CAPÍTULO 6 : DE LOS OPERADORES
COMPACTOS.
Definición 1 Si E es un espacio normado decimos que un conjunto A ⊂ E es
precompacto en E (o relativamente compacto ),cuando cl(A) es un conjunto
compacto.
Es decir un conjunto es precompacto si su cerradura es compacta.
Definición 2 Sean X, Y espacios normados. Un operador lineal T : X −→ Y
es compacto (ó completamente continuo) si manda conjuntos acotados de X en
conjuntos precompactos de Y .
Es decir T es compacto ⇐⇒ si T A es precompacto ∀ A ⊂ X,acotado.
Ejemplo 3 Sea C([a, b]) el espacio vectorial de las funciones continuas con
dominio [a, b] y valores en K.
Recordemos que con la norma kf k∞ = sup |f (x)| es un espacio de Banach.
x∈[a,b]
Sea µ : [a, b] −→ K una función de variación acotada y K : [a, b] × [a, b] −→ K
una función continua.
Rb
Definimos AK : C([a, b]) −→ C([a, b]) tal que (AK f )(x) = a K(x, y)f (y)dµ(y).
Queda a cargo del lector verificar que AK es un operador lineal continuo
y compacto, esto último se puede probar usando el T eorema de Ascoli:
Para que F ⊂ C([a, b]) sea relativamente compacto en C([a, b]) es necesario
y suficiente que
1) F sea puntualmente acotada i.e. ∀ξ ∈ [a, b] , sup |f (ξ)| < ∞;
f ∈F
2) F sea equicontinua, i.e ∀ξ ∈ [a, b], ∀² > 0 ,∃δ > 0
tal que |f (x) − f (ξ)| ≤ ², ∀x ∈ [a, b] ∩ [ξ − δ, ξ + δ], ∀f ∈ F.
√√√
Comentario: en el siguiente Capítulo demostremos este ejemplo en una forma
bastante mas general.
1
Proposición 4 Cuando X, Y son espacios normados las siguientes condiciones
son equivalentes.
1) T : X −→ Y es un operador compacto.
2) T A es precompacto,para todo A ⊂ X , A acotado.
3) T B1 es precompacto, en donde B1 es la bola unitaria abierta de X.
4) Cada sucesión acotada (xn )n de elementos de X tiene una subsucesión
(xnk )k tal que T (xnk )k converge en Y.
Es suficiente demostrar las implicaciones 3→4→1.
(3) ⇒ (4) : En X,sea ( xn )n una sucesión acotada por M. Entonces la
sucesión(xn /M )n de elementos de B1 tiene una subsucesión tal que (T xnk /M )k
converge, digamos que a y ∈ Y ,es claro que T xnk −→ (M + 1)y.
N
(4) ⇒ (1). Usaremos el resultado siguiente cuya demostración queda a cargo
del lector (ver ejercicio 1): En un espacio métrico E, si K ⊂ E tiene la
propiedad de que cada sucesión en K tiene una subsucesión que converge en
E,entonces K es un subconjunto compacto de E.
Continuemos con la demostración; sea A un subconjunto acotado en X.
Veamos que T A es compacto, para lo cual sea ( yn )n sucesión en T A, es
decir yn = T xn para alguna sucesión (xn )n en A. La hipótesis (4) nos permite
extraer una subsucesión (xnk )k con (T xnk )k convergente en Y ,por el resultado
mencionado concluimos que T A es compacto .
Ejemplo 5 Si T : X −→ Y es un operador lineal de rango finito( i.e. su
imagen o rango es un espacio vectorial de dimensión finita), entonces T es un
operador compacto.
Demostración: Usaremos (4) de 6.4 y el teorema de B-W. Sea (xn )n una
sucesión acotada en X ,entonces kT xk ≤ kT k kxn k, es decir (T xn )n es acotada
en ImT que es un espacio isométrico a Km dónde m es su dimensión como
espacio vectorial . El teorema de Bolzano-Weierstrass nos permite concluir
que (T xnk )k converge para alguna subsucesión de (xn )n .
Ejemplo 6 Todo operador T : X −→ Y compacto es un oparador continuo.
Prueba. La imagen de B1 la bola unitaria abierta , T B1 en es un conjunto
compacto por ende ,∃ M ≥ 0 tal que kT xkY ≤ M, ∀x ∈ B1 . XXX
Ejemplo 7 Sea X un espacio normado; el operador identidad I : X −→ X tal
que I(x) = x, ∀x ∈ X es compacto si y sólo si X como espacio vectorial tiene
dimensión finita.
