Geometría: Unidad de Trabajo Matemáticas CASD - Ángulos y Triángulos

Código PGA-02-R04
UNIDADES DE TRABAJO
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CASD
Armenia Quindío
PROGRAMA DE ALFABETIZACIÓN, EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA PARA JÓVENES Y ADULTOS
UNIDAD DE TRABAJO Nº 1
PERIODO I
1. AREA INTEGRADA: MATEMATICA
2. CICLO: V
3. UNIDAD: I
4. TITULO: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRIA
5. DOCENTE: ALBA MARIEN LOPEZ JARAMILLO
6. DURACION: Ene. 24–31, Feb. 7-14-21-28, Mar. 7-14-21-28 / 09
7. LOGRO:
Establece estrategias para implementar los fundamentos geométricos en la solución de
situaciones cotidianas.
8. INDICADORES DE LOGRO:
- Realiza conversiones de ángulos en los sistemas Sexagesimal y Cíclico.
- Emplea los conceptos de ángulo y triángulo en la solución de problemas de aplicación.
- Aplica el teorema de Pitágoras para resolver situaciones cotidianas.
9. EJES TEMÁTICOS:
- Ángulo, sus elementos y clasificación.
- Sistema Sexagesimal y Sistema Cíclico
- Triángulo, sus elementos y clasificación.
- Teorema de Pitágoras.
- Problemas de aplicación
10. IDEAS FUNDAMENTALES
ANGULO: Es el desplazamiento de una línea desde una posición inicial hasta una posición final,
manteniendo un punto fijo llamado vértice.
C
B
A
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS:
a)
ÁNGULO NULO: Es aquel que no tiene amplitud y sus dos semirrectas se interponen.
b) ANGULO RECTO: Su amplitud es de 90° exactos y sus dos semirrectas son
perpendiculares.
1
c)
ÁNGULO AGUDO: Su amplitud es menor de 90°.
d)
ÁNGULO OBTUSO: Su amplitud es mayor de 90°.
e)
ÁNGULO LLANO O PLANO: Su amplitud es de 180° exactos.
f)
ÁNGULO GIRO O VUELTA: Su amplitud es de 360° exactos.
ELEMENTOS DE UN ÁNGULO:
NOTA: Un ángulo de posición normal se encuentra en el plano cartesiano, con vértice en el punto
(0,0) y el lado inicial sobre el lado positivo del eje X.
1)
Vértice (V): Punto que permanece fijo, se identifica con una letra mayúscula.
2)
Lado Inicial (LI): Donde inicia el movimiento, se identifica con dos letras mayúsculas.
3)
Lado Final (LF): Donde termina el movimiento, se identifica con dos letras mayúsculas.
4)
Nombre (NO ∠ ): Tres letras mayúsculas, el punto inicial el vértice y el punto final.
5)
Sentido (SE): Positivo si abre hacia arriba y negativo si abre hacia abajo.
6)
Medida (ME): Grados (°) en sistema sexagesimal; Radianes (Rad) en sistema cíclico.
7)
Clasificación (CLA): Nulo, agudo, recto, obtuso, llano, giro.
8)
Ubicación (UBI): El cuadrante en el cual se encuentra el lado final.
LI = JN
LF= JL
LI = MO
L
LF =MA
V= J
V=M
NO ∠ NJL
NO ∠ OMA
SE = + (positivo)
J
N
SE = − (negativo)
ME = 110°
ME = -60°
CLA = obtuso
CLA = agudo
UBI = II cuadrante
UBI = IV cuadrante
2
O
M
A
SISTEMA SEXAGESIMAL
En este sistema se considera la circunferencia dividida en 360 partes iguales. Cada parte se llama
grado. Un grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos; y el minuto a su vez se subdivide
en 60 partes iguales que reciben el nombre de segundos. Estas divisiones de 60 en 60 justifican el
nombre de sexagesimal.
En ingeniería y en otras aplicaciones prácticas de la trigonometría, este sistema es el más usado.
1° = 60’ =»
1’ = 60”
=»
Un grado es igual a 60 minutos o viceversa
Un minuto es igual a 60 segundos o viceversa
OPERACIONES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL:
SUMA: Se suman grados, minutos y segundos independientemente; después cada 60 segundos,
pasan a la columna de los minutos sumando una unidad; cada 60 minutos, pasan a la columna de los
grados sumando una unidad.
Ejemplo:
12° 52’ 72”
=»
más
79° 36’ 54”
12° 52’ 72”
79° 36’ 54”
91° 88’ 126”
+
ahora
Finalmente
91° 88’ 126”
120”+ 6” pero 120” = 2’
2’ 6”
91° 90’ 6”
60’+30’
pero 60’ = 1°
1° 30’
.
