-\/2(sen 2G)3/Z sen G.rfG + eos G¡
[ f5"12o 32V2(sen 2G)3' 2 sen G¿G + - Ü
3 in. u
^¡2
Sea G =
F
J?r/12
4
r
(1)
=>d0 = -dz, reemplazando en (1)
_ _
ni o
11 ñrnl
(sen20) ' s e n - —= I
(cosr)~ “(eosz)dz
^J2, " ^ 1^
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
V-
3?r + 8
32
[ 2 ^ 2 . + -J=]
(2)
643
Coordenadas Polares
©
Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola r = asee2(—) , cortado de la
misma por la recta perpendicular que pasa por el polo.
Solución
Como - — < 0 < —
2
2
0
o
r 2 = a 2 sec4(y ) dedonde r = a sec2(—)
dr
26
6
— = asec— . tg—
d6
2
2
) 2d0
- C J
2 sec4( y ) + o 2 sec4( j ) t g 2Cj) d6
L = j n^ a sec3(~)dfí = 2a[-Ja + \n(-j2 +1)]
Un móvil recorre una pista que sigue la trayectoria de la espiral de Arquímedes.
Solución
o
d r
r = a0
=> —
=a
d6
►
H
’J
r 2 +{— ) 2d6
de
L= f2K4 a 2e 2 +a2de = a f ” ^}l + e
Jo
Jo
L = a [ ^ i + e 2 + | i n | e W i + e 2 \]/2
o”
de
644
Eduardo Espinoza Ramos
L = d[n^]l + 4 n 2 +-^ln]2n+^jl+4n2 |]
Hallar la longitud del bucle (Lazo) de la curva polar r = sec3(—)
Solución
i,
'n I ■> dr ■>
i r ~ + (— )' dB
ov
de
J
df
3 '
=2f i p ^ | )+sec6(y ).tg 2( j )
3
rffl
L = 12-x/3
8.13
E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S .-
I.
Halle los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones dado:
Í2r - 3
|2 r = 3
’[r = 1+ eos e
©
[r = 3 sen 6
©
©
J r = 2 cosG
\ r = 2 sene
© ||r = 2 sen e
©
ir = 46
\ r = n 12
©
©
ir = 1- sen 0
| r = eos 20
\r = 2 eos 26
r = eos 0 -1
|[r = eos 26
\r2 = 2 eos 0
® |r = 1
645
Coordenadas Polares
©
©
©
©
©
II.
r = 4tg6.sen6
r = 4cos6
r sen B = 4
r = 2 cos 6
r = 2-J3 sen 6
r = tgB
r = 4senB
r = 4(1 + sen 6)
r 2 sen 26 =8
r(l-s e n 6 ) = 3
/• cos 6 = 2
r cos 6 = 4
r =4
r = sen 6
re =4
r = sen 26
r = 1+ cos 6
r = 4 sen 0 cos 2 B
r = sen B
@
r = l-sen6
Calcular el área de la región de las curvas que se indican y hacer su gráfica.
r = a cos 0, 0 < 0 < n/3
Rpta. 0.37 a~ u~
r = a(l - cos 0)
Rpta. ^ - a 2u 2
r = 4 cos 20
Rpta. 4n u 2
r = a cos 50
nRpta.
.
m
©
r = a sen 20
r»
.
7ZU2 u~1
Rpta.
©
r = a(l + 2 sen 0), 6 = - —, 6 = —
6
6
Rpta. 27T+
r = cos 30
Rpta. ^ u 1
©
u2
3^3
o
646
Eduardo
©
r = b + a eos 0, (0 < b < a)
Rpta. — (a2 +2 b2)
2
}
©
r = a eos 0
m2
Rpta. ----- u
2
2
2 sen 36
r =a -------cosG
Rpta. a 2 (~— ln 2)u
r = 2 sen 30
Rpta. n u 2
©
r 2 = 9 sen 20
Rpta. 9 u 2
©
r = 4 —4 eos 0
Rpta. 24n u 2
®
r 2 = 4 sen 26
Rpta. 4 u 2
©
r 2 = 2 a 2 sen30
Rpta. 4a 2 u 2
©
©
2
III.
©
Hallar el área interior a r = 4 sen 0 eos2 0 y exterior a r = sen 0
Rpta. —+
6
8
©
Calcular el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 30 y exterior al
a2
circulo r = a, a > 0.
Rpta. — ( 2 n +3-*¡3)u2
6
©
Hallar el área común a las cardioides r = a(l ± eos 0)
©
Hallar el área encerrada por las curvas r =
3ti 8
Rpta. — - — a 2u 2
— y r = 2a en el intervalo de
eos (—)
2
2
0=0 a
0 = —.