2
Prueba. Es consecuencia inmediata del siguiente resultado cuya investigación y estudio dejamos a cargo del lector(ver ...): La bola unitaria cerrada es
compacta en un espacio normado si y solo si el espacio tiene dimensión finita.El
caso cuando X es un espacio de Hilbert no es dificil de demostrar y es un buen
ejercicio para el lector.XXX.
Teorema 8 Sean X,Y espacios normados; un operador compacto T : X −→ Y
envía sucesiones débilmente convergentes en sucesiones convergentes en norma.
w
Prueba. Recordemos que xn −→ x ⇐⇒ Λxn −→ Λx , ∀Λ ∈ X ∗ .
1) .Veamos que (xn )n . es acotada, para lo cual ∀ n ∈ N, definimos x
cn :
X ∗ −→ K por x
cn (Λ) = Λx, es inmediato verificar que kc
xn kX ∗∗ = kxn kX , luego
por el teorema de acotación uniforme, existe M ≥ 0 tal que kc
xn kX ∗∗ ≤ M, de
dónde kxn k ≤ M ∀n.
w
2) Se cumple que T xn −→ T x en Y porque ΛT xn −→ ΛT x = T ∗ Λxn −
T ∗ Λx y como T ∗ Λ ∈ X ∗ , el lado derecho de la igualdad converge a cero debido
w
a que xn −→ x.
3)Por último veamos que T xn −→ T x en Y . Razonemos ad absurdum,
supongamos que existe ² > 0 y una subsucesión (T xnk )k tal que kT xnk −T xk ≥
². Por 1), la sucesión es acotada y como T es compacto existe una subsucesión
S de (T xnk )k convergente en norma a algún y ∈ Y ,que por la desigualdad
anterior, necesariamente es distinto de T x. La convergencia en norma implica
la convergencia débil así que S converge débilmente a y lo cual contradice la
unicidad del límite débil.
♣
Teorema 9 Sean X, Y, Z espacios de Banach y T : X −→ Y , un operador acotado
a) Si (Tn )n es una sucesión de operadores compactos y Tn −→ T con
la topología inducida por la norma de operadores, entonces T es compacto.
b) T es compacto si y sólo si T ∗ es compacto.
c)Si S ∈ B(Y, Z) , la composición ST es compacta cuando alguno de los operadores es compacto. También es cierto para T S con S ∈ B(Z, X). Brevemente
diremos que “el producto de un acotado y un compacto resulta compacto”.
Demostración:
9a) Sea (xn )n una sucesión acotada en X por M > 0. Como T1 es compacto
,(xn )n tiene una subsucesión
(xn,1 )n tal que (T xn,1 )n converge en Y y es de Cauchy. Análogamente,
(xn,1 )n tiene una subsucesión (xn,2 )n tal que (T xn,2 )n es de Cauchy. Prosiguiendo de esta manera obtenemos subsucesiones de la original tales que (xn,k+1 )n
es subsucesión de (xn,k )n y (T xn,k )n es de Cauchy.
3
Sea zn = xn,n luego (zn )n es subsucesión de (xn )n y para r ∈ N fijo,
cuando n ≥ r tenemos que (xn,n )n es
subsucesión de (xn,r )n y (T xn,n )n es de Cauchy porque es subsucesión de
(T xn,r )n que por construcción es de Cauchy ; es decir ∀ r ∈ N, (Tr xn,n )n es
de Cauchy.
Por otra parte, para ² > 0 arbitrario dado que Tn −→ T , ∃ r = N1 ∈ N tal
que kTr − T k < ²/3M . Para dicha r existe N ∈ N tal que kTr zn − Tr zm k < ²/3
cuando m, n ≥ N , porque (Tr zn )n es de Cauchy.
Usaremos éstas desigualdades para ver que (T zn )n es de Cauchy y esto
concluirá la prueba de 7a ) pues Y es completo. Sean m, n ≥ N luego
kT zn − T zm k ≤
kT zn − Tr zn k + kTr zn − Tr zm k + kTr zm − T zm k
kT − Tr kkzn k + kTr zn − Tr zm k + kT − Tr xkkzm k
≤
(²/3M )M
+²/3 +(²/3M )M =²
N
Demostración de 9b).⇒) Por la compacidad de T ,T B es un conjunto
compacto, donde B es la bola unitaria abierta de X . Tomemos una subsucesión
(yn∗ )n de B ∗ la bola unitaria abierta de Y ∗ , demostraremos que existe una
subsucesión tal que (T ∗ yn∗ k )k convege en X ∗ . Para esto consideremos la familia
Φ formada por las restricciones al conjunto compacto T B de cada funcional
yn∗ : Y −→ K. Como {yn∗ } ⊂ B ∗ , es inmediato que kyn∗ kY ∗ < 1.