92° 30’ 6”
RESTA: Antes de restar se debe verificar que los minutos y los segundos estén indicados como
cantidades menores de 60, de lo contrario deben reducirse; a continuación se procederá a restar el
ángulo menor al ángulo mayor, así:
Ejemplo 1:
23° 10’ 25” menos 120° 46’ 29”
Como los minutos y los segundos están expresados en cantidades menores de 60 restamos
directamente, colocando primero el ángulo mayor y debajo el ángulo menor:
−
120° 46’ 29”
23° 10’ 25”
97° 36’ 4”
Ejemplo 2:
41° 53 74” menos 40° 196’ 85”
En ambos hay cantidades mayores de 60 en los minutos o el los segundos, por tal razón es necesario
reducirlos antes de restar:
41°
.
41°
53’ 74”
60”+14” como 60” = 1’
1’ 14”
54’ 14”
40°
196’
85”
60”+25” como 60”=1’
.
1’ 25”
40° 197’ 25”
180’+17’
pero 180’=3°
. 3°
17’ 25”
43°
17’ 25”
A continuación procedemos a restar, colocando primero el ángulo mayor y debajo el ángulo menor:
3
43° 17’ 25”
los grados le prestan una unidad a los minutos
42° 77’ 25”
− 41° 54’ 14”
1° 23’ 11”
MULTIPLICACIÓN: Esta operación se emplea para amplificar un ángulo, es decir, para
multiplicar un ángulo por una cantidad determinada.
48° 23’ 16” por 4
multiplicamos los grados, los minutos y los segundos por 4
48° 28’ 16”
x
4
192° 112’ 64” reduciendo tenemos
60”+4”
.
1’ 4”
192° 113’ 4”
60’+53’
. 1° 53’ 4”
193° 53’ 4”
DIVISIÓN: En este caso se busca simplificar un ángulo, es decir, dividir el ángulo en una cantidad
determinada.
Antes de hacer la operación es necesario reducir el ángulo dejando los minutos y los segundos
expresados en cantidades menores de 60:
Ejemplo 1:
97° 53’ 28” ÷ 3
Dividimos:
Los minutos y los segundos son menores de 60
97°
1°
53’ 28”
3
+60’
32°
el residuo de los grados pasa a los minutos
113’ 28” 32° 37’
2’ +120”
el residuo de los minutos pasa a los segundos
148” 32° 37’ 49”
1”
Residuo
Ejemplo 2:
23° 183’ 68” ÷ 6
Dividimos:
26°
2°
reducimos:
23° 183’ 68”
60”+8”
.
1’ 8”
23° 184’ 8”
180’+ 4’
. 3°
4’
.
26°
4’ 8”
4’ 8”
+120’
124’ 8”
4’ +240”
248”
2”
Residuo
6
4°
4° 20’
el residuo de los grados pasa a los minutos
el residuo de los minutos pasa a los segundos
4° 20’ 41”
SISTEMA CÍCLICO
4
Sobre una circunferencia, un ángulo central α, determina un arco AB. Se dice que la medida de un
ángulo α es 1 radián (1 Rad) si la longitud del arco AB que le corresponde, es igual al radio de la
circunferencia.
B
r
AB = r
α
A
Concluimos entonces que:
“Un radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia
cuyo arco mide igual que un radio.”
Puesto que la longitud de la circunferencia es 2πr, se tiene que la longitud del arco correspondiente
a un ángulo de 360° es igual a 2π arcos cuya medida es r, por lo tanto:
2πRad = 360°
⇒
πRad =
360°
2
πRad = 180° ⇒ Rad =
⇒
Rad = 57,3° Un radián equivale a 57,3°
El siguiente gráfico muestra algunas medidas en grados y en radianes.
90°
π
2
135° 3 π
π 45°
4
4
180° π
2π
5
π
4
225°
0°
360°
7
π
4
3
π
2
315°
270°
CONVERSIÓN DE ÁNGULOS
5
180°
π
Expresar 225° en radianes:
180° =
225° =
⇒
x=
225°
πRad
180°
πRad
x
simplificando tenemos
x=
5
πRad
4
x=
1
πRad
3
x=
3 × 180° 540°
=
=135°
4
4
x=
2 × 180° 360°
=
=72°
5
5
5
πRad
4
225° =
Expresar 60° en radianes:
180° =
60° =
⇒
x=
60°
πRad
180°
πRad
x
simplificando tenemos
60° =
Expresar
1
πRad
3
3
πRad en grados:
4
πRad
= 180°
3
πRad =
x
4
⇒
3
πRad ×180°
4
x=
πRad
simplificando tenemos
3
πRad = 135°
4
Expresar
2
πRad en grados:
5
πRad
= 180°
2
πRad =
x
5
⇒
2
πRad ×180°
5
x=
πRad
simplificando tenemos
2
πRad = 72°
5
6
TRIANGULO: Figura geométrica que tiene 3 lados y 3 ángulos.
CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS
Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos internos.
SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS:
De acuerdo con la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:
TRIANGULO EQUILATERO: Sus lados son congruentes, es decir, que tienen la misma medida.
TRIÁNGULO ESÓSCELES: Sólo dos de sus lados son congruentes.
TRIÁNGULO ESCALENO: Las medidas de sus lados son distintas.
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS:
De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
TRIÁNGULO EQUIÁNGULO: Las medidas de sus ángulos son iguales, cada uno de 60°.
7
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO: Todos sus ángulos son agudos, pero no iguales (menores de 90°).
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO: Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°).
TRIÁNGULO RECTÁNGULO: Tiene un ángulo recto (90°). El lado opuesto al ángulo recto
recibe el nombre de “HIPOTENUSA” (se representa con la letra h) y es el de mayor longitud, los
lados que forman el ángulo recto reciben el nombre de “CATETOS” (se representan con la letra c).
c
h
c
En los triángulos se cumplen las siguientes propiedades:
Todo triángulo equiángulo es equilátero.
Si dos lados de un triángulo son congruentes, es decir, tienen la misma medida, entonces
los ángulos opuestos a estos lados son congruentes.
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos
ángulos son congruentes.
8
TEOREMA DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
“En todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180°.”
Ejemplo 1:
65°
65° + 72° + 43° = 180°
72°
43°
Ejemplo 2:
33°
33° + 57° + 90° = 180°
57°
90°
Ejemplo 3:
30°
30° + 126° + 24° = 180°
126°
24°
Ejemplo 4:
x + 43°25’12” + 62°19’47” = 180°
x
+ 105°44’59”
= 180°
x = 180° - 105°44’59”
x
43°25’ 12”
62°19’47”
x = 74°15’1”
Ejemplo 5:
45°
x + 45° + 62° = 180°
x + 107° = 180°
x = 180° - 107°
x
62°
x = 73°
Ejemplo 6:
Triángulo rectángulo (tiene un ángulo de 90°)
x + 90° + 34°45”
x + 124°45”
x
x
=
=
=
=
180°
180°
180° - 124°45”
55°59’15”
x
34°45”
9
TEOREMA DE PITAGORAS
Para el caso de los triángulos rectángulos se cumple una propiedad relacionada con las áreas de los
cuadrados que se pueden construir sobre sus catetos y su hipotenusa.
«En un triángulo rectángulo el cuadrado de la Hipotensa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.»
Sean a y b los catetos; h la hipotenusa
2
2
h = a + b
h2
a2
2
h
a
b
b2
Ejemplo 1:
x2
x2
x2
x
x
2,50cm
x
3 cm
= (2,5 cm)2 + (3 cm)2
=
6,25 cm2 + 9 cm2
=
15,25 cm2
= √15,25 cm2
= 3,90 cm
Ejemplo 2:
Nota: Como los catetos están en medidas diferentes,
es necesario unificarlas, para esto nos sirve saber
que:
1 mt = 100 cms entonces 6mt = 600 cms
420 cm
6 mt
x
x2
x2
x2
x
x
=
=
=
=
=
(600 cm)2 + (420 cm)2
360000 cm2 + 176400 cm2
536400 cm2
√536400 cm2
732,39 cm
Ejemplo 3:
6,2 cm
En este caso nos piden un cateto, debemos aplicar
la fórmula de la siguiente manera:
c2 = h2 - c2
x2
x2
x2
x
x
=
=
=
=
=
Ejemplo 4:
x
5,4 cm
(6,2 cm)2 - (5,4 cm)2
38,44 cm2 - 29,16 cm2
9,28 cm2
√9,28 cm2
3,05 cm
x2
x2
x2
x2
x
=
=
=
=
=
x
(5 cm)2 - (2 cm)2
25 cm2 - 4 cm2
21 cm2
√21cm2
4,58 cm
2 cm
5 cm
10
11. ACTIVIDADES EN CLASE
TALLER GRUPAL N°. 1
NOMBRE:______________________________________________________ CICLO:________
1. Determine cada uno de los elementos de siguientes ángulos:
a.
b.