2
Rpta. — (3n-4)u2
647
Coordenadas Polares
(5 )
Calcular el área exterior a la lemniscata
1
circulo r = a.
©
r 2 =2a2 eos20 comprendida dentro del
n
+ 3-^3 2 2
Rpta. ----au
Hallar el área de la región que es interior a la curva r = 3a eos 26 y exteriora la curva
r = a(l + eos 26), a >6.
Rpta. a 2(4n+--JÍ5 - 6 a )
4
Donde a es tal eos 2a =
©
Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen46 . Rpta. a 2u 2
©
Hallar el área limitada por la parábola
o6 = —
n .
r = a sec 2(~) y las senurectas
4
6 = -^ y
*■ 14—8-72 2u 2
Rpta.------------a
Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 36 que esta fuera del
circulo r = a.
(lo)
Rpta.
curva
32a2n
Hallar el área de la superficie generada 1 rotar la curva r = 2a eos 6 alrededor de)
ejeX.
(13)
Rpta. 2 m 2( 2 - ^ 2 ) u 2
Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje X la
r = a(l + eos6), a > 0, 0 < 6 < n .
(Í2)
- u2
Calcular el área de la superficie obtenida al rotar, alrededor del eje polar, la
Lemniscata r 2 = a 2 eos26 .
©
Rpta.
Rpta. 4 a 27r
Hallar el área de la superficie generada al hacer girar la circunferencia r = 2a sen 6
alrededor del eje a y .
Rpta. 4a2n 2
Eduardo Espinoza Ramos
648
^4)
Hallar el área dentro de r = 8 cos 0 y a la derecha de la recta r = 2 sec0.
32n
rr
Rpta. —— + 4V3
(l5 )
Hallar el área de la región dentro de r = 10 sen 0 y encima de la recta r = 2 cosec 0
Rpta. 25?r-58+10-75 -5 0 arcsen(-|=)
75
©
Hallar el área de la región encerrada por las curvas:
a)
r = e6 , 0<0 <7 t, r = e 6' 2, O<0<7t y los rayos 0 = 27r y 0 = 37r.
Rpta. Í £ ^ > 1
b)
r = e6 , 2n <6 <3n, r = 0, 0 < 0 < 7t y los rayos 0 = 0 y Q = n.
Rpta. - ^[3eA* (e2* - ) 2 n 3]
(17)
Encontrar el área de la región limitada por la curva.
a)
( jc 2
b)
jc 4
+ y 2)3 =4a 2xy(x2 - y 2), a > 0.
+ y* = x 2 + y 2
Rpta. a 2
Rpta. tt7 2
IV.
©
Calcular la longitud de la curva r - a sec 2Oy) desde 0 = 0 hasta 6 = y .
Rpta. a[72 + ln(l + 72 )]
©
Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde el punto
(2,-^-)
649
Cooruenadas Polares
(Í)
Hallar la longitud de la curva r = 2b tg 0. sen 0, b > 0 desde 0 = 0 desde 6 = y .
Rpta. 2b(-Jl- 2 ) + ^ 3 ln((2 +
©
Calcular la longitud del arco de la curva
0<6< — .
2
©
r = sen3(y )
4
comprendida
entre
Rpta. —(2n-3-j3)
8
Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica r = aem , (m > 0),
encuentre dentro del circulo r = a.
)
que se
Rpta. — 'Jl + m 2
m
©
Hallar la longitud del arco de la curva r = o sen3( y) , a > 0 .
Rpta.
( 7)
Hallar la longitud del arco de la curva 0 = —(»■+ —), desde r = 1 hasta r = 3.
2
r
4 + ln 3
Rpta. — - —
©
Calcular la longitud del arco de la curva r = 6 2 , entre 0 < 0 < k.
Rpta.
Calcular la longitud del arco de la curva r = a eos3( y ) , entre 0 <6< — ,
Rpta. —(2j i +3^¡3)
8
(ío)
Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola r = a sec 2( y ) , cortada por la
recta perpendicular que pasa por el polo.
Rpta. 2a[-j2 + \n(-j2 + l)]w
650
©
Eduardo Espinoza Ramos
Calcular la longitud del arco de la curva r = sen 0 desde 6 e [0,2ir].
Rpta. iru
(l2 )
Hallar la longitud de la primera espira de la espiral de Arquímedes r = a0.
Rpta. a n ^ 4 n 2 + l + —ln\2n + ' j 4 n 1 + 1 1
(i? )
Calcular la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde 0, = y hasta
4
0 , = —.
2 3
©
3 5
Rpta. ln(—) + —
2 12
Si R es la región exterior a la circunferencia r = eos 6 e interior a la cardioide
r = 1 —eos 0. calcular la longitud de su perímetro.
©
Rpta. 4^3 + y
Calcular la longitud total de la curva r = osen3(—). Rpta.