También para y, y0 ∈ T B tenemos |yn∗ (y − y0)| ≤ kyn∗ kY ∗ ky − y0k es decir
|yn∗ (y − y0)| ≤ ky − y0k ∀y, y0 ∈ T B ∀yn∗ ∈ Φ ; así que Φ satisface las condiciones
del T eorema de Ascoli por lo que existe una subsucesión (yn∗ k )k que converge
∗ ∗
∗
uniformemente en T B . Veremos
ynk )¯k converge
¯ ∗ ∗ que (T
¯ ∗ en X ; ∗en efecto
¯
∗ ∗
∗ ∗
∗
∗
kT ynk − T ynm kX ∗ = sup ¯(T ynk − T ynm )x¯ = sup ¯ynk T x − ynm T x¯ ≤
x∈B
x∈B
¯
¯
¯
¯
sup ¯yn∗ k y − yn∗ m y ¯ ≤ sup ¯yn∗ k y − yn∗ m y ¯ ,
≤
y∈T B
x∈T B
de ésta ©
última
ª desigualdad y de la convergencia uniforme en T B de las
funcionales yn∗ k se desprende que (T ∗ yn∗ k )k
es de Cauchy y en consecuencia converge en X ∗ N
Demostración de ⇐] .Sean i, j las inclusiones canónicas tales que i :
X −→ X ∗∗ con i(x)l = lx, ∀l ∈ X ∗∗ y j : Y −→ Y ∗∗ , con j(y)L = Ly, ∀L ∈ Y ∗ .
Directamente se verifica que ∀Λ ∈ Y ∗ se cumple [T ∗∗ i(x)]Λ = [jT (x)]Λ
es decir T ∗∗ i = jT ésta conmutatividad y el hecho de que el mapeo i es
isometría nos permite concluir que j(T B) = T ∗∗ i(B) ⊂ T ∗∗ (B ∗∗ ),dónde B, B ∗∗
son las bolas unitarias abiertas de X, X ∗∗ respectivamente. Por hipótesis
T ∗ es compacto y por tanto T ∗∗ es compacto según ya demostramos en
la implicación directa; así que T ∗∗ B ∗∗ es precompacto y la contención anterior
nos permite concluir que j(T B) es precompacto y como también j es isomertría
obtenemos que T B es precompacto (ver ejercicios 4 y 5)N
Demostración de 9c).Sea (xn )n una sucesión acotada en X .Analicemos
que ocurre con la sucesión (ST xn )n .
1) Cuando T es compacto, (T xnk )k converge para alguna subsucesión (xnk )k de
(xn )n y la continuidad de S implica que (ST xnk )k converge.
4
2) Si ,por otra parte S es compacto la sucesión (T xn )n tiene una subsucesión (T xnk )k tal que
(ST xnk )k converge .♦
Nota: en lo que resta del capítulo 6
H representará un espacio de Hilbert separable
Aunque algunas veces para enfatizar algún resultado,volverémos a recordar
ésta hipótesis
Según se vió en el ejemplo 5,un operador de rango finito simpre es compacto
y por el teorema anterior, todo límite de compactos es compacto,de tal manera
que el límite, (en norma) ,de operadores de rango finito es compacto, a continuación veremos que la afirmación recíproca se cumple cuando se trata de un
operador compacto en un espacio de Hilbert (separable).Dicho en otras palabras
“los operadores de Rango finito son densos en los operadores compactos”
Teorema 10 Teorema. Cuando H es un espacio de Hilbert separable, todo
operador compacto T : H −→ H es límite, en la norma de operadores , de una
sucesión de operadores de rango finito.