LI =
LI =
R
LF=
LF =
V=
NO
A
V=
NO ∠
∠
SE =
T
S
E
SE =
ME =
ME =
CLA =
CLA=
UBI =
UBI =
2. Construya y clasifique los siguientes ángulos:
a. -45°
b. 60°
c. 280°
d. -130°
3. Realice las siguientes operaciones:
a. 42° 73’ 50” + 25° 15’ 30”
e. 12° 15’ 78” + 13° 26’
b. 62° 78’ 96” – 28° 13’ 9”
f. 17° 75’ 46” – 13° 22’ 15”
c. 32° 10’ 15” × 7
g. 38° 26’ 92” × 2
d. 48° 32’ 56” ÷ 5
h. 28° 154’ 129” ÷ 9
11
B
TALLER GRUPAL N°. 2
NOMBRE:______________________________________________________ CICLO:________
1. Completar cada espacio con las palabras: siempre, algunas veces o nunca.
a. Si un triángulo es isósceles, entonces _____________ es equilátero.
b. Si un triángulo es equilátero, entonces _____________ es equiángulo.
c. Si un triángulo es escaleno, entonces _____________ es isósceles.
d. Si un triángulo tiene dos lados que suman 90° entonces ____________ es rectángulo.
e. Si un triángulo tiene sólo dos ángulos iguales entonces __________ es isósceles.
2. Algunos de los elementos del siguiente ángulo se borraron. ¿Es posible reconstruirlo? Si su
respuesta es afirmativa, reconstrúyalo; si es negativa justifíquela.
70°
hipotenusa
3. Encuentre el valor de x en cada caso.
a.
c.
x
6 mt.
X
26°37’54”
9 mt.
b.
B
3 cm
d.
x
12 cm
4 cm
5 cm
119°25”
A
37°12’57”
x = AB
4. Resolver los ejercicios
a. Encontrar la altura de un triángulo equilátero de lado 9 cm
b. En un triángulo isósceles, los ángulos de la base miden 50° cada uno. ¿Cuánto mide
el ángulo opuesto a la base?
12
EVALUACIÓN N°. 1 (feb.21/09)
NOMBRES:_____________________________________________________ CICLO:________
1. Determine cada uno de los elementos de siguientes ángulos:
a.
b.
LI =
LI =
R
LF=
V=
NO
A
LF =
V=
T
∠
NO ∠
S
SE =
B
SE =
ME =
ME =
CLA =
CLA=
UBI =
UBI =
2. Construya y clasifique los siguientes ángulos, determine sus elementos:
a. -45°
b. 280°
3. Si A= 36°25’36”; B=68°39’; C=120°19”; D=135°8’5”; E=79°9’12”. Resuelva:
a. A + B
e. 8A
b. C + D
f. 6E
c. C – B
g. C/9
d. D – E
h. D/7
4. Exprese los siguientes ángulos en radianes:
a. 15°
c. 285°
b. -67°
d. 340°
5. Exprese los siguientes ángulos en grados:
a.
11
πRad
12
b. −
7
πRad
12
c.
4
πRad
3
d. −
13
13
πRad
12
E
12. ACTIVIDADES EN CASA
TALLER INDIVIDUAL N°. 1
1. Construya y clasifique los siguientes ángulos:
a. -125°
c. 28°
2. Mida los siguientes ángulos:
a.
b.
3. Realice las siguientes operaciones:
a. 13° 60’ 44” + 29° 34’ 19”
e. 120° 15’ 48” - 13° 96’63
b. 72° 16’ + 28° 9”
f. 30° 25’ 16” – 28° 122’ 105”
c. 72° 90’ 85” × 4
g. 183° 256’ 198” × 5
d. 28° 142’ 160” ÷ 7
h. 86° 93’ 169” ÷ 8
4. Convertir a grados:
a.
1
πRad
6
3
b. - πRad
4
c.
8
πRad
3
b. -130°
c. 80°
d. -
16
πRad
5
e. 3 πRad
5. Convertir a radianes:
a. 240°
14
d. -350°
e. 120°
13.CRITERIOS DE EVALUCIÓN
Participación en clase.
Talleres grupales e individuales.
Consultas y sustentación de trabajos realizados.
Evaluación escrita.
14.REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Nuevas Matemáticas 10, Ed. Santillana.
Matemáticas Constructiva 10, Ed. Libros & Libres S.A.
Trigonometría plana y esférica, Ed. Bedout S.A:
15