3
Encontrar la longitud de la espiral logarítmica r = — desde
0
3an
2
,6i ) hasta (r2,62).
Rpta.
r2(o+-y/a2 + r 2 )
(1 7 )
Hallar la longitud de r = 4 —4 eos 0.
V.
©
Hallar el volumen del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la
figura acotada por la cardioide r = 4 + 4cos0 y las rectas 0 = 0 y 0 = y .
Rpta. 160;r u3
651
Coordenadas Polares
( 2)
Hallar el volumen del cuerpo generado por la rotación de la figura limitada por una
semi espira de la espiral de Arquímedes r = a0, desde a > 0, 0 < 0 < jt .
2 a \ 2( n 2 -6 ) 3
Rpta. ----------
©
Hallar el volumen del sólido formado por rotación alrededor del eje polar de la curva
r = 3 sen 20.
(4)
Rpta.
576
3
n u
35
Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la superficie
a <r<a-\j 2 sen 20 , a > 0 alrededor del eje polar.
©
-u
R pta. a ■ u 3
2V2
Hallar el volumen en coordenadas polares por la curva r = a tg 0 al girar alrededor
del eje polar y entre los límites 6 = — y 0 = 0.
4
R pta. ^-^[61n(3 +^¡2)-7^¡2]ui
2
652
Eduardo Espinoza Ramos
í , A
J _ _
¥ E
^ B
i e M
lü U A R IT M O S .-
a* = N, a>0<=> x = log„ N
x = e v <=> y = logex = Lnx
loga AB = loga A + loga B
II.
/ —^
(2 )
A
loga — = loga A - loga B
B
©
log a An = n L o g aA
©
loga ¡^4 = - l o g a /}
n
©
log N
log¿ N = logft o.loga N = -y-g b
(cambio de base)
P C I a C IO ÍS E S C U A R T IC A S .-
x4 + 2px3 + qx2 + 2rx + s= 0, sumando (ax + b)2
x4 + 2px3 + qx2 + 2rx + s + (ax + b)2 = (ax + b)2
x4 + 2px3 + (a2 + q)x2 + 2 (r + ab)x + s + b2 = (ax + b)2
(x2 + px + k)2 = (ax + b )2
x4 + 2px3 + (p2 + 2k)x2 + 2pkx + k2 = (ax + b)2
Apéndice
653
i
i
p + 2k - a +q
\ 2 p k - 2 r = 2ab
2pk = 2{r + ab)
[pk —r = ab
kI 2 = s +bL2
a 2 - p 2 +. T2I k —q
(p k - r ) 2 = a2b2
b2 - k 2 - s
(pk - r)2 = a2 b2 = (p2 + 2kp - q) (k2 - s)
simplificando: 2k3 - qk2 + (2pr - 2s)k - p 2 s - r 2 + qs = 0
Hallando las raíces de k se tiene: (x2 + px + k)2 = (ax + b)2
x + ( p - a ) x +k —b = 0
x + px + k = ± (ax + b) de donde
'
x 2 +{p +a)x +k +b = 0
III.
E C U A C IO N E S C U B IC A S .
x3 + px2 + qx + r = 0 haciendo x = y - p/3
,
,
Ip
qp
se transforma en y + (q - p /3) y + -------------hr - 0
27
3
y3 + Q y + R = 0
se hace y = A + B
donde
R
A =
T
F*.
Q3
+ ---27
+ i h4
[r 2
D E R IV A B A S E L E M E N T A L E S .
B = -----2 |4
QL
227
654
Eduardo Espinoza Ramos
©
y = kf(x) = c^> — = t f ' ( x )
dx
CE)
y = f(x )±g {x )= > — = f ' ( x ) ± g { x )
dx
©
y = f ( x ) = x n ^ — = f ' ( x ) = nxn l
dx
©
y = f(x).g(x)=> — = f ’(x).g(x) + f (x ) .g '( x )
dx
®
f(x)
dy g ( x ) . f ' ( x ) - f ( x ) . g ' ( x )
y = ------- => — = ------------------ ------------g(x)
dx
g(xy
©
* = ( / ( * ) ) " = > — = «(/■ (x))""1. / ' ( * )
dx
D E R IV A D A S
Jl a S U
d e
N C IO N E S
I K IG o ^ O M E T R IC A S
s u s iN \m $ A S .©
>' = sen(/'(jr))=> — = cos/ ( jc) . / '( . v)
dx
©
y = cos( / ( jc)) => — = - sen( /( * ) ) ./'( * )
dx
dx
©
v = ctg(/(jr)) => — = -cosec2( f ( x ) ) . f ’(x)
dx
©
v = sec( / ( jt ) )
©
y = cost?c( f(x)) => — = -coser( f {x)).cXg(f'(x)).f'{x)
dx
=> —
dx
= sec( f(x))Ag(f(x)).f'(x)
V
655
Apéndice
?>
—•
dx
v = are. sec( /
®
\1.