Demostración: Sea {ϕn } una base ortonormal de H , para cada n ∈ N
definimos Tn : H −→ H por
n
n
n
P
P
P
Tn = T ◦
h·, ϕj i ϕj , es decir Tn (x) = T ◦
hx, ϕj i ϕj =
hx, ϕj i T ϕj
j=1
j=1
j=1
. Cada Tn es de rango finito(ver ejercicio 6) , veremos que kTn − T k −→ 0 ;
∞
P
sea x∈ H , usando la base escribimos x =
hx, ϕj i ϕj , luego
T (x)−Tn (x) = T ◦
∞
P
j=n+1
j=1
hx, ϕj i ϕj y poniendo ψ =
∞
P
hx, ϕj i ϕj ,tenemos
j=n+1
⊥
{ϕ1 , . . . , ϕn } ;de
que ∀x ∈ H, (T − Tn )x = T ψ para algún ψ ∈
aquí obtenemos
λn :=
sup
kT ψk = kTn − T k. Es claro que (λn )n es una sucesión de
ψ∈{ϕ1 ,...,ϕn }⊥
kψk=1
números reales no negativos decreciente acotada y por tanto converge, digamos
a λ. Para terminar demostraremos que λ = 0 . Tenemos dos casos: a) si
λn = λ/2 para algún n,entonces λn+k = λ/2, ∀k ∈ N y λ = 0. b) Si ∀n,
⊥
λn < λ/2 entonces por ser cada λn un supremo, ∃ψn ∈ {ϕ1 , . . . , ϕn } tal que
kψn k = 1.
Luego ∀h ∈ H tenemos
∞
P
|hψn , hi| ≤
|hψn , ϕj i hϕj , hi| ≤
Ã
j=n+1
∞
P
j=n+1
2
|hψn, ϕj i|
!1/2 Ã
∞
P
j=n+1
!1/2
2
|hϕj , hi|
5
Ã
≤ kψn k
∞
P
j=n+1
!1/2
2
|hϕj , hi|
,
por tanto hψn , hi −→ 0 cuando n −→ ∞, es decir (ψn )n converge débilmente
a cero y por el teorema 8 concluimos que kT ψn k −→ 0 lo que implica que
λ = 0 .z
Teorema 11 (Teorema análitico de Fredholm).
Sea Ω un subconjunto abierto y conexo de C, si f : Ω −→ B(H) es
una función analítica operador- valuada tal que f (z) es un operador compacto
para cada z ∈ Ω, entonces se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones:
−1
a) (I − f (z)) no existe para todo z ∈ Ω.
−1
b) (I − f (z)) existe para todo z ∈ ΩS , donde
S = {z ∈ Ω : f (z)ζ = ζ para algún 0 6= ζ ∈ H, } y S no tiene puntos de acumulación en Ω.
−1
Nota: En el caso b) (I − f (z)) es meromorfa en ΩS y los residuos
en los polos son operadores de rango finito, sin embargo esto no lo probaremos
porque no lo vamos a usar.
Demostración: Por la conexidad es suficiente demostrar que ∀z0 ∈ Ω
existe un disco abierto centrado en z0 donde a) ó b) se cumplen. Por el
teorema 6.10, existe un operador de rango finito, F tal que kF − f (z0 )k <
1/2 y por la continuidad existe r > 0 tal que kf (z) − f (z0 )k < 1/2 cuando
z ∈ Dr (z0 ) = {z ∈ Ω / |z − z0 | < r} , es decir para z ∈ Dr (z0 ) se cumple
∞
P
n
kf (z) − F k < 1 lo cual garantiza que la serie
(f (z) − F ) converge absolun=0
−1
tamente a (I − (f (z) − F )) , que por tanto, es un operador analítico .Cómo F
tiene rango finito,existen vectores linealmente independientes {ψ1, . . . , ψN } ⊂ H
N
P
tales que ∀ϕ ∈ H ,F (ϕ) =
αj (ϕ) ψj .
j=1
Cada αj (·) es una funcional acotada en H y el lema de Riesz nos dá
N
P
{φ1, . . . , φN } ⊂ H tales que F (ϕ) =
hϕ, φj i ψj ∀ϕ ∈ H.
j=1
A continuación, ∀³z ∈ Dr (z0 ) y para´ 1 ≤ n ≤ N definimos las funciones
∗
−1
−1
auxiliares Φn (z) =
(I − f (z) + F )
φn y g(z) = F (I − f (z) + F ) .
Al desarrollar las expresiones F (I − f (z) + F )−1 x y (I − g(z))( I − f (z) + F )
N
P
obtenemos respectivamente,
g(z) =
h·, Φn (z)i ψn y (I − f (z)) = (I −
j=1
g(z))( I − f (z) + F ) . Usando éstas dos últimas igualdades y que (I − f (z) + F )
es invertible concluimos que I − f (z) es invertible ⇐⇒ I − g(z) es invertible
y que ψ = f (z)ψ tiene solución no trivial ⇐⇒ ϕ = g(z)ϕ tiene solución distinta
de cero;en vista de esto nos concetrarémos en la forma de las soluciones de dicha
ecuación.
6
N
P
Si ϕ es solución , ϕ = g(z)ϕ =
n=1
N
P
hϕ, Φn (z)i ψn =
N
P
n=1
βn ψn , dónde βn :=
hϕ, Φn (z)i y al usar la última expresión de ϕ obtenemos
¿ N
À
N
P
P
βm hψm , Φn (z)i, es decir para n = 1, . . . , N
βn =
βm ψm ,Φn (z) =
m=1
m=1
,
n=1
βn =
N
P
m=1
βm hψm , Φn (z)i,
· · · (1).
Recíprocamente, si la N -áda (β1 , . . . , βN ) es una solución del sistema (1),entonces
N
P
ϕ=
βm ψm
m=1
satisface g(z)ϕ = ϕ de tal manera que resolver (no trivialmente), ésta ultima
N
P
ecuación equivale a resolver el sistema de N ×N ,
βm =
hψn , Φm (z)i βn ó
el sistema equivalente
N
P
n=1
(δmn − hψn , Φm (z)i)βn y éste tiene solución no trivial,
n=1
si sólo si, d(z) = det (δmn − hψn , Φm (z)i) = 0.
Notemos que por la discusión anterior son iguales los conjuntos
{z ∈ Dr (z0 ) : g(z)ψ = ψ para algún 0 6= ψ ∈ H, }
y
Sr := {z ∈ Dr (z0 ) ∈ Ω : d(z) = 0} .
Por otra parte, cómo para cada m, n hψn , Φm (z)i es una función analítica,
también d(z) es una función analítica y podemos usar el conocido Teorema
de unicidad para concluir que Sr no tiene puntos de acumulación ó bién
Sr = Dr (z0 ).
Para terminar veamos que (I − g(z)) ∈ B(H) es biyectivo para cada z ∈
Dr (z0 )Sr , en efecto, es inyectivo porque z ∈
/ Sr y entonces la ecuación
(I − g(z)) ϕ = 0 sólo tiene la solución ϕ = 0 y es sobreyectivo porque dado
N
P
ψ ∈ H , el sistema de N × N , βn − hψ, Φn (z)i =
hψm , Φn (z)i βm tiene
m=1
como determinante a d(z) 6= 0 por lo que tiene una solución (β1 , . . . , βN ); se
N
P
verifica que el elemento ϕ := ψ +
βm ψm satisface g(z)ϕ = ϕ − ψ,lo que se ve
n=1
simplemente desarrollando el lado izquierdo de la ecuación♠
Este TEOREMA es la base de las siguientes proposiciones.
Corolario 12 (La alternativa de Fredholm): Para todo operador compacto
−1
A ∈ B(H) , (I − A) existe ó Aψ = ψ tiene solución no trivial.
7
Prueba. Demostración: La función f : C −→B(H) tal que f (z) = zA es
−1
analítica y no cumple a) pues (I − f (0)) existe. Entoces cumple b) lo que sig−1
nifica que (I − f (z)) existe ∀z ∈ CS , donde S = {z ∈ C : f (z)ζ = ζ para algún 0 6= ζ ∈ H, }
−1
. Se presenta la alternativa 1 ∈
/ S ó 1 ∈ S i.e. (I − A) existe ó f (1)ψ = ψ
para algún ψ 6= 0. ¨
Teorema 13 (Teorema de Riesz -Schauder ). Si A∈ B(H) es un operador
compacto,entonces
σ(A) es un conjunto sin puntos límites excepto quizás λ = 0 ;
más aún todo λ ∈ σ(A) distinto de cero es un valor propio de A de multiplicidad finita ( i.e. el correspondiente espacio de vectores propios tiene dimensión
finita.
Prueba. 1) La función entera f : C −→B(H) tal que f (z) = zA
−1
no cumple a) , entonces se cumple b) lo que significa que (I − f (z)) existe
∀z ∈ CS , dónde S es un conjunto sin puntos límites.
−1
Vemos para todo elemento distinto de cero a ∈
/ S , tenemos (I − aA) =
¡
¢
−1
a−1 a−1 I − A
existe y por tanto a−1 ∈ σ(A) =⇒ a ∈ S
En consecuencia σ(A) no tiene puntos de acumulación excepto posiblemente
λ = 0 y∀ λ ∈ σ(A) {0} , λ−1 ∈ S por eso existe ψ 6= 0 tal que f (λ−1 )ψ = ψ ⇔
Aψ = λψ, i.e. todo λ ∈ σ(A) {0} ,es un valor propio de A.