( jc ) )
DE
-f'ix)
dx
V i - / 2(*)
dy
f'ix)
dx
1+ f 2(x)
</>■
-f(x)
dx
1 + / 2(jc)
dy
/ ’(*)
=> — = ---------= = = = =
*
| / w |v / 2m - i
y = arc.cc&ec(f ( j c ) )
D E R IV A D A S
dy
í/v
=>
-f'ix)
—=
LAS
F U N C IO N E S
®
dy log„ e
y = log„ (/(jc)) => — =
dx f ( x )
12)
, / /A(.v))
■ / » => —
d>' = ------f'W
v = ln(
dx f ( x )
(i)
y = a*{x) => — = af(x).Ln a . f ( x )
dx
E X P O N E N C IA L E S
a * 0,1
¿ir
©
>■= (/(jr)*(Jr) => — = g(x)(/(jc))*(A)H. / ,(x) + (/(jc))s(">ln(/(jc)).g’(x)
dx
Y
Eduardo Espinoza Ramos
656
V il
D E R IV A D A S
DE
LAd
F U N C IO N E S
H fP E R h O L IC A S
IN V E R S A S .
©
y = senh(/(x)) => — = c o sh (/(x ))./'(x )
dx
©
y = cosh(/(x)) => — = se n h (/(x ))./'(x )
dx
©
y - tgh(/(x)) => — = sec/T(/(x))./'(x)
dx
©
y = ctgh(/(x)) => — = -co s ech2( f ( x ) ) . f ' ( x )
dx
®
dv
y = sec h(f(x)) => — = -sec h ( f (x )).tg h (/(x ))./'(x )
dx
y ± coseh (f{x)) => — = -cosí?cA (/(x)).ctgh(/(x)). A'(x)
dx
©
y = are. senh(/(x))
dy
/ '( * )
dx
V / 2(x) + l
dy
±f'(x)
dx
dy
dx
f ’(x)
l - / 2( x ) ’
dy
f'(x)
dx
l-/-(x)
/UOlJí y = are.sech(f{x)) => —
d>’ = --------■
± /'(
*)
----dx f ( x y ¡ \ - f ~ ( x )
Y
SUS
Apéndice
®
V flL
657
dv
-f'(x)
y = arc.cosech(f (x)) => — = ------ .
*
|/w |V i+ / w
T A B L A P E IN T E G R A L E S .
©
í adx = ax + c
(2) JAf(x)dx = k j f ( x ) d x
(D
J í/( /( x )) = /(.r) + c
( 4)
j(f(x)±g(x))dx =jf(x)d x± jg (x)d x
Eduardo Espinoza Ramos
658
5)
r *
J o1 -M2
(Í 3 )
f ■
Í
í/m
,
/ ■? 2
VW’ +G
_Lt „ u + a + c
u-a
le
= o7c.sen(—) + c
,,
n
?
- Lnu + \u~ + o + c
t
du
.
n
2
.
= Lnu + \ u - a + c
J . ..2 „2
V 7 -fl2
n — +c
J -Ja2 - u 2du = ^
^7)
J V«2 - a 2du = —iJu2 - a 2 - ^ - L n u + ^ u 1 - a 2 +c
ija 2
-u2+
a re .s e
^ó)
^8) JVm2+a1d u = —^Ju1 +a2 + —
Lnu + y[ü•2 + a2 + c
19) J senudu = -eosw + c
J cosudu = s e n w + c
@
J tg wrfw = —¿njeos «| 4
@
J c tg itdu = ¿ n j s e n «| + c
^ 3)
Js e c udu =
®
í e o s ecudu = Ln\cosecu - c
¿ ; / | s e c « + tg « | + c
tg w| + c
659
Apéndice
©
©
©
sec2 udu = tg u + c
casec2udu -- -ctgu + c
secu tg u du = sec u+c
©
cos ecu.c tg udu = —cos ecu + c
©
senh udu = cosh u+ c
@
cosh udu = senhw + c
tgh udu = ¿n|coshu| + c
©
clgfrudu = Ln\stchu\ + c
©
sec h2udu = tgh u + c
@
cos eclrudu - —c tgh u + c
©
sec hu. tgh udu = - sec hu + c
©
cos ech u. c tgh udu = - cos ech u + c
©
©
sen(bu)du - s - (a sen(' ," ) - b c °* b“» +
a +b
e
au
,, > ,
au (a cosbu + b sen(bu))
cos(bu)du = e ---------- ¿---- r—i— ^ + c
a +b
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Teléfono: 3 8 8 8 5 6 4 L IM A — PERU