Consideremos el espacio propio
Eλ = {x ∈ H Ax = λx} = {x ∈ H (λI − A)x = 0} ,como es un espacio cerrado de H su bola unitaria cerrada Bλ también es cerrada en H. Ahora,
λ−1 A es un operador compacto que restringido al espacio Eλ es el operador identidad por tanto λ−1 A Bλ es un conjunto precompacto y λ−1 A Bλ = Bλ de aquí
Bλ es compacto, ahora usamos el conocido resultado que asegura que un espacio
normado es dimensionalmente finito ⇔ su bola unitaria cerrada es compacta i
.
Teorema 14 (El Teorema de Hilbert-Schmidt). Si A ∈ B(H) es un operador compacto autoadjunto, existe una una base ortonormal {φn } para
H
P tal que Aφn = λn φn y en el caso no finito ,λn −→ 0, además A =
λn h· , φn i φn donde la convergencia es en la norma de operadores
n
Nota: A éste teorema también se le conoce como el teorema espectral para
operadores compactos autoajuntos y a la última forma de escribir a A se le
llama su representación espectral
Prueba. Por el Tma de Riesz-Schauder los elementos de σ(A) {0} son
valores propios de A y cada espacio propio
asociado tiene una base (vectorial) finita que podemos suponer ortonormal.
La unión de éstas bases, que llamarémos β es un conjunto ortonormal porque
vectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.
Sea M la cerradura del espacio vectorial generado por β, sabemos que H =
8
M⊕M⊥ . Demostrarémos que M⊥ = 0; es inmediato verificar que A(M⊥ ) ⊂
b M⊥ −→ M⊥
M⊥ por eso al restringir A a M⊥ obtenemos un operador A:
compacto y autoadjunto (pues A mismo posee dichos atributos) que además no
tiene valores propios distintos de cero ya que en caso opuesto, M⊥ y M tendrían
b {0} =Ø y en consecuencia
un elemento° no° cero en común. Así pues σ(A)
°
°
b = °A
b°, esta última por ser A
b autoadjunto, entonces A
b = 0 y por ende
0 = r(A)
M⊥ = 0 nuevamente, porque de lo contrario M⊥ ∩M =
6 0.
Conluimos que H = M y que β es una base ortonormal numerable porque
H es separable y también que el conjunto L de valores propios de A es a lo
sumo numerable pues siempre se cumple que L ⊂ σ(A) .
En el caso no finito,por ser subconjunto del compacto σ(A) , L tiene un punto
ma
de acumulación que es necesariamente el cero,
P por el T de Riesz-Schauder.
Para la convergencia de la serie A = λn h· , φn i φn ver el ejercicio 7.
n
i.
Corolario 15 Si A ∈ B(H) es un operador compacto autoadjunto, entonces
a) sus valores propios {λn } pueden ser ordenados de tal manera que |λ1 | ≥
|λ2 | ≥ |λ3 | ≥ . . . y cada |λj | se repite pj − veces , con pj = dim Ker(λj −
A).
b) |λ1 | = kAk .
c )kAk = máx |hAx, xi|
kxk=1
Prueba. a)Sea σ = σ(A) el espectro de A y considere la función continua
ν : C −→ R tal que ν(z) = |z| .
Usarémos que el conjunto de valores propios de A es numerable . Sea λ1
tal que |λ1 | = máx ν(z) después elegimos λ2 tal que |λ2 | = máx ν(z) ,y
σ{0}
σ{0,λ1 }
proseguimos recursivamente, si tenemos |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn | , elegimos λn+1
tal que |λn+1 | =
máx
ν(z) , los máximos existen porque los conjuntos
σ{0,λ1 ,...,λn }
donde ν actúa son compactos♠
b)Por el ejercicio 7, kAk ≤ sup |λj | , i.e. kAk ≤ |λ1 | y cómo
kAk ≥
j
kAφ1 k = |λ1 | (hemos conservado la notacion del Tma de Hilbert-Schmidt)
♠
c)Existe un vector propio, ϕ tal que Aϕ = λ1 ϕ con kϕk = 1 y |λ1 | = kAk ,
por tanto para kxk ≤ 1, |hAx, xi| ≤ kAk = |λ| = |hAϕ, ϕi|
i
Ejemplo 16 16.Sea A ∈ B(H) un operador compacto autoadjunto
a)Si M es un subespacio cerrado de H ,entonces máx |hAx, xi| existe.
M⊥
b) Si |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ |λ3 | ≥ . . ., es una ennumeración de los valores propios
de A, entonces
|λn | =
max
|hAx, xi|
x∈{ϕ1 ,...,ϕn−1 }⊥
kxk=1
Prueba. Para a), consideremos la restricción PM⊥ A : M⊥ −→ M⊥ ,
dónde PM⊥ es la proyección ortogonal sobre M⊥ ,por el corolario 6.15,b)
9
tenemos kPM⊥ Ak = max |hPM⊥ Ax, xi| ,donde x ∈ M⊥ , luego usamos que
kxk=1
para hPM⊥ Ax, xi = hAx, xi para x ∈ M⊥ .XXX.
b de
Para b) Sea M = span {ϕ1 , . . . , ϕn−1 },consideremos la restricción A
⊥
⊥
⊥
b
A a M , puesto que° A° : M −→ M por b) y c) del corolario 6.15
° b°
♣.
concluimos que |λn | = °A
° = max |hAx, xi|
x∈M ⊥
kxk=1
Antes de proseguir, comentémosPque la representación espectral de un operador compacto autoadjunto A = λn h· , φn i φn ,enunciada en el Teorema
n
de Hilbert-Schmidt es única en el siguiente sentido: Si { λ1 , λ2 , . . . , }
es el conjunto de valores propios no cero de A distintos entre sí y Pn
es la proyección ortogonal
P sobre el correspondiente espacio propio asociado
a λn ,entonces
A =
λn Pn ;en efecto, sea λ 6= 0 cualquier valor pron
2
pio de A y ϕ un vector propio asociado con λ , como 0 = k(λ − A)ϕk =
°
°2
°
°
P
P
°
2
2
2°
|λ − λj | kPj ϕk +|λ| °ϕ −
Pj ϕ° concluimos que ∀j |λ − λj | kPj ϕk = 0
°
°
j
j
P
yϕ=
Pj ϕ y dado que, ϕ 6= 0 existe j0 tal que Pj0 ϕ 6= 0 y por tanto λ = λj0 .
j
En consecuencia ,∀j 6= j0 se cumple λ 6= λj0 y Pj ϕ = 0 y por ende ϕ ∈ ImPj0
,es decir en la segunda representación aparecen todos los valores propios no cero
de A.
Es consecuencia de lo anterior que ∀k ∈ N se cumple Ak =
P k
λn Pn ; de
n
1/k
tal manera que seleccionando λn como la raíz de “argumento más pequeño” ,
P 1/k
1/k
0 ≤ arg λn ≤ 2π/k ,entonces el operador A1/k = λn Pn tiene la propiedad
n
(A1/k )k = A y tenemos el siguiente teorema
Teorema 17 17.Sea n ≥ 2.Cada operador auto adjunto y compacto A ∈ B(H)
tiene exáctamente una raíz n − ésima A1/n que es un operador compacto y
autoadjunto cuyos valores propios están en {z ∈ C : 0 ≤ arg z ≤ 2π/n}. En
particular,cada operador compacto positivo tiene exáctamente una raíz n−ésima
que es también un operador compacto positivo.
P 1/n
1/n
λj Pj con 0 ≤ arg λj ≤ 2π/n tiene
j P
las propiedades enunciadas. Si B =
µj Qj es otro operador compacto auj
P
P
toadjunto con las mismas propiedades,entonces µnj Qj = B n = A = λj Pj
Prueba. El operador A1/n =
j
j
. La unicidad de la representación espectral de A demuestra que que µnj = λj
1/n
y Qj = Pj . Las desigualdades 0 ≤ arg µj ≤ 2π/n implican µj = λj y consecuentemente B = A1/n . Si A es positivo, entonces ∀j, λj ≥ 0 y la condición
1/n
1/n
0 ≤ arg λj ≤ 2π/n implica λj ≥ 0 .
].
10
Sí A es un operador compacto, A∗ A es un operador compacto, no negativo
y autoadjunto. Se puede definir el valor absoluto de A mediante la igualdad
|A| = (A∗ A)1/2 , donde (A∗ A)1/2 es la única raíz cuadrada de A∗ A . Obviamente
|A| es un operador compacto y no negativo.
Teorema 18 (Forma canónica para operadores compactos) Si A ∈ B(H)
es un operador compacto,
entonces existen conjuntos,(no necesariamente completos)
P ortonormales {ϕn }
y {φn } y números reales positivos {λn } tales que A = λn h· , ϕn i φn , esta
n
expresión que pude ser una suma finita o una serie converge en norma. Los
números {λn } son llamados valores singulares de A.
Prueba. Por el Teorema de Hilbert-Schmidt para el compacto autoadjunto y no negativo A∗ A existen una base ortonormal numerable {ψm }de H y
números reales no negativos {µm } tales que A∗ Aψm = µm ψm con limµm = 0,en
m
caso de que la base sea infinita. Sean {ϕn } los elementos de {ψm } que no
pertenecen al ker A , luego A∗ Aϕn = µn ϕn y µn > 0 y por tanto ∀n∃λn > 0
tal que λ2n = µn .
Para cada n definimos φn = Aϕn /λn , es fácil comprobar que {φn } es un
conjunto ortonormal.
P
Usando la base ortonormal expresamos cada h ∈ H como h = am ψm
m
P
P
, con am = hh , ψm i luego Ah = am Aψm = an Aϕn es decir ya no aparem
n
cen
Ah =
P los sumandos tales
P que ψm ∈ ker A y en consecuencia
λn an (Aϕn /λn ) = λn hh , ϕn i φn . Para ver la convergencia (en norma) de
n
n
la serie, supongamos que {µm } es un conjunto infinito,entonces µm −→ 0 y por
ende λn & 0+ lo que implica que ∀ ² > 0 ,∃N ∈ N
° tal que n ≥ N =⇒°02 <
°
°
n
P
°
°
λn < ². Por tanto si x ∈ H y n ≥ N ,entonces °Ax −
λj hx, ϕj i φj ° =
°
°
j=1
°
°2
° P
°
∞
∞
P
P
° ∞
°
2
2
2
2
λj hx, ϕj i φj ° =
|λj hx, ϕj i| kφj k =
|λj | |hx, ϕj i|
°
°j=n+1
°
j=n+1
j=n+1
∞
∞
P
P
2
2
2
≤
²2 |hx, ϕj i| = ²2
|hx, ϕj i| ≤ ²2 kxk . La segunda igualdad se
j=n+1
j=n+1
calcula directamente usando la ortonormalidad de {φn } y la última desigualdad
es la de Bessel°usando el conjunto° ortogonal {ϕn }. Por lo antes mostrado
°
°
n
P
°
°
deducimos que °A −
λj h·, ϕj i φj °
≤ ² si n ≥ N.
°
°
j=1
B(H)
Terminamos comentando que se puede verificar que cuando
P es un operador
√
positivo
se
cumple
que
λ
es
un
valor
propio
de
P
⇐⇒
λ
es
valor propio de
√
P por esto y según vimos en la prueba los números {λn } que llamarémos
“valores singulares ” de A son los valores propios de |A|.
11
Antes de ver otras consecuencias del teorema de El Teorema de HilbertSchmidt veamos el :
Lema 19 Si M yN son subespacios de dimensión finita del espacio de H y
dim M < dim N , entonces M⊥ ∩ N 6= ∅
L
L
Prueba. De M⊥ M⊥ = H concluimos que N ∩ M⊥ N ∩ M = N y
si M⊥ ∩ N =∅ se obtiene que dim M = dim N .
k
Teorema 20 (Principio del minimáx). Sea A ∈ B(H) un operador compacto y no negativo. Si λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ . . .son todos sus valores propios
positivos (incluyendo multiplicidades), entonces λn = min
max hAx, xi
M
dim M =n−1
x∈M ⊥
kxk=1
Prueba. Por el Teorema de Hilbert-Schmidt existe una una base
ortonormal {φn } para H tal que Aφn = λn φn . Dado M un subespacio de
dimensión n − 1,por el lema anterior existe x0 ∈ span{φ1 , . . . , φn } tal que
n
P
x0 ∈ M ⊥ y kx0 k = 1 . Si x0 =
ak φk , calculando directamente obtenemos
2
que kx0 k =
n
P
k=1
2
|ak | = 1 y hAx0 , x0 i =
k=1
n
P
k=1
n
P
2
λk |ak | ≥ λn
2
|ak | = λn por
k=1
ende max hAx, xi ≥ λn , el máximo existe por el ejemplo 6.16 a), y por
x∈M ⊥
kxk=1
el ejemplo 6.16 b) tenemos que para M0 = span{φ1 , . . . , φn−1 }, se cumple
λn = max hAx, xi conjuntando ambas conclusiones se sigue el resultado.
z
x∈M ⊥
kxk=1
Corolario 21 Sea A ∈ B(H) un operador compacto y no negativo. Si
λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ . . . es una ennumeración incluyendo multiplicidades,de todos
los valores propios positivos de |A| , entonces λn = min
max hAx, xi .
M
dim M =n−1
x∈M ⊥
kxk=1
D
E
2
2
∗
DemostraciónObservemos que kAk = hA Ax, xi = |A| x, x y que los
2
valores propios de |A| son los cuadrados de los valores propios de
|A| .
z
12
